-

1. НОВОСИБИРСК 2010
CБОРНИК ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ
СЛОЖНОСТИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКЕ (СТАТИКА)
СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
531
С232

2. УДК 531.1
С232
Cборник задач повышенной сложности по теоретической
механике(статика)/Сост.Л.И.Ким, В.Б. Зиновьев, А.М.Попов.
— Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2010. — 40 с.
Сборник содержит задачи повышенной сложности по всем основным
разделам статики. Приведена методика и примеры решения задач.
Издание предназначено для студентов, обучающихся по техническим
специальностям.
Рассмотрен и рекомендован к изданию на заседании кафедры
«Теоретическая механика».
О т в е т с т в е н н ы й р е д а к т о р
д-р техн. наук, проф. А.М. Попов
Р е ц е н з е н т ы:
доц. кафедры «Теоретическая механика и сопротивление
материалов» НГТУ, канд. техн. наук А.А. Рыков
доц. кафедры «Строительная механика» СГУПСа, канд. техн.
наук В.В. Шушунов
 Ким Л.И., Зиновьев В.Б., Попов А.М., сост., 2010
 Сибирский государственный университет
путей сообщения, 2010

3. 3
ВВЕДЕНИЕ
В первой части данного сборника приведены условия задач
повышенной сложности, охватывающие все основные темы тео-
ретической механики по разделу статики. К задачам, отмечен-
ным звездочкой, во второй части сборника приведены подробные
решения. Третья часть сборника содержит ответы ко всем зада-
чам.
Задачи имеют различный уровень сложности, что позволяет
использовать их как при подготовке студентов к олимпиадам по
теоретической механике, так и при углубленном изучении мето-
дик решения сложных задач на практических занятиях.
УСЛОВИЯ ЗАДАЧ
1. Тяжелая балка ОА, закрепленная
одним концом в шарнире О, опирается в
точке В на шар весом Р, лежащий на
неподвижной горизонтальной плоскости.
Определить угол  при равновесии, если
коэффициент трения шара о балку и гори-
зонтальную плоскость одинаков и равен f.
2. В плоском
механизме звенья невесомы, связи иде-
альные. К цилиндру 1 приложен извес-
тный момент Mвр
пары сил. Найти вели-
чину деформации пружины, если жест-
кость пружины равна с и механизм в
указанном на рисунке положении, опре-
деленном углом , находится в покое.
Стержень 2 может свободно скользить в
цилиндре 1.
Рисунок к задаче 1
Рисунок к задаче 2

4. 4
3. Однородное кольцо весом Р свобод-
но опирается в точках А и В на неподвиж-
ные призмы, которые расположены соот-
ветственно на вертикальном и горизон-
тальном диаметрах кольца. Считая коэф-
фициенты трения кольца о призмы оди-
наковыми, определить такое их значение,
при котором точечный груз С весом Q,
закрепленный в любом месте правой по-
ловины кольца, будет оставлять последнее в покое. Поперечны-
ми размерами кольца пренебречь.
4. Тяжелая тонкая однородная прямоугольная плита OABD
весом Q удерживается в горизон-
тальном положении сферическим
шарниром О, цилиндрическим шар-
ниром А и тонким тяжелым стерж-
нем СB весом Р. Стержень при-
креплен сферическими шарнирами
к плите в точке В и к вертикальной
стене в точке С. Считая трение во
всех шарнирах пренебрежимо ма-
лым и угол  известным, найти
составляющую реакции цилиндри-
ческого шарнира А, параллельную
оси Оу, используя принцип воз-
можных перемещений. Полученное
решение проверить спомощью урав-
нений статики.
5. В плоском механизме на кри-
вошип О1
А действует пара сил с
известным моментом M1
. Найти
минимальное значение момента М2
пары сил, приложенной к
звену 3 и обеспечивающей равновесие механизма в указанном на
рисунке положении, если АО1
О2
= 90°, О1
О2
A = , О1
A = r, CО2
= О2
D = a, коэффициент трения между стержнем 2 и втулкой 3
равен f, трение в шарнирах О1
, А, О2
пренебрежимо мало, все
звенья механизма невесомые, контакт стержня 2 со втулкой 3
имеет место только в точках С и D.
Рисунок к задаче 3
Рисунок к задаче 4
Рисунок к задаче 5

5. 5
6. В плоском механизме стержень
OA может вращаться вокруг шарнира
O, перемещая шток ВС в идеально
гладких направляющих KL. Расстоя-
ние между шарниром и направляющи-
ми — l. Поверхность контакта между
стержнем и штоком в точке В — шеро-
ховатая, коэффициент трения сколь-
жения — f. Найти минимальное значе-
ние момента M пары сил, действую-
щей на стержень ОА и обеспечиваю-
щей равновесие механизма при задан-
ных значениях угла  и силы Р. Весом
стержней пренебречь.
7. Определить усилие S в стержне
АВ плоской фермы, закрепленной и
нагруженной, как указано на рисунке.
8. Цилиндр 1 весом Q1
опирается на
два одинаковых цилиндра веса Q2
, как
показано на рисунке. Коэффициент
трения скольжения между цилиндра-
ми равен f. Определить максималь-
ный угол  и минимальный коэффи-
циент трения f0
между цилиндрами 2 и
3 и опорной поверхностью.
9. К твердому телу приложены две
пары сил с моментами m1
и m2
, распо-
ложенными в плоскостях A1
x + B1
y +
+ C1
z + D1
= 0 и A2
x + B2
y + C2
z + D2
=
= 0 соответственно. Определить про-
екции момента т результирующей
пары на координатные оси.
10. Две тяжелые точки M1
и М2
соединены между собой невесомым
жестким стержнем, находящимся внут-
ри гладкой сферы. Длина стержня и
радиус сферы равны. Определить при
равновесии угол  между стержнем и
Рисунок к задаче 6
Рисунок к задаче 7
Рисунок к задаче 8
Рисунок к задаче 10

6. 6
горизонтом, если масса точки
M2
в два раза больше массы
точки М1
.
11. Цилиндр весом Q и ради-
усом R лежит на шероховатой
плоскости, наклоненной к гори-
зонту под углом , и удержива-
ется тросом, намотанным на ба-
рабан ступенчатого вала диа-
метром D. На барабан диаметром d намотан трос, к концу
которого подвешен груз В весом Р. Коэффициент трения качения
цилиндра А о плоскость равен , коэффициент трения скольже-
ния равен f, при этом tg > /R, f >
/R. При каких значениях Р система
будет находиться в равновесии?
12*
. Два диска радиусами R и r,
расположенные на горизонтальной
плоскости, стянуты упругой нитью
жесткостью c. Диски давят друг на
друга с силами, равными Q. Как
изменится длина нити, если ее пере-
резать?
13. Главные моменты некоторой
системы сил относительно центров О,
А и В одинаковы по величине MO
=
= MA
= MB
= m. Главный вектор этой
системы сил по величине равен V и
параллелен оси z; ОА = a, ОВ = b.
Определить углы, составляемые глав-
ными моментами МО
, MA
, MB
с плос-
костью хОу.
14. Однородная равносторонняя
пластинка весом Р стороной AB = l
опирается на горизонтальный пол
ХОY, ее стороны АС и ВС касаются
стен ХОZ и YОZ. Пренебрегая тре-
нием, определить силу F, удерживав-
шую пластинку в равновесии.
Рисунок к задаче 11
Рисунок к задаче 12
Рисунок к задаче 13
Рисунок к задаче 14
С

7. 7
15. На верхней грани прямоугольного
бруса А весом P1
находится прямоуголь-
ный брус В весом Р2
. Брус А опирается
нижней гранью на горизонтальную плос-
кость, причем коэффициент трения меж-
ду ними равен f1
. Коэффициент трения
между брусками А и В равен f2
. К брусу В приложили силу под
углом  к горизонту. При каких значениях силы F система будет
оставаться в равновесии?
16. В антипараллелограмме
О1
АВО2
длины звеньев равны соот-
ветственно О1
А = О2
В = а, АВ =
= О1
О2
= b (b > а). Механизм нахо-
дится в равновесии под действием
вращающихся моментов М1
и М2
,
приложенных к звеньям О1
А и О2
В.
Определить отношение М2
/М1
, если O2
В  О1
О2
.
17. Призма В опирается на
клин А и вертикальную стену.
Массы призмы и клина одина-
ковы. Трение между клином и
призмой пренебрежимо мало.
Коэффициенты трения между
клином и полом, призмой и сте-
ной одинаковы и равны f. На-
клонная плоскость клина со-
ставляет с горизонтом угол .
При каких значениях f призма и клин будут оставаться в покое?
18. Концы расположенного в
вертикальной плоскости тяжелого
однородного стержня могут сколь-
зить в прорезях взаимно перпенди-
кулярных плоскостей ОD и ОЕ.
Плоскость ОD составляет с гори-
зонтом угол . Пренебрегая трени-
ем, определить значение угла 
при равновесии стержня. Будет ли
положение равновесия стержня устойчивым?
Рисунок к задаче 15
Рисунок к задаче 16
Рисунок к задаче 17
Рисунок к задаче 18

8. 8
19. Однородный стержень длины а
опирается одним концом А на гладкую
вертикальную стенку, другим В — на
гладкий профиль, расположенный в
вертикальной плоскости. Какова долж-
на быть форма профиля, чтобы стер-
жень мог оставаться в покое в любом
положении?
20. Система, состоящая из двух ша-
ров А и В с весами Р1
и Р2
(Р1
> P2
) и
соединяющего их невесомого стержня длиной l, помещена в
сферическую чашу радиуса r = .25,0 l Коэффициент трения
скольжения шаров о поверхность
чаши равен f. Найти наименьшее
значение угла  между стержнем и
горизонтом, при котором система
может находиться в покое внутри
чаши. Размерами шаров пренеб-
речь.
21. Определить момент пары M2
,
уравновешивающий механизм в дан-
ном его положении, и реакции в
шарнирах С, D и Е рычага 5. Шар-
нир Внаходится напрямойАС.Дано:
ОА = СЕ = l; CD = 0,5l;  = 60°;
 = 90°; внешняя сила Р.
22. Шестерня напрессована на вал
и сила трения между ними, вызван-
ная напрессовкой, равна Q, коэффи-
циент трения сцепления равен f0
.
Определить закон изменения силы
Р = f(y), которую нужно приложить
для снятия шестерни с вала.
Рисунок к задаче 19
Рисунок к задаче 20
Рисунок к задаче 21
Рисунок к задаче 22

9. 9
23. В плоском кулисном механизме
ползуны А и В могут перемещаться
вдоль стержней кривошипа DOE. Пре-
небрегая трением и весом звеньев ме-
ханизма, определить силу Q, уравно-
вешивающую действиемоментаM,АВ =
= ВС = l.
24*
. Механизм, расположенный в
горизонтальной плоскости, состоит из
двух зубчатых колес и стержней, свя-
занных шарнирами. Считая связи иде-
альными, определить величину силы
F, уравновешивающей действие мо-
мента М. Радиус левого колеса R.
25. Шар 2 весом G2
и радиусом r
удерживается силами трения между
одинаковыми пластинками 1 весом G1
каждая, шарнирно
подвешенными на
горизонтальной оси
O. Поперечными размерами пластин пренеб-
речь. Длина пластины равна L, расстояние от
оси O до точки касания пластины с шаром l,
коэффициент трения между шаром и пласти-
ной f. Считая заданными указанные геометри-
ческие размеры, найти условия, которым дол-
жны удовлетворять величины f, G1
, G2
при
равновесии системы.
26. Насколько переместится конец переки-
нутой через подвижный блок нити (точка А),
если к нему приложить силу F? Жесткость
пружины с.
27.Три невесомых стер-
жня, расположенных в
вертикальной плоскости, опираются на ци-
линдр радиуса r. Средний стержень длиной
r — горизонтален, боковые стержни имеют
одинаковую длину l. Определить давление
Рисунок к задаче 23
Рисунок к задаче 24
Рисунок к задаче 25
Рисунок к задаче 26
Рисунок к задаче 27

10. 1 0
среднего стержня на цилиндр в зависи-
мости от длины l боковых стержней,
если к их концам приложены одинако-
вые силы Р, направленные вертикально
вниз.
28. Главные моменты системы сил
относительно центров O, А, В направле-
ны как указано на чертеже и равны по
величине: MО
= М, MА
= 4M, MВ
= 5M. Докажите, что система
сил приводится к равнодействующей, определите модуль равно-
действующей.
29. Цепь, состоящая из n одинаковых
стержней, подвешенаввертикальнойплос-
кости. Р — вес одного стержня; Q —
заданная горизонтальная сила; O, А1
,
А2
, …, Аn
— шарниры. Найти углы k
(k = 1, 2, ..., n) стержней с вертикалью в
положении равновесия.
30. Главные моменты системы сил
относительно центров O и А равны МО
и MА
и направлены как указано на
чертеже. Докажите, что система сил
не имеет равнодействующей. Опреде-
лите проекцию главного вектора сис-
темы на плоскость ХОZ.
31. Цилиндр весом Р опирается на
два одинаковых параллелепипеда тем
же весом. Радиус цилиндра r и разме-
ры параллелепипедов а и h заданы.
Коэффициент трения между паралле-
лепипедами и горизонтальной плоско-
стью равен f. Каким условиям должно
удовлетворять расстояние b между па-
раллелепипедами для того, чтобы система находилась в равнове-
сии? Трением между цилиндром и параллелепипедами пренеб-
речь.
32. Конструкция, изображенная на рисунке, состоит из четы-
рех одинаковых стержней массы М и длины l каждый, соединен-
Рисунок к задаче 28
Рисунок к задаче 29
Рисунок к задаче 30
Рисунок к задаче 31

11. 1 1
ных шарнирами и расположенных в верти-
кальной плоскости. Шарниры D и В соеди-
нены пружиной. В состоянии равновесия
стержни образуют квадрат. Определить
жесткость с пружины, если в ненапряжен-
ном состоянии она имеет длину .22l
33. Стержни СА,
СВ и CD одинаковой
длины соединены в точке С сферическим
шарниром, концами A, B, D опираются на
гладкую горизонтальную плоскость. Сере-
дины стержней A1
, B1
, D1
соединены нитя-
ми, длины которых в два раза меньше длин
стержней. Определить натяжение нитей,
если стержни однородные и масса каждого
равна М.
34. МО
, МА
и МВ
— главные моменты
пространственной системы сил относи-
тельно центров О, А, В соответственно;
;3 kFhMO  ;3 kFhMA  MB
= 5Fh; OA =
= OB = h. МО = 3. Определить модуль
главного вектора этой системы сил.
35.Кривошипно-ползунный механизм,
расположенный в вертикальной плоско-
сти, находится в равновесии в указанном
на рисунке положении. Вес стержней ОА
и АВ одинаков, ползун В — невесомый,
опирается на шероховатую поверхность
1–1. Определить коэффициент трения
скольжения между ползуном
и поверхностью 1–1, пренеб-
регая трением в шарнирах.
36. Катушка весом G, радиусами r и R удержива-
ется в равновесии при помощи нити и негладкой
вертикальной стены. Определить наименьший коэф-
фициент трения f между катушкой и стеной, если
угол  = 30° и r/R = 0,2.
Рисунок к задаче 32
Рисунок к задаче 33
Рисунок к задаче 34
Рисунок к задаче 35
Рисунок к
задаче 36
B

12. 1 2
37.По вертикальному столбу 1 сколь-
зит пластина 2 толщины h с круглым
отверстием. Определить наименьшую
силу тяжести Р и наименьшее расстояние
а между центром тяжести С пластины и
осью столба при условии равновесия
пластины за счет сил трения. Коэффици-
ент трения между столбом и пластиной
равен f.
38. Однородный стержень АВ вecом G
опирается одним концом на гладкий пол,
другим на шероховатую вертикальную сте-
ну; коэффициент трения стержня о стену
равен f. Определить наибольший и наимень-
ший вес груза Р, чтобы стержень оставался в
равновесии, если AС = ВС, угол наклона
стержня к горизонту равен .
39. Конструкция состоит из двух балок
AD и BE1
одинаковой длины, соединенных
между собой посредством двух шарнирных
стержней ЕЕ1
и DD1
. Масса балки ВЕ1
в два
раза больше массы балки AD расстояние
ED = Е1
D1
= 1
/3
Е1
В. Определить усилия в
стержнях и реакции опор А и В при равнове-
сии системы.
40. Два груза А и В, связанные невесомой нерастяжимой
нитью АСВ, могут двигаться по вертикальным направляющим,
расстояние между которыми равно а.
Коэффициент трения в направлявшей
груза А равен f, а трением в направляв-
шей груза В можно пренебречь. Каковы
пределы изменения расстояния x = DA,
в которых возможно равновесие систе-
мы, если груз В в п раз тяжелее груза А?
Размерами идеального блока С можно
пренебречь.
41. Заделанный в стену горизонтальный стержень АВ соеди-
нен со стержнем CD скользящим шарниром С. К середине CD
Рисунок к задаче 37
Рисунок к задаче 38
Рисунок к задаче 39
Рисунок к задаче 40

13. 1 3
приложена горизонтальная сила Р, на
стержень АВ действует пара сил с
моментом М и вертикальная сила Q.
Определить реакциивзаделкеи шарни-
ре С, если Р = 4 Н; а = 1 м; Q = 16 Н;
М = 12 Н∙м.
42. Тонкая пла-
стинка массы т за-
жата между двумя вертикальными пружина-
ми. Длина каждой пружины в свободном
состоянии равна L. Под действием силы Р
верхняя пружина сжимается на 1
нижняя —
на 2
. Определить положение пластинки при
равновесии.
43. При каком минимальном количе-
стве одинаковых труб нижнего ряда систе-
ма не раскатится, если не учитывать тре-
ние? Угол  = 2°.
44*
. Гладкий шар радиусом R и весом Р,
касаясь вертикальной стены, покоится на
шероховатом горизонтальном полу (коэф-
фициент трения скольжения равен f). С
какой минимальной по величине силой F
следует прижать к шару брусок высоты h,
чтобы шар оторвался от пола?
45. Между неподвижными телами А иВ
установлены два клина 1 и 2. Грани клина
1 и поверхность тела А гладкие. Верти-
кальная грань клина 2 гладкая, а наклон-
ная грань и поверхность тела В шерохова-
тые. При каком значении коэффициента
трения f между поверхностями контакта
клина 2 на и тела В наступит момент
предельного равновесия, если давить на
клин 1 силой Р? Считать, что силы давления клина 2 на тело В
распределяются по его поверхности равномерно.
Рисунок к задаче 41
Рисунок к задаче 42
Рисунок к задаче 44
Рисунок к задаче 45
Рисунок к задаче 43

14. 1 4
46. В системе, состоящей из n балок,
каждая из последующих опирается ле-
вым концом на предыдущую балку, а
правым — на шарнирно-неподвижную
опору. К каждой балке приложена сила
Р в середине пролета L. Определить
реакцию опоры А.
47.Системасосто-
ит из п одинаковых горизонтальных стерж-
ней весом Р каждый, укрепленных при
помощи тросов. Найти натяжение троса
А1
К, если C1
B1
/A1
B1
= C2
B2
/A2
B2
= … =
= Cn
Bn
/An
Bn
= 1
/4
.
48.Нателодействуюттрисилы:
,1 kPP  ,2 iPP  ,3 jPP  при-
ложенные в точках A1
(a, 0, 0),
А2
(0, b, 0), А3
(0, 0, с) соответ-
ственно. Какой должна быть за-
висимость между а, b и с, чтобы
система сил приводилась к равно-
действующей?
49. Гладкие однородные бруски оди-
накового веса и длины уложены один на
другой так, как показано на рисунке.
Найти такую максимальную длину L
(как функцию от числа n брусков),
чтобы система n брусков оставалась в
состоянии покоя.
50. Шарнирная опора А балки не закреплена, а установлена
на шероховатую плоскость с коэффициентом трения f. Шарнир-
но-подвижная опора В расположена на наклонной плоскости под
углом 45° к горизонтали. Определить точку
приложения силы Р (абсциссу x), при
которой возможно смещение опоры А. Вес
балки 2Р. Чему должны равняться f и х для
того, чтобы в предельном равновесии бал-
ки вертикальные составляющие реакций
опор А и В были одинаковыми?
Рисунок к задаче 46
Рисунок к задаче 47
Рисунок к задаче 48
Рисунок к задаче 49
Рисунок к задаче 50

15. 1 5
51. Плоская система состоит из однород-
ного стержня ОА длиной а и весом Q и груза
М весом Р, соединенных нитью АВМ длиной
l. Найти уравнение кривой ВМС в координа-
тах r и  (r = ВМ), чтобы при любом угле
 < 
система находилась в равновесии;
ОА = ОВ; l = .2a Трением пренебречь.
52. Тонкий однородный стержень АВ ве-
сом Р, который наклонен к горизонту под
углом , опирается на неподвижные призмы.
Коэффициент трения стержня о призмы f.
Какова должна быть длина стержня l, чтобы
он находился в равновесии, если СЕ = а,
ВС = b?
53. В цилиндрическое отверстие тела А
радиусом R = 3r вставлены без натяга шесть
цилиндров радиусом r и весом Q каждый.
Определить давление цилиндра 4 на стенку
отверстия в точке их контакта. Система распо-
ложена в вертикальной плоскости.
54. Два клина А и В, коэффициент трения
между которыми равен f, могут двигаться без трения в своих
направляющих. К клину А приложена
сила Р. Какую силу Q нужно приложить
к клину В, чтобы клин А двигался равно-
мерно в сторону действия силы Р?
55. Груз веса Q привязан к неподвиж-
ной опоре тросом, составляющим с гори-
зонтом угол , и помещен на призму веса
G, наклонная грань которой составляет
угол  с горизонтом. Определить мини-
мальную силу Р, приводящую систему в
движение, если угол трения груза о при-
зму и призмы о плоскость равен .
56. Из круга вырезали сектор с цент-
ральным углом , а из окружности —
дугу с таким же центральным углом.
Рисунок к задаче 51
Рисунок к задаче 52
Рисунок к задаче 54
Рисунок к задаче 55
Рисунок к задаче 53

16. 1 6
Получившиеся тела подвесили на нитях, как
указано для первого тела на рисунке. Опреде-
лить углы  и 1
, образуемые радиусами
элементов круга и окружности с вертикалью
при равновесии тел.
57. Круглое бревно ве-
сом 2Q и радиусом R каса-
ется вертикальной стены и
удерживается в горизон-
тальном положении двумя
балками АВ длиной l и горизонтальными
тросами ВD. При каком угле  натяжение
тросов будет наименьшим? Найти также наименьшее натяжение
тросов. Весом балок и трением пренебречь; в точке А — шарнир.
58*
. На горизонтальной гладкой поверх-
ности стоит прямой полый цилиндр радиу-
сом а. Внутри цилиндра находятся два
шара весами Р1
и Р2
и радиусами r1
и r2
соответственно. Нижний шар лежит на го-
ризонтальной плоскости. Определить наи-
меньший вес цилиндра, при котором шары
его не опрокинут. Толщиной стенок цилин-
дра и трением пренебречь.
59. Определить наименьшее значе-
ние угла  наклона кривошипа к гори-
зонту, при котором шатунно-кривошип-
ный механизм ОАВ будет находиться в
равновесии. Кривошип OA шатун АВ и
ползун В имеют одинаковый вес, рав-
ный Р. Шатун и криво-
шипсчитать однородны-
ми стержнями, трением в шарнирах пренебречь.
Коэффициент трения между ползуном и горизон-
тальной поверхностью f, ОА = АВ = а.
60. Шесть одинаковых однородных стержней
весом Р, связанных шарнирно своими концами,
образуют правильный шестиугольник, располо-
женный в вертикальной плоскости. Нижний стер-
Рисунок к задаче 56
Рисунок к задаче 57
А
Рисунок к задаче 58
Рисунок к задаче 59
Рисунок к
задаче 60
F

17. 1 7
жень закреплен в горизонтальном положении. Какую направлен-
ную вертикально вверх силу нужно приложить к середине
верхнего горизонтального стержня, чтобы система находилась в
равновесии?
61. На горизонтальной плоскости
стоит абсолютно гладкий цилиндр ди-
аметром а и весом Р. В него опускают
однородную палочку АВ длиной 2l и
весом Q, которая занимает положение
равновесия под углом  к горизонту.
Найти угол  и наименьший вес Q0
палочки, при котором она в состоянии
опрокинуть цилиндр, а также реакции
в точках А и С в начальный момент
опрокидывания. Указать соотношение
между а и l, при котором возможно
равновесие палочки. Толщиной стенок
цилиндра пренебречь.
62. Раскатится ли система из восьми
одинаковых труб? Трение не учитывать. Опреде-
лить реакции опор, действующие на трубу 1.
63. Два груза C и D весом Р каждый с помощью
невесомых блоков одинакового радиуса, веревок и
балки АВ приведены в состояние равновесия, при-
чем балка расположена горизонтально. Опреде-
лить усилие в ветви 1 веревки, если все ветви
вертикальны, а ось блока с неподвижным центром
и точка подвеса груза D лежат на одной вертикали.
64. Два однородных стержня ОА и ОС длиной l,
весом Р и длиной 2l, весом 2Р соответственно
соединены шарниром А. Стержень ОА
укреплен шарнирно, а стержень АС опи-
рается на острие В. Определить, при
каком угле  система находится в равно-
весии в вертикальной плоскости, если
расстояние ОВ = l (отрезок ОВ располо-
жен в горизонтальной плоскости).
Рисунок к задаче 61
Рисунок к задаче 62
Рисунок к
задаче 63
Рисунок к задаче 64

18. 1 8
65. Одинаковые однородные стержни
АВ и ВС длиной l соединены цилиндри-
ческим шарниром, на оси которого ук-
реплен невесомый ползун В. Стержни
опираются в точках А и С на вертикаль-
ные гладкие стенки, расположенные на
расстоянии а друг от друга (а < l).
Ползун может скользить по шероховато-
му горизонтальному полу с коэффици-
ентом трения f. При каком соотношении
между а и l эта система будет находиться в равновесии в любом
положении ползуна на плоскости?
66. Два однородных стержня ОА дли-
ной а, весом Р и АС длиной b, весом Q
соединены шарниром А и находятся в
вертикальной плоскости. Стержень ОА
укреплен шарнирно, а стержень АС про-
ходит через гладкую муфту В. Опреде-
лить уравновешивающий момент М,
удерживающий стержень ОА в гори-
зонтальном положении под углом  к
стержню АС.
67. Рукоятка катка, шарнирно соединен-
ная с его осью, опирается своим концом А на
вертикальную гладкую стенку. Вес рукоятки
равен Р, ее длина L, вес катка также равен Р,
его радиус r. В точке В к катку приложена
горизонтальная сила Q = 2Р. При каком угле
 возможно равновесие системы, если коэф-
фициент трения скольжения между катком и
горизонтальной плоскостью равен f, a
коэффициент трения качения равен .
68. Тонкий однородный стержень
длиной 2r опирается на шероховатый
диск радиуса r и удерживается в равно-
весии невесомой нитью длины r. Опре-
делить координаты точки С прикрепле-
ния нити, если угол наклона стержня с
Рисунок к задаче 65
Рисунок к задаче 66
Рисунок к задаче 67
Рисунок к задаче 68

19. 1 9
горизонталью равен  и нить составляет с вертикалью также угол
. Трением в шарнире О пренебречь.
69*
. Цилиндр весом P опирается на верти-
кальную стенку и параллелепипед таким же
весом. Радиус цилиндра r и размеры паралле-
лепипеда a и h заданы. Коэффициент трения
между параллелепипедом и горизонтальной
плоскостью f. Каким условиям должно удов-
летворять расстояние b между центром ци-
линдра C и параллелепипедом для того, что-
бы система находилась в равновесии? Трени-
ем в точках контакта цилиндра со стенкой и
параллелепипедом пренебречь.
70*
. Каким должен быть коэффициент тре-
ния скольжения f2
в подвижной опоре А,
чтобы четверть круглого диска удерживалась
в равновесии в указанном положении? Коэф-
фициент трения скольжения о стенку равен
f1
. Тело расположено в вертикальной плоско-
сти.
71*
. В пятизвенном механизме
к звену 5, представляющему собой
равностороннийтреугольникBCD,
приложена сила .P Определить
величину уравновешивающего мо-
мента M1
и деформацию пружины
при заданном коэффициенте упру-
гости с. Известно, что длины стер-
жней 1, 2, 4 одинаковы и равны l,
KB = KС = l/2; OA, CF, P перпендикуляр-
ны BD.
72*
. Однородная тяжелая балка весом Р
одним концом закреплена в неподвижном шар-
нире О, а другим опирается на однородный
цилиндр равного с ней веса. Определить, при
каком значении угла  может начаться качение
цилиндрабезскольжения,еслиизвестенрадиус
R и коэффициент трения качения k. Между
балкой и цилиндром трение не учитывать.
Рисунок к задаче 69
Рисунок к задаче 70
Рисунок к задаче 71
Рисунок к задаче 72

20. 2 0
73*
. Две балки О1
A и АВ весом Р1
и Р2
расположены в вертикальной плоскости и
удерживаются стержнем О2
В и шарниром
О1
. Определить силу упругости пружины,
если указанное положение является поло-
жением равновесия. Точки А, О1
, О2
лежат
на одной прямой, О1
А = ОО1
, О2
ВА = 90°,
О1
D параллельно АВ.
74*
. Однородный стержень AB длиной l
и весом Р1
опирается на шероховатую стену
(коэффициент трения стержня о стену f),
образуя с ней угол , и соединен с катком
радиусом r и весом Р2
в точке В цилиндри-
ческим шарниром. Определить уравнове-
шивающую силу Q, учитывая трение каче-
ния катка о шероховатый пол. Коэффици-
ент трения качения равен .
75*
. Две пластины с одинаковым
весом Р — прямоугольная ADKB и
полукруглая AFB радиусом R —
сварены под углом  и закреплены в
точке А шаровым шарниром, а в
точке В цилиндрическим. К полу-
круглой пластине приложена пара
сил (Q1
, Q2
). Система удерживается
в равновесии грузом G. Нить DE
расположена в вертикальной плос-
кости xAz и привязана к пластине под углом . Стороны
прямоугольника AB = 2R, AD = а. Определить величину груза
G и давление пластин на опоры А и В.
76*
. На двух наклоненных под углом в
45° к горизонту плоскостях лежат три куба
весом Q каждый. Дан угол трения  между
всеми соприкасающимися плоскостями.
Какой минимальной вертикальной силой
Р можно поднять нижний куб?
77*
. Цилиндр радиусом r и весом 2Q
разрезан на две части, которые опираются
Рисунок к задаче 73
Рисунок к задаче 74
Рисунок к задаче 75
Рисунок к задаче 76

21. 2 1
на гладкую плоскость. Угол  известен.
Найти при равновесии: 1) коэффициент
трения; 2) реакции опор А и В; 3) давле-
ния между цилиндрами.
78. Колесо снабжено тормозом ВС,
который шарнирно закреплен в точке В
на той же горизонтальной раме, что и ось
А колеса. Растянутая пружина прижи-
мает колодку С к ободу колеса так, что
угол АВС равен . При вращении колеса
по часовой стрелке сила трения, создава-
емая колодкой тормоза, равна F1
. Коэф-
фициент трения между колодкой и обо-
дом равен f. Найти силу трения при
вращении колеса против часовой стрелки.
79. Два полушара с радиусами r и r1
и
плотностями  и 1
будучи сложены осно-
ваниями, находятся в равновесии в поло-
жении, указанном на чертеже. Опреде-
лить наименьший коэффициент трения
f, при котором это может иметь место.
Центр тяжести полушара расположен на
расстоянии 3r/8 от центра О.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Задача 12. Два диска с радиусами R и r, расположенные в
горизонтальной плоскости, стянуты упругой нитью жесткостью
с (рис. 12.1). Диски давят друг на друга с
силами, равными Q. Как изменится длина
нити, если ее перерезать? Трение не учиты-
вать.
Решение. Когда нить охватывает диски,
она растянута, следовательно, возникает
упругая сила Fyпp
= с, где  — деформация
нити, равная ее растяжению. Величина силы упругости влияет на
взаимное давление дисков. Рассмотрим равновесие одного из них
(рис. 12.2). Без учета сил трения натяжение нити (сила упруго-
сти) во всех ее точках одинаково: F1
= F2
= F = c, где  — то
Рисунок к задаче 79
A B
Рисунок к задаче 77
O2
r
O1
Рисунок к задаче 78
C

A B
Рис. 12.1

22. 2 2
расстояние, накоторое изменится длинанити.
При равновесии ,021  QFF
Fix
= 2Fcos – Q = 0.
Угол  зависит от величины R. Найдем
cos (рис. 12.3):
,sin
rR
rR



.
2
sin1cos 2
rR
Rr


Уравнение (1) принимает вид:
.0
2
2 

 Q
rR
Rr
c
Отсюда изменение длины нити.
.
4 Rr
rR
Ql


Задача 24. Механизм, расположенный в горизонтальной
плоскости, состоит из двух зубчатых колес и стержней, связан-
ных между собой и с зубчатыми колесами
шарнирами (рис. 24.1).
Считая связи идеальными, определить
величину силы F, уравновешивающей дей-
ствие известного момента М. Радиус лево-
го колеса R.
Решение. Cпособ 1-й. Рассмотрим си-
стему по частям. Вначале свяжем силу F
с силой S2
(рис. 24.2), а затем S2
с
моментом М.
Узел D находится в равновесии под дей-
ствием системы сходящихся сил:
.021  SSF
.030cos2  FSFix (1)
.
30cos
2


F
S
.030sin 12  SSFiy (2)
Рис. 12.2
Рис. 12.3
Рис. 24.1
Рис. 24.2

23. 2 3
.30tg
30cos
30sin
1 


 F
F
S
Рассмотрим равновесие левого колеса
(рис. 24.3). Внутренние силы S2
= S2
,
.0)( 2  QRMRSFm iA
(3)
Для правого колеса (рис. 24.4) Q = Q,
N = N, S1
= S1
— внутренние силы системы,
,0)( 1  QrrSFm ib
следовательно, S1
=
= Q. Тогда, решая совместно уравнения (1)–
(3), получим
 RSMRS 12
.030tg
30cos


 FRMR
F
Отсюда .
3
R
M
F 
Способ 2-й. Применим принцип возмож-
ных перемещений. Придадим системе воз-
можное перемещение: .01  DSFM
Поскольку связи в системе стационарные,
возможные перемещения можно связать через
скорости точек (рис. 24.5), получив уравне-
ние возможных мощностей .01  DVFM
Учитывая свойства скалярного про-
изведения, запишем М1
– FVDx
= 0.
Выразим VDx
через 1
, используя тео-
рему сложения скоростей в плоскопа-
раллельном движении звеньев ED и
DK (рис. 24.6):
.0 DKKDEED VVVVV (4)
По величине скорости точек Е и К
равны: VF
= VK
, VK
= 1
R. Спроециру-
ем равенство (4) на оси х и у и выразим искомую величину:
VDx
= VE
cos30° – VDE
cos60°, VDy
= VE
sin30° – VDE
sin60° = VK
.
 ,30sin
60sin
1


 ERDE VVV
Рис. 24.3
Рис. 24.4
Рис. 24.5
Рис. 24.6

24. 2 4
 .30sin
60sin
60cos
30cos 


 EKEDx VVVV
Подставим значение скорости
3
1R
VDx

 в уравнение возмож-
ных мощностей: .0
3
1
1 


R
FM Окончательно получим
.
3
R
M
F  Этот метод требует особой догадки при определении
VDx
, что предполагает умение работать с векторными уравнени-
ями.
Задача 44. Гладкий шар радиусом R
весом Р, касаясь вертикальной стены, по-
коится на шероховатом горизонтальном
полу (коэффициент трения скольжения
равен f). С какой минимальной по величи-
не силой F следует прижать к шару брусок
высоты h, чтобы шар оторвался от пола?
Решение. Рассмотрим равновесие шара
в момент, когда он оторвался от пола:
Y = Nsin – P = 0,
N = P/sin.
Рассмотрим равновесие бруска (весом бруска пренебрегаем):
X = F – Fтр
– Ncos = 0.
Y = N1
Nsin, следовательно,
Fтр
= fN1
= fNsin и
F = Fтр
+ Ncos = P(f + ctg).
Здесь sin = (R – h)/R,
,)(1cos 22
hRRR  ,1
)(
ctg 2
2



hR
R
  .)2( hRhRhfPF 
F
N

h
Fтр
N1
Q

PN

25. 2 5
Задача 58. На гладкой горизонтальной
плоскости стоит открытый с обеих сторон
полый прямоугольный цилиндр с радиусом
а. Внутри цилиндра находятся два шара
весом Р1
и Р2
с радиусами, соответственно
равными r1
и r2
. При этом нижний шар лежит
на плоскости. Пренебрегая трением, опреде-
лить минимальный вес Q, при котором ци-
линдр не опрокинется.
Решение. Рассмотрим равновесие ци-
линдр (без шаров) в критический мо-
мент, когда Q = Qmin
(RE
= 0):
Mc
= N1
AC – N2
r2
– Qmin
a = 0.
Отсюда: Qmin
= (N1
AC – N2
r2
)/a.
Рассмотрим равновесие системы из
двух шаров:
MD
= –N1
AC + N2
r2
+
+ P1
(2a – r1
– r2
) = 0.
Отсюда N1
AC + N2
r2
= P1
(2a – r1
– r2
).
Тогда Qmin
= (2 – (r1
+ r2
)а)/P1
.
Задача 69. Цилиндр весом Р опирается на вертикальную
стенку и параллелепипед такого же веса. Радиус цилиндра r и
размеры параллелепипеда а и b заданы. Коэффи-
циент трения между параллелепипедом и гори-
зонтальной плоскостью f. Каким условиям долж-
но удовлетворять расстояние b между центром
цилиндра С и параллелепипедом для того, чтобы
система находилась в равновесии? Трением в
точках контакта цилиндра со стенкой и паралле-
лепипедом пренебречь.
Решение.
1. Условие отсутствия скольжения параллелепипеда.
а а
r1
r2
Q
С Е
N1
N2
RС RЕ
А
В
A RD
N1
B N2
P1 P2
C D

26. 2 6
Рассмотрим равновесие цилиндра. Из
условия равновесия сил на ось Y получа-
ем (рис. 69.1)
Rsin = P. (1)
Предельное состояние, при котором
проскальзывание параллелепипедаотсут-
ствует, показано на рис. 69.2.
При этом сила трения Fтр
имеет наи-
большее значение и равна fN, где N —
нормальная реакция.
Условия равновесия параллелепипе-
да:
Fx
= 0; Rcos – fN = 0,
Fy
= 0; N – P – Rsin = 0. (2)
Из уравнений (1) и (2) находим
2fsin = cos;
,cos
r
b
 .sin
22
r
br 
.2
22
r
b
r
br
f 

Отсюда находим .
41
2
2
f
fr
b


2. Условие отсутствия опрокидывания параллелепипеда.
При опрокидывании параллелепипеда реакция опоры нахо-
дится в точке A (рис. 69.3). Опрокидывание
исключено, если сумма моментов всех сил
вокруг точки A равна нулю:
mA
(F) = Rcosh – Rsina – Pa/2 = 0.
Отсюда находим с учетом (1).
.
94
3
22
ah
ar
b


Ответ: ,
41
2
2
f
fr
b

 .
94
3
22
ah
ar
b


Рис. 69.1
y
xF С
r
Р

R
b
FС
Р

R
Рис. 69.2
x
yR

N
Fтр
P
x
yR

А
P
XА
YА
а
h
Рис. 69.3

27. 2 7
Задача 70. Каким должен быть коэффициент
трения скольжения f2
в подвижной опоре А,
чтобы четверть круглого диска удерживалась в
равновесии в указанном положении (рис. 70.1)?
Коэффициент трения скольжения о стену равен
f1
. Тело расположено в вертикальной плоскости.
Решение. Рассмотрим равновесие четверти
круга под действием веса Р и реакций в точках А и В, которые
разложены на нормальные составляющие NA
, NB
и силы трения
FA
, FB
(рис. 70.2). Возьмем предельный случай, когда силы
трения достигают максимальных значений, что дает нам право
использовать формулу Кулона: FB
= f1
NB
,
FA
= f2
NA
. Имеем произвольную плоскую сис-
тему сил, для которой можно составить три
уравнения равновесия.Неизвестных также три:
NA
, NB
и f2
. Вес Р и радиус r также неизвестны,
но они в дальнейшем сократятся. Вначале,
конечно, нужно найти положение центра тяже-
сти сектора:
 
 
.2
3
4
43
4sin2





rr
AC
Запишем уравнения равновесия полукруга:
Fix
= NB
– FA
= NB
– f2
NA
= 0. (1)
  .0
2
2
2
3
4
2
2
1 

 rNf
r
PrFACPFm BBiB (2)
  .0
2
2
2
3
4
2
2



















r
rPrNACrPrNFm BAiB (3)
Из (2) ,
3
4
1f
PNB

 из (3) .
3
4
1 






 PNA Подставив эти
значения в (1), найдем .
3
4
1
3
4
2
1









Pf
f
P Так как Р  0, то
 
.
74,0
43
4
11
2
ff
f 


Рис. 70.1
Рис. 70.2

28. 2 8
Получили минимальное значение коэффициента трения f2
,
обеспечивающего равновесие. При большем значении f2
равнове-
сие будет заведомо обеспечено.
Чаще всего в этой задаче бывают ошибки при определении
положения центра тяжести, на что следует обратить внимание.
Задача 71. В пятизвенном механизме
к звену 5, представляющему собой рав-
носторонний треугольник BCD, прило-
жена сила Р (рис. 71.1). Определить
величину уравновешивающего момента
M1
и деформацию пружины при задан-
ном коэффициенте упругости с. Извест-
но, что длины стержней 1, 2, 4 одинако-
вы и равны l, KB = КС = l/2; OA, CF,
P перпендикулярны BD.
Решение. В этой задаче следует сразу обратить внимание на
то, что конструкция стержневая и силы тяжести стержней не
учитываются. Треугольник BCD неизменяемый, и его можно
рассматривать как отдельное твердое тело. На стержень 1
действует момент М1
. Усилия в стержнях 2 и 4, нагруженных
только по концам, идут вдоль стержней. Остается
выяснить, какая сила будет действовать на стер-
жень 2 со стороны стержня 1 в точке А.
Приложенный момент Мх
пары сил может быть
уравновешен только парой сил. Пара сил, действу-
ющая в обратную сторону, образуется реакциями в
точках О и А (рис. 71.2):
  .,1 lFOAFFFmM n

Отсюда F = M1
/l.
Сила, действующая на стержень 2,
направлена в другую сторону: FF 
(действие равно противодействию). Это
усилие передается на треугольник BCD.
Рассмотрим его равновесие, предполо-
жив, что сила упругости Fy
идет по пру-
жине вверх (рис. 71.3). Для системы про-
извольно расположенных на плоскости
Рис. 71.1
Рис. 71.2
Рис. 71.3

29. 2 9
сил имеем три уравнения равновесия и три неизвестных: F, Fy
, S.
Fix
= F + Fy
cos30° = 0. (1)
   30cos30sin
2
Fl
l
PFm ic
.0
2
1
sin30coscos  yy FlF (2)
Момент силы Fy
найден по теореме Вариньона.
И з ( 2) .
30sin2 

P
Fy С другой стороны, Fv
= с. Отсюда
.
30sin2 

c
P
Из (1), учитывая, что F = M1
/L, получим




30cos30cos
1
l
MF
Fy (сила направлена в другую сторону)
,
30cos30sin2
1


 l
MP
.30ctg
2
1 
a
PM
Задача 72. Однородная тяжелая балка
весом Р одним концом закреплена в непод-
вижном шарнире О, а другим опирается на
однородный цилиндр равного с ней веса
(рис. 72.1). Определить, при каком значе-
нии угла  может начаться качение цилинд-
ра без скольжения, если известен радиус R
и коэффициент трения качения k. Между
балкой и цилиндром трение не учитывать.
Решение. Рассмотрим силы, приложенные к каждому телу в
отдельности, и определим, сколько же неизвестных в данной
задаче. При этом выберем оптимальное число
уравнений, необходимое для определения угла
. К тому и другому телу приложена произ-
вольная плоская система сил (рис. 72.2, 72.3).
Следовательно, имеет место шесть уравнений
равновесия и шесть неизвестных: ,, 00 YX ,
.,, тр1 FNN Заметим, что .1NN 
Для балки составим уравнение:
Рис. 72.1
Рис. 72.2

30. 3 0
  .0sin
2
 Nl
l
PFm iO
Отсюда .sin
2

P
N (1)
От величины N зависят N1
, Fтр
, Mc
.
Перейдем к другому телу. Для цилиндра
Fiy
= N – P – Nsin = 0,
.sin
2
sin 2
1 
P
PNPN (2)
   iB Fm Mc
– NRcos = 0. (3)
В эти уравнения не входит неизвестная сила Fтр
. Учитывая,
что Mc
= kN1
, из (3) kN1
– NRcos = 0. Подставим сюда значения
N и N1
из уравнений (1) и (2):
.0cossin
2
sin
2
2






 R
P
k
P
P
Так как Р  0, то получаем уравнение для определения угла :
,0sin1sin
2
sin
2
22

Rk
k
.sin1sin
2
sin
2
22

Rk
k
Возведем обе части этого уравнения в квадрат:
 .sin1sin
4
sin
4
sin 22
2
4
2
222

Rk
kk
Обозначим sin2
 = z, тогда уравнение примет вид:
,0
44
2
2
22
22








kz
R
kz
Rk
или     .044 222222
 kzRkzRk
Отсюда
     
 22
22222222
2,1
2
4444
Rk
kRkRkRk
z


 и
 
.
2
244
sin 22
22422
2
Rk
RkRkR



Это ответ на поставленный вопрос. Дальнейшее исследование
этого уравнения не предполагалось.
Рис. 72.3

31. 3 1
Задача 73. Две балки О1
A и АВ весом Р1
и Р2
расположены в
вертикальной плоскости и удерживаются стержнем О2
В и шар-
ниром О1
(рис. 73.1). Определить силу упругости пружины, если
указанное положение является положением
равновесия. Точки А, О1
, О2
лежат на одной
прямой, О1
А = ОО1
, О2
ВА = 90°, О1
D парал-
лельно АВ.
Решение. Эту задачу интересно решить
двумя способами: уравнениями статики и при-
меняя принцип возможных перемещений.
Отметим, что в реальной конструкции шарнир-
ные соединения позволяют перестраиваться
механизму при перемене нагрузки.
1. Запишем уравнения статики. Здесь интере-
сен такой ход: реакцию в точке А разложить по
балке О1
А и перпендикулярно к ней (рис. 73.2):
  ,0cos2 11  PRFm iO
.cos
2
1
1 
P
R (1)
Теперь R1
нужно связать с силой упругости (рис. 73.3):
  .0
sin
2
ctg 12упр 


b
RbPbFFm iO (2)
Учитывая (1) и то, что b  0, получим
,0
sin
2
cos
2
ctg 1
2упр



P
PF или
Fупр
= (P1
+ P2
)ctg — ответ.
2. Применим принцип возможных пере-
мещений:   ,0 iFA где iF —активные
силы.
Конструкция — шарнирный четырех-
звенник, к которому приложены активные
силы Р1
, Р2
, Fyпp
. Придадим системе возможное перемещение
(рис. 73.4). Перемещения всех точек системы можно выразить
через одно, так как система имеет одну степень свободы. Заме-
тим, что у звена АВ виртуальный мгновенный центр скоростей
будет в точке О2
.
Рис. 73.1
Рис. 73.2
Рис. 73.3

32. 3 2
Fупр
sK
– P1
sD
sin – P2
cossE
= 0. (3)
Выразим перемещение через sA
:
sB
= sD
cos = sA
cos(90° – ).
Уравнения связи: sB
= sA
sin,
,sin
22




 AB
K
ss
s
,
cos
sin


 AD ss sE
= sA
/2.
Подставим в уравнение (3) найден-
ные выражения:
,0cos
2
sin
cos
sin
sin
2
21упр 





 A
A
A s
PsP
s
F
или Fупр
– 2P1
tg – P2
cos ctg = 0. Учитывая, что
,
2
ctg
2
2
tg


BO
AB
получаем тот же ответ Fупр
= (P1
+ P2
)ctg.
Задача 74. Однородный стержень AB
длиной l и весом Р1
опирается на шерохо-
ватую стену (коэффициент трения скольже-
ния стержня о стену f), образуя с ней угол ,
и соединен с катком радиусом r и весом Р2
в
точке В цилиндрическим шарниром
(рис. 74.1). Определить уравновешивающую
силу Q, учитывая трение качения катка о
шероховатый пол. Коэффициент трения ка-
чения равен .
Решение. В этой задаче необходимо определить уравновеши-
вающую силу Q. Какова она? Из каких условий ее определять?
Мысленно проведем эксперимент. Приложим маленькую силу,
тогда система начнет откатываться вправо. Чтобы остановить ее,
будем увеличивать силу Q. При каком-то ее значении система
остановится. При дальнейшем увеличении силы Q система будет
оставаться в равновесии до определенного момента, пока сила не
достигнет максимума и система не начнет двигаться в обратном
направлении. Отсюда делаем вывод: уравновешивающая сила
Q лежит в интервале Qmin
 Q  Qmax
. Определим значения Qmin
и Qmax
.
Рис. 73.4
Рис. 74.1

33. 3 3
На рис. 74.1 изображены силы Qmin
, FA
и FD
— силы трения
скольжения, Мс
— момент сопротивления качению. Поскольку
система находится в предельном состоянии, мы вправе записать
FA
= fNA
, чего нельзя сказать о силе трения скольжения FD
в точке
D (ничего не говорится о проскальзывании колеса). Будем
считать, что колесо начинает катиться без скольжения, Мс
= ND
.
Для определения Qmin
составим уравнения равновесия для
сил, приложенных к системе «стержень — каток»:
   sin
2
1min
l
PrQMFm ciD
– NA
(r + lcos) – FA
lsin = 0, (1)
Fiy
= FA
– P1
– P2
+ ND
= 0. (2)
Так как неизвестных три, то третье уравнение запишем для
сил, приложенных к стержню (см. рис. 74.2):
  .0sincossin
2
1  lFlN
l
PFm AAiB (3)
Перепишем и решим уравнения с учетом
значений FA
= fNA
и Мс
= ND
   sin
2
1min
l
PrQNFm DiD
– NA
(r + lcos) – fNA
lsin = 0, (1)
Fiy
= fNA
– P1
– P2
+ ND
= 0, (2)
  .0sincossin
2
1  lfNlN
l
PFm AAiB (3)
Из (3) найдем NA
, из (2) выразим ND
и из (1) определим Qmin
:
 
 .
cossin2
sin
1 21
1
min PP
rf
P
r
f
Q 









 

При определении Qmax
силы трения сменят свое направление
и, следовательно, в уравнениях изменятся знаки. Тогда
 
 .
sincos2
sin
1 21
1
max PP
rf
P
r
f
Q 









 

Эту задачу можно решить, применяя принцип возможных
перемещений.
Задача 75. Две пластины одинаковым весом Р — прямоуголь-
ная ADKB и полукруглая AFB радиуса R — сварены под углом
Рис. 74.2

34. 3 4
 и закреплены в точке А шаровым шарниром, а в точке В
цилиндрическим (см. нижеприведенную схему). К полукруглой
пластине приложена пара сил (Q1
, Q2
). Система удерживается в
равновесии грузом G. Нить DE расположена в вертикальной
плоскости xAz и привязана к пластине под углом . Стороны
прямоугольника AB = 2R, AD = a. Определить величину груза
G и давление пластин на опоры А и В.
Решение. Эта задача не должна
вызватьбольшихзатруднений,если
Вы умеете определять положение
центра тяжести сектора и опериро-
вать парой сил в пространстве.
Рассмотрим равновесие сварной
конструкции, приложивк ней силы
P1
, P2
— веса пластин, вектор
момента пары сил M(Q1
, Q2
), на-
правленный перпендикулярно пла-
стине 2, натяжение троса Т, численно равное весу G, реакции в
шаровой опоре A (XA
, YA
, ZA
) и цилиндрическом шарнире В
(XB
, YB
).
Имеем произвольную пространственную систему сил. Соста-
вим для нее шесть уравнений равновесия. Неизвестных также
шесть — это
XA
, YA
, ZA
, XB
, ZB
, :Т
Fix
= XA
+ XB
– Tsin = 0. (1)
Fiy
= YA
= 0. (2)
Fiz
= ZA
+ ZB
– Tcos – P1
– P2
= 0. (3)
  .02cos21  RZMRPRPFm Bix (4)
  .0sinsin 2  OCPTFm iy (5)
  .02sin  RXMFm Biz (6)
Из этих уравнений, с учетом того, что 




3
4
23
90sin2
2
RR
OC
и M = QR, получаем: из (2) YA
= 0, из (6) ,sin
2

Q
XB

35. 3 5
из (5) ,
sin3
sin4
P
a
R
T


 из (4) ,cos
2

Q
PZB
из (1) ,sin
23
4









Q
P
R
XA
из (3) .ctgsin
3
4
cos
2



R
P
Q
PZA
Давления на опоры, которые следовало определить, будут
равны реакциям, но направлены они в другую сторону.
Задача 76. На двух наклоненных под
углом в 45° к горизонту плоскостях лежат
три куба весом Q каждый. Дан угол
трения  между всеми соприкасающими-
ся плоскостями. Какой минимальнойвер-
тикальной силой Р можно поднять ниж-
ний куб?
Решение. В момент начала движения
сила трения достигает, наибольшего зна-
чения и неравенства, которые связывают
эти силы с нормальными реакциями, об-
ращаются в равенства. На средний куб
действуют: сила Р, вес куба Q, две реак-
ции N боковых кубов и две силы трения
F = Ntg (рис. 76.1). Составляя уравне-
ние проекций на вертикаль, получаем
P = Q + N(1 + tg) .2
Для определения реакции N рассматриваем условие равнове-
сия бокового куба (рис. 76.2). На него, кроме собственного веса,
действуют две нормальные реакции N и N и две силы трения F =
= Ntg, F = Ntg. Составляя уравнение проекций на наклонную
плоскость и перпендикуляр к ней, получаем:
,0tg'
2
2
 NQN
.0tg
2
2
 NQN
Откуда определяем N:
Рис. 76
Рис. 76.1
Рис. 76.2

36. 3 6
,
tg1
tg1
2
2
2


 QN
а затем и Р: P = Q(2 + sin2).
Задача 77. Цилиндр радиусом r и
весом 2Q разрезан на две части, которые
опираются на гладкую плоскость. Угол
 известен. Найти при равновесии: 1)
коэффициент трения; 2) реакции опор А
и В; 3) давления между цилиндрами.
Решение. Рассмотрим равновесие
одной части цилиндра (рис. 77.1).
Реакция отброшенной правой части N
равна давлению между цилиндрами,
сила трения Fтр
= fN. Уравнения рав-
новесия:
X = Fтр
– Q/2sin+ Rasin= 0. (1)
Y = N – Q/2cos+ Racos= 0. (2)
MА
= 0, (не требуется).
На конструкцию из двух частей цилиндра действует система
параллельных сил Ra, Rb, Q/2
(рис. 77.2). Уравнение равнове-
сия:
Y = 0, Ra + Rb – Q = 0, (3)
MА
= 0, RbAB – (Q/2)h1
–
– (Q/2)h2
= 0.
AB = BO2
/tg= r/tg,
h1
= rcos – (4r/3)sin,
O1
C1
= O2
C2
= 4r/3,
h2
= AB + (4r/3)sin.
Из уравнений найдем
Rb = Q/2(1 + sin), Ra = Q/2(1 – sin), N = Q/2sincos,
f = Fтр
/N = tg.
Рис. 77
A B
O2
r r
O1
Рис. 77.1
Y
Ra N X
Fтр
С1
O1
A Q/2
Рис. 77.2
Y h2
h1
O2
X
C1
C2
h1
O1
Q/2 Q/2
Ra
Rb

37. 3 7
Библиографический список
1. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М.: Наука,
1986. 520 с.
2. Сборник задач по теоретической механике / Под ред. К.С. Колесникова.
М.: Наука,1983. 320 с.
3. Сборник задач по теоретической механике / Под ред. Н.А. Бражничен-
ко. М.: Высш. шк., 1974. 520 с.
4. Попов В.И., Тышкевич В.А., Шумский М.П. Сборник олимпиадных
задач по теоретической механике. Ч. 1. Тамбов: ТИХМА, 1992. 100 с.
5. Березина С.Г., Пушкарев А.Э. Задачи олимпиад Удмуртии по теорети-
ческой механике 2000–2004 гг. с ответами и решениями. Ижевск, 2005. 80 с.

38. 3 8
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
1. tg/2  f. 2.  = (Mвр
cos2
)/(ca). 3. f  Q/(P + 2Q). 4. Ya
= –(P +
+ Q)tg/2. 5. M2min
= (aM1
)/(asin2
 + frcos). 6. M = (Pl)/((cos +
+ fsin)cos). 7. S = P/2. 8. max
= 2arctgf, fQmin
= fQ1
/(Q1
+ Q2
). 9. mx
=
= m1
A1
/R1
+ m2
A2
/R2
; my
= m1
B1
/R1
+ m1
B1
/R2
; mz
= m1
C1
/R1
+ m2
C2
/R2
, где
R1
= ;2
1
2
1
2
1 CBA  R2
= .2
2
2
2
2
2 CBA  Здесь принято, что векторы m1
, m2
направлены в сторону нормалей соответствующих плоскостей (вверх).
10.  = arctg( 3 /9). 11. DQ(sin– cos/R)/d < P < DQ(sin + cos/R)/d.
12. l = Q(R + r)/(4c Rr ). 13. Векторы MO
, MA
, MB
составляют с
плоскостью XOY одинаковые углы  = arccos(V 22
ba  /2m). 14. Fmin
=
= P/3 .2 15. F  min[f2
P2
/(cos – f2
sin), f1
(P1
+ P2
)/(cos – f1
sin)].
16. M2
/M1
= (b2
– a2
)/(b2
+ a2
). 17. f  tg(/2). 18.  = 2 – /2 равновесие
неустойчивое. 19. Часть эллипса x2
/a2
+ (y – a/2)2
/(a/2)2
= 1. 0  x  a,
0  y  a/2. 20. tg = (P1
– P2
)(1 + f2
)/((P1
+ P2
)(1 – f2
)) – 2f/(1 – f2
).
21. M2
= Pl, RC
= 2P/ ,3 RD
= P ,313 RE
= 0. 22. P = bQ/(b – 2f0
y). 23. Q =
= M 2 /3l. 24. F = M 3 /R. 25. f  r/l, G2
 G1
(Lr/l)(fl – r)/(l2
+ r2
).
26. SA
= 5F/c. 27. N2
= 2P – 36Pl/25r. 28. R = 5M/l. 29. tgk
= 2Q/(P/(2 (n –
– k) + 1)). 30. 00 RM — система не приводится к равнодействующей,
RXZ
= .22
hMM OA  31. b  6Rf/ ,91 2
f b  4Ra/ .4 22
ha  32. c =
= mg 2 /l. 33. T = Mg/ .6 34. R = 4F. 35. f  3 /3. 36. fmin
= 0,4. 37. amin
= h/2f, Pmin
 0. 38. Pmin
= Gcos/(sin + 2fcos), Pmax
= Gcos/(sin –
2fcos). 39. SE
= 2,4P, SD
= 2,1P, YA
= 1,3P, YB
= 1,2P, где P — вес балки AD.
40. (–fan2
+ b)/(n2
– 1)  x  (fan2
+ b)/(n2
– 1), n > 1, b = a .1222
 nnf
41. XA
= 0, YA
= –14 H, MA
= –32 H∙м, RC
= 2 H. 42. Расстояние пластины от
верхней опоры x = (Pl – mg2
)1
/P(1
+ 2
). 43. nmin
= 9. 44. F  P(f +
+ )2( hRh  /(R – h)). 45. f = tg. 46. YA
= 0,5P(1 – (a/l)n
)/(1 – a/l).
47. T = 2P(1 – 1/4n
)/3. 48. a + b + c = 0. 49. L = a/2 .)/1(
1


n
i
i 50. 1) x > (2f –
– 1)/(1 + f); 2) f = 1, x = l/2. 51. r = 2a 2 – 4aPcos/Q. 52. l  (tg/f +
1)a + + 2b, tg f. 53. N = 4Q. 54. Q = P(sin + fcos/(sin + fcos). 55. Pmin
= Gtg + Qcossin(2– )/(coscos(+ – )). 56. tg = (1 – cos)/(3 –
1,5 + sin), tg1
= (1 – cos)/(2–  + sin). 57. sin = 0,5; Tmin
= 4Qr/l.
58. Qmin
= P2
(2a – – r1
– r2
)/a. 59.  = arctg(1/4f). 60. F = 3P. 61. cos = ,/3
la
NA
= Qtg, NC
= Q/cos, a  l, Q0
= P/2tg2
. 62. Не раскатятся, RA
= 1,384P,
RB
= 2,268P. 63. T1
= P. 64.  = arccos((1 + 51 )/10). 65. a/l  4f/ .161
2
f
66. M = Pa/2 + Q(a – bcos3
/2). 67. При f > /r 4(1 – /r)  tg 4(1 + /r).
При f  /r 4(1 – f)  tg 4(1 + f). 68. xC
= 2rcos3
, yC
= rcos(2 – sin2).

39. 3 9
69. ,
41
2
2
f
fr
b

 .
94
3
22
ah
ar
b

 70.
 
.
74,0
43
4
11
2
ff
f 


71. ,30ctg
2
1 
a
PM .
30sin2 

c
P
72.
  .
2
244
sin 22
22422
2
Rk
RkRkR



73. Fупр
= (F1
+ F2
)ctg. 74.
 
 21
1
cossin2
sin
1 PP
rf
P
r
f










 
  Q 

 
 .
sincos2
sin
1 21
1
PP
rf
P
r
f










 
 75. ,sin
23
4









Q
P
R
XA
YA
= 0,
,ctgsin
3
4
cos
2



R
P
Q
PZA ,sin
2

Q
XB
,cos
2

Q
PZB
.
sin3
sin4
P
R
T


 76. P = Q(2 + sin2). 77. f = tg, Ra = (Q/2)(1 – sin), Rb =
= (Q/2)(1 + sin), N = (Q/2)sincos. 78. F = F1
(tg + f)/(tg – f).
79. f  (8/3)1
r1
3
(r – r1
)/(r4
– 1
r1
4
).

40. Содержание
Введение ....................................................................................................... 3
Условия задач ............................................................................................... 3
Решение задач .............................................................................................. 21
Библиографический список ............................................................................ 37
Ответы к задачам .......................................................................................... 38
Учебное издание
CБОРНИК ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ (СТАТИКА)
Составители: Ким Леонид Ильич
Зиновьев Владимир Борисович
Попов Анатолий Михайлович
Редактор М.А. Турбина
Компьютерная верстка Ю.В. Борцова
Изд. лиц. ЛР № 021277 от 06.04.98.
Подписано в печать 02.02.10.
2,5 печ. л. 1,5 уч.-изд. л. Тираж 150 экз. Заказ № 2128
Издательство Сибирского государственного университета путей сообщения
630049, Новосибирск, ул. Д. Ковальчук, 191
Тел./факс: (383) 328-03-81. Е-mail: press@stu.ru