Downloaded 14 times
![3 8
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
1. tg/2 f. 2. = (Mвр
cos2
)/(ca). 3. f Q/(P + 2Q). 4. Ya
= –(P +
+ Q)tg/2. 5. M2min
= (aM1
)/(asin2
+ frcos). 6. M = (Pl)/((cos +
+ fsin)cos). 7. S = P/2. 8. max
= 2arctgf, fQmin
= fQ1
/(Q1
+ Q2
). 9. mx
=
= m1
A1
/R1
+ m2
A2
/R2
; my
= m1
B1
/R1
+ m1
B1
/R2
; mz
= m1
C1
/R1
+ m2
C2
/R2
, где
R1
= ;2
1
2
1
2
1 CBA R2
= .2
2
2
2
2
2 CBA Здесь принято, что векторы m1
, m2
направлены в сторону нормалей соответствующих плоскостей (вверх).
10. = arctg( 3 /9). 11. DQ(sin– cos/R)/d < P < DQ(sin + cos/R)/d.
12. l = Q(R + r)/(4c Rr ). 13. Векторы MO
, MA
, MB
составляют с
плоскостью XOY одинаковые углы = arccos(V 22
ba /2m). 14. Fmin
=
= P/3 .2 15. F min[f2
P2
/(cos – f2
sin), f1
(P1
+ P2
)/(cos – f1
sin)].
16. M2
/M1
= (b2
– a2
)/(b2
+ a2
). 17. f tg(/2). 18. = 2 – /2 равновесие
неустойчивое. 19. Часть эллипса x2
/a2
+ (y – a/2)2
/(a/2)2
= 1. 0 x a,
0 y a/2. 20. tg = (P1
– P2
)(1 + f2
)/((P1
+ P2
)(1 – f2
)) – 2f/(1 – f2
).
21. M2
= Pl, RC
= 2P/ ,3 RD
= P ,313 RE
= 0. 22. P = bQ/(b – 2f0
y). 23. Q =
= M 2 /3l. 24. F = M 3 /R. 25. f r/l, G2
G1
(Lr/l)(fl – r)/(l2
+ r2
).
26. SA
= 5F/c. 27. N2
= 2P – 36Pl/25r. 28. R = 5M/l. 29. tgk
= 2Q/(P/(2 (n –
– k) + 1)). 30. 00 RM — система не приводится к равнодействующей,
RXZ
= .22
hMM OA 31. b 6Rf/ ,91 2
f b 4Ra/ .4 22
ha 32. c =
= mg 2 /l. 33. T = Mg/ .6 34. R = 4F. 35. f 3 /3. 36. fmin
= 0,4. 37. amin
= h/2f, Pmin
0. 38. Pmin
= Gcos/(sin + 2fcos), Pmax
= Gcos/(sin –
2fcos). 39. SE
= 2,4P, SD
= 2,1P, YA
= 1,3P, YB
= 1,2P, где P — вес балки AD.
40. (–fan2
+ b)/(n2
– 1) x (fan2
+ b)/(n2
– 1), n > 1, b = a .1222
nnf
41. XA
= 0, YA
= –14 H, MA
= –32 H∙м, RC
= 2 H. 42. Расстояние пластины от
верхней опоры x = (Pl – mg2
)1
/P(1
+ 2
). 43. nmin
= 9. 44. F P(f +
+ )2( hRh /(R – h)). 45. f = tg. 46. YA
= 0,5P(1 – (a/l)n
)/(1 – a/l).
47. T = 2P(1 – 1/4n
)/3. 48. a + b + c = 0. 49. L = a/2 .)/1(
1
n
i
i 50. 1) x > (2f –
– 1)/(1 + f); 2) f = 1, x = l/2. 51. r = 2a 2 – 4aPcos/Q. 52. l (tg/f +
1)a + + 2b, tg f. 53. N = 4Q. 54. Q = P(sin + fcos/(sin + fcos). 55. Pmin
= Gtg + Qcossin(2– )/(coscos(+ – )). 56. tg = (1 – cos)/(3 –
1,5 + sin), tg1
= (1 – cos)/(2– + sin). 57. sin = 0,5; Tmin
= 4Qr/l.
58. Qmin
= P2
(2a – – r1
– r2
)/a. 59. = arctg(1/4f). 60. F = 3P. 61. cos = ,/3
la
NA
= Qtg, NC
= Q/cos, a l, Q0
= P/2tg2
. 62. Не раскатятся, RA
= 1,384P,
RB
= 2,268P. 63. T1
= P. 64. = arccos((1 + 51 )/10). 65. a/l 4f/ .161
2
f
66. M = Pa/2 + Q(a – bcos3
/2). 67. При f > /r 4(1 – /r) tg 4(1 + /r).
При f /r 4(1 – f) tg 4(1 + f). 68. xC
= 2rcos3
, yC
= rcos(2 – sin2).](https://image.slidesharecdn.com/zzsxilbrslkscaapmyeh-signature-7265c3e20b8e507ebe4bb1014784c684363c1b6eb97f77a9a34b9f01330933a1-poli-160712064535/85/572-38-320.jpg)
![[6] kesetimbangan partikel & fbd](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/6kesetimbanganpartikelfbd-120404040738-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
572
- 1. НОВОСИБИРСК 2010 CБОРНИК ЗАДАЧПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ (СТАТИКА) СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ 531 С232
- 2. УДК 531.1 С232 Cборник задачповышенной сложности по теоретической механике(статика)/Сост.Л.И.Ким, В.Б. Зиновьев, А.М.Попов. — Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2010. — 40 с. Сборник содержит задачи повышенной сложности по всем основным разделам статики. Приведена методика и примеры решения задач. Издание предназначено для студентов, обучающихся по техническим специальностям. Рассмотрен и рекомендован к изданию на заседании кафедры «Теоретическая механика». О т в е т с т в е н н ы й р е д а к т о р д-р техн. наук, проф. А.М. Попов Р е ц е н з е н т ы: доц. кафедры «Теоретическая механика и сопротивление материалов» НГТУ, канд. техн. наук А.А. Рыков доц. кафедры «Строительная механика» СГУПСа, канд. техн. наук В.В. Шушунов Ким Л.И., Зиновьев В.Б., Попов А.М., сост., 2010 Сибирский государственный университет путей сообщения, 2010
- 3. 3 ВВЕДЕНИЕ В первой частиданного сборника приведены условия задач повышенной сложности, охватывающие все основные темы тео- ретической механики по разделу статики. К задачам, отмечен- ным звездочкой, во второй части сборника приведены подробные решения. Третья часть сборника содержит ответы ко всем зада- чам. Задачи имеют различный уровень сложности, что позволяет использовать их как при подготовке студентов к олимпиадам по теоретической механике, так и при углубленном изучении мето- дик решения сложных задач на практических занятиях. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 1. Тяжелая балка ОА, закрепленная одним концом в шарнире О, опирается в точке В на шар весом Р, лежащий на неподвижной горизонтальной плоскости. Определить угол при равновесии, если коэффициент трения шара о балку и гори- зонтальную плоскость одинаков и равен f. 2. В плоском механизме звенья невесомы, связи иде- альные. К цилиндру 1 приложен извес- тный момент Mвр пары сил. Найти вели- чину деформации пружины, если жест- кость пружины равна с и механизм в указанном на рисунке положении, опре- деленном углом , находится в покое. Стержень 2 может свободно скользить в цилиндре 1. Рисунок к задаче 1 Рисунок к задаче 2
- 4. 4 3. Однородное кольцовесом Р свобод- но опирается в точках А и В на неподвиж- ные призмы, которые расположены соот- ветственно на вертикальном и горизон- тальном диаметрах кольца. Считая коэф- фициенты трения кольца о призмы оди- наковыми, определить такое их значение, при котором точечный груз С весом Q, закрепленный в любом месте правой по- ловины кольца, будет оставлять последнее в покое. Поперечны- ми размерами кольца пренебречь. 4. Тяжелая тонкая однородная прямоугольная плита OABD весом Q удерживается в горизон- тальном положении сферическим шарниром О, цилиндрическим шар- ниром А и тонким тяжелым стерж- нем СB весом Р. Стержень при- креплен сферическими шарнирами к плите в точке В и к вертикальной стене в точке С. Считая трение во всех шарнирах пренебрежимо ма- лым и угол известным, найти составляющую реакции цилиндри- ческого шарнира А, параллельную оси Оу, используя принцип воз- можных перемещений. Полученное решение проверить спомощью урав- нений статики. 5. В плоском механизме на кри- вошип О1 А действует пара сил с известным моментом M1 . Найти минимальное значение момента М2 пары сил, приложенной к звену 3 и обеспечивающей равновесие механизма в указанном на рисунке положении, если АО1 О2 = 90°, О1 О2 A = , О1 A = r, CО2 = О2 D = a, коэффициент трения между стержнем 2 и втулкой 3 равен f, трение в шарнирах О1 , А, О2 пренебрежимо мало, все звенья механизма невесомые, контакт стержня 2 со втулкой 3 имеет место только в точках С и D. Рисунок к задаче 3 Рисунок к задаче 4 Рисунок к задаче 5
- 5. 5 6. В плоскоммеханизме стержень OA может вращаться вокруг шарнира O, перемещая шток ВС в идеально гладких направляющих KL. Расстоя- ние между шарниром и направляющи- ми — l. Поверхность контакта между стержнем и штоком в точке В — шеро- ховатая, коэффициент трения сколь- жения — f. Найти минимальное значе- ние момента M пары сил, действую- щей на стержень ОА и обеспечиваю- щей равновесие механизма при задан- ных значениях угла и силы Р. Весом стержней пренебречь. 7. Определить усилие S в стержне АВ плоской фермы, закрепленной и нагруженной, как указано на рисунке. 8. Цилиндр 1 весом Q1 опирается на два одинаковых цилиндра веса Q2 , как показано на рисунке. Коэффициент трения скольжения между цилиндра- ми равен f. Определить максималь- ный угол и минимальный коэффи- циент трения f0 между цилиндрами 2 и 3 и опорной поверхностью. 9. К твердому телу приложены две пары сил с моментами m1 и m2 , распо- ложенными в плоскостях A1 x + B1 y + + C1 z + D1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 z + D2 = = 0 соответственно. Определить про- екции момента т результирующей пары на координатные оси. 10. Две тяжелые точки M1 и М2 соединены между собой невесомым жестким стержнем, находящимся внут- ри гладкой сферы. Длина стержня и радиус сферы равны. Определить при равновесии угол между стержнем и Рисунок к задаче 6 Рисунок к задаче 7 Рисунок к задаче 8 Рисунок к задаче 10
- 6. 6 горизонтом, если массаточки M2 в два раза больше массы точки М1 . 11. Цилиндр весом Q и ради- усом R лежит на шероховатой плоскости, наклоненной к гори- зонту под углом , и удержива- ется тросом, намотанным на ба- рабан ступенчатого вала диа- метром D. На барабан диаметром d намотан трос, к концу которого подвешен груз В весом Р. Коэффициент трения качения цилиндра А о плоскость равен , коэффициент трения скольже- ния равен f, при этом tg > /R, f > /R. При каких значениях Р система будет находиться в равновесии? 12* . Два диска радиусами R и r, расположенные на горизонтальной плоскости, стянуты упругой нитью жесткостью c. Диски давят друг на друга с силами, равными Q. Как изменится длина нити, если ее пере- резать? 13. Главные моменты некоторой системы сил относительно центров О, А и В одинаковы по величине MO = = MA = MB = m. Главный вектор этой системы сил по величине равен V и параллелен оси z; ОА = a, ОВ = b. Определить углы, составляемые глав- ными моментами МО , MA , MB с плос- костью хОу. 14. Однородная равносторонняя пластинка весом Р стороной AB = l опирается на горизонтальный пол ХОY, ее стороны АС и ВС касаются стен ХОZ и YОZ. Пренебрегая тре- нием, определить силу F, удерживав- шую пластинку в равновесии. Рисунок к задаче 11 Рисунок к задаче 12 Рисунок к задаче 13 Рисунок к задаче 14 С
- 7. 7 15. На верхнейграни прямоугольного бруса А весом P1 находится прямоуголь- ный брус В весом Р2 . Брус А опирается нижней гранью на горизонтальную плос- кость, причем коэффициент трения меж- ду ними равен f1 . Коэффициент трения между брусками А и В равен f2 . К брусу В приложили силу под углом к горизонту. При каких значениях силы F система будет оставаться в равновесии? 16. В антипараллелограмме О1 АВО2 длины звеньев равны соот- ветственно О1 А = О2 В = а, АВ = = О1 О2 = b (b > а). Механизм нахо- дится в равновесии под действием вращающихся моментов М1 и М2 , приложенных к звеньям О1 А и О2 В. Определить отношение М2 /М1 , если O2 В О1 О2 . 17. Призма В опирается на клин А и вертикальную стену. Массы призмы и клина одина- ковы. Трение между клином и призмой пренебрежимо мало. Коэффициенты трения между клином и полом, призмой и сте- ной одинаковы и равны f. На- клонная плоскость клина со- ставляет с горизонтом угол . При каких значениях f призма и клин будут оставаться в покое? 18. Концы расположенного в вертикальной плоскости тяжелого однородного стержня могут сколь- зить в прорезях взаимно перпенди- кулярных плоскостей ОD и ОЕ. Плоскость ОD составляет с гори- зонтом угол . Пренебрегая трени- ем, определить значение угла при равновесии стержня. Будет ли положение равновесия стержня устойчивым? Рисунок к задаче 15 Рисунок к задаче 16 Рисунок к задаче 17 Рисунок к задаче 18
- 8. 8 19. Однородный стерженьдлины а опирается одним концом А на гладкую вертикальную стенку, другим В — на гладкий профиль, расположенный в вертикальной плоскости. Какова долж- на быть форма профиля, чтобы стер- жень мог оставаться в покое в любом положении? 20. Система, состоящая из двух ша- ров А и В с весами Р1 и Р2 (Р1 > P2 ) и соединяющего их невесомого стержня длиной l, помещена в сферическую чашу радиуса r = .25,0 l Коэффициент трения скольжения шаров о поверхность чаши равен f. Найти наименьшее значение угла между стержнем и горизонтом, при котором система может находиться в покое внутри чаши. Размерами шаров пренеб- речь. 21. Определить момент пары M2 , уравновешивающий механизм в дан- ном его положении, и реакции в шарнирах С, D и Е рычага 5. Шар- нир Внаходится напрямойАС.Дано: ОА = СЕ = l; CD = 0,5l; = 60°; = 90°; внешняя сила Р. 22. Шестерня напрессована на вал и сила трения между ними, вызван- ная напрессовкой, равна Q, коэффи- циент трения сцепления равен f0 . Определить закон изменения силы Р = f(y), которую нужно приложить для снятия шестерни с вала. Рисунок к задаче 19 Рисунок к задаче 20 Рисунок к задаче 21 Рисунок к задаче 22
- 9. 9 23. В плоскомкулисном механизме ползуны А и В могут перемещаться вдоль стержней кривошипа DOE. Пре- небрегая трением и весом звеньев ме- ханизма, определить силу Q, уравно- вешивающую действиемоментаM,АВ = = ВС = l. 24* . Механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, состоит из двух зубчатых колес и стержней, свя- занных шарнирами. Считая связи иде- альными, определить величину силы F, уравновешивающей действие мо- мента М. Радиус левого колеса R. 25. Шар 2 весом G2 и радиусом r удерживается силами трения между одинаковыми пластинками 1 весом G1 каждая, шарнирно подвешенными на горизонтальной оси O. Поперечными размерами пластин пренеб- речь. Длина пластины равна L, расстояние от оси O до точки касания пластины с шаром l, коэффициент трения между шаром и пласти- ной f. Считая заданными указанные геометри- ческие размеры, найти условия, которым дол- жны удовлетворять величины f, G1 , G2 при равновесии системы. 26. Насколько переместится конец переки- нутой через подвижный блок нити (точка А), если к нему приложить силу F? Жесткость пружины с. 27.Три невесомых стер- жня, расположенных в вертикальной плоскости, опираются на ци- линдр радиуса r. Средний стержень длиной r — горизонтален, боковые стержни имеют одинаковую длину l. Определить давление Рисунок к задаче 23 Рисунок к задаче 24 Рисунок к задаче 25 Рисунок к задаче 26 Рисунок к задаче 27
- 10. 1 0 среднего стержняна цилиндр в зависи- мости от длины l боковых стержней, если к их концам приложены одинако- вые силы Р, направленные вертикально вниз. 28. Главные моменты системы сил относительно центров O, А, В направле- ны как указано на чертеже и равны по величине: MО = М, MА = 4M, MВ = 5M. Докажите, что система сил приводится к равнодействующей, определите модуль равно- действующей. 29. Цепь, состоящая из n одинаковых стержней, подвешенаввертикальнойплос- кости. Р — вес одного стержня; Q — заданная горизонтальная сила; O, А1 , А2 , …, Аn — шарниры. Найти углы k (k = 1, 2, ..., n) стержней с вертикалью в положении равновесия. 30. Главные моменты системы сил относительно центров O и А равны МО и MА и направлены как указано на чертеже. Докажите, что система сил не имеет равнодействующей. Опреде- лите проекцию главного вектора сис- темы на плоскость ХОZ. 31. Цилиндр весом Р опирается на два одинаковых параллелепипеда тем же весом. Радиус цилиндра r и разме- ры параллелепипедов а и h заданы. Коэффициент трения между паралле- лепипедами и горизонтальной плоско- стью равен f. Каким условиям должно удовлетворять расстояние b между па- раллелепипедами для того, чтобы система находилась в равнове- сии? Трением между цилиндром и параллелепипедами пренеб- речь. 32. Конструкция, изображенная на рисунке, состоит из четы- рех одинаковых стержней массы М и длины l каждый, соединен- Рисунок к задаче 28 Рисунок к задаче 29 Рисунок к задаче 30 Рисунок к задаче 31
- 11. 1 1 ных шарнирамии расположенных в верти- кальной плоскости. Шарниры D и В соеди- нены пружиной. В состоянии равновесия стержни образуют квадрат. Определить жесткость с пружины, если в ненапряжен- ном состоянии она имеет длину .22l 33. Стержни СА, СВ и CD одинаковой длины соединены в точке С сферическим шарниром, концами A, B, D опираются на гладкую горизонтальную плоскость. Сере- дины стержней A1 , B1 , D1 соединены нитя- ми, длины которых в два раза меньше длин стержней. Определить натяжение нитей, если стержни однородные и масса каждого равна М. 34. МО , МА и МВ — главные моменты пространственной системы сил относи- тельно центров О, А, В соответственно; ;3 kFhMO ;3 kFhMA MB = 5Fh; OA = = OB = h. МО = 3. Определить модуль главного вектора этой системы сил. 35.Кривошипно-ползунный механизм, расположенный в вертикальной плоско- сти, находится в равновесии в указанном на рисунке положении. Вес стержней ОА и АВ одинаков, ползун В — невесомый, опирается на шероховатую поверхность 1–1. Определить коэффициент трения скольжения между ползуном и поверхностью 1–1, пренеб- регая трением в шарнирах. 36. Катушка весом G, радиусами r и R удержива- ется в равновесии при помощи нити и негладкой вертикальной стены. Определить наименьший коэф- фициент трения f между катушкой и стеной, если угол = 30° и r/R = 0,2. Рисунок к задаче 32 Рисунок к задаче 33 Рисунок к задаче 34 Рисунок к задаче 35 Рисунок к задаче 36 B
- 12. 1 2 37.По вертикальномустолбу 1 сколь- зит пластина 2 толщины h с круглым отверстием. Определить наименьшую силу тяжести Р и наименьшее расстояние а между центром тяжести С пластины и осью столба при условии равновесия пластины за счет сил трения. Коэффици- ент трения между столбом и пластиной равен f. 38. Однородный стержень АВ вecом G опирается одним концом на гладкий пол, другим на шероховатую вертикальную сте- ну; коэффициент трения стержня о стену равен f. Определить наибольший и наимень- ший вес груза Р, чтобы стержень оставался в равновесии, если AС = ВС, угол наклона стержня к горизонту равен . 39. Конструкция состоит из двух балок AD и BE1 одинаковой длины, соединенных между собой посредством двух шарнирных стержней ЕЕ1 и DD1 . Масса балки ВЕ1 в два раза больше массы балки AD расстояние ED = Е1 D1 = 1 /3 Е1 В. Определить усилия в стержнях и реакции опор А и В при равнове- сии системы. 40. Два груза А и В, связанные невесомой нерастяжимой нитью АСВ, могут двигаться по вертикальным направляющим, расстояние между которыми равно а. Коэффициент трения в направлявшей груза А равен f, а трением в направляв- шей груза В можно пренебречь. Каковы пределы изменения расстояния x = DA, в которых возможно равновесие систе- мы, если груз В в п раз тяжелее груза А? Размерами идеального блока С можно пренебречь. 41. Заделанный в стену горизонтальный стержень АВ соеди- нен со стержнем CD скользящим шарниром С. К середине CD Рисунок к задаче 37 Рисунок к задаче 38 Рисунок к задаче 39 Рисунок к задаче 40
- 13. 1 3 приложена горизонтальнаясила Р, на стержень АВ действует пара сил с моментом М и вертикальная сила Q. Определить реакциивзаделкеи шарни- ре С, если Р = 4 Н; а = 1 м; Q = 16 Н; М = 12 Н∙м. 42. Тонкая пла- стинка массы т за- жата между двумя вертикальными пружина- ми. Длина каждой пружины в свободном состоянии равна L. Под действием силы Р верхняя пружина сжимается на 1 нижняя — на 2 . Определить положение пластинки при равновесии. 43. При каком минимальном количе- стве одинаковых труб нижнего ряда систе- ма не раскатится, если не учитывать тре- ние? Угол = 2°. 44* . Гладкий шар радиусом R и весом Р, касаясь вертикальной стены, покоится на шероховатом горизонтальном полу (коэф- фициент трения скольжения равен f). С какой минимальной по величине силой F следует прижать к шару брусок высоты h, чтобы шар оторвался от пола? 45. Между неподвижными телами А иВ установлены два клина 1 и 2. Грани клина 1 и поверхность тела А гладкие. Верти- кальная грань клина 2 гладкая, а наклон- ная грань и поверхность тела В шерохова- тые. При каком значении коэффициента трения f между поверхностями контакта клина 2 на и тела В наступит момент предельного равновесия, если давить на клин 1 силой Р? Считать, что силы давления клина 2 на тело В распределяются по его поверхности равномерно. Рисунок к задаче 41 Рисунок к задаче 42 Рисунок к задаче 44 Рисунок к задаче 45 Рисунок к задаче 43
- 14. 1 4 46. Всистеме, состоящей из n балок, каждая из последующих опирается ле- вым концом на предыдущую балку, а правым — на шарнирно-неподвижную опору. К каждой балке приложена сила Р в середине пролета L. Определить реакцию опоры А. 47.Системасосто- ит из п одинаковых горизонтальных стерж- ней весом Р каждый, укрепленных при помощи тросов. Найти натяжение троса А1 К, если C1 B1 /A1 B1 = C2 B2 /A2 B2 = … = = Cn Bn /An Bn = 1 /4 . 48.Нателодействуюттрисилы: ,1 kPP ,2 iPP ,3 jPP при- ложенные в точках A1 (a, 0, 0), А2 (0, b, 0), А3 (0, 0, с) соответ- ственно. Какой должна быть за- висимость между а, b и с, чтобы система сил приводилась к равно- действующей? 49. Гладкие однородные бруски оди- накового веса и длины уложены один на другой так, как показано на рисунке. Найти такую максимальную длину L (как функцию от числа n брусков), чтобы система n брусков оставалась в состоянии покоя. 50. Шарнирная опора А балки не закреплена, а установлена на шероховатую плоскость с коэффициентом трения f. Шарнир- но-подвижная опора В расположена на наклонной плоскости под углом 45° к горизонтали. Определить точку приложения силы Р (абсциссу x), при которой возможно смещение опоры А. Вес балки 2Р. Чему должны равняться f и х для того, чтобы в предельном равновесии бал- ки вертикальные составляющие реакций опор А и В были одинаковыми? Рисунок к задаче 46 Рисунок к задаче 47 Рисунок к задаче 48 Рисунок к задаче 49 Рисунок к задаче 50
- 15. 1 5 51. Плоскаясистема состоит из однород- ного стержня ОА длиной а и весом Q и груза М весом Р, соединенных нитью АВМ длиной l. Найти уравнение кривой ВМС в координа- тах r и (r = ВМ), чтобы при любом угле < система находилась в равновесии; ОА = ОВ; l = .2a Трением пренебречь. 52. Тонкий однородный стержень АВ ве- сом Р, который наклонен к горизонту под углом , опирается на неподвижные призмы. Коэффициент трения стержня о призмы f. Какова должна быть длина стержня l, чтобы он находился в равновесии, если СЕ = а, ВС = b? 53. В цилиндрическое отверстие тела А радиусом R = 3r вставлены без натяга шесть цилиндров радиусом r и весом Q каждый. Определить давление цилиндра 4 на стенку отверстия в точке их контакта. Система распо- ложена в вертикальной плоскости. 54. Два клина А и В, коэффициент трения между которыми равен f, могут двигаться без трения в своих направляющих. К клину А приложена сила Р. Какую силу Q нужно приложить к клину В, чтобы клин А двигался равно- мерно в сторону действия силы Р? 55. Груз веса Q привязан к неподвиж- ной опоре тросом, составляющим с гори- зонтом угол , и помещен на призму веса G, наклонная грань которой составляет угол с горизонтом. Определить мини- мальную силу Р, приводящую систему в движение, если угол трения груза о при- зму и призмы о плоскость равен . 56. Из круга вырезали сектор с цент- ральным углом , а из окружности — дугу с таким же центральным углом. Рисунок к задаче 51 Рисунок к задаче 52 Рисунок к задаче 54 Рисунок к задаче 55 Рисунок к задаче 53
- 16. 1 6 Получившиеся телаподвесили на нитях, как указано для первого тела на рисунке. Опреде- лить углы и 1 , образуемые радиусами элементов круга и окружности с вертикалью при равновесии тел. 57. Круглое бревно ве- сом 2Q и радиусом R каса- ется вертикальной стены и удерживается в горизон- тальном положении двумя балками АВ длиной l и горизонтальными тросами ВD. При каком угле натяжение тросов будет наименьшим? Найти также наименьшее натяжение тросов. Весом балок и трением пренебречь; в точке А — шарнир. 58* . На горизонтальной гладкой поверх- ности стоит прямой полый цилиндр радиу- сом а. Внутри цилиндра находятся два шара весами Р1 и Р2 и радиусами r1 и r2 соответственно. Нижний шар лежит на го- ризонтальной плоскости. Определить наи- меньший вес цилиндра, при котором шары его не опрокинут. Толщиной стенок цилин- дра и трением пренебречь. 59. Определить наименьшее значе- ние угла наклона кривошипа к гори- зонту, при котором шатунно-кривошип- ный механизм ОАВ будет находиться в равновесии. Кривошип OA шатун АВ и ползун В имеют одинаковый вес, рав- ный Р. Шатун и криво- шипсчитать однородны- ми стержнями, трением в шарнирах пренебречь. Коэффициент трения между ползуном и горизон- тальной поверхностью f, ОА = АВ = а. 60. Шесть одинаковых однородных стержней весом Р, связанных шарнирно своими концами, образуют правильный шестиугольник, располо- женный в вертикальной плоскости. Нижний стер- Рисунок к задаче 56 Рисунок к задаче 57 А Рисунок к задаче 58 Рисунок к задаче 59 Рисунок к задаче 60 F
- 17. 1 7 жень закрепленв горизонтальном положении. Какую направлен- ную вертикально вверх силу нужно приложить к середине верхнего горизонтального стержня, чтобы система находилась в равновесии? 61. На горизонтальной плоскости стоит абсолютно гладкий цилиндр ди- аметром а и весом Р. В него опускают однородную палочку АВ длиной 2l и весом Q, которая занимает положение равновесия под углом к горизонту. Найти угол и наименьший вес Q0 палочки, при котором она в состоянии опрокинуть цилиндр, а также реакции в точках А и С в начальный момент опрокидывания. Указать соотношение между а и l, при котором возможно равновесие палочки. Толщиной стенок цилиндра пренебречь. 62. Раскатится ли система из восьми одинаковых труб? Трение не учитывать. Опреде- лить реакции опор, действующие на трубу 1. 63. Два груза C и D весом Р каждый с помощью невесомых блоков одинакового радиуса, веревок и балки АВ приведены в состояние равновесия, при- чем балка расположена горизонтально. Опреде- лить усилие в ветви 1 веревки, если все ветви вертикальны, а ось блока с неподвижным центром и точка подвеса груза D лежат на одной вертикали. 64. Два однородных стержня ОА и ОС длиной l, весом Р и длиной 2l, весом 2Р соответственно соединены шарниром А. Стержень ОА укреплен шарнирно, а стержень АС опи- рается на острие В. Определить, при каком угле система находится в равно- весии в вертикальной плоскости, если расстояние ОВ = l (отрезок ОВ располо- жен в горизонтальной плоскости). Рисунок к задаче 61 Рисунок к задаче 62 Рисунок к задаче 63 Рисунок к задаче 64
- 18. 1 8 65. Одинаковыеоднородные стержни АВ и ВС длиной l соединены цилиндри- ческим шарниром, на оси которого ук- реплен невесомый ползун В. Стержни опираются в точках А и С на вертикаль- ные гладкие стенки, расположенные на расстоянии а друг от друга (а < l). Ползун может скользить по шероховато- му горизонтальному полу с коэффици- ентом трения f. При каком соотношении между а и l эта система будет находиться в равновесии в любом положении ползуна на плоскости? 66. Два однородных стержня ОА дли- ной а, весом Р и АС длиной b, весом Q соединены шарниром А и находятся в вертикальной плоскости. Стержень ОА укреплен шарнирно, а стержень АС про- ходит через гладкую муфту В. Опреде- лить уравновешивающий момент М, удерживающий стержень ОА в гори- зонтальном положении под углом к стержню АС. 67. Рукоятка катка, шарнирно соединен- ная с его осью, опирается своим концом А на вертикальную гладкую стенку. Вес рукоятки равен Р, ее длина L, вес катка также равен Р, его радиус r. В точке В к катку приложена горизонтальная сила Q = 2Р. При каком угле возможно равновесие системы, если коэф- фициент трения скольжения между катком и горизонтальной плоскостью равен f, a коэффициент трения качения равен . 68. Тонкий однородный стержень длиной 2r опирается на шероховатый диск радиуса r и удерживается в равно- весии невесомой нитью длины r. Опре- делить координаты точки С прикрепле- ния нити, если угол наклона стержня с Рисунок к задаче 65 Рисунок к задаче 66 Рисунок к задаче 67 Рисунок к задаче 68
- 19. 1 9 горизонталью равен и нить составляет с вертикалью также угол . Трением в шарнире О пренебречь. 69* . Цилиндр весом P опирается на верти- кальную стенку и параллелепипед таким же весом. Радиус цилиндра r и размеры паралле- лепипеда a и h заданы. Коэффициент трения между параллелепипедом и горизонтальной плоскостью f. Каким условиям должно удов- летворять расстояние b между центром ци- линдра C и параллелепипедом для того, что- бы система находилась в равновесии? Трени- ем в точках контакта цилиндра со стенкой и параллелепипедом пренебречь. 70* . Каким должен быть коэффициент тре- ния скольжения f2 в подвижной опоре А, чтобы четверть круглого диска удерживалась в равновесии в указанном положении? Коэф- фициент трения скольжения о стенку равен f1 . Тело расположено в вертикальной плоско- сти. 71* . В пятизвенном механизме к звену 5, представляющему собой равностороннийтреугольникBCD, приложена сила .P Определить величину уравновешивающего мо- мента M1 и деформацию пружины при заданном коэффициенте упру- гости с. Известно, что длины стер- жней 1, 2, 4 одинаковы и равны l, KB = KС = l/2; OA, CF, P перпендикуляр- ны BD. 72* . Однородная тяжелая балка весом Р одним концом закреплена в неподвижном шар- нире О, а другим опирается на однородный цилиндр равного с ней веса. Определить, при каком значении угла может начаться качение цилиндрабезскольжения,еслиизвестенрадиус R и коэффициент трения качения k. Между балкой и цилиндром трение не учитывать. Рисунок к задаче 69 Рисунок к задаче 70 Рисунок к задаче 71 Рисунок к задаче 72
- 20. 2 0 73* . Двебалки О1 A и АВ весом Р1 и Р2 расположены в вертикальной плоскости и удерживаются стержнем О2 В и шарниром О1 . Определить силу упругости пружины, если указанное положение является поло- жением равновесия. Точки А, О1 , О2 лежат на одной прямой, О1 А = ОО1 , О2 ВА = 90°, О1 D параллельно АВ. 74* . Однородный стержень AB длиной l и весом Р1 опирается на шероховатую стену (коэффициент трения стержня о стену f), образуя с ней угол , и соединен с катком радиусом r и весом Р2 в точке В цилиндри- ческим шарниром. Определить уравнове- шивающую силу Q, учитывая трение каче- ния катка о шероховатый пол. Коэффици- ент трения качения равен . 75* . Две пластины с одинаковым весом Р — прямоугольная ADKB и полукруглая AFB радиусом R — сварены под углом и закреплены в точке А шаровым шарниром, а в точке В цилиндрическим. К полу- круглой пластине приложена пара сил (Q1 , Q2 ). Система удерживается в равновесии грузом G. Нить DE расположена в вертикальной плос- кости xAz и привязана к пластине под углом . Стороны прямоугольника AB = 2R, AD = а. Определить величину груза G и давление пластин на опоры А и В. 76* . На двух наклоненных под углом в 45° к горизонту плоскостях лежат три куба весом Q каждый. Дан угол трения между всеми соприкасающимися плоскостями. Какой минимальной вертикальной силой Р можно поднять нижний куб? 77* . Цилиндр радиусом r и весом 2Q разрезан на две части, которые опираются Рисунок к задаче 73 Рисунок к задаче 74 Рисунок к задаче 75 Рисунок к задаче 76
- 21. 2 1 на гладкуюплоскость. Угол известен. Найти при равновесии: 1) коэффициент трения; 2) реакции опор А и В; 3) давле- ния между цилиндрами. 78. Колесо снабжено тормозом ВС, который шарнирно закреплен в точке В на той же горизонтальной раме, что и ось А колеса. Растянутая пружина прижи- мает колодку С к ободу колеса так, что угол АВС равен . При вращении колеса по часовой стрелке сила трения, создава- емая колодкой тормоза, равна F1 . Коэф- фициент трения между колодкой и обо- дом равен f. Найти силу трения при вращении колеса против часовой стрелки. 79. Два полушара с радиусами r и r1 и плотностями и 1 будучи сложены осно- ваниями, находятся в равновесии в поло- жении, указанном на чертеже. Опреде- лить наименьший коэффициент трения f, при котором это может иметь место. Центр тяжести полушара расположен на расстоянии 3r/8 от центра О. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Задача 12. Два диска с радиусами R и r, расположенные в горизонтальной плоскости, стянуты упругой нитью жесткостью с (рис. 12.1). Диски давят друг на друга с силами, равными Q. Как изменится длина нити, если ее перерезать? Трение не учиты- вать. Решение. Когда нить охватывает диски, она растянута, следовательно, возникает упругая сила Fyпp = с, где — деформация нити, равная ее растяжению. Величина силы упругости влияет на взаимное давление дисков. Рассмотрим равновесие одного из них (рис. 12.2). Без учета сил трения натяжение нити (сила упруго- сти) во всех ее точках одинаково: F1 = F2 = F = c, где — то Рисунок к задаче 79 A B Рисунок к задаче 77 O2 r O1 Рисунок к задаче 78 C A B Рис. 12.1
- 22. 2 2 расстояние, накотороеизменится длинанити. При равновесии ,021 QFF Fix = 2Fcos – Q = 0. Угол зависит от величины R. Найдем cos (рис. 12.3): ,sin rR rR . 2 sin1cos 2 rR Rr Уравнение (1) принимает вид: .0 2 2 Q rR Rr c Отсюда изменение длины нити. . 4 Rr rR Ql Задача 24. Механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, состоит из двух зубчатых колес и стержней, связан- ных между собой и с зубчатыми колесами шарнирами (рис. 24.1). Считая связи идеальными, определить величину силы F, уравновешивающей дей- ствие известного момента М. Радиус лево- го колеса R. Решение. Cпособ 1-й. Рассмотрим си- стему по частям. Вначале свяжем силу F с силой S2 (рис. 24.2), а затем S2 с моментом М. Узел D находится в равновесии под дей- ствием системы сходящихся сил: .021 SSF .030cos2 FSFix (1) . 30cos 2 F S .030sin 12 SSFiy (2) Рис. 12.2 Рис. 12.3 Рис. 24.1 Рис. 24.2
- 23. 2 3 .30tg 30cos 30sin 1 F F S Рассмотрим равновесие левого колеса (рис. 24.3). Внутренние силы S2 = S2 , .0)( 2 QRMRSFm iA (3) Для правого колеса (рис. 24.4) Q = Q, N = N, S1 = S1 — внутренние силы системы, ,0)( 1 QrrSFm ib следовательно, S1 = = Q. Тогда, решая совместно уравнения (1)– (3), получим RSMRS 12 .030tg 30cos FRMR F Отсюда . 3 R M F Способ 2-й. Применим принцип возмож- ных перемещений. Придадим системе воз- можное перемещение: .01 DSFM Поскольку связи в системе стационарные, возможные перемещения можно связать через скорости точек (рис. 24.5), получив уравне- ние возможных мощностей .01 DVFM Учитывая свойства скалярного про- изведения, запишем М1 – FVDx = 0. Выразим VDx через 1 , используя тео- рему сложения скоростей в плоскопа- раллельном движении звеньев ED и DK (рис. 24.6): .0 DKKDEED VVVVV (4) По величине скорости точек Е и К равны: VF = VK , VK = 1 R. Спроециру- ем равенство (4) на оси х и у и выразим искомую величину: VDx = VE cos30° – VDE cos60°, VDy = VE sin30° – VDE sin60° = VK . ,30sin 60sin 1 ERDE VVV Рис. 24.3 Рис. 24.4 Рис. 24.5 Рис. 24.6
- 24. 2 4 .30sin 60sin 60cos 30cos EKEDx VVVV Подставим значение скорости 3 1R VDx в уравнение возмож- ных мощностей: .0 3 1 1 R FM Окончательно получим . 3 R M F Этот метод требует особой догадки при определении VDx , что предполагает умение работать с векторными уравнени- ями. Задача 44. Гладкий шар радиусом R весом Р, касаясь вертикальной стены, по- коится на шероховатом горизонтальном полу (коэффициент трения скольжения равен f). С какой минимальной по величи- не силой F следует прижать к шару брусок высоты h, чтобы шар оторвался от пола? Решение. Рассмотрим равновесие шара в момент, когда он оторвался от пола: Y = Nsin – P = 0, N = P/sin. Рассмотрим равновесие бруска (весом бруска пренебрегаем): X = F – Fтр – Ncos = 0. Y = N1 Nsin, следовательно, Fтр = fN1 = fNsin и F = Fтр + Ncos = P(f + ctg). Здесь sin = (R – h)/R, ,)(1cos 22 hRRR ,1 )( ctg 2 2 hR R .)2( hRhRhfPF F N h Fтр N1 Q PN
- 25. 2 5 Задача 58.На гладкой горизонтальной плоскости стоит открытый с обеих сторон полый прямоугольный цилиндр с радиусом а. Внутри цилиндра находятся два шара весом Р1 и Р2 с радиусами, соответственно равными r1 и r2 . При этом нижний шар лежит на плоскости. Пренебрегая трением, опреде- лить минимальный вес Q, при котором ци- линдр не опрокинется. Решение. Рассмотрим равновесие ци- линдр (без шаров) в критический мо- мент, когда Q = Qmin (RE = 0): Mc = N1 AC – N2 r2 – Qmin a = 0. Отсюда: Qmin = (N1 AC – N2 r2 )/a. Рассмотрим равновесие системы из двух шаров: MD = –N1 AC + N2 r2 + + P1 (2a – r1 – r2 ) = 0. Отсюда N1 AC + N2 r2 = P1 (2a – r1 – r2 ). Тогда Qmin = (2 – (r1 + r2 )а)/P1 . Задача 69. Цилиндр весом Р опирается на вертикальную стенку и параллелепипед такого же веса. Радиус цилиндра r и размеры параллелепипеда а и b заданы. Коэффи- циент трения между параллелепипедом и гори- зонтальной плоскостью f. Каким условиям долж- но удовлетворять расстояние b между центром цилиндра С и параллелепипедом для того, чтобы система находилась в равновесии? Трением в точках контакта цилиндра со стенкой и паралле- лепипедом пренебречь. Решение. 1. Условие отсутствия скольжения параллелепипеда. а а r1 r2 Q С Е N1 N2 RС RЕ А В A RD N1 B N2 P1 P2 C D
- 26. 2 6 Рассмотрим равновесиецилиндра. Из условия равновесия сил на ось Y получа- ем (рис. 69.1) Rsin = P. (1) Предельное состояние, при котором проскальзывание параллелепипедаотсут- ствует, показано на рис. 69.2. При этом сила трения Fтр имеет наи- большее значение и равна fN, где N — нормальная реакция. Условия равновесия параллелепипе- да: Fx = 0; Rcos – fN = 0, Fy = 0; N – P – Rsin = 0. (2) Из уравнений (1) и (2) находим 2fsin = cos; ,cos r b .sin 22 r br .2 22 r b r br f Отсюда находим . 41 2 2 f fr b 2. Условие отсутствия опрокидывания параллелепипеда. При опрокидывании параллелепипеда реакция опоры нахо- дится в точке A (рис. 69.3). Опрокидывание исключено, если сумма моментов всех сил вокруг точки A равна нулю: mA (F) = Rcosh – Rsina – Pa/2 = 0. Отсюда находим с учетом (1). . 94 3 22 ah ar b Ответ: , 41 2 2 f fr b . 94 3 22 ah ar b Рис. 69.1 y xF С r Р R b FС Р R Рис. 69.2 x yR N Fтр P x yR А P XА YА а h Рис. 69.3
- 27. 2 7 Задача 70.Каким должен быть коэффициент трения скольжения f2 в подвижной опоре А, чтобы четверть круглого диска удерживалась в равновесии в указанном положении (рис. 70.1)? Коэффициент трения скольжения о стену равен f1 . Тело расположено в вертикальной плоскости. Решение. Рассмотрим равновесие четверти круга под действием веса Р и реакций в точках А и В, которые разложены на нормальные составляющие NA , NB и силы трения FA , FB (рис. 70.2). Возьмем предельный случай, когда силы трения достигают максимальных значений, что дает нам право использовать формулу Кулона: FB = f1 NB , FA = f2 NA . Имеем произвольную плоскую сис- тему сил, для которой можно составить три уравнения равновесия.Неизвестных также три: NA , NB и f2 . Вес Р и радиус r также неизвестны, но они в дальнейшем сократятся. Вначале, конечно, нужно найти положение центра тяже- сти сектора: .2 3 4 43 4sin2 rr AC Запишем уравнения равновесия полукруга: Fix = NB – FA = NB – f2 NA = 0. (1) .0 2 2 2 3 4 2 2 1 rNf r PrFACPFm BBiB (2) .0 2 2 2 3 4 2 2 r rPrNACrPrNFm BAiB (3) Из (2) , 3 4 1f PNB из (3) . 3 4 1 PNA Подставив эти значения в (1), найдем . 3 4 1 3 4 2 1 Pf f P Так как Р 0, то . 74,0 43 4 11 2 ff f Рис. 70.1 Рис. 70.2
- 28. 2 8 Получили минимальноезначение коэффициента трения f2 , обеспечивающего равновесие. При большем значении f2 равнове- сие будет заведомо обеспечено. Чаще всего в этой задаче бывают ошибки при определении положения центра тяжести, на что следует обратить внимание. Задача 71. В пятизвенном механизме к звену 5, представляющему собой рав- носторонний треугольник BCD, прило- жена сила Р (рис. 71.1). Определить величину уравновешивающего момента M1 и деформацию пружины при задан- ном коэффициенте упругости с. Извест- но, что длины стержней 1, 2, 4 одинако- вы и равны l, KB = КС = l/2; OA, CF, P перпендикулярны BD. Решение. В этой задаче следует сразу обратить внимание на то, что конструкция стержневая и силы тяжести стержней не учитываются. Треугольник BCD неизменяемый, и его можно рассматривать как отдельное твердое тело. На стержень 1 действует момент М1 . Усилия в стержнях 2 и 4, нагруженных только по концам, идут вдоль стержней. Остается выяснить, какая сила будет действовать на стер- жень 2 со стороны стержня 1 в точке А. Приложенный момент Мх пары сил может быть уравновешен только парой сил. Пара сил, действу- ющая в обратную сторону, образуется реакциями в точках О и А (рис. 71.2): .,1 lFOAFFFmM n Отсюда F = M1 /l. Сила, действующая на стержень 2, направлена в другую сторону: FF (действие равно противодействию). Это усилие передается на треугольник BCD. Рассмотрим его равновесие, предполо- жив, что сила упругости Fy идет по пру- жине вверх (рис. 71.3). Для системы про- извольно расположенных на плоскости Рис. 71.1 Рис. 71.2 Рис. 71.3
- 29. 2 9 сил имеемтри уравнения равновесия и три неизвестных: F, Fy , S. Fix = F + Fy cos30° = 0. (1) 30cos30sin 2 Fl l PFm ic .0 2 1 sin30coscos yy FlF (2) Момент силы Fy найден по теореме Вариньона. И з ( 2) . 30sin2 P Fy С другой стороны, Fv = с. Отсюда . 30sin2 c P Из (1), учитывая, что F = M1 /L, получим 30cos30cos 1 l MF Fy (сила направлена в другую сторону) , 30cos30sin2 1 l MP .30ctg 2 1 a PM Задача 72. Однородная тяжелая балка весом Р одним концом закреплена в непод- вижном шарнире О, а другим опирается на однородный цилиндр равного с ней веса (рис. 72.1). Определить, при каком значе- нии угла может начаться качение цилинд- ра без скольжения, если известен радиус R и коэффициент трения качения k. Между балкой и цилиндром трение не учитывать. Решение. Рассмотрим силы, приложенные к каждому телу в отдельности, и определим, сколько же неизвестных в данной задаче. При этом выберем оптимальное число уравнений, необходимое для определения угла . К тому и другому телу приложена произ- вольная плоская система сил (рис. 72.2, 72.3). Следовательно, имеет место шесть уравнений равновесия и шесть неизвестных: ,, 00 YX , .,, тр1 FNN Заметим, что .1NN Для балки составим уравнение: Рис. 72.1 Рис. 72.2
- 30. 3 0 .0sin 2 Nl l PFm iO Отсюда .sin 2 P N (1) От величины N зависят N1 , Fтр , Mc . Перейдем к другому телу. Для цилиндра Fiy = N – P – Nsin = 0, .sin 2 sin 2 1 P PNPN (2) iB Fm Mc – NRcos = 0. (3) В эти уравнения не входит неизвестная сила Fтр . Учитывая, что Mc = kN1 , из (3) kN1 – NRcos = 0. Подставим сюда значения N и N1 из уравнений (1) и (2): .0cossin 2 sin 2 2 R P k P P Так как Р 0, то получаем уравнение для определения угла : ,0sin1sin 2 sin 2 22 Rk k .sin1sin 2 sin 2 22 Rk k Возведем обе части этого уравнения в квадрат: .sin1sin 4 sin 4 sin 22 2 4 2 222 Rk kk Обозначим sin2 = z, тогда уравнение примет вид: ,0 44 2 2 22 22 kz R kz Rk или .044 222222 kzRkzRk Отсюда 22 22222222 2,1 2 4444 Rk kRkRkRk z и . 2 244 sin 22 22422 2 Rk RkRkR Это ответ на поставленный вопрос. Дальнейшее исследование этого уравнения не предполагалось. Рис. 72.3
- 31. 3 1 Задача 73.Две балки О1 A и АВ весом Р1 и Р2 расположены в вертикальной плоскости и удерживаются стержнем О2 В и шар- ниром О1 (рис. 73.1). Определить силу упругости пружины, если указанное положение является положением равновесия. Точки А, О1 , О2 лежат на одной прямой, О1 А = ОО1 , О2 ВА = 90°, О1 D парал- лельно АВ. Решение. Эту задачу интересно решить двумя способами: уравнениями статики и при- меняя принцип возможных перемещений. Отметим, что в реальной конструкции шарнир- ные соединения позволяют перестраиваться механизму при перемене нагрузки. 1. Запишем уравнения статики. Здесь интере- сен такой ход: реакцию в точке А разложить по балке О1 А и перпендикулярно к ней (рис. 73.2): ,0cos2 11 PRFm iO .cos 2 1 1 P R (1) Теперь R1 нужно связать с силой упругости (рис. 73.3): .0 sin 2 ctg 12упр b RbPbFFm iO (2) Учитывая (1) и то, что b 0, получим ,0 sin 2 cos 2 ctg 1 2упр P PF или Fупр = (P1 + P2 )ctg — ответ. 2. Применим принцип возможных пере- мещений: ,0 iFA где iF —активные силы. Конструкция — шарнирный четырех- звенник, к которому приложены активные силы Р1 , Р2 , Fyпp . Придадим системе возможное перемещение (рис. 73.4). Перемещения всех точек системы можно выразить через одно, так как система имеет одну степень свободы. Заме- тим, что у звена АВ виртуальный мгновенный центр скоростей будет в точке О2 . Рис. 73.1 Рис. 73.2 Рис. 73.3
- 32. 3 2 Fупр sK – P1 sD sin– P2 cossE = 0. (3) Выразим перемещение через sA : sB = sD cos = sA cos(90° – ). Уравнения связи: sB = sA sin, ,sin 22 AB K ss s , cos sin AD ss sE = sA /2. Подставим в уравнение (3) найден- ные выражения: ,0cos 2 sin cos sin sin 2 21упр A A A s PsP s F или Fупр – 2P1 tg – P2 cos ctg = 0. Учитывая, что , 2 ctg 2 2 tg BO AB получаем тот же ответ Fупр = (P1 + P2 )ctg. Задача 74. Однородный стержень AB длиной l и весом Р1 опирается на шерохо- ватую стену (коэффициент трения скольже- ния стержня о стену f), образуя с ней угол , и соединен с катком радиусом r и весом Р2 в точке В цилиндрическим шарниром (рис. 74.1). Определить уравновешивающую силу Q, учитывая трение качения катка о шероховатый пол. Коэффициент трения ка- чения равен . Решение. В этой задаче необходимо определить уравновеши- вающую силу Q. Какова она? Из каких условий ее определять? Мысленно проведем эксперимент. Приложим маленькую силу, тогда система начнет откатываться вправо. Чтобы остановить ее, будем увеличивать силу Q. При каком-то ее значении система остановится. При дальнейшем увеличении силы Q система будет оставаться в равновесии до определенного момента, пока сила не достигнет максимума и система не начнет двигаться в обратном направлении. Отсюда делаем вывод: уравновешивающая сила Q лежит в интервале Qmin Q Qmax . Определим значения Qmin и Qmax . Рис. 73.4 Рис. 74.1
- 33. 3 3 На рис.74.1 изображены силы Qmin , FA и FD — силы трения скольжения, Мс — момент сопротивления качению. Поскольку система находится в предельном состоянии, мы вправе записать FA = fNA , чего нельзя сказать о силе трения скольжения FD в точке D (ничего не говорится о проскальзывании колеса). Будем считать, что колесо начинает катиться без скольжения, Мс = ND . Для определения Qmin составим уравнения равновесия для сил, приложенных к системе «стержень — каток»: sin 2 1min l PrQMFm ciD – NA (r + lcos) – FA lsin = 0, (1) Fiy = FA – P1 – P2 + ND = 0. (2) Так как неизвестных три, то третье уравнение запишем для сил, приложенных к стержню (см. рис. 74.2): .0sincossin 2 1 lFlN l PFm AAiB (3) Перепишем и решим уравнения с учетом значений FA = fNA и Мс = ND sin 2 1min l PrQNFm DiD – NA (r + lcos) – fNA lsin = 0, (1) Fiy = fNA – P1 – P2 + ND = 0, (2) .0sincossin 2 1 lfNlN l PFm AAiB (3) Из (3) найдем NA , из (2) выразим ND и из (1) определим Qmin : . cossin2 sin 1 21 1 min PP rf P r f Q При определении Qmax силы трения сменят свое направление и, следовательно, в уравнениях изменятся знаки. Тогда . sincos2 sin 1 21 1 max PP rf P r f Q Эту задачу можно решить, применяя принцип возможных перемещений. Задача 75. Две пластины одинаковым весом Р — прямоуголь- ная ADKB и полукруглая AFB радиуса R — сварены под углом Рис. 74.2
- 34. 3 4 изакреплены в точке А шаровым шарниром, а в точке В цилиндрическим (см. нижеприведенную схему). К полукруглой пластине приложена пара сил (Q1 , Q2 ). Система удерживается в равновесии грузом G. Нить DE расположена в вертикальной плоскости xAz и привязана к пластине под углом . Стороны прямоугольника AB = 2R, AD = a. Определить величину груза G и давление пластин на опоры А и В. Решение. Эта задача не должна вызватьбольшихзатруднений,если Вы умеете определять положение центра тяжести сектора и опериро- вать парой сил в пространстве. Рассмотрим равновесие сварной конструкции, приложивк ней силы P1 , P2 — веса пластин, вектор момента пары сил M(Q1 , Q2 ), на- правленный перпендикулярно пла- стине 2, натяжение троса Т, численно равное весу G, реакции в шаровой опоре A (XA , YA , ZA ) и цилиндрическом шарнире В (XB , YB ). Имеем произвольную пространственную систему сил. Соста- вим для нее шесть уравнений равновесия. Неизвестных также шесть — это XA , YA , ZA , XB , ZB , :Т Fix = XA + XB – Tsin = 0. (1) Fiy = YA = 0. (2) Fiz = ZA + ZB – Tcos – P1 – P2 = 0. (3) .02cos21 RZMRPRPFm Bix (4) .0sinsin 2 OCPTFm iy (5) .02sin RXMFm Biz (6) Из этих уравнений, с учетом того, что 3 4 23 90sin2 2 RR OC и M = QR, получаем: из (2) YA = 0, из (6) ,sin 2 Q XB
- 35. 3 5 из (5), sin3 sin4 P a R T из (4) ,cos 2 Q PZB из (1) ,sin 23 4 Q P R XA из (3) .ctgsin 3 4 cos 2 R P Q PZA Давления на опоры, которые следовало определить, будут равны реакциям, но направлены они в другую сторону. Задача 76. На двух наклоненных под углом в 45° к горизонту плоскостях лежат три куба весом Q каждый. Дан угол трения между всеми соприкасающими- ся плоскостями. Какой минимальнойвер- тикальной силой Р можно поднять ниж- ний куб? Решение. В момент начала движения сила трения достигает, наибольшего зна- чения и неравенства, которые связывают эти силы с нормальными реакциями, об- ращаются в равенства. На средний куб действуют: сила Р, вес куба Q, две реак- ции N боковых кубов и две силы трения F = Ntg (рис. 76.1). Составляя уравне- ние проекций на вертикаль, получаем P = Q + N(1 + tg) .2 Для определения реакции N рассматриваем условие равнове- сия бокового куба (рис. 76.2). На него, кроме собственного веса, действуют две нормальные реакции N и N и две силы трения F = = Ntg, F = Ntg. Составляя уравнение проекций на наклонную плоскость и перпендикуляр к ней, получаем: ,0tg' 2 2 NQN .0tg 2 2 NQN Откуда определяем N: Рис. 76 Рис. 76.1 Рис. 76.2
- 36. 3 6 , tg1 tg1 2 2 2 QN азатем и Р: P = Q(2 + sin2). Задача 77. Цилиндр радиусом r и весом 2Q разрезан на две части, которые опираются на гладкую плоскость. Угол известен. Найти при равновесии: 1) коэффициент трения; 2) реакции опор А и В; 3) давления между цилиндрами. Решение. Рассмотрим равновесие одной части цилиндра (рис. 77.1). Реакция отброшенной правой части N равна давлению между цилиндрами, сила трения Fтр = fN. Уравнения рав- новесия: X = Fтр – Q/2sin+ Rasin= 0. (1) Y = N – Q/2cos+ Racos= 0. (2) MА = 0, (не требуется). На конструкцию из двух частей цилиндра действует система параллельных сил Ra, Rb, Q/2 (рис. 77.2). Уравнение равнове- сия: Y = 0, Ra + Rb – Q = 0, (3) MА = 0, RbAB – (Q/2)h1 – – (Q/2)h2 = 0. AB = BO2 /tg= r/tg, h1 = rcos – (4r/3)sin, O1 C1 = O2 C2 = 4r/3, h2 = AB + (4r/3)sin. Из уравнений найдем Rb = Q/2(1 + sin), Ra = Q/2(1 – sin), N = Q/2sincos, f = Fтр /N = tg. Рис. 77 A B O2 r r O1 Рис. 77.1 Y Ra N X Fтр С1 O1 A Q/2 Рис. 77.2 Y h2 h1 O2 X C1 C2 h1 O1 Q/2 Q/2 Ra Rb
- 37. 3 7 Библиографический список 1.Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М.: Наука, 1986. 520 с. 2. Сборник задач по теоретической механике / Под ред. К.С. Колесникова. М.: Наука,1983. 320 с. 3. Сборник задач по теоретической механике / Под ред. Н.А. Бражничен- ко. М.: Высш. шк., 1974. 520 с. 4. Попов В.И., Тышкевич В.А., Шумский М.П. Сборник олимпиадных задач по теоретической механике. Ч. 1. Тамбов: ТИХМА, 1992. 100 с. 5. Березина С.Г., Пушкарев А.Э. Задачи олимпиад Удмуртии по теорети- ческой механике 2000–2004 гг. с ответами и решениями. Ижевск, 2005. 80 с.
- 38. 3 8 ОТВЕТЫ КЗАДАЧАМ 1. tg/2 f. 2. = (Mвр cos2 )/(ca). 3. f Q/(P + 2Q). 4. Ya = –(P + + Q)tg/2. 5. M2min = (aM1 )/(asin2 + frcos). 6. M = (Pl)/((cos + + fsin)cos). 7. S = P/2. 8. max = 2arctgf, fQmin = fQ1 /(Q1 + Q2 ). 9. mx = = m1 A1 /R1 + m2 A2 /R2 ; my = m1 B1 /R1 + m1 B1 /R2 ; mz = m1 C1 /R1 + m2 C2 /R2 , где R1 = ;2 1 2 1 2 1 CBA R2 = .2 2 2 2 2 2 CBA Здесь принято, что векторы m1 , m2 направлены в сторону нормалей соответствующих плоскостей (вверх). 10. = arctg( 3 /9). 11. DQ(sin– cos/R)/d < P < DQ(sin + cos/R)/d. 12. l = Q(R + r)/(4c Rr ). 13. Векторы MO , MA , MB составляют с плоскостью XOY одинаковые углы = arccos(V 22 ba /2m). 14. Fmin = = P/3 .2 15. F min[f2 P2 /(cos – f2 sin), f1 (P1 + P2 )/(cos – f1 sin)]. 16. M2 /M1 = (b2 – a2 )/(b2 + a2 ). 17. f tg(/2). 18. = 2 – /2 равновесие неустойчивое. 19. Часть эллипса x2 /a2 + (y – a/2)2 /(a/2)2 = 1. 0 x a, 0 y a/2. 20. tg = (P1 – P2 )(1 + f2 )/((P1 + P2 )(1 – f2 )) – 2f/(1 – f2 ). 21. M2 = Pl, RC = 2P/ ,3 RD = P ,313 RE = 0. 22. P = bQ/(b – 2f0 y). 23. Q = = M 2 /3l. 24. F = M 3 /R. 25. f r/l, G2 G1 (Lr/l)(fl – r)/(l2 + r2 ). 26. SA = 5F/c. 27. N2 = 2P – 36Pl/25r. 28. R = 5M/l. 29. tgk = 2Q/(P/(2 (n – – k) + 1)). 30. 00 RM — система не приводится к равнодействующей, RXZ = .22 hMM OA 31. b 6Rf/ ,91 2 f b 4Ra/ .4 22 ha 32. c = = mg 2 /l. 33. T = Mg/ .6 34. R = 4F. 35. f 3 /3. 36. fmin = 0,4. 37. amin = h/2f, Pmin 0. 38. Pmin = Gcos/(sin + 2fcos), Pmax = Gcos/(sin – 2fcos). 39. SE = 2,4P, SD = 2,1P, YA = 1,3P, YB = 1,2P, где P — вес балки AD. 40. (–fan2 + b)/(n2 – 1) x (fan2 + b)/(n2 – 1), n > 1, b = a .1222 nnf 41. XA = 0, YA = –14 H, MA = –32 H∙м, RC = 2 H. 42. Расстояние пластины от верхней опоры x = (Pl – mg2 )1 /P(1 + 2 ). 43. nmin = 9. 44. F P(f + + )2( hRh /(R – h)). 45. f = tg. 46. YA = 0,5P(1 – (a/l)n )/(1 – a/l). 47. T = 2P(1 – 1/4n )/3. 48. a + b + c = 0. 49. L = a/2 .)/1( 1 n i i 50. 1) x > (2f – – 1)/(1 + f); 2) f = 1, x = l/2. 51. r = 2a 2 – 4aPcos/Q. 52. l (tg/f + 1)a + + 2b, tg f. 53. N = 4Q. 54. Q = P(sin + fcos/(sin + fcos). 55. Pmin = Gtg + Qcossin(2– )/(coscos(+ – )). 56. tg = (1 – cos)/(3 – 1,5 + sin), tg1 = (1 – cos)/(2– + sin). 57. sin = 0,5; Tmin = 4Qr/l. 58. Qmin = P2 (2a – – r1 – r2 )/a. 59. = arctg(1/4f). 60. F = 3P. 61. cos = ,/3 la NA = Qtg, NC = Q/cos, a l, Q0 = P/2tg2 . 62. Не раскатятся, RA = 1,384P, RB = 2,268P. 63. T1 = P. 64. = arccos((1 + 51 )/10). 65. a/l 4f/ .161 2 f 66. M = Pa/2 + Q(a – bcos3 /2). 67. При f > /r 4(1 – /r) tg 4(1 + /r). При f /r 4(1 – f) tg 4(1 + f). 68. xC = 2rcos3 , yC = rcos(2 – sin2).
- 39. 3 9 69. , 41 2 2 f fr b . 94 3 22 ah ar b 70. . 74,0 43 4 11 2 ff f 71. ,30ctg 2 1 a PM . 30sin2 c P 72. . 2 244 sin 22 22422 2 Rk RkRkR 73. Fупр = (F1 + F2 )ctg. 74. 21 1 cossin2 sin 1 PP rf P r f Q . sincos2 sin 1 21 1 PP rf P r f 75. ,sin 23 4 Q P R XA YA = 0, ,ctgsin 3 4 cos 2 R P Q PZA ,sin 2 Q XB ,cos 2 Q PZB . sin3 sin4 P R T 76. P = Q(2 + sin2). 77. f = tg, Ra = (Q/2)(1 – sin), Rb = = (Q/2)(1 + sin), N = (Q/2)sincos. 78. F = F1 (tg + f)/(tg – f). 79. f (8/3)1 r1 3 (r – r1 )/(r4 – 1 r1 4 ).
- 40. Содержание Введение ....................................................................................................... 3 Условиязадач ............................................................................................... 3 Решение задач .............................................................................................. 21 Библиографический список ............................................................................ 37 Ответы к задачам .......................................................................................... 38 Учебное издание CБОРНИК ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ (СТАТИКА) Составители: Ким Леонид Ильич Зиновьев Владимир Борисович Попов Анатолий Михайлович Редактор М.А. Турбина Компьютерная верстка Ю.В. Борцова Изд. лиц. ЛР № 021277 от 06.04.98. Подписано в печать 02.02.10. 2,5 печ. л. 1,5 уч.-изд. л. Тираж 150 экз. Заказ № 2128 Издательство Сибирского государственного университета путей сообщения 630049, Новосибирск, ул. Д. Ковальчук, 191 Тел./факс: (383) 328-03-81. Е-mail: press@stu.ru