Digital electonic

1. Схемотехника
телекоммуникационных устройств:
Цифровые устройства
Булева алгебра. Минимизация логических выражений.
Преобразование по Де-Моргану. Проектирование
произвольных сложных вентилей
Семинар 2 – 27.09.2016 – I (осенний) семестр 2016/2017 уч. года
cт. преп. каф. ТКС Моленкамп Ксения Михайловна

2. Базовые логические функции
• НЕ (NOT)
• И (AND)
• ИЛИ (OR)

3. Коммутативные функции
A B F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
F1 – операция И
F6 – операция исключающее ИЛИ
F7 – операция ИЛИ
F8 – операция ИЛИ-НЕ
F9 – операция исключающее ИЛИ-НЕ
F14 – операция И-НЕ 3
ТКС-2014

4. Булева алгебра: Основные тождества
A·1 = A
A·0 = 0
A·A = A
A + 1 = 1
A + 0 = A
A + A = A
A·A = 0
A+A = 1
A = A
Доказательство:
A A A·1 A·0 A·А A+1 A+0 A+А A·A A+A A
0 1
1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0
1 0 1 1 1 1 0 1 1

5. Булева алгебра: Основные правила
Закон коммутативности:
A · B = B · A
A + B = B + A
Закон ассоциативности:
ABС = A(BС) = (AB)С
A+B+С = A+(B+С) = (A+B)+С
Закон дистрибутивности:
A (B + С) = AB + АС
A+(BС) = (A+B)(А+С)

6. Положительная и
отрицательная логика
• Как изменятся таблицы истинности
операций «И», «ИЛИ», «НЕ» для
положительной и отрицательной логик?
Положительная: Отрицательная:
лог. 1 +2,5 В
лог. 0 0 В
лог. 1 0 В
лог. 0 +2,5 В

7. Дуальные функции и принцип
дуализма
• В положительной логике:
f = A + BC
• В отрицательной логике:
f = A(B + C)
f = f (A, B, C, …, ·, +, ~, 0, 1)
fд = f (A, B, C, …, +, ·, ~,1, 0)
• Если есть доказанное
равенство:
• f(A,B,C,…,·,+,0,1) =
g(A,B,C,…,+,·,1,0)
• Тогда справедливо и дуальное
ему равенство:
• fд(A,B,C,…,·,+,~,0,1) =
gд(A,B,C,…,+,·,~,1,0)
• Чтобы получить дуальное
равенство необходимо
заменить:
– «И» на «ИЛИ», «ИЛИ» на «И»
– «0» на «1», «1» на «0»

8. Теорема де Моргана
A B A+B AB A+B AB AB A+B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
Доказательство теоремы де Моргана:
AB = A + B
A + B = AB

9. Теорема де Моргана для 3-х и
более переменных
A + B + С= ABС ABC = A + B + C
A+B+С+...= ABС… ABC... = A+B+C+...
f (A, B, C, …, +, ·) = f (A, B, C, …, ·, +)
f (A, B, C, …, +, ·) = f (A, B, C, …, ·, +)

10. Универсальные вентили
«И-НЕ», «ИЛИ-НЕ»
И-НЕ
НЕ A = AA
И AB = (AB) = (AB)(AB)
ИЛИ A + B = AB = (AA)(BB)
ИЛИ-НЕ
НЕ A = A + A
И AB = A+B = (A+A)+(B+B)
ИЛИ A+B = (A+B) = (A+B)+(A+B)

11. Дуализм операторов
«И-НЕ», «ИЛИ-НЕ»
И-НЕ ИЛИ-НЕ
входы выход входы выход
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
1 1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1

12. Цифровые схемы
Схемы на p-транзисторах
 Осуществляет привязку
к «1»
 При подаче на вход
(затвор)
p-транзистора:
– «0», то транзистор –
открыт
– «1», то транзистор –
закрыт
Схемы на n-транзисторах
 Осуществляет привязку
к «0»
 При подаче на вход
(затвор)
n-транзистора:
– «0», то транзистор –
закрыт
– «1», то транзистор –
открыт

13. КМДП-вентиль 2И-НЕ
VA
Vss = 0 В
Vdd = 2,5 В
VB
Vout
• Привязать к «1»,
когда А = 0 ИЛИ B = 0
Fup = A + B
• Привязать к «0»,
когда А = 1 И B = 1
Fdown = A B

14. КМДП-вентиль 2ИЛИ-НЕ
VA
Vss = 0 В
VB
Vout
Vdd = 2,5 В
• Привязать к «1», когда
А=0 И B=0
Fup= A B
• Привязать к «0», когда
А=1 ИЛИ B=1
Fdown= A + B

15. Проектирование вентилей с
произвольной логической функцией F
• Fup = F, Fdown = Fup
• Переменные входящие в выражение для Fup в
схеме подключаются в инверсном виде
• Переменные входящие в выражение для Fdown в
схеме подключаются в прямом виде
• Параллельное соединение транзисторов
соответствует логической операции ИЛИ
• Последовательное соединение транзисторов
соответствует логической операции И

16. Задачи-000
• Каким будет результат операции НЕ над
переменной ¬A?
• Определите результат логического умножения
A·A
• Определите результат логического сложения A +
A
• Докажите тождество A·B·1 = A·B, используя
таблицу истинности

17. Задачи-001
• Каким будет результат операции НЕ над
переменной ¬A?
• Определите результат логического умножения
A·A
• Определите результат логического сложения A +
A
• Докажите тождество A·B·1 = A·B, используя
таблицу истинности

18. Задачи-010
• Найдите функцию, дуальную функции f = A + B(C
+ AD)
• Запишите равенство, дуальное равенству AB +
¬AC + BC = AB + AC (теорема о консенсусе)
• Докажите дуальную форму теоремы де Моргана
для трех переменных, то есть что ¬A¬B¬C = ¬(A
+ B + C)
• Примените теорему де Моргана в общей форме
для функции f = A + B + ¬CD

19. Задачи-011
• Какие свойства функций F2, F3, F4, F5, F10, F11,
F12, и F13, приведенных в таблице. Позволяют
сказать, что они некоммутативны?

20. Задачи-100
• Покажите, как получить функцию ИЛИ-НЕ на основе
вентилей И-НЕ и, наоборот, как на базе вентилей
ИЛИ-НЕ реализовать функцию И-НЕ
• Предположим, что вентиль исключающее ИЛИ с
тремя входами действительно существует и
формирует на выходе 1, когда A = 1 или B = 1, или
C = 1, но если хотя бы две любые переменные
одновременно равны 1, то с выхода снимается 0.
Опишите эту функцию математически

21. Задачи-101
• Какую булеву функцию
реализует КМОП-схема,
приведенная на рисунке

22. Задачи-110
• Что произойдет, если Fup ≠ Fdown?
• Спроектируйте КМОП-схемы, реализующие
следующие функции
– F = A¬B + ¬AC
– F = ABC + ¬A¬C
– F = (A + B)(¬A + ¬C)
• Нарисуйте две альтернативных реализации
логической функции F = A¬BC + ¬BD