Digital electonic

1. Схемотехника
телекоммуникационных устройств:
Цифровые устройства
Проектирование комбинационных схем: Карты
Карно
Семинар 3 – 11.10.2016– I (осенний) семестр 2016/2017 уч. года
cт. преп. каф. ТКС Моленкамп Ксения Михайловна

2. Комбинационные схемы
• Любую комбинационную схему можно
представить в виде выражения булевой алгебры
и наоборот:
• F1 = AB + C
• F2 = AB + C
&
1
F1
A
B
C
&
1
F2
A
B
C
1

3. А можно проще…
• Для этого используется создание логических
функций с использованием карт Карно́
• Карта Карно́ — графический способ минимизации
переключательных (булевых) функций,
обеспечивающий относительную простоту работы с
большими выражениями и устранение
потенциальных гонок
• Карты Карно были изобретены в 1952 Эдвардом В.
Вейчем и усовершенствованы в 1953 Морисом
Карно, физиком из «Bell Labs», и были призваны
помочь упростить цифровые электронные схемы

4. Запись логических выражений
Для записи логических выражений используются
минтермы и макстермы
ABC минтерм № макстерм
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
ABC
ABC
ABC
ABC
ABC
ABC
ABC
ABC
0
1
2
3
4
5
6
7
A+B+C
A+B+C
A+B+C
A+B+C
A+B+C
A+B+C
A+B+C
A+B+C

5. Минимизация логических функций с
помощью карт Карно
BC
A 00 01 11 10
0
1 ABC
ABC ABC ABC ABC
ABC ABC ABC
B
C
A
• Код Грея: 00, 01, 11, 10

6. Минимизация логических функций с
помощью карт Карно
AB
C 00 01 11 10
0
1 ABC
ABC
ABC ABC
ABC ABC
ABC
ABC
A
B
C
• Альтернативный способ обозначения клеток
карты Карно

7. Представление логической функции с
помощью карты Карно
( , , )
f A B C ABC ABC ABC
= + +
BC
A 00 01 11 10
0 1 0 1 0
1 0 1 0 0
B
C
A

8. Алгоритм минимизации логических
функций с помощью карт Карно
1. Заполнить карту Карно
2. Объединить все рядом лежащие «1»-цы
в группы (кубы) наибольшего размера.
Размер куба может быть только 2n, где
n=0,1,2,3…
3. Записать все новые минтермы, соответ-
ствующие выделенным группам (кубам)
4. Записать минимизированную функцию
равную логической сумме полученных
минтермов

9. Порядок заполнения карт Карно
c
0
000
1
001
3
011
2
010
a
4
100
5
101
7
111
6
110
b
d
0
0000
1
0001
3
0011
2
0010
4
0100
5
0101
7
0111
6
0110
a
12
1100
13
1101
15
1111
14
1110
8
1000
9
1001
11
1011
10
1010
c
Карта Карно для
логической функции
с 3-мя переменными
(a, b, c)
Карта Карно для
логической функции
с 4-мя переменными
(a, b, c, d)
b

10. С какой целью группируются «1»?
d
1 0 0 1
0 1 1 0
b
a
0 1 1 1
0 0 0 0
с
ABCD ABCD
+ =
ABCD
( )
ABD C C
= +=
ABD
=
ABCD ABCD ABCD ABCD
+ + + =
( ) ( )
BCD A A BCD A A
+ + + =
BD
( )
BD C C
= + =
BCD BCD
+ =

11. Примеры заполнения и группирования
карт Карно
f1
d
1 1 0 1
0 1 1 0
b
a
0 1 0 1
0 1 0 0
с
f2
d
0 0 0 0
0 1 1 0
b
a
1 1 0 1
1 1 0 0
с
1( , , , ) CD ABD A
f A B C D ABD
BCD
= + + +
2 ( , , , )
f A B C D A
ABD D
AC B
= + +

12. Неполно заданные функции
• Существуют ситуации, когда функция описывает
поведение только от определенных комбинаций
входных переменных
– Предполагается, что некоторые комбинаций никогда
не случаются
• Такие комбинации обозначаются знаком «Х»
• Используя неполно заданные функции можно
минимизировать количество вентилей

13. Неполно заданные функции
f1
d
1 0 0 1
0 1 1 0
b
a
0 1 Х 1
Х 0 0 0
с
1( , , , )
f A B C D A
BD D
ABC B
= + +
BD
ABC
ABD

14. Решение задачи «Минимизация логической функции с
помощью карт Карно»
d
1 0 0 1
0 1 1 0
b
a
0 1 1 1
0 0 0 0
с
A B C D Out
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1

15. d
1 0 0 1
0 1 1 0
b
a
0 1 1 1
0 0 0 0
с
1
F ABC
=
2
F ABD
=
3
F BD
=
Решение задачи «Минимизация логической функции с
помощью карт Карно»
F BD ABC ABD
= + + =
( ) ( ) ( )
BD ABC ABD
= ⋅ ⋅
BD ABC ABD
+ + =

16. Решение задачи «Минимизация логической функции с
помощью карт Карно»
( ) ( ) ( )
F BD ABC ABD
= ⋅ ⋅
F
A
B
D
С

17. Группировка «0»
f d
1 0 0 1
0 1 1 0
b
a
0 1 1 1
0 0 0 0
с
A+B
B+C+D
A+B+D
A+B+D
F BD ABC ABD
= + + =
(A+B)(B+C+D)∙
∙(A+B+D)(A+B+D)