Sa "Arhimedesovog" zimskog seminara.

1. Део образложења курикулума
математике у Сингапуру
«Математика је одлично средство за развој и
унапређење интелектуалних способности
личности, логичког резоновања, просторне
визуализације, аналитичности и апстрактног
мишљења...
Математика је предмет уживања и узбуђења,
која нуди ученицима могућности за креативни
рад и тренутке просветљења и радости...»
Визуализација, проналажање правила,
вербализација.

2. Верижни разломци
Вера Ивковић,
Осма београдска гимназија
Вериге - ланци
....2
1
2
1
2
1
2
1
12
+
+
+
+
+=
......
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+=φ
[ ]23110
2
1
3
1
1
1
1
1
0
16
9
,,,;=
+
+
+
+=

3. Шта је верижни разломак?
Верижни разломак је разломак облика
Где су позитивни цели бројеви, осим
некад .
Правилни верижни разломак је разломак
облика
Краће се записује
...
1
1
1
1
4
3
2
1
0
+
+
+
+
+=
a
a
a
a
ax
,...a,a,a 210
0a
[ ],...a,a,a;ax 3210=
...4
4
3
3
2
2
1
1
0
+
+
+
+
+=
a
b
a
b
a
b
a
b
ax

4. Историја
Први који је увео “степенасто” записивање
разломака је први председник британске
Краљевске академије William Brouncker
(1620-1684.)
...+
+
+
+
+
=
π
2
7
2
5
2
3
2
1
1
1
4
2
2
2
2

5. Први који користи израз “continued fraction”
(непрекидни разломак) је
John Wallis (1616-1703.)

6. И, наравно, Ојлер
(1707-1783.)
...
...
e
+
+
+
+
+
+=
+
+
+
+
+=−
5
4
4
3
3
2
2
1
1
1
1
5
5
4
4
3
3
2
2
11

7. Сриниваса Рамануџан
(1887 -1920.)
[ ],...,,,,,; 1165391322974
=π
( )( )
( )( )
...
e
e
e
e
...
e
e
e
e
+
−
+
−=φ−φ−
+
+
+
+=φ−φ+
π−
π−
π−π
π−
π−
π−π
1
1
1
12
1
1
1
12
3
2
5
6
4
2
5
2

8. Коначни верижни разломак представља
рационалан број.
Нпр.:
13
35
13
9
2
9
13
1
2
9
4
1
1
2
4
9
1
1
1
2
4
1
2
1
1
1
2 ==+=
+
+=
+
+=
+
+
+

9. Задатак 1:
Приказати број као верижни разломак.
Решење:
17
24
3
1
2
1
2
1
1
3
7
1
2
1
1
7
3
2
1
1
7
17
1
1
17
7
1
17
24
+
+
+=
+
+=
+
+=+=+=

10. Негативни бројеви
[ ]6,1,3;2
6
1
1
1
3
1
2
6
7
3
1
2
7
27
1
2
27
7
2
27
61
−=
















+
+
+−=












+
+−=












+−=





+−=−
[ ]6,1,2,1;3
6
1
1
1
2
1
1
1
3
27
20
3
27
61
−=
+
+
+
+−=+−=−

11. Еуклидов алгоритам за НЗД
Верижни разломци се добијају као део
Еуклидовог алгоритма за налажење
највећег заједничког делиоца.
Нпр.: Наћи НЗД за 126 и 38.
012612
212338
12383126
+⋅=
+⋅=
+⋅=
6
1
3
1
3
12
2
3
1
3
12
38
1
3
38
12
3
38
126
+
+=
+
+=+=+=
[ ]633
38
126
,;=

12. Реципрочни бројеви
45 = 2 * 16 + 13
16 = 1 * 13 + 3
13 = 4 * 3 + 1
3 = 3 * 1 + 0
[ ]
[ ]34120
45
16
3412
16
45
,,,;
,,;
=
=

13. Још један начин
Написати у облику верижног разломка 9/16.
[ ]23110
2
1
3
1
1
1
1
1
0
16
9
,,,;=
+
+
+
+=

14. Jош један пример
[ ]234
2
1
3
1
4
48
24
3
1
4
48
168
1
4
168
48
4
168
720
,;=
+
+=
+
+=+=+=

15. Теорема: Између скупа рационалних бројева и
коначних верижних разломака може се успоставити
обострано једнозначно пресликавање.
Доказ: а) Сваки коначни верижни разломак се може
приказати у облику разломка.
б) Сваки разломак се може приказати као коначан
верижни разломак
Где је Након коначно много корака
...
r
r
n
n
r
r
n
n
r
n
n
n
r
n
n
m
=
+
+=
+
+=+=+=
2
1
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
111
....rrrn >>>> 321 1=kr

16. Шта је са ирационалним
бројевима?

17. “Ирационални бројеви су
племенита и сјајна домишљатост
људског духа, нешто као амфибија
између бити и не бити.”
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716.)

18. Задатак 2:
Приказати број као верижни разломак.
Решење:
2
2=x
............
x
+
+
+
+
+=
+
++
++
++
+==
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
11
1
11
1
11
1
12
x
xxxxx
+
+=⇒=+−⇒=−⇒=−
1
1
11)1)(1(1102 22

19. Или
( )2
2525,...25 rr +=⇒+=⇒=
( )2
1212,...12 rr +=⇒+=⇒=
( )
r
r
rrrr
+
=⇒
⇒=+⇒=++
2
1
12221 2
...
2
1
2
1
1
2
1
12 =
+
+
+=
+
+=
r
r
( )
r
rrrrr
+
=⇒=+⇒=++
4
1
14544 2
...
4
1
4
1
2
4
1
25 =
+
+
+=
+
+=
r
r

20. Месопотамија
У Месопотамији су рачунали
што је вредност разломка
12
5
12 =
12
5
1
2
1
2
1
2
1
12 =
+
+
+=

21. Периодични верижни разломци
квадратна ирационалност
Сваки квадратни корен (алгебарски
број другог степена тј. решење једначине,
)је периодични верижни
разломак.
Теорема (Ојлер, Лагранж):
Развој у правилни верижни
разломак броја α је
периодичан ако и само ако је
број α квадратна
ирационалност.
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ],...,,,,,,,;
,...,,,,,,,,,;
,...,,,,,,,,,,,;
,...,,,,,,,;
,...,,,,,,;
,...,,,,,,,;
...,,,,,,;
66666666310
39
414141414128
41114111411127
4242424226
444444425
24
2121212113
222222212
=
=
=
=
=
=
=
=
=
022
=−x

22. А обрнуто?
Израчунати:
Решење:
...1
1
3
1
1
1
3
1
1
1
+
+
+
+
+
2
213
2
213
033
4
3
3
1
1
1
...1
1
3
1
1
1
3
1
1
1
2,1
2
+−
=⇒
±−
=
=−+⇒
+
+
=
+
+
=
+
+
+
+
+
=
xx
xx
x
x
x
x
x

23. Задатак 3:
Приказати број φ (златни пресек) као
верижни разломак.
Да се подсетимо: Златни пресек је тачка која
дели дуж тако да је однос целе дужи према
дужем делу једнак односу дужег дела
према краћем делу тј.
xa
x
x
a
−
=
⇒
+±−
=⇒=−+⇒=−
2
4
0
22
21
2222 aaa
xaaxxxaxa ,
15
2
2
15 −
=
−
⋅
=
a
a
x
a
...61803398.1
2
51
15
15
15
2
=
+
=
+
+
⋅
−
=
x
a

24. Из следи
Узастопним понављањем овог поступка
добија се
xa
x
x
a
−
=
x
a
xa
xx
xa
x
xax
x
a
+
+=
−
+=
−
+=
−+
=
1
1
1
1
11
......
x
a
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
51
+
+
+
+
+=
+
=

25. “Божанско у броју φ је његова
ирационалност.”
Лука Пачоли

26. Који је “најирационалнији”?
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ],...,,,,,,,,,;
,...,,,,,,,;
племенитNoble,....,,,,,,,,,;
.Њутн,...,,,,,,,,,,,,,;e
,...,,,,,,,,,;
212121212113
2222222212
11111111111
17141011811611411212
214131129211573
=
=
−=φ
=
=π
....2
1
2
1
2
1
2
1
12
+
+
+
+
+=
......
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+=φ
...
e
+
+
+
+
+
+=
5
4
4
3
3
2
2
1
1
1
2

27. Приближно решавање квадратне
једначине
Приближно решити једначину
Решења су
0132
=−− xx
( )
x
xxxxx
1
313132
=−⇒=−⇒=−
3027756,0;3027756,3
2
133
21
2,1
−≈≈
±
=
xx
x
3,3
...3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3 ≈
+
+
+=
+
+=+=
x
x
x
3,0
...3
1
3
1
3
1
−≈
+−
+−
=
+−
=
x
x

28. Проблем календара
Година је дуга 365дана 5 сати 48 минута и 46
секунди
Или 1година=
Представимо то у облику верижног разломка:
Па је година једнака
43200
10463
365
86400
20926
365
1
46min485
365 =+=+
s
s
дан
sh
43200 = 4 * 10463 + 1348
10463 = 7 * 1348 + 1027
1348 = 1 * 1027 + 321
1027 = 3 * 321 + 64
321 = 5 * 64 + 1
64 = 1 * 64 + 0
[ ]64,5,3,1,7,4;365

29. Тј. дужина године се може апроксимирати са 365 дана и
Бројилац представља број преступних година, а
именилац дужину циклуса
Прву апроксимацију је увео Јулије Цезар (Сосиген)
45.г.п.н.е. (+11 минута 14 секунди)
Трећу апроксимацију је предлагао Омар Хајам у 11.веку
(8 преступних година у циклусу од 33 године)
4. (чија је грешка занемарљива – само 1 секунду)
предлагао је руски астроном Медлер 1864. – да 128.
не буде преступна, већ обична
Папа Гргур XIII 1582. (грешка -26 секунди) – свака
четврта преступна, осим ако је дељива са 100, а није
са 400 (3 пута у 400 година); тада се сматрало да је
грешка +4 секунде.
[ ]
64
1
5
1
3
1
1
1
7
1
4
1
36564,5,3,1,7,4;365
+
+
+
+
+
+=
43200
10463
;
673
163
;
128
31
:
33
8
;
29
7
;
4
1
1048–1131.

30. Миланковић је свој календар базирао на анулирању
тадашње разлике јулијанског и грегоријанског
календара од 13 дана. Проблем преступних година
решио је тако, што преступне године могу бити оне које
су дељиве са 4 без остатка, а секуларне године биће
само онда преступне ако њихов број векова, када се
подели са 9 даје остатак 2 или 6. Све остале секуларне
године су просте, што даје потпуну прецизност
календара до 2.800. године, односно до тада не може
бити никаквог размимоилажења са садашњим
грегоријанским календаром.
Овако конципиран Миланковићев календар је требало
кориговати тек после 28.800 година. До данас, иако је у
суштини прихваћен на Свеправославном конгресу 30.
маја 1923. године у Цариграду, Миланковићев календар
није примењен.

31. Задатак 4:
Наћи однос основице и крака једнакокраког
троугла чији је угао при врху једнак 108°.
Због једнакости углова
b
a
DA
AC
AD
BDBD
AD
BD
DBAD
BD
AB
b
a 1
1
1
1
1
11 +=+=+=+=
+
==
ADC~ABC ∆∆
[ ],...,,;...
x
x
x
x 1111
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 ==
+
+
+=
+
+=+=

32. Задатак 5:
Наћи однос дијагонале и странице квадрата.
[ ],...2,2,2;1
...
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
111
1
11
=⇒
=
+
+
+=
+
+=+=⇒
++=+=
+
===
+=+=
+
==
a
d
x
x
x
x
xAF
FB
AF
FBAF
AF
AB
EB
DA
x
EB
DADA
EB
DA
EBDE
DA
BD
a
d

33. Чему служе верижни
разломци?

34. Верижни разломци брзо конвергирају па се
користе за апрокцимацију реалних бројева
разломком, за израчунавање децимала
броја π и других ирационалних бројева.

35. Апроксимација ирационалних
бројева
[ ],...,,,,,,,,,,,,,,,,,,;
...
222211214131211129211573
2
1
1
1
1
1
1
1
292
1
1
1
15
1
7
1
3 =
+
+
+
+
+
+
+
+
+=π

36. Може се уочити да стварна вредност броја лежи између
две суседне оцене
Архимед 3. век п.н.е.
Adriaen Antonisz 1585.
....
113
355
;
106
333
;
7
22
;3
...2
1
1
1
1
1
1
1
292
1
1
1
15
1
7
1
3
π<π>π<π>
+
+
+
+
+
+
+
+
+=π

37. Првих 7 рационалних апроксимација су:
3 (као у Библији); (Архимед), а затим
Уколико заокруглимо број на 4 децимале
3,1416 правимо 100 пута већу грешку него
уколико узмемо разломак
7
22
,...
66317
208347
,
33215
104384
,
33102
103993
,
113
355
,
106
333
[ ]11573 ,,;

38. Инжењерски проблем
Уколико је потребно да је однос брзине
окретаја два зупчаника буде једнак нпр.
Уколико су зупчаници са 70 и 99 зубаца,
грешка је само 0,007%.
2
,....,,,,
...
70
99
29
41
12
17
5
7
2
3
2
1
2
1
2
1
12
+
+
+
+=

39. Кристијан Хајгенс
(1629-1695.)
• Ораријум из 1682.
• Холандски математичар,
астроном и физичар
• Патентирао сат са клатном и
џепни сат
• 1682. утврдио да су дужине
ротација Земље и Сатурна 7
и 206, тј. у односу 29,46

40. Куда иду истраживања верижних
разломака?
• Carl Friedrich Gauss (1777-1855.)
посматрао вероватноћу
појављивања одређених цифара
у верижном разломку.
• Alexandar Khinchin (Алекса́ндр
Я́ковлевич Хи́нчин 1894-1959.)
• Paul Lévy (1886-1971.)

41. Закључак
• Сваки коначни верижни разломак је рационалан
број.
• Сваки рационалан број може се написати као
коначан верижни разломак.
(најмање две цифре )
• Сваки ирационалан број се на јединствен начин
може представити као бесконачни верижни
разломак, али обрнуто не важи.
• Ирационални бројеви са великом прецизношћу
могу апроксимирати верижним разломцима.
• Сваки правилни бесконачни верижни разломак
конвергира (Worpitzky – ова теорема 1865.год.)
[ ]20
2
1
;=

42. “Човек је као разломак у коме је он
бројилац, а његово мишљење о себи
именилац. Што је већи именилац, то
је мањи разломак.”
Лав Толстој

43. ...3
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
292
1
1
1
15
1
7
1
3
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+=π
Наставиће се.....

44. ЛИТЕРАТУРА
• Бескин Н.М. - Замечательные дроби
• Ланселот Хогбен – Стварање математике
• Continued Fraction by John D. Barrow,
Gresham Professor of Geometry and other
Mathematical Sciences (YouTube)
• An Introduction to the Continued Fraction
• Проф. др. Душко Летић, проф. др. Ненад
Цакић – Сриниваса Раманујан Принц
бројева