Pokušaj približavanja teme Pravilni poliedri mojim učenicima.

1. ПРАВИЛНИ ПОЛИЕДРИ

2. ШТА ЈЕ ПОЛИЕДАР?
∀πσλν префикс са значењем више εδρα
основа
• ПОЛИЕДАРСКА ПОВРШ је коначан скуп
полигонских површи таквих да:
• Свака страница било које полигонске
површи је страница највише две
суседне полигонске површи.
неда

3. Две суседне полигонске површи
припадају двема различитим равнима.
да не

4. Две несуседне полигонске површи
повезане су низом полигонских површи
од којих су сваке две узастопне површи
низа суседне.
не
да

5. Стране, ивице, темена, дијагонале,
ивични углови
A,B,C,D,E,F,V ТЕМЕНА
AB,BC,CD,DE,EF,FA,VA,VB,... ИВИЦЕ
ABV СТРАНА
<AVB ИВИЧНИ УГАО
М N
P
Q
R S
T
V
VN ДИЈАГОНАЛА
B C
V
A D
EF

6. ЗАТВОРЕНА И ОТВОРЕНА
ПОЛИЕДАРСКА ПОВРШ
ОТВОРЕНА ПРОСТА
ПОЛИЕДАРСКА ПОВРШ
ЗАТВОРЕНА ПРОСТА
ПОЛИЕДАРСКА ПОВРШ

7. ПОЛИЕДАР
• Скуп тачака за који важи да свака права
која пролази кроз њу сече полиедарску
површ зове се унутрашња област.
• Полиедар је скуп тачака затворене
полиедарске површи и свих тачака
њене унутрашње области.

8. КОНВЕКСНИ И НЕКОНВЕКСНИ
ПОЛИЕДРИ
Полиедар је конвексан уколико свака дуж
чије су крајње тачке, тачке полиедра,
припада полиедру.
КОНВЕКСАН
НЕКОВЕКСАН

9. ОЈЛЕРОВА ТЕОРЕМА
• ОЈЛЕР ЛЕОНАРД (EULER
LEONHARD 1707.-1783.) један од
најзначајнијих математичара у
историји, пореклом Швајцарац. Живео
је и радио у Берлину и Петрограду.
Последњих година , иако потпуно
слеп, објавио је око 800 радова из
скоро свих области математике.
• ОЈЛЕРОВА ТЕОРЕМА: У простом
затвореном полиедру збир бројева
страна (s) и темена (t) већи је за два
од броја ивица (i).
2+=+ ist

11. ПРАВИЛНИ ПОЛИЕДРИ
Конвексан полиедар је ПРАВИЛАН ако су
све његове стране правилни
многоуглови са истим бројем страница,
а сви његови рогљеви правилни са
истим бројем ивица.

12. ТЕОРЕМА: Постоји тачно пет правилних
полиедара.

13. ТЕТРАЕДАР
n=3,m=3,s=4,i=6,t=4

14. КОЦКА - ХЕКСАЕДАР
n=4,m=3,s=6,i=12,t=8

15. ОКТАЕДАР
n=3,m=4,s=8,i=12,t=6

16. ДОДЕКАЕДАР
n=5,m=3,s=12,i=30,t=20

17. ИКОСАЕДАР
n=3,m=5,s=20,i=30,t=12

18. Сваки правилан полиедар има описану и
уписану лопту.
Однос једнак је и код додекаедра и
код икосаедра. Додекаедар и икосаедар имају
једнаке описане па и уписане сфере.
Ово је доказано у Еуклидовим “Елементима”.
( )
ϕ
ϕ−
=
33
u
o
R
R

19. ОСОБИНЕ ПРАВИЛНИХ
ПОЛИЕДАРА
ТЕЛО Ru
RО УГАО ДИЕДРА P V
ТЕТРАЕДАР
КОЦКА
ОКТАЕДАР
ДОДЕКАЕДАР
ИКОСАЕДАР
12
6a
4
6a
3
1
arccos
3
a
2
6a
32
a
12
23
a
a
2
1
2
3a
2
π
6
6a
2
2a






−
3
1
arccos
2
32 a
3
23
a
a
20
5110250 + a
4
315 +








−
5
5
arccos








−
3
5
arccos
3
4
5715
a
+
3
12
535
a
+
a
12
51842 +
2
510253 a+
2
35 aa
4
5210 +

20. ДУАЛНОСТ
У хинду религији икосаедар представља
мушки, духовни принцип, а додекаедар
женски материјални принцип.

21. ИСТОРИЈА

22. ПЛАТОНОВА ТЕЛА
ХЕГЕЛ: Један од најлепших
поклона који нам је судбина
сачувала из старог доба су
Платонова дела.

23. ПЛАТОН: Знање које имамо
је само мрвица онога што
немамо.

24. ПЛАТОН
ПЛАТОН (428.-348.год.п.н.е.). Рођен
и живео у Атини, грчки филозоф,
идеалиста,Сократов ученик,
Аристотелов учитељ и оснивач
академије, филозофскe школe у
Академском врту, земљи која је, по
предању, припадала
полулегендарном грчком хероју
Академосу. Име му је Аристокле, а
надимак Платон, Плећати, добио је
по широким раменима, што је
делом последица његовог
бављења рвањем.

26. • ЕМПЕДОКЛЕ (493.-433.
П.Н.Е.), грчки државник,
филозоф и песник:
четири основна
елемента ВАТРА, ВОДА,
ВАЗДУХ, ЗЕМЉА
• ПЛАТОН им је доделио
правилне полиедре.
РАФАЕЛ: АТИНСКА ШКОЛА

27. АРИСТОТЕЛ
ТОПЛО
ХЛАДНО
ВЛАЖНО СУВО
ВАЗДУХ
ВОДА
ВАТРА
ЗЕМЉА

28. Коцка – чврсто и стабилно стоји – земља
Тетраедар – најмања запремина – сув – ватра
Октаедар – покретан – ваздух
Икосаедар – највећа запремина – вода
Додекаедар – 12 страна, 12 зодијачких знака, 12 сазвежђа
кроз које земља прође при кретању око сунца – универзум

29. 2003.

30. АРХИМЕД
• Највећи математичар и физичар
старог света (287.-212.п.н.е.). Рођен у
Сиракузи (данашња Италија). Са
Њутном и Гаусом највећи
математичар свих времена.
• Архимедова аксиома
• Архимедов закон (hëureka)
• Израчунао вредност броја π (између
223/71 и 22/7)
• “Noli turbare circulos meos.”

31. • Архимедова пумпа
• “Дајте ми довољно
дугу полугу и
померићу цео свет”
(Да ли је могао?)
• Архимедова спирала
• Шта је на гробу
Архимеда?

32. АРХИМЕДОВА ТЕЛА
Полиедри чија се површ састоји од
правилних многоуглова, али који не
морају имати једнак број ивица. Има их
13.

33. ЗАРУБЉЕНИ ПОЛИЕДРИ
ЗАРУБЉЕНИ ОКТАЕДАР
ЗАРУБЉЕНИ ТЕТРАЕДАР
4 ТРОУГЛА
4 ШЕСТОУГЛА
ЗАРУБЉЕНИ ХЕКСАЕДАР
8 ТРОУГЛОВА
6 ОСМОУГЛОВА
6 КВАДРАТА
8 ШЕСТОУГЛОВА
ЗАРУБЉЕНИ ИКОСАЕДАР
12 ПЕТОУГЛОВА
20 ШЕСТОУГЛОВА
ЗАРУБЉЕНИ ДОДЕКАЕДАР
20 ТРОУГЛОВА
12 ДЕСЕТОУГЛОВА

34. КВАЗИПРАВИЛНИ
Стране представљају само две врсте
правилних многоуглова
КУБОКТАЕДАР
8 ТРОУГЛОВА
6 КВАДРАТА
ИКОСАДОДЕКАЕДАР
20 ТРОУГЛОВА
12 ПЕТОУГЛОВА

35. РОМБКУБОКТАЕДАР
8 ТРОУГЛОВА
18 КВАДРАТА
РОМБИКОСОДОДЕКАЕДАР
20 ТРОУГЛОВА
30 КВАДРАТА
12 ПЕТОУГЛОВА

36. КРЊИ ХЕКСАЕДАР
КРЊИ ДОДЕКАЕДАР
80 ТРОУГЛОВА
12 ПЕТОУГЛОВА32 ТРОУГЛА
6 КВАДРАТА

37. ЗАРУБЉЕНИ ИКОСОДОДЕКАЕДАР
30 КВАДРАТА
20 ТРОУГЛОВА
12 ДЕСЕТОУГЛОВА
ЗАРУБЉЕНИ КУБОКТАЕДАР
12 КВАДРАТА
8 ШЕСТОУГЛОВА
6 ОСМОУГЛОВА

38. КЕПЛЕР
• ЈОХАН
КЕПЛЕР
(1571.-1630.) и
данас познат
по три закона
о кретању
небеских
тела.
КЕПЛЕРОВ МОДЕЛ СВЕМИРА
КЕПЛЕР:
Како може да
постоји 7 планета
кад има 5
Платонових тела?

39. У зависности од
орбите Кеплер је
у делу Тајна
свемира 1596.
планетама
доделио
правилне
полиедре.

40. КЕПЛЕР ПУАСОНОВА ТЕЛА
Уколико се не захтева конвексност
полиедара добијамо тзв. Кеплер-
Пуасонова тела.

42. АЛОТРОПИ УГЉЕНИКА
ДИЈАМАНТ
ТЕТРАЕДАР
БАКМИНСТЕНФУЛУРЕН
60 АТОМА УГЉЕНИКА
ЗАРУБЉЕНИ ИКОСАЕДАР

43. ДИЈАМАНТ

45. СТРУКТУРА МОЛЕКУЛА
13 молекула течног аргона
Легура алуминијум-бакар-гвожђе
Кухињска со

46. КРИСТАЛИ
БАРИТ
АЛУМИНИЈУМ СИЛИКАТ
ВЕЗУВИТ

47. ПИРИТ
ПИРИТ

48. ТАЛКЛЕУЦИТ
КВАРЦ

50. ФЛУОРИТ

51. ВИРУСИ
Већина вируса има облик икосаедра
(укључујући полио вирус и преко 200
вируса који изазивају прехладу) пошто
он захтева најмање енергије.
КАПСИДА ОБЛИКА ИКОСАЕДРА

52. АДЕНОВИРУС
ВИРУС ХЕРПЕСА

53. ПОЛИОВИРУС
FMDV

54. ВИРУС СИДЕ

56. У МОРУ
ТЕТРАЕДАР ПРОТОЗОА CALLIMITRA AGNESAE,
КОЦКА LITHOCUBUS GEOMETRICUS,ОКТАЕДАР
CIRCOPORUS OCTAEDRUS,ДОДЕКАЕДАР
CIRCORRGEHMA DODEKAEDRUS,ИКОСАЕДАР
CIRCOGNIA ICOSAEDRUS

57. КАРТОГРАФИЈА

58. ЕГИПАТСКИ КАЛЕНДАР?
• У процесу кретања по еклиптици Земља пролази
кроз 13 сазвежђа, али су древни астрономи
поделили пут Земље на 12 делова (сазвежђа
Стрелца и Змаја су спојена)
• Египћани су рачунали да година има 12 месеци по 30
дана и 5 дана празника 30х12+5=365
• 2π=360°=12х30°
• Циклус Јупитера је приближно 12, Сатурна 30, а
Сунчевог система 60 година
• Додекаедар има 12 страна, 30 ивица и 60 ивичних
углова

59. ПОЛИЕДРИ У УМЕТНОСТИ

60. “Главни разлог за проучавање
правилних полиедара је и
даље као у време
питагорејаца, наиме, њихов
симетричан облик привлачи
нечији уметнички осећај.”
КОКСТЕР

61. “Математика влада не само
истином, него и великом
лепотом – лепотом прецизном
и строгом, као код
скулптуре,узвишено чистом
која стреми истинском
савршенству, које је својствено
само уметности.”
БЕРТРАНД РАСЕЛ

62. АРХИТЕКТУРА

64. НЕОЛИТ
ШКОТСКА ОКО 2000 ГОД П.Н.Е.

65. Римски предмет, вероватно играчка или
уметнички предмет.

66. ПАОЛО УЋЕЛО:
МОЗАИК ИЗ 1425.-1430.
ЦРКВА СВЕТОГ МАРКА
ВЕНЕЦИЈА

67. ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ

68. ЈАКОПО БАРБЕРИ: ЛУКА ПАЋОЛИ И ЊЕГОВ ЂАК,
ПЛЕМИЋ ГВИДОБАЛДО, ГРОФ ОД УРБИНА

69. АЛБРЕХТ ДИРЕР:
МЕЛАНХОНИЈА 1514.

71. “Постоји само једно добро –
ЗНАЊЕ и само једно зло –
НЕЗНАЊЕ.”
ПЛАТОН