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![선수지식
𝑝 𝑥, 𝑦 = 𝑝 𝑥 𝑝 𝑦|𝑥 = 𝑝 𝑦 𝑝(𝑥|𝑦)
𝑝 𝑥 =
𝑦
𝑝 𝑥, 𝑦
𝐸 𝑋 =
𝑥
𝑝 𝑥 𝑥 𝐸 𝑓 𝑋 =
𝑥
𝑝 𝑥 𝑓 𝑥
18
𝐸𝑝(𝑥)[𝑋]
joint pdf, marginal pdf, conditional pdf
random variable, 𝑋
𝑝 𝑋 = 𝑥 , 𝑝𝑋 𝑥 , 𝑝(𝑥)](https://image.slidesharecdn.com/20200712notevae20221018-slideshare-230111040459-a48847c2/85/Variational-Autoencoder-VAE-18-320.jpg)
Uploaded byjaypi Ko
개념 이해가 쉬운 Variational Autoencoder (VAE)
Variational이라는 단어로는 아무것도 안떠오릅니다. 그래서, '꿩 대신 닭'이라고 표현해 봤습니다. 초반 독자적인 그림을 통해 개념잡기가 쉬워요. 설명부분은 초록색으로 표시했습니다. 확률변수(random variable)부터 막히면, 아래 블로그 글을 읽어 보세요. https://blog.naver.com/nonezerok/221428251262
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개념 이해가 쉬운 Variational Autoencoder (VAE)
- 1.
- 2.
- 3. 3 Autoencoder 𝑓1: 𝑥 →𝑧 𝑓2: 𝑧 → 𝑥 encoder decoder 𝒙 𝒙 𝑧1 𝑧2 𝑧3
- 4. 4 Autoencoder 𝑓1: 𝑥 →𝑧 𝑓2: 𝑧 → 𝑥 encoder decoder 𝒙 𝒙 입력이 같으면, 출력도 같다. deterministic function non-deterministic하게 하고 싶다. 𝑧1 𝑧2 𝑧3
- 5. 5 Autoencoder 𝑓1: 𝑥 →𝑧 𝑓2: 𝑧′ → 𝑥 무작위로 바꾸자! (주사위를 굴리자) encoder decoder 𝒙 𝒙 𝑧1 𝑧2 𝑧3
- 6.
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- 9. 9 credit: https://www.topbots.com/intuitively-understanding-variational-autoencoders/ 𝑝(𝑧|𝑥) 추출 =sampling 𝑧 ~ 𝑝 (𝑧|𝑥) 확률분포표, 확률분포함수 sample 𝑥
- 10. 10 credit: https://www.topbots.com/intuitively-understanding-variational-autoencoders/ Variational Autoencoder(VAE) 이 분포(함수)를 알아내는 것은 너무 어려워! 이 함수에 대한 식 알아 낼 수 있어? 이건 쉽지! 꿩 대신 닭! 𝑝(𝑧|𝑥) 𝑞(𝑧|𝑥) 𝑥
- 11. 11 𝜇, 𝜎 Gaussian (distribution)function
- 12. 12 credit: https://www.topbots.com/intuitively-understanding-variational-autoencoders/ Variational Autoencoder(VAE) 𝑞(𝑧|𝑥) 𝑧~𝑞(𝑧|𝑥) 이렇게 되도록 Loss 함수를 정의하고, Backpropagation으로 훈련을 시켜야 한다. 모든 화살표에 대한 미분이 가능해야 한다. 이 그림에서 미분이 안되는 화살표는? 𝑥
- 13. 13 credit: https://www.topbots.com/intuitively-understanding-variational-autoencoders/ Variational Autoencoder(VAE) 𝑞(𝑧|𝑥) 𝑧~𝑞(𝑧|𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑤𝑥 + 𝑏 미분이 되려면, 곱하기, 더하기 꼴로 표현되어 있으면 된다. 𝜕𝑓(𝑥) 𝜕𝑤 = 𝑥, 𝜕𝑓(𝑥) 𝜕𝑏 = 1 추출 (sampling)에 대해서는 미분적용을 못한다. 𝑥
- 14. reparameterization trick ො 𝑥 𝑝 𝑥|𝑧 𝑞𝑧|𝑥 𝑥 14 𝜇1 𝜇2 𝜎1 𝜎2 Sampling 은 미분 불가능하므로 𝑧i ~𝑁 𝜇𝑖, 𝜎𝑖 2 𝑧i = 𝜇𝑖 + 𝜎𝑖 ∙ 𝜀 𝜀 ~ 𝑁 0,1 𝜇𝑖 𝜎𝑖 𝑧i 이것을 더하기 곱하기 식으로 표현하자! 𝜀~𝑁 0, 1
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- 16. 16 credit: https://www.topbots.com/intuitively-understanding-variational-autoencoders/ Variational Autoencoder(VAE) 목적: q는 p와 최대한 유사하도록 신경망이 훈련되어져야 한다. 두 분포의 차이가 작아지도록 훈련 모르는 분포와의 차이를 어떻게 구해? 그래서, 이론이 필요 Bayesian Theorem(Rule), Information Theory 이건 쉽지! 𝑝(𝑧|𝑥) 𝑞(𝑧|𝑥) 우리가 원하는 목적대로 학습이 되도록 하려면, 손실함수를 어떻게 정해야 하나?
- 17. 17 𝑝(𝑧|𝑥) 𝑞(𝑧|𝑥) 이런 모양인지조차도 모르는 분포 모양은 이런데, 좌우 위치와 홀쭉인지 뚱뚱인지 아직 정해지지 않은 분포 이 둘의 차이는 어떻게 계산하나? 𝜇 𝜎 이 둘을 조정해서 왼쪽 분포와 그나마 유사하게 만들어 줄 수 있다. KL divergence 라는 식이 있다. (두 분포의 차이를 계산하는 식) 이 식은 엔트로피 항으로 이루어 진다. 엔트로피는 정보량의 평균이다. 정보량은 뉴스(확률사건)의 가치를 계산하는 식 KL divergence 식을 손실함수로 사용하면 된다!
- 18. 선수지식 𝑝 𝑥, 𝑦= 𝑝 𝑥 𝑝 𝑦|𝑥 = 𝑝 𝑦 𝑝(𝑥|𝑦) 𝑝 𝑥 = 𝑦 𝑝 𝑥, 𝑦 𝐸 𝑋 = 𝑥 𝑝 𝑥 𝑥 𝐸 𝑓 𝑋 = 𝑥 𝑝 𝑥 𝑓 𝑥 18 𝐸𝑝(𝑥)[𝑋] joint pdf, marginal pdf, conditional pdf random variable, 𝑋 𝑝 𝑋 = 𝑥 , 𝑝𝑋 𝑥 , 𝑝(𝑥)
- 19. Bayes’ Rule 𝑝 𝑧|𝑥= 𝑝 𝑥, 𝑧 𝑝 𝑥 = 𝑝 𝑥|𝑧 𝑝 𝑧 𝑝 𝑥 = 𝑝 𝑥|𝑧 𝑝 𝑧 σ𝑧 𝑝 𝑥, 𝑧 = 𝑝 𝑥|𝑧 𝑝 𝑧 σ𝑧 𝑝 𝑥|𝑧 𝑝 𝑧 19 𝑝 𝑥, 𝑧 = 𝑝 𝑥 𝑝 𝑧|𝑥
- 20. Bayesian Inference 𝑝 𝒛|𝑥= 𝑝 𝑥|𝒛 𝑝 𝒛 𝑝 𝑥 posterior likelihood prior Posterior(사후확률) 구하기 20 관찰 값 다루기 쉬운 분포로 가정 ⋯ 𝑝 𝑥|𝒛 𝑝 𝒛 계산량이 너무 많다. ( 𝑚𝑛 ) 𝑛 = 𝒛 𝑚 𝑝 𝑥 = 𝒛 𝑝 𝑥|𝒛 𝑝 𝒛 = c. f) classification 𝑝 𝒛|𝑥 ∝ 𝑝 𝑥|𝒛 𝑝 𝒛 관찰 데이터에 대한 분포 구할 수 있나? intractable
- 21. Information, Entropy 21 𝐼 𝑥= 𝑙𝑜𝑔 1 𝑝(𝑥) 𝐻 𝑋 = 𝐸 −𝑙𝑜𝑔𝑝 𝑋 = − 𝑥 𝑝 𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑝 𝑥 Expectation of Information 𝐻 𝑝(𝑋)
- 22. 𝐾𝐿(𝑝| 𝑞 =− න 𝑝 𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑞(𝑥) 𝑑𝑥 − − න 𝑝 𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑝(𝑥) 𝑑𝑥 = − න 𝑝 𝑥 log 𝑞 𝑥 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑝(𝑥)에 대한 𝑝(𝑥)의 엔트로피 𝑝(𝑥)에 대한 𝑞(𝑥)의 엔트로피 22 𝑤𝑖𝑡ℎ 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡 𝑡𝑜 𝐾𝐿(𝑝| 𝑞 ≥ 0 𝐾𝐿(𝑝| 𝑞 ≠ 𝐾𝐿(𝑞| 𝑝 > 0 𝑝 𝑥 − 𝑞 𝑥 ≈ 𝑞(𝑥) 𝑝(𝑥) 가중평균 구한 것 두 분포의 엔트로피가, 한 분포의 엔트로피 보다는 크겠지 엔트로피를 활용해 보자
- 23. KL-divergence 23 두 확률 분포의어떤 차이 두 분포의 차이를 어떤 식으로 계산하면 좋을까? credit: https://wiseodd.github.io/techblog/2016/12/21/forward-reverse-kl/
- 24. Variational Inference 𝑝 𝑧|𝑥 𝑞𝑧|𝑥 구하기 어렵다. 꿩 대신 닭 변이 우리가 알고 있는 쉬운 분포; 정규분포로 대치하자. 𝑝 𝑧|𝑥 ≈ 𝑞 𝑧|𝑥 조건: KL 최소화 min KL 𝑞 𝑧|𝑥 ||𝑝 𝑧|𝑥 24 Posterior 구하기 대체(변이) 사후확률 구함 𝑞 𝑧|𝑥 Reverse KL을 선호 VI : biased, low variance MC: unbiased, high variance
- 25. 𝐾𝐿 𝑞 𝑧|𝑥||𝑝 𝑧|𝑥 = − 𝑞 𝑧|𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑧|𝑥 𝑞 𝑧|𝑥 = − 𝑞 𝑧|𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥, 𝑧 𝑝 𝑥 𝑞 𝑧|𝑥 1 = − 𝑞 𝑧|𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥, 𝑧 𝑞 𝑧|𝑥 1 𝑝 𝑥 = − 𝑞 𝑧|𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥, 𝑧 𝑞 𝑧|𝑥 + 𝑙𝑜𝑔 1 𝑝 𝑥 = − 𝑞 𝑧|𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥, 𝑧 𝑞 𝑧|𝑥 + 𝑧 𝑞 𝑧|𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥 = − 𝑞 𝑧|𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥, 𝑧 𝑞 𝑧|𝑥 + 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥 𝑧 𝑞 𝑧|𝑥 = − 𝑞 𝑧|𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥, 𝑧 𝑞 𝑧|𝑥 + 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥 1 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥 = 𝐾𝐿 𝑞 𝑧|𝑥 ||𝑝 𝑧|𝑥 + 𝑞 𝑧|𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥, 𝑧 𝑞 𝑧|𝑥 𝑥 is given, then it is fixed 25 https://www.youtube.com/watch?v=uaaqyVS9-rM 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥 ≥ 최소화 해야함 최대화 하면 된다. 꿩 대신 닭 ≥ 0 𝑞 𝑧|𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥, 𝑧 𝑞 𝑧|𝑥 𝑥 in black: a random variable 𝑥 in gray: a fixed value of the random variable 𝑥
- 26. 𝐾𝐿 𝑞 𝑧|𝑥||𝑝 𝑧|𝑥 = − 𝑞 𝑧|𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑧|𝑥 𝑞 𝑧|𝑥 = − 𝑞 𝑧|𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥, 𝑧 𝑝 𝑥 𝑞 𝑧|𝑥 1 = − 𝑞 𝑧|𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥, 𝑧 𝑞 𝑧|𝑥 1 𝑝 𝑥 = − 𝑞 𝑧|𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥, 𝑧 𝑞 𝑧|𝑥 + 𝑙𝑜𝑔 1 𝑝 𝑥 = − 𝑞 𝑧|𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥, 𝑧 𝑞 𝑧|𝑥 + 𝑧 𝑞 𝑧|𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥 = − 𝑞 𝑧|𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥, 𝑧 𝑞 𝑧|𝑥 + 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥 𝑧 𝑞 𝑧|𝑥 = − 𝑞 𝑧|𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥, 𝑧 𝑞 𝑧|𝑥 + 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥 1 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥 = 𝐾𝐿 𝑞 𝑧|𝑥 ||𝑝 𝑧|𝑥 + 𝑞 𝑧|𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥, 𝑧 𝑞 𝑧|𝑥 𝑥 is given, then it is fixed 26 https://www.youtube.com/watch?v=uaaqyVS9-rM ≥ 0 lower bound 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥 ≥ variational 최소화 해야함 최대화 하면 된다. 꿩 대신 닭 Log-Likelihood 크게 하는 것 𝑥 in black: a random variable 𝑥 in gray: a fixed value of the random variable 𝑥
- 27. 𝑞 𝑧|𝑥𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥, 𝑧 𝑞 𝑧|𝑥 = 𝑞 𝑧|𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥|𝑧 𝑝 𝑧 𝑞 𝑧|𝑥 = 𝑞 𝑧|𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥|𝑧 + 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑧 𝑞 𝑧|𝑥 = 𝑞 𝑧|𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥|𝑧 + 𝑞 𝑧|𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑧 𝑞 𝑧|𝑥 = 𝐸𝑞 𝑧|𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥|𝑧 − 𝐾𝐿 𝑞 𝑧|𝑥 ||𝑝 𝑧 27 Evidence Lower BOund (ELBO) lower bound 𝑝 𝑧|𝑥 𝑝 𝑥 when 𝑥 is given 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥 ≥ Log-Likelihood 크게 하는 것
- 28. 28 Z X 𝑝(𝑥|𝑧) 𝑞(𝑧|𝑥) 𝑞 ∶𝑥 → 𝑧 𝑝 ∶ 𝑧 → 𝑥 𝑞(𝑧|𝑥) 𝑥 𝑧 𝑝(𝑥|𝑧) ො 𝑥 −𝐸𝑞 𝑧|𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥|𝑧 + 𝐾𝐿 𝑞 𝑧|𝑥 ||𝑝 𝑧 deterministic function = neural network 을 도입 그냥 신경망; 일반적인 복원 에러를 로스로 사용 Cross Entropy Loss Loss for a given 𝑥: ≈ 𝑝(𝑧|𝑥)
- 29. 29 𝑥 𝑞(𝑧|𝑥) 𝐾개 𝐾개 𝑧 𝜇𝑘, 𝜎𝑘 출력을가우시안 분포의 파라미터로 간주
- 30. Loss Function 계산 −𝐸𝑞 𝑧|𝑥𝑖 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥𝑖|𝑧 + 𝐾𝐿 𝑞 𝑧|𝑥𝑖 ||𝑝 𝑧 30 두 분포 모두 가우시안 가정 reconstruction term regularizer term
- 31. 베르누이 분포로 간주 −𝐸𝑞 𝑧|𝑥𝑖 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥𝑖|𝑧 + 𝐾𝐿 𝑞 𝑧|𝑥𝑖 ||𝑝 𝑧 ≈ 1 𝐿 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥𝑖|𝑧𝑙 ≈ 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥𝑖|𝑧1 = 𝑙𝑜𝑔 ෑ 𝑗=1 𝑁 𝑝 𝑥𝑖,𝑗|𝑧1 = 𝑗=1 𝑁 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥𝑖,𝑗|𝑧1 = 𝑗=1 𝑁 𝑙𝑜𝑔 𝑝𝑗 𝑥𝑖,𝑗 ∙ 1 − 𝑝𝑗 1−𝑥𝑖,𝑗 = 𝑗=1 𝑁 𝑥𝑖,𝑗𝑙𝑜𝑔 𝑝𝑗 + 1 − 𝑥𝑖,𝑗 𝑙𝑜𝑔 1 − 𝑝𝑗 Monte Carlo Sampling 경험적 31 network output cross-entropy network input (target) N 𝑝𝑗 j번째 노드 출력이 1일 확률
- 32. 가우시안 분포로 간주 −𝐸𝑞 𝑧|𝑥𝑖 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥𝑖|𝑧 + 𝐾𝐿 𝑞 𝑧|𝑥𝑖 ||𝑝 𝑧 ≈ 1 𝐿 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥𝑖|𝑧𝑙 ≈ 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥𝑖|𝑧1 = 𝑙𝑜𝑔 𝑁 𝜇𝑖, 𝜎𝑖 2 𝐼 = − 𝑗=1 𝑁 1 2 𝑙𝑜𝑔 𝜎𝑖,𝑗 2 + 𝑥𝑖,𝑗 − 𝜇𝑖,𝑗 2 2𝜎𝑖,𝑗 2 Monte Carlo Sampling 32 𝑙𝑜𝑔 𝑁 𝜇𝑖, 𝜎2 𝐼 ∝ − 𝑗=1 𝑁 𝑥𝑖,𝑗 − 𝜇𝑖,𝑗 2 경험적 분산이 모두 같다고 가정 mean squared loss N 𝜇𝑗 2N 𝜇𝑗 𝜎𝑗 ?
- 33. KL regularizer term 33 𝐾𝐿𝑁 𝑢𝑖, 𝜎𝑖 2 𝐼 ||𝑁 0, 𝐼 = 1 2 𝑡𝑟 𝜎𝑖 2 𝐼 + 𝜇𝑖 𝑇 𝜇𝑖 − 𝐾 − 𝑙𝑜𝑔 ෑ 𝑘=1 𝐾 𝜎𝑖,𝑘 2 = 1 2 𝑘=1 𝐾 𝜎𝑖,𝑘 2 + 𝑘=1 𝐾 𝜇𝑖,𝑘 2 − 𝑘=1 𝐾 1 − 𝑘=1 𝐾 𝑙𝑜𝑔 𝜎𝑖,𝑘 2 = 1 2 𝑘=1 𝐾 𝜎𝑖,𝑘 2 + 𝜇𝑖,𝑘 2 − 𝑙𝑜𝑔 𝜎𝑖,𝑘 2 − 1 𝑥𝑖에 따라 달라지는 분포 초간단 분포 𝐾개 𝐾개 𝑞 𝑧|𝑥𝑖 covariance 0 가정, 𝑢𝑖 K개, 𝜎𝑖 2 K개 −𝐸𝑞 𝑧|𝑥𝑖 𝑙𝑜𝑔 𝑝 𝑥𝑖|𝑧 + 𝐾𝐿 𝑞 𝑧|𝑥𝑖 ||𝑝 𝑧 = 1 2 𝑘=1 𝐾 exp(log _𝜎𝑖,𝑘 2 ) + 𝜇𝑖,𝑘 2 − log _𝜎𝑖,𝑘 2 − 1 구현에서는…
- 34. Loss for agiven 𝑥𝑖 34 𝐿𝑖 𝜙, 𝜃, 𝑥𝑖 = − 𝑗=1 𝑁 𝑥𝑖,𝑗𝑙𝑜𝑔 𝑥′𝑗 + 1 − 𝑥𝑖,𝑗 𝑙𝑜𝑔 1 − 𝑥′𝑗 + 1 2 𝑘=1 𝐾 𝜎𝑖,𝑘 2 + 𝜇𝑖,𝑘 2 − 𝑙𝑜𝑔 𝜎𝑖,𝑘 2 − 1 𝐿𝑖 𝜙, 𝜃, 𝑥𝑖 = 𝑗=1 𝑁 1 2 𝑙𝑜𝑔 𝜎𝑖,𝑗 2 + 𝑥𝑖,𝑗 − 𝜇𝑖,𝑗 2 2𝜎𝑖,𝑗 2 + 1 2 𝑘=1 𝐾 𝜎𝑖,𝑘 2 + 𝜇𝑖,𝑘 2 − 𝑙𝑜𝑔 𝜎𝑖,𝑘 2 − 1 𝐿𝑖 𝜙, 𝜃, 𝑥𝑖 = 𝑗=1 𝑁 𝑥𝑖,𝑗 − 𝜇𝑖,𝑗 2 + 1 2 𝑘=1 𝐾 𝜎𝑖,𝑘 2 + 𝜇𝑖,𝑘 2 − 𝑙𝑜𝑔 𝜎𝑖,𝑘 2 − 1 분산이 모두 같다고 가정
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- 46. 추가 학습 46 • ConditionalVAE • 𝛽 −VAE • Adversarial Autoencoder • VQ-VAE
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- 51. 추가 학습 51 • ConditionalVAE • 𝜷 −VAE • Adversarial Autoencoder • VQ-VAE
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- 56. 56 Pose! + 𝜶 𝜷-VAE(ICLR 2017)
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- 59. 추가 학습 59 hidden codelearns to represent the style of the image • Conditional VAE • 𝛽 −VAE • Adversarial Autoencoder • VQ-VAE https://arxiv.org/pdf/1511.05644.pdf
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- 61. 추가 학습 61 • ConditionalVAE • 𝛽 −VAE • Adversarial Autoencoder • VQ-VAE https://proceedings.neurips.cc/paper/2017/file/7a98af17e63a0ac09ce2e96d03992fbc-Paper.pdf
- 62. 참고문헌 62 • Tutorial onAutoencoder, https://arxiv.org/pdf/1606.05908.pdf (2016) • https://www.youtube.com/watch?v=uaaqyVS9-rM • https://wiseodd.github.io/techblog/2016/12/10/variational-autoencoder/ • https://www.slideshare.net/NaverEngineering/ss-96581209