Traitement des données massives (INF442, A5)

ÁÆ ¾ ÌÖ Ø Ñ ÒØ × ÓÒÒ × Å ×× Ú ×
Ä ØÖ Ô Ö ÐÐ Ð Ø Ð Ö Ù
Ø ÓÒ Ñ Ò× ÓÒ
Ö Ò Æ Ð× Ò
Ò Ð× ÒÐ ÜºÔÓÐÝØ
Ò ÕÙ º Ö
¾¼½¿
½¿ Ñ ¾¼½

ÈÐ Ò
◮ ÙÒ ÔÓ ÒØ ×ÙÖ Ð
ÓÙÖ×
◮ Ð ØÖ Ô Ö ÐÐ Ð ×ÙÖ
ÐÙ×Ø Ö×
◮ Ð × ÓÒÒ × Ò ´ØÖ ×µ Ö Ò × Ñ Ò× ÓÒ×

ÓÑ ØØÖ Ð Ù × Ö Ò × Ñ Ò× ÓÒ× Ô Ö Ð Ö Ù

Ê ÔÔ Ð ×ÙÖ Ð × Ó
Ø × ³ÁÆ ¾
ÍÒ
ÓÙÖ×
ÓÒ
ÒØÖ ÑÙÐØ ¹
ØØ × ÔÓÙÖ Ü Ö Ð × ÔÖ Ñ Ö × × ×
◮ Ò Ø Ø ÓÒ Ù ÀÈ Ø ÙÜ Ø
◮ Ò Ø Ø ÓÒ ÙÜ ×
Ò
× × ÓÒÒ ×
◮ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ô Ö ÐÐ Ð ´×ÙÖ Ñ ÑÓ Ö ×ØÖ Ù »
Ò Ñ ×× ×µ
◮ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò ·· ´ Ú
Ð ËÌÄ» ÓÓ×Øµ Ø Ò ÅÈÁ
◮ ÙØ Ð × Ö ÙÒ
ÐÙ×Ø Ö Ñ
Ò × Ò Ì ×
⇒ ÓÙ
× Ò ¿ ÁÆ Ç Ô Ö
ÓÙÖ× ÀÈ ¸ Ë
Ò
× ÓÒÒ ×¸
ÁÑ ¹Î × ÓÒ¹ ÔÔÖ ÒØ ×× ¸ Å È¹ÁÆ Ç¸ Ø
ÓÒÒ ×× Ò
× Ò Ö Ð × ÙØ Ð ×
ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ð ÑÓÒ

ÕÙ³ÓÒ ÚÙ Ø
ÕÙ³ Ð ÒÓÙ× Ö ×Ø ÚÓ Ö
Ò× Ð ÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ ¸ ÓÒ ÚÙ
◮ ×
Ò
× × ÓÒÒ × Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ ´ÔÐ Ø» Ö Ö
ÕÙ µ¸
Ð ××
Ø ÓÒ
´k¹ÈÈÎ»Ö Ö ×× ÓÒµ
◮ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò ··»ÅÈÁ ÔÓÙÖ Ð Ô Ö ÐÐ Ð ×Ñ ÖÓ× Ö Ò× ´ÀÈ µ
◮ ÙÒ Ô Ù ³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ô Ö ÐÐ Ð ×ÙÖ Ð × Ñ ØÖ
×
Ò×
ØØ ×
ÓÒ Ô ÖØ ¸ ÓÒ Ú ÚÓ Ö
◮ ØÖ Ô Ö ÐÐ Ð ² Ð × Ö Ò × Ñ Ò× ÓÒ×
◮ Ð × Ø Ú
Å ÔÊ Ù
Ò ÅÈÁ ´ Ö ÒÙÐ Ö Ø Ò µ
◮ Ð ØÓÔÓÐÓ Ô Ý× ÕÙ ×
ÐÙ×Ø Ö×¸ Ð ØÓÔÓÐÓ ÐÓ ÕÙ ×
Ð ÓÖ Ø Ñ × Ô Ö ÐÐ Ð ×¸ Ø Ð ÙÖ× ÕÙ Ø ÓÒ×
◮ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ô Ö ÐÐ Ð ÔÓÙÖ Ð × Ö Ô × ´Ö × ÙÜ ×Ó
ÙÜ
Ö Ò × Ö Ô ×µ
¿¼¹½¼ ÒØ ÖÚ ÒØ ÓÒ ×ÙÖ Ð ÀÈ ÐÓÙ ¸ Öº È ØÖ
Ð Ö
´ ØÓ×» ÙÐÐµ

Ü Ñ Ò
◮ Ü Ñ Ò ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ··
´×ØÝÐ ÁÆ ¿½½»¿¾½¸ Ú
ÙÒ Ô Ø Ø Ü Ö

ÅÈÁµ
Ì ´¾ Ñ µ¸ Ô Ð Ñ
Ò ´ÈÅµ
◮ Ü Ñ Ò
Ö Ø ¿ ´ µ ½¼ Ù Ò
◮ ÔÖÓ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ ´ÈÁ¸
ÙÐØ Ø ¸ Ö Ò Ù Ð ¾¾ Ñ µ ×ÓÙØ Ò Ò
ÓÖ Ð
ÆÓØ Ø ÓÒ
◮ ÒÓØ Ð ØØ Ö Ð
¾ +Ñ Ü(ÈÅ,ÈÁ)
¿
◮ ÒÓØ
Ð ×× ÒØ

Ä ØÖ Ô Ö ÐÐ Ð
ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð
Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹½ºË ÕÙ ÒØ Ð ¹

ÌÖ × ÕÙ ÒØ Ð ØÖ ÙÐÐ Ù Ð ËÓÖØ
ÌÖ Ö n ÓÒÒ × x½, ..., xn Ò ÓÖ Ö ×
Ò ÒØ
x½ ≤ ... ≤ xn
→ Ò ¸
Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ñ × Ø ÑÔ× ÕÙ Ö Ø ÕÙ O(n¾)
4 3 2 1

3 4 2 1

3 42 1

3 42 1
3 42 1

3 42 1

3 42 1

3 42 1

3 421

Phase 1:
Le plus grand élément
remonte
Phase 2:
Le deuxième plus grand
élément remonte
Phase 3:
Le troisième plus grand
élément remonte
Bulle

ÌÖ × ÕÙ ÒØ Ð Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÉÙ
×ÓÖØ
Ð ÓÖ Ø Ñ Ö
ÙÖ× Ö Ò ÓÑ × Ú
Ô ÚÓØ x
◮ ÙÒ Ø Ð Ù ÙÒ Ð Ñ ÒØ ×Ø ÙÒ Ø Ð Ù ØÖ
× Ø ÖÑ Ò Ð Ð
Ö
ÙÖ× ÓÒ
◮ × ÒÓÒ
Ó × Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØ Ô ÚÓØ x¸ Ô ÖØ Ø ÓÒÒ Ö Ð Ø Ð Ù X Ò ÙÜ
×ÓÙ×¹Ø Ð ÙÜ X≤x Ø Xx¸ Ø ÔÔ Ð Ö Ö
ÙÖ× Ú Ñ ÒØ
ÉÙ
ËÓÖØ(X) = (ÉÙ
ËÓÖØ(X≤x), ÉÙ
ËÓÖØ(Xx ))
Ì ÑÔ× ÑÓÖØ ˜O(n ÐÓ n)¸ ˜O(n ÐÓ p) × p Ð Ñ ÒØ× ×Ø Ò
Ø×
ØØ ÒØ ÓÒ Ò³ÓÙ Ð Þ Ô × Ö ÙÒ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ð ØÓ Ö ´ Ò Ø ÑÔ×
Ð Ò Ö µ Ú ÒØ ³ ÔÔ Ð Ö ÉÙ
ËÓÖØ × ÒÓÒ ÚÓÙ× Ö ×ÕÙ Þ ÙÒ Ø ÑÔ× ÕÙ Ö Ø ÕÙ
O(n¾)

Ø Ñ Ô Ð Ø
Ð × × Ì Ú Ó Õ Ù
Ë Ó Ö Ø ´ Ú
Ø Ó Ö Ì ²Ú ¸ Ù Ò × Ò Ò Ø
ÐÓÛ ¸ Ù Ò × Ò Ò Ø µ
ß
´ ÐÓÛ µ Ö Ø Ù Ö Ò
»» × Ð
Ø ÓÒÒ Ð Ú Ð ÙÖ Ù Ô ÚÓØ
Ù Ò × Ò Ò Ø Ô Ú Ó Ø Á Ò Ü ´ ÐÓÛ · µ » ¾
»» Ô ÖØ Ø ÓÒÒ Ð Ú
Ø ÙÖ
Ô Ú Ó Ø Á Ò Ü Ô Ú Ó Ø ´ Ú ¸ ÐÓÛ ¸ ¸ Ô Ú Ó Ø Á Ò Ü µ
»» ØÖ Ð × ÙÜ ×ÓÙ×¹Ú
Ø ÙÖ× Ö
ÙÖ× Ú Ñ ÒØ
´ ÐÓÛ Ô Ú Ó Ø Á Ò Ü µ Õ Ù
Ë Ó Ö Ø ´ Ú ¸ ÐÓÛ ¸ Ô Ú Ó Ø Á Ò Ü µ
´ Ô Ú Ó Ø Á Ò Ü µ Õ Ù
Ë Ó Ö Ø ´ Ú ¸ Ô Ú Ó Ø Á Ò Ü · ½ ¸
µ
Ø Ñ Ô Ð Ø
Ð × × Ì Ú Ó Õ Ù
Ë Ó Ö Ø ´ Ú
Ø Ó Ö Ì ² Ú µ
ß
Ù Ò × Ò Ò Ø ÒÙÑ Ö Ð Ñ ÒØ× Ú º × Þ ´ µ
´ ÒÙÑ Ö Ð Ñ ÒØ× ½ µ
Õ Ù
Ë Ó Ö Ø ´ Ú ¸ ¼ ¸ ÒÙÑ Ö Ð Ñ ÒØ× − ½ µ

Ø Ñ Ô Ð Ø
Ð × × Ì Ù Ò × Ò Ò Ø Ô Ú Ó Ø ´ Ú
Ø Ó Ö Ì ² Ú ¸
Ù Ò × Ò Ò Ø × Ø Ö Ø ¸ Ù Ò × Ò Ò Ø × Ø Ó Ô ¸ Ù Ò × Ò Ò Ø
Ô Ó × Ø Ó Ò µ
ß »» ÓÒ
Ò Ð Ô ÚÓØ Ú
Ð ÔÓ× Ø ÓÒ Ò Ø Ð
×Û Ô ´ Ú × Ø Ö Ø ℄ ¸ Ú Ô Ó × Ø Ó Ò ℄ µ
»» Ô ÖØ Ø ÓÒÒ Ð × Ú Ð ÙÖ×
Ù Ò × Ò Ò Ø ÐÓÛ × Ø Ö Ø · ½
Ù Ò × Ò Ò Ø × Ø Ó Ô · ½
Û Ð ´ ÐÓÛ µ
´ Ú ÐÓÛ ℄ Ú × Ø Ö Ø ℄ µ
ÐÓÛ··
Ð × ´ Ú −− ℄ Ú × Ø Ö Ø ℄ µ
×Û Ô ´ Ú ÐÓÛ ℄ ¸ Ú ℄ µ
»» Ø ÓÒ Ö ¹
Ò Ð Ô ÚÓØ × ÔÐ
Ò Ø Ð
×Û Ô ´ Ú × Ø Ö Ø ℄ ¸ Ú −−ÐÓÛ ℄ µ
Ö Ø Ù Ö Ò ÐÓÛ
Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹½ºË ÕÙ ÒØ Ð ¹½¼

»» È Ø Ø Ü ÑÔÐ ÑÓÒ×ØÖ Ø ÓÒ
Ò Ø Ñ Ò ´ µ ß
Ú
Ø Ó Ö Ò Ø Ú ´ ½ ¼ ¼ µ
Ó Ö ´ Ò Ø ¼ ½ ¼ ¼ ··µ
Ú ℄ Ö Ò ´ µ ± ¾
Õ Ù
Ë Ó Ö Ø ´ Ú µ
Ú
Ø Ó Ö Ò Ø Ø Ö Ø Ó Ö Ø Ö Ú º Ò ´ µ
Û Ð ´ Ø Ö Ú º Ò ´ µ µ ß

Ó Ù Ø ∗ Ø Ö
Ø Ö ··

Ó Ù Ø Ò
Ö Ø Ù Ö Ò ¼
Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹½ºË ÕÙ ÒØ Ð ¹½½

Ð
ÙÐ Ö Ð k¹ Ñ ÔÐÙ× Ô Ø Ø Ð Ñ ÒØ S
Ç
Ø Ö ÒØ Ö ÙÒ Ø ÑÔ× O(n ÐÓ n) Ò
Ð
ÙÐ ÒØ Ð Ñ Ò º
Ø S ÙÒ Ò× Ñ Ð n = |S| ÒÓÑ Ö ×¸ k ∈ N
Ê ×ÙÐØ Ê ØÓÙÖÒ Ð k¹ Ñ Ð Ñ ÒØ S
n ≤ Ø Ò
»»
× Ø ÖÑ Ò Ð Ð Ö
ÙÖ× Ú Ø
ØÖ Ö S Ø Ö ØÓÙÖÒ Ö Ð k¹ Ñ Ð Ñ ÒØ
Ð×
Ú × Ö S Ò ⌈n
⌉ ÖÓÙÔ ×
»» Ä ÖÒ Ö ÖÓÙÔ ´
ÓÑÔÐ Øµ ÓÙ n ÑÓ Ð Ñ ÒØ×
Ð
ÙÐ Ö Ð × Ñ Ò × × ÖÓÙÔ × M = {m½, ..., m⌈ n
⌉}
»» Ð
ÙÐ Ù Ô ÚÓØ x¸ Ð Ñ Ò
x ← Ë Ä Ì(M, ⌈n
⌉, ⌊
⌈ n
⌉+½
¾ ⌋)
È ÖØ Ø ÓÒÒ Ö S Ò ÙÜ ×ÓÙ×¹ Ò× Ñ Ð × L = {y ∈ S : y ≤ x} Ø
R = {y ∈ S : y x}
k ≤ |L| Ø Ò
Ö ØÙÖÒ Ë Ä Ì(L, |L|, k)
Ð×
Ö ØÙÖÒ Ë Ä Ì(R, n − |L|, k − |L|)
Ò
Ò
⇒ Ø ÑÔ× Ø ÖÑ Ò ×Ø Ð Ò Ö ´ÓÖ Ö ×Ø Ø ×Ø
×µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹½ºË ÕÙ ÒØ Ð ¹½¾

ÌÖ × ÕÙ ÒØ Ð ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ
ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ ÔÓÙÖ ØÖ Ö n ÒÓÑ Ö × ×ÙÖ Ð ÑÓ Ð
ÓÑÔ Ö ×ÓÒ×º
Ö Ö
× ÓÒ
(a1, a2, a3) (a2, a1, a3)
(a1, a3, a2) (a3, a1, a2) (a2, a3, a1) (a3, a2, a1)
a1
?
≤ a2
a2
?
≤ a3 a1
?
≤ a3
a1
?
≤ a3 a1
?
≤ a2
1 0
0
0
0
01 1
11

ÌÖ × ÕÙ ÒØ Ð ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ
◮ ÙÒ Ö Ö Ò Ö n Ù ÐÐ × ×Ø ÙØ ÙÖ Ñ Ò Ñ Ð h ≥ ÐÓ ¾ n
◮ ÔÙ ×ÕÙ³ÓÒ n! Ù ÐÐ × ´Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ×µ¸ Ò ÙØ Ð × ÒØ Ð ÓÖÑÙÐ ËØ ÖÐ Ò
n! ∼
√
¾πn(n
e )n¸ ÓÒ Ò Ù Ø ÕÙ
h ≥ ÐÓ ¾ n! = O(n ÐÓ n)
ÌÖ Ö Ñ Ò ÓÒ
h = Ω(n ÐÓ n) ÓÔ Ö Ø ÓÒ×
ÓÑÔ Ö ×ÓÒº
ÅÓ Ð
Ð
ÙÐ ÑÔÓÖØ ÒØ
Ø ÖÑ Ò ×Ø
×ÓÖØ Ò Ò O(n ÐÓ ÐÓ n) Ø Ñ Ò Ð Ò Ö ×Ô
ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ð ÓÖ Ø Ñ×
Ó Ò Ø ÓÒ¸ ÁÒ ÓÖÑ Ø
× Ò ÄÓ
¼ ´½µ ½¼ ´ÁÒØ Ö ×ÓÖØ Ò µ

È Ö ÐÐ Ð × Ö Å Ö ËÓÖØdiviseleslistesfusionneleslistes
4 2 7 8 5 1 3 6
4 2 7 8 5 1 3 6
4 2 7 8 5 1 3 6
4 2 7 8 5 1 3 6
42 7 8 51 3 6
42 7 8 51 3 6
42 7 851 3 6
P0
P0 P4
P4 P6
P6 P7P4 P5
P0
P0 P1 P2 P3
P2
P4 P6P0 P2
P0 P4
P0
Ù× ÓÒÒ Ö × Ð ×Ø × ØÖ × Ø ÑÔ× Ð Ò Ö
Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹¿ºÅ Ö ËÓÖØ // ¹½

Å Ö ËÓÖØ × ÕÙ ÒØ Ð» Ô Ö ÐÐ Ð Ò ÐÝ× Ð
ÓÑÔÐ Ü Ø
◮ Ø ÑÔ× × ÕÙ ÒØ Ð T× Õ = O( ÐÓ n
i=½ ¾
i n
¾i ) = O(n ÐÓ n)
◮ Ø ÑÔ× Ô Ö ÐÐ Ð TÔ Ö = O(¾
ÐÓ n
i=¼
n
¾i ) = O(n) ÔÙ ×ÕÙ
n
k=¼ qk = ½−qn+½
½−q
ÆÓØÓÒ× ÕÙ³ Ú
P ÔÖÓ
××Ù×¸ Ð ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ Ù ØÖ Ô Ö ÐÐ Ð ×Ø
Ω ( n
P ÐÓ n)º
Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹¿ºÅ Ö ËÓÖØ // ¹½

Ð ÓÖ Ø Ñ Ô Ö ÐÐ Ð × ×ÙÖ Ð Ö Ò Ê Ò ËÓÖØ
ËÓ Ø ÙÒ Ø Ð Ù X[¼], ..., X[n − ½] ×
Ð Ö × ØÖ Öº
½º ÈÓÙÖ
ÕÙ ÓÒÒ X[i]¸ ÓÒ
Ð
ÙÐ ×ÓÒ Ö Ò
R[i] = |{X[j] ∈ X : X[j] X[i]}|
Ä ÔÐÙ× Ô Ø Ø Ð Ñ ÒØ Ö Ò ¼ Ø Ð ÔÐÙ× Ö Ò Ö Ò n − ½
¾º ÇÒ Ö Ò Ò× Ð ÒÓÙÚ Ù Ø Ð Ù Y Y [R[i]] = X[i]
◮ Ð³ Ø Ô ½ ×Ø
Ð Ñ ÒØ Ô Ö ÐÐ Ð ´×ÙÖ P = n Ò Ù ×µ ÓÒ
Ð
ÙÐ Ð
ÔÖ
Ø X[j] X[i] ?, ∀j Ø ÓÒ Ö Ð × ¼ ´ ÙÜµ Ø Ð × ½ ´ÚÖ ×µ
R[i] =
n−½
j=¼
½[X[j]X[i]]
ÈÖ
Ø ÓÓÐ Ò
ÓÒÚ ÖØ Ò ¼ ÓÙ ½
◮ ÓÒ ×ÙÔÔÓ× Ð × Ð Ñ ÒØ× ×Ø Ò
Ø×
◮ Ò
ÓÒÚ Ò ÒØ Ñ Ò × Ø Ð ÙÜ ÙÜ Ð Ö × R Ø Y
Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÌÖ Ô Ö ÐÐ Ð Ô Ö Ö Ò Ê Ò ËÓÖØ ¹½

Ä ØÖ Ê Ò ËÓÖØ
Ó Ö ´ ¼ Ò ··µ
ß »» ÔÓÙÖ
ÕÙ ÒÓÑ Ö
Ö Ò ¼
Ó Ö ´ ¼ Ò ··µ
ß »» ÓÒ
ÓÑÔØ Ð × ÒÓÑ Ö × ÔÐÙ× Ô Ø Ø× ÕÙ ÐÙ
´ ℄ ℄ µ
ß Ö Ò ··
»» ÔÙ × ÓÒ Ð Ö
ÓÔ Ð ÔÐ
×ÓÒ Ö Ò Ò× Ð ÒÓÙÚ Ù
Ø Ð Ù ℄
Ö Ò ℄ ℄
◮ Ø ÑÔ× × ÕÙ ÒØ Ð T× Õ = O(n¾)
◮ Ø ÑÔ× Ô Ö ÐÐ Ð TÔ Ö = O(n) ÕÙ Ò P = n ´
Ð
ÙÐ Ò Ô Ò ÒØ ÔÓÙÖ

ÕÙ Ö Ò µ

Ê Ò ËÓÖØ Ú
P = n¾
ÔÖÓ
××Ù×
◮ ÓÒ ÙØ Ð × n ÔÖÓ
×× ÙÖ× ÔÓÙÖ ØÖÓÙÚ Ö Ð Ö Ò ³ÙÒ × ÙÐ Ð Ñ ÒØ ººº È Ö
Ü ÑÔÐ ¸ ÔÓÙÖ n Ô Ø Ø¸ ÓÒ Ô ÙØ ÙØ Ð × Ö Ð³ÙÒ Ø
Ð
ÙÐ Ö Ô ÕÙ ´ ÈÍ¸
Ö Ô
Ð ÈÖÓ
×× Ò ÍÒ Øµ
◮ Ò
Ð
ÙÐ ÒØ ÙÒ ×ÓÑÑ ÐÓ Ð ´ Ð ÅÈÁ Ê Ù
»ÅÈÁ ËÙÑµ

++
+

a[i] a[0] a[1] a[2] a[3]a[i] a[i] a[i]
0/1 0/1 0/1 0/1
0/1/2 0/1/2
0/1/2/3/4
comparaison
r´eduction
ÇÒ ×ÙÔÔÓ× ÕÙ Ð Ö Ù
× Ø Ò Ø ÑÔ× ÐÓ Ö Ø Ñ ÕÙ Ô Ò Ð
ØÓÔÓÐÓ Ù Ö × Ù ³ ÒØ Ö
ÓÒÒ Ü ÓÒ
→ ÎÖ ÔÓÙÖ Ð³ ÝÔ Ö
Ù Ñ Ò× ÓÒ ÐÓ n¸ ÙÜ ÔÓÙÖ ÙÒ ÒÒ Ùº
TÔ Ö = O(ÐÓ n)
ÚÓ Ö Ò O(½) ÔÓÙÖ Ð ØÓÔÓÐÓ Ð
Ð ÕÙ º

ÉÙ
ËÓÖØ Ò Ô Ö ÐÐ Ð
◮ ×Ó Ø P ÔÖÓ
××Ù×
◮ Ò Ø Ð Ñ ÒØ¸ ÓÒ ×ÙÔÔÓ× Ð × ÓÒÒ × ×ØÖ Ù × ×ÙÖ Ð ×
Ñ
Ò ×»ÔÖÓ
××Ù×
◮ ØÖ ×
Ò ÒØ × ÓÒÒ × ×ØÓ
× ÐÓ
Ð Ñ ÒØ Ò× P¼, ..., PP−½
È Ö ÐÐ Ð ÉÙ
ËÓÖØ
◮
Ó Ü Ð ØÓ Ö Ù Ô ÚÓØ x Ø Ù× ÓÒ ´ ÖÓ
×Øµ ØÓÙ× Ð × ÙØÖ ×
ÔÖÓ
××Ù×
◮
ÕÙ ÔÖÓ
××Ù× Pp Ô ÖØ Ø ÓÒÒ ×ÓÒ Ø Ð Ù Ò ÙÜ ×ÓÙ×¹Ø Ð ÙÜ Xp
≤
Ø Dp
Ò ÙØ Ð × ÒØ Ð Ô ÚÓØ x
◮
ÕÙ ÔÖÓ
××Ù× ×ÙÔ Ö ÙÖ p ≥ P/¾ ÒÚÓ × Ð ×Ø Ò Ö ÙÖ Xp
≤ ÙÒ
ÔÖÓ
××Ù× Ô ÖØ Ò Ö p′ = p − P/¾ ≤ P/¾¸ Ø Ö Ó Ø Ò Ö ØÓÙÖ ÙÒ Ð ×Ø
×ÙÔ Ö ÙÖ Xp′
¸ Ø Ö
ÔÖÓÕÙ Ñ ÒØº
◮ Ð × ÔÖÓ
××Ù× × × Ô Ö ÒØ Ò ÙÜ ÖÓÙÔ ×¸ Ø ÓÒ ÔÔÐ ÕÙ Ö
ÙÖ× Ú Ñ ÒØ
Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ
◮
× Ø ÖÑ Ò Ð
ÕÙ ÔÖÓ
××Ù× ØÖ ×ÓÒ Ô ÕÙ Ø ´Ô Ö Ü ÑÔÐ ¸ Ú
ÉÙ
×ÓÖØ × ÕÙ ÒØ Ðµ
Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÉÙ
×ÓÖØ Ô Ö ÐÐ Ð ¹¾¼

ÁÐÐÙ×ØÖ Ø ÓÒ ÉÙ
×ÓÖØ Ò Ô Ö ÐÐ Ð »È Ö ÐÐ Ð ÉÙ
ËÓÖØ ´½µ
×ÓÖØ Ô Ö ÐÐ Ð ¹¾½

ËÓÖØ ´¾µ
×ÓÖØ Ô Ö ÐÐ Ð ¹¾¾

ËÓÖØ ´¿µ
×ÓÖØ Ô Ö ÐÐ Ð ¹¾¿

ËÓÖØ ´ µ
×ÓÖØ Ô Ö ÐÐ Ð ¹¾

È Ö ÐÐ Ð ÉÙ
ËÓÖØ ÙÒ Ö ×ÙÑ
◮ Ð × ÔÖÓ
××Ù× P/¾ ÓÒØ × Ú Ð ÙÖ× ×ÙÔ Ö ÙÖ × Ù Ô ÚÓØ¸ Ø Ð × ÔÖÓ
××Ù×
P/¾ ÓÒØ × Ú Ð ÙÖ× ÔÐÙ× Ô Ø Ø ×
◮ ÔÖ × ÐÓ P ÔÔ Ð× Ö
ÙÖ× × ´P ×Ø ÙÒ ÔÙ ×× Ò
¾µ¸
ÕÙ ÔÖÓ
××Ù×
ÙÒ Ð ×Ø Ú Ð ÙÖ×
ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ × Ó ÒØ × ÙØÖ ×
◮ Ð ÔÐÙ× Ö Ò Ú Ð ÙÖ Pi ×Ø Ò Ö ÙÖ Ð ÔÐÙ× Ô Ø Ø Ú Ð ÙÖ Pi+½
◮
× Ø ÖÑ Ò Ð Ð Ö
ÙÖ× Ú Ø
ÕÙ ÔÖÓ
××Ù× ØÖ ×ÓÒ Ô ÕÙ Ø ´Ô Ö
Ü ÑÔÐ ¸ Ú
ÉÙ
×ÓÖØ × ÕÙ ÒØ Ðµ
ÁÒ
ÓÒÚ Ò ÒØ ØÖ Ú Ð ÒÓÒ¹ ÕÙ Ð Ö × ÔÖÓ
××Ù× ´ ÐÓ Ñ Ð Ò
µ
Ö
Ô Ò × Ô ÚÓØ×
Ó × × Ø Ù× ×º
⇒ ÓÒ Ö
Ö
× Ð ÓÖ Ø Ñ × ØÖ Ô Ö ÐÐ Ð Ú
ÙÒ Ñ ÐÐ ÙÖ ÕÙ Ð Ö

Ö
×ÓÖØ Ô Ö ÐÐ Ð ¹¾

ÀÝÔ ÖÕÙ
×ÓÖØ
◮ Ð × ÔÖÓ
××Ù×
ÓÑÑ Ò
ÒØ Ô Ö ÙÒ ÉÙ
×ÓÖØ × ÕÙ ÒØ Ð ×ÙÖ
n
P ÓÒÒ ×
˜O( n
P ÐÓ
n
P )º
◮ Ð ÔÖÓ
××Ù× Ö ×ÔÓÒ× Ð Ù
Ó Ü Ù Ô ÚÓØ
Ó × Ø Ð Ñ Ò ×ÓÒ
Ø Ð Ù ØÖ Ò Ü
n
¾P
◮ Ð ÔÖÓ
××Ù× Ô ÚÓØ Ù× ´ ÖÓ
×Øµ Ð Ô ÚÓØ ÙÜ ÙØÖ × ÔÖÓ
××Ù×
×ÓÒ ÖÓÙÔ
◮ Ð × ÔÖÓ
××Ù× Ô ÖØ Ø ÓÒÒ ÒØ Ò ÙÜ ×ÓÙ×¹Ð ×Ø × D≤ Ø D Ò ÓÒ
Ø ÓÒ Ù
Ô ÚÓØ
◮
Ò × × Ð ×Ø × × ÔÖÓ
××Ù× Ô ÖØ Ò Ö ×
◮ ×ÙÖ
ÕÙ ÔÖÓ
××Ù×¸ ÓÒ Ù× ÓÒÒ × × ÙÜ ×ÓÙ×¹Ð ×Ø × ØÖ × Ò ÙÒ Ð ×Ø
ØÖ ´ Ù× ÓÒ Ð ×Ø Ø ÑÔ× Ð Ò Ö µ
◮ ÔÔ ÐÐ Ö
ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ×ÙÖ Ð × ÔÖÓ
××Ù× ×ÓÒ ÖÓÙÔ º
Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÀÝÔ ÖÕÙ
×ÓÖØ ¹¾

ÀÝÔ ÖÕÙ
×ÓÖØ ÁÒ Ø Ð × Ø ÓÒ ´½µ
×ÓÖØ ¹¾

ÀÝÔ ÖÕÙ
×ÓÖØ
Ó Ü Ù Ô ÚÓØ ´¾µ
×ÓÖØ ¹¾

ÀÝÔ ÖÕÙ
×ÓÖØ Ô ÖØ Ø ÓÒ × ÓÒÒ × Ú
´¿µ
×ÓÖØ ¹¾

ÀÝÔ ÖÕÙ
×ÓÖØ
Ò × Ð ×Ø × ´ µ
×ÓÖØ ¹¿¼

ÀÝÔ ÖÕÙ
×ÓÖØ Ð ×Ø ×
Ò × ´ µ
×ÓÖØ ¹¿½

ÀÝÔ ÖÕÙ
×ÓÖØ Ù× ÓÒ × Ð ×Ø × ´ µ
×ÓÖØ ¹¿¾

ÀÝÔ ÖÕÙ
×ÓÖØ Ö
ÙÖ× Ú Ø ×ÙÖ Ð × ÖÓÙÔ × → È ÚÓØ ||½
´ µ
×ÓÖØ ¹¿¿

ÀÝÔ ÖÕÙ
×ÓÖØ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ø
Ò ´ µ
×ÓÖØ ¹¿

ÀÝÔ ÖÕÙ
×ÓÖØ Ð ×Ø
Ò × ´ µ
×ÓÖØ ¹¿

ÀÝÔ ÖÕÙ
×ÓÖØ Ù× ÓÒ × ×ÓÙ×¹Ð ×Ø × ØÖ × ´½¼µ
×ÓÖØ ¹¿

ÀÝÔ ÖÕÙ
×ÓÖØ Ò ÐÝ× Ð
ÓÑÔÐ Ü Ø
ÀÝÔÓØ × ×
◮ Ø ÑÔ× ÑÓÖØ ÑÓÝ Ò
◮ Ð × Ð ×Ø × ×ÓÒØ ×ÙÔÔÓ× × ÕÙ Ð Ö × ´ Ô Ù ÔÖ ×µ
◮ Ð × Ø ÑÔ×
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ ×ÓÒØ ÓÑ Ò × Ô Ö Ð × Ø ÑÔ× ØÖ Ò×Ñ ×× ÓÒ
´Ð × Ø ÑÔ× Ð Ø Ò
×ÓÒØ ÒÓÖ ×µ
Ò ÐÝ×
◮ ÉÙ
×ÓÖØ Ò Ø Ð Õ( n
P ÐÓ
n
P )
◮
ÓÑÔ Ö ×ÓÒ× ÔÓÙÖ Ð × ÐÓ P Ø Ô × Ù× ÓÒ Õ( n
P ÐÓ P)
◮
Ó Ø ÔÓÙÖ Ð ×
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ× ÔÓÙÖ Ð × ÐÓ P
Ò × ×ÓÙ×¹Ð ×Ø ×
Õ( n
P ÐÓ P)
Ì ÑÔ× Ô Ö ÐÐ Ð ÐÓ Ð Õ( n
P ÐÓ (P + n))
×ÓÖØ ¹¿

ÈËÊË È Ö ÐÐ Ð ËÓÖØ Ò Ý Ê ÙÐ Ö Ë ÑÔÐ Ò
Ð ÓÖ Ø Ñ ØÖ Ò Ô × ×
Ê Ñ ÖÕÙ P Ò³ ×Ø Ô × Ò
×× Ö Ñ ÒØ ÙÒ ÔÙ ×× Ò
¾
½º
ÕÙ ÔÖÓ
××Ù× Pi ØÖ Ú
ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ × ÕÙ ÒØ Ð ´ÉÙ
ËÓÖØµ × ×
ÓÒÒ × ÐÓ
Ð ×¸ Ø
Ó × Ø Ð × Ð Ñ ÒØ× ÙÜ ÔÓ× Ø ÓÒ× Ö ÙÐ Ö ×
¼,
n
P¾
,
¾n
P¾
, ...,
(P − ½)n
P¾
→
ÒØ ÐÐÓÒÒ Ö ÙÐ Ö × × ÓÒÒ × ØÖ ×
¾º ÙÒ ÔÖÓ
××Ù× Ö ×× Ñ Ð ´ Ø Öµ Ø ØÖ ØÓÙ×
×
ÒØ ÐÐÓÒ× Ö ÙÐ Ö×¸
ÔÙ × × Ð
Ø ÓÒÒ P − ½ Ô ÚÓØ×º Ä ÔÖÓ
××Ù× Ù× ´ ÖÓ
×Øµ ÐÓÖ×
×
P − ½ Ô ÚÓØ×¸ Ø
ÕÙ ÔÖÓ
××Ù× Ô ÖØ Ø ÓÒÒ × Ð ×Ø ØÖ Ò P ÑÓÖ
ÙÜ
¿º ÐÐ¹ØÓ¹ ÐÐ »ØÓØ Ð Ü
Ò
ÕÙ ÔÖÓ
××Ù× Pi Ö × i¹ Ñ Ô ÖØ Ø ÓÒ
Ø ÒÚÓ Ð j¹ Ñ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ù ÔÖÓ
××Ù× j¸ ∀j = i
º
ÕÙ ÔÖÓ
××Ù× Ù× ÓÒÒ × × P Ô ÖØ Ø ÓÒ× Ò ÙÒ Ð ×Ø Ò Ð ØÖ º
Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÈ Ö ÐÐ Ð ËÓÖØ Ò Ý Ê ÙÐ Ö Ë ÑÔÐ Ò ¹¿

0 124 57 89 101112 131415 1617 6 3
0
3 9 15 4 11 14 0 2 8
P0 P1 P2
0 2 4 8 9 11 143 15
4 11
63 9 12 15 17
4 11
4 7 11 13 14 16 21 5 8 10
4 11
0
4 11
63 9 12 15 17
3
4 7 11 13 14 16
4
0
21 5 8 10
1 2
6 9
7 11
5 8 10 ∅
12 15 17
13 14 16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
4 11
étape 1 : tri et échantillonnage régulier
étape 2 : rassemblement (gather) choix de P − 1 pivots
étape 3 : partition et commérage (all-to-all)
étape 4 : fusion des P sous-listes sur chaque processus
tableau vide
P0
P1
P2
P0
P1
P2
P0
P1
P2
P0 P1 P2
P − 1 pivots
tableau trié
tableau à trier
Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÈ Ö ÐÐ Ð ËÓÖØ Ò Ý Ê ÙÐ Ö Ë ÑÔÐ Ò ¹¿

Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÈ Ö ÐÐ Ð ËÓÖØ Ò Ý Ê ÙÐ Ö Ë ÑÔÐ Ò ¹ ¼

ÌÖ Ô Ö ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× ³ Ð Ñ ÒØ× Ô Ö ×» ÑÔ Ö ×
Ê × ÙÜ ØÖ ×
◮ Ð ÔÖ Ò
Ô Ö ÔÓ× ×ÙÖ Ð ØÖ Ù Ð ËÓÖØ
◮ ÙÜ Ø Ô × Ð Ñ ÒØ Ö ×
◮ Ô × Ô Ö
ÓÑÔ Ö ×ÓÒ Ø
Ò ´×Û Ôµ × Ô Ö × Ô Ö ×
(X[¼], X[½]), (X[¾], X[¿]), ....
◮ Ô × ÑÔ Ö
ÓÑÔ Ö ×ÓÒ Ø
Ò ´×Û Ôµ × Ô Ö × ÑÔ Ö ×
(X[½], X[¾]), (X[¿], X[ ]), ....
◮ ØÖ
ÓÑÔÐ Ø Ò ÔÖ × n Ô × ×
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹ ½

18 15 22 10 23 11
10
10
10
15
15
15
15
15
11
11
11
11
11
23
23
23
23
23
22
22
22
22
2218
18
18
18
18 10
10
phase paire
phase impaire
phase paire
phase paire
phase impaire
entr´ee
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹ ¾

Ò Ö Ð × Ö Ð ØÖ Ô Ö» ÑÔ Ö Ò ÖÓÙÔ ×
◮ ØÖ Ö Ð × n/P Ð Ñ ÒØ×
ÕÙ ÖÓÙÔ »ÔÖÓ
××Ù× ´ÉÙ
ËÓÖØ
× ÕÙ ÒØ Ðµ
◮ ÒÚÓÝ Ö»Ö
ÚÓ Ö ´× Ò »Ö
Ú µ Ð × Ð Ñ ÒØ× × Ô Ö × ÔÖÓ
××Ù×
◮ × Ð Ö Ò Ù ÔÖÓ
××Ù× ×Ø Ò Ö ÙÖ
ÐÙ × Ô Ö ¸ ÐÓÖ× Ö Ö Ð ×
Ú Ð ÙÖ× Ð × ÔÐÙ× Ô Ø Ø ×¸ × ÒÓÒ Ö Ö Ð × Ú Ð ÙÖ× Ð × ÔÐÙ× Ö Ò ×º
◮ Ê Ô Ø Ö Ò× n/P Ó ×
→ Ö ÒÙÐ Ö Ø P = ¾ P = n
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹ ¿

Ò Ö Ð × Ö Ð ØÖ Ô Ö × Ô Ö» ÑÔ Ö Ò ÖÓÙÔ ×
Configuration initiale
Configuration après les tris locaux
Phase 1(pair)
Phase 2 (impair)
Phase 3 (pair)
Phase 4 (impair)
15, 11, 9, 16 3, 14, 8, 7 4, 6, 12, 10 5, 2, 13, 1
9, 11, 15, 16 3, 7, 8, 14 4, 6, 10, 12 1, 2, 5, 13
3, 7, 8, 9 11, 14, 15, 16 1, 2, 4, 5 6, 10, 12, 13
3, 7, 8, 9 1, 2, 4, 5 11, 14, 15, 16 6, 10, 12, 13
1, 2, 3, 4 5, 7, 8, 9 6, 10, 11, 12 13, 14, 15, 16
1, 2, 3, 4 5, 6, 7, 8 9, 10, 11, 12 13, 14, 15, 16
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹

Ò ÐÝ× Ð
ÓÑÔÐ Ü Ø
◮ ØÖ Ò Ø Ð O( n
P ÐÓ
n
P )
◮ Ö P Ô × ×
◮ ØÖ Ö Ð × ÔÐÙ× Ô Ø Ø × Ø Ö Ò × Ú Ð ÙÖ× Ò×
ÕÙ Ô × O( n
P )
´ Ù× ÓÒÒ Ö Ð × Ð ×Ø × Ø Ö Ö Ð ÑÓ Ø
ÓÒ
ÖÒ µ
◮
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ× O( n
P ) ´ Ð¸ × Ò× Ø ÑÔ× Ð Ø Ò
µ
◮
ÓÑÔÐ Ü Ø ÐÓ Ð O( n
P ÐÓ
n
P + n) ººº Ô × ØØÖ
Ø ººº
◮ Ñ × ÒØ Ö ×× ÒØ ×ÙÖ ÙÒ Ö × Ù
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ Ò ÒÒ Ù
Ö
Ø ÓÒÒ Ð ººº

Ä × Ð ÓÖ Ø Ñ × ØÖ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÙÒ Ö ×ÙÑ
ÇÒ ØÙ
× Ð ÓÖ Ø Ñ × ×Ø Ò Ö × ÔÓÙÖ Ð ØÖ
◮ Ê Ò ËÓÖØ
◮ È Ö ÐÐ Ð ÉÙ
ËÓÖØ
◮ ÀÝÔ ÖÕÙ
×ÓÖØ
◮ È Ö ÐÐ Ð ËÓÖØ Ò Ý Ê ÙÐ Ö Ë ÑÔÐ Ò ´ÈËÊËµ
◮ Ç ¹ Ú Ò ÌÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ ËÓÖØ
Ä Ô Ö ÓÖÑ Ò
Ò ÔÖ Ø ÕÙ Ô Ò Ù×× ×
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ×
→ Ô Ò Ð ØÓÔÓÐÓ Ù Ö × Ù ³ ÒØ Ö
ÓÒÒ Ü ÓÒ

Ê Ù
Ú
Ð Ø ÓÖ Ñ
ÂÓ Ò×ÓÒ¹Ä Ò Ò×ØÖ Ù××

Ä Ù × Ö Ò × Ñ Ò× ÓÒ×
ÙÖ× Ó Ñ Ò× ÓÒ Ð ØÝ
´ ÐÐÑ Ò¸ ÒÚ ÒØ ÙÖ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÝÒ Ñ ÕÙ µ
◮

Ø × Ð ÓÖ Ø Ñ × Ô Ò Ð Ñ Ò× ÓÒ d × ØØÖ ÙØ×
◮
Ð
ÙÐ ×Ø Ò
× ÓÙ × Ñ Ð Ö Ø × Ò Ω(d)
◮ Ð ÓÖ Ø Ñ × Ø ×ØÖÙ
ØÙÖ × ÓÒÒ × ×ÓÙÚ ÒØ Ú
ÙÒ
ÓÒ×Ø ÒØ
ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ò d

Ò× Ð ÒÓØ Ø ÓÒ O(·) Od (½)º
◮
Ð Ú ×Ù Ð × Ö Ð × ÓÒÒ × Ò Ö Ò × Ñ Ò× ÓÒ×
Ù ÓÙÖ ³ Ù ¸ Ò× Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ × ÓÒÒ ×
◮ ØÖ ×
ÓÙÖ ÒØ ØÖ Ú ÐÐ Ö Ò Ñ Ò× ÓÒ ½¼¼¼ Ø ÔÐÙ×
◮
× Ù×× Ó d ≫ n ´ Ñ Ò× ÓÒ ÒØÖ Ò× ÕÙ » ÜØÖ Ò× ÕÙ µ

× Ô ÒÓÑ Ò × ÒÓÒ¹ ÒØÙ Ø × Ò Ö Ò × Ñ Ò× ÓÒ×
◮ ÚÓÐÙÑ Ð ÐÐ Ò×
Ö Ø Ò× Ð
Ù ÙÒ Ø Ø Ò Ú Ö× Þ ÖÓ
Bd =
π
d
¾
Γ(d
¾ + ½)
rd
, r =
½
¾
◮ Ö ÐÐ Ö ÙÐ Ö Rd Ò l ×ÓÙ×¹ Ú × ÓÒ× Ô Ö
Ø Ô ÖØ Ø ÓÒÒ Ð³ ×Ô
Ò
ld ÝÔ Ö
Ù × ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò d ´ld = ed ÐÓ l µº
Ä³ ÔÔÖÓ
Ð Ö ÐÐ ÔØ Ø Ú Ò Ô ÖÑ Ø Ô × ÒÓÒ ÔÐÙ× Ô ×× Ö
Ð³
ÐÐ ººº
◮ ÒØ Ö Ø ÓÒ ×ØÓ
×Ø ÕÙ Ð ÅÓÒØ ¹ ÖÐÓ ´ ≈ µ Ú ÒØ ÒÙØ Ð × Ð
ººº
◮ ÓÒ Ò ×Ø Ò Ù ÔÐÙ× Ð ÔÐÙ× ÔÖÓ
ÚÓ × Ò Ù ÔÐÙ× ÐÓ ÒØ Ò ÚÓ × Ò ººº
ººº Ø ×Ø Ò
ØÓ Ø Ò Ö ×Ø Ø ÔÓ ÒØ ÔÔÖÓ
× Ø ×Ø Ò
ØÓ Ø
ÖØ ×Ø Ø ÔÓ ÒØ ººº ´ Ý Ö¸ ½ µ

Ü ÑÔÐ ½ ØÖÓÙÚ Ö Ð × Ñ × ÙÔÐ ÕÙ ×
Ò Ö ÙÔÐ
Ø Ñ Ø
Ø ÓÒ
◮ ÙÒ Ñ I[y][x] Ò
ÓÙÐ ÙÖ ÊÎ Ø ÐÐ w × h ×Ø
ÓÒÚ ÖØ Ò ÙÒ
Ú
Ø ÙÖ v(I) Ñ Ò× ÓÒ R¿wh ´Ú
ØÓÖ Þ Ø ÓÒµ
◮ Ð ×Ø Ò
ÒØÖ ÙÜ Ñ × I½ Ø I¾ ×Ø Ð ×ÓÑÑ × Ö Ò
× Ù

ÖÖ ´ ×ÙÑ Ó ×ÕÙ Ö Ö Ò
× µ
ËË (I½, I¾) =
h
i=½
w
j=½
(I½[i][j] − I¾[i][j])¾
= v(I½) − v(I¾) ¾
◮ ÙÒ Ñ ×Ø Ò ÓÙ Ð Ò× ÙÒ × ³ Ñ × × ×ÓÒ ÔÐÙ× ÔÖÓ
ÚÓ × Ò
×Ø ÕÙ × Ñ ÒØ ÒØ ÕÙ ËË (I, ÈÈÎ(I)) ≤ ǫ
⇒
ÓÑÑ ÒØ
Ð
ÙÐ Ö Ð × ÔÐÙ× ÔÖÓ
× ÚÓ × Ò× Ò Ö Ò × Ñ Ò× ÓÒ× Ò Ø ÑÔ×
×ÓÙ×¹Ð Ò Ö ¸ o(d)
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹ ¼

Ü ÑÔÐ ¾ Ö ÖÓÙÔ Ö ÙÒ
ÓÐÐ
Ø ÓÒ ³ Ñ ×
Ü ÑÔÐ Ð × ÅÆÁËÌ ×
Ö × ÔÓ×Ø ÙÜ ´ÍËµ
n = ¼¼¼¼¸ d = ¾
¾ =
ØØÔ »»Ý ÒÒºÐ
ÙÒº
ÓÑ» Ü »ÑÒ ×Ø»
Á Ð Ñ ÒØ¸ ØÖÓÙÚ Ö Ð × Ü
ÐÙ×Ø Ö× ÔÓÙÖ Ð ×
Ö × ³¼³ ³ ³
◮ ÙØ Ð × Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ × k¹ÑÓÝ ÒÒ × ÄÐÓÝ Ò Ñ Ò× ÓÒ ×Ø ØÖÓÔ
Ð ÒØ ººº
◮
ÓÑÑ ÒØ Ö
→ Ö Ù Ö Ð Ñ Ò× ÓÒ Ò
ÓÒ× ÖÚ ÒØ Ð ÒÓØ ÓÒ ×Ø Ò
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹ ½

Ä Ö Ù
Ø ÓÒ Ñ Ò× ÓÒ ÓÖÑÙÐ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ
◮ ÓÒÒ × X n ÔÓ ÒØ× Rd
◮ X ÒØ ÖÔÖ Ø
ÓÑÑ ÙÒ Ñ ØÖ
Ø ÐÐ n × d
´ÙÒ ÓÒÒ Ô Ö Ð Ò ¸ Ú
Ø ÙÖ Ð Ò µ
◮ ÙÜ Ø
Ò ÕÙ × ÔÓÙÖ Ö Ù Ö Ð Ñ Ò× ÓÒ
◮ × Ð
Ø ÓÒÒ Ö Ð × Ñ Ò× ÓÒ×
ÓÒ× ÖÚ Ö ´ ØÙÖ × Ð
Ø ÓÒµ
◮ Ö
ÓÑÔÓ× Ö Ð × Ñ Ò× ÓÒ× Ü ×Ø ÒØ × Ò ÒÓÙÚ ÐÐ × Ñ Ò× ÓÒ× ØÓÙØ Ò
Ö ÒØ Ð³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ´Ð ÒÓØ ÓÒ ×Ø Ò
µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹ ¾

Ä Ö Ù
Ø ÓÒ Ñ Ò× ÓÒ Ð Ò Ö
××Ó
ÓÒ× ÙÒ Ú
Ø ÙÖ y = y(x) ∈ Rk ØÓÙØ x
A : Rd
→ Rk
ÄÓÖ×ÕÙ y(x) ×Ø ÙÒ ÓÒ
Ø ÓÒ Ð Ò Ö ¸
Ö ØÙÖ Ñ ØÖ
ÐÐ
y = x × A, Y = X × A
A Ñ ØÖ
Ø ÐÐ d × k ´x Ø y Ú
Ø ÙÖ× Ð Ò ×µ
⇒ Y Ó Ø ØÖ Ð X
∀x, x′
∈ X, y − y′ ¾
= xA − x′
A ¾
≈ x − x ¾
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹ ¿

Ä Ø ÓÖ Ñ ÂÓ Ò×ÓÒ¹Ä Ò Ò×ØÖ Ù×× ´½ µ
ËÓ Ø X n ÔÓ ÒØ× Rd Ø ǫ ∈ (¼, ½)¸ ÐÓÖ× Ð Ü ×Ø ÙÒ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ
Ð Ò Ö A : Rd → Rk Ú
k = O( ½
ǫ¾ ÐÓ n) Ø ÐÐ ÕÙ
∀x, x′
∈ X, (½ − ǫ) x − x′ ¾
≤ xA − x′
A ¾
≤ (½ + ǫ) x − x′ ¾
→ÐÓÛ ×ØÓÖØ ÓÒ Ñ Ò
´ Ö ÒØ Ù
× Ó
³ ×Ø Ô Ö Ø ÔÐÓÒ Ñ ÒØ ×Ó¹Ñ ØÖ ÕÙ µ
ÇÒ Ô ×× Ð Ñ Ò× ÓÒ d Ð Ñ Ò× ÓÒ k = O( ½
ǫ¾ ÐÓ n)¸ Ò Ô Ò ÒØ
d

Å ØÖ
× A ÔÓÙÖ Ð × ÔÖÓ
Ø ÓÒ Ð ØÓ Ö ×
ÈÖÓ
Ø ÓÒ Ð ØÓ Ö A
◮ ÇÒ Ø Ö Ð ×
Ó
ÒØ× Ð Ñ ØÖ
A′ Ð ØÓ Ö Ñ ÒØ ×Ù Ú ÒØ ÙÒ ÐÓ
ÒÓÖÑ Ð ×Ø Ò Ö ´ µ
A′
= [ai,j], ai,j ∼ N(¼, ½)
◮ ÇÒ Ó Ø ÒØ ÙÒ
ÒØ ÐÐÓÒ Ð ØÓ Ö ³ÙÒ ÐÓ ÒÓÖÑ Ð ×Ø Ò Ö N(¼, ½)
Ô ÖØ Ö ÐÓ × ÙÒ ÓÖÑ × U½ Ø U¾ Ò Ô Ò ÒØ × Ô Ö
N = −¾ ÐÓ U½
Ó×(¾πU¾)
← ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÜ¹ÅÙÐÐ Ö
◮ ÓÒ Ù×Ø Ð³
ÐÐ
A =
k
d
A′

ÈÓÙÖÕÙÓ
Ð Ñ Ö
ÔÖÓ
Ø ÓÒ× Ð ØÓ Ö ×
◮ ×Ó Ø ÙÒ ×Ô
k¹ Ò Ð ØÓ Ö A Ú
k ≥ ÐÓ n
ǫ¾
¾
− ǫ¿
¿
º
◮ ÒÓØÓÒ× ˜x = d
k ÔÖÓ Ax ÔÖÓ
Ø ÓÒ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð x ×ÙÖ Aº
Ä ÑÑ
∀p, q ∈ X, P
˜p − ˜q ¾
p − q ¾
∈ [½ − ǫ, ½ + ǫ] ≤
¾
n¾
◮ ÈÖ ÙÚ ÈÖÓ Ð Ø ÕÙ ˜x × Ø × ×× Ð Ø ÓÖ Ñ ÂÄ
≥ ½ −
n
¾
¾
n¾
=
½
n
◮ ÇÒ Ô ÙØ
Ó × Ö O(n) ÔÖÓ
Ø ÓÒ× Ø Ö ÒØ Ö ÙÒ ÔÖÓ Ð Ø ×Ù

×

ÓÒ×Ø ÒØ

Ä Ì ³ Ù ÓÙÖ ³ Ù ººº Ê ÖÓÙÔ Ö × Ñ ×
ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ð × ÂÓ Ò×ÓÒ¹Ä Ò Ò×ØÖ Ù×× k¹ÑÓÝ ÒÒ × ÔÓÙÖ ÙÒ ×
³ Ñ ×
ÇÒ Ú Ô ×× Ö R¾ ¼¼¼¼ R ¿¾ ØÓÙØ Ò ØÖÓÙÚ ÒØ × Ô ÖØ Ø ÓÒ× × Ñ Ð Ð × ººº
Ö Ò Ò Ö Ô Ø
ÓÑÔÐ Ü Ø Ô ×× ÒØ O(sdkn) Oǫ(skn ÐÓ n) Ó s ×Ø Ð ÒÓÑ Ö
³ Ø Ö Ø ÓÒ× ´ Ú
Oǫ(nd ÐÓ n) ÔÓÙÖ
Ð
ÙÐ Ö Ð × ÔÖÓ
Ø ÓÒ×µ

Ê ×ÙÑ
ØÖ Ô Ö ÐÐ Ð ´ ÕÙ Ð Ö Ö Ð
Ö ÀÝÔ ÖÉÙ
ËÓÖØ¸ ÈËÊËµ
Ð Ö Ù
Ø ÓÒ Ñ Ò× ÓÒ ÔÓÙÖ Ð × ÓÒÒ × Ò Ö Ò × Ñ Ò× ÓÒ×
ÈÓÙÖ Ð ÔÖÓ
Ò Ó × Ð Ö Ð ×
Ô ØÖ × Ø ½¼ Ù ÔÓÐÝ
ÓÔ

Traitement des données massives (INF442, A5)

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (10)

Traitement des données massives (INF442, A5)