Download as PDF, PPTX
![ÁÆ ¾ Ñ Ò ×ØÖ Ø ÓÒ
ÓÒØ Ø Ò Ð× Ò Ð ÜºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö
ÔÖ Ü Ù ×Ù Ø × Ñ Ð× ÁÆ ¾
ÖÓÙÐ Ñ ÒØ
ÐÓ × ½ ¿¼ ÓÙÖ× ×Ù Ú ¾ Ì × · ØÖ Ú Ð Ô Ö×ÓÒÒ Ð
ÓÒØÖ Ð Å Ò ´ Ÿ ¾ µ¸ ÓÒØÖ Ð Ð ×× ÒØ ´ ¸ Ö Ø ¿ µ
ÆÓØ Ø ÓÒ Ù ÓÙÖ×
ÆÓØ Ð ×× ÒØ ∈ [¼, ¾¼] ´ Ü Ñ Ò Ö Ø¸ Ð ½¼ Ù Ò ¾¼½ µ
ÆÓØ Ð Ø Ö Ð ∈ {A, ..., E} ÔÓÙÖ Ð Ú Ð Ø ÓÒ ´ ¸ ¸ µ
× Ò× ÈÖÓ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ´ÈÁµ
¾ + Å
¿ + Ì ¸ Ú Ì ∈ [−½, ½]
Ú ÈÁ
¾ +Ñ Ü( Å,ÈÁ)
¿ + Ì](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-6-320.jpg)
![Ä ÈÖÓ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ´ÈÁµ
Ä ¿ È ÁÆ Ç ´≥ ¿ ÓÙÖ× ÁÆ Ç ¾ µ
È ÁÆ Ç Ð ÙØ ÚÓ Ö Ø ÙÒ ÈÖÓ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Ò ¾ ´ÓÙ ÑÓ Ðµ
ŠȹÁÆ Ç ´È Ö ÓÙÖ× ÁÑ ¹Î × ÓÒ¹ ÔÔÖ ÒØ ×× ¸ ÇÔØ Ñ × Ø ÓÒ¸ Ë Ò
× ÓÒÒ ×¸ Ð ÙÐ À ÙØ È Ö ÓÖÑ Ò µ ÈÁ Ò ¾ ÁÆ Ç ÓÙ Å È
È Å Ì ÁÆ Ç ÈÁ Ô × Ó Ð ØÓ Ö Ñ × Ö ÓÑÑ Ò
ÖÓÙÐ Ñ ÒØ × ÈÁ× Ò ÁÆ ¾
ÒÚ ÖÓÒ ¼¼ Ð Ò × Ó ´ÄÇ ×¸ Ð Ò Ó Ó ×¸ ··µ
Ò Ò Ñ
Ö ÔÔÓÖØ Ô ×
×ÓÙØ Ò Ò ´ Ú ÑÓ µ ½ Ñ Òº ´ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒµ · ½¼ Ñ Òº ´ÕÙ ×Ø ÓÒ×µ
Ê ÔÔ Ð ÓÑÔØ ÙÒ ÕÙ Ñ ÒØ Ò× Ð ÒÓØ Ð ØØ Ö Ð × Ò× Ô Ò Ð × Ö
¾ + Ñ Ü(ÈÅ, ÈÁ)
¿
+ Ì
Ú Ì ∈ [−½, ½]](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-8-320.jpg)
![ÒØÖ Ø Ú Ö Ò ³ÙÒ ÐÙ×Ø Ö
ÈÓ×ÓÒ× Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ñ ÒØ
Î Ö Ò Ù ÐÙ×Ø Ö Ñ Ò Ñ × v½(X, c)
Ñ Òc
v½(X, c) =
n
i=½
xi − c ¾
ÒØÖ Ù ÐÙ×Ø Ö
c½ = Ö Ñ Òc
v(X, c) = Ö Ñ Òc
n
i=½
xi − c ¾
, v½(X) = v½(X, c½)
Ö Ñ Ò Ö ÒÚÓ Ð³ Ö ÙÑ ÒØ ÕÙ ÓÒÒ Ð Ù Ù Ñ Ò ÑÙѺ Ò × ³ Ð Ø ¸ ÓÒ
Ö ÒÚÓ Ð ÔÐÙ× Ô Ø Ø ×Ù Ú ÒØ ÙÒ ÓÖ Ö ÓÒÒ º
È Ö Ü ÑÔÐ ¸ ÔÓÙÖ ÙÒ Ø Ð Ù
t[¼] = −¿, t[½] = , t[¾] = − , t[¿] = ½¼, t[ ] = − , t[ ] = ½¾º ÓÖ Ö ≤ ×ÙÖ Ð ×
Ò Ü × ÒØ Ö×
Ñ Ò
i
t[i] = − , Ö Ñ Ò
i
t[i] = ¾
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-35-320.jpg)
![À ÙÖ ×Ø ÕÙ ÄÐÓÝ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ö Ø
ü Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ G½, ..., Gk ´ Ú c½, ..., ck µ¸ ÓÒ Ñ Ð ÓÖ
Ø Ö Ø Ú Ñ ÒØ Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ Ú × ÙÜ Ø Ô ×
ÐÐÓ Ø ÓÒ × ÓÒÒ × ÙÜ ÖÓÙÔ ×º
ÈÓÙÖ ØÓÙØ xi ∈ X¸ ×Ó Ø li = Ö Ñ Òl xi − cl
¾¸ Ø ÓÖÑÓÒ× Ð ×
ÖÓÙÔ × Gj = {xi : li = j} Ö Ò Ð Ø nj = |Gj |º
Å × ÓÙÖ × ÒØÖ × × ÖÓÙÔ ×º
ÈÓÙÖ ØÓÙØ j ∈ [k] = {½, ..., k}¸ Ð ÙÐ Ö Ð ÒØÖ Ñ ××
cj = ½
nj x∈Gj
xº
Ê Ô Ø Ö × ÙÜ Ø Ô × Ù×ÕÙ³ ÓÒÚ Ö Ò º
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹ ¿](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-43-320.jpg)
![int d=2015;
double **T=new double*[d];
for(i=0;i<d;i++)
T[i]=new double[d];
T
T[0]
T[d-1]
T[1]
T[0][0]
T[1][0] T[1][1]
T[d − 1][0] T[d − 1][1] T[d − 1][d − 1]
pointeur sur un double* (type double**)
T[i] pointeur sur un double (type double*)](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-68-320.jpg)
![ÅÈÁ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× ÐÓ Ð × Ø Ð ÙÐ× ÓÐÐ ÓÖ Ø ×
Ä Ù× ÓÒ º ÖÓ ×Ø´Ñ× ¸P¼µ ÔÖÓ ××Ù× P¼ ÒÚÓ ØÓÙ× Ð × ÙØÖ ×
ÔÖÓ ××Ù× Ð Ñ ×× Ñ× º
ÍÒ Ð ÙÐ ÐÓ Ð ÓÐÐ ÓÖ Ø ´ Ú ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ×µ Ô Ö Ö Ù Ø ÓÒ º
ÐÐÊ Ù ´ÚÐÓ Ð¸Ú ÐÓ Ð¸ÓÔ Ö Ø ÓÒµ Ð × ÔÖÓ ××Ù× Ö ÒØ Ð × ÓÒÒ ×
ÐÓ Ð × Ú ÙÒ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ´ ÓÙ Ñ Ü Ô Ö Ü ÑÔÐ µ¸ Ø Ð Ö ×ÙÐØ Ø ×Ø
Ö ØÓÙÖÒ ØÓÙ× Ð × ÔÖÓ ××Ù×
Ú ÐÓ Ð =
p
ÚÐÓ Ð[p]](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-86-320.jpg)
![Tˆaches (jobs) sous UNIX
[france ~]$ sleep 10000 &
[1] 12027
[france ~]$ sleep 15000 &
[2] 12065
[france ~]$ jobs
[1]- Running sleep 10000 &
[2]+ Running sleep 15000 &
[france ~]$ kill %1
[1]- Terminated sleep 10000
[france ~]$ fg %2
sleep 15000
Une tˆache peut lancer plusieurs processus (mais souvent c’est un
seul)](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-112-320.jpg)
![Tˆaches (jobs) sous UNIX
[ france ~]$ ps
PID TTY TIME CMD
10241 pts /0 00:00:00 bash
12167 pts /0 00:00:00 ps
[ france ~]$ ps -a
PID TTY TIME CMD
12168 pts /0 00:00:00 ps
[ france ~]$ sleep 10000 &
[1] 12169
[ france ~]$ ps -F
UID PID PPID C SZ RSS PSR STIME TTY TIME CMD
11234 10241 10240 0 1236 1456 6 10:08 pts /0 00:00:00 -bash
11234 12169 10241 0 953 472 1 10:50 pts /0 00:00:00 sleep 10000
11234 12170 10241 0 1132 900 1 10:50 pts /0 00:00:00 ps -F
[ france ~]$ kill 12169
[1]+ Terminated sleep 10000](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-113-320.jpg)
![r e q u e s t=MPI REQUEST NULL ;
i f ( myid == source ) {
b u f f e r =2015;
MPI Isend(& buffer , count , MPI INT ,
d es t i n a t i on , tag ,MPI COMM WORLD,&
r e q u e s t ) ;
}
i f ( myid == d e s t i n a t i o n ) {
MPI Irecv (& buffer , count , MPI INT , source
, tag ,MPI COMM WORLD,& r e q u e s t ) ;
}
p r i n t f ( ” a t t en t e avec MPI WAIT . . . n”) ;
MPI Wait(&request ,& s t a t u s ) ;
attente avec MPI_WAIT ...
attente avec MPI_WAIT ...
[proc 0] status de MPI_WAIT : 0
Le processeur 0 a envoye 2015
[proc 1] status de MPI_WAIT : 0](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-131-320.jpg)
![Dendrogramme : obtenir des partitions `a partir du
dendrogramme
Pour k ∈ [n] = {1, ..., n}, on peut obtenir une partition en
k-sous-ensembles de X.
Pas n´ecessaire d’ˆetre `a une hauteur fix´ee.](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-169-320.jpg)
![c l a s s CNoeud{C++ : // la classe nœud
p u b l i c : CNoeud ∗gauche , ∗ d r o i t ;
i n t v a l ;
p u b l i c :
CNoeud( i n t v ) { t h i s −>v a l=v ; gauche=d r o i t=NULL
;}
CNoeud( i n t val , CNoeud∗ Arbre1 , CNoeud∗ Arbre2
)
{ t h i s −>v a l=v a l ; gauche=Arbre1 ; d r o i t=Arbre2 ;}
s t r i n g P r i n t ()
{ char b u f f e r [ 2 0 ] ; s t r i n g s v a l=s t r i n g ( i t o a ( val ,
buffer ,10) ) ;
s t r i n g sgauche , s d r o i t ;
i f ( gauche==NULL) sgauche=” n i l ” ;
e l s e sgauche=gauche−>P r i n t () ;
i f ( d r o i t==NULL) s d r o i t=” n i l ” ;
e l s e s d r o i t=d r oi t −>P r i n t () ;](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-186-320.jpg)
![Ä Ö Ð Ù ÔÐÙ× ÔÖÓ
ÚÓ × Ò ´ÆÆ ÖÙÐ µ
ÈÈÎ ÈÐÙ× ÈÖÓ
ÎÓ × Ò
ÆÆ Æ Ö ×Ø Æ ÓÙÖ
◮ ËÓ Ø ÙÒ × ³ ÔÔÖ ÒØ ×× ´ ØÖ Ò Ò × Ø µ T = {(xi , yi )}t
i=½
◮ Ä Ö Ð Ù ÔÐÙ× ÔÖÓ
ÚÓ × Ò ÓÒÒ
ÓÑÑ Ø ÕÙ ØØ l(x) x
ÐÐ ×ÓÒ ÔÐÙ× ÔÖÓ
ÚÓ × Ò Ò× T
m = Ö Ñ Ò
i∈[t]
D(x, xi ), l(x) = ym
◮ Ð ÔÖÓÜ Ñ Ø ×Ø Ò Ò ÓÒ
Ø ÓÒ ³ÙÒ ×Ø Ò
ÔÔÖÓÔÖ
D(·, ·) ÒØÖ ÙÜ Ð Ñ ÒØ× ÕÙ Ð
ÓÒÕ٠׺
ÇÒ ÒÓØ [t] = {½, ..., t}º](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-211-320.jpg)
![Ä × ÓÒ
Ø ÓÒ× ×Ø Ò
ÓÒÒ × ÒÙÑ Ö ÕÙ ×»
Ø ÓÖ ÕÙ ×
◮ ×Ø Ò
Ù
Ð ÒÒ D(p, q) = d
i=½(pi − qi )¾º ÈÓÙÖ ×
Ö ÕÙ Ø × ÆƸ ÓÒ Ô ÙØ ÔÖ Ò Ö ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð ×Ø Ò
Ù
Ð ÒÒ Ù
ÖÖ ´Ð Ö Ñ Ò Ò
Ò Ô ×µ
D¾(p, q) = d
i=½(pi − qi )¾ = p − q ¾º
◮ Ë ÓÒ ÔÖ ¹
Ð
ÙÐ Ð × ÒÓÖÑ × Ù
ÖÖ
ÒÖѾ(p) = p, p = d
i=½ p¾
i Ò O(dn)¸ ÐÓÖ× ÓÒ
Ð
ÙÐ ÔÐÙ×
Ö Ô Ñ ÒØ D¾(p, q) = ÒÖѾ(p) + ÒÖѾq − ¾ p, q ÔÓÙÖ
ÒÓÑ Ö Ù× × Ö ÕÙ Ø ×º
◮ ÈÓÙÖ Ð × ÓÒÒ ×
Ø ÓÖ ÐÐ × ´ÒÓÒ¹ÒÙÑ Ö Õ٠׸ ÓÙ ÓÖ Ò Ð ×µ¸
ÓÒ Ô ÙØ ÙØ Ð × Ö Ð ×Ø Ò
À ÑÑ Ò
À ÑÑ Ò (p, q) =
d
i=½
(½ − δpi
(qi )) =
d
i=½
½[pi =qi ],
δx (y) = ½ × Ø × ÙÐ Ñ ÒØ × y = x¸ ¼ ÙØÖ Ñ Òغ
→ À ÑÑ Ò (p, q)
ÓÑÔØ Ð ÒÓÑ Ö ³ ØØÖ ÙØ× Ö ÒØ×](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-213-320.jpg)
![Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ù
Ð ×× ÙÖ Ñ ØÖ
ÓÒ Ù× ÓÒ
Ä Ñ ØÖ
ÓÒ Ù× ÓÒ M = [mi,j ] ÔÓÙÖ m
Ð ×× ×
mi,j = P(x
Ð ×× Ci | x ∈ Cj )
Ä ÓÒ Ð ÑÓÒØÖ Ð Ø ÙÜ Ö Ù×× Ø ×ÙÖ Ð
Ð ×× ÓÒÒ º
Ì ÖÑ ÒÓÐÓ ×Ô
Ð ÕÙ Ò m = ¾
Ð ××
Ø ÓÒ Ò Ö
Ä Ð ÔÖ Ø
C+½ C−½
ÎÖ Ð Ð C+½ ÌÖÙ ÈÓ× Ø Ú ´Ìȵ Ð× Æ Ø Ú ´ Ƶ
C−½ Ð× ÈÓ× Ø Ú ´ ȵ ÌÖÙ Æ Ø Ú ´ÌƵ
ÌÖÙ Ð ÔÖ
Ø ÓÒ ×Ø Ù×Ø ´Ä Ð ÔÖ Ø = ÎÖ Ð Ðµ
Ð× Ð ÔÖ
Ø ÓÒ ×Ø Ù×× ´Ä Ð ÔÖ Ø = ÎÖ Ð Ðµ
ÈÓ× Ø Ú Ð ÔÖ
Ø ÓÒ ×Ø C+½
Æ Ø Ú Ð ÔÖ
Ø ÓÒ ×Ø C−½](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-221-320.jpg)
![ÔÔÖ ÒØ ×× ×Ø Ø ×Ø ÕÙ
Ú ÐÙÓÒ× Ð Ô Ö ÓÖÑ Ò
³ÙÒ
Ð ×× ÙÖ ˆl(·) ´ Ð ÔÓÙÖ Ð Ðµ
E[Y − ˆl(X)]
ÐÓÖ× Ð ÔÖ
Ø ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð ×Ø Ð³ ×Ô Ö Ò
ÓÒ Ø ÓÒÒ ÐÐ
ˆl(x) = E[Y |X = x]
ÈÓÙÖ Ð
Ð ××
Ø ÓÒ Ô Ö k¹ÈÈÎ
ˆlÈÈÎ(x) = ÅÓÝ ÒÒ (yi |xi ∈ ÈÈÎk(x)) ≈ E[Y |X = x]
Ø ÓÒ
Ð Ñ
n,k→∞, k
n
→¼
ˆlÈÈÎ(x) = E[Y |X = x]
ÅÓÒØÖÓÒ× Ñ ÒØ Ò ÒØ
ÓÑÑ ÒØ ÓÒ Ö Ú Ð Ö Ð × k¹ÈÈÎ ×ÓÙ×
ÔÔÖ ÒØ ×× Ý × Òº](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-232-320.jpg)
![taga=0; tagb=1;
a=0;
b=1;
Isend(a,P1,taga);
Isend(b,P1,tagb);
MPI Wait;
Recv(a,tagb);
Recv(b,taga);
P0
taga=0; tagb=1;
a=0;
b=1;
Isend(a,P0,taga);
Isend(b,P0,tagb);
MPI Wait;
Recv(a,tagb);
Recv(b,taga);
P1
0, taga
1, tagb1, tagb
0, taga
m´emoire locale P0 m´emoire locale P1
[ france ~]$ mpirun -np 2 mpiswap442 .exe
Proc . 1 autre =0 avant a =0.000000 b =1.000000
Attendons avec MPI_WAIT que les messages soient bien partis ...
Proc . 0 autre =1 avant a =0.000000 b =1.000000
Attendons avec MPI_WAIT que les messages soient bien partis ...
Proc . 1 apres a =1.000000 b =0.000000
Proc . 0 apres a =1.000000 b =0.000000](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-280-320.jpg)
![La r´egression lin´eaire en Scilab
rand(’seed ’,getdate(’s’))
x = -30:30; a=0.8; b=5; y=a
*x+b;
// on perturbe avec un bruit
uniforme
bruit=rand(1,61,’uniform ’)
-0.5;
y = y+10*bruit;
// regression lin´eaire en scilab
[aa , bb] = reglin(x, y);
plot(x, y,’r+’ );
plot(x, a*x+b,’bo -’)
Frank Nielsen 1.Les matrices en HPC-1.R´egression A6-10](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-285-320.jpg)
![Produit matrice-vecteur sur l’anneau : Bloc colonne 1D
En BLAS, une op´eration de base :
y ← y + Ax
A(i) = Ai× n
p
:(i+1)× n
p
−1,·: sous-matrice bloc ligne de dimension
n × n
p
y(i) ← y(i) + A(i) × x(i) = y(i) +
j
A[i][j] × x[j]
◮ initialement, A(i), x(i) et y(i) sont stock´es sur le processus Pi
◮ faire tourner les sous-vecteurs x(i) sur la topologie de
l’anneau orient´e](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-295-320.jpg)
![produitMatriceVecteur (A, x , y ) {
q = Comm rank () ; // rang du processus
p = Comm size () ; // nombre de processus
r = n/p ; // taille des blocs
f o r ( step =0; stepp ; step++) {
// on envoie le bloc de x sur le prochain nœud de l’anneau
send ( x , r ) ; // communication non-bloquante
// calcul local : produit matrice-vecteur bloc
f o r ( i =0; ir ; i++) {
f o r ( j =0; jr ; j++) {
y [ i ] = y [ i ] + a [ i , (q−step mod p) r + j
] ∗ x [ j ] ;
}
}
// on re¸coit le bloc de x du processus pr´ec´edent de l’anneau
r e c e i v e (temp , r ) ;
x = temp ;}
}](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-298-320.jpg)
![Diff´erents acc`es aux ´el´ements d’un containeur
◮ pour vector, on peut acc´eder aux ´el´ements en utilisant un
index [i] :
vector int vec442double ;
vec442 [0]=280;
... mais les crochets ne peuvent pas ˆetre utilis´es pour
listint par exemple
◮ on peut rajouter un ´el´ement `a la fin d’une liste ou d’un
vecteur avec push back :
monVecteur . push back (2013) ;
maListe . push back (2013) ;
... mais il n’ y a pas de push_back pour les ensembles (cod´es
par des arbres binaires) :
set int monEnsemble ;
monEnsemble . push back (2013) ; // Erreur !!!](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-330-320.jpg)
![On peut trier facilement avec une file de priorit´e...
#i n c l u d e queue
#i n c l u d e iostream
using namespace std ;
s t r u c t comparator {
bool o perato r () ( i n t i , i n t j ) { r e t u r n i j ;}
} ;
i n t main ( i n t argc , char const ∗ argv [ ] )
{
p r i o r i t y q u e u e int , std : : vector int ,
comparator minHeap ;
minHeap . push (10) ; minHeap . push (5) ;
minHeap . push (12) ; minHeap . push (3) ;
minHeap . push (3) ; minHeap . push (4) ;
while ( ! minHeap . empty () ) {
cout minHeap . top () ” ” ;
minHeap . pop () ;
}
r e t u r n 0;} // 12 10 5 4 3 3](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-337-320.jpg)
![Le hachage (map)
◮ Diff´erence entre hachage ferm´e (tableau) et hachage ouvert
(tableau de pointeurs sur des listes).
◮ Templates pour la clef et le type de donn´ees mapK,T.
◮ On doit d´efiniroperator pour le type K.
mapint , s t r i n g monHachage ;
monHachage [23121981] = ” A n n i v e r s a i r e Toto” ;
monHachage [05031953] = ” A n n i v e r s a i r e T i t i ” ;
. . .
maps t r i n g , int monHachageRev ;
monHachageRev [ ”Toto” ] = 23121981;
monHachageRev [ ” T i t i ” ] = 05031953;](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-339-320.jpg)
![Le hachage (map)
Les fonctions membres pour la classe STL map :
erase(iterator), erase(K clef), map_name(K key)
maps t r i n g , int M;
M[ ”A” ] = 23;
M[ ”B” ] = 12;
M[ ”C” ] = 71;
M[ ”D” ] = 5;
M. e r a s e ( ”D” ) ;
cout M[ ”B” ] ;](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-340-320.jpg)
![La classe STL paire `a la rescousse
maps t r i n g , int maMap;
pair s t r i n g , int p a i r e ( ”Tutu” , 606) ;
maMap. i n s e r t ( p a i r e ) ;
. . .
// on cr´e´e un nouvel enregistrement en faisant aussi :
maMap[ ”Tata” ] = 707;
⇒ op´erateur crochet [K]](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-341-320.jpg)
 ,(1,2,5) ,(2,3,6))
http://www.boost.org/doc/libs/1_58_0/libs/numeric/ublas/doc/](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-349-320.jpg)
 ,(2.5 ,2.5 ,2.5)
,(5.9 ,2.5 ,1))
Num Rows :3
Num Cols :3
My Mat Transp :[3 ,3]((1,2.5 ,5.9)
,(2.5 ,2.5 ,2.5) ,( -3.6 ,2.5 ,1))
My Mat Real Part :[3 ,3]((1 ,2.5 , -3.6)
,(2.5 ,2.5 ,2.5) ,(5.9 ,2.5 ,1))
My Resized Mat :[4 ,4]((1,2.5 , -3.6 ,3.57355e
-115) ,(2.5,2.5,2.5 ,2.02567e -322)
,(5.9 ,2.5 ,1 ,0) ,(0,0,0,0))](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-351-320.jpg)
![Ð ÓÖ Ø Ñ Ô Ö ÐÐ Ð × ×ÙÖ Ð Ö Ò Ê Ò ËÓÖØ
ËÓ Ø ÙÒ Ø Ð Ù X[¼], ..., X[n − ½] ×
Ð Ö × ØÖ Öº
½º ÈÓÙÖ
ÕÙ ÓÒÒ X[i]¸ ÓÒ
Ð
ÙÐ ×ÓÒ Ö Ò
R[i] = |{X[j] ∈ X : X[j] X[i]}|
Ä ÔÐÙ× Ô Ø Ø Ð Ñ ÒØ Ö Ò ¼ Ø Ð ÔÐÙ× Ö Ò Ö Ò n − ½
¾º ÇÒ Ö Ò Ò× Ð ÒÓÙÚ Ù Ø Ð Ù Y Y [R[i]] = X[i]
◮ г Ø Ô ½ ×Ø
Ð Ñ ÒØ Ô Ö ÐÐ Ð ´×ÙÖ P = n Ò Ù ×µ ÓÒ
Ð
ÙÐ Ð
ÔÖ
Ø X[j] X[i] ?, ∀j Ø ÓÒ Ö Ð × ¼ ´ Ùܵ Ø Ð × ½ ´ÚÖ ×µ
R[i] =
n−½
j=¼
½[X[j]X[i]]
ÈÖ
Ø ÓÓÐ Ò
ÓÒÚ ÖØ Ò ¼ ÓÙ ½
◮ ÓÒ ×ÙÔÔÓ× Ð × Ð Ñ ÒØ× ×Ø Ò
Ø×
◮ Ò
ÓÒÚ Ò ÒØ Ñ Ò × Ø Ð ÙÜ ÙÜ Ð Ö × R Ø Y
Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÌÖ Ô Ö ÐÐ Ð Ô Ö Ö Ò Ê Ò ËÓÖØ ¹½](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-369-320.jpg)
![Ê Ò ËÓÖØ Ú
P = n¾
ÔÖÓ
××Ù×
◮ ÓÒ ÙØ Ð × n ÔÖÓ
×× ÙÖ× ÔÓÙÖ ØÖÓÙÚ Ö Ð Ö Ò ³ÙÒ × ÙÐ Ð Ñ ÒØ ººº È Ö
Ü ÑÔÐ ¸ ÔÓÙÖ n Ô Ø Ø¸ ÓÒ Ô ÙØ ÙØ Ð × Ö Ð³ÙÒ Ø
Ð
ÙÐ Ö Ô ÕÙ ´ È͸
Ö Ô
Ð ÈÖÓ
×× Ò ÍÒ Øµ
◮ Ò
Ð
ÙÐ ÒØ ÙÒ ×ÓÑÑ ÐÓ Ð ´ Ð ÅÈÁ Ê Ù
»ÅÈÁ ËÙѵ
++
+
a[i] a[0] a[1] a[2] a[3]a[i] a[i] a[i]
0/1 0/1 0/1 0/1
0/1/2 0/1/2
0/1/2/3/4
comparaison
r´eduction
ÇÒ ×ÙÔÔÓ× ÕÙ Ð Ö Ù
× Ø Ò Ø ÑÔ× ÐÓ Ö Ø Ñ ÕÙ Ô Ò Ð
ØÓÔÓÐÓ Ù Ö × Ù ³ ÒØ Ö
ÓÒÒ Ü ÓÒ
→ ÎÖ ÔÓÙÖ Ð³ ÝÔ Ö
Ù Ñ Ò× ÓÒ ÐÓ n¸ ÙÜ ÔÓÙÖ ÙÒ ÒÒ Ùº
TÔ Ö = O(ÐÓ n)
ÚÓ Ö Ò O(½) ÔÓÙÖ Ð ØÓÔÓÐÓ Ð
Ð ÕÙ º
Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÌÖ Ô Ö ÐÐ Ð Ô Ö Ö Ò Ê Ò ËÓÖØ ¹½](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-371-320.jpg)
![ÌÖ Ô Ö ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× ³ Ð Ñ ÒØ× Ô Ö ×» ÑÔ Ö ×
Ê × ÙÜ ØÖ ×
◮ Ð ÔÖ Ò
Ô Ö ÔÓ× ×ÙÖ Ð ØÖ Ù Ð ËÓÖØ
◮ ÙÜ Ø Ô × Ð Ñ ÒØ Ö ×
◮ Ô × Ô Ö
ÓÑÔ Ö ×ÓÒ Ø
Ò ´×Û Ôµ × Ô Ö × Ô Ö ×
(X[¼], X[½]), (X[¾], X[¿]), ....
◮ Ô × ÑÔ Ö
ÓÑÔ Ö ×ÓÒ Ø
Ò ´×Û Ôµ × Ô Ö × ÑÔ Ö ×
(X[½], X[¾]), (X[¿], X[ ]), ....
◮ ØÖ
ÓÑÔÐ Ø Ò ÔÖ × n Ô × ×
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹ ½](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-393-320.jpg)
![Ü ÑÔÐ ½ ØÖÓÙÚ Ö Ð × Ñ × ÙÔÐ ÕÙ ×
Ò Ö ÙÔÐ
Ø Ñ Ø
Ø ÓÒ
◮ ÙÒ Ñ I[y][x] Ò
ÓÙÐ ÙÖ ÊÎ Ø ÐÐ w × h ×Ø
ÓÒÚ ÖØ Ò ÙÒ
Ú
Ø ÙÖ v(I) Ñ Ò× ÓÒ R¿wh ´Ú
ØÓÖ Þ Ø ÓÒµ
◮ Ð ×Ø Ò
ÒØÖ ÙÜ Ñ × I½ Ø I¾ ×Ø Ð ×ÓÑÑ × Ö Ò
× Ù
ÖÖ ´ ×ÙÑ Ó ×ÕÙ Ö Ö Ò
× µ
ËË (I½, I¾) =
h
i=½
w
j=½
(I½[i][j] − I¾[i][j])¾
= v(I½) − v(I¾) ¾
◮ ÙÒ Ñ ×Ø Ò ÓÙ Ð Ò× ÙÒ × ³ Ñ × × ×ÓÒ ÔÐÙ× ÔÖÓ
ÚÓ × Ò
×Ø ÕÙ × Ñ ÒØ ÒØ ÕÙ ËË (I, ÈÈÎ(I)) ≤ ǫ
⇒
ÓÑÑ ÒØ
Ð
ÙÐ Ö Ð × ÔÐÙ× ÔÖÓ
× ÚÓ × Ò× Ò Ö Ò × Ñ Ò× ÓÒ× Ò Ø ÑÔ×
×ÓÙ×¹Ð Ò Ö ¸ o(d)
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹ ¼](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-402-320.jpg)
![Å ØÖ
× A ÔÓÙÖ Ð × ÔÖÓ
Ø ÓÒ Ð ØÓ Ö ×
ÈÖÓ
Ø ÓÒ Ð ØÓ Ö A
◮ ÇÒ Ø Ö Ð ×
Ó
ÒØ× Ð Ñ ØÖ
A′ Ð ØÓ Ö Ñ ÒØ ×Ù Ú ÒØ ÙÒ ÐÓ
ÒÓÖÑ Ð ×Ø Ò Ö ´ µ
A′
= [ai,j], ai,j ∼ N(¼, ½)
◮ ÇÒ Ó Ø ÒØ ÙÒ
ÒØ ÐÐÓÒ Ð ØÓ Ö ³ÙÒ ÐÓ ÒÓÖÑ Ð ×Ø Ò Ö N(¼, ½)
Ô ÖØ Ö ÐÓ × ÙÒ ÓÖÑ × U½ Ø U¾ Ò Ô Ò ÒØ × Ô Ö
N = −¾ ÐÓ U½
Ó×(¾πU¾)
← ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓܹÅÙÐÐ Ö
◮ ÓÒ Ù×Ø Ð³
ÐÐ
A =
k
d
A′
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-407-320.jpg)
![ÈÓÙÖÕÙÓ
Ð Ñ Ö
ÔÖÓ
Ø ÓÒ× Ð ØÓ Ö ×
◮ ×Ó Ø ÙÒ ×Ô
k¹ Ò Ð ØÓ Ö A Ú
k ≥ ÐÓ n
ǫ¾
¾
− ǫ¿
¿
º
◮ ÒÓØÓÒ× ˜x = d
k ÔÖÓ Ax ÔÖÓ
Ø ÓÒ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð x ×ÙÖ Aº
Ä ÑÑ
∀p, q ∈ X, P
˜p − ˜q ¾
p − q ¾
∈ [½ − ǫ, ½ + ǫ] ≤
¾
n¾
◮ ÈÖ ÙÚ ÈÖÓ Ð Ø ÕÙ ˜x × Ø × ×× Ð Ø ÓÖ Ñ ÂÄ
≥ ½ −
n
¾
¾
n¾
=
½
n
◮ ÇÒ Ô ÙØ
Ó × Ö O(n) ÔÖÓ
Ø ÓÒ× Ø Ö ÒØ Ö ÙÒ ÔÖÓ Ð Ø ×Ù
×
ÓÒ×Ø ÒØ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-408-320.jpg)
![Ê ÔÔ Ð ×ÙÖ Ð ÒÓØ Ø ÓÒ Ö Ô ×
◮ G = (V , E) ÙÒ Ö Ô |V | = n Ò Ù × Ø |E| = m Ö Ø × º Ö Ô
ÒÓÒ¹ÓÖ ÒØ º
◮ Ö Ø (vi , vj ) Ô Ö Ò Ù ×
◮ Ö Ø ÓÖ ÒØ Ö
¸ Ö Ô Ö
Ø Ö Ô
◮ Ö Ô × Ò×
Ý
Ð
Ý
Ð
Ö Ô
◮ Ö Ô ÔÓ × ´×ÙÖ Ð × Ö Ø × Ø»ÓÙ Ð × Ò Ù ×µ
◮ Ñ ØÖ
³ Ò
Ò
ME Ù Ö Ô V = {xi }
e = (xi , xj ) ∈ E ⇔ ME [i][j] = ½
´ Ø ¼ ÙØÖ Ñ Òص
◮ Ö Ô ÔÐ Ò Ö ´ÕÙ Ô ÙØ ØÖ ÔÐÓÒ ×× Ò Ò× Ð ÔÐ Ò × Ò×
ÒØ Ö×
Ø ÓÒ × Ö Ø ×µ m = |E| ≤ ¿(n − ¾) ÔÓÙÖ n = |V | ¾º
◮ Ö Ô Ò× ¸ Ö Ô Ô Ö׸ Ö Ô Ô Ø Ø× ÑÓÒ × ´
ÕÙ Ò Ù Ö Ð
Ò³ ÑÔÓÖØ ÕÙ Ð ÙØÖ Ò Ù Ô Ö ÙÒ
ÓÙÖØ
Ò µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹½ºÒÓØ Ø ÓÒ× ½](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-544-320.jpg)
![Á×ÓÑÓÖÔ ×Ñ Ö Ô ×
◮ G½ = (V½, E½) Ø G¾ = (V¾, E¾) ÙÜ Ö Ô ×¸ Ú
n½ = |V½| Ø
m½ = |E½| Ø n¾ = |V¾| Ø m¾ = |E¾|
◮ ×ع
ÕÙ G½ = G¾
◮ ÙÒ
ÓÒ Ø ÓÒ Ò
×× Ö ×Ø ³ ÚÓ Ö n½ = n¾ = n Ø m½ = m¾ = m Ñ ×
Ò³ ×Ø Ò × Ö Ô × ÙÒ
ÓÒ Ø ÓÒ ×Ù × ÒØ
◮ Ò ÔÖ Ø ÕÙ ¸ ÓÒ Ø ÕÙ ØØ Ö ØÖ Ö Ñ ÒØ Ð × Ò Ù × V½ Ø V¾ Ú
× ÒØ Ö× ÒØÖ ½ Ø n¸ Ø ÓÒ
Ö
ÙÒ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ
σ : [n] = {½, ..., n} → [n] Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ò Ù vi ∈ V½
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ù Ò Ù
vσ(i) ∈ V¾
◮ ÍÒ Ó × σ ØÖÓÙÚ ¸ ÓÒ Ö ÒÙÑ ÖÓØ Ð × Ò Ù × V¾ Ò × ÒØ i ← σ(i)
◮ ÆÓØ Ø ÓÒ ÕÙ Ò ÙÜ Ö Ô × ×ÓÒØ ×ÓÑÓÖÔ × ´
ÓÒ ÖÙ ÒØ×µ
G½
∼= G¾
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô × ¿](https://image.slidesharecdn.com/inf442-amphis1-8-x13-151126031842-lva1-app6892/85/INF442-Traitement-des-donnees-massives-568-320.jpg)
Uploaded byFrank Nielsen
INF442: Traitement des données massives
French slides from curriculum INF442 at Ecole Polytechnique. English book entitled "Introduction to HPC with MPI for Data Science" (Springer, 2016) http://www.springer.com/us/book/9783319219028
![[Blackhat2015] FileCry attack against Internet Explorer](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/us-15-wang-filecry-the-new-age-of-xxe-ie-wp-150807171939-lva1-app6892-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
INF442: Traitement des données massives
- 1. ÁÆ ¾ ÌÖØ Ñ ÒØ × ÓÒÒ × Å ×× Ú × ½ Ä Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ ÓÒÒ × Ò ÀÈ Ö Ò Æ Ð× Ò Ò Ð× Ò Ð ÜºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö ¾¼½¿ ÚÖ Ð ¾¼½
- 2. Å ×× ÓÒ´ ѵÔÓ×× Ð ÆÓÒ¸ Ñ Ñ ×ÙÖ ÐÓ × ¹ µ
- 3. ÇÖ Ò ×Ø ÓÒ Ù ÓÙÖ× ÁÆ ¾
- 4. Ç Ø ×Ù ÓÙÖ× ÁÆ ¾ ÕÙ Ö Ö Ð Ö ×ÓÒÒ Ñ ÒØ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð Ð ÙÐ Ô Ö ÐÐ Ð ×ÙÖ Ñ ÑÓ Ö ×ØÖ Ù ´ÁÆ ¿½ ÑÙÐØ ¹ Ð× ×ÙÖ Ñ ÑÓ Ö Ô ÖØ µ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò ·· Ò ÙØ Ð × ÒØ Ð³ ÒØ Ö ÅÈÁ ´Å ×× È ×× Ò ÁÒØ Ö µ¸ Ø × × ÖÚ Ö ³ÙÒ ÐÙ×Ø Ö Ñ Ò × ½ Ñ Ò × ÓÖ Ò × × Ò ÐÙ×Ø Ö× Ò× Ð × × ÐÐ × Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ × Ë Ñ Ð Ö × Ö Ú Ð ÑÓÒ Ù ÀÈ » Ø ´¿ È ÁÆ Ç¸ Ô Ö ÓÙÖ× ÀÈ ÓÙ Ô Ö ÓÙÖ× Ë Ò × ÓÒÒ ×µ È ÅÓÓ Ð Ù ÓÙÖ× ØØÔ× »»ÑÓÓ Ð ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö» ÒÖÓл Ò ÜºÔ Ô ¿¾ Ð ÔÓÙÖ Ð³ Ò× Ö ÔØ ÓÒ ÁÆ ¾¹ ¾¼½¿
- 5. ÁÆ ¾ ÙÒÔ Ö Ù Ù ÓÒØ ÒÙ × ÓÙÖ×»Ì × ÍÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ð Ö Ò ÐÓ × Ò ÐÝ× ÓÒÒ × ´ Ú Ð ÀÈ µ Ö Ö ÜÔÐÓÖ ØÓ Ö ´ ÐÙ×Ø Ö Ò µ ÔÔÖ ÒØ ×× ×ÙÔ ÖÚ × ´ Ð ×× Ø ÓÒµ Ð Ö Ð Ò Ö ´Ñ ØÖ ×µ Ö Ô × Ú ÐÙ Ø ÓÒ × Ö ×ÙÐØ Ø× ´× Ò × ÓÒÒ ×µ¸ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò ·· Ú Ð ËØ Ò Ö Ì ÑÔÐ Ø Ä Ö ÖÝ ´ËÌĵ Ø ÓÓ×Ø ´Ñ ØÖ ×» Ö Ô ×µ¸ È Ö ÐÐ Ð × Ø ÓÒ × ÔÖÓ Ö ÑÑ × Ú Ð Å ×× È ×× Ò ÁÒØ Ö ´ÅÈÁµ
- 6. ÁÆ ¾ ÑÒ ×ØÖ Ø ÓÒ ÓÒØ Ø Ò Ð× Ò Ð ÜºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö ÔÖ Ü Ù ×Ù Ø × Ñ Ð× ÁÆ ¾ ÖÓÙÐ Ñ ÒØ ÐÓ × ½ ¿¼ ÓÙÖ× ×Ù Ú ¾ Ì × · ØÖ Ú Ð Ô Ö×ÓÒÒ Ð ÓÒØÖ Ð Å Ò ´ Ÿ ¾ µ¸ ÓÒØÖ Ð Ð ×× ÒØ ´ ¸ Ö Ø ¿ µ ÆÓØ Ø ÓÒ Ù ÓÙÖ× ÆÓØ Ð ×× ÒØ ∈ [¼, ¾¼] ´ Ü Ñ Ò Ö Ø¸ Ð ½¼ Ù Ò ¾¼½ µ ÆÓØ Ð Ø Ö Ð ∈ {A, ..., E} ÔÓÙÖ Ð Ú Ð Ø ÓÒ ´ ¸ ¸ µ × Ò× ÈÖÓ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ´ÈÁµ ¾ + Å ¿ + Ì ¸ Ú Ì ∈ [−½, ½] Ú ÈÁ ¾ +Ñ Ü( Å,ÈÁ) ¿ + Ì
- 7. Ð Ø ÓÒ× Ð Ù × ¾¼½¿ Ö ÑÔÐ Ö Ð Ù ÓÙÖ× Ð Ù × × ÖÓÙÔ × ÖÓÙÔ ÆÓÑ Ù Ð Ù ½ ¾ ¿ ½¼ ½½ ½¾
- 8. Ä ÈÖÓ ØÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ´ÈÁµ Ä ¿ È ÁÆ Ç ´≥ ¿ ÓÙÖ× ÁÆ Ç ¾ µ È ÁÆ Ç Ð ÙØ ÚÓ Ö Ø ÙÒ ÈÖÓ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Ò ¾ ´ÓÙ ÑÓ Ðµ ŠȹÁÆ Ç ´È Ö ÓÙÖ× ÁÑ ¹Î × ÓÒ¹ ÔÔÖ ÒØ ×× ¸ ÇÔØ Ñ × Ø ÓÒ¸ Ë Ò × ÓÒÒ ×¸ Ð ÙÐ À ÙØ È Ö ÓÖÑ Ò µ ÈÁ Ò ¾ ÁÆ Ç ÓÙ Å È È Å Ì ÁÆ Ç ÈÁ Ô × Ó Ð ØÓ Ö Ñ × Ö ÓÑÑ Ò ÖÓÙÐ Ñ ÒØ × ÈÁ× Ò ÁÆ ¾ ÒÚ ÖÓÒ ¼¼ Ð Ò × Ó ´ÄÇ ×¸ Ð Ò Ó Ó ×¸ ··µ Ò Ò Ñ Ö ÔÔÓÖØ Ô × ×ÓÙØ Ò Ò ´ Ú ÑÓ µ ½ Ñ Òº ´ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒµ · ½¼ Ñ Òº ´ÕÙ ×Ø ÓÒ×µ Ê ÔÔ Ð ÓÑÔØ ÙÒ ÕÙ Ñ ÒØ Ò× Ð ÒÓØ Ð ØØ Ö Ð × Ò× Ô Ò Ð × Ö ¾ + Ñ Ü(ÈÅ, ÈÁ) ¿ + Ì Ú Ì ∈ [−½, ½]
- 9. Ä ÈÁ ÒÁÆ ¾ Ö ×ÔÓÒ× Ð × ÈÁ× Ð Ù ³ Ñ ÖÓ× Ó Ñ ÖÓ× Ó Ð ÜºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö ¿ Ó Ü ´ÓÖ Ö ÔÖ Ö Ò µ Ö Ù ÔÐÙ× Ø Ö ÔÓÙÖ Ð ¾¼ ÚÖ Ð ¾¼½ ÈÁ Ú Ð ÔÓÙÖ ÓÖ Ù ÔÐÙ× Ø Ö Ð ¾¿ ÚÖ Ð ¾¼½ Ø Ö Ñ × Ù ÔÖÓ Ø ×ÓÙ× ÅÓÓ Ð ≤ ¾¾ Ñ ¾¼½ ËÓÙØ Ò Ò ÈÁ ÒØÖ Ð ½ Ö Ù Ò Ø Ð ½¾ Ù Ò ¾¼½ Ä × ×Ù Ø× Ú Ð ÙÖ× ÙÐØ × ´¶ Ð ¸ ¶¶ ÑÓÝ Ò¸ ¶¶¶ Ð µ ¾¹½ ¶ Ä Ò Ö Ö ÝÓÒ ´ Ñ ×ÝÒØ × µ ˺ Ê ÓÒ ¾¹¾ ¶ È Ê Ò ´Ñ ØÖ ×µ Ⱥĺ ÈÓ Ö ÓÒ ¾¹¿ ¶¶ ËÈ ×× ××Ñ ÒØ ÈÖÓØ Ò ËØÖÙ ØÙÖ ÈÖ Ø ÓÒ º À Ð ÓÙ ² Ⱥ ×× Ò Ø ¾¹ ¶¶ Ö Ô × ² Ö Ö × Ö ÓÙÚÖ ÒØ× ´ÑÓ×Ø Ú Ø Ð µ ˺ ÌÓÙ Ð Ò ¾¹ ¶¶¶ Ø Ø ÙÖ Î ÓÐ ÂÓÒ × ´Ú × ÓÒµ º¹Èº ÓÖ × ¾¹ ¶¶¶ Ê ÔÐ Ñ ÒØ × ÔÖÓØ Ò × ´ ÓÐÓ µ Ⱥ ×× Ò Ø ¾¹ ÈÖÓ Ø Ù Ó Ü¸ ×Ù Ø Ö Ö Ø Ú Ð Ö ¾¹ ÈÖÓ Ø Ù Ó Ü Ò ·· ´× Ò× ÅÈÁµ Ð Ñ ÒØ ÔÓ×× Ð º
- 10. ÓÒØ ÒÙ ×ÓÙÖ× Ð ÓÖ Ø Ñ × Ô Ö ÐÐ Ð × ´//µ Ò ·· ´ Ø µ Ú Ð³ ÒØ Ö ÅÈÁ Ë Ò × Ø Ì ½ »¼ Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ Ô Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ × ¾ ½ »¼ Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ Ö Ö ÕÙ Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ Ö Ö ÕÙ ¿ ¾¾»¼ Ð ×× Ø ÓÒ Ø Ø ÙÖ ÔÓÙÖÖ Ð× »¼ Ð Ö Ð Ò Ö Ö Ñ ÒØ À ÐÐ ½¿»¼ ØÖ Ô Ö ÐÐ Ð Ö Ò × Ñ Ò× ÓÒ× Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ× ¾¼»¼ ØÓÔÓÐÓ ³ ÒØ Ö ÓÒÒ Ü ÓÒ ÓÒØÖ Ð Ñ Ò ··»ÅÈÁ ¾ »¼ ÓÖÑ Ð ×Ñ Å ÔÊ Ù ÅʹÅÈÁ ÔÓÙÖ Ð ÓÐÓ ¿»¼ Ö Ô × Ø Ø ÓÒ ³ ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ü Ñ Ò Ò Ð Ö Ø ¿ ½¼ Ù Ò ¾¼½ ËÓÙØ Ò Ò ÈÁ ÒØÖ Ð ½ Ö Ù Ò Ø Ð ½¾ Ù Ò ¾¼½ º
- 11. ÈÐ Ò Áƾ¹ ½ ÇÖ Ò × Ø ÓÒ Ù ÓÙÖ× ÁÆ ¾ Ä ÀÈ Ð ÙÐ Ô Ö ÐÐ Ð ×ÙÖ Ñ ÑÓ Ö ×ØÖ Ù ´ ÖÓ× Ö Ò×µ Ä Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ ´ ÐÙ×Ø Ö Ò µ Ú Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ × ² ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Â Ú ·· → Ñ Ñ ÒØÓ ·· ×ÙÖ ÑÓÓ Ð ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ú ÅÈÁ ´×ÓÙ× » ··µ Ä × k¹ÑÓÝ ÒÒ × ×ÙÖ ÙÒ ÐÙ×Ø Ö Ñ Ò × Ð × k ÑÓÝ ÒÒ × Ò Ô Ö ÐÐ Ð
- 13. Ä ÀÈ Ð ÙÐÀ ÙØ È Ö ÓÖÑ Ò À È Ö ÓÖÑ Ò ÓÑÔÙØ Ò
- 14. ÉÙ³ ×ع ÕÙÐ Ð ÙÐ À ÙØ È Ö ÓÖÑ Ò ´ÀÈ µ Ë Ò × × ×ÙÔ Ö¹ÓÖ Ò Ø ÙÖ× ´ ØØÔ »»ÛÛÛºØÓÔ ¼¼ºÓÖ »µ ÌÓÔ ½ Æ Ø ÓÒ Ð ËÙÔ Ö ÓÑÔÙØ Ö ÒØ Ö Ù Ò Þ ÓÙ¸ Ò Ì Ò ¹¾ ´Å Ð ÝÏ Ý¹¾µ ¿, ½¾ Å ÐÐ ÓÒ× ÙÖ׸ , È Ø ÓÔ× ´½¼½ ¸ È ÐÓÔ×µ¸ ½ , Å Ï ØØ׸ ½ ÅÏ ½¼¼ e» ∼ ½ Åe» Ò Ö Ò ÀÈ Ú ÐÙ Ð × Ô Ö ÓÖÑ Ò × Ò Å ÐÓÔ׻ϸ ØØÔ »»ÛÛÛº Ö Ò ¼¼ºÓÖ » Ä ÀÈ ÓÑ Ò Ò ÐÙ ÒØ Ô Ö Ñ × ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ð ¸ Ð Ò × ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ¸ ÓÙØ Ð× ÐÓ Ð׸ ×Ý×Ø Ñ × Ò ÓÖÑ Ø Õ٠׸ Ú × × ÓÒ Ö Ò × × ´ Å»Á ËÙÔ Ö ÓÑÔÙØ Ò µ¸ Ø º
- 15. Ò Ö Ò¸ ÌÓØ Ð È Ò Ë Á Á ¾º¿ È ÐÓÔ× ´Ô Ø × Ð µ
- 16. Ù ÓÙÖ ³Ù Ð Ô Ø × Ð ¸ Ø Ñ Ò Ð³ Ü × Ð ÐÓ ÄÇÈË ½¼¿ Ñ ÄÇÈË ½¼ ÄÇÈË ½¼ Ø Ö ÄÇÈË ½¼½¾ Ô Ø ÄÇÈË ´È ÄÇÈ˸ Ô Ø × Ð µ ½¼½ Ü ÄÇÈË ´ ÄÇÈ˸ Ü × Ð µ ½¼½ Þ ØØ ÄÇÈË ½¼¾½ ÝÓØØ ÄÇÈË ½¼¾ ººº ººº ÓÓ ÓÐ ÄÇÈË ½¼½¼¼ ºººÑ × Ù×× ÔÓÙÖ Ð × ËÙÔ Ö¹ÇÖ Ò Ø ÙÖ× Ð Ñ ÑÓ Ö ´Ó Ø Ø×» ÝØ ×µ¸ Ð Ò Ô ×× ÒØ Ù Ö × Ù¸ Ø º Ä ÙØÙÖ Ü ÐÓÔ× ´½¼½ Ú Ö× ¾¼½ ¹¾¼¾¼µ¸ Þ Ø ÐÓÔ× ´½¼¾½µ Ú Ö× ¾¼¿¼
- 17. ÈÓÙÖÕÙÓ Ð ÀÈØÖ ÔÐÙ× ÐÐ Ö ÔÐÙ× Ú Ø Ø ØÖ ÔÐÙ× ÔÖ × ´→ Ð Ñ Ø Óµ Ê ×ÓÙ Ö ÔÐÙ× ÖÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ´→ × ÑÙÐ Ø ÓÒ¸ → Ø µ ÓÒÓÑ × Ö Ð³ Ò Ö ü Ñ Ñ ÔÙ ×× Ò ÄÇÈË ÙØ Ð × ¸ ÔÐÙ× ÔÖÓ ×× ÙÖ× Ð ÒØ× ÕÙ ÓÒ×ÓÑÑ ÒØ ÑÓ Ò× Ë ÑÔÐ Ö × ØÖ Ø Ñ ÒØ× ÓÒÒ × ÖØ Ò× Ð ÓÖ Ø Ñ × ×ÓÒØ ÒØÖ Ò× ÕÙ Ñ ÒØ Ô Ö ÐÐ Ð × Ú Ó» Ñ ÐØÖ × ÓÖ Ô Ü Ð»ÚÓÜ Ð¸ ÈÍ ² È ÈÍ Ç Ø Ò Ö Ð Ö ×ÙÐØ Ø Ð ÔÐÙ× Ö Ô Ñ ÒØ ÔÓ×× Ð Ò Ò ÐÙ ÒØ Ð Ó Ø Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ × Ô Ö ÐÐ Ð × ÔÐÙ× Ð × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÕÙ³ÙÒ Ó × ÕÙ ÒØ Ð ÓÔØ Ñ × ÔÐÙ× Ð Ú ÐÓÔÔ Ö ´Ô Ö × Ò Ò ÙÖ×µº ÚÓ Ö Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ · Ü ÙØ Ö Ø Ð ÓÖ Ø Ñ º
- 18. Ä ÀÈ ÒÕÙ ÐÕÙ × Ñ ×
- 19. ÐÙ×Ø Ö ÑÒ × ´ ÐÙ×Ø Ö× Ò × ÐÐ × Ñ Ò ×µ m´emoire locale processeur m´emoire locale processeur m´emoire locale processeur m´emoire locale processeur m´emoire locale processeur m´emoire locale processeur r´eseau d’interconnexion ´echange de messages avec MPI
- 20. ÌÓÔÓÐÓ × Ö× ÙÜ ³ ÒØ Ö ÓÒÒ Ü ÓÒ Ò× ÙÒ ÐÙ×Ø Ö ÌÓÔÓÐÓ ´Ô Ý× ÕÙ »Ú ÖØÙ ÐÐ µ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓÙÖ Ð × Ò × Ð ÓÖ Ø Ñ × Ô Ö ÐРР׺ ÓÑÑ ÒØ Ö ÙÒ Ù× ÓÒ ´ ÖÓ ×ص ³ÙÒ Ò Ù ØÓÙ× Ð × Ò Ù ×
- 21. ÚÓÐÙØ ÓÒ ×ÔÖÓ ×× ÙÖ× r´eseau ordinateur (CPU) carte m`ere carte m`ere CPU CPU CPU CPU cœur un seul socketsocket socket socketsocket 4 ordinateurs interconnect´es par un r´eseau une carte m`ere avec 4 processeurs un processeur quad-cœur ordinateur (CPU) ordinateur (CPU) ordinateur (CPU) cœur cœurcœur ÈÓÙÖ Ô ×× Ö Ð³ ÐÐ ¸ Ò× Ð Ð ÙÐ ÙØ Ô Ö ÓÖÑ Ò ¸ Ð ÙØ ÙØ Ð × Ö ÙÒ ÐÙ×Ø Ö Ñ Ò ×
- 22. ÐÙ×Ø Ö ÑÓÖÒ ´ ÐÙ×Ø Öµ r´eseau d’interconnexion (topologie) nœud Central Processing Unit m´emoire nœud CPU CPU CPUCPU m´emoire ordinateur simple ordinateur quad processeurs ordinateur moderne: CPU multicœurs avec plusieurs cartes GPUs node cœur m´emoire GPU GPU C P U Grappe d’ordinateurs (computer cluster) cœur cœur cœur
- 23. Ö Ø ÓÖÕÙ Ð Ö ÒØ Ð ÔÖ Ø ÕÙ Ñ × ÙØ Ð ººº Ì ´ Ó µ ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ü ÙØ Ö ÕÙ ÓÒÒ Ð Ù ÙÒ ÔÖÓ ××Ù× ÇÖ ÓÒÒ Ò ÙÖ ×Ø ÓÒÒ Ö × Ö ××ÓÙÖ × ÕÙ Ó × Ø Ð³ Ø Ø ÓÒ × Ø × ´ Ó ×µ ÙÜ Ö ××ÓÙÖ × Ù ÐÙ×Ø Ö ´ Ò × ÐÐ × Ò Ó¸ ËÄÍÊŵ Ö Ø ÓÖ ÕÙ ÔÓÙÖ ÓÙÖ× ÐÓÖ×ÕÙ³ÓÒ Ò ÐÝ× ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ô Ö ÐÐ Ð ÙÒ ÔÖÓ ××Ù× P ØÓÙÖÒ ×ÙÖ ×ÓÒ ÔÖÓÔÖ ÔÖÓ ×× ÙÖ ´ÙÒ ÈÍ ÑÓÒÓ¹ ÙÖµ ³ÙÒ Ñ Ò ÕÙ ÓÒ×Ø ØÙ ÙÒ Ò Ù Ù ÐÙ×Ø Öº Ò ÔÖ Ø ÕÙ ÐÙ×Ø Ö Ø ÖÓ Ò Ñ Ò × ´ÑÙÐØ ¹ ÙÖ׸ Ú È͵º ÈÐÙ× ÙÖ× ÔÖÓ ××Ù× Ô ÙÚ ÒØ × Ö ØÖÓÙÚ Ö Ñ ÔÔ × Ô Ö Ð³ÓÖ ÓÒÒ Ò ÙÖ ×ÙÖ Ð Ñ Ñ ÔÖÓ ×× ÙÖ ´ÔÓØ ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ ×ÙÖ Ð Ñ Ñ ÙÖµ
- 24. ÀÈ Ô ÖÐÐ Ð ×Ñ Ø Ö ÒÙÐ Ö Ø Ö ÒÙÐ Ö Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ × Ð ÙÐ× ´ Ö Ò× Ð ÙÐ× ÐÓ Ùܵ ×ÙÖ Ð × ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× ´ ÒØ Ö¹ÔÖÓ ××Ù×µº Ö ÕÙ Ò × ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× ´ÓÙ ×ÝÒ ÖÓÒ × Ø ÓÒµ ÒØÖ Ð × ÔÖÓ ××Ù׺ Ö Ò Ò ´Ô Ø Ø Ö Ò¸ Ò ¹ Ö Ò µ ÔÐ Ò Ô Ø Ø × Ø ×¸ ÓÒÒ × ×ÓÙÚ ÒØ ØÖ Ò× Ö × ÒØÖ Ð × ÔÖÓ ××Ù× ÔÖ × Ô Ø Ø× Ð ÙÐ׺ ÖÓ× Ö Ò ´ Ó Ö× ¹ Ö Ò µ Ð × ÓÒÒ × Ò ×ÓÒØ Ô × Ò × ×ÓÙÚ ÒØ Ø ÔÖ × × ÖÓ× Ð ÙÐ׺ × ÜØÖ Ñ ¸ Ñ ÖÖ × Ò ÐÝ Ô Ö ÐÐ Ð È Ö ÐÐ Ð ×Ñ Ø ÓÒ ÙÖÖ Ò È Ö ÐÐ Ð ×Ñ Ø × Ü ÙØ × Ð Ø Ö Ð Ñ ÒØ Ò Ñ Ñ Ø ÑÔ׸ ÓÒ ÙÖÖ Ò Ù ÑÓ Ò× ÙÜ Ø × ÕÙ ÔÖÓ Ö ×× ÒØ ÓÒ Ó ÒØ Ñ ÒØ Ò× Ð Ø ÑÔ׺ È × Ò ×× Ö Ñ ÒØ Ò Ñ Ñ Ø ÑÔ× ´Ø Ñ ¹×Ð Ò ×ÙÖ ÙÒ Ñ Ñ È͸ ÑÙÐØ ¹Ø ×ÙÖ ÙÒ ÙÖµ
- 25. ÅÓ Ð ×ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ð × Ò Ù × ÅÓ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ú ØÓÖ ÐÐ ´ËÁÅ ¸ Ö Ýµ ÅÓ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ñ ÑÓ Ö ×ØÖ Ù Ò × Ñ ×× × ÜÔÐ Ø × → ÅÈÁ ´ ÁÆ ¾ µ ÅÓ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ñ ÑÓ Ö Ô ÖØ ÑÙÐØ ¹Ø Ö Ò ´ÇÔ ÒÅȵ ÅÓ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ý Ö È͸ È ÈÍ ÔÓÙÖ ÖØ Ò× Ð ÙÐ× ´ Í ¸ ÇÔ Ò Ä¸ ÀÅÈȵ ÅÓ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ñ ÜØ ÕÙ ÔÖÓ ××Ù× ÅÈÁ ÙØ Ð × ÔÐÙ× ÙÖ× Ð×»Ø Ö × ´ÀÈ µ ÅÓ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ñ ÜØ Ø Ý Ö ´ÅÈÁ· Ð×· È͸ ÀÈ Ñ ×Ø Ö µ
- 26. Ä × ÖÒ × ÓÒÒ ×¸ Ä Ø ººº ÌÖ Ø Ñ ÒØ Ñ ×× × ÓÒÒ × ´ÀÈ ¸ ÖÓ× Ö Ò×µ¸ ØÖ Ø Ñ ÒØ × ÓÒÒ × Ñ ×× Ú × ´ÀÈ ¸ Ô Ø Ø× Ö Ò×µº Ø ÙÒ ÙÞÞÛÓÖ ØÖ × Ñ Ø × ¸ Ö Ò ÖÑ Ù ÓÙÔ ØØ ×¸ ´Ð Ö ¹× Ð µ Ä × Î ×ÙÖ Ð × ÓÒÒ × ÎÓÐÙÑ ¸ Î Ö Ø ´ Ø ÖÓ Ò µ¸ Î Ø ×× ´ ÓÒÒ × Ò Ö × Ò Ø ÑÔ× Ö Ð¸ ÔØ ÙÖ×µ¸ Î Ð ÙÖ ´Ô × × ÑÙÐ Ø ÓÒ Ñ × Ð Ú ÐÓÖ × Ø ÓÒµ ÌÓÐ Ö Ò ÙÜ Ô ÒÒ × × ÓÖ Ò Ø ÙÖ× ¸ × Ö × ÙÜ ¸ Ø º ÅÈÁ Þ ÖÓ ØÓÐ Ö Ò Ñ × Ö Ò ×ÓÙÔÐ ×× ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Å ÔÊ Ù ´À ÓÓÔµ Ö Ò ØÓÐ Ö Ò Ñ × ÑÓ Ð Ð ÙÐ ÔÐÙ× Ð Ñ Ø ÇÒ Ô ÙØ Ö Ù Å ÔÊ Ù Ú ÅÈÁ ´ Ò Ì µ
- 27. ÉÙ ÐÕÙ ×Ù×× × × ×ÙÖ Ð × ×Ý×Ø Ñ × ×ØÖ Ù × Ä Ö × Ù ×Ø Ð Ä Ø ÑÔ× Ð Ø Ò ×Ø ÒÙÐ Ä Ò Ô ×× ÒØ ×Ø Ò Ò Ä Ö × Ù ×Ø × Ö Ä ØÓÔÓÐÓ Ù Ö × Ù Ò Ò Ô × ÁÐ Ý ÙÒ Ø ÙÒ × ÙÐ Ñ Ò ×ØÖ Ø ÙÖ Ö × Ù Ä Ó Ø ØÖ Ò×ÔÓÖØ ×Ø ÒÙÐ Ä Ö × Ù ×Ø ÓÑÓ Ò
- 28. Ä Ö ÖÓÙÔÑ ÒØ ´ ÐÙ×Ø Ö Ò µ Ô ÖØ Ø ÓÒÒ Ö Ð × ÓÒÒ × Ò ÖÓÙÔ × ÓÑÓ Ò × Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¾
- 29. ÐÙ×Ø Ö ÒØ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ù Ð ÌÖÓÙÚ Ö Ð × Ð Ü × Ñ × ³Ó Ø× Ð ×Ø × ´ ÖÓÙÔ ¸ ÐÙ×Ø Öµ ËÐÓ Ò Ø Ð Ë Ý ËÙÖÚ Ý ØØÔ »»ÛÛÛº× ×׺ÓÖ »¸ ¿Å· Ó Ø× Ð ×Ø × Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¾
- 30. Ò× Ð ×Ø׸ ÓÒ ÙÒ ×ÓÙÔ ³ ØØÖ ÙØ× Ô Ö ÓÒÒ ººº  ٠n = ÓÒÒ × ×ÙÖ Ð × Ú Ò׸ d = ½½ ØØÖ ÙØ× ØØÔ× »» Ö Ú º ׺٠º Ù»Ñл Ø × Ø×»Ï Ò ·ÉÙ Ð ØÝ Ü ØÝ ÚÓÐ Ø Ð ØÝ ØÖ Ö × Ù Ð ×Ù Ö ÐÓÖ × Ö ×ÙÐ ÙÖ ÓÜ ØÓØ Ð ×ÙÐ ÙÖ ÓÜ Ò× ØÝ ÔÀ ×ÙÐÔ Ø × Ð Ó ÓÐ ÕÙ Ð ØÝ ¼º¾ ¼º¿ ¾¼º ¼º¼ ½ ¼ ½º¼¼½ ¿ ¼º º º¿ ¼º¿ ¼º¿ ½º ¼º¼ ½ ½¿¾ ¼º ¿º¿ ¼º º ººº ½ ¹ Ü ØÝ ¾ ¹ ÚÓÐ Ø Ð ØÝ ¿ ¹ ØÖ ¹ Ö × Ù Ð ×Ù Ö ¹ ÐÓÖ × ¹ Ö ×ÙÐ ÙÖ ÓÜ ¹ ØÓØ Ð ×ÙÐ ÙÖ ÓÜ ¹ Ò× ØÝ ¹ ÔÀ ½¼ ¹ ×ÙÐÔ Ø × ½½ ¹ Ð Ó ÓÐ ÇÒ Ú ÙØ ÖÓÙÔ Ö Ð × Ú Ò× Ô Ö Ö ×× Ñ Ð Ò × ´Ô Ö ÕÙ Ð Ø ¸ Ñ Ñ ÕÙ Ð Ø Ñ Ñ ÖÓÙÔ µº Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿¼
- 31. Ê Ö ÜÔÐÓÖØÓ Ö Ä Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ ´ ÐÙ×Ø Ö Ò µ È ÖØ Ø ÓÒÒ Ö Ð × ÓÒÒ × X = {x½, ..., xn}¸ n ÓÒÒ × ¸ ÙÒ ÓÑÔÓÖØ ÒØ d ØØÖ ÙØ× xi = (x (½) i , ..., x (j) i , ..., x (d) i )º È ÖØ Ø ÓÒÒ X Ò k ∈ N ÖÓÙÔ × × Ó ÒØ× ÐÙ×Ø Ö× X = G½ ∪ G¾ ∪ ... ∪ Gk, Gi ∩ Gj = ∅ ∀i = j Ô ÖÑ Ø Ø ÓÖ × Ö Ð × ÓÒÒ × Ò ÓÒÒ ÒØ ÙÒ × Ò× × Ñ ÒØ ÕÙ ÙÜ ÖÓÙÔ × ÓÑÓ Ò × → ³ ×Ø Ð³ ÔÔÖ ÒØ ×× ÒÓÒ¹×ÙÔ ÖÚ × º ÈÓÙÖ ÕÙ ÖÓÙÔ Gi ¸ ÓÒ Ô ÙØ Ò Ö ÙÒ ÒØÖ ci ¸ ÔÔ Ð ÔÖÓØÓØÝÔ ÓÙ Ö ÔÖ × ÒØ ÒØ Ù ÐÙ×Ø Ö ´×ÓÙ×¹ Ð ×× ³ Ð ÓÖ Ø Ñ × ÔÔ Ð ÒØ Ö¹ × ÐÙ×Ø Ö Ò µ ººº Ñ × Ð ÐÙ×Ø Ö Ò »Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ × ÖØ Ù×× ÙÒ ÕÙ ÒØ Ø ³ ÙØÖ × Ð ÓÖ Ø Ñ ×ººº Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿½
- 32. È ÖØ ØÓÒÒ Ö Ð × ÓÒÒ × Ð ÐÙ×Ø Ö Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ú ¿ ØÝÔ × Ö Ò ÙÖ× n Ð ÒÓÑ Ö ÓÒÒ × d Ð Ñ Ò× ÓÒ × ÓÒÒ × X ×Ø Ú ×Ù Ð × ÓÑÑ ÙÒ ÒÙ ÔÓ ÒØ× Ò× Rd ØØÖ ÙØ× ÒÙÑ Ö Õ٠׸ Ø ÓÖ ÐÐ × ÓÙ × Ñ ¹ Ø ÓÖ ÐÐ × k Ð ÒÓÑ Ö ÐÙ×Ø Ö× ´k ≤ n Ú ×ÓÙÚ ÒØ k << nµ ×ÓÙÚ ÒØ Ò ÓÒÒÙ ÔÖ ÓÖ Ò Ö Ð Ñ Òظ ÓÒ n >> d ´n ØÖ × Ö Ò Ú ÒØ dµ Ø k << n ´k ØÖ × Ô Ø Ø Ú ÒØ n¸ Ò Ð Ð µ Ò ÓÒÒÙ¸ Ñ × ÓÒ Ô ÙØ Ù×× ÚÓ Ö d >> n Ø k = Θ(n) ÆÓØ Ø ÓÒ a >> b × a > b Ø a b = ÓÒ×Ø ÒØ ÜÔn >> n¾ >> n >> ÐÓ n n½+ >> n ÐÓ a n ∀ > ¼, a ∈ N Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿¾
- 33. ÎÓØÖ Ì ÙÓÙÖ ³ Ù ÌÖÓÙÚ Ö × ×Ô × Ú Ø Ð × ººº ÍÒ´ µ ÓÐÐ Ù ÔÓÙÖ Ñ Ò Ð ×× Ö ÙÒ × Ô ÓØÓ× n ÙÖ× ³ Ö × ´ × ÓÒÒ ×¸ µ Ò ×ÓÙ×¹ Ñ ÐÐ × × Ñ Ð Ð × ÇÒ ÜØÖ Ø ÔÓÙÖ ÕÙ Ô ÓØÓ Pi ÙÒ ØØÖ ÙØ xi ∈ R ´ ØÙÖ ÜØÖ Ø ÓÒµ ´½µ ÐÓÒ Ù ÙÖ × Ô Ð Ò Ñ¸ ´¾µ Ð Ö ÙÖ × Ô Ð Ò Ñ¸ ´¿µ ÐÓÒ Ù ÙÖ Ô Ø Ð Ò Ñ¸ ´ µ Ð Ö ÙÖ Ô Ø Ð Ò Ñ ººº º¿¸¿º ¸½º ¸¼º¾ º¼¸¿º¿¸½º ¸¼º¾ º¼¸¿º¾¸ º ¸½º º ¸¿º¾¸ º ¸½º ¸ ººº Ð ×× Ö ÕÙ Ô ÓØÓ Pi Ò× ÙÒ × ×ÓÙ×¹ Ñ ÐÐ × ´ Ò× ×ÓÒ ÐÙ×Ø Öµ ÓÑ Ò Ñ ÐÐ × ´→ ØÖÓÙÚ Ö kµ Ì ¾ Ö ÐÙ×Ø Ö Ò ×ÙÖ ÔÐÙ× ÙÖ× Ñ Ò × Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿¿
- 34. ÓÑÑ Ò ÓÒ×Ú Ð × × ÑÔÐ k = ½ ÐÙ×Ø Ö ÓÑÑ ÒØ ØÖÓÙÚ Ö Ð ÒØÖ ´ÔÖÓØÓØÝÔ µ Ù ÐÙ×Ø Ö ÍÒ Ö Ø Ö ×Ø Ñ Ò Ñ × Ö Ð Ú Ö Ò Ù ÐÙ×Ø Ö ´× ×Ô Ö× ÓÒ µ v(X, c½) = n i=½ xi − c½ ¾ Ú p − q ¾ = d j=½(p(j) − q(j))¾¸ Ð ×Ø Ò Ù Ð ÒÒ Ù ÖÖ p − q ¾ = p − q, p − q Ó x, y = d j=½ x(j)y(j) ÔÖÓ Ù Ø × Ð Ö ÇÒ Ú ÙØ Ñ Ò Ñ × Ö Ñ Òc½ v(X, c½) = Ñ Òc½ n i=½ xi − c½ ¾ Å Ò Ñ × Ö v(X, c½) ≡ Ñ Ò Ñ × Ö ½ n v(G½, c½) ´× ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒµº Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿
- 35. ÒØÖ Ø ÚÖ Ò ³ÙÒ ÐÙ×Ø Ö ÈÓ×ÓÒ× Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ñ ÒØ Î Ö Ò Ù ÐÙ×Ø Ö Ñ Ò Ñ × v½(X, c) Ñ Òc v½(X, c) = n i=½ xi − c ¾ ÒØÖ Ù ÐÙ×Ø Ö c½ = Ö Ñ Òc v(X, c) = Ö Ñ Òc n i=½ xi − c ¾ , v½(X) = v½(X, c½) Ö Ñ Ò Ö ÒÚÓ Ð³ Ö ÙÑ ÒØ ÕÙ ÓÒÒ Ð Ù Ù Ñ Ò ÑÙѺ Ò × ³ Ð Ø ¸ ÓÒ Ö ÒÚÓ Ð ÔÐÙ× Ô Ø Ø ×Ù Ú ÒØ ÙÒ ÓÖ Ö ÓÒÒ º È Ö Ü ÑÔÐ ¸ ÔÓÙÖ ÙÒ Ø Ð Ù t[¼] = −¿, t[½] = , t[¾] = − , t[¿] = ½¼, t[ ] = − , t[ ] = ½¾º ÓÖ Ö ≤ ×ÙÖ Ð × Ò Ü × ÒØ Ö× Ñ Ò i t[i] = − , Ö Ñ Ò i t[i] = ¾ Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿
- 36. Ê ÔÔ Ð×ÙÖ Ð³ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ ÓÒÚ Ü ÍÒ ÓÒ Ø ÓÒ f ∈ C¾ ×Ø ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÓÒÚ Ü ×× º ÔÓÙÖ x = y¸ ∀α ∈ (¼, ½) f (αx+(½−α)y) < αf (x)+(½−α)f (y) ÕÙ Ú Ð ÒØ f (x) > ¼ ´x ∈ Rµ Ñ Ò ÑÙÑ ÙÒ ÕÙ x∗ ×× ∃!x∗, f (x∗) = ¼ ´Ô ÙØ Ò Ô × Ü ×Ø Ö ÓÑÑ ex µ Ò ÐÝ× ÑÙÐØ Ú Ö Ú Ø ÙÖ Â Ó Ò ∇xf (x) = (∂f (x) ∂xi )i Ø Ñ ØÖ À ×× ÒÒ ∇¾ x f (x) = (∂¾f (x) ∂xi ∂xj )i,j ¼ x y (x, f(x)) (y, f(y)) αx + (1 − α)y f(αx + (1 − α)y) αf(x) + (1 − α)f(y) z = f(x) f(x) f(y) x∗ f(x∗ ) Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿
- 37. ÒØÖ Ñ ×׸ ÒØÖ Ö Ú Ø ÓÙ ÒØÖÓ ÅÓÒØÖÓÒ× ÕÙ c½ = ½ n n i=½ xi = ¯x¸ ×Ø Ð ÒØÖ Ñ ×× ÔÔ Ð Ù×× ÒØÖÓ º Ñ Òc½ n i=½ xi − c½, xi − c½ = n i=½ ( xi , xi − ¾ xi , c½ + c½, c½ ) n i=½ xi , xi ×Ø ÙÒ ÓÒ×Ø ÒØ Ø Ñ ØØÓÒ× Þ ÖÓ Ð × Ö Ú × Ô ÖØ ÐÐ × e(c½) = n i=½(−¾ xi , c½ + c½, c½ )º ∇c½e½(c½) = n i=½ (−¾xi + ¾c½) = ¼ ⇒ c½ = ½ n n i=½ xi c½ ×Ø ÙÒ ÕÙ Ö Ð × Ö Ú × Ô ÖØ ÐÐ × × ÓÒ × ∇¾ c½e½(c½) = (¾, ¾, ..., ¾) ×ÓÒØ ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø Ú × e(c½) ×Ø ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÓÒÚ Ü º Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿
- 38. ÁÐÐÙ×ØÖ Ø ÓÒÔ Ø Ø Ø Ö Ò Ú Ö Ò × ´ ×Ô Ö× ÓÒ×µ ³ÙÒ ÐÙ×Ø Ö È Ø Ø Ø Ö Ò Ú Ö Ò ´ ×Ô Ö× ÓÒµ ÙØÓÙÖ Ù ÒØÖ v½(G½) = ½ n n i=½ xi − ½ n n l=½ xl ¾ v½(G½) = ½ n n i=½ xi ¾ − ¯x ¾ , ¯x = ½ n n i=½ xi Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿
- 39. Ä ÐÙ×Ø ÖÒ Ô Ö Ð ÓÒ Ø ÓÒ × ÓÖ × k¹ÑÓÝ ÒÒ × ÇÒ Ö ØÖÓÙÚ Ö Ð × ÖÓÙÔ × Ú Ð × k ÒØÖ × c½, ..., ck ´ÔÖÓØÓØÝÔ ×µ ÕÙ Ñ Ò Ñ × Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ø ek(X; c½, ..., ck ) = ek (X; C) = n i=½ Ñ Ò j∈{½,...,k} xi − cj ¾ ³ ×Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ek(X; C) = k j=½ x∈Gj x − cj ¾ Ú Gj = {xi ∈ X : xi − cj ≤ xi − cl , ∀l ∈ {½, ..., k}} Æ Ò × ³ Ð Ø × ×Ø Ò ×¸ ÓÒ Ø ×Ù Ú ÒØ Ð³ÓÖ Ö Ð Ü Ó Ö Ô ÕÙ × ÐÙ×Ø Ö× Ò Ö ×Ô Ø Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ º → ÇÒ Ú ÙØ Ñ Ò Ñ × Ö Ð ×ÓÑÑ × Ú Ö Ò × × ÐÙ×Ø Ö× ´×ÓÑÑ × ×Ô Ö× ÓÒ×µº Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿
- 40. ÌÖ Ø ÐØ Ù ÐÙ×Ø Ö Ò Ô Ö Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ × Ð ÙÐ Ö ÙÒ ÐÙ×Ø Ö Ò ½¹ÑÓÝ ÒÒ Ó Ø O(dn) ´Ø ÑÔ× Ð Ò Ö µ Å Ò Ñ × Ö Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ø × k¹ÑÓÝ ÒÒ × ×Ø Æȹ ÙÖ ÕÙ Ò d > ½ Ø k > ½ ÈÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ø ÑÔ× O(n¾k) ÕÙ Ò d = ½ ´½ ØØÖ ÙØ» ÓÒÒ µ Ô Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÝÒ Ñ ÕÙ → ÇÒ Ú ÓÒ Ö Ö × ÙÖ ×Ø ÕÙ × ÔÓÙÖ Ö ×ÓÙ Ö Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ × ÕÙ Ò k > ½ Ø d > ½º Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹ ¼
- 41. À ÙÖ ×ØÕÙ × ÔÓÙÖ Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ × À ÙÖ ×Ø ÕÙ × ÐÓ Ð × ÓÒ Ö Ð × k ÒØÖ × × ÖÓÙÔ × × Ò× ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ð × ÒØÖ × À ÙÖ ×Ø ÕÙ × ÐÓ Ð × ÓÒ Ô ÖØ ³ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ × k ÒØÖ ×¸ Ø ÓÒ Ñ Ð ÓÖ ÐÓ Ð Ñ ÒØ Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹ ½
- 42. À ÙÖ ×ØÕÙ Ò Ø Ð × Ø ÓÒ Ð ØÓ Ö Ó × Ö Ð × k Ö Ò × ×Ø Ò Ø × ´× ×µ Ð ØÓ Ö Ñ ÒØ Ò× X ´Ñ Ø Ó Ø ÓÖ Ý¸ ÒØÖ × Ò Ø ÙÜ Ð Ñ ÒØ× Xµ Ó × Ö Ð ØÓ Ö Ñ ÒØ Ò× ÙÒ Ó Ø Ò ÐÓ ÒØ ÕÙ ÓÒØ ÒØ Ð × ÓÒÒ × Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹ ¾
- 43. À ÙÖ ×ØÕÙ ÄÐÓÝ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ö Ø ü Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ G½, ..., Gk ´ Ú c½, ..., ck µ¸ ÓÒ Ñ Ð ÓÖ Ø Ö Ø Ú Ñ ÒØ Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ Ú × ÙÜ Ø Ô × ÐÐÓ Ø ÓÒ × ÓÒÒ × ÙÜ ÖÓÙÔ ×º ÈÓÙÖ ØÓÙØ xi ∈ X¸ ×Ó Ø li = Ö Ñ Òl xi − cl ¾¸ Ø ÓÖÑÓÒ× Ð × ÖÓÙÔ × Gj = {xi : li = j} Ö Ò Ð Ø nj = |Gj |º Å × ÓÙÖ × ÒØÖ × × ÖÓÙÔ ×º ÈÓÙÖ ØÓÙØ j ∈ [k] = {½, ..., k}¸ Ð ÙÐ Ö Ð ÒØÖ Ñ ×× cj = ½ nj x∈Gj xº Ê Ô Ø Ö × ÙÜ Ø Ô × Ù×ÕÙ³ ÓÒÚ Ö Ò º Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹ ¿
- 44. ÐÐÓ Ø ÓÒ× ÓÒÒ × ÙÜ ÖÓÙÔ × Ô ÖØ Ø ÓÒ ÎÓÖÓÒÓ c1 c2 c3c4 c5 c6 p|lC(p) = 1 q|lC(q) = 3 Vj = {x ∈ Rd : x − cj ≤ x − cl ∀l ∈ {½, ..., n}}. lC (x) = Ö k Ñ Òj=½ x − cj ¾ Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹
- 45. ÓÒÚ Ö Òг Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ö Ø ÄÐÓÝ Ì ÓÖ Ñ Ä × k¹ÑÓÝ ÒÒ × ÄÐÓÝ ÓÒÚ Ö ÓÒ ÑÓÒÓØÓÒ Ò ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò ³ Ø Ô ×º ËÓ Ø G(Ct) = {G (t) ½ , ..., G (t) k } Ð Ô ÖØ Ø ÓÒ X г Ø Ô t Ó Ø ck(X, Ct)º г Ø Ô t + ½¸ ÔÙ ×ÕÙ³ÓÒ ÐÐÓÙ Ð × ÔÓ ÒØ× ÙÜ ÐÙ×Ø Ö× ÓÒØ Ð × ÒØÖ × ×ÓÒØ Ð × ÔÐÙ× ÔÖÓ ×¸ ÓÒ Ñ Ò Ñ × ÓÒ ck(G(C(t+½) ), Ct) ≤ ck (X, Ct) Ê ÔÔ ÐÓÒ× Õ٠гÓÒ ck (G(C(l)), Cl ) = k j=½ v(G (l) j , cj ) ´×ÓÑÑ × Ú Ö Ò × × ÐÙ×Ø Ö×µº ÄÓÖ× Ð Ö Ñ × ÓÙÖ × ÒØÖ × Ô Ö Ð × ÒØÖÓ × × ÖÓÙÔ ×¸ ÔÓÙÖ ÕÙ ÖÓÙÔ ÓÒ v(G (t+½) j , c(t+½) = c(G (t+½) j )) ≤ v(G (t+½) j , c (t) j )¸ Ø ÓÒ ck(X, Ct+½) ≤ ck(G(C(t+½) ), Ct) ≤ ck(X, Ct) Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹
- 46. ij ÙÖ ×ØÕÙ ÄÐÓÝ Ò Ø ÓÒ Ð × ÔÓ ÒØ× Ò Ø ÙÜ n = ½ ÔÓ ÒØ× ´•µ Ø k = ¾ Ö Ò × ´×µ Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹
- 47. ij ÙÖ ×ØÕÙ ÄÐÓÝ Ò Ø ÓÒ Ø Ø ÓÒ × ÔÓ ÒØ× ÙÜ ÒØÖ × ´ Ø Ô ½µ Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹
- 48. ij ÙÖ ×ØÕÙ ÄÐÓÝ Ò Ø ÓÒ ÒÓÙÚ ÙÜ ÒØÖ × ÒØÖÓ × × ÖÓÙÔ × ´ Ø Ô ½µ Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹
- 49. ij ÙÖ ×ØÕÙ ÄÐÓÝ Ò Ø ÓÒ Ø Ø ÓÒ × ÔÓ ÒØ× ÙÜ ÒØÖ × ´ Ø Ô ¾µ Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹
- 50. ij ÙÖ ×ØÕÙ ÄÐÓÝ Ò Ø ÓÒ ÒÓÙÚ ÙÜ ÒØÖ × ÒØÖÓ × × ÖÓÙÔ × ´ Ø Ô ¾µ Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹ ¼
- 51. ij ÙÖ ×ØÕÙ ÄÐÓÝ Ò Ø ÓÒ ÓÒÚ Ö Ò Ð × ÔÓ ÒØ× ×ÓÒØ ÐÐÓÙ × ÙÜ Ñ Ñ × ÖÓÙÔ × ´ Ø Ô ¿µ ÕÙ ÐÓÖ× Ð ÔÖ ÒØ Ø Ö Ø ÓÒ Ø Ô ¾ Ø Ô ¿ Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹ ½
- 52. Ð ÓÖ ØÑ ÄÐÓÝ Ð × × ÐÙ×Ø Ö× Ú × ÇÒ Ô ÙØ ÚÓ Ö × ÐÙ×Ø Ö× ÕÙ Ú ÒÒ ÒØ Ú × ´ × Ö Ö × Ò ÔÖ Ø ÕÙ Ñ × Ô ÙØ ÖÖ Ú Ö µº Ò× ×¸ ÓÒ Ô ÙØ Ô ÖØ ÐÐ Ñ ÒØ Ö Ó × Ö ÙÒ ÓÙ × ÒÓÙÚ ÐÐ × Ö Ò ×¸ Ø Ð ×ÓÑÑ × Ú Ö Ò × × ÐÙ×Ø Ö× ÓÒØ ÒÙ Ñ ÒÙ Ö ´Ô ÖØ Ð Ö × Ò µ Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹ ¾
- 53. ÍÒ ÒÓÑ ÖÜÔÓÒ ÒØ Ð Ñ Ò Ñ ÐÓ ÙÜ Ä ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ø × k¹ÑÓÝ ÒÒ × Ô ÙØ ÚÓ Ö ÙÒ ÒÓÑ Ö ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ñ Ò Ñ ÐÓ Ùܺ Ñ Ò ÑÙÑ ÐÓ Ð ¼.¿ ´ µ Ø ´ µ Ñ Ò Ñ ÐÓ ÙÜ ∼ ¼. ½ ´ µ Ø ´ µ ÇÒ Ö ÔÐ ÕÙ ×ÓÙ×¹ Ò× Ñ Ð Ò Ô ÕÙ Ø× Ò Ð × ÐÓ Ò ÒØ ØÖ × ÐÓ Ò× Ð × ÙÒ× × ÙØÖ × Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹ ¿
- 54. Ð ÓÖ ØÑ ÄÐÓÝ Å Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ ØÖ × Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÙÒ Ö Ø Ö ÔÓÙÖ ×ØÓÔÔ Ö Ð × Ø Ö Ø ÓÒ× ÐÓÖ×ÕÙ Ð ÖÓ ×× Ò Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ø Ô ×× ×ÓÙ× ÙÒ × Ù Ð ÓÒÒ È Ö Ü ÑÔÐ ¸ ek(X, Ct) − ek (X, Ct+½) ≤ ´ÓÙ × Ù Ð Ö Ð Ø Ò ÔÓÙÖ ÒØ µº ÓÑÔÐ Ü Ø ÄÐÓÝ O(dn) Ò Ñ ÑÓ Ö Ø O(dns) Ó s ÒÓÑ Ö ³ Ø Ö Ø ÓÒ׺ Ò Ø ÓÖ ¸ г ÙÖ ×Ø ÕÙ ÄÐÓÝ Ô ÙØ ÓÙ Ð Ö ÙÒ ÒÓÑ Ö ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ Ó × ´Ð Ò Ö Ò ½ µº ººº Ø ×ÓÙÚ ÒÓÒ× ÒÓÙ× ÕÙ Ñ Ò Ñ × Ö Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ × ×ÓÒØ Æȹ ÙÖ× Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹
- 55. k¹ÑÓÝ ÒÒ ×Ð Ó Ü Ù ÒÓÑ Ö ÐÙ×Ø Ö× k ÍÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÒÓÑ Ö ÐÙ×Ø Ö× k ÈÓÙÖ Ò³ ÑÔÓÖØ ÕÙ Ð k¸ ÓÒ Ð ÓÒ Ø ÓÒ k¹ÑÓÝ ÒÒ ÓÔØ Ñ Ð ek (X) ´ Ú ÐÙ Ö ÑÔ Ö ÕÙ Ñ ÒØ Ú Ð³ ÙÖ ×Ø ÕÙ ÄÐÓÝ ×ÙÖ ÔÐÙ× ÙÖ× Ò Ø Ð × Ø ÓÒ×µ ek(X) ÖÓ Ø ÓÒ ÑÓÒÓØÓÒ Ù×ÕÙ³ en(X) = ¼ ´ÙÒ ÔÓ ÒØ Ô Ö ÐÙ×Ø Ö¸ Ú Ö Ò ÒÙÐÐ µ Å Ø Ó Ù ÓÙ ÓÒ ×× Ò Ð ÓÒ Ø ÓÒ (k, ek (X)) Ø ÓÒ Ó × Ø k Ù Ò Ú Ù Ù ÓÙ ´ Ð ÓÛµº k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 fonctiondecoˆutdesk-moyennesek(X) avant-brasbras coude Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹
- 56. Ä × ÐÑ Ø Ø ÓÒ× Ð Ø Ò ÕÙ × k¹ÑÓÝ ÒÒ × È ÖÑ Ø ØÖÓÙÚ Ö × ÐÙ×Ø Ö× ÓÒØ Ð × ÒÚ ÐÓÔÔ × ÓÒÚ Ü × × ÖÓÙÔ × ×ÓÒØ ÙÜ ÙÜ × Ô Ö Ð × ´ÔÖÓÔÖ Ø ÎÓÖÓÒÓ µº È Ö Ü ÑÔÐ ¸ Ò Ô ÖÑ Ø Ô × Ô ÖØ Ø ÓÒÒ Ö ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ Ù ÓÒÒ × ´ÈÓÙÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ¸ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ×ÓÐÙ Ô Ö Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ × ÒÓÝ Ùµ Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹
- 57. Î Ö ØØ ÖÖ Ò Ë Ò× Ú Ö Ø Ø ÖÖ Ò¸ ÙÒ Ò ÐÝ× ×Ù Ø Ú × ÐÙ×Ø Ö× Ô ÖÑ Ø Ñ ØØÖ Ò Ú Ð ÙÖ Ø ÐÐ ÓÙ Ø ÐÐ Ø Ò ÕÙ ÐÙ×Ø Ö Ò º Å × ÕÙ Ò d > ¿ ÓÑÑ ÒØ Ú ×Ù Ð × Ö ÄÓÖ×Õ٠гÓÒ ×ÔÓ× Ú Ö Ø × Ø ÖÖ Ò× Ô Ö × ÙÜ ÓÒÒ × ÓÒØ ÓÒ ÓÒÒ Ø Ð³ ÔÔ ÖØ Ò Ò ÙÜ ÐÙ×Ø Ö× ´ ³ ×ع ¹ Ö Ð Ð ×× ÔÓÙÖ ÕÙ ÓÒÒ µ¸ ÓÒ Ô ÙØ Ð ÙÐ Ö Ú Ö× Ò Ü × ÕÙ ÑÓÒØÖ ÒØ Ð ÓÒ ÓÖ Ò Ù Ö ×ÙÐØ Ø Ú ÐÙ Ø ÕÙ Ø ´×ÙÔÔÓ× ÓÔØ Ñ Ðµº ÆÓØ Þ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ð³ Ø ÕÙ ØØ ÔÙ ×ÕÙ Ð × ÐÙ×Ø Ö× Ò ×ÓÒØ Ô × ÓÖ Ñ ÒØ ÒÙÑ ÖÓØ × Ú Ð × Ñ Ñ × ÒÙÑ ÖÓ× k! Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ׺
- 58. ij Ò ÜÊ Ò × Ñ Ð Ö Ø ÒØÖ ÙÜ ÐÙ×Ø Ö Ò × Å ×ÙÖ × Ñ Ð Ö Ø ÒØÖ ÙÜ ÐÙ×Ø Ö Ò × G = Gi Ø G Gi ´ ×ÓÒ׸ ÐÙ Ó Ø ÒÙ Ô Ö Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ × Ø ÙÒ Ù ÓÒÒ × ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ Ø ÕÙ Ø µº ÓÑÔ Ö ØÓÙØ × Ð × n ¾ Ô Ö × (xi , xj ) ÔÓ ÒØ× Ø ÓÑÔØ ÙÜ ÕÙ × ØÖÓÙÚ ÒØ Ò× Ð × Ñ Ñ × ÐÙ×Ø Ö× ´aµ Ø ÙÜ ÕÙ × ØÖÓÙÚ ÒØ Ò× × ÐÙ×Ø Ö× Ö ÒØ× ´bµº R(G, G ) = a + b n ¾ , ¼ ≤ R ≤ ½ a #{(i, j) : l(xi ) = l(xj) ∧ l (xi ) = l (xj )} b #{(i, j) : l(xi ) = l(xj ) ∧ l (xi ) = l (xj )} ÓÒ Ø ÓÒ½ ∧ ÓÒ Ø ÓÒ¾ ÚÖ ×× º ÓÒ Ø ÓÒ ½ Ø ¾ ×ÓÒØ ÚÖ × ÇÒ Ú Ø Ö Ö ÒÙÑ ÖÓØ Ö Ð × k ÖÓÙÔ × ´k! Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ×µº
- 59. ÈÖÓ Ö ÑÑÖ Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ × Ò Ô Ö ÐÐ Ð ´½µ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò ·· ´¾µ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ú ÅÈÁ
- 60. Ä Ð ÒÓÖ ÒØ Ó Ø ´Çǵ ·· Ö Ô Ö ÖÒ ËØÖÓÙ×ØÖÙÔ Ò ½ ¿ ÇÖ ÒØ Ó Ø Ú ØÝÔ ×Ø Ø ÕÙ º ü Ò Ù Ò Â Ú Ø Ö Ú Ó ÓÑÔ Ð Ö Ô ÇÒ Ö ×Ó ¹Ñ Ñ Ð Ñ ÑÓ Ö Ô × Ö Ñ ×× Ñ ØØ ´ Ö ÓÐÐ ØÓÖ¸ µº ØØ ÒØ ÓÒ ÙÜ ÖÖ ÙÖ× ÐÓÖ× Ð³ Ü ÙØ ÓÒ ´×Ý×Ø Ñ Ö × ¸ × Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÙÐص Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ÔÓ ÒØ ÙÖ× Ô ÖÑ × ´=Â Ú Ô ×× Ô Ö Ú Ð ÙÖ ÓÙ Ô Ö Ö Ö Ò ÔÓÙÖ Ð × Ó Ø×µ ÜØ Ò× ÓÒ× Ö× º º ÔÔ º ÜÜ º ·· º º º ÔÔ º ÜÜ º ·· ÍØ Ð × ·· ´ ÆÍ ÓÑÔ Ð Ö ÓÐÐ Ø ÓÒµ Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÆÍ
- 61. Ä × ÔÓÒØ ÙÖ× Ò ·· Ð Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ ÙÖ× ÒØ ¶ ÔØÖ ÒØ Ö¸ ¶ÔØÖ½¸ ¶ÔØÖ¾ Ö ¶ ÔØÖ Ö Ø Ö ÓÙ Ð ¶ ÔØÖ Ö Ð ÇÔ Ö Ø ÙÖ Ö Ö Ò ´ Ö ×× µ ² ÒØ Ú Ö ½ ÒØ ¶Ú Ö¾ »» ÔÓ ÒØ ÙÖ ×ÙÖ ÙÒ Ú Ö Ð ØÝÔ ÒØ Ö Ú Ö¾ ²Ú Ö½ »» Ú Ö¾ ÔÓ ÒØ ×ÙÖ Ú Ö½ ÇÔ Ö Ø ÙÖ Ö Ö Ò Ñ ÒØ ¶ »¶ ÔÖ Ò Ð³ ÒØ Ö ÓÒØ ÒÙ Ò× Ð³ Ò ÖÓ Ø Ñ ÑÓ Ö Ö Ö Ò Ô Ö Ú Ö¾ ¶» ÒØ Ú Ö¿ ´¶Ú Ö¾µ
- 62. ÓÑÔ Ð ÖØ Ü ÙØ Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ·· Ò ÐÙ Ó×ØÖ Ñ Ù× Ò Ò Ñ ×Ô ×Ø »» ÔÓÙÖ Ð × ÒØÖ ×»ËÓÖØ × ÒØ Ñ Ò ´µ ß ÒØ Ú Ö½ ¾ ÒØ ∗ Ú Ö¾ Ú Ö¾ ²Ú Ö½ »» Ú Ö¾ ÔÓ ÒØ ×ÙÖ Ú Ö½ ÓÙØ Ú Ð ÙÖ Ú Ö¾ Ú Ö¾ Ò Ð ÒØ Ú Ö¿ ´∗Ú Ö¾ µ ÓÙØ Ú Ð ÙÖ Ú Ö¿ Ú Ö¿ Ò Ð Ö ØÙÖÒ ¼ »» Ò × Ò× Ð ÑÓ Ò Ö ÔÖÓ Ð Ñ ¹ µ ÓÒ×ÓÐ ·· ÔÖÓ Ö ÑÑ º ÔÔ ¹Ó ÑÓÒÔÖÓ Ö ÑÑ º Ü ÓÒ×ÓÐ ÑÓÒÔÖÓ Ö ÑÑ º Ü
- 63. Ä ÓÒ ØÓÒ ×Û Ô ×ÙÖ Ð ØÝÔ ÒØ Ö Ò ·· Ê ÔÔ Ð ×ÙÖ Ð Ñ ÑÓ Ö Ô Ð ´ÔÓÙÖ ÑÔ Ð Ö Ð × ÔÔ Ð× ÓÒ Ø ÓÒµ Ø Ø × ´ÔÓÙÖ Ð Ñ ÑÓ Ö ÐÓ Ð Ù ÔÖÓ Ö ÑÑ Ü ÙØ ÔÖÓ ××Ù×µ Ú Ó ×Û Ô ´ Ò Ø ¸ Ò Ø µ ß Ò Ø »» Ô ×× Ô Ö Ö Ö Ò ´ ÓÖ Ñ ÒØ Ò Ø Ð × ×µ Ú Ó ÓÓ ×Û Ô ´ Ò Ø² ¸ Ò Ø² µ ß Ò Ø »» Ö ÙÑ ÒØ× ÔÓ ÒØ ÙÖ× ´Ô ÙØ ØÖ ÆÍÄÄ ÓÙ ¼µ Ú Ó ÓÓ ×Û ÔÔØÖ ´ Ò Ø ∗ ¸ Ò Ø ∗ µ ß Ò Ø ´∗ µ ´∗ µ ´∗ µ ´ ∗ µ Ò Ø ¸ ½¼ ×Û Ô ´ ¸ µ »» Ô ×× Ô Ö Ú Ð ÙÖ Ó Ù Ø Ò Ð »» ½¼ ÓÓ ×Û Ô ´ ¸ µ »»Ô ×× Ô Ö Ö Ö Ò Ó Ù Ø Ò Ð »»½¼
- 64. Ò ·· Ô×× Ô Ö Ö Ö Ò × Ø Ô Ö ÔÓ ÒØ ÙÖ× Ò » ··¸ ÓÒ Ô ×× Ð × Ö ÙÑ ÒØ× ÙÜ ÔÖÓ ÙÖ × Ô Ö Ö ÓÔ º Ò Ð Ù Ó × Ø Ö Ñ Ù × Ò Ò Ñ ×Ô × Ø Ú Ó Ò Ö Î Ð Ù Ö ´ Ò Ø Ü µ ß Ü·· »∗ ¸ ³ × Ø ¿ ∗» Ú Ó Ò Ö È Ó Ò Ø Ù Ö ´ Ò Ø ∗ ÔÜ µ ß ´∗ ÔÜ µ·· Ú Ó Ò Ö Ê Ö Ò ´ Ò Ø ² Ü µ ß Ü·· Ò Ø Ñ Ò ´ Ò Ø Ö ¸ Ö ∗ Ö Ú µ ß Ò Ø Ü ¾ Ò Ö Î Ð Ù Ö ´ Ü µ Ó Ù Ø Ü Ü Ò Ð »» ¾ Ò Ö È Ó Ò Ø Ù Ö ´²Ü µ Ó Ù Ø Ü Ü Ò Ð »» ¿ Ò Ö Ê Ö Ò ´ Ü µ Ó Ù Ø Ü Ü Ò Ð »» Ö Ø Ù Ö Ò ¼ È ×× Ô Ö ÔÓ ÒØ ÙÖ Ú Ø Ð Ö ÓÔ × ÖÓ× Ö ÙÑ ÒØ× ´Ó Ø×µ¸ Ø Ô ÖÑ Ø Ô ×× Ö ÆÍÄÄ È ×× Ô Ö Ö Ö Ò Ð × ´ØÓÙ ÓÙÖ× Ò Ø Ð × µ¸ Ô × ³ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ×
- 65. Ä × ØÐ ÙÜ Ò ·· Ä × Ò × ÓÑÑ Ò ÒØ ¼ ÓÑÑ ÔÓÙÖ Â Ú º ÒØ ÒÓÑ Ö ÈÖ Ñ Ö× ß ¾¸ ¿¸ ¸ ÒØ Þ ¾ ß »» Ú Ð ÙÖ× Ò Ø Ð × × Þ ÖÓ ÒØ Ñ ØÖ ¿ »» ¿ Ð Ò × ÓÐÓÒÒ × ÚÓ ÔÖÓ ÙÖ ´ ÒØ Ø Ð Ù µ ß ÔÖ ×¸ ÓÒ Ú ÖÖ Ð Ð ×× Ú ØÓÖ Ð ËÌĺºº
- 66. ÐÐÓ Ø ÓÒÝÒ Ñ ÕÙ Ò ·· ÇÒ Ó Ø Ö Ö Ð³ ×Ô Ñ ÑÓ Ö ×Ó ¹Ñ Ñ Ò ··¸ Ø Ð ÙØ ÓÒ Ð Ö Ö Ð Ñ ÑÓ Ö ÕÙ Ò ÓÒ Ò Ð³ÙØ Ð × ÔÐÙ× º ÒØ Ø Ð Ð ¾¼½ ÒØ ∗ Ø Ø Ò Û ÒØ Ø Ð Ð »» ººº ÙØ Ð × Þ Ø Ð Ù ÔÙ × ÄÁ Ê Ê Ð Ð Ø Ø
- 67. ÐÐÓ Ø ÓÒ× Ø Ð ÙÜ ÑÙÐØ ¹ Ñ Ò× ÓÒÒ Ð× Ò ÐÙ Ó×ØÖ Ñ Ù× Ò Ò Ñ ×Ô ×Ø ÒØ Ñ Ò´ ÒØ Ö ¸ Ö ∗ Ö Ú µ ß ÓÙ Ð ∗∗ Ñ ØÖ ÌÖ Ò ÙÐ Ö ÒØ ¸ ¸ Ñ Ò× ÓÒ ¾¼ Ñ ØÖ ÌÖ Ò ÙÐ Ö Ò Û ÓÙ Ð ∗ Ñ Ò× ÓÒ ÓÖ ´ ¼ Ñ Ò× ÓÒ ··µ Ñ ØÖ ÌÖ Ò ÙÐ Ö Ò Û ÓÙ Ð Ñ Ò× ÓÒ ÓÖ ´ ¼ Ñ Ò× ÓÒ ··µ ÓÖ ´ ¼ ··µ ´ µ Ñ ØÖ ÌÖ Ò ÙÐ Ö ½ Ð× Ñ ØÖ ÌÖ Ò ÙÐ Ö ¼
- 68. int d=2015; double **T=newdouble*[d]; for(i=0;i<d;i++) T[i]=new double[d]; T T[0] T[d-1] T[1] T[0][0] T[1][0] T[1][1] T[d − 1][0] T[d − 1][1] T[d − 1][d − 1] pointeur sur un double* (type double**) T[i] pointeur sur un double (type double*)
- 69. Ä Ö ÖÐ Ñ ÑÓ Ö × Ø Ð ÙÜ ´ÑÙÐØ ¹ Ñ Ò× ÓÒÒ Ð×µ Ò ÐÙ Ó×ØÖ Ñ Ù× Ò Ò Ñ ×Ô ×Ø ÒØ Ñ Ò´ ÒØ Ö ¸ Ö ∗ Ö Ú µ ß ÓÙ Ð ∗∗ Ñ ØÖ ÌÖ Ò ÙÐ Ö ÒØ ¸ ¸ Ñ Ò× ÓÒ ¾¼ º º º ÓÖ ´ ¼ Ñ Ò× ÓÒ ··µß ÓÖ ´ ¼ ··µ ß ÓÙØ Ñ ØÖ ÌÖ Ò ÙÐ Ö ÓÙØ Ò Ð º º º
- 70. Ç Ø× ØÑ Ø Ó × Ò ·· ØØ ÒØ ÓÒ¸ Ð ÙØ Ñ ØØÖ ÙÒ ÔÖ × Ð Ð Ö Ø ÓÒ Ð ×× Ð ×× Ó Ø ß ÔÙ Ð ÓÙ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð »» Ñ Ò× ÓÒ Ð Ö ÙÖ ÓÙ Ð Ú ÖØ Ð »∗ Ñ Ò × Ó Ò Ù Ø Ù Ö ∗» ÒØ Ñ Ò´ µ ß Ó Ø ½¸ ¾ ÓÙ Ð ×ÙÖ ¼º¼ ½º ÓÖ ÞÓÒØ Ð º¼ ½º Ú ÖØ Ð º¼ ×ÙÖ ½º ÓÖ ÞÓÒØ Ð ∗ ½º Ú ÖØ Ð ÓÙØ ËÙÖ Ð Ó Ø ½ ×ÙÖ Ò Ð Ö ØÙÖÒ ¼
- 71. Ç Ø× ÓÒ×ØÖÙØ ÙÖ´×µ Ø ×ØÖÙ Ø ÙÖ ˜ Ò ·· º º º Ð ×× ÓÒÒ ß ÔÙ Ð ÒØ ÓÙ Ð ∗ ØØÖ ÙØ »» ÓÒ×ØÖÙ Ø ÙÖ× ´ÔÐÙ× ÙÖ× ÔÓ×× Ð ×µ ÓÒÒ ´µß ¿ ØØÖ ÙØ Ò Û ÓÙ Ð ÓÒÒ ´ ÒØ µß ØØÖ ÙØ Ò Û ÓÙ Ð »» ×ØÖÙ Ø ÙÖ ÙÒ × ÙÐ ÓÒÒ ´µ ß Ð Ø ØØÖ ÙØ ÓÙØ ×ØÖÙ Ø ÙÖ ÔÔ Ð Ò Ð ÒØ Ñ Ò´µ ß ÒØ Ñ ¼¼ ÓÒÒ ∗Ü Ò Û ÓÒÒ ´ ѵ Ð Ø Ü Ö ØÙÖÒ ¼
- 72. Ä Ò ÖØ Ò ·· Ð × Ø ÑÔÐ Ø × Ø ÑÔÐ Ø Ð ×× Ì ÚÓ ×Û Ô ´ ̲ ¸ ̲ µ ßÌ ´ µ ÆÓØ Þ ÕÙ Ð Ð ×× Ì Ó Ø ÚÓ Ö ÙÒ ÓÒ×ØÖÙ Ø ÙÖ T(Tobject)º ÁÐ Ù Ö ×ÙÖ Ö Ö Ð³ÓÔ Ö Ø ÙÖ =
- 73. ·· Ä ×ÙÖÖ ³ÓÔ Ö Ø ÙÖ× ´ÓÚ ÖÐÓ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ×µ ÁÐ ×Ø ÔÖ Ø ÕÙ Ö Ò Ö ÖØ Ò× ÓÔ Ö Ø ÙÖ× ´ ÓÑÑ ·¸ »¸ ¸ Ø ºµ Ò Ð × ×ÙÖ Ö ÒØ º È Ö Ü ÑÔÐ ¸ Ö Ò Ö Ð³ Ð Ø ÔÓÙÖ ÙÒ Ó Ø Ò Ö ÓÔ ÒØ ØÓÙ× Ð × ÒÖ ×ØÖ Ñ ÒØ× ´ ÑÔ×µº È ÖØ Ø ÓÒ ²È ÖØ Ø ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ ´ ÓÒ×Ø È ÖØ Ø ÓÒ ²Ôµ ß Ø ×− Ô º Ø ×− Ô º Ø ×− Ò Ô ºÒ ÓÖ ´ ÒØ ¼ Ø ×− ··µß Ø ×− ÑÙ º ÓÔ ´Ô ºÑÙ µ Ø ×− Ô º Ö ØÙÖÒ ∗ Ø ×
- 74. Ä Ð ××Ú ØÓÖ Ð ËÌÄ ËÌÄ ËØ Ò Ö Ì ÑÔÐ Ø Ä Ö ÖÝ ´ ÓÖÑ Ð ×Ñ ÙØ Ñ ÒØ Ò Ö ÕÙ ¸ ÓÒØ Ò Ö¸ Ø Ö ØÓÖ¸ ºººµ ÓÒØ Ò Ö ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ö Ö × Ø Ð ÙÜ Ø ÐÐ ÝÒ Ñ ÕÙ × Ñ Òغ Ò ÐÙ Ú ØÓÖ × Þ Ø × Þ ¾ »» Ñ ÖÓÓÑ ÓÖ ¾ ÒØ Ö׸ Ò Ø Ð Þ Þ Ø ÓÒ ØÓ ¼ ×Ø Ú ØÓÖ ÒØ ÖÖ Ý ´ × Þ µ »» ÓÒ Ô ÙØ Ö ÓÙØ Ö ÝÒ Ñ ÕÙ Ñ ÒØ × Ð Ñ ÒØ× ÓÖ ´ ÒØ ¼ ¾∗ × Þ ·· µ ß ÖÖ Ý »» Ô × ×Ó Ò Ð Ø ØØÔ »»ÛÛÛº ÔÐÙ×ÔÐÙ׺ ÓÑ»Ö Ö Ò »Ú ØÓÖ»Ú ØÓÖ» ØØÔ »»ÛÛÛº ÔÐÙ×ÔÐÙ׺ ÓÑ»Ö Ö Ò » ×ØÖ Ò »× Þ Ø»
- 75. Ä ÑÓØ ÐÓÒ×Ø Ò× Ð × Ñ Ø Ó × ÓÒ×Ø Ò ÕÙ Õ٠гÓÒ Ò Ô ÙØ Ô × Ò Ö Ð × Ú Ö Ð × Ð³Ó Ø Ø × ÚÓ ÓÓ ´µ ß ÓÙÒØ Ö·· »» Ñ Ö ×Ø ÓÙØ ÓÓ ×Ø Ò Ð ÚÓ ÓÓ ´µ ÓÒ×Ø ß»» Ð Ò ÓÑÔ Ð Ö Ô × Ö ÓÒ Ú ÙØ Ò Ö ÓÙÒØ Ö ÓÙÒØ Ö·· ×Ø ÓÙØ ÓÓ ÓÒ×Ø ×Ø Ò Ð
- 76. ÁÒØÖÓ Ù ØÓÒ ÅÈÁ Å ×× È ×× Ò ÁÒØ Ö
- 77. Å ×× È×× Ò ÁÒØ Ö ´ÅÈÁµ Ä × ÔÖÓ ××Ù× ÓÑÑÙÒ ÕÙ ÒØ ÒØÖ ÙÜ Ö × Ñ ×× × ´ ÓÒØ Ò ÒØ Ð × ÓÒÒ ×µ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÁÒØ Ö ´ ÈÁµ Ò Ø Ð ×ÝÒØ Ü ´ Ø × Ñ ÒØ ÕÙ µ ³ÙÒ Ð ÓØ ÕÙ ÖÓÙØ Ò × ×Ø Ò Ö × × ÔÓÙÖ Ö Ö × ÔÖÓ Ö ÑÑ × ÙØ Ð × ÒØ × Ò × Ñ ×× ×º Æ Ô Ò Ô × Ù Ð Ò ×ÓÙ×¹ ÒØ ÓÑÑ Ð ¸ ··¸ Â Ú ¸ ÓÖØÖ Ò¸ ÈÝØ ÓÒ¸ Ø º ´ÔÐÙ× ÙÖ× Ò Ò × Ð³ ÈÁ ×ÓÒØ ×ÔÓÒ Ð ×µ ÒÚ ÖÓÒÒ Ñ ÒØ Ô Ö ÐÐ Ð Ñ ÑÓ Ö ×ØÖ Ù ½ ½ ´ÛÓÖ × ÓÔµ¸ ÅÈÁ¹Á ´½ ¾µ¸ ÅÈÁ¹¾¸ ÅÈÁ¹¿ ´¾¼¼ µ ÈÐÙ× ÙÖ× ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ× ×ÔÓÒ Ð × ÅÈÁ ÇÒ ÙØ Ð × ÇÔ ÒÅÈÁ ´ ØØÔ »»ÛÛÛºÓÔ Ò¹ÑÔ ºÓÖ »µ Ò × ÐÐ × Ñ Ò × Ú ··º
- 78. ÈÖÓ Ö ÑÑÅÈÁ ´ Ò Ò Ò µ ÕÙ ×Ù × º ÔÔ Ò ÐÙ ÑÔ º ÒØ Ñ Ò´ ÒØ Ö ¸ Ö∗∗ Ö Ú µ ß ÒØ ¸ Ô ¸ Ò Ñ Ð Ò Ö ÔÖÓ ××ÓÖ Ò Ñ ÅÈÁ Å ÈÊÇ ËËÇÊ Æ Å ÅÈÁ ÁÒ Ø´ ² Ö ¸ ² Ö Ú µ »» Ò Ø Ð × ÅÈÁ ÅÈÁ ÓÑÑ × Þ ´ÅÈÁ ÇÅÅ ÏÇÊÄ ¸²Ôµ »» ÒÓÑ Ö ÔÖÓ ××Ù× ÅÈÁ ÓÑÑ Ö Ò ´ÅÈÁ ÇÅÅ ÏÇÊÄ ¸² µ »» Ö Ò Ù ÔÖÓ ××Ù× ÅÈÁ Ø ÔÖÓ ××ÓÖ Ò Ñ ´ÔÖÓ ××ÓÖ Ò Ñ ¸ ²Ò Ñ Ð Òµ »» ÒÓÑ Ù ÔÖÓ ×× ÙÖ Ô Ö Ò Ø ´ ÈÖÓ ×× ÙÖ ±× Á ± Ò ¸ ÔÖÓ ××ÓÖ Ò Ñ ¸ µ ÅÈÁ Ò Ð Þ ´ µ »» ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÅÈÁ Ö ØÙÖÒ ¼
- 79. ÓÑÔ Ð ÖØ Ü ÙØ Ö ×ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ ÅÈÁ Ä ÓÑÔ Ð Ø ÓÒ × Ø Ô Ö ÑÔ ·· ÕÙ ×Ù × º ÔÔ ¹Ó ÕÙ ×Ù × ´× гÓÔØ ÓÒ ¹Ó Ò³ ×Ø Ô × Ñ × ¸ Ö Ø Ò× ÙÒ Ö ºÓÙص Ü ÙØ ÓÒ ×ÙÖ × Ñ Ò ÐÓ Ð Ñ ÒØ ´ ÓÐÐ Ò µ ÓÐÐ Ò ÅÈÁ ° ÑÔ ÖÙÒ ¹ÒÔ ÕÙ ×Ù × ÈÖÓ ×× ÙÖ ÓÐÐ Ò ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¿ ÈÖÓ ×× ÙÖ ÓÐÐ Ò ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¼ ÈÖÓ ×× ÙÖ ÓÐÐ Ò ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½ ÈÖÓ ×× ÙÖ ÓÐÐ Ò ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾
- 80. Ü ÙØ Ö×ÙÖ ÔÐÙ× ÙÖ× Ñ Ò × Ö Ò ½ ° ÑÔ ÖÙÒ ¹ÒÔ ¹ Ó×Ø Ò Ð Ø ÖÖ ¸ ÙØÖ ÕÙ ×Ù × ÈÖÓ ×× ÙÖ ÙØÖ ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½ ÈÖÓ ×× ÙÖ ÙØÖ ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¿ ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò Ð Ø ÖÖ ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾ ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò Ð Ø ÖÖ ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¼ ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò Ð Ø ÖÖ ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ⇒ ÑÔ ÖÙÒ ×Ø ÙÒ Ð × ÔÓÙÖ ÓÖØ ÖÙÒ ½ Ñ Ò × Ò× Ð × × ÐР׸ ÓÖ Ò × × Ò ÐÙ×Ø Ö× Ñ Ò × ´¿ × ¼ + ½ µ
- 81. ÍØ Ð ×Ö Ð³ÓÖ ÓÒÒ Ò ÙÖ ËÄÍÊÅ ×ÙÖ Ð × ÐÙ×Ø Ö× ¿ ÐÙ×Ø Ö× ¼ Ò Ù × Ø ÙÒ ÐÙ×Ø Ö ½ Ò Ù × × Ò Ó ÚÓ Ö × Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ× ×ÙÖ Ð ÐÙ×Ø Ö Ð ÕÙ ÐÐ ÚÓØÖ Ñ Ò ÔÔ ÖØ ÒØ Ö Ò ¾ ½ ° × Ò Ó È ÊÌÁÌÁÇÆ Î ÁÄ ÌÁÅ ÄÁÅÁÌ ÆÇ Ë ËÌ Ì ÆÇ ÄÁËÌ Ù ¶ ÙÔ ½ ¼¼ ½ Ð ÐÐ Ñ Ò ¸ Ò Ð Ø ÖÖ ¸ ÙØÖ ¸ Ð ÕÙ ¸ ×Ô Ò ¸ ÒÐ Ò ¸ Ö Ò ¸ ÖÓ ÒÐ Ò ¸ ÓÐÐ Ò ¸ ÓÒ Ö ¸ ÖÐ Ò ¸ ×Ð Ò ¸Ð ØÙ Ò ¸Ñ ÐØ ¸ÑÓÒ Ó ¸ÔÓÐÓ Ò ¸ÔÓÖØÙ Ð ¸ÖÓÙÑ Ò ¸ ×Ù
- 82. ÍØ Ð ×Ö Ð³ÓÖ ÓÒÒ Ò ÙÖ ËÄÍÊÅ ×ÙÖ Ð × ÐÙ×Ø Ö× ¹ × ¹ º½° ×× ××ÓÒÒ Ä ×Ø ÐÓ Ò Ö Å Ö ¾¼ ½ ¾ ¾¼½ ÖÓÑ Ð Òº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö ××ÓÒÒ ½ ° × Ò Ó È ÊÌÁÌÁÇÆ Î ÁÄ ÌÁÅ ÄÁÅÁÌ ÆÇ Ë ËÌ Ì ÆÇ ÄÁËÌ Ëƾ ¶ ÙÔ ½ ¼¼ ¼ Ð Ð ØØ ¸ Ò ¸ ÐÐ Ö ¸ Ò Ó × ¸ Ò Ù ÐÐ ¸ Ö ÒÒ × ¸ Ö Ù ¸ Ö Ù ¸ Ù ÖÓ ¸ ÖÓ Ø ¸ ÖÑÓÖ ¸ ÖÖ Ð Ø ¸ Ö ÒØ ¸ Ö ¸ Ö Ù× ¸ ÓÖ Ó Ò ¸ ÓÙ × ¸ ××ÓÒÒ ¸ Ò ×Ø Ö ¸ Ö ÓÒ ¸ ÖÓÒ ¸ ÝÑÒÓØ ¸ Ò Ö ¸ ÙÖ ¸Ð Ö ¸Ð Ò × ¸Ð Ù ¸ ÐÓ Ö ¸ÐÓØØ ¸Ñ Ò ¸Ñ ÖÒ ¸Ñ Ý ÒÒ ¸ÑÓÖ Ò ¸ÑÓ× ÐÐ ¸ÑÙÐ Ø ¸ÑÙÖ Ò ¸Ô Ö Ò ¸Ö ¸Ö ÕÙ Ò ¸ÖÓÙ Ø ¸ ÖÓÙ×× ØØ ¸× ÓÒ ¸× ÙÑÓÒ ¸× ÐÙÖ ¸×ÓÐ ¸×ÓÑÑ ¸Ø ÓÒ ¸ ØÖÙ Ø ¸Ú Ò ¸ÚÓ× ×
- 83. ××ÓÒÒ ½ °× ÐÐÓ ¹¹ÒØ × × ¿¾ ¹¹ÒØ × × ¹Ô Ö ¹ÒÓ × × ÐÐÓ Ö ÒØ Ó ÐÐÓ Ø ÓÒ ××ÓÒÒ ½ ° × Ø Ö Ô ËÄÍÊÅ ËÄÍÊÅ ÂÇ Á ËÄÍÊÅ ÂÇ ÈÍË È Ê ÆÇ ³ ´Ü µ³ ËÄÍÊÅ ÂÇ Á ËÄÍÊÅ ÂÇ ÆÇ ÄÁËÌ Ò ¸ ÐÐ Ö ¸ Ö ÒÒ × ¸ ÖÑÓÖ ËÄÍÊÅ ÂÇ ÆÍÅ ÆÇ Ë ËÄÍÊÅ ÂÇ È ÊÌÁÌÁÇÆ Ëƾ ËÄÍÊÅ ÆÆÇ Ë ËÄÍÊÅ ÆÇ ÄÁËÌ Ò ¸ ÐÐ Ö ¸ Ö ÒÒ × ¸ ÖÑÓÖ ËÄÍÊÅ ÆÇ ÄÁ Ë Ë ³´ÒÙÐе³ ËÄÍÊÅ ÆÈÊÇ Ë ¿¾ ËÄÍÊÅ ÆÌ ËÃË ¿¾ ËÄÍÊÅ ÆÌ ËÃË È Ê ÆÇ ËÄÍÊÅ ËÍ ÅÁÌ ÁÊ »Ù× Ö×»ÔÖÓ ×» Ò Ó»Ò Ð× Ò» ½ ËÄÍÊÅ ËÍ ÅÁÌ ÀÇËÌ ××ÓÒÒ ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö ËÄÍÊÅ Ì ËÃË È Ê ÆÇ ³ ´Ü µ³
- 84. ××ÓÒÒ ½ °ÑÔ ÖÙÒ ÕÙ ×Ù × ÈÖÓ ×× ÙÖ ÐÐ Öº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½ ÈÖÓ ×× ÙÖ ÐÐ Öº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ÈÖÓ ×× ÙÖ ÖÑÓÖº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾ ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾ ÈÖÓ ×× ÙÖ ÐÐ Öº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½½ ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ÈÖÓ ×× ÙÖ ÖÑÓÖº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¿¼ ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ÈÖÓ ×× ÙÖ ÐÐ Öº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½ ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ÈÖÓ ×× ÙÖ ÐÐ Öº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½ ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¿ ÈÖÓ ×× ÙÖ ÐÐ Öº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½¼ ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ÈÖÓ ×× ÙÖ ÐÐ Öº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½¾ ÈÖÓ ×× ÙÖ Ö ÒÒ × º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½ ÈÖÓ ×× ÙÖ Ö ÒÒ × º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½ ÈÖÓ ×× ÙÖ Ö ÒÒ × º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½ ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¼ ÈÖÓ ×× ÙÖ Ö ÒÒ × º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½ ÈÖÓ ×× ÙÖ ÖÑÓÖº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¿½ ÈÖÓ ×× ÙÖ Ö ÒÒ × º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾¼ ÈÖÓ ×× ÙÖ ÖÑÓÖº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾ ÈÖÓ ×× ÙÖ Ö ÒÒ × º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾½ ÈÖÓ ×× ÙÖ Ö ÒÒ × º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾¾ ÈÖÓ ×× ÙÖ Ö ÒÒ × º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾¿ ÈÖÓ ×× ÙÖ ÖÑÓÖº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾ ÈÖÓ ×× ÙÖ ÐÐ Öº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½¿ ÈÖÓ ×× ÙÖ ÖÑÓÖº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾ ÈÖÓ ×× ÙÖ ÖÑÓÖº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾ ÈÖÓ ×× ÙÖ ÖÑÓÖº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾
- 85. Æ Ô ×ÓÙ Ð Ö ÖÑ Ö Ð × ÔÓÙÖ Ö Ò Ö Ð × Ö ××ÓÙÖ × ËÄÍÊÅ ××ÓÒÒ ½ ° Ü Ø Ü Ø × ÐÐÓ Ê Ð ÒÕÙ × Ò Ó ÐÐÓ Ø ÓÒ
- 86. ÅÈÁ ÓÑÑÙÒ ØÓÒ× ÐÓ Ð × Ø Ð ÙÐ× ÓÐÐ ÓÖ Ø × Ä Ù× ÓÒ º ÖÓ ×Ø´Ñ× ¸P¼µ ÔÖÓ ××Ù× P¼ ÒÚÓ ØÓÙ× Ð × ÙØÖ × ÔÖÓ ××Ù× Ð Ñ ×× Ñ× º ÍÒ Ð ÙÐ ÐÓ Ð ÓÐÐ ÓÖ Ø ´ Ú ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ×µ Ô Ö Ö Ù Ø ÓÒ º ÐÐÊ Ù ´ÚÐÓ Ð¸Ú ÐÓ Ð¸ÓÔ Ö Ø ÓÒµ Ð × ÔÖÓ ××Ù× Ö ÒØ Ð × ÓÒÒ × ÐÓ Ð × Ú ÙÒ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ´ ÓÙ Ñ Ü Ô Ö Ü ÑÔÐ µ¸ Ø Ð Ö ×ÙÐØ Ø ×Ø Ö ØÓÙÖÒ ØÓÙ× Ð × ÔÖÓ ××Ù× Ú ÐÓ Ð = p ÚÐÓ Ð[p]
- 87. Ð ÙÐ ÐÓÐ ÓÐÐ ÓÖ Ø ÓÑÔÐ Ü Ø ³ÙÒ Ð ÙÐ ÐÓ Ð ÓÐÐ ÓÖ Ø Ô Ò Ð ØÓÔÓÐÓ Ù Ö × Ù ³ ÒØ Ö ÓÒÒ Ü ÓÒ Ù ÐÙ×Ø Ö Ñ Ò ×º ËÓÙÚ Òظ Ð Ö Ú ÒØ ÙÒ Ö Ö Ö Ù Ø ÓÒ Ú Ó Ø ÐÓ Ö Ø Ñ ÕÙ (+ ½ ¾ ¿ ) = (+ (+ ½ ¾) (+ ¿ )) = (+ ¿ ) = (½¼) 1 2 43 73 10 + + + ( )+ +( ) ×ÝÒØ Ü ³ ÔÔ Ð ÐÐÊ Ù ´×ÓÙÖ ¸ ×Ø Ò Ø ÓÒ¸ÓÔ Ö Ø ÓÒµ
- 88. Ð ÙÐ πÔ Ö ÙÒ Ñ Ø Ó ÅÓÒØ ¹ ÖÐÓ π ≈ nc n , πn = nc n Ð Ñn→∞ πn = π.
- 89. Ð ÙÐ πÔ Ö ÙÒ Ñ Ø Ó ÅÓÒØ ¹ ÖÐÓ Ò Ø Ö Ù Ö ¼ »» Ò Ö Ø ÙÖ Ð ØÓ Ö Ö ÒØ × ÒÓÒ Ð × ÔÖÓ º Ð × Ñ Ñ × × Ö Ò ´ ÑÓ µ Ó Ö ´ ¼ Ò ··µ ß Ü ´ Ó Ù Ð µ Ö Ò ´ µ »Ê Æ Å Ý ´ Ó Ù Ð µ Ö Ò ´ µ »Ê Æ Å »» ÓÑÔØ Ð × ÔÓ ÒØ× ÕÙ ØÓÑ ÒØ Ò× Ð ÕÙ Ö ÒØ Ù ×ÕÙ ´ Ü ∗Ü·Ý ∗Ý ½º¼µ Ò Ø Ö Ù Ö ·· Ô Ô Ö Ó Ü Ô º ¼ ∗ Ò Ø Ö Ù Ö »´ Ó Ù Ð µ ´ Ò µ Ô Ö Ò Ø ´ Ô Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ð Ô Ö Ó º ± Ú ± Ô Ó Ò Ø × ± Ö Ö Ù Ö ± Ò ¸ ÑÓ ¸ Ò ¸ Ô Ô Ö Ó Ü Ô ¸ × ´ Ô Ô Ö Ó Ü Ô −Å ÈÁµ µ »» Å ÒØ Ò ÒØ ÓÒ ÙÑÙÐ ØÓÙ× Ð × Ö ×ÙÐØ Ø× Ú ÙÒ Ö Ù Ø ÓÒ ÅÈÁ Ê Ù ´² Ò Ø Ö Ù Ö ¸² Ø Ó Ø Ð Á Ò Ø Ö Ù Ö ¸ ½ ¸ ÅÈÁ ÁÆÌ ¸ ÅÈÁ ËÍŸ ¼ ¸ ÅÈÁ ÇÅÅ ÏÇÊÄ µ ´ ÑÓ ¼µß Ô Ô Ö Ó Ü Ô º ¼ ∗ Ø Ó Ø Ð Á Ò Ø Ö Ù Ö »´ Ó Ù Ð µ ´ Ò Ô Ö Ó × ∗Ò µ Ô Ö Ò Ø ´ Ù Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ô Ô Ô Ö Ó Ú ± Ô Ó Ò Ø × ± Ò ¸ Ò∗ Ò Ô Ö Ó × ¸ Ô Ô Ö Ó Ü Ô µ Ô Ö Ò Ø ´ Ö Ö Ù Ö ³ Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ó Ò ± Ò ¸ × ´ Ô Ô Ö Ó Ü Ô −Å ÈÁµ µ
- 90. ÑÔ ÖÙÒ ¹ÒÔ½¾ ¹ Ó×Ø Ø ÓÒ ¸ ÙÖ ¸ × Ñ Ô ÅÓÒØ ÖÐÓ ¾ º Ü Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º ¾ Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ¿ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ½º¼¼½ ¹¼ Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ¾½ ¾ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ º ¹¼ Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º ½½ Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ¿¾ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ½º¿ ½¼ ¹¼ Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ½º¾¿ ¿¿ ¹¼ Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ¿ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ º ¿¿ ¼ ¹¼ Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º ¿ Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ¿ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ½º ¼ ¹¼ Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ½ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ¾º¿ ¾ ½ ¹¼ Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º ¼ Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ½º¼ ¾ ¹¼ Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º ½¼ Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ½ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ º ¿ ½ ¹¼ Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º ½ Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ½º¼ ¾ ¹¼ Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ¾ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ½º ¼ ¿ ¹¼ Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ º¼ ¿ ¼ ¹¼ ÙÑÙÐ Ø ÓÒ Ô ÔÔÖÓ Ú ½¾¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ³ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ º¾½ ¹¼
- 91. Ð ÓÖ ØÑ Ô Ö ÐÐ Ð ÔÓÙÖ Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ × È Ö ÐÐ Ð k¹Ñ Ò× Ö Ò Æ Ð× Ò ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × Ò ÅÈÁ ½¹ ½
- 92. È Ö ÐÐÐ × Ø ÓÒ ÔÖÓÔÖ Ø ÓÑÔÓ× Ø ÓÒ Ù ÒØÖÓ ËÓ Ø X Ø X ÙÜ ÙÜ ÓÒÒ × ÔÓÒ Ö × Ú Ð ÙÖ× ×ÓÑÑ × × ÔÓ × ØÓØ ÙÜ W Ø W º ÐÓÖ× ÓÒ ¯x(X ∪ X ) = W W + W ¯x(X) + W W + W ¯x(X ) ÌÖ × ÙØ Ð ÔÓÙÖ Ô ÖØ Ö Ð Ð ÙÐ × ÓÒÒ × ×ÙÖ ÔÐÙ× ÙÖ× ÔÖÓ ×× ÙÖ׺ºº ÈÖÓÔÖ Ø Ð ÓÑ ØÖ Ù Ð ÒÒ ´Ò³ ×Ø Ô × ÚÖ Ò ÓÑ ØÖ ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ µ Ö Ò Æ Ð× Ò ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × Ò ÅÈÁ ½¹ ¾
- 93. È Ö ÐÐÐ × Ø ÓÒ Ð³ ÙÖ ×Ø ÕÙ ÄÐÓÝ ËÙÔÔÓ×ÓÒ× n = O(½)¸ k = O(½) Ø p ÔÖÓ ×× ÙÖ× P¼, ..., Pp−½ ´ØÓÙ× Ð × ÔÖÓ ×× ÙÖ× Ð × ÒØ Ð × ÓÒÒ ×µº ÍØ Ð ×ÓÒ× Ð ÔÖÓÔÖ Ø ÓÑÔÓ× Ø ÓÒ × ÒØÖÓ × c½(X) = p−½ i=¼ ½ p c½(Xp)º ÍÒ × ÔÖÓ ×× ÙÖ׸ ×ÓÒ× P¼ ×³Ó ÙÔ Ð³ Ò Ø Ð × Ø ÓÒ × ÒØÖÓ ×¸ ÔÙ × Ù× ´ ÖÓ ×ص ØØ Ò Ø Ð × Ø ÓÒ ØÓÙ× Ð × ÙØÖ × ÔÖÓ ×× ÙÖ׺ Ò ÅÈÁ¸ ÓÑÑ Ò ÅÈÁ ×غ ÕÙ ÔÖÓ ×× ÙÖ Pr ×³Ó ÙÔ ³ ÙÒ Ô ÕÙ Ø n p ÓÒÒ × Xr = {xr n p ...x(r+½) n p −½} Ò Ð ÙÐ ÒØ Ð ×Ø Ò Ñ Ò Ñ Ð × × xi ÙÜ ÒØÖ ×º ÇÒ Ñ Ø ÓÙÖ Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÓÒ Ð ÙÐ Ð × ÒØÖÓ × Ø Ö Ò Ð Ø Ò Ô Ò ÑÑ ÒØ Ò× ÕÙ Ô ÕÙ Ø G½(r), ..., Gk (r) Ú n½(r) = |G½(r)|, ..., nk (r) = |Gk(r)|º ÈÙ × ÓÒ Ö Ù Ø ´ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ù µ ØÓÙ× Ð × cj (r) Ø nj (r) Ò × ÒØ Ð ×ÓÑÑ ´ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÅÈÁµ ÅÈÁ ÐÐÖ Ù ÇÒ Ö Ô Ø Ù×ÕÙ³ ÓÒÚ Ö Ò ´ÓÙ ÐÓÖ×ÕÙ Ð ÖÓ ×× Ò Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ø Ô ×× ×ÓÙ× ÙÒ × Ù Ðµº Ö Ò Æ Ð× Ò ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × Ò ÅÈÁ ½¹ ¿
- 94. Ö Ò ÆÐ× Ò ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × Ò ÅÈÁ ½¹
- 95. Ä × k¹ÑÓÝÒÒ × Ò ÅÈÁ Ò ÐÝ× Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ä × ÓÔ Ö Ø ÓÒ× Ð Ñ ÒØ Ö × ÓÑÑ Ê Ù ¸ ×ظ Ø º Ô Ò ÒØ Ð ØÓÔÓÐÓ Ù Ö × Ù ³ ÒØ Ö ÓÒÒ Ü ÓÒ º ÁÒ Ø Ð × Ø ÓÒ × ÒØÖÓ × Ô Ö Ð ÔÖÓ ×× ÙÖ P¼ Ò Ø ÑÔ× O(dk) Ó Ø ØÓØ Ð O dk + ×Ø(p, dk) + s dn p + Ê Ù (p, dk) ∼n>>k,d O dkns p → Ø ÙÖ ³ Ð Ö Ø ÓÒ ´×Ô ¹ÙÔ¸ Ö ÔÔÓÖØ Ù Ø ÑÔ× × ÕÙ ÒØ Ð ×ÙÖ Ð Ø ÑÔ× Ô Ö ÐÐ Ð µ α = O dkns dkns p = O(p)º È ÐÓ×ÓÔ Ö ÒØ Å ÔÊ Ù ´À ÓÓÔµ ÙØÖ ÑÓ Ð Ð ÙÐ ×ØÖ Ù × ÑÔÐ º Ö Ò Æ Ð× Ò ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × Ò ÅÈÁ ½¹
- 96. ÓÑÔÐ Ü Ø³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ô Ö ÐÐ Ð ÙØ Ð × ÒØ ÅÈÁ ËÓÑÑ Ð ÙÐ× ÐÓ ÙÜ Ò ÄÇÈË ÄÓ Ø Ò ¹ÔÓ ÒØ ÇÈ Ö Ø ÓÒ× Ô Ö Ë ÓÒ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ´Ñ ×× ×µ ÑÓ Ð α + τl ÔÓÙÖ × Ñ ×× × Ø ÐÐ l α Ø ÑÔ× Ð Ø Ò ¸ τ Ø #ÑÓØ×/ Ò Ô ×× ÒØ #Ñ ×× ×× latence Ø ÑÔ× Ô Ö ÓÔ ½ » Ò Ô ×× ÒØ Ð Ø Ò → ÇÒ Ö Ñ Ò Ñ × Ö Ð ÒÓÑ Ö Ñ ×× × ´Ð Ø Ò µ Ö Ò Æ Ð× Ò ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × Ò ÅÈÁ ½¹
- 97. Ê ×ÙÑ ½ ÄÀÈ × ÖØ ØÖ ÔÐÙ× ÔÐÙ× Ú Ø ¸ ÔÐÙ× ÖÓ×× × × ÑÙÐ Ø ÓÒ׸ ÔÐÙ× Ö Ò × ÓÒÒ ×¸ Ø º Ä Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ Ö Ö Ò× Ð × ÓÒÒ × × Ñ × × ÐÙ×Ø Ö× ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ ÒØ × Ø ÓÖ ×» Ð ×× × ÓÒÒ × Ê ÖÓÙÔ Ñ ÒØ ÕÙ Ñ Ò Ñ × Ð ×ÓÑÑ × Ú Ö Ò × × ÐÙ×Ø Ö× Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ × ÌÖÓÙÚ Ö Ð Ñ Ò ÑÙÑ ÐÓ Ð ÔÓÙÖ Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ × ×Ø Æȹ ÙÖ À ÙÖ ×Ø ÕÙ Ø Ö Ø Ú ÄÐÓÝ ØÖÓÙÚ ÙÒ Ñ Ò ÑÙÑ ÐÓ Ð Ò O(dnks) Ð Ô Ö ÐÐ Ð × Ö Ò × ÒØ n P Ô ÕÙ Ø× ÓÒÒ ×º Ì ÑÔ× Ô Ö ÐÐ Ð O(dnks/P)º ij Ð Ö Ø ÓÒ ×Ø ÓÒ O(P)º ÈÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ò Ó × Ð Ö Ð × Ô ØÖ × ½¸ ¾ Ø Ù ÔÓÐÝ ÓÔ Ö Ò Æ Ð× Ò ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × Ò ÅÈÁ ½¹
- 98. Ö Ò ÆÐ× Ò ºÌÖÓÑ ÒÓ× ÓÔ ½¹
- 99. INF442 : Traitementdes donn´ees massives A2 : Le HPC et le regroupement hi´erarchique Frank Nielsen X2013 15 avril 2015 3 avril 2015
- 100. HPC : quelquescas pour le Super-Computing (SC) HPC = on recherche l’ efficacit´e ! Utiliser des mod`eles pour de la simulation parce que sinon c’est trop difficile `a construire (souffleries) trop cher `a construire (crash d’avion/voiture) trop lent `a attendre (´evolution du climat, galaxies) trop dangereux (armes, drogues, pollutions, ´epid´emies) Avoir des r´esultats rapides voire en ligne on-line, incremental : valeur temporelle du r´esultat (m´et´eo) ˆetre le premier `a avoir le r´esultat (bourse, trading HFT) ˆetre le premier `a avoir “une analyse” (incluant le coˆut de d´evelopement) Donn´ees massives, le Big Data : analyse du g´enome/d’une famille de g´enomes recherche d’intelligence extraterrestre (SETI)
- 101. Acc´el´eration, efficacit´e etscalabilit´e tseq : temps ´ecoul´e par le programme s´equentiel tP : ... par programme parall`ele sur P proc. t1 : ... par le programme parall`ele ex´ecut´e en s´equentiel, P = 1 bien sˆur, t1 ≥ tseq sinon on aurait un meilleur algo. s´equentiel Acc´el´eration : speedup(P) = tseq tP , souvent tseq tP t1 tP Efficacit´e : e(P) = speedup(P) P = tseq P×tP par rapport au speed-up lin´eaire, e(P) = 1 ⇔ tP = tseq P Speed-up, efficiency
- 102. Loi d’Amdahl (1967): un frein au parall´elisme ? gain de performance id´eal : α = fraction du code parall`elisable αseq = fraction du code non-parall`elisable avec αseq + α = 1 speedup(P) = t1 tn = (αseq + α )t1 (αseq + α P )t1 = 1 αseq + α P lim P→∞ speedup(P) = 1 αseq = 1 1 − α ⇒ acc´el´eration born´ee par la fraction de code αseq non-parall`elisable (celle qui est intrins´equement s´equentielle)
- 103. Loi d’Amdahl :comportement asymptotique 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 1 4 16 64 256 1024 4096 16384 65536 speed−up nombre de processeurs (P) 0.75 0.9 0.95
- 104. Loi d’Amdahl :un exemple visuel pour concr´etiser αseq = 20% et donc α = 80% Temps P = 1 P=2 P=4 P=8 S = 1 S = 5 3 S = 2 5 S = 10 3 S = 5 P → ∞ seq par ... lim P→∞ speedup(P) = 1 αseq =⇒ speedup ≤ ×5 Est-ce alors int´eressant d’avoir des grands clusters de machines ?
- 105. Loi de Gustafson: scale speed-up, `a la rescousse ! Simulation : taille des mailles d’une grille 2D/3D = fonction de P Vid´eo : SD, HD, 4K, 8K, etc. Concept = Charge de travail (workload) grandit avec P n n’est pas fix´e ! (= cas d’Amdahl) speedupGustafson(P) = αseq + P × α speedupGustafson(P) = αseq + P × (1 − αseq) Gustafson = parall´elisme de donn´ees
- 106. Loi de Gustafson: un exemple visuel Loi de Gustafson : speedup(P) = αseq + P × α . scale speed-up P = 1 P = 2 P = 4 P = 8 n 2n 4n 8n temps la taille des donn´ees n augmente seq par speedup(P) = 0.2 + 0.8 × P Parfois, en pratique, on obtient un speed-up super-lin´eaire (hyper-lin´eaire), qui s’explique par le cache hi´erarchique des donn´ees Pensez au cheminement complexe des donn´ees vers le processeur dans le mat´eriel !
- 107. Autrement dit... efficacit´e(P) = acc´el´eration(P) P efficacit´ed’Amdahl :limP→∞ eAmdahl(P) = 0 efficacit´e de Gustafson :limP→∞ eGustafson(P) = α
- 108. Cluster de machines: une architecture `a m´emoire distribu´ee espace m´emoire local associ´e `a chaque processeur processeurs connect´e par un r´eseau d’interconnexion acc`es m´emoire aux autres processeurs explicite par ´echanges de messages sur le r´eseau le r´eseau d’interconnexion d´etermine la vitesse d’acc`es aux donn´ees caract´eristiques du r´eseau : transmission avec mod`ele de coˆut α + τ × Longueur(message) : latence : temps pour initier une communication (α) bande passante : vitesse de transfert des donn´ees (τ) topologie : architectures physique (mat´eriel) et logique (utilis´e par les algorithmes //)
- 109. E/S (I/Os) etsyst`emes de fichiers parall`eles E/S : entr´ees/sorties , I/O : input/output Big Data : Lire et sauvegarder des gros fichiers ou beaucoup de petits fichiers gestion parall`ele des E/S impl´ement´e explicitement dans les programmes (en MPI, la partie appel´ee MPI-IO) E/S g´er´e par un syst`eme de fichier parall`ele : Lustre : logiciel libre utilis´e par les gros calculateurs http://lustre.opensfs.org/ GPFS (General Parallel File System) : d´evelopp´e par IBM pour des volumes de donn´ees d´epassant le p´etaoctet (1 PB, 1015 ) http://www-03.ibm.com/systems/platformcomputing/products/gpfs/ approche g´er´ee automatiquement par MapReduce avec le GFS (Google File System) → E/S tr`es important en pratique mais pas couvert dans ce cours d’introduction
- 110. INF442 : rappelsur notre vocation ! Introduction `a l’algorithmique et `a la programmation parall`ele en C++/MPI pour l’analyse de donn´ees massives sur un cluster de machines `a m´emoires distribu´ees (calculs `a gros grains).
- 111. Processus Les syst`emes d’exploitationmodernes sont multi-tˆaches : plusieurs applications non-bloquantes peuvent tourner en “mˆeme temps” (time-slicing). un seul processus en cours d’ex´ecution sur le CPU `a un instant donn´e, un ordonnanceur de tˆaches qui alloue les processus aux CPUs/cœurs, ´etat d’un processus : en cours d’ex´ecution, prˆet en attente de CPU, bloqu´e (suspendu/attente de r´eveil).
- 112. Tˆaches (jobs) sousUNIX [france ~]$ sleep 10000 & [1] 12027 [france ~]$ sleep 15000 & [2] 12065 [france ~]$ jobs [1]- Running sleep 10000 & [2]+ Running sleep 15000 & [france ~]$ kill %1 [1]- Terminated sleep 10000 [france ~]$ fg %2 sleep 15000 Une tˆache peut lancer plusieurs processus (mais souvent c’est un seul)
- 113. Tˆaches (jobs) sousUNIX [ france ~]$ ps PID TTY TIME CMD 10241 pts /0 00:00:00 bash 12167 pts /0 00:00:00 ps [ france ~]$ ps -a PID TTY TIME CMD 12168 pts /0 00:00:00 ps [ france ~]$ sleep 10000 & [1] 12169 [ france ~]$ ps -F UID PID PPID C SZ RSS PSR STIME TTY TIME CMD 11234 10241 10240 0 1236 1456 6 10:08 pts /0 00:00:00 -bash 11234 12169 10241 0 953 472 1 10:50 pts /0 00:00:00 sleep 10000 11234 12170 10241 0 1132 900 1 10:50 pts /0 00:00:00 ps -F [ france ~]$ kill 12169 [1]+ Terminated sleep 10000
- 114. Processus et filsde calcul (multi-threading) Un fil de calcul (“processus l´eger”) `a l’int´erieur d’un processus, Multi-threading : ex´ecution `a l’int´erieur d’un processus de plusieurs sous-tˆaches. Ex´ecution “concurrente” de fils de calcul (par exemple, votre navigateur Web), Les ressources allou´ees `a un processus sont partag´ees entre les fils de calcul qui le composent : m´emoire partag´ee pour les fils de calcul (INF431). Un processus a au moins un thread qui contient la fonction main.
- 115. Diff´erence entre processuset threads Les processus ont leurs propres m´emoires d’adressage deux `a deux disjointes. La communication entre processus doit se faire de fa¸con m´ethodique (→ standard MPI) Les threads d’un mˆeme processus partagent la mˆeme zone m´emoire (code + donn´ees). Facile d’acc´eder aux donn´ees mais difficult´es li´ees `a l’acc`es simultan´e de la m´emoire (source de plantage !). Threads bien adapt´es aux architectures multi-cœurs d’un processeur. Multi-threads : plus rapide, application non-bloquante (par exemple, un navigateur web) Multi-threading : parall`elisme avec une m´emoire commune partag´ee
- 116. mpirun est unalias pour orterun https://www.open-mpi.org/doc/v1.4/man1/orterun.1.php -hostfile ou -machinefile fichier maconfigMPI : machine1 slots=2 machine2 slots=2 machine3 slots=2 G´en´eralement slots est le nombre de cœurs et la somme des slots ´equivaut `a l’option -np Utilisez l’ ordonnanceur SLURM pour l’allocation automatique des ressources sur un cluster
- 117. Programmer avec laMessage Passing Interface (MPI) Multiple Program Multiple Data : MPMD Single Program Multiple Data : SPMD
- 118. Op´erations MPI Outre lescalculs locaux de chaque processus, on a aussi : des mouvements de donn´ees via des envois et r´eceptions de messages (broadcast, scatter, gather, all-to-all, etc.), de la synchronisation (barri`ere o`u tous les processus s’attendent avant de pouvoir continuer), du calcul global (comme des op´erations de sommes cumul´ees, reduce et scan ou parallel prefix).
- 119. MPI : Lescommunications collectives usuelles Concernent tous les processus d’un groupe de communication (souvent WORLD) diffusion broadcast Mi M1 M2 M3 M M M M M diffusion personnalis´ee scatter M1 M2 M3 rassemblement gather Mi M1 M2 M3 2 3 1 r´eduction reduce 2 3 1 6 processus appelant AVANT APR`ES P0 P1 P2 P3 message messages personnalis´es M1, M2, M3 `a envoyer Mi messages personnalis´es M1, M2, M3 re¸cus
- 120. MPI : Lescommunications collectives un `a tous (one-to-all) : La diffusion, Broadcast : MPI Bcast, message entier La difusion personnalis´ee, Scatter : MPI Scatter, message partitionn´e en morceaux tous `a un (all-to-one) : La r´eduction, Reduce : MPI Reduce, op´eration comme MPI SUM, etc. Le rassemblement, Gather : MPI Gather, assemble le message `a partir des messages par morceaux tous `a tous (all-to-all, total exchange), le comm´erage : MPI Alltoall
- 121. MPI : lesdeux op´erations de base send et receive Communications bloquantes send(&data, n, Pdest) : Envoie n donn´ees point´ees par &data au processeur Pdest receive(&data,n, Psrc) : Re¸coit n donn´ees `a l’adresse point´ee par &data du processeur Psrc Que se passe t’il dans ce petit exemple ? P0 P1... a=442; send(&a, 1, P1); a=0; ... receive(&a, 1, P0); cout << a << endl;
- 122. Communications bloquantes (non-bufferis´ees) ⇒provoque de l’attente (idling) Envoyeur ou receveur doivent s’attendre mutuellement (hand-shaking).
- 123. MPI Init (&argc,& argv ) ; MPI Comm size (MPI COMM WORLD,&numprocs ) ; MPI Comm rank (MPI COMM WORLD,&myid ) ; tag =442; source =0; d e s t i n a t i o n =1; count =1; i f ( myid == source ) { b u f f e r =2015; MPI Send(& buffer , count , MPI INT , d es t i n a t i on , tag ,MPI COMM WORLD) ; p r i n t f ( ”Le p r oces s eu r %d a envoye %dn” , myid , b u f f e r ) ; } i f ( myid == d e s t i n a t i o n ) { MPI Recv(& buffer , count , MPI INT , source , tag ,MPI COMM WORLD,& s t a t u s ) ; p r i n t f ( ”Le p r oc e s s e u r %d a recu %dn” , myid , b u f f e r ) ; }
- 124. Minimiser les tempsd’attente Pour des communications bloquantes, on cherche donc `a minimiser le temps d’attente (on verra plus tard l’´equilibrage de charge, le load balancing).
- 125. Temps d’attente pourle receveur Receveur prˆet avant l’envoyeur (communications bloquantes)
- 126. MPI : lessituations de blocages (deadlocks) Que se passe t’il dans cet exemple ? P0 P1 send(&a, 1, P1); receive(&b, 1, P1); send(&a, 1, P0); receive(&b, 1, P0); Envoyeur P0 attend le “OK pour envoi” de P1 Envoyeur P1 attend le “OK pour envoi” de P0 C¸a bloque. On est en situation de deadlock ! (Ctrl-C pour tuer le programme...)
- 127. MPI : lesblocages (deadlocks) Les communications bloquantes sont n´ecessaires pour assurer la consistence (s´emantique) des programmes mais font apparaˆıtre des situations ind´esirables de blocage. Pour le send, on peut pr´e-allouer un espace m´emoire “buffer donn´ees” (Data buffer, DB) `a chaque processus, puis envoyer les donn´ees en deux temps : Envoi sur le Data Buffer DB, Sur le processeur receveur, recopie le DB `a l’endroit &data, Implant´e soit mat´eriellement soit par un protocole logiciel. N´eanmoins, il subsiste toujours une situation de blocage lorsque le buffer de donn´ees DB devient plein
- 128. MPI : lesblocages (deadlocks) Mˆeme si on g`ere bien les appels send, le probl`eme du deadlock subsiste Blocage avec les communications bufferis´ees : le probl`eme des receive P0 P1 receive(&a, 1, P1); send(&b, 1, P1); receive(&a, 1, P0); send(&b, 1, P0);
- 129. MPI : Send/Receivenon-bloquantes et non-bufferis´ees Comment envoyer/recevoir des messages avec des communications non-bloquantes... L’envoyeur poste un message “Demande d’envoi” (pending message) et continue l’ex´ecution de son programme, Le receveur poste un “OK pour envoi”, et le transfert de donn´ees s’effectue, Quand le transfert de donn´ees est fini, un check status indique qu’on peut toucher aux donn´ees sans danger
- 130. commnonbloq442.cpp MPI Status st a t u s ; MPI Request r eq u es t ; MPI Init (&argc ,& argv ) ; MPI Comm size (MPI COMM WORLD,&numprocs ) ; MPI Comm rank (MPI COMM WORLD,&myid ) ; tag =442; source =0; d e s t i n a t i o n =1; count =1; r e q u e s t=MPI REQUEST NULL ; i f ( myid == source ) { b u f f e r =2015; MPI Isend(& buffer , count , MPI INT , d es t i n a t i on , tag ,MPI COMM WORLD,& r e q u e s t ) ; } i f ( myid == d e s t i n a t i o n ) { MPI Irecv (& buffer , count , MPI INT , source , tag ,MPI COMM WORLD,& r e q u e s t ) ; }
- 131. r e qu e s t=MPI REQUEST NULL ; i f ( myid == source ) { b u f f e r =2015; MPI Isend(& buffer , count , MPI INT , d es t i n a t i on , tag ,MPI COMM WORLD,& r e q u e s t ) ; } i f ( myid == d e s t i n a t i o n ) { MPI Irecv (& buffer , count , MPI INT , source , tag ,MPI COMM WORLD,& r e q u e s t ) ; } p r i n t f ( ” a t t en t e avec MPI WAIT . . . n”) ; MPI Wait(&request ,& s t a t u s ) ; attente avec MPI_WAIT ... attente avec MPI_WAIT ... [proc 0] status de MPI_WAIT : 0 Le processeur 0 a envoye 2015 [proc 1] status de MPI_WAIT : 0
- 132. MPI : Lessix routines standards sont... proc´edures , types de donn´ees et constantes sont pr´efix´ees par MPI (fichier mpi.h) 100+ proc´edures dont les six principales sont : MPI Init Initialisation de la biblioth`eque MPI Finalize Termine l’utilisation de MPI MPI Comm size Donne le nombre de processus MPI Comm rank ´Etiquette du processus appelant MPI Send Envoi un message (bloquant) MPI Recv Re¸coit un message (bloquant) Ces proc´edures retournent MPI SUCCESS en cas de succ`es, sinon un code d’erreur.
- 133. Quelques hypoth`eses surla concurrence le processeur (ou PE) peut effectuer plusieurs op´erations en mˆeme temps Par exemple, on peut supposer MPI IRecv(), non-bloquant MPI ISend(), non-bloquant + calcul local il faut donc que ces 3 op´erations soient ind´ependantes ! donc on ne peut pas envoyer le r´esultat du calcul on ne peut pas forwarder = envoyer ce que l’on re¸coit en pseudo-code, on note les activit´es concurrentes par || (une double barre) Activit´e1||Activit´e2||Activit´e3
- 134. MPI : Lestypes de donn´ees enMPI Type MPI Type dans le langage C MPI CHAR signed char MPI SHORT signed short int MPI INT signed int MPI LONG signed long int MPI UNSIGNED CHAR unsigned char MPI UNSIGNED SHORT unsigned short int MPI UNSIGNED unsigned int MPI UNSIGNED LONG unsigned long int MPI FLOAT float MPI DOUBLE double MPI LONG DOUBLE long double MPI BYTE MPI PACKED
- 135. MPI : Laprimitive send https://www.open-mpi.org/doc/v1.4/man3/MPI_Send.3.php Syntaxe en C : #i n c l u d e <mpi . h> i n t MPI Send ( void ∗buf , i n t count , MPI Datatype datatype , i n t dest , i n t tag , MPI Comm comm) Syntaxe en C++ (plus mis `a jour depuis MPI-2) : #i n c l u d e <mpi . h> void Comm : : Send ( const void ∗ buf , i n t count , const Datatype& datatype , i n t dest , i n t tag ) const tag : Message tag (integer), utile pour la filtration et l’appariemment des op´erations send/receive. Par d´efault, tag=0
- 136. MPI : lescommunications non-bloquantes (API en C) i n t MPI Isend ( void ∗buf , i n t count , MPI Datatype datatype , i n t dest , i n t tag , MPI Comm comm, MPI Request ∗ req ) i n t MPI Irecv ( void ∗buf , i n t count , MPI Datatype datatype , i n t src , i n t tag , MPI Comm comm, MPI Request ∗ req ) L’objet MPI Request est utilis´e dans les routines suivantes : Retourne *flag=1 si l’op´eration *req est finie, 0 sinon i n t MPI Test ( MPI Request ∗req , i n t ∗ flag , MPI Status ∗ s t a t u s ) Attend jusqu’`a ce que l’op´eration associ´ee avec *req soit finie. i n t MPI Wait ( MPI Request ∗req , MPI Status ∗ s t a t u s )
- 137. MPI : lesgroupes de communication, communicators D´efini le cadre des op´erations de communication, Chaque processus inclus dans un communicator a un rang associ´e, Par d´efaut, MPI COMM WORLD inclut tous les p processus, rang de 0 `a p − 1, On peut cr´eer des communicators pour des groupes de processus, int MPI Comm size(MPI Comm comm, int *size) et int MPI Comm rank(MPI Comm comm, int *size)
- 138. Barri`ere de synchronisation: MPI Barrier MPI Barrier : Bloque jusqu’`a temps que tous les processus arrivent `a cette routine = synchronisation ! Barri`ere de synchronisation Barri`ere de synchronisation
- 139. Mesurer le tempssous MPI : MPI Wtime double start, end; MPI_Init(&argc, &argv); MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &rank); MPI_Barrier(MPI_COMM_WORLD); /* IMPORTANT */ start = MPI_Wtime(); /* faire le calcul ici */ calculINF442(); MPI_Barrier(MPI_COMM_WORLD); /* IMPORTANT */ end = MPI_Wtime(); MPI_Finalize(); if (rank == 0) {cout<< end-start <<endl;} Ou alors utiliser MPI Reduce() pour calculer les temps minima/maxima (et autres statistiques) des processus...
- 140. MPI : Calculglobaux Reduce C : #i n c l u d e <mpi . h> i n t MPI Reduce ( void ∗ sendbuf , void ∗ recvbuf , i n t count , MPI Datatype datatype , MPI Op op , i n t root , MPI Comm comm) https://www.open-mpi.org/doc/v1.5/man3/MPI_Reduce.3.php
- 141. MPI : Reduce,op´erations de calcul pr´ed´efinies Op´erateur binaire associatif et commutatif Nom Signification MPI MAX maximum MPI MIN minimum MPI SUM sum MPI PROD product MPI LAND logical and MPI BAND bit-wise and MPI LOR logical or MPI BOR bit-wise or MPI LXOR logical xor MPI BXOR bit-wise xor MPI MAXLOC max value and location MPI MINLOC min value and location
- 142. Exemple : calculde la factorielle... factoriellempireduce442.cpp i n t i , moi , nproc s ; i n t nombre , g l o b a l F a c t =−1, l o c a l F a c t ; MPI Init (&argc ,& argv ) ; MPI Comm size (MPI COMM WORLD,& nproc s ) ; MPI Comm rank (MPI COMM WORLD,&moi ) ; nombre=moi+1; // dans l e s arguments , se r a p p e l e r l ’ o r d r e ( source , d e s t i n a t i o n ) MPI Reduce(&nombre ,& globalFac t , 1 , MPI INT ,MPI PROD , 0 ,MPI COMM WORLD) ; i f ( moi==0) { p r i n t f (” f a c t o r i e l l e avec re duc e pour %d p r o c e s s u s = %dn” , nprocs , g l o b a l F a c t ) ;} l o c a l F a c t =1; f o r ( i =0; i<nproc s ; i ++) { l o c a l F a c t ∗=( i +1);} i f ( moi==0) { p r i n t f (” f a c t o r i e l l e l o c a l e : %dn” , l o c a l F a c t ) ;} M P I F i n a l i z e () ;
- 143. MPI : Lescommandes Scan/ Pr´efixe parall`ele i n t MPI Scan ( void ∗ sendbuf , void ∗ recvbuf , i n t count , MPI Datatype datatype , MPI Op op , MPI Comm comm ) processus P0 P1 P2 P3 entr´ee (vi ) 1 2 3 4 sortie 1 3 (= 1 + 2) 6 (= 1 + 2 + 3) 10 (= 1 + 2 + 3 + 4)
- 144. P0 P1 P2 P3 a b c d a + b+ c + d b c d reduce P0 P1 P2 a0 a1 c0b0 b1 c2a2 b2 c1 scan a0 a0 + a1 a0 + a1 + a2 b0 b0 + b1 b0 + b1 + b2 c0 c0 + c1 c0 + c1 + c2 P0 P1 P2 P3 a b c d a + b + c + d Allreduce a + b + c + d a + b + c + d a + b + c + d
- 145. Communications : uni-directionellesou bi-directionnelles Uni-directionelle (one-way communication ) Dans un seul sens : on envoie ou on re¸coit MPI Send / MPI Recv Bi-directionnelle Dans les deux sens (two-way communication) MPI Sendrecv https://www.open-mpi.org/doc/v1.8/man3/MPI_Sendrecv.3.php
- 146. Les k-moyennes :Un clustering par partition = clustering plat vs Regroupement hi´erarchique
- 147. Trouver des liensde proximit´e entre les donn´ees mpg cyl disp hp drat wt qsec vs am gear carb Mazda RX4 21.0 6 160.0 110 3.90 2.620 16.46 0 1 4 4 Mazda RX4 Wag 21.0 6 160.0 110 3.90 2.875 17.02 0 1 4 4 Datsun 710 22.8 4 108.0 93 3.85 2.320 18.61 1 1 4 1 Hornet 4 Drive 21.4 6 258.0 110 3.08 3.215 19.44 1 0 3 1 Hornet Sportabout 18.7 8 360.0 175 3.15 3.440 17.02 0 0 3 2 Valiant 18.1 6 225.0 105 2.76 3.460 20.22 1 0 3 1 Duster 360 14.3 8 360.0 245 3.21 3.570 15.84 0 0 3 4 Merc 240 D 24.4 4 146.7 62 3.69 3.190 20.00 1 0 4 2 Merc 230 22.8 4 140.8 95 3.92 3.150 22.90 1 0 4 2 Merc 280 19.2 6 167.6 123 3.92 3.440 18.30 1 0 4 4 Merc 280 C 17.8 6 167.6 123 3.92 3.440 18.90 1 0 4 4 Merc 450 SE 16.4 8 275.8 180 3.07 4.070 17.40 0 0 3 3 Merc 450 SL 17.3 8 275.8 180 3.07 3.730 17.60 0 0 3 3 Merc 450 SLC 15.2 8 275.8 180 3.07 3.780 18.00 0 0 3 3 Cadillac Fleetwood 10.4 8 472.0 205 2.93 5.250 17.98 0 0 3 4 Lincoln Continental 10.4 8 460.0 215 3.00 5.424 17.82 0 0 3 4 Chrysler Imperial 14.7 8 440.0 230 3.23 5.345 17.42 0 0 3 4 Fiat 128 32.4 4 78.7 66 4.08 2.200 19.47 1 1 4 1 Honda Civic 30.4 4 75.7 52 4.93 1.615 18.52 1 1 4 2 Toyota Corolla 33.9 4 71.1 65 4.22 1.835 19.90 1 1 4 1 Toyota Corona 21.5 4 120.1 97 3.70 2.465 20.01 1 0 3 1 Dodge Challenger 15.5 8 318.0 150 2.76 3.520 16.87 0 0 3 2 AMC Javelin 15.2 8 304.0 150 3.15 3.435 17.30 0 0 3 2 Camaro Z28 13.3 8 350.0 245 3.73 3.840 15.41 0 0 3 4 Pontiac Firebird 19.2 8 400.0 175 3.08 3.845 17.05 0 0 3 2 Fiat X1 -9 27.3 4 79.0 66 4.08 1.935 18.90 1 1 4 1 Porsche 914 -2 26.0 4 120.3 91 4.43 2.140 16.70 0 1 5 2 Lotus Europa 30.4 4 95.1 113 3.77 1.513 16.90 1 1 5 2 Ford Pantera L 15.8 8 351.0 264 4.22 3.170 14.50 0 1 5 4 Ferrari Dino 19.7 6 145.0 175 3.62 2.770 15.50 0 1 5 6 Maserati Bora 15.0 8 301.0 335 3.54 3.570 14.60 0 1 5 8 Volvo 142 E 21.4 4 121.0 109 4.11 2.780 18.60 1 1 4 2
- 148.
- 149. Le clustering/regroupement hi´erarchiqueascendant On part des donn´ees X = {x1, ..., xn} qui sont des feuilles et on fusionne r´ecursivement au fur et `a mesure les sous-arbres jusqu’`a ne plus qu’avoir un seul arbre. Les feuilles initiales forment une forˆet d’arbres `a une feuille, puis on fait de la fusion d’arbres... Plusieurs crit`eres pour la fusion de deux sous-arbres (dont les sous-ensembles de donn´ees Gi et Gj sont stock´ees dans leurs feuilles). On calcule Δ(Gi , Gj ) la distance entre deux sous-ensembles. strat´egie du saut minimum :ΔSL → Single Linkage (SL) strat´egie du saut maximum (ou diam`etre) : ΔCL → Complete Linkage (CL) strat´egie du saut moyen : ΔGA → Group Average (GA) etc.
- 150. Pour se fixerune id´ee : saut moyen, Single Linkage (SL) Fonction de chaˆınage Δ(Gi , Gj ) = min xi ∈Gi ,xj ∈Gj D(xi , xj ) o`u D(x, y) est une distance ´el´ementaire .
- 151. Quelle distance ´el´ementaireentre deux donn´ees ? On doit toujours avoir bien entendu Δ({xi }, {xj }) = D(xi , xj ). Exemples de distances ´el´ementaires : Distance Euclidienne (L2) : D(p, q) = d i=1(pi − qi )2 Distance de Manhattan (city block, L1) : D1(p, q) = d i=1 |pi − qi | Distance de Minkowski induite par Lp : Dp(p, q) = d i=1 |pi − qi |p 1 p Distance de Mahalanobis : DΣ(p, q) = (p − q) Σ−1(p − q) = D(L p, L q), avec Σ−1 = L L provenant de la factorisation de Cholesky M´etrique, non-m´etrique, distance & similarit´e, etc.
- 152. Le clustering paragglom´eration Hierarchical Cluster Analysis (HCA) : regroupement hi´erarchique Initialiser xi dans un cluster singleton Gi = {xi } Tant qu’il reste au moins deux clusters : Choisir Gi et Gj tel que Δ(Gi , Gj ) soit minimal Fusionner Gi,j = Gi ∪ Gj (ajouter Gi,j et retirer Gi et Gj ) Retourner le dernier nœud comme la racine de l’arbre de fusion ⇒ le r´esultat d’un regroupement hi´erarchique est un arbre binaire appel´e dendrogramme . On fusionne n − 1 fois (les ´etapes de fusion). Diff´erent d’un algorithme de partitionnement comme les k-moyennes : Clustering hi´erarchique = not Clustering plat (par partition)
- 153. Distance de chaˆınageΔ(Gi, Gj) Single Linkage saut minimum Complete Linkage saut maximum diam`etre Group Average saut moyen
- 154. Dessinons un dendrogramme... Parexemple, choisissons la hauteur comme le nombre de fusions : I N F 4 4 2 I, N 4, 4 I, N, F 4, 4, 2 I,N,F,4,4,2 feuilles nœuds internes hauteur : nombre de fusions 0 1 2 3 Dendrogramme = Graphique d’un arbre binaire, arbre plong´e dans le plan.
- 155. Autre visualisation dela hi´erarchie par inclusion I N F 4 4 2 I, N 4, 4 I, N, F 4, 4, 2 I,N,F,4,4,2 I N F 4 4 2
- 156. Dendrogramme : iris(4D) Dendrogramme = Graphique d’un arbre binaire (arbre plong´e dans le plan) o`u chaque nœud a une hauteur.
- 157. Dendrogrammes et arbresphilog´en´etiques Vous avez souvent d´ej`a vu des dendrogrammes dans la th´eorie des ´evolutions des esp`eces. Dans ce cas, on a un “temps chronologique” sur l’axe vertical (horloge), un cas particulier de dendrogrammes.
- 158. Le clustering hi´erarchique: single linkage (SL) Δ(Gi , Gj ) = min xi ∈Gi ,xj ∈Gj D(xi , xj ) R´epeter tant que toutes les donn´ees xi ne soient pas contenues dans un seul cluster, on fusionne les deux groupes les plus proche. `A chaque instant tous les sous-arbres forment une forˆet (partitition de X). S’il existe plus d’une paire de groupes donnant le Δ minimal, on choisit un ordre (lexicographique). Si on fait une permutation sur les donn´ees, on n’obtiendra pas le mˆeme dendrogramme (unicit´e). Probl`eme (artefact) de chaˆınage dans le clustering final Complexit´e : na¨ıf O(n3), algorithme SLINK en O(n2)
- 159.
- 160. Le clustering hi´erarchique: Complete Linkage Complete linkage (CL) : CLINK in O(n2) (1977) ΔCL(Gi , Gj ) = max xi ∈Gi ,xj ∈Gj D(xi , xj ) , appel´e aussi diam`etre. Probl`eme du diam`etre : si un point artefact (outlier) est tr`es ´eloign´e des autres, la distance inter-groupe devient grande (et n’est pas significative).
- 161.
- 162. Le clustering hi´erarchique: Average Linkage Average Linkage (AL) : O(n2) (1984) ΔAL(Gi , Gj ) = 1 ni nj xi ∈Gi xj ∈Gj D(xi , xj ) La moyenne de toutes les paires de distance !
- 163.
- 165. Crit`ere de fusionde Ward : variance Variance = somme des distances euclidiennes au carr´e par rapport au centro¨ıde : v(X) = x∈X x − c(X) 2 , c(X) = 1 |X| x∈X x Distance entre clusters (crit`ere de Ward) pour Gi (ni = |Gi |) et Gj (nj = |Gj |) : Δ(Gi , Gj ) = v(Gi ∪ Gj) − (v(Gi ) + v(Gj ))) = ni nj ni + nj c(Gi ) − c(Gj ) 2 Δ({xi }, {xj }) = D(xi , xj ) = xi − xj 2 Quand on fusionne deux groupes, la variance ne peut pas diminuer !
- 166.
- 167. FerrariDino HondaCivic ToyotaCorolla Fiat128 FiatX1−9 MazdaRX4 MazdaRX4Wag Merc280 Merc280C Merc240D LotusEuropa Merc230 Volvo142E Datsun710 ToyotaCorona Porsche914−2 MaseratiBora Hornet4Drive Valiant Merc450SLC Merc450SE Merc450SL DodgeChallenger AMCJavelin ChryslerImperial CadillacFleetwood LincolnContinental FordPanteraL Duster360 CamaroZ28 HornetSportabout PontiacFirebird 050100150200250 Regroupement hierarchique (distancemoyenne) INF442 (voitures) x hauteur HondaCivic ToyotaCorolla Fiat128 FiatX1−9 Merc240D LotusEuropa Merc230 Volvo142E Datsun710 ToyotaCorona Porsche914−2 FerrariDino MazdaRX4 MazdaRX4Wag Merc280 Merc280C Hornet4Drive Valiant Merc450SLC Merc450SE Merc450SL DodgeChallenger AMCJavelin MaseratiBora FordPanteraL Duster360 CamaroZ28 ChryslerImperial CadillacFleetwood LincolnContinental HornetSportabout PontiacFirebird 05001000150020002500 Regroupement hierarchique (Ward) INF442 (voitures) x hauteur Average Group Crit`ere de Ward
- 168. Le clustering hi´erarchiquepar division Version top-down : on part d’un cluster contenant toutes les donn´ees X et on divise r´ecursivement jusqu’`a temps qu’on obtienne les n feuilles qui contiennent les donn´ees individuelles. Pour casser un cluster en deux, on utilise un algorithme de clustering par partitionnement pour k = 2 (comme celui des k-moyennes par exemple) En g´en´eral, plus coˆuteux qu’un regroupement hi´erarchique agglom´eratif (bottom-top)
- 169. Dendrogramme : obtenirdes partitions `a partir du dendrogramme Pour k ∈ [n] = {1, ..., n}, on peut obtenir une partition en k-sous-ensembles de X. Pas n´ecessaire d’ˆetre `a une hauteur fix´ee.
- 170.
- 171. Convertir un clusteringhi´erarchique en une partition On choisit une hauteur pour trouver une partition en k clusters Meilleure hauteur par Programmation Dynamique. Meilleure hauteur pour T (X) `a k sous-ensembles : Fit(T = (L, R), k) = min k1,k2 k1+k2=k Fit(L, k1) + Fit(R, k2) Pour les k-moyennes (clustering plat, NP-dur en g´en´eral) on obtient une k-partition optimale `a partir d’un clustering hierarchique (facile `a calculer, SL) sous l’hypoth`ese de satisfaire un crit`ere de s´eparabilit´e.
- 172. Distances : m´etriqueset ultram´etriques Une distance d(·, ·) est : m´etrique si elle satisfait les axiomes : d(x, y) ≥ 0 avec ´egalit´e pour x = y seulement d(x, y) = d(y, x) sym´etrie d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), in´egalit´e triangulaire ultram´etrique si elle satisfait les axiomes : d(x, y) ≥ 0 avec ´egalit´e pour x = y seulement d(x, y) = d(y, x) sym´etrie d(x, y) ≤ max(d(x, z), d(z, y))
- 173. Distance et ´evolution(horloge) Dans les arbres phylog´en´etiques, la distance entre deux esp`eces impose des restrictions sur la fonction distance. Arbre additif (additive tree) : poids sur chaque arˆete tel que pour chaque paire de feuilles, la distance est la somme des distances des arˆetes les reliant. Arbre ultram´etrique : distances entre deux feuilles Gi et Gj et leur ancˆetre commun Gk sont ´egales : di,k = dj,k. hk = 1 2 di,j (hauteur) correspond au temps ´ecoul´e permet de d´efinir une horloge globale sur l’axe vertical
- 174. Dendrogrammes et arbresphilog´en´etiques
- 175. Regroupement hi´erarchique avecl’algorithme UPGMA UPGMA : Unweighted Pair Group Method using arithmetic Averages Clustering hi´erarchique avec la distance de chaˆınage Average Linkage (AL) : Δ(Gi , Gj ) = 1 ni nj xi ∈Gi xj ∈Gj D(xi , xj ) = Δi,j UPGMA garantie de produire un arbre ultram´etrique
- 176. Regroupement hi´erarchique parUPGMA Initialise xi a son cluster Ci et positionne ce nœud `a hauteur t = 0. Tant qu’il reste plus de deux clusters : Trouver les clusters Ci et Cj qui ont la distance Δi,j minimale D´efinir un nouveau cluster Ck = Ci ∪ Cj et calculer la distance Δk,l pour tout l Ajouter un nœud k avec les fils Ci et Cj et positionner le `a hauteur tk = 1 2 Δi,j Retirer Ci et Cj de la liste des clusters, et continuer jusqu’`a temps d’avoir deux clusters Pour les deux derniers clusters Ci , and Cj , placer la racine `a hauteur 1 2Δ(Ci , Cj )
- 177. Regroupement hi´erarchique parUPGMA Th´eor`eme Si les donn´ees sur les distances sont ultram´etriques (v´erifiable sur la matrice des distances), alors il existe un unique arbre ultram´etrique et l’algorithme UPGMA le construit. ... malheureusement les donn´ees (bruit´ees) ne sont pas ultram´etriques en g´en´eral !
- 178. Dissimilarit´e, similarit´e etinversions similarit´e entre deux groupes : S(Xi , Xj ) = −Δ(Xi , Xj ). Ainsi si on a Δ(Gi , Gk) > Δ(Gi , Gj ) alors on a l’ordre inverse S < S(Gi , Gj ) pour un chemin du dendrogramme d’une feuille `a la racine, s´equence de fusion monotone ssi. la similarit´e d´ecroit quand on se rapproche de la racine : S1 ≥ S2 ≥ ... ≥ Sracine. Autrement dit, la valeur du crit`ere de fusion augmente quand on va vers la racine. non-monotone s’il existe au moins une inversion Si < Si+1 sur un chemin du dendrogramme. Cela veut dire que deux groupes peuvent ˆetre plus similaire `a l’´etape i + 1 que les deux groupes fusionn´es `a l’´etape i. crit`ere de Ward ne garantie pas la monotonie (inversions). Par contre, Single Linkage, Complete Linkage et Average Linkage garantissent la monotonie.
- 179. Inversion possible pourcrit`ere de Ward x3x2x1 S({x1, x2}, {x3}) x1 x2 x3 S({x1}, {x2})
- 180. Les sciences duvivant adorent le regroupement hi´erarchique ! Gene expression patterns of breast carcinomas distinguish tumor
- 181. Rappel : programmerdes structures r´ecursives en Java
- 182. Les arbres :Rappel sur une impl´ementation en Java class BinaryTree <E> { E node ; BinaryTree left ,right; BinaryTree (E v) {left =right=null ; node =v;} BinaryTree (E v, BinaryTree l, BinaryTree r) {node =v; left =l;right=r;} } ... BinaryTree BT; BT=new BinaryTree (442, new BinaryTree (421,new BinaryTree (311,null ,new BinaryTree (321)),new BinaryTree (431)),new BinaryTree (411)) ; ...
- 183. Impl´ementation en Java classBinaryTree <E> { ... String serialize (){ String lefts , rights; if (left == null ) lefts="nil"; else lefts=left .serialize (); if ( right== null ) rights="nil"; else rights=right. serialize (); return "(node ="+node +"("+lefts+","+rights+")"; } } ... System.out.println (BT.serialize ()); ... On ne g´ere pas la d´esallocation m´emoire...
- 184. C++ : Contenudes m´ethodes `a l’ext´erieur des classes #i n c l u d e <iostream > using namespace std ; c l a s s CEntier { p u b l i c : i n t v a l ; CEntier ( i n t v ) { t h i s −>v a l=v ;} void ajoute ( i n t v2 ) ; }; // D´efinition `a l’ext´erieur de class void CEntier : : ajoute ( i n t v2 ) { v a l+=v2 ;} i n t main () { CEntier ∗e1=new CEntier (5) ; e1−>ajoute (8) ; cout<<e1−>val <<endl ; r e t u r n 0;}
- 185. Structures de donn´eesabstraites D´efini une interface pour acc´eder aux donn´ees. Peut-ˆetre cod´e du plusieurs mani`eres diff´erentes. les piles (Last In First Out, LIFO) les files (First In First Out,FIFO) les arbres les graphes etc. Par exemple, les piles et files peuvent ˆetre implant´e soit avec des tableaux soit avec des listes chaˆın´ees.
- 186. c l as s CNoeud{C++ : // la classe nœud p u b l i c : CNoeud ∗gauche , ∗ d r o i t ; i n t v a l ; p u b l i c : CNoeud( i n t v ) { t h i s −>v a l=v ; gauche=d r o i t=NULL ;} CNoeud( i n t val , CNoeud∗ Arbre1 , CNoeud∗ Arbre2 ) { t h i s −>v a l=v a l ; gauche=Arbre1 ; d r o i t=Arbre2 ;} s t r i n g P r i n t () { char b u f f e r [ 2 0 ] ; s t r i n g s v a l=s t r i n g ( i t o a ( val , buffer ,10) ) ; s t r i n g sgauche , s d r o i t ; i f ( gauche==NULL) sgauche=” n i l ” ; e l s e sgauche=gauche−>P r i n t () ; i f ( d r o i t==NULL) s d r o i t=” n i l ” ; e l s e s d r o i t=d r oi t −>P r i n t () ;
- 187. . . . CNoeud∗ Arbre442=new CNoeud (3 , new CNoeud (2) , new CNoeud (1 , new CNoeud (4) ,new CNoeud (5) ) ) ; cout<<Arbre442−>P r i n t ()<<endl ; (3,(2,nil,nil),(1,(4,nil,nil),(5,nil,nil)))
- 188. C++ : r´ecup´erationde la m´emoire ˜CNoeud () { i f ( gauche!=NULL) d e l e t e gauche ; i f ( d r o i t !=NULL) d e l e t e d r o i t ; cerr <<” d e l e t e ”<<val <<endl ; } (3,(2,nil,nil),(1,(4,nil,nil),(5,nil,nil))) delete 2 delete 4 delete 5 delete 1 delete 3
- 189. Diff´erences principales entreC++ et Java null en Java et NULL en C++ this.variable en Java/C++ (r´ef´erence) et this->variable en C++ (pointeur) class INF442{} en Java et class INF442{}; en C++ On peut rajouter le corps des m´ethodes en C++ apr`es sa d´eclaration dans la classe : void CNoeud::Addition(int v) ajouter un destructeur dans la classe en C++ array.length en Java mais on doit implanter array.length() en C++ import en Java et include en C++ (STL) etc. En C++ dans les classes, mettre explicitement public (sinon on est private par d´efaut)
- 190. R´esum´e A2 HPC :acc´el´eration, loi d’Amdahl et de Gustafson MPI : les communications bloquantes, situation de blocage, communications non-bloquantes, barri`eres de synchronisation les calculs collaboratifs : r´eduction (somme, reduce & Allreduce), et les op´erations de pr´efixe parall`ele (scan) Science des donn´ees : regroupement hi´erarchique vs. regroupement plat. Arbre ultram´etrique et chaˆınage par saut moyen C++ : les classes objets. Lire le memento C++ sur la page Moodle Pour la prochaine fois : lire le chapitre 8 et relire le chapitre 2 du polycopi´e
- 191. ÁÆ ¾ ÌÖØ Ñ ÒØ × ÓÒÒ × Ñ ×× Ú × ¿ Ä Ð ×× Ø ÓÒ ×ÙÔ ÖÚ × Ú Ð × k¹ÔÐÙ× ÔÖÓ × ÚÓ × Ò× Ö Ò Æ Ð× Ò ¾¼½¿ ¾¾ ÚÖ Ð ¾¼½
- 192. Ä ÔÖÓ ÖÑÑ ÔÓÙÖ Ù ÓÙÖ ³ Ù ◮ ÕÙ ÐÕÙ × Ö Ú × ÓÒ× ×ÙÖ ÅÈÁ ◮ Ð Ð ×× Ø ÓÒ ÔÔÖ ÒØ ×× ×ÙÔ ÖÚ × ◮ Ð × ÔÓ ÒØ ÙÖ× Ø Ð × Ö Ö Ò × Ò ··
- 193.
- 194. Ì ÖÑ ÒÓÐÓÐ × Ñ Ò × Ô Ö ÐÐ Ð × ¸ Ð × ×ÙÔ Ö¹ÓÖ Ò Ø ÙÖ× ◮ ËÙÔ Ö¹ Ð ÙÐ Ø ÙÖ Ú ØÓÖ Ð ´ Ö Ýµ ØÖ Ú ÐÐ ×ÙÖ × Ú Ø ÙÖ× ´A = B + Cµ¸ Ô Ö ÐÐ Ð ×Ñ Ô Ø Ø× Ö Ò× ´ËÁÅ µ ×ÙÖ Ð × ÓÓÖ ÓÒÒ × ÓÖ Ô Ö ÐÐ Ð i, Ai = Bi + Ci ´ ÓÖÔ Öµ ◮ ÐÙ×Ø Ö Ñ Ò × ´ ÓÛÙÐ µ Ò× Ñ Ð Ñ Ò × ÒØ Ö ÓÒÒ Ø × Ò Ä Æ Ô Ö Ø ÖÒ Ø Ì È»ÁȺ ÈÓÙÖ Ù Ñ ÒØ Ö Ð Ò Ô ×× ÒØ Ø Ñ ÒÙ Ö Ð Ð Ø Ò ¸ Ñ Ø Ö Ð Ö × Ù ÓÔØ Ñ × ´ÅÝÖ Ò Ø¸ ÁÒ Ò Ò ¸ Ø Ø ÖÒ Ø¸ Ø ºµº È Ö ÐÐ Ð ×Ñ ÖÓ× Ö Ò× ´ÅÈÅ µ ◮ Ö ÐÐ Ñ Ò × Ñ Ò × ÒØ Ö ÓÒÒ Ø × Ú ÙÒ Ð Ò Ô ×× ÒØ Ø Ö Ò Ð Ø Ò º → ÔÔÐ Ø ÓÒ× ×ØÖ Ù × Ú Ô Ö ÐÐ Ð ×Ñ Ñ ÖÖ ×× ÒØ ´ Ñ Ö ×× Ò ÐÝ Ô Ö ÐРе ÓÑÑ Ë ÌÁ ÓÑ ¸ ÓÐ Ò ÓÑ Ú Ô Ù ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× ◮ ÅÙÐØ ¹ÔÖÓ ×× ÙÖ ×ÝÑ ØÖ ÕÙ ´ËÝÑÑ ØÖ ÅÙÐØ ¹ÈÖÓ ××ÓÖ¸ ËÅȵ Ñ ÑÓ Ö Ô ÖØ ¸ Ù× ³ ÒØ Ö ÓÒÒ Ü ÓÒ ´ ÓÒØ ÒØ ÓÒ׸ Ö Ò Ò Ô ×× ÒØ µ ◮ ÈÖÓ ×× ÙÖ ÑÙÐØ ¹ ÙÖ ´ÑÙÐØ ¹ ÓÖ µ ÔÐÙ× ÙÖ× ÙÒ Ø Ð ÙÐ ×ÙÖ Ð Ñ Ñ ÔÙ Á Å ÈÓÛ Ö Ê ½ ÀÞ Ò ¾¼¼½ ¸ ÈÐ Ý×Ø Ø ÓÒ Ê ¿ Ò ¾¼¼
- 195. ÓÑÑ ÒØ Ñ×ÙÖ Ö Ð Ø ÑÔ× ³ Ü ÙØ ÓÒ × ÔÖÓ Ö ÑÑ × Pi ÔÖÓ ××Ù× ÔÓÙÖ i ∈ {¼, ..., P − ½} t(Pi ) Ø ÑÔ× ³ Ü ÙØ ÓÒ Ù i¹ Ñ ÔÖÓ ××Ù׸ Ñ ×Ô Ò ×ØÓÔ Ø Ñ ¹ ×Ø ÖØ Ø Ñ ÉÙ Ú ÙعÓÒ Ñ ×ÙÖ Ö ÓÑÑ Ø ÑÔ× ³ Ü ÙØ ÓÒ ³ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ô Ö ÐÐ Ð ◮ Ñ Òi∈{¼,...,P−½} t(Pi ) ´ÔÖÓ º Ð ÔÐÙ× Ö Ô µ ◮ Ñ Üi∈{¼,...,P−½} t(Pi ) ´ÔÖÓ º Ð ÔÐÙ× Ð Òص ◮ Ñ Üi∈{¼,...,P−½} t(Pi ) − Ñ Òi∈{¼,...,P−½} t(Pi ) ´Ð³ ÖØ Ø ÑÔ× ÒØÖ Ð × ÔÖÓ ºµ ÙÜ ØÝÔ × Ñ Ø Ó ◮ Å ×ÙÖ ÜØ ÖÒ ÓÒ ÙØ Ð × ÙÒ ÓÑÑ Ò ÍÆÁ »× ÐÐ ÓÑÑ Ø Ñ ¸ Ø Ñ × ´× Ðеº Ö Ñ Ò Ø Ñ × ÔÓÙÖ Ð Ñ ÒÙ Ð ◮ Å ×ÙÖ ÒØ ÖÒ ÓÒ Ó Ð³ ÒØ Ö ÙÖ Ù ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÙØ Ð × ÒØ ØØ Ñ Ó Ý´µ ´ÍÆÁ µ ÓÙ Ñ ÙÜ Ò ÓÖ ÅÈÁ ÏØ Ñ ´µ
- 196. Å ×ÙÖ ÜØÖÒ Ú Ø Ñ Ø Ø Ñ × Ö Ò ÅÈÁ ℄° Ø Ñ ÑÔ ÖÙÒ ¹ÒÔ ¾ ¹ Ó×Ø ÓÐÐ Ò ¸ ÐÐ Ñ Ò Ô ÅÓÒØ ÖÐÓ ¾ º Ü Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º ½ Ú ½¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½½¿¼ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ º ¾ ¿ ¹¼ Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º ¼ Ú ½¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½½¿¼ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ º ¾ ¿ ¹¼ ÙÑÙÐ Ø ÓÒ ℄ Ô ÔÔÖÓ Ú ¾¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½½¿¼ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ³ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ º ¾ ¿ ¹¼ Ö Ð ¼Ñ½ º½¿¿ × Ù× Ö ¼Ñ¼ º¼ ½ × ×Ý× ¼Ñ¼ º¼¿ × Ö Ò ÅÈÁ ℄° Ø Ñ × ÑÔ ÖÙÒ ¹ÒÔ ¾ ¹ Ó×Ø ÓÐÐ Ò ¸ ÐÐ Ñ Ò Ô ÅÓÒØ ÖÐÓ ¾ º Ü ¼Ñ¼ º¼ × ¼Ñ¼ º¼¾¼ × ¼Ñ½ º × ¼Ñ¼ º ¿¾ × Ñ Ð ÙÖ Ù× Ñ ÒØ Ô × ØÖ × ÔÖ × ±¼. × ¸ Ñ × ÙØ Ð ÔÓÙÖ Ð × ÔÖÓ Ö ÑÑ × Ð ÒØ׺ Ñ Ò Ø Ñ × Ù Ðع Ò × ÐÐ ÓÑÑ Ò
- 197. Ä Ô Ö Ñ Ò × Ò× Ð × × ÐÐ × Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ × ½ × = ½¿ ¾ ÙÖ׸ ¾º Ì Ñ ÑÓ Ö Ú Ú ◮ ´ ¼Üµ ÈÍ ÁÒØ Ð ÓÖ ¹¾ ¼¼ ÈÍ ¿º ¼ ÀÞ¸ Å Å ½¾ ◮ ´ ܵ ÈÍ ÁÒØ Ð ÓÖ ¹¿ ¼ ÈÍ ¿º ¼ ÀÞ¸ Å Å ½ ◮ ´ ¼Üµ ÈÍ ÁÒØ Ð ÓÒ ¿¹½¾ ¼ ξ ¿º ¼ ÀÞ¸ Å Å ½ Ó ü ÚÓ× ÔÖÓ Ø× Î Ð Ø ÓÒ × ÔÖÓ Ø× Ñ Ò ´¾¿ ÚÖ Ðµ ÓÒØ Ø Þ Ñ ÖÓ× ÓРܺÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Ø Ð Ñ Ø ×ÓÙÑ ×× ÓÒ × ÔÖÓ Ø× Ú ÒØ ×ÓÙØ Ò Ò Ð ¾¾ Ñ ¾¼½ ´Ô Ö ÑÓÓ Ð µ
- 198. ÓÒÒ ØÖ Ð× ×Ô Ø ÓÒ× × Ñ Ò Ò Ì ÑÓÖ »ÔÖÓ » ÔÙ Ò Ó ÔÖÓ ××ÓÖ ¼ Ú Ò ÓÖ ÒÙ Ò ÁÒØ Ð ÔÙ Ñ ÐÝ ÑÓ Ð ¼ ÑÓ Ð Ò Ñ ÁÒØ Ð´Êµ ÓҴʵ ÈÍ ¿¹½¾ ½ Ú¿ ¿º ¼ ÀÞ ×Ø ÔÔ Ò ¿ ÔÙ ÅÀÞ ¼¼º¼¼¼ × Þ ½ ¾ à ººº ÔÖÓ ××ÓÖ ººº
- 199. ÓÒÒ ØÖ Ð× ×Ô Ø ÓÒ× × Ñ Ò Ò Ì È Ö Ü ÑÔÐ ¸ ×ÙÖ Ð Ñ Ò Ö Ò ¸ Ø Ô Þ Ð× ÔÙ Ö Ø ØÙÖ Ü ÈÍ ÓÔ ¹ ÑÓ ´×µ ¿¾¹ Ø ¸ ¹ Ø ÝØ ÇÖ Ö Ä ØØÐ Ò Ò ÈÍ ´×µ ¿¾ ÇÒ ¹ Ð Ò ÈÍ ´×µ Ð ×Ø ¼¹¿½ Ì Ö ´×µ Ô Ö ÓÖ ¾ ÓÖ ´×µ Ô Ö ×Ó Ø ËÓ Ø´×µ ¾ ÆÍÅ ÒÓ ´×µ ¾ Î Ò ÓÖ Á ÒÙ Ò ÁÒØ Ð ÈÍ Ñ ÐÝ ÅÓ Ð ËØ ÔÔ Ò ÈÍ ÅÀÞ ¾ ¿º ¼½ Ó ÓÅÁÈË ½ º ¾ Î ÖØÙ Ð Þ Ø ÓÒ ÎÌ ¹Ü Ľ ¿¾Ã Ľ ¿¾Ã ľ ¾ à Ŀ ¾¼ ¼ à ÆÍÅ ÒÓ ¼ ÈÍ ´×µ ¼¹ ¸½ ¹¾¿ ÆÍÅ ÒÓ ½ ÈÍ ´×µ ¹½ ¸¾ ¹¿½ ⇒ ¾ Ð×» ÙÖ Ô Ý× ÕÙ ´ ÙÖ ÐÓ ÕÙ Ú Ð Ø ÒÓÐÓ ÝÔ ÖØ Ö Ò µº ¿¾ ÙÖ×
- 200. ÅÈÁ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ×»ÓÔ Ö Ø ÓÒ× ÐÓ Ð × ◮ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× ÔÓ ÒØ ÔÓ ÒØ ¸ ÐÓÕÙ ÒØ ÓÙ ÒÓÒ¹ ÐÓÕÙ ÒØ ◮ Ù× ÓÒ ´ÙÒ Ú Ö× ØÓÙ×µ Ø Ö Ù Ø ÓÒ ´ØÓÙ× Ú Ö× ÙÒ Ù× ÓÒ ÒÚ Ö× µ ◮ Ù× ÓÒ Ô Ö×ÓÒÒ Ð × ¸ × ØØ Ö ◮ Ö ×× Ñ Ð Ñ ÒØ ´Ô Ö×ÓÒÒ Ð × µ¸ Ø Ö ◮ ×ÓÑÑ ÔÖ Ü ´Ö Ù Ø ÓÒµ¸ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ× ÔÖ Ü × Ô Ö ÐРР׸ × Ò ◮ Ù× ÓÒ ØÓØ Ð ØÓÙ× Ú Ö× ØÓÙ׸ ØÓØ Ð Ü Ò ◮ Ù× ÓÒ ØÓØ Ð ØÓÙ× Ú Ö× ØÓÙ× Ô Ö×ÓÒÒ Ð × ¸ Ð ÓÑÑ Ö ◮ ÔÐ Ò ³ ÙØÖ × ÑÓ × Ò× ÅÈÁ ÜÔÐÓÖ Ö Ð Ó ÙÑ ÒØ Ø ÓÒ ³ÇÔ ÒÅÈÁ
- 201. Ä Ù× ÓÒÖÓ ×Ø ÒØ ÅÈÁ ×Ø´ÚÓ ¶ Ù Ö¸ ÒØ ÓÙÒظ ÅÈÁ Ø ØÝÔ Ø ØÝÔ ¸ ÒØ ÖÓÓظ ÅÈÁ ÓÑÑ ÓÑѵ ØØÔ× »»ÛÛÛºÓÔ Ò¹ÑÔ ºÓÖ » Ó »Ú½º »Ñ Ò¿»ÅÈÁ ×غ¿ºÔ Ô ÈÖÓ Ö ÑÑ Ô Ö ÐÐ Ð ËÈÅ Ò ÅÈÁ ØÓÙ× Ð × ÔÖÓ ××Ù× Ü ÙØ ÒØ Ð Ñ Ñ Ó º ÇÒ ×Ø Ò Ù Ð Ô ÖØ × Ò×ØÖÙ Ø ÓÒ× ÔÓÙÖ Ð × ÔÖÓ ××Ù× Ö Ð ÙÖ Ö Ò º
- 202. Ä Ù× ÓÒÔÖÓ ××Ù×»Ñ ÑÓ Ö ÐÓ Ð ÈÖÓ Ö ÑÑ Ô Ö ÐÐ Ð ËÈÅ Ò ÅÈÁ ØÓÙ× Ð × ÔÖÓ ××Ù× Ü ÙØ ÒØ Ð Ñ Ñ Ó º ÇÒ ×Ø Ò Ù Ð Ô ÖØ × Ò×ØÖÙ Ø ÓÒ× ÔÓÙÖ Ð × ÔÖÓ ××Ù× Ö Ð ÙÖ Ö Ò º Ò Ð Ù ÑÔ º Ò Ð Ù × Ø Ó º »» ÉÙ Ò ÓÒ ÔÔ ÐÐ ÑÔÖÙÒ ØÓÙ× Ð × ÔÖÓ ××Ù× Ü ÙØ ÒØ ØØ ÓÒ ØÓÒ Ñ Ò Ò Ø Ñ Ò ´ Ò Ø Ö ¸ Ö ∗∗ Ö Ú µ ß Ò Ø Ö Ò Ò Ø Ò ÓÒ×Ø Ò Ø ÖÓÓØ ¼ ÅÈÁ ÁÒ Ø ´² Ö ¸ ² Ö Ú µ ÅÈÁ ÓÑÑ Ö Ò ´ÅÈÁ ÇÅÅ ÏÇÊÄ ¸ ²Ö Ò µ »» ¸ ÓÒ ÓÒÒ Ù Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓ ××Ù× P¼ ´ Ö Ò ÖÓÓØ µ ßÒ ¾ Ô Ö Ò Ø ´ ± ℄ Ú ÒØ ×Ø ¸ Ò ± Ò ¸ Ö Ò ¸ Òµ »» ØÓÙØ Ð ÑÓÒ ÔÔ ÐÐ ×Ø ÅÈÁ ×Ø´²Ò ¸ ½ ¸ ÅÈÁ ÁÆÌ ¸ ÖÓÓØ ¸ ÅÈÁ ÇÅÅ ÏÇÊÄ µ »» Ø ØÓÙØ Ð ÑÓÒ Ð ÓÒ×ÓÐ Ô Ö Ò Ø ´ ± ℄ ÔÖ × ×Ø ¸ Ò ± Ò ¸ Ö Ò ¸ Òµ ÅÈÁ Ò Ð Þ ´µ Ö Ø Ù Ö Ò ¼ ÈÓÙÖ Ð × ÔÖÓ Ö ÑÑ × ØÝÔ Ñ ØÖ » × Ð Ú ×¸ ÓÒ Ó × Ø Ð Ó Ù Ñ ØÖ ¸ P¼¸ × ÙØÖ × Ö ´Ö Ò ¼µ Ó Å ØÖ ´µ Ð× Ó × Ð Ú ´µ
- 203. Ä Ù× ÓÒÔ Ö×ÓÒÒ Ð × × ØØ Ö ÌÓÙ ÓÙÖ׸ гÓÖ Ö ×ÓÙÖ ÔÙ × ×Ø Ò Ø ÓÒ Ò× Ð × Ö ÙÑ ÒØ׺ ÒØ ÅÈÁ Ë ØØ Ö´ÚÓ ¶× Ò Ù ¸ ÒØ × Ò ÓÙÒظ ÅÈÁ Ø ØÝÔ × Ò ØÝÔ ¸ ÚÓ ¶Ö Ú Ù ¸ ÒØ Ö Ú ÓÙÒظ ÅÈÁ Ø ØÝÔ Ö ÚØÝÔ ¸ ÒØ ÖÓÓظ ÅÈÁ ÓÑÑ ÓÑѵ ØØÔ× »»ÛÛÛºÓÔ Ò¹ÑÔ ºÓÖ » Ó »Ú½º »Ñ Ò¿»ÅÈÁ Ë ØØ Öº¿ºÔ Ô
- 204. Ä Ö ××Ñ Ð Ñ ÒØ Ø Ö ÒØ ÅÈÁ Ø Ö´ÚÓ ¶× Ò Ù ¸ ÒØ × Ò ÓÙÒظ ÅÈÁ Ø ØÝÔ × Ò ØÝÔ ¸ ÚÓ ¶Ö Ú Ù ¸ ÒØ Ö Ú ÓÙÒظ ÅÈÁ Ø ØÝÔ Ö ÚØÝÔ ¸ ÒØ ÖÓÓظ ÅÈÁ ÓÑÑ ÓÑѵ ØØÔ× »»ÛÛÛºÓÔ Ò¹ÑÔ ºÓÖ » Ó »Ú½º »Ñ Ò¿»ÅÈÁ Ø Öº¿ºÔ Ô
- 205. Ä Ö Ù ØÓÒ Ö Ù ÒØ ÅÈÁ Ê Ù ´ÚÓ ¶× Ò Ù ¸ ÚÓ ¶Ö Ú Ù ¸ ÒØ ÓÙÒظ ÅÈÁ Ø ØÝÔ Ø ØÝÔ ¸ ÅÈÁ ÇÔ ÓÔ¸ ÒØ ÖÓÓظ ÅÈÁ ÓÑÑ ÓÑѵ ØØÔ× »»ÛÛÛºÓÔ Ò¹ÑÔ ºÓÖ » Ó »Ú½º »Ñ Ò¿»ÅÈÁ Ê Ù º¿ºÔ Ô
- 206. Ä Ö Ù ØÓÒ ÐÐÖ Ù ÒØ ÅÈÁ ÐÐÖ Ù ´ÚÓ ¶× Ò Ù ¸ ÚÓ ¶Ö Ú Ù ¸ ÒØ ÓÙÒظ ÅÈÁ Ø ØÝÔ Ø ØÝÔ ¸ ÅÈÁ ÇÔ ÓÔ¸ ÅÈÁ ÓÑÑ ÓÑѵ ØØÔ× »»ÛÛÛºÓÔ Ò¹ÑÔ ºÓÖ » Ó »Ú½º »Ñ Ò¿»ÅÈÁ ÐÐÖ Ù º¿ºÔ Ô
- 207. ÓÑÑÙÒ ØÓÒ ×ÙÖ Ð³ ÒÒ Ù ÓÖ ÒØ P0 PP−1 anneau orient´e ÈÖÓ ××Ù× P¼ ÒÚÓ ÙÒ Ñ ×× Ù ÖÒ Ö ÔÖÓ ××Ù× ´Ò Ù µ PP−½ººº ÍÒ Ù× ÓÒ ◮ ÌÓÔÓÐÓ ÐÓ ÕÙ ´Ú ÖØÙ ÐÐ µ Ù ÖÓÙÔ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ´ÔÓÙÖ Ð × Ð ÓÖ Ø Ñ × Ô Ö ÐÐ Ð ×µ ◮ ÌÓÔÓÐÓ Ô Ý× ÕÙ ´Ð Ö × Ù Ñ Ø Ö Ð ÕÙ Ò³ ×Ø Ô × ÓÖ Ñ ÒØ ÙÒ ÒÒ Ùµ
- 208. ÓÑÑÙÒ ØÓÒ ×ÙÖ Ð³ ÒÒ Ù Ú × Ò Ø Ö Ú ÐÓÕÙ ÒØ× Ò Ð Ù ÑÔ º Ò Ø Ñ Ò ´ Ò Ø Ö ¸ Ö ∗ Ö Ú ℄ µ ß Ò Ø Ö Ò ¸ Ú ÐÙ ¸ × Þ ÅÈÁ ËØ ØÙ× × Ø Ø Ù × ÅÈÁ ÁÒ Ø ´² Ö ¸ ² Ö Ú µ ÅÈÁ ÓÑÑ Ö Ò ´ÅÈÁ ÇÅÅ ÏÇÊÄ ¸ ²Ö Ò µ ÅÈÁ ÓÑÑ × Þ ´ÅÈÁ ÇÅÅ ÏÇÊÄ ¸ ²× Þ µ ´ Ö Ò ¼µ ß Ú Ð Ù ¾ »» Ò Ù ÔÔ Ð ÒØ ÒÚÓ × ÙÐ Ñ ÒØ ÅÈÁ Ë Ò ´ ²Ú ÐÙ ¸ ½ ¸ ÅÈÁ ÁÆ̸ Ö Ò · ½ ¸ ¼ ¸ ÅÈÁ ÇÅÅ ÏÇÊÄ µ Ð × ß »» Ð × ÙØÖ × Ò Ù × ÒÚÓ ÒØ Ø Ö ÓÚ ÒØ ÅÈÁ Ê Ú ´ ²Ú ÐÙ ¸ ½ ¸ ÅÈÁ ÁÆ̸ Ö Ò − ½ ¸ ¼ ¸ ÅÈÁ ÇÅÅ ÏÇÊÄ ¸ ²× Ø Ø Ù × µ ´ Ö Ò × Þ − ½µ ß ÅÈÁ Ë Ò ´ ²Ú ÐÙ ¸ ½ ¸ ÅÈÁ ÁÆ̸ Ö Ò · ½ ¸ ¼ ¸ ÅÈÁ ÇÅÅ ÏÇÊÄ µ Ô Ö Ò Ø ´ Ô Ö Ó × × ± Ö Ù ± Ò ¸ Ö Ò ¸ Ú Ð Ù µ ÅÈÁ Ò Ð Þ ´µ Ö Ø Ù Ö Ò ¼
- 209. Ä Ð ×× Ø ÓÒ ÔÔÖ ÒØ ×× ×ÙÔ ÖÚ × Ä Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ ÔÐ Ø ØÖÓÙÚ Ö Ð × Ð ×× × ÔÔÖ ÒØ ×× ÒÓÒ ×ÙÔ ÖÚ ×
- 210. Ä Ð ×× Ø ÓÒ ÙÒ ÔÔÖ ÒØ ×× ×ÙÔ ÖÚ × ◮ ÙÒ Ù ³ ÒØÖ Ò Ñ ÒØ × ÓÒÒ × Ø ÕÙ ØØ × {(xi , yi )}i Ú yi = l(xi ) = ±½¸ Ð × Ø ÕÙ ØØ × ÔÓÙÖ ÙÜ Ð ×× × C−½ Ø C+½ ´ Ð ÔÓÙÖ Ð Ð µº ÓÒ× ÖÓÒ× Ð × xi ∈ Rdº ◮ ÔÓÙÖ ÒÓÙÚ ÐÐ × Ö ÕÙ Ø × {x′ i }i ³ÙÒ Ù Ø ×Ø ´ Ü ÑÔÐ × Ô × Ò ÓÖ Ð ×× ×µ¸ ÓÒ Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÙÖ× Ø ÕÙ ØØ × y′ i = l(x′ i )º ÉÙ ×Ø ÓÒ× ◮ ÓÑÑ ÒØ ÔÔÖ Ò Ö ÙÒ Ð ×× ÙÖ ¸ ³ ×ع ¹ Ö ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ð ×× Ø ÓÒ l(·) ÔÖ Ø ÓÒ » ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÒÓØ Ù×× ˆyi = ˆl(xi ) ◮ ÓÑÑ ÒØ Ú ÐÙ Ö Ð Ô Ö ÓÖÑ Ò ³ÙÒ Ø Ð Ð ×× ÙÖ ÕÙ ÐÐ × ÝÔÓØ × × ´ ÔÔÖ ÒØ ×× ×Ø Ø ×Ø ÕÙ µ
- 211. Ä Ö ÐÙ ÔÐÙ× ÔÖÓ ÚÓ × Ò ´ÆÆ ÖÙÐ µ ÈÈÎ ÈÐÙ× ÈÖÓ ÎÓ × Ò ÆÆ Æ Ö ×Ø Æ ÓÙÖ ◮ ËÓ Ø ÙÒ × ³ ÔÔÖ ÒØ ×× ´ ØÖ Ò Ò × Ø µ T = {(xi , yi )}t i=½ ◮ Ä Ö Ð Ù ÔÐÙ× ÔÖÓ ÚÓ × Ò ÓÒÒ ÓÑÑ Ø ÕÙ ØØ l(x) x ÐÐ ×ÓÒ ÔÐÙ× ÔÖÓ ÚÓ × Ò Ò× T m = Ö Ñ Ò i∈[t] D(x, xi ), l(x) = ym ◮ Ð ÔÖÓÜ Ñ Ø ×Ø Ò Ò ÓÒ Ø ÓÒ ³ÙÒ ×Ø Ò ÔÔÖÓÔÖ D(·, ·) ÒØÖ ÙÜ Ð Ñ ÒØ× ÕÙ Ð ÓÒÕ٠׺ ÇÒ ÒÓØ [t] = {½, ..., t}º
- 212. Ð ×× Ø ÓÒ Ð Ö Ð Ù ÔÐÙ× ÔÖÓ ÚÓ × Ò
- 213. Ä × ÓÒ ØÓÒ× ×Ø Ò ÓÒÒ × ÒÙÑ Ö ÕÙ ×» Ø ÓÖ ÕÙ × ◮ ×Ø Ò Ù Ð ÒÒ D(p, q) = d i=½(pi − qi )¾º ÈÓÙÖ × Ö ÕÙ Ø × ÆƸ ÓÒ Ô ÙØ ÔÖ Ò Ö ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð ×Ø Ò Ù Ð ÒÒ Ù ÖÖ ´Ð Ö Ñ Ò Ò Ò Ô ×µ D¾(p, q) = d i=½(pi − qi )¾ = p − q ¾º ◮ Ë ÓÒ ÔÖ ¹ Ð ÙÐ Ð × ÒÓÖÑ × Ù ÖÖ ÒÖѾ(p) = p, p = d i=½ p¾ i Ò O(dn)¸ ÐÓÖ× ÓÒ Ð ÙÐ ÔÐÙ× Ö Ô Ñ ÒØ D¾(p, q) = ÒÖѾ(p) + ÒÖѾq − ¾ p, q ÔÓÙÖ ÒÓÑ Ö Ù× × Ö ÕÙ Ø ×º ◮ ÈÓÙÖ Ð × ÓÒÒ × Ø ÓÖ ÐÐ × ´ÒÓÒ¹ÒÙÑ Ö Õ٠׸ ÓÙ ÓÖ Ò Ð ×µ¸ ÓÒ Ô ÙØ ÙØ Ð × Ö Ð ×Ø Ò À ÑÑ Ò À ÑÑ Ò (p, q) = d i=½ (½ − δpi (qi )) = d i=½ ½[pi =qi ], δx (y) = ½ × Ø × ÙÐ Ñ ÒØ × y = x¸ ¼ ÙØÖ Ñ Òغ → À ÑÑ Ò (p, q) ÓÑÔØ Ð ÒÓÑ Ö ³ ØØÖ ÙØ× Ö ÒØ×
- 214. Ä Ö ÐÙ ÔÐÙ× ÔÖÓ ÚÓ × Ò Ö ÑÑ × ÎÓÖÓÒÓ ÈÓÙÖ ÙÒ Ù ³ ÔÔÖ ÒØ ×× T ¸ Rd ×Ø Ô ÖØ Ø ÓÒÒ Ò Ð ×× ³ ÕÙ Ú Ð Ò ÔÓÙÖ Ð ÓÒ Ø ÓÒ ³ Ø ÕÙ ØØ º → Ö ÑÑ ÎÓÖÓÒÓ ¸ ÐÐÙÐ × ÔÖÓÜ Ñ Ø Ö Ñ Ò ÓÒ×Ø ÒØ
- 215. Ä Ö ÐÙ ÔÐÙ× ÔÖÓ ÚÓ × Ò ÖÓÒØ Ö × ÎÓÖÓÒÓ Ò Ö Ø ÙÖ× ¹ ÓÙÐ ÙÖ× ´¾ Ð ×× ×¸ C±½µ ÔÓÙÖ ÎÓÖÓÒÓ ¸ Ø ÖÓÒØ Ö × Ð ×× Ø ÓÒº × ÓÒ ÓÙÒ ÖÝ Ä Ò Ö Ô Ö ÑÓÖ Ù ÔÓÙÖ Ð ×Ø Ò Ù Ð ÒÒ ´ÓÙ ×ÓÒ ÖÖ µº
- 217.
- 218. Ä Ö Ð Ð ×× Ø ÓÒ k¹ÆÆ ÔÓÙÖ m Ð ×× × ÇÒ Ó × Ø Ð Ð ×× Ñ ÓÖ Ø Ö × k ÔÐÙ× ÔÖÓ × ÚÓ × Ò× ³ÙÒ Ö ÕÙ Ø qº ¸ k = ¾¼ Ø m = ¾ººº ÓÒ ÔÖ Ö ÙÒ ÒÓÑ Ö ÑÔ Ö ÔÓÙÖ k ÕÙ Ò m = ¾ ´Ô × Ø ¹ Ö Ò µ
- 219. ÓÑÔ ÖÓÒ× ÐÖ Ð × ½ ¹ÈÈÎ× Ú׺ Ð Ö Ð Ù ÈÈÎ ´ ½¹ÈÈε ½ ¹ÈÈÎ× ½¹ÈÈÎ
- 220. Ú ÐÙ ØÓÒ Ù Ð ×× ÙÖ k¹ÈÈλk¹ÆÆ ◮ Ð Ø ÙÜ ³ ÖÖ ÙÖ ×ÙÖ ÙÒ Ù ÓÒÒ × Ì ×Ø ÓÑÔÓÖØ ÒØ n ÓÒÒ × ´ Ö ÒØ ÐÙ ÔÓÙÖ Ð³ ÔÔÖ ÒØ ×× µ ×Ø ÖÖ ÙÖ = #Ñ Ð Ð ×× n ◮ Ô × ØÖ × × Ö Ñ Ò ÒØ ÐÓÖ×ÕÙ Ð × ´ Ö Ò Ð Ø × ×µ Ð ×× × ×ÓÒØ ØÖ × × ÕÙ Ð Ö ×º ◮ Ô Ö Ü ÑÔÐ ¸ Ð ×× Ö × Ñ ×× × Ò C×Ô Ñ Ø C Ñ ´ÒÓÒ¹×Ô Ñµº ÇÒ ×ÓÙÚ ÒØ ÑÓ Ò× ×Ô Ñ׸ Ø Ð ×Ø ÔÖ Ö Ð ÐÓÖ× Ð ×× Ö Ð ØÓÙØ Ò ÒÓÒ¹×Ô Ñ ´ ѵ Ø Ò× Ó Ø Ò Ö ÙÒ ÓÒ Ø ÙÜ ³ ÖÖ ÙÖ ÐÓ Ðººº
- 221. Ú ÐÙ ØÓÒ Ù Ð ×× ÙÖ Ñ ØÖ ÓÒ Ù× ÓÒ Ä Ñ ØÖ ÓÒ Ù× ÓÒ M = [mi,j ] ÔÓÙÖ m Ð ×× × mi,j = P(x Ð ×× Ci | x ∈ Cj ) Ä ÓÒ Ð ÑÓÒØÖ Ð Ø ÙÜ Ö Ù×× Ø ×ÙÖ Ð Ð ×× ÓÒÒ º Ì ÖÑ ÒÓÐÓ ×Ô Ð ÕÙ Ò m = ¾ Ð ×× Ø ÓÒ Ò Ö Ä Ð ÔÖ Ø C+½ C−½ ÎÖ Ð Ð C+½ ÌÖÙ ÈÓ× Ø Ú ´Ìȵ Ð× Æ Ø Ú ´ Ƶ C−½ Ð× ÈÓ× Ø Ú ´ ȵ ÌÖÙ Æ Ø Ú ´ÌƵ ÌÖÙ Ð ÔÖ Ø ÓÒ ×Ø Ù×Ø ´Ä Ð ÔÖ Ø = ÎÖ Ð Ðµ Ð× Ð ÔÖ Ø ÓÒ ×Ø Ù×× ´Ä Ð ÔÖ Ø = ÎÖ Ð Ðµ ÈÓ× Ø Ú Ð ÔÖ Ø ÓÒ ×Ø C+½ Æ Ø Ú Ð ÔÖ Ø ÓÒ ×Ø C−½
- 222. È Ö ÓÖÑÒ Ð³ Ü Ø ØÙ ÙÖ Ý ´ Ü Ø ØÙ µ ÈÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ×× Ø ÓÒ× ÓÖÖ Ø × ´×ÙÖ Ð × n Ü ÑÔÐ × Ð × Ì ×ص ÙÖ Ý = ÌÈ + ÌÆ n Ú n = ÌÈ + ÌÆ+ È + ƺ → Ö Ø Ó Ó ÓÖÖ ØÐÝ ÔÖ Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ׺ ÕÙ³ÓÒ Ò Ð ×× ´Ì ØÖÙ µ
- 223. È Ö ÓÖÑÒ Ð ÔÖ × ÓÒ Ê ÔÔÓÖØ ÒØÖ Ð ÒÓÑ Ö ÚÖ × ÔÓ× Ø × Ø Ð ×ÓÑÑ × ÚÖ × ÔÓ× Ø × Ø × ÙÜ ÔÓ× Ø × ÈÖ × ÓÒ = ÌÈ ÌÈ + È ¼ ≤ ÈÖ × ÓÒ ≤ ½ → ÔÖ × ÓÒ ½ ÕÙ Ò ØÓÙØ × Ð × ÓÒÒ × Ð ×× × ÚÖ × C+½ ÔÔ ÖØ ÒÒ ÒØ ÚÖ Ñ ÒØ C+½¸ Ô × ÚÖ × Ñ Ð Ð ×× ×º ÁÒ ÓÖÑ ÐÐ Ñ ÒØ Ð ÔÖ × ÓÒ ³ ×Ø Ð ÔÓÙÖ ÒØ Ò ³ ØÖ ÓÖÖ Ø ÕÙ Ò ÓÒ Ö ÔÓÒ ÔÓ× Ø
- 224. È Ö ÓÖÑÒ Ð Ö ÔÔ Ð ´Ö Ðе Ê Ðи Ø ÙÜ Ø Ø ÓÒ Ê ÔÔÓÖØ ÒØÖ Ð ÒÓÑ Ö ÚÖ × ÔÓ× Ø × Ø Ð ×ÓÑÑ × ÚÖ × ÔÓ× Ø × Ø × ÙÜ Ò Ø × ´ ÙÜ ÕÙ³ÓÒ ÐÓÙÔ ¸ ÕÙ ÚÖ ÒØ ØÖ ÔÓ× Ø ×µ Ê ÔÔ Ð = ÌÈ ÌÈ + Æ → Ë Ò× Ø Ú Ø ¸ C+½ = ÌÈ + Æ Ö Ð Ú ÒØ Ð Ñ ÒØ× ´ Ñ Ñ ¸ C½ = ÌÆ+ ȵ ¼ ≤ Ê ÔÔ Ð ≤ ½ ÍÒ Ö ÔÔ Ð»Ö ÐÐ ½ × Ò ÕÙ ØÓÙ× Ð × Ü ÑÔÐ × ÔÓ× Ø × ÓÒØ Ø ØÖÓÙÚ ×º ÁÒ ÓÖÑ ÐÐ Ñ ÒØ Ð Ö ÔÔ Ð ³ ×Ø Ð ÔÓÙÖ ÒØ ³ Ü ÑÔÐ × ÔÓ× Ø × ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ ØÖÓÙÚ ØØÔ »» ÒºÛ Ô ºÓÖ »Û »ÈÖ × ÓÒ Ò Ö ÐÐ
- 225. È Ö ÓÖÑÒ Ð F¹× ÓÖ ÇÒ Ö ÙÒ Ñ ×ÙÖ ÕÙ ÓÑ Ò Ð × ÙÜ ÔÓ× Ø × ´ ȵ Ú Ð × ÙÜ Ò Ø × ´ Ƶ ººº ÓÒÒ ÙØ ÒØ ÔÓ × ÙÜ ÙÜ ÔÓ× Ø × ÕÙ³ ÙÜ ÙÜ Ò Ø × ¹× ÓÖ = ¾ × ÈÖ × ÓÒ × Ê ÐÐ ÈÖ × ÓÒ + Ê ÐÐ → Ð ÑÓÝ ÒÒ ÖÑÓÒ ÕÙ ÈÖ × ÓÒ Ø Ê ÔÔ Ðº Ò ÓÖ ÔÔ Ð F¹Ñ ×ÙÖ ÓÙ F½º
- 226. Ä Ð ×× Ø ÓÒ Ý × ÒÒ Ö ÔÔÖ ÒØ ×× ×Ø Ø ×Ø ÕÙ ×ÙÔ ÖÚ × ◮ ÇÒ Ø Ð³ ÝÔÓØ × ³ÙÒ ÔÔÖ ÒØ ×× ×Ø Ø ×Ø ÕÙ Ð × Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ÔÖÓÚ ÒÒ ÒØ ÙÜ ×ØÖ ÙØ ÓÒ× X−½ ∼ p−½(x) Ø X+½ ∼ p+½(x) ´Ú Ö Ð × Ð ØÓ Ö × Ú P(X±½ = x) = p±½(x)µ Ú × ÔÖÓ Ð Ø × ÔÖ ÓÖ w−½ = P(l(x) = −½) Ø w+½ = P(l(x) = ½) = ½ − w−½º ÇÒ ÒÓØ p±½ Ð × ÔÖÓ Ð Ø × ÓÒ Ø ÓÒÒ ÐÐ × × Ð ×× ×º ◮ ÅÓ Ð Ñ Ð Ò Ò ×Ø Ø ×Ø ÕÙ ÔÓÙÖ Ð × Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× P(X = x) = p(x) = w−½p−½(x) + w+½p+½(x) ◮ Ƴ ÑÔÓÖØ ÕÙ Ð Ð ×× ÙÖ Ö ÙÒ Ø ÙÜ ³ ÖÖ ÙÖ ÒÓÒ ÒÙÐ ÔÙ ×ÕÙ Ð × ×ØÖ ÙØ ÓÒ× X±½ ÓÒØ Ð Ñ Ñ ×ÙÔÔÓÖØ X¸ Ø ÓÒ P(X ∈ C±½) ¼º ÇÒ Ò Ô ÙØ ÓÒ Ñ × ØÖ ÖØ Ò ½¼¼± Ð ÔÖÓÚ Ò Ò x ◮ ÇÒ ÔÔ ÐÐ ÔÖÓ Ð Ø ³ ÖÖ ÙÖ¸ Pe¸ Ð Ø ÙÜ Ñ Ò ÑÙÑ ÑÓÝ Ò ³ ÖÖ ÙÖ ³ÙÒ Ð ×× ÙÖ ´Ö ×ÕÙ » ÖÖ ÙÖ Ý ×µ
- 227. × Ó w+½= w−½ = ½ ¾
- 228. Ê ÔÔ ÐÐ Ø ÓÖ Ñ Ý × Ø × ÔÖ ÙÚ Ð ÑÓÒØÖ Ö P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B) P(A|B) = P(A)P(B|A) P(B) ◮ P(A) ÔÖÓ Ð Ø ÔÖ ÓÖ ◮ P(B|A) = P(A∩B) P(A) ÔÖÓ Ð Ø ÓÒ Ø ÓÒÒ ÐÐ ◮ P(A|B) ÔÖÓ Ð Ø ÔÓ×Ø Ö ÓÖ A × ÒØ B
- 229. Ì ÓÖ Ý× ÒÒ Ð × ÓÒ Pe(R) = P( ÖÖÓÖ) = p(x) × P( ÖÖÓÖ|x, R) x P( ÖÖÓÖ|x, R) = P(C+½|x) Ð Ö Ð R C−½, P(C−½|x) Ð Ö Ð R C+½ → Ú ÒØ Ô Ö Ò Ø ÓÒ
- 230. Ê Ð ÙÅ Ü ÑÙÑ ÈÓ×Ø Ö ÓÖ ´Å ȵ ◮ Ê Å È Ä Ö Ð ÓÔØ Ñ Ð ÔÓÙÖ Ð Ð ×× Ø ÓÒ Ý × ÒÒ ÕÙ Ñ Ò Ñ × Ð³ ÖÖ ÙÖº ÇÒ Ó × Ø Ð Ð ×× Ð ÔÐÙ× ÔÖÓ Ð Ò Ð ÙÐ ÒØ Ð × ÔÖÓ Ð Ø × ÔÓ×Ø Ö ÓÖ P(C+½|x) = P(x|C+½)P(C+½) p(x) p(x) = P(C−½)P(x|C−½) = P(C+½)P(x|C+½) = w−½p−½(x) + w+½p+½(x)º ◮ Ð Ð ÙÐ Ö Pe(Å È) = p(x) × P( ÖÖÓÖ|x, Å È) x Ò ÓÖÑÙÐ ÐÓ× ◮ Pe = Pe(Å È) ÓÒÒ ÙÒ ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ ÔÓÙÖ Ð × Ð ×× ÙÖ× ´ÒÓØ ÑÑ ÒØ ÔÓÙÖ Ð Ö Ð × k¹ÈÈÎ×µ ÍÒ Ð ×× ÙÖ Ò ÔÓÙÖÖ Ñ × ØØÖ Ð³ ÖÖ ÙÖ Ý × Ó Ø ÒÙ Ô Ö Ð Ö Ð Ù Å Ü ÑÙÑ ÈÓ×Ø Ö ÓÖ ´Å ȵº Ò ÔÖ Ø ÕÙ ¸ ÓÒ Ò ÓÒÒ Ø Ò Ð × ÐÓ × ÓÒ Ø ÓÒÒ ÐÐ × Ò ÐÐ × × Ð ×× × ÔÖ ÓÖ ººº ´Ñ × ÓÒ Ô ÙØ Ö × × ÑÙÐ Ø ÓÒ× Ò Ò Ö ÒØ × ÒØ ÐÐÓÒ× Ô ÖØ Ö ÑÓ Ð × Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ø × µ
- 231. ØÖ Ò Ò× Ø ¾¼¼¸ Ø ×Ø Ø ×Ø ½¼¼¼¼ Ö ÙÒ ÑÓ Ð ÔÖÓ Ð ×Ø ÓÒÒÙ ´→ ÖÖ ÙÖ Ý × Ð ÙÐ Ð µ
- 232. ÔÔÖ ÒØ ×××Ø Ø ×Ø ÕÙ Ú ÐÙÓÒ× Ð Ô Ö ÓÖÑ Ò ³ÙÒ Ð ×× ÙÖ ˆl(·) ´ Ð ÔÓÙÖ Ð Ðµ E[Y − ˆl(X)] ÐÓÖ× Ð ÔÖ Ø ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð ×Ø Ð³ ×Ô Ö Ò ÓÒ Ø ÓÒÒ ÐÐ ˆl(x) = E[Y |X = x] ÈÓÙÖ Ð Ð ×× Ø ÓÒ Ô Ö k¹ÈÈÎ ˆlÈÈÎ(x) = ÅÓÝ ÒÒ (yi |xi ∈ ÈÈÎk(x)) ≈ E[Y |X = x] Ø ÓÒ Ð Ñ n,k→∞, k n →¼ ˆlÈÈÎ(x) = E[Y |X = x] ÅÓÒØÖÓÒ× Ñ ÒØ Ò ÒØ ÓÑÑ ÒØ ÓÒ Ö Ú Ð Ö Ð × k¹ÈÈÎ ×ÓÙ× ÔÔÖ ÒØ ×× Ý × Òº
- 233. ×Ø Ñ ØÓÒ Ò× Ø × ÒÓÒ¹Ô Ö Ñ ØÖ ÕÙ × ÄÓ Ô Ö Ñ ØÖ ÕÙ P(x|θ) θ Ð Ú Ø ÙÖ Ô Ö Ñ ØÖ Ñ Ò× ÓÒ Ò ´ ×Ø Ñ Ø ÓÒ ˆθ Ò ÙØ Ð × ÒØ Ð Ñ Ü ÑÙÑ ÚÖ × Ñ Ð Ò µº ÄÓ ÒÓÒ¹Ô Ö Ñ ØÖ ÕÙ Ñ Ò× ÓÒ θ Ô Ò Ð Ø ÐÐ × ÒØ ÐÐÓÒ׺ ÇÒ Ò ÓÒÒ Ø Ò Ð × ×ØÖ ÙØ ÓÒ× ÓÒ Ø ÓÒÒ ÐÐ × p±½(x)¸ Ò Ð × ×ØÖ ÙØ ÓÒ× ÔÖ ÓÖ º È Ö ÓÒØÖ ¸ ÓÒ Ô ÙØ Ð × ×Ø Ñ Ö × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ú Ð³ ×Ø Ñ Ø ÙÖ ÐÐÓÒ p(x) ≈ k nV (x) = k ncd rd k (x) Ó V ×Ø Ð ÚÓÐÙÑ Ð ÓÙÐ Ò ÐÓ ÒØ × k¹ÆÆ ÒØÖ × Ò x V (x) = π d ¾ Γ(d ¾ +½) rd k (x) = cd rd k (x) ÙÜ ÓÔØ ÓÒ× ◮ ËÓ Ø ÓÒ Ó × Ø r Ð ÓÙÐ ÒØÖ Ò x ´ÓÒ ÓÒ V µ Ø ÓÒ Ð ÙÐ k¸ ◮ ËÓ Ø ÓÒ Ó × Ø k¸ Ø ÓÒ Ò Ù Ø Ð Ö ÝÓÒ Ð ÓÙÐ r = r(k) ÒØÖ Ò x¸ ÔÙ × ÓÒ Ó Ø ÒØ V º
- 234. Å È ØÐ Ö Ð Ù k¹ÆÆ ◮ ÔÖÓ Ð Ø ÔÖ ÓÖ ´ÔÖ ÓÖ ÔÖÓ Ð Øݵ P(C±½) ≈ w±½ = n±½ n ◮ ÔÖÓ Ð Ø ÓÒ Ø ÓÒÒ ÐÐ ´ Ð ××¹ ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Øݵ P(x|C±½) ≈ ki n±½Vk ◮ ÔÖÓ Ð Ø ÔÓ×Ø Ö ÓÖ ´Ö Ð Ý ×µ P(C±½|x) = P(x|C±½)P(C±½) P(x) ≈ k±½ n±½Vk n±½ n k nVk ≈ k±½ k ⇒ Ð Ö Ð Ù ÚÓØ Ñ ÓÖ Ø Ö ÔÓÙÖ Ð k¹ÈÈÎ× ×Ø Ð Ö Ð Å È ÔÓÙÖ Ð × Ò× Ø × ÒÓÒ¹Ô Ö Ñ ØÖ ÕÙ × ×Ø Ñ × ººº
- 235. Ð ×× Ø ÓÒ ×Ø Ø ×Ø ÕÙ Ø k¹ÆÆ ÝÑÔØÓØ ÕÙ ´½ µ ËÓ Ø n Ð Ø ÐÐ Ù Ù ³ ÔÔÖ ÒØ ×× Ø Ù Ù Ø ×غ ÉÙ Ò n → +∞¸ г ÖÖ ÙÖ Ð Ö Ð ½¹ÈÈÎ ×Ø Ù Ô Ö ÙÜ Ó × ÐÐ Ð Ö Ð ÓÔØ Ñ Ð ´Å È × ÓÒ ÓÒÒ ×× Ø w±½ Ø p±½(x)µ Pe ≤ Pe(Ö Ð ½¹ÈÈÎ) ≤ ¾Pe ÈÓÙÖ m ¾ Ð ×× × Ú Ð Ö Ð ½¹ÈÈÎ Pe ≤ Pe(Ö Ð ½¹ÈÈÎ) ≤ Pe ¾ − m m − ½ Pe ØØ ÓÖÒ ×Ø × ÖÖ ´Ø Ø µº
- 236. Ð ÙÐ × k¹ÔÐÙ×ÔÖÓ × ÚÓ × Ò× ´k¹ÆƵ ÈÓÙÖ ÙÒ Ö ÕÙ Ø q ∈ Rd ¸ ÓÒ Ó Ø ØÖÓÙÚ Ö Ð × k¹ÈÈÎ× Ò× ÙÒ Ù ³ ÒØÖ Ò Ñ ÒØ Ø ÐÐ n ◮ Ò Ò O(dkn) ´ ÖÙØ ÓÖ µ ◮ Ò Ñ × Ò ÙØ Ð × ÒØ Ð Ð ÓØ ÕÙ ÅÈÁ ÓÙ Ð È ÈÍ ´ Ù ÓÙÖ ³ Ù ¸ Ì ¿ µ ◮ ×ØÖÙ ØÙÖ × ÓÒÒ × ÔÓÙÖ Ð × Ö ÕÙ Ø × k¹ÆÆ× ´ Ö Ö × k¹ ¸ Ö Ö × ¾¹ ÓÙР׸ Ö Ö × Ú ÒØ ÔÓ ÒØ×µ ◮ Ò Ò Ö Ð¸ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ñ × ÙÖ Ò Ö Ò × Ñ Ò× ÓÒ× ÕÙ Ö ×Ø ³ ØÙ Ð Ø Ò× Ð ÑÓÒ Ð Ö Ö
- 237. Ä Ð ××ÙÖ k¹ÆÆ× Ö ×ÙÑ × Ú ÒØ × Ø Ò ÓÒÚ Ò ÒØ× Ð ×× ÙÖ k¹ÈÈÎ× Ô Ø Ø ×¸ Ö Ò Ú Ö Ò ººº ◮ Ú ÒØ × ◮ Ë ÑÔÐ Ñ ØØÖ Ò ÙÚÖ ◮ ÓÒÒ × Ô Ö ÓÖÑ Ò × ×ÝÑÔØÓØ ÕÙ × ´×ÓÙ× ÓÒ Ø ÓÒ ³ ÔÔÖ ÒØ ×× ×Ø Ø ×Ø ÕÙ µ ◮ Ð Ô Ö ÐÐ Ð × Öººº ◮ ÁÒ ÓÒÚ Ò ÒØ× ◮ Ñ Ò Ù ÓÙÔ Ñ ÑÓ Ö ´Ð Ù ³ ÔÔÖ ÒØ ×× µ ◮ Ä × Ö Ò × Ñ Ò× ÓÒ׺ºº ×ÝÑÔØÓØ ÕÙ ¸ Ö ÕÙ Ø × k¹ÆƸ Ù × Ö Ò × Ñ Ò× ÓÒ× ´ ÙÖ× Ó Ñ Ò× ÓÒ Ð Øݵ¸ º Ì ×ÙÖ Ð Ø ÓÖ Ñ ÂÓ Ò×ÓÒ¹Ä Ò Ò×ØÖ Ù×× ◮ Ó Ü k ÔÓÙÖ Ð Ö Ð k¹ÈÈκ ÌÖÓÙÚ Ö ÙÒ Ù×Ø Ñ Ð Ù ÒØÖ ◮ Ö Ò k ÖÓÒØ Ö × Ð ×× × ÔÐÙ× Ð ×× ¸ ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÒÓÒ¹Ô Ö Ñ ØÖ ÕÙ ÔÐÙ× Ð ◮ Ñ ×ººº ÔÐÙ× Ó Ø ÙÜ Ò Ø ÑÔ× Ö ÕÙ Ø × k¹ÆƸ ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÑÓ Ò× ÐÓ Ð ººº
- 238. Ä Ö Ðk¹ÆÆ Ò Ð ÙÐ ×ØÖ Ù ◮ ÌÓÙØ ÓÑÑ Ñ Ò(x½, x¾, x¿, x ) = Ñ Ò(Ñ Ò(x½, x¾), Ñ Ò(x¿, x ))¸ Ð Ö ÕÙ Ø × k ÔÐÙ× ÔÖÓ × ÚÓ × Ò× x ×Ø ÓÑÔÓ× Ð ÔÓÙÖ X = X½ X¾ ÙÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ X Ò×ÓÙ×¹ Ò× Ñ Ð × × Ó ÒØ× X½ Ø X¾¸ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ÆÆk(x, X) = ÆÆk (x, ÆÆk(x, X½) ∪ ÆÆk(x, X¾)) ◮ ÈÓÙÖ p ÔÖÓ ×× ÙÖ׸ ÓÒ Ô ÖØ Ø ÓÒÒ ÓÒ X Ò p Ô ÕÙ Ø× Xi Ø ÐÐ n p ¸ Ø ÓÒ Ø Ð Ö ÕÙ Ø ÆÆk(x, Xi ) Ò× ÕÙ Ô ÕÙ Ø Ò Ô Ö ÐÐ Ð º ◮ Ä ÔÖÓ ×× ÙÖ Ñ ØÖ P¼ Ö Ó Ø kp Ð Ñ ÒØ× ¸ Ø Ø ÙÒ Ö ÕÙ Ø × k ÔÐÙ× ÔÖÓ × ÚÓ × Ò× ×ÙÖ ÐÙ ÆÆk(x, X) = ÆÆk x, p i=½ ÆÆk(x, Xi ) ◮ ÇÒ Ô ×× O(dnk) ÔÓÙÖ p = ½ ´× ÕÙ ÒØ Ðµ O (dk n p ) + O(dkkp) = O (dk n p ) ÕÙ Ò p = O( n k )º
- 239. ÍØ Ð ÈÖÓÖ ÑÑ Ö Ò ÅÈÁ ÙÒ (Ñ Ò, Ö Ñ Ò) Ú ÙÒ Ö Ù Ø ÓÒ Ò Ð Ù ÑÔ º Ò Ð Ù × Ø Ó º Ò Æ ½¼¼¼ Ò Ø Ñ Ò ´ Ò Ø Ö ¸ Ö ∗∗ Ö Ú µ ß Ò Ø Ö Ò ¸ ÒÔÖÓ × ¸ Ò ¸ ÓÒ×Ø Ò Ø ÖÓÓØ ¼ ÅÈÁ ÁÒ Ø ´² Ö ¸ ² Ö Ú µ ÅÈÁ ÓÑÑ × Þ ´ÅÈÁ ÇÅÅ ÏÇÊÄ ¸ ²ÒÔÖÓ × µ ÅÈÁ ÓÑÑ Ö Ò ´ÅÈÁ ÇÅÅ ÏÇÊÄ ¸ ²Ö Ò µ Ð Ó Ø Ú Ð Æ℄ ¸ Ñ ÒÚ Ð »» Ø Ð Ù ÐÓ Ð Ú Ð ÙÖ× Ò Ø ÑÝÖ Ò ¸ Ñ ÒÖ Ò ¸ Ñ Ò Ò Ü »» ÓÒ Ö ÑÔÐØ Ð Ø Ð Ù Ú Ð ÙÖ× Ð ØÓÖ × ×Ö Ò ´ ¾· Ö Ò µ Ó Ö ´ ¼ Æ ··µ ß Ú Ð ℄ Ö Ò ´µ »» ÍÒ Ð Ö ØÓÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ÓÑÔÓ× × Ø Ö Ù Ø ß Ð Ó Ø Ú Ð Ù Ò Ø Ò Ü Ò ¸ ÓÙØ »» ÓÒ Ö ³ ÓÖ ÐÓ Ð Ñ ÒØ Ð Ú Ð ÙÖ ÑÒÑ Ð Ò º Ú Ð Ù Ú Ð ¼ ℄ Ò º Ò Ü ¼ Ó Ö ´ ½ Æ ··µ ´ Ò º Ú Ð Ù Ú Ð ℄ µ ß Ò º Ú Ð Ù Ú Ð ℄ Ò º Ò Ü »» ÓÒ Ò ÕÙ Ð Ö Ò ÐÓ Ð Ð³Ò Ü Ò º Ò Ü Ö Ò ∗Æ · Ò º Ò Ü »» Ñ ÒØ Ò ÒØ ÓÒ Ö Ö ÐÓ Ð Ñ ÒØ Ð Ú Ð ÙÖ ÑÒÑ Ð ÅÈÁ Ê Ù ´ ´ ÚÓ ∗µ ² Ò ¸ ´ ÚÓ ∗µ ²ÓÙØ ¸ ½ ¸ ÅÈÁ ÄÇ Ì ÁÆÌ ¸ ÅÈÁ ÅÁÆÄÇ ¸ ÖÓÓØ ¸ ÅÈÁ ÇÅÅ ÏÇÊÄ µ »» Ð Ö ÔÓÒ× × ØÖÓÙÚ ×ÙÖ Ð ÔÖÓ ××Ù× ÖÓÓØ ´ Ö Ò ÖÓÓØ µ ß Ñ ÒÚ Ð ÓÙØ º Ú Ð Ù Ñ ÒÖ Ò ÓÙØ º Ò Ü » Æ Ñ Ò Ò Ü ÓÙØ º Ò Ü ± Æ Ô Ö Ò Ø ´ Ú Ð Ù Ö Ñ Ò Ñ Ð ± ×ÙÖ ÔÖÓ º ± Ð Ô Ó × Ø Ó Ò ± Ò ¸ Ñ ÒÚ Ð ¸ Ñ ÒÖ Ò ¸ Ñ Ò Ò Ü µ ÅÈÁ Ò Ð Þ ´µ
- 240. Ð ×× ÙÖÑÓ Ò× ÓÙÖÑ Ò Ò Ñ ÑÓ Ö ÓÑ Ò ÒØ Ð × r¹ÑÓÝ ÒÒ × Ú Ð Ö Ð × k¹ÈÈÎ×
- 241. Ð ×× ÙÖÑÙÐØ ¹ Ð ×× ÓÔØ Ñ × ÇÒ Ò Ú ÙØ Ô × Ö Ö Ð × n ÒØÖ × Ù Ù ³ ÒØÖ Ò Ñ ÒØ ÕÙ ×ÓÒØ ÙØ Ð × × Ô Ö Ð Ð ×× ÙÖ × k¹ÈÈÎ׺ ËÓ Ø m Ð ×× ×º ◮ ÈÓÙÖ ÕÙ Ð ×× ¸ ÓÒ Ø ÙÒ Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ Ú Ð × r¹ÑÓÝ ÒÒ × ÔÓÙÖ ØÖÓÙÚ Ö r ÔÖÓØÓØÝÔ ×º Ò ØÓÙظ m × r ÔÖÓØÓØÝÔ × Ø ÕÙ Ø × ÕÙ ÒØ ÖÚ ÒÒ ÒØ Ò× Ð ÓÒ Ø ÓÒ ˆl Ù Ð ×× ÙÖº ◮ ÈÓÙÖ ÙÒ Ö ÕÙ Ø q¸ ÓÒ Ð ×× Ú Ð Ö Ð × k¹ÈÈÎ× ×ÙÖ Ð × m × r ≪ n ÔÖÓØÓØÝÔ ×º
- 244. ÈÖ ×ÕÙ ØÓÙØ×ÙÖ Ð × ÔÓ ÒØ ÙÖ× Ø Ð × Ö Ö Ò ×
- 245. Ä ÓÑÔ ÐØ ÙÖ ·· Ö Ò ℄° ·· ¹¹Ú Ö× ÓÒ ·· ´ µ º½º¾ ¾¼¼ ¼ ¼ ´Ê À Ø º½º¾¹ µ ÓÔÝÖ Ø ´ µ ¾¼¼ Ö ËÓ ØÛ Ö ÓÙÒ Ø ÓÒ ¸ ÁÒ º Ì × × Ö ×Ó ØÛ Ö × Ø ×ÓÙÖ ÓÖ ÓÔÝ Ò ÓÒ Ø ÓÒ׺ Ì Ö × ÆÇ Û ÖÖ ÒØÝ ÒÓØ Ú Ò ÓÖ Å Ê À ÆÌ ÁÄÁÌ ÓÖ ÁÌÆ ËË ÇÊ È ÊÌÁ ÍÄ Ê ÈÍÊÈÇË º ⇒ Ü ×Ø ÒÓÑ Ö Ù× × Ú Ö× ÓÒ× ·· ´ ·· ¸ ··½½ Ø ºµ ËÌÄ Ô Ö ÙØ Ò× ··
- 246. ÈÓÙÖÕÙÓ Ñ ÒÔÙÐ Ö × ÔÓ ÒØ ÙÖ× ÈÓ ÒØ ÙÖ Ú Ö Ð ÕÙ × ÙÚ Ö Ð Ö Ö Ò ³ÙÒ ÙØÖ Ú Ö Ð º Î Ð ÙÖ ³ÙÒ ÔÓ ÒØ ÙÖ Ö ×× Ñ ÑÓ Ö Ò Ø Ú Ö ½ ¾ Ú Ö ¾ ¾ ¼ ½ Ò Ø ∗ ÈØÖ½ ¸ ∗ È Ø Ö ¾ È Ø Ö ½ ²Ú Ö ½ È Ø Ö ¾ ²Ú Ö ¾ Ð Ø Ð³ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ×ØÖÙ ØÙÖ × ÓÒÒ × ÝÒ Ñ ÕÙ × ´Ð ×Ø × Ò ×¸ Ö Ö ×¸ Ø ºµ Ò ··» ¸ Ð × ÔÓ ÒØ ÙÖ× Ô ÖÑ ØØ ÒØ ◮ ³ ÐÐÓÙ Ö Ð Ñ ÑÓ Ö ÔÓÙÖ ÙÒ Ú Ö Ð Ò Ö ØÓÙÖÒ ÒØ ÙÒ ÔÓ ÒØ ÙÖ ×ÙÖ ØØ ÞÓÒ ◮ ³ Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ú Ö Ð Ô Ö Ö Ö Ò Ñ ÒØ ¶ÈØÖ½ ◮ Ð Ö Ö Ð Ñ ÑÓ Ö Ñ ÒÙ ÐÐ Ñ ÒØ ◮ Ö Ð³ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ÔÓ ÒØ ÙÖ× ÈØÖ½·· ¶ ÓÔ Ö Ø ÙÖ Ö Ö Ò Ú Ð ÙÖ ÔÓ ÒØ Ô Ö
- 247. Ë Ñ ÒØÕÙ × Ö ÒØ × Ð Ö Ø ÓÒ» Ó Ë Ñ ÒØ ÕÙ × Ö ÒØ × ×ÓÙÖ ÓÒ Ù× ÓÒ ◮ Ð Ö Ø ÓÒ× Ú Ö Ð × ◮ ̶ ÔØÖÎ Ö Ú Ö Ð ØÝÔ ÔÓ ÒØ ÙÖ ×ÙÖ ØÝÔ Ì Ô ×× Ô Ö Ú Ð ÙÖ Ö ×× Ñ ÑÓ Ö ◮ ̲ Ö Î Ö Ú Ö Ð ØÝÔ Ì Ô ×× Ô Ö Ö Ö Ò ◮ ̶² Ö ÈØÖÎ Ö Ú Ö Ð ØÝÔ ÔÓ ÒØ ÙÖ ×ÙÖ ØÝÔ Ì Ô ×× Ô Ö Ö Ö Ò ◮ Ò× Ð Ô ÖØ Ò×ØÖÙ Ø ÓÒ× Ó ◮ ²Î Ö Ö ØÓÙÖÒ Ð³ Ö ×× ÙØ Ð × ÔÓÙÖ ×ØÓ Ö Ð Ú Ð ÙÖ Î Ö ◮ ¶Î Ö × ØÝÔ Î Ö ×Ø ÔÓ ÒØ ÙÖ ×ÙÖ ¸ Ö ØÓÙÖÒ Ð Ú Ð ÙÖ ×ØÓ Ð³ Ö ×× ÓÒØ ÒÙ Ò× Î Ö ´Ú Ð ÙÖ Î Öµ Å Ö Ù ÓÙÔ Ä Ó Ë Ô × ´ Ò ÓÖ µ Ð Ö¸ Ñ Ò Þ ÐÙ
- 248. Ò ÐÙ Ó × Ø Ö Ñ Ù × Ò Ò Ñ ×Ô × Ø Ò Ø Ñ Ò ´ µ ß Ò Ø Ú Ð ½ ¾ ¼ ½ ¸ Ú Ð ¾ ¾ Ò Ø ∗ Ô½ ¸ ∗ Ô¾ Ô½ ²Ú Ð ½ »» Ô½ Ö ×× Ú Ð½ Ô¾ ²Ú Ð ¾ »» Ô¾ Ö ×× Ú Ð¾ ∗Ô½ ¾ ¼ ½ »» Ú Ð ÙÖ ÔÓ ÒØ Ô Ö Ô½ ¾¼½ ∗Ô¾ ∗Ô½ »» Ú Ð ÙÖ ÔÓ ÒØ Ô Ö Ô¾ Ú Ð ÙÖ ÔÓ ÒØ Ô Ö Ô½ Ô½ Ô¾ »» Ô½ Ô¾ ´Ú Ð ÙÖ Ù ÔÓ ÒØ ÙÖ ÓÔ µ ∗Ô½ ½ »» Ú Ð ÙÖ ÔÓ ÒØ Ô Ö Ô½ ½ Ó Ù Ø Ú Ð ½ Ú Ð ½ Ò Ð »» ¾¼½ Ó Ù Ø Ú Ð ¾ Ú Ð ¾ Ò Ð »» ½ Ö Ø Ù Ö Ò ¼
- 249. int val1 =2015, val2 = 442; int * p1, * p2; p1 = val1; // p1 = adresse de val1 p2 = val2; // p2 = adresse de val2 *p1 = 2016; *p2 = *p1; val2val1 2016 2016 p1 p2
- 250. p1 = p2; val2val1 20162016 p1 p2
- 251. *p1 = 441; val2val1 2016441 p1 p2
- 252. ÈÓ ÒØ ÙÖ×Ø Ø Ð ÙÜ Ä Ú Ð ÙÖ ³ÙÒ Ú Ö Ð Ø Ð Ù Ø ×Ø Ð³ Ö ×× Ñ ÑÓ Ö ×ÓÒ ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ø ¾ ℄ Ò Ø ∗ Ô Ø Ö Ä ÔÓ ÒØ ÙÖ ÔØÖ ×Ø ÙÒ Ú Ö Ð ÕÙ ×ØÓ ÙÒ Ö ×× Ñ ÑÓ Ö ÔÓÙÖ ÙÒ ÒØ ´ Ó Ø Ø× ¿¾ Ø×µº ÇÒ Ô ÙØ ÓÒ Ö Ô Ø Ö Ø ÍÒ Ø Ð Ù ×Ø ÓÒ× Ö ÓÑÑ ÙÒ ÔÓ ÒØ ÙÖ ÓÒ×Ø ÒØ º ÁÐ ×Ø ÓÒ ÒØ Ö Ø Ö Ø Ô Ø Ö »» Ô × ÙØÓÖ ×
- 253. ÑÙ×ÓÒ× ÒÓÙ× ×× ººº Ò Ð Ù Ó × Ø Ö Ñ Ù × Ò Ò Ñ ×Ô × Ø Ò Ø Ñ Ò ´ µ ß Ò Ø Ø ℄ Ò Ø ∗ Ô Ô Ø ∗Ô ½ ¼ Ô·· ∗Ô ¾ ¼ Ô ²Ø ¾ ℄ ∗Ô ¿ ¼ »» Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ÔÓ ÒØ ÙÖ× Ô Ø · ¿ ∗Ô ¼ »» Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ÔÓ ÒØ ÙÖ× Ö Ö Ò Ô Ø ∗´ Ô· µ ¼ Ó Ö ´ Ò Ø Ò ¼ Ò Ò··µ Ó Ù Ø Ø Ò ℄ Ö Ø Ù Ö Ò ¼ »» ½¼ ¾¼ ¿¼ ¼ ¼
- 254. ij Ö ØÑ Ø ÕÙ ÔÓ ÒØ ÙÖ× ËÓ Ø Ì ÙÒ ØÝÔ ÔÖ Ñ Ø ÓÙ ÙÒ ØÝÔ Ó Ø ÍÒ ÔÓ ÒØ ÙÖ ÔØÖ ØÝÔ Ì¶ ×Ø ÙÒ Ú Ö Ð ×ÙÖ ÙÒ ÞÓÒ Ñ ÑÓ Ö Ø ÐÐ × Þ Ó ´Ìµº ÄÓÖ×ÕÙ³ÓÒ Ò Ö Ñ ÒØ ÔØÖ ´ Ò × ÒØ ÔØÖ··µ¸ ÓÒ ÓÙØ Ð Ú Ð ÙÖ Ñ ÑÓ Ö × Þ Ó ´Ìµ Ó Ù Ð Ø ℄ ß ½ ¸ ¾ ¸ ¿ ¸ ¸ ¸ ∗ Ô Ø Ö Ø Ö Ø ℄ ß ³ ³ ¸ ³ ³ ¸ ³ ³ ¸ ³ ³ ¸ ³ ³ ¸ ∗ Ô Ø Ö Ø »» ´ Ø×µ Ø ½ Ö Ö × Þ Ó ´ Ó Ù Ð µ × Þ Ó ´ Ö µ Ò Ð »» Ø ´ ØØ ÒØ ÓÒ ÙÜ Ò ×µ Ö Ö ∗´ Ø ·¿µ ∗´ Ø · µ Ò Ð
- 255. ij Ö ØÑ Ø ÕÙ ÔÓ ÒØ ÙÖ× Ì ØÝÔ Ó Ø »» Å Ò ½ ÑÓØ Ó Ø Ø× Ø× »» ¿ ÑÓØ× ¾ Ó Ø Ø× Ð × × Ð Ú ß Ô Ù Ð × Ø Ö Ò ÒÓÑ ¸ ÔÖ ÒÓÑ Ò Ø Ö Ó Ù Ô »» ¾ ÑÓØ× ½ ¾Ü Ó Ø Ø× Ð × × Ñ ¾ ß Ô Ù Ð Ò Ø Ò Ð Ú × Ð Ú ∗ Ô Ø Ö Ð Ú º º º Ó ÙØ × Þ Ó ´ Ð Ú µ ³ ³ × Þ Ó ´ Ñ ¾ µ Ò Ð
- 256. Ð × ×Ð Ú ß Ô Ù Ð × Ø Ö Ò ÒÓÑ ¸ ÔÖ ÒÓÑ Ò Ø ÖÓÙÔ Ð Ú ´ × Ø Ö Ò Ò ¸ × Ø Ö Ò Ô ¸ Ò Ø µ ßÒÓÑ Ò ÔÖ ÒÓÑ Ô ÖÓÙÔ Ö Ò ×Ø Ó×ØÖ Ñ² ÓÔ Ö ØÓÖ ´ ×Ø Ó×ØÖ Ñ² ×ØÖ Ñ ¸ ÓÒ×Ø Ð Ú ² µ ß ×ØÖ Ñ º ÒÓÑ º ÔÖ ÒÓÑ º ÖÓÙÔ Ö Ø Ù Ö Ò ×ØÖ Ñ Ò Ø Ñ Ò ´µ ß Ð Ú Ð × × ¾℄ ß Ð Ú ´ Ö Ò ¸ Æ Ð × Ò ¸½µ ¸ Ð Ú ´ Ð Ù ¸ ³ Ñ ÖÓ× Ó ¸¾µ Ð Ú ∗ Ô Ø Ö Ð × × ÓÙØ ∗ Ô Ø Ö Ò Ð ∗´ Ô ØÖ··µ Ò Ð Ö Ø Ù Ö Ò ¼
- 257. ij Ö ØÑ Ø ÕÙ ÔÓ ÒØ ÙÖ× ÍÒ ÓÑÔ Ð Ø ÙÖ ÒØ ÖÔÖ Ø Ñ Ò Ö ÒÓÒ Ñ Ð Ó º ÇÖ Ö ÔÖ ÓÖ Ø ÔÓÙÖ Ð × ÓÔ Ö Ø ÙÖ× ´Ö Ú ÒØ Ô Ö ÒØ × Ö ÜÔÐ Ø Ñ Òص ·· ×Ø ÔÖ ÓÖ Ø Ö ×ÙÖ ¶ ¹ ×Ø ÔÖ ÓÖ Ø Ö ×ÙÖ ¶ Ê ÔÔ Ð ÔØÖ¹ ÑÔ× ×Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ´¶ÔØÖµº ÑÔ× ÉÙ Ú ÙØ Ö ¶ÔØÖ·· ⇒ ¶´ÔØÖ··µ ÉÙ Ú ÙØ Ö ¶Ô·· ¶Õ·· ⇒ ¶Ô ¶Õ Ô Ô·½ Õ Õ·½
- 258. Ä × ÔÓÒØ ÙÖ× ÔÓ ÒØ ÙÖ× Ê ÔÔ Ð ÈÓ ÒØ ÙÖ Ú Ö Ð ÕÙ ÓÑÑ Ú Ð ÙÖ Ð Ö Ö Ò Ñ ÑÓ Ö ³ÙÒ ÙØÖ Ú Ö Ð º Ó Ù Ð Ó Ù Ð ∗ Ó Ù Ð ∗∗ Ó Ù Ð ∗∗∗ ¿ º ½ ½ ¾ ² ² ² Ó Ù Ø ³ Ò ³ Ò Ð Ò Ð
- 259. Ä × ÔÓÒØ ÙÖ× ÔÓ ÒØ ÙÖ× double a; double* b; double** c; double*** d; a=3.14; b=a; c=b; d=c; a b c 3.14 0x22aac0 0x22aac0 0x22aab8 0x22aab8 0x22aab0 0x22aab0 d d
- 260. Ä × ÔÓÒØ ÙÖ× ÚÓ ËÝÒØ Ü ÚÓ ¶ÔØÖÎÓ ◮ ÙÒ ØÝÔ ×Ô Ð ÔÓ ÒØ ÙÖ× ÔÓ ÒØ ×ÙÖ ÙÒ ÞÓÒ Ñ ÑÓ Ö ÒÓÒ ØÝÔ ◮ ÔÖ Ø ÕÙ Ö ÓÒ Ô ÙØ ÔÓ ÒØ Ö ×ÙÖ Ò³ ÑÔÓÖØ ÕÙ Ð ØÝÔ Ú Ö Ð ´ Òظ ×ØÖ Ò ¸ ̵ ◮ ººº Ñ × ÓÒ Ô ÙØ Ô × Ö Ò Ö Ò Ñ Ñ Ö Ð³ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ÔÓ ÒØ ÙÖ× ´ÔÙ ×ÕÙ³ÓÒ Ò ÓÒÒ Ø Ô × × Þ Ó ´Ìµµº ÈÓÙÖ Ö ¸ ÓÒ Ó Ø Ö Ð Ó Ö ÓÒ ´ ØÝÔ ×Ø Ò µ ̶ ÔØÖÌ ´Ì ¶µÔØÖÎÓ Ó Ù Ð Ø ℄ ß ½ ¸ ¾ ¸ ¿ ¸ ¸ ¸ ∗ Ô Ø Ö Ø Ö Ö ∗´ Ø ·¿µ Ò Ð »» Ö ∗ Ô Ø Ö ¾ ´ Ö ∗µ Ø Ú Ó ∗ ´ Ô Ø Ö ¾ ·¿∗ × Þ Ó ´ Ó Ù Ð µ µ Ö Ö ´∗´ Ó Ù Ð ∗µ ´ µ µ Ò Ð »» »»
- 261. Ä × ÔÓÒØ ÙÖ× ÚÓ ÍØ Ð ÐÓÖ×ÕÙ³ÓÒ Ñ Ò ÔÙÐ × Ö Ö × Ð ×× ×¸ ÔÓÐÝÑÓÖÔ ×Ñ ÝÒ Ñ ÕÙ º Ò Ð Ù × Ø Ð º Ò Ð Ù Ó×ØÖ Ñ Ù× Ò Ò Ñ ×Ô ×Ø ÓÙ Ð Ö Ò ¾ ´µ ß Ö Ø Ù Ö Ò ´ ÓÙ Ð µ Ö Ò ´µ » Ê Æ Å Ð × × ÈÓÐÝ ÓÒ ß Ô Ù Ð Ò Ø Ò × Ø Ö Ò Ò Ñ Ð × × ÌÖ Ò Ð Ô Ù Ð ÈÓÐÝ ÓÒ ß Ô Ù Ð ÌÖ Ò Ð ´µ ßÒ ¿ Ò Ñ Ø Ö Ò Ð Ð × × ÖÖ Ô Ù Ð ÈÓÐÝ ÓÒ ß Ô Ù Ð ÖÖ ´µ ßÒ Ò Ñ Ö Ö Ò Ø Ñ Ò ´µ ß ÈÓÐÝ ÓÒ ∗ ÔØ Ö ×Ö Ò ´ Ø Ñ ´ÆÍÄĵ µ ´ Ö Ò ¾ ´µ ¼º µ Ô Ø Ö Ò Û ÖÖ ´µ Ð × Ô Ø Ö Ò Û Ì Ö Ò Ð ´µ ÓÙØ ÓØ × ÔØÖ− Ò Ö Ø Ù Ö Ò ¼
- 262. Ä × ÔÓÒØ ÙÖ× ÚÓ ÍØ Ð ÐÓÖ×ÕÙ³ÓÒ Ñ Ò ÔÙÐ × Ö Ö × Ð ×× ×¸ Ô ×× ÔÓ ÒØ ÙÖ× ÒÓÒ¹ØÝÔ × Ò× Ð × ÓÒ Ø ÓÒ׸ Ø º Ò Ð Ù × Ø Ð º Ò Ð Ù Ó×ØÖ Ñ Ù× Ò Ò Ñ ×Ô ×Ø ÓÙ Ð Ö Ò ¾ ´µ ß Ö Ø Ù Ö Ò ´ ÓÙ Ð µ Ö Ò ´µ » Ê Æ Å Ð × × ÈÓÐÝ ÓÒ ß Ô Ù Ð Ò Ø Ò × Ø Ö Ò Ò Ñ Ð × × ÌÖ Ò Ð Ô Ù Ð ÈÓÐÝ ÓÒ ß Ô Ù Ð ÌÖ Ò Ð ´µ ßÒ ¿ Ò Ñ Ø Ö Ò Ð Ð × × ÖÖ Ô Ù Ð ÈÓÐÝ ÓÒ ß Ô Ù Ð ÖÖ ´µ ßÒ Ò Ñ Ö Ö Ò Ø Ñ Ò ´µ ß ÚÓ ∗ Ô Ø Ö ×Ö Ò ´ Ø Ñ ´ÆÍÄĵ µ ´ Ö Ò ¾ ´µ ¼º µ Ô Ø Ö Ò Û ÖÖ ´µ Ð × Ô Ø Ö Ò Û Ì Ö Ò Ð ´µ ÈÓÐÝ ÓÒ ∗ Ô ØÖ È ÓÐ Ý ÔØ ÖÈ ÓÐ Ý ´ÈÓÐÝ ÓÒ ∗µ Ô Ø Ö ÓÙØ ÓØ × ÔØÖÈÓÐÝ − Ò Ö Ø Ù Ö Ò ¼
- 263. Ä ÔÓ ÒØÙÖ ÆÍÄÄ ◮ Ò ÔÓ ÒØ Ô × ×ÙÖ ÙÒ Ö Ö Ò Ú Ð ÓÖ ÙÒ Ö ×× Ñ ÑÓ Ö ÓÙ Ð ¶ ÔØÖ ÆÍÄÄ ººº Ð× Ö ØÙÖÒ Ò Û ÆÓ Ù ´ Ù ÐÐ ¸ ÆÍÄĸ ÆÍÄĵ ◮ ÙØ Ð Ò× Ð ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ Ö ÙÖ× Ú ×ØÖÙ ØÙÖ × ÓÒÒ × ´Ð ×Ø ×¸ Ö Ö ×¸ Ö Ô ×¸ Ñ ØÖ × Ö Ù× ×¸ Ø ºµ ◮ ØØ ÒØ ÓÒ ÙÜ × Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÙÐØ× Ì ∗ Ô Ø Ö Ô Ø Ö Ñ Ó Ò Ø Ó Ò Ë Ù Ô Ö ¾ ´ µ Ó ÙØ ´ ∗̵ Ò Ð
- 264. Ä × ÔÓÒØ ÙÖ ÓÒ Ø ÓÒ× ÍÒ Ó ´ ×ÓÒ× ÙÒ ÓÖÑÙÐ µ ×Ø ÙÒ Ö Ø ÜØ ÓÑÑ ÙÒ ÔÓ × ÓÙ ÙÒ Ð ÚÖ º Ä ÓÑÔ Ð Ø ÙÖ Ó Ø Ö ÙÒ Ò ÐÝ× Ð Ü Ð ´ÑÓØ× Ð × ÓÑÑ × Ò, ÜÔ µ ÔÙ × ×ÝÒØ Ü ÕÙ ´Ú Ö Ö ÕÙ Ð ÓÖÑÙÐ ×Ó Ø Ò ÓÖÑ µ¸ Ø ÓÒ×ØÖÙ Ø ÙÒ Ö Ö ×ØÖ Ø ÔÓÙÖ Ð³ Ú ÐÙ Ø ÓÒº ÇÒ ÔÓÙÖÖ Ø Ö ÓÙØ Ö Ù ÙÖ Ø Ñ ×ÙÖ × ÓÔ Ö Ø ÙÖ Ò Ö × ´ ÓÑÑ × ÔÐÙ ×¹ Ò×µº »» ÔÓ ÒØ ÙÖ ÓÒ Ø ÓÒ× Ò Ø Ø Ó Ò ´ Ò Ø ¸ Ò Ø µ ß Ö Ø Ù Ö Ò ´ · µ Ò Ø × Ó Ù × Ø Ö Ø Ó Ò ´ Ò Ø ¸ Ò Ø µ ß Ö Ø Ù Ö Ò ´ − µ Ò Ø Ó Ô Ö Ø Ù Ö Ò Ö ´ Ò Ø Ü ¸ Ò Ø Ý ¸ Ò Ø ´∗ Ù Ò Ø Ó Ð Ð µ ´ Ò Ø ¸ Ò Ø µ µ ß Ö Ø Ù Ö Ò ´ ∗ Ù Ò Ø Ó Ð Ð µ ´ Ü ¸ Ý µ
- 265. Ò ÐÙ Ó × Ø Ö Ñ Ù × Ò Ò Ñ ×Ô × Ø Ò Ø Ø Ó Ò ´ Ò Ø ¸ Ò Ø µ ß Ö Ø Ù Ö Ò ´ · µ Ò Ø × Ó Ù × Ø Ö Ø Ó Ò ´ Ò Ø ¸ Ò Ø µ ß Ö Ø Ù Ö Ò ´ − µ Ò Ø Ó Ô Ö Ø Ù Ö Ò Ö ´ Ò Ø Ü ¸ Ò Ø Ý ¸ Ò Ø ´∗ Ù Ò Ø Ó Ð Ð µ ´ Ò Ø ¸ Ò Ø µ µ ß Ö Ø Ù Ö Ò ´ ∗ Ù Ò Ø Ó Ð Ð µ ´ Ü ¸ Ý µ Ò Ø Ñ Ò ´ µ ß Ò Ø Ñ¸ Ò Ñ Ó Ô Ö Ø Ù Ö Ò Ö ´ ¸ ¸ Ø Ó Ò µ Ò Ó Ô Ö Ø Ù Ö Ò Ö ´ ¾ ¼ ¸ Ѹ × Ó Ù × Ø Ö Ø Ó Ò µ Ó Ù Ø Ò Ö Ø Ù Ö Ò ¼
- 266. Ä × ÒÖ× × ÔÓ ÒØ ÙÖ× Ò Ð Ò ÔÓ ÒØ Ö ÍÒ ÔÓ ÒØ ÙÖ ÕÙ Ò ÔÓ ÒØ ×ÙÖ Ö Ò Ò Ð Ò ÔÓ ÒØ Ö Ò Ø Ñ Ò ´ µ ß Ò Ø ∗ Ö Ö Ý È Ø Ö ½ Ò Ø ∗ Ö Ö Ý È Ø Ö ¾ Ò Û Ò Ø ¾ ℄ Ö Ö Ý È Ø Ö ½ Ö Ö Ý È Ø Ö ¾ Ð Ø ℄ Ö Ö Ý È Ø Ö ¾ »» × ÓÒ Ð Ò ÕÙ ÐÕÙ Ó× × ÒÓÒ »» ÙÒ × Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÙÐظ Ô Ò Ù Ø × Ó Ù Ø Ö Ö Ý È Ø Ö ½ ½ ℄ Ö Ø Ù Ö Ò ¼ ÆÓÑ Ö ÙÜ Ø× ÓÖ × ÑÔÖ Ú × Ð × ÔÓ×× Ð × Ô Ò Ð³ ×ØÓÖ Õ٠гÙØ Ð × Ø ÓÒ Ù Ø × ´ Ôµ
- 267. Ä × ÒÖ× × ÔÓ ÒØ ÙÖ× ÞÓÒ × ÒÓÒ¹ ×× Ð × ÇÒ Ô ÙØ Ö × ÖÚ Ö × ÞÓÒ × Ñ ÑÓ Ö × ÕÙ Ò × ÖÓÒØ ÔÐÙ× ×× Ð × Ò Ø ∗ È Ø Ö ½ ¾ ¼ ½ Ò Ø ∗ È Ø Ö ¾ ¾ È Ø Ö ½ È Ø Ö ¾ ÁÑ Ò Þ Ñ ÒØ Ò ÒØ Ò Ø ∗ È Ø Ö ½ Ò Û Ò Ø ¾ ¼ ½ ℄ Ò Ø ∗ È Ø Ö ¾ ¾ È Ø Ö ½ È Ø Ö ¾ ÓÙØ Ó Ñ ÑÓÖÝ ÇÙØ Ð Ú ×Ù Ð × Ø ÓÒ ÝÒ Ñ ÕÙ Ø ×Ù Ú Ð Ñ ÑÓ Ö ÐÓÖ× Ð³ Ü ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ ×º ØØÔ »»Ú Ð Ö Ò ºÓÖ »
- 268. Ä × ÖÖ Ò × Ø Ð × Ð × Ò Ø Ú Ð ½ ¾ Ò Ø Ú Ð ¾ ¾¼½ »» Ð × Ò Ø ² Ö Î Ð ½ Ú Ð ½ Ó Ù Ø Ö Î Ð ½ Ò Ð »» ¾ Ö Î Ð ½ Ú Ð ¾ »» ¹ ××ÓÙ׸ Ð Ô ÒÓÑ Ò ³ Ð × Ó Ù Ø Ú Ð ½ Ò Ð »»¾¼½
- 269. È ×× ÔÖ Ú Ð ÙÖ× Ø Ô ×× Ô Ö Ö Ö Ò × ÚÓ ×Û Ô ´ Ò Ø² Ü ¸ Ò Ø² Ý µ ß Ò Ø Ø ÑÔ Ü Ü Ý Ý Ø ÑÔ ÚÓ ×Û ÔÈØÖ ´ Ò Ø ∗ ÈØÖ½ ¸ Ò Ø ∗ ÈØÖ¾ µ ß Ò Ø ∗ ÈØÖ ÈØÖ ÈØÖ½ ÈØÖ½ ÈØÖ¾ ÈØÖ¾ ÈØÖ ÚÓ ×Û Ô ÓÓ ÈØÖ ´ Ò Ø ∗ Ü ¸ Ò Ø ∗ Ý µ ß Ò Ø Ø ÑÔ ∗Ü ∗Ü ∗Ý ∗Ý Ø ÑÔ Ò Ø Ñ Ò ´µ ß Ò Ø ¾ ¸ ¿ ×Û Ô ´ ¸ µ ÓÙØ Ò Ð »» Çà ¾ ¿ Ò Ø ∗ ÈØÖ ² ¸∗ ÈØÖ ² ×Û ÔÈØÖ ´ ÈØÖ ¸ ÈØÖ µ ÓÙØ ∗ÈØÖ ∗ÈØÖ Ò Ð »» ÒÓÒ ×Û Ô ÓÓ ÈØÖ ´ ÈØÖ ¸ ÈØÖ µ ÓÙØ ∗ÈØÖ ∗ÈØÖ Ò Ð »» ÓÙ
- 270. ÈÓ ÒØ ÙÖ×Ø Ö Ö Ò × ◮ ÙÒ Ö Ö Ò ×Ø ØÓÙ ÓÙÖ× Ò ¸ ³ÙÒ ØÝÔ ÓÒÒ ¸ Ø Ò Ô ÙÜ Ñ × Ò Öº È × ³ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ Ö Ö Ò × Ò Ó Ö ÓÒº ◮ Ò ··¸ Ô ×× Ô Ö Ú Ð ÙÖ ÓÙ Ô Ö Ö Ö Ò Ë Ð Ú Ð ÙÖ ×Ø ÙÒ ÔÓ ÒØ ÙÖ¸ Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÔÓÙÖÖ Ò Ö Ð ÓÒØ ÒÙ × × × Ñ ÑÓ Ö × ÔÓ ÒØ ×¸ Ñ × Ù Ö ØÓÙÖ Ð ÓÒ Ø ÓÒ¸ Ð × ÔÓ ÒØ ÙÖ× Ö ÙÑ ÒØ× Ö ×Ø ÒØ Ò Ò ×º ◮ È ×× Ô Ö Ö Ö Ò Ò ÓÔ Ô × Ð³Ó Ø ×ÙÖ Ð Ô Ð ³ ÔÔ Ð × ÓÒ Ø ÓÒ× Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ò È × × È Ö Ê ´ Ó Ò × Ø Å Ð × × ² Ð × × Ç Ø µ ß º º º
- 271. ÍÒ Ñ ÙÚ× Ü ÑÔÐ ³ÙØ Ð × Ø ÓÒ × Ö Ö Ò × Ò Ð Ò Ö Ö Ò Ò Ø² Ú Ö Ð Ä Ó Ð ´ µ ß Ò Ø Ü ¾ Ö Ø Ù Ö Ò Ü ÓÑÔ Ð Ú ÙÒ Ñ ×× ³ Ð ÖØ ´Û ÖÒ Ò µ Á Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ò Ø² Ú Ö Ð Ä Ó Ð ´ µ Ô Ø Ö ½ ¾ º ÔÔ Ø Ø Ò Ø Ó Ò Ö Ö Ò Ø Ó Ð Ó Ð Ú Ö Ð Ü Ö Ø Ù Ö Ò −ÏÖ ØÙÖÒ −Ð Ó Ð − Ö ℄ ß Ò Ø Ü ¾ Ö Ø Ù Ö Ò Ü ÈÓÙÖ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ö × Ð ÖØ × Ò ÖÖ ÙÖ ÓÑÔ Ð Ø ÓÒ¸ Ö ·· ¹Ï ÖÖÓÖ
- 272. ÈÓ ÒØ ÙÖ××ÙÖ × ×ØÖÙ ØÙÖ × Ò ´ Ø Ô Ö Ò ÐÙ× ÓÒ ··µ × Ø Ö Ù Ø ÑÓÒÈÓ ÒØ ß Ó Ù Ð Ü ¸ Ý × Ø Ö Ù Ø ÑÓÒÈÓ ÒØ Ô Ô º Ü ¾¿ Ô º Ý ¼ º × Ø Ö Ù Ø ÑÓÒÈÓ ÒØ Õ Ô »∗ ÓÔ × ÒÖ ×ØÖ Ñ ÒØ× ∗» ÇÒ ÙØ Ð × ×ÓÙÚ ÒØ ÙÒ ØÝÔ Ø Ý Ô × Ø Ö Ù Ø ß Ó Ù Ð Ü ¸ Ý ÑÓÒÈÓ ÒØ ÑÓÒÈÓ ÒØ Ô ß ½ ¸ ¿ Ø ÓÒ Ô ÙØ ÙØ Ð × Ö Ð × ÔÓ ÒØ ÙÖ× Ø Ð × Ö Ö Ò × ×ÙÖ Ð × ×ØÖÙ ØÙÖ × ÑÓÒÈÓ ÒØ ∗ Ö ²Ô ´ ∗ Ö µ º Ü Ö− Ü
- 273. Ü Ö Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ñ ÕÙ Ò Ð Ù × Ø Ó º Ò Ø ¾¿ Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒÅ ÕÙ ´ Ò Ø ¸ Ò Ø ∗Ô½ ¸ Ò Ø ∗Ô¾ ¸ Ò Ø Ü µ ß Ò Ø ½ ½ Ü ½ ∗Ô½ ½ ½ Ô¾ ² ∗Ô¾ ½ Ö Ø Ù Ö Ò Ò Ø Ñ Ò ´µ ß Ò Ø ½¼ ¸ ½½ ¸ ½¾ ¸ ½¿ ¸ ÓÒ Ø ÓÒÅ ÕÙ ´ ¸ ² ¸ ² ¸ µ Ô Ö Ò Ø ´ ± ر ر ر ر ر Ò ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ µ »» ½ ½¼ ½ ½¾ ½¿ ½ Ö Ø Ù Ö Ò ¼
- 274. Ê ×ÙÑ ×ÙÖÐ × ÔÓ ÒØ ÙÖ× Ø Ö Ö Ò × ² ÓÔ Ö Ø ÙÖ Ö Ö Ò Ö ×× ¶ ÓÔ Ö Ø ÙÖ Ö Ö Ò Ú Ð ÙÖ ÔÓ ÒØ Ô Ö ◮ ÔÓ ÒØ ÙÖ× Ð × Ú Ð ÙÖ× Ö ×× × Ñ ÑÓ Ö ×º Ë ÙÚ Ö ÙÒ Ö Ö Ò ×ÙÖ ÙÒ ÙØÖ Ú Ö Ð º ◮ ÔÓ ÒØ ÙÖ× Ø Ø Ð ÙÜ ´→ ÔÓ ÒØ ÙÖ× ÓÒ×Ø ÒØ×µ¸ ÔÓ ÒØ ÙÖ× ÔÓ ÒØ ÙÖ׸ ººº ◮ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ÔÓ ÒØ ÙÖ× ´ÔØÖ··¸ × Þ Ó ¸ ·· Ú ÒØ ¶µ ◮ ÔÓ ÒØ ÙÖ× ÚÓ ÔÓ ÒØ ×ÙÖ Ò³ ÑÔÓÖØ ÕÙ Ð ØÝÔ Ñ × Ò Ô Ùع ØÖ Ö Ö Ò ´→ Ó Ö ÓÒ¸ ØÝÔ ×Ø Ò µ ◮ ÔÓ ÒØ ÙÖ× ÆÍÄÄ ◮ ÔÓ ÒØ ÙÖ× ÓÒ Ø ÓÒ× ◮ ÔÓ ÒØ ÙÖ× Ø Ñ ÑÓ Ö Ù Ø × Ò Ð Ò ÔÓ ÒØ Ö× ´Ñ ÑÓ Ö × ÐÐÓÙ → × Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÙÐص¸ ÔÐÙ× ×× Ð ´ Ö µ ◮ Ö Ö Ò × ÙØ Ð ÔÓÙÖ Ð Ô ×× ³ Ö ÙÑ ÒØ× ÙÜ ÓÒ Ø ÓÒ׺ È × ³ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ Ö Ö Ò ×¸ ×Ø Ò º ÍÒ Ö Ö Ò Ò Ò Ñ × Ø Ò Ô ÙØ ØÖ ÆÍÄÄ
- 275. Ê ×ÙÑ ¿ Ä Ð ×× Ø ÓÒ Ð ×× Ö × ÒÓÙÚ ÐÐ × ÓÒÒ × ÒÓÒ¹ Ø ÕÙ Ø × Ò ÔÔÖ Ò ÒØ ÙÒ Ð ×× ÙÖ ×ÙÖ ÙÒ Ù ³ ÒØÖ Ò Ñ ÒØ Ø ÕÙ Ø º Ä Ð ×× ÙÖ Ú Ð Ö Ð × k ÈÐÙ× ÈÖÓ × ÎÓ × Ò× ´ÈÈÎ×µ ÖÓÒØ Ö × × ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ñ ØÖ ÓÒ Ù× ÓÒ¸ ÔÖ × ÓÒ¸ Ö ÐÐ Ø F¹× ÓÖ Ð³ ÔÔÖ ÒØ ×× ×Ø Ø ×Ø ÕÙ ´Ð × Ø µ ÖÖ ÙÖ Ý × Ô Ö Ð Ö Ð ÓÔØ Ñ Ð Å È ´ Ø Ð ÖÓÒØ Ö Ý ×µ ¸ Ø Ð³ Ò ÐÝ× ×ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ð Ö Ð Ù ÈÈÎ ´ Ù Ô Ö ÙÜ Ó × Ô Ö ÕÙ Ý ×µ Ð ×× ÙÖ ÑÓ Ò× ÖÓ× Ò Ø ÐÐ Ñ ÑÓ Ö ¸ Ò O(drc) Ù Ð Ù O(dn)¸ Ò ÙØ Ð × ÒØ Ð × r¹ÑÓÝ ÒÒ × ×ÙÖ ÕÙ Ð ×× ÈÖ ×ÕÙ ØÓÙØ ×ÙÖ Ð × ÔÓ ÒØ ÙÖ× Ø Ö Ö Ò × ÈÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ò Ó × Ð Ö Ð Ô ØÖ Ø Ö ¹Ö ¹Ð Ö Ð Ô ØÖ ¾ ×ÙÖ Ð ÅÈÁ Ù ÔÓÐÝ ÓÔ
- 276. INF442 : Traitementdes donn´ees massives A4 : Alg`ebre lin´eaire distribu´ee Frank Nielsen X2013 6 mai 2015
- 277. Plan ◮ un peude MPI ◮ produit matriciel sur la topologie du tore ◮ la g´en´ericit´e avec la biblioth`eque C++ STL
- 278. MPI : pasde m´emoire globale ! → m´emoire locale pour chaque processus, ´echange de messages Diff´erent d’un fil de calcul (fork) avec m´emoire globale partag´ee (INF431) i n t main ( i n t argc , char ∗∗ argv ) { i n t rang , n , var ; i n t ∗ ptr=var ; MPI Init (argc , argv ) ; MPI Comm size (MPI COMM WORLD, n ) ; MPI Comm rank (MPI COMM WORLD, rang ) ; ∗ ptr=rang ; ( ∗ ptr )++; p r i n t f ( ”P%d var=%dn” , rang , var ) ; MPI Finalize () ;} P0 var =1 P2 var =3 P1 var =2 P3 var =4
- 279. #i n cl u d e s t d i o . h #i n c l u d e mpi . h i n t main ( i n t argc , c har∗∗ argv ) { i n t rang , p , autre , taga =0, tagb =1; double a , b ; MPI Status s t a t u s ; MPI Request r e q u e s t ; MPI Init (argc , argv ) ; MPI Comm size (MPI COMM WORLD, p ) ; MPI Comm rank ( MPI COMM WORLD, rang ) ; i f (p==2) { // M´emoire locale de chaque processus a u t r e=1−rang ; // l’autre processus a=0; b=1; p r i n t f (” Proc . %d a u t r e=%d avant a=%f b=%f n” , rang , autre , a , b ) ; // double swap en utilisant une op´eration de communication sans variable locale tmp ! // on utilise en fait le buffer de communication pour tmp MPI Isend(a , 1 , MPI DOUBLE, autre , taga , MPI COMM WORLD, r e q u e s t ) ; MPI Isend(b , 1 , MPI DOUBLE, autre , tagb , MPI COMM WORLD, r e q u e s t ) ; p r i n t f (” Attendons avec MPI WAIT que l e s messages s o i e n t bie n p a r t i s . . . n” ) ; MPI Wait( re que st , s t a t u s ) ; // Re¸coit dans a le message avec tagb (donc la valeur de b) MPI Recv(a , 1 , MPI DOUBLE, autre , tagb , MPI COMM WORLD, s t a t u s ) ; // Re¸coit dans b le message avec taga (donc la valeur de a) MPI Recv(b , 1 , MPI DOUBLE, autre , taga , MPI COMM WORLD, s t a t u s ) ; p r i n t f (” Proc . %d apre s a=%f b=%f n” , rang , a , b ) ; } e l s e i f ( rang==0) p r i n t f (” Executez avec mpirun −np 2 mpiswap442 . exe ” ) ; M P I F i n a l i z e () ;}
- 280. taga=0; tagb=1; a=0; b=1; Isend(a,P1,taga); Isend(b,P1,tagb); MPI Wait; Recv(a,tagb); Recv(b,taga); P0 taga=0;tagb=1; a=0; b=1; Isend(a,P0,taga); Isend(b,P0,tagb); MPI Wait; Recv(a,tagb); Recv(b,taga); P1 0, taga 1, tagb1, tagb 0, taga m´emoire locale P0 m´emoire locale P1 [ france ~]$ mpirun -np 2 mpiswap442 .exe Proc . 1 autre =0 avant a =0.000000 b =1.000000 Attendons avec MPI_WAIT que les messages soient bien partis ... Proc . 0 autre =1 avant a =0.000000 b =1.000000 Attendons avec MPI_WAIT que les messages soient bien partis ... Proc . 1 apres a =1.000000 b =0.000000 Proc . 0 apres a =1.000000 b =0.000000
- 281. Alg`ebre lin´eaire enparall`ele : la r´egression Frank Nielsen 1.Les matrices en HPC-1.R´egression A6-6
- 282. La r´egression lin´eaire ◮on veut pr´edire ˆy = f (x) avec f (x) = ˆβ0 + d i=1 ˆβi xi . ◮ les observations (xi , yi ) sont dans Rd × R. Pour des classes C0 et C1 (valeurs de y), on peut encoder y = 0 ssi. xi ∈ C0 et y = 1 ssi. xi ∈ C1 ◮ on classifie avec la r´egression en ´evaluant ˆyi = f (xi ) puis en seuillant : xi ∈ C0 ssi. ˆyi 1 2 et xi ∈ C1 ssi. ˆyi ≥ 1 2 ◮ on peut augmenter l’espace des donn´ees en rajoutant une coordonn´ee x0 = 1. Ainsi x ← (x, 1) et f (x) = d i=0 ˆβi xi = x⊤ i β (d + 1 param`etres `a ´evaluer) ◮ l’erreur que l’on veut minimiser est les moindres carr´es ( Residual Sum of Squares , RSS) : ˆβ = min β n i=1 (yi − x⊤ i β)2 Frank Nielsen 1.Les matrices en HPC-1.R´egression A6-7
- 283. La r´egression lin´eaireet la classification Fronti`ere de d´ecision = hyperplan (espace affine de dimension d − 1 dans Rd ) Frank Nielsen 1.Les matrices en HPC-1.R´egression A6-8
- 284. La r´egression lin´eaireordinaire Soit X la matrice des donn´ees de dimension n × (d + 1), y le vecteur colonne de dimension n et β le vecteur param`etre de dimension d + 1. On a la somme des diff´erences au carr´e : RSS(β) = n i=1 (yi − x⊤ i β)2 = (y − Xβ)⊤ (y − Xβ) En prenant le gradient ∇βRSS(β), on trouve l’´equation dite normale ( normal equation ) : X⊤ (y − Xβ) = 0 Pour X⊤X non-singuli`ere, on trouve ˆβ minimisant les moindres carr´es par la matrice pseudo-inverse (Penrose-Moore) : ˆβ = (X⊤ X)−1 X⊤ y = X† y Frank Nielsen 1.Les matrices en HPC-1.R´egression A6-9
- 285. La r´egression lin´eaireen Scilab rand(’seed ’,getdate(’s’)) x = -30:30; a=0.8; b=5; y=a *x+b; // on perturbe avec un bruit uniforme bruit=rand(1,61,’uniform ’) -0.5; y = y+10*bruit; // regression lin´eaire en scilab [aa , bb] = reglin(x, y); plot(x, y,’r+’ ); plot(x, a*x+b,’bo -’) Frank Nielsen 1.Les matrices en HPC-1.R´egression A6-10
- 286. La r´egression lin´eaire: ordinaire ou totale x y y = a × x (x1, y1) (x2, y2) (x3, y3) ordinary regression vs. total regression Frank Nielsen 1.Les matrices en HPC-1.R´egression A6-11
- 287. Comparaison de laclassification par r´egression ou par k-PPV Classifieur sur un vecteur al´eatoire = variable al´eatoire ⇒ variance et biais Frank Nielsen 1.Les matrices en HPC-1.R´egression A6-12
- 288. Comparaison de laclassification par r´egression vs. k-PPV ◮ r´egression = bon pour interpoler et extrapoler mais mod`ele rigide avec l’hypoth`ese globale d’une fonction lin´eaire f (x) (faible complexit´e = d + 1 param`etres). ⇒ grand biais et petite variance ◮ k-PPV : mod`ele f (x) localement constant, flexible, mais grande complexit´e = d × n “param`etres”. ⇒ petit biais mais grande variance Frank Nielsen 1.Les matrices en HPC-1.R´egression A6-13
- 289. Alg`ebre lin´eaire :les briques de base ◮ des vecteurs colonnes : v = v1 ... vl ◮ des matrices (square, skinny, ou fat) : M = m1,1 ... m1,c ... ... ... ml,1 ... ml,c ◮ plusieurs types de matrices avec leur stockage m´emoire : matrices denses O(lc), matrices diagonales, matrices sym´etriques, matrices triangulaires, matrices creuses O(l + c). Alg`ebre multi-lin´eaire et tenseurs. Frank Nielsen 1.Les matrices en HPC-1.R´egression A6-14
- 290. Les op´erations/primitives enalg`ebre lin´eaire Soit l = c = d les dimensions des matrices et vecteurs. ◮ le produit scalaire v1 · v2 = v⊤ 1 × v2 : O(d) ◮ le produit matrice-vecteur M × v : O(d2) ◮ le produit matrice-matrice M1 × M2 : O(d3) ◮ la factorisation (d´ecomposition) LU M = L × U (pour r´esoudre les syst`emes lin´eaires), QR, etc. Toutes ces primitives sont impl´ement´ees dans la biblioth`eque BLAS, Basic Linear Algebra Subroutines en plusieurs niveaux http://www.netlib.org/blas/ Frank Nielsen 1.Les matrices en HPC-1.R´egression A6-15
- 291. La multiplication matricielle: un d´efi = probl`eme ouvert ! ◮ mˆeme en s´equentiel, on ne connait pas d’algorithme optimal ! ◮ borne inf´erieure : Ω(d2), nombre d’entr´ees de la matrice carr´ee r´esultat. ◮ meilleur algorithme connu `a ce jour : O(d2.3728639) , analyse fine de l’algorithme de Coppersmith et Winograd. Le Gall, Fran¸cois (2014), “Powers of tensors and fast matrix multiplication,” Proceedings of the 39th International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC 2014), arXiv:1401.7714 Frank Nielsen 1.Les matrices en HPC-1.R´egression A6-16
- 292. Diff´erents motifs pourle parall´elisme de donn´ees ◮ acc`es et transmissions des donn´ees M et v sur un cluster de machines : d´epend de la topologie du r´eseau d’interconnexion ◮ dispositions bloc-colonnes et bloc-colonne cycliques → largeur b du bloc ´el´ementaire (chaque bloc tient dans la m´emoire locale) Idem si on prend les lignes (= colonnes de la matrice transpos´ee)
- 293. Diff´erents motifs pourle parall´elisme des donn´ees Motif 2D bloc ligne-colonne , et 2D bloc ligne-colonne cyclique Damier, ´echiquier
- 294. Le produit matricevecteur sur la topologie de l’anneau orient´e
- 295. Produit matrice-vecteur surl’anneau : Bloc colonne 1D En BLAS, une op´eration de base : y ← y + Ax A(i) = Ai× n p :(i+1)× n p −1,·: sous-matrice bloc ligne de dimension n × n p y(i) ← y(i) + A(i) × x(i) = y(i) + j A[i][j] × x[j] ◮ initialement, A(i), x(i) et y(i) sont stock´es sur le processus Pi ◮ faire tourner les sous-vecteurs x(i) sur la topologie de l’anneau orient´e
- 296. Regardons la situationpour y(1) X1 X2 X3 X4 X1 X2 X3 X4 Y1 = A1,4 × X4 + A1,1 × X1 Y1 = A1,1 × X1P1 P2 P3 P4 A4,4A4,3 A1,1 A2,2 A3,3 A1,2 A1,3 A1,4 A2,1 A3,1 A4,1 A4,2 A3,2 A3,4 A2,4A2,3 A4,4A4,3 A1,1 A2,2 A3,3 A1,2 A1,3 A1,4 A2,1 A3,1 A4,1 A4,2 A3,2 A3,4 A2,4A2,3 En fond gris, les blocs qui servent aux produits locaux y(·) ← A(·, ·)x(·) + y(·)
- 297. X1 X2 X3 X4 X2 X1 X4 X3 Y1 = A1,3× X3 + A1,4 × X4 + A1,1 × X1 Y1 = A1,2 × X2 + A1,3 × X3 + A1,4 × X4 + A1,1 × X1 A4,4A4,3 A1,1 A2,2 A3,3 A1,2 A1,3 A1,4 A2,1 A3,1 A4,1 A4,2 A3,2 A3,4 A2,4A2,3 A4,4A4,3 A1,1 A2,2 A3,3 A1,2 A1,3 A1,4 A2,1 A3,1 A4,1 A4,2 A3,2 A3,4 A2,4A2,3
- 298. produitMatriceVecteur (A, x, y ) { q = Comm rank () ; // rang du processus p = Comm size () ; // nombre de processus r = n/p ; // taille des blocs f o r ( step =0; stepp ; step++) { // on envoie le bloc de x sur le prochain nœud de l’anneau send ( x , r ) ; // communication non-bloquante // calcul local : produit matrice-vecteur bloc f o r ( i =0; ir ; i++) { f o r ( j =0; jr ; j++) { y [ i ] = y [ i ] + a [ i , (q−step mod p) r + j ] ∗ x [ j ] ; } } // on re¸coit le bloc de x du processus pr´ec´edent de l’anneau r e c e i v e (temp , r ) ; x = temp ;} }
- 299. Produit matriciel parall`ele Lesalgorithmes parall`eles vont d´ependre : ◮ des motifs des donn´ees ◮ de la topologie du r´eseau d’interconnexion des machines ◮ des types d’op´erations de communications utilis´es Coˆut d’une communication entre deux nœuds voisins : Temps Message = Latence + #longeur × temps par unit´e de longeur Temps Message = α + τl ◮ on mesure α et τ en ´equivalent FLOPS ◮ efficacit´e : temps s´equentiel/(P × temps parall`ele) ◮ speed-up optimal ⇔ efficacit´e = 1 Frank Nielsen 1.Les matrices en HPC-4.Complexit´e des communications A6-24
- 300. Le produit matricielsur un cluster de machines C = A × B ◮ les ´el´ements des matrices n × n sont initialement distribu´es sur les P processus P1, ..., PP−1 ◮ on ´echange par messages des matrices blocs (rappel MPI : pas de m´emoire partag´ee globale) ◮ plusieurs motifs de d´ecompositions : ◮ blocs de lignes ◮ blocs de colonnes ◮ blocs de damiers ◮ les d´ecompositions sont en rapport avec les algorithmes et le r´eseau d’interconnexion (graphe complet, anneau, tore)
- 301. Le tore 2D ◮on consid´ere √ P ∈ N le cˆot´e de la grille torique `a√ P × √ P = P processeurs (NB : anneau = tore 1D) ◮ chaque processeur Pi peut communiquer avec ses 4 voisins : Nord, Sud, Est, Ouest
- 302. Produit matriciel C= A × B sur le tore ◮ initialement, les matrices sont stock´es par bloc avec le motif de damier (par bloc 2D) sur le tore. ◮ le processus Pi,j pour i, j ∈ {1, ..., √ P} est responsable du calcul de C(i, j) = √ P k=1 A(i, k) × B(k, j) Plusieurs fa¸cons de transmettre les matrices blocs A(·, ·), B(·, ·) et C(·, ·). → nous allons voir trois principaux algorithmes
- 303. Produit matriciel : l’algorithmede Cannon Frank Nielsen 3.Produit matriciel-1.L’algorithme de Cannon A6-28
- 304. Algorithme de Cannon: vue g´en´erale ◮ n´ecessite des op´erations de pre-skewing des matrices avant les calculs locaux et des op´erations de post-skewing apr`es ces calculs locaux ◮ les communications des sous-matrices A et B sont des rotations horizontales (←) et des rotations verticales (↑). Frank Nielsen 3.Produit matriciel-1.L’algorithme de Cannon A6-29
- 305. A0,0 B0,0 A0,0 A0,1 A0,2 A1,2A1,1A1,0 A2,0A2,1 A2,2 B0,0 B0,1 B0,2 B1,2B1,1B1,0 B2,0 B2,1 B2,2 A0,1 B0,1 A0,2 B0,2 A1,0 B1,0 A2,0 B2,0 A1,1 B1,1 A2,1 B2,1 A2,2 B2,2 A1,2 B1,2 A0,0 A0,1 A0,2 A1,2A1,1 A1,0 A2,0 A2,1A2,2 B0,0 B0,1 B0,2 B1,2 B1,1 B1,0 B2,0 B2,1 B2,2 A0,1 B1,0 A0,0A0,1 A0,2 A1,2 A1,1A1,0 A2,0 A2,1 A2,2 B0,0 B0,1 B0,2 B1,2 B1,1 B1,0 B2,0 B2,1 B2,2 A0,2 B2,1 A0,0 B0,2 A1,2 B2,0 A2,0 B0,0 A1,0 B0,1 A2,1 B1,1 A2,2 B2,2 A1,1 B1,2 Initialisation Pre-processing : Preskewing ´etape 1 : Calculs locaux Rotations ´etape 2: Calculs locaux Rotations A0,0 B0,0 A0,1 B1,1 A0,2 B2,2 A1,1 B1,0 A2,2 B2,0 A1,2 B2,1 A2,0 B0,1 A2,1 B1,2 A1,0 B0,2 Frank Nielsen 3.Produit matriciel-1.L’algorithme de Cannon A6-30
- 306. A0,2 B2,0 A0,0 A0,1A0,2 A1,2A1,1A1,0 A2,0A2,1 A2,2 B0,0 B0,1 B0,2 B1,2 B1,1 B1,0 B2,0 B2,1 B2,2 A0,0 B0,1 A0,1 B1,2 A1,0 B0,0 A2,0 B0,0 A1,1 B1,1 A2,1 B1,1 A2,0 B0,2 A1,2 B2,2 ´etape3 : Calculs locaux Rotations A0,0 A0,1 A0,2 A1,2A1,1 A1,0 A2,0 A2,1A2,2 B0,0 B0,1 B0,2 B1,2 B1,1 B1,0 B2,0 B2,1 B2,2 A0,0 B0,0 A0,1 B1,1 A0,2 B2,2 A1,1 B1,0 A2,2 B2,0 A1,2 B2,1 A2,0 B0,1 A2,1 B1,2 A1,0 B0,2 A0,0 B0,0 A0,0 A0,1 A0,2 A1,2A1,1A1,0 A2,0 A2,1 A2,2 B0,0 B0,1 B0,2 B1,2B1,1B1,0 B2,0 B2,1 B2,2 A0,1 B0,1 A0,2 B0,2 A1,0 B1,0 A2,0 B2,0 A1,1 B1,1 A2,1 B2,1 A2,2 B2,2 A1,2 B1,2 Postprocessing: Post-skewing Configuration initiale ! Frank Nielsen 3.Produit matriciel-1.L’algorithme de Cannon A6-31
- 307. // Pr´e-traitement desmatrices A et B // Preskew ← : ´el´ements diagonaux de A align´es verticalement sur la premi`ere colonne PreskewHorizontal(A); // Preskew ↑ : ´el´ements diagonaux de B align´es horizontalement sur la premi`ere ligne PreskewVertical(B); // Initialise les blocs de C `a 0 C = 0; pour k = 1 `a √ P faire C ← C+ProduitsLocaux(A,B); // d´ecalage vers la gauche ← RotationHorizontale(A); // d´ecalage vers le haut ↑ RotationVerticale(B); fin // Post-traitement des matrices A et B : op´erations inverses du pr´e-traitement // Preskew → PostskewHorizontal(A); // Preskew ↓ PostskewVertical(B); Frank Nielsen 3.Produit matriciel-1.L’algorithme de Cannon A6-32
- 308. Produit matriciel : algorithmede Fox Frank Nielsen 3.Produit matriciel-2.Algorithme de Fox A6-33
- 309. Algorithme de Fox ◮initialement, les donn´ees ne bougent pas (= pas de pr´e-traitement) ◮ diffusions horitonzales des diagonales de A (d´ecal´ees vers la droite) ◮ rotations verticales de B, de bas en haut ... appel´e aussi algorithme broadcast-multiply-roll Frank Nielsen 3.Produit matriciel-2.Algorithme de Fox A6-34
- 310. A0,0 A0,0 A0,0 A1,1A1,1A1,1 A2,2 A2,2A2,2 ´etape 1 : Diffusion A (premi`ere diagonale) Calculs locaux ´etape 1’: Rotation verticale de B A0,1 B1,0 A0,1 A0,1A0,1 A1,2A1,2A1,2 A2,0A2,0 A2,0 A0,1 B1,1 A0,1 B1,2 A1,2 B2,0 A2,0 B0,0 A1,2 B2,1 A2,0 B0,1 A2,0 B0,2 A1,2 B2,2 ´etape 2 : Diffusion A (deuxi`eme diagonale) Calcul locaux A0,0 B0,0 A0,0 B0,1 A0,0 B0,2 A1,1 B1,0 A2,2 B2,0 A1,1 B1,1 A2,2 B2,1 A2,2 B2,2 A1,1 B1,2 B0,0 B0,1 B0,2 B1,2B1,1B1,0 B2,0 B2,1 B2,2 B1,2B1,1B1,0 B2,0 B2,1 B2,2 B0,0 B0,1 B0,2 A0,0 A0,0 A0,0 A1,1A1,1 A1,1 A2,2 A2,2A2,2 B1,2B1,1B1,0 B2,0 B2,1 B2,2 B0,0 B0,1 B0,2 Frank Nielsen 3.Produit matriciel-2.Algorithme de Fox A6-35
- 311. A0,2 B2,0 A0,2 A0,2 A0,2 A1,0A1,0A1,0 A2,1A2,1 A2,1 A0,2 B2,1 A0,2 B2,2 A1,0 B0,0 A2,1 B1,0 A1,0 B0,1 A2,1 B1,1 A2,1 B1,2 A1,0 B0,2 ´etape 2’: Rotation verticale de B ´etape 3: Diffusion A (troisi`eme diagonale) Calculs locaux A0,1 A0,1A0,1 A1,2A1,2A1,2 A2,0A2,0 A2,0 B2,0 B2,1 B2,2 B0,0 B0,1 B0,2 B1,2B1,1B1,0 B2,0 B2,1 B2,2 B0,0 B0,1 B0,2 B1,2B1,1B1,0 A0,0 B0,0 A0,1 B0,1 A0,2 B0,2 A1,0 B1,0 A2,0 B2,0 A1,1 B1,1 A2,1 B2,1 A2,2 B2,2 A1,2 B1,2 ´etape 3’: Rotation verticale de B → ´etat final B0,0 B0,1 B0,2 B1,2B1,1B1,0 B2,0 B2,1 B2,2 Frank Nielsen 3.Produit matriciel-2.Algorithme de Fox A6-36
- 312. // Initialise lesblocs de C `a 0 C = 0; pour i = 1 `a √ P faire // Broadcast Diffusion de la i-i`eme diagonale de A sur les lignes de processus du tore; // Multiply C ← C+ProduitsLocaux(A,B); // Roll // Rotation verticale : d´ecalage vers le haut ↑ RotationVerticale(B); fin Frank Nielsen 3.Produit matriciel-2.Algorithme de Fox A6-37
- 313. Produit matriciel : algorithmede Snyder Frank Nielsen 3.Produit matriciel-3.Algorithme de Snyder A6-38
- 314. Produit matriciel :algorithme de Snyder ◮ initialement, on transpose B : B ← B⊤ ◮ sommes globales (reduce) sur les lignes de processeurs ◮ accumulation des r´esultats sur les diagonales principales de C (d´ecal´ees `a chaque ´etape vers la droite) ◮ rotations verticales de bas en haut A0,0 A0,1 A0,2 A1,0 A1,1 A1,2 A2,0 A2,1 A2,2 premi`ere diagonale deuxi`eme diagonale troisi`eme diagonale Frank Nielsen 3.Produit matriciel-3.Algorithme de Snyder A6-39
- 315. A0,0 A0,1 A0,2 A1,2A1,1A1,0 A2,0A2,1 A2,2 B0,0 B0,1 B0,2 B1,2B1,1B1,0 B2,0 B2,1 B2,2 Initialisation Pre-processing : Transpose B → B⊤ ´etape 1: Calculs locaux et accumulation sur la premi`ere diagonale de C B0,0 B1,1 B2,2 B1,0 B2,0 B0,2 B0,1 B2,1 B1,2 C0,0 C1,1 C2,2 B⊤ A0,0 A0,1 A0,2 A1,2A1,1 A1,0 A2,0 A2,1A2,2 A0,0 A0,1 A0,2 A1,2A1,1 A1,0 A2,0 A2,1A2,2 B0,0 B1,1 B2,2 B1,0 B2,0 B0,2 B0,1 B2,1 B1,2 Frank Nielsen 3.Produit matriciel-3.Algorithme de Snyder A6-40
- 316. ´etape 1’: Rotation verticale deB A0,0 A0,1 A0,2 A1,2A1,1 A1,0 A2,0 A2,1A2,2 B0,0 B1,0 B2,0 B1,1B0,1 B2,1 B2,2B0,2 B1,2 ´etape 2: Calculs locaux et accumulation sur la deuxi`eme diagonale de C ´etape 2’: Rotation verticale de B A0,0 A0,1 A0,2 A1,2A1,1 A1,0 A2,0 A2,1A2,2 B0,0 B1,0 B2,0 B1,1B0,1 B2,1 B2,2B0,2 B1,2 C0,1 C1,2 C2,0 A0,0 A0,1 A0,2 A1,2A1,1 A1,0 A2,0 A2,1A2,2 B0,0 B1,0 B2,0 B1,1B0,1 B2,1 B2,2B0,2 B1,2 C0,2 C1,0 C2,1 ´etape 3: Calculs locaux et accumulation sur la troisi`eme diagonale de C Frank Nielsen 3.Produit matriciel-3.Algorithme de Snyder A6-41
- 317. // Preskewing Transpose B; //Phase de calcul for k = 1 to √ P do // Produit scalaire ligne par ligne sur A et B Calcule localement par bloc : C = A × B; // On calcule les matrices blocs d´efinitives de C pour la k-i`eme diagonale // Somme globale ´equivaut au produit scalaire d’une ligne de A avec une ligne de B Somme globale de C sur les processeurs lignes pour la k-i`eme diagonale de C; D´ecalage vertical de B; end // On transpose B afin de retrouver la matrice initiale Transpose B; Frank Nielsen 3.Produit matriciel-3.Algorithme de Snyder A6-42
- 318. En r´esum´e Le produitmatriciel sur le tore : ◮ algorithme de Cannon (pr´e-processing) ◮ algorithme de Fox (broadcast-multiply-roll) ◮ algorithme de Snyder (sommes globales) Comparatif des trois algorithmes : Algorithme Cannon Fox Snyder pr´etraitement preskewing de A et B rien transposition B ← B⊤ produits matriciels en place en place sur les lignes PEs mouvements A gauche → droite diffusion horizontale rien mouvements B bas → haut bas → haut bas → haut Frank Nielsen 3.Produit matriciel-3.Algorithme de Snyder A6-43
- 319. La biblioth`eque C++ STL: g´en´ericit´e
- 320. Les classes g´en´eriquesen C++ But de la g´en´ericit´e = produire du code ind´ependant des types (instanci´es lors de l’usage): // returns 0 if equal, 1 if value1 is bigger, -1 otherwise i n t compare ( const i n t value1 , const i n t value2 ) { i f ( value1 value2 ) r e t u r n −1; i f ( value2 value1 ) r e t u r n 1 ; r e t u r n 0 ; } // returns 0 if equal, 1 if value1 is bigger, -1 otherwise i n t compare ( const s t r i n g value1 , const s t r i n g value2 ) { i f ( value1 value2 ) r e t u r n −1; i f ( value2 value1 ) r e t u r n 1 ; r e t u r n 0;} ⇒ factorisation du code puis `a la compilation, code polymorphique pour les divers types requis : g´en´eration des codes sp´ecifiques pour les types demand´es.
- 321. #i n cl u d e iostream #i n c l u d e s t r i n g // returns 0 if equal, 1 if value1 is bigger, -1 otherwise template c l a s s T i n t compare ( const T value1 , const T value2 ) { i f ( value1 value2 ) r e t u r n −1; i f ( value2 value1 ) r e t u r n 1 ; r e t u r n 0 ; } // On est gentil ici pour le compilateur : // on indique explicitement les types demand´es i n t main ( i n t argc , char ∗∗ argv ) { std : : s t r i n g h (” h e l l o ” ) , w( ” world ” ) ; std : : cout comparestd : : s t r i n g (h , w) std : : endl ; std : : cout compareint (10 , 20) std : : endl ; std : : cout comparedouble (50.5 , 5 0 .6 ) std : : endl ; r e t u r n 0;}
- 322. Inf´erence des typesdemand´es par le compilateur #i n c l u d e iostream #i n c l u d e s t r i n g // returns 0 if equal, 1 if value1 is bigger, -1 otherwise template c l a s s T i n t compare ( const T value1 , const T value2 ) { i f ( value1 value2 ) r e t u r n −1; i f ( value2 value1 ) r e t u r n 1 ; r e t u r n 0 ; } // Le compilateur doit trouver le type demande ici : // inf´erence de types i n t main ( i n t argc , char ∗∗ argv ) { std : : s t r i n g h (” h e l l o ” ) , w( ” world ” ) ; std : : cout compare (h , w) std : : endl ; std : : cout compare (10 , 20) std : : endl ; std : : cout compare (5 0 .5 , 5 0 .6 ) std : : endl ; r e t u r n 0;}
- 323. M´ecanisme de compilation ◮le compilateur ne g´en´ere pas de code directement lorsqu’il rencontre une classe/fonction template parce qu’il ne connaˆıt pas encore quelles seront les types demand´es. ◮ quand le compilateur rencontre une fonction template utilis´ee, il sait quel type est demand´e : Il instancie alors le template et compile le code correspondant ⇒ les classes/fonctions templates doivent donc se trouver dans le fichier d’en-tˆete, header .h Le m´ecanisme de template ressemble donc a une macro expansion...
- 324. fichier compare.h : #if n d e f COMPARE H #d e f i n e COMPARE H template c l a s s T i n t comp( const T a , const T b ) { i f ( a b ) r e t u r n −1; i f (b a ) r e t u r n 1 ; r e t u r n 0;} #e n d i f // COMPARE H fichier main.cpp : #i n c l u d e iostream #i n c l u d e ”compare . h” using namespace std ; i n t main ( i n t argc , char ∗∗ argv ) { cout compint (10 , 20) ; cout endl ; r e t u r n 0 ; }
- 325. Lire un fichierdans un vector de la STL Vous avez d´ej`a utilis´e la classe vector de la STL ! (tableaux dynamiques) i f s t r e a m f i n ; f i n . open ( ” f i c h i e r . t x t ” ) ; vector s t r i n g t e x t e ; s t r i n g mote ; while ( f i n mot ) { t e x t e . push back (mot ) ;} f i n . c l o s e ( ) ; ◮ La boucle while lit jusqu’`a temps de rencontrer EOF (End Of File) ◮ Les donn´ees sont des chaˆınes de caract`eres s´epar´ees par des d´elimiteurs (espace, tab, retour `a la ligne, point virgule pour les fichiers CSV, Comma-Separated Values)
- 326. STL : unecollection de structures de donn´ees Le concept fondamental est le containeur avec son iterator , le tout en template ! Structure de donn´ees nom STL #include tableau dynamique vector vector liste chaˆın´ee list list pile stack stack file queue queue arbre binaire set set table de hachage map set tas ordonn´e file de priorit´e queue Les #include sont `a faire sans le .h
- 327. La STL :structures de donn´ees g´en´eriques set s t r i n g mots ; l i s t Eleve PromoX2013 ; stack vector int nombres ; `A chaque container STL, on a un it´erateur (iterator) associ´e de type containerT::iterator set s t r i n g :: i t e r a t o r p=mots . f i n d ( ” cours ”) ; l i s t Eleve :: i t e r a t o r premier=PromoX2013 . begin () ; stack vector int :: i t e r a t o r f i n=nombres . end () ; On d´eref´erence un it´erateur comme pour un pointeur : *it
- 328. Les containeurs stockentpar valeur, pas par ref´erence ◮ quand on ins´ere un objet, le containeur va en faire une copie ◮ quand le containeur doit r´earranger les objets, il proc´ede en faisant des copies de ceux-ci. Par exemple, si on tri, ou si on ins´ere sur un containeur map, etc. ◮ si on veut ´eviter cela, il faudra donc faire des containeurs de pointeurs ! C++11 a le mot clef auto pour inf´erer directemement les types et un “foreach” (pour les curieux !) : f o r ( vector Printer :: i t e r a t o r i t = vec . begin () ; i t vec . end () ; i t ++) { cout ∗ i t endl ; } f o r ( auto i t = vec . begin () ; i t vec . end () ; i t ++) { cout ∗ i t endl ; } std : : s t r i n g s t r ( ” Bonjour INF442” ) ; f o r ( auto c : s t r ) { std : : cout c endl ; }
- 329. Fonctions membres communes`a la STL Toutes les classes containeurs ont les fonctions membres : i n t s i z e () i t e r a t o r begin () i t e r a t o r end () bool empty () Pour lister tous les ´el´ements d’un containeur, on fait : l i s t s t r i n g :: i t e r a t o r i t=maListe . begin () ; while ( i t != maListe . end () ) { cout ∗ i t endl ; i t e r ++;} Notons que end() est un ´el´ement sentinel . On ne peut pas d´eref´erencer end().
- 330. Diff´erents acc`es aux´el´ements d’un containeur ◮ pour vector, on peut acc´eder aux ´el´ements en utilisant un index [i] : vector int vec442double ; vec442 [0]=280; ... mais les crochets ne peuvent pas ˆetre utilis´es pour listint par exemple ◮ on peut rajouter un ´el´ement `a la fin d’une liste ou d’un vecteur avec push back : monVecteur . push back (2013) ; maListe . push back (2013) ; ... mais il n’ y a pas de push_back pour les ensembles (cod´es par des arbres binaires) : set int monEnsemble ; monEnsemble . push back (2013) ; // Erreur !!!
- 331. La liste (doublementchaˆın´ee) On peut ajouter `a la tˆete ou `a la queue d’une liste en temps constant : maListe . push back (2013) ; maListe . p u s h f r on t (2015) ; On peut ins´erer ou supprimer un ´el´ement avec un it´erateur : l i s t s t r i n g :: i t e r a t o r p=maListe . begin () ; p=maListe . e r a s e ( p ) ; p=maListe . i n s e r t (p , ”HPC” ) ; On peut avancer ou reculer dans une liste avec les op´erateurs unaires ++ et -- : p++; p−−; // faire attention aux d´ebordements possibles Seul b´emol : on ne peut pas directement acc´eder i-i`eme ´el´ement (cela demande de parcourir la liste, pas de crochets).
- 332. La liste doublementchaˆın´ee en STL Voir INF311/INF411 NULL NULL C++ HPC MPI liststring::iterator it=liste.find(HPC) q=it-- q=it++
- 333. Les piles etles files ◮ Piles ( stacks ) et files ( queues ) sont des sous-classes de la classe deque ◮ Une pile est une liste chaˆın´ee avec la propri´et´e Dernier Arriv´e Premier Sorti, DAPS (LIFO : Last In First Out). ◮ Une file est une liste chaˆın´ee avec la propri´et´e Premier Arriv´e Premier Sorti, PAPS (FIFO : First In First Out). ◮ On acc´ede au dernier ´el`eement au sommet de la pile ou au premier ´el´ement d’une file avec les primitives push et pop ◮ Pour les piles, on a aussi top, et pour les files front et back
- 334. Les piles :illustration stack s t r i n g S ; S . push ( ”A”) ; S . push ( ”B”) ; S . push ( ”C”) ; S . pop () ; Q. pop () ; S . push ( ”D”) ; Q. push ( ”D”) ; cout S . top () ;
- 335. Les files :illustration queues t r i n g Q; Q. push ( ”A”) ; Q. push ( ”B”) ; Q. push ( ”C”) ; Q. pop () ; Q. push ( ”D”) ; cout Q. f r o n t () Q. back () ;
- 336. Les files depriorit´e On doit d´efinir un operator . La plus grande valeur est sur le haut (max-heap, top). p r i o r i t y q u e u e int Q; Q. push (23) ; Q. push (12) ; Q. push (71) ; Q. push (2) ; cout Q. top () ; Q. pop () ; cout Q. top () ; pour la plus petite valeur (min-heap), il faut donc changer le sens s´emantique de l’op´erateur ... http://en.cppreference.com/w/cpp/language/operator_comparison
- 337. On peut trierfacilement avec une file de priorit´e... #i n c l u d e queue #i n c l u d e iostream using namespace std ; s t r u c t comparator { bool o perato r () ( i n t i , i n t j ) { r e t u r n i j ;} } ; i n t main ( i n t argc , char const ∗ argv [ ] ) { p r i o r i t y q u e u e int , std : : vector int , comparator minHeap ; minHeap . push (10) ; minHeap . push (5) ; minHeap . push (12) ; minHeap . push (3) ; minHeap . push (3) ; minHeap . push (4) ; while ( ! minHeap . empty () ) { cout minHeap . top () ” ” ; minHeap . pop () ; } r e t u r n 0;} // 12 10 5 4 3 3
- 338. Les ensembles :set (arbres binaires ´equilibr´es) On doit d´efinir operator . Toutes les valeurs sont uniques (sinon, utiliser un multiset). insert(value), erase(value), erase(iterator), iterator find(value) set s t r i n g s ; s . i n s e r t ( ” Ecole ” ) ; s . i n s e r t ( ” Polytechnique ” ) ; s . e r a s e ( ” Ecole ” ) ; cout ∗( s . f i n d ( ” Polytechnique ”) ) ;
- 339. Le hachage (map) ◮Diff´erence entre hachage ferm´e (tableau) et hachage ouvert (tableau de pointeurs sur des listes). ◮ Templates pour la clef et le type de donn´ees mapK,T. ◮ On doit d´efiniroperator pour le type K. mapint , s t r i n g monHachage ; monHachage [23121981] = ” A n n i v e r s a i r e Toto” ; monHachage [05031953] = ” A n n i v e r s a i r e T i t i ” ; . . . maps t r i n g , int monHachageRev ; monHachageRev [ ”Toto” ] = 23121981; monHachageRev [ ” T i t i ” ] = 05031953;
- 340. Le hachage (map) Lesfonctions membres pour la classe STL map : erase(iterator), erase(K clef), map_name(K key) maps t r i n g , int M; M[ ”A” ] = 23; M[ ”B” ] = 12; M[ ”C” ] = 71; M[ ”D” ] = 5; M. e r a s e ( ”D” ) ; cout M[ ”B” ] ;
- 341. La classe STLpaire `a la rescousse maps t r i n g , int maMap; pair s t r i n g , int p a i r e ( ”Tutu” , 606) ; maMap. i n s e r t ( p a i r e ) ; . . . // on cr´e´e un nouvel enregistrement en faisant aussi : maMap[ ”Tata” ] = 707; ⇒ op´erateur crochet [K]
- 342. Les temps d’acc´esaux structures de donn´ees Pour un containeur `a n ´el´ements : vecteur list set map Ins´erer/supprimer O(n) O(1) O(log n) ˜O(1) Rechercher O(n) O(n) O(log n) ˜O(1) Voir INF311/INF411.
- 343. Les it´erateurs Chaque containeurest equipp´e d’un it´erateur : container T:: i t e r a t o r i t ; i t=C. begin () ; ◮ ++ et -- pour avancer ou reculer ◮ * pour d´eref´erencer ◮ == et =! pour les tests de comparaisons Seulement dans la classe vector, on peut bouger de p ´el´ements (arithm´etique) en faisant vector T:: i t e r a t o r i t ; i t=i t+p ; i t=i t −p ;
- 344. Les it´erateurs :premier et dernier ´el´ements Le dernier ´el´ement est une sentinelle : cout ∗( L . begin () ) ; // oui, si pas vide ! cout ∗( L . end () ) ; // toujours non ! l i s t s t r i n g :: i t e r a t o r p = L . end () ; p−−; cout ∗p ; // ok, si pas vide !
- 345. La classe STLalgorithm Proc´edures (pas des m´ethodes de classe) : find, remove, count, shuffle, replace, sort, for each, min element, binary search, transform, copy, swap : i t e r = f i n d (L . begin () , L . end () , ” Cours INF442” ) ; i n t x = count (L . begin () , L . end () , ” i n s c r i t en INF442” ) ; r e p l a c e (L . begin () , L . end () , ”DEP442” , ”INF442” ) ; if : prend une fonction bool´eene utilisateur : r e p l a c e i f (L . begin , L . end () , appartient442S , ” Tutorat ”) ;
- 346.
- 347. Boost ◮ un ensemblede biblioth`eques qui se comportent bien avec la STL : http://www.boost.org/ ◮ liste des biblioth`eques de Boost : http://www.boost.org/doc/libs/ Graph BGL generic graph components MPI MPI interface in Boost style Rational rational number class Thread Portable multi-threading uBlas linear algebra for vector/matrix Xpressive regular expression Install´e dans le r´epertoire /usr/local/boost-1.56.0
- 348. Boost : labiblioth`eque uBLAS #i n c l u d e boost / numeric / ublas / matrix . hpp #i n c l u d e boost / numeric / ublas / i o . hpp using namespace std ; using namespace boost : : numeric : : ublas ; i n t main () { matrix double m (3 , 3) ; f o r ( unsigned i = 0; i m. s i z e 1 () ; ++ i ) f o r ( unsigned j = 0; j m. s i z e 2 () ; ++ j ) m ( i , j ) = i + j ∗ j ; cout m endl ; }
- 349. Boost : labiblioth`eque uBLAS alias mpiboost =’/usr/local/openmpi -1.8.3/ bin /mpic++ -I/usr/local/boost -1.56.0/ include / -L/usr/local/boost -1.56.0/ lib/ - lboost_mpi -lboost_serialization ’ mpiboost matrice442.cpp -o matrice442.exe mpirun -np 1 matrice442.exe [3 ,3]((0 ,1 ,4) ,(1,2,5) ,(2,3,6)) http://www.boost.org/doc/libs/1_58_0/libs/numeric/ublas/doc/
- 350. # i nc l u d e boost / numeric / ublas / matrix . hpp # i n c l u d e boost / numeric / ublas / i o . hpp # i n c l u d e boost / numeric / ublas / matrix . hpp using namespace boost : : numeric : : ublas ; using namespace std ; i n t main () { matrix double myMat (3 ,3 , 2 . 5 ) ; myMat (0 ,0)= myMat (2 ,2) =1.0; myMat (0 ,2)= −3.6; myMat (2 ,0) =5.9; cout ”My Mat : ” myMat endl ; cout ”Num Rows : ” myMat . s i z e 1 () endl ; cout ”Num Cols : ” myMat . s i z e 2 () endl ; cout ”My Mat Transp : ” t r a n s (myMat) endl ; cout ”My Mat Real Part : ” r e a l (myMat) endl ; myMat . r e s i z e (4 ,4) ; cout ”My Resized Mat : ” myMat endl ; r e t u r n 0;}
- 351. matrix double myMat (3 ,3 , 2. 5) ; myMat (0 ,0)= myMat (2 ,2) =1.0; myMat (0 ,2)= −3.6; myMat (2 ,0) =5.9; mpirun -np 1 matricefun442.exe My Mat :[3 ,3]((1 ,2.5 , -3.6) ,(2.5 ,2.5 ,2.5) ,(5.9 ,2.5 ,1)) Num Rows :3 Num Cols :3 My Mat Transp :[3 ,3]((1,2.5 ,5.9) ,(2.5 ,2.5 ,2.5) ,( -3.6 ,2.5 ,1)) My Mat Real Part :[3 ,3]((1 ,2.5 , -3.6) ,(2.5 ,2.5 ,2.5) ,(5.9 ,2.5 ,1)) My Resized Mat :[4 ,4]((1,2.5 , -3.6 ,3.57355e -115) ,(2.5,2.5,2.5 ,2.02567e -322) ,(5.9 ,2.5 ,1 ,0) ,(0,0,0,0))
- 352. R´esum´e A4 la classificationpar r´egression lin´eaire (et comparaison avec le classifieur k-PPV) le produit matrice-vecteur sur l’anneau orient´e produits matriciels sur le tore : algorithmes de Cannon (pre-processing), de Fox (broadcast-multiply-roll) et de Snyder (sommes globales) la g´en´ericit´e avec la biblioth`eque C++ STL la biblioth`eque Boost uBLAS Pour la prochaine fois : lire le chapitre 5 du polycopi´e
- 353. ÁÆ ¾ ÌÖØ Ñ ÒØ × ÓÒÒ × Å ×× Ú × Ä ØÖ Ô Ö ÐÐ Ð Ø Ð Ö Ù Ø ÓÒ Ñ Ò× ÓÒ Ö Ò Æ Ð× Ò Ò Ð× ÒРܺÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö ¾¼½¿ ½¿ Ñ ¾¼½
- 354. ÈÐ Ò ◮ ÙÒÔÓ ÒØ ×ÙÖ Ð ÓÙÖ× ◮ Ð ØÖ Ô Ö ÐÐ Ð ×ÙÖ ÐÙ×Ø Ö× ◮ Ð × ÓÒÒ × Ò ´ØÖ ×µ Ö Ò × Ñ Ò× ÓÒ× ÓÑ ØØÖ Ð Ù × Ö Ò × Ñ Ò× ÓÒ× Ô Ö Ð Ö Ù Ø ÓÒ Ñ Ò× ÓÒ
- 355. Ê ÔÔ Ð×ÙÖ Ð × Ó Ø × ³ÁÆ ¾ ÍÒ ÓÙÖ× ÓÒ ÒØÖ ÑÙÐØ ¹ ØØ × ÔÓÙÖ Ü Ö Ð × ÔÖ Ñ Ö × × × ◮ Ò Ø Ø ÓÒ Ù ÀÈ Ø ÙÜ Ø ◮ Ò Ø Ø ÓÒ ÙÜ × Ò × × ÓÒÒ × ◮ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ô Ö ÐÐ Ð ´×ÙÖ Ñ ÑÓ Ö ×ØÖ Ù » Ò Ñ ×× ×µ ◮ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò ·· ´ Ú Ð ËÌÄ» ÓÓ×ص Ø Ò ÅÈÁ ◮ ÙØ Ð × Ö ÙÒ ÐÙ×Ø Ö Ñ Ò × Ò Ì × ⇒ ÓÙ × Ò ¿ ÁÆ Ç Ô Ö ÓÙÖ× ÀÈ ¸ Ë Ò × ÓÒÒ ×¸ ÁÑ ¹Î × ÓÒ¹ ÔÔÖ ÒØ ×× ¸ ŠȹÁÆ Ç¸ Ø ÓÒÒ ×× Ò × Ò Ö Ð × ÙØ Ð × ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ð ÑÓÒ
- 356. ÕÙ³ÓÒ ÚÙ Ø ÕÙ³ Ð ÒÓÙ× Ö ×Ø ÚÓ Ö Ò× Ð ÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ ¸ ÓÒ ÚÙ ◮ × Ò × × ÓÒÒ × Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ ´ÔÐ Ø» Ö Ö ÕÙ µ¸ Ð ×× Ø ÓÒ ´k¹ÈÈÎ»Ö Ö ×× ÓÒµ ◮ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò ··»ÅÈÁ ÔÓÙÖ Ð Ô Ö ÐÐ Ð ×Ñ ÖÓ× Ö Ò× ´ÀÈ µ ◮ ÙÒ Ô Ù ³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ô Ö ÐÐ Ð ×ÙÖ Ð × Ñ ØÖ × Ò× ØØ × ÓÒ Ô ÖØ ¸ ÓÒ Ú ÚÓ Ö ◮ ØÖ Ô Ö ÐÐ Ð ² Ð × Ö Ò × Ñ Ò× ÓÒ× ◮ Ð × Ø Ú Å ÔÊ Ù Ò ÅÈÁ ´ Ö ÒÙÐ Ö Ø Ò µ ◮ Ð ØÓÔÓÐÓ Ô Ý× ÕÙ × ÐÙ×Ø Ö׸ Ð ØÓÔÓÐÓ ÐÓ ÕÙ × Ð ÓÖ Ø Ñ × Ô Ö ÐРР׸ Ø Ð ÙÖ× ÕÙ Ø ÓÒ× ◮ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ô Ö ÐÐ Ð ÔÓÙÖ Ð × Ö Ô × ´Ö × ÙÜ ×Ó ÙÜ Ö Ò × Ö Ô ×µ ¿¼¹½¼ ÒØ ÖÚ ÒØ ÓÒ ×ÙÖ Ð ÀÈ ÐÓÙ ¸ Öº È ØÖ Ð Ö ´ ØÓ×» ÙÐе
- 357. Ü Ñ Ò ◮Ü Ñ Ò ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ·· ´×ØÝÐ ÁÆ ¿½½»¿¾½¸ Ú ÙÒ Ô Ø Ø Ü Ö ÅÈÁµ Ì ´¾ Ñ µ¸ Ô Ð Ñ Ò ´Èŵ ◮ Ü Ñ Ò Ö Ø ¿ ´ µ ½¼ Ù Ò ◮ ÔÖÓ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ ´ÈÁ¸ ÙÐØ Ø ¸ Ö Ò Ù Ð ¾¾ Ñ µ ×ÓÙØ Ò Ò ÓÖ Ð ÆÓØ Ø ÓÒ ◮ ÒÓØ Ð ØØ Ö Ð ¾ +Ñ Ü(ÈÅ,ÈÁ) ¿ ◮ ÒÓØ Ð ×× ÒØ
- 358. Ä ØÖ ÔÖ ÐÐ Ð ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹½ºË ÕÙ ÒØ Ð ¹
- 359. ÌÖ × ÕÙÒØ Ð ØÖ ÙÐÐ Ù Ð ËÓÖØ ÌÖ Ö n ÓÒÒ × x½, ..., xn Ò ÓÖ Ö × Ò ÒØ x½ ≤ ... ≤ xn → Ò ¸ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ñ × Ø ÑÔ× ÕÙ Ö Ø ÕÙ O(n¾) 4 3 2 1 3 4 2 1 3 42 1 3 42 1 3 42 1 3 42 1 3 42 1 3 42 1 3 421 Phase 1: Le plus grand ´el´ement remonte Phase 2: Le deuxi`eme plus grand ´el´ement remonte Phase 3: Le troisi`eme plus grand ´el´ement remonte Bulle Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹½ºË ÕÙ ÒØ Ð ¹
- 360. ÌÖ × ÕÙÒØ Ð Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÉÙ ×ÓÖØ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ× Ö Ò ÓÑ × Ú Ô ÚÓØ x ◮ ÙÒ Ø Ð Ù ÙÒ Ð Ñ ÒØ ×Ø ÙÒ Ø Ð Ù ØÖ × Ø ÖÑ Ò Ð Ð Ö ÙÖ× ÓÒ ◮ × ÒÓÒ Ó × Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØ Ô ÚÓØ x¸ Ô ÖØ Ø ÓÒÒ Ö Ð Ø Ð Ù X Ò ÙÜ ×ÓÙ×¹Ø Ð ÙÜ X≤x Ø Xx¸ Ø ÔÔ Ð Ö Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ÉÙ ËÓÖØ(X) = (ÉÙ ËÓÖØ(X≤x), ÉÙ ËÓÖØ(Xx )) Ì ÑÔ× ÑÓÖØ ˜O(n ÐÓ n)¸ ˜O(n ÐÓ p) × p Ð Ñ ÒØ× ×Ø Ò Ø× ØØ ÒØ ÓÒ Ò³ÓÙ Ð Þ Ô × Ö ÙÒ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ð ØÓ Ö ´ Ò Ø ÑÔ× Ð Ò Ö µ Ú ÒØ ³ ÔÔ Ð Ö ÉÙ ËÓÖØ × ÒÓÒ ÚÓÙ× Ö ×ÕÙ Þ ÙÒ Ø ÑÔ× ÕÙ Ö Ø ÕÙ O(n¾) Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹½ºË ÕÙ ÒØ Ð ¹
- 361. Ø Ñ ÔÐ Ø Ð × × Ì Ú Ó Õ Ù Ë Ó Ö Ø ´ Ú Ø Ó Ö Ì ²Ú ¸ Ù Ò × Ò Ò Ø ÐÓÛ ¸ Ù Ò × Ò Ò Ø µ ß ´ ÐÓÛ µ Ö Ø Ù Ö Ò »» × Ð Ø ÓÒÒ Ð Ú Ð ÙÖ Ù Ô ÚÓØ Ù Ò × Ò Ò Ø Ô Ú Ó Ø Á Ò Ü ´ ÐÓÛ · µ » ¾ »» Ô ÖØ Ø ÓÒÒ Ð Ú Ø ÙÖ Ô Ú Ó Ø Á Ò Ü Ô Ú Ó Ø ´ Ú ¸ ÐÓÛ ¸ ¸ Ô Ú Ó Ø Á Ò Ü µ »» ØÖ Ð × ÙÜ ×ÓÙ×¹Ú Ø ÙÖ× Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ´ ÐÓÛ Ô Ú Ó Ø Á Ò Ü µ Õ Ù Ë Ó Ö Ø ´ Ú ¸ ÐÓÛ ¸ Ô Ú Ó Ø Á Ò Ü µ ´ Ô Ú Ó Ø Á Ò Ü µ Õ Ù Ë Ó Ö Ø ´ Ú ¸ Ô Ú Ó Ø Á Ò Ü · ½ ¸ µ Ø Ñ Ô Ð Ø Ð × × Ì Ú Ó Õ Ù Ë Ó Ö Ø ´ Ú Ø Ó Ö Ì ² Ú µ ß Ù Ò × Ò Ò Ø ÒÙÑ Ö Ð Ñ ÒØ× Ú º × Þ ´ µ ´ ÒÙÑ Ö Ð Ñ ÒØ× ½ µ Õ Ù Ë Ó Ö Ø ´ Ú ¸ ¼ ¸ ÒÙÑ Ö Ð Ñ ÒØ× − ½ µ Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹½ºË ÕÙ ÒØ Ð ¹
- 362. Ø Ñ ÔÐ Ø Ð × × Ì Ù Ò × Ò Ò Ø Ô Ú Ó Ø ´ Ú Ø Ó Ö Ì ² Ú ¸ Ù Ò × Ò Ò Ø × Ø Ö Ø ¸ Ù Ò × Ò Ò Ø × Ø Ó Ô ¸ Ù Ò × Ò Ò Ø Ô Ó × Ø Ó Ò µ ß »» ÓÒ Ò Ð Ô ÚÓØ Ú Ð ÔÓ× Ø ÓÒ Ò Ø Ð ×Û Ô ´ Ú × Ø Ö Ø ℄ ¸ Ú Ô Ó × Ø Ó Ò ℄ µ »» Ô ÖØ Ø ÓÒÒ Ð × Ú Ð ÙÖ× Ù Ò × Ò Ò Ø ÐÓÛ × Ø Ö Ø · ½ Ù Ò × Ò Ò Ø × Ø Ó Ô · ½ Û Ð ´ ÐÓÛ µ ´ Ú ÐÓÛ ℄ Ú × Ø Ö Ø ℄ µ ÐÓÛ·· Ð × ´ Ú −− ℄ Ú × Ø Ö Ø ℄ µ ×Û Ô ´ Ú ÐÓÛ ℄ ¸ Ú ℄ µ »» Ø ÓÒ Ö ¹ Ò Ð Ô ÚÓØ × ÔÐ Ò Ø Ð ×Û Ô ´ Ú × Ø Ö Ø ℄ ¸ Ú −−ÐÓÛ ℄ µ Ö Ø Ù Ö Ò ÐÓÛ Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹½ºË ÕÙ ÒØ Ð ¹½¼
- 363. »» È ØØ Ü ÑÔÐ ÑÓÒ×ØÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ñ Ò ´ µ ß Ú Ø Ó Ö Ò Ø Ú ´ ½ ¼ ¼ µ Ó Ö ´ Ò Ø ¼ ½ ¼ ¼ ··µ Ú ℄ Ö Ò ´ µ ± ¾ Õ Ù Ë Ó Ö Ø ´ Ú µ Ú Ø Ó Ö Ò Ø Ø Ö Ø Ó Ö Ø Ö Ú º Ò ´ µ Û Ð ´ Ø Ö Ú º Ò ´ µ µ ß Ó Ù Ø ∗ Ø Ö Ø Ö ·· Ó Ù Ø Ò Ö Ø Ù Ö Ò ¼ Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹½ºË ÕÙ ÒØ Ð ¹½½
- 364. Ð ÙÐ Ö Ðk¹ Ñ ÔÐÙ× Ô Ø Ø Ð Ñ ÒØ S Ç Ø Ö ÒØ Ö ÙÒ Ø ÑÔ× O(n ÐÓ n) Ò Ð ÙÐ ÒØ Ð Ñ Ò º Ø S ÙÒ Ò× Ñ Ð n = |S| ÒÓÑ Ö ×¸ k ∈ N Ê ×ÙÐØ Ê ØÓÙÖÒ Ð k¹ Ñ Ð Ñ ÒØ S n ≤ Ø Ò »» × Ø ÖÑ Ò Ð Ð Ö ÙÖ× Ú Ø ØÖ Ö S Ø Ö ØÓÙÖÒ Ö Ð k¹ Ñ Ð Ñ ÒØ Ð× Ú × Ö S Ò ⌈n ⌉ ÖÓÙÔ × »» Ä ÖÒ Ö ÖÓÙÔ ´ ÓÑÔРص ÓÙ n ÑÓ Ð Ñ ÒØ× Ð ÙÐ Ö Ð × Ñ Ò × × ÖÓÙÔ × M = {m½, ..., m⌈ n ⌉} »» Ð ÙÐ Ù Ô ÚÓØ x¸ Ð Ñ Ò x ← Ë Ä Ì(M, ⌈n ⌉, ⌊ ⌈ n ⌉+½ ¾ ⌋) È ÖØ Ø ÓÒÒ Ö S Ò ÙÜ ×ÓÙ×¹ Ò× Ñ Ð × L = {y ∈ S : y ≤ x} Ø R = {y ∈ S : y x} k ≤ |L| Ø Ò Ö ØÙÖÒ Ë Ä Ì(L, |L|, k) Ð× Ö ØÙÖÒ Ë Ä Ì(R, n − |L|, k − |L|) Ò Ò ⇒ Ø ÑÔ× Ø ÖÑ Ò ×Ø Ð Ò Ö ´ÓÖ Ö ×Ø Ø ×Ø ×µ Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹½ºË ÕÙ ÒØ Ð ¹½¾
- 365. ÌÖ × ÕÙÒØ Ð ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ ÔÓÙÖ ØÖ Ö n ÒÓÑ Ö × ×ÙÖ Ð ÑÓ Ð ÓÑÔ Ö ×ÓÒ׺ Ö Ö × ÓÒ (a1, a2, a3) (a2, a1, a3) (a1, a3, a2) (a3, a1, a2) (a2, a3, a1) (a3, a2, a1) a1 ? ≤ a2 a2 ? ≤ a3 a1 ? ≤ a3 a1 ? ≤ a3 a1 ? ≤ a2 1 0 0 0 0 01 1 11
- 366. ÌÖ × ÕÙÒØ Ð ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ ◮ ÙÒ Ö Ö Ò Ö n Ù ÐÐ × ×Ø ÙØ ÙÖ Ñ Ò Ñ Ð h ≥ ÐÓ ¾ n ◮ ÔÙ ×ÕÙ³ÓÒ n! Ù ÐÐ × ´Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ×µ¸ Ò ÙØ Ð × ÒØ Ð ÓÖÑÙÐ ËØ ÖÐ Ò n! ∼ √ ¾πn(n e )n¸ ÓÒ Ò Ù Ø ÕÙ h ≥ ÐÓ ¾ n! = O(n ÐÓ n) ÌÖ Ö Ñ Ò ÓÒ h = Ω(n ÐÓ n) ÓÔ Ö Ø ÓÒ× ÓÑÔ Ö ×ÓÒº ÅÓ Ð Ð ÙÐ ÑÔÓÖØ ÒØ Ø ÖÑ Ò ×Ø ×ÓÖØ Ò Ò O(n ÐÓ ÐÓ n) Ø Ñ Ò Ð Ò Ö ×Ô ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ð ÓÖ Ø Ñ× Ó Ò Ø ÓÒ¸ ÁÒ ÓÖÑ Ø × Ò ÄÓ ¼ ´½µ ½¼ ´ÁÒØ Ö ×ÓÖØ Ò µ
- 367. È Ö ÐÐÐ × Ö Å Ö ËÓÖØdiviseleslistesfusionneleslistes 4 2 7 8 5 1 3 6 4 2 7 8 5 1 3 6 4 2 7 8 5 1 3 6 4 2 7 8 5 1 3 6 42 7 8 51 3 6 42 7 8 51 3 6 42 7 851 3 6 P0 P0 P4 P4 P6 P6 P7P4 P5 P0 P0 P1 P2 P3 P2 P4 P6P0 P2 P0 P4 P0 Ù× ÓÒÒ Ö × Ð ×Ø × ØÖ × Ø ÑÔ× Ð Ò Ö Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹¿ºÅ Ö ËÓÖØ // ¹½
- 368. Å Ö ËÓÖØ× ÕÙ ÒØ Ð» Ô Ö ÐÐ Ð Ò ÐÝ× Ð ÓÑÔÐ Ü Ø ◮ Ø ÑÔ× × ÕÙ ÒØ Ð T× Õ = O( ÐÓ n i=½ ¾ i n ¾i ) = O(n ÐÓ n) ◮ Ø ÑÔ× Ô Ö ÐÐ Ð TÔ Ö = O(¾ ÐÓ n i=¼ n ¾i ) = O(n) ÔÙ ×ÕÙ n k=¼ qk = ½−qn+½ ½−q ÆÓØÓÒ× ÕÙ³ Ú P ÔÖÓ ××Ù׸ Ð ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ Ù ØÖ Ô Ö ÐÐ Ð ×Ø Ω ( n P ÐÓ n)º Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹¿ºÅ Ö ËÓÖØ // ¹½
- 369. Ð ÓÖ ØÑ Ô Ö ÐÐ Ð × ×ÙÖ Ð Ö Ò Ê Ò ËÓÖØ ËÓ Ø ÙÒ Ø Ð Ù X[¼], ..., X[n − ½] × Ð Ö × ØÖ Öº ½º ÈÓÙÖ ÕÙ ÓÒÒ X[i]¸ ÓÒ Ð ÙÐ ×ÓÒ Ö Ò R[i] = |{X[j] ∈ X : X[j] X[i]}| Ä ÔÐÙ× Ô Ø Ø Ð Ñ ÒØ Ö Ò ¼ Ø Ð ÔÐÙ× Ö Ò Ö Ò n − ½ ¾º ÇÒ Ö Ò Ò× Ð ÒÓÙÚ Ù Ø Ð Ù Y Y [R[i]] = X[i] ◮ г Ø Ô ½ ×Ø Ð Ñ ÒØ Ô Ö ÐÐ Ð ´×ÙÖ P = n Ò Ù ×µ ÓÒ Ð ÙÐ Ð ÔÖ Ø X[j] X[i] ?, ∀j Ø ÓÒ Ö Ð × ¼ ´ Ùܵ Ø Ð × ½ ´ÚÖ ×µ R[i] = n−½ j=¼ ½[X[j]X[i]] ÈÖ Ø ÓÓÐ Ò ÓÒÚ ÖØ Ò ¼ ÓÙ ½ ◮ ÓÒ ×ÙÔÔÓ× Ð × Ð Ñ ÒØ× ×Ø Ò Ø× ◮ Ò ÓÒÚ Ò ÒØ Ñ Ò × Ø Ð ÙÜ ÙÜ Ð Ö × R Ø Y Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÌÖ Ô Ö ÐÐ Ð Ô Ö Ö Ò Ê Ò ËÓÖØ ¹½
- 370. Ä ØÖ ÊÒ ËÓÖØ Ó Ö ´ ¼ Ò ··µ ß »» ÔÓÙÖ ÕÙ ÒÓÑ Ö Ö Ò ¼ Ó Ö ´ ¼ Ò ··µ ß »» ÓÒ ÓÑÔØ Ð × ÒÓÑ Ö × ÔÐÙ× Ô Ø Ø× ÕÙ ÐÙ ´ ℄ ℄ µ ß Ö Ò ·· »» ÔÙ × ÓÒ Ð Ö ÓÔ Ð ÔÐ ×ÓÒ Ö Ò Ò× Ð ÒÓÙÚ Ù Ø Ð Ù ℄ Ö Ò ℄ ℄ ◮ Ø ÑÔ× × ÕÙ ÒØ Ð T× Õ = O(n¾) ◮ Ø ÑÔ× Ô Ö ÐÐ Ð TÔ Ö = O(n) ÕÙ Ò P = n ´ Ð ÙÐ Ò Ô Ò ÒØ ÔÓÙÖ ÕÙ Ö Ò µ Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÌÖ Ô Ö ÐÐ Ð Ô Ö Ö Ò Ê Ò ËÓÖØ ¹½
- 371. Ê Ò ËÓÖØÚ P = n¾ ÔÖÓ ××Ù× ◮ ÓÒ ÙØ Ð × n ÔÖÓ ×× ÙÖ× ÔÓÙÖ ØÖÓÙÚ Ö Ð Ö Ò ³ÙÒ × ÙÐ Ð Ñ ÒØ ººº È Ö Ü ÑÔÐ ¸ ÔÓÙÖ n Ô Ø Ø¸ ÓÒ Ô ÙØ ÙØ Ð × Ö Ð³ÙÒ Ø Ð ÙÐ Ö Ô ÕÙ ´ È͸ Ö Ô Ð ÈÖÓ ×× Ò ÍÒ Øµ ◮ Ò Ð ÙÐ ÒØ ÙÒ ×ÓÑÑ ÐÓ Ð ´ Ð ÅÈÁ Ê Ù »ÅÈÁ ËÙѵ ++ + a[i] a[0] a[1] a[2] a[3]a[i] a[i] a[i] 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1/2 0/1/2 0/1/2/3/4 comparaison r´eduction ÇÒ ×ÙÔÔÓ× ÕÙ Ð Ö Ù × Ø Ò Ø ÑÔ× ÐÓ Ö Ø Ñ ÕÙ Ô Ò Ð ØÓÔÓÐÓ Ù Ö × Ù ³ ÒØ Ö ÓÒÒ Ü ÓÒ → ÎÖ ÔÓÙÖ Ð³ ÝÔ Ö Ù Ñ Ò× ÓÒ ÐÓ n¸ ÙÜ ÔÓÙÖ ÙÒ ÒÒ Ùº TÔ Ö = O(ÐÓ n) ÚÓ Ö Ò O(½) ÔÓÙÖ Ð ØÓÔÓÐÓ Ð Ð ÕÙ º Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÌÖ Ô Ö ÐÐ Ð Ô Ö Ö Ò Ê Ò ËÓÖØ ¹½
- 372. ÉÙ ËÓÖØÒ Ô Ö ÐÐ Ð ◮ ×Ó Ø P ÔÖÓ ××Ù× ◮ Ò Ø Ð Ñ Òظ ÓÒ ×ÙÔÔÓ× Ð × ÓÒÒ × ×ØÖ Ù × ×ÙÖ Ð × Ñ Ò ×»ÔÖÓ ××Ù× ◮ ØÖ × Ò ÒØ × ÓÒÒ × ×ØÓ × ÐÓ Ð Ñ ÒØ Ò× P¼, ..., PP−½ È Ö ÐÐ Ð ÉÙ ËÓÖØ ◮ Ó Ü Ð ØÓ Ö Ù Ô ÚÓØ x Ø Ù× ÓÒ ´ ÖÓ ×ص ØÓÙ× Ð × ÙØÖ × ÔÖÓ ××Ù× ◮ ÕÙ ÔÖÓ ××Ù× Pp Ô ÖØ Ø ÓÒÒ ×ÓÒ Ø Ð Ù Ò ÙÜ ×ÓÙ×¹Ø Ð ÙÜ Xp ≤ Ø Dp Ò ÙØ Ð × ÒØ Ð Ô ÚÓØ x ◮ ÕÙ ÔÖÓ ××Ù× ×ÙÔ Ö ÙÖ p ≥ P/¾ ÒÚÓ × Ð ×Ø Ò Ö ÙÖ Xp ≤ ÙÒ ÔÖÓ ××Ù× Ô ÖØ Ò Ö p′ = p − P/¾ ≤ P/¾¸ Ø Ö Ó Ø Ò Ö ØÓÙÖ ÙÒ Ð ×Ø ×ÙÔ Ö ÙÖ Xp′ ¸ Ø Ö ÔÖÓÕÙ Ñ Òغ ◮ Ð × ÔÖÓ ××Ù× × × Ô Ö ÒØ Ò ÙÜ ÖÓÙÔ ×¸ Ø ÓÒ ÔÔÐ ÕÙ Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ◮ × Ø ÖÑ Ò Ð ÕÙ ÔÖÓ ××Ù× ØÖ ×ÓÒ Ô ÕÙ Ø ´Ô Ö Ü ÑÔÐ ¸ Ú ÉÙ ×ÓÖØ × ÕÙ ÒØ Ðµ Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÉÙ ×ÓÖØ Ô Ö ÐÐ Ð ¹¾¼
- 373. ÁÐÐÙ×ØÖ Ø ÓÒÉÙ ×ÓÖØ Ò Ô Ö ÐÐ Ð »È Ö ÐÐ Ð ÉÙ ËÓÖØ ´½µ Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÉÙ ×ÓÖØ Ô Ö ÐÐ Ð ¹¾½
- 374. ÁÐÐÙ×ØÖ Ø ÓÒÉÙ ×ÓÖØ Ò Ô Ö ÐÐ Ð »È Ö ÐÐ Ð ÉÙ ËÓÖØ ´¾µ Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÉÙ ×ÓÖØ Ô Ö ÐÐ Ð ¹¾¾
- 375. ÁÐÐÙ×ØÖ Ø ÓÒÉÙ ×ÓÖØ Ò Ô Ö ÐÐ Ð »È Ö ÐÐ Ð ÉÙ ËÓÖØ ´¿µ Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÉÙ ×ÓÖØ Ô Ö ÐÐ Ð ¹¾¿
- 376. ÁÐÐÙ×ØÖ Ø ÓÒÉÙ ×ÓÖØ Ò Ô Ö ÐÐ Ð »È Ö ÐÐ Ð ÉÙ ËÓÖØ ´ µ Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÉÙ ×ÓÖØ Ô Ö ÐÐ Ð ¹¾
- 377. È Ö ÐÐÐ ÉÙ ËÓÖØ ÙÒ Ö ×ÙÑ ◮ Ð × ÔÖÓ ××Ù× P/¾ ÓÒØ × Ú Ð ÙÖ× ×ÙÔ Ö ÙÖ × Ù Ô ÚÓظ Ø Ð × ÔÖÓ ××Ù× P/¾ ÓÒØ × Ú Ð ÙÖ× ÔÐÙ× Ô Ø Ø × ◮ ÔÖ × ÐÓ P ÔÔ Ð× Ö ÙÖ× × ´P ×Ø ÙÒ ÔÙ ×× Ò ¾µ¸ ÕÙ ÔÖÓ ××Ù× ÙÒ Ð ×Ø Ú Ð ÙÖ× ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ × Ó ÒØ × ÙØÖ × ◮ Ð ÔÐÙ× Ö Ò Ú Ð ÙÖ Pi ×Ø Ò Ö ÙÖ Ð ÔÐÙ× Ô Ø Ø Ú Ð ÙÖ Pi+½ ◮ × Ø ÖÑ Ò Ð Ð Ö ÙÖ× Ú Ø ÕÙ ÔÖÓ ××Ù× ØÖ ×ÓÒ Ô ÕÙ Ø ´Ô Ö Ü ÑÔÐ ¸ Ú ÉÙ ×ÓÖØ × ÕÙ ÒØ Ðµ ÁÒ ÓÒÚ Ò ÒØ ØÖ Ú Ð ÒÓÒ¹ ÕÙ Ð Ö × ÔÖÓ ××Ù× ´ ÐÓ Ñ Ð Ò µ Ö Ô Ò × Ô ÚÓØ× Ó × × Ø Ù× ×º ⇒ ÓÒ Ö Ö × Ð ÓÖ Ø Ñ × ØÖ Ô Ö ÐÐ Ð Ú ÙÒ Ñ ÐÐ ÙÖ ÕÙ Ð Ö Ö Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÉÙ ×ÓÖØ Ô Ö ÐÐ Ð ¹¾
- 378. ÀÝÔ ÖÕÙ ×ÓÖØ ◮ Ð × ÔÖÓ ××Ù× ÓÑÑ Ò ÒØ Ô Ö ÙÒ ÉÙ ×ÓÖØ × ÕÙ ÒØ Ð ×ÙÖ n P ÓÒÒ × ˜O( n P ÐÓ n P )º ◮ Ð ÔÖÓ ××Ù× Ö ×ÔÓÒ× Ð Ù Ó Ü Ù Ô ÚÓØ Ó × Ø Ð Ñ Ò ×ÓÒ Ø Ð Ù ØÖ Ò Ü n ¾P ◮ Ð ÔÖÓ ××Ù× Ô ÚÓØ Ù× ´ ÖÓ ×ص Ð Ô ÚÓØ ÙÜ ÙØÖ × ÔÖÓ ××Ù× ×ÓÒ ÖÓÙÔ ◮ Ð × ÔÖÓ ××Ù× Ô ÖØ Ø ÓÒÒ ÒØ Ò ÙÜ ×ÓÙ׹Р×Ø × D≤ Ø D Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ù Ô ÚÓØ ◮ Ò × × Ð ×Ø × × ÔÖÓ ××Ù× Ô ÖØ Ò Ö × ◮ ×ÙÖ ÕÙ ÔÖÓ ××Ù׸ ÓÒ Ù× ÓÒÒ × × ÙÜ ×ÓÙ׹Р×Ø × ØÖ × Ò ÙÒ Ð ×Ø ØÖ ´ Ù× ÓÒ Ð ×Ø Ø ÑÔ× Ð Ò Ö µ ◮ ÔÔ ÐÐ Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ×ÙÖ Ð × ÔÖÓ ××Ù× ×ÓÒ ÖÓÙÔ º Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÀÝÔ ÖÕÙ ×ÓÖØ ¹¾
- 379. ÀÝÔ ÖÕÙ ×ÓÖØ ÁÒ Ø Ð × Ø ÓÒ ´½µ Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÀÝÔ ÖÕÙ ×ÓÖØ ¹¾
- 380. ÀÝÔ ÖÕÙ ×ÓÖØ Ó Ü Ù Ô ÚÓØ ´¾µ Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÀÝÔ ÖÕÙ ×ÓÖØ ¹¾
- 381. ÀÝÔ ÖÕÙ ×ÓÖØ Ô ÖØ Ø ÓÒ × ÓÒÒ × Ú ´¿µ Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÀÝÔ ÖÕÙ ×ÓÖØ ¹¾
- 382. ÀÝÔ ÖÕÙ ×ÓÖØ Ò × Ð ×Ø × ´ µ Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÀÝÔ ÖÕÙ ×ÓÖØ ¹¿¼
- 383. ÀÝÔ ÖÕÙ ×ÓÖØ Ð ×Ø × Ò × ´ µ Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÀÝÔ ÖÕÙ ×ÓÖØ ¹¿½
- 384. ÀÝÔ ÖÕÙ ×ÓÖØ Ù× ÓÒ × Ð ×Ø × ´ µ Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÀÝÔ ÖÕÙ ×ÓÖØ ¹¿¾
- 385. ÀÝÔ ÖÕÙ ×ÓÖØ Ö ÙÖ× Ú Ø ×ÙÖ Ð × ÖÓÙÔ × → È ÚÓØ ||½ ´ µ Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÀÝÔ ÖÕÙ ×ÓÖØ ¹¿¿
- 386. ÀÝÔ ÖÕÙ ×ÓÖØ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ø Ò ´ µ Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÀÝÔ ÖÕÙ ×ÓÖØ ¹¿
- 387. ÀÝÔ ÖÕÙ ×ÓÖØ Ð ×Ø Ò × ´ µ Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÀÝÔ ÖÕÙ ×ÓÖØ ¹¿
- 388. ÀÝÔ ÖÕÙ ×ÓÖØ Ù× ÓÒ × ×ÓÙ׹Р×Ø × ØÖ × ´½¼µ Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÀÝÔ ÖÕÙ ×ÓÖØ ¹¿
- 389. ÀÝÔ ÖÕÙ ×ÓÖØ Ò ÐÝ× Ð ÓÑÔÐ Ü Ø ÀÝÔÓØ × × ◮ Ø ÑÔ× ÑÓÖØ ÑÓÝ Ò ◮ Ð × Ð ×Ø × ×ÓÒØ ×ÙÔÔÓ× × ÕÙ Ð Ö × ´ Ô Ù ÔÖ ×µ ◮ Ð × Ø ÑÔ× ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ×ÓÒØ ÓÑ Ò × Ô Ö Ð × Ø ÑÔ× ØÖ Ò×Ñ ×× ÓÒ ´Ð × Ø ÑÔ× Ð Ø Ò ×ÓÒØ ÒÓÖ ×µ Ò ÐÝ× ◮ ÉÙ ×ÓÖØ Ò Ø Ð ˜O( n P ÐÓ n P ) ◮ ÓÑÔ Ö ×ÓÒ× ÔÓÙÖ Ð × ÐÓ P Ø Ô × Ù× ÓÒ ˜O( n P ÐÓ P) ◮ Ó Ø ÔÓÙÖ Ð × ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× ÔÓÙÖ Ð × ÐÓ P Ò × ×ÓÙ׹Р×Ø × ˜O( n P ÐÓ P) Ì ÑÔ× Ô Ö ÐÐ Ð ÐÓ Ð ˜O( n P ÐÓ (P + n)) Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÀÝÔ ÖÕÙ ×ÓÖØ ¹¿
- 390. ÈËÊË È ÖÐÐ Ð ËÓÖØ Ò Ý Ê ÙÐ Ö Ë ÑÔÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ØÖ Ò Ô × × Ê Ñ ÖÕÙ P Ò³ ×Ø Ô × Ò ×× Ö Ñ ÒØ ÙÒ ÔÙ ×× Ò ¾ ½º ÕÙ ÔÖÓ ××Ù× Pi ØÖ Ú ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ × ÕÙ ÒØ Ð ´ÉÙ ËÓÖص × × ÓÒÒ × ÐÓ Ð ×¸ Ø Ó × Ø Ð × Ð Ñ ÒØ× ÙÜ ÔÓ× Ø ÓÒ× Ö ÙÐ Ö × ¼, n P¾ , ¾n P¾ , ..., (P − ½)n P¾ → ÒØ ÐÐÓÒÒ Ö ÙÐ Ö × × ÓÒÒ × ØÖ × ¾º ÙÒ ÔÖÓ ××Ù× Ö ×× Ñ Ð ´ Ø Öµ Ø ØÖ ØÓÙ× × ÒØ ÐÐÓÒ× Ö ÙÐ Ö׸ ÔÙ × × Ð Ø ÓÒÒ P − ½ Ô ÚÓØ׺ Ä ÔÖÓ ××Ù× Ù× ´ ÖÓ ×ص ÐÓÖ× × P − ½ Ô ÚÓØ׸ Ø ÕÙ ÔÖÓ ××Ù× Ô ÖØ Ø ÓÒÒ × Ð ×Ø ØÖ Ò P ÑÓÖ ÙÜ ¿º ÐйØÓ¹ ÐÐ »ØÓØ Ð Ü Ò ÕÙ ÔÖÓ ××Ù× Pi Ö × i¹ Ñ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ø ÒÚÓ Ð j¹ Ñ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ù ÔÖÓ ××Ù× j¸ ∀j = i º ÕÙ ÔÖÓ ××Ù× Ù× ÓÒÒ × × P Ô ÖØ Ø ÓÒ× Ò ÙÒ Ð ×Ø Ò Ð ØÖ º Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÈ Ö ÐÐ Ð ËÓÖØ Ò Ý Ê ÙÐ Ö Ë ÑÔÐ Ò ¹¿
- 391. 0 124 5789 101112 131415 1617 6 3 0 3 9 15 4 11 14 0 2 8 P0 P1 P2 0 2 4 8 9 11 143 15 4 11 63 9 12 15 17 4 11 4 7 11 13 14 16 21 5 8 10 4 11 0 4 11 63 9 12 15 17 3 4 7 11 13 14 16 4 0 21 5 8 10 1 2 6 9 7 11 5 8 10 ∅ 12 15 17 13 14 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4 11 ´etape 1 : tri et ´echantillonnage r´egulier ´etape 2 : rassemblement (gather) choix de P − 1 pivots ´etape 3 : partition et comm´erage (all-to-all) ´etape 4 : fusion des P sous-listes sur chaque processus tableau vide P0 P1 P2 P0 P1 P2 P0 P1 P2 P0 P1 P2 P − 1 pivots tableau tri´e tableau `a trier Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÈ Ö ÐÐ Ð ËÓÖØ Ò Ý Ê ÙÐ Ö Ë ÑÔÐ Ò ¹¿
- 392. Ö Ò ÆÐ× Ò ½ºÌÖ ¹ ºÈ Ö ÐÐ Ð ËÓÖØ Ò Ý Ê ÙÐ Ö Ë ÑÔÐ Ò ¹ ¼
- 393. ÌÖ Ô ÖØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× ³ Ð Ñ ÒØ× Ô Ö ×» ÑÔ Ö × Ê × ÙÜ ØÖ × ◮ Ð ÔÖ Ò Ô Ö ÔÓ× ×ÙÖ Ð ØÖ Ù Ð ËÓÖØ ◮ ÙÜ Ø Ô × Ð Ñ ÒØ Ö × ◮ Ô × Ô Ö ÓÑÔ Ö ×ÓÒ Ø Ò ´×Û Ôµ × Ô Ö × Ô Ö × (X[¼], X[½]), (X[¾], X[¿]), .... ◮ Ô × ÑÔ Ö ÓÑÔ Ö ×ÓÒ Ø Ò ´×Û Ôµ × Ô Ö × ÑÔ Ö × (X[½], X[¾]), (X[¿], X[ ]), .... ◮ ØÖ ÓÑÔÐ Ø Ò ÔÖ × n Ô × × Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹ ½
- 394. 18 15 2210 23 11 10 10 10 15 15 15 15 15 11 11 11 11 11 23 23 23 23 23 22 22 22 22 2218 18 18 18 18 10 10 phase paire phase impaire phase paire phase paire phase impaire entr´ee Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹ ¾
- 395. Ò Ö Ð× Ö Ð ØÖ Ô Ö» ÑÔ Ö Ò ÖÓÙÔ × ◮ ØÖ Ö Ð × n/P Ð Ñ ÒØ× ÕÙ ÖÓÙÔ »ÔÖÓ ××Ù× ´ÉÙ ËÓÖØ × ÕÙ ÒØ Ðµ ◮ ÒÚÓÝ Ö»Ö ÚÓ Ö ´× Ò »Ö Ú µ Ð × Ð Ñ ÒØ× × Ô Ö × ÔÖÓ ××Ù× ◮ × Ð Ö Ò Ù ÔÖÓ ××Ù× ×Ø Ò Ö ÙÖ ÐÙ × Ô Ö ¸ ÐÓÖ× Ö Ö Ð × Ú Ð ÙÖ× Ð × ÔÐÙ× Ô Ø Ø ×¸ × ÒÓÒ Ö Ö Ð × Ú Ð ÙÖ× Ð × ÔÐÙ× Ö Ò ×º ◮ Ê Ô Ø Ö Ò× n/P Ó × → Ö ÒÙÐ Ö Ø P = ¾ P = n Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹ ¿
- 396. Ò Ö Ð× Ö Ð ØÖ Ô Ö × Ô Ö» ÑÔ Ö Ò ÖÓÙÔ × Configuration initiale Configuration apr`es les tris locaux Phase 1(pair) Phase 2 (impair) Phase 3 (pair) Phase 4 (impair) 15, 11, 9, 16 3, 14, 8, 7 4, 6, 12, 10 5, 2, 13, 1 9, 11, 15, 16 3, 7, 8, 14 4, 6, 10, 12 1, 2, 5, 13 3, 7, 8, 9 11, 14, 15, 16 1, 2, 4, 5 6, 10, 12, 13 3, 7, 8, 9 1, 2, 4, 5 11, 14, 15, 16 6, 10, 12, 13 1, 2, 3, 4 5, 7, 8, 9 6, 10, 11, 12 13, 14, 15, 16 1, 2, 3, 4 5, 6, 7, 8 9, 10, 11, 12 13, 14, 15, 16 Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹
- 397. Ò ÐÝ× Ð ÓÑÔÐ Ü Ø ◮ ØÖ Ò Ø Ð O( n P ÐÓ n P ) ◮ Ö P Ô × × ◮ ØÖ Ö Ð × ÔÐÙ× Ô Ø Ø × Ø Ö Ò × Ú Ð ÙÖ× Ò× ÕÙ Ô × O( n P ) ´ Ù× ÓÒÒ Ö Ð × Ð ×Ø × Ø Ö Ö Ð ÑÓ Ø ÓÒ ÖÒ µ ◮ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× O( n P ) ´ и × Ò× Ø ÑÔ× Ð Ø Ò µ ◮ ÓÑÔÐ Ü Ø ÐÓ Ð O( n P ÐÓ n P + n) ººº Ô × ØØÖ Ø ººº ◮ Ñ × ÒØ Ö ×× ÒØ ×ÙÖ ÙÒ Ö × Ù ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ò ÒÒ Ù Ö Ø ÓÒÒ Ð ººº Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹
- 398. Ä × ÐÓÖ Ø Ñ × ØÖ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÙÒ Ö ×ÙÑ ÇÒ ØÙ × Ð ÓÖ Ø Ñ × ×Ø Ò Ö × ÔÓÙÖ Ð ØÖ ◮ Ê Ò ËÓÖØ ◮ È Ö ÐÐ Ð ÉÙ ËÓÖØ ◮ ÀÝÔ ÖÕÙ ×ÓÖØ ◮ È Ö ÐÐ Ð ËÓÖØ Ò Ý Ê ÙÐ Ö Ë ÑÔÐ Ò ´ÈËÊ˵ ◮ Ç ¹ Ú Ò ÌÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ ËÓÖØ Ä Ô Ö ÓÖÑ Ò Ò ÔÖ Ø ÕÙ Ô Ò Ù×× × ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× → Ô Ò Ð ØÓÔÓÐÓ Ù Ö × Ù ³ ÒØ Ö ÓÒÒ Ü ÓÒ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹
- 399. Ê Ù Ø ÓÒÑ Ò× ÓÒ Ú Ð Ø ÓÖ Ñ ÂÓ Ò×ÓÒ¹Ä Ò Ò×ØÖ Ù×× Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹
- 400. Ä Ù ×Ö Ò × Ñ Ò× ÓÒ× ÙÖ× Ó Ñ Ò× ÓÒ Ð ØÝ ´ ÐÐÑ Ò¸ ÒÚ ÒØ ÙÖ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÝÒ Ñ ÕÙ µ ◮ Ø × Ð ÓÖ Ø Ñ × Ô Ò Ð Ñ Ò× ÓÒ d × ØØÖ ÙØ× ◮ Ð ÙÐ ×Ø Ò × ÓÙ × Ñ Ð Ö Ø × Ò Ω(d) ◮ Ð ÓÖ Ø Ñ × Ø ×ØÖÙ ØÙÖ × ÓÒÒ × ×ÓÙÚ ÒØ Ú ÙÒ ÓÒ×Ø ÒØ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ò d Ò× Ð ÒÓØ Ø ÓÒ O(·) Od (½)º ◮ Ð Ú ×Ù Ð × Ö Ð × ÓÒÒ × Ò Ö Ò × Ñ Ò× ÓÒ× Ù ÓÙÖ ³ Ù ¸ Ò× Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ × ÓÒÒ × ◮ ØÖ × ÓÙÖ ÒØ ØÖ Ú ÐÐ Ö Ò Ñ Ò× ÓÒ ½¼¼¼ Ø ÔÐÙ× ◮ × Ù×× Ó d ≫ n ´ Ñ Ò× ÓÒ ÒØÖ Ò× ÕÙ » ÜØÖ Ò× ÕÙ µ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹
- 401. × Ô ÒÓÑÒ × ÒÓÒ¹ ÒØÙ Ø × Ò Ö Ò × Ñ Ò× ÓÒ× ◮ ÚÓÐÙÑ Ð ÐÐ Ò× Ö Ø Ò× Ð Ù ÙÒ Ø Ø Ò Ú Ö× Þ ÖÓ Bd = π d ¾ Γ(d ¾ + ½) rd , r = ½ ¾ ◮ Ö ÐÐ Ö ÙÐ Ö Rd Ò l ×ÓÙ×¹ Ú × ÓÒ× Ô Ö Ø Ô ÖØ Ø ÓÒÒ Ð³ ×Ô Ò ld ÝÔ Ö Ù × ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò d ´ld = ed ÐÓ l µº ij ÔÔÖÓ Ð Ö ÐÐ ÔØ Ø Ú Ò Ô ÖÑ Ø Ô × ÒÓÒ ÔÐÙ× Ô ×× Ö Ð³ ÐÐ ººº ◮ ÒØ Ö Ø ÓÒ ×ØÓ ×Ø ÕÙ Ð ÅÓÒØ ¹ ÖÐÓ ´ ≈ µ Ú ÒØ ÒÙØ Ð × Ð ººº ◮ ÓÒ Ò ×Ø Ò Ù ÔÐÙ× Ð ÔÐÙ× ÔÖÓ ÚÓ × Ò Ù ÔÐÙ× ÐÓ ÒØ Ò ÚÓ × Ò ººº ººº Ø ×Ø Ò ØÓ Ø Ò Ö ×Ø Ø ÔÓ ÒØ ÔÔÖÓ × Ø ×Ø Ò ØÓ Ø ÖØ ×Ø Ø ÔÓ ÒØ ººº ´ Ý Ö¸ ½ µ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹
- 402. Ü ÑÔÐ ½ØÖÓÙÚ Ö Ð × Ñ × ÙÔÐ ÕÙ × Ò Ö ÙÔÐ Ø Ñ Ø Ø ÓÒ ◮ ÙÒ Ñ I[y][x] Ò ÓÙÐ ÙÖ ÊÎ Ø ÐÐ w × h ×Ø ÓÒÚ ÖØ Ò ÙÒ Ú Ø ÙÖ v(I) Ñ Ò× ÓÒ R¿wh ´Ú ØÓÖ Þ Ø ÓÒµ ◮ Ð ×Ø Ò ÒØÖ ÙÜ Ñ × I½ Ø I¾ ×Ø Ð ×ÓÑÑ × Ö Ò × Ù ÖÖ ´ ×ÙÑ Ó ×ÕÙ Ö Ö Ò × µ ËË (I½, I¾) = h i=½ w j=½ (I½[i][j] − I¾[i][j])¾ = v(I½) − v(I¾) ¾ ◮ ÙÒ Ñ ×Ø Ò ÓÙ Ð Ò× ÙÒ × ³ Ñ × × ×ÓÒ ÔÐÙ× ÔÖÓ ÚÓ × Ò ×Ø ÕÙ × Ñ ÒØ ÒØ ÕÙ ËË (I, ÈÈÎ(I)) ≤ ǫ ⇒ ÓÑÑ ÒØ Ð ÙÐ Ö Ð × ÔÐÙ× ÔÖÓ × ÚÓ × Ò× Ò Ö Ò × Ñ Ò× ÓÒ× Ò Ø ÑÔ× ×ÓÙ×¹Ð Ò Ö ¸ o(d) Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹ ¼
- 403. Ü ÑÔÐ ¾Ö ÖÓÙÔ Ö ÙÒ ÓÐÐ Ø ÓÒ ³ Ñ × Ü ÑÔÐ Ð × ÅÆÁËÌ × Ö × ÔÓ×Ø ÙÜ ´Í˵ n = ¼¼¼¼¸ d = ¾ ¾ = ØØÔ »»Ý ÒҺРÙÒº ÓÑ» Ü »ÑÒ ×Ø» Á Ð Ñ Òظ ØÖÓÙÚ Ö Ð × Ü ÐÙ×Ø Ö× ÔÓÙÖ Ð × Ö × ³¼³ ³ ³ ◮ ÙØ Ð × Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ × k¹ÑÓÝ ÒÒ × ÄÐÓÝ Ò Ñ Ò× ÓÒ ×Ø ØÖÓÔ Ð ÒØ ººº ◮ ÓÑÑ ÒØ Ö → Ö Ù Ö Ð Ñ Ò× ÓÒ Ò ÓÒ× ÖÚ ÒØ Ð ÒÓØ ÓÒ ×Ø Ò Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹ ½
- 404. Ä Ö Ù ØÓÒ Ñ Ò× ÓÒ ÓÖÑÙÐ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ◮ ÓÒÒ × X n ÔÓ ÒØ× Rd ◮ X ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÑÑ ÙÒ Ñ ØÖ Ø ÐÐ n × d ´ÙÒ ÓÒÒ Ô Ö Ð Ò ¸ Ú Ø ÙÖ Ð Ò µ ◮ ÙÜ Ø Ò ÕÙ × ÔÓÙÖ Ö Ù Ö Ð Ñ Ò× ÓÒ ◮ × Ð Ø ÓÒÒ Ö Ð × Ñ Ò× ÓÒ× ÓÒ× ÖÚ Ö ´ ØÙÖ × Ð Ø ÓÒµ ◮ Ö ÓÑÔÓ× Ö Ð × Ñ Ò× ÓÒ× Ü ×Ø ÒØ × Ò ÒÓÙÚ ÐÐ × Ñ Ò× ÓÒ× ØÓÙØ Ò Ö ÒØ Ð³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ´Ð ÒÓØ ÓÒ ×Ø Ò µ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹ ¾
- 405. Ä Ö Ù ØÓÒ Ñ Ò× ÓÒ Ð Ò Ö ××Ó ÓÒ× ÙÒ Ú Ø ÙÖ y = y(x) ∈ Rk ØÓÙØ x A : Rd → Rk ÄÓÖ×ÕÙ y(x) ×Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ò Ö ¸ Ö ØÙÖ Ñ ØÖ ÐÐ y = x × A, Y = X × A A Ñ ØÖ Ø ÐÐ d × k ´x Ø y Ú Ø ÙÖ× Ð Ò ×µ ⇒ Y Ó Ø ØÖ Ð X ∀x, x′ ∈ X, y − y′ ¾ = xA − x′ A ¾ ≈ x − x ¾ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹ ¿
- 406. Ä Ø ÓÖÑ ÂÓ Ò×ÓÒ¹Ä Ò Ò×ØÖ Ù×× ´½ µ ËÓ Ø X n ÔÓ ÒØ× Rd Ø ǫ ∈ (¼, ½)¸ ÐÓÖ× Ð Ü ×Ø ÙÒ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ Ð Ò Ö A : Rd → Rk Ú k = O( ½ ǫ¾ ÐÓ n) Ø ÐÐ ÕÙ ∀x, x′ ∈ X, (½ − ǫ) x − x′ ¾ ≤ xA − x′ A ¾ ≤ (½ + ǫ) x − x′ ¾ →ÐÓÛ ×ØÓÖØ ÓÒ Ñ Ò ´ Ö ÒØ Ù × Ó ³ ×Ø Ô Ö Ø ÔÐÓÒ Ñ ÒØ ×Ó¹Ñ ØÖ ÕÙ µ ÇÒ Ô ×× Ð Ñ Ò× ÓÒ d Ð Ñ Ò× ÓÒ k = O( ½ ǫ¾ ÐÓ n)¸ Ò Ô Ò ÒØ d Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹
- 407. Å ØÖ × A ÔÓÙÖ Ð × ÔÖÓ Ø ÓÒ Ð ØÓ Ö × ÈÖÓ Ø ÓÒ Ð ØÓ Ö A ◮ ÇÒ Ø Ö Ð × Ó ÒØ× Ð Ñ ØÖ A′ Ð ØÓ Ö Ñ ÒØ ×Ù Ú ÒØ ÙÒ ÐÓ ÒÓÖÑ Ð ×Ø Ò Ö ´ µ A′ = [ai,j], ai,j ∼ N(¼, ½) ◮ ÇÒ Ó Ø ÒØ ÙÒ ÒØ ÐÐÓÒ Ð ØÓ Ö ³ÙÒ ÐÓ ÒÓÖÑ Ð ×Ø Ò Ö N(¼, ½) Ô ÖØ Ö ÐÓ × ÙÒ ÓÖÑ × U½ Ø U¾ Ò Ô Ò ÒØ × Ô Ö N = −¾ ÐÓ U½ Ó×(¾πU¾) ← ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓܹÅÙÐÐ Ö ◮ ÓÒ Ù×Ø Ð³ ÐÐ A = k d A′ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹
- 408. ÈÓÙÖÕÙÓ ÐÑ Ö ÔÖÓ Ø ÓÒ× Ð ØÓ Ö × ◮ ×Ó Ø ÙÒ ×Ô k¹ Ò Ð ØÓ Ö A Ú k ≥ ÐÓ n ǫ¾ ¾ − ǫ¿ ¿ º ◮ ÒÓØÓÒ× ˜x = d k ÔÖÓ Ax ÔÖÓ Ø ÓÒ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð x ×ÙÖ Aº Ä ÑÑ ∀p, q ∈ X, P ˜p − ˜q ¾ p − q ¾ ∈ [½ − ǫ, ½ + ǫ] ≤ ¾ n¾ ◮ ÈÖ ÙÚ ÈÖÓ Ð Ø ÕÙ ˜x × Ø × ×× Ð Ø ÓÖ Ñ ÂÄ ≥ ½ − n ¾ ¾ n¾ = ½ n ◮ ÇÒ Ô ÙØ Ó × Ö O(n) ÔÖÓ Ø ÓÒ× Ø Ö ÒØ Ö ÙÒ ÔÖÓ Ð Ø ×Ù × ÓÒ×Ø ÒØ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹
- 409. Ä Ì ³Ù ÓÙÖ ³ Ù ººº Ê ÖÓÙÔ Ö × Ñ × ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ð × ÂÓ Ò×ÓÒ¹Ä Ò Ò×ØÖ Ù×× k¹ÑÓÝ ÒÒ × ÔÓÙÖ ÙÒ × ³ Ñ × ÇÒ Ú Ô ×× Ö R¾ ¼¼¼¼ R ¿¾ ØÓÙØ Ò ØÖÓÙÚ ÒØ × Ô ÖØ Ø ÓÒ× × Ñ Ð Ð × ººº Ö Ò Ò Ö Ô Ø ÓÑÔÐ Ü Ø Ô ×× ÒØ O(sdkn) Oǫ(skn ÐÓ n) Ó s ×Ø Ð ÒÓÑ Ö ³ Ø Ö Ø ÓÒ× ´ Ú Oǫ(nd ÐÓ n) ÔÓÙÖ Ð ÙÐ Ö Ð × ÔÖÓ Ø ÓÒ×µ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹
- 410. Ê ×ÙÑ ØÖ ÔÖ ÐÐ Ð ´ ÕÙ Ð Ö Ö Ð Ö ÀÝÔ ÖÉÙ ËÓÖظ ÈËÊ˵ Ð Ö Ù Ø ÓÒ Ñ Ò× ÓÒ ÔÓÙÖ Ð × ÓÒÒ × Ò Ö Ò × Ñ Ò× ÓÒ× ÈÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ò Ó × Ð Ö Ð × Ô ØÖ × Ø ½¼ Ù ÔÓÐÝ ÓÔ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ØÖ ×¹½ºØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ô Ö×» ÑÔ Ö× ¹
- 411. ÁÆ ¾ ÌÖØ Ñ ÒØ × ÓÒÒ × Å ×× Ú × Å ÔÊ Ù Ø × Ø ÙÜ Ì ÒÝ Ø Ö Ò Æ Ð× Ò Ò Ð× ÒРܺÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö ¾¼½¿ ¾¼ Ñ ¾¼½
- 412. ÈÐ Ò ◮ ÐÓÖÑ Ð ×Ñ Å ÔÊ Ù ´ÓÙ À ÓÓÔ Å ÔÊ Ù µ ◮ × Ø ÙÜ Ì ÒÝ Ø Ú Ð × ×ÓÙ×¹ Ò× Ñ Ð × ÙÖ× ÓÖ × Ø× ◮ Ö Ö ×ÓÒ Å Ð
- 413. Ä ÓÖÑ Ð×Ñ Å ÔÊ Ù È Ö ÐÐ Ð ×Ñ Ò Ö ÒÙÐ Ö Ø Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÅ ÔÊ Ù ¹¿
- 414. Ä ÖÅ ÔÊ Ù ◮ ÑÓ Ð ×ØÖ Ø ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ð ÔÓÙÖ Ð × Ö Ò × ÓÒÒ × ×ÙÖ ÙÒ ØÖ × Ö Ò ÐÙ×Ø Ö Ñ Ò × ◮ Ö Ø ØÙÖ Ñ ØÖ »× ÖÚ Ø ÙÖ× ◮ × ÑÔÐ ÙØ Ð × Ö ◮ Ð Ñ ÒØ ÜØ Ò× Ð ◮ Ö × ×Ø Ò ÙÜ Ú Ö× × Ô ÒÒ × Ñ Ø Ö ÐР׸ Ö × Ùܸ Ø º ◮ Ú ÐÓÔÔ ÓÖ Ò ÐÐ Ñ ÒØ Ô Ö ÓÓ Ð Ò ¾¼¼¿ Ò ·· ´À ÓÓÔ Å ÔÊ Ù Ò Â Ú Ê µ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹
- 415. Ä × ÖÒ × ÓÒÒ × ººº Ä × Ø ◮ ½ Ì Ö ÝØ ´Ì µ ½¼¾ ÝØ ´ µ ◮ ½ È Ø ÝØ ´È µ ½¼¾ Ì Ö ÝØ ◮ Ò ¾¼¼ ¸ ÓÓ Ð ØÖ Ø Ø ¾¼ È Ô Ö ÓÙÖ ÓÒÒ × ººº ÈÓÙÖ × Ü Ö Ð × × ½ È ¸ ³ ×Ø ◮ ≈ ½¼ Ñ ÐÐ Ö × Ô ÓØÓ× ´ ÓÓ ¸ Ð Ö¸ ÁÒ×Ø Ö Ñ¸ ºººµ ◮ ½¿ ÒÒ × Ú Ó À ´ ÓÙÌÙ ¸ ÐÝÑÓØ ÓÒ¸ ºººµ → ×ÙÖ ÙÒ È ×Ø Ò Ö ¸ Ð Ù Ö Ø · ÒÒ × ÔÓÙÖ ØÖ Ø Ö Ò Ø ÑÔ× Ð Ò Ö ¾¼ È ººº ÓÑÑ ÒØ Ö ÔÓÙÖ ØÖ Ø Ö Ò Ø ÑÔ× Ö ×ÓÒÒ Ð × Ö Ò × ÓÒÒ × → Ô Ö ÐÐ Ð ×Ñ Ò Ö ÒÙÐ Ö Ø ´ËÈÅ µ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹
- 416. ÌÖ Ø ÑÒØ Ñ ×× × ÓÒÒ × ◮ Ò Ü Ö Ð × Ó ÙÑ ÒØ× ×ÙÖ ÁÒØ ÖÒ Ø ´Ô Ö Ö ÛÐ Ò µ ◮ Ò ÐÝ× Ö Ð × Ö× ÐÓ × Ö ÕÙ Ø × ×ÙÖ Ð × × Ø × Û × ◮ ÓÒÒ Ö Ð × ÑÓØ× Ð × Ù ÓÙÖ ´ ÓÓ Ð Þ Ø ×ظ Ø ºµ ◮ Ø º ººº Ñ × Ù×× Ù ÕÙÓØ Ò ÔÓÙÖ ◮ Ò ÐÝ× ÒÓÑ × ◮ Ò ÐÝ× × Ø Ð × ÓÔ × Ø ÙØÖ ÓÒÒ × ××Ù × ÔØ ÙÖ× Ô Ý× ÕÙ × ◮ Ò ÐÝ× Ù ØÖ ÖÓÙØ Ö ◮ Ø º Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹
- 417. Å ÔÊ Ù × ÑÔÐ Ñ × Ö Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ× Ù ÓÙÔ ÔÖÓ Ð Ñ × Ô ÙÚ ÒØ ØÖ Ö ×ÓÐÙ Ò ÙÜ Ø Ô × Ð Ñ ÒØ Ö × ½º Ò Ñ ÔÔ ÒØ ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ ×ÙÖ ÙÒ × ÕÙ Ò ÓÒÒ × ÔÓÙÖ ÔÖÓ Ù Ö × Ð Ñ ÒØ× ÒØ ÖÑ Ö × ººº ¾º ÔÙ × Ò Ö Ù × ÒØ × ÒÓÙÚ ÙÜ Ð Ñ ÒØ× ÒØ ÖÑ Ö × → Ö ÒÙÐ Ö Ø Ò Ù Ô Ö ÐÐ Ð ×Ñ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹
- 418. ÈÖ Ò ÔÅ ÔÊ Ù Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒÒ ÐÐ ÙÜ ÔÖ Ñ Ø Ú × × × Ð Ò × ÓÒ Ø ÓÒÒ Ð× ÓÑÑ Ð Ä ×Ô ´ ÓÑÑÓÒ Ä ×Ô»Ë Ñ µ ÓÙ Ç ÑÐ ØØÔ »» Ñк ÒÖ º Ö»Ó Ñл ◮ Ñ Ô (x½, ..., xn) f −→ (f (x½), ..., f (xn)) ◮ Ö Ù (x½, ..., xn) −→ n i=½ xi ÓÔ Ö Ø ÙÖ Ò Ö · ÓÑÑÙØ Ø ÓÙ ÒÓÒ ÓÑÑ ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ù Ø Ñ ØÖ × ◮ Ô × Ú Ö Ð × × Ð Ò × ÑÔ Ö Ø × ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ô Ö ÐÐ Ð × Ð ◮ ÓÙØ Ð× ÔÓÙÖ Ð ÓÒØÖÐ Ø ÑÓÒ ØÓÖ Ò × ÙÜ Ø × Ñ Ô ² Ö Ù Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹
- 419. ÙÐØÙÖ Ò ÖÐ Å Ô ² Ê Ù Ò Ä ×Ô ◮ Ñ Ô Ö Ä¹ÍË Ê ´Ñ Ô Ö ³×ÕÖØ ³´¿ µµ ´½º ¿¾¼ ¼ ¾º¼ ¾º¾¿ ¼ ¾º ¾º ½¿µ ◮ Ö Ù Ä¹ÍË Ê ´Ö Ù ³· ³´½ ¾ ¿ µµ ½ ÈÓÙÖ ÓÙ Ö¸ Ò×Ø ÐÐ Þ Ä ×Ô ØØÔ »»ÛÛۺР×ÔÛÓÖ ×º ÓÑ» Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹
- 420. ÙÐØÙÖ Ò ÖÐ Å Ô Ò Ç ÑÐ ËÝÒØ Ü ÔÓÙÖ ÙÒ ÓÔ Ö Ø ÙÖ ÙÒ Ö ÓÑÑ Ð ÖÖ Ð Ø ×ÕÙ Ö Ü Ü¶Ü Ú Ð ×ÕÙ Ö ÒØ ¹ ÒØ ÙÒ Ð Ø Ñ ÔÐ ×Ø Ä ×ØºÑ Ô ×ÕÙ Ö Ú Ð Ñ ÔÐ ×Ø ÒØ Ð ×Ø ¹ ÒØ Ð ×Ø ÙÒ Ñ ÔÐ ×Ø ¾℄ ¹ ÒØ Ð ×Ø ½ ½ ℄ ÈÓÙÖ ÓÙ Ö¸ Ò×Ø ÐÐ Þ Ç ÑÐ ØØÔ »» Ñк ÒÖ º Ö»Ó Ñл Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹½¼
- 421. ÙÐØÙÖ Ò ÖÐ Ê Ù Ò Ç ÑÐ ËÝÒØ Ü ÔÓÙÖ ÙÒ ÓÔ Ö Ø ÙÖ Ò Ö n i=½ ai = (a½ + n i=¾ ai ) = ( n−½ i=½ ai + an) → ××Ó Ø Ú Ø Ù » ÖÓ Ø ÓÐ Ö Ø ½ ¾ ººº Ò℄ ´ ½ ´ ¾ ´ Ò µµ ÓÐ Ð Ø ½ ¾ ººº Ò℄ ´ ºº ´ ´ ½µ ¾µ ººº Òµ Ü ÑÔÐ Ä ×غ ÓÐ Ð Ø ´ · µ ¼ ½ ¾ ¿ ℄ Ä ×غ ÓÐ Ö Ø ´ · µ ½ ¾ ¿ ℄ ¼ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹½½
- 422. Ä ØÝÔ ×ÓÔ Ö Ø ÓÒ× Å ÔÊ Ù ÇÒ Ñ Ò ÔÙÐ × Ô Ö × ´ Ð ×¸Ú Ð ÙÖ×µ ◮ Å ÔÔ Ö Ñ Ô(k½, v½) → Ð ×Ø(k¾, v¾) ◮ Ê Ù Ö Ö Ù (k¾, Ð ×Ø(v¾)) → Ð ×Ø(v¾) Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹½¾
- 423. Å ÔÊ Ù Ð × ØÖÓ × Ô × × Ù Ð ÙÐ ½º Å ÔÔ Ö Ñ Ø Ô ÖØ Ö × ÒØÖ × × Ô Ö × ´ Ð ×¸Ú Ð ÙÖµ ¾º ËÓÖØ Ö ÖÓÙÔ Ð × Ô Ö × ÒØ ÖÑ Ö × Ô Ö Ð Ú Ð ÙÖ × Ð × ¿º Ê Ù ×ÙÖ Ð × Ð × ÒØ ÖÑ Ö ×¸ ÓÒ ÔÔÐ ÕÙ ÙÒ Ð ÙÐ ÔÖ Ü ´ Ö Ù Ø ÓÒ¸ ÙÑÙÐ Ø ÓÒ¸ Ö Ø ÓÒµ ×ÙÖ ØÓÙØ × Ð × Ú Ð ÙÖ× ××Ó × Ú Ð × Ñ Ñ × Ð ×º Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹½¿
- 424. ij Ð ÓÖØ Ñ Å ÔÊ Ù ◮ ÔÔÐ ÕÙ Ö Ð Ñ ÔÔ Ö ×ÙÖ Ð × ÓÒÒ × Ò ÒØÖ × ◮ Ö ÖÓÙÔ Ö Ð × Ð ×Ø × Ö ×ÙÐØ Ø× Ò× ÙÒ Ð ×Ø Ô Ö × ´ Ð ¾¸Ú Ð ÙÖ¾µ ◮ Ö ¹ ÖÖ Ò Ö Ð Ð ×Ø Ò ÙÒ Ð ×Ø Ô Ö × ´ Ð ¾¸ Ð ×Ø Ú Ð ÙÖ¾µ ÔÓÙÖ ÕÙ Ú Ð ÙÖ ×Ø Ò Ø Ð ¾ ◮ ÔÔ Ð Ö Ð Ö Ù Ö ×ÙÖ ÕÙ Ð Ñ ÒØ Ð ÒÓÙÚ ÐÐ Ð ×Ø ◮ Ö Ö Ð × Ö ×ÙÐØ Ø× Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹½
- 425. ÍÒ Ü ÑÔÐÐ ÔÖÓ Ù Ø Ñ ØÖ ¹Ú Ø ÙÖ ËÓ Ø A ÙÒ Ö Ò Ñ ØÖ Ñ Ò× ÓÒ (n, d) Ø x ÙÒ Ô Ø Ø Ú Ø ÙÖ ÓÐÓÒÒ (d, ½) y = A × x, yi = d j=½ ai,j × xj ÇÒ ×ÙÔÔÓ× x ÒØ Ö Ñ ÒØ ×ØÓ ×ÙÖ ÕÙ ÔÖÓ ××Ù× Å Ô Ø A Ô ÖØ Ø ÓÒÒ ×ÙÖ Ð³ Ò× Ñ Ð × ÔÖÓ ××Ù× Å Ô× ◮ ÒØÖ Ô Ö × Ð ×¹Ú Ð ÙÖ× (i, ai,j) ◮ Å Ô Ä × ÔÖÓ ××Ù× Å Ô× ÔÖÓ Ù × ÒØ Ð × Ô Ö × ÒØ ÖÑ Ö × Ð ×¹Ú Ð ÙÖ× (i, ai,j × xj ) ◮ Ê Ù Ä × ÔÖÓ ××Ù× Ê Ù × Ö ÒØ Ð × Ú Ð ÙÖ× ××Ó × ÙÜ Ð × iº Ä × Ö ×ÙÐØ Ø× ÔÖÓ Ù Ø× ×ÓÒØ ÓÒ Ð × Ô Ö × Ð ×¹Ú Ð ÙÖ× (i, yi ) Ë Ñ Ð Ö ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ù Ø Ñ ØÖ Ð ci,j = d k=½ ai,k × bk,j ººº È Ö (di + j, ai,kbk,j ) Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹½
- 426. ÍÒ Ü ÑÔÐ ÓÑÔØ Ö Ð × ÑÓØ× Ò× Ð × Ó ÙÑ ÒØ× Ñ Ô ´×ØÖ Ò Ó Ò Ñ ¸ ×ØÖ Ò Ó ÓÒØ ÒØ×µ ÓÖ ÛÓÖ Û Ò Ó ÓÒØ ÒØ× Ñ Ø ´Û¸ ½ µ Ö Ù ´×ØÖ Ò ÛÓÖ ¸ Ð ×Ø ×ØÖ Ò ÓÙÒØ×µ ÒØ Ö ×ÙÐØ ¼ ÓÖ Ò Ò ÓÙÒØ× Ö ×ÙÐØ Ô Ö× ÁÒØ´Òµ Ñ Ø´ ·Ö ×ÙÐØ℄µ Å ÔÊ Ù ÙØ Ð × × Ò × Ö Ø Ö × ÔÓÙÖ ×ØÓ Ö Ð × ÓÒÒ × ÔÓÙÖ Ö ÙÔ Ö Ö Ð × ÓÒÒ × Ò ÒÓÑ Ö ×¸ Ð ÙØ ÓÒ ÓÒÚ ÖØ Ö × Ò ×º ½¾¿ → ½¾¿¸ ¿¸½ → ¿¸½ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹½
- 427. ÍÒ Ü ÑÔÐ Ó ·· Ò Å ÔÊ Ù ´ÔÓÙÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ × ÙÐ Ñ Òص Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹½
- 428. Ò ÐÙ Ñ ÔÖ Ù » Ñ ÔÖ Ù º Ð × × ÏÓÖ ÓÙÒØ Ö Ô Ù Ð Å ÔÔ Ö ß Ô Ù Ð Ú Ö Ø Ù Ð Ú Ó Å Ô´ Ó Ò × Ø Å ÔÁÒÔÙز Ò Ô Ù Ø µ ß Ó Ò × Ø × Ø Ö Ò ² Ø Ü Ø Ò Ô Ù Ø º Ú Ð Ù ´ µ Ó Ò × Ø Ò Ø Ò Ø Ü Ø º × Þ ´ µ Ó Ö ´ Ò Ø ¼ Ò µ ß »» Ë Ô Ô ×Ø Ð Ò Û Ø ×Ô Û Ð ´ ´ Ò µ ²² × × Ô ´ Ø Ü Ø ℄ µ µ ·· »» Ò ÛÓÖ Ò Ò Ø × Ø Ö Ø Û Ð ´ ´ Ò µ ²² × × Ô ´ Ø Ü Ø ℄ µ µ ·· ´ × Ø Ö Ø µ Ñ Ø ´ Ø Ü Ø º × Ù × Ø Ö ´ × Ø Ö Ø ¸ −× Ø Ö Ø µ ¸ ½ µ Ê ÁËÌ Ê Å ÈÈ Ê ´ ÏÓÖ ÓÙÒØ Ö µ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹½
- 429. Ò ÐÙ Ñ ÔÖ Ù » Ñ ÔÖ Ù º Ð × × Ö Ô Ù Ð Ê Ù Ö ß Ú Ö Ø Ù Ð Ú Ó Ê Ù ´ Ê Ù Á Ò Ô Ù Ø ∗ Ò Ô Ù Ø µ ß »» ÁØ Ö Ø ÓÚ Ö ÐÐ ÒØÖ × Û Ø Ø »» × Ñ Ý Ò Ø Ú ÐÙ × Ò Ø Ú Ð Ù ¼ Û Ð ´ Ò Ô Ù Ø − ÓÒ ´ µ µ ß Ú Ð Ù · Ë Ø Ö Ò Ì Ó Á Ò Ø ´ Ò Ô Ù Ø − Ú Ð Ù ´ µ µ Ò Ô Ù Ø − Æ Ü Ø Î Ð Ù ´ µ »» Ñ Ø ×ÙÑ ÓÖ ÒÔÙع Ý´µ Ñ Ø ´ Á Ò Ø Ì Ó Ë Ø Ö Ò ´ Ú Ð Ù µ µ Ê ÁËÌ Ê Ê Í Ê´ Ö µ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹½
- 430. Ò ÐÙ Ñ ÔÖ Ù » Ñ ÔÖ Ù º Ò Ø Ñ Ò ´ Ò Ø Ö ¸ Ö ∗∗ Ö Ú µ ß È Ö× ÓÑÑ Ò Ä Ò Ð × ´ Ö ¸ Ö Ú µ Å Ô Ê Ù Ë Ô Ø Ó Ò × Ô »» ËØÓÖ Ð ×Ø Ó ÒÔÙØ Ð × ÒØÓ ×Ô Ó Ö ´ Ò Ø ½ Ö ··µ ß Å ÔÊ Ù ÁÒÔÙØ ∗ Ò Ô Ù Ø × Ô º ÒÔÙØ ´ µ Ò Ô Ù Ø − × Ø Ó Ö Ñ Ø ´ Ø Ü Ø µ Ò Ô Ù Ø − × Ø Ð Ô Ø Ø Ö Ò ´ Ö Ú ℄ µ Ò Ô Ù Ø − × Ø Ñ Ô Ô Ö Ð × × ´ ÏÓÖ ÓÙÒØ Ö µ »» ËÔ Ý Ø ÓÙØÔÙØ Ð × »» » ×»Ø ×Ø» Ö Õ¹¼¼¼¼¼¹Ó ¹¼¼½¼¼ »» » ×»Ø ×Ø» Ö Õ¹¼¼¼¼½¹Ó ¹¼¼½¼¼ »» ººº Å ÔÊ Ù ÇÙØÔÙØ∗ Ó Ù Ø × Ô º Ó Ù Ø Ô Ù Ø ´ µ ÓÙØ− × Ø Ð × ´ » × » Ø × Ø » Ö Õ µ ÓÙØ− × Ø ÒÙÑ Ø × × ´ ½ ¼ ¼ µ ÓÙØ− × Ø Ó Ö Ñ Ø ´ Ø Ü Ø µ ÓÙØ− × Ø Ö Ù Ö Ð × × ´ Ö µ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹¾¼
- 431. »» ÇÔØ ÓÒÐ Ó Ô ÖØ Ð ×ÙÑ× Û Ø Ò Ñ Ô »» Ø × × ØÓ × Ú Ò ØÛÓÖ Ò Û Ø ÓÙØ− × Ø Ó Ñ Ò Ö Ð × × ´ Ö µ »» ÌÙÒ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö× Ù× Ø ÑÓ×Ø ¾¼¼¼ »» Ñ Ò × Ò ½¼¼ Å Ñ ÑÓÖÝ Ô Ö Ø × × Ô º × Ø Ñ Ò × ´ ¾ ¼ ¼ ¼ µ × Ô º × Ø Ñ Ô Ñ ÝØ × ´ ½ ¼ ¼ µ × Ô º × Ø Ö Ù Ñ Ý Ø × ´ ½ ¼ ¼ µ »» ÆÓÛ ÖÙÒ Ø Å Ô Ê Ù Ê × ÙÐØ Ö × Ù Ð Ø ´ Å ÔÊ Ù ´ × Ô ¸ ² Ö × Ù Ð Ø µ µ Ó Ö Ø ´ µ »» ÓÒ ³Ö ×ÙÐس ×ØÖÙ ØÙÖ ÓÒØ Ò× Ò Ó »» ÓÙØ ÓÙÒØ Ö׸ Ø Ñ Ø Ò¸ ÒÙÑ Ö Ó »» Ñ Ò × Ù× ¸ Ø º Ö Ø Ù Ö Ò ¼ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹¾½
- 432. ÙØÖ × ÜÑÔÐ × ◮ Ð ÓÑÑ Ò ÍÒ Ü Ö Ô ×ØÖ Ù Ö Ô ¹ Ö ÙÐ Ö ÜÔÖ ×× ÓÒ Ö Ô ÖØÓ Ö »¶ ×ÓÖØ ÙÒ Õ ¹ ×ÓÖØ ¹ÒÖ ◮ Ñ Ô Ñ Ø ÙÒ Ð Ò × ÐÐ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ù ÑÓØ ◮ Ö Ù ÓÒ Ø ÓÒ ÒØ Ø ÓÔ Ð × ÓÒÒ × ÒØ ÖÑ Ö × Ò ×ÓÖØ ◮ Ð ×Ø ÒÚ Ö× × Ö Ö Ò × Ù Û ◮ Ñ Ô Ñ Ø × Ô Ö × ´Ø Ö Ø¸×ÓÙÖ µ ÔÓÙÖ ÕÙ Ð Ò ×ÙÖ ÙÒ ÍÊÄ Ø Ö Ø ØÖÓÙÚ Ò× ÙÒ Ô ×ÓÙÖ ◮ Ö Ù ÓÒ Ø Ò ØÓÙØ × Ð × ÍÊÄ× ××Ó × ÙÒ ÍÊÄ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹½º Ü ÑÔÐ × ¹¾¾
- 433. ∅ M M MM (k1; v)(k1; v)(k2; v)... (k3; v)(k4; v)(k3; v)... (k2; v)(k1; v)... Regrouper par clefs Donn´ees (k1; v, v, v, v) (k2; v, v, v) (k3; v, v, v, v, v, v, v) (k4; v, v) R R R R Sorties Mapper Sorter Reducer donn´ees group´ees Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹½º Ü ÑÔÐ × ¹¾¿
- 434. ÔÐÓ Ñ ÒØ× Ø × M M M M M M M M M R R R R R (k2; v, v, v) (k9; v) (k5; v, v, v) (k1; v, v) (k6; v, v, v) Tˆache map 1 Tˆache map 2 Tˆache map 3 Tˆache reduce 2Tˆache reduce 1 Tri et regroupe Tri et regroupe R ´E S E A U R ´E S E A U R ´E S E A U Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹½º Ü ÑÔÐ × ¹¾
- 435. Ö Ø ØÙÖ×Ý×Ø Ñ Å ÔÊ Ù ◮ ×Ý×Ø Ñ Å ÔÊ Ù ÓÒ Ø ÓÒÒ ×ÙÖ ÙÒ Ö Ò ÐÙ×Ø Ö Ñ Ò × ´½¼¼¼·¸ ½¼¼¼¼·µ ◮ ØÓÐ Ö Ò ÙÜ ÙØ × ÙÒ Ñ Ò ÓÙ ÙÒ ×ÕÙ ÙÖ ´À Ö × Ö Ú ¸ À µ Ô ÙØ ×Ù Ø Ñ ÒØ ØÓÑ Ö Ò Ô ÒÒ º ÖÖ Ú ×ÓÙÚ ÒØ × Ð ÒÓÑ Ö Ñ Ò × ×Ø Ö Ò → Å ÔÊ Ù Ö Ð Ò Ö ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ñ ÒØ Ð × Ø × ÕÙ Ò³ÓÒØ Ô × ÓÙØ º ◮ Ö Ô Ø ÖØ Ò × Ñ Ò × Ô ÙÚ ÒØ ØÖ ØÖÓÔ Ð ÒØ × × Ð ÙÖ× ×ÙÖ Ö × ´Ð × ×ØÖ Ð Ö× µº → Å ÔÊ Ù Ô ÙØ Ð Ò Ö ÙÒ Ñ Ñ Ø ×ÙÖ ÔÐÙ× ÙÖ× Ñ Ò × ´ Ö ÓÒ Ò Ô Ö Ö ÔÐ Ø ÓÒ µ Ø Ó Ø Ò Ö Ð Ö ×ÙÐØ Ø × ÕÙ³ÙÒ × Ø × ×Ø Ò º Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹½º Ü ÑÔÐ × ¹¾
- 436. Ö Ø ØÙÖ×Ý×Ø Ñ Å ÔÊ Ù ◮ ÐÓ Ð Ø »Ö × Ù Ð ØÖ Ò× ÖØ ÓÒÒ × ×ÙÖ Ð Ö × Ù Ø ÒØ Ó Ø Ùܸ г ÓÖ ÓÒÒ Ò ÙÖ ×× Ý ³ ÐÐÓÙ Ö Ð × Ø × ×ÙÖ Ð × Ñ Ò × Ó Ö × ÒØ Ð × ÓÒÒ × ◮ ×ÙÖÚ ÐÐ Ò » ÓÒØÖÐ ´ÑÓÒ ØÓÖ Ò µ ÒØ Ö Û ÕÙ Ö ÔÔÓÖØ Ú Ö× × ×Ø Ø ×Ø ÕÙ × ×ÙÖ Ð × Ø × ´ÔÖ ÚÓ Ø Ð ÙÖ ³ Ü ÙØ ÓÒ ³ÙÒ Ø ¸ Ø ºµ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹½º Ü ÑÔÐ × ¹¾
- 437. Å ÔÊ Ù Ö Ø ØÙÖ Å ×Ø Ö»ÛÓÖ Ö× ´Ô Ô Ö ÇË Á¸ ¾¼¼ µ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹½º Ü ÑÔÐ × ¹¾
- 438. Å ×Ø Ö ÔÓ ÒØ×» Ë» ÓÑ Ò Ö ◮ Ä Ñ Ò Å ×Ø Ö Ö Ø Ô Ö Ó ÕÙ Ñ ÒØ Ð × ×ØÖÙ ØÙÖ × ÓÒÒ × Ù Å ×Ø Ö Ò ÔÓÙÚÓ Ö Ö ÔÖ Ò Ö Ð Ð ÙÐ Ò ÓÙÖ× × Ð Å ×Ø Ö ÐÙ ¹Ñ Ñ ØÓÑ Ò Ô ÒÒ ◮ ÓÓ Ð Ð ËÝ×Ø Ñ ´ ˵ ÓÙ À ÓÓÔ Ð ËÝ×Ø Ñ ´À ˵ Ú × Ð × Ö× Ò ÐÓ × Å Ø × ÙÚ Ö ÔÐÙ× ÙÖ× ÓÔ × ×ÙÖ × Ñ Ò × Ö ÒØ × ´ØÓÐ Ö Ò ÙÜ Ô ÒÒ ×µ ◮ È × ÓÑ Ò Ö ÕÙ Ò Ð Ý ÑÙÐØ ÔÐ × Ð × ÒØ ÖÑ Ö × ÒØ ÕÙ × ×ÙÖ ÙÒ Ñ Ñ Ñ Ò ¸ ÓÒ Ð × ÓÑ Ò ÐÓ Ð Ñ ÒØ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹½º Ü ÑÔÐ × ¹¾
- 439. ÈÓÙÖÕÙÓ ÙÒ ØÐ ×Ù × Å ÔÊ Ù ◮ Ô Ö ÐÐ Ð × Ø ÓÒ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ø ×ØÖ ÙØ ÓÒ × Ø × Ð ÙÐ ◮ ×ØÖ ÙØ ÓÒ × ÓÒÒ × Ø ÕÙ Ð Ö × Ø × ´ ÐÓ Ð Ò Ò µ ◮ ØÓÐ Ö ÒØ ÙÜ Ô ÒÒ × ◮ ×ØÖ Ø ÓÒ × ÑÔÐ Ø ÔÖÓÔÖ × ×ÙÖ ÙÜ ÓÒ Ø ÓÒ× ÙØ Ð × Ø ÙÖ× ÔÔÐ Ø ÓÒ× ÔÓÙÖ Ð ØÖ ¸ Ò ÔÔÖ ÒØ ×× ¸ Ò ÓÙ ÐÐ ÓÒÒ × ´ Ø Ñ Ò Ò µ¸ Ø º ◮ ÓÙØ Ð× ÓÒØÖÐ ´ÑÓÒ ØÓÖ Ò ¸ Ô ÖÑ Ø ³ Ù×Ø Ö Ð × Ö ××ÓÙÖ × ÐÐÓÙ × × Ò ×× Ö Ò ÓÙÖ× ³ Ü ÙØ ÓÒµ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹½º Ü ÑÔÐ × ¹¾
- 440. Ä Ì ³Ù ÓÙÖ Ù Å ÔÊ Ù Ò ÅÈÁ ÍØ Ð × Ø ÓÒ Å ÔÊ Ù ÔÓÙÖ Ð³ Ð Ò Ñ ÒØ × ÕÙ Ò × ×ÙÖ ÙÒ Ö Ö Ò Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ ÔÓÖØ ÓÒ ÑÔÓÖØ ÒØ Ù Ò Ê ½ Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ä ËÌ × ÄÓ Ð Ð ÒÑ ÒØ Ë Ö ÌÓÓÐ ´½ ¼¸ × Ô Ö ÐÐ Ð × Ø ÓÒ Ò ¾¼¼ µ Å ÔÊ Ù Ú ÅÈÁ ØØÔ »»Ñ ÔÖ Ù º× Ò º ÓÚ» Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹½º Ü ÑÔÐ × ¹¿¼
- 441. Ä Ð ÓØÕÙ ÅʹÅÈÁ¸ Å ÔÊ Ù Ò ÅÈÁ ◮ Å ÔÊ Ù ¶ÑÖ Ò Û Å ÔÊ Ù ´ÅÈÁ ÇÅÅ ÏÇÊÄ µ Ö ÙÒ ÒÓÙÚ Ð Ó Ø Å ÔÊ Ù ◮ Ù ÒØ Ø Å ÔÊ Ù Ñ Ô´ ÒØ ÒÑ Ô¸ ÒØ Ò×ØÖ¸ Ö ¶¶×ØÖ Ò ×¸ ÒØ Ö ÙÖ× ¸ ÒØ Ö Ð ¸ Ö × Ô Ö¸ ÒØ ÐØ ¸ ÚÓ ´¶ÑÝÑ Ôµ´ Òظ Ö ¶¸ Òظ à ÝÎ ÐÙ ¶¸ ÚÓ ¶µ¸ÚÓ ¶ÔØÖµ ÔÔ ÐÐ Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÑÝÑ Ô Ò Ö Ô ÖØ ×× ÒØ Ð ÓÒØ ÒÙ × Ö× ³ ÒØÖ ×ÙÖ Ð × Ö ÒØ× ÔÖÓ ×× ÙÖ× ÆÓØ Þ Ò× Ð × Ö ÙÑ ÒØ× Ð × ÔÓ ÒØ ÙÖ× ÓÒ Ø ÓÒ× Ù » ·· Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹½º Ü ÑÔÐ × ¹¿½
- 442. Ä Ð ÓØÕÙ ÅʹÅÈÁ¸ Å ÔÊ Ù Ò ÅÈÁ ◮ Ù ÒØ Ø Å ÔÊ Ù ÓÐÐ Ø ´ ÒØ ´¶ÑÝ × µ´ Ö ¶¸ Òصµ Ô ÖÑ Ø Ö ÖÓÙÔ Ö Ð × Ó Ø× Ã ÝÎ ÐÙ ¶ Ú Ö Ô ÖØ × ×ÙÖ Ð × Ö ÒØ× ÔÖÓ ×× ÙÖ× Ò ÙÒ × ÙÐ Ó Ø Ã ÝÅÙÐØ Î ÐÙ Ú × Ð × ÙÒ ÕÙ × ××Ó × × Ð ×Ø × Ú Ð ÙÖ׺ Ä ÓÒ Ø ÓÒ Ò ÒØÖ ×Ø ÙØ Ð × ÔÓÙÖ Ö Ô ÖØ Ö Ð × Ð × ×ÙÖ Ð × ÔÖÓ ×× ÙÖ׸ ÒÓÙ× ÙØ Ð × ÖÓÒ× ÆÍÄÄ ÔÓÙÖ Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ô Ö ÙÐØ Ð Ð ÓØ ÕÙ ◮ Ù ÒØ Ø Å ÔÊ Ù Ö Ù ´ÚÓ ´¶ÑÝÖ Ù µ´ Ö ¶¸ Òظ Ö ¶¸ Òظ ÒØ ¶¸ à ÝÎ ÐÙ ¶¸ ÚÓ ¶µ¸ ÚÓ ¶ÔØÖµ ÔÔ ÐÐ Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÑÝÖ Ù ◮ ÚÓ Ã ÝÎ ÐÙ ´ Ö ¶ ݸ ÒØ Ý ÝØ ×¸ Ö ¶Ú ÐÙ ¸ ÒØ Ú ÐÙ ÝØ ×µ ÓÙØ Ð ÓÙÔÐ ´ ݸ Ú ÐÙ µ Ò× Ð³Ó Ø Ã ÝÎ ÐÙ ¸ Ð ÙØ ÔÓÙÖ Ð ÔÖ × Ö Ð Ø ÐÐ Ò Ó Ø Ø× Ð Ð Ø Ð Ú Ð ÙÖº Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÅ ÔÊ Ù ¹½º Ü ÑÔÐ × ¹¿¾
- 443. × Ø ÙÜÌ ÒÝ Ø Ä × ×ÓÙ×¹ Ò× Ñ Ð × ÙÖ×
- 444. Ä × ×ÓÙ×¹Ò× Ñ Ð × ÙÖ× ÔÓÙÖ Ð³ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ ÔÔÖÓ Ö Ô ×ÓÙ×¹ Ò× Ñ Ð × ÙÖ× ´ ÓÖ ¹× Ø׸ Ö Ø Ù×× ÓÖ × Ø×µ ◮ ×Ó Ø ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ³ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ ×ÙÖ n ÓÒÒ × X = {x½, ..., xn} Ñ Ò θ∈Θ f (θ|x½, ..., xn) θ∗ = ×ÓÐ(θ|X) = Ö Ñ Òθf (θ|x½, ..., xn) c∗ = Ó Ø(θ|X) Ñ Ò θ f (θ|x½, ..., xn) ◮ ÇÒ Ö ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ ×ÓÙ×¹ Ò× Ñ Ð C ⊂ X Ø Ð ÕÙ Ó Ø((θ|X) ≤ Ó Ø((θ|C) ≤ (½ + ǫ) Ó Ø((θ|X) ◮ ÔÐÙ׸ ÓÒ ÚÓÙ Ö Ø |C| ≪ |S| ÕÙ Ô Ò ÙÒ ÕÙ Ñ ÒØ ǫ ´Ô × n¸ Ò dµ
- 445. Ü ÑÔÐ ÐÔÐÙ× Ô Ø Ø ÓÙÐ Ò ÐÓ ÒØ ´Ë µ Ë ËÑ ÐÐ ×Ø Ò ÐÓ× Ò ÐÐ ÌÖÓÙÚ Ö Ð ÔÐÙ× Ô Ø Ø ÓÙÐ Ò ÐÓ ÒØ B = ÐÐ(c, r) ÕÙ ÓÙÚÖ X ´Ñ Ò Ñ × Ø ÓÒ× ÕÙ Ú Ð ÒØ × ÚÓÐÙÑ ≡ Ö ÝÓÒ ≡ Ò ÐÙ× ÓÒµ c∗ = Ñ Ò c∈Rd n Ñ Ü i=½ c − xi Ä ÔÐÙ× Ô Ø Ø ÓÙÐ Ù Ð ÒÒ ×Ø ÙÒ ÕÙ ¸ ×ÓÒ ÒØÖ Ö ÓÒ× Ö Ø ×Ø c∗
- 446. ÓÖ ¹× ØÔÓÙÖ Ð ÔÐÙ× Ô Ø Ø ÓÙÐ Ò ÐÓ ÒØ ◮ c(X) ÒØÖ Ð ÔÐÙ× Ô Ø Ø ÓÙÐ ¸ r(X) Ö ÝÓÒ Ð ÔÐÙ× Ô Ø Ø ÓÙÐ ◮ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ǫ ¼¸ ÙÒ ǫ¹ ÓÖ ¹× Ø C ⊆ X ×Ø Ø Ð ÕÙ X ⊆ ÐÐ(c(C), (½ + ǫ)r(C)) ◮ Ò Ð Ö ×× ÒØ Ë (C) Ô Ö ÙÒ Ø ÙÖ ½ + ǫ¸ ÓÒ ÓÙÚÖ ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ X
- 447. ÁÐÐÙ×ØÖ Ø ÓÒ×ÓÙ×¹ Ò× Ñ Ð ÙÖ X ⊆ ÐÐ(c(C), (½ + ǫ)r(C)) Ò Ð Ö ×× ÒØ Ë (C) Ô Ö ÙÒ Ø ÙÖ ½ + ǫ¸ ÓÒ ÓÙÚÖ ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ X
- 448. × Ø ÙÜÌ ÒÝ Ø Ì ÓÖ Ñ Ð Ü ×Ø ÙÒ ×ÓÙ×¹ Ò× Ñ Ð ÙÖ Ø ÐÐ ⌈½ ǫ ⌉¸ Ò Ô Ò ÒØ Ð Ñ Ò× ÓÒ d¸ Ø n ÇÒ Ô ×× ³ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ³ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ n ÓÒÒ × ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ³ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ ⌈½ ǫ ⌉ ÓÒÒ × ⇒ Ð × ÓÖ ¹× Ø× ÓÒØ Ù ÓÙÔ ³ ÔÔÐ Ø ÓÒ× Ò Ö Ò × Ñ Ò× ÓÒ× ÚÓ Ö Ñ Ñ ÕÙ Ò d ≫ n
- 449. Ä ×Ó d ≫ n n ÔÓ ÒØ× Ò ÔÓ× Ø ÓÒ Ò Ö Ð ◮ Ô × ØÖÓ × ÔÓ ÒØ× ×ÙÖ ÙÒ Ñ Ñ ÖÓ Ø ¸ Ø º ◮ Ô × k + ½ ÔÓ ÒØ× Ò× ÙÒ ×ÓÙ× ×Ô ¹ Ò Ñ Ò× ÓÒ k ◮ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ñ Òظ ÓÒ Ô ÙØ Ö Ù Ö × d′ = n − ½ ÓÒ ◮ ººº Ò ÒÑÓ Ò׸ Ð Ö Ø ÒØ ÖÚ Ò Ö × Ð ÙÐ× Ø ÖÑ Ò ÒØ׸ ÒÓÒ × ÙÐ Ñ ÒØ Ó Ø Ùܸ Ñ × Ù×× Ò×Ø Ð Ò ÔÖ Ø ÕÙ Ö ÓÒ Ô Ö Ð ÔÖ × ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÕÙ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ◮ Ô × ³ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ð ÙÐ Ú Ö ÙÐ ÓØØ ÒØ Á ººº ´× ÒÓÒ ÓÒ Ó Ø ÙØ Ð × Ö Ð³ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ÑÙÐØ ¹ÔÖ × ÓÒ¸ ÓÑÑ Ð Ô ÑÔµ
- 450. Ð ÓÖ ØÑ Ó Ù ² Ð Ö ×ÓÒ ´¾¼¼¿µ Ë Ô Ö ×ÓÙ×¹ Ò× Ñ Ð ÙÖ ◮ ÁÒ Ø Ð × Ö Ð ÒØÖ c½ ∈ X = {x½, ..., xn}¸ ◮ Å ØØÖ ÓÙÖ Ø Ö Ø Ú Ñ ÒØ Ð ÒØÖ Ú Ð Ö Ð ci+½ ← ci + fi − ci i + ½ Ó fi ×Ø Ð ÔÐÙ× ÐÓ ÒØ Ò ÔÓ ÒØ X ci fi = ps , s = Ö Ñ Ün j=½ ci − xj ◮ Ñ Ø Ó ×ØÝÐ × ÒØ Ö ÒØ ´×ØÓ ×Ø ÕÙ µ ◮ (½ + ǫ)¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÔÖ × ⌈ ½ ǫ¾ ⌉ Ø Ö Ø ÓÒ× Ø ÑÔ× ØÓØ Ð Ò O(dn ǫ¾ ) ◮ Ð ×ÓÙ×¹ Ò× Ñ Ð ÙÖ ×Ø f½, ..., fl Ú l = ⌈ ½ ǫ¾ ⌉
- 451. ËÓÙ×¹ Ò× ÑÐ ÙÖ ÔÓÙÖ Ð ÓÙÐ Ò ÐÓ ÒØ ÑÓ ØØÔ »» Ò Ð Ö ×ÓÒºÓÖ »× »Ø»ØºÜÑÐ
- 452. ÓÖ ¹× Ø×ÔÓÙÖ Ð Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ Ô Ö Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ × ◮ ×Ø Ò Ù Ð ÒÒ ´ Ù ÖÖ µ ÔÓ ÒØ» ÒØÖ × × ÐÙ×Ø Ö× d¾ (p, C) = Ñ Ò c∈C d¾ (p, c) ◮ Ó Ø × k¹ÑÓÝ ÒÒ × lC (P) = p∈P wpd¾ (p, C) ◮ S ×Ø ÙÒ (k, ǫ)¹ ÓÖ × Ø ÔÓÙÖ P ∀C = (c½, ..., ck )¸ (½ − ǫ)lC (P) ≤ lC (S) ≤ (½ + ǫ)lC (P) Ì ÓÖ Ñ Ò ½ ¸ Ð Ü ×Ø ÙÒ (k, ǫ)¹ ÓÖ × Ø Ø ÐÐ O(k¾ ǫ¾ )¸ Ø O(k¿/ǫd+½) ÕÙ Ò d ½ ËÑ ÐÐ Ö ÓÖ × Ø× ÓÖ k¹Å Ò Ò k¹Å Ò× ÐÙ×Ø Ö Ò ¸ × Ö Ø ² ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ØÖݸ ¾¼¼
- 453. Å Ø Ñ× Ö Ò × ÓÒÒ × ÙÜ Ô Ø Ø × ÓÒÒ × È ÐÓ×ÓÔ × Ò× Ñ Ð × ÙÖ× Ò Ö ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ³ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ Ü Ø ×ÙÖ n ÓÒÒ × Ò ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ³ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ Ü Ø ×ÙÖ f (ǫ) ÕÙ Ö ÒØ ÙÒ ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ ÔÔÖÓ ×ÙÖ ØÓÙØ × Ð × ÓÒÒ ×º ÌÙÖÒ Ò Ø ÒØÓ Ø ÒÝ Ø ÓÒ×Ø ÒØ¹× Þ ÓÖ × Ø× ÓÖ ¹Ñ Ò׸ È Ò ÔÖÓ Ø Ú ÐÙ×Ø Ö Ò ´¾¼½¿µ ØØÔ »»Ô ÓÔÐ º × ÐºÑ Øº Ù» ÒÒÝ » »×Ù ×Ô ºÔ
- 454. ÓÑÔ Ð Ö× ÔÖÓ Ö ÑÑ × Ú ÙÒ Å Ð
- 455. ÓÑÔ Ð ÖÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ü ÑÔÐ Ú Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ñ Ò Ò× Ð Ö Ñ Òº ÔÔ ·· ¹Ï ÐÐ ¹Ó ÑÓÒÈÖÓ ¾º Ü ÓÒ Ø ÓÒ× º ÔÔ Ñ Òº ÔÔ Ä × Ö× ³ Ò¹Ø Ø × ´ Ö×µ Ò º ´Ø ÑÔÐ Ø ×µ ×ÓÒØ Ò ÐÙ× Ò× Ð × º ÔÔ Ø ÐÙ× ÐÓÖ× Ð ÓÑÔ Ð Ø ÓÒ Ö× º ÔÔ ÈÐÙ× Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ ´ Ò× Ñ Ð Ö×µ Ú ÒØ ÖÓ׸ ÔÐÙ× Ð Ð Ò ÓÑÔ Ð Ø ÓÒ Ú ÒØ Ö Ò Ø Ô Ö ·· ¹Ï ÐÐ ¹Ó ÑÓÒÈÖÓ ¾º Ü Ñ Òº ÔÔ Ö½ º ÔÔ Ö¾ º ÔÔ Ö¿ º ÔÔ ÓÑÔ Ð Ø ÓÒ Ú Ð³ÓÔØ ÓÒ Ó ´ÓÔØ ÓÒ» ³¹ ³µ ÔÙ × Ü ÙØ ÓÒ Ò× ÙÒ Ó ÙÖº ÉÙ Ò Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö × ¸ Ð Ö Ø ÙÒ Ö ÓÖ ÔÙ × Ó Ú ¸ ÓÙ Ò× ÙÒ Á ´ Ð Ô× µ ÉÙ Ö ÐÓÖ×ÕÙ³ÓÒ ÒÓÑ Ö ÙÜ Ö× Ö Ö Ò× ÙÒ ÔÖÓ Ø
- 456. ÓÑÔ Ð ØÓÒ Ò× ÙÒ Ö ÓÑÔ Ð Ó Ø Ð × ºÓ ØØ ÒØ ÓÒ Ó Ø Ò³ Ô × Ð × Ò× ÇÇ ´ÓÖ ÒØ Ó Øµ ·· ¹ Öº ÔÔ ÔÖÓ Ù Ø ÙÒ Ö ÖºÓ Ô Ò Ð³ Ö Ø ØÙÖ Ó Ð Ù Ð ÓÑÔ Ð Ø ÓÒ Ü ¿¾¹ Ø× ÓÙ ¹ Ø׸ ÇÖ Ð ËÔ Ö ¸ Å Ç˸ Ø º È Ö Ü ÑÔÐ ¸ × ÚÓÙ× ÓÑÔ Ð Þ ×ÓÙ× Ï Ò ÓÛ׸ ÚÓØÖ ºÓ Ò × Ö Ô × ÙØ Ð × Ð Ò × ÐÐ × Ñ Ò × ´ÍÆÁ µº ³ ×Ø ÙÒ Ö Ò Ö Ò Ú Â Ú ÕÙ ÓÑÔ Ð Ò º Ð ×× ÕÙ Ñ Ö ÔÓÙÖ Ð ÂÎÅ ´Â Ú Î ÖØÙ Ð Å Ò µ¸ ÓÒ Ô ÖØÓÙØ Ó ÓÒ ÙÒ ÂÎÅ
- 457. Ø ÓÒ ÐÒ× Ð Ò Ò Ø ÓÒ Ð Ò× Ô × Ò Ð Ð ÓÑÔ Ð Ø ÓÒº Ê ×× Ñ Ð ØÓÙ× Ð × Ö× Ó Ø× ºÓ Ø ÔÖÓ Ù Ø ÙÒ Ö Ü ÙØ Ð º Ä × Ö× Ó Ø× ÙØ Ð × × ÔÖÓÚ ÒÒ ÒØ ◮ Ð ÓÑÔ Ð Ø ÓÒ Ö× º ÔÔ ´º ÔÔ ·· ¹ −−−−→ ºÓµ ◮ Ð Ð ÓØ ÕÙ ×Ø Ò Ö ´ ÓÒ Ø ÓÒ× »Ë׸ ÓÒ Ø ÓÒ× Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ × ÐÓ ¸ ÜÔ¸ Ø ºµ ◮ Ð ÓØ ÕÙ × ÜØ Ö ÙÖ × ´ ÓÑÑ ÁÑ ÐÓÖ× Ù Ì µ ·· Ö½ ºÓ Ö¾ ºÓ Ñ ÒºÓ ¹Ó ÑÓÒÈÖÓ ¾º Ü ¹ ÐÔØ Ö ¹Ð ½½ Ö Ò ÒØÖ ÙÒ Ð ÓØ ÕÙ ×Ø Ø ÕÙ º×Ó ´× Ö Ó Ø×µ Ø ÙÒ Ð ÓØ ÕÙ ÝÒ Ñ ÕÙ º ÐÐ ´ ÝÒ Ñ Ð Ò Ð Ö Öݵ
- 458. Ø ÓÒ ÐÒ× Ð ÓÑÑ Ò Ð Ð ÔÖ ÒØ × Ö Ð Ö ÖÝ Ô Ò Ò × ´Ä ÒÙܵ Ò Ð Ù Ó × Ø Ö Ñ Ù × Ò Ò Ñ ×Ô × Ø Ò Ø Ñ Ò ´ µ ß Ó Ù Ø Â ³ Ù Ø Ð × ÙÒ Ó Ù Ø Ö Ø Ù Ö Ò ¼ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ º Ü Ð ÒÙÜ ¹ Ø º×Óº½ ´¼ ܼ¼½ ¾¼¼¼ µ Ð ×Ø ··º×Óº »Ù×ֻР»Ð ×Ø ··º×Óº ´¼ ܼ¼ ¼¼¼ µ РѺ×Óº »Ð »Ð Ѻ×Óº ´¼ ܼ¼ ¿ ¼¼¼ µ Ð × º×Óº½ »Ð »Ð × º×Óº½ ´¼ ܼ¼ ¼¼¼ µ Ð º×Óº »Ð »Ð º×Óº ´¼ ܼ¼ ¼¼¼ µ »Ð »Ð ¹Ð ÒÙܺ×Óº¾ ´¼ ܼ¼ ¼¼¼ µ
- 459. Ö Ô ÔÒ Ò × ³ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Projet Programme donnee.o main.o lecture.o donnee.cpp donnee.h main.cpp lecture.h lecture.cpp ÓÑÑ ÒØ Ö ÔÓÙÖ Ö ÓÑÔ Ð Ö × ÓÒ ØÓÙ × ÙÐ Ñ ÒØ Ù Ö ÓÒÒ º ÔÔ Ó Ø¹ÓÒ Ö ÓÑÔ Ð Ö Ð ØÙÖ º ÔÔ Ò Ð ØÙÖ ºÓ
- 460. ijÙØ Ð ØÖ ÍÆÁ Ñ ◮ ÙØ Ð Ø Ö ÔÓÙÖ ÓÑÔ Ð Ö ´ Ù Ð Ò µ × ÔÖÓ Ö ÑÑ × Ü ÙØ Ð ×¸ × Ð ÓØ Õ٠׸ Ø º ◮ ÓÖ Ò × Ð × ÓÑÔ Ð Ø ÓÒ׸ Ò³ ×Ø Ô × ×Ô ÕÙ ÙÒ Ð Ò ÓÒÒ ◮ ÙØ Ð × ÙÒ × Ö ÔØ Ò ÒØÖ Å Ð ◮ ÓÒ Ú ÙØ ÓÑÔ Ð Ö ÙÒ Ò× Ñ Ð Ð × Ô ÖØ Ö Ö× ×ÓÙÖ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ× Ä ÓÑÑ Ò ØÓÙ Ô ÖÑ Ø ÑÓ Ö Ð × Ø × ÖÒ Ö ÑÓ Ø ÓÒ × Ö׺ ÈÓÙÖ ÓÖ Ö Ð Ö ÓÑÔ Ð Ø ÓÒ ØÓÙ ¶ Ñ
- 461. Ä × ÖÐ × Ò× ÙÒ Å Ð Ä × ÓÑÑ Ò × Ó Ú ÒØ ×Ù ÚÖ ÙÒ Ø ÙÐ Ø ÓÒ ´Ô × × ×Ô × µ Ø Ö Ø ×ÓÙÖ ½ ×ÓÙÖ ¾ ººº ×ÓÙÖ Æ ÓÑÑ Ò ½ ÓÑÑ Ò ¾ ººº Ü ÑÔÐ ÑÓÒÈÖÓ Ö½ º ÔÔ Ö¾ º ÔÔ Ñ Òº ÔÔ ·· ¹Ó ÑÓÒÈÖÓ Ö½ º ÔÔ Ö¾ º ÔÔ Ñ Òº ÔÔ ÈÙ × Ñ Ø Ö Ø¸ Ô Ö Ü ÑÔÐ Ñ ÑÓÒÈÖÓ
- 462. Ê Ð ×Ò× ×ÓÙÖ × ÇÒ Ò ØØÓ ØÓÙ× Ð × Ö× Ð Ò ÖÑ Ö½ ºÓ Ö¾ ºÓ Ö¿ ºÓ ÑÓÒÈÖÓ ÔÙ × Ô Ö Ü ÑÔÐ ººº Ñ ÑÓÒÈÖÓ
- 463. Ê Ð ×Ò× ÓÑÑ Ò × ÐÐ ÑÓÒÈÖÓ ÑÓÒÈÖÓ ¾ ÑÓÒÈÖÓ Ð ½ºÓ Ð ¾ºÓ Ð ¿ºÓ ¹ ¹Ï ÐÐ ¹Ó ÑÝÔÖÓ Ð ½ºÓ Ð ¾ºÓ Ð ¿ ºÓ ÑÓÒÈÖÓ ¾ Ð º ¹ ¹Ï ÐÐ ¹Ó ÑÝÔÖÓ ¾ Ð º ÁÐ ×Ù Ø ÐÓÖ× Ö Ñ ÐÐ
- 464. Ä × ÚÖ Ð × Ò× ÙÒ Å Ð ◮ Ð Ö Ø ÓÒ ³ÙÒ Ú Ö Ð ÆÇÅ Ú Ð ÙÖ ◮ ÙØ Ð × Ø ÓÒ ³ÙÒ Ú Ö Ð °´ÆÇŵ È Ö Ü ÑÔÐ ¸ Ç Â ÁÄ Ë Ð ½ºÓ Ð ¾ºÓ Ð ¿ºÓ ÈÊÇ Ê Å ÑÝÔÖÓ °´ÈÊÇ Ê Åµ °´Ç  ÁÄ Ë µ ¹ ¹Ï ÐÐ ¹Ó °´ÈÊÇ Ê Åµ °´Ç  ÁÄ Ë µ Ð Ò ÖÑ °´Ç  ÁÄ Ë µ °´ÈÊÇ Ê Åµ
- 465. Å Ð ÔÖØ Ò Ö ÕÙ Á Ð Ñ Òظ ÓÒ Ñ Ö Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ö ÔÓÙÖ ÙÒ Ò× Ñ Ð ³ Ö Ø ØÙÖ × ´ÍÆÁ »Ï Ò ÓÛ׻ŠÇË»ËÔ Ö ¸ Ø ºµº ÈÓÙÖ ÕÙ Ö Ø ØÙÖ ¸ Ð ÒÓÑ Ù ÓÑÔ Ð Ø ÙÖ Ø × × ÓÔØ ÓÒ× Ô ÙÚ ÒØ Ò Ö ººº ·· Ä Ë ¹ ¹Ï ÐÐ Ç Â ÁÄ Ë Ð ½ºÓ Ð ¾ºÓ Ð ¿ºÓ ÈÊÇ Ê Å ÑÝÔÖÓ °´ÈÊÇ Ê Åµ °´Ç  ÁÄ Ë µ °´ µ °´ Ä Ëµ ¹Ó °´ÈÊÇ Ê Åµ °´Ç  ÁÄ Ë µ Ò ³ ÙØÖ × ÔÓ×× Ð Ø × ÔÐÙ× Ø Ò Ù × Ú Ð Å Ð
- 466. Å Ð ÔÖØ Ò Ö ÕÙ ◮ ° Ð Ö Ø Ö Ø ÓÙÖ ÒØ ◮ ° Ð Ð ×Ø ØÓÙ× Ð × Ö× ×ÓÙÖ × ◮ ° Ð ×ÓÙÖ Ð ÔÐÙ× Ù ÔÓÙÖ Ð Ð ÓÙÖ ÒØ ÑÝÔÖÓ Ð ½ºÓ Ð ¾ºÓ Ð ¿ºÓ °´ Ä Ëµ ¹Ó ° ° Ð ½ºÓ Ð ½º Ð ½º Ð ¾º °´ Ä Ëµ ¹ °
- 467. Å Ð ÔÖØ Ò Ö ÕÙ ÁÆ ÂÄ Ñ Ò× Ç ÂË Ö Ò ÓÑ× ÑÔÐ ºÓ Ñ Ø ØÓÓÐ× ºÓ Ô ÖØ Ø ÓÒ ºÓ Ä Ë ¹Ç¿ ÁÆ ÄÍ ¹Á»Ù×Ö»ÐÓ Ð» ÁÑ ¹½º º¾» ÄÁ Ë ¹Ä»Ù×Ö»ÐÓ Ð» ÓÓ×Ø ¹½º º¼» Ð » Ä È ÌÀ Ä ÄÁ Ê Ê È ÌÀ »Ù×Ö»ÐÓ Ð» ÓÓ×Ø ¹½º º¼» Ð »Ù×ֻР» ÐÐ Ò »Ð Ü Ö ¼ Ñ Ú Ñ Ú º ÜÜ Å Ð °´ µ °´ Ä Ëµ °´ÁÆ ÄÍ µ ¹Ó ° °º ÜÜ °´ ÄÁ ˵ Ü Ö ½ Ñ Ö × Þ Ñ Ö × Þ º ÜÜ Å Ð °´ µ °´ Ä Ëµ °´ÁÆ ÄÍ µ ¹Ó ° °º ÜÜ °´ ÄÁ ˵ ººº
- 468. Ê ×ÙÑ Ð ÓÖÑÐ ×Ñ Å ÔÊ Ù Ð³ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ ÔÔÖÓ ÔÓÙÖ Ð × Ø Ö ÙÜ Ô Ø Ø Ò× Ñ Ð × ÒÓÝ ÙÜ ´ ÓÖ ¹× Ø×µ × Ø ÙÜ Ì ÒÝ Ø Ò Ø Ø ÓÒ ÙÜ Å Ð × ÈÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ò Ó × Ð Ö Ð × Ô ØÖ × Ø ½¼ Ù ÔÓÐÝ ÓÔ
- 469. ÁÆ ¾ ÌÖØ Ñ ÒØ × ÓÒÒ × Å ×× Ú × ÌÓÔÓÐÓ × Ö × ÙÜ ³ ÒØ Ö ÓÒÒ Ü ÓÒ× Ö Ò Æ Ð× Ò Ò Ð× ÒРܺÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö ¾¼½¿ ¾ Ñ ¾¼½
- 470. ÈÐ Ò ◮ ÙÜØÝÔ × ØÓÔÓÐÓ × ◮ ØÓÔÓÐÓ Ô Ý× ÕÙ Ù ÐÙ×Ø Ö Ö × Ù ³ ÒØ Ö ÓÒÒ Ü ÓÒ ◮ ØÓÔÓÐÓ ÐÓ ÕÙ »Ú ÖØÙ ÐÐ ÙØ Ð × × Ô Ö Ð × Ð ÓÖ Ø Ñ × Ô Ö ÐÐ Ð × ◮ ØÓÔÓÐÓ Ð³ ÝÔ Ö Ù Ø ×ÓÒ Ó Ö Ý ××Ó
- 471. Ê × Ùܳ ÒØ Ö ÓÒÒ Ü ÓÒ Ö × Ù ÕÙ Ö Ð Ð × Ñ Ò × Ù ÐÙ×Ø Ö
- 472. ÐÙ×Ø Ö× Ñ Ò × Ø Ö × ÙÜ ÇÖ Ò Ø ÙÖ Ô Ö ÐÐ Ð Ñ ÑÓ Ö ×ØÖ Ù Ö ÔÔ Ñ Ò × Ö Ð × ÒØÖ ÐÐ × Ô Ö ÙÒ Ö × Ù ³ ÒØ Ö ÓÒÒ Ü ÓÒ º m´emoire locale processeur m´emoire locale processeur m´emoire locale processeur m´emoire locale processeur m´emoire locale processeur m´emoire locale processeur r´eseau d’interconnexion ´echange de messages avec MPI Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÓÔÓÐÓ ¹½ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ ×» ÝÒ Ñ ÕÙ ×
- 473. Ô Ö ×ØÓÔÓÐÓ × × Ö × ÙÜ ³ ÒØ Ö ÓÒÒ Ü ÓÒ ÌÓÔÓÐÓ ÔÖÓÔÖ Ø × Ò Ö ÕÙ × ³ÙÒ Ñ ÐÐ Ö × ÙÜ Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÓÔÓÐÓ ¹½ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ ×» ÝÒ Ñ ÕÙ ×
- 474. Ê × ÙÜ×Ø Ø ÕÙ × Ø Ö × ÙÜ ÝÒ Ñ ÕÙ × ÙÜ ØÝÔ × Ö × ÙÜ ◮ Ð × Ö × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × Ü ×¸ ÒÓÒ ÑÓ Ð × ◮ Ð × Ö × ÙÜ ÝÒ Ñ ÕÙ × ÑÓ Ð Ò ÓÙÖ× ³ Ü ÙØ ÓÒ Ô Ö ÙÒ ×Ø ÓÒÒ Ö ÓÒÒ Ü ÓÒ׸ Ô Ò Ù ØÖ ¸ Ð ÓÒ ×Ø ÓÒ¸ Ø º Ð ×Ø ÓÑÔÙØ Ò ´ µ Ù×Ø Ö Ð × Ö ××ÓÙÖ × Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø Ñ ÒØ × ÓÒÒ × ººº Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÓÔÓÐÓ ¹½ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ ×» ÝÒ Ñ ÕÙ ×
- 475. Ê × ÙÐÓ ÕÙ Ø Ö × Ù Ô Ý× ÕÙ ◮ Ê × Ù Ô Ý× ÕÙ Ó ÕÙ Ò Ù ×Ø ÙÒ ÔÖÓ ×× ÙÖ ´ÈÖÓ ×× Ò Ð Ñ Òظ È µ Ø ÕÙ Ð Ò Ö Ð ÙÜ ÔÖÓ ×× ÙÖ× ÔÓÙÚ ÒØ ÓÑÑÙÒ ÕÙ Ö Ö Ø Ñ ÒØ ÒØÖ ÙÜ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× ÔÓ ÒØ ÔÓ ÒØ ◮ Ê × Ù ÐÓ ÕÙ ×ØÖ Ø ÓÒ ³ÙÒ Ö × Ù ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ò Ô Ò ÒØ Ð³ Ö Ø ØÙÖ Ñ Ø Ö ÐÐ ×ÓÙ×¹ ÒØ ÕÙ Ð Ø Ð Ñ × Ò ÙÚÖ ³ Ð ÓÖ Ø Ñ × Ô Ö ÐРР׺ È Ö Ü ÑÔÐ ¸ Ð ÔÖÓ Ù Ø Ñ ØÖ Ð ×ÙÖ Ð ØÓÔÓÐÓ Ù ØÓÖ ¾ Ò Ö ×ÙÑ ◮ Ê × Ù ÐÓ ÕÙ Ô Ò Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ´ÓÖ Ò × Ô Ö ÖÓÙÔ × ÔÖÓ ×× ÙÖ׸ Ð × ÓÑÑÙÒ ØÓÖ×µ¸ Ô Ùع ØÖ ÝÒ Ñ ÕÙ ◮ Ê × Ù Ô Ý× ÕÙ Ô Ò Ù Ñ Ø Ö Ð¸ Ð ÔÐÙ× ×ÓÙÚ ÒØ ×Ø Ø ÕÙ → Ò ÔÖ Ø ÕÙ ¸ Ô Ö ÓÖÑ Ò ÓÔØ Ñ Ð ÕÙ Ò Ð × Ö × ÙÜ Ô Ý× ÕÙ × Ø ÐÓ ÕÙ × ×ÓÒØ ÒØ Õ٠׸ × ÒÓÒ ÓÒ Ö ÙÒ ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ ´ÓÙ ÔÐÓÒ Ñ ÒØ µº Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÓÔÓÐÓ ¹¾ºÊ × ÙÜ ÐÓ ÕÙ »Ô Ý× ÕÙ
- 476. Ê × Ù³ ÒØ Ö ÓÒÒ Ü ÓÒ ◮ Ö × Ù ÓÑÔÐ Ø ÔÓ ÒØ ÔÓ ÒØ ´ Ö Ò ÓÑÔÐ Ü Ø µ Ú Ö×Ù× Ù× ÓÑÑÙÒ ´× ÑÔÐ Ñ × ÔÖÓ Ð Ñ × ÓÐÐ × ÓÒ×µ ◮ Ð × Ð ÓÖ Ø Ñ × Ô Ö ÐÐ Ð × ÓÒØ ×Ó Ò ÔÖ Ñ Ø Ú × ◮ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× ÔÓ ÒØ ÔÓ ÒØ ´× Ò Ø Ö Ú µ ◮ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× ÐÓ Ð × ´ Ù× ÓÒ¸ Ò ØÓØ Ð¸ Ø ºµ ◮ ÝÔÓØ × ÖÓÙØ × Ò× Ô ÖØ → Ù ÙÒ Ñ ×× Ö Ø ¸ × Ò ÓÒØ ÒØ ÓÒ׸ Ô × Ù Ö ÓÚ Ö ÓÛ ◮ Ò ÔÖ Ø ÕÙ ¸ Ñ Ò ÙÒ ÓÒØÖÐ Ù ÓØ × Ñ ×× × ×ÙÖ Ð × Ð Ò×»Ò Ù × Ô Ö ÙÒ ×Ø ÓÒÒ Ö ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÓÔÓÐÓ ¹¿ºÊ × Ù ³ ÒØ Ö ÓÒÒ Ü ÓÒ Ð × ÜØÖ Ñ ×
- 477. ÌÓÔÓÐÓ Ù Ö× Ù Ö Ø Ô Ö ÙÒ Ö Ô G = (V , E) ◮ V ×ÓÑÑ Ø× ´Ú ÖØ ×µ ÔÖÓ ×× ÙÖ× ´È ×µ¸ ÔÖÓ ××Ù× ◮ E Ö Ø × ´ ×µ¸ Ö × Ð Ò× ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ø Ð Ö ÙÒ ÕÙ Ð Ö ´ØÖ ¹Ó µ ÒØÖ ÙÜ Ö Ø Ö × ÓÔÔÓ× × ◮ Ñ Ò Ñ × Ö Ð ÒÓÑ Ö Ð Ò× ´← Ó Ø Ñ Ø Ö Ð °°°µ ◮ Ñ Ü Ñ × Ö Ð ÒÓÑ Ö × ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× Ö Ø × ← Ó Ø × ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ׸ ÑÓ Ð α + βτ ÍÒ ØÓÔÓÐÓ ×Ø Ö Ø Ô Ö ÙÒ Ñ ÐÐ Ò Ö ÕÙ Ö Ô × È Ö Ü ÑÔÐ ¸Ð ØÓÔÓÐÓ Ð³ ÒÒ Ù ÔÓÙÖ Ð × ÒÒ Ùܸ Ø º Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÓÔÓÐÓ ¹ ºÌÓÔÓÐÓ
- 478. Ö Ø Ö×Ø ÕÙ × × ØÓÔÓÐÓ × ´ Ö Ô × Ò Ù Ø×µ ØØÖ ÙØ× ³ÙÒ Ö Ô G = (V , E) ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× Ð × Ð ØÓÔÓÐÓ ◮ Ñ Ò× ÓÒ Ò Ù ×¸ P ◮ ÒÓÑ Ö Ð Ò׸ l ◮ ÐÓÒ ÙÖ ³ÙÒ Ñ Ò ÒÓÑ Ö Ð Ò× Ù Ñ Ò ◮ ×Ø Ò ÐÓÒ Ù ÙÖ Ù ÔÐÙ× ÓÙÖØ Ñ Ò Ö Ð ÒØ ÙÜ Ò Ù × ◮ Ö ÒÓÑ Ö Ð Ò× Ô ÖØ ÒØ» ÖÖ Ú ÒØ ÙÒ Ò Ù ¸ Ö ÒØÖ ÒØ · Ö ×ÓÖØ ÒØ d d = d ÖÖ Ú ÒØ + dÔ ÖØ ÒØ ◮ Ñ ØÖ Ñ Ü ÑÙÑ × ×Ø Ò × ÒØÖ ÙÜ Ò Ù ×¸ Dº Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÓÔÓÐÓ ¹ º Ö Ø Ö ×Ø ÕÙ × ½¼
- 479. ÙØÖ × ØØÖÙØ× ÓÒÒ Ü Ø Ø ×× Ø ÓÒ Ö Ø Ö × Ø ÓÒ× ´×ÓÙÚ ÒØ Ö ÙÖ× Ú ×µ × ØÓÔÓÐÓ × Ò ×ÓÙ×¹ØÓÔÓÐÓ × ◮ ÓÒÒ Ü Ø Ù Ö × Ù ÒÓÑ Ö Ñ Ò ÑÙÑ Ð Ò× ÒÐ Ú Ö ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö ÙÜ Ö × ÙÜ ÓÒÒ Ü × ◮ Ð Ö ÙÖ ×× Ø ÓÒ ÒÓÑ Ö Ñ Ò ÑÙÑ Ð Ò× Ò ×× Ö × ÔÓÙÖ Ö Ð Ö ÙÜ ÑÓ Ø × × Ñ Ð Ð ×¸ b ´ ÜÔÖ ×× ÓÒ Ö ÙÖ× Ú ØÓÔÓÐÓ × ÓÑÑ Ð Ö ÐÐ µ Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÓÔÓÐÓ ¹ º Ö Ø Ö ×Ø ÕÙ × ½½
- 480. ÉÙ ÐÐ ××ÓÒØ Ð × ÓÒÒ × ØÓÔÓÐÓ × ÔÓÙÖ ÙÒ Ö × Ù ◮ Ñ Ò Ñ × Ö Ð Ö d Ù Ö × Ù ´→ Ó Ø Ð Ò Ð ×µ ◮ Ñ Ò Ñ × Ö Ð Ñ ØÖ D Ù Ö × Ù ´→ Ñ Ò× ÓÙÖØ× ÔÓÙÖ Ð × ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× ×µ ◮ Ñ Ü Ñ × Ö Ð Ñ Ò× ÓÒ Ù Ö × Ù ´→ Ù Ñ ÒØ Ö P¸ Ô ×× Ð³ ÐÐ ¸ × Ð Ð Øݸ ÔÓÙÖ Ð³ Ø µ Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÓÔÓÐÓ ¹ º Ö Ø Ö ×Ø ÕÙ × ½¾
- 481. ÉÙ ÐÕÙ ×× × ÔÓÙÖ Ð ÓÑÔ Ö ×ÓÒ × ØÓÔÓÐÓ × Ö ÙÑ ÒØ× Ò Ú ÙÖ Ù ÈÇÍÊ ◮ ÙÒ ÓÖÑ Ø ´Ö ÙÐ Ö Ø Ù Ö µ ÓÙ ×ÝÑ ØÖ ◮ Ô Ø Ô ÖØ Ø ÓÒÒ Ö ´ Ò ×ÓÙ×¹Ö × ÙÜ Ñ Ñ ØÓÔÓÐÓ µ ÓÙ Ø Ò Ö Ð Ö × Ù Ò ÓÒ× ÖÚ ÒØ Ð Ñ Ñ ØÓÔÓÐÓ ◮ Ô ×× Ð³ ÐÐ Ù Ñ ÒØ Ö Ð Ô Ö ÓÖÑ Ò Ò ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ × Ñ Ò× ÓÒ P ◮ Ô Ø ØÖ Ò× ÓÖÑ Ö Ð Ö × Ù Ò ³ ÙØÖ × ØÓÔÓÐÓ × ◮ Ð Ø ÖÓÙØ Ø ÙÖ× Ò Ú ÙÖ Ù ÇÆÌÊ ◮ Ù Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ù Ó Ø ÓÙ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ù ÖÓÙØ ´ Ö Ð Ú µ ◮ Ô ÖØ ÖÓ Ù×Ø ×× ´ Ö ×¸ ÓÒÒ Ü Ø µ ◮ Ô ÖØ Ô Ö ÓÖÑ Ò Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ´ Ö × Ø Ñ ØÖ Ð Ú µ ◮ Ô ÖØ Ô Ö ÓÖÑ Ò Ò Ð ÙÐ ´Ô Ø Ø Ñ Ò× ÓÒ Pµ Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÓÔÓÐÓ ¹ º × × ÔÓÙÖ Ð ÓÑÔ Ö ×ÓÒ ½¿
- 482. Ä Ö ×Ù ÓÑÔÐ Ø Ð Ö Ô ÓÑÔÐ Ø ÓÙ Ð Ð ÕÙ ◮ Ê × Ù Ð ÔÖÓ ×× ÙÖ× ×Ø Ò D = ½ × ÙÒ× × ÙØÖ × ◮ Ö d = P − ½¸ Ö ÙÐ Ö ◮ ÆÓÑ Ö Ð Ò× ÕÙ Ö Ø ÕÙ × P ¾ = P(P−½) ¾ → Ô ÖÑ Ø × ÑÙÐ Ö Ð Ñ ÒØ ØÓÙØ × Ð × ÙØÖ × ØÓÔÓÐÓ × ´ÔÙ ×ÕÙ³ ÐÐ ÓÒØ ÒØ ØÓÙ× Ð × ×ÓÙ×¹ Ö Ô × µ Ñ × Ó Ø Ð Ú Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹½ºÄ Ð ÕÙ ½
- 483. ij ØÓ Ð ËØÖ Ö Ô × → Ð ØÓÐ Ö Ò ÙÜ Ô ÒÒ ×º Ü ÑÔÐ ÐÓÖ× Ù Ý× ÓÒ Ø ÓÒÒ Ñ ÒØ Ù Ò Ù ÒØÖ Ð Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹½ºÄ Ð ÕÙ ½
- 484. ij ÒÒ Ù ÖÒ Ö Ô × → Ô ÖÑ Ø Ö × Ð ÓÖ Ø Ñ × Ô Ô Ð Ò × Ð Ñ ÒØ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× ÙÒ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ × ÓÙ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ × Ö Ô ÒÓÒ¹ÓÖ ÒØ ´ Ö Ø ×µ Ú× Ö Ô ÓÖ ÒØ ´ Ö × ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒµ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹½ºÄ Ð ÕÙ ½
- 485. ij ÒÒ Ù ÓÖ Ð ÓÙØ Ö × ÓÖ × ×ÙÖ Ð³ ÒÒ Ù ´ ÓÖ Ð Ö Ò µ → ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× ÔÐÙ× Ö Ô × ´ Ñ ØÖ D Ú ÒØ ÔÐÙ× Ô Ø Øµ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹½ºÄ Ð ÕÙ ½
- 486. ØÓ Ð ¸ÒÒ Ù¸ Ø ÒÒ Ù ÓÖ Ð ØÓ Ð ÒÒ Ù ÒÒ Ù ÓÖ Ð Ñ ØÖ ººº Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹½ºÄ Ð ÕÙ ½
- 487. Ö ÐÐ ¾D¸¿D Ø dD Ò Ö¹Ò ÓÖ Ñ × ¸ Ö ÖÖ ÙÐ Ö → Ò ÔØ Ù ÓÑ Ò Ð³ Ñ ´¾ Ô Ü Ð׸ ¿ ÚÓÜ Ð×µ Ñ × ººº ººº Ö ØØ ÒØ ÓÒ ÙÜ ÔÖÓ ×× ÙÖ× ×ÙÖ Ð × ÓÖ × ´ × Ô ÖØ ÙÐ Ö×µ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹½ºÄ Ð ÕÙ ½
- 488. ÌÓÖ ¾ Ö ÖÙÐ Ö Ô × ÓÖ × → ØÖ Ø Ñ ÒØ ÙÒ ÓÖÑ × Ò Ù × ÌÓÖ ¿D¸ ØÓÖ dDººº Ø Ð³ ÒÒ Ù ØÓÖ ½D Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹½ºÄ Ð ÕÙ ¾¼
- 489. Ê ÓÙÚÖ ÑÒØ×» ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× ÓÒ ÙÖÖ ÒØ × ÑÙÐØ ÔÐ × ◮ ÇÒ ×ÙÔÔÓ× ÕÙ Ð × ÔÖÓ ×× ÙÖ× ´È ×µ Ô ÙÚ ÒØ Ö Ò ÓÒ ÙÖÖ Ò × ÒÚÓ ×»Ö ÔØ ÓÒ× ÒÓÒ¹ ÐÓÕÙ ÒØ× Ò× ÕÙ × Ð ÙÐ× ÐÓ ÙÜ ◮ Ð Ò× ÙÒ ¹ Ö Ø ÓÒ Ð× ÓÙ ¹ Ö Ø ÓÒÒ Ð× ◮ À Ð ¹ ÙÔÐ Ü Ò Ô ×× ÒØ Ô ÖØ Ô Ö ÙÜ Ñ ×× × ×ÙÖ Ð Ñ Ñ Ð Ò ÐÐ ÒØ Ò× × Ö Ø ÓÒ× ÓÔÔÓ× × ◮ ÙÐй ÙÔÐ Ü ÓÑÑ × ÓÒ Ú Ø ÙÜ Ð Ò׸ ÓÒ Ö Ð Ò Ô ×× ÒØ ÔÓÙÖ ÕÙ Ö Ø ÓÒ ◮ ËÙÖ ÙÒ ÔÖÓ ××Ù× ÐÓ ÕÙ ´ØÓÔÓÐÓ Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ô Ö ÐÐ Ð µ l Ð Ò׸ ÒÓÑ Ö ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× ÓÒ ÙÖÖ ÒØ × ◮ ÑÙÐØ ¹ÔÓÖØ ÒÚÓ Ø Ö ÔØ ÓÒ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ×ÙÖ ØÓÙ× Ð × Ð Ò× ◮ ½¹ÔÓÖØ ½ ÒÚÓ Ø ½ Ö ÔØ ÓÒ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ◮ k¹ÔÓÖØ k ÒÚÓ × Ø k Ö ÔØ ÓÒ× Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹½ºÄ Ð ÕÙ ¾½
- 490. Ù ¿ P =Ò Ù × Ñ ØÖ ¿¸ Ö ÙÐ Ö ÌÖ × ×ÓÙÚ ÒØ ÙØ Ð × ººº ÓÒ Ú ÚÓ Ö Ð³ ÝÔ Ö Ù Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹½ºÄ Ð ÕÙ ¾¾
- 491. Ö Ö ×´ Ò Ö ×µ Ù ÓÙÔ ³ Ð ÓÖ Ø Ñ × Ö ÙÖ× × ÙØ Ð × ÒØ × ×ØÖÙ ØÙÖ × ³ Ö Ö × Ú Ö ÕÙ Ø × ººº ◮ È Ö ÓÙÖ× Ò ÔÖÓ ÓÒ ÙÖ ³ ÓÖ ´ ÔØ ¹ Ö×Ø × Ö ¸ ˵ ◮ È Ö ÓÙÖ× Ò Ð Ö ÙÖ ³ ÓÖ ´ Ö Ø ¹ Ö×Ø × Ö ¸ ˵ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹½ºÄ Ð ÕÙ ¾¿
- 492. Ê ×ÙÑ × Ö Ø Ö ×Ø ÕÙ × × ÔÖ Ò Ô Ð × ØÓÔÓÐÓ × p ÒÓÑ Ö ÔÖÓ ×× ÙÖ× ØÓÔÓÐÓ ÔÖÓ ×× ÙÖ× p Ö k Ñ ØÖ D Ð Ò× l b Ö × Ù ÓÑÔÐ Ø p p − ½ ½ p(p−½) ¾ p¾ ÒÒ Ù p ¾ ⌊p ¾ ⌋ p ¾ Ö ÐÐ ¾ √ p √ p ¾, ¾( √ p − ½) ¾p − ¾ √ p √ p ØÓÖ ¾ √ p √ p ¾⌊ √ p ¾ ⌋ ¾p ¾ √ p ÝÔ Ö Ù p = ¾d d = ÐÓ ¾ p d ½ ¾ p ÐÓ ¾ p p/¾ b Ð Ö ÙÖ ×× Ø ÓÒ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹½ºÄ Ð ÕÙ ¾
- 493. ÌÓÔÓÐÓ ÑÓ Ò× ÓÙÖ ÒØ Ö Ö Ð Ö ´ Ø ØÖ ×µ ÈÐÙ× ÓÒ × Ö ÔÔÖÓ Ð Ö Ò ÔÐÙ× Ð Ò Ô ×× ÒØ Ó Ø ØÖ Ö Ò ¸ Ö ÔÐÙ× ÓÒ Ö ÑÓÒØ ÔÐÙ× ³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ × Ù ÐÐ × Ð Ö Ò º Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹½ºÄ Ð ÕÙ ¾
- 494. ÌÓÔÓÐÓ Ý Ð ×ÓÒÒ Ø × Ò Ù ´ µ ÇÒ Ö ÑÔÐ Ð × ×ÓÑÑ Ø× Ù s¹ ÝÔ Ö Ù Ô Ö × ÒÒ ÙÜ s ÔÖÓ ×× ÙÖ׺ Ú ÒØ Ö d = ¿ Ù Ð Ù d = s¸ ÒÓÑ Ö Ò Ù × p = ¾s s¸ Ñ ØÖ D = ¾s − ¾ + ⌊s ¾⌋ ÔÓÙÖ s ¿ Ø D = ÕÙ Ò s = ¿º Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹½ºÄ Ð ÕÙ ¾
- 495. ij ÝÔ Ö ÙÐ d¹ Ù ¸ Ù Ò Ñ Ò× ÓÒ d ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ Ö ÙÖ× Ú ÈÓÙÖ ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ ÝÔ Ö Ù Ñ Ò× ÓÒ d + ½¸ ÓÒ Ô ÖØ ÙÜ ÓÔ × ³ÙÒ ÝÔ Ö Ù Ñ Ò× ÓÒ d Ò Ö Ð ÒØ Ð × ÓÔ × × Ò Ù × Ò× Ñ Ð × 0D 1D 2D 3D 4D Ö d¸ Ö ÙÐ Ö Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹¾º ÝÔ Ö Ù ¾
- 496. ÓÑÑ ÒØ ØÕÙ ØØ Ö Ð × Ò Ù × Ð³ ÝÔ Ö Ù ◮ Ö ØÖ Ö Ñ ÒØ Ñ × ÓÒ ÙÖ Ø ÐÓÖ× ×Ó Ò ³ÙÒ Ø Ð ÖÓÙØ ÔÓÙÖ ÓÒÒ ØÖ × × d ÚÓ × Ò× ÔÓÙÖ Ð ÖÓÙØ → Ò Ô ×× Ô × Ð³ ÐÐ º ◮ ÓÒ Ö ÔÐÙØØ ÙÒ Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÕÙ ÙÜ Ò Ù × ÚÓ × Ò× P Ø Q Ö ÒØ × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ô Ö ÙÒ Ø Ð ÐÓÖ× Ú Ö Ö P = (¼¼½¼)¾ Ø Q = (½¼½¼)¾ ×ÓÒØ ÚÓ × Ò× ÔÙ ×ÕÙ P ÜÓÖ Q = ½¼¼¼º Ì Ð Ú Ö Ø Ù ÇÍ Ü ÐÙ× ÜÓÖ ¼ ½ ¼ ¼ ½ ½ ½ ¼ ◮ ÓÒ ÚÓÙ Ö Ø Ù×× ÕÙ Ð × d Ø× Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ÙÜ d Ü × Ð³ ÝÔ Ö Ù Ò× ÓÒ ÒÚÓ ÙÒ Ñ ×× P = (¼¼½¼)¾ Q = (½¼½¼)¾ Ò ÙØ Ð × ÒØ Ð d¹ Ñ Ü Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹¾º ÝÔ Ö Ù ¾
- 497. Ó Ö Ý×ÙÖ Ð³ ÝÔ Ö Ù ◮ Ó Ö Ý G(i, x) Ó Ò Ö Ö ◮ Ë ÙÐ Ñ ÒØ ÙÒ Ø Ö Ò ÒØÖ ÙÜ Ò Ù × ÓÒÒ Ø × ◮ Ö Ú Ø Ò ½ ¿ Ô Ö Ö Ò Ö Ý ´ ÐÐ Ä ×µ Ò Ø ÓÒ Ù Ó Ö Ý Gd = ¼Gd−½, ½GÖ d−½ i Ö Ò Ù ÑÓØ x ÒÓÑ Ö Ø× Ù Ó G(¼, ½) = ¼ G(½, ½) = ½ G(i, x + ½) = G(i, x), i ¾x G(i, x + ½) = ¾x + G(¾x+½ − ½ − i, x), i ≥ ¾x Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹¿º Ó Ö Ý ¾
- 498. ÈÖÓÔÖ Ø ×³ÙÒ Ó Ö Ý ◮ ÑÓØ× ÒØ× Ö ÒØ Ô Ö ÙÒ Ø ◮ Ó Ý Ð ÕÙ ◮ ÙÒ × ÕÙ Ò ÖÓ ×× ÒØ ÕÙ Ú ÙØ ÙÒ × ÕÙ Ò ÖÓ ×× ÒØ ÕÙ Ò ÓÒ ÔÔ Ð Ø Ø Ø ¼ ↔ ½ Ó Ñ Ð Ó Ò Ö Ó Ö Ý ´ Ò Ö Ö µ ¼ ¼¼¼ ¼¼¼ ½ ¼¼½ ¼¼½ ¾ ¼½¼ ¼½½ ¿ ¼½½ ¼½¼ ½¼¼ ½½¼ ½¼½ ½½½ ½½¼ ½¼½ ½½½ ½¼¼ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹¿º Ó Ö Ý ¿¼
- 499. ×Ø Ò ÀÑÑ Ò ×ÙÖ Ð³ ÝÔ Ö Ù ◮ ×Ó Ø P = (Pd−½ . . . P¼)¾ Ø Q = (Qd−½ . . . Q¼)¾ ÙÜ ×ÓÑÑ Ø× Ð³ ÝÔ Ö Ù Ñ Ò× ÓÒ d ◮ Ð ×Ø Ò ÒØÖ P Ø Q ×Ø Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ Ù ÔÐÙ× ÓÙÖØ Ñ Ò Ð × Ö Ð ÒØ ◮ Ð ×Ø Ò ÒØÖ P Ø Q ÕÙ Ú ÙØ Ð ×Ø Ò À ÑÑ Ò ×ÙÖ Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö P Ø Q À ÑÑ Ò (P, Q) = d−½ i=¼ ½Pi =Qi È Ö Ü ÑÔÐ ¸ À ÑÑ Ò (½¼½½, ½½¼½) = ¾º ÇÒ ÓÑÔØ × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð ÒÓÑ Ö Ø× Ö ÒØ× Ò× Ð × Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ× Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹¿º Ó Ö Ý ¿½
- 500. Ñ Ò× ×ÙÖг ÝÔ Ö Ù Ø ÖÓÙØ ◮ Ð Ü ×Ø À ÑÑ Ò (P, Q)! ´ ØÓÖ ÐÐ µ Ñ Ò× ÒØÖ P Ø Q ÓÒØ À ÑÑ Ò (P, Q) ×ÓÒØ ÙÜ ÙÜ × Ó ÒØ׺ ◮ È Ö Ü ÑÔÐ ¸ À ÑÑ Ò (¼¼, ½½) = ¾ Ø ÙÜ Ñ Ò× ×Ø Ò Ø× ¼¼ → ½¼ → ½½ Ø ¼¼ → ¼½ → ½½ ¼¼ ↔ ¼½ ½¼ ↔ ½½ ◮ ÖÓÙØ Ò Ô ÖØ ÒØ ×Ó Ø × ÔÓ × Ð × ´×ÓÙÚ ÒØ Ð ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÔÖ × µ ×Ó Ø × ÔÓ × ÓÖØ׸ ÓÒ Ñ Ò Ð Ñ ×× Ù×ÕÙ³ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ö P Ò Q Ò ÔÔ ÒØ Ð Ø ´ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ×ÙÖ Ð Ð Òµ ÙÜ ÔÓ× Ø ÓÒ× × ½ Ù P ÜÓÖ Qº ◮ Ü ÑÔÐ P = ½¼½½ → Q = ½½¼½ Ú P ÜÓÖ Q = ¼½½¼º È ÒÚÓ Ø ÓÒ Ð Ñ ×× P′ = ½¼¼½ ×ÙÖ Ð Ð Ò ½ Ø P′ ÒÚÓ Ð Ñ ×× P′′ = ½½¼½ = P ×ÙÖ Ð Ð Ò ¾º Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹¿º Ó Ö Ý ¿¾
- 501. Ò Ö ÖÙÒ Ó Ö Ý Ò ·· Ú Ð ËÌÄ × Ò× Ð Ö ÙÖ× Ú Ø ººº Ó ÓÔØ Ñ × Ð ×× Ö Ý ß ÔÙ Ð Ú ØÓÖ ÒØ Ó ´ ÒØ Òµ ß Ú ØÓÖ ÒØ Ú ÚºÔÙ× ´¼µ ÓÖ´ ÒØ ¼ Ò ··µ ß ÒØ ½ ÒØ Ð Ò Úº× Þ ´µ ÓÖ´ ÒØ Ð Ò ¹ ½ ¼ ¹¹µ ß ÚºÔÙ× ´ · Ú ℄µ Ö ØÙÖÒ Ú Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹¿º Ó Ö Ý ¿¿
- 502. Ò Ö ÖÙÒ Ó Ö Ý Ò ·· ÙØ Ð × Ø ÓÒ Ò ÐÙ Ó×ØÖ Ñ Ò ÐÙ Ú ØÓÖ Ò ÐÙ Ø× Ø Ù× Ò Ò Ñ ×Ô ×Ø ÒØ Ñ Ò´µ ß Ö Ý Ú ØÓÖ ÒØ º Ó ´ µ ÓÖ´ ÒØ ¼ º× Þ ´µ ··µ ß ÓÙØ ℄ Ø ÓÙØ Ò Ð ÓÖ´ ÒØ ¼ º× Þ ´µ ··µ ß ÓÙØ ´ Ø× Ø µ ℄ Ø ÓÙØ Ò Ð Ö ØÙÖÒ ¼ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹¿º Ó Ö Ý ¿
- 503. Ò Ö ÖÙÒ Ó Ö Ý Ò ·· Ö ×ÙÐØ Ø ÁÆ ¾ Ö Ý Ó ¾ ¼ ½ ¿ ¾ ½ ½ ½¼ ½½ ¼¼¼¼¼¼¼¼ ¼¼¼¼¼¼¼½ ¼¼¼¼¼¼½½ ¼¼¼¼¼¼½¼ ¼¼¼¼¼½½½ ¼¼¼¼¼½¼½ ¼¼¼¼¼½¼¼ ¼¼¼¼½½¼¼ ¼¼¼¼½½½½ ¼¼¼¼½½½¼ ¼¼¼¼½¼½¼ ¼¼¼¼½¼½½ ¼¼¼¼½¼¼¼ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹¿º Ó Ö Ý ¿
- 504. ÀÝÔ Ö Ù Ú ÒÙÑ ÖÓØ Ø ÓÒ Ô Ö Ð Ó Ö Ý 0000 0100 1000 1100 1010 1110 0001 0101 0111 11111011 1001 0011 0010 0110 Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹¿º Ó Ö Ý ¿
- 505. ÈÓÔÙÐ Ö Øг ÝÔ Ö Ù ◮ P = ¾d ¸ ÓÒ d = ÐÓ ¾ P¸ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ô ×× Ð³ ÐÐ ÜØ Ò× Ð ◮ ØÓÔÓÐÓ Ð³ ÝÔ Ö Ù Ô ÖÑ Ø Ö Ð × Ö ÐРг ÒÒ Ù ◮ ØÓÔÓÐÓ Ð³ ÝÔ Ö Ù Ô ÖÑ Ø Ö Ð × Ö ÙÒ Ö × Ù ØÓÖ ÕÙ Ø ÐÐ ¾r × ¾s Ò× ÙÒ d = r + s¹ Ù ¸ Ò ÙØ Ð × ÒØ Ð ÒÙÑ ÖÓØ Ø ÓÒ ( Ö Ýr , Ö Ýs) Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹¿º Ó Ö Ý ¿
- 506. Ù× ÓÒ ´ÖÓ ×ص Ò× Ð³ ÝÔ Ö Ù Ô ÖØ Ö Ù Ò Ù P¼ = (¼...¼)¾ ◮ ÓÒ ÔÓÙÖÖ Ø Ù× Ö ×ÙÖ ØÓÙ× Ð × Ð Ò׸ ÔÙ × Ù Ò Ú Ù ÙÒ ØÓÙØ Ð × ÔÖÓ ×× ÙÖ× Ù× Ö Ø ×ÙÖ Ð × Ð Ò׸ Ø º ÁÒ Ø Ö ÓÒ ÒØ ◮ ÓÒ ÔÓÙÖÖ Ø × ÑÙÐ Ö Ð Ù× ÓÒ × ÑÔÐ ×ÙÖ Ð³ ÒÒ Ù ÔÐÓÒ Ò× Ð³ ÝÔ Ö Ù Ñ × ØÖÓÔ Ð ÒØ ◮ Ò d Ø Ô × ÒÙÑ ÖÓØ × d − ½ ¼ Ô Ö ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ ³ÙÒ Ö Ö ÒÓÑ Ð Ö ÓÙÚÖ ÒØ ººº Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹¿º Ó Ö Ý ¿
- 507. Ð ÓÖ ØÑ Ù× ÓÒ ×ÙÖ Ð³ ÝÔ Ö Ù Ù× ÓÒ× Ô ÖØ Ö P¼ = (¼...¼)¾ Õ٠гÓÒ Ö ÒÓÑÑ Ò (½¼...¼)¾ Ò ÓÙØ ÒØ ÙÒ Ø ½ Ò Ø Ø ◮ Ä × ÔÖÓ ×× ÙÖ× Ö Ó Ú ÒØ Ð Ñ ×× ×ÙÖ Ð Ð Ò ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð ÙÖ ÔÖ Ñ Ö ½ ◮ Ð× ÔÖÓÔ ÒØ Ð Ñ ×× ×ÙÖ Ð × Ð Ò× ÕÙ ÔÖ ¡ ÒØ ÔÖ Ñ Ö ½ ◮ ÔÖÓ ÓÒ ÙÖ d = ÐÓ ¾ P Ø Ô × ◮ Ð Ü ×Ø Ñ ÐÐ ÙÖ× Ð ÓÖ Ø Ñ × ººº ¸ Ò Ñ Ò× ÓÒ ¿º Ê Ö ÓÒ× Ñ ÒØ Ò ÒØ Ò Ñ Ò× ÓÒ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹¿º Ó Ö Ý ¿
- 508. Ö Ò ÆÐ× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹¿º Ó Ö Ý ¼
- 509. Ö Ò ÆÐ× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹¿º Ó Ö Ý ½
- 510. Ö Ò ÆÐ× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹¿º Ó Ö Ý ¾
- 511. Ö Ò ÆÐ× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹¿º Ó Ö Ý ¿
- 512. Ö Ò ÆÐ× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹¿º Ó Ö Ý
- 513. Ö Ö ÒÓÑÐ Ö ÓÙÚÖ ÒØ Ð³ ÝÔ Ö Ù Ö Ö Ù× ÓÒ 0000 1000 0100 0010 0001 1100 1010 1001 0110 0101 0011 1110 1101 1011 0111 1111 Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹¿º Ó Ö Ý
- 514. Ê × ÙÔ Ý× ÕÙ » Ö × Ù ÐÓ ÕÙ Ø ÔÐÓÒ Ñ ÒØ× ÌÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ Ù Ö × Ù ÐÓ ÕÙ ´ÙØ Ð × Ô Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ µ ×ÙÖ Ð Ö × Ù Ô Ý× ÕÙ ´Ð³ Ö Ø ØÙÖ ×ÓÙ×¹ ÒØ µ Ñ × Ò ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò × Ò Ù ×º Ò ÓÖ ÔÔ Ð Ø Ò ÕÙ ÔÐÓÒ Ñ ÒØ È Ö Ñ ØÖ × ÓÔØ Ñ × Ö ◮ Ð Ø Ø ÓÒ ×Ø Ò Ñ Ü Ñ Ð Ò× Ð Ö × Ù Ô Ý× ÕÙ ÒØÖ ÙÜ Ò Ù × ÚÓ × Ò× Ù Ö × Ù ÐÓ ÕÙ ◮ ÜÔ Ò× ÓÒ ÜÔ Ò× ÓÒ = Ò Ù × Ù Ö × Ù Ô Ý× ÕÙ Ò Ù × Ù Ö × Ù ÐÓ ÕÙ Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºÌÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ»ÔÐÓÒ Ñ ÒØ
- 515. ÌÖ Ò×ÔÓ× ØÓÒ × ØÓÔÓÐÓ × ÐÓ ÕÙ × ⇒ Ô Ý× ÕÙ × ÌÓÔÓÐÓ ÕÙ Ô Ý× ÕÙ Ö × Ù ³ ÒØ Ö ÓÒÒ Ü ÓÒ ÌÓÔÓÐÓ ÕÙ ÐÓ ÕÙ ØÓÔÓÐÓ Ù ÖÓÙÔ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ´ÔÓÙÖ Ð × Ð ÓÖ Ø Ñ × Ô Ö ÐÐ Ð ×µ ÇÒ Ö ÚÓ Ö ◮ Ð Ø Ø ÓÒ ½ ◮ ÜÔ Ò× ÓÒ ½ Ö ÓÒ Ú ÙØ Ú Ø Ö ◮ Ð Ô ÖØ Ô Ö ÓÖÑ Ò × ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× ÐÓÖ×ÕÙ Ð Ð Ø Ø ÓÒ ½ ◮ Ð Ô ÖØ Ô Ö ÓÖÑ Ò Ò Ð ÙÐ ÜÔ Ò× ÓÒ ½ ´ÔÐÙ× ÙÖ× Ò Ù × ÐÓ ÕÙ × ×ÙÖ ÙÒ Ñ Ñ Ò Ù Ô Ý× ÕÙ → Ø Ñ ¹×Ð Ò × ÔÖÓ ××Ù×µ Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºÌÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ»ÔÐÓÒ Ñ Òع½ºÌÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ
- 516. ÌÖ Ò×ÔÓ× Öг ÒÒ Ù P = ¾d ×ÙÖ Ð³ ÝÔ Ö Ù {¼, ½}d p ÒÒ Ù = phypercube = ⇒ ÜÔ Ò× ÓÒ ½ 010 000 001 011 110 100 101 111 12 3 3 3 3 2 010 000 001 110 111 101 100 011 transposition Ä × Ö Ø × ÐÓ ÕÙ × Ð³ ÒÒ Ù Ò ÔÓ ÒØ ÐÐ × Ñ Ò ÒØ ¿ Ð Ò× Ô Ý× ÕÙ × ×ÙÖ Ð³ ÝÔ Ö Ù ´ Ñ ØÖ µ Ð Ø Ø ÓÒ ¿ Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºÌÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ»ÔÐÓÒ Ñ Òع½ºÌÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ
- 517. ÌÖ Ò×ÔÓ× ØÓÒ ÓÔØ Ñ Ð ÒÒ Ù → ÝÔ Ö Ù Æ Ù Ai г ÒÒ Ù ×Ø ××Ó Ù ÔÖÓ ×× ÙÖ HG(i,d) г ÝÔ Ö Ù º È Ö Ø Ð Ø Ø ÓÒ ½ Ø ÜÔ Ò× ÓÒ ½ 010 000 001 011 110 100 101 111 transposition010 000 001 110 111 101 100 011 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 76 4 5 32 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)anneau = (0, 1, 3, 2, 6, 7, 5, 4)cube anneau cube Ai ⇔ HGray(i,d) ÇÒ ÓÖÑ ÙÒ Ý Ð ´ ÒÒ Ùµ ×ÙÖ Ð³ ÝÔ Ö Ù Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºÌÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ»ÔÐÓÒ Ñ Òع½ºÌÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ
- 518. ÌÖ Ò×ÔÓ× ØÓÒ×»ÔÐÓÒ Ñ ÒØ× Ä³ ÝÔ Ö Ù ÙÒ ØÓÔÓÐÓ Ó Ü ◮ Ö ÐÐ ×»ØÓÖ × ¾ ×ÙÖ Ð³ ÝÔ Ö Ù ÓÔØ Ñ Ð ´ Ð Ø Ø ÓÒ ½ Ø ÜÔ Ò× ÓÒ ½µ ◮ Ö Ö × Ò Ö × ×ÙÖ Ð³ ÝÔ Ö Ù ◮ Ø º È ×× Ð³ ÐÐ Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºÌÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ»ÔÐÓÒ Ñ Òع½ºÌÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ ¼
- 519. ÈÖÓ Ù Ø ÖØ × Ò Ö Ô × Ð³ÓÔ Ö Ø ÙÖ ⊗ ËÓ Ø G½ = (V½, E½) Ò G¾ = (V¾, E¾) ÙÜ Ö Ô × ÓÒÒ Ø ×º Ä ÔÖÓ Ù Ø ÖØ × Ò G = G½ ⊗ G¾ = (V , E) ×Ø Ò Ô Ö ◮ Ð × ×ÓÑÑ Ø× V V = V½ × V¾ = {(u½, u¾), u½ ∈ V½, u¾ ∈ V¾}¸ ◮ Ð × Ö Ø × E ((u½, u¾), (v½, v¾)) ∈ E ⇔ u½ = v½ (u¾, v¾) ∈ E¾ u¾ = v¾ (u½, v½) ∈ E½ ⊗ = G1 G2 G1 ⊗ G2 u1 u2 v1 v2 v3 (u2, v1) (u2, v2) (u2, v3) (u1, v1)(u1, v2) (u1, v3) ØØÔ »» ÒºÛ Ô ºÓÖ »Û » Ö Ô ÔÖÓ Ù Ø Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºÌÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ»ÔÐÓÒ Ñ Òع¾ºÈÖÓ Ù Ø ÖØ × Ò Ö Ô × ⊗ ½
- 520. ÈÖÓ Ù Ø ÖØ × Ò Ö Ô × ÙÒ ÙØÖ Ü ÑÔÐ Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºÌÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ»ÔÐÓÒ Ñ Òع¾ºÈÖÓ Ù Ø ÖØ × Ò Ö Ô × ⊗ ¾
- 521. Ä ÔÖÓ ÙØ ÖØ × Ò Ö Ô × Ò Ø ÓÒ ◮ ÈÖÓ Ù Ø ÙÜ Ö Ø × ×Ø ÙÒ Ý Ð ×ÓÑÑ Ø× K¾ ⊗ K¾ = C ◮ ÈÖÓ Ù Ø K¾ Ø ³ÙÒ Ñ Ò ×Ø ÙÒ ÐÐ ´Ð Ö Ö Ô µ ◮ ÈÖÓ Ù Ø ÙÜ Ñ Ò× ×Ø ÙÒ Ö ÐÐ ◮ d ÔÖÓ Ù Ø× ³ÙÒ Ö Ø ÓÒÒ Ð³ ÝÔ Ö Ù Ñ Ò× ÓÒ d K¾ ⊗ ... ⊗ K¾ d Ó × = ÀÝÔ Ö Ù d ◮ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ù Ø ÙÜ ÝÔ Ö Ù × ×Ø ÙÒ ÝÔ Ö Ù ÀÝÔ Ö Ù d½ ⊗ ÀÝÔ Ö Ù d¾ = ÀÝÔ Ö Ù d½+d¾ Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºÌÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ»ÔÐÓÒ Ñ Òع¾ºÈÖÓ Ù Ø ÖØ × Ò Ö Ô × ⊗ ¿
- 522. ÌÓÔÓÐÓ × ÖÙÐ Ö × Ö ÙÐ Ö ÕÙ ×ÓÑÑ Ø ÓÙ Ð Ñ Ñ ÖÐ ´ ÓÑÑ ÔÓÙÖ Ð × ×ÓÐ × ÔÐ ØÓÒ ÕÙ × ºººµ Ö Ô È Ø Ö× Ò P = ½¼¸ d = ¿¸ D = ¾ ⇒ ÔÖÓ Ù Ø ÖØ × Ò ÙÜ Ö Ô × Ö ÙÐ Ö× ×Ø ÙÒ Ö Ô Ö ÙÐ Ö Ö Ò Æ Ð× Ò ºÌÓÔÓÐÓ × Ö ÙÐ Ö ×
- 523. ÌÓÔÓÐÓ × ÖÙÐ Ö × ÓÑÔÐ Ü × Ò Ø ÓÒ N(d, D) = p ÒÓÑ Ö Ñ Ü ÑÙÑ Ò Ù × Ò× ÙÒ Ö Ô Ö ÙÐ Ö Ö d Ø Ñ ØÖ D ´ÒÓÑ Ö Ò ÓÒ µº ◮ ÒÒ Ù d = ¾ Ø D = ⌊p ¾ ⌋ ◮ Ö Ô ÓÑÔÐ Ø d = p − ½ Ø D = ½ ◮ ÀÝÔ Ö Ù N(d, D = d) = ¾d ÁÒ Ð Ø × ´ ÓÖÒ × ×ÙÔ Ö ÙÖ ×µ ÅÓÓÖ ◮ N(¾, D) ≤ ¾D + ½ ◮ N(d, D) ≤ d(d−½)D −¾ d−¾ , d ¾ ◮ N(½ , ½¼) = ½¾ ½ ½ ¿½ ÍÒ Ú Ö Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ö Ò ×Ó ÅÓÓÖ Ö Ô × Ò ÝÓÒ ×ÙÖÚ Ý Ó Ø Ö » Ñ Ø Ö ÔÖÓ Ð Ñ ØØÔ »»ÛÛÛº ÓÑ Ò ØÓÖ ×ºÓÖ »Ó ×» Ò ÜºÔ Ô» Ð » ÖØ Ð »Ú Û Ð » ˽ »Ô Ö Ò Æ Ð× Ò ºÌÓÔÓÐÓ × Ö ÙÐ Ö ×¹½ºÌÓÔÓÐÓ × ÓÑÔÐ Ü ×
- 524. Ä Ö ÔX Ø Ð Ð ÕÙ K¿ Ò ÔÖÓ Ù Ø ÖØ × Òººº ⊗ ØÓÔÓÐÓ Ö ÙÐ Ö K¿ ∗ X Ö ¸ Ñ ØÖ ¾¸ p = ¾ ¸ ÓÖÒ ×ÙÔ Ö ÙÖ ÅÓÓÖ ¾ Ö Ò Æ Ð× Ò ºÌÓÔÓÐÓ × Ö ÙÐ Ö ×¹½ºÌÓÔÓÐÓ × ÓÑÔÐ Ü ×
- 525. Ê × Ùܳ ÒØ Ö ÓÒÒ Ü ÓÒ× ×ÙÖ Ð ÔÙ Ö Ò Æ Ð× Ò ºÊ × ÙÜ ×ÙÖ Ð ÔÙ
- 526. ÁÒØ Ð ÓÒÊ È ¾¹ ÓÖ Ü ÈÍ ´½ Òѵ ¿ Ì ÐÓÔ× ÓÒ×ØÖÙ Ö × ×ÙÔ Ö¹ Ð ÙÐ Ø ÙÖ× Ô ÖØ Ö ÔÙ × ´ Ôµ ×ÙÔ Ö ÓÑÔÙØ Ò Ö Ò Æ Ð× Ò ºÊ × ÙÜ ×ÙÖ Ð ÔÙ
- 527. Ä × ÔÙ × × ÓÖ Ò Ø ÙÖ× ÑÙÐØ ¹ ÓÖ × Ê × ÙÜ ³ ÒØ Ö ÓÒÒ Ü ÓÒ× ÔÓÙÖ Ð × ÙÖ× Ð ÔÙ ´ Ôµ ´ÇÒ¹ Ô ÒØ Ö ÓÒÒ Ø ÓÒ Ò ØÛÓÖ ×µ ◮ Ñ Ò Ñ × Ö Ð Ð Ø Ò Ö Ö × Ñ ÑÓ Ö × Ö ×ØÖ × → × → Ê Å× ◮ Ò× ÙÒ Ý Ð ³ ÓÖÐÓ ´ ÐÓ Ý Ð ¸ µ¸ ÓÒ Ò ØÓÙ ÕÙ³ÙÒ Ô ÖØ Ù Ö Ù Ø ´ % ÔÓÙÖ ¼¹ÒÑ ÔÖÓ ××µ ◮ × Ð Ê Å Ò ×½¼¼ ׸ Ô × Ò Ø ÑÔ× ÓÒ×Ø ÒØ Ö Ò Æ Ð× Ò ºÊ × ÙÜ ×ÙÖ Ð ÔÙ
- 528. ÓÒØ ÒØ ÓÒÒ× Ð × Ö × ÙÜ ◮ ÓÒØ ÒØ ÓÒ ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð × Ö ××ÓÙÖ × ◮ ÄÓÖ×ÕÙ ÙÜ ÓÙ ÔÐÙ× ÙÖ× Ò Ù × Ú ÙÐ ÒØ ØÖ Ò×Ñ ØØÖ ÙÒ Ñ ×× ×ÙÖ ÙÒ Ð Ò Ò Ñ Ñ Ø ÑÔ׺ ◮ Ù× Ô ÖØ ³ ÒØ Ö ÓÒÒ Ü ÓÒ ÍÒ × ÙÐ Ò Ù Ð Ó × Ô ÙØ ÙØ Ð × Ö Ð Ù× m´emoire globale BUS P cache P P P P cache cache cache cache Ö Ò Æ Ð× Ò ºÊ × ÙÜ ×ÙÖ Ð ÔÙ ¹½º ÓÒØ ÒØ ÓÒ ¼
- 529. Ä × Ö× ÙÜ ³ ÒØ Ö ÓÒÒ Ü ÓÒ Ò Ö ×ÙÑ ◮ ÐÙ×Ø Ö ´ ÓÖ Ò Ø ÙÖ Ô Ö ÐÐ Ð µ ÑÓ Ð × Ô Ö ÙÒ Ö Ô ◮ ØÓÔÓÐÓ Ö Ø Ö ×Ø ÕÙ × Ò×ØÖ Ò× ÕÙ × Ù Ö Ô Ò Ö ÕÙ ◮ Ö × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × ÓÙ ÝÒ Ñ ÕÙ × ◮ Ö × ÙÜ Ö ÙÐ Ö × ÑÔÐ × ÓÙ ÓÑÔÐ Ü × ´ÔÖÓ Ù Ø× Ö Ô ×µ ◮ г ÝÔ Ö Ù Ø Ð Ó Ö Ý ´ÖÓÙØ Ð µ ◮ ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ»ÔÐÓÒ Ñ ÒØ ØÓÔÓÐÓ × Ú ÖØÙ ÐÐ × ×ÙÖ Ð × ØÓÔÓÐÓ × Ô Ý× ÕÙ × ◮ ÒØ Ö ÓÒÒ Ü ÓÒ× × ÙÖ× ×ÙÖ ÙÒ ÔÙ ´ Ù׸ ×Û Ø ¸ ÖÓ×× Ö ² ÓÑ º º ÔÓÐÝ ÓÔ µ ⇒ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× ´Ð Ø Ò » Ò Ô ×× ÒØ µ Ð Ñ Ø ÒØ ×ÓÙÚ ÒØ Ð Ô Ö ÓÖÑ Ò × Ð ÓÖ Ø Ñ × Ô Ö ÐÐ Ð × ×ÙÖ ÙÒ Ö Ø ØÙÖ Ñ ÑÓ Ö ×ØÖ Ù Ö Ò Æ Ð× Ò ºÊ × ÙÜ ×ÙÖ Ð ÔÙ ¹½º ÓÒØ ÒØ ÓÒ ½
- 530. Ê ×ÙÑ ØÓÔÓÐÓ ÔÝ× ÕÙ »ÐÓ ÕÙ Ø ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ ÝÔ Ö Ù ¸ Ó Ö Ý Ø ÔÐÓÒ Ñ ÒØ Ð³ ÒÒ Ù Ò× Ð³ ÝÔ Ö Ù Ð ÓÖ Ø Ñ × ÖÓÙØ Ù× ÓÒ ×ÙÖ Ð³ ÝÔ Ö Ù ÈÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ò Ó × Ð Ö Ð × Ô ØÖ × ¿ Ø ½¼ Ù ÔÓÐÝ ÓÔ Ö Ò Æ Ð× Ò ºÊ × ÙÜ ×ÙÖ Ð ÔÙ ¹½º ÓÒØ ÒØ ÓÒ ¾
- 531. ÁÆ ¾ ÌÖØ Ñ ÒØ × ÓÒÒ × Å ×× Ú × Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ô Ö ÐÐ Ð ×ÙÖ Ð × Ö Ô × Ö Ò Æ Ð× Ò Ò Ð× ÒРܺÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö ¾¼½¿ ¿ Ù Ò ¾¼½
- 532. ÈÐ Ò ◮ ÔÖÓÖ ÑÑ ÔÓÙÖ Ð ÓÒØÖÐ Ö Ø ´ µ ½¼ Ù Ò ¾¼½ ¸ ¹½¾ ◮ Ð × Ö Ô × ◮ Ð × Ö Ò × Ö Ô × Ø Ø ÓÒ ×ÓÙ×¹ Ö Ô × Ò× × ◮ Ð × Ô Ø Ø× Ö Ô × Ø Ø ÓÒ ´×ÓÙ×¹µ ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × ◮ ÜÔÓ× ÒÚ Ø Ð ÀÈ ÐÓÙ Ô Ö Åº È ØÖ Ð Ö ´È ¸ ØÓ×» ÙÐе
- 533. Ê Ú ×ÓÒ× ÔÓÙÖ Ð ÓÒØÖÐ Ö Ø ◮ ÐÓ ³ Ð Ö Ø ÓÒ ´ Ñ Ðµ ÔÓÙÖ Ð × ÔÖÓ Ö ÑÑ × Ô Ö ÐÐ Ð × ◮ Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ × Ø Ð Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ × ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ø Î Ö Ò » ÒØÖÓ ³ÙÒ ÖÓÙÔ Ó Ø ×ÓÑÑ × Ú Ö Ò × × ÖÓÙÔ × ººº ◮ Ð × Ð ÓÖ Ø Ñ × Ô Ö ÐÐ Ð × × ÖÓÒØ Ö Ø Ò Ô× Ù Ó¹ Ó ÅÈÁ ´ÓÔ Ö Ø ÓÒ× Ö Ù ¸ × ØØ Ö¸ Ø Öµº ◮ È× Ù Ó¹×ÝÒØ Ü ÅÈÁ Ø Ô × ×ÝÒØ Ü ··º ÈÖÓ Ö ÑÑ ¾¼ Ð Ò × Ù Ñ Ü ÑÙÑ ◮ ØÓÔÓÐÓ Ð³ ÝÔ Ö Ù ¸ Ó Ö Ý¸ ×Ø Ò À ÑÑ Ò Ø ÖÓÙØ º ÁÐ Ò³ ÙÖ Ô × ··¸ Ò Ð ×× Ø ÓÒ¸ Ò ³ Ð ÓÖ Ø Ñ × ×ÙÖ Ð × Ñ ØÖ ×¸ Ò Å ÔÊ Ù ¸ Ø Ò ×ÓÙ×¹ Ò× Ñ Ð × ÙÖ׺
- 534. Ê Ú ×ÓÒ× Ð Ó Ö Ý
- 535. ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ Ö ÙÖ× Ú Ù Ó Ö Ý ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ Ö ÙÖ× Ú ◮ Ó Ö Ý ½ Ø ´ × Ø ÖÑ Ò Ðµ G(½) = (¼, ½) ◮ Ó Ö Ý d Ø× G(d) = (¼G(d − ½), ½Gr (d − ½)) Ú Gr (·) Ð Ó Ö Ý Ò× Ð³ÓÖ Ö ÒÚ Ö× ´ Ó Ö µ È Ö Ü ÑÔÐ ¸ ◮ G(¾) = (¼G(½), ½Gr (½)) = (¼¼, ¼½, ½½, ½¼) ◮ G(¿) = (¼G(¾), ½Gr (¾)) = (¼¼¼, ¼¼½, ¼½½, ¼½¼, ½½¼, ½½½, ½¼½, ½¼¼) ◮ G( ) = (¼G(¿), ½Gr (¿)) = (¼¼¼¼, ¼¼¼½, ¼¼½½, ¼¼½¼, ¼½½¼, ¼½½½, ¼½¼½, ¼½¼¼, ½½¼¼, ½½¼½, ½½½½, ½½½¼, ½¼½¼, ½¼½½, ½¼¼½, ½¼¼¼) ◮ Ø º Ö Ò Æ Ð× Ò ½º Ó Ö Ý
- 536. ÁÐÐÙ×ØÖ Ø ÓÒÐ ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ Ö ÙÖ× Ú Ù Ó Ö Ý 0 1 0 1 1 0 00 01 11 10 00 01 11 10 10 11 01 00 000 001 011 010 110 111 101 100 G(1) miroir pr´efixe G(2) G(3) miroir pr´efixe Ö Ò Æ Ð× Ò ½º Ó Ö Ý
- 537. ÀÝÔ Ö Ù Ø Ó Ö Ý 0D 1D 2D 3D 4D ∅ 0 1 00 01 10 11 001 011 000 010 101 111 100 110 0001 0011 0000 0010 0101 0111 0100 0110 1001 1011 1000 1010 1101 1111 1100 1110 ÙÜ ÓÔ × ´ÔÖ Ü ¼ Ø ÔÖ Ü ½µ Hd−½(Gd−½) Õ٠гÓÒ Ö Ð ÒØÖ ÐÐ × Ú Ð × Ô Ö × Ò Ù × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ× Ö Ò Æ Ð× Ò ½º Ó Ö Ý
- 538. Ó ·· ×ÑÔÐ Ö Ý Ó ¾º ÔÔ »» ÒÚ Ö× Ð³ÓÖ Ö ³ÙÒ Ó × Ø Ö Ò ∗ Å Ö Ó Ö ´ × Ø Ö Ò ∗ × ¸ Ò Ø Ò µ ß × Ø Ö Ò ∗ Ö × Ö × Ò Û × Ø Ö Ò Ò ℄ Ò Ø Ó Ö ´ ¼ Ò ··µ ß Ö × ℄ × Ò −½− ℄ »» ¸ ÓÒ Ö ÓÔ Ö Ø Ù Ö Ò Ö × »» Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ× ÔÓÙÖ Ð Ó Ö Ý × Ø Ö Ò ∗ Ö Ý Ó ´ Ò Ø Ñ µ ß × Ø Ö Ò ∗ Ö × Ò Ø Ò Ø Ö ½ ´ Ñ −½µ »» Ú ÙØ Ö ¾ Ñ−½¸ ÔÐÙ× Ö Ô ÕÙ Math.pow(¾, Ñ − ½) ´ Ñ ½µ ß Ö × Ò Û × Ø Ö Ò ¾ ℄ Ö × ¼ ℄ ¼ Ö × ½ ℄ ½ Ð × ß × Ø Ö Ò ∗ Ö Ý Ó ´ Ñ −½µ × Ø Ö Ò ∗ Ö Ð Å Ö Ó Ö ´ ¸ Ö µ Ö × Ò Û × Ø Ö Ò ¾ ∗ Ö ℄ »» ÔÖ Ü Ó Ö ´ ¼ Ö ··µ ß Ö × ℄ ¼ · ℄ Ö × · Ö ℄ ½ · Ö Ð ℄ Ö Ø Ù Ö Ò Ö × Ö Ò Æ Ð× Ò ½º Ó Ö Ý
- 539. Ó ·· ×ÑÔÐ Ö Ý Ó ¾º ÔÔ Ò Ð Ù Ó × Ø Ö Ñ Ò Ð Ù × Ø Ö Ò º Ù × Ò Ò Ñ ×Ô × Ø × Ø Ö Ò ∗ Å Ö Ó Ö ´ × Ø Ö Ò ∗ × ¸ Ò Ø Ò µ º º º × Ø Ö Ò ∗ Ö Ý Ó ´ Ò Ø Ñ µ º º º Ú Ó Ô Ö Ò Ø Ó ´ × Ø Ö Ò ∗ Ó ¸ Ò Ø Ò µ ß Ò Ø Ó Ö ´ ¼ Ò ··µ ß Ó Ù Ø Ó ℄ Ò Ð Ò Ø Ñ Ò ´ µ ß Ò Ø ¸ Ñ Ó Ù Ø ÁÆ ¾ Ó Ö Ý Ò Ñ Ò × Ó Ò Ñ Ò × Ø Ö Ò ∗ Ö Ý Ó ´ Ñ µ Ô Ö Ò Ø Ó ´ ¸ ½ Ñ µ »» Ú ÙØ Ö ¾ Ñ Ö Ò Æ Ð× Ò ½º Ó Ö Ý
- 540. ÓÒÚ ÖØ Ö Ó Ò Ö ⇔ Ó Ö Ý code binaire code de Gray 0 b0b1b2b3 g0g1g2g3 bit extra `a 0 (ne fait pas partie du code) gi = 0 ⇔ bi+1 XOR bi = 0 Ä Ø Ù Ó Ö Ý gi ×Ø Þ ÖÓ × Ø × ÙÐ Ñ ÒØ × Ð × Ø× ÒØ× Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö Ó Ò ÒØ ´ Çʸ ÇÍ Ü ÐÙ× µ Ö Ò Æ Ð× Ò ½º Ó Ö Ý ½¼
- 541. Ü ÑÔÐ ÓÒÚÖ× ÓÒ× Ò Ö → Ö Ý code binaire code de Gray 0 0 1 1 0 code binaire code de Gray 0 0 1 1 0 1 0 10 Conversion (0110)b → (0101)g XOR XOR XORXOR XOR ? Ð ÙÐ× Ö Ø× × Ò× × ´ Ø× gi Ô ÙÚ ÒØ ØÖ Ð ÙÐ × Ò Ô Ö ÐÐ Ð ¸ Ê Ïµ Ö Ò Æ Ð× Ò ½º Ó Ö Ý ½½
- 542. Ü ÑÔÐ ÓÒÚÖ× ÓÒ× Ö Ý → Ò Ö code binaire code de Gray 0 1 10 code binaire code de Gray 0 Conversion (1011)g → (1101)b XOR XOR XORXOR XOR 1 1 10 1 1 01 1 ? Ð ÙÐ Ù Ø Ò Ö ÔÓ × ÓÖØ Ú Ö× Ð Ø ÔÓ × Ð ¸ × ººº Ö Ò Æ Ð× Ò ½º Ó Ö Ý ½¾
- 543. Ä × ÖÒ × Ö Ô × ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ ×ÓÙ×¹ Ò× Ñ Ð Ò× Ð ÒÓÝ Ù Ð ÔÐÙ× Ö Ò ÓÑÑÙÒ ÙØ ººº Ö Ò Æ Ð× Ò ½º Ó Ö Ý ½¿
- 544. Ê ÔÔ Ð×ÙÖ Ð ÒÓØ Ø ÓÒ Ö Ô × ◮ G = (V , E) ÙÒ Ö Ô |V | = n Ò Ù × Ø |E| = m Ö Ø × º Ö Ô ÒÓÒ¹ÓÖ ÒØ º ◮ Ö Ø (vi , vj ) Ô Ö Ò Ù × ◮ Ö Ø ÓÖ ÒØ Ö ¸ Ö Ô Ö Ø Ö Ô ◮ Ö Ô × Ò× Ý Ð Ý Ð Ö Ô ◮ Ö Ô ÔÓ × ´×ÙÖ Ð × Ö Ø × Ø»ÓÙ Ð × Ò Ù ×µ ◮ Ñ ØÖ ³ Ò Ò ME Ù Ö Ô V = {xi } e = (xi , xj ) ∈ E ⇔ ME [i][j] = ½ ´ Ø ¼ ÙØÖ Ñ Òص ◮ Ö Ô ÔÐ Ò Ö ´ÕÙ Ô ÙØ ØÖ ÔÐÓÒ ×× Ò Ò× Ð ÔÐ Ò × Ò× ÒØ Ö× Ø ÓÒ × Ö Ø ×µ m = |E| ≤ ¿(n − ¾) ÔÓÙÖ n = |V | ¾º ◮ Ö Ô Ò× ¸ Ö Ô Ô Ö׸ Ö Ô Ô Ø Ø× ÑÓÒ × ´ ÕÙ Ò Ù Ö Ð Ò³ ÑÔÓÖØ ÕÙ Ð ÙØÖ Ò Ù Ô Ö ÙÒ ÓÙÖØ Ò µ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹½ºÒÓØ Ø ÓÒ× ½
- 545. Ä × ÖÔ × × ÑÔР׸ ÙØ Ð × Ñ × Ô Ö Ó × Ð × Ò ÐÝ× Ö Ð Ø ÓÖ Ñ × ÓÙÐ ÙÖ× ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÒØÙ Ø Ñ × ÔÖ ÙÚ × ÓÑÔÐ Ü × Ò Ù Ô ÖØ Ñ ÒØ׺ ÙÒ Ö Ø ÔÓÙÖ ÙÜ Ö ÓÒ× ÓÒÒ Ü × Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹½ºÒÓØ Ø ÓÒ× ½
- 546. Ä × ÖÔ × Ø Ð × Ö × ÙÜ ×Ó ÙÜ ◮ ÙÒ Ô Ö×ÓÒÒ ´ Ò Ù µ ÙÒ Ð ×Ø ³ Ñ × ´ Ö Ø ×µº ◮ ½¸¿ Ñ ÐÐ Ö × ³ÙØ Ð × Ø ÙÖ× ´¾¼½¿µ¸ ¿ Ñ ÐÐ Ö × ³ ÓÑÑ × ÓÒÒ Ø × ´ ¼±µº Ù ÓÙÖ ³ Ù ¸ Ò ÓÖ Ð ÑÓ Ø Ð ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ÑÓÒ Ð Ö ×Ø ÓÒÒ Ø Ö ÈÁ ØØÔ× »» Ú ÐÓÔ Ö׺ ÓÓ º ÓÑ» Ó ×» Ö Ô ¹ Ô Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹½ºÒÓØ Ø ÓÒ× ½
- 547. Ö Ò ÆÐ× Ò ¾º Ö Ô ×¹½ºÒÓØ Ø ÓÒ× ½
- 548. ËÓÙ×¹ Ö ÔÐ ÔÐÙ× Ò× ◮ ×ÓÙ×¹ Ö Ô G′ = (V ′, E′) ⊆ G V ′ ⊆ V ¸ e = (vi , vj ) ∈ E ÔÔ ÖØ ÒØ E′ ×× º vi ∈ V ′ Ø vj ∈ V ′ ◮ ÓÒ Ö Ð ×ÓÙ×¹ Ö Ô V ′ ⊆ V ÕÙ Ñ Ü Ñ × Ð Ò× Ø ρ ρ(V ′ ) = |E(V ′)| |V ′| Ó E(V ′) = {(u, v) ∈ E : u, v ∈ V ′} ◮ ÔÓÙÖ Ð Ð ÕÙ G = Kn¸ ÓÒ ρ = ρ(V ) = n(n−½) ¾n = n−½ ¾ ◮ ÈÖÓ Ð Ñ ³ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ ρ∗ = Ñ Ü V ′⊆V ρ(V ′ ) Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹¾ºÀ ÙÖ ×Ø ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ×ÓÙ×¹ Ö Ô Ð ÔÐÙ× Ò× ½
- 549. Ü ÑÔÐ Ò×Ø ×ÓÙ× Ö Ô × ρ = ½, ... ρ = ½, Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹¾ºÀ ÙÖ ×Ø ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ×ÓÙ×¹ Ö Ô Ð ÔÐÙ× Ò× ½
- 550. ÔÔÐ ØÓÒ× Ù Ð ÙÐ ×ÓÙ×¹ Ö Ô Ð ÔÐÙ× Ò× ÌÖ × ÙØ Ð Ò Ò ÐÝ× Ö Ô × ÒÓØ ÑÑ ÒØ ÔÓÙÖ Ð × Ö Ô × × Ö × ÙÜ ×Ó ÙÜ ÌÖÓÙÚ Ö Ð ×ÓÙ×¹ Ö Ô Ð ÔÐÙ× Ò× ÒØ ÖÚ ÒØ Ò× ◮ Ð Ø Ø ÓÒ ÓÑÑÙÒ ÙØ ◮ Ð ÓÑÔÖ ×× ÓÒ Ö Ô × ◮ Ø º Ä × Ö × ÙÜ ×ÓÒØ Ô ÖÚ × × Ò× ÒÓØÖ ÕÙÓØ Ò ◮ Ö × ÙÜ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× ◮ Ö × ÙÜ Ø Ø ÓÒ× × ÒØ ÕÙ × ◮ Ö × ÙÜ ÓÐÐ ÓÖ Ø ÓÒ× ◮ Ö × ÙÜ ³ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÖÓØ Ò × ◮ Ö × ÙÜ ³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ◮ Ö × ÙÜ Ò Ò Ö× ◮ Ø º Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹¾ºÀ ÙÖ ×Ø ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ×ÓÙ×¹ Ö Ô Ð ÔÐÙ× Ò× ¾¼
- 551. ÓÑÔÐ Ü ØÙ Ð ÙÐ ×ÓÙ×¹ Ö Ô Ð ÔÐÙ× Ò× ◮ Ø ÑÔ× ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ô Ö Ö ×ÓÐÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ × Ð Ò Ö × ´Äȵ ◮ Ú ÒØ Æȹ ÙÖ × ÓÒ ÑÔÓ× |V ′| = k ÆÓØÓÒ× V ∗ ÙÒ ×ÓÐÙØ ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð Ò× Ø ÓÔØ Ñ Ð ρ∗ ρ∗ = ρ(V ∗ ) = |E(V ∗)| |V ∗| ÒÓÙ× ÐÐÓÒ× ÓÒÒ Ö ÙÒ ÙÖ ×Ø ÕÙ ÕÙ Ð ÙÐ ÙÒ ¾¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ V ′′ , ρ(V ′′ ) ≥ ½ ¾ ρ∗ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹¾ºÀ ÙÖ ×Ø ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ×ÓÙ×¹ Ö Ô Ð ÔÐÙ× Ò× ¾½
- 552. À ÙÖ ×ØÕÙ Ð ÙÐ ³ÙÒ ×ÓÙ×¹ Ö Ô Ò× À ÙÖ ×Ø ÕÙ Ø Ö Ø Ú Ö Ö ´ÈÖ Ò ØÓÒ Í¸ ¾¼¼¼µ ◮ ÒÐ Ú Ö Ð Ò Ù ÔÐÙ× Ð Ö Ò× ÕÙ ØÓÙØ × × × Ö Ø × Ò ÒØ ×¸ Ñ ØØÖ ÓÙÖ Ð × Ö × × ÙØÖ × Ò Ù ×¸ Ð ÙÐ Ö Ð Ò× Ø Ù Ö Ô Ó Ø ÒÙ¸ Ø Ö ÓÑÑ Ò Ö Ù×ÕÙ³ ÔÙ × Ñ ÒØ × Ò Ù × ◮ ×ÓÐÙØ ÓÒ Ö Ö Ð Ö Ô Ð ÔÐÙ× Ò× Ô ÖÑ × n = |V | Ø Ö Ø ÓÒ× Ö ÒØ ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ ¾¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ´ º ÔÖ ÙÚ ÔÓÐÝ ÓÔ µ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹¿ºÀ ÙÖ ×Ø ÕÙ × ÕÙ ÒØ ÐÐ ¾¾
- 553. Ö Ò ÆÐ× Ò ¾º Ö Ô ×¹¿ºÀ ÙÖ ×Ø ÕÙ × ÕÙ ÒØ ÐÐ ¾¿
- 554. Ö Ò ÆÐ× Ò ¾º Ö Ô ×¹¿ºÀ ÙÖ ×Ø ÕÙ × ÕÙ ÒØ ÐÐ ¾
- 555. Ö Ò ÆÐ× Ò ¾º Ö Ô ×¹¿ºÀ ÙÖ ×Ø ÕÙ × ÕÙ ÒØ ÐÐ ¾
- 556. Ö Ò ÆÐ× Ò ¾º Ö Ô ×¹¿ºÀ ÙÖ ×Ø ÕÙ × ÕÙ ÒØ ÐÐ ¾
- 557. Ø ÍÒ ÖÔ ÒÓÒ¹ÓÖ ÒØ G = (V , E) Ê ×ÙÐØ Ê ØÓÙÖÒ ÙÒ ×ÓÙ×¹ Ò× Ñ Ð ˜S ⊆ V × ×ÓÑÑ Ø× ÕÙ Ò Ù Ø Ð Ö Ô Ö ×ØÖ ÒØ G| ˜S ÕÙ ÓÒÒ ÙÒ ¾¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ù ×ÓÙ×¹ Ö Ô Ð ÔÐÙ× Ò× Gº ˜S ← V S ← V Û Ð S = ∅ Ó s ← Ö Ñ Òs∈S S(s) S ← S{s} ρ(S) ρ( ˜S) Ø Ò ˜S ← S Ò Ò Ö ØÙÖÒ ˜S ⇒ ¾¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ˜S Ù ×ÓÙ×¹ Ö Ô Ð ÔÐÙ× Ò× G = (V , E)º Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹¿ºÀ ÙÖ ×Ø ÕÙ × ÕÙ ÒØ ÐÐ ¾
- 558. ÑÓ Ö Ò ÆÐ× Ò ¾º Ö Ô ×¹¿ºÀ ÙÖ ×Ø ÕÙ × ÕÙ ÒØ ÐÐ ¾
- 559. ÓÑÔÐ Ü Øг ÙÖ ×Ø ÕÙ ËÙÖ Ð ÑÓ Ð Ê Åº ÌÖÓÙÚ Ö Ð ×ÓÑÑ Ø Ö Ñ Ò ÑÙѸ Ö¸ Ð ÙÐ Ö Ð Ò× Ø ¸ Ø Ö ÓÑÑ Ò Ö Ò× Ù×ÕÙ³ Ó Ø Ò Ö Ð Ö Ô Ú ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ú O(n¾) ´Ô Ö Ü ÑÔÐ Ò ÙØ Ð × ÒØ Ð Ñ ØÖ ³ Ò Ò µ ◮ Ø ÑÔ× O((n + m) ÐÓ n) Ò ÙØ Ð × ÒØ ÙÒ Ø × ´ Ö Ö Ò Ö ÓÒØ Ð × Ð × × Ò Ù × ×ÓÒØ ×ÙÔ Ö ÙÖ × ÙÜ Ð × × Ð׸ º Ð ÔÖ ÓÖ Ø µ ◮ Ø ÑÔ× O((n + m)) Ò Ñ ÒØ Ò ÒØ ÙÒ Ð ×Ø Ô Ö Ö ´ º ÔÓÐÝ ÓÔ µ Å × ØØ ÙÖ ×Ø ÕÙ ×Ø Ð Ñ ÒØ Ô Ö ÐÐ Ð × Ð ÓÑÑ Ø ÐÐ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹¿ºÀ ÙÖ ×Ø ÕÙ × ÕÙ ÒØ ÐÐ ¾
- 560. ÍÒ ÙÖ ×ØÕÙ Ð Ñ ÒØ Ô Ö ÐÐ Ð × Ð ÆÓÙÚ ÐÐ ÙÖ ×Ø ÕÙ ◮ ÒÐ Ú Ö ØÓÙ× Ð × Ò Ù × Ö ÔÐÙ× Ô Ø Ø ÕÙ (½ + ǫ) Ó × Ð ÑÓÝ ÒÒ × Ö × ´ Ú ǫ ≥ ¼µ ◮ ÓÒ ÒÐ Ú ÓÒ ÓÖ Ñ ÒØ Ð × Ò Ù × Ö Ñ Ò Ñ Ð ÕÙ ØÓÙÖ ÅÓÝ ÒÒ × Ö × ººº ¯d = v∈V d(v) |V | = ¾ |E| |V | = ¾ρ ººº ×Ø Ð ÙÜ Ó × Ð Ò× Ø ρ ¯d(G) = ¾ρ(G) Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹ º ÙÖ ×Ø ÕÙ Ô Ö ÐÐ Ð ¿¼
- 561. Ð ÓÖ ØÑ ½ À ÙÖ ×Ø ÕÙ ÐÓÙØÓÒÒ ´Ô Ö ÐÐ Ð µ Ô Ö ÐÓ × ÔÓÙÖ ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ˜S Ù ×ÓÙ×¹ Ö Ô Ð ÔÐÙ× Ò× º Ø ÍÒ Ö Ô G = (V , E) Ø ǫ ¼ ˜S ← V S ← V Û Ð S = ∅ Ó A(S) ← {s ∈ S | S(s) ≤ ¾(½ + ǫ)ρ(S)} S ← SA(S) ρ(S) ρ( ˜S) Ø Ò ˜S ← S Ò Ò Ö ØÙÖÒ ˜S Ö ÔÔ Ð ¯d(G) = ¾ρ(G) Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹ º ÙÖ ×Ø ÕÙ Ô Ö ÐÐ Ð ¿½
- 562. Ö Ò ÆÐ× Ò ¾º Ö Ô ×¹ º ÙÖ ×Ø ÕÙ Ô Ö ÐÐ Ð ¿¾
- 563. Ö Ò ÆÐ× Ò ¾º Ö Ô ×¹ º ÙÖ ×Ø ÕÙ Ô Ö ÐÐ Ð ¿¿
- 564. ÑÓ Ö Ò ÆÐ× Ò ¾º Ö Ô ×¹ º ÙÖ ×Ø ÕÙ Ô Ö ÐÐ Ð ¿
- 565. È Ö ÓÖÑÒ Ð³ ÙÖ ×Ø ÕÙ ◮ ÓÒ ÔÖÓÙÚ Õ٠гÓÒ Ø O(½ ǫ ÐÓ n) Ø Ö Ø ÓÒ׺ ÉÙ ÐÕÙ × Þ Ò × ³ Ø Ö Ø ÓÒ× ÔÓÙÖ × Ö Ô × ½ Ñ ÐÐ Ö Ò Ù × ººº ◮ ÓÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ³ÓÒ Ó Ø ÒØ ÙÒ (¾ + ǫ)¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ρ∗ ≥ ρ(V ′ ) ≥ ρ∗ ¾ + ǫ ◮ ØØ ÙÖ ×Ø Õ٠׳ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÔÐÙ× ÙÖ× Ø Ô × Å ÔÊ Ù ´ º ÔÓÐÝ ÓÔ µ ⇒ º ÔÓÐÝ ÓÔ Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹ º ÙÖ ×Ø ÕÙ Ô Ö ÐÐ Ð ¿
- 566. Ì ×Ø Öг ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ ´Ô Ø Ø×µ Ö Ô × ÕÙ Ð Ö Ö Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹ º ÙÖ ×Ø ÕÙ Ô Ö ÐÐ Ð ¿
- 567. ×ع Ð ÑÑ Ö Ô Ö Ô ÒØ ÕÙ ×ØÖÙ ØÙÖ ÒØ ÕÙ ººº ÓÑÑ ÒØ ÔÙ ×¹ ѳ Ò Ô Ö×Ù Ö Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô × ¿
- 568. Á×ÓÑÓÖÔ ×Ñ ÖÔ × ◮ G½ = (V½, E½) Ø G¾ = (V¾, E¾) ÙÜ Ö Ô ×¸ Ú n½ = |V½| Ø m½ = |E½| Ø n¾ = |V¾| Ø m¾ = |E¾| ◮ ×ع ÕÙ G½ = G¾ ◮ ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ò ×× Ö ×Ø ³ ÚÓ Ö n½ = n¾ = n Ø m½ = m¾ = m Ñ × Ò³ ×Ø Ò × Ö Ô × ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ ×Ù × ÒØ ◮ Ò ÔÖ Ø ÕÙ ¸ ÓÒ Ø ÕÙ ØØ Ö ØÖ Ö Ñ ÒØ Ð × Ò Ù × V½ Ø V¾ Ú × ÒØ Ö× ÒØÖ ½ Ø n¸ Ø ÓÒ Ö ÙÒ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ σ : [n] = {½, ..., n} → [n] Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ò Ù vi ∈ V½ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ù Ò Ù vσ(i) ∈ V¾ ◮ ÍÒ Ó × σ ØÖÓÙÚ ¸ ÓÒ Ö ÒÙÑ ÖÓØ Ð × Ò Ù × V¾ Ò × ÒØ i ← σ(i) ◮ ÆÓØ Ø ÓÒ ÕÙ Ò ÙÜ Ö Ô × ×ÓÒØ ×ÓÑÓÖÔ × ´ ÓÒ ÖÙ ÒØ×µ G½ ∼= G¾ Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô × ¿
- 569. Á×ÓÑÓÖÔ ×Ñ ÖÔ × Ò Ø ÓÒ Ò Ö Ð Á×ÓÑÓÖÔ ×Ñ ÓÑÔ Ö Ö Ð ×ØÖÙ ØÙÖ × Ö Ô × ´ ÓÒ ÖÙ Ò µ G½ ∼= G¾ : ∃f : V½ → V¾, (v, v′ ) ∈ V½ ⇔ (f (v), f (v′ )) ∈ V¾ f ÓÒ Ø ÓÒ ×ÙÖ Ð × Ø ÕÙ ØØ × ¸ ÒØ Ö׻РØØÖ × Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô × ¿
- 570. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 5 638 2 74 Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô × ¼
- 571. ËÓÙ×¹ ×ÓÑÓÖÔ ×ÑÖ Ô × G½ ×Ø ×ÓÙ×¹ ×ÓÑÓÖÔ G¾ × Ø × ÙÐ Ñ ÒØ × Ð Ü ×Ø G′ ½ ⊆ G½ Ø Ð ÕÙ G′ ½ ∼= G¾ ⇒ Ö ÓÒÒ ×× Ò ÑÓØ × Ò× Ð × Ö Ô × ´Ô ØØ ÖÒ Ñ Ø Ò µ Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô ×¹½ºËÓÙ×¹ ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ ½
- 572. ÔÔÐ ØÓÒ Ê Ö ÑÓØ × ×ØÖÙ ØÙÖ ÙÜ ÒØ ÕÙ × ◮ ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ Ö Ô ØÖ × ØÙ Ò Ñ ÔÙ × Ð × ÒÒ × ½ ¼ ººº ◮ ×ع ÕÙ³ÙÒ ÑÓØ Ñ ÕÙ × ØÖÓÙÚ Ö Ô ÖØÓÖ Ò× ÙÒ × ÓÒÒ × È Ö Ü ÑÔÐ ¸ ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ ÑÓØ ÊÆ ´ × ÞÓØ × ¸ ¸ ¸ ͵ Ò× × ÖÙÒ× ³ ÊÆ ººº ◮ Ò Ó Ö ÙÒ ÑÓÐ ÙÐ Ô Ö ÙÒ Ö Ô ÒÓÒ ÕÙ ´ÔÐÙ× ÙÖ× ×Ø Ò Ö × Ü ×Ø ÒØ ÓÑÑ ËÅÁÄ Ë¸ ÁÒ Áµ ◮ ÔÙ × Ø ×Ø Ö Ð³ ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ ×ÓÙ×¹ Ö Ô ´ Ö Ô Ø Ñ Ò Ò µ Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô ×¹½ºËÓÙ×¹ ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ ¾
- 573. ÓÑÔÐ Ü ØÔ × Ò ÓÖ Ö ×ÓÐÙ Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ø ×Ø Ö Ð³ ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ Ö Ô ◮ ÔÔ ÖØ ÒØ Ð Ð ×× ÓÑÔÐ Ü Ø ÆÈ ´Ú Ö Ð Ò Ø ÑÔ× ÔÓÐÝÒÓÑ Ðµ Ø ÒØ ÓÒÒ σ¸ ÓÒ Ú Ö ÕÙ σ(V½) = V¾ Ø σ(E½) = E¾ ◮ ÔÔ ÖØ ÒØ Ð Ð ×× È ´Ø ÑÔ× ÔÓÐÝÒÓÑ Ðµ ÔÓÙÖ ÖØ Ò × Ñ ÐÐ × Ö Ô × Ð × Ö Ö ×¸ Ð × Ö Ô × ÔÐ Ò Ö ×¸ Ø º ◮ ÙÒ ÙÖ Ó× Ø Ò× Ð × Ò Ö Ð Ò× È ÓÙ Ò× Æȹ ÓÑÔÐ Ø ÓÙ ÐÓÖ× Ò Ò× Ð³ÙÒ Ò Ò× Ð³ ÙØÖ ◮ Å ÐÐ ÙÖ Ð ÓÖ Ø Ñ ´Ä٠׸ ½ ¿µ ¾ O( √ n ÐÓ n) ººº ÔÓÙÚ Þ¹ÚÓÙ× Ö Ñ ÙÜ ÓÙ ÐÓÖ× ÑÓÒØÖ Ö ÙÒ ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô ×¹¾º ÓÑÔÐ Ü Ø ¿
- 574. Ê Ñ ÖÕÙгÓÖ Ò Ø ÙÖ Ò ÚÓ Ø Ô × ººº Ð × Ö Ô × Ò ×ÓÒØ Ô × ×× Ò × Ò Ñ ÑÓ Ö ººº г Ð ÙÑ Ò ´· ÖÚ Ù µ ×Ø Ö Ñ ÖÕÙ Ð ÔÓÙÖ × × Ô Ø × Ö ÓÒÒ ×× Ò ÑÓØ × Ö Ô ¸ ÙØÖ ×× Ò Ù Ö Ô ¸ · Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ×ÙÖ Ð × Ø ÕÙ ØØ × Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô ×¹¾º ÓÑÔÐ Ü Ø
- 575. Ð ÓÖ ØÑ Ò ÔÓÙÖ Ð³ ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ Ø ×Ø Ö ØÓÙØ ◮ I½ Ð Ñ ØÖ Ò Ö ³ Ò Ò G½¸ Ø I¾ Ð Ñ ØÖ ³ Ò Ò G¾ ´ ×Ô Ñ ÑÓ Ö n¾µ ◮ ÔÓÙÖ ØÓÙØ × Ð × n! Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ× σ¸ ÓÒ Ø ×Ø × I½ = Iσ ¾ ´Ø ÑÔ× ÕÙ Ö Ø ÕÙ µ O(n¾ n!) ÓÖÑÙÐ ËØ ÖÐ Ò n! ≃ √ ¾πn n e n ½¼! = ¿, ¾ , ¼¼ Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô ×¹¿º Ð ÓÖ Ø Ñ × ÒÙÑ Ö Ø ×
- 576. Ð ÓÖ ØÑ × ÒÙÑ Ö Ø × ÔÔ Ö Ñ ÒØ× ÔÖÓ Ö ×× × ◮ ÓÒ Ù Ñ ÒØ Ø Ö Ø Ú Ñ ÒØ ÙÒ ÔÔ Ö Ñ ÒØ Ô ÖØ Ð × ×ÓÑÑ Ø× M ´Ñ Ø Ò µº ÜÔÐÓÖ Ø ÓÒ Ö ÙÖ× Ú ¸ ØÝÔ ÔØ Ö×Ø Ë Ö ´ ˵ ◮ Ð × Ô Ö × ×ÓÑÑ Ø× ××Ó × ×ÓÒØ Ó × × ÓÒ Ö ×Ô Ø Ö ÖØ Ò × ÓÒ Ø ÓÒ× ´Ô Ö Ü ÑÔÐ ¸ ÚÓ Ö Ð Ñ Ñ Ö ¸ Ñ Ñ × ÞÓØ ¸ Ø ºµ ◮ ÓÒ Ð Ñ Ò Ð × Ñ Ò× Ö Ö ÕÙ Ò³ ÓÙØ ×× ÒØ Ô × ÙÒ ÔÔ Ö ÑÑ ÒØ ÓÑÔÐ Ø × ×ÓÑÑ Ø× Ð ¸ ÔÖÙÒ Ò ◮ ÐÓÖ×ÕÙ³ÓÒ ÖÖ Ú ÙÒ ÑÔ ×× ¸ ÓÒ ×ÙÔÔÖ Ñ Ð ÖÒ Ö ÝÔÓØ × ÓÒ Ø Ñ Ö ÖÖ Ö ØÖ Ò ◮ г Ð ÓÖ Ø Ñ ×³ ÖÖ Ø ÐÓÖ×ÕÙ³ Ð ØÖÓÙÚ ÙÒ ×ÓÐÙØ ÓÒ ´ Ú ÙÒ ÖØ Ø σ ³ ÔÔ Ö ÑÑ Òص ÕÙ ÔÖÓÙÚ Ð³ Ü ×Ø Ò Ð³ ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ ÓÙ ÐÓÖ×ÕÙ ØÓÙ× Ð × ÔÔ Ö ÑÑ ÒØ× ÔÓ×× Ð × ÓÒØ Ø Ø ×Ø × ÓÒ Ò ÖÙ ØÙ Ù× º Ò× Ð Ô Ö × ×¸ Ð × Ð ÓÖ Ø Ñ × ÒÙÑ Ö Ø × ×ÓÒØ ÜÔÓÒ ÒØ Ð× Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô ×¹¿º Ð ÓÖ Ø Ñ × ÒÙÑ Ö Ø ×
- 577. ÍÒ Ð ÓÖØ Ñ Ö ÙÖ× ÔÓÙÖ Ð Ø ×Ø ³ ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ Ì ×Ø Á×ÓÑÓÖÔ ×Ñ (g, M, G, H) ÓÖ ÐÐ hi ∈ Hv Ó g ∈ M Ò hi ∈ M Ø Ò M′ ← M ∪ (g, hi ) ËÓ Ø g′ ∈ G{gi | (gi , x) ∈ M} M′′ = Ì ×Ø Á×ÓÑÓÖÔ ×Ñ (g′, M′, G, H) |M′′| = |G| Ø Ò Ö ØÙÖÒ M′′ Ò Ò Ö ØÙÖÒ ∅ Ò ÇÒ ÔÔ ÐÐ ØØ ÔÖÓ ÙÖ Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ú M = ∅ Ø g ∈ G Ì ×Ø Á×ÓÑÓÖÔ ×Ñ (g, M, G, H) ÓÑÔÐ Ü Ø O(dÑ Ü!n) Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô ×¹¿º Ð ÓÖ Ø Ñ × ÒÙÑ Ö Ø ×
- 578. È Ö ÐÐÐ × Ø ÓÒ × Ð ÓÖ Ø Ñ × ÒÙÑ Ö Ø × ´ Ò ÅÈÁµ ◮ ×Ó Ø ÙÒ ÐÙ×Ø Ö P = n ÔÖÓ ×× ÙÖ× ´Ô Ø Ø× Ö Ô × n ×ÓÑÑ Ø×µ ◮ Ô Ö ÐÐ Ð × Ø ÓÒ ØÖ Ú Ð Ò Ø Ð Ñ ÒØ ÔÓÙÖ Ð ×ÓÑÑ Ø v (½) ½ ×Ø ÔÔ Ö ÐÐ Ù ×ÓÑÑ Ø v (j) ¾ Ú j ∈ {½, ..., P = n} ×ÙÖ Ð ÔÖÓ ×× ÙÖ Pj º ÇÒ Ú Ö ³ ÓÖ ÕÙ Ð × Ö × Ó Ò ÒØ ººº ◮ Ð ØÖ Ú Ð ×ÙÖ ÕÙ ÔÖÓ ×× ÙÖ ´ ÕÙ ÔÖÓ ××Ù×µ Ô Ò ÓÒ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ × Ö Ô ×º Ä × ÔÖÓ ××Ù× Ò Ò ×× ÒØ Ô × Ò Ñ Ñ Ø ÑÔ׺ ÏÓÖ ÐÓ Ö ÒØ ◮ ÓÑÑ ÒØ ÕÙ Ð Ö Ö Ð Ö ØÖ Ú Ð ⇒ ÙØ Ð × Ö ÙÒ Ö Ø ØÙÖ Ñ ØÖ »× ÖÚ Ø ÙÖ× Ú × ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× ÒÓÒ¹ ÐÓÕÙ ÒØ × ´ÅÈÁ Á× Ò Ø ÅÈÁ ÁÖ Úµ Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô ×¹ ºÔ Ö ÐÐ Ð × Ø ÓÒ Ò ÅÈÁ
- 579. Ö Ø ØÙÖÑ ØÖ »× ÖÚ Ø ÙÖ× Ø ÕÙ Ð Ö Ö × ÕÙ Ð Ö Ö × ÐÓ ¹ Ð Ò Ò Ö ØÖ Ú Ð ×ÙÖ ÕÙ ÔÖÓ ××Ù× × Ñ Ð Ð ÍÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÐÙ× Ò Ö Ð ×ÙÖ Ð × ÐÙ×Ø Ö× ÓÖ ÓÒÒ Ò Ñ ÒØ Ø × ¸ Ò Ö ÙÒ Ö Ô Ô Ò Ò ´ ÓÑÑ Ð Å Ð ÔÓÙÖ Ð ÓÑÔ Ð Ø ÓÒµ Ø ÕÙ Ð Ö Ö Ð × Ö × ´ Ù ÓÙÔ ÔÖÓ Ð Ñ × ³ÓÖ ÓÒÒ Ò Ñ ÒØ ×ÓÒØ Æȹ ÙÖ×µº Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô ×¹ ºÔ Ö ÐÐ Ð × Ø ÓÒ Ò ÅÈÁ
- 580. Ê ×ÙÑ Ø ØÓÒ ×ÓÙ×¹ Ö Ô × Ò× × Ø Ø ÓÒ ´×ÓÙ×µ¹ ×ÓÑÓÖÔ × × Ö Ô × ´ ÕÙ Ð Ö Ö µ Ð Ö Ð Ô ØÖ ½½ Ù ÔÓÐÝ ÓÔ
- 581. ÎÓ Ð Å Ö ØÓÙ× ÔÓÙÖ ØØ ÔÖ Ñ Ö Ø ÓÒ ³ÁÆ ¾ ÎÓÙ× Ò Ú Þ Ø Ð × Ô ÓÒÒ Ö×
- 582. ÌÓÙØ Ð³ ÕÙÔ ×Ô Ö ÚÓ Ö Ö Ù×× ÚÓÙ× Ò× Ò Ö ÙÒ ÓÒ ÒØÖ ◮ ·· ◮ Ð ÙÐ ÙØ Ô Ö ÓÖÑ Ò ×ÙÖ ÙÒ ÐÙ×Ø Ö Ú ÅÈÁ ◮ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ô Ö ÐÐ Ð ×ØÖ Ù ◮ × Ò × ÓÒÒ × ÇÒ Ñ Ö Ø Ò ÚÓÙ× Ö ÚÓ Ö Ò ¿