INF442: Traitement des données massivesFrank Nielsen
French slides from curriculum INF442 at Ecole Polytechnique.
English book entitled "Introduction to HPC with MPI for Data Science" (Springer, 2016)
http://www.springer.com/us/book/9783319219028
INF442: Traitement des données massivesFrank Nielsen
French slides from curriculum INF442 at Ecole Polytechnique.
English book entitled "Introduction to HPC with MPI for Data Science" (Springer, 2016)
http://www.springer.com/us/book/9783319219028
Goman, Khrabrov, Khramtsovsky (2002) - Chaotic dynamics in a simple aeromecha...Project KRIT
М.Г.Гоман, А.Н.Храмбров. А.В.Храмцовский «Хаотическая динамика простой аэромеханической системы», глава в книге под ред. Дж.Блэклиджа, А.Иванса и М.Тернера «Фрактальная геометрия: Математические методы. алгоритмы, приложения» (Fractal Geometry: Mathematical Methods, Algorithms, Applications), Horwood Publishing, 2002 г.
M.G.Goman, A.N.Khrabrov, A.V.Khramtsovsky "Chaotic dynamics in a simple aeromechanical system", chapter in a book: J.Blackledge, A.Evans, and M.Turner (eds.), "Fractal Geometry: Mathematical Methods, Algorithms, Applications", Horwood Publishing Series in Mathematics and Applications, 2002.
Dynamics of a free-to-roll delta wing installed at high incidence in a wind tunnel is outlined using the experimental and mathematical modeling results. A simple analytical model applied allows to simulate the multiattractor and chaotic dynamics observed in wind tunnel tests and thus to validate the used method for nonlinear and unsteady aerodynamics loads representation.
Artículo Cientifico "Clustering of vety low energy particles"CARMEN IGLESIAS
This note compares different ways of reconstructing the clusters inside the ATHENA framework of ATLAS: Topocluster, Sliding Window Cluster, EGamma Cluster and cone algorithms. We show how these clustering algorithms can be turned to obtain the best energy resolution when reconstructing very low energy particles. The present results are based on single particle samples of pi0's, pi+'s, and neutrons, simulated with Geant3 during DC1 with energy between 1 and 30 GeV and simulated with and without electronic noise in the calorimeters. Results in this note are obtained using 7.8.0 and 8.2.0 releases of the ATLAS software.
Goman, Khrabrov, Khramtsovsky (2002) - Chaotic dynamics in a simple aeromecha...Project KRIT
М.Г.Гоман, А.Н.Храмбров. А.В.Храмцовский «Хаотическая динамика простой аэромеханической системы», глава в книге под ред. Дж.Блэклиджа, А.Иванса и М.Тернера «Фрактальная геометрия: Математические методы. алгоритмы, приложения» (Fractal Geometry: Mathematical Methods, Algorithms, Applications), Horwood Publishing, 2002 г.
M.G.Goman, A.N.Khrabrov, A.V.Khramtsovsky "Chaotic dynamics in a simple aeromechanical system", chapter in a book: J.Blackledge, A.Evans, and M.Turner (eds.), "Fractal Geometry: Mathematical Methods, Algorithms, Applications", Horwood Publishing Series in Mathematics and Applications, 2002.
Dynamics of a free-to-roll delta wing installed at high incidence in a wind tunnel is outlined using the experimental and mathematical modeling results. A simple analytical model applied allows to simulate the multiattractor and chaotic dynamics observed in wind tunnel tests and thus to validate the used method for nonlinear and unsteady aerodynamics loads representation.
Artículo Cientifico "Clustering of vety low energy particles"CARMEN IGLESIAS
This note compares different ways of reconstructing the clusters inside the ATHENA framework of ATLAS: Topocluster, Sliding Window Cluster, EGamma Cluster and cone algorithms. We show how these clustering algorithms can be turned to obtain the best energy resolution when reconstructing very low energy particles. The present results are based on single particle samples of pi0's, pi+'s, and neutrons, simulated with Geant3 during DC1 with energy between 1 and 30 GeV and simulated with and without electronic noise in the calorimeters. Results in this note are obtained using 7.8.0 and 8.2.0 releases of the ATLAS software.
Classification with mixtures of curved Mahalanobis metricsFrank Nielsen
Presentation at ICIP 2016.
Slide 4, there is a typo, replace absolute value by parenthesis. The cross-ratio can be negative and we use the principal complex logarithm
Computational Information Geometry: A quick review (ICMS)Frank Nielsen
From the workshop
Computational information geometry for image and signal processing
Sep 21, 2015 - Sep 25, 2015
ICMS, 15 South College Street, Edinburgh
http://www.icms.org.uk/workshop.php?id=343
21. ÚÓÐÙØ ÓÒ × ÔÖÓ ×× ÙÖ×
Ä Ñ Ø Ø ÓÒ× × ÙØ × Ö ÕÙ Ò × ´ Ö ÕÙ Ò Ý × Ð Ò µ ÔÙ × ¾¼¼ º
ÇÖ Ò Ø ÙÖ× ÑÙÐØ ¹ÔÖÓ ×× ÙÖ× ´Ð Ñ Ø Ù×× ÙØÓÙÖ ¿¾ ÔÖÓ ×× ÙÖ×µ
r´eseau
ordinateur
(CPU)
carte m`ere carte m`ere
CPU CPU
CPU CPU
cœur
un seul socketsocket socket
socketsocket
4 ordinateurs interconnect´es par un r´eseau une carte m`ere avec 4 processeurs un processeur quad-cœur
ordinateur
(CPU)
ordinateur
(CPU)
ordinateur
(CPU)
cœur
cœurcœur
ÈÓÙÖ Ô ×× Ö Ð³ ÐÐ ¸ Ò× Ð Ð ÙÐ ÙØ Ô Ö ÓÖÑ Ò ¸ Ð ÙØ ÙØ Ð × Ö ÙÒ
ÐÙ×Ø Ö Ñ Ò × º
22. ÐÙ×Ø Ö ÑÓ ÖÒ ´ ÐÙ×Ø Öµ Ñ Ò × Ø ÖÓ Ò ×
r´eseau
d’interconnexion
(topologie)
nœud
Central Processing Unit
m´emoire
nœud
CPU CPU
CPUCPU
m´emoire
ordinateur simple
ordinateur quad processeurs
ordinateur moderne:
CPU multicœurs avec plusieurs cartes GPUs
node
cœur
m´emoire
GPU
GPU
C
P
U
Grappe d’ordinateurs
(computer cluster)
cœur
cœur cœur
23. Ö Ø ÓÖ ÕÙ Ð Ö ÒØ Ð ÔÖ Ø ÕÙ Ñ × ÙØ Ð ººº
Ì ´ Ó µ ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ü ÙØ Ö ÕÙ ÓÒÒ Ð Ù ÙÒ ÓÙ ÔÐÙ× ÙÖ×
ÔÖÓ ××Ù×
ÇÖ ÓÒÒ Ò ÙÖ ×Ø ÓÒÒ Ö × Ö ××ÓÙÖ × ÕÙ Ó × Ø Ð³ Ø Ø ÓÒ ×
Ø × ´ Ó ×µ ÙÜ Ö ××ÓÙÖ × Ù ÐÙ×Ø Ö ´ Ò × ÐÐ × Ò Ó¸ ËÄÍÊŵ
Ö Ø ÓÖ ÕÙ ÔÓÙÖ ÓÙÖ× ÐÓÖ×ÕÙ³ÓÒ Ò ÐÝ× ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ô Ö ÐÐ Ð
ÙÒ ÔÖÓ ××Ù× P ØÓÙÖÒ ×ÙÖ ×ÓÒ ÔÖÓÔÖ ÔÖÓ ×× ÙÖ ´ÙÒ ÈÍ ÑÓÒÓ¹ ÙÖµ
³ÙÒ Ñ Ò ÕÙ ÓÒ×Ø ØÙ ÙÒ Ò Ù Ù ÐÙ×Ø Ö
Ò ÔÖ Ø ÕÙ ÐÙ×Ø Ö Ø ÖÓ Ò Ñ Ò × ´ÑÙÐØ ¹ ÙÖ׸ Ú È͵º
ÈÐÙ× ÙÖ× ÔÖÓ ××Ù× Ô ÙÚ ÒØ × Ö ØÖÓÙÚ Ö Ñ ÔÔ × Ô Ö Ð³ÓÖ ÓÒÒ Ò ÙÖ ×ÙÖ Ð
Ñ Ñ ÔÖÓ ×× ÙÖ ´ÔÓØ ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ ×ÙÖ Ð Ñ Ñ ÙÖµ
24. ÀÈ Ô Ö ÐÐ Ð ×Ñ Ø Ö ÒÙÐ Ö Ø
Ö ÒÙÐ Ö Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ × Ð ÙÐ× ´ Ö Ò× Ð ÙÐ× ÐÓ Ùܵ ×ÙÖ Ð ×
ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× ´ ÒØ Ö¹ÔÖÓ ××Ù×µº Ö ÕÙ Ò × ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× ´ÓÙ
×ÝÒ ÖÓÒ × Ø ÓÒµ ÒØÖ Ð × ÔÖÓ ××Ù׺
Ö Ò Ò ´Ô Ø Ø Ö Ò¸ Ò ¹ Ö Ò µ ÔÐ Ò Ô Ø Ø × Ø ×¸ ÓÒÒ ×
×ÓÙÚ ÒØ ØÖ Ò× Ö × ÒØÖ Ð × ÔÖÓ ××Ù× ÔÖ × Ô Ø Ø× Ð ÙÐ׺
ÖÓ× Ö Ò ´ Ó Ö× ¹ Ö Ò µ Ð × ÓÒÒ × Ò ×ÓÒØ Ô × Ò × ×ÓÙÚ ÒØ
Ø ÔÖ × × ÖÓ× Ð ÙÐ׺
Ñ ÖÖ × Ò ÐÝ Ô Ö ÐÐ Ð × ÜØÖ Ñ ¸ ØÖ × Ô Ù ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ
´ ÇÁÆ ×ÙÖ ÁÒØ ÖÒ Øµº
È Ö ÐÐ Ð ×Ñ Ø ÓÒ ÙÖÖ Ò
È Ö ÐÐ Ð ×Ñ Ø × Ü ÙØ × Ð ØØ Ö Ð Ñ ÒØ Ò Ñ Ñ Ø ÑÔ׸
ÓÒ ÙÖÖ Ò Ù ÑÓ Ò× ÙÜ Ø × ÕÙ ÔÖÓ Ö ×× ÒØ ÓÒ Ó ÒØ Ñ ÒØ Ò× Ð
Ø ÑÔ׺ È × Ò ×× Ö Ñ ÒØ Ò Ñ Ñ Ø ÑÔ× ´Ø Ñ ¹×Ð Ò ×ÙÖ ÙÒ Ñ Ñ
È͸ ÑÙÐØ ¹Ø ×ÙÖ ÙÒ ÙÖµ
25. ÉÙ ÐÕÙ × Ù×× × × ×ÙÖ Ð × ×Ý×Ø Ñ × ×ØÖ Ù ×
ÇÒ Ô Ò× ×ÓÙÚ ÒØ ØÓÖØ ÕÙ
Ð Ö × Ù ×Ø Ð
Ð Ø ÑÔ× Ð Ø Ò ×Ø ÒÙÐ
Ð Ò Ô ×× ÒØ ×Ø Ò Ò
Ð Ö × Ù ×Ø × Ö
Ð ØÓÔÓÐÓ Ù Ö × Ù Ò Ò Ô ×
Ð Ý ÙÒ Ø ÙÒ × ÙÐ Ñ Ò ×ØÖ Ø ÙÖ Ö × Ù
Ð Ó Ø ØÖ Ò×ÔÓÖØ ×Ø ÒÙÐ
Ð Ö × Ù ×Ø ÓÑÓ Ò
26. Ä Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ ´ ÐÙ×Ø Ö Ò µ
Ô ÖØ Ø ÓÒÒ Ö Ð × ÓÒÒ ×
Ò ÖÓÙÔ × ÓÑÓ Ò × ´Ð ×
Ñ ×µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¾
27. ÐÙ×Ø Ö Ò Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ù Ð
ÌÖÓÙÚ Ö Ð × Ð Ü × Ñ × ³Ó Ø× Ð ×Ø × ´ ÖÓÙÔ ¸ ÐÙ×Ø Öµ
ËÐÓ Ò Ø Ð Ë Ý ËÙÖÚ Ý¸ ØØÔ »»ÛÛÛº× ×׺ÓÖ »¸ ¿Å· Ó Ø× Ð ×Ø ×
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¾
29. Ê Ö ÜÔÐÓÖ ØÓ Ö Ä Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ ´ ÐÙ×Ø Ö Ò µ
È ÖØ Ø ÓÒÒ Ö Ð × ÓÒÒ ×
X = {x½, ..., xn}¸ n ÓÒÒ × ¸ ÙÒ ÓÑÔÓÖØ ÒØ d ØØÖ ÙØ×
xi = (x
(½)
i , ..., x
(j)
i , ..., x
(d)
i )º X ÒÙ ÔÓ ÒØ× Rd º
È ÖØ Ø ÓÒÒ X Ò k ∈ N ÖÓÙÔ × × Ó ÒØ× ÐÙ×Ø Ö×
X = G½ ∪ G¾ ∪ ... ∪ Gk, Gi ∩ Gj = ∅ ∀i = j
Ô ÖÑ Ø Ø ÓÖ × Ö Ð × ÓÒÒ × Ò ÓÒÒ ÒØ ÙÒ × Ò× × Ñ ÒØ ÕÙ ÙÜ
ÖÓÙÔ × ÓÑÓ Ò × → ³ ×Ø Ð³ ÔÔÖ ÒØ ×× ÒÓÒ¹×ÙÔ ÖÚ × º
ÈÓÙÖ ÕÙ ÖÓÙÔ Gi ¸ ÓÒ Ô ÙØ Ò Ö ÙÒ ÒØÖ ci ¸ ÔÔ Ð ÔÖÓØÓØÝÔ
ÓÙ Ö ÔÖ × ÒØ ÒØ Ù ÐÙ×Ø Ö ´×ÓÙ×¹ Ð ×× ³ Ð ÓÖ Ø Ñ × ÔÔ Ð ÒØ Ö¹ ×
ÐÙ×Ø Ö Ò µ
ººº Ñ × Ð ÐÙ×Ø Ö Ò »Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ × ÖØ Ù×× ÙÒ ÕÙ ÒØ Ø ³ ÙØÖ ×
Ð ÓÖ Ø Ñ ×ººº
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¾
30. È ÖØ Ø ÓÒÒ Ö Ð × ÓÒÒ × Ð ÐÙ×Ø Ö Ò
ÈÖÓ Ð Ñ Ú ¿ ØÝÔ × Ö Ò ÙÖ×
n Ð ÒÓÑ Ö ÓÒÒ ×
d Ð Ñ Ò× ÓÒ × ÓÒÒ × ØØÖ ÙØ×
X ×Ø Ú ×Ù Ð × ÓÑÑ ÙÒ ÒÙ ÔÓ ÒØ× Ò× Rd
ØØÖ ÙØ× ÒÙÑ Ö Õ٠׸ Ø ÓÖ ÐÐ × ÓÙ ÓÖ Ò Ð × ´× Ñ ¹ Ø ÓÖ ÐÐ ×µ
k Ð ÒÓÑ Ö ÐÙ×Ø Ö× ´k ≤ n Ú ×ÓÙÚ ÒØ k << nµ
×ÓÙÚ ÒØ Ò ÓÒÒÙ ÔÖ ÓÖ
Ò Ö Ð Ñ Òظ ÓÒ n >> d ´n ØÖ × Ö Ò Ú ÒØ dµ Ø k << n ´k ØÖ × Ô Ø Ø
Ú ÒØ n¸ Ò Ð Ð µ Ò ÓÒÒÙ¸ Ñ × ÓÒ Ô ÙØ Ù×× ÚÓ Ö d >> n Ø k = Θ(n)
ÆÓØ Ø ÓÒ a >> b × a > b Ø a
b = ÓÒ×Ø ÒØ
ÜÔn >> n¾ >> n >> ÐÓ n
n½+ >> n ÐÓ a
n ∀ > ¼, a ∈ N
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿¼
31. ÎÓØÖ Ì ½ ³ Ù ÓÙÖ ³ Ù ÌÖÓÙÚ Ö × ×Ô × Ú Ø Ð × ººº
ÍÒ´ µ ÓÐÐ Ù ÔÓÙÖ Ñ Ò Ð ×× Ö ÙÒ × Ô ÓØÓ× n ÙÖ× ³ Ö ×
´ × ÓÒÒ ×¸ µ Ò ×ÓÙ×¹ Ñ ÐÐ × × Ñ Ð Ð ×
ÇÒ ÜØÖ Ø ÔÓÙÖ ÕÙ Ô ÓØÓ Pi ÙÒ ØØÖ ÙØ xi ∈ R ´ ØÙÖ ÜØÖ Ø ÓÒµ
´½µ ÐÓÒ Ù ÙÖ × Ô Ð Ò Ñ¸ ´¾µ Ð Ö ÙÖ × Ô Ð Ò Ñ¸ ´¿µ ÐÓÒ Ù ÙÖ
Ô Ø Ð Ò Ñ¸ ´ µ Ð Ö ÙÖ Ô Ø Ð Ò Ñ
ººº
º¿¸¿º ¸½º ¸¼º¾
º¼¸¿º¿¸½º ¸¼º¾
º¼¸¿º¾¸ º ¸½º
º ¸¿º¾¸ º ¸½º ¸
ººº
ÓÑ Ò Ñ ÐÐ × ´→ ØÖÓÙÚ Ö kµ
Ð ×× Ö ÕÙ Ô ÓØÓ Pi Ò× ÙÒ × ×ÓÙ×¹ Ñ ÐÐ × ´ Ò× ×ÓÒ ÐÙ×Ø Öµ
Ì ¾ Ö ÐÙ×Ø Ö Ò ×ÙÖ ÔÐÙ× ÙÖ× Ñ Ò × Ò Ô Ö ÐÐ Ð
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿½
32. ÓÑÑ Ò ÓÒ× Ú Ð × × ÑÔÐ k = ½ ÐÙ×Ø Ö
ÓÑÑ ÒØ ØÖÓÙÚ Ö Ð ÒØÖ ÔÖÓØÓØÝÔ Ù ÐÙ×Ø Ö
ÍÒ Ö Ø Ö ×Ø Ñ Ò Ñ × Ö Ð Ú Ö Ò Ù ÐÙ×Ø Ö¸ × ×Ô Ö× ÓÒ
v(X, c½) =
n
i=½
xi − c½
¾
Ú p − q ¾ = d
j=½(p(j) − q(j))¾¸ Ð ×Ø Ò Ù Ð ÒÒ Ù ÖÖ
p − q ¾ = p − q, p − q Ó x, y = d
j=½ x(j)y(j) ÔÖÓ Ù Ø × Ð Ö
ÈÓÙÖ ØÖÓÙÚ Ö Ð ÒØÖ c½¸ ÓÒ Ú ÙØ Ñ Ò Ñ × Ö
Ñ Òc½
v(X, c½) = Ñ Òc½
n
i=½
xi − c½
¾
Å Ò Ñ × Ö v(X, c½) ≡ Ñ Ò Ñ × Ö ½
n v(G½, c½) ´ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ¸ → Ú Ö Ò µº
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿¾
33. ÒØÖ Ø Ú Ö Ò ³ÙÒ ÐÙ×Ø Ö
ÈÓ×ÓÒ× Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ñ ÒØ
Î Ö Ò Ù ÐÙ×Ø Ö Ñ Ò Ñ × v½(X, c)
Ñ Òc
v½(X, c) =
n
i=½
xi − c ¾
ÒØÖ Ù ÐÙ×Ø Ö
c½ = Ö Ñ Òc
v(X, c) = Ö Ñ Òc
n
i=½
xi − c ¾
, v½(X) = v½(X, c½)
Ö Ñ Ò Ö ÒÚÓ Ð³ Ö ÙÑ ÒØ ÕÙ ÓÒÒ Ð Ù Ù Ñ Ò ÑÙѺ Ò × ³ Ð Ø ¸
ÓÒ Ö ÒÚÓ Ð ÔÐÙ× Ô Ø Ø ×Ù Ú ÒØ ÙÒ ÓÖ Ö ÓÒÒ º
È Ö Ü ÑÔÐ ¸ ÔÓÙÖ ÙÒ Ø Ð Ù
t[¼] = −¿, t[½] = , t[¾] = − , t[¿] = ½¼, t[ ] = − , t[ ] = ½¾º ÓÖ Ö ≤ ×ÙÖ Ð ×
Ò Ü × ÒØ Ö×
Ñ Ò
i
t[i] = − , Ö Ñ Ò
i
t[i] = ¾
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿¿
34. Ê ÔÔ Ð ×ÙÖ Ð³ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ ÓÒÚ Ü
ÍÒ ÓÒ Ø ÓÒ f ∈ C¾ ×Ø
×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÓÒÚ Ü ×× º ÔÓÙÖ
x = y¸ ∀α ∈ (¼, ½)
f (αx+(½−α)y) < αf (x)+(½−α)f (y)
ÕÙ Ú Ð ÒØ f (x) > ¼ ´x ∈ Rµ
Ñ Ò ÑÙÑ ÙÒ ÕÙ x∗ ××
∃!x∗, f (x∗) = ¼ ´Ô ÙØ Ò Ô ×
Ü ×Ø Ö ÓÑÑ ÔÓÙÖ ex µ
Ò ÐÝ× ÑÙÐØ Ú Ö Ú Ø ÙÖ
Â Ó Ò ∇xf (x) = ∂f (x)
∂xi i
Ø
Ñ ØÖ À ×× ÒÒ
∇¾
x f (x) = ∂¾f (x)
∂xi ∂xj i,j
¼
x y
(x, f(x))
(y, f(y))
αx + (1 − α)y
f(αx + (1 − α)y)
αf(x) + (1 − α)f(y)
z = f(x)
f(x)
f(y)
x∗
f(x∗
)
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿
35. ÒØÖ Ñ ×× ¸ ÒØÖ Ö Ú Ø ÓÙ ÒØÖÓ
ÅÓÒØÖÓÒ× ÕÙ c½ = ½
n
n
i=½ xi = ¯x¸ ×Ø Ð ÒØÖ Ñ ×× ÔÔ Ð Ù××
ÒØÖÓ º ÇÒ
Ñ Òc½
n
i=½
xi − c½, xi − c½ =
n
i=½
( xi , xi − ¾ xi , c½ + c½, c½ )
n
i=½ xi , xi ×Ø ÙÒ ÓÒ×Ø ÒØ º Å Ò Ñ × Ø ÓÒ ÓÒÚ Ü → Ñ ØØÓÒ× Þ ÖÓ Ð ×
Ö Ú × Ô ÖØ ÐÐ × e(c½) = n
i=½(−¾ xi , c½ + c½, c½ )º
∇c½e½(c½) =
n
i=½
(−¾xi + ¾c½) = ¼ ⇒ c½ =
½
n
n
i=½
xi
c½ ×Ø ÙÒ ÕÙ Ö Ð × Ö Ú × Ô ÖØ ÐÐ × × ÓÒ × ∇¾
c½e½(c½) = (¾, ¾, ..., ¾)
×ÓÒØ ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø Ú × e(c½) ×Ø ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÓÒÚ Ü º
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿
36. ÁÐÐÙ×ØÖ Ø ÓÒ Ô Ø Ø Ø Ö Ò Ú Ö Ò × ´ ×Ô Ö× ÓÒ×µ
È Ø Ø Ø Ö Ò Ú Ö Ò ´ ×Ô Ö× ÓÒµ ³ÙÒ ÐÙ×Ø Ö ÙØÓÙÖ ×ÓÒ ÒØÖ
v½(G½) =
½
n
n
i=½
xi −
½
n
n
l=½
xl
¾
v½(G½) =
½
n
n
i=½
xi
¾
− ¯x ¾
, ¯x =
½
n
n
i=½
xi
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿
37. Ä ÐÙ×Ø Ö Ò Ô Ö Ð ÓÒ Ø ÓÒ × ÓÖ × k¹ÑÓÝ ÒÒ ×
ÇÒ Ö ØÖÓÙÚ Ö Ð × k ÖÓÙÔ × Ú Ð × k ÒØÖ × c½, ..., ck ´ÔÖÓØÓØÝÔ ×µ
ÕÙ Ñ Ò Ñ × Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ø
ek(X; c½, ..., ck ) = ek (X; C) =
n
i=½
Ñ Ò
j∈{½,...,k}
xi − cj
¾
³ ×Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ
ek(X; C) =
k
j=½ x∈Gj
x − cj
¾
Ú
Gj = {xi ∈ X : xi − cj ≤ xi − cl , ∀l ∈ {½, ..., k}}
Æ Ò × ³ Ð Ø × ×Ø Ò ×¸ ÓÒ Ø ×Ù Ú ÒØ Ð³ÓÖ Ö
Ð Ü Ó Ö Ô ÕÙ × ÐÙ×Ø Ö× Ò Ö ×Ô Ø Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ º
→ ÇÒ Ú ÙØ Ñ Ò Ñ × Ö Ð ×ÓÑÑ ÔÓÒ Ö × Ú Ö Ò × × ÐÙ×Ø Ö× ´×ÓÑÑ
× ×Ô Ö× ÓÒ×µº
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿
38. ÌÖ Ø Ð Ø Ù ÐÙ×Ø Ö Ò Ô Ö Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ ×
Ð ÙÐ Ö ÙÒ ÐÙ×Ø Ö Ò ½¹ÑÓÝ ÒÒ Ó Ø O(dn) ´Ø ÑÔ× Ð Ò Ö µ ÒØÖ
Ñ ××
Å Ò Ñ × Ö Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ø × k¹ÑÓÝ ÒÒ × ×Ø Æȹ ÙÖ ÕÙ Ò d > ½
Ø k > ½º ¹ ¹ ¸ ÓÒ Ò ÓÒÒ Ø Ô × ³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð
ÈÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ø ÑÔ× O(n¾k) ÕÙ Ò d = ½ ´½ ØØÖ ÙØ» ÓÒÒ µ Ô Ö
ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÝÒ Ñ ÕÙ
→ ÇÒ Ú ÓÒ Ö Ö × ÙÖ ×Ø ÕÙ × ÔÓÙÖ Ö ×ÓÙ Ö Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ × ÕÙ Ò
k > ½ Ø d > ½º
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹¿
40. À ÙÖ ×Ø ÕÙ Ò Ø Ð × Ø ÓÒ Ð ØÓ Ö
ÁÒ Ø Ð × Ø ÓÒ Ó × Ö Ð × Ö Ò × ´ ÒØÖ × Ò Ø Ùܵ
Ó × Ö Ð × k Ö Ò × ×Ø Ò Ø × ´× ×µ Ð ØÓ Ö Ñ ÒØ Ò× X ´Ñ Ø Ó
Ø ÓÖ Ý¸ ÒØÖ × Ò Ø ÙÜ Ð Ñ ÒØ× Xµ
Ó × Ö Ð ØÓ Ö Ñ ÒØ Ð × Ö Ò × Ò× ÙÒ Ó Ø Ò ÐÓ ÒØ ÕÙ ÓÒØ ÒØ
Ð × ÓÒÒ × ´ ÔÖ × Ô ÖØ Ø ÓÒ¸ ÖØ Ò× ÐÙ×Ø Ö× Ô ÙÚ ÒØ × Ö ØÖÓÙÚ Ö Ú µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹ ¼
41. À ÙÖ ×Ø ÕÙ ÄÐÓÝ ´½ µ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ö Ø
ü Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ G½, ..., Gk ´ Ú c½, ..., ck µ¸ ÓÒ Ñ Ð ÓÖ
Ø Ö Ø Ú Ñ ÒØ Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ Ú × ÙÜ Ø Ô ×
ÐÐÓ Ø ÓÒ × ÓÒÒ × ÙÜ ÖÓÙÔ ×º
ÈÓÙÖ ØÓÙØ xi ∈ X¸ ×Ó Ø li = Ö Ñ Òl∈[k] xi − cl
¾¸ Ø ÓÖÑÓÒ× Ð ×
ÖÓÙÔ × Gj = {xi : li = j} Ö Ò Ð Ø nj = |Gj |º
Å × ÓÙÖ × ÒØÖ × × ÖÓÙÔ ×º
ÈÓÙÖ ØÓÙØ j ∈ [k] = {½, ..., k}¸ Ð ÙÐ Ö Ð ÒØÖ Ñ ××
cj = ½
nj x∈Gj
xº
Ê Ô Ø Ö × ÙÜ Ø Ô × Ù×ÕÙ³ ÓÒÚ Ö Ò º
[k] = {½, ..., k}
ÆÓØÓÒ× D(xi , C = {c½, ..., ck }) = Ñ Òc∈C xi − c
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹ ½
42. ÐÐÓ Ø ÓÒ × ÓÒÒ × ÙÜ ÖÓÙÔ × Ô ÖØ Ø ÓÒ ÎÓÖÓÒÓ
c1
c2
c3c4
c5
c6
p|lC(p) = 1
q|lC(q) = 3
Vj = {x ∈ Rd
: x − cj ≤ x − cl ∀l ∈ {½, ..., n}}.
lC (x) = Ö Ñ Ò
j∈[k]
x − cj
¾
Æ ×Ø Ò Ù ÖÖ ¸ ÓÙ Ô ×¸ ÓÒÒ Ð Ñ Ñ Ö Ñ Ò
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹ ¾
43. Ä × k¹ÑÓÝ ÒÒ × ÄÐÓÝ ÓÒÚ Ö ÓÒ
ÑÓÒÓØÓÒ Ò ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò ³ Ø Ô ×º
Ó Ø(X, C) =
n
i=½
xi − cl(i)
¾
=
n
i=½
D¾
(xi , C) =
k
j=½
v(Gj , cj )
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÙÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ ´ ÓÒ Ø ÓÒ l ÓÒÒ µ Ø ÖÑ Ò Ô ÖØ Ö k
ÒØÖ ×º
Ñ × ÓÙÖ × ÒØÖ × cj → cj ´ ÒØÖ × Ø ÒØ ÓÒÒ Ð × Ð Ð× Ü ×µ
v(Gj , cj ) ≤ v(Gj , cj ) Ø ÓÒ
Ó Ø(X = G, C ) = k
j=½ v(Gj , cj ) ≤ k
j=½ v(Gj , cj ) = Ó Ø(X = G, C)
ÐÐÓ Ø ÓÒ × ÔÓ ÒØ× Ù ÔÐÙ× ÔÖÓ ÒØÖ ´Ñ ÐÐ ÙÖ×
Ð Ð×µ D(xi , C ) = xi − cl (i)
¾ ≤ xi − cl(i)
¾ Ø ÓÒ
Ó Ø(G , C ) ≤ Ó Ø(G, C )
¼ ≤ Ó Ø(G , C ) ≤ Ó Ø(G, C ) ≤ Ó Ø(G, C)
ÇÒ Ò Ö Ô Ø Ñ × ÙÜ Ó × Ð Ñ Ñ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ø Ó Ø(G, C) ≥ ¼ ÒÓÑ Ö
Ò ³ Ø Ö Ø ÓÒ× Ò S(n, k) ´ËØ ÖÐ Ò × ÓÒ ×Ô µºÖ Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹ ¿
44. ij ÙÖ ×Ø ÕÙ ÄÐÓÝ Ò Ø ÓÒ Ð × ÔÓ ÒØ× Ò Ø ÙÜ
n = ½ ÔÓ ÒØ× ´•µ Ø k = ¾ Ö Ò × ´ ÒØÖ × Ò Ø Ùܸ ×µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹
45. ij ÙÖ ×Ø ÕÙ ÄÐÓÝ Ò Ø ÓÒ
Ø Ø ÓÒ × ÔÓ ÒØ× ÙÜ ÒØÖ × ´ Ø Ô ½µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹
46. ij ÙÖ ×Ø ÕÙ ÄÐÓÝ Ò Ø ÓÒ
ÒÓÙÚ ÙÜ ÒØÖ × ÒØÖÓ × × ÖÓÙÔ × ´ Ø Ô ½µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹
47. ij ÙÖ ×Ø ÕÙ ÄÐÓÝ Ò Ø ÓÒ
Ø Ø ÓÒ × ÔÓ ÒØ× ÙÜ ÒØÖ × ´ Ø Ô ¾µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹
48. ij ÙÖ ×Ø ÕÙ ÄÐÓÝ Ò Ø ÓÒ
ÒÓÙÚ ÙÜ ÒØÖ × ÒØÖÓ × × ÖÓÙÔ × ´ Ø Ô ¾µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹
49. ij ÙÖ ×Ø ÕÙ ÄÐÓÝ Ò Ø ÓÒ
ÓÒÚ Ö Ò Ð × ÔÓ ÒØ× ×ÓÒØ ÐÐÓÙ × ÙÜ Ñ Ñ × ÖÓÙÔ × ´ Ø Ô ¿µ ÕÙ ÐÓÖ×
Ð ÔÖ ÒØ Ø Ö Ø ÓÒ
Ø Ô ¾ Ø Ô ¿
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºk¹ÑÓÝ ÒÒ × ½¹
68. Ò ·· Ô ×× Ô Ö Ö Ö Ò × Ø Ô Ö ÔÓ ÒØ ÙÖ×
Ò » ··¸ ÓÒ Ô ×× Ð × Ö ÙÑ ÒØ× ÙÜ ÔÖÓ ÙÖ × Ô Ö Ö ÓÔ ´Ú Ð ÙÖ ÓÙ
Ö ×× Ñ ÑÓ Ö µ
Ò Ð Ù Ó × Ø Ö Ñ
Ù × Ò Ò Ñ ×Ô × Ø
Ú Ó Ò Ö Î Ð Ù Ö ´ Ò Ø Ü µ ß Ü·· »∗ ¸ ³ × Ø ¿ ∗»
Ú Ó Ò Ö È Ó Ò Ø Ù Ö ´ Ò Ø ∗ ÔÜ µ ß ´∗ ÔÜ µ··
Ú Ó Ò Ö Ê Ö Ò ´ Ò Ø ² Ü µ ß Ü··
Ò Ø Ñ Ò ´ Ò Ø Ö ¸ Ö ∗ Ö Ú µ ß
Ò Ø Ü ¾
Ò Ö Î Ð Ù Ö ´ Ü µ
Ó Ù Ø Ü Ü Ò Ð »» ¾
Ò Ö È Ó Ò Ø Ù Ö ´²Ü µ
Ó Ù Ø Ü Ü Ò Ð »» ¿
Ò Ö Ê Ö Ò ´ Ü µ
Ó Ù Ø Ü Ü Ò Ð »»
Ö Ø Ù Ö Ò ¼
È ×× Ô Ö ÔÓ ÒØ ÙÖ Ú Ø Ð Ö ÓÔ × ÖÓ× Ö ÙÑ ÒØ× ´Ó Ø×µ¸ Ø
Ô ÖÑ Ø Ô ×× Ö ÆÍÄĺ È ×× Ô Ö Ö Ö Ò Ð × ´ØÓÙ ÓÙÖ× Ò Ø Ð × µ¸ Ô ×
³ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ × Ö Ö Ò ×
81. Å ×× È ×× Ò ÁÒØ Ö ´ÅÈÁµ
Ä × ÔÖÓ ××Ù× ÓÑÑÙÒ ÕÙ ÒØ ÒØÖ ÙÜ Ö × Ñ ×× × ´ ÓÒØ Ò ÒØ Ð ×
ÓÒÒ ×µ
ÔÔÐ Ø ÓÒ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÁÒØ Ö ´ ÈÁµ
Ò Ø Ð ×ÝÒØ Ü ´ Ø × Ñ ÒØ ÕÙ µ ³ÙÒ Ð ÓØ ÕÙ ÖÓÙØ Ò ×
×Ø Ò Ö × × ÔÓÙÖ Ö Ö × ÔÖÓ Ö ÑÑ × ÙØ Ð × ÒØ × Ò ×
Ñ ×× ×º Æ Ô Ò Ô × Ù Ð Ò ×ÓÙ×¹ ÒØ ÓÑÑ Ð ¸ ··¸
Â Ú ¸ ÓÖØÖ Ò¸ ÈÝØ ÓÒ¸ Ø º ´ÔÐÙ× ÙÖ× Ò Ò × Ð³ ÈÁ ×ÓÒØ ×ÔÓÒ Ð ×µ
ÒÚ ÖÓÒÒ Ñ ÒØ Ô Ö ÐÐ Ð Ñ ÑÓ Ö ×ØÖ Ù ½ ½ ´ÛÓÖ × ÓÔµ¸ ÅÈÁ¹Á
´½ ¾µ¸ ÅÈÁ¹¾¸ ÅÈÁ¹¿ ´¾¼¼ µ
ÈÐÙ× ÙÖ× ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ× ×ÔÓÒ Ð × ÅÈÁ
ÇÒ ÙØ Ð × ÇÔ ÒÅÈÁ ´ ØØÔ »»ÛÛÛºÓÔ Ò¹ÑÔ ºÓÖ »µ Ò × ÐÐ × Ñ Ò ×
Ú ··º
82. ÈÖÓ Ö ÑÑ ÅÈÁ ´ Ò Ò Ò µ ÕÙ ×Ù × º ÔÔ
Ò ÐÙ ÑÔ º
ÒØ Ñ Ò´ ÒØ Ö ¸ Ö∗∗ Ö Ú µ
ß
ÒØ ¸ Ô ¸ Ò Ñ Ð Ò
Ö ÔÖÓ ××ÓÖ Ò Ñ ÅÈÁ Å ÈÊÇ ËËÇÊ Æ Å
ÅÈÁ ÁÒ Ø´ ² Ö ¸ ² Ö Ú µ »» Ò Ø Ð × ÅÈÁ
ÅÈÁ ÓÑÑ × Þ ´ÅÈÁ ÇÅÅ ÏÇÊÄ ¸²Ôµ »» ÒÓÑ Ö ÔÖÓ ××Ù×
ÅÈÁ ÓÑÑ Ö Ò ´ÅÈÁ ÇÅÅ ÏÇÊÄ ¸² µ »» Ö Ò Ù ÔÖÓ ××Ù×
ÅÈÁ Ø ÔÖÓ ××ÓÖ Ò Ñ ´ÔÖÓ ××ÓÖ Ò Ñ ¸ ²Ò Ñ Ð Òµ »»
ÒÓÑ Ù ÔÖÓ ×× ÙÖ
Ô Ö Ò Ø ´ ÈÖÓ ×× ÙÖ ±× Á ± Ò ¸ ÔÖÓ ××ÓÖ Ò Ñ ¸ µ
ÅÈÁ Ò Ð Þ ´ µ »» ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÅÈÁ
Ö ØÙÖÒ ¼
83. ÓÑÔ Ð Ö Ø Ü ÙØ Ö ×ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ ÅÈÁ
Ä ÓÑÔ Ð Ø ÓÒ × Ø Ô Ö
ÑÔ ·· ÕÙ ×Ù × º ÔÔ ¹Ó ÕÙ ×Ù ×
´× гÓÔØ ÓÒ ¹Ó Ò³ ×Ø Ô × Ñ × ¸ Ö Ø Ò× ÙÒ Ö ºÓÙص
Ü ÙØ ÓÒ ×ÙÖ × Ñ Ò ÐÓ Ð Ñ ÒØ ´ ÓÐÐ Ò µ
ÓÐÐ Ò ÅÈÁ ° ÑÔ ÖÙÒ ¹ÒÔ ÕÙ ×Ù ×
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÓÐÐ Ò ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¿
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÓÐÐ Ò ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¼
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÓÐÐ Ò ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÓÐÐ Ò ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾
84. Ü ÙØ Ö ×ÙÖ ÔÐÙ× ÙÖ× Ñ Ò ×
Ö Ò ½ ° ÑÔ ÖÙÒ ¹ÒÔ ¹ Ó×Ø Ò Ð Ø ÖÖ ¸ ÙØÖ ÕÙ ×Ù ×
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÙØÖ ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÙØÖ ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¿
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò Ð Ø ÖÖ ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò Ð Ø ÖÖ ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¼
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò Ð Ø ÖÖ ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á
⇒ ÑÔ ÖÙÒ ×Ø ÙÒ Ð × ÔÓÙÖ ÓÖØ ÖÙÒ
½ Ñ Ò × Ò× Ð × × ÐР׸ ÓÖ Ò × × Ò ÐÙ×Ø Ö× Ñ Ò × ´¿ × ¼ + ½ µ
½¼¼¼· ÙÖ× Ø ¾º · ÌÓ Ñ ÑÓ Ö Ú Ú ´Ê ŵ
85. ÍØ Ð × Ö Ð³ÓÖ ÓÒÒ Ò ÙÖ ËÄÍÊÅ ×ÙÖ Ð × ÐÙ×Ø Ö×
¿ ÐÙ×Ø Ö× ¼ Ò Ù × Ø ÙÒ ÐÙ×Ø Ö ½ Ò Ù ×
× Ò Ó ÚÓ Ö × Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ× ×ÙÖ Ð ÐÙ×Ø Ö Ð ÕÙ ÐÐ ÚÓØÖ Ñ Ò ÔÔ ÖØ ÒØ
Ö Ò ¾ ½ ° × Ò Ó
È ÊÌÁÌÁÇÆ Î ÁÄ ÌÁÅ ÄÁÅÁÌ ÆÇ Ë ËÌ Ì ÆÇ ÄÁËÌ
Ù ¶ ÙÔ ½ ¼¼ ½ Ð ÐÐ Ñ Ò ¸
Ò Ð Ø ÖÖ ¸ ÙØÖ ¸ Ð ÕÙ ¸ ×Ô Ò ¸ ÒÐ Ò ¸
Ö Ò ¸ ÖÓ ÒÐ Ò ¸ ÓÐÐ Ò ¸ ÓÒ Ö ¸ ÖÐ Ò ¸ ×Ð Ò
¸Ð ØÙ Ò ¸Ñ ÐØ ¸ÑÓÒ Ó ¸ÔÓÐÓ Ò ¸ÔÓÖØÙ Ð ¸ÖÓÙÑ Ò ¸
×Ù
86. ÍØ Ð × Ö Ð³ÓÖ ÓÒÒ Ò ÙÖ ËÄÍÊÅ ×ÙÖ Ð × ÐÙ×Ø Ö×
¹ × ¹ º½° ×× ××ÓÒÒ
Ä ×Ø ÐÓ Ò Ö Å Ö ¾¼ ½ ¾ ¾¼½ ÖÓÑ Ð Òº
ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö
××ÓÒÒ ½ ° × Ò Ó
È ÊÌÁÌÁÇÆ Î ÁÄ ÌÁÅ ÄÁÅÁÌ ÆÇ Ë ËÌ Ì ÆÇ ÄÁËÌ
Ëƾ ¶ ÙÔ ½ ¼¼ ¼ Ð Ð ØØ ¸ Ò
¸ ÐÐ Ö ¸ Ò Ó × ¸ Ò Ù ÐÐ ¸ Ö ÒÒ × ¸ Ö Ù ¸ Ö Ù ¸
Ù ÖÓ ¸ ÖÓ Ø ¸ ÖÑÓÖ ¸ ÖÖ Ð Ø ¸ Ö ÒØ ¸ Ö ¸
Ö Ù× ¸ ÓÖ Ó Ò ¸ ÓÙ × ¸ ××ÓÒÒ ¸ Ò ×Ø Ö ¸ Ö ÓÒ ¸
ÖÓÒ ¸ ÝÑÒÓØ ¸ Ò Ö ¸ ÙÖ ¸Ð Ö ¸Ð Ò × ¸Ð Ù ¸
ÐÓ Ö ¸ÐÓØØ ¸Ñ Ò ¸Ñ ÖÒ ¸Ñ Ý ÒÒ ¸ÑÓÖ Ò ¸ÑÓ× ÐÐ
¸ÑÙÐ Ø ¸ÑÙÖ Ò ¸Ô Ö Ò ¸Ö ¸Ö ÕÙ Ò ¸ÖÓÙ Ø ¸
ÖÓÙ×× ØØ ¸× ÓÒ ¸× ÙÑÓÒ ¸× ÐÙÖ ¸×ÓÐ ¸×ÓÑÑ ¸Ø ÓÒ ¸
ØÖÙ Ø ¸Ú Ò ¸ÚÓ× ×
87. ××ÓÒÒ ½ ° × ÐÐÓ ¹¹ÒØ × × ¿¾ ¹¹ÒØ × × ¹Ô Ö ¹ÒÓ
×
× ÐÐÓ Ö ÒØ Ó ÐÐÓ Ø ÓÒ
××ÓÒÒ ½ ° × Ø Ö Ô ËÄÍÊÅ
ËÄÍÊÅ ÂÇ Á
ËÄÍÊÅ ÂÇ ÈÍË È Ê ÆÇ ³ ´Ü µ³
ËÄÍÊÅ ÂÇ Á
ËÄÍÊÅ ÂÇ ÆÇ ÄÁËÌ Ò ¸ ÐÐ Ö ¸ Ö ÒÒ × ¸ ÖÑÓÖ
ËÄÍÊÅ ÂÇ ÆÍÅ ÆÇ Ë
ËÄÍÊÅ ÂÇ È ÊÌÁÌÁÇÆ Ëƾ
ËÄÍÊÅ ÆÆÇ Ë
ËÄÍÊÅ ÆÇ ÄÁËÌ Ò ¸ ÐÐ Ö ¸ Ö ÒÒ × ¸ ÖÑÓÖ
ËÄÍÊÅ ÆÇ ÄÁ Ë Ë ³´ÒÙÐе³
ËÄÍÊÅ ÆÈÊÇ Ë ¿¾
ËÄÍÊÅ ÆÌ ËÃË ¿¾
ËÄÍÊÅ ÆÌ ËÃË È Ê ÆÇ
ËÄÍÊÅ ËÍ ÅÁÌ ÁÊ »Ù× Ö×»ÔÖÓ ×» Ò Ó»Ò Ð× Ò» ½
ËÄÍÊÅ ËÍ ÅÁÌ ÀÇËÌ ××ÓÒÒ ºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö
ËÄÍÊÅ Ì ËÃË È Ê ÆÇ ³ ´Ü µ³
88. ××ÓÒÒ ½ ° ÑÔ ÖÙÒ ÕÙ ×Ù ×
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÐÐ Öº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÐÐ Öº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÖÑÓÖº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÐÐ Öº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½½
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÖÑÓÖº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¿¼
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÐÐ Öº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÐÐ Öº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¿
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÐÐ Öº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½¼
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÐÐ Öº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½¾
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ö ÒÒ × º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ö ÒÒ × º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ö ÒÒ × º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ò º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¼
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ö ÒÒ × º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÖÑÓÖº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¿½
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ö ÒÒ × º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾¼
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÖÑÓÖº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ö ÒÒ × º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾½
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ö ÒÒ × º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾¾
ÈÖÓ ×× ÙÖ Ö ÒÒ × º ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾¿
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÖÑÓÖº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÐÐ Öº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ½¿
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÖÑÓÖº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÖÑÓÖº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾
ÈÖÓ ×× ÙÖ ÖÑÓÖº ÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö Á ¾
89. Æ Ô × ÓÙ Ð Ö ÖÑ Ö Ð × ÔÓÙÖ Ö Ò Ö Ð × Ö ××ÓÙÖ × ËÄÍÊÅ
××ÓÒÒ ½ ° Ü Ø
Ü Ø
× ÐÐÓ Ê Ð ÒÕÙ × Ò Ó ÐÐÓ Ø ÓÒ
92. Ð ÙÐ π Ô Ö ÙÒ Ñ Ø Ó ÅÓÒØ ¹ ÖÐÓ
πr¾
r¾
=
π
≈
nc
n
, πn =
nc
n
Ð Ñn→∞
πn = π.
93. Ð ÙÐ π Ô Ö ÙÒ Ñ Ø Ó ÅÓÒØ ¹ ÖÐÓ
Ò Ø Ö Ù Ö ¼
»» Ò Ö Ø ÙÖ Ð ØÓ Ö Ö ÒØ × ÒÓÒ Ð × ÔÖÓ º Ð × Ñ Ñ ×
× Ö Ò ´ ÑÓ µ
Ó Ö ´ ¼ Ò ··µ ß
Ü ´ Ó Ù Ð µ Ö Ò ´ µ »Ê Æ Å Ý ´ Ó Ù Ð µ Ö Ò ´ µ »Ê Æ Å
»» ÓÑÔØ Ð × ÔÓ ÒØ× ÕÙ ØÓÑ ÒØ Ò× Ð ÕÙ Ö ÒØ Ù ×ÕÙ
´ Ü ∗Ü·Ý ∗Ý ½º¼µ Ò Ø Ö Ù Ö ··
Ô Ô Ö Ó Ü Ô º ¼ ∗ Ò Ø Ö Ù Ö »´ Ó Ù Ð µ ´ Ò µ
Ô Ö Ò Ø ´ Ô Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ð Ô Ö Ó º ± Ú ± Ô Ó Ò Ø × ± Ö Ö Ù Ö
± Ò ¸ ÑÓ ¸ Ò ¸ Ô Ô Ö Ó Ü Ô ¸ × ´ Ô Ô Ö Ó Ü Ô −Å ÈÁµ µ
»» Å ÒØ Ò ÒØ ÓÒ ÙÑÙÐ ØÓÙ× Ð × Ö ×ÙÐØ Ø× Ú ÙÒ Ö Ù Ø ÓÒ
ÅÈÁ Ê Ù ´² Ò Ø Ö Ù Ö ¸² Ø Ó Ø Ð Á Ò Ø Ö Ù Ö ¸ ½ ¸ ÅÈÁ ÁÆÌ ¸ ÅÈÁ ËÍŸ ¼ ¸
ÅÈÁ ÇÅÅ ÏÇÊÄ µ
´ ÑÓ ¼µß Ô Ô Ö Ó Ü Ô º ¼ ∗ Ø Ó Ø Ð Á Ò Ø Ö Ù Ö »´ Ó Ù Ð µ ´ Ò Ô Ö Ó × ∗Ò µ
Ô Ö Ò Ø ´ Ù Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ô Ô Ô Ö Ó Ú ± Ô Ó Ò Ø × ± Ò ¸ Ò∗
Ò Ô Ö Ó × ¸ Ô Ô Ö Ó Ü Ô µ
Ô Ö Ò Ø ´ Ö Ö Ù Ö ³ Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ó Ò ± Ò ¸ × ´ Ô Ô Ö Ó Ü Ô −Å ÈÁµ µ
94. ÑÔ ÖÙÒ ¹ÒÔ ½¾ ¹ Ó×Ø Ø ÓÒ ¸ ÙÖ ¸ × Ñ Ô ÅÓÒØ ÖÐÓ ¾ º Ü
Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º ¾ Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ¿ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ½º¼¼½ ¹¼
Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ¾½ ¾ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ º ¹¼
Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º ½½ Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ¿¾ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ½º¿ ½¼ ¹¼
Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ½º¾¿ ¿¿ ¹¼
Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ¿ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ º ¿¿ ¼ ¹¼
Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º ¿ Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ¿ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ½º ¼ ¹¼
Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ½ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ¾º¿ ¾ ½ ¹¼
Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º ¼ Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ½º¼ ¾ ¹¼
Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º ½¼ Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ½ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ º ¿ ½ ¹¼
Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º ½ Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ½º¼ ¾ ¹¼
Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ¾ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ ½º ¼ ¿ ¹¼
Ô ÔÔÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ º Ú ½¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ·¼¼ ÖÖ ÙÖ º¼ ¿ ¼ ¹¼
ÙÑÙÐ Ø ÓÒ Ô ÔÔÖÓ Ú ½¾¼¼¼¼¼¼¼¼ ÔÓ ÒØ× ¿º½ ½ ·¼¼
ÖÖ ÙÖ ³ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ º¾½ ¹¼