Traitement des données massives (INF442, A7)

ÁÆ ¾ ÌÖ Ø Ñ ÒØ × ÓÒÒ × Å ×× Ú ×
ÌÓÔÓÐÓ × Ö × ÙÜ ³ ÒØ Ö
ÓÒÒ Ü ÓÒ×
Ö Ò Æ Ð× Ò
Ò Ð× ÒÐ ÜºÔÓÐÝØ
Ò ÕÙ º Ö
¾¼½¿
¾ Ñ ¾¼½

ÈÐ Ò
◮ ÙÜ ØÝÔ × ØÓÔÓÐÓ ×
◮ ØÓÔÓÐÓ Ô Ý× ÕÙ Ù
ÐÙ×Ø Ö Ö × Ù ³ ÒØ Ö
ÓÒÒ Ü ÓÒ
◮ ØÓÔÓÐÓ ÐÓ ÕÙ »Ú ÖØÙ ÐÐ ÙØ Ð × × Ô Ö Ð × Ð ÓÖ Ø Ñ × Ô Ö ÐÐ Ð ×
◮ ØÓÔÓÐÓ Ð³ ÝÔ Ö
Ù Ø ×ÓÒ
Ó Ö Ý ××Ó

Ê × ÙÜ ³ ÒØ Ö
ÓÒÒ Ü ÓÒ
Ö × Ù ÕÙ Ö Ð Ð × Ñ
Ò ×
Ù
ÐÙ×Ø Ö

ÐÙ×Ø Ö× Ñ
Ò × Ø Ö × ÙÜ
ÇÖ Ò Ø ÙÖ Ô Ö ÐÐ Ð Ñ ÑÓ Ö ×ØÖ Ù Ö ÔÔ Ñ
Ò × Ö Ð ×
ÒØÖ ÐÐ × Ô Ö ÙÒ Ö × Ù ³ ÒØ Ö
ÓÒÒ Ü ÓÒ º
mémoire
locale
processeur
mémoire
locale
processeur
mémoire
locale
processeur
mémoire
locale
processeur
mémoire
locale
processeur
mémoire
locale
processeur
réseau
d’interconnexion
échange de messages
avec MPI
Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÓÔÓÐÓ ¹½ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ ×» ÝÒ Ñ ÕÙ ×

Ô Ö × ØÓÔÓÐÓ × × Ö × ÙÜ ³ ÒØ Ö
ÓÒÒ Ü ÓÒ
ÌÓÔÓÐÓ ÔÖÓÔÖ Ø × Ò Ö ÕÙ × ³ÙÒ Ñ ÐÐ Ö × ÙÜ

Ê × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × Ø Ö × ÙÜ ÝÒ Ñ ÕÙ ×
ÙÜ ØÝÔ × Ö × ÙÜ
◮ Ð × Ö × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × Ü ×¸ ÒÓÒ ÑÓ Ð ×
◮ Ð × Ö × ÙÜ ÝÒ Ñ ÕÙ × ÑÓ Ð Ò
ÓÙÖ× ³ Ü
ÙØ ÓÒ Ô Ö ÙÒ
×Ø ÓÒÒ Ö
ÓÒÒ Ü ÓÒ×¸ Ô Ò Ù ØÖ
¸ Ð
ÓÒ ×Ø ÓÒ¸ Ø
º
Ð ×Ø
ÓÑÔÙØ Ò ´ µ Ù×Ø Ö Ð × Ö ××ÓÙÖ
× Ò ÓÒ
Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø Ñ ÒØ ×
ÓÒÒ × ººº

Ê × Ù ÐÓ ÕÙ Ø Ö × Ù Ô Ý× ÕÙ
◮ Ê × Ù Ô Ý× ÕÙ Ó
ÕÙ Ò Ù ×Ø ÙÒ ÔÖÓ
×× ÙÖ ´ÈÖÓ
×× Ò
Ð Ñ ÒØ¸ È µ Ø
ÕÙ Ð Ò Ö Ð ÙÜ ÔÖÓ
×× ÙÖ× ÔÓÙÚ ÒØ

ÓÑÑÙÒ ÕÙ Ö Ö
Ø Ñ ÒØ ÒØÖ ÙÜ
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ× ÔÓ ÒØ ÔÓ ÒØ
◮ Ê × Ù ÐÓ ÕÙ ×ØÖ
Ø ÓÒ ³ÙÒ Ö × Ù
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ
Ò Ô Ò ÒØ Ð³ Ö
Ø
ØÙÖ Ñ Ø Ö ÐÐ ×ÓÙ×¹
ÒØ ÕÙ
Ð Ø Ð Ñ ×
Ò ÙÚÖ ³ Ð ÓÖ Ø Ñ × Ô Ö ÐÐ Ð ×º
È Ö Ü ÑÔÐ ¸ Ð ÔÖÓ Ù Ø Ñ ØÖ
Ð ×ÙÖ Ð ØÓÔÓÐÓ Ù ØÓÖ ¾
Ò Ö ×ÙÑ
◮ Ê × Ù ÐÓ ÕÙ Ô Ò Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ´ÓÖ Ò × Ô Ö ÖÓÙÔ ×
ÔÖÓ
×× ÙÖ×¸ Ð ×
ÓÑÑÙÒ
ØÓÖ×µ¸ Ô ÙØ¹ ØÖ ÝÒ Ñ ÕÙ
◮ Ê × Ù Ô Ý× ÕÙ Ô Ò Ù Ñ Ø Ö Ð¸ Ð ÔÐÙ× ×ÓÙÚ ÒØ ×Ø Ø ÕÙ
→ Ò ÔÖ Ø ÕÙ ¸ Ô Ö ÓÖÑ Ò
ÓÔØ Ñ Ð ÕÙ Ò Ð × Ö × ÙÜ Ô Ý× ÕÙ × Ø ÐÓ ÕÙ ×
×ÓÒØ ÒØ ÕÙ ×¸ × ÒÓÒ ÓÒ
Ö
ÙÒ ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ ´ÓÙ ÔÐÓÒ Ñ ÒØ µº
Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÓÔÓÐÓ ¹¾ºÊ × ÙÜ ÐÓ ÕÙ »Ô Ý× ÕÙ

Ê × Ù ³ ÒØ Ö
ÓÒÒ Ü ÓÒ
◮ Ö × Ù
ÓÑÔÐ Ø ÔÓ ÒØ ÔÓ ÒØ ´ Ö Ò
ÓÑÔÐ Ü Ø µ Ú Ö×Ù× Ù×
ÓÑÑÙÒ
´× ÑÔÐ Ñ × ÔÖÓ Ð Ñ ×
ÓÐÐ × ÓÒ×µ
◮ Ð × Ð ÓÖ Ø Ñ × Ô Ö ÐÐ Ð × ÓÒØ ×Ó Ò ÔÖ Ñ Ø Ú ×
◮
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ× ÔÓ ÒØ ÔÓ ÒØ ´× Ò Ø Ö
Ú µ
◮
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ× ÐÓ Ð × ´ Ù× ÓÒ¸
Ò ØÓØ Ð¸ Ø
ºµ
◮ ÝÔÓØ × ÖÓÙØ × Ò× Ô ÖØ
→ Ù
ÙÒ Ñ ×× Ö Ø ¸ × Ò

ÓÒØ ÒØ ÓÒ×¸ Ô × Ù Ö
ÓÚ Ö ÓÛ
◮ Ò ÔÖ Ø ÕÙ ¸ Ñ Ò ÙÒ
ÓÒØÖÐ Ù ÓØ × Ñ ×× × ×ÙÖ Ð ×
Ð Ò×»Ò Ù × Ô Ö ÙÒ ×Ø ÓÒÒ Ö
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ×
Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÓÔÓÐÓ ¹¿ºÊ × Ù ³ ÒØ Ö
ÓÒÒ Ü ÓÒ Ð × ÜØÖ Ñ ×

ÌÓÔÓÐÓ Ù Ö × Ù
Ö Ø Ô Ö ÙÒ Ö Ô G = (V , E)
◮ V ×ÓÑÑ Ø× ´Ú ÖØ
×µ ÔÖÓ
×× ÙÖ× ´È ×µ¸ ÔÖÓ
××Ù×
◮ E Ö Ø × ´ ×µ¸ Ö
× Ð Ò×
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ
Ø Ð Ö ÙÒ ÕÙ Ð Ö ´ØÖ ¹Ó µ ÒØÖ ÙÜ
Ö Ø Ö × ÓÔÔÓ× ×
◮ Ñ Ò Ñ × Ö Ð ÒÓÑ Ö Ð Ò× ´←
Ó Ø Ñ Ø Ö Ð °°°µ
◮ Ñ Ü Ñ × Ö Ð ÒÓÑ Ö ×
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ× Ö
Ø ×
←
Ó Ø ×
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ×¸ ÑÓ Ð α + βτ
ÍÒ ØÓÔÓÐÓ ×Ø
Ö Ø Ô Ö ÙÒ Ñ ÐÐ Ò Ö ÕÙ Ö Ô ×
È Ö Ü ÑÔÐ ¸Ð ØÓÔÓÐÓ Ð³ ÒÒ Ù ÔÓÙÖ Ð × ÒÒ ÙÜ¸ Ø
º
Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÓÔÓÐÓ ¹ ºÌÓÔÓÐÓ

Ö
Ø Ö ×Ø ÕÙ × × ØÓÔÓÐÓ × ´ Ö Ô × Ò Ù Ø×µ
ØØÖ ÙØ× ³ÙÒ Ö Ô G = (V , E)
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ× Ð × Ð ØÓÔÓÐÓ
◮ Ñ Ò× ÓÒ Ò Ù ×¸ P
◮ ÒÓÑ Ö Ð Ò×¸ l
◮ ÐÓÒ ÙÖ ³ÙÒ
Ñ Ò ÒÓÑ Ö Ð Ò× Ù
Ñ Ò
◮ ×Ø Ò
ÐÓÒ Ù ÙÖ Ù ÔÐÙ×
ÓÙÖØ
Ñ Ò Ö Ð ÒØ ÙÜ Ò Ù ×
◮ Ö ÒÓÑ Ö Ð Ò× Ô ÖØ ÒØ» ÖÖ Ú ÒØ ÙÒ Ò Ù ¸
Ö ÒØÖ ÒØ · Ö ×ÓÖØ ÒØ d
d = d ÖÖ Ú ÒØ
+ dÔ ÖØ ÒØ
◮ Ñ ØÖ Ñ Ü ÑÙÑ × ×Ø Ò
× ÒØÖ ÙÜ Ò Ù ×¸ Dº
Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÓÔÓÐÓ ¹ º Ö
Ø Ö ×Ø ÕÙ × ½¼

ÙØÖ × ØØÖ ÙØ×
ÓÒÒ Ü Ø Ø ××
Ø ÓÒ
Ö
Ø Ö × Ø ÓÒ× ´×ÓÙÚ ÒØ Ö
ÙÖ× Ú ×µ × ØÓÔÓÐÓ × Ò ×ÓÙ×¹ØÓÔÓÐÓ ×
◮
ÓÒÒ Ü Ø Ù Ö × Ù ÒÓÑ Ö Ñ Ò ÑÙÑ Ð Ò× ÒÐ Ú Ö ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö
ÙÜ Ö × ÙÜ
ÓÒÒ Ü ×
◮ Ð Ö ÙÖ ××
Ø ÓÒ ÒÓÑ Ö Ñ Ò ÑÙÑ Ð Ò× Ò
×× Ö × ÔÓÙÖ
Ö Ð Ö ÙÜ ÑÓ Ø × × Ñ Ð Ð ×¸ b
´ ÜÔÖ ×× ÓÒ Ö
ÙÖ× Ú ØÓÔÓÐÓ ×
ÓÑÑ Ð Ö ÐÐ µ
Ø Ö ×Ø ÕÙ × ½½

ÉÙ ÐÐ × ×ÓÒØ Ð × ÓÒÒ × ØÓÔÓÐÓ × ÔÓÙÖ ÙÒ Ö × Ù
◮ Ñ Ò Ñ × Ö Ð Ö d Ù Ö × Ù ´→
Ó Ø Ð Ò
Ð ×µ
◮ Ñ Ò Ñ × Ö Ð Ñ ØÖ D Ù Ö × Ù ´→
Ñ Ò×
ÓÙÖØ× ÔÓÙÖ Ð ×

ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ×

×µ
◮ Ñ Ü Ñ × Ö Ð Ñ Ò× ÓÒ Ù Ö × Ù ´→ Ù Ñ ÒØ Ö P¸ Ô ××
Ð³
ÐÐ ¸ ×
Ð Ð ØÝ¸ ÔÓÙÖ Ð³

Ø µ
Ø Ö ×Ø ÕÙ × ½¾

ÉÙ ÐÕÙ × × × ÔÓÙÖ Ð
ÓÑÔ Ö ×ÓÒ × ØÓÔÓÐÓ ×
Ö ÙÑ ÒØ× Ò Ú ÙÖ Ù ÈÇÍÊ
◮ ÙÒ ÓÖÑ Ø ´Ö ÙÐ Ö Ø Ù Ö µ ÓÙ ×ÝÑ ØÖ
◮
Ô
Ø Ô ÖØ Ø ÓÒÒ Ö ´ Ò ×ÓÙ×¹Ö × ÙÜ Ñ Ñ ØÓÔÓÐÓ µ ÓÙ
Ø Ò Ö Ð Ö × Ù Ò
ÓÒ× ÖÚ ÒØ Ð Ñ Ñ ØÓÔÓÐÓ
◮ Ô ×× Ð³
ÐÐ Ù Ñ ÒØ Ö Ð Ô Ö ÓÖÑ Ò
Ò ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ×
Ñ Ò× ÓÒ P
◮
Ô
Ø ØÖ Ò× ÓÖÑ Ö Ð Ö × Ù Ò ³ ÙØÖ × ØÓÔÓÐÓ ×
◮
Ð Ø ÖÓÙØ

Ø ÙÖ× Ò Ú ÙÖ Ù ÇÆÌÊ
◮ Ù Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ù
Ó Ø ÓÙ Ð
ÓÑÔÐ Ü Ø Ù ÖÓÙØ ´ Ö Ð Ú µ
◮ Ô ÖØ ÖÓ Ù×Ø ×× ´ Ö ×¸
ÓÒÒ Ü Ø µ
◮ Ô ÖØ Ô Ö ÓÖÑ Ò
Ò
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ ´ Ö × Ø Ñ ØÖ Ð Ú µ
◮ Ô ÖØ Ô Ö ÓÖÑ Ò
Ò
Ð
ÙÐ ´Ô Ø Ø Ñ Ò× ÓÒ Pµ
Ö Ò Æ Ð× Ò ½ºÌÓÔÓÐÓ ¹ º × × ÔÓÙÖ Ð
ÓÑÔ Ö ×ÓÒ ½¿

Ä Ö × Ù
ÓÑÔÐ Ø Ð Ö Ô
ÓÑÔÐ Ø ÓÙ Ð
Ð ÕÙ
◮ Ê × Ù Ð ÔÖÓ
×× ÙÖ× ×Ø Ò
D = ½ × ÙÒ× × ÙØÖ ×
◮ Ö d = P − ½¸ Ö ÙÐ Ö
◮ ÆÓÑ Ö Ð Ò× ÕÙ Ö Ø ÕÙ × P
¾ = P(P−½)
¾
→ Ô ÖÑ Ø × ÑÙÐ Ö
Ð Ñ ÒØ ØÓÙØ × Ð × ÙØÖ × ØÓÔÓÐÓ × ´ÔÙ ×ÕÙ³ ÐÐ

ÓÒØ ÒØ ØÓÙ× Ð × ×ÓÙ×¹ Ö Ô × µ Ñ ×
Ó Ø Ð Ú
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹½ºÄ
Ð ÕÙ ½

Ä³ ØÓ Ð
ËØ Ö Ö Ô ×
→ Ð ØÓÐ Ö Ò
ÙÜ Ô ÒÒ ×º
Ü ÑÔÐ ÐÓÖ× Ù Ý× ÓÒ
Ø ÓÒÒ Ñ ÒØ Ù Ò Ù
ÒØÖ Ð
Ð ÕÙ ½

Ä³ ÒÒ Ù
Ö Ò Ö Ô ×
→ Ô ÖÑ Ø Ö × Ð ÓÖ Ø Ñ × Ô Ô Ð Ò ×
Ð Ñ ÒØ

ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ× ÙÒ Ö
Ø ÓÒÒ ÐÐ × ÓÙ
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ× Ö
Ø ÓÒÒ ÐÐ ×
Ö Ô ÒÓÒ¹ÓÖ ÒØ ´ Ö Ø ×µ Ú× Ö Ô ÓÖ ÒØ ´ Ö
×
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒµ
Ð ÕÙ ½

Ä³ ÒÒ Ù
ÓÖ Ð
ÓÙØ Ö ×
ÓÖ × ×ÙÖ Ð³ ÒÒ Ù ´
ÓÖ Ð Ö Ò µ
→
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ× ÔÐÙ× Ö Ô × ´ Ñ ØÖ D Ú ÒØ ÔÐÙ× Ô Ø Øµ
Ð ÕÙ ½

ØÓ Ð ¸ ÒÒ Ù¸ Ø ÒÒ Ù
ÓÖ Ð
ØÓ Ð ÒÒ Ù ÒÒ Ù
ÓÖ Ð
Ñ ØÖ ººº
Ð ÕÙ ½

Ö ÐÐ ¾D¸ ¿D Ø dD
Ò Ö¹Ò ÓÖ Ñ × ¸ Ö ÖÖ ÙÐ Ö
→ Ò ÔØ Ù ÓÑ Ò Ð³ Ñ ´¾ Ô Ü Ð×¸ ¿ ÚÓÜ Ð×µ Ñ × ººº
ººº Ö ØØ ÒØ ÓÒ ÙÜ ÔÖÓ
×× ÙÖ× ×ÙÖ Ð × ÓÖ × ´
× Ô ÖØ
ÙÐ Ö×µ
Ð ÕÙ ½

ÌÓÖ ¾
Ö Ö ÙÐ Ö Ô × ÓÖ ×
→ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÙÒ ÓÖÑ × Ò Ù ×
ÌÓÖ ¿D¸ ØÓÖ dDººº Ø Ð³ ÒÒ Ù ØÓÖ ½D
Ð ÕÙ ¾¼

Ê
ÓÙÚÖ Ñ ÒØ×»
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ×
ÓÒ
ÙÖÖ ÒØ × ÑÙÐØ ÔÐ ×
◮ ÇÒ ×ÙÔÔÓ× ÕÙ Ð × ÔÖÓ
×× ÙÖ× ´È ×µ Ô ÙÚ ÒØ Ö Ò
ÓÒ
ÙÖÖ Ò
×
ÒÚÓ ×»Ö
ÔØ ÓÒ× ÒÓÒ¹ ÐÓÕÙ ÒØ× Ò× ÕÙ ×
Ð
ÙÐ× ÐÓ
ÙÜ
◮ Ð Ò× ÙÒ ¹ Ö
Ø ÓÒ Ð× ÓÙ ¹ Ö
Ø ÓÒÒ Ð×
◮ À Ð ¹ ÙÔÐ Ü Ò Ô ×× ÒØ Ô ÖØ Ô Ö ÙÜ Ñ ×× × ×ÙÖ Ð Ñ Ñ
Ð Ò ÐÐ ÒØ Ò× × Ö
Ø ÓÒ× ÓÔÔÓ× ×
◮ ÙÐÐ¹ ÙÔÐ Ü
ÓÑÑ × ÓÒ Ú Ø ÙÜ Ð Ò×¸ ÓÒ Ö Ð Ò Ô ×× ÒØ
ÔÓÙÖ
ÕÙ Ö
Ø ÓÒ
◮ ËÙÖ ÙÒ ÔÖÓ
××Ù× ÐÓ ÕÙ ´ØÓÔÓÐÓ Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ô Ö ÐÐ Ð µ l Ð Ò×¸
ÒÓÑ Ö
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ×
ÓÒ
ÙÖÖ ÒØ ×
◮ ÑÙÐØ ¹ÔÓÖØ ÒÚÓ Ø Ö
ÔØ ÓÒ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ×ÙÖ ØÓÙ× Ð × Ð Ò×
◮ ½¹ÔÓÖØ ½ ÒÚÓ Ø ½ Ö
ÔØ ÓÒ Ò Ô Ö ÐÐ Ð
◮ k¹ÔÓÖØ k ÒÚÓ × Ø k Ö
ÔØ ÓÒ× Ò Ô Ö ÐÐ Ð
Ð ÕÙ ¾½

Ù ¿
P = Ò Ù ×
Ñ ØÖ ¿¸ Ö ÙÐ Ö
ÌÖ × ×ÓÙÚ ÒØ ÙØ Ð × ººº ÓÒ Ú ÚÓ Ö Ð³ ÝÔ Ö
Ù
Ð ÕÙ ¾¾

Ö Ö × ´ Ò Ö ×µ
Ù
ÓÙÔ ³ Ð ÓÖ Ø Ñ × Ö
ÙÖ× × ÙØ Ð × ÒØ × ×ØÖÙ
ØÙÖ × ³ Ö Ö × Ú
Ö ÕÙ Ø × ººº
◮ È Ö
ÓÙÖ× Ò ÔÖÓ ÓÒ ÙÖ ³ ÓÖ ´ ÔØ ¹ Ö×Ø × Ö
¸ Ëµ
◮ È Ö
ÓÙÖ× Ò Ð Ö ÙÖ ³ ÓÖ ´ Ö Ø ¹ Ö×Ø × Ö
¸ Ëµ
Ð ÕÙ ¾¿

Ê ×ÙÑ ×
Ö
Ø Ö ×Ø ÕÙ × × ÔÖ Ò
Ô Ð × ØÓÔÓÐÓ ×
p ÒÓÑ Ö ÔÖÓ
×× ÙÖ×
ØÓÔÓÐÓ ÔÖÓ
×× ÙÖ× p Ö k Ñ ØÖ D Ð Ò× l b
Ö × Ù
ÓÑÔÐ Ø p p − ½ ½ p(p−½)
¾
p¾
ÒÒ Ù p ¾ ⌊p
¾ ⌋ p ¾
Ö ÐÐ ¾
√
p
√
p ¾, ¾(
√
p − ½) ¾p − ¾
√
p
√
p
ØÓÖ ¾
√
p
√
p ¾⌊
√
p
¾ ⌋ ¾p ¾
√
p
ÝÔ Ö
Ù p = ¾d
d = ÐÓ ¾ p d ½
¾ p ÐÓ ¾ p p/¾
b Ð Ö ÙÖ ××
Ø ÓÒ
Ð ÕÙ ¾

ÌÓÔÓÐÓ ÑÓ Ò×
ÓÙÖ ÒØ Ö Ö Ð Ö ´ Ø ØÖ ×µ
ÈÐÙ× ÓÒ × Ö ÔÔÖÓ
Ð Ö
Ò ÔÐÙ× Ð Ò Ô ×× ÒØ Ó Ø ØÖ Ö Ò ¸
Ö
ÔÐÙ× ÓÒ Ö ÑÓÒØ ÔÐÙ× ³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ × Ù ÐÐ × Ð Ö
Ò º
Ð ÕÙ ¾

ÌÓÔÓÐÓ Ý
Ð × ÓÒÒ
Ø × Ò Ù ´ µ
ÇÒ Ö ÑÔÐ
Ð × ×ÓÑÑ Ø× Ù s¹ ÝÔ Ö
Ù Ô Ö × ÒÒ ÙÜ s ÔÖÓ
×× ÙÖ×º
Ú ÒØ Ö d = ¿ Ù Ð Ù d = s¸ ÒÓÑ Ö Ò Ù × p = ¾s s¸
Ñ ØÖ D = ¾s − ¾ + ⌊s
¾⌋ ÔÓÙÖ s ¿ Ø D = ÕÙ Ò s = ¿º
Ð ÕÙ ¾

Ä³ ÝÔ Ö
Ù Ð d¹
Ù ¸
Ù Ò Ñ Ò× ÓÒ d
ÓÒ×ØÖÙ
Ø ÓÒ Ö
ÙÖ× Ú
ÈÓÙÖ
ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ ÝÔ Ö
Ù Ñ Ò× ÓÒ d + ½¸ ÓÒ Ô ÖØ ÙÜ
ÓÔ ×
³ÙÒ ÝÔ Ö
Ù Ñ Ò× ÓÒ d Ò Ö Ð ÒØ Ð ×
ÓÔ × × Ò Ù × Ò× Ñ Ð ×
0D 1D 2D 3D 4D
Ö d¸ Ö ÙÐ Ö
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹¾º ÝÔ Ö
Ù ¾

ÓÑÑ ÒØ Ø ÕÙ ØØ Ö Ð × Ò Ù × Ð³ ÝÔ Ö
Ù
◮ Ö ØÖ Ö Ñ ÒØ Ñ × ÓÒ ÙÖ Ø ÐÓÖ× ×Ó Ò ³ÙÒ Ø Ð ÖÓÙØ ÔÓÙÖ

ÓÒÒ ØÖ × × d ÚÓ × Ò× ÔÓÙÖ Ð ÖÓÙØ → Ò Ô ×× Ô × Ð³
ÐÐ º
◮ ÓÒ
Ö
ÔÐÙØØ ÙÒ Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÕÙ ÙÜ Ò Ù × ÚÓ × Ò× P Ø
Q Ö ÒØ × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ô Ö ÙÒ Ø
Ð ÐÓÖ× Ú Ö Ö P = (¼¼½¼)¾
Ø Q = (½¼½¼)¾ ×ÓÒØ ÚÓ × Ò× ÔÙ ×ÕÙ P ÜÓÖ Q = ½¼¼¼º
Ì Ð Ú Ö Ø Ù ÇÍ Ü
ÐÙ×
ÜÓÖ ¼ ½
¼ ¼ ½
½ ½ ¼
◮ ÓÒ ÚÓÙ Ö Ø Ù×× ÕÙ Ð × d Ø× Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ÙÜ d
Ü × Ð³ ÝÔ Ö
Ù Ò× ÓÒ ÒÚÓ ÙÒ Ñ ×× P = (¼¼½¼)¾
Q = (½¼½¼)¾ Ò ÙØ Ð × ÒØ Ð d¹ Ñ Ü
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹¾º ÝÔ Ö
Ù ¾

Ó Ö Ý ×ÙÖ Ð³ ÝÔ Ö
Ù
◮ Ó Ö Ý G(i, x)
Ó Ò Ö Ö
◮ Ë ÙÐ Ñ ÒØ ÙÒ Ø Ö Ò
ÒØÖ ÙÜ Ò Ù ×
ÓÒÒ
Ø ×
◮ Ö Ú Ø Ò ½ ¿ Ô Ö Ö Ò Ö Ý ´ ÐÐ Ä ×µ
Ò Ø ÓÒ Ù
Ó Ö Ý
Gd = ¼Gd−½, ½GÖ
d−½
i Ö Ò Ù ÑÓØ
x ÒÓÑ Ö Ø× Ù
Ó
G(¼, ½) = ¼
G(½, ½) = ½
G(i, x + ½) = G(i, x), i ¾x
G(i, x + ½) = ¾x
+ G(¾x+½
− ½ − i, x), i ≥ ¾x
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾ºÊ × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × × ÑÔÐ ×¹¿º
Ó Ö Ý ¾

ÈÖÓÔÖ Ø × ³ÙÒ
Ó Ö Ý
◮ ÑÓØ×
ÒØ× Ö ÒØ Ô Ö ÙÒ Ø
◮
Ó
Ý
Ð ÕÙ
◮ ÙÒ × ÕÙ Ò

ÖÓ ×× ÒØ ÕÙ Ú ÙØ ÙÒ × ÕÙ Ò

ÖÓ ×× ÒØ ÕÙ Ò ÓÒ
ÔÔ Ð Ø Ø Ø ¼ ↔ ½
Ó
Ñ Ð Ó Ò Ö Ó Ö Ý ´ Ò Ö Ö
µ
¼ ¼¼¼ ¼¼¼
½ ¼¼½ ¼¼½
¾ ¼½¼ ¼½½
¿ ¼½½ ¼½¼
½¼¼ ½½¼
½¼½ ½½½
½½¼ ½¼½
½½½ ½¼¼
Ó Ö Ý ¿¼

×Ø Ò
À ÑÑ Ò ×ÙÖ Ð³ ÝÔ Ö
Ù
◮ ×Ó Ø P = (Pd−½ . . . P¼)¾ Ø Q = (Qd−½ . . . Q¼)¾ ÙÜ ×ÓÑÑ Ø×
Ð³ ÝÔ Ö
Ù Ñ Ò× ÓÒ d
◮ Ð ×Ø Ò
ÒØÖ P Ø Q ×Ø Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ Ù ÔÐÙ×
ÓÙÖØ
Ñ Ò Ð ×
Ö Ð ÒØ
◮ Ð ×Ø Ò
ÒØÖ P Ø Q ÕÙ Ú ÙØ Ð ×Ø Ò
À ÑÑ Ò ×ÙÖ Ð
Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö P Ø Q
À ÑÑ Ò (P, Q) =
d−½
i=¼
½Pi =Qi
È Ö Ü ÑÔÐ ¸ À ÑÑ Ò (½¼½½, ½½¼½) = ¾º
ÇÒ
ÓÑÔØ × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð ÒÓÑ Ö Ø× Ö ÒØ× Ò× Ð ×
Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ×
Ó Ö Ý ¿½

Ñ Ò× ×ÙÖ Ð³ ÝÔ Ö
Ù Ø ÖÓÙØ
◮ Ð Ü ×Ø À ÑÑ Ò (P, Q)! ´
ØÓÖ ÐÐ µ
Ñ Ò× ÒØÖ P Ø Q ÓÒØ
À ÑÑ Ò (P, Q) ×ÓÒØ ÙÜ ÙÜ × Ó ÒØ×º
◮ È Ö Ü ÑÔÐ ¸ À ÑÑ Ò (¼¼, ½½) = ¾ Ø ÙÜ
Ñ Ò× ×Ø Ò
Ø×
¼¼ → ½¼ → ½½ Ø ¼¼ → ¼½ → ½½
¼¼ ↔ ¼½
½¼ ↔ ½½
◮ ÖÓÙØ Ò Ô ÖØ ÒØ ×Ó Ø × ÔÓ × Ð × ´×ÓÙÚ ÒØ Ð
ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÔÖ × µ
×Ó Ø × ÔÓ × ÓÖØ×¸ ÓÒ
Ñ Ò Ð Ñ ×× Ù×ÕÙ³ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ö P Ò Q
Ò ÔÔ ÒØ Ð Ø ´
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ ×ÙÖ Ð Ð Òµ ÙÜ ÔÓ× Ø ÓÒ× × ½ Ù
P ÜÓÖ Qº
◮ Ü ÑÔÐ P = ½¼½½ → Q = ½½¼½ Ú
P ÜÓÖ Q = ¼½½¼º È ÒÚÓ Ø ÓÒ
Ð Ñ ×× P′ = ½¼¼½ ×ÙÖ Ð Ð Ò ½ Ø P′ ÒÚÓ Ð Ñ ××
P′′ = ½½¼½ = P ×ÙÖ Ð Ð Ò ¾º
Ó Ö Ý ¿¾

Ò Ö Ö ÙÒ
Ó Ö Ý Ò ·· Ú
Ð ËÌÄ
× Ò× Ð Ö
ÙÖ× Ú Ø ººº
Ó ÓÔØ Ñ ×

Ð ×× Ö Ý ß
ÔÙ Ð
Ú
ØÓÖ ÒØ
Ó ´ ÒØ Òµ ß
Ú
ØÓÖ ÒØ Ú
ÚºÔÙ×
´¼µ
ÓÖ´ ÒØ ¼ Ò ··µ ß
ÒØ ½
ÒØ Ð Ò Úº× Þ ´µ
ÓÖ´ ÒØ Ð Ò ¹ ½ ¼ ¹¹µ ß
ÚºÔÙ×
´ · Ú ℄µ
Ö ØÙÖÒ Ú
Ó Ö Ý ¿¿

Ò Ö Ö ÙÒ
Ó Ö Ý Ò ·· ÙØ Ð × Ø ÓÒ
Ò
ÐÙ Ó×ØÖ Ñ
Ò
ÐÙ Ú
ØÓÖ
Ò
ÐÙ Ø× Ø
Ù× Ò Ò Ñ ×Ô
×Ø
ÒØ Ñ Ò´µ ß
Ö Ý Ú
ØÓÖ ÒØ º
Ó ´ µ
ÓÖ´ ÒØ ¼ º× Þ ´µ ··µ ß

ÓÙØ ℄ Ø

ÓÙØ Ò Ð
ÓÖ´ ÒØ ¼ º× Þ ´µ ··µ ß

ÓÙØ ´ Ø× Ø µ ℄ Ø

ÓÙØ Ò Ð
Ö ØÙÖÒ ¼
Ó Ö Ý ¿

Ò Ö Ö ÙÒ
Ó Ö Ý Ò ·· Ö ×ÙÐØ Ø
ÁÆ ¾ Ö Ý
Ó ¾
¼ ½ ¿ ¾
½ ½ ½¼ ½½
¼¼¼¼¼¼¼¼ ¼¼¼¼¼¼¼½ ¼¼¼¼¼¼½½ ¼¼¼¼¼¼½¼
¼¼¼¼¼½½½ ¼¼¼¼¼½¼½ ¼¼¼¼¼½¼¼ ¼¼¼¼½½¼¼
¼¼¼¼½½½½ ¼¼¼¼½½½¼ ¼¼¼¼½¼½¼ ¼¼¼¼½¼½½
¼¼¼¼½¼¼¼
Ó Ö Ý ¿

ÀÝÔ Ö
Ù Ú
ÒÙÑ ÖÓØ Ø ÓÒ Ô Ö Ð
Ó Ö Ý
0000 0100
1000 1100
1010
1110
0001 0101
0111
11111011
1001
0011
0010 0110
Ó Ö Ý ¿

ÈÓÔÙÐ Ö Ø Ð³ ÝÔ Ö
Ù
◮ P = ¾d ¸ ÓÒ
d = ÐÓ ¾ P¸ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ô ×× Ð³
ÐÐ ÜØ Ò× Ð
Ù Ô ÖÑ Ø Ö Ð × Ö
ÐÐ Ð³ ÒÒ Ù
Ù Ô ÖÑ Ø Ö Ð × Ö ÙÒ Ö × Ù ØÓÖ ÕÙ Ø ÐÐ
¾r × ¾s Ò× ÙÒ d = r + s¹
Ù ¸ Ò ÙØ Ð × ÒØ Ð ÒÙÑ ÖÓØ Ø ÓÒ
( Ö Ýr , Ö Ýs)
Ó Ö Ý ¿

Ù× ÓÒ ´ ÖÓ
×Øµ Ò× Ð³ ÝÔ Ö
Ù
Ô ÖØ Ö Ù Ò Ù P¼ = (¼...¼)¾
◮ ÓÒ ÔÓÙÖÖ Ø Ù× Ö ×ÙÖ ØÓÙ× Ð × Ð Ò×¸ ÔÙ × Ù Ò Ú Ù ÙÒ ØÓÙØ Ð ×
ÔÖÓ
×× ÙÖ× Ù× Ö Ø ×ÙÖ Ð × Ð Ò×¸ Ø
º ÁÒ

Ø Ö ÓÒ ÒØ
◮ ÓÒ ÔÓÙÖÖ Ø × ÑÙÐ Ö Ð Ù× ÓÒ × ÑÔÐ ×ÙÖ Ð³ ÒÒ Ù ÔÐÓÒ Ò×
Ð³ ÝÔ Ö
Ù Ñ × ØÖÓÔ Ð ÒØ
◮ Ò d Ø Ô × ÒÙÑ ÖÓØ × d − ½ ¼ Ô Ö
ÓÒ×ØÖÙ
Ø ÓÒ ³ÙÒ Ö Ö
ÒÓÑ Ð Ö
ÓÙÚÖ ÒØ ººº
Ó Ö Ý ¿

Ð ÓÖ Ø Ñ Ù× ÓÒ ×ÙÖ Ð³ ÝÔ Ö
Ù
Ù× ÓÒ× Ô ÖØ Ö P¼ = (¼...¼)¾ ÕÙ Ð³ÓÒ Ö ÒÓÑÑ Ò (½¼...¼)¾ Ò ÓÙØ ÒØ
ÙÒ Ø ½ Ò Ø Ø
◮ Ä × ÔÖÓ
×× ÙÖ× Ö Ó Ú ÒØ Ð Ñ ×× ×ÙÖ Ð Ð Ò
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð ÙÖ
ÔÖ Ñ Ö ½
◮ Ð× ÔÖÓÔ ÒØ Ð Ñ ×× ×ÙÖ Ð × Ð Ò× ÕÙ ÔÖ
¡ ÒØ
ÔÖ Ñ Ö ½
◮ ÔÖÓ ÓÒ ÙÖ d = ÐÓ ¾ P Ø Ô ×
◮ Ð Ü ×Ø Ñ ÐÐ ÙÖ× Ð ÓÖ Ø Ñ × ººº

¸ Ò Ñ Ò× ÓÒ ¿º Ê Ö ÓÒ× Ñ ÒØ Ò ÒØ Ò Ñ Ò× ÓÒ
Ó Ö Ý ¿

Ó Ö Ý ¼

Ó Ö Ý ½

Ó Ö Ý ¾

Ó Ö Ý ¿

Ó Ö Ý

Ö Ö ÒÓÑ Ð Ö
ÓÙÚÖ ÒØ Ð³ ÝÔ Ö
Ù
Ö Ö Ù× ÓÒ
0000
1000 0100 0010 0001
1100 1010 1001 0110 0101 0011
1110 1101 1011 0111
1111
Ó Ö Ý

Ê × Ù Ô Ý× ÕÙ » Ö × Ù ÐÓ ÕÙ Ø ÔÐÓÒ Ñ ÒØ×
ÌÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ Ù Ö × Ù ÐÓ ÕÙ ´ÙØ Ð × Ô Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ µ ×ÙÖ Ð Ö × Ù
Ô Ý× ÕÙ ´Ð³ Ö
Ø
ØÙÖ ×ÓÙ×¹
ÒØ µ Ñ × Ò
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò
× Ò Ù ×º
Ò
ÓÖ ÔÔ Ð Ø
Ò ÕÙ ÔÐÓÒ Ñ ÒØ
È Ö Ñ ØÖ × ÓÔØ Ñ × Ö
◮ Ð Ø Ø ÓÒ ×Ø Ò
Ñ Ü Ñ Ð Ò× Ð Ö × Ù Ô Ý× ÕÙ ÒØÖ ÙÜ
Ò Ù × ÚÓ × Ò× Ù Ö × Ù ÐÓ ÕÙ
◮ ÜÔ Ò× ÓÒ
ÜÔ Ò× ÓÒ =
Ò Ù × Ù Ö × Ù Ô Ý× ÕÙ
Ò Ù × Ù Ö × Ù ÐÓ ÕÙ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºÌÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ»ÔÐÓÒ Ñ ÒØ

ÌÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ × ØÓÔÓÐÓ × ÐÓ ÕÙ × ⇒ Ô Ý× ÕÙ ×
ÌÓÔÓÐÓ ÕÙ Ô Ý× ÕÙ Ö × Ù ³ ÒØ Ö
ÓÒÒ Ü ÓÒ
ÌÓÔÓÐÓ ÕÙ ÐÓ ÕÙ ØÓÔÓÐÓ Ù ÖÓÙÔ
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ ´ÔÓÙÖ Ð ×
Ð ÓÖ Ø Ñ × Ô Ö ÐÐ Ð ×µ
ÇÒ
Ö
ÚÓ Ö
◮ Ð Ø Ø ÓÒ ½
◮ ÜÔ Ò× ÓÒ ½
Ö ÓÒ Ú ÙØ Ú Ø Ö
◮ Ð Ô ÖØ Ô Ö ÓÖÑ Ò
×
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ× ÐÓÖ×ÕÙ Ð Ð Ø Ø ÓÒ ½
◮ Ð Ô ÖØ Ô Ö ÓÖÑ Ò
Ò
Ð
ÙÐ ÜÔ Ò× ÓÒ ½ ´ÔÐÙ× ÙÖ× Ò Ù ×
ÐÓ ÕÙ × ×ÙÖ ÙÒ Ñ Ñ Ò Ù Ô Ý× ÕÙ → Ø Ñ ¹×Ð
Ò × ÔÖÓ
××Ù×µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºÌÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ»ÔÐÓÒ Ñ ÒØ¹½ºÌÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ

ÌÖ Ò×ÔÓ× Ö Ð³ ÒÒ Ù P = ¾d
×ÙÖ Ð³ ÝÔ Ö
Ù {¼, ½}d
p ÒÒ Ù = phypercube = ⇒ ÜÔ Ò× ÓÒ ½
010
000
001
011
110
100 101
111
12
3
3
3
3
2
010
000
001
110
111
101
100
011
transposition
Ä × Ö Ø × ÐÓ ÕÙ × Ð³ ÒÒ Ù Ò ÔÓ ÒØ ÐÐ × Ñ Ò ÒØ ¿ Ð Ò× Ô Ý× ÕÙ × ×ÙÖ
Ð³ ÝÔ Ö
Ù ´ Ñ ØÖ µ Ð Ø Ø ÓÒ ¿

ÌÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð ÒÒ Ù → ÝÔ Ö
Ù
Æ Ù Ai Ð³ ÒÒ Ù ×Ø ××Ó
Ù ÔÖÓ
×× ÙÖ HG(i,d) Ð³ ÝÔ Ö
Ù º
È Ö Ø Ð Ø Ø ÓÒ ½ Ø ÜÔ Ò× ÓÒ ½
010
000
001
011
110
100 101
111
transposition010
000
001
110
111
101
100
011
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1
76
4 5
32
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)anneau = (0, 1, 3, 2, 6, 7, 5, 4)cube
anneau cube
Ai ⇔ HGray(i,d)
ÇÒ ÓÖÑ ÙÒ
Ý
Ð ´ ÒÒ Ùµ ×ÙÖ Ð³ ÝÔ Ö
Ù

ÌÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ×»ÔÐÓÒ Ñ ÒØ×
Ä³ ÝÔ Ö
Ù ÙÒ ØÓÔÓÐÓ
Ó Ü
◮ Ö ÐÐ ×»ØÓÖ × ¾ ×ÙÖ Ð³ ÝÔ Ö
Ù ÓÔØ Ñ Ð ´ Ð Ø Ø ÓÒ ½ Ø ÜÔ Ò× ÓÒ ½µ
◮ Ö Ö × Ò Ö × ×ÙÖ Ð³ ÝÔ Ö
Ù
◮ Ø
º
È ×× Ð³
ÐÐ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºÌÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ»ÔÐÓÒ Ñ ÒØ¹½ºÌÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ ¼

ÈÖÓ Ù Ø
ÖØ × Ò Ö Ô × Ð³ÓÔ Ö Ø ÙÖ ⊗
ËÓ Ø G½ = (V½, E½) Ò G¾ = (V¾, E¾) ÙÜ Ö Ô ×
ÓÒÒ
Ø ×º
Ä ÔÖÓ Ù Ø
ÖØ × Ò G = G½ ⊗ G¾ = (V , E) ×Ø Ò Ô Ö
◮ Ð × ×ÓÑÑ Ø× V V = V½ × V¾ = {(u½, u¾), u½ ∈ V½, u¾ ∈ V¾}¸
◮ Ð × Ö Ø × E
((u½, u¾), (v½, v¾)) ∈ E ⇔
u½ = v½ (u¾, v¾) ∈ E¾
u¾ = v¾ (u½, v½) ∈ E½
⊗ =
G1 G2 G1 ⊗ G2
u1
u2
v1 v2 v3
(u2, v1) (u2, v2) (u2, v3)
(u1, v1)(u1, v2) (u1, v3)
ØØÔ »» ÒºÛ Ô ºÓÖ »Û » Ö Ô ÔÖÓ Ù
Ø
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿ºÌÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ»ÔÐÓÒ Ñ ÒØ¹¾ºÈÖÓ Ù Ø
ÖØ × Ò Ö Ô × ⊗ ½

ÈÖÓ Ù Ø
ÖØ × Ò Ö Ô × ÙÒ ÙØÖ Ü ÑÔÐ
ÖØ × Ò Ö Ô × ⊗ ¾

Ä ÔÖÓ Ù Ø
ÖØ × Ò Ö Ô × Ò
Ø ÓÒ
◮ ÈÖÓ Ù Ø ÙÜ Ö Ø × ×Ø ÙÒ
Ý
Ð ×ÓÑÑ Ø× K¾ ⊗ K¾ = C
◮ ÈÖÓ Ù Ø K¾ Ø ³ÙÒ
Ñ Ò ×Ø ÙÒ
ÐÐ ´Ð Ö Ö Ô µ
◮ ÈÖÓ Ù Ø ÙÜ
Ñ Ò× ×Ø ÙÒ Ö ÐÐ
◮ d ÔÖÓ Ù Ø× ³ÙÒ Ö Ø ÓÒÒ Ð³ ÝÔ Ö
Ù Ñ Ò× ÓÒ d
K¾ ⊗ ... ⊗ K¾
d Ó ×
= ÀÝÔ Ö
Ù d
◮ ÓÒ
Ð ÔÖÓ Ù Ø ÙÜ ÝÔ Ö
Ù × ×Ø ÙÒ ÝÔ Ö
Ù
ÀÝÔ Ö
Ù d½
⊗ ÀÝÔ Ö
Ù d¾
= ÀÝÔ Ö
Ù d½+d¾
ÖØ × Ò Ö Ô × ⊗ ¿

ÌÓÔÓÐÓ × Ö ÙÐ Ö ×
Ö ÙÐ Ö
ÕÙ ×ÓÑÑ Ø ÓÙ Ð Ñ Ñ ÖÐ
´
ÓÑÑ ÔÓÙÖ Ð × ×ÓÐ × ÔÐ ØÓÒ ÕÙ × ºººµ
Ö Ô È Ø Ö× Ò P = ½¼¸ d = ¿¸ D = ¾
⇒ ÔÖÓ Ù Ø
ÖØ × Ò ÙÜ Ö Ô × Ö ÙÐ Ö× ×Ø ÙÒ Ö Ô Ö ÙÐ Ö
Ö Ò Æ Ð× Ò ºÌÓÔÓÐÓ × Ö ÙÐ Ö ×

ÌÓÔÓÐÓ × Ö ÙÐ Ö ×
ÓÑÔÐ Ü ×
Ò Ø ÓÒ
N(d, D) = p ÒÓÑ Ö Ñ Ü ÑÙÑ Ò Ù × Ò× ÙÒ Ö Ô Ö ÙÐ Ö
Ö d Ø Ñ ØÖ D ´ÒÓÑ Ö Ò ÓÒ
µº
◮ ÒÒ Ù d = ¾ Ø D = ⌊p
¾ ⌋
◮ Ö Ô
ÓÑÔÐ Ø d = p − ½ Ø D = ½
◮ ÀÝÔ Ö
Ù N(d, D = d) = ¾d
ÁÒ Ð Ø × ´ ÓÖÒ × ×ÙÔ Ö ÙÖ ×µ ÅÓÓÖ
◮ N(¾, D) ≤ ¾D + ½
◮ N(d, D) ≤ d(d−½)D −¾
d−¾ , d ¾
◮ N(½ , ½¼) = ½¾ ½ ½ ¿½
ÍÒ Ú Ö Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ö
Ö
Ò ×Ó
ÅÓÓÖ Ö Ô × Ò ÝÓÒ ×ÙÖÚ Ý Ó Ø Ö » Ñ Ø Ö ÔÖÓ Ð Ñ
ØØÔ »»ÛÛÛº
ÓÑ Ò ØÓÖ
×ºÓÖ »Ó ×» Ò ÜºÔ Ô» Ð
» ÖØ
Ð »Ú Û Ð » Ë½ »Ô
Ö Ò Æ Ð× Ò ºÌÓÔÓÐÓ × Ö ÙÐ Ö ×¹½ºÌÓÔÓÐÓ ×
ÓÑÔÐ Ü ×

Ä Ö Ô X Ø Ð
Ð ÕÙ K¿ Ò ÔÖÓ Ù Ø
ÖØ × Òººº
⊗
ØÓÔÓÐÓ Ö ÙÐ Ö
K¿ ∗ X
Ö ¸ Ñ ØÖ ¾¸ p = ¾ ¸ ÓÖÒ ×ÙÔ Ö ÙÖ ÅÓÓÖ ¾
Ö Ò Æ Ð× Ò ºÌÓÔÓÐÓ × Ö ÙÐ Ö ×¹½ºÌÓÔÓÐÓ ×
ÓÑÔÐ Ü ×

ÓÒÒ Ü ÓÒ×
×ÙÖ Ð ÔÙ
Ö Ò Æ Ð× Ò ºÊ × ÙÜ ×ÙÖ Ð ÔÙ

ÁÒØ Ð ÓÒ Ê È ¾¹
ÓÖ Ü ÈÍ ´½ ÒÑµ ¿ Ì ÐÓÔ×
ÓÒ×ØÖÙ Ö × ×ÙÔ Ö¹
Ð
ÙÐ Ø ÙÖ× Ô ÖØ Ö ÔÙ
× ´
Ôµ ×ÙÔ Ö
ÓÑÔÙØ Ò

Ä × ÔÙ
× × ÓÖ Ò Ø ÙÖ× ÑÙÐØ ¹
ÓÖ ×
ÓÒÒ Ü ÓÒ× ÔÓÙÖ Ð ×
ÙÖ× Ð ÔÙ
´
Ôµ ´ÇÒ¹
Ô
ÒØ Ö
ÓÒÒ
Ø ÓÒ Ò ØÛÓÖ ×µ
◮ Ñ Ò Ñ × Ö Ð Ð Ø Ò
Ö Ö
× Ñ ÑÓ Ö × Ö ×ØÖ × →

× → Ê Å×
◮ Ò× ÙÒ
Ý
Ð ³ ÓÖÐÓ ´ ÐÓ
Ý
Ð ¸ µ¸ ÓÒ Ò ØÓÙ
ÕÙ³ÙÒ Ô ÖØ
Ù
Ö
Ù Ø ´ % ÔÓÙÖ ¼¹ÒÑ ÔÖÓ
××µ
◮

× Ð Ê Å Ò ×½¼¼ ×¸ Ô × Ò Ø ÑÔ×
ÓÒ×Ø ÒØ

ÓÒØ ÒØ ÓÒ Ò× Ð × Ö × ÙÜ
◮ ÓÒØ ÒØ ÓÒ
ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð × Ö ××ÓÙÖ
×
◮ ÄÓÖ×ÕÙ ÙÜ ÓÙ ÔÐÙ× ÙÖ× Ò Ù × Ú ÙÐ ÒØ ØÖ Ò×Ñ ØØÖ ÙÒ Ñ ×× ×ÙÖ ÙÒ
Ð Ò Ò Ñ Ñ Ø ÑÔ×º
◮ Ù× Ô ÖØ ³ ÒØ Ö
ÓÒÒ Ü ÓÒ ÍÒ × ÙÐ Ò Ù Ð Ó × Ô ÙØ ÙØ Ð × Ö Ð Ù×
m´emoire globale
BUS
P
cache
P P P P
cache cache cache cache
¹½º ÓÒØ ÒØ ÓÒ ¼

Ä × Ö × ÙÜ ³ ÒØ Ö
ÓÒÒ Ü ÓÒ Ò Ö ×ÙÑ
◮
ÐÙ×Ø Ö ´ ÓÖ Ò Ø ÙÖ Ô Ö ÐÐ Ð µ ÑÓ Ð × Ô Ö ÙÒ Ö Ô
◮ ØÓÔÓÐÓ
Ö
Ø Ö ×Ø ÕÙ × Ò×ØÖ Ò× ÕÙ × Ù Ö Ô Ò Ö ÕÙ
◮ Ö × ÙÜ ×Ø Ø ÕÙ × ÓÙ ÝÒ Ñ ÕÙ ×
◮ Ö × ÙÜ Ö ÙÐ Ö × ÑÔÐ × ÓÙ
ÓÑÔÐ Ü × ´ÔÖÓ Ù Ø× Ö Ô ×µ
◮ Ð³ ÝÔ Ö
Ù Ø Ð
Ó Ö Ý ´ÖÓÙØ
Ð µ
◮ ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ»ÔÐÓÒ Ñ ÒØ ØÓÔÓÐÓ × Ú ÖØÙ ÐÐ × ×ÙÖ Ð × ØÓÔÓÐÓ ×
Ô Ý× ÕÙ ×
◮ ÒØ Ö
ÓÒÒ Ü ÓÒ× ×
ÙÖ× ×ÙÖ ÙÒ ÔÙ
´ Ù×¸ ×Û Ø
¸
ÖÓ×× Ö ² ÓÑ º º ÔÓÐÝ
ÓÔ µ
⇒
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ× ´Ð Ø Ò
» Ò Ô ×× ÒØ µ Ð Ñ Ø ÒØ ×ÓÙÚ ÒØ Ð Ô Ö ÓÖÑ Ò
× Ð ÓÖ Ø Ñ × Ô Ö ÐÐ Ð × ×ÙÖ ÙÒ Ö
Ø
ØÙÖ Ñ ÑÓ Ö ×ØÖ Ù
¹½º ÓÒØ ÒØ ÓÒ ½

Ê ×ÙÑ
ØÓÔÓÐÓ Ô Ý× ÕÙ »ÐÓ ÕÙ Ø ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ
ÝÔ Ö
Ù ¸
Ó Ö Ý Ø ÔÐÓÒ Ñ ÒØ Ð³ ÒÒ Ù Ò× Ð³ ÝÔ Ö
Ù
Ð ÓÖ Ø Ñ × ÖÓÙØ Ù× ÓÒ ×ÙÖ Ð³ ÝÔ Ö
Ù
ÈÓÙÖ Ð ÔÖÓ
Ò Ó × Ð Ö Ð ×
Ô ØÖ × ¿ Ø ½¼ Ù ÔÓÐÝ
ÓÔ
¹½º ÓÒØ ÒØ ÓÒ ¾

Traitement des données massives (INF442, A7)

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Viewers also liked

Viewers also liked (10)

Traitement des données massives (INF442, A7)