1. 3/3/2011
Γιάννησ Φιορεντίνοσ
36

2. ΣΟΠΟΛΟΓΙΑ – ΘΔΩΡΙΑ MORSE
Harold Calvin Marston Morse
Marston Morse (1892-1977)
΢ποςδαίορ Αμεπικανόρ μαθημαηικόρ,
κςπίωρ γνωζηόρ για ηην θεωπία πος
θέπει η ’όνομά ηος, «Θεωρία του
Morse», ζηη διαθοπική ηοπολογία.
Σο 1933 ηιμήθηκε με ηο βπαβείο “Boher Memorial” για ηη δοςλειά ηος
ζηη μαθημαηική ανάλςζη. Η θεωπία
ηος Morse βπίζκει εθαπμογή ζε
πολλέρ πεπιοσέρ ηηρ ζύγσπονηρ
μαθημαηικήρ θςζικήρ (όπωρ πσ ζηη
θεωπία ηων σοπδών.)
3/3/2011
Γιάννησ Φιορεντίνοσ
37

3. ΣΟΠΟΛΟΓΙΑ - ΔΙ΢ΑΓΩΓΙΚΔ΢ ΔΝΝΟΙΔ΢
Η τοπολογία (ηόπνο + ιόγνο = κειέηε) απνηειεί έλα κεγάιν θαη
ζπνπδαίν θιάδν ησλ καζεκαηηθώλ πνπ αζρνιείηαη κε ηηο «ρσξηθέο»
ηδηόηεηεο ησλ αληηθεηκέλσλ, νη νπνίεο παξακέλνπλ αλαιινίσηεο θάησ
από ζπλερείο παξακνξθώζεηο (ζπλερείο κεηαζρεκαηηζκνύο), όπσο γηα
παξάδεηγκα παξακνξθώζεηο πνπ αθνξνύλ ην ηέλησκα ή ηε ζπζηξνθή
κηαο επηθάλεηαο, ρσξίο λα επηηξέπεηαη ην ζρίζηκν ή ε ζπγθόιιεζε ή
ην γέκηζκα (θιείζηκν) νπώλ.
Θεμελιώδεις έννοιες:
σύγκλιση
όριο
συνέχεια
συνεκτικότητα
συμπάγεια
Ουσιαστικά βασίζεται στις έννοιες:
τοπολογικός χώρος
ομοιομορφισμός
3/3/2011
Γιάννησ Φιορεντίνοσ
38

4. Πποάγγελορ ηηρ ηοπολογίαρ θεωπείηαι ηο άπθπο ηος διάζημος Δλβεηού
μαθημαηικού Leonard Euler ζηα 1736 με ηον ηίηλο: « Seven bridges of Konigsberg», ζηο οποίο ο Euler απέδειξε όηι είναι αδύναηο να βπει κανείρ μια διαδπομή ζηην πόλη ηος Konigsberg (ζημεπινό Kaliningrad) πος να πεπνάει ακπιβώρ
μια και μόνο θοπά από κάθε μια απ’ ηιρ επηά γέθςπερ
Δικόνα από:http://en.wikipedia.org/wiki/File:Konigsberg_bridges.png
Μιλώνηαρ βέβαια πιο ειδικά ππέπει να πούμε όηι ηο εν λόγω paper άνοιξε
ηο δπόμο για ηον κλάδο ηων μαθημαηικών πος ζήμεπα είναι γνωζηόρ ζαν
θεωπία γπαθημάηων ή γπάθων (graph theory).
3/3/2011
Γιάννησ Φιορεντίνοσ
39

5. ΣΟΠΟΛΟΓΙΚΟ΢ ΥΩΡΟ΢
Ένας τοπολογικός χώρος είναι ένα σύνολο Χ μαζί με μια συλλογή
ανοικτών υποσυνόλων Σ που ικανοποιεί τις παρακάτω τέσσερεις
προϋποθέσεις:
α) Σο κενό σύνολο ανήκει στο Σ ( T )
β) Σο Χ ανήκει στο Σ
γ) Η τομή ενός πεπερασμένου αριθμού συνόλων του Σ, ανήκει επίσης
στο Σ
δ) Η ένωση οιουδήποτε αυθαίρετου αριθμού συνόλων του Σ, ανήκει
επίσης στο Σ.
3/3/2011
Γιάννησ Φιορεντίνοσ
40

6. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΙ΢ΜΟ΢
Ας είναι ( X , X T ) και (Y , YT ) δύο τοπολογικοί χώροι. Μια συνάρτηση f : ( X , XT ) (Y , YT ) είναι ένας ομοιομορφισμός μεταξύ των
( X , X T ) και (Y , YT ) αν διαθέτει τις παρακάτω ιδιότητες:
1. Η f είναι αμφιμονοσήμαντη (1 προς 1 και επί)
2. Η f είναι συνεχής
3. Η αντίστροφη συνάρτηση f 1 : (Y , YT ) ( X , X T ) είναι επίσης
συνεχής
•Δύο ομοιομορφικοί χώροι θεωρούνται τοπολογικά ισοδύναμοι
•Οι ιδιότητες που διατηρούνται κάτω από ομοιομορφισμούς
ονομάζονται τοπολογικές ιδιότητες.
3/3/2011
Γιάννησ Φιορεντίνοσ
41

7. Η ΘΔΩΡΙΑ ΣΟΤ MORSE (MORSE THEORY)
΢ύκθσλα κε ηελ ζεσξία ηνπ Morse κπνξνύκε λα εμεξεπλήζνπκε
ηελ ηνπνινγία κηαο επηθάλεηαο κειεηώληαο ηα «θξίζηκα» ζεκεία κηαο
πξαγκαηηθήο ζπλάξηεζεο νξηζκέλεο πάλσ ζηελ επηθάλεηα απηή.
 ΢ςνάπηηζη Morse:
Η f είναι «συνάρτηση Μorse» στην Πολλαπλότητα Μ, αν:
•Η f είναι «λεία»
• Όλα τα κρίσιμα σημεία είναι απομωνωμένα
• Όλα τα κρίσιμα σημεία είναι μη εκφυλισμένα, δηλαδή:
2
det( Hessian( p))
0
, όπου:
Hessian( p)
3/3/2011
f ( p)
x2
2
f ( p)
x y
2
f ( p)
y x
2
f ( p)
y2
Γιάννησ Φιορεντίνοσ
42

8. Κπίζιμα ζημεία
Σο p είναι κρίσιμο σημείο της f αν:

f ( p) 0
ή
f ( p)
x
f ( p)
y
... 0
Γείκηηρ (index) κπίζιμος ζημείος
Ο Γείθηεο ελόο θξίζηκνπ ζεκείνπ είλαη ν αξηζκόο ησλ αξλεηηθώλ
ηδηoηηκώλ ηεο Hessian:
0
minimum
1
saddle point
2
maximum
Γιαισθητικά: ν αξηζκόο ησλ
αλεμάξηεησλ θαηεπζύλζεσλ,
ζηηο νπνίεο ε f κεηώλεηαη
3/3/2011
Γιάννησ Φιορεντίνοσ
43

9. Δπηιέγνπκε ινηπόλ λα κειεηήζνπκε έλα ηόξν Μ θαη ζαλ θαηάιιειε
ζπλάξηεζε ζεσξνύκε ην ύςνο ηνπ πάλσ από ην επίπεδνV, πνπ εθάπηεηαη
ζην θάησ άθξν ηνπ ηόξνπ (ζεκείν p).
Έρνπκε: f : M
R θαη έζησ M a ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ x
νπνία:
M γηα ηα
f ( x) a
Σα επόκελα ινηπόλ ζα αιεζεύνπλ:
α) Αλ a 0( f ( p)) ηόηε ην ζύλνιν M a είλαη θελό
β) Αλ f ( p) a f (q) ηόηε ην M a είλαη νκνηνκνξθηθό κε έλα 2-cell
γ) Αλ f (q) a f (r ) ηόηε ην M a είλαη νκνηνκνξθηθό κε έλα θύιηλδξν
a
δ) Αλ f (r ) a f (s) ηόηε ην M είλαη νκνηνκνξθηθό κε κηα ζπκπαγή πνιιαπιόηεηα γέλνπο 1 , πνπ έρεη έλα θύθιν ζαλ ζύλνξν
a
ε) Αλ f ( s) a ηόηε ην M είλαη ν πιήξεο ηόξνο.
3/3/2011
Γιάννησ Φιορεντίνοσ
44

10. Μπνξνύκε λα δνύκε ηα παξαπάλσ πην παξαζηαηηθά αλ ζεσξήζνπκε έλα
«θνπινύξη» πνπ ην βπζίδνπκε ζε κηα θνύπα κε θαθέ θαη ελδηαθεξόκαζηε γηα
ηελ αιιαγή ζηελ ηνπνινγία ηνπ θνκκαηηνύ ηνπ θνπινπξηνύ πνπ έρεη βπζηζζεί
ζηνλ θαθέ.
 Βπζίδνληαο ην θάησ άθξν (πξώην θξίζηκν ζεκείν p
θαη πξνηνύ θζάζνπκε ζην q) ην βπζηζκέλν θνκκάηη
έρεη ηελ ηνπνινγία ελόο δίζθνπ.
 Καηόπηλ πεξλώληαο από ην δεύηεξν θξίζηκν
ζεκείν ην θνκκάηη αιιάδεη ηελ ηνπνινγία ηνπ από
δίζθν…..
…ζε έλα θύιηλδξν.
3/3/2011
Γιάννησ Φιορεντίνοσ
45

11.  Πεξλώληαο ην ηξίην θξίζηκν ζεκείν
ε ηνπνινγία αιιάδεη από έλα θύιηλδξν….
 …ζε έλα «κπαισκέλν» ηόξν.
Οι 5 εικόνεσ με την κούπα
είναι από την παρουςίαςη:
Computational Topology
John C. Hart
for
by School of EECS
Computer Graphics
Washington State University
 ΢πλερίδνληαο θαη αθνύ πεξάζνπκε θαη από ην ηέηαξην θξίζηκν ζεκείν
έρνπκε πιένλ νιόθιεξν ην θνπινύξη κε ηελ ηνπνινγία ηόξνπ.
3/3/2011
Γιάννησ Φιορεντίνοσ
46

12. n-cell
Έλα ζύλνιν πνπ είλαη νκνηνκνξθηθό ζ’ έλα ζύλνιν ηνπ n - δηάζηαηνπ Δπθιείδεηνπ ρώξνπ (n=1,2,3…), ηνπ νπνίνπ ε απόζηαζε από ηελ
αξρή είλαη κηθξόηεξε ή ίζε πξνο ηε κνλάδα.
e n {x R n : x

1} , κε ζύλνξν: en
{x
Rn : x
1}
Γηα n=0, ην αληίζηνηρν 0-cell είλαη έλα ζεκείν.
Γηα n=1, ην αληίζηνηρν 1-cell είλαη έλα επζύγξακκν ηκήκα.
Γηα n=2, ην αληίζηνηρν 2-cell είλαη έλαο θπθιηθόο δίζθνο.
Γηα n=3, ην αληίζηνηρν 3-cell είλαη κία ζθαίξα θ.ιπ.
3/3/2011
Γιάννησ Φιορεντίνοσ
47

13. Γέλνο επηθάλεηαο
Σν γέλνο κηαο ζπλεθηηθήο θαη πξνζαλαηνιίζηκεο επηθάλεηαο νξίδεηαη
σο ν κεγαιύηεξνο δπλαηόο αξηζκόο από απιέο θιεηζηέο θαη κε ηεκλόκελεο θακπύιεο πνπ κπνξνύλ λα ζρεδηαζζνύλ ζηελ επηθάλεηα
ρσξίο λα ηελ δηαρσξίζνπλ
Γέλνο είλαη ν αξηζκόο ησλ νπώλ ηεο επηθάλεηαο
Σν γέλνο απνηειεί κηα ηνπνινγηθή θαη άξα αλαιινίσηε ηδηόηεηα
Γηα κηα πξνζαλαηνιίζηκε επηθάλεηα έρνπκε:
όπος
2 2g
είναι η σαπακτηπιστική τος Euler και g είναι το γένορ τηρ επιυάνειαρ
 Γηα ηε ζθαίξα έρνπκε γέλνο κεδέλ, ( g 0) , νπόηε
.
0
 Γηα ηνλ ηόξν έρνπκε γέλνο έλα,( g 1) , νπόηε
g=0
g=1
g=2
3/3/2011
2
g=3
Γιάννησ Φιορεντίνοσ
48

14. ΟΜΟΣΟΠΙΑ (HOMOTOPY)
A~B
 Τπάξρεη κηα ζπλερήο απεηθόληζε κεηαμύ ησλ Α θαη Β
 Έρνπλ ηνλ ίδην αξηζκό ζπζηαηηθώλ
 Έρνπλ ηνλ ίδην αξηζκό νπώλ
 Γελ είλαη απαξαίηεην λα έρνπλ ηελ ίδηα δηάζηαζε
΢Τ΢ΣΑΛΣΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩ΢Η (DEFORMATION RETRACTION)
΢ηελ ηνπνινγία ν όξνο retraction (σςστολή, σύμπτςξη, σςππίκνωση,
σςμμάζεμα) ζεκαίλεη ηελ ζύκπηπμε ελόο ρώξνπ ζε θάπνηνλ ππόρσξό
ηνπ. Μία σςσταλτική παπαμόπυωση είλαη κηα ζπλερήο απεηθόληζε
πνπ ζπξξηθλώλεη έλα ρώξν ζε θάπνηνλ ππόρσξό ηνπ.
3/3/2011
Γιάννησ Φιορεντίνοσ
49

15. ΣΟ ΒΤΘΙ΢ΜΑ ΣΟΤ ΚΟΤΛΟΤΡΙΟΤ ΑΠΟ ΣΗΝ ΠΛΔΤΡΑ ΣΗ΢ ΟΜΟΣΟΠΙΑ΢
Πξνζζήθε ελόο 0-cell.
Πξνζζήθε ελόο 1-cell.
Πξνζζήθε ελόο 1-cell.
Πξνζζήθε ελόο 2-cell.
3/3/2011
Γιάννησ Φιορεντίνοσ
50

16. Αλ ην «βύζηζκα» δελ πεξλάεη από θξίζηκν ζεκείν:
(Milnor 1963)
΢πκβνιίδνπκε: Ma = {p M | f(p) a}, (ε βπζηζκέλε πεξηνρή κέρξη ηελ
ηηκή α ηεο f
Τπνζέηνπκε όηη ε f 1[a, b] είλαη ζπκπαγήο θαη δελ πεξηέρεη θξίζηκα
ζεκεία ηεο f. Σόηε ε Ma είλαη νκνηνκνξθηθή ηεο Mb.
3/3/2011
Γιάννησ Φιορεντίνοσ
51

17. Έζησ όηη ε ζπλάξηεζε f : M R είλαη κηα ιεία ζπλάξηεζε θαη έζησ όηη
ην p είλαη έλα κε εθθπιηζκέλν ζεκείν κε δείθηε ι. Αο ζέζνπκε f ( p) c
1
θαη αο ππνζέζνπκε όηη ην ζύλνιν f [c , c ] είλαη ζπκπαγέο θαη δελ
0 . Σόηε γηα
πεξηέρεη άιιν θξίζηκν ζεκείν (εθηόο ηνπ p), γηα θάπνην
c
c
θάζε ηθαλνπνηεηηθά κηθξό ην ζύλνιν M
είλαη νκνηνπηθό ηνπ M
κε ηελ πξνζζήθε ελόο ι-cell.
(Milnor
3/3/2011
Γιάννησ Φιορεντίνοσ
1963)
52

18. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗ EULER (EULER CHARACTERISTIC)
V
E F
V = αριθμός κορυφών
Ε = αριθμός ακμών
F = αριθμός εδρών
Οπνηνδήπνηε θπξηό πνιύεδξν έρεη ραξαθηεξηζηηθή:
Γηα θιεηζηή επηθάλεηα γέλνπο g: ( g ) V
3/3/2011
V
E F
2
E F κε ( g ) 2 2 g
Γιάννησ Φιορεντίνοσ
53

19. ΑΡΙΘΜΟΙ BETTI (BETTI NUMBERS)
Μηα ζπνπδαία ηνπνινγηθή ηδηόηεηα κηαο επηθάλεηαο απνηεινύλ θαη
νη ιεγόκελνη απιθμοί Betti (Betti numbers), από ην όλνκα ηνπ Ιηαινύ
καζεκαηηθνύ Enrico Betti (1823-1892).
Γηαηζζεηηθά ν πξώηνο αξηζκόο Betti εθθξάδεη ην κέγηζην αξηζκό
ηνκώλ πνπ κπνξνύλ λα γίλνπλ ζηελ επηθάλεηα, ρσξίο λα ηελ ρσξίζνπλ
ζε δύν μερσξηζηά θνκκάηηα.
Πην ηππηθά κηιώληαο, ν n - νζηόο αξηζκόο Betti είλαη ε ηάμε (rank)
ηεο n - νζηήο νκνινγηαθήο νκάδαο (homology group) ελόο ηνπνινγηθνύ
ρώξνπ
ΑΡΙΘΜΟ΢
ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ
BETTI
1
2
1
1
0
2
Κύλινδρος
Φιάλη Klein
Σαινία Möbius
Προβολικό επίπεδο
΢φαίρα
Σόρος
3/3/2011
Γιάννησ Φιορεντίνοσ
54

20. ΑΝΙ΢ΟΣΗΣΔ΢ ΣΟΤ MORSE (MORSE INEQUALITIES).
΢ηε ζεσξία Morse ε ζρέζε αλάκεζα ζηελ ηνπνινγία κηαο πνιιαπιόηεηαο
M θαη ζηα θξίζηκα ζεκεία κηαο πξαγκαηηθήο ζπλάξηεζεο νξηζκέλεο πάλσ
ζηε Μ κπνξεί λα πεξηγξαθεί κε κηα ζεηξά από αληζόηεηεο (ηηο αληζόηεηεο
Morse).
(Α΢ΘΔΝΔΙ΢ ΑΝΙ΢ΟΣΗΣΔ΢ ΣΟΤ MORSE)
R
C = Ο αξηζκόο ησλ θξίζηκσλ
C
ζεκείσλ κε δείθηε ι
( 1) R ( M )
( 1) C
R
= O ι-αξηζκόο Betti
(«Ι΢ΥΤΡΔ΢» ΑΝΙ΢ΟΣΗΣΔ΢ MORSE)
R (M ) R 1 (M ) R 2 ( M )
ΠΟΡΙ΢ΜΑ:
C
1
C
1
0
... R0 (M ) C
R
1
R
1
C
0
1
C
R
... C0
2
C
55

21. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
1. Elementary concepts of topology, Paul Alexandroff, Dover Publications,
Inc, New York 1960.
2. Morse theory by J. Milnor, based on lectures by M. Spivac and R. Wells,
Princeton University Press, 1973
3. An invitation to Morse theory, Liviu Nicolaescu, Springer 2007
4. Differential Geometry and Lie Groups for Physicists, Marian Fecko,
Cambridge University Press 2006
5. Γιαυοπική Γεωμετπία, (κεηάθξαζε ηνπ Differential Geometry , Martin M.
Lipschutz, McGraw Hill,1974), εθδόζεηο Δ΢ΠΙ Πεξζίδεο θαη ΢ία ΔΔ,1981
6. Theory and Problems of General Topology, Seymour Lipschutz, Schaum’s
Outline series, McGraw Hill,1965)
7. Algebraic Topology, Allen Hatcher, Cambridge University Press, 2002.
Γηαηίζεηαη θαη ζε ειεθηξνληθή κνξθή (γηα κε εκπνξηθή ρξήζε) ζηελ
ηζηνζειίδα: http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf
8. Άπθπο στη Wikipedia για την Θεωπία Morse,
http://en.wikipedia.org/wiki/Morse_theory
3/3/2011
Γιάννησ Φιορεντίνοσ
56