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![時系列方向の説明にARIMA(p,d,q)を用い、
周期の方向にARIMA(P,D,Q)を用いたモデル
ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)[s] と表記
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SARIMA過程
季節周期
原系列
季節成分
トレンド成分
残渣
乗客者数のデータを分解する](https://image.slidesharecdn.com/timeseriesanalysiswithpython-13-200506072743/85/Time-series-analysis-with-python-1-3-10-320.jpg)
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ARIMA(1,1,0)(0,1,0)[12]
・季節周期を捉えられている
・トレンドを捉えられている
・平均に回帰しない
・不確実性はさちらない
トレンド成分
トレンドの傾きが
増しているため追随
できていない](https://image.slidesharecdn.com/timeseriesanalysiswithpython-13-200506072743/85/Time-series-analysis-with-python-1-3-11-320.jpg)
Time series analysis with python 1 3
- 1. 時系列解析 自己回帰モデル、状態空間モデル、異常検知 共立出版 島田直希 著 2章まとめ後半 DLG時系列分析輪読会 sho.kumada 1
- 2. 2 目次概要 1. なぜ時系列解析を行うか、どの様に行うか 2. HOWを実現するための道具 3.ARIMA過程 4. SARIMA過程 5. VARモデル ・グレンジャー因果性 ・インパルス応答関数 ・予測誤差分散分解 6. 見せかけの回帰
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- 5. ARIMA過程 自己回帰和分移動平均(Autoregressive-Integrated-Moving Average process) d回差分を取った系列が定常かつ反転可能なARMA(p,q)に従う過程は ARIMA(p,d,q)と呼ばれる 5 AR𝐼𝑀𝐴𝑝, 𝑑, 𝑞 Δ𝑦𝑡 = 𝑦𝑡 − 𝑦𝑡−𝑑 = 𝑐 + φ1 𝑦𝑡−1 + φ2 𝑦𝑡−2 + ・・・ + φ 𝑝 𝑦𝑡−𝑝 + ε 𝑡 + θ1ε 𝑡−1 + θ2ε 𝑡−2 + ・・ + θ 𝑞ε 𝑡−𝑞 , ε 𝑡~ 𝑊. 𝑁. (σ2 ) AR MA ARMAモデルを単位根過程でも使えるように拡張したもの
- 6. 6 ARIMA過程の性質 1. E(yt) =const 2. γ0 = Var(yt) =const 3. γk = const AR𝐼𝑀𝐴 2, 𝟎, 2 和分過程ではない AR𝐼𝑀𝐴 2, 𝟏, 2 和分過程である
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- 8. 8 𝑛𝑜𝑡 和分過程でフィッテイング AR𝐼𝑀𝐴 3,𝟎, 2 による予測 ・季節周期を捉えられていない ・トレンドを捉えられていない ・平均に回帰する ・不確実性はさちる 和分過程でフィッテイング AR𝐼𝑀𝐴 4, 𝟏, 1 による予測 ・季節周期を捉えられていない ・トレンドを捉えつつある？ ・平均に回帰しない ・不確実性はさちらない
- 9. 9 モデルを診断する 和分過程ではないと仮定 AR𝐼𝑀𝐴 3, 𝟎,2 による予測 和分過程であると仮定 AR𝐼𝑀𝐴 4, 𝟏, 1 による予測 そもそもフィッテイングがうまくいっていない、残渣の自己相関が0と言えない
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- 12. ARモデルを多変量に拡張したモデル グレンジャー因果性、インパルス応答関数、予測誤差分散分解という 3つのツールが重要な役割を果たす 12 VARモデル 2変量のVAR 1 モデル 𝑦1𝑡= 𝑐1 + φ11 𝑦1,𝑡−1 + φ12 𝑦2,𝑡−1 + ε1𝑡 𝑦2𝑡 = 𝑐1 + φ21 𝑦1,𝑡−1 + φ22 𝑦2,𝑡−1 + ε2𝑡 𝑦1𝑡 : 本日のアメリカの株価 、 𝑦1,𝑡−1 ：昨日のアメリカの株価 𝑦2𝑡 : 本日の日本の株価 、 𝑦2,𝑡−1 ：昨日の日本の株価 ε1𝑡 ε2𝑡 ~W.N.(Σ) Σ：分散共分散行列 VARモデルの注意点 データが定常であることが前提（単位根をもたない）
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- 23. 1. y1t を用いてOLSでフィッティングし、残渣平方和（SSR1）を計算 2.以下の制約を課したモデルで同様に、残渣平方和（SSR0）を計算 𝑦1𝑡 ‘= 𝑐1 + φ11,1 𝑦1,𝑡−1 + φ11,2 𝑦1,𝑡−2 + ε1𝑡 3. F統計量を計算する 4.rFをカイ二乗分布表のχ2 0.05(r)の値と比較 rF > χ2 0.05(r) → 𝑦2 から 𝑦1 へのグレンジャー因果が存在する rF < χ2 0.05(r) → 𝑦2 から 𝑦1 へのグレンジャー因果は存在しない 23 2変量のVAR 2 モデルに当てはめて考える 𝑦1𝑡 = 𝑐1 + φ11,1 𝑦1,𝑡−1 + φ12,1 𝑦2,𝑡−1 + φ11,2 𝑦1,𝑡−2 + φ12,2 𝑦2,𝑡−2 + ε1𝑡 𝑦2𝑡 = 𝑐1 + φ21,1 𝑦1,𝑡−1 + φ22,1 𝑦2,𝑡−1 + φ21,2 𝑦1,𝑡−2 + φ22,2 𝑦2,𝑡−2 + ε2𝑡 𝑦1𝑡 : 本日のアメリカの株価 、 𝑦1,𝑡−1 ：昨日のアメリカの株価 、𝑦1,𝑡−2 ：一昨日のアメリカの株価 𝑦2𝑡 : 本日の日本の株価 、 𝑦2,𝑡−1 ：昨日の日本の株価 、𝑦2,𝑡−2 ：一昨日の日本の株価 r=2 （制約の数） T=201 （標本数） n=2 (変量数） p=2（ラグ）
- 24. 24 𝑦2𝑡 についても同様に行います。 要は𝑦1𝑡 に対して、 𝒚𝟐𝒕 を入れたモデルのほうが、入れないモデルよりも 予測精度が高ければ、 𝒚 𝟐𝒕 → 𝒚 𝟏𝒕 のグレンジャー因果があるということです。
- 25. 25 グレンジャー因果性検定を実施する ■realgdp → realcons, realinv の因果性あり ■realcons → realgdp , realinv の因果性あり 帰無仮説H0：各変数群がその他の変数に対して「グレンジャー因果性」がない 棄却 棄却 ■realinv → realgdp , realcons の因果性あり 棄却 いずれの変数 も他の変数に 対して、 因果性ありという 結果になった
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- 29. 29 2階差分に対して構築したVarモデルで分散分解を行う １. 分散分解の結果が予測期間にほとんど依存しない ２. realinvの予測誤差に対する他の変数の説明力が高いことが分かる。 1.はおそらくマクロ経済のデータの予測が難しいから realgdp realcons realinv
- 30. 30 見せかけの回帰 無関係の単位根過程の間にあたかも有意な関係があるように見える現象 単位根過程を用いて分析する際に最も気を付けるべき事柄の1つ 2つの単位根過程を考える 𝑥 𝑡 =𝑥 𝑡−1 + ε1𝑡 , ε1𝑡~ 𝑊. 𝑁. (σ1 2 ) 𝑦𝑡 = 𝑦𝑡−1 + ε2𝑡 , ε2𝑡~ 𝑊. 𝑁. (σ1 2 ) 𝑦𝑡 = α + β𝑥 𝑡 + ε 𝑡 , ε 𝑡~ 𝑊. 𝑁. (σ1 2 ) 回帰式を作る 標本数Tが大きいと時、t検定を行うと、 α=0という帰無仮説 β=0という帰無仮説 十中八九棄却される （ 𝑥 𝑡と 𝑦𝑡は無関係なのに！！） しかも回帰の決定係数R2が漸近的に1に収束する （注意） 見せかけの回帰が起きている 状況でVarモデルを推定しても 結果が歪んでしまう
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- 33. 33 rwの正体はただのランダムウォーク # Rでの記述 rw<-cumsum(rnorm(210)) 見せかけの回帰を回避する方法は2つ ●それぞれの変数の階差を取り、定常過程にしてから解析を行う ●説明変数か目的変数（の少なくとも一方の）ラグ変数を回帰に含める 𝑦𝑡− 𝑦𝑡−1=𝛼 + 𝛽(𝑥 𝑡 −𝑥 𝑡−1) + ε 𝑡 , ε 𝑡~ 𝑊. 𝑁. (σ1 2) 定常過程 𝑦𝑡= 𝛼 + 𝛽1 𝑥 𝑡 −𝛽2 𝑥 𝑡−1 + ε 𝑡 , ε 𝑡~ 𝑊. 𝑁. (σ1 2 )
- 34. 34 ●それぞれの変数の階差を取り、定常過程にしてから解析を行う 終値 黄金の変数 𝑦𝑡− 𝑦𝑡−2=𝛼 + 𝛽(𝑥 𝑡 −𝑥 𝑡−2) + ε 𝑡 , ε 𝑡~ 𝑊. 𝑁. (σ1 2 ) 2階差分を取って互いに定常過程にしてから回帰する R2低し 𝑥 𝑡 −𝑥 𝑡−2の係数(β)は有意でない 原系列 フィッティング
- 35. 35 ●説明変数か目的変数（の少なくとも一方の）ラグ変数を回帰に含める 𝑦𝑡= 𝛼 +𝛽1 𝑥 𝑡 +𝛽2 𝑥 𝑡−1 +𝛽3 𝑦𝑡−1 + ε 𝑡 , ε 𝑡~ 𝑊. 𝑁. (σ1 2 ) 終値 黄金の変数 原系列 フィッティング β1, β2, β3は有意 R2高し 結構うまくフィッティング できているような
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