The document provides solutions to mathematical equations and inequalities involving radicals, fractions, and variables. It contains 50 problems involving solving equations and inequalities for variables on the set of real numbers. The problems cover a range of techniques including isolating variables, combining like terms, factoring, and applying properties of radicals, fractions and inequality signs.
This document provides 30 equations and inequalities and asks the reader to solve them on the set of real numbers. It uses variables like x, square roots, exponents, and basic arithmetic operations. The problems range from simple one-variable equations to more complex expressions with multiple variables. The goal is to calculate the value(s) of the variable(s) that satisfy each equation or inequality.
This document contains solutions to various equations and inequalities involving radicals on the set of real numbers. It is divided into 6 sections, with multiple problems provided in each section ranging from simple single-term radical equations to more complex multi-term radical equations and inequalities. The document provides the step-by-step workings for solving each problem.
Những bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.com
Thi thử toán hồng quang hd 2012 lần 2 k a
1. www.MATHVN.com
SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM 2012
TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG MÔN: TOÁN; KHỐI: A
www.MATHVN.com Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề.
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x 3 − 3 m x 2 + 3 m 2 − 1 x − m 3 + m ( ) (1) , m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 .
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu đồng thời khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị đến gốc tọa
độ O bằng 3 lần khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị đến O.
Câu II (2,0 điểm)
3 ( cot x + 1) 7π
1. Giải phương trình 3cot 2 x + − 4 2 cos x + = 1.
sin x 4
2. Giải phương trình x − 4 + 6 − x = 2 x 2 − 13x + 17 ( x ∈ ℝ) .
x4 −1
2
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ 3 ( ln( x 2 + 1) − ln x )dx .
1
x
Câu IV (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' , biết A '. ABC là hình chóp đều có cạnh đáy bằng a . Góc giữa
hai mặt phẳng ( A ' BC ) và ( BCC ' B ') bằng 900 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' và khoảng
cách giữa hai đường thẳng AA ' và B ' C theo a .
1 ≤ a , b, c ≤ 4
Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện .
a + b + 2c = 8
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a 3 + b3 + 5c3 .
Câu VI (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 20 = 0 và đường thẳng
(d ) : 3 x + 4 y − 20 = 0 . Chứng minh d tiếp xúc với (C ) . Tam giác ABC có đỉnh A thuộc (C ) , các đỉnh B
và C thuộc d , trung điểm cạnh AB thuộc (C ) . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết trực tâm của tam giác
ABC trùng với tâm của đường tròn (C ) và điểm B có hoành độ dương.
x y +1 z x −1 y +1 z − 4
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1 : = = , d2 : = = .
1 2 1 1 −2 3
Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 đồng thời vuông góc với mặt phẳng
( P) : x + 4 y − 2 z + 5 = 0 .
Câu VII (1,0 điểm) Tìm số phức z biết 2( z + 1) + z − 1 = (1 − i ) z .
2
----------------- Hết -----------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh.............................................................; Số báo danh...........................................................
www.MATHVN.com
2. www.MATHVN.com
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM - ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM 2012
MÔN: TOÁN; KHỐI: A
(Đáp án - thang điểm gồm 06 trang)
Câu Nội dung Điể
m
Câu I.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số...............
(1,0đ)
Với m = 1 , ta có hàm số y = x3 − 3 x 2
* Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên: y ' = 3 x 2 − 6 x ; y ' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2 0,25
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; 0 ) và ( 2;+∞ ) . Hàm số nghịch biến trên
khoảng ( 0; 2 ) .
0,25
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCD = 0 , đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = −4
- Giới hạn: lim y = −∞; lim y = +∞
x →−∞ x →+∞
- Bảng biến thiên
x −∞ 0 2 +∞
y' + 0 − 0 +
0 +∞
0,25
y
−∞ −4
Đồ thị : Đồ thị cắt trục Oy tại điểm ( 0;0 ) ,
y
4
cắt trục hoành tại điểm ( 0;0 ) , ( 3;0 ) 3
y '' = 6 x − 6; y '' = 0 ⇔ x = 1 . 2
Đồ thị nhận điểm (1; −2 ) làm tâm đối xứng. 1
O x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
-2
-3 0,25
-4
Câu I.2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu đồng thời khoảng cách từ điểm cực tiểu
(1,0đ) của đồ thị đến gốc tọa độ O bằng 3 lần khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị
đến O.
y = x 3 − 3 m x 2 + 3 ( m 2 − 1) x − m 3 + m ⇒ y ' = 3 x 2 − 6 m x + 3 ( m 2 − 1)
x = m −1
y ' = 0 ⇔ 3 x 2 − 6mx + 3 ( m 2 − 1) = 0 ⇔ x 2 − 2mx + m 2 − 1 = 0 ⇔
x = m +1 0,25
www.MATHVN.com
3. www.MATHVN.com
Hàm số có cực đại, cực tiểu ∀m ∈ ℝ .
Điểm cực đại của đồ thị là A ( m − 1;2 − 2m ) . Điểm cực tiểu của đồ thị là 0,25
B ( m + 1; −2 − 2m )
Khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị đến gốc tọa độ O bằng 3 lần khoảng cách
từ điểm cực đại đến
O ⇔ OB = 3OA ⇔ ( m + 1) + ( −2 − 2m ) = 3 ( m − 1) + ( 2 − 2m )
2 2 2 2
0,25
⇔ ( m + 1) + ( −2 − 2m ) = 9 ( m − 1) + ( 2 − 2m ) ⇔ 2m 2 − 5m + 2 = 0
2 2 2 2
1 1
⇔ m = 2 hoac m = . Đáp số m1 = , m2 = 2
2 2 0,25
CâuII. 3 ( cot x + 1) 7π
Giải phương trình 3cot 2 x + − 4 2 cos x + =1
1 sin x 4
(1,0)
Điều kiện sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ , k ∈ ℤ .
3 ( cot x + 1) 7π
3cot 2 x + − 4 2 cos x + =1
sin x 4
cos x
+1
2
cos x π
⇔ 3 2 +3 sin x − 4 2 cos x − + 2π = 1 0,25
sin x sin x 4
cos 2 x cos x + sin x
⇔3 2
+3 − 4 ( sin x + cos x ) = 1
sin x sin 2 x
⇔ 3cos 2 x + 3 ( sin x + cos x ) − 4 ( sin x + cos x ) sin 2 x = sin 2 x
⇔ ( sin x + cos x ) ( 3 − 4sin 2 x ) + 3cos 2 x − sin 2 x = 0
⇔ ( sin x + cos x ) ( 3 − 4sin 2 x ) + 3 (1 − sin 2 x ) − sin 2 x = 0
0,25
⇔ ( sin x + cos x ) ( 3 − 4sin 2 x ) + 3 − 4sin 2 x = 0
3 − 4sin 2 x = 0
⇔ ( 3 − 4sin 2 x ) ( sin x + cos x + 1) = 0 ⇔
sin x + cos x + 1 = 0
Xét phương trình
1
3 − 4sin 2 x = 0 ⇔ 3 − 2 (1 − cos 2 x ) = 0 ⇔ 2cos 2 x = −1 ⇔ cos 2 x = −
2
2π π
2x = + k 2π x = + kπ 0,25
3 3
⇔ ( k ∈ ℤ) ⇔ (k ∈ ℤ) . Thỏa mãn điều kiện.
2 x = − 2π + k 2π x = − π + kπ
3
3
Xét phương trình
www.MATHVN.com
4. www.MATHVN.com
π π 1
sin x + cos x + 1 = 0 ⇔ 2 sin x + = −1 ⇔ sin x + = −
4 4 2
π π 0,25
x + = − + k 2π π
x = − + k 2π
(k ∈ ℤ) ⇔
4 4
⇔ 2 ( k ∈ ℤ)
π π
x + = π + + k 2π
x = π + k 2π
4 4
π
Kết hợp điều kiện ⇒ x = − + k 2π , k ∈ ℤ
2
π π
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x = + kπ , x = − + kπ ,
3 3
π
x=− + k 2π , k ∈ ℤ
2
Câu II Giải phương trình x − 4 + 6 − x − 2 x 2 + 13x − 17 = 0 ( x ∈ ℝ)
.2
(1,0đ)
Điều kiện 4 ≤ x ≤ 6
x − 4 + 6 − x = 2 x 2 − 13x + 17 ⇔ ( ) (
x − 4 −1 + )
6 − x − 1 − 2 x 2 + 13x − 15 = 0
0,25
⇔
( x − 4 −1 )( x − 4 +1 )+( 6 − x −1 )( 6 − x +1 ) − ( 2x 2
− 13x + 15 ) = 0
x − 4 +1 6 − x +1
x−5 5− x
⇔ + − ( x − 5 )( 2 x − 3) = 0
x − 4 +1 6 − x +1 0,25
x=5
1 1
⇔ ( x − 5) − − (2 x − 3) = 0 ⇔ 1 1
x − 4 +1 6 − x +1 − − (2 x − 3) = 0 0,25
x − 4 +1
6 − x +1
1 1 1 1
− − (2 x − 3) = 0 ⇔ − = 2 x − 3 (1)
x − 4 +1 6 − x +1 x − 4 +1 6 − x +1
≤ 1 và 2 x − 3 ≥ 5, ∀x ∈ [ 4;6] nên phương
1 1 1
Ta có − <
x − 4 +1 6 − x +1 x − 4 +1
trình (1) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 5 .
0,25
x4 −1
2
Câu III
(1,0đ) Tính tích phân I = ∫
x 3 ( ln( x 2 + 1) − ln x )dx
1
x −1 x2 + 1 x2 − 1 x2 + 1
2 2
I = ∫ 3 ( ln( x 2 + 1) − ln x )dx = ∫
4
ln dx 0,25
1
x 1
x x2 x
x2 + 1 1 1 x2 − 1
Đặt t = = x + ⇒ dt = 1 − 2 dx = 2 dx .
x x x x
0,25
www.MATHVN.com
5. www.MATHVN.com
5
2
5
Đổi cận x = 1 ⇒ t = 2 ; x = 2 ⇒ t = . Ta có I = ∫ t ln tdt
2 2
dt 5
du = 5
u = ln t t t 2
12 0,25
Đặt ⇒
dv = tdt v = t
2
; I = ln t 2 − tdt
2 22 ∫
2
2
5
25 5 1 2 25 5 9
= ln − 2ln 2 − t 2 = ln − 2ln 2 −
8 2 4 8 2 16 0,25
2
Câu IV Cho lăng trụ ABC. A' B ' C ' . Biết A '. ABC là hình chóp đều với cạnh đáy bằng
(1,0đ) a ...............
A' C'
E
B'
A C
H
M N
B
Gọi M , N , E lần lượt là trung điểm của AB , BC và B ' C ' ; H = CM ∩ AN . Có H là
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC . Từ A '. ABC là hình chóp đều
⇒ A ' H ⊥ ( ABC ) 0,25
Góc giữa hai mặt phẳng ( A ' BC ) và ( BCC ' B ') bằng 90 ⇒ ( A ' BC ) ⊥ ( BCC ' B ') . Có
0
A ' N ⊥ BC ⇒ A ' N ⊥ ( BCC ' B ') ⇔ A ' N ⊥ NE .
• Đặt A 'A = A 'B = A 'C = x( x > 0) .
a 2 NE = BB ' NE = AA '
A ' N = A ' B − BN = x − ;
2 2 2 2
⇒ ⇒ Tứ giác ANEA ' là hình
4 NE / / BB ' NE / / AA '
0,25
NE = x
bình hành ⇒ a 3
A' E =
2
• Trong tam giác vuông A ' NE có
2
a2 a 3 a 2
A ' N + NE = A ' E ⇔ x − + x 2 =
2 2 2 2
⇔ 2x = a ⇔ x =
2 2
4 2 2
2
a2 2 a 3 a2 a2 a2 a 6
A ' H = A ' A − AH =
2 2 2
− . = − = ⇒ A' H =
2 3 2 2 3 6 6
www.MATHVN.com
6. www.MATHVN.com
a 6 a2 3 a3 2
Thể tích khối lăng trụ ABC. A' B ' C ' là V = A ' H .S∆ABC = . =
6 4 8
A ' A / / B ' B ⇒ A ' A / /( BCC ' B ') ⇒
d ( A ' A, B ' C ) = d ( A ' A,( BCC ' B ') ) = d ( A,( BCC ' B ') ) 0,25
BC ⊥ AN
• ⇒ BC ⊥ ( A ' AN ) ⇒ BC ⊥ AA ' ⇒ BC ⊥ BB ' ⇒ Tứ giác BCC ' B ' là
BC ⊥ A ' N
1 1a 2 a2 2
hình chữ nhật ⇒ S ∆B ' BC = B ' B.BC = .a =
2 2 2 4
3
1 a 2 1 3V
• VB '. ABC = V = = d ( A,( BCB ') ) .S ∆B ' BC ⇒ d ( A,( BCB ') ) = B '. ABC
3 24 3 S ∆B ' BC
a3 2
a 0,25
⇒ d ( A,( BCB ') ) = 28 =
a 2 2
4
Câu V 1 ≤ a , b, c ≤ 4
(1,0đ) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện
. Tìm gtln của
a + b + 2c = 8
P = a 3 + b3 + 5c3 .
3 3
P = a 3 + b3 + 5c3 = (a + b) − 3ab (a + b) + 5c 3 = (8 − 2c ) − 3ab (8 − 2c) + 5c3
0,25
⇔ P = −3c3 + 96c 2 − 384c + 512 − 3ab (8 − 2c )
• Ta có ( a − 1)( b − 1) ≥ 0 ⇒ ab − ( a + b ) + 1 ≥ 0 ⇒ ab ≥ a + b − 1 = 8 − 2c − 1 = 7 − 2c .
ab ( 8 − 2c ) ≥ ( 7 − 2c )( 8 − 2c ) ⇒ −3ab ( 8 − 2c ) ≤ −3 ( 7 − 2c )( 8 − 2c ) .Do
c ≤ 4 ⇒ 8 − 2c ≥ 0
0,25
P = −3c 3 + 96c 2 − 384c + 512 − 3ab (8 − 2c)
≤ −3c3 + 96c 2 − 384c + 512 − 3(7 − 2c )(8 − 2c ) ⇒ P ≤ −3c3 + 84c 2 − 294c + 344
Từ giả thiết suy ra 2c ≤ 6 ⇒ c ≤ 3 ⇒ 1 ≤ c ≤ 3
Xét hàm số f (c) = −3c3 + 84c 2 − 294c + 344 với c ∈ [1;3]
f '(c) = −9c 2 + 168c − 294; f '(c) = 0 ⇔ −9c 2 + 168c − 294 = 0 ⇔ 3c 2 − 56c + 98 = 0
28 + 7 10
c = ∉ [1;3]
3
⇔
28 − 7 10
c = ∈ [1;3]
3
0,25
28 − 7 10
c 1 3
3
f '(c) − 0 +
f (c) 131 www.MATHVN.com 137
28 − 7 10
f( )
7. www.MATHVN.com
0,25
Vậy giá trị lớn nhất của P là 137 , đạt được khi c = 3, a = 1, b = 1
Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn
VI.1 (C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 20 = 0 .......
(1,0đ)
A
Đường tròn (C ) có tâm I (1; −2) và bán kính R = 5
3 − 8 − 20
d (I,d ) = =5=R M
32 + 42 I
Suy ra d tiếp xúc với (C )
B
C H 0,25
Gọi H là tiếp điểm của (C ) và d . Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình
3 x + 4 y − 20 = 0 x = 4
2 ⇔ ⇒ H (4; 2)
x + y − 2 x + 4 y − 20 = 0 y = 2
2
Do I là trực tâm ∆ABC và IH ⊥ BC ⇒ A ∈ IH . Kết hợp A ∈ (C ) ⇒ là điểm đối 0,25
x A = 2 xI − xH x = −2
xứng của H qua I ⇒ ⇒ A ⇒ A(−2; −6)
y A = 2 yI − yH y A = −6
Gọi M là trung điểm cạnh AB . Do HA là đường kính nên HM ⊥ AM
Tam giác HAB có HM vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên ∆HAB cân tại
20 − 3b
H ⇒ HB = HA = 2 R = 10 ; B ∈ d ⇒ B(b; ).
4
20 − 3b 20 − 3b
2 2
HB = 10 ⇔ (b − 4) + 2
− 2 = 10 ⇔ (b − 4) 2 + − 2 = 100
4 4
12 − 3b b = −4
2
⇔ (b − 4) + 2
= 100 ⇔ b 2 − 8b − 48 = 0 ⇔ .Do xB > 0 ⇒ B (12; −4) 0,25
4 b = 12
20 − 3c 44 − 3c
c ∈ d ⇒ C (c; ) ⇒ AC = c + 2; ; BI = (−11; 2)
4 4
44 − 3c
AC ⊥ BI ⇒ AC .BI = 0 ⇔ −11(c + 2) + 2 = 0 ⇔ c = 0 ⇒ C (0;5) 0,25
4
www.MATHVN.com
8. www.MATHVN.com
CâuVI. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng
2 x y +1 z x −1 y + 1 z − 4
d1 : = = , d2 : = = ................
(1,0đ) 1 2 1 1 −2 3
x=m x =1+ k
Phương trình tham số của d1 : y = −1 + 2m ; d 2 : y = −1 − 2k
z=m z = 4 + 3k
0,25
Gọi giao điểm của ∆ với d1 , d 2 lần lượt là A, B ;
A ( m; −1 + 2m; m ) , B (1 + k ; −1 − 2k ;4 + 3k )
AB = (1 + k − m; −2k − 2m; 4 + 3k − m ) . Mặt phẳng ( P ) có vectơ pháp tuyến
n = (1;4; −2) . Do ∆ ⊥ ( P) ⇒ AB và n = (1;4; −2) cùng phương ⇒ AB = tn . 0,25
1+ k − m = t k = 0
⇒ −2k − 2m = 4t ⇔ t = −1 ⇒ A(2;3;2), B (1; −1;4)
4 + 3k − m = −2t m = 2 0,25
Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(2;3;2) và nhận n = (1;4; −2) làm vectơ chỉ phương
x−2 y −3 z −2
nên ∆ có phương trình = = . 0,25
1 4 −2
Tìm số phức z biết 2( z + 1) + z − 1 = (1 − i ) z
2
CâuVI
I
(1,0đ)
Gọi z = a + bi (a, b ∈ ℝ )
⇒ 2( z + 1) + z − 1 = (1 − i ) z ⇔ 2 ( a − bi + 1) + a + bi − 1 = (1 − i )(a 2 + b 2 )
2
0,25
3a + 1 = a + b 2 2
⇔ (3a + 1) − bi = a 2 + b 2 − i (a 2 + b 2 ) ⇔
b = a +b
2 2
0,25
a = 0 3
b = 3a + 1 10a + 3a = 0 2
3 a = 0 a = − 10
⇔ ⇔ ⇔ a = − ⇔ hoac 0,25
3a + 1 = a + b b = 3a + 1 b =1
2 2
10 b= 1
b = 3a + 1
10
3 1
Có hai số phức z1 = i ; z2 = − + i
10 10 0,25
www.MATHVN.com