share

1. Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016
HÌNH PHẲNG OXY VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của AB. Đường thẳng
CM có phương trình 3 0y − = và
2 7
;
3 3
K
 
− 
 
là trọng của tam giác ACM. Đường thẳng AB đi qua điểm
1
;4 .
2
D
 
− 
 
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết M có tung độ dương và tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC nằm trên đường thẳng : 2 4 0.d x y− + =
Lời giải
Gọi N là trung điểm của AM , J là giao điểm của
AH và CM
Ta có
2
/ /
3
CJ CK
KJ MN
CM CN
= = ⇒
Mà MI AB MI KJ⊥ ⇒ ⊥
Mặt khác IJ MK⊥
I⇒ là trực tâm MJK KI CM∆ ⇒ ⊥
Đường thẳng KI qua
2 7
;
3 3
K
 
− 
 
và vuông góc với
CM nên đường thẳng
2
:
3
KI x = −
Ta có
2 8
;
3 3
I KI d I
 
= ∩ ⇒ − 
 
Do ( ): 3 0 ;3M CM y M a∈ − = ⇒
Ta có . 0MI AB MI MD IM DM⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =
Mà
2 1
;
3 3
IM a
 
= + 
 
;
( )0 0;3
1 2 1 1
; 1 0 7 7
2 3 2 3 ;3
6 6
a M
DM a a a
a M l
= ⇒
     
= + − ⇒ + + − = ⇔       = − ⇒ − →        
Đường thẳng AB qua
1
;4
2
D
 
− 
 
và ( )0;3M nên đường thẳng : 2 3 0AB x y+ − =
Đường thẳng AH qua
2 8
;
3 3
I
 
− 
 
và vuông góc với MK nên đường thẳng : 2 0AH x y+ − =
Ta có ( )1;1A AB AH A= ∩ ⇒
Do M là trung điểm của ( )1;5AB B⇒ −
Đường thẳng BC qua ( )1;5B − và vuông góc với AH nên đường thẳng : 6 0BC x y− + =
Ta có ( )3;3C BC CM C= ∩ ⇒ −
Vậy ( ) ( ) ( )1;1 , 1;5 , 3;3A B C− −
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I. Điểm ( )2; 1M −
là trung điểm cạnh BC và điểm
31 1
;
13 13
E
 
− 
 
là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng AI. Xác
định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường thẳng AC có phương trình 3 2 13 0.x y+ − =
Lời giải

2. Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016
Gọi D là hình chiếu của A xuống BC , N là trung
điểm của AB
Do 0
90ADB AEB= = nên tứ giác BDEA nội tiếp
Do 0
90BNI BEI BMI= = = nên ngũ giác BNIEM nội
tiếp đường tròn đường kính BI
1
2
ENM EBM EBD END⇒ = = =
NM⇒ là phân giác góc END
Mặt khác NE ND= nên NM là đường trung trực của
đoạn thẳng DE
Đường thẳng MN qua ( )2; 1M − và song song với AC
nên đường thẳng : 3 2 4 0MN x y+ − =
Đường thẳng DE qua
31 1
;
13 13
E
 
− 
 
và vuông góc với
MN nên đường thẳng : 2 3 5 0DE x y− − =
Đường thẳng DE qua
31 1
;
13 13
E
 
− 
 
và vuông góc với MN nên đường thẳng : 2 3 5 0DE x y− − =
Gọi J là giao điểm của DE với
22 7
;
13 13
MN J
 
⇒ − 
 
. Mà J là trung điểm ( )1; 1DE D⇒ −
Đường thẳng BC qua ( )1; 1D − và ( )2; 1M − nên đường thẳng : 1BC y = −
Ta có ( )5; 1C AC BC C= ∩ ⇒ − . Mà M là trung điểm ( )1;1BC B⇒ −
Đường thẳng AD qua ( )1; 1D − và vuông góc với BC nên đường thẳng : 1 0AD x − =
Ta có ( )1;5A AC AD A= ∩ ⇒
Vậy ( ) ( ) ( )1;5 , 1;1 , 5; 1A B C− −
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, N là điểm
trên cạnh AC sao cho
1
.
4
CN AC= Biết ( )1; 1E − là trung điểm của đoạn DM. Tìm tọa độ đỉnh B, biết
2
;0
3
F
 
 
 
là trọng tâm tam giác AMN và điểm M có hoành độ âm.
Lời giải
Gắn hình vuông ABCD trong hệ trục toạ độ Oxy với tia Ox trung với
tia DC, tia Oy trung với tia DA và D trùng với gốc ( )0;0O .
Đặt 4AB a= ta có: ( )3 ;N a a , ( ) ( )0;4 , 2 ;4A a M a a . ( )4 ;4B a a
Khi đó
5
;3
3
a
F a
 
 
 
và ( );2E a a . Khi đó:
2
2 24 10
9 9
a
EF a= + =
Suy ra
10
13
a = . Lại có: 2 2
13 10BE a= = ;
2
2 58 580
9 117
a
BF = = .
Gọi ( );B x y ta có:
( ) ( )
2 2
2
2
1 1 10
2 580
3 117
x y
x y
 − + + =

 
− + = 
 
Khi đó
14 18
;
13 13
B
− 
 
 
hoặc
16 28
;
13 13
B
 
 
 
là điểm cần tìm.

3. Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016
Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A. Các điểm ( )1;1M − và ( )1; 7N − −
là các điểm lần lượt trên cạnh AB và tia đối của tia CA sao cho BM = CN. Xác định tọa độ các đỉnh của
tam giác ABC, biết đường thẳng BC qua điểm ( )3; 1E − − và điểm B thuộc đường thẳng 4 0x + = .
Lời giải:
Kẻ / /MJ AC ( với J BC∈ ) dễ thấy
/ /MJ CN
MJ BM CN


= =
nên tứ giác
MJNC là hình bình hành suy ra K là trung điểm của MN đồng thời là
trung điểm của CJ. Ta có: ( )1; 3K BC− − ∈ .
Phương trình đường thẳng BC là: 4 0x y+ + = .
Do vậy ( )4;0 : 3 4 0B AB x y− ⇒ − + = .
Phương trình đường thẳng AC qua N có dạng:
( ) ( ): 1 7 0AC a x b y+ + + =
( với ( )( )2 2
; 0ACn a b a b= + > ) . Khi đó: ( ) ( ) 2 2
2
cos ; cos ;
2. 10 2.
a b
AB BC AC BC
a b
+
= ⇔ =
+
( ) ( )
22 2 2 2 3
2 5 3 10 3 0
3
a b
a b a b a ab b
a b
= −
⇔ + = + ⇔ + + = ⇔  = −
Với 3a b= − chọn ( ) ( )3; 1 :3 4 0 0; 4 ; 2;2a b AC x y C A= = − ⇒ − − = ⇒ − .
Với 3a b= − chọn ( )1; 3 / /a b AB AC loai= = − ⇒ .
Vậy ( ) ( ) ( )2;2 ; 4;0 ; 0; 4A B C− − là các điểm cần tìm.
Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hình chiếu vuông góc của B trên đường
thẳng AC là E(5; 0), trung điểm của AE và CD lần lượt là F(0; 2),
3 3
;
2 2
I
− 
 
 
. Viết phương trình đường
thẳng CD.
Lời giải:
Kẻ ( )/ / / /FK AB CD K BE∈ khi đó KF là đường trung bình của
tam giác AEB ta có:
1
/ /
2
KF AB CI= = nên KCIF là hình bình
hành.
Dễ thấy / /
FK BC
CK FI BF
BE AC
⊥
⇒ ⊥
⊥
.
Phương trình đường thẳng BF qua F và vuông góc với FI là
:3 7 14 0BF x y− + = . Lại có F là trung điểm của AE nên ( )5;4A − .
Phương trình đường thẳng BE qua E và vuông góc với AC là: ( )5 2 25 0 7;5x y B BE BF B− − = ⇒ = ∩ ⇒
Khi đó: ( ) ( )
39
12;1 1; 12 : 12 0
2
CDAB n CD x y= ⇒ = − ⇒ − + =
Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm B(2; 0), đường thẳng đi qua đỉnh
B và vuông góc với đường chéo AC có phương trình 7 14 0x y− − = , đường thẳng đi qua đỉnh A và trung
điểm của cạnh BC có phương trình 2 7 0x y+ − = . Tìm tọa độ điểm D của hình chữ nhật ABCD, biết điểm
A có hoành độ âm.
Lời giải

4. Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016
Gọi H là hình chiếu của B trên AC , M là trung điểm
BC
Do ( )2 7 0 7 2 ;M x y M t t∈ + − = ⇒ −
( )7 2 ;M t t− là trung điểm của ( )12 4 ;2BC C t t⇒ −
Đường thẳng AC qua ( )12 4 ;2C t t− và vuông góc với
BH nên đường thẳng : 7 10 12 0AC x y t+ − − =
Ta có ( )5 4 ;2 1A AM AC A t t= ∩ ⇒ − +
Do . 0AB BC AB BC⊥ ⇒ =
Mà ( )4 3; 2 1AB t t= − − − , ( )10 4 ;2BC t t= −
( )( ) ( )
( )
( ) ( )
2
1 1;3
4 3 10 4 2 2 1 0 2 5 3 0 3
1;4 , 6;3
2
t A l
t t t t t t
t A C
= ⇒ →
⇒ − − + − − = ⇔ − + = ⇔
 = ⇒ −

Gọi I là trung điểm của
5 7
;
2 2
AC I
 
⇒  
 
, mà I là trung điểm của ( )3;7BD D⇒
Vậy ( )3;7D
Câu 7. Giải bất phương trình ( ) ( )
33 2 2
2 3 6 2 2x x x x x x− + ≤ − + ∈ℝ .
Lời giải.
Điều kiện x∈ℝ .
Bất phương trình đã cho tương đương với ( ) ( )
33 2 2
3 2 2 2 0x x x x x x− − + + − + ≥ .
Đặt ( )2
2 0x x t t− + = > thu được
( ) ( ) ( ) ( )( )
23 2 3 2 2
3 2 0 2 2 2 2 0 2 0
2 0
x t
x xt t x x t xt x t t x t x t x t
x t
=
− + ≥ ⇔ + − + + + ≥ ⇔ + − ≥ ⇔  + ≥
• 2
2 2
0
2 2
2
x
x t x x x x
x x x
≥
= ⇔ = − + ⇔ ⇔ =
= − +
.
• 2
2 2 2
0 0
0 02 0 2 2
4 4 8 3 4 8 0
x x
x xx t x x x x
x x x x x
> > 
 
≤ ≤+ ≥ ⇔ − + ≥ − ⇔ ⇔ ⇔ ∈  
  − + ≥ − + ≥  
ℝ .
Bất phương trình đã cho có tập nghiệm S = ℝ .
Câu 8. Giải bất phương trình ( ) ( )
33 2
8 4 5 2 1x x x x x+ ≤ + − ∈ℝ .
Lời giải.
Điều kiện
1
2
x ≥ .
Bất phương trình đã cho tương đương với ( ) ( )
33
4 2 1 5 2 1x x x x+ − ≤ − .
Đặt ( )2 1 0x y y− = ≥ ta có
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 2 3 2 2 2 2
4 5 5 0 5 0 1x xy y x x y xy x y y x y x y x xy y+ ≤ ⇔ − + − + − ≤ ⇔ − + + ≤ .

5. Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016
Nhận xét 2 21
; 0 5 0
2
x y x xy y≥ ≥ ⇒ + + > . Do đó ( )
2
1
1 2 1 12
2 1 0
x
x y x x x
x x

≥
⇔ ≤ ⇔ ≤ − ⇔ ⇔ =
 − + ≤
.
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất { }1S = .
Câu 9. Giải bất phương trình ( ) ( )3 2
3 3 28 24 7 6 0x x x x x+ − + − < ∈ℝ .
Lời giải.
Điều kiện
6
7
x ≥ . Phương trình đã cho tương đương với ( )
33 2
3 3 7 6 4 7 6 0x x x x+ − − − < .
Đặt ( )7 6 0x y y− = ≥ thu được
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 2 3 2 2 2 2
3 4 0 3 4 4 0 3 4 4 0x x y y x x y xy x y y x y x xy y x y+ − < ⇔ − + − + − < ⇔ + + − < ∗
Ta có 2 26
; 0 3 4 4 0
7
x y x xy y≥ ≥ ⇒ + + > . Do đó
( )
2
6
7 6 1 67
7 6 0
x
x y x x x
x x

≥
∗ ⇔ < ⇔ < − ⇔ ⇔ < <
 − + <
.
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm ( )1;6S = .
Câu 10. Giải bất phương trình ( ) ( )3 2
2 3 8 7 5 8 7 8 7x x x x x x+ − ≥ − − ∈ℝ .
Lời giải.
Điều kiện
7
8
x ≥ . Nhận xét
7
8
x = nghiệm đúng bất phương trình đã cho.
Xét trường hợp
7
8 7 0
8
x x> ⇒ − > , bất phương trình đã cho trở thành
3 2
2 3. 5
8 78 7
x x
xx
 
+ ≥  −− 
Đặt ( )0
8 7
x
t t
x
= >
−
thu được ( )( )3 2 2
2 3 5 0 1 2 5 5 0 1t t t t t t+ − ≥ ⇔ − + + ≥ ⇔ ≥ (Do
2
2 5 5 0t t t+ + > ∀ ∈ℝ ).
•
2
7 7
1
1 8 7 8 8
78 7 0
x x
t x x
xx x
 
> < ≤ ≥ ⇔ ≥ − ⇔ ⇔  ≥− + ≥ 
Kết hợp hai trường hợp thu được nghiệm [ )
7
;1 7;
8
S
 
= ∪ +∞  
.
CHÚC CÁC EM CHINH PHỤC THÀNH CÔNG OXY VÀ BẤT PT NHÁ!
Thầy Đặng Việt Hùng

6. Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016