Download to read offline
![[Vnmath.com] chuyên ðề lượng giác qua các kỳ thi](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/vnmath-150617113032-lva1-app6891-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
Tích phân bội 3 (Phần 2).pptx
- 1. HƯỚNG DẪN GIẢIBÀI TẬP TÍCH PHÂN KÉP 1) Tính 𝐷 𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 Trong đó 𝐷 là miền phẳng giới hạn bởi đường thẳng 𝑥 = 2 và các parabol 𝑦 = 𝑥2 , 𝑦 = 2𝑥2 Giải: (SV tự vẽ hình) Miền 𝐷 xác định bởi 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ 2𝑥2 ⇒ 𝐷 𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0 2 𝑑𝑥 𝑥2 2𝑥2 𝑥𝑦𝑑𝑦 𝑀à 𝑥2 2𝑥2 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 𝑥 𝑦2 2 2𝑥2 𝑥2 = 3𝑥5 2 ⇒ 0 2 𝑑𝑥 𝑥2 2𝑥2 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 2 3𝑥5 2 𝑑𝑥 = 𝑥6 4 2 0 = 16
- 2. 2) Tính 𝐷 𝑥𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 Trong đó𝐷 là miền phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1, 𝑦 = 2 và các parabol 𝑥 = 𝑦2 , 𝑥 = 2𝑦2 Giải: (SV tự vẽ hình) Miền 𝐷 xác định bởi 1 ≤ 𝑦 ≤ 2 𝑦2 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑦2 ⇒ 𝐷 𝑥𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1 2 𝑑𝑦 𝑦2 2𝑦2 𝑥𝑦2 𝑑𝑥 𝑦2 2𝑦2 𝑥𝑦2 𝑑𝑥 = 𝑦2 𝑦2 2𝑦2 𝑥𝑑𝑥 = 3𝑦6 2 ⇒ 1 2 𝑑𝑦 𝑦2 2𝑦2 𝑥𝑦2 𝑑𝑥 = 1 2 3𝑦6 2 𝑑𝑦 = 3𝑦7 14 2 1 = 383 14
- 3. 3) Tính 𝐷 𝑥2 +𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 Trong đó 𝐷 là miền phẳng giới hạn bởi 2 đường tròn (𝑥 − 1)2 +𝑦2 = 1 và (𝑥 − 2)2 +𝑦2 = 4 Đổi sang tọa độ cực 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 ⇒ 𝐷 𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐷′ 𝑟2 𝑑𝑟𝑑𝜑 Đường tròn (𝑥 − 1)2 +𝑦2 = 1 ⇒ 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥 ⇒ 𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠𝜑 Đường tròn (𝑥 − 2)2 +𝑦2 = 4 ⇒ 𝑥2 + 𝑦2 = 4𝑥 ⇒ 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠𝜑 Miền 𝐷’ xác định bởi −𝜋/2 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋/2 2𝑐𝑜𝑠𝜑 ≤ 𝑟 ≤ 4𝑐𝑜𝑠𝜑 suy ra 𝐷′ 𝑟2𝑑𝑟𝑑𝜑 = −𝜋/2 𝜋/2 𝑑𝜑 2𝑐𝑜𝑠𝜑 4𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑟2𝑑𝑟 = −𝜋/2 𝜋/2 56 3 𝑐𝑜𝑠3𝜑𝑑𝜑 = 112 3 0 𝜋/2 𝑐𝑜𝑠3 𝜑𝑑𝜑 = 224 9 𝑥 𝑦 𝑂 = 112 3 0 𝜋/2 1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜑 𝑑(𝑠𝑖𝑛𝜑)= 112 3 𝑠𝑖𝑛𝜑 − 𝑠𝑖𝑛3𝜑 3 𝜋/2 0
- 4. 4) Tính 𝐷 𝑥2 9 + 𝑦2 4 𝑑𝑥𝑑𝑦 Trong đó𝐷 là phần bên trong đường ellipse 𝑥2 9 + 𝑦2 4 = 1 Giải: Đổi sang tọa độ cực mở rộng 𝑥 = 3𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑦 = 2𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝐷 𝑥2 9 + 𝑦2 4 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐷′ 𝑟. 2.3. 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑 = 6 𝐷′ 𝑟2 𝑑𝑟𝑑𝜑 Trong tọa độ cực mở rộng thì ellipse 𝑥2 9 + 𝑦2 4 = 1 có phương trình 𝑟 = 1. ⇒ 𝐷’ xác định bởi 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 0 ≤ 𝑟 ≤ 1 ⇒ 𝐷′ 𝑟2𝑑𝑟𝑑𝜑 = 0 2𝜋 𝑑𝜑 0 1 𝑟2𝑑𝑟 = 2𝜋 3 𝑥 𝑦 𝑂 ⇒ 𝐷 𝑥2 9 + 𝑦2 4 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 6 𝐷′ 𝑟2𝑑𝑟𝑑𝜑 = 6. 2𝜋 3 = 4𝜋
- 5. 5) Đổi thứtự lấy tích phân trong tích phân sau: 0 1 𝑑𝑦 𝑦 𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 0 1 𝑑𝑦 𝑦 𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 = 𝐷 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 trong đó 𝐷 xác định bởi 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦 𝐷𝑜 𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑥 ≥ 0 𝑦 = 𝑥2 𝐷 còn có thể xác định bởi 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 1 1 𝑥 𝑦 𝑂 ⇒ 𝐷 là miền trong hình vẽ nên 𝐷 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0 1 𝑑𝑥 𝑥2 𝑥 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 Suy ra 0 1 𝑑𝑦 𝑦 𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 = 0 1 𝑑𝑥 𝑥2 𝑥 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦
- 6. 6) Tính 0 2 𝑑𝑥 𝑥 2 1 𝑒𝑦2 𝑑𝑦 0 2 𝑑𝑥 𝑥 2 1 𝑒𝑦2 𝑑𝑦 = 𝐷 𝑒𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦trong đó 𝐷 xác định bởi 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑥 2 ≤ 𝑦 ≤ 1 ⇒ 𝐷 là miền trong hình vẽ 2 1 𝑂 𝑥 𝑦 Miền 𝐷 còn có thể xác định bởi 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑦 nên 𝐷 𝑒𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0 1 𝑑𝑦 0 2𝑦 𝑒𝑦2 𝑑𝑥 ⇒ 0 2 𝑑𝑥 𝑥 2 1 𝑒𝑦2 𝑑𝑦 = 0 1 𝑑𝑦 0 2𝑦 𝑒𝑦2 𝑑𝑥 Mà 0 2𝑦 𝑒𝑦2 𝑑𝑥 = 2𝑦𝑒𝑦2 ⇒ 0 1 𝑑𝑦 0 2𝑦 𝑒𝑦2 𝑑𝑥 = 0 1 2𝑦𝑒𝑦2 𝑑𝑦 = 0 1 𝑒𝑦2 𝑑(𝑦2 ) = 𝑒𝑦2 1 0 = 𝑒 − 1
- 7. 7) Tính tíchphân 𝐷 𝑒 𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 là miền phẳng, giới hạn bởi các đường 𝑥 = 0, 𝑦 = 1, 𝑥 = 𝑦2 1 𝑥 𝑦 𝑂 1 Miền 𝐷 xác định bởi 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦2 Ta thấy 𝐷 𝑒 𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0 1 𝑑𝑦 0 𝑦2 𝑒 𝑥 𝑦𝑑𝑥 0 𝑦2 𝑒 𝑥 𝑦𝑑𝑥 = 𝑦 0 𝑦2 𝑒 𝑥 𝑦𝑑 𝑥 𝑦 = 𝑦 𝑒 𝑥 𝑦 𝑦2 0 = 𝑦 𝑒𝑦 − 1 ⇒ 0 1 𝑑𝑦 0 𝑦2 𝑒 𝑥 𝑦𝑑𝑥 = 0 1 𝑦 𝑒𝑦 − 1 𝑑𝑦 = 0 1 𝑦𝑒𝑦 𝑑𝑦 − 0 1 𝑦𝑑𝑦 = 0 1 𝑦𝑑(𝑒𝑦 ) − 𝑦2 2 1 0 = 𝑦𝑒𝑦 1 0 − 0 1 𝑒𝑦 𝑑𝑦 − 1 2 = 𝑒 − 𝑒 − 1 − 1 2 = 1 2
- 8. 8) Tính tíchphân 𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑥2 + 𝑦2 + 1 với 𝐷 là miền phẳng, giới hạn bởi các đường 𝑦 = 0, 𝑦 = 1 − 𝑥2 𝑦 = 1 − 𝑥2 ⇔ 𝑦 ≥ 0 𝑦2 = 1 − 𝑥2 ⇔ 𝑦 ≥ 0 𝑥2 + 𝑦2 = 1 Suy ra 𝐷 là miền trong hình vẽ 𝑂 𝑥 𝑦 Đổi sang tọa độ cực 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 ⇒ 𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑥2 + 𝑦2 + 1 = 𝐷′ 𝑟 𝑟2 + 1 𝑑𝑟𝑑𝜑 Miền 𝐷’ xác định bởi 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋 0 ≤ 𝑟 ≤ 1 nên: 𝐷′ 𝑟 𝑟2 + 1 𝑑𝑟𝑑𝜑 = 0 𝜋 𝑑𝜑 0 1 𝑟 𝑟2 + 1 𝑑𝑟 Mà 0 1 𝑟 𝑟2 + 1 𝑑𝑟 = 1 2 0 1 𝑑 𝑟2 + 1 𝑟2 + 1 = ln 𝑟2 + 1 1 0 = 𝑙𝑛2 ⇒ 0 𝜋 𝑑𝜑 0 1 𝑟 𝑟2 + 1 𝑑𝑟 = 0 𝜋 𝑙𝑛2𝑑𝜑 = 𝜋𝑙𝑛2
- 9. 9) Tính tíchphân với 𝐷 là miền phẳng nằm giữa 2 đường tròn 𝑥2 + 𝑦2 = 𝜋2 4 và 𝑥2 + 𝑦2 = 𝜋2 𝐷 𝑠𝑖𝑛 𝑥2 + 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 Đổi sang tọa độ cực 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 Các đường tròn có phương trình 𝑟 = 𝜋 2 và 𝑟 = 𝜋 𝐷 𝑠𝑖𝑛 𝑥2 + 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐷′ 𝑠𝑖𝑛𝑟 𝑟 . 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑 = 𝐷′ 𝑠𝑖𝑛𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑 Miền 𝐷’ xác định bởi 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 𝜋 2 ≤ 𝑟 ≤ 𝜋 nên 𝐷′ 𝑠𝑖𝑛𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑 = 0 2𝜋 𝑑𝜑 𝜋 2 𝜋 𝑠𝑖𝑛𝑟𝑑𝑟 Mà 𝜋 2 𝜋 𝑠𝑖𝑛𝑟𝑑𝑟 = −𝑐𝑜𝑠𝑟 𝜋 𝜋 2 = 1 nên 0 2𝜋 𝑑𝜑 𝜋 2 𝜋 𝑠𝑖𝑛𝑟𝑑𝑟 = 0 2𝜋 𝑑𝜑 = 2𝜋 𝑂 𝑦 𝑥
- 10. 10) Tính diệntích phần mặt phẳng bởi các đường 𝑥 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 1 và 𝑦 = 𝑥2 , 𝑥 ≥ 0 1 1 𝐴 𝑂 Hoành độ của 𝐴 là nghiệm > 0 của phương trình 𝑥2 = 1 − 𝑥 Theo công thức 𝑆 = 𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦 ⇒ 𝑥𝐴 = 5 − 1 2 Mà 𝐷 xác định bởi 0 ≤ 𝑥 ≤ 5−1 2 𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ 1 − 𝑥 ⇒ 𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0 5−1 2 𝑑𝑥 𝑥2 1−𝑥 𝑑𝑦 = 0 5−1 2 1 − 𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥 − 𝑥2 2 − 𝑥3 3 5 − 1 2 0 = 5 − 1 2 − 1 2 5 − 1 2 2 − 1 3 5 − 1 2 3 𝑥 𝑦
- 11. 11) Tính thểtích phần không gian giới hạn bởi mặt phẳng 𝑧 = 0 và mặt 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑂 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑂 1 𝑉 = 𝐷 1 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 Đây là hình trụ cong mà phía dưới là 𝐷 là hình tròn 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 𝐷 Đổi sang tọa độ cực 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑉 = 𝐷 1 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐷′ 1 − 𝑟2 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑 Miền 𝐷’ xác định bởi 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 0 ≤ 𝑟 ≤ 1 nên 𝐷′ 1 − 𝑟2 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑 = 0 2𝜋 𝑑𝜑 0 1 1 − 𝑟2 𝑟𝑑𝑟 Mà 0 1 1 − 𝑟2 𝑟𝑑𝑟 = 𝑟2 2 − 𝑟4 4 1 0 = 1 4 ⇒ 𝑉 = 0 2𝜋 𝑑𝜑 0 1 1 − 𝑟2 𝑟𝑑𝑟 = 0 2𝜋 1 4 𝑑𝜑 = 𝜋 2 (Đ𝑉𝑇𝑇)
- 12. 12) Tính thểtích phần không gian giới hạn bởi: mặt paraboloid tròn xoay 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, 𝑂 𝑦 𝑥 mặt phẳng 𝑥 + 𝑦 = 1, trong phần 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≥ 0 𝑧 𝑂 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 Phần không gian nói trên giới hạn phía dưới bởi 𝑂𝐴𝐵, phía trên là mặt cong 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, các đường sinh//𝑂𝑧 Theo công thức, ta có: 𝑉 = 𝐷 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 Miền 𝐷 xác định bởi: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 − 𝑥 Cho nên 𝑉 = 𝐷 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0 1 𝑑𝑥 0 1−𝑥 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑦 𝑥 𝑦
- 13. 0 1−𝑥 𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑦 = 𝑥2 1 − 𝑥 + 𝑦3 3 1 − 𝑥 0 = 𝑥2 1 − 𝑥 + 1 − 𝑥 3 3 = 3𝑥2 − 3𝑥3 + 1 − 3𝑥 + 3𝑥2 − 𝑥3 3 = 1 3 − 𝑥 + 2𝑥2 − 4 3 𝑥3 Suy ra: 0 1 𝑑𝑥 0 1−𝑥 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑦 = 0 1 1 3 − 𝑥 + 2𝑥2 − 4 3 𝑥3 𝑑𝑥 = 𝑥 3 − 𝑥2 2 + 2𝑥3 3 − 𝑥3 3 1 0 = 1 6 (Đ𝑉𝑇𝑇)
- 14. 13) Tính diệntích phần mặt cầu 𝑥2 + 𝑦2+ 𝑧2 = 𝑅2 trong phần 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0 𝑧 = 𝑅2 − 𝑥2 − 𝑦2 ⇒ 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = − 𝑥 𝑅2 − 𝑥2 − 𝑦2 , 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = − 𝑦 𝑅2 − 𝑥2 − 𝑦2 ⇒ 1 + 𝜕𝑧 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑧 𝜕𝑦 2 = 𝑅 𝑅2 − 𝑥2 − 𝑦2 Áp dụng công thức 𝑆 = 𝐷 1 + 𝜕𝑧 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑧 𝜕𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑅 𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑅2 − 𝑥2 − 𝑦2 𝐷 𝐷 Miền 𝐷′ xác định bởi 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋 2 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅 ⇒ Đổi sang tọa độ cực 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 ⇒ 𝑅 𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑅2 − 𝑥2 − 𝑦2 = 𝑅 𝐷′ 𝑟 𝑅2 − 𝑟2 𝑑𝑟𝑑𝜑 𝑅 𝐷′ 𝑟 𝑅2 − 𝑟2 𝑑𝑟𝑑𝜑 = 𝑅 0 𝜋/2 𝑑𝜑 𝑜 𝑅 𝑟 𝑅2 − 𝑟2 𝑑𝑟 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧 𝑂 𝑂
- 15. Mà 𝑜 𝑅 𝑟 𝑅2 − 𝑟2 𝑑𝑟= − 1 2 0 𝑅 𝑑 𝑅2 − 𝑟2 𝑅2 − 𝑟2 = − 𝑅2 − 𝑟2 𝑅 0 = 𝑅 Suy ra 𝑆 = 𝑅 0 𝜋/2 𝑑𝜑 𝑜 𝑅 𝑟 𝑅2 − 𝑟2 𝑑𝑟 = 𝑅 0 𝜋/2 𝑅𝑑𝜑 = 𝑅2 𝜋 2 Ghi chú: Diện tích mặt cầu 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑅2 bằng 8𝑆 = 4𝑅2 𝜋 Bán kính trái đất là 𝑅 = 6371 𝑘𝑚. Cho nên diện tích trái đất là 4x63712 x𝜋 ≈ 5.100.064.471,9 𝑘𝑚2 (ĐVDT) (ĐVDT)
- 16. 1) Tính Ω 𝑥2 +𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Trong đó Ω là miền 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1 𝑂 𝑥 𝑦 𝑧 Ω 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 0 1 𝑑𝑥 0 1 𝑑𝑦 0 1 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑧 0 1 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 Ta có ⇒ 0 1 𝑑𝑦 0 1 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑧 = 0 1 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑦 = 𝑥2 + 1 3 ⇒ 0 1 𝑑𝑥 0 1 𝑑𝑦 0 1 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑧 = 0 1 𝑥2 + 1 3 𝑑𝑥 = 𝑥3 3 + 𝑥 3 1 0 = 2 3 LUYỆN TẬP BÀI TẬP TÍCH PHÂN BỘI 3
- 17. 2) Tính Trongđó Ω giới hạn bởi 𝑥2 + 𝑦2 = 1, 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 , 𝑧 = 0 Ω 𝑥2𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Đổi sang tọa độ trụ 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑧 = 𝑧 ⇒ Ω 𝑥2 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = Ω′ 𝑟5 𝑐𝑜𝑠2 𝜑𝑠𝑖𝑛2 𝜑𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧 Miền Ω′ xác định bởi 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 0 ≤ 𝑟 ≤ 1 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑟2 ⇒ Suy ra Ω′ 𝑟5 𝑐𝑜𝑠2 𝜑𝑠𝑖𝑛2 𝜑𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧 = 0 2𝜋 𝑑𝜑 0 1 𝑑𝑟 0 𝑟2 𝑟5 𝑐𝑜𝑠2 𝜑𝑠𝑖𝑛2 𝜑𝑑𝑧 Ta có: 0 𝑟2 𝑟5 𝑐𝑜𝑠2 𝜑𝑠𝑖𝑛2 𝜑𝑑𝑧 = 𝑟7 𝑐𝑜𝑠2 𝜑𝑠𝑖𝑛2 𝜑 ⇒ 0 1 𝑑𝑟 0 𝑟2 𝑟5𝑐𝑜𝑠2𝜑𝑠𝑖𝑛2𝜑𝑑𝑧 = 0 1 𝑟7𝑐𝑜𝑠2𝜑𝑠𝑖𝑛2𝜑𝑑𝑟 = 1 8 𝑐𝑜𝑠2𝜑𝑠𝑖𝑛2𝜑 𝑥 𝑦 𝑧 𝑂
- 18. ⇒ 0 2𝜋 𝑑𝜑 0 1 𝑑𝑟 0 𝑟2 𝑟5 𝑐𝑜𝑠2 𝜑𝑠𝑖𝑛2 𝜑𝑑𝑧 = 0 2𝜋 1 8 𝑐𝑜𝑠2 𝜑𝑠𝑖𝑛2 𝜑𝑑𝜑 = 1 32 0 2𝜋 𝑠𝑖𝑛22𝜑𝑑𝜑 = 1 64 0 2𝜋 1− 𝑐𝑜𝑠4𝜑 𝑑𝜑 = 2𝜋 64 − 1 64 0 2𝜋 𝑐𝑜𝑠4𝜑𝑑𝜑 = 𝜋 32 − 1 256 0 2𝜋 𝑐𝑜𝑠4𝜑𝑑(4𝜑) = 𝜋 32
- 19. 3) Tính Trongđó Ω giới hạn bởi 𝑥2 + 𝑦2 = 1, 𝑥2 + 𝑦2 = 4, 𝑧 = 1, 𝑧 = 2 Ω 𝑧 𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Đổi sang tọa độ trụ 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑧 = 𝑧 ⇒ Ω 𝑧 𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = Ω′ 𝑧𝑟2𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧 Miền Ω′ xác định bởi 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 1 ≤ 𝑟 ≤ 2 1 ≤ 𝑧 ≤ 2 nên Ω′ 𝑧𝑟2 𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧 = 0 2𝜋 𝑑𝜑 1 2 𝑑𝑟 1 2 𝑧𝑟2 𝑑𝑧 Ta có: 1 2 𝑧𝑟2 𝑑𝑧 = 𝑧2 𝑟2 2 2 1 = 3 2 𝑟2 𝑂 𝑂 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧 1 2
- 20. ⇒ 0 2𝜋 𝑑𝜑 1 2 𝑑𝑟 1 2 𝑧𝑟2 𝑑𝑧 = 0 2𝜋 7 2 𝑑𝜑 =7𝜋 ⇒ 1 2 𝑑𝑟 1 2 𝑧𝑟2 𝑑𝑧 = 1 2 3 2 𝑟2 𝑑𝑟 = 7 2
- 21. 4) Tính Trongđó Ω nằm giữa 2 mặt cầu 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 và 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 Ω 𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Đổi sang tọa độ cầu 𝑥 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑦 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 ⇒ Ω 𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = Ω′ 𝜌2𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝜌2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜌𝑑𝜑𝑑𝜃 = Ω′ 𝜌4 𝑐𝑜𝑠2 𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜌𝑑𝜑𝑑𝜃 Miền Ω’ xác định bởi 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 1 ≤ 𝜌 ≤ 2 ⇒ Ω′ 𝜌4 𝑐𝑜𝑠2 𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜌𝑑𝜑𝑑𝜃 = 0 2𝜋 𝑑𝜑 0 𝜋 𝑑𝜃 1 2 𝜌4 𝑐𝑜𝑠2 𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜌 Ta có 1 2 𝜌4 𝑐𝑜𝑠2 𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜌 = 31 5 𝑐𝑜𝑠2 𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 ⇒ 0 𝜋 𝑑𝜃 1 2 𝜌4 𝑐𝑜𝑠2 𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜌 = 0 𝜋 31 5 𝑐𝑜𝑠2 𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 = − 31 5 0 𝜋 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑(𝑐𝑜𝑠𝜃) = − 31 15 𝑐𝑜𝑠3 𝜃 𝜋 0 = 62 15 ⇒ 0 2𝜋 𝑑𝜑 0 𝜋 𝑑𝜃 1 2 𝜌4 𝑐𝑜𝑠2 𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜌 = 124 15
- 22. 5) Đổi sangtọa độ trụ rồi tính tích phân sau 0 2 𝑑𝑥 0 2𝑥−𝑥2 𝑑𝑦 0 1 𝑧 𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑧 0 2 𝑑𝑥 0 2𝑥−𝑥2 𝑑𝑦 0 1 𝑧 𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑧 = Ω 𝑧 𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑣ớ𝑖 Ω xác định bởi 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 0 ≤ 𝑦 ≤ 2𝑥 − 𝑥2 0 ≤ 𝑧 ≤ 1 Ta thấy 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2, 𝑦 ≥ 0 ⇔ 𝑥 − 1 2 + 𝑦2 = 1, 𝑦 ≥ 0 𝑂 𝑥 𝑦 2 Suy ra hình chiếu của Ω xuống 𝑂𝑥𝑦 là nửa hình tròn như hình vẽ Đổi sang tọa độ trụ 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑧 = 𝑧 đường tròn có phương trình 𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑦 𝑥 𝑧 Ω 𝑧 𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = Ω′ 𝑧𝑟2 𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧 2
- 23. Ta có 0 1 𝑧𝑟2 𝑑𝑧 = 𝑟2 2 ⇒ 0 2𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝑟 0 1 𝑧𝑟2 𝑑𝑧= 𝑜 2𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑟2 2 𝑑𝑟 = 𝑟3 6 2𝑐𝑜𝑠𝜑 0 = 4 3 𝑐𝑜𝑠3𝜑 ⇒ 0 𝜋/2 𝑑𝜑 0 2𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝑟 0 1 𝑧𝑟2 𝑑𝑧 = 0 𝜋/2 4 3 𝑐𝑜𝑠3 𝜑𝑑𝜑 = 4 3 0 𝜋/2 1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜑 𝑑 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝑠𝑖𝑛𝜑 − 𝑠𝑖𝑛3 𝜑 3 𝜋/2 0 = 2 3 Miền Ω’ xác định bởi 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋/2 0 ≤ 𝑟 ≤ 2𝑐𝑜𝑠𝜑 0 ≤ 𝑧 ≤ 1 nên Ω′ 𝑧𝑟2 𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧 = 0 𝜋/2 𝑑𝜑 0 2𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝑟 0 1 𝑧𝑟2 𝑑𝑧
- 24. 6. Tính Ω 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Ωgiới hạn bởi mặt phẳng 𝑧 = 0, mặt trụ tròn xoay 𝑥2 + 𝑦2 = 1, mặt paraboloid 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 Đổi sang tọa độ trụ 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑧 = 𝑧 ta được: Ω 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = Ω′ 𝑟3𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧 Miền Ω′ xác định bởi 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 0 ≤ 𝑟 ≤ 1 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑟2 nên: Ω′ 𝑟3𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧 = 0 2𝜋 𝑑𝜑 0 1 𝑑𝑟 0 𝑟2 𝑟3𝑑𝑧 = 𝜋 3 𝑂 𝑥 𝑦 𝑧
- 25. 7. Tính Ω 𝑥2 +𝑦2 + 𝑧2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Ω là phần phía trên của nửa mặt nón 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 và phía trong của mặt cầu 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 Đổi sang tọa độ cầu 𝑥 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑦 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 ⇒ Ω 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = Ω′ 𝜌4𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜌𝑑𝜑𝑑𝜃 Miền Ω’ xác định bởi 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋/4 0 ≤ 𝜌 ≤ 2 ⇒ Ω′ 𝜌4 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜌𝑑𝜑𝑑𝜃 = 0 2𝜋 𝑑𝜑 0 𝜋/4 𝑑𝜃 0 2 𝜌4 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜌 = 64𝜋 5 1 − 2 2 𝑂 𝑥 𝑦 𝑧 𝑂 𝑥 𝑦
- 26. 8. Tính thểtích phần không gian giới hạn bởi mặt phẳng 𝑧 = 0 và mặt paraboloid tròn xoay 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2 a) Bằng tích phân kép b) Bằng tích phân bội 3 a) Gọi 𝐷 là hình chiếu của miền Ω xuống mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦 ⇒ 𝐷 giới hạn bởi đường tròn 𝑥2 + 𝑦2 = 1 𝑉 = 𝐷 1 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 Đổi sang tọa độ cực 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 ⇒ 𝑉 = 𝐷′ 1 − 𝑟2 𝑟𝑑𝑟 = 0 2𝜋 𝑑𝜑 0 1 1 − 𝑟2 𝑟𝑑𝑟 = 𝜋 2 (Đ𝑉𝑇𝑇) Đổi sang tọa độ trụ 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑧 = 𝑧 𝑏) 𝑉 = Ω 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ⇒ 𝑉 = Ω′ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧 = 0 2𝜋 𝑑𝜑 0 1 𝑑𝑟 0 1−𝑟2 𝑟𝑑𝑧 = 𝜋 2 (Đ𝑉𝑇𝑇) 𝑂 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑂 𝑧