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内藤ゼミ ゲーム理論 レジュメ
- 1. 2016 年 5 月 27 日 専門演習Ⅰ 山嵜 涼雅 決定分析とゲーム理論(様々な意思決定基準) ・初めに 人や組織はなるべく多くの利得を、なるべく小さな費用で得ようとする。その ためには何が自分にとって最適な行動であるかを考える必要があり、それを考 える際に何を基準にするのかという問題が発生する。今回は、確実性、リスク、 不確実性の下での様々な意思決定基準を紹介する。 (１)確実性の下での意思決定基準 投資の利得表(Ⅰ) 状態 行動 A B C D 銀行預金(ｄ) 社債(ｂ) 株式(ｓ) 商品取引(ｃ) ２ ３ ４ ８ ３ ５ ４ ２ ８ ５ ２ ０ １０ ３ １ １
- 2. まず、前ページの表(Ⅰ)に書かれている行動とは、意思決定者の選択のことであ り、状態とは、意思決定者が制御できない外的要因のことである。 また、確実性とは、実現する将来の状態が完全に分かっている状態のことであ る。 ここで、表(Ⅰ)について例えば状態Ａが確実に実現するという確実性の下では、 銀行預金(ｄ)を選べば２、社債(ｂ)なら３、株式(ｓ)なら８、商品取引(ｃ)なら１ ０の利得が得られるので、最大の利得が得られる商品取引(ｃ)を選ぶのが最良の 行動と言えるだろう。 max 𝑎 𝑐(𝑎) ：c(a)は行動 a を選択したときの利得 (２)リスクの下での意思決定基準 投資の利得表(Ⅱ) 状態 確率 行動 A B C D 0.3 0.2 0.4 0.1 銀行預金(ｄ) 社債(ｂ) 株式(ｓ) 商品取引(ｃ) ２ ３ ４ ８ ３ ５ ４ ２ ８ ５ ２ ０ １０ ３ １ １ 前述の通り、確実性とは、実現する将来の状態が完全に分かっている状態のこ
- 3. とであるが、実現する状態は未知であるが、各々の状態が実現する確率が既知 である場合をリスクの下での意思決定と呼ぶ。 このような場合、どの行動が最良の選択と言えるだろうか。 (ア)期待値基準 表(Ⅱ)は表(Ⅰ)に各々の状態が起こる確率を加えたものである。 ここで、期待値基準とは、各行動から得られる期待値と実現する状態との加重 平均による大小で、最良の行動を選択するという基準である。 max 𝑎 ∑ 𝑐(𝑎, 𝑖)𝑝𝑖 𝑛 𝑖=1 ：𝑝𝑖は状態𝑖が実現する確率 例えば、銀行預金(ｄ)を選択した場合、0.3×2＋0.2×3＋0.4×4＋0.1×8＝3.6 となる。同様に計算すると、社債(ｂ)なら 3.7、株式(ｓ)なら 4.2、商品取引(ｃ) なら 4.1 となるので、利得の期待値が最大となる株式(ｓ)を選択するのが最良の 行動だと言える。 (イ)満足度基準 ある一定以上の利得、もしくはある一定以下の費用が実現する確率を満足度と いい、満足度が最大になる行動を選択するというのが満足度基準である。 max 𝑎 P{(行動 𝑎の利得) ≥ 𝑆}、max 𝑎 P{(行動 𝑎の費用) ≤ 𝐿} ：S、L はそれぞれ利得の最低水準、費用の最大水準 表Ⅱで、例えば、利得の水準を４とする。このとき、銀行預金(ｄ)を選択した場 合は、利得が４以上であるのは状態Ｃと状態Ｄであり、そのときの確率は、 0.4＋0.1＝0.5 である。同様に計算すると、社債(ｂ)なら 0.6、株式(ｓ)なら 0.5、 商品取引(ｃ)なら 0.3 となるので、満足度が最大となる社債(ｂ)を選択するのが
- 4. 最良の行動だと言える。 (３)不確実性の下での意思決定基準 確実性、リスクに対して、不確実性とは、状態が実現する確率が未知である場 合のことをいう。 (ア) ラプラス基準 不確実性の下では状態の起こる確率が未知であることから、ラプラス基準は、 すべての状態が等しい確率で起こると考え、利得の期待値が最大となる行動を 選択するというものである。 max 𝑎 1 𝑛 ∑ 𝑐(𝑎, 𝑖) 𝑛 𝑖=1 表(Ⅰ)について、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄが等しい確率で起こるということは、すべての 状態は 0.25(1÷4)の確率で起こるということだ。 ここで、例えば、銀行預金(ｄ)を選択した場合、0.25×(2＋3＋4＋8)＝4.25 とな る。同様に計算すると、社債(ｂ)なら 3.5、株式(ｓ)なら 3.75、商品取引(ｃ)なら 3.75 となるので利得の期待値が最大となる銀行預金(ｄ)を選択するのが最良の 行動だと言える。 (イ)ミニ・マックス(マックス・ミニ)基準 ミニ・マックス基準とは、結果が費用で表現されている場合は、最悪の場合が 起こったとき(起こりうる最大損失)を想定し、その中で最小のものを選択すると いう基準である。・・・① また、結果が利得表で表現されている場合は、最悪の場合が起こったとき(起こ りうる最小利得) を想定し、その中で最大のものを選択するという基準である (この場合はマックス・ミニ基準という)。・・・②
- 5. min 𝑎 max 𝑖 𝑐(𝑎, 𝑖) max 𝑎 min 𝑖 𝑐(𝑎, 𝑖) ：上の式が費用、下の式が利得 ここで、表(Ⅰ)を見てみると、この表は利得を表しているので②の場合を考える。 銀行預金(ｄ)を選択した場合は、最悪でも２の利得を得られる(Ａが起こったと き)。同様に考えると、社債(ｂ)なら２、株式(ｓ)なら０、商品取引(ｃ)なら１の 利得を得ることができる。その中で利得が最大のものは、銀行預金(ｄ)と社債(ｂ) を選択したときなので、銀行預金(ｄ)と社債(ｂ)のどちらかを選択するのが最良 の行動だと言える。 ミニ・マックス基準(マックス・ミニ基準)は最悪の場合が起こることを前提とし ているため、保守的(悲観的)な基準だといえる。 (ウ)マックス・マックス(ミニ・ミニ)基準 ミニ・ミニ基準とは、結果が費用で表現されている場合は、最良の場合が起こ ったとき(起こりうる最小損失)を想定し、その中で最小のものを選択するという 基準である。・・・① また、結果が利得表で表現されている場合は、最良の場合が起こったとき(起こ りうる最大利得) を想定し、その中で最大のものを選択するという基準である (この場合はマックス・マックス基準という)。・・・② min 𝑎 min 𝑖 𝑐(𝑎, 𝑖) max 𝑎 max 𝑖 𝑐(𝑎, 𝑖) ：上の式が費用、下の式が利得 ここで、表(Ⅰ)を見てみると、この表は利得を表しているので②の場合を考える。 銀行預金(ｄ)を選択した場合は、最良で８の利得を得られる(Ｄが起こったとき)。 同様に考えると、社債(ｂ)なら５、株式(ｓ)なら８、商品取引(ｃ)なら１０の利 得を得ることができる。その中で利得が最大のものは、商品取引(ｃ)を選択した ときなので、商品取引(ｃ)を選択するのが最良の行動だと言える。
- 6. ミニ・ミニ基準(マックス・マックス基準)は最良の場合が起こることを前提とし ているため、楽観的な基準だといえる。 (エ)ハーウィツ基準 ハーウィツ基準とは、悲観的なミニ・マックス基準で決めた各々の場合の最小 利得(最大損失)と楽観的なミニ・ミニ基準で決めた各々の場合の最大利得(最小 損失)に相対的な重みを加えて、その和が最大のものを選択するという基準であ る(つまり、悲観的なミニ・マックス基準と楽観的なミニ・ミニ基準との折衷案)。 ここで、相対的な重みは意思決定者が定めなければならない。 min 𝑎 {𝛼 max 𝑖 𝑐(𝑎, 𝑖) + (1 − α) min 𝑖 𝑐 (𝑎, 𝑖)} max 𝑎 {𝛼 min 𝑖 𝑐(𝑎, 𝑖) + (1 − α) max 𝑖 𝑐 (𝑎, 𝑖)} (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) ：上の式が費用、下の式が利得 ここで、表(Ⅰ)を見てみると、この表は利得を表しているので下の式で考える。 表(Ⅰ)で、例えばα=0.7 とすると、銀行預金(ｄ)を選択した場合は、 2×0.7＋8×0.3=3.8 の利得を得られる。同様に考えると、社債(ｂ)なら 2.9、株 式(ｓ)なら 2.4、商品取引(ｃ)なら 3.7 の利得を得ることができる。その中で利得 の和が最大のものは、銀行預金(ｄ)を選択したときなので、銀行預金(ｄ)を選択 するのが最良の行動だと言える。 (オ)サーベジュのミニ・マックス落胆基準 各状態の最良の利得(費用)と実際の利得(費用)との差を落胆とする。この落胆に 対し、ミニ・マックス基準を適用し、行動を選択するのがサーベジュのミニ・ マックス落胆基準である。 𝑅(𝑎, 𝑖)= 𝑐(𝑎, 𝑖) − min 𝑎 min 𝑖 𝑐(𝑎, 𝑖)・・・①
- 7. 𝑅(𝑎, 𝑖)={max 𝑎 c(𝑎, 𝑖)} − c(𝑎, 𝑖)・・・② ：上の式が費用、下の式が利得 min 𝑎 max 𝑖 𝑅(𝑎, 𝑖)・・・③ ：①(②)を使い、その後③を適用する ここで、表(Ⅰ)を見てみると、この表は利得を表しているので下の式で考える。 表(Ⅰ)で、例えばＡという状態が起きたとする。この場合、最良で 10 の利得を 得ることができるが(商品取引(ｃ)を選択したとき)、実際は銀行預金(ｄ)を選択 したとするとその差である 8(10－２)損したことになる。これが落胆である。ど うように考えると、社債(ｂ)なら 7、株式(ｓ)なら 2、商品取引(ｃ)なら 0 の落胆 が生じる。この考え方をＢ、Ｃ、Ｄの場面にも適用すると、下の表になる。 表(Ⅲ) 状態 行動 A B C D 銀行預金(ｄ) 社債(ｂ) 株式(ｓ) 商品取引(ｃ) ８ ２ ０ ０ ７ ０ ０ ６ ２ ０ ２ ８ ０ ２ ３ ７ 後は表(Ⅲ)を(３)イのミニ・マックス基準に適用させるだけだ。 銀行預金(ｄ)なら８社債(ｂ)なら７、株式(ｓ)なら８、商品取引(ｃ)なら７の落胆 を得ることができるので。その中で落胆が最小のものは、社債(ｂ)と商品取引(ｃ)