ゼミ　作成レジュメ

1. 平均-分散ポートフォリオ理論
2016 年 12 月 16 日
山嵜 涼雅
１ ポートフォリオの収益率の平均と分散
ポートフォリオとは、個人や企業が所有する金融資産の組み合わせのことである。
例えば、Ａさんは１００万円を運用しようと考えている。日本債券に３０万円、
外国株式に７０万円投資することもできるし、日本株式に２０万円、
外国債券に５０万円、外国株式に３０万円投資することもできる。
このような幾通りも考えられる組み合わせをポートフォリオという。
ここで、𝑛個の資産のポートフォリオの収益率の平均と分散を考える。
𝑛個の資産の個々の収益率を、𝑟1, 𝑟2,…, 𝑟𝑛 とし、それらの期待値を
E( 𝑟1) = 𝑟1̅, E( 𝑟2) = 𝑟2̅,…, E( 𝑟𝑛 ) = 𝑟𝑛̅とする。また、それぞれの資産に、
𝑤1, 𝑤2,…, 𝑤𝑛 というウェイトをつける(𝑤1 + 𝑤2 +…+ 𝑤𝑛 = 1)。
収益率＝
受取金額－投資金額
投資金額
で定義される。
ポートフォリオの収益率を𝑟とすると、
𝑟 = 𝑤1 𝑟1 + 𝑤2 𝑟2 +…+ 𝑤𝑛 𝑟𝑛である。
よって、ポートフォリオの収益率の平均E( 𝑟)は、
E( 𝑟) = 𝑤1E( 𝑟1)+𝑤2E( 𝑟2) + ⋯ + 𝑤𝑛 E( 𝑟𝑛 )となる。
また、𝑛個の資産の個々の収益率の分散を、𝜎1, 𝜎2,…, 𝜎𝑛 、ポートフォリオの収益率の分散を
σとすると、
σ = E[( 𝑟 − 𝑟̅)2] (分散の定義)なので、
= E[(∑ 𝑤𝑖 𝑟𝑖
𝑛
𝑖=1
− ∑ 𝑤𝑖 𝑟𝑖̅
𝑛
𝑖=1
)
2
]

2. = E[(∑ 𝑤𝑖 𝑟𝑖
𝑛
𝑖=1
− ∑ 𝑤𝑖 𝑟𝑖̅
𝑛
𝑖=1
)(∑ 𝑤𝑗 𝑟𝑗
𝑛
𝑗=1
− ∑ 𝑤𝑗 𝑟𝑗̅
𝑛
𝑗=1
)]
= ∑ 𝑤𝑖
𝑛
𝑖,𝑗=1
𝑤𝑗 𝜎𝑖𝑗
となる。
ここで、𝜎𝑖𝑗は、𝑖 ≠ 𝑗のとき、𝑟𝑖と𝑟𝑗の共分散を表し、𝑖 = 𝑗のとき、𝑟𝑖(𝑟𝑗)の分散を表す。
２ 分散化
ポートフォリオを考えるとき、そのポートフォリオの分散はできるだけ小さいほうが
望ましい。というのも、分散が大きければ大きいほどポートフォリオの収益率の
ばらつきは、大きくなる。収益率のばらつきが大きくなると、期待収益率の予想が
困難になる。。
多くの資産からなるポートフォリオの方が、少数の資産からなるポートフォリオよりも
分散を小さくすることができる。例えば、一方の資産が下落していたとしても、
一方の資産が上昇していれば、互いに相殺される結果リターンの数字が安定するからだ。
これをポートフォリオ効果という。
では、実際に数式を用いて、多くの資産からなる、つまり、分散化した
ポートフォリオの方が、少数の資産からなるポートフォリオよりも
分散を小さくすることができる理由を説明する。
まずは、多数の資産の収益率が互いに相関がない場合について考える。
すべての資産の収益率の平均は同じ(𝑚とする)で、分散は𝜎2
とする。
また、個々の資産のウェイトも同じであるとする。
このとき、𝑛個の資産のポートフォリオの収益率は、
𝑟 =
1
𝑛
∑ 𝑟𝑖
𝑛
𝑖=1
となりE( 𝑟) = 𝑚である。
また、 𝑟の分散を V( 𝑟)とすると、
V( 𝑟) =
𝜎2
𝑛
となる。

3. 次に、多数の資産の収益率が相関がある場合について考える。
ここでも、すべての資産の収益率の平均は同じ(𝑚とする)で、分散は𝜎2
とする。
また、個々の資産のウェイトも同じであるとする。
𝑖 ≠ 𝑗の場合は𝜎𝑖𝑗 = 0.3𝜎2
とすると、𝑛個の資産のポートフォリオの収益率の分散を
V( 𝑟)とすると、V( 𝑟)は、
E[(∑
1
𝑛
( 𝑟𝑖 − 𝑟̅)
𝑛
𝑖=1
)
2
]
となる。計算過程で、𝜎𝑖𝑗が出てくるが、
𝑖 = 𝑗の場合は𝜎𝑖𝑗 = 𝜎2
、𝑖 ≠ 𝑗の場合は𝜎𝑖𝑗 = 0.3𝜎2
に注意すると、
最終的に、
V( 𝑟) =
0.7𝜎2
𝑛
+ 0.3𝜎2
を得る。
(一部、練習問題にもなっているので、計算過程は省略する。)
今回の分析では、すべての資産の収益率の平均は同じ(𝑚)と仮定した。
一般的には、分散を小さくしようとすれば、ポートフォリオの期待収益率も
小さくなってしまう。ゆえにポートフォリオの期待収益率を下げてまで、
分散を小さくしようという人はまずいないので、現実とは少し離れている。
ただ、今回の分析で分かったこととして、
まず、多数の資産の収益率が互いに相関がない場合について、
V( 𝑟) =
𝜎2
𝑛
という結果を得た。これは、𝑛を大きくすればするほど分散が小さくなり、
0に限りなく近づくことを示している。
lim
n→∞
𝜎2
𝑛
= 0
また、多数の資産の収益率が相関がある場合について、
V( 𝑟) =
0.7𝜎2
𝑛
+ 0.3𝜎2
という結果を得た。これは、𝑛を大きくすればするほど分散は小さくなるが、
今回の例では、0.3𝜎2
に限りなく近づくことを示している。(下限が0.3𝜎2
)
lim
n→∞
0.7𝜎2
𝑛
+ 0.3𝜎2
= 0.3𝜎2

4. つまり、多数の資産の収益率が互いに相関がない場合については、
分散化によって、ポートフォリオの収益率の分散をどんどん小さくすることができ、
多数の資産の収益率が相関がある場合については、
ポートフォリオの収益率の分散を、ある下限より小さくすることはできない。
３ ポートフォリオのダイヤグラム
平均-標準偏差ダイヤグラム(横軸に標準偏差、縦軸に平均収益率を取った二次元の図)上
で二つの資産が表現されているとする。
𝑤1 = 1 − 𝛼、 𝑤2 = 𝛼 (0 ≤ 𝛼 ≤ 1 とする)と置くと、二つの資産で組み合わせたものに
よって決まる平均-標準偏差ダイヤグラム上の曲線は、前のホワイトボードの三角形の
内部に存在する(証明省略)。