ระบบพิกัดเชิงขั้ว

1. ระบบพิกัดเชิงขั้ว
ในทางคณิตศาสตร ระบบพิกัดเชิงขั้ว (อังกฤษ: polar coordinate system) คือระบบคาพิกัดสองมิติใน
แตละจุดบนระนาบถูกกําหนดโดยระยะทางจากจุดตรึงและมุมจากทิศทางตรึง
จุดตรึง (เหมือนจุดกําเนิดของระบบพิกัดคารทีเซียน) เรียกวาขั้ว, และลากรังสีจากขั้วเขากับทิศทางตรึงคือ
แกนเชิงขั้ว ระยะทางจากขั้วเรียกวาพิกัดรัศมีหรือรัศมี และมุมคือพิกัดมุม, มุมเชิงขั้ว, หรือมุมทิศ
ประวัติ
มีการนําแนวคิดเรื่องมุมและรัศมีมาใชตั้งแตสมัยโบราณในหนึ่งสหัสวรรษกอนคริสตศักราช นักดารา
ศาสตรชาวกรีกที่ชื่อฮิปปารคัส (190-120 BCE) สรางตารางฟงกชันคอรดที่ใหความยาวของคอรดสําหรับแต
ละมุม และมีการอางอิงวาเขาใชระบบพิกัดเชิงขั้วในการพิสูจนตําแหนงของดวงดาวใน On Spirals (วาดวย
เสนเกลียว) อารคิมิดีสบรรยายถึงวงกนหอยอารคิมิดีสวารัศมีของฟงกชันขึ้นกับมุม อยางไรก็ตามสิ่งที่ชาว
กรีกเหลานี้ทําก็ยังไมขยายออกไปถึงระบบพิกัดเชิงขั้วที่สมบูรณ
ในคริสตศตวรรษที่ 9 นักคณิตศาสตรชาวเปอรเซียที่ชื่อ ฮะบัซ อัล-ฮะซับ อัล-มารวะซิ (Habash al-Hasib al-
Marwazi) ใชวิธีตรีโกณมิติเชิงทรงกลมและการฉายแผนที่เพื่อที่จะแปลงผันพิกัดเชิงขั้วไปเปนระบบพิกัดที่
แตกตางโดยมุงความสนใจไปยังจุดจําเพาะบนรูปทรงกลม ในที่นี้คือกิบลัตมีทิศทางสูมักกะหฺ นักภูมิศาสตร
ชาวเปอรเซียที่ชื่อ อะบู รอยฮาน บิรูนี (Abū Rayhān Bīrūnī) (973-1048) พัฒนาแนวคิดซึ่งดูเหมือนจะ
ใกลเคียงกับระบบพิกัดเชิงขั้วราวๆคริสตศตวรรษ 1025 เขาเปนคนแรกที่บรรยายถึงการฉายที่ระยะหาง
เทากันของแอซมัทเทากับขั้วของทรงกลมฟา
มีรายงานที่ตางกันของการเริ่มตนของพิกัดเชิงขั้วตามสวนหนึ่งของรูปนัยระบบพิกัด Origin of Polar
Coordinates (กําเนิดพิกัดเชิงขั้ว) ประวัติของพิกัดนี้ถูกบรรยายโดยจูเลียน โลเวล โคลลิดจ (Julian Lowell
Coolidge) ศาสตราจารยฮารวารด เกรกัวร เดอ แชง-แวงซอง (Grégoire de Saint-Vincent) และ โบนาเวนตูรา
คาวาลิเอริ (Bonaventura Cavalieri) ตางเริ่มนําแนวคิดมาใชในกลางคริสตศตวรรษที่ 7 แชง-แวงซองเขียนถึง
พิกัดเชิงขั้วโดยการสวนตัวในป ค.ศ. 1625 และตีพิมพงานของเขาในป ค.ศ. 1647 ขณะที่คาวาลิเอริตีพิมพใน
ป ค.ศ. 1635 และฉบับที่ถูกตองในป ค.ศ. 1653 คาวาลิเอริเปนบุคคลแรกที่ใชพิกัดเชิงขั้วแกปญหาเกี่ยวกับ
พื้นที่ในวงกนหอยอารคิมิดีส ตอมาแบลส ปาสกาลไดใชพิกัดเชิงขั้วคํานวณหาความยาวของสวนโคงของรูป
พาราโบลา

2. ใน Method of Fluxions (วิธีการไหล) (เขียนขึ้นในป ค.ศ. 1671, ตีพิมพในป ค.ศ. 1736) เซอรไอแซก นิวตัน
พิเคราะหการแปลงระหวางพิกัดเชิงขั้วซึ่งเขาไดอิงตาม "รูปแบบที่ 7 สําหรับวงกนหอย" และพิกัดอื่นๆอีก
เกาพิกัดในวารสาร Acta Eruditorum (1691), เจคอบ เบอรโนลลี (Jacob Bernoulli) ใชระบบรวมกับจุดบน
เสนที่เรียกวา ขั้ว และ แกนเชิงขั้ว ตามลําดับ พิกัดเปนระยะทางจากขั้วและมุมจากแกนเชิงขั้ว งานของเบอร
โนลลีครอบคลุมไปถึงการพบรัศมีความโคงของเสนโคงที่อยูในพิกัดนี้
คําวา พิกัดเชิงขั้ว โดยแทจริงแลวนาจะมาจากเกโกรีโอ ฟอนตานา (Gregorio Fontana) นักคณิตศาสตรชาว
อิตาลีในสมัยคริสตศตวรรษที่ 18 และคํานี้ปรากฏเปนภาษาอังกฤษในงานแปลของ จอรจ พีคอก (George
Peacock) ที่ชื่อ แคลคูลัสเชิงอนุพันธและปริพันธ ของลากรัซ (Lacroix) ในป ค.ศ. 1816[8][9]
อเล็กซิส คลา
เราตเปนคนแรกที่คิดพิกัดเชิงขั้วในรูปแบบสามมิติ และเลออนฮารด ออยเลอรเปนคนแรกที่นํามาใชงานจริง
สัญนิยม
เสนกริดขั้วและแถบบอกมุมในแตละองศา
พิกัดรัศมีมักใช r แสดงแทนและพิกัดมุมใช θ หรือ t แสดงแทน
มุมในเครื่องหมายขั้ว ทั่วไปถูกแสดงอยูในรูปแบบองศาหรือเรเดียน (2π rad เทากับ 360°) องศาถูกใชใน
การเดินเรือ, การสํารวจ, และมีการนําไปประยุกตใชในหลายสาขา ขณะที่เรเดียนโดยทั่วไปอยูใน
คณิตศาสตรและคณิตศาสตรฟสิกส
ในหลายๆบริบท พิกัดมุมบวกหมายความวามุม θ ถูกวัดในทิศทวนเข็มนาฬิกาจากแกนและมีคาพิกัดมุมลบ
เมื่อวัดในทิศตามเข็มนาฬิกา ในเอกสารทางคณิตศาสตร บอยครั้งแกนเชิงขั้วถูกลากในแนวนอนและไปทาง
ทางขวา
ความพิเศษของพิกัดเชิงขั้ว
ทุกตัวเลขของการหมุนครบรอบ (360°) พิกัดมุมจะไมเปลี่ยนทิศทาง และพิกัดรัศมีลบแสดงถึงระยะทางซึ่ง
ไดจากการวัดเหมือนพิกัดรัศมีบวกแตมีทิศทางตรงขาม ดังนั้นในจุดเดียวกันสามารถแสดงดวยตัวเลขไม
สิ้นสุดที่มีพิกัดเชิงขั้วตางกัน (r, θ ± n×360°) หรือ (−r, θ ± (2n + 1) 180°) เมื่อ n คือจํานวนเต็มใดๆยิ่งไป
กวานั้น ขั้วเองสามารถแสดงแทนดวย (0, θ) สําหรับมุม θ ใดๆ

3. เมื่อตองการแสดงแทนจุดใดๆ ปกติใช r เปนจํานวนไมเปนลบ (r ≥ 0) และ θ ในชวง [0, 360°) หรือ
(−180°, 180°] (ในเรเดียน, [0, 2π) หรือ (−π, π]) และตองเลือกแอซิมัทสําหรับขั้ว เชน θ = 0
ความสัมพันธระหวางพิกัดคารทีเซียนกับพิกัดเชิงขั้ว
แผนภาพความสัมพันธระหวางพิกัดเชิงขั้วและพิกัดคารทีเซียน
คาของพิกัดเชิงขั้ว r และ θ สามารถแปลงเปนพิกัดคารทีเซียน x and y โดยใชฟงกชันตรีโกณมิติไซนและ
โคไซน:
ขณะที่คาของพิกัดคารทีเซียน x และ y ก็สามารถแปลงเปนพิกัดเชิงขั้ว r โดย
(ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส) และ
ทุกสูตรเหลานี้สมมุติวาขั้วคือจุดกําเนิดคารทีเซียน (0,0) แกนเชิงขั้วคือแกนคารทีเซียน x และทิศทางของ
แกนคารทีเซียน y มีแอซิมัท +π/2 rad = +90° (แทนที่ −π/2) ฟงกชันอารกไซนคือสวนกลับของฟงกชัน
ไซนซึ่งสมมุติแทนที่ดวยมุมในพิสัย [−π/2,+π/2] = [−90°,+90°]
สูตรสําหรับ θ นอกเหนือจากการแทนที่ดวยมุมในพิสัย [-π/2,+3π/2) = [−90°,+270°)
θ ในชวง [0, 2π) อาจใช
ฟงกชันอารกแทนเปนสวนกลับของฟงกชันแทนเจนตซึ่งสมมุติแทนที่ดวยมุมในพิสัย (−π/2,+π/2) =
(−90°,+90°)
θ ในชวง (−π, π] อาจใช[14]
ในภาษาโปรแกรมสมัยใหมมีฟงกชันที่จะคํานวณหาพิกัดมุม θ เพียงใหคา x และ y โดยไมตองใหอะไร
เพิ่มเติม เชน ฟงกชัน atan2 (y,x) ในภาษาซี และ atan (y,x) ในคอมมอน ลิซป (Common Lisp) ในทั้งสอง
กรณีนั้น ผลที่ไดเปนมุมในเรเดียนในพิสัย (−π, π]

4. ความสัมพันธระหวางพิกัดเชิงขั้วและพิกัดฉาก
เนื่องจากทั้งระบบพิกัดเชิงขั้วและระบบพิกัดฉากเปนระบบที่ใชอางอิงจุดตาง ๆ บนระนาบดวยกันทั้ง
สองระบบ ดังนั้นถากําหนดใหขั้วของระบบพิกัดเชิงขั้วอยูที่จุดกําเนิดของระบบพิกัดฉาก แกนเชิงขั้วของ
ระบบพิกัดเชิงขั้วอยูที่แกน X ดานบวกของระบบพิกัดฉาก และให P เปนจุดใด ๆ ที่มีพิกัดเชิงขั้ว
เปน (r, q) และพิกัดฉากเปน (x,y) แลว จะไดความสัมพันธของพิกัดของทั้งสองระบบ ดังนี้
y (x,y) (r, q)
r y = r sin q
O x = r cos q
x = r cos q , y = r sin q
ความสัมพันธดังกลาวสะดวกที่จะหาคา x และ y เมื่อทราบคา r และ q
ในทางกลับกัน ถาตองการหาคา r และ q เมื่อทราบคา x และ y สามารถใชเอกลักษณ sin2
q+ cos2
q =
1 และ tan q = ปรับเปลี่ยนความสัมพันธขางบนใหมไดเปน
r2
= x2
+ y2
,
tan q = เมื่อ x ¹ 0

5. ตัวอยางที่ 2.1
จงหาพิกัดฉากของจุด ที่มีพิกัดเชิงขั้วเปน (6, )
วิธีทํา จากพิกัดเชิงขั้วของจุด (6, ) จะไดวา r = 6, q =
x = r cos q = 6 cos = 6( ) = -3
y = r sin q = 6 sin = 6( ) =
นั่นคือ พิกัดฉากของจุดที่ตองการ คือ (-3, )
ที่มา:https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B8%
9E%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B1%E0%B8%94%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4
%E0%B8%87%E0%B8%82%E0%B8%B1%E0%B9%89%E0%B8%A7
https://www.youtube.com/watch?v=y5zwVNTupQ8
http://home.npru.ac.th/teerawat/Cal2_Web/unit21.htm