методичские указания для самостоятельного изучения предмета высшая математика

1. Министерство образования и науки ЛНР
ГОУ СПО ЛНР “Краснодонский промышленно-экономический колледж”
РАССМОТРЕНО
на заседании
УТВЕРЖДАЮ
цикловой комиссии Заместитель директора
гуманитарных и
фундаментальных дисциплин
по учебной работе
«__»_________________г. _______________ О. Н. Каранда
Протокол №_____________ «___»________________г.
Председатель ЦК
______________Т. А. Матвеева
МЕТОДИЧСКИЕ УКАЗАНИЯМЕТОДИЧСКИЕ УКАЗАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ ПРЕДМЕТАДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ ПРЕДМЕТА
ВЫСШАЯ МАТЕ МА ТИКАВЫСШАЯ МАТЕ МА ТИКА
Задание
к домашней контрольной работе и вопросы к экзамену
для студентов заочной формы обучения
по специальностям
«Эксплуатация и ремонт горного электромеханического оборудования и
автоматических устройств»
«Экономика предприятия»
Составил преподаватель:
Прилипа А. С.

2. Краснодон
ЗМІСТ
1. Вступ с. 4
2. Теми для самопроробки с. 5
3. Література с. 6
4. Методичнi рекомендації до контрольної роботи с. 7
5. Загальні рекомендації студенту-заочнику по роботі над курсом
вищої математики. с. 23
6. Варіанти контрольних завдань с. 25
7. Завдання до контрольної роботи с. 26
8. Українсько-російський словник термінів з дисципліни „Вища
математика ” c.36
9. Питання до іспиту с. 38
3

3. Вступ
Мета дисципліни - ознайомити студентів з основами математичного апарату,
необхідного для розв’язування теоретичних і практичних задач економіки; виробити
навички математичного дослідження прикладних задач, прищепити студентам
уміння самостійно вивчати навчальну літературу з математики та її прикладних
питань.
Курс “ Вища математика” повинен, перш за все, розвивати, поглиблювати,
розширювати деякі теми i питання, що вивчалися в основному курсі.
Зміст цього курсу i окремих його тем визначається шляхом вивчення потреб
спеціальної підготовки та професійної діяльності молодих спецiалiстiв для даної
групи спеціальностей.
Потреби спеціальної підготовки визначаються перед усім потребами базових
предметів, якi становлять теоретичну основу спеціальної підготовки студентів. Їх
особливістю є фундаментальність явищ i процесів, що розглядаються в них,
кількісний характер закономірностей, якi вивчаються.
Основними завданнями, що мають бути вирішені у процесі викладання
дисципліни, є надання студентам знань з основних розділів вищої математики;
визначень, теорем, правил; доведення основних теорем; та формування початкових
умінь:
- здійснення дій над векторами, матрицями, обчислення визначників;
- розв'язання систем лінійних рівнянь;
- дослідження форм і властивостей прямих та площин, кривих та
поверхонь другого порядку;
- знаходження границі ступенево-показникових функцій;
- дослідження функції за допомогою диференціальних числень;
- здійснювання інтегральних числень.
4

4. Теми для самопроробки.
Тема №1. Лінійна алгебра. Метод координат.
Матриці та дії над ними. Визначники матриць. Ранг матриці. Розвязання
систем n лінійних рівнянь з m невідомими. Вектори і лінійні дії з ними.
Скалярні і векторні величини . Декартова та прямокутна системи координат.
Лінійна залежність векторів. Вектори в системі координат. Скалярний,
мішаний добутки векторів.
Тема №2. Функції та обчислення. Застосування похідної.
Функції область визначення. Елементарні функції. Обернені функції. Границя
функції. Основні теореми про границі. Обчислення границь функцій.
Неперервність функції. Властивості неперервних функцій. Розриви функцій.
Похідна функції. Геометричний та механічний зміст похідної. Правила
диференціювання. Монотонність функції. Локальний екстремум функції.
Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину. Схема дослідження функції
та побудова її графіка.
Тема № 3. Застосування інтегралу. Диференційні рівняння. Елементи
математичної статистики.
Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла. Таблиця основних
інтегралів. Основні методи інтегрування. Інтегрування раціональних
функцій. Визначений інтеграл. Теорема Ньютона-Лейбніця. Методи
обчислення визначених інтегралів. Деякі застосування визначеного інтеграла.
Диференціальні рівнянь першого порядку. Задача Коші. Диференціальні
рівняння з відокремлюваними змінними. Лінійні та однорідні рівняння
першого порядку. Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами.
Дискретний статистичний розподіл вибірки. Статистичні оцінки параметрів
розподілу. Статистичні оцінки параметрів генеральної сукупності .
5

5. Література з вищої математики, що є у бібліотеці
коледжу.
№
п/п ЛІТЕРАТУРА
ОСНОВНА ЛІТЕРАТУРА
1
Сборник задач по математике для техникумов на базе средней
школы: Учеб. пособие для техникумов/
О.Н.Афанасьева и др.-М.: Наука, 1987- 208 с
2
Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на
базе средней школы – 2-е издание, перераб. и доп.-М.: Наука,
1989.
3
Алгебра и начала анализа ч.I,II. учебник для техникумов/ под
ред. Г.Н.Яковлева.-М.:Наука,1978
4
Міхайленко В.М., Федоренко Н.Д. алгебра та геометрія для
економістів: Навчальний посібник. Вид.3-є.-К.:Вид-во
Європ.ун-ту фінансів, інформ. систем, менеджм. і
бізнесу,2000
5
Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для
економістів. Вища математика.-К.:Національна академія
управління,1999
6
Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика:Підручник.-
К.:Либідь, 1996
7
Высшая математика для экономистов: Учебник для
вузов/Н.Ш.Кремер, Б.А. Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фридман;
Под ред.проф.Н.Ш.Кремера.-2-е изд., перераб. и доп.-М.:
Банки и биржи, ЮНИТИ, 1998
8
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая
математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч.: Учебное
пособие для втузов- 5-е изд.,испр.-М.: Высш.шк.,1999
9
Вища математика: основні розділи:Підручник:У двох книгах.
Книга 1/ за ред. Г.Л.Кулініча.-К.:Либідь,1995
ДОВІДНИКИ
1 Куринной Г.Ч. Математика:Справочник.-Харьков: Фолио;
Ростов н/Д: Феникс,1997
2
Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средних
учебных заведений.- 4-е изд., испр. и доп.-М.: Наука.
Гл.ред.физ.-мат.лит., 1988
6

6. Методичні рекомендації до контрольної роботи.
Перш ніж приступити до виконання контрольної роботи, потрібно проробити
презентацію “Математика з нуля”, в якій ви повторите тему 1 “Функції i
обчислення” i придбаєте навички в роботі на мікрокалькуляторі.
Зразок рішення завдання № 1
Вирішити систему лінійних рівнянь алгебри: методом Крамера;
методом Гауса; матричним методом.
Вирішити систему рівнянь за правилом Крамера:






=−+
=+−
=++
.872
,1353
,42
321
321
321
xxx
xxx
xxx
а) Обчислюємо визначника матриці системи, розкладаючи його по
першому рядку
.33311)9(2)16(1
172
353
121
=⋅+−⋅−−⋅=
−
−=∆
Оскільки він не рівний нулю, то система рівнянь має єдине рішення.
б) Обчислюємо визначників
,33471252)16(4
178
351
124
1 =⋅+⋅−−⋅=
−
−=∆х
,33221)9(4)25(1
182
313
141
2 =⋅+−⋅−−⋅=
−
=∆х
.33314222)47(1
872
153
421
3 =⋅+⋅−−⋅=
−
−=∆х
в) По формулах Крамера знаходимо рішення системи рівнянь
.1
33
33
;1
33
33
;1
33
33 3
3
2
2
1
1 ==
∆
∆
===
∆
∆
===
∆
∆
=
х
х
х
х
х
х
Відповідь: (1; 1; 1)
Вирішити методом Гауса систему:






=+−
=+−
=+−
.253
;342
;1342
zyx
zyx
zyx
Перехід від однієї матриці до іншої записуватимемо за допомогою знаку
еквівалентності ~:
~
7750
5500
3421
~
2513
1342
3421
~
2513
3421
1342












−−
−−
−












−
−
−












−
−
−
7

7. .
1100
5
7
5
7
10
3421
~
5500
7750
3421
~












−−
−












−−
−−
−
По одержаній матриці виписуємо перетворену систему:






=
−=−
=+−
.1
;
5
7
5
7
;342
z
zy
zyx
Тоді
1=z ;
0
5
7
5
7
5
7
5
7
=+−=+−= zy ;
14314023423 −=−=⋅−⋅+=−+= zyx .
Відповідь: (-1; 0; 1).
Вирішити систему рівнянь матричним способом:






=+−
=+−
=+−
.253
;342
;1342
zyx
zyx
zyx
Позначимо матриці:












−
−
−
=
513
421
342
A – коефіцієнти при невідомих;










=
z
y
x
X – стовпець невідомих;










=
2
3
1
B – стовпець вільних членів.
Тоді систему можна записати матричним способом: АХ = У, де
BAX 1−
= . Знайдемо зворотну матрицю 1−
A .
а) обчислимо визначника матриці:
;25
513
421
342
|| −=
−
−
−
=A
8

8. б) знайдемо доповнення, алгебри елементів матриць:
;6
51
42
11 −=
−
−
=A ;7
53
41
12 =−=A ;5
13
21
13 =
−
−
=A
;17
51
34
21 =
−
−
−=A ;1
53
32
22 ==A ;10
13
42
23 −=
−
−
−=A
;10
42
34
31 −=
−
−
=A ;5
41
32
32 −=−=A .0
21
42
33 =
−
−
=A
Тоді зворотна матриця має вигляд












−
−
−−
−
=−
0105
517
10176
25
11
A ,
отже
=










⋅+⋅−+⋅
⋅−−⋅+⋅
⋅−⋅+⋅−
−=










⋅












−
−
−−
−=
203)10(15
2)5(3117
21031716
25
1
2
3
1
0105
517
10176
25
1
X
.
1
0
1
25
0
25
25
1









−
=










−
−=
Звідки:
9

9. .1
;0
;1
1
0
1
=
=
−=
⇒









−
=










z
y
x
z
y
x
Відповідь: (-1; 0; 1).
Зразок рішення завдання № 2
Обчислити границі функцій.
а) Знайти
327
15
5
2
++
+
∞→ xx
x
x
lim .
Рішення. Насамперед, перевіримо, чи застосовні до даного дробу теореми
про межі, або ми маємо справу з невизначеністю. Для цього знайдемо межі
чисельника й знаменника дробу. Функції 15 2
+x і 327 5
++ xx є нескінченно
більшими. Тому, ( ) ∞=+
∞→
15 2
x
x
lim , ( ) ∞=++
∞→
327 5
xx
x
lim .
Отже, маємо справа з невизначеністю виду 





∞
∞
.
Для розкриття цієї невизначеності й використанні теореми про межу
відносини двох функцій виділимо в чисельнику й у знаменнику x в старшій
для чисельника й знаменника ступеня як співмножник і скоротимо дріб.
.limlimlim 0
7
0
32
7
15
32
7
15
327
15
54
53
54
5
53
5
5
2
==
++
+
=






++






+
=






∞
∞
=
++
+
∞→∞→∞→
xx
xx
xx
x
xx
x
xx
x
xxx
Відповідь. 0.
б) Знайти
86
3214
2
2
2 +−
−+
→ xx
xx
x
lim .
Рішення. Для розкриття невизначеності






0
0
в цьому випадку, потрібно
розкласти чисельник і знаменник на множники й скоротити дріб на загальний
множник.
( )( )
( )( )
.limlimlim 9
42
162
4
16
42
162
0
0
86
3214
222
2
2
−=
−
+
=
−
+
=
−−
+−
=






=
+−
−+
→→→ x
x
xx
xx
xx
xx
xxx
Відповідь. -9.
Знайти
86
3214
2
2
1 +−
−+
−→ xx
xx
x
lim .
10

10. Рішення. Для обчислення даної межі підставимо значення 1−=x у функцію,
що коштує під знаком межі. Одержимо,
( ) ( )
( ) ( )
3
15
45
8161
321141
86
3214
2
2
2
2
1
−=
−
=
+−⋅−−
−−⋅+−
=
+−
−+
−→ xx
xx
x
lim .
Відповідь. -3.
в) Знайти 2
2
0
11
x
x
x
−+
→
lim .
Рішення. Для розкриття невизначеності






0
0
в цьому випадку, потрібно
помножити чисельник і знаменник на вираження, сполучене чисельнику, а
потім скоротити дріб на загальний множник.
.limlimlim
2
1
1111
1111
0
011
22
2
022
22
02
2
0
=





 ++
=





 ++





 ++




 −+
=






=
−+
→→→
xx
x
xx
xx
x
x
xxx
Відповідь.
2
1
.
г) Знайти x
kx
x
sin
lim
0→
.
Рішення. Для розкриття невизначеності






0
0
в цьому випадку, потрібно
виділити першу чудову межу: .
sin
lim 1
0
=
→ A
A
A
.
sin
lim
sin
lim kk
kx
kxk
x
kx
xx
=⋅==






=
→→
1
0
0
00
Відповідь. k
д) Знайти ( )
2
1
1
x
tgx
x
π
−
→
lim .
Рішення. Для розкриття невизначеності { }∞⋅0 в цьому випадку, потрібно
добуток перетворити в частку, тобто невизначеність { }∞⋅0 звести до
невизначеності






0
0
або 





∞
∞
.
( ) { } ( )
( )
.
sin
lim
cos
lim
cos
lim
,
,
cos
lim,sin
cos
sin
limlim
y
y
y
y
y
y
yxy
xy
x
x
xпри
x
x
x
x
x
tgx
yyy
xxx
222
1
2
10
1
0
0
2
1
11
2
2
210
2
1
000
111
ππππ
π
π
π
π
π
−
−
=






+
−
=
+
−
=





+=→
−=
=
=






=
−
=





===−=∞⋅=−
→→→
→→→
Виділяємо першу чудову межу, тобто, множимо чисельник і знаменник
на 2
π
. Одержуємо,
11

11. ππππ
π
2
2
1
22
2
0
==
−
−
→
y
y
y
sin
lim .
Відповідь. π
2
.
е) Знайти
x
x x
x






+
−
∞→ 1
1
lim .
Рішення. Для розкриття невизначеності { }∞
1 в цьому випадку, потрібно
виділити другу чудову межу: e
x
x
x
=





+
∞→
1
1lim .
{ } .limlimlimlim
lim
21
2
1
2
2
1
2
1
1
1
1
2
11
1
1
11
1
1 −+
−
+
−
−
+
∞→∞→∞→
∞
∞→
==




























−
+
+=





+
−
+=











−
+
−
+==





+
− ∞→ ee
xxx
x
x
x x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
Відповідь. 2−
e .
ж) Знайти ( ) .lim 2
1
2
53 −
→
− x
x
x
Рішення. Для розкриття невизначеності { }∞
1 в цьому випадку, потрібно
виділити другу чудову межу: ( ) e=+
→
α
α
α
1
0
1lim .
() ()( ) () .limlim
,
,
lim 3
3
31
0
1
0
2
1
2
31523
02
2
53 eyy
yyx
xy
x y
y
y
y
x
x
=+=−+=





→+=
−=
=− ⋅
⋅
→→
−
→
Відповідь. 3
e .
Знайти ( ) .lim 2
1
25
53 −
→
− x
x
x
Рішення. Підставимо значення 2
5
=x у функцію, що коштує під знаком межі.
Одержимо,
( ) .lim
4
25
2
5
5
2
5
353
2
2
2
5
1
2
1
25
=





=





−⋅=− −
−
→
x
x
x
Відповідь. 4
25
.
Зразок рішення завдання № 3 (ЕРГО)
Дані координати вершин піраміди А1(1, 2, 3), А2(-2, 4, 1), А3(7, 6, 5), А4(4, -3,
-1). Треба знайти:
12

12. 1) довжину ребра А1А2 та А1А4;
2) кут між ребрами А1А2 та А1А4;
3) площу грані А1А2А3;
4) рівняння прямої А1А2;
5) рівняння площини А1А2А3.
Використаємо додатки Б і В. Розв’язувати задачу будемо засобами
векторної алгебри. Використаємо формулу розкладення вектора по
ортонормованому базису або по ортам: kzjyixa ++= , де k,j,i - одиничні
взаємно перпендикулярні вектори, які визначають напрямки координатних
осей – орти, та x, y, z – проекції вектора a на відповідні координатні осі. Якщо
початок вектора a співпадає з початком координат, то x,y,z трактуються як
координати кінця вектора.
а) Довжину ребра А1А2 знайдемо як довжину вектора 21 AA за формулою
222
zyxa ++= ,
але допоміжні вектори, які мають початок в початку координат, а кінець в
заданих точках А1(1,2,3) та А2(-2,4,1) розкладаються по ортам
k1j4i2OA
k3j2i1OA
2
1
++−=
++=
Тепер знайдемо розкладання вектора 21 AA
)k3j2i()kj4i2(AA 21 ++−++−= , або
k2j2i3AA 21 −+−= .
Значить 172)(23)(AA 222
21 =−++−= .
б) Кут між ребрами А1А2 та А1А4 знайдемо як кут між вектором
( ) ( )2224111121 z;y;xAA,z;y;xAA == за формулою
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
4121
4121
zyxzyx
zzyyxx
AAAA
AAAA
cosα
++++
++
=
⋅
⋅
= .
Проекції вектора 21 AA вже знайдено в попередньому пункті: 21 AA =(-3,2,-2)
Аналогічно знайдемо 41 AA =(3,-5,-4). Тоді
345
11
5017
11
16259449
245533
−=−=
++++
−−+−+−
=α
))(()()(
соs






−=
345
11
arccosα
в) Площа грані А1А2А3 знаходиться як площа трикутника, побудованого на
векторах 21 AA =(3,2,-2) та 31 AA =(6,4,2), за допомогою векторного добутку цих
векторів за формулою
3121
2
1
AAAAS ×=∆ .
Векторний добуток 21 AA =(x1,y1,z1) та 31 AA =(x3,y3,z3) за формулою
13

13. ( ) ( ) ( )kyxyxjzxzxizyzy
zyx
zyx
kji
AAAA 11 133131131331
333
11132 −+−+−==×
Проекції вектора ( )22321 −−= ,,AA вже знайдені в першому пункті.
Аналогічно знаходимо проекції вектора 31 AA =(6,4,2). Тоді
kjj
kji
AAAA 11 24612
246
22332 −−=−−=×
21324612
2
1 222
=−+−+=∆ )()(S (кв. од.)
г) Рівняння прямої А1А2 знайдемо за формулою
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
=
−
−
Це рівняння прямої, що проходить через дві задані точки А1(1,2,3) та А2(-
2,4,1). Підставимо в приведену формулу замість x1,y1,z1 та x2,y2,z2 координати
точок A1 та A2
2
3
24
2
12
1
−
−
=
−
−
=
−−
− zух
.
Звідки отримуємо канонічне рівняння прямої А1А2.
2
3
2
2
3
1
−
−
=
−
=
−
− zyx
Тут x,y,z – змінні координати прямої; (1,2,3) – координати точки, через яку
проходить пряма; (-3,2,-2) – направляючі коефіцієнти прямої, тобто проекції
вектора, який визначає напрям прямої.
д) Складемо рівняння площини А1,А2,А3, яка проходить через три задані
точки, за формулою:
0
131313
121212
111
=
−−−
−−−
−−−
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
0
151617
312412
321
=
−−−
−−−−
−−− zyx
Одержимо
12(x-1)-6(y-2)-24(z-3)=0;
або після спрощення
2х-y-4z+12=0
Зразок рішення завдання № 3 (ЕП)
Спочатку побудуємо креслення. Побудуємо в прямокутної декартовой
системі координат крапки )3;2( −А , )1;5(B , )4;3( −C . Побудуємо відрізки AB й BC
.
14

14. Рис. 1
Добудуємо отриманий малюнок до паралелограма й нанесемо на
креслення висоту BK.
Рис. 2
1) Складемо рівняння прямій AD.
а) Попередньо знайдемо рівняння прямій BС. Рівняння прямої, що
проходить через крапки );( 111 yxM й );( 222 yxM , має вигляд
12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
(1)
15
x
O
B
A
C
y
E
x
O
K
B
A
C
D
y

15. За умовою )1;5(В , )4;3( −С . Підставимо координати крапок В й С у
рівняння (1):
14
1
53
5
−−
−
=
−
− yx
, тобто
5
1
2
5
−
−
=
−
− yx
.
Запишемо отримане рівняння в загальному виді, тобто у вигляді
0=++ CByAx . Для цього в останнім рівнянні позбудемося від знаменників
)1(2)5(5 −−=−− yx і проведемо перетворення, переносячи всі рівності, що
складають 02325 =++− yx у 02325 =−− yx ліву частину: або .
З цього рівняння виразимо y : 2352 +−=− xy ;
2
23
2
5
−= xy . Одержали
рівняння виду bkxy += - рівняння з кутовим коефіцієнтом.
б) Скористаємося тим фактом, що протилежні сторони
паралелограма паралельні. Складемо шукане рівняння прямій AD як рівняння
прямої, що проходить через крапку А паралельно прямої ВС .
Рівняння прямої, що проходить через дану крапку );( 00 yxМ в даному
напрямку, має вигляд
)( 00 xxkyy −=− (2)
де напрямок визначається кутовим коефіцієнтом k .
Умова паралельності двох прямих bkxy += і 11 bxky += має вигляд
1kk = (.3)
За умовою задачі )3;2( −А , пряма
2
23
2
5
: −= xyВС . Підставимо
координати крапки А в рівняння (2): )2(3 −=+ xky . Тому що пряма AD
паралельна прямій BC , то в силу формули (3) їхні кутові коефіцієнти
збігаються. Кутовий коефіцієнт прямої BC дорівнює
2
5
, отже, рівняння
прямої AD має вигляд )2(
2
5
3 −=+ xy .
Запишемо рівняння прямої AD в загальному виді. Для цього розкроєм
дужки й всіх доданків перенесемо в ліву частину рівності: 08
2
5
=++− yx .
Помножимо обидві частину рівності на (-2) і одержимо загальне рівняння
прямої AD : 01625 =−− yx .
Запишемо рівняння прямої AD у вигляді з кутовим коефіцієнтом. Для
цього виразимо y із загального рівняння: 8
2
5
−= xy .
2) Складемо рівняння висоти BK , проведеної з вершини B на
сторону AD як рівняння прямої, що проходить через крапку B
перпендикулярно прямої AD .
Умова перпендикулярності двох прямих bkxy += і 11 bxky += має
вигляд
1
1
k
k −= (4)
Підставимо координати крапки В в рівняння (3.2): )5(1 −=− xky . Тому
що висота BK перпендикулярна прямій AD , той їхній кутовий коефіцієнти
16

16. зв'язані співвідношенням (4). Кутовий коефіцієнт прямої AD дорівнює
2
5
,
отже, кутовий коефіцієнт висоти BK дорівнює
5
2
− й рівняння прямої BK
має вигляд )5(
5
2
1 −−=− xy . Запишемо рівняння висоти BK в загальному
виді: 01552 =−+ yx . Запишемо це ж рівняння у вигляді з кутовим
коефіцієнтом: 3
5
2
+−= xy .
3) Знайдемо довжину висоти BK як відстань від крапки В до прямої AD .
Відстань d від крапки );( 000 yxM до прямої 0=++ CByAx являє собою
довжину перпендикуляра, опущеного із крапки на пряму й визначається
формулою
22
00
BA
CByAx
d
+
++
= (5)
Тому що BK перпендикулярно AD , то довжина BK може бути
знайдена за допомогою формули (5). За умовою )1;5(B , пряма AD
визначається рівнянням 01625 =−− yx . У силу формули (5) довжина висоти
BK дорівнює
425
7
)2(5
161255
22
+
=
−+
−⋅−⋅
=d =
29
7
.
4) Знайдемо рівняння діагоналі BD як рівняння прямій, що проходить
через крапки B й E , де E - середина відрізка AC .
а) Якщо );( 11 yxА й );( 22 yxC , те координати крапки );( 00 yxЕ -
середини відрізка AC , визначаються формулами
2
21
0
xx
x
+
=
2
21
0
yy
y
+
= (6)
За умовою )3;2( −A , )4;3( −C . У силу формул (6) маємо:
2
5
2
32
0 =
+
=x ,
2
7
2
43
0 −=
−−
=y . Отже )
2
7
;
2
5
( −E .
б) Тому що крапка перетинання діагоналей є їхньою серединою, то
крапка E (середина відрізка АС ) є крапкою перетинання діагоналей і
діагональ BD проходить через крапку E .
Скористаємося рівнянням (1). За умовою )1;5(B , )
2
7
;
2
5
( −E . У силу
формули (1) рівняння прямій BE (діагоналі BD ) має вигляд: 1
2
7
1
5
2
5
5
−−
−
=
−
− yx
або
2
9
1
2
5
5
−
−
=
−
− yx
. Запишемо це рівняння в загальному виді: 04059 =−− yx .
Запишемо це ж рівняння у вигляді з кутовим коефіцієнтом: 8
5
9
−= xy .
5) Знайдемо тангенс кута між діагоналями BD й AC .
17

17. а) Знайдемо рівняння діагоналі AC як рівняння прямій, що
проходить через дві дані крапки.
Скористаємося рівнянням (1). За умовою )3;2( −A , )4;3( −C . Отже,
34
3
23
2
+−
+
=
−
− yx
. Загальне рівняння діагоналі AC має вигляд 01 =++ yx ,
рівняння з кутовим коефіцієнтом – вид 1−−= xy , кутовий коефіцієнт 1k
прямої AC дорівнює 1− .
б) Рівняння діагоналі BD має вигляд 8
5
9
−= xy , її кутовий коефіцієнт
5
9
2 =k .
в) Тангенс кута ϕ між прямими 11 bxky += й 22 bxky += визначається
формулою
21
12
1 kk
kk
tg
+
−
=ϕ
Отже,
2
7
5
4
5
14
)1(
5
9
1
)1(
5
9
=
−
=
−⋅+
−−
=ϕtg . Звідси
2
7
arctg=ϕ .
Зразок рішення завдання №4
Обчислити похідні даних функцій:
1). xxy x
ctg4 4 32cos
⋅+= .
Рішення.
=⋅−+⋅−⋅⋅=
′






⋅+=′
−
x
xxxxxxy xx
2
4
3
4
1
2cos4
3
2cos
sin
1
ctg
4
3
2)2sin(4ln4ctg4
x
x
x
x
xx
2
4 3
4
2cos
sin4
ctg3
2sin4ln42 −
⋅
++⋅⋅⋅−= .
2). ( ) x
xy
5
2ctg= .
Рішення. Прологарифмуємо обидві частини рівності
( ) x
xy
5
2ctglnln = .
( ) 





⋅−⋅⋅+⋅=′⋅ 2
2sin
1
2ctg
1
)2ln(ctg15
1
2
xx
xxy
y
.






−⋅⋅=





⋅
⋅
−⋅=′
x
x
xx
xx
x
xyy x
4sin
4
)2ln(ctg)2(ctg5
2sin2cos
2
)2ln(ctg5 5
.
3).
12
sin3
−
⋅=
x
x
y .
Рішення.
=





−
⋅−−⋅
⋅





−
⋅⋅
−
⋅=
′














−
=′
−
2
3
2
3
3
1
)12(
2)12(1
123
1
12
cos
12
sin
x
xx
x
x
x
x
x
x
y
18

18. 2
3
2
3
2
3
2
3
)12(3
112
12
cos
)12(
112
3
1
12
cos
−
−
⋅




 −
⋅
−
=





−
−
⋅




 −
⋅
−
=
xx
x
x
x
xx
x
x
x
.
4). Знайти похідну функції, заданій неявно
0333
=−+ xyyx .
Рішення. Диференціюючи, маємо
;0;0)(333 2222
=′−−′⋅+=′+′−′⋅+ yxyyyxyxyxyyx
.0)( 22
=−′+− xyyyx
.2
2
yx
yx
y
−
−
=′
Зразок рішення завдання №5
Дослідити функцію
2
)1( 2
−
+
=
x
x
y та побудувати її графік.
Розв’язання. 1. Область існування функції:
2,02 ≠≠− xx , або );2()2;( ∞+−∞∈ x .
2. Точки перетину графіка з осями координат:
а) 1,0 −== xy , тобто ( )0;1− ;
б)
2
1
;0 −== yx , тобто 





−
2
1
;0 .
3. Періодичність функції: Функція неперіодична.
Парність, непарність функції: Функція загального вигляду.
4. Точки розриву функції, характер їх розриву: точкою розриву є точка
2=x .
Дослідимо характер розриву, знайдемо односторонні границі:
+∞=
−
+
−∞=
−
+
>
→
<
→ 2
)1(
lim,
2
)1(
lim
2
2
2
2
2
2 x
x
x
x
x
x
x
x
.
Отже, 2=x є точкою розриву другого роду.
Пряма 2=x є вертикальна асимптота.
5. Дослідження функції за допомогою першої похідної (монотонність, екстремальні
точки):
а) 22
2
)2(
)5)(1(
)2(
)1()2)(1(2
−
−+
=
−
+−−+
=′
x
xx
x
xxx
y .
б) Знайдемо екстремальні точки, розв’язавши рівняння:
0
)2(
)5)(1(
,0)( 2
=
−
−+
=′
x
xx
xy ,
де 5,1 21 =−= xx — стаціонарні точки.
в) Знайдемо проміжки зростання, спадання функції, розв’язавши
нерівність:
19
max min
+ +– –
521−

19. 0
)2(
)5)(1(
2 <>
−
−+
x
xx
Отже, при );5()1;( ∞+−−∞∈ x функція зростає, а при
)5;2()2;1( −∈x функція спадає.
11 −=x - точка 0)1(,max max =−y ; 52 =x - точка 12)5(,min min =y
6. Дослідження функції за допомогою другої похідної (опуклість, угнутість, точки
перегину)
а) Знайдемо y ′′ :
32
2
)2(
18
)2(
54
−
=
′








−
−−
=′′
xx
xx
y .
б) Знайдемо проміжки угнутості,
опуклості, розв’язавши нерівність 0,0 <′′>′′ yy :
0
)2(
18
,0
)2(
18
33
<
−
>
− xx
.
Отже, при )2;(−∞∈x крива опукла, а при
);2( ∞+∈x крива угнута.
7. Знаходимо асимптоти графіка функції:
а) 2=x — вертикальна асимптота;
б) Для визначення похилої асимптоти bkxy += знайдемо:
1
)2(
)1(
lim
)(
lim
2
=
−
+
==
±∞→±∞→ xx
x
x
xf
k
xx
;
( ) 4
2
14
lim
2
)1(
lim)(lim
2
=
−
+
=







−
−
+
=−=
±∞→±∞→±∞→ x
x
x
x
x
kxxfb
xxx
.
Отже, 4+= xy — похила асимптота.
8. Для наочності заповнюємо таблицю:
х (–∞;–1) –1 (–1;2) 2 (2;5) 5 (5;+∞)
у’ + 0 – не існує 0 +
у 0 12
у’’ – – не існує + +
у ∩ max ∩ ∪ min ∪
9. За допомогою таблиці будуємо графік функції:
20
О
12
2 5 х
у
-4
4
-1
– +
∪∩ 2

20. 21

21. Зразок рішення завдання №6
Невизначені інтеграли обчислюються за допомогою таблиці інтегралів,
властивостей, методу заміни змінної та формули інтегрування за частинами (
∫∫ −= duvvudvu ) (Додаток Д).
а)
( ) { }∫ ==−+− івластивосттаінтегралівтаблицюуємовикористовdxxxx 4532 23
Cx
x
x
x
Cx
xxx
+−+−=+⋅−⋅+⋅−⋅= 4
4
5
2
4
2
5
3
3
4
2
2
3
4234
б)
( )
{ } CxlnCtlnінтегралівтаблицюуємовикористов
dt
t
dtdx
dtdx
tx
tx
:Заміна
x
dx ''
+−=+==
==


















=
=
=−
=−
=
−
∫∫
45
5
1
5
1
1
5
1
5
1
5
45
45
45
в)
{ } ==














==
==
=∫ частинаминяінтегруванформулузастосуємо
vxsin,dxdu
Тоді
dvxdxcos,xu
Покладемо
xdxcosx
∫ ++=−= Cxcosxsinxxdxsinxsinx
Для обчислення визначених інтегралів використовуються методи
обчислення невизначеного інтегралу і формула Ньютона-Лейбниця,
)a(F)b(F)x(Fdx)x(f
b
a
b
a
−==∫ ,
де ( )xF первісна функції ( )xf (Додаток Д).
а)
2
1
1
2
1
10101
2
3
2
3131313 221
0
1
0
21
0
1
0
1
0
1
0
1
0
=−=−−−=−=−=−=− ∫∫∫∫∫ )()(x
x
dxxdxdxxdxdx)x(
22

22. б)
( )
15
8
2827
15
2
49
15
2
5
1
5
1
5
1
92
41
5
1
5
15
15
15
2
3
2
3
9
4
2
3
2
3
9
4
9
4
2
12
1
=−=




 −=
===⋅=






















=⇒=
=⇒=
=
=
=−
=−
=− ∫ ∫∫
t
dttdtt
tx
tx
dtdx
dtdx
t)x(
tx
:Заміна
dxx
''
в)
5826255821102512546211
52
2
3
211
5
230112
523523
5
523
523
2
1
22
1
2
1
22
1
2
23
2
2
1
2
.)ln()ln(.)ln().ln()ln(
xlnx
x
)ln(dx
x
x)ln(
x
dx
)xx()xx()xln(
частинаминяінтегруван
формулузастосуємо
xxxv,
x
dx
du
Тоді
xxdv),xln(u
Покладемо
dx)xln()xx(
−=+−⋅=+−−−+−⋅=
=





−+−⋅=





−+−−⋅=
=⋅−+−−+⋅=






=
















−+==
−+==
=⋅−+
∫
∫
∫
Зразок рішення завдання №7
7.1 Обчислити площу фігури, обмеженої кривими xy
π
=
2
і xsiny =
( )20 π≤≤ x За формулою
( ) ( )[ ]
( )кв.од.
x
xcosdxxxsin
dxxgxfS
|
b
a
4
1
2 2
0
2
0
2
π
−=
=





π
−−=





π
−=
=−=
ππ
∫
∫
7.2 Обчислити об’єм тіла, утвореного прямими 0, == yxy і 3=x при їх
обертанні навколо осі абсцис.
23

23. === ∫∫
3
0
2
3
0
2
)( dxxdxxfV ππ
πππ 93
3
1
3
3
0
3
=⋅==
x
куб. од.
Зразок рішення завдання №8
Знайти загальний розв’язок диференціальних рівнянь
а)
1
4
−
=′
x
y
y
Це рівняння з відокремленими змінними. Замінимо похідну часткою
диференціалів, відокремимо змінні та обчислимо з обох сторін рівняння
інтеграли:
1
4
−
=
x
y
dx
dy
,
14
−
=
x
dx
y
dy
,
∫∫ −
=
14
x
dx
y
dy
,
Cxln
y
+−=
+−
+−
1
14
14
.
Загальний розв‘язок диференціального рівняння має вигляд
Cxln
y
+−=
−
−
1
3
3
, де C – довільна стала.
б) .)x(y
x
y 3
1
1
2
+=
+
−′
Це лінійне диференціальне рівняння. Покладемо ;uvy = тоді vuvuy ′+′=′ .
Підставляючи ці вирази в початкове рівняння, маємо:
.)x(v
x
vuvu,)x(uv
x
vuvu 33
1
1
2
1
1
2
+=





+
−′+′+=
+
−′+′
Для визначення v одержимо рівняння
,v
x
v 0
1
2
=
+
−′ ,
x
v
dx
dv
1
2
+
= після відокремлення змінних маємо
1
2
+
=
x
dx
v
dv
, відкіля ),xln(vln 12 += чи 2
1)x(v +=
Для визначення u отримаємо рівняння
32
11 )x()x(u +=+′ , ),x(
dx
du
1+= відкіля .C
)x(
u +
+
=
2
1 2
Отже, загальний інтеграл заданого рівняння буде мати вид
.)x(C
)x(
y 2
4
1
2
1
++
+
=
24
3
0
у
х
у = х

24. в) .xyyy 2
22 =−′+′′
Як відомо, загальний розв‘язок даного рівняння находять у вигляді суми
загального розв‘язку відповідного однорідного рівняння ( )y і часткового
розв‘язку неоднорідного рівняння( )y~ , тобто
.yy~y +=
Знайдемо загальний розв’язок відповідного однорідного
диференціального рівняння. Характеристичне рівняння: 022
=−+ kk має
дійсні та різні корені 11 =k та 22 −=k , тому загальний розв’язок має вид
xx
ececy 2
21
−
+= .
Частковий розв‘язок y~
будемо шукати у вигляді
CBxAxy~ ++= 2
,
Тоді BAxy~ +=′ 2 , Ay~ 2=′′ . Підставимо отримані вирази в задане
рівняння та прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях x , отримаємо
систему





=−+
=−
=−
.CBA
;BA
;A
022
022
22
Розв‘язав її, знайдемо ,A 1−= ,B 1−= .C
2
3
−= Частинний розв’язок має
вигляд
2
32
−−−= xxy~ .
Загальний розв‘язок диференціального рівняння має вигляд
2
322
21 −−−+= −
xxececy xx
25

25. ЗАГАЛЬНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ ПО РОБОТІ
НАД КУРСОМ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ.
Посібник є методичним керівництвом для вивчення загального курсу
вищої математики студентами-заочниками інженерно-технічних
спеціальностей. Навчальний матеріал містить список літератури по кожній
темі, розбір типового варіанта контрольної роботи й двадцять варіантів
контрольної роботи з кожної теми.
Основною формою навчання студента-заочника є самостійна робота над
навчальним матеріалом, що складається з наступних елементів: вивчення
матеріалу по підручниках, рішення задач, самоперевірка, виконання
контрольних робіт. У допомогу заочникам коледж організує читання лекцій,
практичні заняття й лабораторні роботи. Крім того, студент може звертатися
до викладача з питаннями для одержання усної або письмової консультації.
Вказівки студентові по поточній роботі даються також у процесі
рецензування контрольних робіт. Однак студент повинен пам'ятати, що тільки
при систематичній і завзятій самостійній роботі допомога коледжу виявиться
досить ефективною. Завершальним етапом вивчення курсу вищої математики
є здача іспиту відповідно до навчального плану.
У процесі вивчення курсу математики студент повинен виконати
контрольну роботу, головна мета якої - надати студентові допомогу в його
роботі. Рецензія на цю роботу дозволяє студентові судити про ступінь
засвоєння їм відповідного курсу; указує на наявні в нього пробіли, на бажаний
напрямок подальшої роботи; допомагає сформулювати питання для
постановки перед викладачем.
Не слід приступати до виконання контрольного завдання, не вирішивши
достатньої кількості задач по матеріалі, що відповідає завданню. Досвід
показує, що найчастіше невміння вирішити ту або іншу задачу контрольного
завдання викликається тим, що студент не виконав цю вимогу.
Контрольні роботи повинні виконуватися самостійно. Несамостійне
виконання роботи не дає можливості викладачеві вказати недоліки в його
26

26. роботі, у засвоєнні матеріалу, у результаті чого студент не здобуває
необхідних знань і може виявитися непідготовленим до іспиту.
При виконанні й оформленні контрольних робіт необхідно дотримувати
наступні вказівки:
1. Номер варіанта дорівнює номеру шифру студента.
1. Заповніть титульний лист.
2. Контрольна робота виконується чорною пастою на форматі паперу А4.
3. Кожне завдання слід виконувати з нового листа.
4. Завдання слід виконувати тільки з одного боку кожного листа
5. Умови завдань записувати повністю.
6. Рішення задач слід розташувати у порядку номерів, указаних у завданні,
номера задач указуються перед умовами.
7. Якщо необхідно, креслення виконувати олівцем за допомогою
інструментів для креслення.
8. Всі розрахунки мають бути приведені в контрольній роботі.
9. Рішення кожної задачі повинне доводити до відповіді, необхідного
умовою. У проміжних обчисленнях не слід уводити наближені значення
корінь, числа π й т.п.
10.Отримана відповідь варто перевіряти способами, що випливають із
умови даної задачі.
11. Якщо роботу відправлено на доробку, необхідно виконати роботу над
помилками на окремих листах, які прикріпити до роботи.
12. В кінці роботи навести список використаної літератури.
27

27. ВАРІАНТИ КОНТРОЛЬНИХ ЗАВДАНЬ
№
шифру
Номера задач контрольної роботи
1 1 21 41 61 81 101 121 141
2 2 22 42 62 82 102 122 142
3 3 23 43 63 83 103 123 143
4 4 24 44 64 84 104 124 144
5 5 25 45 65 85 105 125 145
6 6 26 46 66 86 106 126 146
7 7 27 47 67 87 107 127 147
8 8 28 48 68 88 108 128 148
9 9 29 49 69 89 109 129 149
10 10 30 50 70 90 110 130 150
11 11 31 51 71 91 111 131 151
12 12 32 52 72 92 112 132 152
13 13 33 53 73 93 113 133 153
14 14 34 54 74 94 114 134 154
15 15 35 55 75 95 115 135 155
16 16 36 56 76 96 116 136 156
17 17 37 57 77 97 117 137 157
18 18 38 58 78 98 118 138 158
19 19 39 59 79 98 119 139 159
20 20 40 60 80 100 120 140 160
21 2 24 46 68 90 112 134 161
22 4 26 48 70 92 114 136 151
23 6 28 50 72 94 116 138 152
24 8 30 52 74 96 118 140 148
25 10 32 54 76 98 120 122 142
26 12 34 56 78 100 102 124 147
27 14 36 58 80 82 104 126 153
28 16 38 60 62 84 106 128 156
29 18 40 42 64 86 108 130 158
30 20 22 44 66 88 110 132 149
31 1 21 41 61 81 101 121 141
32 2 22 42 62 82 102 122 142
33 3 23 43 63 83 103 123 143
34 4 24 44 64 84 104 124 144
35 5 25 45 65 85 105 125 145
36 6 26 46 66 86 106 126 146
37 7 27 47 67 87 107 127 147
38 8 28 48 68 88 108 128 148
39 9 29 49 69 89 109 129 149
40 10 30 50 70 90 110 130 150
41 11 31 51 71 91 111 131 150
42 12 32 52 72 92 112 132 151
43 13 33 53 73 93 113 133 152
44 14 34 54 74 94 114 134 153
45 15 35 55 75 95 115 135 154
28

28. ЗАВДАННЯ ДО КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ.
Завдання 1.
Розв’язати систему лінійних рівнянь матричним методом, за формулами
Крамера та методом Гауса.
1.





=+−
=−+
=+−
1243
73
42
zyx
zyx
zyx
2.





=−+
−=+−
=−+
13572
5243
3432
zyx
zyx
zyx
3.





=+−
−=−+
=+−
24724
255
9572
zyx
zyx
zyx
4.





=+
=+−
=−+
2
942
032
zy
zyx
zyx
5.





=−+
=+−
=++
743
16532
1743
zyx
zyx
zyx
6.





=+−
=−+
=−+
6623
653
6422
zyx
zyx
zyx
7.





=−+
−=−−
=++
10442
963
22543
zyx
zyx
zyx
8.





−=++
−=++
=+−
344
42
322
321
321
321
xxx
xxx
xxx
9.





=+−
=−+
=−−
11423
11243
142
zyx
zyx
zyx
10.





=++
=++
=++
7423
532
134
zyx
zyx
zyx
11.





=++
=++
=+−
325
642
123
zyx
zyx
zyx
12.





−=+−
=−+
−=+−
722
113
432
zyx
zyx
zyx
13.





=++
=++
=++
623
132
732
zyx
zyx
zyx
14.





−=−−
=−+
=+−
92
6243
12423
zyx
zyx
zyx
15.





−=++
−=++
=+−
344
42
322
zyx
zyx
zyx
16.





=−−
=++
=++
103
2925
31423
zyx
zyx
zyx
17.





=++
=++
=++
1132
132
523
zyx
zyx
zyx
18.





=+−
=+−
=+−
3465
1254
2233
zyx
zyx
zyx
19.





=+−
=−+
=−+
1234
11542
8423
zyx
zyx
zyx
20.





=++−
=+−
=+−
02
83
1542
zyx
zyx
zyx
29

29. Завдання 2.
Обчислити границі функцій.
21.а)
123
249
lim 5
45
−−
+−
∞→ xx
xx
x
; б)
107
5112
lim 2
2
2 +−
+−
→ xx
xx
x
; в)
112
345
lim
1 −−
−+
→ x
x
x
; г) ( ) 2
3
25lim
2
+
+
−→
x
x
x
.
22.а)
xxx
xx
x 5103
647
lim 23
23
++
+−
∞→
; б)
149
7132
lim 2
2
2 +−
−−
→ xx
xx
x
;в)
314
2
lim
2 −+
−
→ x
x
x
; г)
2
3
2
2
1 14
1
lim
x
x xx
xx
−
→ 







−+
++
.
23.а)
235
23
lim 4
24
−−
+−
∞→ xx
xx
x
б)
8
128403
lim
2
2 −
+−
→ x
xx
x
; в)
2
321
lim
4 −
−+
→ x
x
x
; г)
x
x x
x
5
1 110
310
lim 





+
−
→
.
24.а)
xxx
xx
x 5102
64
lim 23
23
++
+−
∞→
;б)
43
12
lim 2
2
1 −+
−−
→ xx
xx
x
; в) 38 2
31
lim
x
x
x −
−+
→
; г) ( )
3
5
114lim
4
−
−
→
x
x
x
x
.
25.а)
685
23
lim 4
23
−+
+−
∞→ xx
xx
x
; б)
10
10515
lim
2
0 −
+−
→ x
xx
x
; в)
xx
x
x +
−+
→ 20
39
lim ; г) ( )
1
1
32lim
0
+
+
→
x
x
x
.
26.а)
323
136
lim 5
25
+−
+−
∞→ xx
xx
x
; б)
65
352
lim 2
2
2 +−
−−
→ xx
xx
x
;в)
312
21
lim
5 −−
−−
→ x
x
x
;г)
x
x xx
xx
−
→ 







−+
+−
1
2
2
1 1203
763
lim .
27.а)
xxx
xx
x 4103
64
lim 23
23
++
+−
∞→
; б)
56
5143
lim 2
2
5 +−
−−
→ xx
xx
x
; в)
8
26
lim 3
3
2 +
+−
−→ x
x
x
;г)
7
1 1513
213
lim
+
→






−
+
x
x x
x
.
28.а)
135
24
lim 23
3
−+
−−
∞→ xx
xx
x
; б)
3165
372
lim 2
2
5
1
+−
+−
→ xx
xx
x
;в)
12
332
lim
3 −−
−+
→ x
x
x
; г)
14
2
2
1 335
285
lim
+
→ 







++
−+
x
x xx
xx
.
29.а)
( ) ( )
1
11
lim 3
33
+
−++
∞→ x
xx
x
;б)
232
253
lim 2
2
5,0 −+
−+
→ xx
xx
x
;в)
x
x
x
121
lim
0
+−
→
; г) ( ) 1
24
32lim
1
+
−
+
→
x
x
x
x
.
30.а)
43
23
lim
8
4
++
−
∞→ xx
x
x
; б)
42
8
lim
3
2 −
−
→ x
x
x
;в)
25
132
lim
1 −+
−+
−→ x
x
x
; г)
2/
1 45
12
lim
x
x x
x






+
−
→
.
31.а)
( )( )
2
143
lim 23
++
+−
∞→ xx
xx
x
; б)
372
384
lim 2
2
3 +−
+−
→ xx
xx
x
; в)
1
23
lim
2
1 +
++
−→ x
xx
x
; г) ( ) 1
54
2lim
0
−
+
−
→
x
x
x
x
.
32.а)
( ) ( )
2
22
lim
22
+
−−+
∞→ x
xx
x
; б)
152
3925
lim 2
2
5 +−−
−−
→ xx
xx
x
;в)
x
xx
x
11
lim
2
0
−++
→
; г)
63
2 56
76
lim
−
→






+
−
x
x x
x
.
33.а)
532
36
lim 2
2
+−
+
∞→ xx
xx
x
; б)
93
12
lim
2
1 −
−+
→ x
xx
x
;в)
25
3
lim
23
−−
−
→
x
x
x
; г) ( ) 1
34lim
0
−
−
→
x
x
x
x
.
34.а)
( ) ( )
( )2
22
2
33
lim
+
+−−
∞→ x
xx
x
; б)
4
8
lim 2
3
2 −
+
→ x
x
x
;в)
314
2
lim
2 −+
−
→ x
x
x
; г) ( )
1
34lim
0
−
−
→
x
x
x
x
.
30

30. 35.а)
162
37
lim
2
2
−+
−
∞→ xx
xx
x
; б)
33
1
lim
3
1 −
−
→ x
x
x
; в) 26 36
15
lim
x
x
x −
−−
→
; г) ( ) 22
5
76lim
0
−
+
−
→
x
x
x
x
.
36.а) 







−
+∞→
2
2
4
2
lim x
x
x
x
; б)
76
12
lim 2
2
7 −−
−+
→ xx
xx
x
;;в)
49
23
lim
27 −
−−
→ x
x
x
; г) ( )
42
2
53lim
3
−
−
→
x
x
x
x
.
37.а)
43
132
lim 2
2
++
+−
∞→ xx
xx
x
; б)
82
12
lim 2
2
2 −+
−+
→ xx
xx
x
; ;в) 38 2
31
lim
x
x
x +
−−
−→
; г)
x
x xx
xx








−−
++
→ 2
13
lim 2
2
3
.
38.а)
32
125
lim 2
3
−+
+−
∞→ xx
xx
x
; б)
2
23
lim
2
2 −
+−
→ x
xx
x
;в) 30 11
11
lim
x
x
x +−
−−
→
; г) ( )
63
26
25lim
0
−
+
−
→
x
x
x
x
.
39.а)
14
23
lim 2
2
++
−−
∞→ xx
xx
x
; б)
2
65
lim 2
2
2 −−
+−
→ xx
xx
x
; в)
3
14
lim
3 +
−+
−→ x
x
x
; г) ( ) 2
4
3lim
1
−
−
→
x
x
x
x
.
40.а)
52
12
lim 4
3
++
+−
∞→ xx
xx
x
; б)
25
103
lim 2
2
2 −
−+
→ x
xx
x
;в)
4
31
lim
2
22
2 −
−+−−
→ x
xxx
x
;г)
x
x xx
xx








−−
−+
→ 23
12
lim 2
2
3
.
Завдання 3 (ЕРГО).
Дані координати вершин піраміди. Треба знайти:
а) довжину ребра А1А2 та А1А4;
б)кут між ребрами А1А2 та А1А4;
в) площу грані А1А2А3;
г) об’єм піраміди А1А2А3 А4.
№ 1
A 2
A 3
A 4
A
41. (1;2;3) (2;0;0) (3;2;5) (4;0;0)
42. (3;0;6) (1;-3;2) (-3;2;5) (2;2;5)
43. (-2;0;-1) (0;0;4) (1;2;3) (3;2;7)
44. (1;-2;1) (1;0;2) (1;4;2) (2;0;0)
45. (-2;1;0) (3;2;7) (2;2;7) (6;1;5)
46. (-1;3;0) (2;0;0) (4;-2;1) (3;2;7)
47. (6;1;5) (5;1;0) (-4;1;-2) (-6;0;5)
48. (1;-1;6) (-5;-1;0) (4;0;0) (2;2;5)
49. (1;2;3) (-1;2;3) (7;-3;5) (6;10;17)
50. (4;7;8) (9;1;3) (2;-4;1) (1;-13;-13)
51. (8;2;3) (4;6;10) (3;2;5) (3;-2;1)
52. (2;4;1) (1;3;6) (5;3;1) (4;0;6)
53. (1;7;3) (3;4;2) (4;8;5) (7;2;4)
54. (1;-2;3) (4;7;2) (6;4;2) (4;8;6)
55. (2;7;3) (3;1;8) (2;-7;4) (6;4;7)
56. (4;2;5) (3;-1;8) (2;-7;4) (6;-4;7)
57. (4;8;5) (-1;2;3) (6;10;17) (1;7;3)
31

31. № 1
A 2
A 3
A 4
A
58. (1;0;2) (-2;0;-1) (3;4;2) (2;0;0)
59. (3;2;7) (7;2;4) (-5;-1;0) (7;-3;5)
60. (1;-2;1) (6;-4;7) (6;4;2) (4;7;2)
Завдання 3 (ЕП).
Дані три послідовні вершини паралелограму. Не знаходячи
координати вершини D, знайти:
1) рівняння сторони AD;
2) рівняння висоти BK, опущеної з вершини В на сторону AD;
3) довжину висоти BK;
4) рівняння діагоналі BD;
5) тангенс кута між діагоналями паралелограму.
Записати загальні рівняння знайдених прямих. Побудувати малюнок.
41) А(1;2), В(-1;3),С(-4;-2) 42) А(-1;2), В(1;-3),С(4;0)
43) А(-3;2), В(2;3),С(-1;-2) 44) А(3;-2), В(-4;3),С(-1;6)
45) А(-3;-2), В(1;0),С(-1;5) 46) А(-2;2), В(1;-3),С(5;0)
47) А(1;2), В(-2;1),С(-4;-5) 48) А(1;-2), В(-2;3),С(5;7)
49) А(1;-2), В(3;-3),С(7;2) 50) А(-1;-2), В(5;3),С(0;6)
51) А(5;3), В(2;1),С(3;-5) 52) А(2;-2), В(1;4),С(-3;-2)
53) А(-3;1), В(4;-2),С(0;-5) 54) А(-3;0), В(1;-2),С(4;5)
55) А(3;-3), В(-4;3),С(1;6) 56) А(3;-2), В(1;-1),С(0;5)
57) А(-1;1), В(1;3),С(5;-2) 58) А(-1;-1), В(-2;1),С(3;2)
59) А(1;-2), В(-2;3),С(3;1) 60) А(2;-2), В(3;1),С(-1;2)
Завдання 4.
Знайти першу похідну функцій.
61. ;4tg23 32sin
xxy x
⋅+= ;)(ctg ln x
xy = ;
2
12
ln
x
x
y
−
+
=
.0)cos(sin =−−⋅ yxxy
62. );4ln(3 2arcsin
xxy x
⋅+= ( ) ;2tg ln x
xy = ;
3
12
sin
x
x
y
−
+
=
.0cos)sin( =⋅−−⋅ xyyxx
63. ;
2
sin32 43tg x
xy x
⋅+= ( ) ;ctg sin x
xy = ;
12
cos3
−
=
x
x
y
.03 2
=− xye x
y
64. ;
2
cos22 43arctg x
xy x
⋅+= ( ) ;ctg tg x
xy = ;
12
tg3
+
=
x
x
y .0
3
2
2
=−
x
y
e xy
65. ;ctg4 4 32cos
xxy x
⋅+= ( ) ;sin
2
x
xy = ;
1
2
tg
+
=
x
x
y
.02sin2 =+ yxyx
66. ;tg34 4 22arccos
xxy x
⋅+= ( ) ;ctg
2
x
xy = ;
1
2
cos
−
=
x
x
y ( ) .012sin2 =−⋅− xyx
y
32

32. 67. ;2sin5 3 2ctg 2
xxy x
⋅+= ( ) ;arccos
2
x
xy = ;
1
12
cos
+
−
=
x
x
y
.0)arctg( 2
=− xyxy
68. ;
2
cos25 3 2arctg 2 x
xy x
⋅−= ( ) ;2sin 3x
xy = ;
2
12
ctg
−
+
=
x
x
y
( ) .02tg 2
=++ yxyx
69. ;
2
cos32
3
x
xey
x
tg
⋅−= ( ) ;2ctg 5x
xy = ;
12
sin 3
−
=
x
x
y
( ) .0arccos 2
=+
y
x
y
70. ;
2
sin42
arctg x
xey
x
⋅−= ( ) ;2tg cos x
xy = ;
12
tg3
+
=
x
x
y
.0arccos 2
=−





xy
y
x
71. ;2tg26 4cos 2
xxy x
⋅+= ( ) ;
2sin2 x
xy = ;
12
ln 3
x
x
y
−
=
.0arcsin 2
=−





yx
x
y
72. ( );2ln36 3arccos
xxy x
⋅−= ( ) ;12 tg x
xy −= ;
12
cos3
x
x
y
+
=
( ) .0sin 2
2
=+
y
x
yx
73. ;
2
ctg22 3cos x
xy x
⋅+= ( ) ;13
2
2x
xy −= ;
2
1
arcsin
−
+
=
x
x
y
( ) .0sintg =−+⋅ yxyx
74. ;
2
cos22 3arcsin x
xy x
⋅−= ( ) ;3sin
2
x
xy = ;
2
1
ctg
+
+
=
x
x
y
( ) .0costg =⋅+ xyxy
75. ( ) ;2tg6 4 313sin
xxy x
⋅+= +
;
2
cos
2ctg x
x
y 





= ;
12
ln 3
−
=
x
x
y
( ) .0
122
=
+
+
y
x
e yx
76. ( );12ln6 4 33arctg
−⋅−= xxy x
( ) ;2ctg cos x
xy = ;
32
tg3
−
=
x
x
y
( ) .0sin 2
=−
x
y
yx
77. ;2sin4 33
ctg
xxy
x
⋅+= ( ) ;3tg
3
x
xy = ;
1
12
cos
−
−
=
x
x
y
( ) .0sin2cos =−+⋅ xyxy
78. ;2cos4 3 22
arctg
xxy
x
⋅−= ( ) ;2tg
2
3x
xy = ;
1
12
ctg
+
−
=
x
x
y
( ) .0cossin =−+⋅ xyxy
79. ( ) ;
3
ctg43 312cos x
xy x
⋅−= +
( ) ;2ln
2
x
xy = ;
1
1
arccos
+
−
=
x
x
y
.032
=+xye yx
33

33. 80. ;3sin3 4 32arccos
xxy x
⋅+= ( ) ;2ln tg x
xy = ;
1
1
cos3
+
−
=
x
x
y
( ) .03tg
3
=+⋅− yxexy
Завдання 5.
Дослідити функцію методами диференціального числення і
побудувати її графік.
81. y=2 5123 23
+−− xxx
82.
x
x
y
163
+
=
83. 2
3
4
1
x
x
y
−
=
84. y=2 323615 23
−+− xxx
85. y= 296 23
+++ xxx
86.
x
x
y
12
+
=
87. 2
3
1 x
x
y
−
=
88. y=2 5129 23
−+− xxx
89.
1
4
3
2
−
=
x
x
y 90. 2
3 x
x
y
+
=
91. 2
1
2
x
x
y
+
= 92.
x
x
y
33
+
=
93.
x
x
y
42
+
= 94.
1
322
−
+−
=
x
xx
y
95.
52
+
=
x
x
y 96. y=2 5123 23
+−− xxx
97. y= 1093 23
−−+ xxx 98. y=2 323615 23
−+− xxx
99.
1
2
2
+
=
x
x
y 100.
4
16 2
−
=
x
x
y
Завдання 6.
Знайти невизначені інтеграли
101. а) ∫ 





+− dxx
xx
3 2
2
3
32
b) ∫ + 4
3
1 x
dxx
c) ∫ dxxx ln
102. a) ∫ 







−− dx
xx
2
4
31
43 2
b) ∫ − 22
)13( x
xdx
c) ∫ xdxx cos
103. a) dx
x
xx
∫
+−
2
132
b) ∫ + 22
)15( x
xdx
c) ∫ dxxx ln
104. a) ∫ 







−
−
dx
x
xx
2
3 2
b) ∫ x
xdx
3
sin
cos
c) ∫ ⋅ dxx x
2
105. a) ∫ 





+− dxx
xx
3 2
2
3
42
b) ∫ − 22
2
)43( x
dxx
c) ∫ xdx3arcsin
34

34. 106. a) ∫
+−
dx
xx
xx 322
b) ∫ −+
+
53
)2(
23
2
xx
dxxx
c) ∫ dxx x32

107. a) ∫ 





+− dx
x
xx 3
33 2 1
b) ∫ −52 3
2
x
dxx
c) dx
x
x
x∫ −
+
⋅
1
1
ln
108. a) dx
x
xxxx
∫
+−+−
3
324
6753
b) ∫ −4 2
3x
xdx
c) ∫ dx
x
x
3
ln
109. a) ∫
−
dx
x
x
2
2
)34(
b) ∫ + )12(cos 22
x
xdx
c) ∫ xdx2
ln
110. a) dx
x
xx
∫
+−
4
3 2
12
b) ∫3 2
sin
cos
x
xdx
c) ∫ xdxx ln4
Обчислити визначені інтеграли
111. a) ∫ −
2
0
2
)2( dxx b) ∫ +
3
0
34
16 dxxx
112. a) ∫
2
0
sin2
π
xdx b) ∫ −
4
2
32
)1(x
xdx
113. a) dxxx )2( 2
4
0
−∫ b) ∫ −
2
0
2
)sin3(
cos
π
x
xdx
114. a) ∫
+
2
1
2
12
dx
x
x
b) ∫ −
1
0
3 3
2
78 x
dxx
115. a) ∫−
−−
1
1
2
)35( dxxx b) ∫ +
2
0
5
4
4x
dxx
116. a) ∫
4
0
cos2
π
xdx b) ∫ −
3
0
2
325 dxxx
117. a) ∫ 







−
8
1
3 2
1
3 dx
x
b) ∫
+
1
0
13
dxx x

118. a) ∫
−
2
1
3
1
dx
x
x
b) ∫ −
2
0
3 2
)78(
cos
π
x
xdx
119. a) ∫−
−
1
1
2
)2( dxx b) ∫ +
2
1
42
)42( x
xdx
120. a) ∫ +
1
0
)( dxxx
 b) ∫ +
2
0
3
2
29 x
dxx
Завдання 7.
Обчислити площу фігури, обмеженої лініями. Зробити
креслення.
121.
22
2, xyxy −== ; 122. xyxxy +=+= 4,42
;
35

35. 123. 0,8,32
=== xyxy ; 124. xyxy 4,4 22
== ;
125.
22
8, xyxy −== ; 126. xyxy 2,2 23
== ;
127. xyxxy +=+= 2,22
; 128. xxyxxy 4,4 22
−=+−= ;
129. 8,0,32
=== xyxy ; 130. xyxxy +=+= 3,32
Обчислити об’єм тіла, утвореного оберненням навколо осі Ох
фігури, обмеженої указаними лініями. Зробити креслення.
131. xyxy 5,5 22
== 132. 3,2 =+= yxxy
133. xyxy 4,4 22
== . 134. 7,6 =+= yxxy
135. xyxy 3,3 22
==
Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу
фігури, обмеженої лініями. Зробити креслення.
136. .6,0,0,
6
==== yyx
x
y 137. .4,
4
1 2
== yxy
138. .0,4,3
>== xxyxy
139. .1
4
2
2
=+
y
x
140. .0,9,3
>== xxyxy
Завдання 8.
Знайти загальний розв’язок диференціальних рівнянь.
141. а) 011 22
=+′++ xyyyx ;
б) 2
x
x
y
y =−′ ;
151. а)( ) 08 =−+ dxyedye xx
б) tgxyxxy =++′ )2( 2
142. а) ydyxydydxy 22
4 =−+ ;
б) xxyctgxy sin2=−′ ;
152. а) 014 22
=+++ dyxydxyx ;
б) 03sin2cos =++′ xxyy ;
143. а) ydyxydydxy 22
3 =−+
б) ( ) ctgxyxy 24 +−=′
153. а) dxxydyyxydyxdx 22
36 −=− ;
б)
x
ytgxy
cos
1
' =+
36

36. 144. а) 023 22
=+++ dyxydxyx
б) xyctgxy sin+=′
154.
а)
43
)8(
−
+
=′
x
yy
yy
б) xxxyy cossinsin =−′
145. а)( ) 05 22
=++ dxyedye xx
б) ( )2
4
4
−+
−
=′ x
x
y
y
155. а) 015 22
=−′++ xyyy
б) 01'2
=++xyyx
146. а) 045 22
=+++ dyxydxyx
б) 1
1
4
−=
+
+′ x
x
y
y
156. а) 0ln =′+ yxyy
б) 4
22' xyxy =−
147.
а) 01
1
1
2
2
=+
−
−
′
y
x
yy
б) xxyy 3sin3cos =−′
157. а)( ) xx
yeye =′+1
б) xyyx −=−′
148. а) ( ) 04 =−+ dxedyey xx
б) ( )ухху 324 2
+=′
158.
а)
( )
13
4
−
+
=′
y
yx
yy
б) xyyx sin=+′
149. а) 04 22
=++′− xxyyx
б) хуху =+′ 2
3
159.
а)
x
yy
yy
−
+
=′
5
52 2
б) 322
=−′ xyyx
150. а) dxxyydyxydyxdx 22
222 −=−
б) ( )2
2 хуху +=′
160.
а) 53
42
+
−
=′
y
x
y
б) 4
)1(2)1( +=−′+ xyyx
37

37. Українсько-російський словник
термінів з дисципліни „Вища математика ”
„А”
Аргумент функції - аргумент функции
Асимптота – асимптота
„В”
Відрізок - отрезок
Величина – величина
„Г”
Границя – предел
„Д”
Диференціал - дифференциал
Диференціальне числення - дифференциальное исчисление
Диференціювання - дифференцирование
Ділення – деление
Добуток – произведение
Доповнення - дополнение
Дотична – касательная
„Е”
Екстремум – экстремум
„З”
Зворотна - обратная
Зростання функції - возрастание функции
„І”
Інтеграл визначений - интеграл определённый
Інтеграл невизначений - интеграл неопределённый
Інтегрування - интегрирование
„К”
Коло - окружность
Корінь - корень
Криволінійна трапеція - криволинейная трапеция
Критична крапка - критическая точка
Кутовий - угловой
38

38. „М”
Матриця - матрица
Миттєва швидкість - мгновенная скорость
Метод інтервалів - метод интервалов
Механічний зміст - механический смысл
Мішаний – смешанный
Множення - умножение
„Н”
Найбільше значення - наибольшее значение
Найменше значення - наименьшее значение
Нерівність - неравенство
Нескінченно мала - бесконечно малая
Непарний – нечетный.
„О”
Область значень - область значений
Обчислити - вычислить
Одиничне коло - единичная окружность
Оборотна - обратимая
Область визначення - область определения
„П”
Парний - чётный
Показова - показательная
Площина - плоскость
Площа - площадь
Первісна - первообразная
Перетворення - преобразование
Приріст – приращение
Прискорення - ускорение
Похідна - производная
Пряма - прямая
„Р”
Радіан - радиан
Рівняння – уравнение
„С”
Сума - сумма
Спадання функції – убывание функции
«Т»
Транспонована – транспонированная
Точка перегину – точка перегиба
„Ф”
Формула зведення - формула приведения
39

39. ЗАВДАННЯ ДО ІСПИТУ
40