Документ является курсовой работой на тему решения определенных интегралов методом Монте-Карло, выполненной студентом второго курса. В работе рассматриваются основные идеи метода, случайные числа, а также детали его применения для вычисления интегралов и других математических задач. Документ включает введение, теоретическую часть, примеры применения метода и список литературы.

1. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. А.И. ГЕРЦЕНА»
Факультет информационных технологий
Кафедра информационных и коммуникационных технологий
КУРСОВАЯ РАБОТА
По дисциплине «Вычислительная математика»
Решения определенных интегралов методом
Монте-Карло
«Допущен к защите»
Выполнила:
Студент 2 курса 2 группы
специальность ИТО
Нижарадзе Виктория Зауриевна
_________________________ 2011 г
Руководитель:
к.п.н., доцент С.В. Гончарова
Зав кафедрой ИКТ
Е.З. Власова Оценка ________________
Подпись _______________
Санкт - Петербург
2011 г.

2. СОДЕРЖАНИЕ :
1. Введение.
2. Идея метода Монте-Карло.
3. Случайные числа.
4. Метод Монте-Карло для вычисления определенных интегралов.
5. Примеры вычисления определенных интегралов методом Монте-Карло.
6. Использование Maple
7. Заключение.
8. Приложение № 1.
9. Приложение № 2.
10. Список используемой литературы.

3. Введение
Математика как наука возникла в связи с необходимостью решения практических
задач: измерений на местности, навигации и т.д. Вследствие этого математика была
численной математикой, ее целью являлось получение решения в виде числа.
Численное решение прикладных задач всегда интересовало математиков.
Крупнейшие представители прошлого сочетали в своих исследованиях изучение явлений
природы, получение их математического описания, как иногда говорят, математической
модели явления, и его исследование. Анализ усложненных моделей потребовал создания
специальных, как правило, численных или асимптотических методов решения задач.
Названия некоторых из таких методов – методы Ньютона, Эйлера, Лобачевского, Гаусса,
Чебышева, Эрмита, Крылова – свидетельствуют о том, что их разработкой занимались
крупнейшие ученые своего времени.
Просмотр методов решения сложных прикладных задач показывает, что, как
правило, эффект, достигаемый за счет совершенствования численных методов, по порядку
сравним с эффектом, достигаемым за счет повышения производительности ЭВМ. Трудно
сформулировать критерий, по которому можно было бы оценивать эффект применения
новых численных методов, и еще труднее дать его достоверную количественную оценку.
Все же, если сказать, что эффект от применения новых численных методов (при
измерении эффект в логарифмической шкале) при решении прикладных
естественнонаучных задач дает 40% общего эффекта, достигаемого за счет применения
новой вычислительной техники и новых вычислительных методов, то эта оценка не будет
завышенной.
Так как методов довольно много, в своей работе я остановлюсь на методе Монте-
Карло.
Идея метода Монте-Карло.
Метод Монте-Карло можно определить как метод моделирования случайных
величин с целью вычисления характеристик их распределений.
Возникновение идеи использования случайных явлений в области приближённых
вычислений принято относить к 1878 году, когда появилась работа Холла об определении
числа с помощью случайных бросаний иглы на разграфлённую параллельными
линиями бумагу. Существо дела заключается в том, чтобы экспериментально
воспроизвести событие, вероятность которого выражается через число , и приближённо
оценить эту вероятность. Отечественные работы по методу Монте-Карло появились в
1955-1956 годах. С того времени накопилась обширная библиография по методу Монте-
Карло. Даже беглый просмотр названий работ позволяет сделать вывод о применимости
метода Монте-Карло для решения прикладных задач из большого числа областей науки и
техники.
Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения
задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались мало
пригодными. Далее его влияние распространилось на широкий класс задач
статистической физики, очень разных по своему содержанию.
Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние на
развитие методов вычислительной математики (например, развитие методов численного
интегрирования) и при решении многих задач успешно сочетается с другими
вычислительными методами и дополняет их. Его применение оправдано в первую очередь
в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. Это объясняется
как естественностью получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с
вероятностным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения.
Обычный путь решения задачи состоит в том, что указывается алгоритм
(последовательность действий), с помощью которого искомая величина f находится или

4. точно, или с заданной погрешностью. А именно, если через обозначить
соответствующие результаты последовательно накопляющихся действий, то
причем в случае конечного числа операций процесс обрывается на некотором шаге. Здесь
процесс вычислений является строго детерминированным: два различных вычислителя
при отсутствии ошибок приходят к одному и тому же результату. Однако встречаются
задачи, где построение такого рода алгоритма практически невыполнимо или сам
алгоритм оказывается чрезмерно сложным. В этих случаях часто прибегают к
моделированию математической или физической сущности задачи и использованию
законов больших чисел теории вероятностей. Оценки искомой
величины f получаются на основании статистической обработки материала, связанного с
результатами некоторых многократных случайных испытаний. При этом требуется,
чтобы случайная величина при по вероятности сходилась к искомой величине
f [1], [2], т. е. для любого е >0 должно иметь место предельное соотношение
где Р обозначает соответствующую вероятность.
Выбор величины обусловливается конкретными особенностями задачи.
Например, часто искомую величину f трактуют как вероятность некоторого случайного
события (или, более общего, как математическое ожидание некоторой случайной
величины). Тогда частоту появления события при n соответствующих случайных
испытаниях (или соответственно эмпирическое среднее значений случайной величины) в
широких предположениях можно рассматривать как вероятностную оценку искомой
величины. Возможны также и другие варианты. Заметим, что в этих случаях
вычислительный процесс является недетерминированным, так как он определяется
итогами случайных испытаний.
Способы решения задач, использующие случайные величины, получили общее
название метода Монте-Карло, Более точно под методом Монте-Карло понимается
совокупность приемов, позволяющих получать решения математических или физических
задач при помощи многократных случайных испытаний. Оценки искомой величины
выводятся статистическим путем и носят вероятностный характер. На практике случайные
испытания заменяются результатами некоторых вычислений, производимых над
случайными числами .
Эффективное применение метода Монте-Карло стало возможным после появления
быстродействующих электронных машин, так как для получения достаточно точной
оценки искомой величины требуются выполнение вычислений для весьма большого
количества частных случаев и последующая статистическая обработка колоссального
числового материала. Заметим, что при пользовании методом Монте- Карло нет
необходимости знать точные соотношения между данными и искомыми величинами
задачи, а достаточно лишь выявить тот комплекс условий, при наличии которого
соответствующее явление имеет место. Это обстоятельство делает возможным
использование метода Монте-Карло для решения логических задач.
Из математических задач, для которых разработано применение метода Монте-
Карло, отметим следующие: решение систем линейных уравнений, обращение матриц,
нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы, вычисление
кратных интегралов, решение задачи Дирихле, решение функциональных уравнений
различных типов и др. Метод Монте-Карло успешно используется также для решения
задач ядерной физики. Заметим, что для решения одной и той же конкретной задачи
схема применения метода может быть существенно различной.

5. Случайные числа
При практическом применении метода Монте-Карло случайные испытания обычно
заменяют выборкой случайных чисел.
Определение 1. Величина называется случайной, если она принимает те или иные
значения в зависимости от появления или не появления некоторого случайного события.
Случайная величина X задается законом распределения
где x —любое действительное число и Ф(x) — известная функция (функция
распределения). Значения случайной величины называются случайными числами.
Определение 2. Если случайная величина имеет заданный закон распределения [1],
[2] (равномерный, нормальный и т. п.), то будем говорить, что соответствующие
случайные числа распределены по этому закону. Пусть числа
являются значениями одной и той же случайной величины X при независимых между
собой испытаниях с повторяющимися условиями. Тогда последовательность случайных
чисел
будем называть случайной, с соответствующим законом распределения. В дальнейшем,
как правило, мы будем рассматривать равномерно распределенные на единичном отрезке
случайные последовательности (1). Если (а, b) —любой промежуток из
отрезка [0, 1] и — число элементов конечной подпоследовательности
принадлежащих промежутку (а, b), то для равномерно распределенной
последовательности (1) имеет место предельное соотношение
т. е. предельная относительная частота равномерно распределенной на [0,1]
последовательности для каждого частичного промежутка (а, Ь) равна длине этого
промежутка.
Если случайная последовательность равномерно распределена на отрезке [0, 1],
то линейное преобразование
где А и В—данные числа, приводит к случайной последовательности равномерно
распределенной на отрезке [А,В].
Вообще, имея случайную последовательность , равномерно распределенную на
отрезке [0, 1], можно построить случайную последовательность с заданным законом
распределения Ф(у). А именно, пусть
— соответствующая функция распределения, где —плотность вероятности.
Для простоты будем предполагать, что функция
непрерывна и строго монотонна (рис. 84). Тогда для каждого , определяя из
уравнения

6. получим случайную последовательность { }, имеющую заданный закон распределения
Ф(у). А именно, по способу построения, для
последовательности { }будет справедливо предельное соотношение
где — число элементов конечной подпоследовательности
, принадлежащих произвольному промежутку (а, Ь).
В частности, полагая
этим способом получим каноническую нормально распределенную (гауссову) случайную
последовательность , соответствующую случайной величине Y с математическим
ожиданием MУ=0 и дисперсией DУ=1. Линейное преобразование
дает нормально распределенную случайную последовательность , соответствующую
случайной величине Z, для которой математическое ожидание MZ=c и дисперсия
Метод Монте-Карло для вычисления определенных интегралов.
Метод Монте-Карло занимает особое положение среди методов вычисления
определенных интегралов по двум причинам. Во-первых, это единственный метод,
позволяющий вычислять интегралы высокой кратности. И во-вторых, это метод, который
дает лишь вероятностные гарантии степени точности вычисления интегралов.
Метод Монте-Карло - это статистический метод, его используют при вычислении
сложных интегралов, решении систем алгебраических уравнений высокого порядка,
моделировании поведения элементарных частиц, в теориях передачи информации и
массового обслуживания, при исследовании сложных систем (экономических,
биологических и т. д.).
Сущность метода состоит в том, что в решаемую задачу вводят случайную
величину ξ, изменяющуюся по какому-то закону p(ξ). Как правило, случайную величину
выбирают таким образом, чтобы искомая в задаче величина стала математическим
ожиданием от случайной величины.

7. Таким образом, мы определяем искомую величину лишь теоретически. А вот
чтобы найти ее численно, пользуются статистическими методами: берут выборку
случайной величины ξ объемом элементов. В результате получают вариант
случайной величины ξi, для которых вычисляют их среднее арифметическое (выборочное
среднее)
которое и принимают в качестве приближенного значения (оценки) искомой
величины :
Для получения результата приемлемой точности по методу Монте-Карло требуется
большое число статистических испытаний. Именно поэтому этот метод иногда так и
называют: метод статистических испытаний.
Теория метода Монте-Карло изучает способы выбора случайных величин ξ для
решения различных задач, а также способы уменьшения дисперсии используемых
случайных величин. Уменьшение дисперсии играет большую роль, поскольку при равных
объемах выборок, выборка с меньшей дисперсией имеет меньшую погрешность.
Итак, для вычисления однократного интеграла методом Монте-Карло может быть
применена формула
∫ ∑=
=
−
==
b
a
N
i
i Sxf
N
ab
dxxfI
1
,)(
)(
)(
(а)
где xi равномерно распределенное на интервале [a,b] случайное число. Справедлива
следующая оценка точности вычисления интеграла по формуле (а) с вероятностью p=1-η
выполняется неравенство
.
N
D
IS
η
≤−
Например, если положить p=99%, тогда η = 0.01 и можно утверждать, что с
вероятностью 99% справедливо неравенство
.10
N
D
IS ≤−
где
.)()(
2
2
∫ ∫ 







−=
b
a
b
a
dxxfdxxfD
Все, что нужно для вычисления интегральной суммы по формуле (а) - это
научиться получать случайные числа, равномерно распределенные на интервале [a,b]. Для
этой цели можно использовать генератор случайных чисел, входящий в состав
стандартных библиотек, поставляемых с компилятором. С помощью функции random
легко получить случайное вещественное число, равномерно распределенное на интервале
[0,1] - например, результатом выполнения оператора x=random является случайное
вещественное число из интервала [0,1]. Имея случайное вещественное число из интервала
[0,1] легко получить случайное число из любого интервала. Например, если z - случайное
число из интервала [0,1] , тогда x=a+(b-a)*z - случайное число из интервала [a,b].

8. Как видно из приведенных выше оценок погрешности формулы (а) точность
вычисления интеграла и в методе Монте-Карло определяется числом слагаемых N в
интегральной сумме - чем больше слагаемых, тем точнее результат. Ниже приведен
пример и программа, вычисляющая определенный интеграл методом Монте-Карло.
Метод Монте-Карло легко обобщается на интегралы произвольной кратности.
Например, двукратный интеграл может быть вычислен по формуле
∫∫ ∑=
=
−−
≈=
b
a
b
a
N
i
ii Syxf
N
cdab
dxdyyxfI
1
,),(
))((
),(
где xi, yi - случайные числа, равномерно распределенные на интервалах [a,b] и [c,d]
соответственно. Оценка точности вычисления интеграла по формуле (b) совершенно
аналогично приведенной выше для случая однократного интеграла.
Примеры вычисления определенных интегралов методом Монте-Карло.
Пример №1: Вычислить определенный интеграл
I = ( )∫ +
1
0
2
*5 dxxx
Решение.
( ) 





+=+∫ 2
5
3
*5
231
0
2 xx
dxxx
= 6
17
.
Точное значение интеграла I= 6
17
, ниже приведены результаты программы.
program MonteKarlo;

9. uses crt;
Label l1,l2;
var
j1,j,a,b,c,n1,k,n:integer;
I,Y,x:real;
Begin
randomize;
clrscr;
writeln('Vvod znachenii');
write('a = ');
Read(a);
write('b = ');
Read(b);
write('n = ');
Read(n);
writeln('--------------------------------');
writeln('| k | integral | vsego ispitani|');
for j:=1 to 9 do
begin
I:=0;
for j1:=1 to n do
begin
x:=a+(b-a)*random;
I:=I+x*x+5*x;
end;
I:=I*(b-a)/n;
writeln('--------------------------------');
writeln('| ',j,' | ',i:2:6,' | ',n,' |');
{writeln(' Integral = ',i:6:7,' vsego ispitani = ',n,' popalo pod function = ',n1);}
end;
writeln('--------------------------------');
readkey;
end.
Пример №2: Вычислить определенный интеграл
I = ( )∫∫ +
1
0
2
1
32
dydxyx
Решение.
( ) 12
49
0
1
4
15
34
15
4
1
4
16
2
1
2
4
1
0
3
2
1
0
22
1
0
4
2
1
0
2
1
32
=





+=





+=





−−+=





+=+ ∫∫∫∫∫ x
x
dxxdxxxdx
y
yxdydxyx
Точное значение интеграла I= 12
49
, ниже приведены результаты программы.

10. program MonteKarlo2;
uses crt;
Label l1,l2;
var
j1,j,d,a,b,c,n1,k,n:integer;
I,Y,x:real;
Begin
randomize;
clrscr;
writeln('Vvod znachenii');
write('a = ');Read(a);
write('b = ');Read(b);
write('c = ');Read(c);
write('d = ');Read(d);
write('n = ');Read(n);
writeln('--------------------------------');
writeln('| k | integral | vsego ispitani|');
for j:=1 to 9 do
begin

11. I:=0;
for j1:=1 to n do
begin
x:=a+(b-a)*random;
y:=c+(d-c)*random;
I:=I+sqr(x)+sqr(y)*y;
end;
I:=I*(b-a)*(d-c)/n;
writeln('--------------------------------');
writeln('| ',j,' | ',i:2:6,' | ',n,' |');
{writeln(' Integral = ',i:6:7,' vsego ispitani = ',n,' popalo pod function = ',n1);}
end;
writeln('--------------------------------');
readkey;
end.
Пример № 3:Вычислить определенный интеграл
по формуле
,
где n – число испытаний ;g(x) – плотность распределения “вспомогательной” случайной
величины X,
причем , в программе g(x) = 1/(b-a)
Программа написана на языке TURBO PASCAL 7.0
Program pmk;
Uses crt;
Var k,p,s,g,x,Integral : real;
n,i,a,b : integer;
BEGIN
writeln(‘Введите промежуток интегрирования (a;b):’);
readln(a);
readln(b);
writeln(‘Введите количество случайных значений(число испытаний):’);
readln(n);
k:=b-a; {Переменной“k”присвоим значение длины промежутка
интегрирования}
writeln(‘k=’,k);
for i:= 1 to n do begin {проведем n испытаний}
g:=random; {g – переменная вещественного типа, случайная величина из
промежутка [0;1]}
x:= a + g*(b-a); {По этой формуле получается произвольная величина из [a; b] }
s:=s + (1+x); {s:=s +(x*x)} {Вообще можно подставить любую функцию}
delay(1000); {задержка, чтобы произвольные значения не повторялись}
end; {конец испытаний}
writeln(‘s=’,s); {Сумма функции для n произвольных значений}

12. Integral:=(1/n)*k*s ;
writeln(‘Интеграл=’,Integral);
readln;
END.
Требуется ввести промежуток интегрирования и количество испытаний,
интегрируемая функция уже задана в программе (но ее можно поменять).
; .
Функция k N=10 N=100 N=500 N=1000
f(x)=1+x 2 5.737 5.9702 6.02 5.99
f(x)=x*x 3 9.6775 8.528 8.7463 8.937
Использование Maple
В системе имеется функция для генерации случайных чисел с различными
законами распределения, в т. ч. и равномерным (uniform) законом. Как уже говорилось,
она имеет имя random и находится в пакете статистики stats.
Разработаем небольшую подпрограмму генерации необходимого числа случайных
чисел с равномерным распределением и реализации описанного в подразд. 10.3 алгоритма
вычисления определенного интеграла. В подпрограмму введём также определение затрат
времени на расчёты. Ниже приведён соответствующий рабочий документ Maple.
Для простоты интегрируется функция х2 в пределах от 0 до 1. Точное значение
интеграла равно 1/3.
> restart;
> f:=x^2;N:=10000;
:=f x2
:=N 10000
> t:=time();
:=t 591.277
> for i from 1 to N do
a[i]:=stats[random,uniform[0,1]]():
b[i]:=stats[random,uniform[0,1]]():
if subs(x=a[i],f)<=b[i] then
n[i]:=1:
else n[i]:=0 fi;
od:
integr:=evalf(add(n[i],i=1..N)/(2*N),4);
:=integr .3346

13. > tm:=time()-t;
:=tm 21.346
Для 100/2 «бросаний» точек интеграл равен 0,32, а время вычислений составило
0,176 с (процессор Celeron с тактовой частотой 1,2 ГГц). В приведённом выше случае
число точек равно 10000/2 = 5000, величина интеграла определена как 0,3346, а время
вычислений составило около 21 с (при указанных выше ресурсах ПК).
Заключение.
Существует много задач, для решения которых случайный подход более
эффективный, чем другие математические методы. Метод Монте-Карло применялся во
многих задачах, однако его использование не всегда было оправдано из-за большого
количества вычислений, необходимых для получения ответа с заданной точностью.
Существует класс задач, сложность (количество вычислений, необходимых для получения
точного ответа) которых растет с размерностью задачи экспоненциально. Иногда можно,
пожертвовав точностью, найти алгоритм, сложность которого растет медленнее, но есть
большое количество задач, для которого этого нельзя сделать и метод Монте-Карло
является единственной возможностью для получения достаточно точного ответа за
приемлемое время.
На примере интегралов видно, что необходимость применения численных методов,
а именно метода Монте-Карло, чаще всего может быть вызвана отсутствием у
первообразной функции представления в элементарных функциях и, следовательно,
невозможностью аналитического вычисления значения определенного интеграла. Также
возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить
значение интеграла численным методом. Для малого числа измерений интегрируемой
функции производительность Монте-Карло интегрирования гораздо ниже, чем
производительность детерминистических методов. Тем не менее, в некоторых случаях,
когда функция задана не явно, а необходимо определить область, заданную в виде
сложных неравенств, случайный метод более предпочтительный.
В настоящее время основные усилия исследователей направлены на создание
эффективных Монте-Карло алгоритмов различных физических химических и социальных
процессов для параллельных вычислительных систем.
Метод Монте-Карло используется очень часто, порой некритично и
неэффективным образом. Он имеет некоторые очевидные преимущества:
а) Он не требует никаких предложений о регулярности, за исключением квадратичной
интегрируемости. Это может быть полезным, так как часто очень сложная функция, чьи
свойства регулярности трудно установить.
б) Он приводит к выполнимой процедуре даже в многомерном случае, когда численное
интегрирование неприменимо, например, при числе измерений, больше 10.
в) Его легко применять при малых ограничениях или без предварительного анализа
задачи.
Он обладает, однако, некоторыми недостатками, а именно:
а) Границы ошибки не определены точно, но включают некую случайность. Это, однако,
более психологическая, чем реальная, трудность.
б) Статическая погрешность убывает медленно.
в) Необходимость иметь случайные числа.

14. Приложение 1:
Способы получения случайных чисел.
Для выработки случайных чисел можно использовать результаты случайных
физических процессов (например, бросание игральной кости, вращение рулетки, вспышки
в счетчике Гейгера, шум при электрических передачах и т. п.). Имеются также готовые
таблицы случайных чисел.
Строго говоря, при пользовании механическими приспособлениями для получения
случайных чисел нет абсолютной уверенности, что мы имеем дело со случайными
событиями с заданным распределением вероятностей. Поэтому полученный материал
обычно подвергается статистической «проверке на случайность». В этом смысле
надежнее употреблять случайные числа из таблиц, где такая проверка уже проделана;
однако использование таблиц случайных чисел для решения задач на электронных
цифровых машинах часто связано с серьезными неудобствами.
Для решения задач методом Монте-Карло обычно требуется весьма большое
количество случайных чисел. Эти числа практически наиболее удобно получаются с
помощью специальных датчиков случайных чисел, подключаемых к машине. Действие
этих датчиков регулируется случайными физическими процессами (например,
радиоактивным распадом, шумами в электронных лампах и т. п.).

15. Так как воспроизводство случайных чисел, отвечающих данной теоретической
модели, есть процесс весьма тонкий и сложный, то на практике часто ограничиваются
получением так называемых псевдослучайных чисел, в основных чертах похожих на
соответствующие случайные. Источниками (датчиками) псевдослучайных чисел служат
достаточно сложные математические алгорифмы.
Укажем некоторые простые приемы получения случайных чисел, в обобщенном
смысле, равномерно распределенных на отрезке [0, 1]. Для простоты будем предполагать,
что эти числа представляют собой правильные десятичные дроби с фиксированным
количеством десятичных знаков после запятой, например s (s-разрядные десятичные
дроби), т. е. могут быть записаны в виде
где —цифры этого числа, принимающие значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9.
Для составления таблицы случайных чисел вида (1), равномерно распределенных
на [0, 1], достаточно указать способы получения цифр с соблюдением следующих
условий:
а) а есть случайная выборка из системы чисел 0 — 9, причем все указанные значения
равновероятны;
б) выбор предыдущей цифры никоим образом не влияет на выбор последующей .
Для получения s-разрядного случайного числа такая выборка производится s раз.
Система выбора, удовлетворяющая условиям а) и б), практически может быть
реализована многими способами. Рассмотрим некоторые из них.
1. В урну опускают десять одинаковых перенумерованных шаров с номерами
0 — 9. Из урны последовательно извлекается шар и записывается его номер а. После
каждого извлечения шар возвращают в урну и перед каждым следующим тиражом все
шары в урне
перемешиваются.
2. Одновременно бросают две игральные кости. Если n1 и n2 — числа выпавших
очков (n1 , n2 = 1, 2, 3, 4, 5, 6) соответственно на первой и второй костях (кости должны
быть различаемыми), то очередная цифра случайного числа берется равной остатку от
деления суммы 6(n1 — 1) + n2 на 10, где n1<6, т. е. есть целое неотрицательное число,
меньшее 10, удовлетворяющее сравнению,
Если n1 = 6, то кости перебрасываются. Из формулы (2) вытекает, что цифра а с равной
вероятностью может принять любое значение от 0 до 9.
3. Берется s-разрядное целое число. Число возводится в квадрат и выбираются
средние s его разрядов; затем процесс повторяется. Если s достаточно велико, например
s>= 10, то выбираемые разряды могут быть приняты за наборы элементов s-разрядных
псевдослучайных чисел.
Для получения последовательности псевдослучайных чисел можно также
использовать умножение многозначного числа на постоянный множитель и извлечение
средних разрядов или возведение многозначного числа в квадрат и приведение результата
по модулю некоторого достаточно большого простого числа.
4. Псевдослучайная последовательность {хn} вырабатывается с
помощью процесса
где
5. Используется десятичное разложение положительного
иррационального числа

16. где —целая часть числа и ( )— его дробная часть.
Для получения случайной последовательности {хn} полагают:
Если требуется случайная последовательность, состоящая из s-разрядных чисел, то в
числах ограничиваются соответствующими разрядами.
Для решения некоторых задач нужно иметь несколько случайных
последовательностей
В этом случае выбирают m линейно независимых положительных иррациональностей
и полагают:
Можно также взять одну равномерно распределенную случайную
последовательность {хn} и произвести из нее т выборок:
беря числа не подряд, а через m элементов. Очевидно, таким образом, мы будем иметь m
равномерно распределенных подпоследовательностей.
С помощью этих и других методов составлены таблицы случайных чисел. В таких
таблицах обычно даются случайные десятичные цифры; из них легко можно
конструировать случайные числа определенного разряда. Для примера приводим часть
одной из таблиц пятиразрядных случайных чисел (таблица 76).
Таблица 76
Случайные числа, равномерно распределенные на отрезке [0, 1]
Приложение 2.
Оценка погрешности метода Монте-Карло.
Пусть для получения оценки a* математического ожидания а случайной величины
Х было произведено n независимых испытаний (разыграно n возможных значений Х) и по
ним была найдена выборочная средняя , которая принята в качестве искомой
оценки: . Ясно, что если повторить опыт, то будут получены другие возможные

17. значения Х, следовательно, другая средняя, а значит, и другая оценка a*. Уже отсюда
следует, что получить точную оценку математического ожидания невозможно.
Естественно возникает вопрос о величине допускаемой ошибки. Ограничимся отысканием
лишь верхней границы d допускаемой ошибки с заданной вероятностью (надёжностью)
g: .
Интересующая нас верхняя грань ошибки d есть не что иное, как «точность
оценки» математического ожидания по выборочной средней при помощи доверительных
интервалов. Рассмотрим следующие три случая.
Случайная величина Х распределена нормально и её среднее квадратичное
отклонение d известно.
В этом случае с надёжностью g верхняя граница ошибки
, (*)
где n число испытаний (разыгранных значений Х); t – значение аргумента функции
Лапласа, при котором , s - известное среднее квадратичное отклонение Х.
Случайная величина Х распределена нормально, причём её среднее квадратическое
отклонение s неизвестно.
В этом случае с надёжностью g верхняя граница ошибки
, (**)
где n – число испытаний; s – «исправленное» среднее квадратическое отклонение,
находят по таблице приложения 3.
Случайная величина Х распределена по закону, отличному от нормального.
В этом случае при достаточно большом числе испытаний (n>30) с надёжностью,
приближённо равной g, верхняя граница ошибки может быть вычислена по формуле (*),
если среднее квадратическое отклонение s случайной величины Х известно; если же s
неизвестно, то можно подставить в формулу (*) его оценку s – «исправленное» среднее
квадратическое отклонение либо воспользоваться формулой (**). Заметим, что чем
больше n, тем меньше различие между результатами, которые дают обе формулы. Это
объясняется тем, что при распределение Стьюдента стремится к нормальному.
Из изложенного следует, что метод Монте-Карло тесно связан с задачами теории
вероятностей, математической статистики и вычислительной математики. В связи с
задачей моделирования случайных величин (в особенности равномерно распределённых)
существенную роль играют также методы теории чисел.
Среди других вычислительных методов, метод Монте-Карло выделяется своей
простотой и общностью. Медленная сходимость является существенным недостатком
метода, однако, могут быть указаны его модификации, которые обеспечивают высокий
порядок сходимости при определённых предположениях. Правда, вычислительная
процедура при этом усложняется и приближается по своей сложности к другим
процедурам вычислительной математики. Сходимость метода Монте-Карло является
сходимостью по вероятности. Это обстоятельство вряд ли следует относить к числу его
недостатков, ибо вероятностные методы в достаточной мере оправдывают себя в
практических приложениях. Что же касается задач, имеющих вероятностное описание, то
сходимостью по вероятности является даже в какой-то мере естественной при их
исследовании.

18. Список используемой литературы:
1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики (3-е изд.). М.:
Наука, 1966
2. Будак В.П., Методы решения уравнения переноса излучения: учебное пособие. М.:
Издательский дом МЭИ, 2007-52с.
3. Дробот, Ю.Б. Вычислительная математика. Использование Maple : учеб. пособие /
Ю.Б. Дробот, А.И. Кондратьев. – Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2005. – 86 с.
4. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков, Численные методы.
5. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль.
- Томск: МП "РАСКО", 1991. - 272 с: ил.
6. И, М, Соболь, Численные методы Монте-Карло. ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва
1973
7. Ермаков С. М. Методы Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1971г.
8. Математика. Большой энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. – М.:
Большая Российская энциклопедия,1999г.
9. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
10. Э.В. Денисова А.В. Кучер ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 2010