أمنية وجدى, profile picture
Uploaded byأمنية وجدى
38,320 views

حلول تمارين الكتاب المدرسى جبر للصف الثالث الثانوى

تناقش الوثيقة مسائل حسابية تتعلق بالتباديل والتوافيق، مثل طرق جلوس الأشخاص على المقاعد وأعداد الأرقام المكونة من أعداد مختلفة مع أو بدون تكرار، وتوزيع الجوائز بين المتسابقين. تقدم أمثلة توضيحية مشابهة، مع تفاصيل حول كيفية حساب عدد الطرق الممكنة لإنجاز كل مهمة. تستعرض الوثيقة أيضًا بعض العمليات الحسابية اللازمة لحل هذه المسائل بطريقة منظمة.

Embed presentation

Downloaded 831 times
1 / 144
2 / 144
3 / 144
4 / 144
5 / 144
6 / 144
7 / 144
8 / 144
9 / 144
10 / 144
11 / 144
12 / 144
13 / 144
14 / 144
15 / 144
16 / 144
17 / 144
18 / 144
19 / 144
20 / 144
21 / 144
22 / 144
23 / 144
24 / 144
25 / 144
Most read
26 / 144
Most read
27 / 144
Most read
28 / 144
29 / 144
30 / 144
31 / 144
32 / 144
33 / 144
34 / 144
35 / 144
36 / 144
37 / 144
38 / 144
39 / 144
40 / 144
41 / 144
42 / 144
43 / 144
44 / 144
45 / 144
46 / 144
47 / 144
48 / 144
49 / 144
50 / 144
51 / 144
52 / 144
53 / 144
54 / 144
55 / 144
56 / 144
57 / 144
58 / 144
59 / 144
60 / 144
61 / 144
62 / 144
63 / 144
64 / 144
65 / 144
66 / 144
67 / 144
68 / 144
69 / 144
70 / 144
71 / 144
72 / 144
73 / 144
74 / 144
75 / 144
76 / 144
77 / 144
78 / 144
79 / 144
80 / 144
81 / 144
82 / 144
83 / 144
84 / 144
85 / 144
86 / 144
87 / 144
88 / 144
89 / 144
90 / 144
91 / 144
92 / 144
93 / 144
94 / 144
95 / 144
96 / 144
97 / 144
98 / 144
99 / 144
100 / 144
101 / 144
102 / 144
103 / 144
104 / 144
105 / 144
106 / 144
107 / 144
108 / 144
109 / 144
110 / 144
111 / 144
112 / 144
113 / 144
114 / 144
115 / 144
116 / 144
117 / 144
118 / 144
119 / 144
120 / 144
121 / 144
122 / 144
123 / 144
124 / 144
125 / 144
126 / 144
127 / 144
128 / 144
129 / 144
130 / 144
131 / 144
132 / 144
133 / 144
134 / 144
135 / 144
136 / 144
137 / 144
138 / 144
139 / 144
140 / 144
141 / 144
142 / 144
143 / 144
144 / 144
                 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                فإن :    و أمكن إجراء عملية أخرى بطرق عددها    إذا أمكن إجراء عملية ما بطرق عددها   ×   = عدد طرق إجراء العمليتين معاً  ٢    / إذا كان لدينا ٥ مقاعد مختلفة ، فما عدد طرق جلوس ٣ أشخاصعلى هذه المقاعد ؟ $ يمكن جلوس الشخص الأول بطرق عددها ٥ ، يمكن جلوس الشخص الثانى بطرق عددها ٤ D ، يمكن جلوس الشخص الثالث بطرق عددها ٣  ٦٠ طريقة = ٣ × ٤ × يمكن جلوس الأشخاصالثلاثة بطرق عددها ٥ E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  / كم عدداً مكوناً من رقمين يمكن تكوينه من الأرقام ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١ إذا كان : أولاً : غير مسموح بتكرار أى رقم فى العدد ثانياً : إذا سمح بالتكرار آحاد عشرات $ خانة الآحاد يمكن شغلها بطرق عددها ٥ ، خانة العشرات يمكن شغلها بطرق عددها ٤ D أولاً : أولاً  ٢٠ عدداً = ٤ × عدد الأعداد = ٥ E خانة الآحاد يمكن شغلها بطرق عددها ٥ ، خانة العشرات يمكن شغلها بطرق عددها ٥ أيضاً D ثانياً : ثانياً  ٢٥ عدداً = ٥ × عدد الأعداد = ٥ E "حيث يسمح بالتكرار" ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  / تعطى مدرسة ثلاث جوائز أولاها فى القسم الأدبى و الثانية فى القسم العلمى و الثالثة فى قسم الرياضيات . فإذا كان عدد المتسابقين ٤ ، ٧ ، ٨ على التوالى ، فبكم طريقة يمكن توزيعها ؟ $ يمكن توزيع الجائزة الأولى بطرق عددها ٨ D ، و يمكن توزيع الجائزة الثانية بطرق عددها ٧ ، و يمكن توزيع الجائزة الثالثة بطرق عددها ٤  ٢٢٤ طريقة = ٤ × ٧ × يمكن توزيع الجوائز الثلاثة بطرق عددها = ٨ E العدد PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
      / كم عدداً من أربع أرقام مختلفة يمكن تكوينه من الأرقام ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١ ؟ العدد و كم عدد هذه الأعداد التى يبدأ كل منها بالرقم ٥ دون تكرار للرقم ؟ آحاد عشرات مئات آلاف $ أولاً :الأعداد المكونة من أربع خانات : خانة الآحاد يمكن اختيارها بطرق عددها ٥ ، خانة العشرات يمكن اختيارها بطرق عددها ٤ ، خانة المئات D يمكن اختيارها بطرق عددها ٣ ، خانة الآلاف يمكن اختيارها بطرق عددها ٢ أولاً  ١٢٠ عدداً = ٢ × ٣ × ٤ × عدد الأعداد المكونة من أربع خانات من الأرقام المعطاة = ٥ E : و مكونة من أربع خانات  ثانياً :الأعداد التى تبدأ بالرقم ٥ دون تكرار للرقم خانة الآحاد يمكن اختيارها بطرق عددها طريقة واحدة ، خانة العشرات يمكن اختيارها بطرق عددها ٤ D و خانة المئات يمكن اختيارها بطرق عددها ٣ ، خانة الآلاف يمكن اختيارها بطرق عددها ٢ ٢ × ٣ × ٤ × ١ =  و مكونة من أربع خانات  عدد الأعداد التى تبدأ بالرقم ٥ دون تكرار للرقم E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١ ] حديقة لها ثمانية أبواب ، بكم طريقة يمكن لشخص الدخول إلى الحديقة و الخروج منها بشرط ألا يسمح له ]  b ،S  ،  : ،  = Y ، ٦ ) س G ط ، ٢  س : س  =S ٢ ] إذا كانت ] أوجد بفرضعدم السماح بتكرار أى رقم كل مما يأتى :  ٧ ، ٦ ، ٥ ، ٤ ، ٣ =S ٣ ] إذا كانت ] و بفرضعدم السماح بتكرار أى رقم أوجد عدد كل من الأعداد ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١ =S ٤ ] إذا كانت ] ؟ ٥ ] كم عدداً من خمس خانات تبدأ برقم فردى يمكن تكوينها من الأعداد ٦ ، ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١ ] ٦ ] كم عدداً يمكن تكوينه من الأرقام ٧ ، ٦ ، ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١ بحيث تبدأ بالرقم ١ و تتكون من أربعة ]   ثانياً  ٢٤ عدداً =        بالخروج من الباب الذى قد دخل منه ؟ Y أوجد عدد عناصر S أولاً : كم عدد مكون من ٥ أرقام يمكن تكوينه من عناصر بشرط ألاّ يكون رقم آحاده ٤ أو ٥ S ثانياً : كم عدد مكون من ٥ أرقام يمكن تكوينه من عناصر بشرط ألاّ يكون رقم آحاده ٤ و رقم عشراته ٥ S ثالثاً : كم عدد مكون من ٥ أرقام يمكن تكوينه من عناصر أولاً : الأعداد التى تحتوى على ٣ أرقام بالضبط S الآتية المكونة من عناصر ثانياً : الأعداد التى تحتوى على ٣ أرقام على الأكثر ثالثاً : الأعداد التى تحتوى على ٣ أرقام على الأقل أرقام دون تكرار للرقم ؟  ٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
         بأخذها كلها أو بعضها فى كل مرة .  الأشياء  هى كل ترتيب يمكن تكوينه من مجموعة من العناصر = R '; التبديلة ; ' عدد الأشياء المتاحة عدد الأشياء المطلوبة R  ;  ٤        ١ + R  ; × ...... ×  ٣  ;   ٢  ;  ١  ;  ; = R ' ; : ١ ] قانون العوامل ]   و يساوى عدد العوامل  : الدليل R : العلم ، ; حيث ; G R G + بحيث ١ XL R ، ; كل من ، إذا كانت *  ; R ' ; = قيمة عددية ** إذا أردنا إيجاد قيمة R ' ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١ × ٢ × ٣ × ...... ×  ٣  ;   ٢  ;  ١  ;  ; = ; = ; ' ; : ٢ ] مضروب العدد ] و ينتهى بالعدد ١ ; يبدأ بالعدد ; * مضروب العدد ٣  ;  ٢  ;  ١  ; ; = ٢  ;  ١  ; ; = ١  ; ; = ; ** ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ R '; ٣ ] قانون المضروبات : ] عندما يكون الدليل رمز ** عندما يكون الدليل عدد كبير معلوم *  *** فى إثبات العلاقات الجبرية ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٤ ] ملاحظات هامة على التباديل و المضروبات : ] ١ ; ٢ ; = ١ ' ; ١ = صفر = ١ ٣ ١ = ٠ ' ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ R ' , = R ' ; ٥ ] إذا كان : ] = صفر Rs الدليل = صفر ٢ : أو , = ; s العلم = العلم ١ : فإما  / , ، ; ٧٢٠ فأوجد قيم كلٍ من = , ، ٢٤ = ٣ ' ; إذا كان $ D ; ٢٤ نحلل العدد ٢٤ إلى ثلاثة عوامل متتالية مرتبة تنازلياً أكبرها = العلم = ٣ ' E ; ٤ = ; E ٢ × ٣ × ٤ = ٣ ' نحلل العدد ٧٢٠ إلى عوامل متتالية تنتهى بالعدد ١ E ٧٢٠ = , D ٦ = , E ١ × ٢ × ٣ × ٤ × ٥ × ٦ = , E PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
      ،  ٥٠٤٠ فأوجد قيمة كل من =  ' ١٠ ، ١٢٠ =  ' إذا كان ٥ / نحلل العدد ١٢٠ إلى عوامل متتالية أكبرها ٥ E ١٢٠ =  ' ٥ D $ ٤ " عدد العوامل " =  E ٢ × ٣ × ٤ × ٥ =  ' ٥ E ٥ =  ٤ أو =  s نحلل العدد ٥٠٤٠ إلى عوامل متتالية أكبرها ١٠ E ٥٠٤٠ =  ' ١٠ D ٤ " عدد العوامل " =  E ٧ × ٨ × ٩ × ١٠ =  ' ١٠ E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ؟ ; ٣ فما قيمة ' ٢  ; × ١٤ = ٤ ' ; إذا كان / $ D ; ٤  ;٣  ; ٢  ; ١٤ = ٣  ; ٢  ; ١  ; ; E ٣ ' ٢  ; × ١٤ = ٤ ' ٥٦  ; ١٤ = ;  ٢; E ٤  ; ١٤ = ١  ; ; E = ٨ ; ٧ أو = ;s ٠ = ٨  ; ٧  ; E ٠ = ٥٦ + ; ١٥  ٢; E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ــ ٣ + ; ١ + ;   اختصر : ــــــــــــــــــــ ٤/   ٧ ١٠ ٥ " عدد العوامل " =  E ١ × ٢ × ٣ × ٤ × ٥ =  ' أو ٥ ١  ; ٢  ; ٣ ; ١  ; ٧ ١٠ ٧ ١٠ ٣ + ; ١ + ; ١  ; ٢ ٢ + ;  ١ + ; ٢  ٢ ١+; ٢+; ١  ; ١  ; ٢ ٧ ١٠ ١ + ; ٢ ١ + ;  ١ + ; ٢ ١  ;٢ ;٢١+;٢ ١ - ; ;١+;٢+; ٢ + ; ٤ ٢ + ; ٣ + ٢; ٧ ١٠ ٢ - ٧ ١  ; ٢ ;  ١  ; ٢ ١  ; ١  ; ٢  ٥   ٦ + ;٥ + ٢; = ٢  ; ٣  ; = ـــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ $ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ؟ ; ١٠ فما قيمة : ٧ = ; ' ١  ; ٢ : ١  ; ' ١ + ; إذا كان : ٢ / $ ; ' ١ + ; ٢ D : ١  ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــ ÷ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ E ١٠ : ٧ = ; ' ١  ; ٢ ــــــــــــــــــــــ = ــــــــ × ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ E ـــــــــــــــــــــ = ـــــــــ × ــــــــــــــــــــــ E ـــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــ E ـــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــ E ٠ = ٢٠–; ٤٠– ١٤ + ; ٢١ + ٢; ٧ E  ٢ + ; ٤  ١٠ =  ٢ + ;٣ + ٢;  ٧ E ٠ =  ٣ - ;  ٢ + ;٧ E ٠ = ٦  ; ١٩  ٢; ٧ E ٣ = ; s ٠ = ٣  ; + أو XM = ــــــــ مرفوض ; s ٠ = ٢ + ; إما ٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ١ + R ; = ١  R ' ; : R ' ; : أثبت أن /  $ ; R - ; ; ١+ R- ; ; R - ; R  ;  ١ + R ;) ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × ــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ ÷ الطرف الأيمن = ــــــــــــــــــــ ; ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٥ ٥ ٢ ×  ٩ × ٧ × ٥ × ٣ × ١  = أثبت أن : ١٠ / ١ × ٢ × ٣ × ٤ × ٥ × ٦ × ٧ × ٨ × ٩ × ١٠ = ١٠ $   ١ × ٣ × ٥ × ٧ × ٩  × ٥ × ٥ ٢ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ٥ ) س G ٣  ، XL س : س  = S إذا كانت /  ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١ ، ٠ ، ١  ، ٢  ، ٣   = SD $ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١  R ' ٦ × ٤ = R ' إذا كان : ٦ /  $ ١ + R ٢ + R ٢  R ١  R R ١ + R ٦ ٦ ١ ٤ ـــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ E ـــــــــــــــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــ = ٤ D R  ٦ ١ + R ٦ ١ ٤ ــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ E R  ٦ R  ٧ R  ٦ R  ٦  R  ٧  ٤ R ٧ ٤ ٥ ٣ ٤ ١ ٢ ٤ ٤ ٥ ٣ ٣ ٤ ١ ١ ٢ المقدار = ــــــــ + ــــــــ + ــــــــ = ــــــــــــــ + ــــــــــــــ + ـــــــــــــ E    ١ + R ; =  ١ × ٣ × ٥ × ٧ × ٩  ×  ٢ × ٤ × ٦ × ٨ × ١٠  =  ١ × ٣ × ٥ × ٧ × ٩  ×  ١ × ٢ × ٢ × ٢ × ٣ × ٢ × ٤ × ٢ × ٥ × ٢  = Y أوجد عدد عناصر  { b  b A ، SL { ،  ، A :  { ،  ، A = Y ،  ٣٣٦ عنصر = ٦ × ٧ × ٨ = ٣ ' = ٨ Y عدد عناصر E فأوجد قيمة : ــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــ ٣ = R E ٤ = R ٧ s ١ = ـــــــــــــــــ E ١ ٥ ١ ٤ ١ ٢ ١٠ + ٥ + ٤ ٢٠ ١٩ ٢٠  = ـــــــ + ـــــــ + ـــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ = ـــــــ  ٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
         ١ ] بكم طريقة يمكن انتخاب حرف صحيح و آخر معتل من أربعة حروف صحيحة و ثلاثة معتلة ؟ ] ٢ ] تعطى مدرسة ثلاث جوائز أولاها فى القسم الأدبى و الثانية فى القسم العلمى و الثالثة فى قسم الرياضيات . ] ٣ ] ما عدد التراتيب المختلفة التى يمكن تكوينها إذا أخذنا ٥ حروف من كلمة " انتخبوه " ؟ ] مأخوذة ثلاثاً ثلاثاً يساوى خمسة أمثال تراتيب أشياء عددها ; ٤ ] إذا كان أربعة أمثال تراتيب أشياء عددها ] ؟ ٥ ] ما عدد التراتيب الممكن عملها من أرقام العدد ٦٥٤٣٢١ ] ؟ ٦ ] كم عدداً من أربع خانات يمكن تكوينه من الأعداد ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١ ] ؟ ٧ ] كم عدداً من خمس خانات تبدأ بعدد فردى يمكن تكوينها من الأعداد ٦ ، ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١ ] ٨ ] كم ترتيباً يمكن تكوينه من خمسة أنواع من الأشجار كل ترتيب منها مكون من شجرتين دون تكرار ؟ ] ٩ ] كم عدداً يمكن تكوينه من الأعداد ٧ ، ٦ ، ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١ بحيث تبدأ بالرقم ١ و تتكون من أربعة ] ٣ '; = ٢٤ فأوجد ٢ ; ١٠ ] إذا كان ] + ١ R ٦٧٢٠ فأوجد = R ' ١١ ] إذا كان ٨ ] ؟ ; ٣ فأوجد قيمة ' ٢  ; × ١٤ = ٤ ' ; ١٢ ] إذا كان ] ٧٢ = ١  ; : + ١ ; ٢ إذا علم أن : ' ; + ١ ' ; +  ' ; : ١٣ ] أوجد قيمة ] ١  R ' + ١ ; ٧٢٠ فأوجد قيمة : = R ، = ٦٠٤٨٠ R ' ; ١٤ ] إذا كان ] ١  R ' ١  ; R + R ' ١  ; = R ' ; : ١٥ ] أثبت أن ] ; ٥ فأوجد : ٧٢ = ٣ '١  ; ٢ : ٤ '١ + ; ١٦ ] إذا كان ٢ ] R ٦٠٤٨٠ فأوجد = R ' ١٧ ] إذا كان ٩ ] ٥ ٥ ٢ ×  ٩ × ٧ × ٥ × ٣ × ١  = ١٨ ] أثبت أن : ١٠ ] ; ;٢ ×   ١  ; ٢  × ..... × ٥ × ٣ × ١  = ; ١٩ ] أثبت أن : ٢ ] س ' ٢ ، ٣٦٠ س + ص = ٥٠٤٠ أوجد ص = ٤ ' ٢٠ ] إذا كان س + ص ]        فإذا كان عدد المتسابقين ٤ ، ٧ ، ٨ على التوالى فبكم طريقة يمكن توزيعها ؟ . ; مأخوذة ثلاثاً ثلاثاً فأوجد  ١  ;  و ما عدد ما يبتدئ منها بالرقم ١ و ينتهى بالرقم ٥ دون تكرار ؟ و كم عدد هذه الأعداد التى يبدأ كل منها بالرقم ٥ دون تكرار الرقم ؟ أرقام دون تكرار للرقم ؟  ٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ١ + R ٢ + R ٢  R ١  R R ١ + R ١ فأوجد قيمة ــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــ  R ' ٦ × ٤ = R ' ٢١ ] إذا كان ٦ ]  ٧ G س G ، ١ } L س : س  = S ٢٢ ] إذا كانت ]  ٤ G س G ٣  ، XL س : س  = S ٢٣ ] إذا كانت ] ; ٢  ; ؟ ; ٣ : ــــــــــــــــــ = ٧ فما قيمة ' + ١ ; ٢٤ ] إذا كانت ] ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ   ٢٥ ] أوجد قيمة كل من : ] ' ٤ + ٢ ' ٨ ( A ) R ٦٠٤٨٠ فأوجد قيمة = ١ + R' [ ٢٧ ] إذا كان : ٩ R ٧٢٠ فأوجد قيمة = R' ٢٦ ] إذا كان : ١٠ ] , ٣٠ فأوجد قيمة = ٢ ' ; ،٩٠ = ٢ ' , [ ٢٩ ] إذا كان : ; ٣٣٦ فأوجد قيمة = ٣' ; ٢٨ ] إذا كان : ] ٣٠ ] إذا كان : س = ٥٠٤٠ فأوجد قيمة س ] R ، ; ٦٠٤٨٠ فأوجد قيمة كل من = R' ; ، = ٧٢٠ R ٣١ ] إذا كان : ] ; ٦٠ فأوجد قيمة = ٢  ;' ; : ٣٢ ] إذا كان ] ; ٥٦ فأوجد قيمة = ١  ; ' + ٥ ; ٣٣ ] إذا كان : ] ' ; ٣٤ ] إذا كان : ] +  ; ٣  ; ٦٥ فأحسب قيمة = ٢' ; + ١' ' ; ٣٥ ] إذا كان : ] ، ٢١٠ =  ' ٨ ' ; ٣٦ ] إذا كان : ] × ٩٠ = ٥ ; ' ٨ فأوجد قيمة  ; ; ١٢٠ فأوجد قيمة = ١ - ; ١ + ; ; : ٣٧ ] إذا كان ]  ٩٩ × ..... × ٥ × ٣ × ١  ٥٠ ٥٠ ٢ = ٣٨ ] أثبت أن : ١٠٠ ] إذا كان : R ، ; = ــــــــــــــــ و استخدم ذلك فى إيجاد قيمة R ' ١  ; : R ' ; : ٣٩ ] أثبت أن ]   ؟ X كم عدد عناصر   b A ، SL  ، A :   ، A = X و كانت ؟ Y كم عدد عناصر { b  b A ، SL { ،  ، A :  { ،  ، A = Y ،   ' ٥ ٤ ٦ (  ) ٣ ٠' ٨ + ١ ' ٨ (  ) ٤  ٣ ' ٥ ( {) س = ٦٧٢٠ ، س + ص = ٥٠٤٠ فأحسب قيمة  ; ' ; R  ;    ٣ + ٢ + ١ + ٠ (  ) ;' ص ; : R ' ' ١  ; : R ' ٢  ; ٢ : ٤ : ٧ = R  ٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
          ; من الأشياء المختلفة ; من العناصر المختلفة من بين R هى عدد طرق اختيار R Q بدون ترتيب العناصر التى نختارها عدد الأشياء المطلوبة Q = عدد الأشياء المتاحة R Q; التوفيقة ; RQ ; ١ - RQ   ١ + R- ; R العلم - الدليل الأصغر الدليل الأكبر  ٩         ١ ] قانون العلاقة بين التباديل و التوافيق : ] ; = ــــــــــــــ R Q  ; G R G + بحيث ١ XL R ، ; : الدليل ، كلٍ من R : العلم ، ; حيث إذا كانت *  ; ــــــــــــ R ــــ Qـــــ ; ــــ ـــ =ـــقـيــمــةــــ عــ دـــ دـيـةــــــــــ *ـــ *ــإـــ ذـاـــأــ رــ دـنـاـــإـيـــ جـاـــ دـــقـيــمــةــــــ R ــــ Q ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ ] قانون المضروبات : ] ; = ــــــــــــــــــــــــــــــــ RQ عندما يكون الدليل رمز ** عندما يكون الدليل عدد كبير معلوم *  ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ *ــ *ـــ *ـــفــ ىـــإـثـبـاــــ تـــاـلــعـــ لاــقـاــــ تــاـلــــ جـبــرـيـةــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣ ] قانون تبسيط الدليل : ] ; = RQ ; R- ;Q ; عن نصف قيمة العلم R إذا زادت قيمة الدليل  ; س+ص= ٢ : س = ص أو ١ : ص فإما Q; س = Q; إذا كان : :  * ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٤ ] قانون النسبة بين توفيقتين متتاليتي الدليل : ] ـــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٥ ] ملاحظات هامة على التوافيق : ] ١ + RQ١ + ; = ١ + RQ; +RQ; [٤] ١ = ;Q; [٣] ; = ١Q; [٢] صفر = ١ Q; ١] ]   ; R ' R ; R R ; PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ١Q ٥٠ ، ٩Q١٢ ، ٤Q٧ ، ٤Q أوجد قيمة كل من : ٦ / ' ٦ ٤ ٤ ' ٧ ٤ ٤ ٤ = ــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــ = ١٥ Q٦ * $ ' ١٢ ٣ ٣ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ــ أثبت أن : ـــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــ / ; ; ÷ $ الطرف الأيمن = ــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١  R ١ + R ; R R ; = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ١  R R; ( ١+R; ; ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ ) × ; ١  R R × R  ; ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ؟ R ، ; ١٢٠ فما قيمة = RQ; ، = ٧٢٠ R '; إذا كان : / ; R ' R ٧٢٠ R D $ ; ـــــــــــــ = ١٢٠ s ــــــــــــــــ = ١٢٠ E ١٢٠ = RQ ٧٢٠ ١٢٠ ــــــ =ــــ ٠ــ١ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ; ــــــــ s ــــ٨ـــــــــــــــ × ـــ٩ـــــ × ــــ٣ــــــ =ــــ٠ــ١ـــــ ' ـــــ ; ــــــ E ــــــ =ــــ٠ــ٢ـــ٧ــــــــــ R ـــــ ' ــــــ ; ـــــ D ـــــــــــــــــــــــ،ـــــــ ٣ + R٧ Q; ٥ فما قيمة + R٢ Q; = R٢ + ٢RQ; ، ١٢٠ = ٣ Q; إذا كان : / ; ٣' ٣ D $ ; ١ = ; E ٨ × ٩ × ١٠ = ٧٢٠ = ٣ '; E ــــــــــــ = ١٢٠ E ١٢٠ = ٣Q ٥ + R٢ Q ; = R٢ + ٢RQ ; D ، إما ٥  = R s ٥ = ٢ Rs ٥ + R ٢ = R ٢ + ٢ R مرفوض E +XM ٥ مرفوض  = R ١ أو = R s ٠ =  ٥ + R  ١ R  E E ;  ١ = ١٠Q١٠ = ٣ + ٧Q١٠ = ٣ + R٧ Q   ٣ × ٤ × ٥ × ٦ ١ × ٢ × ٣ × ٤ ٤ × ٥ × ٦ × ٧ ١ × ٢ × ٣ × ٤ ٥×٦×٧ ١×٢×٣ ٣ = ــــــــــــــــ = ٣٥ Q٧ = ٤Q ٤ = ـــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــ = ٣٥ أو ٧ Q٧ * ١٠ × ١١ × ١٢ ١ × ٢ × ٣ ٣ = ـــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ = ٢٢٠ " باستخدام قانون التبسيط " Q١٢ = ٩Q١٢ * ١ + R ; R ; RQ ; RQ ١  ; RQ ; RQ ١  ١ + R ; R ٥٠ = ١Q٥٠ * ٣ = R s ١ × ٢ × ٣ = = ٦ R E = ـــــــــ R E ٠ = ٥  R ٤ + ٢R E ١٠ = ٥ + R ٢ + R ٢ + ٢R أو  ١٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ؟ ; ٣٦ ، فما قيمة = ٢  ;Q; : إذا كان / ٣٦ = ; ٢ Q; E ٣٦ = ٢  ;Q D $ باستخدام قانون التبسيط نجد أن : ' ;  ٩ = ; E ٨ × ٩ = ٧٢ = ٢ '; E ٣٦ ٢E ــــــــــــ = ٢ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٥ : ٤ = ١ ;Q; : ٢ + RQ; ، ٢ = Q; ١  ; : RQ; : إذا كان / ــــــــــــــــــــــــ = ٢ s باستخدام قانون النسبة E ــــــــــــــــــــــ = ٢ D $ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــ s باستخدام قانون النسبة E ـــــــــــــــــــــــ = ـــــــ D ، ـــــــــــــــــــ = ــــــ E ١  R = ٣ ; ، بالتعويضمن ( ١ ) عن  = ٨ ; ٣ و منها = R E ١٨ = R ٦ E ٨ + R ٤ = ١٠  R ١٠ E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١٤ : ١٤ : ٣ = ٤ + RQ; : ٢  RQ; : RQ; : إذا كان / ٤ + RQ; = ٢  RQ; E ـــــــــــــــــــــــــــ = ــــــ = ١ D $ ـــــــــــــــــــــــ = ــــــ × ـــــــــــــــــــــــــ E ـــــــــــــــــــــــ = ــــــ D ،  ١  ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــ و بالتعويضمن × ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ E ٠ = ٦٢  R ٩ + ٢ R ١١ s ـــــــــــــــــــ = ـــــــ × ـــــــــــــــــ E ٠ =  ٢  R  ٣١ + R ١١  E   ؟ R ، ; فما قيمة كل من ; RQ ; RQ ١  ١ + R ; R ; ٢ + RQ ; ١ + RQ ٤ ٥  ١ o ٠ = ١ + R ٣  ; E ١ + ٢  R ; ٢ + R ٤ ٥ ٢  R٢ ٢ + R ٤ ٥ ؟ R ، ; فما قيمة كل من ; ٢  RQ; ٤ + RQ ١٤ ١٤ ٢ مرفوض = ٤ s ٢ + R = + ٤ R إما E  ١ o ٦ + R ٢ = ; s ; = ٢ + R + + ٤ R أو ; ٢  RQ ; RQ ١٤ ٣ ; ٢  RQ; ١ + RQ ; ١  RQ ; RQ ١٤ ٣ ١ + ٢  R ; ٢ + R ١ + ١  R ; ١ + R ١٤ ٣ ٥ + R ٢ + R ٦ + R ١ + R ١٤ ٣ ٣١  ١١ +XM = ــــــــــ مرفوض R s ٠ = ٣١ + R إما ١١  ١٠ = ; E ١  ٢ و بالتعويض فى = R s ٠ = ٢  R أو  ١١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ٢٣ ( ; ١١ أثبت أن : Q; ( ١٢ Q; إذا كان / D$ ; ١١Q; ١١ باستخدام قانون النسبة و ذلك بقسمة الطرفين على Q; ( ١٢ Q  ٢٣ ( ; E ١٢ ( ١١  ; E ١ ( ــــــــــــــــــــــــــ E ١ ( ــــــــــــــــ E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ Q٢٥ + ٤ Q٢٤ ٣ ١ و من ثم أوجد قيمة ـــــــــــــــــــــــــــــــــ  RQ١  ; × = ـــــــ RQ; أثبت أن : /  $ Q٢٣ ٢ + ٣ Q٢٤  ; ١  ;  RQ; = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــ × الطرف الأيسر = ـــــــ ; R ١  R ١ + R ١  ; R R; Q٢٥ + ٤ Q٢٤ ٣ ٣ Q ومن ثم المقدار = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ بالقسمة بسطاً و مقاماً على ٢٤ Q٢٤ + ٣ Q٢٣ ٢ ٢٥ ٤ Q Q٢٣ ٢ Q٢٤ ٣ المقدار = ــــــــــــــ + ١ ÷ ١ + ــــــــــــــــ E Q٢٤ ٣ ٥٨ ٢٤ × ٢٩ و باستخدام الإثبات المقدار = ـــــــ + + ٣ ـــــــ = ـــــــــــــــــ ٢٥ E = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ٩ ٢٧ × ٤ ٢٤ ١ ÷ ـــــــ ١ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٤ R ' ١ أوجد قيمة : ٨ ( ٧ QR ، ١ ( R Q إذا كان : ٩ /  ١ o R ( ٩ E ١ ( R Q٩ D$  ٢ o ٧ ( R E ١ ( ٧QR D ، ٨ = R s +XL R D ، ٩ ) R ) ٧ E  ٢  ،  ١  من  ٤٠٣٢٠ = ١ × ٢ × ٣ × ٤ × ٥ × ٦ × ٧ × ٨ = ٨ = ٨ '٨ = R '٨ E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ؟ R ٤ فى تتابع هندسى ، فما قيمة QR ، ٥ QR ، ٦ Q + ١ R إذا كان / D $ Q١ + R ، ٦ R ٤ فى تتابع هندسى QR ، ٥ Q ـــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ s ــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــ E ٥  R ٥ × ١ + R R × ٥  R ٦ ١ + ٥  R ٥ R  ١ + R ٤  R ٥ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ E ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ E ٥ R ٥ ٦  ٢٩ = R s ٥ + R ٥ = ٢٤  R٦ E ـــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ E   ; ١٢ Q; ١١Q ١ + ١٢  ; ١٢ ; R R ٥ Q Q١ + R ٦ R ٤ Q R ٥ Q Q١ + R ٦ R ٥ Q R ٥ Q R ٤ Q ١ + R ٦ ٤  R ٥  ١٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     أعلنت شركة عن وجود ثلاث وظائف بها ، تقدم لهذه الوظائف خمسة أشخاص / ٣ × ٤ × ٥ ٣ ٣ = ــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ = ١٠ طرق Q عدد الطرق = ٥ $ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ بكم طريقة يمكن انتخاب لجنة للطلبة بها ٦ أعضاء من بين ٢٠ طالباً ، ١٠ طالبات / ٤ = ــــــــــــــــــــــــــــ = ٤٨٤٥ Q يمكن انتخاب ٤ طلاب من بين ٢٠ طالباً بطرق عددها = ٢٠ $ ٢ = ـــــــــــــ = ٤٥ Q و يمكن انتخاب طالبتين من ١٠ طالبات بطرق عددها = ١٠ ٢١٨٠٢٥ طريقة = ٤٥ × عدد الطرق الممكنة لانتخاب اللجنة = ٤٨٤٥ E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٦ = ١Q يمكن اختيار شارع من ٦ شوارع بعدد من الطرق = ٦ "  إلى  من "$ ٤ = ١Q يمكن اختيار شارع من ٤ شوارع بعدد من الطرق = ٤ "  إلى  من " ٢٤ طريقة = ٤ × عدد الطرق الممكنة = ٦ E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ بكم طريقة يمكن انتخاب لجنتين كل منهما تتكون من ٣ أشخاصمن بين ١٢ شخصاً / ٣ = ــــــــــــــــــــ = ٢٢٠ طريقة Q يمكن انتخاب اللجنة الأولى بعدد من الطرق = ١٢ $ فإذا انتخبنا ثلاثاً " اللجنة الأولى " يتبقى ٩ أشخاصينتخب منهم ٣ للجنة الثانية بعدد من الطرق   ٣ × ٤ × ٥ ١ × ٢ × ٣ ١٧×١٨×١٩×٢٠ ١×٢×٣×٤ ٩ × ١٠ ١ × ٢ و أربعة شوارع تؤدى من المكان ،  إلى المكان  يوجد ستة شوارع تؤدى من المكان / ؟  بحيث تمر بالمكان  إلى  كم طريقة يمكن اختيارها لتؤدى من ،  إلى المكان  ١٠×١١×١٢ ١×٢×٣ بكم طريقة يمكن اختيار ٣ أشخاص ؟ بحيث تتكون اللجنة من ٤ طلاب و طالبتين ؟ بحيث لا يدخل شخص فى كلتا اللجنتين ؟ ٣ = ــــــــــــــــــــ = ٨٤ طريقة Q ٩ = ٧×٨×٩ ١×٢×٣ ١٨٤٨٠ طريقة = ٨٤ × عدد الطرق التى يمكن بها انتخاب اللجنتين = ٢٢٠ E  ١٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
         ١ ] احسب قيمة كل مما يأتى : ] ; ٢ ] إذا كان : ] ; ٣ ] إذا كان : ] فأوجد قيمة ; ٣ = ــــــ ٣٠ Q ; ١٠Q ; + , ٤ ] إذا كان : ] ، ٥٦ = ٣Q , ; ٥ ] إذا كان : ] ١٢٠ فأوجد قيمة ٢ = ٣Q ; ; ٦ ] إذا كان : ] = R٢ + ٢RQ ; ; ٧ ] أثبت أن : ] ; ٨ ] أثبت أن ] : RQ ١  ; RQ ١ = ـــــــــ و من ثم أوجد ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ; ٩ ] إذا علم أن ] : RQ ; ١٠ ] بكم طريقة يمكن انتخاب لجنتين تتكون كل منها من أربعة أشخاصمن بين عشرة أشخاصبحيث لا يدخل ] ١١ ] بكم طريقة يمكن تكوين فريق من سبعة أعضاء من بين تسع بنات و خمسة أولاد بحيث يحتوى الفريق على ] ١٢ ] بكم طريقة يمكن انتخاب لجنة بها ثمانية أعضاء من بين ١٥ طالباً و ٨ طالبات بحيث تتكون اللجنة من ] ; + , ١٣ ] أكتب مفكوك ] ومن ثم أثبت أن : ١٢ يقبل القسمة على ٥ ٧ ; Q      ٩٨Q١٠٠    ٧Q٢٠    ٤Q٢٠    ٦Q١٣    ; ٤٣٥ فأوجد قيمة = ٢Q ١ ٣ ,  ; ٣ فأوجد قيمة = ٢Q ٥ + ;Q ٥ ، و كان : + R٢ Q ; = ١ + RQ ١ + ; ١ ومن ثم : + R Q Q١٧ + ٦ Q١٧ ٥ أوجد قيمة : ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ    Q١٨ ٥ ١٢٠ ، أوجد = ٣Q ; ٣ + R٧Q RQ = ١  ٢ + ; ١ + RQ Q٢٥ + ٤ Q٢٤ ٣ Q٢٤ + ٣ Q٢٣ ٢ ٢ + ١ + RQ ; ; R + RQ ; أثبت أن :    ; + RQ ; : ٢  RQ ; R ، ; ١٤ فأوجد قيمة كل من : ١٤ : ٣ = ٤ + RQ شخص فى كلتا اللجنتين ؟ ثلاثة أولاد فقط ؟ خمسة طلبة و ثلاث طالبات ؟  ١٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ــ ٣ ; ٣ ٥ ــ ٢ ; ــ ١ R ــ ; ; ١ ] إذا كان ـــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ فأوجد قيمة ] ــ ١ R ــ ; ; ــ ١ R R ــ ; R ; ٢ ] أثبت أن ــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ ] ــ ١ ; R مجموعة الأعداد الطبيعية  L  ٥ حيث Q١ +  × ١٠ = ٣ '١ +  ٣ ] حل المعادلة ]  ١  R ;  R ;  :  ١ + ;  ; = ١ + RQ١ - ; : ١ + RQ + ١ ; ٤ ] أثبت أن ] ; ٥ ] إذا كان ] ، ٢ = ٢ ' ; + , ; ٦ ] إذا كان ] ، ٢١٠ = R ' ; R٢ Q فأوجد قيمة ١٢ R Q و التى تجعل هذه العلاقة صحيحة ; ثم أوجد أقل قيمة للعدد ; ٧ ] إذا كان ] ١٢٠ = R ' ; , ٨ ] إذا كان ] ، ٣٥ = ٤  ,Q ;  ١ × ٠٠٠ × ٧ × ٩ × ١١ × ٥ ٥ ٢ = ٩ ] أثبت أن ١١ ] ; ١٠ ] إذا كان ] = ٧Q ; ٢ RQ١٣ × ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = RQ ١١ ] أثبت أن ١٣ ] ; × ٩٠ = RQ١ + ; × ٩ = ١ + RQ + ٢ ; ١٢ ] إذا كان ] ١٣ ] أثبت أن ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ ] R ٤ فما قيمة  R Q٢٤ = ١  R ٢Q ١٤ ] إذا كان ٢٤ ] ; ١٥ ] إذا كان العامل الأوسط فى مفكوك ] = ٤ ; ٧ يساوى ٩ و كان س ٢ ــ '       ٦ Q١٦ : ٦ Q و من ثم أوجد ١٨ ٩٠ فأوجد قيمة = ٢ ' ; + , R ، ; ١٠٥ فأوجد قيمتى = R Q = ,Q ; فما قيمة كل من  ١٣Q ;  R ١٥  R ١٤   ١  R  R R ، ; فأوجد قيمة كل من ; ٢ × ١Q ; ٢Q ;٣ ٣Q ;٢ ٢Q Q١  ; ٣ ٢ ;  ,Q ؟ ; ، , ١ فما قيمة + ,Q ؟ ;Q٢٣ ، ١٨Q ١ - RQ ؟ ٢ ' + X L فأوجد س حيث س  ١٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     صــ ١ فأوجد قيمة س ،ص Q س × ص = ٢ Q ص + ١ ، س Q ص = س Q ١٦ ] إذا كان س ] ; ١٧ ] إذا كان ] ; ، ١ : ٢ = RQ٢ + ; : R' + ٢ ; ١٨ ] إذا كان ] : ١ + RQ ; ; ، ١٠ + R Q٣٠ = RQ ١٩ ] إذا كان ٣٠ ] ; ٢٠ ] أثبت أن ] : RQ ; ; ٢١ ] إذا كان ] : RQ ; : ١ + RQ ; ; ٢٢ ] إذا كان ] = RQ ; ، ١ + RQ ; ; ٢ ; (  ــ ١ ; ٢  × ٠٠٠٠٠ × ٥ × ٣ × ١ ) ; ٢٣ ] اثبت أن ــــــــــــــ = ٢ ]  ٩ G س G ، ٥ } L س : س  = S ٢٤ ] إذا كانت ] ; ٢٥ ] إذا كان ] R ، ١ ( RQ ٢٦ ] إذا كان ٧ ] ; ٢٧ ] إذا كان ] × ٢ + RQ ; ; ٢٨ ] إذا كان ] ٢٩ ] أثبت أن ٢٥ تقبل القسمة على ٥ ٧ ١٣ ] ; ٣٠ ] أثبت أن ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ٢ ]   ٣ : ٥ = RQ × ٩٠ = ٧' ــ ٢ ; R ــ ; ٥ فأوجد قيمة '  ــ ١ R  R :  + ٢ R ــ ;  + ١ R ــ ;  = ــ ٢ RQ ؟ R ، ; ٣ : ٢ : ١ فما قيمة كل من = ٢ + RQ : ١ + RQ ; ــ ١ = ــــــــ RQ ٧ ٦ ; + فأوجد قيمة X L ; ٤ ، Q ٨Q١٥ : ١٠Q و من ذلك أوجد قيمة ١٥ ؟ Y كم عدد عناصر  SL { ،  ، A :  { ،  ، A = Y ، تحقق المتباينة السابقة ; ٧ فأوجد أقل قيمة للعدد ' R ١ فما قيمة ٦ ــ ( ٥Q F RQ ١ ٦ G ٥Q ; ; فأوجد ٢ R ــ ;Q ؟ R ، ; فما قيمة كل من ( ٨' ; ; × ١ + RQ ; ــ ١ RQ ١ + R ٢ F ; فأثبت أن ٣ ــ Q ; ; ٥ فأوجد قيمة + ٢; ٣ ــ ; ٢ = ــــــ Q ; ٢ × ٠٠٠٠٠٠ ×  ٢ + ;  ١ + ;   ــ ١ ; ٢  × ٠٠٠٠٠٠ × ٥ × ٣ × ١  ١٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ١ ] أوجد قيمة كلاً مما يأتى : ] ٨ل ٤ ( ب ) ٩ل ١ ــ ٩ل ٣ ــ ٩ ل ٢ + ٨ ل ٢ + ( أ ) ٨ ل ٠ ٢ ] أختصر كلاً مما يأتى : ] ٧ ٤ ٣ ] أثبت أن : ] ١٥ ١٢ ٩٩ ١٠٠ ١ + ; ــ ١ ; ٢ + ; ;  ٢ + ;٢  ٤ ] أثبت أن : ] ــــــــــــــــ + ـــــــــــــــ + ـــــــــــــــ = ــــــــ ٤ ٥ ٦ ٠ ٦ ٤ ٣ ٥ ٥ ٢٩ × ٦ ١٩ ٢٩ ل ٧ = ــــــــــــــــــ × ٥ ] أثبت أن : ١١ ل ٥ ] ٥ ١٣ ; ١ ــ + ; = ;  ــ ١ ;  + ــ ١ ; ; ٦ ] أثبت أن : ]  + ١ R ــ ;  : ٧ ] أثبت أن ] ل; ; = ــ ١ R ٥٠ ٥٠ ٢ ×  ٩٩ × ..... × ٥ × ٣ × ١  = ٨ ] أثبت أن : ١٠٠ ] ١٦ ٨ ; ١ ــ + ; ; + ١ + ; [ [ ٦ ; ٩ ] إذا كان ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــ أوجد ] [ [ ١٠ ; ٩٠ أوجد قيمة = ل ٢ ; ١٠ ] إذا كان ] [ ١٦٨٠ أوجد قيمة م [ ٨ = ١١ ] إذا كان مل ٤ ] [ [ ٧٢٠ ; ٩٩٠ أوجد قيمة = ــ ١ ل ٣ ; ١٢ ] إذا كان ٢ ] [ [ ٣٣٦ R ل; = ٢٤ فأوجد قيمة ٢ ; ١٣ ] إذا كان ]       [ ١٤٣٢٨٠ ، ٧٠٠ ، ٤٤١ ، ١٧٣٧ ] ١٣ ل ٥ + ( جـ ) ٧ ل ٤ ــ ٦ل ٣ ــ ٥ ل ٢ ( د ) ١٠ ل ٣ ــ ١٢ ل ٤ [ ( أ ) ــــــــــ ، ــــــــــ ، ـــــــــــ [ ٠,٠١ ، ٢٧٣٠ ، ٢١٠ [  ١ + ;  ــــــ ،  ١ + ;  ; ] ( ب ) ـــــــــــــــــــــ ، ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــ = ١٠ × ٩ ل ٦ ( ب ) ـــــــــــ = ( ١٢ ل ٥ ــ ١٩ ل ٤ ) ( أ ) ٦ل ٢ ٢ ٣ ٣ ٤ ١ ٢ مسائل على قوانين التباديل فقط : ــ ١ ل ; = ــ ١ R ل; R  ١٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ] إذا [ ٤ كان ــ ; ٥٠٤٠ = ١ فأوجد قيمة [ ; ٢ ١٤ ] [ ] إذا كان ل = فما قيمة ــ ٢٤ ] ١ R ٦٧٢٠ ٨R ١٥ ] [ ٨ ٧ ; ٢ ] إذا كان ل ; ــ ل أوجد قيمة [ ٣ × ١٤ = ; ٤ ١٦ ] أو [ ٥ ; ١] إذا كان ; × + ل ٣ ٣٠ = ١; ٥ ١٧ ] ــ ل أوجد قيمة [ ] إذا كان ل [ ٥ ; ٥ : ــ ل ٧٢ = ١;٢ : ١+; ٢ ٣ ٤ فأوجد قيمة ١٨ ] [ ] ; ; ; [ ٦٥ ] ٢ ١ ٠ ٧٢ = ١ ; ١ ; إذا كان + : ــ ، أوجد قيمة ل + ل + ل ١٩ ] [ ١٢ ; ] إذا كان ـــــــــ + ـــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ فأوجد قيمة ٢١٠ ٢ ١ ٢٠ ] [ ٢ + ; ١ + ; ; ] [ ٨ ; إذا كان ــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــ = ــــــــــ فأوجد قيمة ٢١ ] [ ٣ ــ ٢ ; ٥ ــ ١ ; ٢٠٨ ; [ [ ٣ ; = ١٠ : ٧ فأوجد قيمة ; ــ ١ل ;٢ : ــ ١ ; ١ل +; ٢٢ ] إذا كان ٢ ] [ [ ٣ R ٤٢ : ١ فأوجد قيمة = + ١ R ٩ل : ــ ١ R ٢٣ ] إذا كان ٩ل ] = ٤ R ٢٤ ] إذا كان ٦ ل ] ١ + R ٢ + R ٢ + R ٣ + R ــ ١ R R [ [ ٩ ، ٦ ; ، R ٧٢٠ فأوجد قيمة كل من = R ، = ٦٠٤٨٠ R ل; ٢٥ ] إذا كان ] [ ٦٧٢٠ ، س ــص = ٧٢٠ فأوجد قيمة كل من س ،ص [ ١ ، ٧ = ٢٦ ] إذا كان س + ص ل ٥ ] R ل; = ٢ R ١ ل + ; ، ــ ١ R ــ ١ ل ; × ٥ = ــ ١ R ل; × ٢٧ ] إذا كان ٣ ] ; ٢ ; (  ــ ١ ; ٢  × ٠٠٠٠٠ × ٥ × ٣ × ١ ) ; ٢٨ ] أثبت أن : ــــــــــــــ = ٢ ] R + R ــ ١ ل ; = R ل; ٢٩ ] أثبت أن : ]  + ١ R ــ ;  : ; = ــ ١ R ــ ١ ل ; ــ ١ : R ل ; ٣٠ ] أثبت أن : ]   R ٦ل ثم أثبت أن : R ــ ١ فأوجد قيمة ٢ ٣ [ ــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــ = ـــــــــ [ ٣ [ [ ٣ ، ٥ R ، ; أوجد قيمة كل من ــ ١ ل ; ــ ١ R  ١٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
      ٥ G س G ٢  ، XL س : س  = S ٣١ ] إذا كانت ]  ١٥ G س G ط ، ٤ L س : س  = S ٣٢ ] إذا كانت ] ٣٣ ] حديقة لها سبعة أبواب ، بكم طريقة يمكن لشخص الدخول إلى الحديقة و الخروج منها بشرط أن لا يسمح له بالخروج ] [ من أى باب دخل منه ؟ [ ٤٢ ٣٤ ] نزل ٥ سياح بفندق به ٩ حجرات خالية ، فبكم طريقة يمكن توزيع هؤلاء السياح على هذه الحجرات بشرط أن يشغل ] [ كل منهم حجرة على انفراد ؟ [ ١٥١٢٠ ٣٥ ] يستطيع المغادرة لمصر الجديدة إلى الجيزة ماراً بميدان التحرير أن يأخذ ٥ خطوط أتوبيس من مصر الجديدة ] فى الحالات الآتية :  دمنهور  ٣٦ ] أوجد عدد التباديل التى يمكن تكوينها من أحرف كلمة ] أوجد بفرضعدم السماح بتكرار أى رقم كل مما يأتى :  ٧ ، ٦ ، ٥ ، ٤ ، ٣  = S ٣٧ ] إذا كانت ] [ [ ١٢٠ S كم عدد مكون من ٥ أرقام يمكن تكوينه من عناصر  أولاً  [ ٧٢ ] بشرط أن لا يكون رقم آحاده ٤ أو ٥ S كم عدد مكون من ٥ أرقام يمكن تكوينه من عناصر  ثانياً  [ ١١٤ ] بشرط أن لا يكون رقم آحاده ٤ ورقم عشراته ٥ S كم عدد مكون من ٥ أرقام يمكن تكوينه من عناصر  ثالثاً  و بفرضعدم السماح بتكرار أى رقم أوجد عدد كل من الأعداد  ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١  = S ٣٨ ] إذا كانت ]   [ [ ٥٦ Y أوجد عدد عناصر   b A ، SL  ، A :   ، A = Y ، [ [ ١٣٢٠ X أوجد عدد عناصر { b  b A ، SL { ،  ، A :  { ،  ، A  =X، إلى التحرير و أخذ ٧ خطوط أتوبيس من التحرير إلى الجيزة . فبكم طريقة يمكن لشخص الانتقال من مصر [ الجديدة و العودة إليها ماراً بالتحرير فى الذهاب و الإياب بشرط عدم استخدام أى أتوبيس أكثر من مرة واحدة ؟ [ ٨٤٠ [ إذا كان كل تبديل يحتوى على ٣ أحرف فقط [ ١٢٠  أولاً  [ إذا كان كل تبديل يحتوى على ٦ أحرف بالضبط [ ٧٢٠  ثانياً  [ إذا كان كل تبديل يبدأ بحرف " م " وينتهى بحرف " و " [ ٢٤  ثالثاً  :S الآتية المكونة من عناصر [ الأعداد التى تحتوى على ٣ أرقام بالضبط [ ٦٠  أولاً  [ الأعداد التى تحتوى على ٣ أرقام على الأكثر [ ٨٥  ثانياً  [ الأعداد التى تحتوى على ٣ أرقام على الأقل [ ٣٠٠  ثالثاً   ١٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ;Q١ + ; ، ٤٩Q٥٠ ، ١٨Q٢٠ ، ٤Q١٥ ، ٣Q ١ ] أوجد قيمة كلاً من : ٨ ] ٣٢ = ٥Q٥ + ٤Q٥ + ٣Q٥ + ٢Q٥ + ١Q٥ + ٠Q ٢ ] أثبت أن : ٥ ] ٦ =  ٣Q٧ + ٢Q٦  ــ ٢  ٢Q٩ + ٤Q٨  : ٣ ] أثبت أن ] ٦٨Q٧٠ = ٢٢Q٢٣ ٥ + ٢٢Q ٤ ] أثبت أن : ٢٥ ] ; ٥ ] إذا كان ] = ٩Q ; ٦ فأوجد قيمة Q ; ; ٥ أوجد Q ــ ٣ ; ١٣ = Q ــ ٣ ; ٦ ] إذا كان ] [ ١ ، ٢١٠ ] ;Q٢١ ، ١٩Q [ ١٢ ] ــ ٣ RQ ــ ٨ فما قيمة ١٢ R٢Q٢٠ = R٥Q ٧ ] إذا كان ٢٠ ] [ ٤٩٥ ، ٥٦ ] RQ١٢ ، ٥QR ٧ فأوجد قيمة + R٣Q٤٢ = ــ ٥ R٢Q ٨ ] إذا كان ٤٢ ] [ ٢٨ ] ٢ ; ; ٢Q ٣٦ = ٢ ;Q ٩ ] ] إذا كان فما قيمة ــ ــ [ ٨٤ ] ] إذا كان + فما قيمة ــ Q ٣ ; ٢ ٣٢١ = ١ ; ١ ــ ;Q ١٠ ] ; ١١ ] إذا كان ] ; إذا كان :  [ ١٢ ]         مسائل على قوانين التوافيق فقط : [ ، م [ ١٧ ، ٧ ; + ٣ أوجد ;Q = م ;Q ٣٥ ، م = ٣Q ٥ ٣ ١٢٠ أوجد = ــ ٣ ;Q ١ + ; [ ٣٣٠ ] ٤Q ١١ ٣ [ ١ + ; ، ٥٠ ، ١٩٠ ، ١٣٦٥ ، ٥٦ ] ، ــ ١ ;Q ٢ + ; [ ١٣٦ ، ١٥ ] ;Q  ٢٠   [ ٣ أو ١٠ ] ٧Q ٢س + ١ = س + ٤ Q ٢س + ١ [ ١٣ ] ; [ ١٤ ] ٣ = ــــــ Q ; [ ٧ ] ٥Q [ ٦ ] ; ٧ = ٧ + ــ ٢ ; Q١ + ; :  [ ١٥ ] ;٢ [ ١٦ ] : ٣Q ; [ ٤ ] ٣ : ٢٨ = ٢Q ; [ ١٧ ] : ٤Q ــ ٢ ; [ ٧ أو ٨ ] ٢ : ٧ = ٣Q ; [ ١٨ ] + ٤Q ــ ١ ; ٣ = ـــــــ Q ــ ١ ; [ ٧ ] ٢Q PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
       [ ١٩ ] ٨ [ ــــــ ، ــــــ ، ــــــ ، ــــــ ] Q١٣ : ٧Q١٣ + ٥Q١٣iv [ [ ١٢ ; ٤ : ٣ أوجد قيمة = ٦Q١ + ; : ٥Q + ١ ; ٢٠ ] إذا كان ] [ [ ٣ R ٥ : ٩ أوجد قيمة = ١ + RQ١٣ : ٢ + RQ ٢١ ] إذا كان ١٣ ] [ [ ٩ ; ٩ : ١١ أوجد قيمة = ــ ١ ;Q١ + ;٢ : ; Q١ + ; ٢٢ ] إذا كان ٢ ] ; ٢٣ ] إذا كان ]   ١٨Q٢٩ : ١٢Q٢٩iii ٩Q٢٣ : ٨Q٢٣ii ٧Q١٩ : ٨Q١٩i ٣ ٢ ٣ ٥ ٣ ٢ ٧ ٣ ، ٣ : ١ = RQ ; = ٣Q ; ٧ ٦ [ [ ٤ ، ١٥ R ، ; ١٢ أوجد كل من Q ٣ ٢ ٥ ٦ ; R ــ ; : ــ ١ RQ ; Q٢٧ + ١٩ Q٢٦ ١٩ Q٢٦ ١٩ ٣٥ ٨  ٢١   ; إذا كان :  [ ٢٤ ] : RQ ; ــ ٥ R٣Q٧ = RQ٧ ، ٣ : ٨ = ــ ١ RQ [ [ ٣ ، ١٠ R ، ; أوجد كل من ; ٢٥ ] إذا كان ] ( ٩Q ; ١٧ ( ; ٨ أثبت أن Q ; ٢٦ ] إذا كان ] × ٨Q ; F ٦Q ; × ٧Q ; ١٣ F ; ٥ أثبت أن Q ; إذا كان :  [ ٢٧ ] : RQ ; ــ ١ = ـــــــ ، RQ ; = RQ ; ١ + RQ [ ١٢ = R ، = ٢٥ ; [ R ، ; أوجد قيمة كل من ; إذا كان :  [ ٢٨ ] : RQ ; ٣ : ٢ = ١ + RQ ; ، : ــ ٢ RQ ; [ ؟ [ ٣ ، ٩ R ، ; ٤ : ١ فما قيمة = ــ ١ RQ ; إذا كان :  [ ٢٩ ] : RQ ; : ١ + RQ ; ٤ : ٣ : ٢ = ٢ + RQ [ [ ١٣ ، ٣٤ R ، ; أوجد قيمتى ; إذا كان :  [ ٣٠ ] ٤ وسط حسابى بين Q ; ٥ ، ـــــــ Q ; [ [ ٨ أو ٩ ; ٣ أوجد قيمة Q ــ ٢ RQ١٢ × ــ ٢٧ ، ١ RQ١٢ × ٤ ، RQ١٢ × إذا كونت الكميات ـــــــ :  [ ٣١ ] [ ؟ [ ٥ أو ٩ R متتابعة هندسية ، فما قيمة ; ٣٢ ] أثبت أن ] : RQ ــ ١ ; ١ ( R ( ; = ــــــــــــــــ حيث R Q و من ثم احسب قيمة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ [ ـــــ ] PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ; : R Q + ١ ; ٣٣ ] أثبت أن ] ٣٤ ] أثبت أن ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــ ] ; ٣٥ ] أثبت أن ] + RQ ; = ١ + RQ ١ + ; ١ و من ثم : + RQ  ٧ ، ٦ ، ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢  = S ٣٦ ] إذا كانت ] ٣٧ ] أوجد عدد طرق الاختيار فى كل من الحالات الآتية : ] ٣٨ ] فصل مختلط به ١٢ ولد ، ٨ بنات و المطلوب اختيار فريق مكون من ٥ أفراد من هذا الفصل . ]   ; = ــــــ ٢ R Q١ + ; و إذا كان ٢ ، ــ ١ R Q ; [ [ ٧ ، ٤ R ، ; أوجد قيمتى ; + RQ ; R ( + ١ ; ــ ١ = ـــــــــــــــــ حيث RQ ٩ ٧ ١ + RQ ; RQ ١ + ; R ١ + ; ١ + R ; + ٩Q ; ٨Q [ و استخدم ذلك فى حل المعادلة ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــ [ ٢٠ ; ٨Q = ــ ٣ R Q ; ــ ٧ R Q ٧ ٣ أثبت أن  i  ; ٢ + RQ ; + ــ ١ RQ ; RQ١٧ + RQ١٧ ١ + = ــ ٢ RQ ٢ + ; RQ [ = ٥ R حل المعادلة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــ [  ii  RQ١٧ + ١ + RQ١٧ ٢ + ٧ ١٢ [ [ ٦٤ S أوجد عدد جميع المجموعات الجزئية للمجموعة   ٥٢  سحب ورقتان معاً من كوتشينة كاملة العدد  i  من بين ١٥ لاعب  ١١ لاعب  تكوين فريق كرة قدم  ii  تكوين لجنة بها ٣ رجال و سيدتين من ٧ رجال ، ٥ سيدات  iii [ توزيع ٨ جوائز بالتساوى على ٤ أشخاص [ ٢٥٢٠ ، ٣٥٠ ، ١٣٦٥ ، ١٣٢٦  iv فما هو عدد طرق اختيار هذا الفريق فى كل من الحالات الآتية :  [ ١٥٥٠٤ ] إذا كان أعضاء الفريق من أى جنس  i  [ ٧٩٢ ] إذا كان أعضاء الفريق من الأولاد فقط  ii  [ ٥٦ ] إذا كان أعضاء الفريق من البنات فقط  iii [ ٨٤٨ ] إذا كان أعضاء الفريق من نفس الجنس  iv [ ٦١٦٠ ] إذا كان الفريق المختار به ٣ أولاد وبنتان  v  ٢٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ٣٩ ] صندوق يحتوى على ٧ كرات واحدة فقط منها حمراء و الكرات الباقية من ألوان أخرى . ] ٤٠ ] صندوق يحتوى على ١٥ برتقالة منها ٦ معطوبة و الباقى سليمة . ] خمس نقط فى مستوى واحد  ،  ،  ،  ،  حيث   ،  ،  ،  ،   = S ٤١ ] إذا كانت ] ٤٢ ] رُشِـح ١٠ أشخاصلاختيار ٤ وزراء من بينهم ، فبكم طريقة يتم هذا الاختيار ؟ ] ٤٣ ] إذا كان فريق كرة القدم بالنادى الأهلى به ٢٠ لاعباً منهم ٢ لحراس المرمى ، ١٠ للدفاع ، ٨ للهجوم . ] [ بكم طريقة يمكن تكوين فريق مكون من ١١ لاعباً بحيث يحتوى على حارس مرمى ، ٧ للدفاع ، ٣ للهجوم [ ١٣٤٤٠ ٤٤ ] اختير ٣ أشخاصمعاً من مجموعة مكونة من ٥ رجال ، ٤ نساء . ]   بكم طريقة يمكن اختيار ٤ كرات معاً من الصندوق فى كل من الحالات الآتية :  [ ٣٥ ] إذا كانت الكرات الأربعة من أى لون  i  [ ٢٠ ] إذا كانت واحدة فقط من الكرات الأربعة حمراء  ii  [ ١٥ ] إذا كانت الكرات الأربعة ليست حمراء  iii [ ٣٥ ] إذا كانت الكرات الأربعة تحتوى على واحدة على الأكثر حمراء  iv ما هو عدد الطرق التى نختار بها ٤ برتقالات من الصندوق بحيث أن :  [ ٥٤٠ ] برتقالتين منها معطوبتين بالضبط  i  [ ١٢٣٩ ] برتقالة واحدة منها على الأقل معطوبة  ii  [ ١٣٥٠ ] البرتقالات المعطوبة منها لا تزيد عن ثلاثة  iii و أى ثلاث منها ليست على استقامة واحدة . أوجد :  S عدد القطع المستقيمة التى طرفا كل منها ينتميان إلى  i  S عدد المثلثات التى رؤوس كل منها تنتمى إلى  ii  [ ٦ ، ١٠ ، ١٠ ]  وتشترك جميعاً فى الرأس S عدد المثلثات التى رؤوس كل منها تنتمى إلى  iii و إذا اشترط وجود شخصمعين فى أى اختيار فبكم طريقة يتم الاختيار ؟ [ ١٢٦ ، ٨٤ ، ٢١٠ ] ؟ و إذا استبعد شخصمعين فبكم طريقة يتم الاختيار أوجد بكم طريقة يمكن اختيار الأشخاصالثلاثة فى كل من الحالات الآتية :   إذا كان الأشخاصالثلاثة من أى جنس  i  إذا كان الأشخاصالثلاثة من نفس الجنس  ii  إذا كان الأشخاصالثلاثة فيها اثنان فقط من نفس الجنس  iii [ ٨٤ ، ٧٠ ، ١٤ ، ٨٤ ] إذا كان الأشخاصالثلاثة فيها اثنان على الأقل من نفس الجنس  iv  ٢٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ٤٥ ] تحتوى ورقة أسئلة على ٨ أسئلة و على الطالب أن يجيب على ٦ منها بشرط أن يتضمن الاختيار سؤالين ] على الأقل من الأربعة الأولى ، و سؤالين على الأقل من الأربعة الأخيرة ، فبكم طريقة يمكن للطالب اختيار [ هذه الأسئلة ؟ [ ٢٨ مسائل عامة على التباديل التوافيق : [ ٧٠ ] ؟ ٤Q + ١ ; ٢١٠ فما قيمة = ل ٣ ; إذا كان :  [ ١ ] ; إذا كان :  [ ٢ ] ٥٦ أوجد = ــ ٣ ;Q ل; [ ١٦٨٠ ] ٤ [ [ ١٢ ; ٢ أوجد قيمة Q ــ ١ ; × ٤ = ل ٣ ; إذا كان :  [ ٣ ] ; ; [ ٥ ; ٢ ; = ٣ ;Q × ٦ :  [ ٤ ] إذا كان ــ لــ فما قيمة ؟ [ ١ ; ٢ : ١+ ; [ ٤ ; ; ٢ ١ ; ١ ; :إذا كان ل ــ ل + = ــــــ ــ فما قيمة ؟ [  [ ٥ ] ; × = ١٢٠ R ل; إذا كان :  [ ٦ ] ; ، = ٣٦٠ R ل; إذا كان : [ ٧ ] ; إذا كان :  [ ٨ ] ; ، = ٢٤ R إذا كان :  [ ٩ ] ; إذا كان : [ ١٠ ] = ٣ + RQ ; ; ، ٧٢٠ = ل ٣ ; +  إذا كان :  [ ١١ ] ; ــ ٣ ، ١ R ل; = ٨ R ل; إذا كان : [ ١٢ ] ; ــ ٢ ، ١٥٦ = ل ٢ ;٢ +  إذا كان ٣ :  [ ١٣ ] ٥٠٤٠ = ١ + RQ١ + ; : + ١ R + ١ل ; إذا كان : [ ١٤ ]   ٢ ٣ [ ؟ [ ٥ R فما قيمة R ــ ;Q ١٥ فما قيمة ٢ = RQ R [ ٢٨ ] ؟ ;Q [ [ ٥ ، ٥ R ، ; ١٢٠ أوجد قيمة = R ، ١ = RQ ١٥ أوجد = RQ لR + ; [ ٩٠ ] ٢ ، R ٧ ــ Q ل; ٧٢٠ = R [ [ ٣ ، ١٠ R ، ; أوجد قيمة كل من [ [ ٣٥ ; ــ Q ٣ أوجد قيمة = ١Q ٨ = RQ ; ــ ١ RQ [ [ ٣ ، ١٠ R ، ; أوجد قيمة كل من [ ٣٦ ] ;٢ + Q ٦ أوجد ٣ = ٢Q [ [ ٨ ، ٦ ; ، R ٣ فأوجد قيمتى : ٢ = ــ ١ RQ١ + ; : RQ١ + ; ،  ٢٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
          عدد صحيح موجب فإن : ; عددين حقيقيين ،  ،  إذا كان   +   ;  = ; + ;  ١ ١Q ; + ــ ١ ;  ٢ ٢Q + ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ + ــ ٢ ;  RQ R  ; + + ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ R ــ ; ٢ × ٣ ١ × ٢ ٣ × ٤ ١ × ٢ س + ٨ص  ٣ ٤ ــ ٣ص  +  ٢س ٣ ;  ٢٥      إذا رُفِـع إلى أى أس   +   هى قانون لإيجاد ما يساويه أى مقدار ذى حدين مثل :  بدون إجراء عمليات الضرب بشرط أن يكون الأس عدداً صحيحاً موجباً .        " + ١ " أى أن : عدد الحدود = قيمة الأس+ ١ ; ١ ] عدد حدود المفكوك = ] متزايدة بالتدريج بمقدار ١  متناقصة بالتدريج بمقدار ١ ، و أسس الحد الثانى  ٢ ] أسس الحد الأول ] ; فى أى حد =  ،  بحيث يكون مجموع أسس ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣ س + ٢ص  أوجد مفكوك / ٣ ٢ص  + ٢ س  ٢ص  ٢Q٣ + س ٢  ٢ص  ١Q٣ + ٣ = س ٣  س + ٢ص  $ ٤ص ٢  س ٢ + ــــــــــــ  ٢ص  ٣ + = س ٣ ( = ) ١٢ ص ٢ س + ٨ص ٣ + ٦صس ٢ + = س ٣ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٤ ٢س ــ ٣ص  أوجد مفكوك /  ٢س  = ٤ ٢س ــ ٣ص $ Q٤ + ٤  ٢س  ــ ٣ص  ١ Q٤ + ٣  ــ ٣ص ٢ ٢  ٢س ٢  ــ ٣ص ٣Q٤ + ٢س + ٨١ ص ٤ × ٢٧ ص ٣ × ٤س ٢ ــ ٤ × ٩ص ٢ × ٨س ٣ + ـــــــــــــــ × ٣ص × ١٦ س ٤ ــ ٤ = ( = ) ٢١٦ ص ٢س ٢ ــ ٢١٦ ص ٣س + ٨١ ص ٤ + ١٦ س ٤ ــ ٩٦ صس ٣ = PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
       ٤ × ٥ × ٦ ١ × ٢ × ٣ ٥ × ٦ ١ × ٢      ٢٦       إذا كانت إشارة الحد الثانى سالبة تكون الحدود الناتجة تبادلية الإشارة :  ; ـ ;  = ;  ــ    ١ ١Q ; + ــ ١ ;  ٢ ٢Q ; ــ ٢ ـ ;  ٣ ٣Q ;  ٠٠٠٠٠ + ــ ٣ ; ٠٠٠٠٠ ، ٦ "الزوجية الرتبة" سالبة & ، ٤& ، ٢& ٠٠٠٠٠ ، ٥ "الفردية الرتبة" موجبة ، بينما تكون الحدود & ، ٣& ، ١& و تكون الحدود ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :  ١ =   ; + ١ = ;  + ١  +  ١Q ; + ٢ ٢Q ; ; + ٠٠٠٠٠٠٠ + ٣ ٣Q ; ١ ـــ = ;  + ١  +  ١Q ; ٢ ـــ  ٢Q ; ;  ٠٠٠٠٠٠٠ + ٣ ٣Q ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ١ + س  إذا كان / ; ; + ١ = ١ س + Q ; ; ٠٠٠٠٠٠٠ + س + ٢ س ٢ Q ــ ١ تقبل القسمة على ٦٤ ; ــ ٨ ; أثبت أن : ٩ ــ ١ ; ــ ٨ ;  ٨ + ١  = ــ ١ ; ــ ٨ ;٩ D$ ; + ١ = + ٨ × ١Q ; ــ ١ ; ــ ٨ ;٨ + ٠٠٠٠٠٠٠ + ٢٨ × ٢Q = ; + ٢٨ × ٢Q ; ;٨ + ٠٠٠٠٠٠٠ + ٣٨ × ٣Q  × ٢٨ = ; + ٢Q ;  ــ ٢ ;٨ + ٠٠٠٠٠٠٠٠ + ٨ × ٣Q  المقدار يقبل القسمة على ٦٤ E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣ باستخدام نظرية ذات الحدين  ١٠١  أوجد قيمة / ٣ ١٠٠  + ٢ ١٠٠  ٢Q٣ +  ١٠٠  ١Q٣ + ١ = ٣ ١٠٠ + ١  = ٣ ١٠١ $  ١٠٣٠٣٠١ = ١٠٠٠٠٠٠ + ٣٠٠٠٠ + ٣٠٠ + ١ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٦ مقرباً الناتج لثلاثة أرقام عشرية  ٠,٩٨  باستخدام نظرية ذات الحدين أوجد قيمة / ٦ ١ ــ ٠,٠٢  = ٦ ٠,٩٨  D$ ٠٠٠٠٠٠٠ + ٣ ٠,٠٢  ٣Q ٢ ــ ٦  ٠,٠٢  ٢Q٦ +  ٠,٠٢  ١Q ١ ــ ٦ = ٦ ٠,٩٨  E ٠٠٠٠٠٠ +  ٠,٠٠٠٠٠٨ × ــــــــــــــــــــ  ــ  ٠,٠٠٠٤ × ـــــــــــــ  +  ٠,٠٢ × ٦  ١ ــ = ٠,٠٠٦ ــ ٠,٠٠٠١٦ + ١ ــ ٠,١٢ =  ٠,٨٨٦ تقريباً = ٠,٨٨٥٨٤ = ١,٠٠٦ ــ ٠,١٢٠١٦ = PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ١ ] أوجد مفكوك كل مما يأتى باستخدام نظرية ذات الحدين : ] ٦ س + ســ ١   ٦  ٦ ـــــــ ــ ـــــــ   ٥  ٧ ٢س ــص   ٤  ٣ ١ + ـــــ س   ٩  ٦ ١ ــ س   ٨  ٤ ١ + س   ٧  ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ ] أوجد مفكوك كل مما يأتى حسب قوى س التنازلية : ] ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣ ] أوجد مفكوك كل مما يأتى حسب قوى س التصاعدية : ] ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٤ ] باستخدام نظرية ذات الحدين أوجد قيمة : ] ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٥ حسب قوى س التصاعدية  ١ + س  ٥ ] أكتب الحدود الأربعة الأولى فى مفكوك ] ـ ٥ـــــــــــــــــــــــــــــ  ٢ـ٠ـ, ١  ــــوـبا ــستـخـدـامــهـذهـاـلـحـدوـدـأ ـوـجـدـقي ـمـةـتق ـرـيبي ـةـلـلعـدـدــ       ٦ س ــ ٢   ٣  ٨  ــ    ٢  ٧  +    ١  ١ ٢ س ٣ ٣ س ٥ ٢س + ١   ٣  ٣ ٣س ــ ٢   ٢  ٤ س ــ ٢   ١  س ٢ ٦ ٢ ــ ـــــ   ٣  ٤ ٣س + ٢  ٢  ٥ ١ ــ ٢س   ١  ٥ لأربعة أرقام عشرية  ٠,٩٨  ٣  ٣ ١,٠٥  ٢  ٤ ١٠١  ١        ;  = ١ + R & ;    × R Q R    × حيث R ــ ; قيمة رتبة الحد  ١ + R  ; = + ١ R& أى أن : العلم ــ الدليل  الحد الأول بإشارته  × الدليل  الحد الثانى بإشارته  × RQ ; = + ١ R& كما أن : معامل  معامل الحد الأول  × R معامل الحد الثانى  × RQ R ــ ;  دون إيجاد المفكوك كله  و باستخدام هذا القانون يمكن إيجاد أى حد فى المفكوك ; قيماً مختلفة من صفر إلى R ، و ذلك بإعطاء  ٢٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
       ٧×٨×٩×١٠ ١×٢×٣×٤ ١ ٢ ٣ س ص ٢ ١ ٢ ٦×٧×٨ ١×٢×٣ ١ ٣٢ ١٨٩ ٤ ٦ × ٧ ١ × ٢ ;  ٠٠٠٠٠٠٠ + ٥& + ٣& + ١&  × ٢ = ــ ;   ــ   ; ٣ ٣ ٣  ٢٨   ١٠ ٣س + ٢ص  أوجد الحد السابع فى مفكوك / R ــ ; الأول  × R الثانى  × RQ; = ١ + R& D$ ٤ ٣س  × ٦ ٢ص  × ٦Q١٠ = ١ + ٦& = ٧& E ١٠٨٨٦٤٠ ص ٦س ٤ = ٨١ ص ٦س ٤ × ٦٤ × ٨١ س ٤ = ـــــــــــــــــــــــ × ٦٤ ص ٦ × ٤Q١٠ = ٧& E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٨ ـــــــ ــ ـــــــ  أوجد معامل الحد السادس فى مفكوك / R ــ ; معامل الحد الأول  × R معامل الحد الثانى  × RQ; = + ١ R& معامل D$ ٣ ٣  × ٥ ــ ــــــ  × ٣Q٨ = ٣ ٣  × ٥ ــ ــــــ  × ٥Q٨ = ١ + ٥& ٦ = معامل & معامل E ٢٧ = ــ ــــــــ ×  ــ ــــــ  × = ــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٧ ١ ــ ٢ص  أوجد الحد الثالث من النهاية فى مفكوك / ٧ ١+ ــ ٢ص  ٧ = الحد الثالث من البداية فى مفكوك  ١ ــ ٢ص  الحد الثالث من النهاية فى مفكوك $ ٥ ــ ٢ص  × ٢١ × ٢Q٧ = ٧ ١+ ــ ٢ص  ١ فى مفكوك + ٢ & = ــ ٣٢ ص ٥ = ــ ٦٧٢ ص ٥ × = ــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ     +   * ;   ــ  +   +   = ضعف الحدود فردية الرتبة فى مفكوك ; _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _   +   ** ;  ٠٠٠٠٠٠٠ + ٦& + ٤& + ٢&  × ٢ =   +   = ضعف الحدود زوجية الرتبة فى مفكوك ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣ ٩٦ س = ٤ س + ٣  ٤ ــ  س + ٣  أوجد قيم س التى تحقق المعادلة /  ٤& + ٢&  ٢ = ٤ س + ٣  ٤ ــ  س + ٣ D$ ٢ ÷ بالقسمة  ٣ س   ٣Q٤ + س ٣   ١Q٤ ٩٦ س = ٢ E ٤ ÷ ١٢ س بالقسمة + ٤٨ س = ٤ س ٣ E ٣ ٣ ٣ ٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ــــــــــــــــــــــــــــــــــــإـمــاــــــــ ســــــ =ـ ــ ـ٠ـــــــــــــــــــــــــــأــوـــــــ ســـــــ =ـ ـــــ٣ـــــــــــــــــــأــوــــــــ ســــــ =ــ ـــــــــ ٣ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٥ مقرباً لخمسة أرقام عشرية  ٠,٩٨ + ٥ ١,٠٢ باستخدام نظرية ذات الحدين أوجد قيمة / ٥ ١ ــ ٠,٠٢  + ٥ ٠,٢ + ١ = ٥ ٠,٩٨ + ٥ ١,٠٢ D $  ٥& + ٣ & + ١ &  × ٢ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ   س ٣ ــ ٩س = ٠ s ٣س + ١٢ س = س ٣ E ٠ =  س + ٣  س ــ ٣  س s ٠ =  س ٢ ــ ٩  س E  ٤ ٠,٠٢  ٤Q٥ + ٢ ٠,٠٢  ٢Q٥+ ١ ٢ = ٢,٠٠٨٠٢ g ٢,٠٠٨٠١٦ =  ٠,٠٠٠٠٠٨ + ٠,٠٠٤ + ١  ٢ =         ;  ١ س ٣ ٢س ٢س ٣ ٣ ٢س س ٢ ٣ س ٢ س س ٢ ١ ٢ س  ٢٩       ٩ س + ــــــ  ٥ فى مفكوك & ١ ] أوجد ] ١٠ ــــــــــ ــ ــــــــــ  ٦ فى مفكوك & ٢ ] أوجد ] ١١ ـــــــــ ــ ـــــــــ  ٤ فى مفكوك & ٣ ] أوجد ] ٨ ٣س ــ ٢  ٦ فى مفكوك & ٤ ] أوجد معامل ] ٩ ٢س ٢ ــ ــــــــــ  ٧ فى مفكوك & ٥ ] أوجد معامل ] ٧ ــــــــــ ــ ــــــــ  ٥ فى مفكوك & ٦ ] أوجد ] ;٢ س + ــــــ  ٧ ] أوجد معامل الحد الرائى فى مفكوك ] ــ ١ ;٢ س ٢ + ســ ٢  ٨ ] أوجد معامل الحد النونى فى مفكوك ] ٥ س ــ ٢  ٥ ــ  س + ٢  ٩ ] أوجد مفكوك ] ٦ ١ ــ س  ٦ ــ  ١ + س  ١٠ ] أوجد مفكوك ] ١٠ مقربةً لخمسة أرقام عشرية  ٠,٩٩٨ ١١ ] أوجد قيمة ] ٥ مقربةً لخمسة أرقام عشرية  ٠,٩٨ ٥ ــ  ١,٠٢ ١٢ ] أوجد قيمة ] PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ١٢ ٢س ٢ + ــــــــ  أوجد قيمة الحد الأوسط فى مفكوك / رتبة الحد الأوسط = ـــــــــــــــ = ٧ $   ٢س ٢ × ـــــــــ  × ٦ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ٢س ٢  × ٦  × ٦Q١٢ = ٧& E ٩٢٤ س ٦ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١١ س ــص  أوجد قيمتى الحدين الأوسطين فى مفكوك / ٧& ، ٦& رتبتى الحدين الأوسطين هما ــــــــــــــــ ، ـــــــــــــــــ أى $ ٦ = ــ ٤٦٢ ص ٥ س ٦  س  × ٥ ــص  × ٥Q١١ = ٦& E ٤٦٢ ص ٦ س ٥ = ٥ س  × ٦ ــص  × ٦Q١١ = ٧& ، ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١٠ يساوى ـــــــ فأحسب قيمة س  س ٢ + ــــــــ  إذا كانت قيمة الحد الأوسط فى مفكوك / ٦& الحد الأوسط فى المفكوك هو الحد الذى ترتيبه ــــــــــــــــ أى $ ٥ س ٢  × ٥ ـــــــــــ  × ٥Q١٠ = ٦& E ٥ = ــــــــ  س ٢ × ـــــــــ  ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ E ٥ ــــــــ  = ٥ ــــــــ  E ٥ = ــــــــ  ــــــــ  × ٢٥٢ E ــــــــ = ــــــــ E  س = ـــــــ s ٣س = ٢ E         ;  ٢ + ; ٢ يوجد حد أوسط واحد فقط رتبته ــــــــــــــــ E عدد زوجى ; * إذا كان الأس ١ + ; ٢ ٣ + ; ٢ يوجد حدان أوسطان رتبتاهما ــــــــــــــــ ، ــــــــــــــــ E عدد فردى ; ** إذا كان الأس ١ ٢س ٢ + ١٢ ٢ ١ ٧×٨×٩×١٠×١١× ٢س ١٢ ١×٢×٣×٤×٥×٦ ١ ٢س ١ + ١١ ٢ ٣ + ١١ ٢ ١ ٢س ٢٨ ٢٧ ٢ + ١٠ ٢ ١ ٢س ٦× ٧ × ٨ × ٩ × ١٠ ١ × ٢ × ٣ × ٤ × ٥ ٢٨ ٢٧ ١ ٢س ٢٨ ٢٧ س ٢ س ٢ ١ س ٣ ٢ ١ ٣ ٢ ٣  ٣٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
       ١٠ س + ســ ١  ١ ] أوجد قيمة الحد الأوسط فى مفكوك ] ١٢ ٢س ٣ + ــــــــــ  ٢ ] أوجد قيمة الحد الأوسط فى مفكوك ] ٩ ـــــــ ــ ـــــــ  ٣ ] أوجد الحدين الأوسطين فى مفكوك ] ١٥ حسب قوى س التنازلية  س ــ ـــــ  هما الحدان الأوسطان فى مفكوك  ،  ٤ ] إذا كان ] ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ   ١٦ ثم أوجد النسبة بينه و بين الحد الثامن  ــــــــــــ + ــــــــــــ  ٥ ] أوجد الحد الأوسط فى مفكوك ] ٥ فأوجد قيمة س : ٢٧ كنسبة ١  ١ + س  ٦ ] إذا كانت النسبة بين الحدين الأوسطين فى مفكوك ] ١٠ عندما س = ٣  ـــــــــ + ــــــــ  ٧ ] أوجد النسبة بين الحد الأوسط و الحد الثالث فى مفكوك ] ٨ يساوى ١١٢٠  ٣س ٢ + ـــــــــ  ٨ ] إذا كان الحد الأوسط فى مفكوك ] ١٠٢٤ = ١٠ ٢م + ١  : ١٠ إذا كان الحد الأوسط = ـــــــ فأثبت أن  س + ــــــ  ٩ ] فى مفكوك ] يساوى مجموع معاملى الحدين الأوسطين ;٢ س + ص  ١٠ ] أثبت أن معامل الحد الأوسط فى مفكوك ] ١٢ يساوى ـــــ ١٤ ، فأوجد قيمة س  ـــــــــ + ـــــــــ  ١١ ] إذا كان الحد الأوسط فى مفكوك ] ٧ متساويين فأثبت أن س = ــــــص  ٥س + ٤ص  ١٢ ] إذا كان الحدان الأوسطان فى مفكوك ]          ;  ١ ٢س ٣ ص س ٢ ١ س ٢س ٣ ٣ ٢س ! ٢س ٢ ٣ ٣ ٢س ١ ٣س س ٢ = صفر  +  فأثبت أن ٥ العددية  ٢ + س  فأوجد قيمة م س ٦٣ ٨ ٢س ٣ ٣ ٢س ٢ ٧ ١٦ ٤ ٥ ــ ١ ;٢ س ــص  فى مفكوك  ٣١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     + ١ R& هو الحد العام  نفرضأن الحد المشتمل على س ١ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١٠  ٢س ٢ + ـــــــــ  أوجد الحد الذى يشتمل على س ٨ فى مفكوك / + ١ R& نفرضأن الحد الذى يشتمل على س ٨ هو $ ١٣٤٤٠ س ٨ = ٦٤ س ٨ × س ٢٠ ــ ١٢ = ــــــــــــــــــــــــــــــــ × ١٠٢ ــ ٤ × ٤Q١٠ = ١ + ٤& = ٥& E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ـــــــ ــ ـــــــــ  أوجد معامل ســ ٦ فى مفكوك / + ١ R& نفرضأن الحد الذى يشتمل على ســ ٦ هو $  ــــــ  R ــ ـــــــــ  RQ٨ = ١ + R& E     س   + ١ بالقوة المطلوبة R& و ذلك بمساواة قوة س الناتجة من R نوجد قيمة  ٣   + ١ فنحصل على الحد المشتمل على س R& التى حصلنا عليها فى R نعوضبقيمة  ٤  + ١ R& نوجد معامل  إذا كان المطلوب إيجاد معامل الحد المشتمل على س  ٥  لا تظهر فى المفكوك المعطى  التى حصلنا عليها كسرية أو سالبة أو أكبر من قيمة الأس فإن س R ١ ] إذا كانت قيمة ] + ١ بالصفر " حيث سصفر R& ٢ ] لإيجاد الحد الخالى من س فإننا نساوى قوة س الناتجة من ] ١ س    س + ١ فى أبسط صورة R& نوجد الحد العام  ٢  R س ٢٠ ــ ٢ × R ١٠٢ ــ × R ســ × RQ = ١٠ R ١٠ ــ  ٢س ٢  R ــــــــ  RQ١٠ = ١ + R& ١ س R س ٢٠ ــ ٣ × R ١٠٢ ــ × RQ١٠ = ١ + R& s ٤ = R E ١٢ = ٢٠ ــ ٨ = R٣ E ٨ = R ٢٠ ــ ٣ E هذا الحد يشتمل على س ٨ D ٧ × ٨ × ٩ × ١٠ ١ × ٢ × ٣ × ٤ ٥& ١ أى + ٤& الحد الذى يشتمل على س ٨ هو E س ٣ ٣ ٢س س ٣ ٣ ٢س   " ١ = ٨ R ٨ ــ  ٣٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     R س ٨ ــ × R ٨ ــ  ــــــ  × R ســ × R ــ ـــــ  RQ٨ = ١ + R& E  معامل ســ ٦ = ــ ــــــــ E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ١ R& نفرضأن الحد الخالى من س هو $ R س ١٦ ــ × R ســ ٣ × R ــــــ  RQ = ١٦ R ١٦ ــ  س  R ـــــــــ  RQ١٦ = ١ + R& E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ٢ + س ٢ + ســ ٢  أوجد الحد الخالى من س فى مفكوك / ٢ إلى مقدار ذى حدين ، و بملاحظة أنه مقدار ثلاثى مربع كامل + يجب تحويل المقدار س ٢ + ســ ٢ $   ٣ ٢ ١ ٣ R ٢ ــ ٨ × R ٨  ١  × R ٣  × RQ٨ = R& s ـــــ ــــــ ــ س ــ ٣ ٢ ١ + ٧ هذا الحد يشتمل على ســ ــ = ــ = R E ١٤ = ٦ R٢ E ٦ R ٢ ٨ E D ٨& ١ أى + ٧& الحد الذى يشتمل على ســ ٦ هو E س ٨ ــ ١٤ × ٨ ــ ٧  ــــــ  × ٧ ــ ـــــ  × ٧Q٨ = ١ + ٧& = ٨& E ٣ ٢ ١ ٣ س ٨ ــ ١٤ = ــ ــــــــ ســ ٦ = ــ ـــــــــ ســ ٦ × ـــــــ × ــ ــــــــ × ٨ = ١ ٣ ٧ ٣ ٧ ٢ ٦ ٣ ٤ ٢ ٧٢٩ ١٦ ٧٢٩ ١٦ ١ ٤س ٣ ١٦  س + ـــــــــ  أوجد الحد الخالى من س فى مفكوك / ١ ٤س ٣ ١ ٤ R س ١٦ ــ ٤ × R ــــــ  × RQ١٦ = ١ + R& s ١ ٤ = ٤ R E = صفر R ١٦ ــ ٤ E فهو يشتمل على سصفر E ١ خالى من س + R& D ١ ٤ ٥& ١ أى + ٤& أى أن الحد الخالى من س هو  ــــــ  × ٤Q١٦ = ١ + ٤& = ٥& الحد الخالى من س هو E ١٣ × ١٤ × ١٥ × ١٦ ١ × ٢ × ٣ × ٤ ١ ٢٥٦ ٤٥٥ ٦٤ ٤ ــــــــ = ـــــــــ × = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٥ ٢ س + ســ ١  =  ٢ + ســ ٢ + س ٢  =  ٢ + س ٢ + ســ ٢   ٢ + س ٢ + ســ ٢  E ١٠ س + ســ ١  = ٥  ٣٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ٢٥٢ = ٥Q١٠ = ١ + ٥& = ٦& الحد الخالى من س هو E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٩  س + ــــــــ  أوجد معامل س ٦ فى مفكوك /  س ــ ــــــــ  ٩  يمكن تحويل هذين المفكوكين إلى مفكوك واحد حيث : $ ١ س س  س + ــــــــ  ١ س ١ س ١ ١ س ٢  المفكوك لا يحتوى على ســ ٣ E +XM = ــــــــ R E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١٥ ــــــــ + ــــــــ  أوجد معامل س ١٤ فى مفكوك ٣٢ س ٤ / + ١ R& نفرضأن الحد المشتمل على س ١٤ هو $   R س ١٠ ــ × R ســ × RQ = ١٠ R ١٠ ــ  س  R ســ ١  RQ١٠ = ١ + R& E = ٥ R E = صفر R ١٠ ــ ٢ E فهو يشتمل على سصفر E ١ خالى من س + R& D ١ س ١ س + ١ R& نفرضأن الحد الخالى من س هو R س ١٠ ــ ٢ × RQ١٠ = ١ + R& s و أثبت أنه لا يحتوى على ســ ٣ ٩  س ــ ــــــــ  ٩   س + ــــــــ  = ٩  س ــ ــــــــ    س ٢ ــ ــــــــ  = ٩  + ١ R& نفرضأن الحد المشتمل على س ٦ هو  س ٢  R ــــــــ  RQ٩ = ١ + R& E ٢ ٢ ١ س  ــ ١  × RQ٩ = ١ + R& s ٣ = R E ٤ ÷ ١٢ = R E ١٨ ــ ٦ = R٤ E ٦ = R لإيجاد معامل س ٦ نضع ١٨ ــ ٤ ١  معامل س ٦ = ــ ٨٤ E ٣ ــ ١  × ٣Q٩ = ١ + ٣& ٤ = معامل & معامل س ٦ = معامل E ٢١ = ٣ + ١٨ = R٤ E = ــ ٣ R و لإيجاد الحد الذى يحتوى على ســ ٣ نضع ١٨ ــ ٤ ٢١ ٤  ــ ١  × RQ = ٩ R ٩ ــ R R س ١٨ ــ ٤ × ٢ ٢ س ٢ R R س ١٨ ــ ٢ × R ســ ٢ × س ٣  ــــــــ  R ــــــــ  RQ١٥ × ٣٢ س ٤ = ١ + R& E ٢ س ٣ ٢ س ٢ ١ ٢ R ١٥ ــ  ــــــ  R٢ RQ١٥ × ٣٢ س ٤ = R س ٣٠ ــ ٢ × R ســ ٣ × R ١٥ ــ  ٣٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
      ـــــــــ = ــــــــــــ × معامل س ١٤ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١١ لا يحتوى على حد خالى من س ، كما لا يحتوى  س ٢ + ــــــــ  أثبت أن مفكوك / + ١ R& نفرضأن الحد العام هو $ = ــ ٣ R *** لإيجاد رتبة الحد الذى يشتمل على ســ ٣ نضع ٢٢ ــ ٥    ــــــ  R٢ RQ١٥ × ٣٢ = ١ ٢ R س ٣٤ ــ ٥ × R ١٥ ــ ٤ = R E ٢٠ = R ٥ E ١٤ = R و للحصول على معامل س ١٤ نضع ٣٤ ــ ٥  ــــــ  ٤ ٢ ٤Q١٥ × ٣٢ = ١ + ٤& ٥ = معامل & معامل س ١٤ هو معامل E ١ ٢ R ٣٠ ــ ٢ + R س ٤ ــ ٣ × R ١٥ ــ  ــــــ  R٢ RQ١٥ × ٣٢ = ١ + R& s ١ ٢ ١٢ × ١٣ × ١٤ × ١٥ ١ × ٢ × ٣ × ٤ ١ ١٢٨ ١٣٦٥ ٤ ٢ س ٣ على حد مشتمل على س ٣ ، و لكنه يحتوى على حد يشتمل على ســ ٣  س ٢  R ــــــــ  RQ١١ = ١ + R& E ٢ س ٣ R س ٢٢ ــ ٥ × R ٢ R Q ١١ = ١ + R & s = صفر R * إذا كان المفكوك يحتوى على حد خالى من س فيجب أن يكون : ٢٢ ــ ٥ ٢٢ ٥ +XM = ــــــــ R E ٢٢ = R ٥ E لا يوجد حد خالى من س E ٣ = R ** إذا كان المفكوك يحتوى على حد مشتمل على س ٣ فيجب أن يكون : ٢٢ ــ ٥ ١٩ ٥ R س ٢٢ ــ ٢ × R ســ ٣ R٢  RQ = ١١ R ١١ ــ ٦& ١ أى + ٥& يوجد حد يشتمل على ســ ٣ هو E ســ ٣ × ٣٢ × = ـــــــــــــــــــــــــــــــ ٧×٨×٩×١٠×١١ ١×٢×٣×٤×٥ ١١ +XM = ــــــــ R E ١٩ = R ٥ E لا يوجد حد يشتمل على س ٣ E +XL ٥ = R E ٢٥ = R ٥ E ٥ س ٢٢ ــ ٥ × ٥  ٢  ٥Q١١ = ١ + ٥& = ٦& ١٤٧٨٤ ســ ٣ = ٦& s  ٣٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
       فى  ٦  +  المفكوك س ــــــــ حيث عدد صحيح موجب ، أوجد / قيم التى + ١ R& نفرضأن الحد الخالى من س هو $ R ــ  س ٦ × R ســ × RQ = ٦ R ٦ ــ   س R ـــــــــ  RQ٦ = ١ + R& E ٥ ، ٢ ، ١ = قيم s = ٥ ، ٤ ، ٣ R قيم E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  س ٤ + ـــــــــ  إذا كان مفكوك / يحتوى على حد خالى من س فأثبت أن ; ٧ = ; + ١ R& نفرضأن الحد العام هو $ = ـــــــــــ R E = صفر R ــ ٧ ; ٤ E المفكوك يحتوى على حد خالى من س D يجب أن تقبل القسمة على ٧ ; E يجب أن تكون عدداً صحيحاً موجباً R D ٥& ١ أى + ٤& = ـــــــــــــــ = ٤ أى يكون الحد الخالى من س هو R = ٧ تكون ; و عندما ٣ = ـــــــــــــــــــــــــ = ٣٥ Q٧ = ٤Q٧ = ١ + ٤& = ٥& و يكون   ١ س تجعل للمفكوك حداً خالياً من س ١ س R ــ R  ــ  س ٦ × R Q ٦ = ١ + R & s = صفر R ــ R  ــ  لإيجاد رتبة الحد الخالى من س نضع ٦ ــ R =  E R =  R ٦   ـــــــــــــــــ E R ٦ ــ ٣ F R E ٦ F R ٢ E R ٦ ــ F R E +XL  D ، ٦ ) R E صفر ( R ٦ ــ ، ١ س ٣ = ٧ ; أو مضاعفاً للعدد ٧ ، و أوجد الحد الخالى من س عندما  س ٤  R ـــــــــ  RQ ; = R ــ ; ١ س ٣ ســ ٣ ×RQ R R ــ ٤ ; س ٤ × ; ٤ ٧ = ١ + R & s ; س ٤ × R Q R ــ ٧ ;  ٧ أو مضاعفاً للعدد ٧ = ; E ٧ × ٤ ٧ ٥ × ٦ × ٧ ١ × ٢ × ٣ = ١ + R& D ; أى أن قيمة الحد الخالى من س = ٣٥  ٣٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
       ١٢  ـــــــــ ــ ــــــــ  ١ ] أوجد معامل س ٨ فى مفكوك ] ١٠  ـــــــــ ــ ــــــــ  ٢ ] أوجد معامل س ١١ فى مفكوك ] ١٠  س ٣ ــ ــــــــ  ٣ ] أوجد معامل س ٩ فى مفكوك ] ٨  س ــ ــــــــ  ٤ ] أوجد معامل ســ ٤ فى مفكوك ] ١٠  ـــــــــ ــ ــــــــ  ٥ ] أوجد الحد الخالى من س فى مفكوك ] ١٠  س ــ ــــــــــ  ٦ ] أوجد الحد الخالى من س فى مفكوك ] ٩  ٢س ٣ ــ ــــــــ  ٧ ] أثبت أنه لا يوجد حد خالى من س فى مفكوك ] ١٣  س + ــــــــ  ٨ ] أوجد معامل س فى مفكوك ] ١١  ـــــــــ ــ ــــــــ  ٩ ] أثبت أنه لا يوجد حد يحتوى على س ٦ فى مفكوك ] ١٢ أوجد :  س + ــــــــــ  ١٠ ] فى مفكوك ] ; س ٥ + ــــــــ  عدداً صحيحاً موجباً فأثبت أنه لا يوجد حد خالى من س فى مفكوك ; ١١ ] إذا كانت ] مضاعفاً للعدد ٣ ; يحتوى على حد خالى من س إذا كانت ; س ٢ + ــــــــ  ١٢ ] أثبت أن مفكوك ]     س   ٢س ٣ ٣ س ١ س س ٢ ٢ ١ س ٤ ١ س ٢ س ٣ ٣ ٢ س ٢ ١ ٢س ٢ ٣ س ١ س ٢ ٣ س س ٢ ٣ ٢س ٢ ١ س ٢   رتبة الحد الخالى من س  ii  معامل س ٦  i  = ١٤ ; = ٧ أو مكرراً للعدد ٧ و أوجد الحد الخالى من س عندما ; إلا إذا كان ١ س = ١٢ ; ثم أوجد الحد الخالى من س عندما  ٣٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
       ٨ تساوى  س ٢ + ـــــــــ  إذا كانت النسبة بين الحدين الخامس و السادس فى مفكوك / ٨ : ٢٥ = ٥& : ٦& E ٢٥ : ٨ = ٦& : ٥& D $ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ٣ + س  فى مفكوك / حسب قوى س التنازلية ، وجد أن ; ، ٩& ١٠ = ـــــــ &  ٣ + س  المقدار D $ مرتب حسب قوى س التصاعدية ;  وليس التنازلية   ٣ + س نعيد ترتيب المقدار ليصبح مرتباً حسب قوى س التنازلية ، فيكون E ;         ;  فإن : ;  +   + ١ حدين متتاليين فى مفكوك R& ، R& إذا كان ١ + R& R& + ١ R ــ ; ـــــــــ × ــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ R  ١ + R& R& الأس ــ أقل من الرتبة الصغرى بواحد ــــــــــــــــــــ × أى أن ــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ الرتبة الصغرى الحد الثانى الحد الأول   + ١ R& معامل R& معامل + ١ R ــ ; ــــــــــــــــــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ  ١  R معامل الحد الثانى معامل الحد الأول ٢ س إذا كان الحدان غير متتاليين نستخدم قاعدة التسلسل  ٢  ٢٥ : ٨ فأوجد قيمة س ٦& ٥& ١ + ٨ ــ ٥ ٥ ٢ س ١ س ٢ ٢٥ ٨ ــــــــــ = ــــــــ × ــــــــــ × ــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ E ٢٥ ٨ س ٣ = ــــــــــ و منها س = ـــــــ E ـــــــــ = ــــــــــــ E ٨ ٥س٣ ٦٤ ١٢٥ ٤ ٥ ٢ ٣ ، س ; ١٥ . أوجد قيمة كل من & ٤ = ١٤& ١٠& ٩& ٢ ٣ ١ + ــ ٩ ; ٩ ٣ س ٢ ٣ ــــــــــ = ــــــــ × ــــــــــــــــــــــــ E ــــــــــــ = ــــــــ D  ٣٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ينتج أن س = ٦ ; عن قيمة  ١  = ٢٠ و بالتعويض فى ; ١٠٠ و منها = ; أى ٥ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  س + ص  إذا كانت الحدود الثالث و الرابع و الخامس فى مفكوك / هى على الترتيب ;  ١  ــــــــ = ٤ × ــــــــــــــــ E ـــــــــ = ــــــــــ × ـــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ D $ ــــــــــــــ = ــــــــــــ × ينتج أن : ــــــــــــــ  ٢  ÷  ١  و بقسمة  ٣  ص= ٢ س E ـــــــــ = ٤ × ينتج أن : ــــــــــــــ ; عن قيمة  ١  و بالتعويض فى  ٤  ٢ ص ٢س ٦ Q٨ = ٣& و لكن  ٢ س  ينتج أن : ١١٢ = ــــــــــــــــ  ٤  و بالتعويضعن ص= ٢س فى س ٦ × ٢ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ١ + س  إذا كانت معاملات ثلاثة حدود متتالية فى مفكوك / هى ٧ ، ٢١ ، ٣٥ ;   ــ ٨ ; ٩ ٣ س ٢ ٣  ١  ــــــــــ = ـــــــــ × ــــــــــــــــــ E ١٥& ١٤& ــــــــــ = ــــــــ × ـــــــــــــــــــــــــ E ـــــــــــــ = ــــــــ D ، ــ ١٣ ; ١٤ ١ ٤ ٣ س ١ ٤ ١ + ــ ١٤ ; ١٤ ٣ س ١ ٤  ــ ٨ ;  ١٤  ــ ١٣ ;  ٩ ٨ ٣  ٢  ــــــــــ = ـــــــــ × ــــــــــــــــــ E ينتج أن : ــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــ  ٢  ÷  ١  بقسمة المعادلتين  ــ ١٣ ;  ١٢ =  ــ ٨ ;  ٧ E  ــ ١٣ ;  ٩ × ٨ =  ــ ٨ ;  ١٤ × ٣ E ؟ ; ١١٢٠ ، ٤٤٨ ، ١١٢ . فما قيمة كل من س ،ص، ٤& ٣& ١ + ــ ٣ ; ٣ ص س ٤٤٨ ١١٢ ص س ــ ٢ ; ٣ ٥& ٤& ١ + ــ ٤ ; ٤ ص س ١١٢٠ ٤٤٨ ص س ــ ٣ ; ٤ ٥ ٢  ٢  ــــــــ = ـــــــ × ــــــــــــــــ E ـــــــــ = ــــــــــ × ـــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ D ــ ٢ ; ٣ ٤ ــ ٣ ; ٢ × ٤ ٥ ٨ = ; s  ــ ٣ ;  ٦ =  ــ ٢ ;  ٥ E ٨ ــ ٢ ٣ ص س ٧ × ٨ ١ × ٢ ١  = س s ١ = س ٨ E ٢  = ص s ١  × ص = ٢ E ؟ و ما رتب هذه الحدود ؟ ; فما قيمة  ٣٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ٢ + R& ، + ١ R& ، R& نفرضأن الحدود الثلاثة هى $  ٢  ١ = R ــ ٤ ; ٣ E ـــــــ = ــــــــ × و يكون ــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ ٧& ، ٦& ، ٥& الحدود الثلاثة هى E ٥ = R ، = ٧ ; نجد أن :  ٢  ،  ١  و بحل المعادلتين ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ التنازلية إذا كان :  ٢٠ حسب قوى   +   فى مفكوك / ٢ + R& × R& ٢ = ـــــــ  ١ + ١ + R&  D $ ــــــــ × ـــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ D ،  ٢ o ــــــــ × ــــــــ = ـــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ E  ٣ o ــــــــ × ـــــــ = ــــــــــــــــــ × ، ـــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ١  فى  ٣  ،  ٢  بالتعويضمن ــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ E ــــــــ × ــــــــ = ــــــــــــــــــــ × ــــــــــــــــــ × ـــــــ E ٢R ــ ٥ R ١٠٠ =  ٢R ــ R ٢٠ + ٢١  ٤ E  R ٢٠ ــ  R ٥ =  ١ + R   R ٢١ ــ  ٤ E ٠ = ٨٤ + R ٢ ــ ٢٠ R E ٢R ــ ٥ R ١٠٠ = ٢R ــ ٤ R٨٠ + ٨٤ E = ١٤ R ٦ أو = R s ٠ =  ــ ١٤ R   ــ ٦ R  E   و بملاحظة أنه عند التعويضعن س = ١ فى أى حد فإن قيمة الحد = معامله فيكون : + ١ R& معامل R& معامل + ١ R ــ ;  ١  = ــ ٥ R ــ ٨ ; ٥ E ـــــــ = ــــــــ × ــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ + ٢ R& معامل + ١ R& معامل R ١ ١  ١ +١ + R ــ ; ١ + R ٢١ ٣٥ ١ ١ ٧ ٢١ R ٢ فأوجد قيمة + R& × R& ٢ = ـــــــ  ١ + ١ + R&  ٥ ٤ ٥ ٤ ٢ + R& ١ + R& ٤ ٥ ١ + R& R& ـــــ٥ــ  ١ o ـــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ × ــــــــــ E ــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــ E ٤ ١ + R& R& ٢ + R& ١ + R& ١ + R& R& + ١ R ــ ; R  ١ + R& R& + ١ R ٢٠ ــ R  R ٢١ ــ R ٢ + R& ١ + R& ١ +  ١ + R  ٢٠ ــ ١ + R   R ٢٠ ــ ١ + R ٤ ٥ R ٢١ ــ R  R ٢٠ ــ ١ + R  R ٢٠ ــ ١ + R R ٢١ ــ  ٤ R  ٤٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
      ١٧ متساويين . فما قيمة س ؟  ٢س + ٣  ١ ] إذا كان الحدان الأوسطان فى مفكوك ]  س+ص  ٢ ] إذا كانت الحدود الثالث و الرابع و الخامس فى مفكوك ]  س+ص  ٣ ] إذا كانت الحدود الثانى و الثالث و الرابع فى مفكوك ]  ١ +س  ٤ ] إذا كانت ثلاثة معاملات لحدود متتالية فى مفكوك ]  ١ +س  ٥ ] إذا كانت النسبة بين معاملات ثلاثة حدود متتالية فى مفكوك ]  ب +  ٦ ] إذا كانت النسبة بين الحدين الثانى و الثالث فى مفكوك ]  ١ +مس  ٧ ] فى مفكوك ] ٣ س ٢  + ٢س  ٨ ] فى مفكوك ] ٢ ٣ ١  س+ ٣  ٩ ] فى مفكوك ] ٤  ١ +س  ١٠ ] فى مفكوك ]           ;  ; ، هى على الترتيب ١٥٣٦٠ ، ١١٥٢٠ ; ١٣٤٤٠ . أوجد قيم كل من س ،ص، ; هى ١٠٨٠ ، ٧٢٠ ، ٢٤٠ على الترتيب ؟ ; فما قيم س ،ص، ; ؟ ; هى ١١٤٠ ، ١٩٠ ، ٢٠ . فما قيمة و ما ترتيب تلك الحدود ؟ ; ٢٨ : ٢٤ : كنسبة ١٥ ؟ و ما ترتيب هذه الحدود ؟ ; فما قيمة ; تساوى النسبة بين الحدين الثالث  ب+ و الرابع فى مفكوك ٣ +; ؟ ; فما قيمة ; ٤ : إذا علم أن نسبة معامل الحد الرابع إلى معامل الحد السادس تساوى ١ ; ٤ ، فأوجد قيمة كل من م ، : و نسبة معامل الحد السادس إلى معامل الحد الثامن تساوى ٧ ; إذا كان الحدان التاسع و العاشر متساويين و النسبة بين الحد السادس و أثبت أنه لا يوجد حد خالى من س فى المفكوك . ; و الحد السابع كنسبة ١٥ : ٨ ، فأوجد قيمة ; حسب قوى س التنازلية . وجد أن الحد العاشر = الحد التاسع ، ، س ; ١٤ . أوجد قيمة كل من & = ١٥& ; حسب قوى س التصاعدية . وجد أن الحد الرابع الحد الثانى ، ، س ; و الحد الخامس يساوى الحد السادس . أوجد قيمة كل من ٢٥ ٣  ٤١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ٢  ٢س+ ٣  ١ ] إذا كان الحدان الأوسطان فى مفكوك ] ١ +; ; متساويين فأوجد قيمة س بفرضأن ٥  ٢ ــ ١  ٥ ــ ١ + ٢  ٢ ] أوجد قيمة ] ١ س ١٠  س ــ  ١١ و الحد الخامس فى مفكوك  + س ٣ ] أوجد النسبة بين الحد السادس فى مفكوك ] ١ س ٢ ٨٨ ٦٢٥ ] ١٠  ١ ٢ فى مفكوك س س ٢ أوجد قيمة الحد الخالى من س + ٢و بين أن هذا المفكوك لا يحتوى  ٤ ] على ٥ حد يشتمل على س ٢س ٣ ١٢  +  ٥ ] أوجد كلاً من الحد الأوسط و الحد الذى يحتوى على ســ ٣ فى مفكوك ] ٣س ٢ ٢ ٣ س  +  ٦ ] فى مفكوك ] ٣ ٢س ٢ ٩ فأوجد قيمة ص : ١٢ هى ٤  ٢ +ص  ٧ ] إذا كانت النسبة بين الحدين السادس و الثامن فى مفكوك ]  ١ +س  ٨ ] إذا كانت النسبة بين معاملات ثلاثة حدود متتالية فى مفكوك ] ١ ٢س معامل س ٩  ١ ١٥ أوجد  + ٤ س ٢  ٩ ] فى مفكوك ] ١٠ ضعف الحد السابع فما قيمة س ؟  ١ +س  إذا كان الحد الأوسط فى مفكوك  [ ١٠ ]       عدد صحيح موجب ! ! و إذا كانت هذه النسبة تساوى فأوجد قيمة س ٩ : تساوى ٧  الحد الأوسط : الحد الذى يحتوى على ســ ٣  و إذا كانت النسبة بين هذين الحدين فما قيمة س ؟ ; ١١ : ٢٤ : النسبى بين الحدود الخامس و السادس و السابع كنسبة ٤٠ ، س ثم أوجد الحد الأوسط أو الحدين الأوسطين فى هذا المفكوك ; أوجد قيمة كل من ; ; ٥ فأوجد قيمة : ٣ : كنسبة ١ و ترتيب هذه الحدود قيمة س التى تجعل الحدين الأوسطين فى المفكوك متساويين  ٣ قيمة الحد الخالى من س  ٢  ١ س  + س ٢  إذا كان فى مفكوك  ب ; يجب أن تكون مضاعفاً ; حد خالى من من س فأثبت أن = ١٢ ; للعدد ٣ ثم أوجد الحد الخالى من س فى المفكوك عندما  ٤٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ١ س ٣  + س ٢  ١١ ] فى مفكوك ] ;  ١ +س  ١٢ ] الحد الثالث فى مفكوك ] ١٤ س ١٤ + ٠٠٠٠٠٠ + ٣ س ٣ + ٢ س ٢  + ١ س + ٠ = ١٤  ــ س  ١٣ ] إذا كانت ]  ١ ــ مس  ١٤ ] الحدود الثلاثة الأولى فى مفكوك ] ٢٥ س ١٠٠ ٢ ٣س ١٠٠ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ١ +س  ١ ] استخدم مفكوك ] ٢٠ حسب قوى س التنازلية  س ٢ ــ  ٢ ] أوجد الحد الخامس من النهاية فى مفكوك ] ١ س ١ بس ١١ حسب قوى س التنازلية متساويين  + س ٢  ٣ ] إذا كان معاملا س ٧ ، س ٤ فى مفكوك ]  س ٢ ــ  ٤ ] إذا كان فى مفكوك ] ١ س ١٢  ٢س ٢ ــ  ٥ ] أوجد الحد الخالى من س فى مفكوك ] ١٥  ــ  ٦ ] أوجد معامل ســ ١٠ فى مفكوك ] ١ س ٢ س ٢ ٢ س ٢  ٢س +  من النهاية فى مفكوك R& من البداية ، R& ٧ ] أوجد ] ٢م حسب قوى س التنازلية حيث م عدد صحيح موجب  + س ٢  ٨ ] أوجد معامل سم فى مفكوك ]   أثبت أن الحد الخالى من س يساوى معامل الحد الذى يحتوى على س ٣ ; = ٦ فأوجد نسبة الحد الخالى من س إلى معامل الحد الأوسط ; و إذا كانت ; هو  عدد صحيح موجب ; حيث  حسب قوى س التصاعدية ، س ; ٢٨ س ٢ و الحد الخامس فى نفس المفكوك ١١٢٠ أوجد قيمة كل من ٢ =  : صفر فأثبت أن =  ٢+ ٣ ١١ + ٤ و كان ٤ ; ، ، حسب قوى س التصاعدية هى ١ ; على الترتيب أوجد كلاً من م ،     ; فى إثبات أن : ; + ٠Q ; ; + ١Q + ٠٠٠٠ + ٢Q ; ٢ = ;Q ; ب = ١  فأثبت أن ; تقبل القسمة على ٣ ; حد خالى من س فبين أن ; ١ س  ٤٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ٥ حسب قوى س التصاعدية ، و بأخذ الحدود الثلاثة الأولى من المفكوك  ٢ + س  ٩ ] أكتب مفكوك ] ٢٠  ٢س + ٣  ١٠ ] أوجد النسبة بين الحد المشتمل على س ٥ و الحد المشتمل على س ٦ فى مفكوك ] ٨ حسب قوى س التنازلية ، و احسب قيمته عندما  ٣س + ٢ص  ١١ ] أكتب الحد السادس فى مفكوك ] ١ ٢ ١ ٣ ٥ مقرباً الناتج لأقرب مائة  ٩,٥ ٥ و استخدم المفكوك لإيجاد قيمة  ــ ب  ١٢ ] أكتب مفكوك ] ١٠  ٦س + ص  ١٣ ] أوجد الحد الأوسط فى مفكوك ] ١٤ ] أوجد معامل س ]  ١ +س  ١٥ ] فى مفكوك ]  ١ + مس  ١٦ ] فى مفكوك ] ١ ٣ حسب قوى س التصاعدية متساويين  ١ +س  فى مفكوك  ١٧ ] إذا كان معاملا سب ، س ]  ١ +س  ١٨ ] إذا كانت معاملات ثلاثة حدود متتالية فى مفكوك ]  س + ٢  ١٩ ] فى مفكوك ] ، س ; فما قيمة كل من  س + ١  ٢٠ ] إذا كان ] ١٠ حسب قوى س التصاعدية يساوى :  ١ + مس  ٢١ ] إذا كان مفكوك ]   ٥ مقرباً الناتج لخمسة أرقام عشرية  ٢,٠٠١ و وضع س = ٠,٠٠١ أوجد قيمة س = ، ص= ; ٢  ١ +س  فى مفكوك ; و أثبت أنه ضعف معامل س ; ٢  ١ +س  فى مفكوك ــ ١ ; ; عدد صحيح موجب ; حيث ; ٨ فأوجد قيمة & × ٤& ١٨ = ٢  ٦& ٥ إذا كان ; ; إذا كان معاملا س ، س ٢ هما ٦٣ ، ١٢ على الترتيب فما قيمة كلاً من م ،  + ب =  : فأثبت أن ; حسب قوى س التصاعدية هى ٤٥٥ ، ١٠٥ ، ١٥ ، و رتب هذه الحدود ; على التوالى . فأوجد قيمة ; ٢ ٣ ١٤& = ١٥& ، ١٢& = ١٣& حسب قوى س التنازلية كان ; س س س س ٠٠٠٠٠ + ٤ ٤  + ٣ ٣  + ٢ ٢  + ١  + ١ = حيث عدد  صحيح موجب وكان أوجد قيم كل من ، ; ٢  ٤ = ٤ ، ١٢ = ١ : ;  ، ب ،  ، ٠٠٠٠٠٠ فأوجد قيم كل من م + ١٥ س ٣ + س ٢  + ب س +   ٤٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
      ١ +س  ٢٢ ] فى مفكوك ] ; استنتج قيمة كلاً من : ١٠Q١٠ + ٠٠٠٠٠٠ + ٢Q١٠+ ١Q١٠ + ١  أولاً   ١ +س  ٢٣ ] فى مفكوك ] ١١ س ص ٢ص س س ٢ ٢ص ٢  ٢٤ ] أوجد معامل ]  ــ  ٧ فى مفكوك  ٢: ١٥ حسب قوى س التنازلية هى ١  س + ٢ص  ٢٥ ] إذا كانت النسبة بين معاملى حدين متتاليين فى مفكوك ] ٨ و أوجد الحد المشتمل على س ٤  س ٢ ــ  ٢٦ ] اثبت أنه لا يوجد حد خالى من س فى مفكوك ] ٢ س ١٠ تساوى  ٢س + ٣ص  ٢٧ ] إذا كانت النسبة بين الحد الأوسط و الحد الخامس فى مفكوك ] ٨ فأوجد قيمة  ب +  ٦ فى مفكوك & + ٤& = ٥& ٢٨ ] إذا كان ٢ ] ٣ ٢  ب ٠٠٠٠٠٠ + س ١٤ + ٥  ٢ +س  ٦ + س ٤  ٢ +س  ٧ س ٢ + ٧  ٢ +س  ٢٩ ] ضع المفكوك ] ٦ × ٧ ١ × ٢ ٢٠ فوجد أن نسبة مجموع معاملى الحدين الأول و الثانى من  ١ +س  ٣٠ ] أخذت ٣ حدود متتالية فى مفكوك ] ٨  ١ +س  ٨  ١ ــ س  ٣١ ] أكتب مفكوك ] ٥  ١ ــ ١ ــ س ٢  ٥  ١ ــ س ٢ + ١ ٣٢ ] أكتب مفكوك ] ٣٣ ] باستخدام نظرية ذات الحدين أثبت أن : ٢٣ ] ;  ب +  ٣٤ ] فى مفكوك ]   ; حسب قوى س التصاعدية ، إذا كان معامل الحد الثانى يساوى معامل الحد السادس فأثبت أن : ١ ــ ; + ٢Q ; ٤ ــ Q ; ٠ = ٦Q ١٥Q١٥ × ١٥٢ + ٠٠٠٠٠٠ + RQ١٥ × R٢ + ٠٠٠٠٠٠ + ٢Q١٥ × ٢٢ + ١Q١٥ × ٢ + ١  ثانياً  فأوجد رتبتى الحدين . فأثبت أن ٥س = ٦ص . على صورة مقدار ذى حدين ، و إذا كان الحدان الأوسطان متساويان فأوجد قيمة س ٣ ، فما هذه الحدود ؟ : هذه الحدود إلى مجموع معاملى الحدين الثانى و الثالث منها كنسبة ٥ ــ ١ تقبل القسمة على ٦٤ ; ــ ٨ ; إذا كان ل هو مجموع الحدود فردية الرتبة ، م مجموع الحدود زوجية الرتبة ٢ ــ ب ٢  = ل ٢ ــ م ٢  أولاً  : فأثبت أن  ; ٢  ب +  = ٤ ل م  ثانياً  ; ٢  ــ ب  ــ ;  ٤٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
      ١ +س  فى مفكوك R + ١ ، س R ٣٥ ] بين أن الفرق بين معاملى س ] ٢  ١ + س  ٣٦ ] أثبت أن الحد الأوسط فى مفكوك ] ; ٦  س ٢ + ١ + س  ٣٧ ] أوجد معامل س ٣ فى مفكوك ]  + ٢س  ٣٨ ] إذا علم أن الحد الثالث فى مفكوك ]  ــ ١ ;٢  ٠٠٠٠٠ × ٥ × ٣ × ١ ; × ٠٠٠٠٠ × ٣ × ٢ × ١ ١ س ٢ ١ س  ١٢ أوجد الحد المشتمل على س ٩  + س ٣   ٣٩ ] فى مفكوك س ٥ ]  ١ + س  ٤٠ ] فى مفكوك ]  ١ + مس  ٤١ ] فى مفكوك ]  R ــ ;   + ١ R ــ ;   س +ص  ٤٢ ] إذا كانت الحدود الثانى و الثالث و الرابع من المفكوك ]  ١ + R  R ١ س ١ س ٩  س ــ  ٩  + س فى مفكوك  ٤٣ ] أوجد معامل س ٦ ]  س + ب  ٤٤ ]إذا كان الحدان الأوسطان فى مفكوك ] ١١٢٠ = ٥& ٤ ، و معامل = ٣& ٨ حسب قوى س التصاعدية ، إذا كان  س + ١  ٤٥ ] فى مفكوك ]   ١ + ; يساوى الفرق بين معاملى  ١ +س  ــ ١ فى مفكوك R + ١ ، س R س ; ٢  ٢س  يساوى ; ; حسب قوى س التنازلية خالى من س ٣٠ حسب قوى صالتصاعدية   ١ +ص ٣  فأوجد قيمة ص التى تجعل هذا الحد مساوياً للحد الثانى فى مفكوك ; س ٢ × = R&: + ٢ R& أثبت أن : ; ٥ : ٥ هى ٨ & ٧ إلى معامل & إذا كانت نسبة معامل = ٨ ثم أوجد قيمة م ; ١ فأثبت أن : & ١١٢ معامل = ٣& ، قيمة معامل ; هى ١٠٨٠ ، ٧٢٠ ، ٢٤٠ على ; الترتيب . فأوجد قيم س ، ص ،  و أثبت أن هذا المفكوك لا يشتمل على ســ ٣ ١ + ; + متساويين XL ; حيث فأوجد قيمة س س ،  فأوجد قيمتى  ٤٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ١ س س ٢ ٦  ٣ ــ ٢س  ٦  ٢س + ٣   ١١  ٥  + ٢س   ١٠  ٣ س ! ! ١ س!٢ ! ! [ ٠,٨١٥ ، ٠,٩٣٢ ، ١,٢١٩ ] ٥ ٠,٩٦  [ ١٥ ] ٧ ٠,٩٩  [ ١٤ ] ١٠ ١,٠٢  [ ١٣ ] ٦  ٦ باستخدام ذات الحدين ثم استخدم المفكوك لإيجاد قيمة ٢+ س ١٦ ] أوجد مفكوك ] ٢٠١ ١٠٠ [ مقربةً لثلاثة أرقام عشرية [ ٦٥,٩٤٤ ٥١,٩٧  ٥ باستخدام نظرية ذات الحدين و استخدم المفكوك فى إيجاد قيمة  ٢س ــ ٣ص  ١٧ ] أوجد مفكوك ] [ مقرباً الجواب إلى ٣ أرقام عشرية [ ٢٩,٦٧١ [ ٢١٨٧ فما قيمة س ؟ [ ٢ = ٠٠٠٠٠ + س ٧ + ٧س + س ٢ + ١٨ ] إذا كان : ١ ] ٦ × ٧ ١ × ٢ ٥ × ٦ ١ × ٢ ٦٤ ص ٦ + ٨١ ص ٢س ٤ ــ ٠٠٠٠٠ × ٤ × + ٢٤٣ صس ٥ × ٢ × ١٩ ] إذا كان : ٧٢٩ س ٦ ــ ٦ ] [ ٦٤ ] هو مقدار ذى حدين فما هو ذلك المقدار ؟ و ما قيمته العددية عندما س = ص= ٢ ٠ = ٢٥٦ س ٨ + ٠٠٠٠٠ + ٦  ١ ــ س  ١١٢ س ٢ + ٧  ١ ــ س  ١٦ س + ٨  ١ ــ س  : ٢٠ ] إذا كان ]       مسائل على مفكوك ذات الحدين : ــ باستخدام نظرية ذات الحدين أوجد مفكوك كل مما يأتى : ب س ٥  ٣+ ٢  ٣ ٦    ــ ٧   ٢   + ب   ١  ٨ س ــ ص س ــ س   ٢+ ١٧   ٦   ! ٢   ٥ ٤   ٢٣  ٤  ٦  ٩ ــ س ــ ٧ ١٠     ٢  ٨   ! ٣ ١   ٧ ــ  ! ! ٥  ٢ ــ ٣ ــ س  ٥  ٣ ــ س + ٢   ١٢  ــ باستخدام نظرية ذات الحدين أوجد قيمة كل مما يأتى مقرباً الجواب إلى ٣ أرقام عشرية : [ فما هى قيمة س ؟ [ ــ ١  ٤٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     [ ١١٢ ] ٤  ١ ــ ٥  + ٤  ٥ + ١  [ ٢١ ] [ ٢ ٢٢٠٠ ] ٦  ١ ــ ٢ ٢  ٦ ــ  ٢ ٢ + ١  [ ٢٢ ] [ ٢ ٢٢٠٠ ] ٥  ٣ ٢ ــ ٢ ٣  ٥ ــ  ٢ ٣ + ٣ ٢  [ ٢٣ ] [ ١٢ مقرباً إلى ٣ أرقام عشرية [ ٢,٠٥٣  ٠,٩٨ + ١٢ ١,٠٢ [ ٢٤ ] [ ٦ مقرباً إلى ٣ أرقام عشرية [ ٠,٠٣٦ ٠,٩٩٧ ٦ ــ ١,٠٠٣ [ ٢٥ ] [ ١٦ أوجد قيمة س [ # ١ = ٤  س ــ ١  + ٤  س + ١  : ٢٦ ] إذا كان ] [ ٥٦٠ س ٢ أوجد قيمة س [ ٢ ، ٠ ، ــ ٢ = ٦  س ــ ٢  ٦ ـــ  س + ٢  : ٢٧ ] إذا كان ] ٨ س ٨ Q٨ + ٠٠٠٠٠٠ + ٢ س ٢ Q ١ س + ٨ Q٨ + ٠Q٨ = ٨  ١ + س  : ٢٨ ] إذا كان ] Q ٨ Q٨ + ٠٠٠٠٠٠ +  Q ٨ Q٨ +  Q ٨ ٨] ٨٧ ٣٢ ١٠ Qii ــ ــ ــ صفر ] ٨ ٨ ٨ ٨ ٨ [ ٦٥٦١ ] ٨Q٢٥٦ + ٠٠٠٠٠٠ + ٣Q٨ + ٢Q٤ + ١Q٢ + ٠Qiii مسائل على الحد العام و الحد الأوسط فى مفكوك ذات الحدين : ــ أوجد قيمة الحد المطلوب فى مفكوك كلاً مما يأتى : فى س فى س ــ ١٠ ٨ س س [ ٤ ٣٣٦٠ ، ٤ ١١٢٠ ]  ١ ٢&  ٧ ،  ٢+ ١ ٥ & [ ١ ] [ فى ٥ ١١ ٣ ١٦٠ ٩ ]  ٣  ٦ & ٦ ٣ ،  ٢ + س فى ــ س ٤ س  ، ــ س ٤ & [ ٢ ] فى س ــ ص فى س ــ [ س ص [ س ٤ ٢٩ ،  ٢  ٨ ٧ & ،   ٥ & [ ٣ ] ٢ ٣٥ ٨ ٣ ٢ ١ ٣س ٧ ١٨ س ٢ س ٣ [ ١٢ [ ، ســ ٢  ٢ س ــ  ٩ فى & ، ١٠  ــ  ٧ فى & [ ٤ ] ٢ س ٢ ٢ س ٢ ١ س!٢ ٤٤٨٠ ٢٧ ٤٩٥ ١٦ [ ] ٨  +  ٥ ] أوجد معامل الحد الرابع فى مفكوك ] ١٨٩ ٤ ٣ س ٢ ٤ ٢ س ٢ [ ٥ = ســ ٤ & ] ١٣  ــ  ٦ ] أوجد الحد العاشر من النهاية فى مفكوك ]   ــ أوجد قيمة كل مما يأتى باستخدام نظرية ذات الحدين : ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! [ ٢٥٦ ] ٨Q٨ + ٠٠٠٠٠٠ + ٢Q٨ + ١Q٨ + ٠Q٨i ! ! ! س ٧١٥ ٢  ٤٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ٧ ] أوجد رتبة و قيمة كلاً من الحدود الآتية : ] ٨ ] أوجد رتبة و قيمة كلاً من الحدود الآتية : ] ٢ س ٣ ٩ ] أوجد رتبة و قيمة كلاً من الحدود الآتية : ] ٢ س ٣ س ص ٢ س ١ !٣ س!٣ ! ! ٣ ١٥٤ س ! ] أوجد ٣٠ : النسبة بين ٧ ١٦ [ ]  ٣ الحد السابع فى مفكوك  ١٤  ١ ٣س ــ ، الحد التاسع فى مفكوك س  ١٠ ] + ١٠ ٣ ٢س [ ١٦٠ : ٢١ ] ٣  ] أوجد النسبة بين الحد الأوسط و الحد الرابع فى مفكوك س ٢+ ٣  ١١ عندما س = ] [ ] فى مفكوك سصإذا كان معامل فما قيمة ٢ # ] ؟  ٥٦٠ = ٧ ٥&   +  ١٢ ] ] ٢ ١٧٩٢٠ إذا كان الحد الأوسط فى مفكوك س ٨ ٢ يساوى فما قيمة س ؟ [ [  + ٣ ١٣ ] # ٢ ٣س ١٣ متساويين . أثبت أن : ٣س = ٢ص  ٣س + ٢ص  ١٤ ] إذا كان الحدان الأوسطان فى مفكوك ] ١٠ حسب قوى س التصاعدية وجد أن نسبة الحد التاسع إلى الحد الأوسط تساوى  ١ + س  ١٥ ] فى مفكوك ] [ ٧ أوجد قيمة س [ ٢ : ١٠ ٢  س + ب  إذا كان الحدان الأوسطان فى مفكوك  [ ١٦] ١ + ; عدد ; متساويين بفرض ب  ٣ س !  + س  ٣ فى مفكوك & ١٧ ] إذا كان معامل ] ٢ ١٤ يساوى  س ــ  ٥ فى مفكوك & ، ١٥  + س  ٦ فى مفكوك & ١٨ ] إذا كانت النسبة بين ]   ١٢ الحد الأوسط فى مفكوك [ ٦ ٩٢٤ ]  ١     ــ س س ٥ ب الحدان الأوسطان فى مفكوك ٢ ٤ ٩ [ ! ٥٠٤ = ٦& ، + س ٥٠٤ = ٥& ] ! ٢ ١  س س   [ ٨٠٦٤ ] ١٠  + س الحد الأوسط فى مفكوك    [ ١٩٣٠٥ س ٦ = ٩& ، ٢١٤٥ س ٩ = ٨& ] ١٥  + الحدان الأوسطان فى مفكوك  ب  [ ٧٠ س ٤ص ٤ ] ٨  + ٢س  الحد الأوسط فى مفكوك    [ = ٧& ٣ ٢١٤٥ س ، = ٦& ] ١١ +  الحدان الأوسطان فى مفكوك  ب  صحيح موجب فأوجد قيمة س [ ] ; [ يساوى ٢٧ أوجد عدد حدود هذا المفكوك [ ١٠ ٢ ٣ ١ س ١ س ٢ ٩ ، أوجد قيمة س [ ] : ٨  ٤٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ٥٤ : ٩ تساوى ٧ ٢ + س ٢  ٨ فى مفكوك & ، ٩   + ٢س  ٦ فى مفكوك & ١٩ ] إذا كانت النسبة بين ] [ ]  أوجد قيمة [ ١٨١٤٤٠ س ٤ ] ٨  ٣ ــ ٢س  + ٨  ٢س + ٣ ٢٠ ] أوجد قيمة الحد الأوسط فى مفكوك ] ٢١ ] أوجد قيمة الحد الأوسط فى مفكوك ] أثبت أن الحد الأوسط فى مفكوك  [ ٢٢ ] ٢ ٣  ــ ١ ;٢ × ٠٠٠٠٠ × ٥ × ٣ × ١ ; ; حسب قوى س التصاعدية كان الحد الثانى = ــ ، س ثم أوجد الحد الرابع [ ٥ ، ــ ، ــ ] ; و الحد الثالث = أوجد قيمتى  ١ + س  فى مفكوك  [ ٢٣ ] ٤٠ ٩  ١ + س  الحد الثالث فى مفكوك  [ ٢٤ ]  ١ ــ مس  الحدود الثلاثة الأولى فى مفكوك  [ ٢٥ ] ١٠ ٣ ٢ ٣ ١ ٤ ١٥ بنظرية ذات الحدين حسب قوى س التنازلية وجد أن :  ٢س ــ ٣  فى مفكوك  [ ٢٦ ] ٨٠ ٢٧ [ ٠ لقيم خاصة للمتغير س أوجد هذه القيم [ ٠,٥ أو ٤,٥ = ٥& + ٤& ١٠ + ٣& ١٣ مسائل على معامل س& والحد الخالى من س فى مفكوك ذات الحدين : [ ٦ = ــ ٢٥٢ & ] ١٠  س ــ  ١ ] أوجد الحد الخالى من س فى مفكوك ] ١ س ٣س ٢ [ ٦٩٣ ] ١١  +  أوجد معامل س فى مفكوك  [ ٢ ] ٢ ٣س [ ١٢٠ ، ٢١٠ ] ١٠ أوجد معامل كل من س ٢ ، ســ ١  + س ٢  فى مفكوك  [ ٣ ] ١ س [ ] ٩  س ٢ ــ  ٤ ] أوجد الحد الخالى من س فى مفكوك ]   [ ١٦٠ س ٣ = ٤&] ٠٠٠٠٠ + س ٦ + ٤  ١ + س  ١٥ س ٢ + ٥  ١ + س  ٦س + ٦  ١ + س  ٢  ١ + س  ; ٢ × يساوى ; س × ; ; عدد صحيح ; حسب قوى س التصاعدية حيث [ ٢ # ، ، س [ ٨ ; موجب هو ٢٨ س ٢ و الحد الخامس فى نفس المفكوك ١١٢٠ . أوجد قيمة كل من ; حسب قوى س التصاعدية هى : [ [ ٠,٠١ ، ٢٥ ; ١ ، ــ س ، ٠,٠٣ س ٢ على الترتيب أوجد م ، ٣ ٢ ١ ٣س ٧ ١٨  ٥٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ٢ س ٢ ٣ س ٢ ٨ و كذلك قيمة الحد الخالى من س فى هذا المفكوك  +  ٥ ] أوجد معامل س ٤ فى مفكوك ] [ ، ] ٤ س ٢ ١٥  +  أوجد معامل س ٢٥ ، معامل فى مفكوك  [ ٦ ] ١٨٩ ٤ ٢٨٣٥ ٨ ٣٠٠٣ ٣٢ ٢ س ٣ ١ س ٣ [ ٤٠٠٤٠ = ١٠& ، = ٦& ] ١٥ ٢ ٢ ] أوجد  +  ٤ ١٤ [ ] معامل ٧ ] س فى مفكوك س س ٢ س ٣ ١٣٦٥ ١٢٨ [ ١٣ [ ــ ١٧١٦  س ٢ ــ  ٨ ] أوجد الحد الخالى من س فى مفكوك س ٩ ] ١ س ٣ ١ !س ٧ ١٠ ] [ ٣٣٦٠ ]  ١ ٢  ٢ أوجد معامل الحد المشتمل على فى مفكوك س س ــ ٩ ] س ٢ س ٣ [ ٧٥٦ ] ٩  ــ  ١٠ ] أوجد الحد الخالى من س فى مفكوك ] ٢ س ٣ ٣ س س ص ٢ ٤ س ص ٢س [ ١٩٢٠ ] ١٠  +  ١١ ] أوجد معامل الحد الذى يشتمل على ( ) فى مفكوك ] ص س ٢ ١٠ أثبت أنه لا يوجد حد خالى من س ، ثم أوجد معامل [ ]  ــ  ١٢ ] فى مفكوك ] ٢ س ٣ ١ س ٢  ٢س ــ  إذا كان الحد الخامس فى مفكوك  [ ١٣ ] س ٣  فى مفكوك  [ ١٤ ]  + ;٥ ١ س ٢ أوجد معامل س ٩ فى مفكوك  [ ١٥ ] ١٠٥ ٢ ١ س ٦ ٩×١٠ ١×٢ ص ص ٢ [ ٧٠ ] ٨  س ٢ ــ ٨  + س ٢  ٨ فى مفكوك  سص  ١٦ ] أوجد معامل ]   ! ; ; خالياً من س فأوجد قيمة [ ١٢ ، ــ ١٠١٣٧٦ ] ثم أوجد معامل ســ ٣ أثبت أن الحد الخالى من س هو معامل الحد الذى يحتوى ٤ أوجد قيمة معامل س ٥ & و إذا كان الحد الخالى من س هو ; [ ١٥٣٦٠ ] ١٠ ١+س  + ٠٠٠٠٠ + ٢ ١ +س  ٨ ٢+س  +  ١+س  ٩ ٢ +س  ١٠ + ١٠ ٢ +س  ! ! على س ٥ ; [ ١٠ ] ! ٢ !  ٥١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ;٢ إذا كان عدداً صحيحاً موجباً فأثبت أنه لا يوجد حد خالى من س فى مفكوك س س  ١ ٥ ٢ +  ;  [ ١٧ ] [ إلا إذا كانت = أو مكرراً لها . أوجد الحد الخالى من س عندما = ١٠٠١ = ١١& ] ٧ ; ٧ ; إذا كانت نسبة معامل الحد الذى يحتوى على س ٤ إلى معامل الحد الذى يحتوى على س ٢  [ ١٨ ] [ بفرض أنها عدد صحيح موجب [ ٨ ; ٥ فأوجد قيمة : بنظرية ذات الحدين تساوى ٨ ١٠  + ٢س ٢  التى تجعل معامل س ٥ = معامل س ١٥ فى مفكوك  أوجد قيمة  [ ١٩ ]  س ٣ ١ !٣ س ٢  ٢٠ ] إذا كان الحد الخالى من س فى مفكوك ]  + ١٥ يساوى معامل س ٥ فى نفس المفكوك ك س ٣ ٣ ٥ ٨ ٧٠ أوجد قيمة س [ ] = ٤& ١٦ متساويان ، و إذا كان  ١ + س  ١٣ فى مفكوك & ، ٥& ١ ] أثبت أن معاملى ] ١ ٢ ; حسب قوى س التصاعدية ، إذا كان معامل الحد الخامس يساوى ٧٠ ، الحد الثالث [ # ، ، س [ ٨ ; يساوى ٦٣ ، أوجد قيمتى  ١ + س  ٢ ] فى مفكوك ] ٣ ٢ ; حسب قوى س التصاعدية يساوى معامل الحد الثالث عشر [ # ، ٧ فى نفس المفكوك ، أوجد قيمة س [ ١٥ & ٤ = ٩& . و إذا كان ٧ ; أوجد قيمة  ١ + س  ٣ ] إذا كان معامل الحد الرابع فى مفكوك ]  ١ + س  ٤ ] إذا كانت النسبة بين معاملى الحدين الثالث و الخامس فى مفكوك ] ٢ ٣ ٣ ٢ ٢٥ يساوى معامل الحد الذى ترتيبه  ١ + س  فى مفكوك  ١ + R ٢  ٥ ] إذا كان معامل الحد الذى ترتيبه ] [ ١٥& ، ١٢& أوجد ترتيب هذين الحدين [ ،  ٥ + R أثبت أن :  [ ٦ ]    ٥ ــ ٤س  فى مفكوك ; موجبة [ ]  حيث أوجد قيمة ك [ ] : &  ١ + س  مسائل على معامل س& فى مفكوك ; ؟ ; ٧ فما قيمة : هى ٢ [ ، و إذا كان الحد السادس فى هذا المفكوك يساوى الحد السابع ، أوجد قيمة س [ ٩ ; ; R × = RQ ــ ١ ; ١ ( R ( ; ــ ١ حيث RQ  ١ + س  إذا كان ضعف معامل الحد الحادى عشر فى مفكوك ; يساوى ثلاثة أمثال معامل الحد العاشر  ١ +ص  فى مفكوك ــ ١ ; [ [ ١٥ ; فأوجد قيمة  ٥٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
      ١ + س  ٧ ] إذا كانت النسبة بين معامل الحد الخامس فى مفكوك ] ٢ ٣ ١ + ; ١ + RQ ٢٠ يساوى معامل الحد التاسع فى مفكوك  ١ + س  و إذا كان مجموع معاملى حدين متتاليين فى مفكوك [ ١٤& ،١٣& ٩ أو & ،٨& ٢١ ، أوجد ترتيب هذين الحدين [  ١ + س  ٨ ] أثبت أن : ]  س + ١  إذا كان معاملا س ، س ٢ فى مفكوك  [ ٩ ] ٢  ١ + س  أثبت أن معامل الحد الأوسط فى مفكوك  [ ١٠ ] ; ٢ ٣  ١ + س  ٢ فى مفكوك + R ، + ١ R ، R إذا كونت معاملات الحدود التى رتبها  [ ١١ ] ; + RQ ; ١ + RQ أثبت أن : =  [ ١٢ ] ; ط Q ط + R + ل R ١٥ أوجد :  ٤س + ٣ص  ١ ] فى مفكوك ]   ١ + ; و معامل الحد الرابع فى مفكوك  ١ + س  ; ، و إذا كان الحد السابع فى المفكوك الأول يساوى الحد ; ٤ ، أوجد قيمة : يساوى ٩ [ ، السادس فى المفكوك الثانى ، أوجد قيمة س [ ٨ ; + RQ ; = ١ + RQ ; حسب قوى س التصاعدية هما ١٦ ، ٦ [ ٩ ، ] ; ،  على الترتيب ، فما قيمة كل من يساوى مجموع معاملى الحدين ٢  ١ + س  الأوسطين فى مفكوك ــ ١ ; ; [ [ ٥ ، ٧ R ، ; ٥ أوجد قيمتى & ٤ = معامل & متتابعة حسابية و كان معامل  ١ + س  : إذا كان ; RQ ١ + ; ١ + R ; ٠٠٠٠٠ + س + س ٣ + ل س ٤ R س ٢ + Q ١ + ط س + = فأثبت أن : + = مسائل على قانون النسبة بين حدين متتاليين : Q٢ R + Q ١٢& معامل ١١& معامل ٤& ٥& ٩& ٧& ٦& معامل ٨& معامل ٥ص ٢ ١٥ ٤٤ ٤س ٩ص ٨١ ص ١١٢ س ٢ ١١٢ ١٣٥ [ ، ، ، ، ] ، ، ، ، ٧& ٦& ٤س  ٥٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ١٣ حسب قوى س التصاعدية وجد أن النسبة بين الحد الحادى عشر  ٢ + س  فى مفكوك  [ ٢ ]  ٣ + س  ٩ فى مفكوك & ، ٨& إذا كانت النسبة بين معاملى  [ ٣ ] ٣ ٢ ٣ ٢ ٢س ٣ ;  +  ٤ & ، ٦& ٤ ] ] إذا كانت النسبة بين معاملى فى مفكوك حسب قوى س التصاعدية تساوى [ ٩ ; ، أوجد ٢٧ قيمة : ٨ [ ] إذا ١٣ [ ٥ : ٧ كان الحدان الأوسطان فى مفكوك س + ص  متساويين ، أوجد قيمة س ٧٥  ٥ ] ،ص [ ٢  ٣ س + ٥  ٦ ] إذا كان الحدان الأوسطان فى مفكوك فى مفكوك ] ١ + ; متساويين ، أوجد قيمة س علماً ٥ ٣ عدد صحيح موجب [ ] ; بأن [ ٩& ،٨& ٥ أوجد رتبتى هذين الحدين [ : ١٨ تساوى ٢  ٢س + ٣  ٧ ] إذا كانت النسبة بين معاملى حدين متتاليين فى مفكوك ]  ١ + س  ٦ فى مفكوك & ٨ ] إذا كانت معامل ] ٣ ٤ ٨ حسب قوى س التصاعدية  ١ + س  إذا كانت الحدود الرابع و الخامس و السادس فى مفكوك  [ ٩ ] [ تكون متتابعة حسابية لقيم خاصة للمتغير س فأوجد هذه القيم [ ٠,٥ أو ٢ ; فى تتابع حسابى [ [ ٨ ; و كانت س = ٢ص فأوج قيمة  س +ص  إذا كان الحد الأول و الثانى و الثالث فى مفكوك  [ ١٠ ] ٠ = ٥& ٢ + ٤& ١٠ + ٣& ٨ حسب قوى س التنازلية إذا كان ١٥  ٢س ــ ٣  ١١ ] فى مفكوك ] ١ ٢ ٣ ٢ ٢ ٣ ١ ; حسب قوى س التنازلية وجد أن الحد العاشر = الحد التاسع [ ، س [ ٦ ، ٢٠ ; ١٤ أوجد قيمة كل من & = ١٥& ،  س + ٣  فى مفكوك  [ ١٢ ] ٤ ; حسب قوى س التصاعدية يساوى ضعف [ ، ، س [ ١١ ; ٤ فأوجد قيمة كل من : الحد السابع ، و كانت النسبة بين الحدين الرابع و الثانى تساوى ١٥  ١ + س  إذا كان الحد السادس فى مفكوك  [ ١٣ ] ١ ٢ ٤ و كان الحد : ٨ تساوى ١  س +ص  ٤ فى مفكوك & ، ٣& إذا كانت النسبة بين  [ ١٤ ] [ ٢ # ، الأوسط = ١١٢٠ فأوجد كلاً من س ،ص [ # ١   ١٠ أوجد قيمة س [ ] : و الحد العاشر هى ٣ ; [ [ ٢٣ ; ٢ فما قيمة : تساوى ٣ ; ٦ فى هذا & ، ٨& ٩ ، النسبة بين & يساوى معامل [ # ، ، س [ ١٣ ; ٤ أوجد قيمتى : المفكوك تساوى ٣ لقيم خاصة للمتغير س أوجد هذه القيم [ أو ]  ٥٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
      ١ + س  فى مفكوك  [ ١٥ ] ٤ ب =  هما ٦٠ ، ٩٦ على الترتيب و كانت [ ٦ ، # ، [ # ٢ ; ب ، ،  فأوجد قيمة  ب +   ١٦ ] إذا كان الحدان الثانى و الثالث فى مفكوك ]  ١ + س  إذا كونت معاملات الحدود الخامس و السادس و السابع فى مفكوك  [ ١٧ ]  ٢س + ص  ١٨ ] فى مفكوك ]  ١ + س  ١٩ ] فى مفكوك ] ١ ٢ ١ ٢ ٦ تكون متتابعة & ٤٤ ، ٤& ٩ ، ٢& حسب قوى س التنازلية وجد أن ٩ ;  ٢س +ص  ٢٠ ] فى مفكوك ] [ ؟ [ ١٣ ; حسابية فما قيمة  ٢س + ١  ٢١ ] فى مفكوك ] ; هى ٢٥٢ ، ــ ٥٦٧٠ ، ١٥١٢ [ ٨ ، ٣ # ، [ # ١ ; على الترتيب فأوجد قيم س ،ص، مسائل عامة على نظرية ذات الحدين :  س ــ ص  ٢٢ ] إذا كانت الحدود الثالث و الرابع و الخامس فى مفكوك ] ٢ س ٢  ١ ] فى مفكوك ]  + ٩ أوجد : ( أولاً ) قيمة الحد الخالى من س   ; ٦ فأوجد قيمة : ١٤ : ٨ يساوى ٢١ & : ٧ &: ٦& إذا كان [ [ ٩ ، ١ ; كل من س ، ; ; متتابعة ثم أذكر رتب الحدود الأخرى فى المفكوك التى تكون معاملاتها نفس المتتابعة الحسابية السابقة ; حسابية فأوجد [ ٤& ، ٣& ، ٢& ، ( ٧ ، ١٤ ) ] ; ٢ + R& ٣ = ٣ + R& ٤ ، ٢ + R& = + ١ R& ، إذا كان : [ [ ٦ ، ١٣ R ، ; ،ص= ٢ س ، أوجد قيمتى ; [ # ، ، س [ ١٠ ; ٧٥ فأوجد قيمة كل من = ٤& × ٢& ، ٤٥ = ٣& إذا كان : ٤ ; بنظرية ذات الحدين حسب قوى س التصاعدية وجد فى ثلاثة حدود متتالية أن و كذلك أوجد رتب هذه الحدود الثلاثة ; نسبة معاملات أولها إلى ثانيها إلى ثالثها ٢٠ : ٥ : ١ أوجد قيمة [ ٨& ، ٧& ، ٦& ، ٢٠ ] ١ ٤س ١ ٢ ٢١ ١٢٨ [ ، = ٧& ( ثانياً ) قيمة س التى تجعل الحدين الأوسطين فى هذا المفكوك متساويين [  ٥٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ٢ + س  ٢ ] فى مفكوك ] ; ١ س ٢س ٣ ١٢ ، و إذا كانت  +  ٣ ] أوجد قيمتى الحد الأوسط و الحد المشتمل على ســ ٣ فى مفكوك ] [ ، ٩ أوجد قيمة س [ ٩٢٤ ســ ٣٥٢ ، ٦ ســ ٣ : النسبة بين هذين الحدين تساوى ٧ ٣ ٢ ٣ ٢ س ٢ س ٢  أوجد رتبة الحد الخالى من س فى مفكوك  [ ٤ ]  + ١٢ حسب قوى س التنازلية [ ٢,٥ ، = ٩& ثم عين قيمته و إذا كان هذا الحد يساوى ٠,٠٢ من الحد السابق له مباشرة فأوجد قيمة س [ ١ س  + ٢س  ٥ ] إذا كان الحد الخالى من س فى مفكوك ] ١ ٢س ٤٩٥ ٢٥٦ معامل الحد الأوسط ، و إذا كان الحد الثامن فى هذا المفكوك يساوى أربعة أمثال الحد السادس أوجد قيمة س [ # ] ٢ ٣س ٣س ٢  +  ٧ فى مفكوك & ، ٦& ، ٥& ٦ ] إذا كانت النسبة بين ]  ١ + س  ٧ ] فى مفكوك ] ١ ٢ ٤ ٣ س ١ ; ٢ +R& + ١ + R& + ١ + R ١ + R& & ، & ١ + ; ] فى مفكوك س ٢ ٨ ١٠ ٤ ٣  ٨ ] + حسب قوى س التنازلية ، إذا كانت النسبة بين معاملى تساوى [ ٤ ٣ ، ٨ ; ، الحدان ٩ الأوسطان فى هذا المفكوك متساويان ، أوجد قيمتى ، س [ : ٢٠ ] ٥ ١٠٢ أوجد معامل س فى حاصل ضرب + س ــ س [ ــ [ ١٥  ٢١   ١  ٩ ] [ ٧٠ ] ٧ س ــ  ٢  ١ + س  أوجد الحد الخالى من س فى حاصل ضرب    [ ١٠ ] [ ٣٤ ] ٥ + ١  ٢  ٢ + س ٢  أوجد الحد الخالى من س فى حاصل ضرب  ب  ١ س ١ س٢ [ ٥ ، ــ ١٠ ] ٥ ١ + س ــ س ٢  ١١ ] أوجد معامل كل من س ٢ ، س ٣ فى مفكوك ]   = ٤ ; أثبت أن الحد الخالى من س هو الحد الأوسط و أوجد قيمته عندما [ ٧٠ ] ; هو الحد السابع ، أثبت أن هذا الحد يساوى ; ١١ أوجد قيمة : ٢٤ : تساوى ٤٠ [ ١٢٨٧٠ = ٩& = ١٦ ، س = # ، ; ، س ثم أوجد قيمة الحد الأوسط أو الحدين الأوسطين فى هذا المفكوك [ ; ; ، أثبت أن : = س  ٥٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
          ت :  م ٤ ، أختصر لأبسط صورة : ت ٧ ، ت ٨ ، ت ١٥ ، ت ٤٢ ، ت ١٠١ / ٣ = ت ٣ = ــ ت + ت ٧ = ت ٤ * $ ١ ت ١ ت ٤ ت ت ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ    أى أن ت = ــ ١  يعرف العدد التخيلى ت على أنه العدد الذى مربعه يساوى ــ ١ = ــ ١ ت ٣ = ــ ت ت ٤ = ت XL الباقى من خارج قسمة حيث م + * ت ١ = ٤ × ٨ = ت ٢ * ت ٣ = ت ٣ = ــ ت + ١٥ = ت ١٢ * ت ٢ = ت ٢ = ــ ١ + ٤٢ = ت ٤٠ * ت ١ = ت + ١٠١ = ت ١٠٠ ت ٣ ت ٢ ت :  ت ٢ ١ = تم ت = ــ ت × ت = ــ ١ × = = = *   + ، ت ٢ X L العدد المركب هو ما كان على الصورة ع = س + تص حيث س ،ص = ــ ١ و يسمى س : الجزء الحقيقى ، ص: الجزء التخيلى   فى العدد المركب ع = س + تص إذا كانت ص = صفر فإن : ع = س  ١  و يقال أن العدد حقيقى صرف فى العدد المركب ع = س + تص إذا كانت س = صفر فإن : ع = تص  ٢  و يقال أن العدد تخيلى صرف  ٥٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     :  إذا كان ع = س + تص = صفر فإن : س = صفر ، ص = صفر ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ أوجد قيمة س ،ص الحقيقية التى تحقق المعادلات الآتية : / ص = ١ ــ ٤ ت  ٦ ت + ٢  س ــ  ٢ ت + ١  D  ١  $ ت = ١ ــ ٤ ت نساوى الجزء الحقيقى بالحقيقى ، التخيلى بالتخيلى  ٢ س ــ ٦ ص  +  س ــ ٢ ص  E ٢o س ــ ٣ ص = ــ ٢ s ــ ٤ =  ٢ س ــ ٦ ص ، ١o س ــ ٢ ص = ١ s س = ٧ E ١ ص = ٣ و بالتعويض فى E ٢ ، ١ بطرح المعادلتين ٥ س + ٤ تصــ ١٢ ــ ت س + ت = صفر D  ٢  س = E ٥ س ــ ١٢ = صفر s ١٢ ٥ ٧ ٥ ١ ٤ ص= E × = ص s   : W  ، ت ٢ H L = { س + تص : س ،ص W :  يقال لعددين ، أنهما متساويان إذا كان : ع = س + تص ١ ١ ١ ع = س + تص ٢ ٢ ٢ س ١ س ٢ ص ١ ص ٢ { = ــ ١ = ، = أى أن : الحقيقى = الحقيقى ، التخيلى = التخيلى ص = ١ ــ ٤ ت  ٦ ت + ٢  س ــ  ٢ ت + ١   ١  ٥ س + ٤ تصــ ١٢ ــ ت س + ت = صفر  ٢  س + ٢ س ت ــ ٢صــ ٦صت = ١ ــ ٤ ت E ت = صفر  ٤ صــ س + ١  +  ٥ س ــ ١٢  E نساوى الجزء الحقيقى بالصفر ، و الجزء التخيلى بالتخيلى ١٢ ٥ = ٤ ص = ــ ١ E ٤ ص = س ــ ١ E ٤ صــ س + ١ = صفر ، ٧ ٥ ٧ ٢٠  ٥٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
      ١٠ ــ ٣ ت  = ع ،  ٥ ت + ٣  = اجمع العددين ع / $ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ٤ ت + ١  = ع ،  ٢ ت + ٣  = اضرب العددين ع /  ٤ ت + ١   ٢ ت + ٣  = $   :  إذا كان : ، فإن :  س + تص  = ع ١ ١ ١  س + تص  = ع ٢ ٢ ٢ ١ ع  س + تص  ع  س ٢ + تص ٢  ١ ١  ص ١ +ص ٢   س ١ + س ٢  ٢ ١ + = + ٢ ٢ ت + ت = ١٣  ٥ ــ ٣  +  ١٠ + ٣  =  ١٠ ــ ٣ ت  +  ٥ ت + ٣  = + ٢ ع ١ ع = + ت حيث + = + W عملية الجمع إبدالية فى  ١  ٢ ع ١ ع ١ ع ٢ ع +  +  =  +  + حيث W عملية الجمع دامجة فى  ٢  ١ ع ٢ ع ٣ ع ١ ع ٢ ع ٣ ع : المحايد الجمعى : الصفر هو العدد المحايد الجمعى  ٣  صفر =  ــ ع  + بحيث ع  ــ ع  المعكوس الجمعى : لكل عدد مركب ع يوجد  ٤  :  إذا كان : ، فإن :  س + تص  = ع ١ ١ ١  س + تص  = ع ٢ ٢ ٢ ١ ع  س + تص  ع  س ٢ + تص ٢  ١ ١ × = × ٢ س ١ س ٢ ص ١ ص ٢ س ١ ص ٢ س ٢ ص ١ ت +  +  ــ  = ٢ ١ ٢ ع ١ ع ١٢ ت + ٢ ت + ٨ ت + ٣ = ٢ ١٤ ت ــ ٨ + ٣ = ١٤ ت + = ــ ٥  ٥٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     :   × = × حيث W عملية الضرب إبدالية فى  ١  ٢ ع ١ ع ١ ع ٢ ع ×  ×  =  ×  × حيث W عملية الضرب دامجة فى  ٢  ١ ع ٢ ع ٣ ع ١ ع ٢ ع ٣ ع : المحايد الضربى : الواحد هو العدد المحايد الضربى  ٣  المعكوس الضربى : لكل عدد مركب ع = س + تص يوجد عــ ١  ٤  = # =# : التوزيع  ٥  ١ ع ٢ ع ٣ ع ١ ع ٢ ع ١ ع ٣ ع :  إذا كان ع = س + تص فإن مرافق العدد ع = ع = س ــ تص مجموع أى عددين مترافقين هو عدد حقيقى  ١  ٢ س " عدد حقيقى" =  س ــ تص  +  س + تص  = ع + ع حاصل ضرب أى عددين مترافقين هو عدد حقيقى  ٢   س ــ تص  ×  س + تص  = ع × ع = س ٢ ــ ت سص + ت سص ــ ت ٢ص ٢ س  = ٢ +ص  ٢ س = ت ــ سص + سص  + ٢ +ص عدد حقيقى " " ٢ ع =  ع  : مرافق مرافق العدد المركب = العدد نفسه أى أن  ٣  + =  +  : مرافق مجموع عددين مركبين = مجموع مرافقيهما أى أن  ٤  =   : مرافق حاصل ضرب عددين مركبين = حاصل ضرب مرافقيهما أى أن  ٥  :  ع ٢ مرافق المقام بسطاً و مقاماً ، و ذلك حتى نجعل المقام × عند قسمة عددين مركبين فإننا نضرب المقدار عدداً صحيحاً ، ثم نوزع البسط على المقام .  ٦٠   ١ س + تص ع ١ ع ٢ ع ١ ع ٢ ع ٢ ع ١ ع ١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     إذا كان : ، أوجد / ع ع ١ ٢ ٥ ت + ٣ ٣ ت + ٤ ٣ ت + ٤ = × = $ ع ع ١ ٢ ٤ ــ ٣ ت ٩ ت + ٢٠ ت + ١٥ ت + ١٢ ٢ ٢ ١٢ ت ــ ١٢ ت ــ ٩ ت + ١٦ ت  ٢٠ + ٩  +  ١٢ ــ ١٥  ٢٩ ت + ــ ٣ ــ ٣ ٢٥ ٢٩ ٢٥ = = = + ت ٢٥ ٩ + ١٦ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ ــ ٤ ت ٧ ــ ت مترافقان ; = أثبت أن م ، ; إذا كان : م = ، / ١ ــ ت ١ + ت ٢ ــ ت ٢ ت ــ ٤ ت + ٤ + ٢ ٢ ــ ٤ ت ٣ ــ ت = = × = م D $ ١ + ت ١ + ١ ١ ــ ت ٧ ــ ت ٢ + ت ٧ ت ــ ٢ ت + ١ + ١٤  ; E ٣ = = × = ; ت م ، مترافقان ، ١ + ــ ت + ت ٤ + ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ ٢ فأوجد مجموعة حل المعادلة ع + ع = صفر W  إذا كان : ع / ع = س ــ تص E نفرضأن : ع = س + تص $ س ــص + ٢سصت + س ــ تص = صفر E س ــ تص = صفر +  س + تص  E ت = صفر  ٢سص ــص  +  س + س ــص  E ١o س + س ــص = صفر E الجزء الحقيقى = صفر E ٢o صفر = ٢سص ــص E ، الجزء التخيلى = صفر  س + س = صفر E ١ عندما ص= صفر بالتعويض فى ١ ٢ العدد هو = ٠ ، = ــ ١ E س = صفر ، س = ــ ١ s صفر =  ١+ س  س ١ ٢ ١ ٤ ١ ٢ ص = # E ص= + E١ عندما س = بالتعويض فى الأعداد الأخرى هى = ، = E ٣ ٢ ! ١ ــ ت ! ٣ ٢ ١ + ت ٢ ٢ ٣ ٢ ٣ ٢ ! ١ ــ ت ! ١ + ت { ، ، م . ح = { . ، ــ ١ E   ٥ ت ع = ٤ ــ ٣ ت + ٣ = ع ١ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ص= صفر أو س = s صفر =  ١ ٢س ــ  ص E ٢ و من ٢ ع ١ ع ٢ ٢ ع ٣ ع ٤ ٣ ٢ ! ٢ ٢  ٦١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     . = جذر للمعادلة : س + س ــ س + ١٥  ــ ٣  إذا علمت أن / . = جذر للمعادلة : س + س ــ س + ١٥  ــ ٣  D $ عامل من عوامل المقدار  س + ٣  E و يمكن الحصول على العوامل الأخرى بإجراء عملية القسمة المطولة . = س ــ ٢س + ٥ s . =  س ــ ٢س + ٥   س + ٣  E ٥ × ١ × ٤ ــ ٤ # ٢ ٢ # ــ ١٦ ٢ ت # س = = = ١ E ٢ ٢ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ   ٢ ٣ فأوجد الجذرين الآخرين ٢ ٣ س ٣ + س ٢ ــ س + ١٥ ٢ ٢ ٢ ت ، ١ ــ ٢ ت + جذور المعادلة هى : ــ ١ ، ٣ E      ٧ + ; ١١٧ ٦٥ ٤٣ ــ ٢٢ ــ ٨ ٣٥ ت ٢ ت ٢ ت ٣ ٤ ت + + ١ ٢ ــ ت ــ ٢ ــ ! ! ٢ ت + ٣ ٣ ت + ٤  ٦٢       ١ ] أكتب فى أبسط صورة : ] عدد صحيح ; ت ، ت ، ت ، ت ، ت ، ت حيث ٢ ] أثبت أن : = ت ] اختصر لأبسط صورة كل مما يأتى :  ٢ ــ ٣ ت  ــ  ٥ ت + ٣  [ ٤ ]  ٢ ــ ت  +  ٣ ت + ٤  [ ٣ ]  ٤ ــ ٥ ت  ــ  ٢ ت + ٣  [ ٦ ]  ٥ + ــ ٢  +  ٣ ــ ٢ ــ ٢  [ ٥ ] ضع كلاً مما يأتى على الصورة س + تص : [ ٨ ] [ ٧ ] [ ١٠ ] [ ٩ ] [ ١٢ ] [ ١١ ] ٥ ــ ٢ ت ٥ ت + ١٢ ٢ ت ٢ ١ ــ ت   ٣ ــ ت   ٣ + ت  ٣ ــ ٤ ت ٥ ٣ + ت ٣ + ت ٢ ت + ١ ٤ ت + ــ ٣  ٣ ت + ١   ٢ + ت  PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ٤ ت ، ص= ٣ ــ ٤ ت أوجد قيمة س ــ سص+ص + ١٣ ] إذا كانت س = ٣ ] ٢٦ ٥ ــ ت  ٢ ت + ٣  ٢ ١٤ ] إذا كانت س = ،ص= فأثبت أن : ] فى كل مما يأتى : H  أوجد قيم س ،ص ٦ ت ــ ٢ + ٢ ت س ــ ٣ص + ٤ [ ١٥ ] ٢ ٨ ٢٥ ٣ ت + ت س + ص= [ ١٦ ] ــ ت س + تص ٢ = + [ ١٧ ] ٢ ــ ت ٣ س + تص ٢ + ت  ١ ــ ت ٢  = ١٨ ] س + تص ] ١ + ت ٢٣ ٥ ٧ =  ب +   ٢ + ت فأثبت أن : ٢ =  ١ ــ ت   ت ب +   ١٩ ] إذا كان ] مجموعة حل كل من المعادلات الآتية : W أوجد فى ٢٠ ] ع ٢ ] . = ٢١ ] ع ٢ ــ ٢ ت ع ــ ٥ ] . = ٢٢ ] س ٢ ــ ٦ س + ١٣ ] ٢ ع + ٣ ع = ٥ [ ٢٣ ] ــ ١  ع  =  عــ ١  : فأثبت أن ، W  ٢٤ ] إذا كانت ع ] أحد جذور المعادلة س ٣ ــ س ٢  ــ ١  ٢٥ ] إذا كان ]   ٢ ٢ ٢ ٢ س ،ص مترافقان ثم أوجد قيمة المقدار س + سص+ص ٥ ! ٣ ٣ + ع = . . = ٢ + فبين أن الجذرين الآخرين مترافقان .  ٦٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     X و الجزء التخيلى ص على محور ــ العدد المركب و معكوسه الجمعى يمثلان بيانياً بطرفى قطعة مستقيمة تكون نقطة الأصل فى منتصفها ــ العدد المركب و مرافقه يمثلان بيانياً بنقطتين متماثلتين بالنسبة لمحور السينات ع = س ـــ تص ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ أكتب المعكوس الجمعى و المرافق للعدد المركب ع = ٣ ــ ٢ ت / $ ع = ٣ ــ ٢ ت D ٢ ت + المعكوس الجمعى ــ ع = ــ ٣ E ٢ ت + ٢ ت ــ ع = ــ ٣ + ع = ٣ ١ ٢ S ٢ ت + ، المرافق ع = ٣ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ      العدد المركب ع = س + تص يتكون من جزء حقيقى س ، و جزء تخيلى ص S يمكن تمثيل العدد المركب ع = س + تص بشكل آرجاند بحيث يمثل الجزء الحقيقى س على محور ع = س + تص ــ ع = ــ س ــ ت ص  ثم مثل هذه الأعداد بشكل آرجاند      ٢ ١ ٢ ١ ٢ ١ ٢ ١  ٦٤         ٣ ت ، مثل أيضاً على نفس الشكل كلاً من : + ١ ] مثل على شكل آرجاند الأعداد ع = ٣ + ت ، ع = ١ ] ع ، ع ، و بين أن |ع | = |ع | ٤ ت + ٢ ت ، ع = ــ ١ + ٢ ] مثل على شكل آرجاند الأعداد ع = ٣ ] ١ ــ ١ ــ ٢ ــ ٢ ع = ٣ ــ ٢ ت X ٣ ٢ ــ ١ ــ ٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     على شكل آرجاند  س ،ص  =  إذا كان العدد المركب ع = س+ تص تمثله النقطة ل :  هو العدد الحقيقى ل الذى يدل على بعد العدد ع عن نقطة الأصل S  س ، ص  =  ص محور السينات الموجب ،  الذى يدل على قياس الزاوية بين و q هو العدد الحقيقى س ل س س ٢ +ص ٢ = ـــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــ q جتا ص ل ص س ٢ +ص ٢ = ـــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــ q ، جا ص س = ـــــــــــ q ظا X ل س q مع مراعاة إشارتى س ،ص q و ذلك لتحديد الربع الذى تقع فيه و ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ أوجد المقياس و القيمة الأساسية للسعة لكل من الأعداد المركبة الآتية ثم أكتب كلاً منها فى الصورة المثلثية / ٣ ت [ ب ] ع = ــ ١ ــ ت [ جـ ] ع = ــ ٥ ت + [ أ ] ع = ١ أ ] س = ١ ، ص= ٣ ] $   جتا ـــــــ + ت جا ـــــــ  ع = ٢ E    ٢ ٢ ل = |ع| = س +ص و من الشكل نجد أن : أو بطريقة أفضل نجد أن :  q + ت جا q جتا  ع = س + تص هى ع = ل  هى سعة العدد ع q حيث ل مقياس العدد = | ع | ، ! ٣ ٢ ١ ! : q  ٢ = ٤ = ٣ + | ع | = ل = س +ص = ١ E ١ ٢ ٢ = ـــــــــ = ــــــــ q = ـــــــــ = ــــــــ ، جا q جتا D ، ٥٦٠ =  السعة الأساسية  q E = ــــــــ ١ س ل ص ل ط ١ ٢ ط ٣ ٣ ط ٣ ٣ ٢ !  ٦٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ٢ = ١ + | ع | = ل = ١ E [ ب ] س = ــ ١ ، ص= ــ ١ | ع | = ل = ٥ E [ جـ ] س = . ، ص= ــ ٥ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ أكتب الصورة الجبرية لكل من الأعداد المركبة الآتية : / $   ٢ ــ ١ !٢ ــ ١ !٢ = ـــــــــ q = ـــــــــ ، جا q جتا D ٢٢٥ = ٥ = ـــــــــ ٥ ط ٤ ٥ ١٨٠ =  السعة الأساسية  q E ٥ ط ٤ ٢ ٥ ط ٤   جتا ــــــــــ + ت جا ــــــــــ  ع = ٢ E ٣ ٤٥ + ٥ ــ ٥ ٥ ٣ ط ٥ ٢٧٠ =  السعة الأساسية  q E = ـــــــــ = ــ ١ q = . ، جا q جتا D = ــــــــــ ٣ ط ٢   جتا ــــــــــ + ت جا ــــــــــ  ع = ٥ E ٢ ٣ ٣ ط ٢ ع ١ ع ٣ ٣ ط ٤ ٢ ٢ ! ع ط [ أ ] الذى مقياسه ٣ و سعته ــــــــــ [ ب ] الذى مقياسه ٢ ٢ وسعته ــــــــ [ جـ ] الذى مقياسه ٤ و سعته ط ط ٢ ط ط ٢ ٢ ع ١ ع ٢ ع ٣ ٣ ط ٤ ٣ ط ! ! ! ٣ ٤ ط ٤ ! ! ١ !٢ ١ !٢  ٦٦   . = . × = ٣ جتا ـــــــ = ٣ q س = ل جتا E = ــــــــ q [ أ ] ل = ٣ ، ٣ = ١ × = ٣ جا ـــــــ = ٣ q ، ص= ل جا = س + تص = . + ٣ ت = ٣ ت E ــ ــــــــــ = ــ ٢ × س = ٢ ٢ جتا ـــــــ = ٢ ٢ E = ـــــــ q [ ب ] ل = ٢ ٢ ، ــــــــــ = ٢ × ، ص = ٢ ٢ جا ـــــــ = ٢ ٢ ٢ ت + = س + تص = ــ ٢ E ــ ١ = ــ ٤ × س = ٤ جتا ط = ٤ E = ط q [ جـ ] ل = ٤ ، . = . × ، ص = ٤ جا ط = ٤ ــ ٤ = . × = س + تص = ــ ٤ + ت E PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
            ! ! ! ! ع ١ ع ٢ ع ١ ع ١ ٢ ع ع ٢ ع ١ ع ٢ ط ٢ ط ٢ ٧ ط ٦ ٧ ط ٦ ١ ع  ٦٧         ١ ] أوجد المقياس و السعة الأساسية لكل من الأعداد الآتية ، و مثل كلاً منها على شكل آرجاند : ] ٣ ) ت ( ٤ ) ــ ت ) ٢ ) ــ ١ ) ١ ( ١ ) ٢ ت + ٣ ( ٣ ت ( ٨ + ٢ ــ ٣ ت ( ٧ ) ــ ٢ ( ٣ ت ( ٦ + ٢ ( ٥ ) ١ + ت ( ١١ ) ــ ١٢ ــ ٥ ت ( ١٢ ) ٤ ت ــ ٥ ( ٢ ت ( ١٠ + ٩ ) ــ ٣ ) ١ ــ ٣ ت ( ١٦ ) ــ ٣ + ت ( ٣ ت ( ١٥ + ١ ( ١٣ ) ــ ١ ــ ت ( ١٤ ) ٢,٤ ــ ت ( ١٧ ) ــ ٣ ــ ت ( ١٨ ) ٣ ت ، و مثل أيضاً على نفس الشكل + ٢ ] مثل على شكل آرجاند الأعداد = ٣ + ت ، = ١ ] كلاً من ، و بين أن : | | = | | ٤ ت + ٢ ت ، = ــ ١ + ٣ ] مثل على شكل آرجاند الأعداد = ٣ ] ٤ ] أكتب الصورة الجبرية لكل من الأعداد المركبة الآتية : ] ٢ ) جتا ١٥٠ + ت جا ١٥٠ )  جتا ٤٥ + ت جا ٤٥  ٢ ( ١ ) ٤ ) جتا ط + ت جا ط )  جتا ـــــــ + ت جا ــــــــ  ٣ ( ٣ )  جتا ـــــــــ + ت جا ــــــــــ  ٦ ( ٦ )   ــ ١٠٠  ت جا +  ــ ١٠٠  جتا  ١٠ ( ٥ ) فأكتب الصورة المثلثية لكل من الأعداد :  q + جا q جتا  ٥ ] إذا كان ع = ل ] ــ ع ، ع ، ـــــــــ ، ـــــ١ـــــ ع PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ط ٢ [ . ، ــــــ [ L q أوجد السعة الأساسية لكل من الأعداد المركبة الآتية حيث / $ [ . ، ٢ ط [ L q حيث q + ت جا q جتا  لمعرفة السعة الأساسية للعدد المركب يجب أن نضعه على الصورة ل q ــ ت جا q جتا  = D  ١  تقع فى الربع الرابع q s إشارة الجزء الحقيقى + و إشارة الجزء التخيلى ــ q السعة الأساسية للعدد = ٢ ط ــ E q ــ ت جا q ــ جتا  = D  ٢  تقع فى الربع الثالث q s إشارة الجزء الحقيقى ــ و إشارة الجزء التخيلى ــ q السعة الأساسية للعدد = ط + E q + ت جتا q جا  = D  ٣  تقع فى الربع الأول [ مع تبديل حرف ت] q s إشارة الجزء الحقيقى + و إشارة الجزء التخيلى + ط ٢ q السعة الأساسية للعدد = ــــــــ ــ E   :  كلاً من إشارتى الجزء الحقيقى و الجزء التخيلى موجباً  ٢  المقياس ل موجباً  ١  :  نحول العدد المركب إلى الصورة الجبرية ع = س + تص وذلك بالتعويض عن قيم الدوال المثلثية  ١  نوجد كلاً من المقياس و السعة لهذا العدد  ٢  q + ت جا q جتا  نضع العدد المركب على الصورة المثلثية ع = ل  ٣  ع ١  ع ٢ q q جتا ــ  = ( ت جا ٢ ) ــ جتا ــ q q  = ت جا ( ١ ) ع q q جا  = + ت جتا ع ٤ ( ٤ ) q q جا ــ  = ٣ ( ٣ ت جتا ) ــ جا ــ ت جتا ــ جا + ت جتا q q  = ( ٦ ) q q  = ( ٥ ) ع ٦ ع ٥ ع ١ ع ١ ع ٢ ع ٢ ع ٣ ع ٣  ٦٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     تقع فى الربع الرابع [ مع تبديل حرف ت] q s إشارة الجزء الحقيقى + و إشارة الجزء التخيلى ــ ٣ ط ٢ q السعة الأساسية للعدد = ــــــــ + E q ــ ت جتا q ــ جا  = D  ٥  تقع فى الربع الثالث [ مع تبديل حرف ت] q s إشارة الجزء الحقيقى ــ و إشارة الجزء التخيلى ــ ٣ ط ٢ q السعة الأساسية للعدد = ــــــــ ــ E q + ت جتا q ــ جا  = D  ٦  تقع فى الربع الثانى [ مع تبديل حرف ت] q s إشارة الجزء الحقيقى ــ و إشارة الجزء التخيلى + ط ٢ q السعة الأساسية للعدد = ــــــــ + E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ    نفرضأن ، عددان مركبان حيث :   q ــ ت جتا q جا  = D  ٤  ع ٤ ع ٥ ع ٤ ع ٥ ع ٦ ع ٦ ع ١ ع ٢ ع ١ ل ١ ع ٢ ل ٢  ٢ q ٢ + ت جا q جتا  = ،  ١ q ١ + ت جا q جتا  = ع ١ ع ٢ ل ١ ل ٢ [  ٢ q ٢ + ت جا q جتا   ١ q ١ + ت جا q جتا  ] = E ل ١ ل ٢ ل ١ ل ٢ [  ٢ q ١ جا q جتا + ٢ q ١ جتا q جا  ت + ٢ q ١ جا q ٢ ــ جا q ١ جتا q جتا  ] = [  ٢ q + ١ q  جا  ت +  ٢ q + ١ q  = [جتا مقياس حاصل ضرب عددين مركبين = حاصل ضرب مقياسيهما :  ، سعة حاصل ضرب عددين مركبين = مجموع سعتيهما  q + ت جا q جتا  إذا كان ع = ل :  فإن : ع ٢ = ع . ع = ل جتا  ٢ q + ت جا ٢ q ٢ ; و بصفة عامة فإن : ع = ل ; q; + ت جا q; جتا   ٦٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ٦ ١ ــ ت  ضع العدد ١ ــ ت على الصورة المثلثية ، ثم أوجد قيمة / $ س ل ص ل ١ !٢ ــ ١ !٢ = ـــــــ = ـــــــــ q = ـــــــ = ـــــــــ ، جا q جتا D ٣١٥ = ٣٦٠ ــ ٤٥ = q E  جتا ٣١٥ + ت جا ٣١٥  ١ ــ ت = ٢ E ٦ ١ ــ ت  E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ع ١ ع ١ ٢ ٢  q + ت جتا ٢ q جا ٢  ــــــ = ،  q + ت جا q جتا  إذا كان = ١٠ / $ ٣ ٤ ط ٢ ع ١ ع ٢ ع ١ ع ١ ٢ ٢  q + ت جا q جتا  أما العدد فمقياسه ــــــ و لإيجاد سعته يجب أن يوضع على الصورة المثلثية ل ١ ع ١ ٢ ٢ ع [  q ٩٠ ــ ٢  ت جا +  q ٩٠ ــ ٢  لذلك فإن : العدد = ـــــــ [ جتا q و بذلك تكون سعته = ٩٠ ــ ٢ ٢ ع ١ ع ١ ٢ ٢ [  q ٩٠ ــ ٢ + q ت جا +  q ٩٠ ــ ٢ + q ــــــ [ جتا × ١٠ = E   ٢ = ١ + ل = ١ E س = ١ ،ص = ــ ١ D  ٢  = جتا ٦  ٦ ٣١٥ × ٣١٥ + ت جا ٦ ×  جتا ١٨٩٠ + ت جا ١٨٩٠  ٨ = ٨ ت =  ٠ + ت  ٨ =  جتا ٩٠ + ت جا ٩٠  ٨ = [ . ، ـــــــ [ L q = ــــــــ ، q حيث ظا فأوجد الصورة المثلثية و كذا الصورة الجبرية لحاصل الضرب q العدد مقياسه ١٠ و سعته [  q ٩٠ ــ  ت جا +  q ٩٠ ــ  ٥ [ جتا = و هذه هى الصورة المثلثية  q + ت جتا q جا  ٥ = ٣ ٥ ٤ ٥  ــــــ + ــــــ ت  ٥ = ٤ ت و هذه هى الصورة الجبرية + ٣ = ٣ q ٤ ٥  ٧٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
       نفرضأن ، عددان مركبان حيث : ع ١ ع ٢ ع ١ ل ١ ع ١ ع ٢ ل ١ ل ٢  ١ q ١ + ت جا q جتا   ٢ q ٢ + ت جا q جتا   ١ q ١ + ت جا q جتا  ل ١  ٢ q ٢ + ت جا q جتا  ل ٢ ٢ q جا  ١ q ٢ ــ جتا q ١ جتا q جا  ت + ٢ q جا  ١ q ٢ + جا q ١ جتا q جتا  ل ١ ل ٢ ل ١ ل ٢ أوجد قيمة / ع ٢ ل ٢  ٢ q ٢ ــ ت جا q جتا   ٢ q ٢ ــ ت جا q جتا  جتا ٢ ٢ + جا q ٢ ٢ q ١ ــ ت ١ + ت ٤ $ نضع كل من العددين ١ ــ ت ، ١ + ت على الصورة المثلثية فنجد أن :   ع ٢ صفر ¹ ،  ٢ q ٢ + ت جا q جتا  = ،  ١ q ١ + ت جا q جتا  = [  ٢ q ١ ــ q  ت جا +  ٢ q ١ ــ q  جتا ] × = مقياس العدد المقسوم عليه ÷ مقياس خارج قسمة عددين مركبين = مقياس العدد المقسوم :  ، سعة خارج قسمة عددين مركبين = سعة العدد المقسوم ــ سعة العدد المقسوم عليه ٧ ط ٤ ٧ ط ٤  جتا ـــــــــ + ت جا ـــــــــ  ١ ــ ت = ٢  جتا ـــــــــ + ت جا ـــــــــ  ١ + ت = ٢ ، ط ٤ ط ٤ ط ٤ ط ٤ ٧ ط ٤ ٧ ط ٤ ١ ــ ت [  ـــــــــ ــ ـــــــــ  ت جا +  ـــــــــ ــ ـــــــــ  ١ [ جتا = E ٣ ط ٢ × = × = ٣ ط ٢  ـــــــــ  ت جا +  ـــــــــ  = جتا ٣ ط ٢ ٣ ط ٢ = E ١ + ت ١ ــ ت ٤  ـــــــــ × ٤ ت جا +  ـــــــــ × ٤  = جتا E = جتا ٦ ط + ت جا ٦ ط = جتا . + ت جا . = ١ ١ + ت  ٧١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
            ع ١ ع ع ١   ع ٢ ٢ ع ط ط ٢ ٢ ١ ع ط ٣ ط ع ٢ ٣ ٤ ٤ ١ ع ط ٤ ط ٤ ١ ع ٢ ط ٣ ط ٣ ط ٦ ط ٦ ط ٨ ط ٨ ٣ ط ٨ ٣ ط ٨ ٣ ٤ ١ ٦ ١ ع ط ٣ ط ٣ ٣ ط ٢ ٣ ط ٢ أ ٢ أ ٢ ! ١ ٢ ع ٢ ١ ٢ ! ع ٢ ع ٢ ع ١ ع ١ ع ١ ع ٢ ع ١ ع ٢ ١ !٢ ع ١ ع ٢ ٢ ع ١ ٢ ع ٢ ع ٢ ع ١ ٣ ع ٢ ع ١ ٣  ٧٢         إذا كان : ÷ ، × أوجد الصورة المثلثية لكل من  . جتا . + ت جا  ٣ = ،  جتا ـــــــ + ت جا ـــــــ  ٢ = [ ١ ]  جتا ــــــ + ت جا ــــــ  ٢ = ،  جتا ـــــــ + ت جا ـــــــ  ٢ = [ ٢ ]  جتا ــــــ + ت جا ــــــ  ٦ = ،  جتا ـــــــ + ت جا ـــــــ  ٢ = [ ٣ ]  جتا ــــــــ + ت جا ــــــــ  ٦ = ،  جتا ـــــــ + ت جا ـــــــ  ٢ = [ ٤ ] [  أ ــ ب  ت جا +  أ ــ ب  ٣ [ جتا = ، [  أ + ب  ت جا +  أ + ب  ٢ [ جتا = [ ٥ ]  جتا أ ــ ت جا أ  ـــــــ = ،  جتا ٢ أ + ت جا ٢ أ  ٣ = [ ٦ ]  جا ٣ أ ــ ت جتا ٣ أ  ٨ = ،  جتا ٤ أ + ت جا ٤ أ  ٧ ] = ــــــــ ] أوجد الصورة المثلثية لكل من ع ٢ ، ــــــــ إذا كان :  جتا ـــــــ + ت جا ـــــــ  ٩ ] ع = ــــــــ ]  جتا ـــــــ + ت جا ـــــــ  ٨ ] ع = ٣ ]  جا أ ــ ت جتا أ  ١٠ ] ع = جتا ـــــــ ــ ت جا ـــــــ [ ١١ ] ع = ٢ ] ١٢ ] أكتب الصورة المثلثية لكل من العددين المركبين : ]  ــ ١ ــ ت ٣  ــــــــ = ،  ــ ١ + ت ٣  = ــــــــ ثم أثبت أن : ( أولاً ) = ، = ( ثانياً ) = = ١ ٥ ١ + ت  ١٣ ] ضع العدد ١ + ت على الصورة المثلثية ، ثم أوجد قيمة ] PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ١٤ ] إذا كان ، ، ]  ٣ ت + ١  على الصورة المثلثية ثم أوجد قيمة  ٣ ت + ١٥ ] ضع العدد ١ ] ! ! ع ع ٢ ع ١ ع ٢  q + ت جا q جتا ٢ = ،  q + ت جا ٢ q جتا ٢  ١٦ ] إذا كان = ٦ ] ١ ع ١ ع ٢ q + ت جتا ٢ q جا ٢ = ،  q + ت جا q جتا  ١٧ ] إذا كان = ١٣ ] ع ١ ع ٢ ١ ] ضع كلاً من العددين ت ، + ت على الصورة المثلثية ! ٢ ١٨ ] ٢ ت ٦ ! ١ + ت ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ أوجد مجموعة حل المعادلة س ٤ / س ٤ D $ س E ١ = . + ٤ = ــ ١   ط ٤ ط ٣ ط ٦ ط ٣ ع = جتا ـــــــ + ت جا ـــــــ ط ٤ ع = جتا ـــــــ + ت جا ـــــــ ع = جتا ـــــــ + ت جا ـــــــ ١ ٢ ٣ ط ٦ ٥ ع ٣ ٦ ع ٢ ع ١ ٤ ÷ = ٠,٦ فأوجد q [ ١٨٠ ، ٩٠ [ ، جا L q حيث ٥ ١٢ ÷ × فأوجد ط ٢ = ــــــــ فأوجد q [ . ، ــــــ [ ، ظا L q حيث و استخدم ذلك فى إيجاد ـــــــــــــــــــ  q + ت جا q جتا  : ;  q + ت جا q جتا  : فإن XL ; إذا كانت ا ك فإن :  كسر حقيقى  = ـــــــــ ; إذا كانت ا  ط R + ٢ q ك جتا ـــــــ + ت جا = جتا ــــــــــــــــــــ + ت جا ـــــــــــــــــــ " تعطى& من  q القيم" q  K حيث :  ١ = . ، ــ K  ، ..... ، ٢ ، ١ R q ; + ت جا q ; = جتا " تعطى قيمة واحدة " q ; + ت جا q ; = جتا ط R٢ + q K W L ١ = . حيث س + نحول العدد ع = ــ ١ إلى الصورة المثلثية س = ــ ١ ، ص= . ص ! ; ; س . = ١٨٠ q s = ـــــــــ = ـــــــــ q ١ ، ظا = | ع | = ١ ٥ ــ ١ ٥  ٧٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     س ٤ s ــ ١ = جتا ١٨٠ + ت جا ١٨٠ E = جتا ١٨٠ + ت جا ١٨٠ ١ R ٢ + ١٨٠ R ٢ + ١٨٠ ٤ ط ط س= جتا ( ) + ت جا ( ) E  جتا ١٨٠ + ت جا ١٨٠  = س s ٤ ٤ ١٨٠ ٤ ١٨٠ ٤ ١ !٢ ت !٢ ت !٢ ١ !٢ بوضع = . : س = جتا + ت جا + ت  ١  = + = E R  ١  ١ = + ١ = ٥٤٠ ٤ بوضع = : س = جتا + ت جا ــ ٥٤٠ ٤ E ١ R ــ + ت !٢ !٢ بوضع = : س = جتا ت جا ــ ت + = ــ ــ ــ ت  ١  ١ ١ = ٩٠٠ ٩٠٠ E ٢ R !٢ !٢ !٢ ٤ ٤ وضع ت = : س = جتا + ت جا = ــ ــ ت  ١  ١ ١ ١٢٦٠ ١٢٦٠ = E ٣ R !٢ !٢ !٢ ٤ ٤ م . { ح + ت ــ + ت ــ ــ ت ــ ت  ١  ١ ،  ١  ١ ،  ١  ١ ،  ١  ١ } E !ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ٢ !٢ = !٢ !ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ q ، جتا q بدلالة جا q ، جتا ٣ q استخدم نظرية ديموافر للتعبير عن كل من : جا ٣ /  q + ت جا q جتا  = q + ت جا ٣ q جتا ٣ D $ = ص و استخدم مفكوك ذات الحدين q = س ، جا q و بوضع جتا  س + تص  = q + ت جا ٣ q جتا ٣ E = س q جتا ٣ E ٣ ــ ٣ سص ٢ س ٣ ــ ٣ س = ٤ جتا ٣ ٤ = q جتا ٣ s ٣ س ٢ص ــ ص ٣ = q ، جا ٣ س ٣  ٣ص ــ ٤ = q جا ٣ s   ٣ ٣ = س ٣ ٣ ت س + ٢ص ــ ٣ سص ٢ ــ تص ٣ س  =  ٣ ــ ٣ سص ٢ ٣ س  ت +   ٢ص ــ ص ٣  = س  ١ ــس ٢  ٣ ــ ٣ س حيث جا  ٢ ١ ــ جتا = q ٢ q = س ٣ ــ ٣ س س٣ +  ٣ q ــ ٣ جتا q ١ ــص  ٣ص =  ٣ حيث جتا  ٢ ١ ــ جا = q ٢ q ٣ص ــ ٣ص = ٢ ــ ص ٣ ــ ٤ جا q ٣ جا = ٣ q  ٧٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ! أوجد ٣ ٢ الجذور التربيعية للعدد + ٢ ع = ت و مثل على شكل آرجاند كلاً من العدد و جذوره / س = ٢ ، ص = ٣ ٢  نضع العدد ع على الصورة المثلثية $ ٤ = ١٦ = ١٢ + | ع | = ٤ € ! ! ٢ ٤ ١ ٢ ٣ ! ٢ ٣ ٢ ٤ ط ! ٣ = ٥٦٠ q € = = q = = ، جا q جتا € = السعة الأساسية ط ٣ ط ٣  جتا + ت جا  ع = ٤ € ط ٣ ط ٣ ١ ٢   جتا + ت جا  الجذور التربيعية للعدد ع = ٢ €   ط ٣ ط R ــــــــ + ٢ ط ٣ ط R ــــــــ + ٢ = ١ ، ٠ R حيث  جتا ـــــــــــــــــــــــــــــــ + ت جا ـــــــــــــــــــــــــــــــ  ٢ = ٢ ٢ = ١ ، ٠ R حيث  جتا ـــــــــــــــــــــــــ + ت جا ـــــــــــــــــــــــــ  ٢ = ط ٦ ط ٦  جتا + ت جا  أحد الجذرين التربيعيين للعدد ع = ٢ € = ٠ : R بوضع ! ٧ ط ٦ ٧ ط ٦  جتا + ت جا  الجذر التربيعى للعدد الآخر ع = ٢ € = ١ : R بوضع  ٣ + ت  ± = الجذور التربيعية للعدد ع € ! ! نفرضأن س + تص هو أحد الجذور التربيعية للعدد ع $ س ٢ ــ ص ٢ € v ، u و بتربيع س ٤ ــ ٢ س ٢ص ٢ € x ، w و بجمع المعادلتين س ٤ €   ط R ط + ٦ ٦ ط R ط + ٦ ٦ ٣ ٢ ١ ! ٢ ٣ + ت =  ــــــ ت + ــــــــــ  ٢ = ٣ ٢ ١ ! ٢  ٣ + ت  ــ =  ــــــ ت  ــ ــــــــــ ــ  ٢ = ٢ س + تص  € ! ٣ ٢ + ٢ ت = س ٢ ــ ص ٢ € ٣ ٢ ت + ٢ سصت = ٢ + ! ! v¬ ٢ سص= ٣ ٢ ، u¬ ٢ = +ص ٤ ٤ س ، w¬ ٤ = ٢ص ٢ S x¬ ١٢ = + س ٢ص ٢ +ص ٤ س  ١٦ أى = ٢ +ص ٢٢ A ب ١ X ب ٢ س € ١٦ = ٢ +ص ٢ y¬ ٤ =  ٧٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     y ، u و بجمع المعادلتين ٢ س ٢ € س € ٦ = ٢ y من u و بطرح ٢ص ٢ € ص€ ٢ = ٢ . أى س ،صموجبتان معاً أو سالبتان معاً ( نلاحظ أن : سص v و من س = ٣ ،ص = ١ ، س = ــ ٣ ،ص = ــ ١ €  ٣ + ت  ± الجذران التربيعيان للعدد ع هما € ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٤ص +  ١٥  ٣ س + ٤ تص  ٢ ت = . فأوجد قيم +  ١ + ت  ص+  ١ ــ ت  ١٨ ] إذا كان س ]   ٣ ± س = € ٣ = ١ ± ص = € ١ =       ١ + ت  ٢ ١ ــ ت ٦ ت + ٢ ٣ ــ ت ٩ ــ ت ١ + ت ٢ ت ٤ ت + ٣ ٣ ــ ٤ ت ١٧ ت + ٣١ ١ ــ ت ٢ ت + ١١ ٢ ت + ١ ١ + ت ١ ــ ت ١ ــ ت ١ + ت  ٧٦       استخدم نظرية ديموافر لإيجاد الجذرين التربيعيين لكل من الأعداد الآتية : ١ ] ت [ ٢ ] ــ ت ]  جتا ــ ت جا  [ ٤ ]  جتا + ت جا  ٤ [ ٣ ]  جتا + ت جا  ٩ [ ٣ ت [ ٦ + ١ [ ٥ ] أوجد الجذرين التربيعيين لكل من الأعداد الآتية دون التحويل للصورة المثلثية : ٤٠ ــ ٩ ت [ ٨ ت [ ٩ [ ١٢ ت [ ٨ + ٥ [ ٧ ] ٣ ــ ٤ ت [ ١١ ] ــــــــــــــــــــــ [ ١٢ ] ـــــــــــــــــــ [ ١٠ ] ١٣ ] ـــــــــــــــــــ ــ ـــــــ [ ١٤ ] ـــــــــــــــــــــــ [ ١٥ ] ـــــــــــــــــــــــ ] ٢  س + تص  ١٦ ] إذا كان ] = ـــــــــــــــــــــ فأوجد قيم س ،ص الحقيقية ٣ س ١٢  ١٧ ] إذا كانت س = ـــــــــــــــ ، ص = ــــــــــــــ فأوجد قيم ] ١٩ ] إذا كان س = ٨ ــ ٦ ت فأوجد قيم س ] ١٥ ت فأوجد قيم س + ٢٠ ] إذا كان س = ٨ ] ! ! ! ! ٢ ط ٣ ٢ ط ٣ ط ٣ ط ٣ ٥ ط ! ٣ ٥ ط ٣ ١ ٢ ١ ٢ ٣ ٢ ــ ١ ٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ــ ٨ ٢١ ] ضع المقدار ــــــــــــــــــــــــ على الصورة المثلثية ثم أوجد جذريه التربيعيين ] ت!٣ + ١ ١ ٣ ٤ ت ٢ + ١ ! ! ٢٢ ] إذا كان س + تص = ـــــــــــــــــــــــــــــ فأوجد قيم س ،ص الحقيقية ] ١ ــ ٣ ٤ ت q ، جا q بدلالة جتا q ، جا ٢ q ٢٣ ] استخدم نظرية ديموافر لإيجاد جتا ٢ ]  ! ٣  ] أكتب الصورة المثلثية لقيم المقدار + ٢٤ ] ت  ــ ت  ٢٥ ] أكتب الصورة المثلثية لقيم المقدار ] ٢٦ ] حل المعادلة س ٨ ] ١ ٥ إذا كان س عدداً مركباً ، فحل المعادلات الآتية : . = ٢٧ ] س ٢ ــ ٢ س + ٤ ] ٢ ٣ . =  ٢ ــ ٣ ت ٢ + س  ٣ ت + ١  س ٢ ــ  ١ + ت  [ ٢٨ ]  ١ ــ ٢ ت  س = ٤  ٣ ت + ١  س ٢ ــ ٣  ٢ + ت  [ ٢٩ ] ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ هى سعة العدد ع بالتقدير الدائرى q حيث ل مقياس العدد = | ع | ، ضع على الصورة الجبرية ع = ٢ ه ت / ط ٦ ط ٦ ع = ٢ ه ت $ ط ٦ ط ٦ ١ ٢ ٣ ٢ ! !٣ !٣ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ إذا كان ع = ــ ١ + ت فضع ع على الصورة الأسية / !٣ ٣ ٢ ٢ = ٣ + ل = ١ € ع = ــ ١ + ت  $ ! = ـــــــــ q € = q = ــ ـــــ ، جا q ، جتا ه ت  ع = ٢ € θ ه ت  ع = ل  ،   ت + =  ت +  ٢ = ١ ٢ W L ١ = . و مثل الحلول على شكل آرجاند علماً بأن س +  ه ت  ع = س + تص هى ع = ل  θ  جتا ٣٠ + ت جا ٣٠  ٢ =  جتا + ت جا  ٢ = ٢ ط ٣ ٢ ط ٣  ٧٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     أثبت أن ه ٢ + ط ت ــ ه ــ ط ت / ١ ــ ه = ٢ ه ٢ + ط ت  $ ه ــ ط ت  ، ه ٢ + ط ت ــ ه ــ ط ت €  ١  من  ٢  بطرح ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ; ; ع ١ ع !٣ ٢ ضع كلاً من = ١ + ت ، = ١ ــ ت بالصورة الأسية / ع ١ ع ٢ ع ع ١ ٢ ٦ ع ١ ع ١ ع | | = € ١ + ت =  $ !٢ ١ = ه ـــــ ت € ١ = q € ١ = ــــــــــ q ١ = ــــــــــ ، جا q ، جتا ١ !٢ ١ !٢ ع !٣ ٢ ع ٢ = ٣ + | | = ١ € ١ ــ ت =  ع ! ط ٢ ١ ٤ ٢ ١ ٢ ــ ٣ ٢ ٢ ه ــــــــ ت = € = ٢ q € ٢ = ــــــــــــ q ٢ = ـــــــ ، جتا q ، جتا    ٢  b ــ ١ =  جتا ط ــ ت جا ط  =  ــ ط  ت جا + ــ ط  جتا  = :  ل ١ ه ت  ١  ١θ ل ٢ ه × ٢θ ت ١θ ل ١ هـ ت ٢θ ل ٢ هـ ت = ه جتا ط  ٢ ه =  + ت جا ط ــ ١  ٢ ــ ه =  . +  ١  b ٢ ــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــ ه ت  ٢   ٢θ ١ ــ θ  ل ١ ل ٢ = ــ ه  ــ ١  ٢ ــ ١ ــ ه = ٢ = ل ١ ل ٢ ه  ٢θ + ١θ  ت ; ه ت θ ; R ٢ ط + θ × ــــــــــــــــــــــــ ت ; = ل ه ط ٤ ٥ ط ٣ = ل و من ذلك أوجد فى الصورة الأسية لكل من : ط ٤ ، ، ع ! ٢ ٥ ط ٣ ٢ ه = ـــــ ت + ــــــــ ت ٢٣ ط ١٢ ل ه ت )  ٣  θ ( ; ل ه ت  ٤  θ !٢ ٢ !٢ ٢ ه = أولاً # ــــــــــ ت ٥ ط ٣ ع ١ ع  ٧٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ع ع ١ ٢ ط ت ٤ ٥ ط ت ٣ هـ ــــــــــ !٢ ٢ هـ ـــــــــــــــ ــ ١٧ !٢ ٢ ٧ ت ط !٢ ١٢ ٢ ١٢ ع !٢ ١ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٧  ــــــــــــــــــــــ  ضع فى الصورة الأسية العدد / ـــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ = ٢ ت × ـــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ $ ٧  ــــــــــــــــــــــــ  € ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ حل المعادلة س ٥ / ١ = . و ضع الحل فى الصورة الأسية + س ٥  $ س € ١ = . + ٥ ـــــــ  جتا ط + ت جا ط  = س € س = ه ــــــــــــ € = . R بوضع س = ه ـــــــــــــــ € = ١ R بوضع س = ه ط ت € = ٢ R بوضع س = ه ــــــــــــــ € = ٣ R بوضع س = ه ـــــــــــــــ € = ٤ R بوضع { ه ــــــــــــ ، ه ـــــــــــــــ ، ه ط ت ، ه ـــــــــــــــ ، ه ـــــــــــــــ } مجموعة الحل = €   ـــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــ هـ ـــــــــ ط ت = ــــــــــ هـ ثانياً # ـــــــــــ ٦ ت ط ٤ ٣ ت ط ٢ ٨ ه = ثالثاً # ـــــــــــــ  ١ + ت  ٢ ١ ــ ت ٦     = ٦ ه ـــــــــــــ  ١ + ت  ٢ ١ ــ ت  ١ + ت  ٢ ١ ــ ت ١ + ت ١ + ت ٢ ١ + ت  ٢ ٢ ٢ ه =  جتا ـــــــ + ت جا ـــــــ  ٢ = ـــــــــــ ط ٢ ط ٢ ت ط ٢  ١ + ت  ٢ ١ ــ ت ٧ ت ط ٢ ٧ ت ط ٢ ٢ = ٧ ه ـــــــــــــ ١ ٥ طR ط + ٢ = . ، ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١ R = جتا ـــــــــــــــــــــــ + ت جا ـــــــــــــــــــــــ حيث ٥ ١٢٨ ه = ـــــــــــــ س € = ــ ١ ٥ = جتا ط + ت جا ط طR ط + ٢ ٥ ت ط +  R ٢  ط٥ ه ، ٤ ، ــــــــــــــــــــــــ = حيث = . ، ٣ ، ٢ ، ١ R  ٥ ط ت ٥ ط ت ٥ ٣ ط ت ٥ ٣ ط ت ٥ ٧ ط ت ٥ ٧ ط ت ٥ ٩ ط ت ٥ ٩ ط ت ٥  ٧٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
            ط ٤ ط ٣ ط ٢ ٣ ط ٤ + ت !٣ ٢ !٣ ــ ٢ ت ٥ ــ ت ٢ ت + ٣ ٨ !٣ !٣ ٤ ع ٣ ت ط ٢ ت! ١ ــ ٣ ٥ ت + ١ !٣ !٣ ٥ ت ط ٢ ١ ع ١ ٢ ط ٣ ط ٣  ٨٠       ١ ] ضع كلاً مما يأتى فى الصورة المثلثية : ] ه ـــــــــ ت  "  ه ـــــــ ت  O  ه ـــــــ ت  ب  ه ـــــــ ت  A  ٢ ] ضع فى الصورة الأسية كلاً من : ] ع = ـــــــــــــــــــــــ  ب  ٣ ت + ع = ــ ٣  A  ع = ـــــــــــــــــــــــــــ  "  ع = ــــــــــــــــــــــــــ  O  ع = ـــــــــــــــــــ  ه فى الصورة الأسية ، ثم احسب :  ١ + ت  = ، ٣ ] ضع كلاً من = + ت ] ، ، ، ، ٦  ١ + ت  : ٤ ] أثبت أن ] ٨ ه = ـــــــــــــــ فأثبت أن : ــــــــ = ـــــــ ه ــــــــــــــــ  جتا ـــــــ + ت جا ـــــــ  ٥ ] إذا كان ع = ٢ ] حيث ت ٢  ع ــ ٢  ٦ ] إذا كان ع + ٢ = ت ] = ــ ١ فأوجد العدد المركب ع على الصورة المثلثية ثم أوجد الجذرين التربيعيين للعدد ع فى الصورة الأسية ٧ ] إذا كان ع = ــــــــــــــــــــ حيث ت ٢ ] = ــ ١ فأوجد : أولاً : المقياس و السعة الأساسية للعدد المركب ع ثانياً : الجذور التكعيبية للعدد المركب ع فى الصورة الأسية ــ ٤ ت ع ع !٣ ١ !٢ ٢ ع ١ ع ٢ ع ع ٢ ١ ع ١ ! ١ ٤ ع ٢ !٣ ــ ت + ت !٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
       ٢ ط R ٢ ٣ ط R ٢ ٣ ٢ ط ٣ ٢ ط ٣ ٤ ط ٣ ٤ ط ٣ ١ !٣ ٢ω ١ ٢ ٢ !٣ ٢ ٢ ٢ω ٣ω ٢ω ١ ٣ ١ !٣ ٢ ٢ ١ !٣ ٢ ٢  ٨١     ωω ١  نوجد الجذور التكعيبية للواحد الصحيح باستخدام نظرية ديموافر بفرضأن ع = ١ فإن الصورة المثلثية للعدد ع هى ع = جتا . + ت جا . ٢ ، ١ ، . = R  حيث  جتا ــــــــــــــ + ت جا ــــــــــــــ =  ١  € أحد الجذور التكعيبية للواحد الصحيح هو جتا . + ت جا . = ١ € = . R و بوضع الجذر التكعيبى الثانى هو جتا ــــــــ + ت جا ــــــــ = ــ ـــــ + ــــــــــ ت € = ١ R و بوضع الجذر التكعيبى الثالث هو جتا ــــــــ + ت جا ــــــــ = ــ ـــــ ــ ــــــــــ ت € = ٢ R و بوضع :  € ــ ـــــ + ــــــــــ ت ، = ــ ـــــ ــ ــــــــــ ت = ω ، ١ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ    أولاً : الجذور التكعيبية الثلاثة للواحد الصحيح أحدها حقيقى و هو ١ و الآخران مركبان و مترافقان ، و الجذور الثلاثة لها نفس المقياس و هو الواحد و قياسات زوايا سعتها الأساسية ٥٢٤٠ ، ٥ ١٢٠ ، ٥ ٠ ثانياً : مربع أى جذر من الجذرين المركبين يساوى الجذر المركب الآخر ثالثاً : مجموع الجذور التكعيبية الثلاثة للواحد الصحيح يساوى صفر رابعاً : حاصل ضرب الجذرين المركبين يساوى ١    صفر != ــ ٣  = ω Ž ١  = + ω + ١ ت u PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ١ ١ !٣ ٢ ٢ !٣ ٢ ٢ الباقى من خارج قسمة ــــ مــ ٣ ω ــ ١٠٢ فى أبسط صورة ω ، ٧١ ω ، ــ ٣٢ ω ، ٤٦ ω : أكتب كلاً من / ٤٦ ω ■ $ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣ ٢ ٢ ω ١٠ + ω ١٠ + ١ ٢ ω ــ ٣ ω ١ ــ ٣ أثبت أن ــــــ ت هى أحد الجذرين التربيعيين للمقدار ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ / $   الصور المختلفة للجذور التكعيبية للواحد الصحيح هى : Œ ١ ) الصورة الجبرية : ١ ، ــ ــــــ + ـــــــــ ت ، ــ ــــــ ــ ـــــــــ ت ) ٢ ط ٣ ٢ ط ٣ ٢ ط ٣ ٤ ط ٣ ٤ ط ٣ ٢ ) الصورة المثلثية : ١ ، جتا ـــــــ + ت جا ــــــــ ، جتا ـــــــ + ت جا ــــــــ ) ٤ ط ٣ ٣ ) الصورة الأسية : ١ ، ه ـــــــ ت ، ه ـــــــ ت ) ------------------------------------------------------------------------------ م قوى XL = ω : حيث م ω  +:  ------------------------------------------------------------------------------ ; ٣ لإيجاد : نضيف إلى الأس عدد يقبل القسمة على و يكون أكبر ω Ž من مباشرةً ; ــ ------------------------------------------------------------------------------ ١ ω ٣ ٢ ٣ ٢ ω ١ ٢ω ω ω ω ω ω = ــــــــ = ـــــــــ = ، ــــــــ = ـــــــــ  ω = ١ + ٤٥ ω ■ ω = ــ ٣٢ ω = ٣٣ + ــ ٣٢ ω = ٧١ ω ■ ω = ٢ + ٦٩ ω = ــ ١٠٢ ω ■ ٢ ω = ١٠٢ + ــ ١٠٢ ω = صفر ١ = ٢ ω ١٠ + ω ١٠ + ١ ٢ ω ــ ٣ ω ١ ــ ٣  ٢ ω + ω  ١٠ + ١  ٢ ω + ω  ١ ــ ٣ ٢ ω + ω  ، ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  = ــ ١ ٢ ω ١٠ + ω ١٠ + ١ ٢ ω ــ ٣ ω ١ ــ ٣ ١ ــ ١٠ ٣ + ١ ــ ٩ ٤ ٩ ٤ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ = ــــــــ = ــــــ ت ٢ € ٣ ٢  ــــــ ت   = ٢ ٣ ٢  ــــــ ت هى أحد الجذرين التربيعيين للمقدار المعطى €  ٨٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ت  = ω ٢ ــ ω : أثبت أن / ٢ ω ٢ ــ ω   $ !٣ ٤ ٢ω ٥ ــ ٣ ــ ٣ ω ٥ ω ٢ ــ ٧ ٢ ــ ٧ ω ٢ !٣ ٤ ٢ω ٥ ــ ٣ ω ٢ ــ ٧ ٢ ــ ٧ ω ٢ ٤ ٢ω ٣ ــ ٣ ω ٥ ω ٣ ــ ٧ ω ٢ المقدار ـــــــــــــــــــــ ــ ـــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ ــ ــــــــــــــــــــــ ــ ٣ ω ٥ ــ ٣ ω ٥ ٢ ــ ٧ ω ٢ ٤  ــ ٣ ω ٥  ٢ω ــ ٣ ω ٥  ٢ ــ ٧ ω ٢ ω ٢ ــ ٧ ω ٢ !٣ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ أوجد مجموعة حل المعادلة : ع ٦ ــ ٩ ع ٣ / . =  ع ٣ ــ ٨   ع ٣ ــ ١  : بإجراء عملية التحليل نجد أن $ إما ع ٣ ١ أو ع = ٣ !١ ٣ !٨ ٣ !١ ٣ { ٢ω ٢ ، ω ٢ ، ٢ ، ٢ω ، ω ، ١ } مجموعة الحل هى € ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ω ٢ ω ٥ ٧ أثبت أن : ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــ / ٢ω بالتعويضعن $   ثم أوجد قيمة المقدار ـــــــــــــــــــــ ــ ـــــــــــــــــــ ω = ٣ω ٤ ــ ٢ ω + ٤ω  ، ٢ ω ، ω = ٣ ١ = ٢ ω ٢ ــ ω  € ω  = ٢ ω ــ ٢ = ــ ١ ــ ٢ = ــ ٣ حيث  ω + ٢ ــ ١ = ω + ٢ ω ٢ ــ ω  € ٣ ت = ω ٢ ــ ω € ٢  ت  = ٤ ω  = = ــــــــــــــــــــــــــــــ ــ ــــــــــــــــــــــــــــ  ω ٢ ــ  ٤  ت   =  ٩ ت = ٤ ٩ = W L ٨ = . حيث ع + ٨ = ع = = ٢ € ع = € ٢ω ٢ ، ω ع = ٢ ، ٢ € ٢ω ، ω ، ع = ١ € ٢ ω ٢ + ω ٥ + ٣ ω = ــ ١ ــ ٢ ω ٥ + ω ٢ + ٣ ω ٢ ω المقدار = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ € ω ــ ١ ــ  ٢ + ω ٥ + ٣ ω ــ ١ ــ  ٥ + ω ٢ + ٣  ٨٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ω ω ــ ٢ ــ ٢ ω ٥ + ٣ ٢ ω ω ــ ٥ ــ ٥ ω ٢ + ٣ ω ω ٣ + ١ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ = ـــــــــــ = ـــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ   = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ ــ ـــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ      !  ٨٤       ٢ هى الجذور التكعيبية للواحد الصحيح فأثبت أن : ω ،ω ، فيما يلى إذا كانت ١ ٨٢ ω + ١  [ ١ ] ω = ٦ω ١ ــ  [ ٢ ] ٢ = ــ ٢٧ ٩ = ٥ ω ١ ــ  ٤ ω ١ ــ  ٢ ω ١ ــ  ω ١ ــ  [ ٤ ] ٤ = ٢ ω ــ ω + ١  ٢ ω + ω ١ ــ  [ ٣ ] ٢ ω ١ ــ  [ ٥ ] ω + ٢٤ ω + ١  + ٢ ω + ٤ ω ٤ = ٦ ٢ ω ٢ + ω ٥ + ٢  [ ٦ ] ω ٥ + ω ٢ + ٢  = ٦ ٢ ٧٢٩ = ٢ ω ١ ــ  ٢ ω + ω ١ ــ  [ ٧ ] ω + ٤ ω ١ ــ  ٤ ω + ٨ من العوامل = ٢ ; إلى ٢ ...... × ;٢ ٨ ] إذا كانت س = ــــــــــــــــــــــــــــ فأثبت أن : ] أولاً : س ٨ + س ٤ ١ = . ثانياً : س + ١٠ + س ٥ . = ١ + ٢ ω A = ع ، ٢ ω ب + ω A = + ب ،ص A ٩ ] إذا كانت س = ] ω + ب ٣ A فـأثبت أن : أولاً : سصع = + ب ٣ ثانياً : س ٢ +ص ٢ + ع ٢ ب A ٦ = أحد الجذور التكعيبية للواحد الصحيح ω ١٠ ] أوجد الجذرين التربيعيين للعدد ] ٢ ω ω ــ ٢ ــ ٣ ω ω ٣ + ١ ٢ ω ω ٣ + ٢  ω ٣ + ١  ٢ ω ــ ω ٣ + ٢  ω ω ٣ + ٢ ω ٣ + ١  ٣ω ٢ ــ ٣ ω ٢ ــ ω٣ +ω ٢ ٢ω ٩ +ω ٦ +ω ٣ + ٢  ٢ ــ ٣ ω٢ +ω ٢ ٢ ω٩ +ω ٩ + ٢  ــ ٣ ٢ ω +ω٢ ω ــ ١ ــ ٩ +ω ٩ + ٢  ــ ٣  ــ ١ ٢ ω ــ ٩ ــ ٩ ω ٩ + ٢ ــ ٢ ــ ٣ ٢ ــ ٩ ــ ٥ ــ ٧ ٥ ٧ ٣ ت + ــ ١ ٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ١ ω ٢ + ١ ١ ٢ω ٢ + ١ ٤ ٢ ٣ ١١ ] أثبت أن : ـــــــــــــــــــ ــ ــــــــــــــــــــ = ــ ــــــــ ] ١ ١ ١٢ ] أثبت أن : ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ١ ] ٢ ω٢ +ω ٣ + ٤ ٢ ω٤ +ω ٣ + ٥   ٢ ــ ١ ω  ــ ١ ω ٢ ω ٢ ω ٥ ــ ٣ ω ٢ ــ ٧ ٢ ــ ٧ ω ٢ ١٣ ] ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ [ ١٤ ] ـــــــــــــــــــــ ــ ـــــــــــــــــــ ] ٢ ω ١ +ω ٢  ١ + ــ ٣ ω ٥ ٤ ١ ω ٣ + ١ ١ ٢ω ٣ + ١ ٢ ω ٢ω ٢ + ١ ٢ ٢ ٢ω ω ٢ + ١ ١٥ ] ـــــــــــــــــــــ ــ ــــــــــــــــــــــ [ ١٦ ] ـــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــ ] ٢ ٢ω ٥ ω  ــ ـــــــــ ω + ١   ٢ ω + ١ ــ ــــــــ  [ ١٧ ] ١٨ ] كون المعادلة التربيعية التى جذراها : ] ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ   أوجد قيمة كل مما يأتى : ٣ ٢ ω + ω ١ ــ  ، ٣ ٢ ω ــ ω + ١       مسائل العمليات على الأعداد المركبة و خواصها :  ٨٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ٨٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ٨٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ٨٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ٨٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
       فى كل من التمارين الآتية أوجد قيم س ،صالحقيقية :  ٩٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
       أوجد العدد المركب ع الذى يحقق كلاً من المعادلات الآتية :  ٩١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
       مسائل على الصورة المثلثية للعدد المركب :  ٩٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ٩٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
       مسائل على حاصل ضرب و خارج قسمة عددين مركبين فى الصورة المثلثية :  ٩٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ٩٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ٩٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
       مسائل على نظرية ديموافر :  ٩٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ٩٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
       مسائل على جذور العدد المركب :  ٩٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ١٠٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ١٠١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
       مسائل على الصورة الأسية للعدد المركب و العمليات على الصورة الأسية :  ١٠٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ١٠٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ١٠٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ١٠٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
       مسائل على خواصالجذور التكعيبية للواحد الصحيح :  ١٠٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ١٠٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ١٠٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
       مسائل عامة على الأعداد المركبة :  ١٠٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ١١٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ١١١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
       ; ١h .... ٣ ١h ٢ ١h ١ ١h ; ٢h .... ٣ ٢h ٢ ٢h ١ ٢h ; ;h .... ٣ ;h ٢ ;h ١ ;h = ; هى عدد الصفوف أو الأعمدة فى المحدد :  ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ يتكون من صفين و عمودين و يكتب على الصورة :  :  = ٢ ٢ ١h ١ ١h ٢ ٢h ١ ٢h = ٢ ٢ ١h ١ ١h = ٢ ٢ ٢h ١ ٢h ١ ٢h ٢ ١h ٢ ٢ ــ h ١ ١h : إذا كان : فإن ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ أوجد قيمة كل من المحددات الآتية : / ٣ ٢ ٥ ٤ ٣ ١٠ ٢ ٥ ٢ ٦ ٣ ٩ جاس ــ جتاس جتاس جا س جتاس = جا ٢س + جتا ٢س = ١ ×  ــ جتاس  جاس ــ × = جاس m ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :  يتكون من ٣ صفوف ، ٣ أعمدة و يكون على الصورة       :; هو ترتيب من الأعداد بحيث يكون عدد الصفوف مساوياً عدد الأعمدة ، و يكون على الصورة : ١٠ ــ ١٢ = ــ ٢ = ٤ × ٥ ــ ٣ × ٢ = j ٥ = ٢٠ ــ ١٥ = ٥ × ٢ ــ ٣ × ١٠ = k ١٨ ــ ١٨ = صفر = ٩ × ٣ ــ ٢ × ٦ = l ٣ ١h ٢ ١h ١ ١h ٣ ٢h ٢ ٢h ١ ٢h ٣ ٣h ٢ ٣h ١ ٣h = ٣  ١١٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     + + + ـــ + ـــ + ـــ + ـــ + : < ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :  إذا كان :  ٣ ١h ٢ ١h ١ ١h ٣ ٢h ٢ ٢h ١ ٢h ٣ ٣h ٢ ٣h ١ ٣h = ٣ ٣ ٢h ٢ ٢h ٣ ٣h ٢ ٣h ٣ ٢h ١ ٢h ٣ ٣h ١ ٣h ٣ ١h + ٢ ١h ١ ١ ــ h : فإن ٢ ٢h ١ ٢h ٢ ٣h ١ ٣h  ١ ٣h ٢ ٢h ٢ ٣ ــ h ١ ٢h ٣ ١h +  ١ ٣h ٣ ٢h ٣ ٣ ــ h ١ ٢h ٢ ١h ــ  ٢ ٣h ٣ ٢h ٣ ٣ ــ h ٢ ٢h ١ ١h = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ إذا كان :  ٣ ١h ٢ ١h ١ ١h ٣ ٢h ٢ ٢h ١ ٢h ٣ ٣h ٢ ٣h ١ ٣h = ٣ ٢ ١h ١ ١h ٣ ١h ٢ ١h ١ ١h ٢ ٢h ١ ٢h ٣ ٢h ٢ ٢h ١ ٢h ٢ ٣h ١ ٣h ٣ ٣h ٢ ٣h ١ ٣h  ٣ ٣h ١ ٢h ٢ ١h + ٢ ٣h ٣ ٢h ١ ١h + ١ ٣h ٢ ٢h ٣ ١h ــ  ٢ ٣h ١ ٢h ٣ ١h + ١ ٣h ٣ ٢h ٢ ١h + ٣ ٣h ٢ ٢h ١ ١h : فإن ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  / أوجد قيمة المحدد  ٣ ٢ ٤ ــ ٣ ٥ ــ ٢ ٧ ٢ ٣ ٣ ــ ٢ ٧ ٢ ــ ٥ ــ ٢ ٧ ٣ ٣ + المحدد = ٤ ــ ٢ $ ــ ٣ ٥ ٢ ٣ ٣ × ٢ ــ ٣ × ــ ٥  ٣ + ٣× ــ ٢  ٧ ــ × ــ ٥  ــ ٢ ٢× ــ ٢  ٧ ــ × ٣  ٤ = ١٠١ = ٥٨ ــ ٥٧ + ١٠٠ =  ــ ١٩  ٣ +  ــ ٢٩  ــ ٢ ٢٥ ٤ =  ــ ١٠ ــ ٩  ٣ + ٦+ ــ ٣٥  ــ ٢ ٤+ ٢١  ٤ =   :  ص ع الذى يقع فى الصف ص و العمود ع فإن : h ٣ و ليكن العنصر  إذا أخذنا أى عنصر فى المحدد ص ع h المحدد من الدرجة ٢ الذى ينشأ عن حذف الصف صو العمود ع يسمى بالمحدد الأصغر للعنصر  ١  ص ع  و يرمز له بالرمز ص ــ ١  ص ع فإن الكمية الناتجة وهى  ــ ١  × صع  إذا ضربنا المحدد الأصغر  ٢  ع  صع h تسمى بالعامل المرافق للعنصر = ٣ = ٣ صع  ×  ١١٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     $ ٣ ٢ ٤ ــ ٣ ٥ ــ ٢ ٧ ٢ ٣ ٢ ٤ ٣ ٢ ٤ ــ ٣ ٥ ــ ٢ ــ ٣ ٥ ٢ ٣ ٧ ٢ ٣ ٧× ــ ٥ ×٢ + ٢× ــ ٢ × ٤ +٣ × ٣ ×٣  ــ ٢× ــ ٥ ×٣ + ٣× ــ ٢ × ٢ +٧× ٣× ٤ = المحدد € ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  / $ س . ١ ١ ٨ ــ س ــ س س ــ ١ ١ + س ١ ــ س ــ س ــ ١ ١ + س ١ ٨ ــ س س ــ ١ صفر =  ــ ٨ ــ س + س ٢  + ــ س ٢ ــ س ١  س € ــ س ٣ ــ ٨ = صفر € س ــ س ٣ ــ س ٢ ــ ٨ ــ س + س ٢ = صفر € { ــ ٢ } م . ح = € س = ــ ٢ € س ٣ = ــ ٨ و بأخذ الجذر التكعيبى للطرفين € ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ       المحدد =  ١٠١ = ٥٩ + ٤٢ =  ــ ٥٩  ٤٢ ــ =  ــ ١٦ ــ ٧٠ ٢٧ ــ  ــ ١٢ ــ ٣٠ ٨٤ = H  أوجد مجموعة حل المعادلة : = صفر حيث س س + = صفر € بفك المحدد :  ١١٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ١١٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣ ــ ٥ ١ ٢ ــ ٣ . . ــ ٤ ١ . . ٣ ــ ٢ ١ ــ ١ ٢ ــ ١ ــ ٤ ٣ فمثلاً : = = ٣ ــ صفر + صفر ٥ ــ ٤ ٣ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  أو أعمدته  قيمة المحدد لا تتغير بفكه عن طريق عناصر أحد صفوفه :  ٢   أوجد قيمة المحدد : م = /      فى أى محدد إذا بُدلت الصفوف بالأعمدة و الأعمدة بالصفوف بنفس الترتيب :  ١   فإن قيمة المحدد لا تتغير ١٥ =  ٨ ــ ٣  ٣ = ٣ ــ ٥ ١ ٢ ــ ٣ . . ــ ٤ ١ ( أولاً ) باستخدام عناصر الصف الثانى ( ثانياً ) باستخدام عناصر العمود الثالث  ١١٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     $ ( أولاً ) باستخدام عناصر الصف الثانى : ٥ ٣ ٤ . ( ثانياً ) باستخدام عناصر العمود الثالث : ٣ ــ ١ . ــ ١ ١ ٣ ١ ٣ ٢ . ٢ . ــ ــ ١ ١ . ــ . ــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ . ــ ٩ ٢ ٧ ــ ٣ . . ــ ٨ ١ ٣ ٧ ٤ . . . ٦ ــ ٢ ١ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣ ٢ ١ ٧ ٦ ٥ ٤ ١ ٢ بدون فك المحددات أثبت أن : = / ١ ٢ ٣ ٢ ١ ٤ ٥ ٦ ٧ ٣ ٢ ١ ٧ ٦ ٥ ٤ ١ ٢ ١ ٢ ٣ ٥ ٦ ٧ ٢ ١ ٤ ــ و ذلك لتبديل العمودين الأول و الثالث = $    ــ ٣  م = صفر + ٢ ــ ١٥ =  . ــ ٣ ــ  ٣ +  . ١٢ ــ  ٢ = ٤ +  ــ ٣  م = ٥ ــ ١٥ = ٢٤ + ــ ٩ =  . ٦ ــ  ٤ +  . ــ ٣ ــ  ٣ +  .  ٥ = فى محدد كلها أصفار  أو أى عمود  إذا كانت عناصر أى صف :  ٣   فإن قيمة المحدد تساوى صفر فمثلاً : إذا كان م = بفك المحدد باستخدام عناصر العمود الأول ينتج أن م = صفر و إذا كان ه = بفك المحدد باستخدام عناصر الصف الثانى ينتج أن ه = صفر المحدد وضعيهما  أو أعمدة  من صفوف  أو عمودان  إذا تبادل صفان :  ٤    ــ ١  فإن قيمة المحدد الناتج تساوى قيمة المحدد الأصلى مضروباً فى ١ ٢ ٣ ٢ ١ ٤ ٥ ٦ ٧ و ذلك لتبديل الصفين الثانى و الثالث  ــ ١  = ــ ١ ٢ ٣ ٢ ١ ٤ ٥ ٦ ٧  =  ١١٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ٨ ٥ ٢ ــ ٧ ٤ ٣ ٨ ٥ ٢ فمثلاً إذا كان م = فإن م = صفر وذلك لتساوى الصفين ص ١ ،ص ٣ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣ ــ ١٥ ٢ ٤ ــ ٢٠ ١ ٥٥ ٦ ١١ بدون الفك أثبت أن المحدد = صفر / بأخذ ٥ عامل مشترك من عناصر العمود الثالث $ ٣ ــ ٣ ٢ ٤ ــ ٤ ١ ١١ ٦ ١١ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٤ ٣ ٥ ١ ٢ ٤ أكتب المحدد على صورة مجموع محددين قيمة أحدهما يساوى صفر / ٣ ــ ١ ــ ٢ ٤ ٣ ٥ ١ ٢ ٤ ١ + ٣ ٢ + ١ ٤ + ١ ١ ٢ ٤ كتبنا كل عنصر من عناصر الصف الأول كمجموع ] = $ ٣ ــ ١ ــ ٢ ٣ ــ ١ ــ ٢ محددين أحدهما يساوى العنصر بالصف الثانى ] " = + يلاحظ أن المحدد الثانى فى الطرف الأيسر = صفر " لأن ص ١ ، ص ٣   فى أى محدد فإن قيمة المحدد تساوى صفر  أو عمودان  إذا تساوى صفان :  ٥   فى محدد  أو عمود  إذا وجد عامل مشترك & فى جميع عناصر أى صف :  ٦    بعد أخذ العامل المشترك  المحدد الناتج × & = المحدد الأصلى و ذلك لتساوى عناصر ع ، ع ٣ ١ فإن هذا العامل يمكن أخذه خارج المحدد و يكون : صفر = صفر × ٥ = × المحدد = ٥ € تحويل محدد إلى مجموع محددين : :  ٧   كمجموع عنصرين  أو عمود  فى أى محدد إذا كتبت جميع عناصر أى صف فإن قيمة المحدد يمكن كتابتها كمجموع قيمتى محددين ٣ ١ ١ ١ ٢ ٤ ٣ ــ ١ ــ ٢ ١ ٢ ٤ ١ ٢ ٤ ٣ ــ ١ ــ ٢  ١١٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ; ل م ــ س ص ع R & Q  / بدون فك المحددات أثبت أن : + = صفر  بملاحظة أن المحددين فى الطرف الأيمن يتساوى فيهما نفس العمودين ع ، ع $  الطرف الأيمن = = = صفر = الطرف الأيسر ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ   استخدم خواصالمحددات لتسهيل إيجاد قيمة المحدد /   :   أو الأعمدة  يمكن جمع محددين لا يختلفان إلا فى عناصر أحد الصفوف و بقاء بقية العناصر كما هى  أو العمودين  و ذلك بجمع العناصر المتناظرة فى الصفين " لأن عناصر العمود الأول كلها أصفار " فى محدد مضاعفات نظائرها من عناصر  أو عمود  إذا أضيفت لعناصر أى صف :  ٨   فإن قيمة المحدد لا تتغير  أو عمود آخر  صف آخر لأى محدد  أو عمود  و تستخدم هذه الخاصية للحصول على أكبر عدد ممكن من الأصفار فى أى صف و بالتالى يسهل علينا فك المحدد  ١١٩   ــ ١ و إضافتها إلى عناصر العمود الثانى × بضرب عناصر العمود الأول $ المحدد = = € ــ ٣ و إضافتها إلى عناصر العمود الثالث × بضرب عناصر العمود الأول المحدد = = € ٢ = × ١ = ; ــ ل م س ص ع R & Q ــ ٣ ٢ ; ل ــ ل م ــ س + س ص ع R & Q ــ Q ; . م . ص ع R & . ٣ ١ ١ ١٤٩ ٥١ ٥٠ ٧٠ ٢٤ ٢٣ ١ ١ ــ ٣ ١ ٥١ ٥٠ ــ ١٤٩ ٥٠ ٢٤ ٢٣ ــ ٧٠ ٢٣ ٣ . ١ ١٤٩ ١ ٥٠ ٧٠ ١ ٢٣ ٣ . ١ ــ ٣ ١٤٩ ١ ٥٠ ــ ١٥٠ ٧٠ ١ ٢٣ ــ ٦٩ . . ١ ١ ٥٠ ــ ١ ١ ١ ٢٣ ١ ــ ١ ١ ١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ٣ ــ ٤ ٥ فمثلاً : إذا كان م = فإن : ٧ ــ ٣ ــ ٢ ٣ ١ ٢ ٥٧ ــ ٥ ــ ٥٢ = صفر = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ . . ٢ . ٣ ــ ١ ٥ ٢ ٤ ــ ٢ ٩ ٧ . ــ ٦ ١ ٣ . . ٥ = ــ ١٠ × ــ ١ × فمثلاً : قيمة المحدد = ٢ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ / ١ ــ ٢ ١ ١ ٢ ٤ ٣ ٣ ــ ٢ ــ ٤ و إضافتها إلى عناصر الصف الثانى × بضرب عناصر الصف الأول $ ١ ــ ٢ ١ ٦ ــ ٧ . ٦ ــ ٨ . ــ ١ و إضافتها إلى عناصر الصف الثالث × المحدد = ثم بضرب عناصر الصف الثانى € ١ ــ ٢ ١ ٦ ــ ٧ . . . ــ ١ ــ ١ = ــ ٦ × ٦ × المحدد = فى الصورة المثلثة قيمته = ١ €   فى العوامل المرافقة  أو عمود  فى أى محدد يكون مجموع حواصل ضرب عناصر أى صف :  ٩   آخر يساوى صفر  أو عمود  للعناصر المناظرة فى أى صف  العامل المرافق للعنصر ــ ٢  ٤ +  العامل المرافق للعنصر ــ ٣   ــ ٥  +  العامل المرافق للعنصر ٧  ٣  ١٠ + ٣  ــ × ٤ +  ٩ ــ ٨   ــ ٥  +  ــ ١٥ ــ ٤  ــ × ٣ = :  القطر الرئيسى كلها أصفار يسمى محدد على الصورة المثلثة  أو فوق  المحدد الذى جميع عناصره تحت قيمة المحدد على الصورة المثلثة تساوى حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسى :  ١٠   ٢١ = ٣ × ــ ١ × ، = ــ ٧ ضع المحدد على الصورة المثلثة ، ثم أوجد قيمته ــ ٣ و إضافتها إلى عناصر الصف الثالث × و كذلك بضرب عناصر الصف الأول  ١٢٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
            ١٢١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                    ١٢٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                    ١٢٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
             ١٢٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ١٢٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ١٢٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ١٢٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ١٢٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ١٢٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ١٣٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ١٣١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ١٣٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
       ٢ ١h ١ ١h ٢ ٢h ١ ٢h ١[ [ ٢ [ [ ٢ ١h ١. ٢ ٢h ٢. ١. ١ ١h ٢. ١ ٢h        : ٢ . ٢ ٢ ص = h + ١ ٢ س h ، ١ . ٢ ١ ص = h + ١ ١ س h محدد المعاملات " [ = بي صفر " و يسمى [ حيث فإن حل المعادلتين هو : س = ـــــــــــ ، ص = ـــــــــــ = ٢ [ ، = ١ [ حيث ١[ [ ٢ [ [ ٣ ١h ٢ ١h ١ ١h ٣ ٢h ٢ ٢h ١ ٢h ٣ ٣h ٢ ٣h ١ ٣h  ١٣٣   : ٢ . ٣ ٢ ع = h + ٢ ٢ ص h + ١ ٢ س h ، ١ . ٣ ١ ع = h + ٢ ١ ص h + ١ ١ س h ٣ . ٣ ٣ ع = h + ٢ ٣ ص h + ١ ٣ س h محدد المعاملات " [ = بي صفر " و يسمى [ حيث فإن حل المعادلات الثلاثة هو : س = ـــــــــــ ، ص = ـــــــــــ ، ع = ـــــــــــ = ٣[ ، = ٢ [ ، = ١ [ حيث ٣ [ [ ٣ ١h ٢ ١h ١ . ٣ ٢h ٢ ٢h ٢ . ٣ ٣h ٢ ٣h ٣ . ٣ ١h ١ . ١ ١h ٣ ٢h ٢ . ١ ٢h ٣ ٣h ٣ . ١ ٣h ١ . ٢ ١h ١ ١h ٢ . ٢ ٢h ١ ٢h ٣ . ٢ ٣h ١ ٣h PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     :  ٣ = صفر فإن مجموعة المعادلات لها عدد لا نهائى من الحلول [ = ٢ [ = ١ [ = [ ٣ ] إذا كانت ] ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ حل المعادلتين س + ٣ص= ١ ، س ــ ٢ص= ٦ / ٣ ١ ١ = ــ ٢ ــ ٣ = ــ ٥ × ــ ٣  ــ ٢  × ١ = = [ $ ١ ــ ٢ ٣ ١ ٦ = ــ ٢ ــ ١٨ = ــ ٢٠ × ــ ٣  ــ ٢  × ١ = = ١ [ ٦ ــ ٢ ١ ١ ٦ ١ ٥ = ٦ ــ ١ = ١ × ٦ ــ ١ × ١ = = ٢ [ س = ــــــــــــ = ــــــــــــــ = ٤ ، ص= ــــــــــــ = ــــــــــــــ = ــ ١ ١[ [ ــ ٢٠ ــ ٥ ٢ [ [ ٥ ــ ٥ { ٤ ، ــ ١  } = مجموعة الحل ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ باستخدام طريقة كرامر أوجد مجموعة حل المعادلات : / ٣ س + ٢ص+ ع = ٧ ، س + ٥ص+ ٣ع = ٤ ، س ــ ٢ص+ ع = ــ ١ ١ ٢ ٣ ٣ ٥ ١ ١ ١ ــ ٢  ــ ٢ ــ ٥  +  ١ ــ ٣  ــ ٢  ٦ + ٥  ٣ = = [ $ ١ ٢ ٧ ٣ ٥ ٤ ١ ــ ١ ــ ٢  ٥ + ــ ٨  +  ٣ + ٤  ــ ٢  ٦ + ٥  ٧ = = ١ [   ٣ حدوث إحدى الحالات الاتية : [ ، ٢ [ ، ١ [ ، [ يتوقف على قيم كل من { س ،ص، ع  } بي صفر فيكون للمعادلات حل واحد فقط عبارة عن [ ١ ] إذا كانت ] ٣ بي صفر فإن مجموعة المعادلات ليس لها حل [ ، ٢ [ ، ١ [ = صفر ، [ ٢ ] إذا كانت ] ٣٠ = ٤ ــ ٧ + ٣٣ = ــ ٧  ــ ٢  × ١١ ــ ٢ × ٣ = ٦٠ = ٧٧ ــ ١٤ ــ ٣ = ٧ ــ ٣ × ١١ ــ ٢ × ٧ =  ١٣٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
     ١ ٧ ٣ ٣ ٤ ١ ١ ١ ــ ١  ــ ١ ــ ٤  +  ١ ــ ٣  ــ ٧  ٣ + ٤  ٣ = = ٢ [ ٧ ٢ ٣ ٤ ٥ ١  ــ ــ ٥ ٢  ٧ +  ٤ ١  ــ ــ ٢  ٨ + ٥  ٣ = = ٣ [ ــ ــ ــ ــ ١ ٢ ١ ٣٠ ــ ــ ــ ــ = ٤٩ ١٠ + ٩ =  ٧  ٧ +  ٥  × ٢ ٣ × ٣ = ــ ١ ١ ٢ س = ـــــــــ = ـــــــ = ، ص = ـــــــــ = ـــــــ = ، ع = ـــــــــ = ــــــــــ = ــ ١[ [ ٦٠ ٣٠ ٢ [ [ ٣٠ ٣٠ ٣ [ [ ــ ٣٠ ٣٠ { ١ ، ٢ ، ــ ١  } = مجموعة الحل ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ      ٣٠ = ١٤ ــ ٥ + ٢١ = ــ ٥  ــ ٢  × ٧ ــ ٧ × ٣ =  ١٣٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
           ١٣٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
           ١٣٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        ١٣٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
              ١٣٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
           ١٤٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
           ١٤١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
           ١٤٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
           ١٤٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
        أصدق الأمنيات بالتفوق الباهر ........ مع تحياتى  ١٤٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

More Related Content

PDF
إجابة التمارين العامة بالكتاب المدرسى صفحة 212 الى 213 على قوانين نيوتن للحرك...
byegypt petro company
 
PDF
3.2 Synthetic Division
bysmiller5
 
PPTX
Wildlife and Sportfish Restoration - 75 Years of Conservation
byDakota Partners
 
PDF
Calculation of transmission coefficient using Transfer Matrix Technique
byRCC Institute of Information Technology
 
PDF
Radioactive stability by piyaporn
bypiyapornsiriyuwasama
 
PPTX
Circle
byBea Nelene A. Que
 
PPT
สูตรการหาพื้นที่
byguest63819e
 
PDF
ข้อสอบกปลายภาค คณิต ม.5 เทอม 1 ฉบับที่ 2
byคุณครูพี่อั๋น
 
إجابة التمارين العامة بالكتاب المدرسى صفحة 212 الى 213 على قوانين نيوتن للحرك...
byegypt petro company
 
3.2 Synthetic Division
bysmiller5
 
Wildlife and Sportfish Restoration - 75 Years of Conservation
byDakota Partners
 
Calculation of transmission coefficient using Transfer Matrix Technique
byRCC Institute of Information Technology
 
Radioactive stability by piyaporn
bypiyapornsiriyuwasama
 
Circle
byBea Nelene A. Que
 
สูตรการหาพื้นที่
byguest63819e
 
ข้อสอบกปลายภาค คณิต ม.5 เทอม 1 ฉบับที่ 2
byคุณครูพี่อั๋น
 

Similar to حلول تمارين الكتاب المدرسى جبر للصف الثالث الثانوى

PDF
علم الرياضيات للصف الثاني متوسط
byAyad Haris Beden
 
PPTX
قابلية قسمة الاعداد الطبيعية على الاعداد الاولية
byyasser awad
 
PPTX
رياضيات ... الاعداد الاولية
byyasser awad
 
PDF
موقع ملزمتي - مراجعة ليلة الامتحان جبر للصف الثالث الإعدادي الترم الاول
byملزمتي
 
PDF
Math algebra-school-books-2nd-preparatory-1st-term-khawagah-2019-6
bykhawagah
 
PDF
الحدوديات جدع مشترك علمي
byAHMED ENNAJI
 
PDF
Math ar 2ب ت 1
byأمنية وجدى
 
PDF
Math4amsome lessons
bymoh13
 
PDF
math 4 rev.t1.pdf
byMohamed Mostafa
 
PPT
ضرب وحيدات الحد
bymansour1911
 
PPT
2 تابع الجبر حل التناسب
byhanaa1390
 
PPTX
المحاضرة 16.pptxvvhvhi6hrMhfMjfzmhfjtditsitsi
byaboobaidahalmoohager
 
PPTX
1-1 الأنواع المختلفة من الأعداد رياضيات الصف التاسع - الفصل الأول - الدرس ال...
byHmidiNader1
 
DOC
C3
byhranhosam
 
DOC
تدريبات حساب 5ب ترم1 إعداد عصام فاروق
byأمنية وجدى
 
PDF
Math 5th-primary-2nd-term- (6)
bykhawagah
 
PDF
Con 1 tc semestre 1
byAHMED ENNAJI
 
PDF
حساب 3ب ت1
byأمنية وجدى
 
PDF
1com
byaddabenslimmohammed
 
PDF
1com3mbachir
byaddabenslimmohammed
 
علم الرياضيات للصف الثاني متوسط
byAyad Haris Beden
 
قابلية قسمة الاعداد الطبيعية على الاعداد الاولية
byyasser awad
 
رياضيات ... الاعداد الاولية
byyasser awad
 
موقع ملزمتي - مراجعة ليلة الامتحان جبر للصف الثالث الإعدادي الترم الاول
byملزمتي
 
Math algebra-school-books-2nd-preparatory-1st-term-khawagah-2019-6
bykhawagah
 
الحدوديات جدع مشترك علمي
byAHMED ENNAJI
 
Math ar 2ب ت 1
byأمنية وجدى
 
Math4amsome lessons
bymoh13
 
math 4 rev.t1.pdf
byMohamed Mostafa
 
ضرب وحيدات الحد
bymansour1911
 
2 تابع الجبر حل التناسب
byhanaa1390
 
المحاضرة 16.pptxvvhvhi6hrMhfMjfzmhfjtditsitsi
byaboobaidahalmoohager
 
1-1 الأنواع المختلفة من الأعداد رياضيات الصف التاسع - الفصل الأول - الدرس ال...
byHmidiNader1
 
C3
byhranhosam
 
تدريبات حساب 5ب ترم1 إعداد عصام فاروق
byأمنية وجدى
 
Math 5th-primary-2nd-term- (6)
bykhawagah
 
Con 1 tc semestre 1
byAHMED ENNAJI
 
حساب 3ب ت1
byأمنية وجدى
 
1com
byaddabenslimmohammed
 
1com3mbachir
byaddabenslimmohammed
 

More from أمنية وجدى

PDF
بوكلت اللغة العربية بالتدريبات لثانية حضانة Arabic booklet kg2 first term 201...
byأمنية وجدى
 
PDF
بوكلت أسئلة اللغة الإنجليزية للصف الثانى الابتدائى - الترم الأول
byأمنية وجدى
 
PDF
دفتر تحضير مادة الرياضيات لجميع المراحل التعليمية باللغة الانجليزية
byأمنية وجدى
 
PDF
دفتر تحضير مادة الرياضيات لجميع المراحل التعليمية باللغة العربية
byأمنية وجدى
 
PDF
بنك أسئلة اللغة الإنجليزية للصف الرابع الابتدائى - الترم الأول 2018 - time fo...
byأمنية وجدى
 
PDF
2018 الترم الأول - الصف الاول الابتدائي Time for englishبوكلت
byأمنية وجدى
 
PDF
قواعد الانجليزية للمرحلة الابتدائية
byأمنية وجدى
 
PDF
معدل نماذج استرشادية امتحان الترم الأول الصف الرابع الابتدائي حسب النظام ال...
byأمنية وجدى
 
PDF
كراسة اختبار اللغة العربية للثانوية العامة 2017
byأمنية وجدى
 
PDF
مذكرة مراجعة التربية الدينية الإسلامية للصف السادس الابتدائى لنصف العام
byأمنية وجدى
 
PDF
50 exams 1p s2
byأمنية وجدى
 
PDF
بنك أسئلة اللغة الإنجليزية للصف السادس الابتدائى - الترم الأول 2018 - time fo...
byأمنية وجدى
 
PDF
مراجعة كتاب المعاصر فى العلوم ( لغات ) للصف السادس الابتدائى لنصف العام
byأمنية وجدى
 
PDF
بوكلت المدارس المعدل 2017 فى اللغة العربية للصف الخامس الابتدائى للترم الثانى...
byأمنية وجدى
 
PDF
بوكلت شرح منهج اللغة العربية للصف السادس الابتدائى 2017 بالتعديل الجديد للترم...
byأمنية وجدى
 
PDF
بنك أسئلة فى اللغة الإنجليزية على الوحدات الثلاثة الأولى للصف الثالث الابتدائ...
byأمنية وجدى
 
PDF
اختبارات شاملة فى اللغة العربية للصف الثالث الإعدادى لنصف العام 2018 ابن عاصم
byأمنية وجدى
 
PDF
نماذج استرشادية فى الرياضيات للصف السادس الابتدائى بمواصفات 2018
byأمنية وجدى
 
PDF
بوكلت المتميز فى الرياضيات للصف السادس الابتدائي 2017 الفصل الدراسى الأول أ/ ...
byأمنية وجدى
 
PDF
مذكرة النحو الشاملة للصف الأول الإعدادى للترم الثانى 2017 أ . أمنية وجدى
byأمنية وجدى
 
بوكلت اللغة العربية بالتدريبات لثانية حضانة Arabic booklet kg2 first term 201...
byأمنية وجدى
 
بوكلت أسئلة اللغة الإنجليزية للصف الثانى الابتدائى - الترم الأول
byأمنية وجدى
 
دفتر تحضير مادة الرياضيات لجميع المراحل التعليمية باللغة الانجليزية
byأمنية وجدى
 
دفتر تحضير مادة الرياضيات لجميع المراحل التعليمية باللغة العربية
byأمنية وجدى
 
بنك أسئلة اللغة الإنجليزية للصف الرابع الابتدائى - الترم الأول 2018 - time fo...
byأمنية وجدى
 
2018 الترم الأول - الصف الاول الابتدائي Time for englishبوكلت
byأمنية وجدى
 
قواعد الانجليزية للمرحلة الابتدائية
byأمنية وجدى
 
معدل نماذج استرشادية امتحان الترم الأول الصف الرابع الابتدائي حسب النظام ال...
byأمنية وجدى
 
كراسة اختبار اللغة العربية للثانوية العامة 2017
byأمنية وجدى
 
مذكرة مراجعة التربية الدينية الإسلامية للصف السادس الابتدائى لنصف العام
byأمنية وجدى
 
50 exams 1p s2
byأمنية وجدى
 
بنك أسئلة اللغة الإنجليزية للصف السادس الابتدائى - الترم الأول 2018 - time fo...
byأمنية وجدى
 
مراجعة كتاب المعاصر فى العلوم ( لغات ) للصف السادس الابتدائى لنصف العام
byأمنية وجدى
 
بوكلت المدارس المعدل 2017 فى اللغة العربية للصف الخامس الابتدائى للترم الثانى...
byأمنية وجدى
 
بوكلت شرح منهج اللغة العربية للصف السادس الابتدائى 2017 بالتعديل الجديد للترم...
byأمنية وجدى
 
بنك أسئلة فى اللغة الإنجليزية على الوحدات الثلاثة الأولى للصف الثالث الابتدائ...
byأمنية وجدى
 
اختبارات شاملة فى اللغة العربية للصف الثالث الإعدادى لنصف العام 2018 ابن عاصم
byأمنية وجدى
 
نماذج استرشادية فى الرياضيات للصف السادس الابتدائى بمواصفات 2018
byأمنية وجدى
 
بوكلت المتميز فى الرياضيات للصف السادس الابتدائي 2017 الفصل الدراسى الأول أ/ ...
byأمنية وجدى
 
مذكرة النحو الشاملة للصف الأول الإعدادى للترم الثانى 2017 أ . أمنية وجدى
byأمنية وجدى
 

Recently uploaded

PDF
ادارة المعرفة واخصائيو الوثائق : المفاهيم ، التكنولوجيات، العلاقة و المسئوليات
byMuhammad Ezzat Amna
 
PPTX
المعايير الدولية لاعتماد المؤسسات الصحية.pptx
byDr. Mohammad Algharibeh
 
PPTX
السودان تحية للوطن في ذكرى عيد الاستقلال
byHashim Khalifa
 
PDF
-الخطة الزمنية دورة الادارة المكتبية المتقدمة.pdf
byalanoudmoh1996
 
PDF
إدارة الطوارئ والكوارث في المنشئلت الصحية (المستشفيات) دراسة تطبيقية.pdf
byDr. Mohammad Algharibeh
 
PDF
الصرف المزيد بثلاثة أ. إسماعيل القطيطي_2025.pdf
bymamari100001
 
PPTX
FIBROCARTILAGE المحاضرة الثامنة-الغضاريف.pptx
byIdlib University
 
PPTX
الذّات و اللّاذات.pptx دروس السنة الثالثة علوم تجريبية
byhiba92091
 
PPTX
العرض.pptx تحديد خصائص الشّخصية القياديّة ومميّزاتها. أثر القيادة الفعّالة في...
bymhamedsaidi
 
PPTX
.. وقفات تأملية اللاءات العشر في سورة الكهف.pptx
byaldiaabenin
 
PPTX
,nhالمعيار الثامن إدارة ضمان الجودة.pptx
byoamira574
 
PPTX
خطة الطوارئ للسلامة و الصحة المهنية للمؤسسة.pptx
byWaelAbdallah33
 
PDF
الهيكلة الجديدة لوزارة التربية الوطنية.pdf
byChahidMostach
 
PPTX
منهجية العملية التعليمية الحديثة
byIENGC
 
PPTX
مراحل التخطيط البيذاغوجي ..pptx
byIENGC
 
PPTX
المحاضرة الرابعة - النسيج الظهاري - ج2.pptx
byIdlib University
 
PPTX
مفهوم التواصل المؤسساتي. النهائي-1.pptx
byDAHBIMEDIA
 
PPTX
الاولى باك علوم التواصلات الهرمونية والعصبية .pptx
byMariamEL25
 
PDF
.. وقفات مع سورة الأحزاب حول متى نصر الله.pdf
byaldiaabenin
 
PDF
ثقافة السلامة (Safety Culture) crisis .pdf
byDr. Mohammad Algharibeh
 
ادارة المعرفة واخصائيو الوثائق : المفاهيم ، التكنولوجيات، العلاقة و المسئوليات
byMuhammad Ezzat Amna
 
المعايير الدولية لاعتماد المؤسسات الصحية.pptx
byDr. Mohammad Algharibeh
 
السودان تحية للوطن في ذكرى عيد الاستقلال
byHashim Khalifa
 
-الخطة الزمنية دورة الادارة المكتبية المتقدمة.pdf
byalanoudmoh1996
 
إدارة الطوارئ والكوارث في المنشئلت الصحية (المستشفيات) دراسة تطبيقية.pdf
byDr. Mohammad Algharibeh
 
الصرف المزيد بثلاثة أ. إسماعيل القطيطي_2025.pdf
bymamari100001
 
FIBROCARTILAGE المحاضرة الثامنة-الغضاريف.pptx
byIdlib University
 
الذّات و اللّاذات.pptx دروس السنة الثالثة علوم تجريبية
byhiba92091
 
العرض.pptx تحديد خصائص الشّخصية القياديّة ومميّزاتها. أثر القيادة الفعّالة في...
bymhamedsaidi
 
.. وقفات تأملية اللاءات العشر في سورة الكهف.pptx
byaldiaabenin
 
,nhالمعيار الثامن إدارة ضمان الجودة.pptx
byoamira574
 
خطة الطوارئ للسلامة و الصحة المهنية للمؤسسة.pptx
byWaelAbdallah33
 
الهيكلة الجديدة لوزارة التربية الوطنية.pdf
byChahidMostach
 
منهجية العملية التعليمية الحديثة
byIENGC
 
مراحل التخطيط البيذاغوجي ..pptx
byIENGC
 
المحاضرة الرابعة - النسيج الظهاري - ج2.pptx
byIdlib University
 
مفهوم التواصل المؤسساتي. النهائي-1.pptx
byDAHBIMEDIA
 
الاولى باك علوم التواصلات الهرمونية والعصبية .pptx
byMariamEL25
 
.. وقفات مع سورة الأحزاب حول متى نصر الله.pdf
byaldiaabenin
 
ثقافة السلامة (Safety Culture) crisis .pdf
byDr. Mohammad Algharibeh
 

حلول تمارين الكتاب المدرسى جبر للصف الثالث الثانوى

  • 1.
                    PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 2.
                    فإن :    و أمكن إجراء عملية أخرى بطرق عددها    إذا أمكن إجراء عملية ما بطرق عددها   ×   = عدد طرق إجراء العمليتين معاً  ٢    / إذا كان لدينا ٥ مقاعد مختلفة ، فما عدد طرق جلوس ٣ أشخاصعلى هذه المقاعد ؟ $ يمكن جلوس الشخص الأول بطرق عددها ٥ ، يمكن جلوس الشخص الثانى بطرق عددها ٤ D ، يمكن جلوس الشخص الثالث بطرق عددها ٣  ٦٠ طريقة = ٣ × ٤ × يمكن جلوس الأشخاصالثلاثة بطرق عددها ٥ E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  / كم عدداً مكوناً من رقمين يمكن تكوينه من الأرقام ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١ إذا كان : أولاً : غير مسموح بتكرار أى رقم فى العدد ثانياً : إذا سمح بالتكرار آحاد عشرات $ خانة الآحاد يمكن شغلها بطرق عددها ٥ ، خانة العشرات يمكن شغلها بطرق عددها ٤ D أولاً : أولاً  ٢٠ عدداً = ٤ × عدد الأعداد = ٥ E خانة الآحاد يمكن شغلها بطرق عددها ٥ ، خانة العشرات يمكن شغلها بطرق عددها ٥ أيضاً D ثانياً : ثانياً  ٢٥ عدداً = ٥ × عدد الأعداد = ٥ E "حيث يسمح بالتكرار" ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  / تعطى مدرسة ثلاث جوائز أولاها فى القسم الأدبى و الثانية فى القسم العلمى و الثالثة فى قسم الرياضيات . فإذا كان عدد المتسابقين ٤ ، ٧ ، ٨ على التوالى ، فبكم طريقة يمكن توزيعها ؟ $ يمكن توزيع الجائزة الأولى بطرق عددها ٨ D ، و يمكن توزيع الجائزة الثانية بطرق عددها ٧ ، و يمكن توزيع الجائزة الثالثة بطرق عددها ٤  ٢٢٤ طريقة = ٤ × ٧ × يمكن توزيع الجوائز الثلاثة بطرق عددها = ٨ E العدد PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 3.
          / كم عدداً من أربع أرقام مختلفة يمكن تكوينه من الأرقام ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١ ؟ العدد و كم عدد هذه الأعداد التى يبدأ كل منها بالرقم ٥ دون تكرار للرقم ؟ آحاد عشرات مئات آلاف $ أولاً :الأعداد المكونة من أربع خانات : خانة الآحاد يمكن اختيارها بطرق عددها ٥ ، خانة العشرات يمكن اختيارها بطرق عددها ٤ ، خانة المئات D يمكن اختيارها بطرق عددها ٣ ، خانة الآلاف يمكن اختيارها بطرق عددها ٢ أولاً  ١٢٠ عدداً = ٢ × ٣ × ٤ × عدد الأعداد المكونة من أربع خانات من الأرقام المعطاة = ٥ E : و مكونة من أربع خانات  ثانياً :الأعداد التى تبدأ بالرقم ٥ دون تكرار للرقم خانة الآحاد يمكن اختيارها بطرق عددها طريقة واحدة ، خانة العشرات يمكن اختيارها بطرق عددها ٤ D و خانة المئات يمكن اختيارها بطرق عددها ٣ ، خانة الآلاف يمكن اختيارها بطرق عددها ٢ ٢ × ٣ × ٤ × ١ =  و مكونة من أربع خانات  عدد الأعداد التى تبدأ بالرقم ٥ دون تكرار للرقم E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١ ] حديقة لها ثمانية أبواب ، بكم طريقة يمكن لشخص الدخول إلى الحديقة و الخروج منها بشرط ألا يسمح له ]  b ،S  ،  : ،  = Y ، ٦ ) س G ط ، ٢  س : س  =S ٢ ] إذا كانت ] أوجد بفرضعدم السماح بتكرار أى رقم كل مما يأتى :  ٧ ، ٦ ، ٥ ، ٤ ، ٣ =S ٣ ] إذا كانت ] و بفرضعدم السماح بتكرار أى رقم أوجد عدد كل من الأعداد ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١ =S ٤ ] إذا كانت ] ؟ ٥ ] كم عدداً من خمس خانات تبدأ برقم فردى يمكن تكوينها من الأعداد ٦ ، ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١ ] ٦ ] كم عدداً يمكن تكوينه من الأرقام ٧ ، ٦ ، ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١ بحيث تبدأ بالرقم ١ و تتكون من أربعة ]   ثانياً  ٢٤ عدداً =        بالخروج من الباب الذى قد دخل منه ؟ Y أوجد عدد عناصر S أولاً : كم عدد مكون من ٥ أرقام يمكن تكوينه من عناصر بشرط ألاّ يكون رقم آحاده ٤ أو ٥ S ثانياً : كم عدد مكون من ٥ أرقام يمكن تكوينه من عناصر بشرط ألاّ يكون رقم آحاده ٤ و رقم عشراته ٥ S ثالثاً : كم عدد مكون من ٥ أرقام يمكن تكوينه من عناصر أولاً : الأعداد التى تحتوى على ٣ أرقام بالضبط S الآتية المكونة من عناصر ثانياً : الأعداد التى تحتوى على ٣ أرقام على الأكثر ثالثاً : الأعداد التى تحتوى على ٣ أرقام على الأقل أرقام دون تكرار للرقم ؟  ٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 4.
             بأخذها كلها أو بعضها فى كل مرة .  الأشياء  هى كل ترتيب يمكن تكوينه من مجموعة من العناصر = R '; التبديلة ; ' عدد الأشياء المتاحة عدد الأشياء المطلوبة R  ;  ٤        ١ + R  ; × ...... ×  ٣  ;   ٢  ;  ١  ;  ; = R ' ; : ١ ] قانون العوامل ]   و يساوى عدد العوامل  : الدليل R : العلم ، ; حيث ; G R G + بحيث ١ XL R ، ; كل من ، إذا كانت *  ; R ' ; = قيمة عددية ** إذا أردنا إيجاد قيمة R ' ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١ × ٢ × ٣ × ...... ×  ٣  ;   ٢  ;  ١  ;  ; = ; = ; ' ; : ٢ ] مضروب العدد ] و ينتهى بالعدد ١ ; يبدأ بالعدد ; * مضروب العدد ٣  ;  ٢  ;  ١  ; ; = ٢  ;  ١  ; ; = ١  ; ; = ; ** ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ R '; ٣ ] قانون المضروبات : ] عندما يكون الدليل رمز ** عندما يكون الدليل عدد كبير معلوم *  *** فى إثبات العلاقات الجبرية ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٤ ] ملاحظات هامة على التباديل و المضروبات : ] ١ ; ٢ ; = ١ ' ; ١ = صفر = ١ ٣ ١ = ٠ ' ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ R ' , = R ' ; ٥ ] إذا كان : ] = صفر Rs الدليل = صفر ٢ : أو , = ; s العلم = العلم ١ : فإما  / , ، ; ٧٢٠ فأوجد قيم كلٍ من = , ، ٢٤ = ٣ ' ; إذا كان $ D ; ٢٤ نحلل العدد ٢٤ إلى ثلاثة عوامل متتالية مرتبة تنازلياً أكبرها = العلم = ٣ ' E ; ٤ = ; E ٢ × ٣ × ٤ = ٣ ' نحلل العدد ٧٢٠ إلى عوامل متتالية تنتهى بالعدد ١ E ٧٢٠ = , D ٦ = , E ١ × ٢ × ٣ × ٤ × ٥ × ٦ = , E PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 5.
          ،  ٥٠٤٠ فأوجد قيمة كل من =  ' ١٠ ، ١٢٠ =  ' إذا كان ٥ / نحلل العدد ١٢٠ إلى عوامل متتالية أكبرها ٥ E ١٢٠ =  ' ٥ D $ ٤ " عدد العوامل " =  E ٢ × ٣ × ٤ × ٥ =  ' ٥ E ٥ =  ٤ أو =  s نحلل العدد ٥٠٤٠ إلى عوامل متتالية أكبرها ١٠ E ٥٠٤٠ =  ' ١٠ D ٤ " عدد العوامل " =  E ٧ × ٨ × ٩ × ١٠ =  ' ١٠ E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ؟ ; ٣ فما قيمة ' ٢  ; × ١٤ = ٤ ' ; إذا كان / $ D ; ٤  ;٣  ; ٢  ; ١٤ = ٣  ; ٢  ; ١  ; ; E ٣ ' ٢  ; × ١٤ = ٤ ' ٥٦  ; ١٤ = ;  ٢; E ٤  ; ١٤ = ١  ; ; E = ٨ ; ٧ أو = ;s ٠ = ٨  ; ٧  ; E ٠ = ٥٦ + ; ١٥  ٢; E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ــ ٣ + ; ١ + ;   اختصر : ــــــــــــــــــــ ٤/   ٧ ١٠ ٥ " عدد العوامل " =  E ١ × ٢ × ٣ × ٤ × ٥ =  ' أو ٥ ١  ; ٢  ; ٣ ; ١  ; ٧ ١٠ ٧ ١٠ ٣ + ; ١ + ; ١  ; ٢ ٢ + ;  ١ + ; ٢  ٢ ١+; ٢+; ١  ; ١  ; ٢ ٧ ١٠ ١ + ; ٢ ١ + ;  ١ + ; ٢ ١  ;٢ ;٢١+;٢ ١ - ; ;١+;٢+; ٢ + ; ٤ ٢ + ; ٣ + ٢; ٧ ١٠ ٢ - ٧ ١  ; ٢ ;  ١  ; ٢ ١  ; ١  ; ٢  ٥   ٦ + ;٥ + ٢; = ٢  ; ٣  ; = ـــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ $ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ؟ ; ١٠ فما قيمة : ٧ = ; ' ١  ; ٢ : ١  ; ' ١ + ; إذا كان : ٢ / $ ; ' ١ + ; ٢ D : ١  ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــ ÷ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ E ١٠ : ٧ = ; ' ١  ; ٢ ــــــــــــــــــــــ = ــــــــ × ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ E ـــــــــــــــــــــ = ـــــــــ × ــــــــــــــــــــــ E ـــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــ E ـــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــ E ٠ = ٢٠–; ٤٠– ١٤ + ; ٢١ + ٢; ٧ E  ٢ + ; ٤  ١٠ =  ٢ + ;٣ + ٢;  ٧ E ٠ =  ٣ - ;  ٢ + ;٧ E ٠ = ٦  ; ١٩  ٢; ٧ E ٣ = ; s ٠ = ٣  ; + أو XM = ــــــــ مرفوض ; s ٠ = ٢ + ; إما ٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 6.
         ١ + R ; = ١  R ' ; : R ' ; : أثبت أن /  $ ; R - ; ; ١+ R- ; ; R - ; R  ;  ١ + R ;) ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × ــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ ÷ الطرف الأيمن = ــــــــــــــــــــ ; ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٥ ٥ ٢ ×  ٩ × ٧ × ٥ × ٣ × ١  = أثبت أن : ١٠ / ١ × ٢ × ٣ × ٤ × ٥ × ٦ × ٧ × ٨ × ٩ × ١٠ = ١٠ $   ١ × ٣ × ٥ × ٧ × ٩  × ٥ × ٥ ٢ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ٥ ) س G ٣  ، XL س : س  = S إذا كانت /  ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١ ، ٠ ، ١  ، ٢  ، ٣   = SD $ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١  R ' ٦ × ٤ = R ' إذا كان : ٦ /  $ ١ + R ٢ + R ٢  R ١  R R ١ + R ٦ ٦ ١ ٤ ـــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ E ـــــــــــــــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــ = ٤ D R  ٦ ١ + R ٦ ١ ٤ ــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ E R  ٦ R  ٧ R  ٦ R  ٦  R  ٧  ٤ R ٧ ٤ ٥ ٣ ٤ ١ ٢ ٤ ٤ ٥ ٣ ٣ ٤ ١ ١ ٢ المقدار = ــــــــ + ــــــــ + ــــــــ = ــــــــــــــ + ــــــــــــــ + ـــــــــــــ E    ١ + R ; =  ١ × ٣ × ٥ × ٧ × ٩  ×  ٢ × ٤ × ٦ × ٨ × ١٠  =  ١ × ٣ × ٥ × ٧ × ٩  ×  ١ × ٢ × ٢ × ٢ × ٣ × ٢ × ٤ × ٢ × ٥ × ٢  = Y أوجد عدد عناصر  { b  b A ، SL { ،  ، A :  { ،  ، A = Y ،  ٣٣٦ عنصر = ٦ × ٧ × ٨ = ٣ ' = ٨ Y عدد عناصر E فأوجد قيمة : ــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــ ٣ = R E ٤ = R ٧ s ١ = ـــــــــــــــــ E ١ ٥ ١ ٤ ١ ٢ ١٠ + ٥ + ٤ ٢٠ ١٩ ٢٠  = ـــــــ + ـــــــ + ـــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ = ـــــــ  ٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 7.
             ١ ] بكم طريقة يمكن انتخاب حرف صحيح و آخر معتل من أربعة حروف صحيحة و ثلاثة معتلة ؟ ] ٢ ] تعطى مدرسة ثلاث جوائز أولاها فى القسم الأدبى و الثانية فى القسم العلمى و الثالثة فى قسم الرياضيات . ] ٣ ] ما عدد التراتيب المختلفة التى يمكن تكوينها إذا أخذنا ٥ حروف من كلمة " انتخبوه " ؟ ] مأخوذة ثلاثاً ثلاثاً يساوى خمسة أمثال تراتيب أشياء عددها ; ٤ ] إذا كان أربعة أمثال تراتيب أشياء عددها ] ؟ ٥ ] ما عدد التراتيب الممكن عملها من أرقام العدد ٦٥٤٣٢١ ] ؟ ٦ ] كم عدداً من أربع خانات يمكن تكوينه من الأعداد ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١ ] ؟ ٧ ] كم عدداً من خمس خانات تبدأ بعدد فردى يمكن تكوينها من الأعداد ٦ ، ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١ ] ٨ ] كم ترتيباً يمكن تكوينه من خمسة أنواع من الأشجار كل ترتيب منها مكون من شجرتين دون تكرار ؟ ] ٩ ] كم عدداً يمكن تكوينه من الأعداد ٧ ، ٦ ، ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١ بحيث تبدأ بالرقم ١ و تتكون من أربعة ] ٣ '; = ٢٤ فأوجد ٢ ; ١٠ ] إذا كان ] + ١ R ٦٧٢٠ فأوجد = R ' ١١ ] إذا كان ٨ ] ؟ ; ٣ فأوجد قيمة ' ٢  ; × ١٤ = ٤ ' ; ١٢ ] إذا كان ] ٧٢ = ١  ; : + ١ ; ٢ إذا علم أن : ' ; + ١ ' ; +  ' ; : ١٣ ] أوجد قيمة ] ١  R ' + ١ ; ٧٢٠ فأوجد قيمة : = R ، = ٦٠٤٨٠ R ' ; ١٤ ] إذا كان ] ١  R ' ١  ; R + R ' ١  ; = R ' ; : ١٥ ] أثبت أن ] ; ٥ فأوجد : ٧٢ = ٣ '١  ; ٢ : ٤ '١ + ; ١٦ ] إذا كان ٢ ] R ٦٠٤٨٠ فأوجد = R ' ١٧ ] إذا كان ٩ ] ٥ ٥ ٢ ×  ٩ × ٧ × ٥ × ٣ × ١  = ١٨ ] أثبت أن : ١٠ ] ; ;٢ ×   ١  ; ٢  × ..... × ٥ × ٣ × ١  = ; ١٩ ] أثبت أن : ٢ ] س ' ٢ ، ٣٦٠ س + ص = ٥٠٤٠ أوجد ص = ٤ ' ٢٠ ] إذا كان س + ص ]        فإذا كان عدد المتسابقين ٤ ، ٧ ، ٨ على التوالى فبكم طريقة يمكن توزيعها ؟ . ; مأخوذة ثلاثاً ثلاثاً فأوجد  ١  ;  و ما عدد ما يبتدئ منها بالرقم ١ و ينتهى بالرقم ٥ دون تكرار ؟ و كم عدد هذه الأعداد التى يبدأ كل منها بالرقم ٥ دون تكرار الرقم ؟ أرقام دون تكرار للرقم ؟  ٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 8.
         ١ + R ٢ + R ٢  R ١  R R ١ + R ١ فأوجد قيمة ــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــ  R ' ٦ × ٤ = R ' ٢١ ] إذا كان ٦ ]  ٧ G س G ، ١ } L س : س  = S ٢٢ ] إذا كانت ]  ٤ G س G ٣  ، XL س : س  = S ٢٣ ] إذا كانت ] ; ٢  ; ؟ ; ٣ : ــــــــــــــــــ = ٧ فما قيمة ' + ١ ; ٢٤ ] إذا كانت ] ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ   ٢٥ ] أوجد قيمة كل من : ] ' ٤ + ٢ ' ٨ ( A ) R ٦٠٤٨٠ فأوجد قيمة = ١ + R' [ ٢٧ ] إذا كان : ٩ R ٧٢٠ فأوجد قيمة = R' ٢٦ ] إذا كان : ١٠ ] , ٣٠ فأوجد قيمة = ٢ ' ; ،٩٠ = ٢ ' , [ ٢٩ ] إذا كان : ; ٣٣٦ فأوجد قيمة = ٣' ; ٢٨ ] إذا كان : ] ٣٠ ] إذا كان : س = ٥٠٤٠ فأوجد قيمة س ] R ، ; ٦٠٤٨٠ فأوجد قيمة كل من = R' ; ، = ٧٢٠ R ٣١ ] إذا كان : ] ; ٦٠ فأوجد قيمة = ٢  ;' ; : ٣٢ ] إذا كان ] ; ٥٦ فأوجد قيمة = ١  ; ' + ٥ ; ٣٣ ] إذا كان : ] ' ; ٣٤ ] إذا كان : ] +  ; ٣  ; ٦٥ فأحسب قيمة = ٢' ; + ١' ' ; ٣٥ ] إذا كان : ] ، ٢١٠ =  ' ٨ ' ; ٣٦ ] إذا كان : ] × ٩٠ = ٥ ; ' ٨ فأوجد قيمة  ; ; ١٢٠ فأوجد قيمة = ١ - ; ١ + ; ; : ٣٧ ] إذا كان ]  ٩٩ × ..... × ٥ × ٣ × ١  ٥٠ ٥٠ ٢ = ٣٨ ] أثبت أن : ١٠٠ ] إذا كان : R ، ; = ــــــــــــــــ و استخدم ذلك فى إيجاد قيمة R ' ١  ; : R ' ; : ٣٩ ] أثبت أن ]   ؟ X كم عدد عناصر   b A ، SL  ، A :   ، A = X و كانت ؟ Y كم عدد عناصر { b  b A ، SL { ،  ، A :  { ،  ، A = Y ،   ' ٥ ٤ ٦ (  ) ٣ ٠' ٨ + ١ ' ٨ (  ) ٤  ٣ ' ٥ ( {) س = ٦٧٢٠ ، س + ص = ٥٠٤٠ فأحسب قيمة  ; ' ; R  ;    ٣ + ٢ + ١ + ٠ (  ) ;' ص ; : R ' ' ١  ; : R ' ٢  ; ٢ : ٤ : ٧ = R  ٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 9.
              ; من الأشياء المختلفة ; من العناصر المختلفة من بين R هى عدد طرق اختيار R Q بدون ترتيب العناصر التى نختارها عدد الأشياء المطلوبة Q = عدد الأشياء المتاحة R Q; التوفيقة ; RQ ; ١ - RQ   ١ + R- ; R العلم - الدليل الأصغر الدليل الأكبر  ٩         ١ ] قانون العلاقة بين التباديل و التوافيق : ] ; = ــــــــــــــ R Q  ; G R G + بحيث ١ XL R ، ; : الدليل ، كلٍ من R : العلم ، ; حيث إذا كانت *  ; ــــــــــــ R ــــ Qـــــ ; ــــ ـــ =ـــقـيــمــةــــ عــ دـــ دـيـةــــــــــ *ـــ *ــإـــ ذـاـــأــ رــ دـنـاـــإـيـــ جـاـــ دـــقـيــمــةــــــ R ــــ Q ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ ] قانون المضروبات : ] ; = ــــــــــــــــــــــــــــــــ RQ عندما يكون الدليل رمز ** عندما يكون الدليل عدد كبير معلوم *  ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ *ــ *ـــ *ـــفــ ىـــإـثـبـاــــ تـــاـلــعـــ لاــقـاــــ تــاـلــــ جـبــرـيـةــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣ ] قانون تبسيط الدليل : ] ; = RQ ; R- ;Q ; عن نصف قيمة العلم R إذا زادت قيمة الدليل  ; س+ص= ٢ : س = ص أو ١ : ص فإما Q; س = Q; إذا كان : :  * ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٤ ] قانون النسبة بين توفيقتين متتاليتي الدليل : ] ـــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٥ ] ملاحظات هامة على التوافيق : ] ١ + RQ١ + ; = ١ + RQ; +RQ; [٤] ١ = ;Q; [٣] ; = ١Q; [٢] صفر = ١ Q; ١] ]   ; R ' R ; R R ; PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 10.
         ١Q ٥٠ ، ٩Q١٢ ، ٤Q٧ ، ٤Q أوجد قيمة كل من : ٦ / ' ٦ ٤ ٤ ' ٧ ٤ ٤ ٤ = ــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــ = ١٥ Q٦ * $ ' ١٢ ٣ ٣ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ــ أثبت أن : ـــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــ / ; ; ÷ $ الطرف الأيمن = ــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١  R ١ + R ; R R ; = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ١  R R; ( ١+R; ; ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ ) × ; ١  R R × R  ; ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ؟ R ، ; ١٢٠ فما قيمة = RQ; ، = ٧٢٠ R '; إذا كان : / ; R ' R ٧٢٠ R D $ ; ـــــــــــــ = ١٢٠ s ــــــــــــــــ = ١٢٠ E ١٢٠ = RQ ٧٢٠ ١٢٠ ــــــ =ــــ ٠ــ١ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ; ــــــــ s ــــ٨ـــــــــــــــ × ـــ٩ـــــ × ــــ٣ــــــ =ــــ٠ــ١ـــــ ' ـــــ ; ــــــ E ــــــ =ــــ٠ــ٢ـــ٧ــــــــــ R ـــــ ' ــــــ ; ـــــ D ـــــــــــــــــــــــ،ـــــــ ٣ + R٧ Q; ٥ فما قيمة + R٢ Q; = R٢ + ٢RQ; ، ١٢٠ = ٣ Q; إذا كان : / ; ٣' ٣ D $ ; ١ = ; E ٨ × ٩ × ١٠ = ٧٢٠ = ٣ '; E ــــــــــــ = ١٢٠ E ١٢٠ = ٣Q ٥ + R٢ Q ; = R٢ + ٢RQ ; D ، إما ٥  = R s ٥ = ٢ Rs ٥ + R ٢ = R ٢ + ٢ R مرفوض E +XM ٥ مرفوض  = R ١ أو = R s ٠ =  ٥ + R  ١ R  E E ;  ١ = ١٠Q١٠ = ٣ + ٧Q١٠ = ٣ + R٧ Q   ٣ × ٤ × ٥ × ٦ ١ × ٢ × ٣ × ٤ ٤ × ٥ × ٦ × ٧ ١ × ٢ × ٣ × ٤ ٥×٦×٧ ١×٢×٣ ٣ = ــــــــــــــــ = ٣٥ Q٧ = ٤Q ٤ = ـــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــ = ٣٥ أو ٧ Q٧ * ١٠ × ١١ × ١٢ ١ × ٢ × ٣ ٣ = ـــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ = ٢٢٠ " باستخدام قانون التبسيط " Q١٢ = ٩Q١٢ * ١ + R ; R ; RQ ; RQ ١  ; RQ ; RQ ١  ١ + R ; R ٥٠ = ١Q٥٠ * ٣ = R s ١ × ٢ × ٣ = = ٦ R E = ـــــــــ R E ٠ = ٥  R ٤ + ٢R E ١٠ = ٥ + R ٢ + R ٢ + ٢R أو  ١٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 11.
         ؟ ; ٣٦ ، فما قيمة = ٢  ;Q; : إذا كان / ٣٦ = ; ٢ Q; E ٣٦ = ٢  ;Q D $ باستخدام قانون التبسيط نجد أن : ' ;  ٩ = ; E ٨ × ٩ = ٧٢ = ٢ '; E ٣٦ ٢E ــــــــــــ = ٢ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٥ : ٤ = ١ ;Q; : ٢ + RQ; ، ٢ = Q; ١  ; : RQ; : إذا كان / ــــــــــــــــــــــــ = ٢ s باستخدام قانون النسبة E ــــــــــــــــــــــ = ٢ D $ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــ s باستخدام قانون النسبة E ـــــــــــــــــــــــ = ـــــــ D ، ـــــــــــــــــــ = ــــــ E ١  R = ٣ ; ، بالتعويضمن ( ١ ) عن  = ٨ ; ٣ و منها = R E ١٨ = R ٦ E ٨ + R ٤ = ١٠  R ١٠ E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١٤ : ١٤ : ٣ = ٤ + RQ; : ٢  RQ; : RQ; : إذا كان / ٤ + RQ; = ٢  RQ; E ـــــــــــــــــــــــــــ = ــــــ = ١ D $ ـــــــــــــــــــــــ = ــــــ × ـــــــــــــــــــــــــ E ـــــــــــــــــــــــ = ــــــ D ،  ١  ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــ و بالتعويضمن × ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ E ٠ = ٦٢  R ٩ + ٢ R ١١ s ـــــــــــــــــــ = ـــــــ × ـــــــــــــــــ E ٠ =  ٢  R  ٣١ + R ١١  E   ؟ R ، ; فما قيمة كل من ; RQ ; RQ ١  ١ + R ; R ; ٢ + RQ ; ١ + RQ ٤ ٥  ١ o ٠ = ١ + R ٣  ; E ١ + ٢  R ; ٢ + R ٤ ٥ ٢  R٢ ٢ + R ٤ ٥ ؟ R ، ; فما قيمة كل من ; ٢  RQ; ٤ + RQ ١٤ ١٤ ٢ مرفوض = ٤ s ٢ + R = + ٤ R إما E  ١ o ٦ + R ٢ = ; s ; = ٢ + R + + ٤ R أو ; ٢  RQ ; RQ ١٤ ٣ ; ٢  RQ; ١ + RQ ; ١  RQ ; RQ ١٤ ٣ ١ + ٢  R ; ٢ + R ١ + ١  R ; ١ + R ١٤ ٣ ٥ + R ٢ + R ٦ + R ١ + R ١٤ ٣ ٣١  ١١ +XM = ــــــــــ مرفوض R s ٠ = ٣١ + R إما ١١  ١٠ = ; E ١  ٢ و بالتعويض فى = R s ٠ = ٢  R أو  ١١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 12.
         ٢٣ ( ; ١١ أثبت أن : Q; ( ١٢ Q; إذا كان / D$ ; ١١Q; ١١ باستخدام قانون النسبة و ذلك بقسمة الطرفين على Q; ( ١٢ Q  ٢٣ ( ; E ١٢ ( ١١  ; E ١ ( ــــــــــــــــــــــــــ E ١ ( ــــــــــــــــ E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ Q٢٥ + ٤ Q٢٤ ٣ ١ و من ثم أوجد قيمة ـــــــــــــــــــــــــــــــــ  RQ١  ; × = ـــــــ RQ; أثبت أن : /  $ Q٢٣ ٢ + ٣ Q٢٤  ; ١  ;  RQ; = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــ × الطرف الأيسر = ـــــــ ; R ١  R ١ + R ١  ; R R; Q٢٥ + ٤ Q٢٤ ٣ ٣ Q ومن ثم المقدار = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ بالقسمة بسطاً و مقاماً على ٢٤ Q٢٤ + ٣ Q٢٣ ٢ ٢٥ ٤ Q Q٢٣ ٢ Q٢٤ ٣ المقدار = ــــــــــــــ + ١ ÷ ١ + ــــــــــــــــ E Q٢٤ ٣ ٥٨ ٢٤ × ٢٩ و باستخدام الإثبات المقدار = ـــــــ + + ٣ ـــــــ = ـــــــــــــــــ ٢٥ E = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ٩ ٢٧ × ٤ ٢٤ ١ ÷ ـــــــ ١ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٤ R ' ١ أوجد قيمة : ٨ ( ٧ QR ، ١ ( R Q إذا كان : ٩ /  ١ o R ( ٩ E ١ ( R Q٩ D$  ٢ o ٧ ( R E ١ ( ٧QR D ، ٨ = R s +XL R D ، ٩ ) R ) ٧ E  ٢  ،  ١  من  ٤٠٣٢٠ = ١ × ٢ × ٣ × ٤ × ٥ × ٦ × ٧ × ٨ = ٨ = ٨ '٨ = R '٨ E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ؟ R ٤ فى تتابع هندسى ، فما قيمة QR ، ٥ QR ، ٦ Q + ١ R إذا كان / D $ Q١ + R ، ٦ R ٤ فى تتابع هندسى QR ، ٥ Q ـــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ s ــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــ E ٥  R ٥ × ١ + R R × ٥  R ٦ ١ + ٥  R ٥ R  ١ + R ٤  R ٥ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ E ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ E ٥ R ٥ ٦  ٢٩ = R s ٥ + R ٥ = ٢٤  R٦ E ـــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ E   ; ١٢ Q; ١١Q ١ + ١٢  ; ١٢ ; R R ٥ Q Q١ + R ٦ R ٤ Q R ٥ Q Q١ + R ٦ R ٥ Q R ٥ Q R ٤ Q ١ + R ٦ ٤  R ٥  ١٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 13.
         أعلنت شركة عن وجود ثلاث وظائف بها ، تقدم لهذه الوظائف خمسة أشخاص / ٣ × ٤ × ٥ ٣ ٣ = ــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ = ١٠ طرق Q عدد الطرق = ٥ $ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ بكم طريقة يمكن انتخاب لجنة للطلبة بها ٦ أعضاء من بين ٢٠ طالباً ، ١٠ طالبات / ٤ = ــــــــــــــــــــــــــــ = ٤٨٤٥ Q يمكن انتخاب ٤ طلاب من بين ٢٠ طالباً بطرق عددها = ٢٠ $ ٢ = ـــــــــــــ = ٤٥ Q و يمكن انتخاب طالبتين من ١٠ طالبات بطرق عددها = ١٠ ٢١٨٠٢٥ طريقة = ٤٥ × عدد الطرق الممكنة لانتخاب اللجنة = ٤٨٤٥ E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٦ = ١Q يمكن اختيار شارع من ٦ شوارع بعدد من الطرق = ٦ "  إلى  من "$ ٤ = ١Q يمكن اختيار شارع من ٤ شوارع بعدد من الطرق = ٤ "  إلى  من " ٢٤ طريقة = ٤ × عدد الطرق الممكنة = ٦ E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ بكم طريقة يمكن انتخاب لجنتين كل منهما تتكون من ٣ أشخاصمن بين ١٢ شخصاً / ٣ = ــــــــــــــــــــ = ٢٢٠ طريقة Q يمكن انتخاب اللجنة الأولى بعدد من الطرق = ١٢ $ فإذا انتخبنا ثلاثاً " اللجنة الأولى " يتبقى ٩ أشخاصينتخب منهم ٣ للجنة الثانية بعدد من الطرق   ٣ × ٤ × ٥ ١ × ٢ × ٣ ١٧×١٨×١٩×٢٠ ١×٢×٣×٤ ٩ × ١٠ ١ × ٢ و أربعة شوارع تؤدى من المكان ،  إلى المكان  يوجد ستة شوارع تؤدى من المكان / ؟  بحيث تمر بالمكان  إلى  كم طريقة يمكن اختيارها لتؤدى من ،  إلى المكان  ١٠×١١×١٢ ١×٢×٣ بكم طريقة يمكن اختيار ٣ أشخاص ؟ بحيث تتكون اللجنة من ٤ طلاب و طالبتين ؟ بحيث لا يدخل شخص فى كلتا اللجنتين ؟ ٣ = ــــــــــــــــــــ = ٨٤ طريقة Q ٩ = ٧×٨×٩ ١×٢×٣ ١٨٤٨٠ طريقة = ٨٤ × عدد الطرق التى يمكن بها انتخاب اللجنتين = ٢٢٠ E  ١٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 14.
             ١ ] احسب قيمة كل مما يأتى : ] ; ٢ ] إذا كان : ] ; ٣ ] إذا كان : ] فأوجد قيمة ; ٣ = ــــــ ٣٠ Q ; ١٠Q ; + , ٤ ] إذا كان : ] ، ٥٦ = ٣Q , ; ٥ ] إذا كان : ] ١٢٠ فأوجد قيمة ٢ = ٣Q ; ; ٦ ] إذا كان : ] = R٢ + ٢RQ ; ; ٧ ] أثبت أن : ] ; ٨ ] أثبت أن ] : RQ ١  ; RQ ١ = ـــــــــ و من ثم أوجد ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ; ٩ ] إذا علم أن ] : RQ ; ١٠ ] بكم طريقة يمكن انتخاب لجنتين تتكون كل منها من أربعة أشخاصمن بين عشرة أشخاصبحيث لا يدخل ] ١١ ] بكم طريقة يمكن تكوين فريق من سبعة أعضاء من بين تسع بنات و خمسة أولاد بحيث يحتوى الفريق على ] ١٢ ] بكم طريقة يمكن انتخاب لجنة بها ثمانية أعضاء من بين ١٥ طالباً و ٨ طالبات بحيث تتكون اللجنة من ] ; + , ١٣ ] أكتب مفكوك ] ومن ثم أثبت أن : ١٢ يقبل القسمة على ٥ ٧ ; Q      ٩٨Q١٠٠    ٧Q٢٠    ٤Q٢٠    ٦Q١٣    ; ٤٣٥ فأوجد قيمة = ٢Q ١ ٣ ,  ; ٣ فأوجد قيمة = ٢Q ٥ + ;Q ٥ ، و كان : + R٢ Q ; = ١ + RQ ١ + ; ١ ومن ثم : + R Q Q١٧ + ٦ Q١٧ ٥ أوجد قيمة : ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ    Q١٨ ٥ ١٢٠ ، أوجد = ٣Q ; ٣ + R٧Q RQ = ١  ٢ + ; ١ + RQ Q٢٥ + ٤ Q٢٤ ٣ Q٢٤ + ٣ Q٢٣ ٢ ٢ + ١ + RQ ; ; R + RQ ; أثبت أن :    ; + RQ ; : ٢  RQ ; R ، ; ١٤ فأوجد قيمة كل من : ١٤ : ٣ = ٤ + RQ شخص فى كلتا اللجنتين ؟ ثلاثة أولاد فقط ؟ خمسة طلبة و ثلاث طالبات ؟  ١٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 15.
         ــ ٣ ; ٣ ٥ ــ ٢ ; ــ ١ R ــ ; ; ١ ] إذا كان ـــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ فأوجد قيمة ] ــ ١ R ــ ; ; ــ ١ R R ــ ; R ; ٢ ] أثبت أن ــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ ] ــ ١ ; R مجموعة الأعداد الطبيعية  L  ٥ حيث Q١ +  × ١٠ = ٣ '١ +  ٣ ] حل المعادلة ]  ١  R ;  R ;  :  ١ + ;  ; = ١ + RQ١ - ; : ١ + RQ + ١ ; ٤ ] أثبت أن ] ; ٥ ] إذا كان ] ، ٢ = ٢ ' ; + , ; ٦ ] إذا كان ] ، ٢١٠ = R ' ; R٢ Q فأوجد قيمة ١٢ R Q و التى تجعل هذه العلاقة صحيحة ; ثم أوجد أقل قيمة للعدد ; ٧ ] إذا كان ] ١٢٠ = R ' ; , ٨ ] إذا كان ] ، ٣٥ = ٤  ,Q ;  ١ × ٠٠٠ × ٧ × ٩ × ١١ × ٥ ٥ ٢ = ٩ ] أثبت أن ١١ ] ; ١٠ ] إذا كان ] = ٧Q ; ٢ RQ١٣ × ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = RQ ١١ ] أثبت أن ١٣ ] ; × ٩٠ = RQ١ + ; × ٩ = ١ + RQ + ٢ ; ١٢ ] إذا كان ] ١٣ ] أثبت أن ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ ] R ٤ فما قيمة  R Q٢٤ = ١  R ٢Q ١٤ ] إذا كان ٢٤ ] ; ١٥ ] إذا كان العامل الأوسط فى مفكوك ] = ٤ ; ٧ يساوى ٩ و كان س ٢ ــ '       ٦ Q١٦ : ٦ Q و من ثم أوجد ١٨ ٩٠ فأوجد قيمة = ٢ ' ; + , R ، ; ١٠٥ فأوجد قيمتى = R Q = ,Q ; فما قيمة كل من  ١٣Q ;  R ١٥  R ١٤   ١  R  R R ، ; فأوجد قيمة كل من ; ٢ × ١Q ; ٢Q ;٣ ٣Q ;٢ ٢Q Q١  ; ٣ ٢ ;  ,Q ؟ ; ، , ١ فما قيمة + ,Q ؟ ;Q٢٣ ، ١٨Q ١ - RQ ؟ ٢ ' + X L فأوجد س حيث س  ١٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 16.
         صــ ١ فأوجد قيمة س ،ص Q س × ص = ٢ Q ص + ١ ، س Q ص = س Q ١٦ ] إذا كان س ] ; ١٧ ] إذا كان ] ; ، ١ : ٢ = RQ٢ + ; : R' + ٢ ; ١٨ ] إذا كان ] : ١ + RQ ; ; ، ١٠ + R Q٣٠ = RQ ١٩ ] إذا كان ٣٠ ] ; ٢٠ ] أثبت أن ] : RQ ; ; ٢١ ] إذا كان ] : RQ ; : ١ + RQ ; ; ٢٢ ] إذا كان ] = RQ ; ، ١ + RQ ; ; ٢ ; (  ــ ١ ; ٢  × ٠٠٠٠٠ × ٥ × ٣ × ١ ) ; ٢٣ ] اثبت أن ــــــــــــــ = ٢ ]  ٩ G س G ، ٥ } L س : س  = S ٢٤ ] إذا كانت ] ; ٢٥ ] إذا كان ] R ، ١ ( RQ ٢٦ ] إذا كان ٧ ] ; ٢٧ ] إذا كان ] × ٢ + RQ ; ; ٢٨ ] إذا كان ] ٢٩ ] أثبت أن ٢٥ تقبل القسمة على ٥ ٧ ١٣ ] ; ٣٠ ] أثبت أن ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ٢ ]   ٣ : ٥ = RQ × ٩٠ = ٧' ــ ٢ ; R ــ ; ٥ فأوجد قيمة '  ــ ١ R  R :  + ٢ R ــ ;  + ١ R ــ ;  = ــ ٢ RQ ؟ R ، ; ٣ : ٢ : ١ فما قيمة كل من = ٢ + RQ : ١ + RQ ; ــ ١ = ــــــــ RQ ٧ ٦ ; + فأوجد قيمة X L ; ٤ ، Q ٨Q١٥ : ١٠Q و من ذلك أوجد قيمة ١٥ ؟ Y كم عدد عناصر  SL { ،  ، A :  { ،  ، A = Y ، تحقق المتباينة السابقة ; ٧ فأوجد أقل قيمة للعدد ' R ١ فما قيمة ٦ ــ ( ٥Q F RQ ١ ٦ G ٥Q ; ; فأوجد ٢ R ــ ;Q ؟ R ، ; فما قيمة كل من ( ٨' ; ; × ١ + RQ ; ــ ١ RQ ١ + R ٢ F ; فأثبت أن ٣ ــ Q ; ; ٥ فأوجد قيمة + ٢; ٣ ــ ; ٢ = ــــــ Q ; ٢ × ٠٠٠٠٠٠ ×  ٢ + ;  ١ + ;   ــ ١ ; ٢  × ٠٠٠٠٠٠ × ٥ × ٣ × ١  ١٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 17.
         ١ ] أوجد قيمة كلاً مما يأتى : ] ٨ل ٤ ( ب ) ٩ل ١ ــ ٩ل ٣ ــ ٩ ل ٢ + ٨ ل ٢ + ( أ ) ٨ ل ٠ ٢ ] أختصر كلاً مما يأتى : ] ٧ ٤ ٣ ] أثبت أن : ] ١٥ ١٢ ٩٩ ١٠٠ ١ + ; ــ ١ ; ٢ + ; ;  ٢ + ;٢  ٤ ] أثبت أن : ] ــــــــــــــــ + ـــــــــــــــ + ـــــــــــــــ = ــــــــ ٤ ٥ ٦ ٠ ٦ ٤ ٣ ٥ ٥ ٢٩ × ٦ ١٩ ٢٩ ل ٧ = ــــــــــــــــــ × ٥ ] أثبت أن : ١١ ل ٥ ] ٥ ١٣ ; ١ ــ + ; = ;  ــ ١ ;  + ــ ١ ; ; ٦ ] أثبت أن : ]  + ١ R ــ ;  : ٧ ] أثبت أن ] ل; ; = ــ ١ R ٥٠ ٥٠ ٢ ×  ٩٩ × ..... × ٥ × ٣ × ١  = ٨ ] أثبت أن : ١٠٠ ] ١٦ ٨ ; ١ ــ + ; ; + ١ + ; [ [ ٦ ; ٩ ] إذا كان ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــ أوجد ] [ [ ١٠ ; ٩٠ أوجد قيمة = ل ٢ ; ١٠ ] إذا كان ] [ ١٦٨٠ أوجد قيمة م [ ٨ = ١١ ] إذا كان مل ٤ ] [ [ ٧٢٠ ; ٩٩٠ أوجد قيمة = ــ ١ ل ٣ ; ١٢ ] إذا كان ٢ ] [ [ ٣٣٦ R ل; = ٢٤ فأوجد قيمة ٢ ; ١٣ ] إذا كان ]       [ ١٤٣٢٨٠ ، ٧٠٠ ، ٤٤١ ، ١٧٣٧ ] ١٣ ل ٥ + ( جـ ) ٧ ل ٤ ــ ٦ل ٣ ــ ٥ ل ٢ ( د ) ١٠ ل ٣ ــ ١٢ ل ٤ [ ( أ ) ــــــــــ ، ــــــــــ ، ـــــــــــ [ ٠,٠١ ، ٢٧٣٠ ، ٢١٠ [  ١ + ;  ــــــ ،  ١ + ;  ; ] ( ب ) ـــــــــــــــــــــ ، ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــ = ١٠ × ٩ ل ٦ ( ب ) ـــــــــــ = ( ١٢ ل ٥ ــ ١٩ ل ٤ ) ( أ ) ٦ل ٢ ٢ ٣ ٣ ٤ ١ ٢ مسائل على قوانين التباديل فقط : ــ ١ ل ; = ــ ١ R ل; R  ١٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 18.
         ] إذا [ ٤ كان ــ ; ٥٠٤٠ = ١ فأوجد قيمة [ ; ٢ ١٤ ] [ ] إذا كان ل = فما قيمة ــ ٢٤ ] ١ R ٦٧٢٠ ٨R ١٥ ] [ ٨ ٧ ; ٢ ] إذا كان ل ; ــ ل أوجد قيمة [ ٣ × ١٤ = ; ٤ ١٦ ] أو [ ٥ ; ١] إذا كان ; × + ل ٣ ٣٠ = ١; ٥ ١٧ ] ــ ل أوجد قيمة [ ] إذا كان ل [ ٥ ; ٥ : ــ ل ٧٢ = ١;٢ : ١+; ٢ ٣ ٤ فأوجد قيمة ١٨ ] [ ] ; ; ; [ ٦٥ ] ٢ ١ ٠ ٧٢ = ١ ; ١ ; إذا كان + : ــ ، أوجد قيمة ل + ل + ل ١٩ ] [ ١٢ ; ] إذا كان ـــــــــ + ـــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ فأوجد قيمة ٢١٠ ٢ ١ ٢٠ ] [ ٢ + ; ١ + ; ; ] [ ٨ ; إذا كان ــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــ = ــــــــــ فأوجد قيمة ٢١ ] [ ٣ ــ ٢ ; ٥ ــ ١ ; ٢٠٨ ; [ [ ٣ ; = ١٠ : ٧ فأوجد قيمة ; ــ ١ل ;٢ : ــ ١ ; ١ل +; ٢٢ ] إذا كان ٢ ] [ [ ٣ R ٤٢ : ١ فأوجد قيمة = + ١ R ٩ل : ــ ١ R ٢٣ ] إذا كان ٩ل ] = ٤ R ٢٤ ] إذا كان ٦ ل ] ١ + R ٢ + R ٢ + R ٣ + R ــ ١ R R [ [ ٩ ، ٦ ; ، R ٧٢٠ فأوجد قيمة كل من = R ، = ٦٠٤٨٠ R ل; ٢٥ ] إذا كان ] [ ٦٧٢٠ ، س ــص = ٧٢٠ فأوجد قيمة كل من س ،ص [ ١ ، ٧ = ٢٦ ] إذا كان س + ص ل ٥ ] R ل; = ٢ R ١ ل + ; ، ــ ١ R ــ ١ ل ; × ٥ = ــ ١ R ل; × ٢٧ ] إذا كان ٣ ] ; ٢ ; (  ــ ١ ; ٢  × ٠٠٠٠٠ × ٥ × ٣ × ١ ) ; ٢٨ ] أثبت أن : ــــــــــــــ = ٢ ] R + R ــ ١ ل ; = R ل; ٢٩ ] أثبت أن : ]  + ١ R ــ ;  : ; = ــ ١ R ــ ١ ل ; ــ ١ : R ل ; ٣٠ ] أثبت أن : ]   R ٦ل ثم أثبت أن : R ــ ١ فأوجد قيمة ٢ ٣ [ ــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــ = ـــــــــ [ ٣ [ [ ٣ ، ٥ R ، ; أوجد قيمة كل من ــ ١ ل ; ــ ١ R  ١٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 19.
          ٥ G س G ٢  ، XL س : س  = S ٣١ ] إذا كانت ]  ١٥ G س G ط ، ٤ L س : س  = S ٣٢ ] إذا كانت ] ٣٣ ] حديقة لها سبعة أبواب ، بكم طريقة يمكن لشخص الدخول إلى الحديقة و الخروج منها بشرط أن لا يسمح له بالخروج ] [ من أى باب دخل منه ؟ [ ٤٢ ٣٤ ] نزل ٥ سياح بفندق به ٩ حجرات خالية ، فبكم طريقة يمكن توزيع هؤلاء السياح على هذه الحجرات بشرط أن يشغل ] [ كل منهم حجرة على انفراد ؟ [ ١٥١٢٠ ٣٥ ] يستطيع المغادرة لمصر الجديدة إلى الجيزة ماراً بميدان التحرير أن يأخذ ٥ خطوط أتوبيس من مصر الجديدة ] فى الحالات الآتية :  دمنهور  ٣٦ ] أوجد عدد التباديل التى يمكن تكوينها من أحرف كلمة ] أوجد بفرضعدم السماح بتكرار أى رقم كل مما يأتى :  ٧ ، ٦ ، ٥ ، ٤ ، ٣  = S ٣٧ ] إذا كانت ] [ [ ١٢٠ S كم عدد مكون من ٥ أرقام يمكن تكوينه من عناصر  أولاً  [ ٧٢ ] بشرط أن لا يكون رقم آحاده ٤ أو ٥ S كم عدد مكون من ٥ أرقام يمكن تكوينه من عناصر  ثانياً  [ ١١٤ ] بشرط أن لا يكون رقم آحاده ٤ ورقم عشراته ٥ S كم عدد مكون من ٥ أرقام يمكن تكوينه من عناصر  ثالثاً  و بفرضعدم السماح بتكرار أى رقم أوجد عدد كل من الأعداد  ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١  = S ٣٨ ] إذا كانت ]   [ [ ٥٦ Y أوجد عدد عناصر   b A ، SL  ، A :   ، A = Y ، [ [ ١٣٢٠ X أوجد عدد عناصر { b  b A ، SL { ،  ، A :  { ،  ، A  =X، إلى التحرير و أخذ ٧ خطوط أتوبيس من التحرير إلى الجيزة . فبكم طريقة يمكن لشخص الانتقال من مصر [ الجديدة و العودة إليها ماراً بالتحرير فى الذهاب و الإياب بشرط عدم استخدام أى أتوبيس أكثر من مرة واحدة ؟ [ ٨٤٠ [ إذا كان كل تبديل يحتوى على ٣ أحرف فقط [ ١٢٠  أولاً  [ إذا كان كل تبديل يحتوى على ٦ أحرف بالضبط [ ٧٢٠  ثانياً  [ إذا كان كل تبديل يبدأ بحرف " م " وينتهى بحرف " و " [ ٢٤  ثالثاً  :S الآتية المكونة من عناصر [ الأعداد التى تحتوى على ٣ أرقام بالضبط [ ٦٠  أولاً  [ الأعداد التى تحتوى على ٣ أرقام على الأكثر [ ٨٥  ثانياً  [ الأعداد التى تحتوى على ٣ أرقام على الأقل [ ٣٠٠  ثالثاً   ١٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 20.
         ;Q١ + ; ، ٤٩Q٥٠ ، ١٨Q٢٠ ، ٤Q١٥ ، ٣Q ١ ] أوجد قيمة كلاً من : ٨ ] ٣٢ = ٥Q٥ + ٤Q٥ + ٣Q٥ + ٢Q٥ + ١Q٥ + ٠Q ٢ ] أثبت أن : ٥ ] ٦ =  ٣Q٧ + ٢Q٦  ــ ٢  ٢Q٩ + ٤Q٨  : ٣ ] أثبت أن ] ٦٨Q٧٠ = ٢٢Q٢٣ ٥ + ٢٢Q ٤ ] أثبت أن : ٢٥ ] ; ٥ ] إذا كان ] = ٩Q ; ٦ فأوجد قيمة Q ; ; ٥ أوجد Q ــ ٣ ; ١٣ = Q ــ ٣ ; ٦ ] إذا كان ] [ ١ ، ٢١٠ ] ;Q٢١ ، ١٩Q [ ١٢ ] ــ ٣ RQ ــ ٨ فما قيمة ١٢ R٢Q٢٠ = R٥Q ٧ ] إذا كان ٢٠ ] [ ٤٩٥ ، ٥٦ ] RQ١٢ ، ٥QR ٧ فأوجد قيمة + R٣Q٤٢ = ــ ٥ R٢Q ٨ ] إذا كان ٤٢ ] [ ٢٨ ] ٢ ; ; ٢Q ٣٦ = ٢ ;Q ٩ ] ] إذا كان فما قيمة ــ ــ [ ٨٤ ] ] إذا كان + فما قيمة ــ Q ٣ ; ٢ ٣٢١ = ١ ; ١ ــ ;Q ١٠ ] ; ١١ ] إذا كان ] ; إذا كان :  [ ١٢ ]         مسائل على قوانين التوافيق فقط : [ ، م [ ١٧ ، ٧ ; + ٣ أوجد ;Q = م ;Q ٣٥ ، م = ٣Q ٥ ٣ ١٢٠ أوجد = ــ ٣ ;Q ١ + ; [ ٣٣٠ ] ٤Q ١١ ٣ [ ١ + ; ، ٥٠ ، ١٩٠ ، ١٣٦٥ ، ٥٦ ] ، ــ ١ ;Q ٢ + ; [ ١٣٦ ، ١٥ ] ;Q  ٢٠   [ ٣ أو ١٠ ] ٧Q ٢س + ١ = س + ٤ Q ٢س + ١ [ ١٣ ] ; [ ١٤ ] ٣ = ــــــ Q ; [ ٧ ] ٥Q [ ٦ ] ; ٧ = ٧ + ــ ٢ ; Q١ + ; :  [ ١٥ ] ;٢ [ ١٦ ] : ٣Q ; [ ٤ ] ٣ : ٢٨ = ٢Q ; [ ١٧ ] : ٤Q ــ ٢ ; [ ٧ أو ٨ ] ٢ : ٧ = ٣Q ; [ ١٨ ] + ٤Q ــ ١ ; ٣ = ـــــــ Q ــ ١ ; [ ٧ ] ٢Q PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 21.
           [ ١٩ ] ٨ [ ــــــ ، ــــــ ، ــــــ ، ــــــ ] Q١٣ : ٧Q١٣ + ٥Q١٣iv [ [ ١٢ ; ٤ : ٣ أوجد قيمة = ٦Q١ + ; : ٥Q + ١ ; ٢٠ ] إذا كان ] [ [ ٣ R ٥ : ٩ أوجد قيمة = ١ + RQ١٣ : ٢ + RQ ٢١ ] إذا كان ١٣ ] [ [ ٩ ; ٩ : ١١ أوجد قيمة = ــ ١ ;Q١ + ;٢ : ; Q١ + ; ٢٢ ] إذا كان ٢ ] ; ٢٣ ] إذا كان ]   ١٨Q٢٩ : ١٢Q٢٩iii ٩Q٢٣ : ٨Q٢٣ii ٧Q١٩ : ٨Q١٩i ٣ ٢ ٣ ٥ ٣ ٢ ٧ ٣ ، ٣ : ١ = RQ ; = ٣Q ; ٧ ٦ [ [ ٤ ، ١٥ R ، ; ١٢ أوجد كل من Q ٣ ٢ ٥ ٦ ; R ــ ; : ــ ١ RQ ; Q٢٧ + ١٩ Q٢٦ ١٩ Q٢٦ ١٩ ٣٥ ٨  ٢١   ; إذا كان :  [ ٢٤ ] : RQ ; ــ ٥ R٣Q٧ = RQ٧ ، ٣ : ٨ = ــ ١ RQ [ [ ٣ ، ١٠ R ، ; أوجد كل من ; ٢٥ ] إذا كان ] ( ٩Q ; ١٧ ( ; ٨ أثبت أن Q ; ٢٦ ] إذا كان ] × ٨Q ; F ٦Q ; × ٧Q ; ١٣ F ; ٥ أثبت أن Q ; إذا كان :  [ ٢٧ ] : RQ ; ــ ١ = ـــــــ ، RQ ; = RQ ; ١ + RQ [ ١٢ = R ، = ٢٥ ; [ R ، ; أوجد قيمة كل من ; إذا كان :  [ ٢٨ ] : RQ ; ٣ : ٢ = ١ + RQ ; ، : ــ ٢ RQ ; [ ؟ [ ٣ ، ٩ R ، ; ٤ : ١ فما قيمة = ــ ١ RQ ; إذا كان :  [ ٢٩ ] : RQ ; : ١ + RQ ; ٤ : ٣ : ٢ = ٢ + RQ [ [ ١٣ ، ٣٤ R ، ; أوجد قيمتى ; إذا كان :  [ ٣٠ ] ٤ وسط حسابى بين Q ; ٥ ، ـــــــ Q ; [ [ ٨ أو ٩ ; ٣ أوجد قيمة Q ــ ٢ RQ١٢ × ــ ٢٧ ، ١ RQ١٢ × ٤ ، RQ١٢ × إذا كونت الكميات ـــــــ :  [ ٣١ ] [ ؟ [ ٥ أو ٩ R متتابعة هندسية ، فما قيمة ; ٣٢ ] أثبت أن ] : RQ ــ ١ ; ١ ( R ( ; = ــــــــــــــــ حيث R Q و من ثم احسب قيمة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ [ ـــــ ] PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 22.
         ; : R Q + ١ ; ٣٣ ] أثبت أن ] ٣٤ ] أثبت أن ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــ ] ; ٣٥ ] أثبت أن ] + RQ ; = ١ + RQ ١ + ; ١ و من ثم : + RQ  ٧ ، ٦ ، ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢  = S ٣٦ ] إذا كانت ] ٣٧ ] أوجد عدد طرق الاختيار فى كل من الحالات الآتية : ] ٣٨ ] فصل مختلط به ١٢ ولد ، ٨ بنات و المطلوب اختيار فريق مكون من ٥ أفراد من هذا الفصل . ]   ; = ــــــ ٢ R Q١ + ; و إذا كان ٢ ، ــ ١ R Q ; [ [ ٧ ، ٤ R ، ; أوجد قيمتى ; + RQ ; R ( + ١ ; ــ ١ = ـــــــــــــــــ حيث RQ ٩ ٧ ١ + RQ ; RQ ١ + ; R ١ + ; ١ + R ; + ٩Q ; ٨Q [ و استخدم ذلك فى حل المعادلة ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــ [ ٢٠ ; ٨Q = ــ ٣ R Q ; ــ ٧ R Q ٧ ٣ أثبت أن  i  ; ٢ + RQ ; + ــ ١ RQ ; RQ١٧ + RQ١٧ ١ + = ــ ٢ RQ ٢ + ; RQ [ = ٥ R حل المعادلة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــ [  ii  RQ١٧ + ١ + RQ١٧ ٢ + ٧ ١٢ [ [ ٦٤ S أوجد عدد جميع المجموعات الجزئية للمجموعة   ٥٢  سحب ورقتان معاً من كوتشينة كاملة العدد  i  من بين ١٥ لاعب  ١١ لاعب  تكوين فريق كرة قدم  ii  تكوين لجنة بها ٣ رجال و سيدتين من ٧ رجال ، ٥ سيدات  iii [ توزيع ٨ جوائز بالتساوى على ٤ أشخاص [ ٢٥٢٠ ، ٣٥٠ ، ١٣٦٥ ، ١٣٢٦  iv فما هو عدد طرق اختيار هذا الفريق فى كل من الحالات الآتية :  [ ١٥٥٠٤ ] إذا كان أعضاء الفريق من أى جنس  i  [ ٧٩٢ ] إذا كان أعضاء الفريق من الأولاد فقط  ii  [ ٥٦ ] إذا كان أعضاء الفريق من البنات فقط  iii [ ٨٤٨ ] إذا كان أعضاء الفريق من نفس الجنس  iv [ ٦١٦٠ ] إذا كان الفريق المختار به ٣ أولاد وبنتان  v  ٢٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 23.
         ٣٩ ] صندوق يحتوى على ٧ كرات واحدة فقط منها حمراء و الكرات الباقية من ألوان أخرى . ] ٤٠ ] صندوق يحتوى على ١٥ برتقالة منها ٦ معطوبة و الباقى سليمة . ] خمس نقط فى مستوى واحد  ،  ،  ،  ،  حيث   ،  ،  ،  ،   = S ٤١ ] إذا كانت ] ٤٢ ] رُشِـح ١٠ أشخاصلاختيار ٤ وزراء من بينهم ، فبكم طريقة يتم هذا الاختيار ؟ ] ٤٣ ] إذا كان فريق كرة القدم بالنادى الأهلى به ٢٠ لاعباً منهم ٢ لحراس المرمى ، ١٠ للدفاع ، ٨ للهجوم . ] [ بكم طريقة يمكن تكوين فريق مكون من ١١ لاعباً بحيث يحتوى على حارس مرمى ، ٧ للدفاع ، ٣ للهجوم [ ١٣٤٤٠ ٤٤ ] اختير ٣ أشخاصمعاً من مجموعة مكونة من ٥ رجال ، ٤ نساء . ]   بكم طريقة يمكن اختيار ٤ كرات معاً من الصندوق فى كل من الحالات الآتية :  [ ٣٥ ] إذا كانت الكرات الأربعة من أى لون  i  [ ٢٠ ] إذا كانت واحدة فقط من الكرات الأربعة حمراء  ii  [ ١٥ ] إذا كانت الكرات الأربعة ليست حمراء  iii [ ٣٥ ] إذا كانت الكرات الأربعة تحتوى على واحدة على الأكثر حمراء  iv ما هو عدد الطرق التى نختار بها ٤ برتقالات من الصندوق بحيث أن :  [ ٥٤٠ ] برتقالتين منها معطوبتين بالضبط  i  [ ١٢٣٩ ] برتقالة واحدة منها على الأقل معطوبة  ii  [ ١٣٥٠ ] البرتقالات المعطوبة منها لا تزيد عن ثلاثة  iii و أى ثلاث منها ليست على استقامة واحدة . أوجد :  S عدد القطع المستقيمة التى طرفا كل منها ينتميان إلى  i  S عدد المثلثات التى رؤوس كل منها تنتمى إلى  ii  [ ٦ ، ١٠ ، ١٠ ]  وتشترك جميعاً فى الرأس S عدد المثلثات التى رؤوس كل منها تنتمى إلى  iii و إذا اشترط وجود شخصمعين فى أى اختيار فبكم طريقة يتم الاختيار ؟ [ ١٢٦ ، ٨٤ ، ٢١٠ ] ؟ و إذا استبعد شخصمعين فبكم طريقة يتم الاختيار أوجد بكم طريقة يمكن اختيار الأشخاصالثلاثة فى كل من الحالات الآتية :   إذا كان الأشخاصالثلاثة من أى جنس  i  إذا كان الأشخاصالثلاثة من نفس الجنس  ii  إذا كان الأشخاصالثلاثة فيها اثنان فقط من نفس الجنس  iii [ ٨٤ ، ٧٠ ، ١٤ ، ٨٤ ] إذا كان الأشخاصالثلاثة فيها اثنان على الأقل من نفس الجنس  iv  ٢٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 24.
         ٤٥ ] تحتوى ورقة أسئلة على ٨ أسئلة و على الطالب أن يجيب على ٦ منها بشرط أن يتضمن الاختيار سؤالين ] على الأقل من الأربعة الأولى ، و سؤالين على الأقل من الأربعة الأخيرة ، فبكم طريقة يمكن للطالب اختيار [ هذه الأسئلة ؟ [ ٢٨ مسائل عامة على التباديل التوافيق : [ ٧٠ ] ؟ ٤Q + ١ ; ٢١٠ فما قيمة = ل ٣ ; إذا كان :  [ ١ ] ; إذا كان :  [ ٢ ] ٥٦ أوجد = ــ ٣ ;Q ل; [ ١٦٨٠ ] ٤ [ [ ١٢ ; ٢ أوجد قيمة Q ــ ١ ; × ٤ = ل ٣ ; إذا كان :  [ ٣ ] ; ; [ ٥ ; ٢ ; = ٣ ;Q × ٦ :  [ ٤ ] إذا كان ــ لــ فما قيمة ؟ [ ١ ; ٢ : ١+ ; [ ٤ ; ; ٢ ١ ; ١ ; :إذا كان ل ــ ل + = ــــــ ــ فما قيمة ؟ [  [ ٥ ] ; × = ١٢٠ R ل; إذا كان :  [ ٦ ] ; ، = ٣٦٠ R ل; إذا كان : [ ٧ ] ; إذا كان :  [ ٨ ] ; ، = ٢٤ R إذا كان :  [ ٩ ] ; إذا كان : [ ١٠ ] = ٣ + RQ ; ; ، ٧٢٠ = ل ٣ ; +  إذا كان :  [ ١١ ] ; ــ ٣ ، ١ R ل; = ٨ R ل; إذا كان : [ ١٢ ] ; ــ ٢ ، ١٥٦ = ل ٢ ;٢ +  إذا كان ٣ :  [ ١٣ ] ٥٠٤٠ = ١ + RQ١ + ; : + ١ R + ١ل ; إذا كان : [ ١٤ ]   ٢ ٣ [ ؟ [ ٥ R فما قيمة R ــ ;Q ١٥ فما قيمة ٢ = RQ R [ ٢٨ ] ؟ ;Q [ [ ٥ ، ٥ R ، ; ١٢٠ أوجد قيمة = R ، ١ = RQ ١٥ أوجد = RQ لR + ; [ ٩٠ ] ٢ ، R ٧ ــ Q ل; ٧٢٠ = R [ [ ٣ ، ١٠ R ، ; أوجد قيمة كل من [ [ ٣٥ ; ــ Q ٣ أوجد قيمة = ١Q ٨ = RQ ; ــ ١ RQ [ [ ٣ ، ١٠ R ، ; أوجد قيمة كل من [ ٣٦ ] ;٢ + Q ٦ أوجد ٣ = ٢Q [ [ ٨ ، ٦ ; ، R ٣ فأوجد قيمتى : ٢ = ــ ١ RQ١ + ; : RQ١ + ; ،  ٢٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 25.
              عدد صحيح موجب فإن : ; عددين حقيقيين ،  ،  إذا كان   +   ;  = ; + ;  ١ ١Q ; + ــ ١ ;  ٢ ٢Q + ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ + ــ ٢ ;  RQ R  ; + + ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ R ــ ; ٢ × ٣ ١ × ٢ ٣ × ٤ ١ × ٢ س + ٨ص  ٣ ٤ ــ ٣ص  +  ٢س ٣ ;  ٢٥      إذا رُفِـع إلى أى أس   +   هى قانون لإيجاد ما يساويه أى مقدار ذى حدين مثل :  بدون إجراء عمليات الضرب بشرط أن يكون الأس عدداً صحيحاً موجباً .        " + ١ " أى أن : عدد الحدود = قيمة الأس+ ١ ; ١ ] عدد حدود المفكوك = ] متزايدة بالتدريج بمقدار ١  متناقصة بالتدريج بمقدار ١ ، و أسس الحد الثانى  ٢ ] أسس الحد الأول ] ; فى أى حد =  ،  بحيث يكون مجموع أسس ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣ س + ٢ص  أوجد مفكوك / ٣ ٢ص  + ٢ س  ٢ص  ٢Q٣ + س ٢  ٢ص  ١Q٣ + ٣ = س ٣  س + ٢ص  $ ٤ص ٢  س ٢ + ــــــــــــ  ٢ص  ٣ + = س ٣ ( = ) ١٢ ص ٢ س + ٨ص ٣ + ٦صس ٢ + = س ٣ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٤ ٢س ــ ٣ص  أوجد مفكوك /  ٢س  = ٤ ٢س ــ ٣ص $ Q٤ + ٤  ٢س  ــ ٣ص  ١ Q٤ + ٣  ــ ٣ص ٢ ٢  ٢س ٢  ــ ٣ص ٣Q٤ + ٢س + ٨١ ص ٤ × ٢٧ ص ٣ × ٤س ٢ ــ ٤ × ٩ص ٢ × ٨س ٣ + ـــــــــــــــ × ٣ص × ١٦ س ٤ ــ ٤ = ( = ) ٢١٦ ص ٢س ٢ ــ ٢١٦ ص ٣س + ٨١ ص ٤ + ١٦ س ٤ ــ ٩٦ صس ٣ = PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 26.
           ٤ × ٥ × ٦ ١ × ٢ × ٣ ٥ × ٦ ١ × ٢      ٢٦       إذا كانت إشارة الحد الثانى سالبة تكون الحدود الناتجة تبادلية الإشارة :  ; ـ ;  = ;  ــ    ١ ١Q ; + ــ ١ ;  ٢ ٢Q ; ــ ٢ ـ ;  ٣ ٣Q ;  ٠٠٠٠٠ + ــ ٣ ; ٠٠٠٠٠ ، ٦ "الزوجية الرتبة" سالبة & ، ٤& ، ٢& ٠٠٠٠٠ ، ٥ "الفردية الرتبة" موجبة ، بينما تكون الحدود & ، ٣& ، ١& و تكون الحدود ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :  ١ =   ; + ١ = ;  + ١  +  ١Q ; + ٢ ٢Q ; ; + ٠٠٠٠٠٠٠ + ٣ ٣Q ; ١ ـــ = ;  + ١  +  ١Q ; ٢ ـــ  ٢Q ; ;  ٠٠٠٠٠٠٠ + ٣ ٣Q ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ١ + س  إذا كان / ; ; + ١ = ١ س + Q ; ; ٠٠٠٠٠٠٠ + س + ٢ س ٢ Q ــ ١ تقبل القسمة على ٦٤ ; ــ ٨ ; أثبت أن : ٩ ــ ١ ; ــ ٨ ;  ٨ + ١  = ــ ١ ; ــ ٨ ;٩ D$ ; + ١ = + ٨ × ١Q ; ــ ١ ; ــ ٨ ;٨ + ٠٠٠٠٠٠٠ + ٢٨ × ٢Q = ; + ٢٨ × ٢Q ; ;٨ + ٠٠٠٠٠٠٠ + ٣٨ × ٣Q  × ٢٨ = ; + ٢Q ;  ــ ٢ ;٨ + ٠٠٠٠٠٠٠٠ + ٨ × ٣Q  المقدار يقبل القسمة على ٦٤ E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣ باستخدام نظرية ذات الحدين  ١٠١  أوجد قيمة / ٣ ١٠٠  + ٢ ١٠٠  ٢Q٣ +  ١٠٠  ١Q٣ + ١ = ٣ ١٠٠ + ١  = ٣ ١٠١ $  ١٠٣٠٣٠١ = ١٠٠٠٠٠٠ + ٣٠٠٠٠ + ٣٠٠ + ١ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٦ مقرباً الناتج لثلاثة أرقام عشرية  ٠,٩٨  باستخدام نظرية ذات الحدين أوجد قيمة / ٦ ١ ــ ٠,٠٢  = ٦ ٠,٩٨  D$ ٠٠٠٠٠٠٠ + ٣ ٠,٠٢  ٣Q ٢ ــ ٦  ٠,٠٢  ٢Q٦ +  ٠,٠٢  ١Q ١ ــ ٦ = ٦ ٠,٩٨  E ٠٠٠٠٠٠ +  ٠,٠٠٠٠٠٨ × ــــــــــــــــــــ  ــ  ٠,٠٠٠٤ × ـــــــــــــ  +  ٠,٠٢ × ٦  ١ ــ = ٠,٠٠٦ ــ ٠,٠٠٠١٦ + ١ ــ ٠,١٢ =  ٠,٨٨٦ تقريباً = ٠,٨٨٥٨٤ = ١,٠٠٦ ــ ٠,١٢٠١٦ = PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 27.
         ١ ] أوجد مفكوك كل مما يأتى باستخدام نظرية ذات الحدين : ] ٦ س + ســ ١   ٦  ٦ ـــــــ ــ ـــــــ   ٥  ٧ ٢س ــص   ٤  ٣ ١ + ـــــ س   ٩  ٦ ١ ــ س   ٨  ٤ ١ + س   ٧  ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ ] أوجد مفكوك كل مما يأتى حسب قوى س التنازلية : ] ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣ ] أوجد مفكوك كل مما يأتى حسب قوى س التصاعدية : ] ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٤ ] باستخدام نظرية ذات الحدين أوجد قيمة : ] ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٥ حسب قوى س التصاعدية  ١ + س  ٥ ] أكتب الحدود الأربعة الأولى فى مفكوك ] ـ ٥ـــــــــــــــــــــــــــــ  ٢ـ٠ـ, ١  ــــوـبا ــستـخـدـامــهـذهـاـلـحـدوـدـأ ـوـجـدـقي ـمـةـتق ـرـيبي ـةـلـلعـدـدــ       ٦ س ــ ٢   ٣  ٨  ــ    ٢  ٧  +    ١  ١ ٢ س ٣ ٣ س ٥ ٢س + ١   ٣  ٣ ٣س ــ ٢   ٢  ٤ س ــ ٢   ١  س ٢ ٦ ٢ ــ ـــــ   ٣  ٤ ٣س + ٢  ٢  ٥ ١ ــ ٢س   ١  ٥ لأربعة أرقام عشرية  ٠,٩٨  ٣  ٣ ١,٠٥  ٢  ٤ ١٠١  ١        ;  = ١ + R & ;    × R Q R    × حيث R ــ ; قيمة رتبة الحد  ١ + R  ; = + ١ R& أى أن : العلم ــ الدليل  الحد الأول بإشارته  × الدليل  الحد الثانى بإشارته  × RQ ; = + ١ R& كما أن : معامل  معامل الحد الأول  × R معامل الحد الثانى  × RQ R ــ ;  دون إيجاد المفكوك كله  و باستخدام هذا القانون يمكن إيجاد أى حد فى المفكوك ; قيماً مختلفة من صفر إلى R ، و ذلك بإعطاء  ٢٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 28.
           ٧×٨×٩×١٠ ١×٢×٣×٤ ١ ٢ ٣ س ص ٢ ١ ٢ ٦×٧×٨ ١×٢×٣ ١ ٣٢ ١٨٩ ٤ ٦ × ٧ ١ × ٢ ;  ٠٠٠٠٠٠٠ + ٥& + ٣& + ١&  × ٢ = ــ ;   ــ   ; ٣ ٣ ٣  ٢٨   ١٠ ٣س + ٢ص  أوجد الحد السابع فى مفكوك / R ــ ; الأول  × R الثانى  × RQ; = ١ + R& D$ ٤ ٣س  × ٦ ٢ص  × ٦Q١٠ = ١ + ٦& = ٧& E ١٠٨٨٦٤٠ ص ٦س ٤ = ٨١ ص ٦س ٤ × ٦٤ × ٨١ س ٤ = ـــــــــــــــــــــــ × ٦٤ ص ٦ × ٤Q١٠ = ٧& E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٨ ـــــــ ــ ـــــــ  أوجد معامل الحد السادس فى مفكوك / R ــ ; معامل الحد الأول  × R معامل الحد الثانى  × RQ; = + ١ R& معامل D$ ٣ ٣  × ٥ ــ ــــــ  × ٣Q٨ = ٣ ٣  × ٥ ــ ــــــ  × ٥Q٨ = ١ + ٥& ٦ = معامل & معامل E ٢٧ = ــ ــــــــ ×  ــ ــــــ  × = ــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٧ ١ ــ ٢ص  أوجد الحد الثالث من النهاية فى مفكوك / ٧ ١+ ــ ٢ص  ٧ = الحد الثالث من البداية فى مفكوك  ١ ــ ٢ص  الحد الثالث من النهاية فى مفكوك $ ٥ ــ ٢ص  × ٢١ × ٢Q٧ = ٧ ١+ ــ ٢ص  ١ فى مفكوك + ٢ & = ــ ٣٢ ص ٥ = ــ ٦٧٢ ص ٥ × = ــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ     +   * ;   ــ  +   +   = ضعف الحدود فردية الرتبة فى مفكوك ; _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _   +   ** ;  ٠٠٠٠٠٠٠ + ٦& + ٤& + ٢&  × ٢ =   +   = ضعف الحدود زوجية الرتبة فى مفكوك ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣ ٩٦ س = ٤ س + ٣  ٤ ــ  س + ٣  أوجد قيم س التى تحقق المعادلة /  ٤& + ٢&  ٢ = ٤ س + ٣  ٤ ــ  س + ٣ D$ ٢ ÷ بالقسمة  ٣ س   ٣Q٤ + س ٣   ١Q٤ ٩٦ س = ٢ E ٤ ÷ ١٢ س بالقسمة + ٤٨ س = ٤ س ٣ E ٣ ٣ ٣ ٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 29.
         ــــــــــــــــــــــــــــــــــــإـمــاــــــــ ســــــ =ـ ــ ـ٠ـــــــــــــــــــــــــــأــوـــــــ ســـــــ =ـ ـــــ٣ـــــــــــــــــــأــوــــــــ ســــــ =ــ ـــــــــ ٣ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٥ مقرباً لخمسة أرقام عشرية  ٠,٩٨ + ٥ ١,٠٢ باستخدام نظرية ذات الحدين أوجد قيمة / ٥ ١ ــ ٠,٠٢  + ٥ ٠,٢ + ١ = ٥ ٠,٩٨ + ٥ ١,٠٢ D $  ٥& + ٣ & + ١ &  × ٢ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ   س ٣ ــ ٩س = ٠ s ٣س + ١٢ س = س ٣ E ٠ =  س + ٣  س ــ ٣  س s ٠ =  س ٢ ــ ٩  س E  ٤ ٠,٠٢  ٤Q٥ + ٢ ٠,٠٢  ٢Q٥+ ١ ٢ = ٢,٠٠٨٠٢ g ٢,٠٠٨٠١٦ =  ٠,٠٠٠٠٠٨ + ٠,٠٠٤ + ١  ٢ =         ;  ١ س ٣ ٢س ٢س ٣ ٣ ٢س س ٢ ٣ س ٢ س س ٢ ١ ٢ س  ٢٩       ٩ س + ــــــ  ٥ فى مفكوك & ١ ] أوجد ] ١٠ ــــــــــ ــ ــــــــــ  ٦ فى مفكوك & ٢ ] أوجد ] ١١ ـــــــــ ــ ـــــــــ  ٤ فى مفكوك & ٣ ] أوجد ] ٨ ٣س ــ ٢  ٦ فى مفكوك & ٤ ] أوجد معامل ] ٩ ٢س ٢ ــ ــــــــــ  ٧ فى مفكوك & ٥ ] أوجد معامل ] ٧ ــــــــــ ــ ــــــــ  ٥ فى مفكوك & ٦ ] أوجد ] ;٢ س + ــــــ  ٧ ] أوجد معامل الحد الرائى فى مفكوك ] ــ ١ ;٢ س ٢ + ســ ٢  ٨ ] أوجد معامل الحد النونى فى مفكوك ] ٥ س ــ ٢  ٥ ــ  س + ٢  ٩ ] أوجد مفكوك ] ٦ ١ ــ س  ٦ ــ  ١ + س  ١٠ ] أوجد مفكوك ] ١٠ مقربةً لخمسة أرقام عشرية  ٠,٩٩٨ ١١ ] أوجد قيمة ] ٥ مقربةً لخمسة أرقام عشرية  ٠,٩٨ ٥ ــ  ١,٠٢ ١٢ ] أوجد قيمة ] PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 30.
         ١٢ ٢س ٢ + ــــــــ  أوجد قيمة الحد الأوسط فى مفكوك / رتبة الحد الأوسط = ـــــــــــــــ = ٧ $   ٢س ٢ × ـــــــــ  × ٦ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ٢س ٢  × ٦  × ٦Q١٢ = ٧& E ٩٢٤ س ٦ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١١ س ــص  أوجد قيمتى الحدين الأوسطين فى مفكوك / ٧& ، ٦& رتبتى الحدين الأوسطين هما ــــــــــــــــ ، ـــــــــــــــــ أى $ ٦ = ــ ٤٦٢ ص ٥ س ٦  س  × ٥ ــص  × ٥Q١١ = ٦& E ٤٦٢ ص ٦ س ٥ = ٥ س  × ٦ ــص  × ٦Q١١ = ٧& ، ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١٠ يساوى ـــــــ فأحسب قيمة س  س ٢ + ــــــــ  إذا كانت قيمة الحد الأوسط فى مفكوك / ٦& الحد الأوسط فى المفكوك هو الحد الذى ترتيبه ــــــــــــــــ أى $ ٥ س ٢  × ٥ ـــــــــــ  × ٥Q١٠ = ٦& E ٥ = ــــــــ  س ٢ × ـــــــــ  ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ E ٥ ــــــــ  = ٥ ــــــــ  E ٥ = ــــــــ  ــــــــ  × ٢٥٢ E ــــــــ = ــــــــ E  س = ـــــــ s ٣س = ٢ E         ;  ٢ + ; ٢ يوجد حد أوسط واحد فقط رتبته ــــــــــــــــ E عدد زوجى ; * إذا كان الأس ١ + ; ٢ ٣ + ; ٢ يوجد حدان أوسطان رتبتاهما ــــــــــــــــ ، ــــــــــــــــ E عدد فردى ; ** إذا كان الأس ١ ٢س ٢ + ١٢ ٢ ١ ٧×٨×٩×١٠×١١× ٢س ١٢ ١×٢×٣×٤×٥×٦ ١ ٢س ١ + ١١ ٢ ٣ + ١١ ٢ ١ ٢س ٢٨ ٢٧ ٢ + ١٠ ٢ ١ ٢س ٦× ٧ × ٨ × ٩ × ١٠ ١ × ٢ × ٣ × ٤ × ٥ ٢٨ ٢٧ ١ ٢س ٢٨ ٢٧ س ٢ س ٢ ١ س ٣ ٢ ١ ٣ ٢ ٣  ٣٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 31.
           ١٠ س + ســ ١  ١ ] أوجد قيمة الحد الأوسط فى مفكوك ] ١٢ ٢س ٣ + ــــــــــ  ٢ ] أوجد قيمة الحد الأوسط فى مفكوك ] ٩ ـــــــ ــ ـــــــ  ٣ ] أوجد الحدين الأوسطين فى مفكوك ] ١٥ حسب قوى س التنازلية  س ــ ـــــ  هما الحدان الأوسطان فى مفكوك  ،  ٤ ] إذا كان ] ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ   ١٦ ثم أوجد النسبة بينه و بين الحد الثامن  ــــــــــــ + ــــــــــــ  ٥ ] أوجد الحد الأوسط فى مفكوك ] ٥ فأوجد قيمة س : ٢٧ كنسبة ١  ١ + س  ٦ ] إذا كانت النسبة بين الحدين الأوسطين فى مفكوك ] ١٠ عندما س = ٣  ـــــــــ + ــــــــ  ٧ ] أوجد النسبة بين الحد الأوسط و الحد الثالث فى مفكوك ] ٨ يساوى ١١٢٠  ٣س ٢ + ـــــــــ  ٨ ] إذا كان الحد الأوسط فى مفكوك ] ١٠٢٤ = ١٠ ٢م + ١  : ١٠ إذا كان الحد الأوسط = ـــــــ فأثبت أن  س + ــــــ  ٩ ] فى مفكوك ] يساوى مجموع معاملى الحدين الأوسطين ;٢ س + ص  ١٠ ] أثبت أن معامل الحد الأوسط فى مفكوك ] ١٢ يساوى ـــــ ١٤ ، فأوجد قيمة س  ـــــــــ + ـــــــــ  ١١ ] إذا كان الحد الأوسط فى مفكوك ] ٧ متساويين فأثبت أن س = ــــــص  ٥س + ٤ص  ١٢ ] إذا كان الحدان الأوسطان فى مفكوك ]          ;  ١ ٢س ٣ ص س ٢ ١ س ٢س ٣ ٣ ٢س ! ٢س ٢ ٣ ٣ ٢س ١ ٣س س ٢ = صفر  +  فأثبت أن ٥ العددية  ٢ + س  فأوجد قيمة م س ٦٣ ٨ ٢س ٣ ٣ ٢س ٢ ٧ ١٦ ٤ ٥ ــ ١ ;٢ س ــص  فى مفكوك  ٣١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 32.
         + ١ R& هو الحد العام  نفرضأن الحد المشتمل على س ١ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١٠  ٢س ٢ + ـــــــــ  أوجد الحد الذى يشتمل على س ٨ فى مفكوك / + ١ R& نفرضأن الحد الذى يشتمل على س ٨ هو $ ١٣٤٤٠ س ٨ = ٦٤ س ٨ × س ٢٠ ــ ١٢ = ــــــــــــــــــــــــــــــــ × ١٠٢ ــ ٤ × ٤Q١٠ = ١ + ٤& = ٥& E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ـــــــ ــ ـــــــــ  أوجد معامل ســ ٦ فى مفكوك / + ١ R& نفرضأن الحد الذى يشتمل على ســ ٦ هو $  ــــــ  R ــ ـــــــــ  RQ٨ = ١ + R& E     س   + ١ بالقوة المطلوبة R& و ذلك بمساواة قوة س الناتجة من R نوجد قيمة  ٣   + ١ فنحصل على الحد المشتمل على س R& التى حصلنا عليها فى R نعوضبقيمة  ٤  + ١ R& نوجد معامل  إذا كان المطلوب إيجاد معامل الحد المشتمل على س  ٥  لا تظهر فى المفكوك المعطى  التى حصلنا عليها كسرية أو سالبة أو أكبر من قيمة الأس فإن س R ١ ] إذا كانت قيمة ] + ١ بالصفر " حيث سصفر R& ٢ ] لإيجاد الحد الخالى من س فإننا نساوى قوة س الناتجة من ] ١ س    س + ١ فى أبسط صورة R& نوجد الحد العام  ٢  R س ٢٠ ــ ٢ × R ١٠٢ ــ × R ســ × RQ = ١٠ R ١٠ ــ  ٢س ٢  R ــــــــ  RQ١٠ = ١ + R& ١ س R س ٢٠ ــ ٣ × R ١٠٢ ــ × RQ١٠ = ١ + R& s ٤ = R E ١٢ = ٢٠ ــ ٨ = R٣ E ٨ = R ٢٠ ــ ٣ E هذا الحد يشتمل على س ٨ D ٧ × ٨ × ٩ × ١٠ ١ × ٢ × ٣ × ٤ ٥& ١ أى + ٤& الحد الذى يشتمل على س ٨ هو E س ٣ ٣ ٢س س ٣ ٣ ٢س   " ١ = ٨ R ٨ ــ  ٣٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 33.
         R س ٨ ــ × R ٨ ــ  ــــــ  × R ســ × R ــ ـــــ  RQ٨ = ١ + R& E  معامل ســ ٦ = ــ ــــــــ E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ١ R& نفرضأن الحد الخالى من س هو $ R س ١٦ ــ × R ســ ٣ × R ــــــ  RQ = ١٦ R ١٦ ــ  س  R ـــــــــ  RQ١٦ = ١ + R& E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ٢ + س ٢ + ســ ٢  أوجد الحد الخالى من س فى مفكوك / ٢ إلى مقدار ذى حدين ، و بملاحظة أنه مقدار ثلاثى مربع كامل + يجب تحويل المقدار س ٢ + ســ ٢ $   ٣ ٢ ١ ٣ R ٢ ــ ٨ × R ٨  ١  × R ٣  × RQ٨ = R& s ـــــ ــــــ ــ س ــ ٣ ٢ ١ + ٧ هذا الحد يشتمل على ســ ــ = ــ = R E ١٤ = ٦ R٢ E ٦ R ٢ ٨ E D ٨& ١ أى + ٧& الحد الذى يشتمل على ســ ٦ هو E س ٨ ــ ١٤ × ٨ ــ ٧  ــــــ  × ٧ ــ ـــــ  × ٧Q٨ = ١ + ٧& = ٨& E ٣ ٢ ١ ٣ س ٨ ــ ١٤ = ــ ــــــــ ســ ٦ = ــ ـــــــــ ســ ٦ × ـــــــ × ــ ــــــــ × ٨ = ١ ٣ ٧ ٣ ٧ ٢ ٦ ٣ ٤ ٢ ٧٢٩ ١٦ ٧٢٩ ١٦ ١ ٤س ٣ ١٦  س + ـــــــــ  أوجد الحد الخالى من س فى مفكوك / ١ ٤س ٣ ١ ٤ R س ١٦ ــ ٤ × R ــــــ  × RQ١٦ = ١ + R& s ١ ٤ = ٤ R E = صفر R ١٦ ــ ٤ E فهو يشتمل على سصفر E ١ خالى من س + R& D ١ ٤ ٥& ١ أى + ٤& أى أن الحد الخالى من س هو  ــــــ  × ٤Q١٦ = ١ + ٤& = ٥& الحد الخالى من س هو E ١٣ × ١٤ × ١٥ × ١٦ ١ × ٢ × ٣ × ٤ ١ ٢٥٦ ٤٥٥ ٦٤ ٤ ــــــــ = ـــــــــ × = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٥ ٢ س + ســ ١  =  ٢ + ســ ٢ + س ٢  =  ٢ + س ٢ + ســ ٢   ٢ + س ٢ + ســ ٢  E ١٠ س + ســ ١  = ٥  ٣٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 34.
         ٢٥٢ = ٥Q١٠ = ١ + ٥& = ٦& الحد الخالى من س هو E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٩  س + ــــــــ  أوجد معامل س ٦ فى مفكوك /  س ــ ــــــــ  ٩  يمكن تحويل هذين المفكوكين إلى مفكوك واحد حيث : $ ١ س س  س + ــــــــ  ١ س ١ س ١ ١ س ٢  المفكوك لا يحتوى على ســ ٣ E +XM = ــــــــ R E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١٥ ــــــــ + ــــــــ  أوجد معامل س ١٤ فى مفكوك ٣٢ س ٤ / + ١ R& نفرضأن الحد المشتمل على س ١٤ هو $   R س ١٠ ــ × R ســ × RQ = ١٠ R ١٠ ــ  س  R ســ ١  RQ١٠ = ١ + R& E = ٥ R E = صفر R ١٠ ــ ٢ E فهو يشتمل على سصفر E ١ خالى من س + R& D ١ س ١ س + ١ R& نفرضأن الحد الخالى من س هو R س ١٠ ــ ٢ × RQ١٠ = ١ + R& s و أثبت أنه لا يحتوى على ســ ٣ ٩  س ــ ــــــــ  ٩   س + ــــــــ  = ٩  س ــ ــــــــ    س ٢ ــ ــــــــ  = ٩  + ١ R& نفرضأن الحد المشتمل على س ٦ هو  س ٢  R ــــــــ  RQ٩ = ١ + R& E ٢ ٢ ١ س  ــ ١  × RQ٩ = ١ + R& s ٣ = R E ٤ ÷ ١٢ = R E ١٨ ــ ٦ = R٤ E ٦ = R لإيجاد معامل س ٦ نضع ١٨ ــ ٤ ١  معامل س ٦ = ــ ٨٤ E ٣ ــ ١  × ٣Q٩ = ١ + ٣& ٤ = معامل & معامل س ٦ = معامل E ٢١ = ٣ + ١٨ = R٤ E = ــ ٣ R و لإيجاد الحد الذى يحتوى على ســ ٣ نضع ١٨ ــ ٤ ٢١ ٤  ــ ١  × RQ = ٩ R ٩ ــ R R س ١٨ ــ ٤ × ٢ ٢ س ٢ R R س ١٨ ــ ٢ × R ســ ٢ × س ٣  ــــــــ  R ــــــــ  RQ١٥ × ٣٢ س ٤ = ١ + R& E ٢ س ٣ ٢ س ٢ ١ ٢ R ١٥ ــ  ــــــ  R٢ RQ١٥ × ٣٢ س ٤ = R س ٣٠ ــ ٢ × R ســ ٣ × R ١٥ ــ  ٣٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 35.
          ـــــــــ = ــــــــــــ × معامل س ١٤ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١١ لا يحتوى على حد خالى من س ، كما لا يحتوى  س ٢ + ــــــــ  أثبت أن مفكوك / + ١ R& نفرضأن الحد العام هو $ = ــ ٣ R *** لإيجاد رتبة الحد الذى يشتمل على ســ ٣ نضع ٢٢ ــ ٥    ــــــ  R٢ RQ١٥ × ٣٢ = ١ ٢ R س ٣٤ ــ ٥ × R ١٥ ــ ٤ = R E ٢٠ = R ٥ E ١٤ = R و للحصول على معامل س ١٤ نضع ٣٤ ــ ٥  ــــــ  ٤ ٢ ٤Q١٥ × ٣٢ = ١ + ٤& ٥ = معامل & معامل س ١٤ هو معامل E ١ ٢ R ٣٠ ــ ٢ + R س ٤ ــ ٣ × R ١٥ ــ  ــــــ  R٢ RQ١٥ × ٣٢ = ١ + R& s ١ ٢ ١٢ × ١٣ × ١٤ × ١٥ ١ × ٢ × ٣ × ٤ ١ ١٢٨ ١٣٦٥ ٤ ٢ س ٣ على حد مشتمل على س ٣ ، و لكنه يحتوى على حد يشتمل على ســ ٣  س ٢  R ــــــــ  RQ١١ = ١ + R& E ٢ س ٣ R س ٢٢ ــ ٥ × R ٢ R Q ١١ = ١ + R & s = صفر R * إذا كان المفكوك يحتوى على حد خالى من س فيجب أن يكون : ٢٢ ــ ٥ ٢٢ ٥ +XM = ــــــــ R E ٢٢ = R ٥ E لا يوجد حد خالى من س E ٣ = R ** إذا كان المفكوك يحتوى على حد مشتمل على س ٣ فيجب أن يكون : ٢٢ ــ ٥ ١٩ ٥ R س ٢٢ ــ ٢ × R ســ ٣ R٢  RQ = ١١ R ١١ ــ ٦& ١ أى + ٥& يوجد حد يشتمل على ســ ٣ هو E ســ ٣ × ٣٢ × = ـــــــــــــــــــــــــــــــ ٧×٨×٩×١٠×١١ ١×٢×٣×٤×٥ ١١ +XM = ــــــــ R E ١٩ = R ٥ E لا يوجد حد يشتمل على س ٣ E +XL ٥ = R E ٢٥ = R ٥ E ٥ س ٢٢ ــ ٥ × ٥  ٢  ٥Q١١ = ١ + ٥& = ٦& ١٤٧٨٤ ســ ٣ = ٦& s  ٣٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 36.
          فى  ٦  +  المفكوك س ــــــــ حيث عدد صحيح موجب ، أوجد / قيم التى + ١ R& نفرضأن الحد الخالى من س هو $ R ــ  س ٦ × R ســ × RQ = ٦ R ٦ ــ   س R ـــــــــ  RQ٦ = ١ + R& E ٥ ، ٢ ، ١ = قيم s = ٥ ، ٤ ، ٣ R قيم E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  س ٤ + ـــــــــ  إذا كان مفكوك / يحتوى على حد خالى من س فأثبت أن ; ٧ = ; + ١ R& نفرضأن الحد العام هو $ = ـــــــــــ R E = صفر R ــ ٧ ; ٤ E المفكوك يحتوى على حد خالى من س D يجب أن تقبل القسمة على ٧ ; E يجب أن تكون عدداً صحيحاً موجباً R D ٥& ١ أى + ٤& = ـــــــــــــــ = ٤ أى يكون الحد الخالى من س هو R = ٧ تكون ; و عندما ٣ = ـــــــــــــــــــــــــ = ٣٥ Q٧ = ٤Q٧ = ١ + ٤& = ٥& و يكون   ١ س تجعل للمفكوك حداً خالياً من س ١ س R ــ R  ــ  س ٦ × R Q ٦ = ١ + R & s = صفر R ــ R  ــ  لإيجاد رتبة الحد الخالى من س نضع ٦ ــ R =  E R =  R ٦   ـــــــــــــــــ E R ٦ ــ ٣ F R E ٦ F R ٢ E R ٦ ــ F R E +XL  D ، ٦ ) R E صفر ( R ٦ ــ ، ١ س ٣ = ٧ ; أو مضاعفاً للعدد ٧ ، و أوجد الحد الخالى من س عندما  س ٤  R ـــــــــ  RQ ; = R ــ ; ١ س ٣ ســ ٣ ×RQ R R ــ ٤ ; س ٤ × ; ٤ ٧ = ١ + R & s ; س ٤ × R Q R ــ ٧ ;  ٧ أو مضاعفاً للعدد ٧ = ; E ٧ × ٤ ٧ ٥ × ٦ × ٧ ١ × ٢ × ٣ = ١ + R& D ; أى أن قيمة الحد الخالى من س = ٣٥  ٣٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 37.
           ١٢  ـــــــــ ــ ــــــــ  ١ ] أوجد معامل س ٨ فى مفكوك ] ١٠  ـــــــــ ــ ــــــــ  ٢ ] أوجد معامل س ١١ فى مفكوك ] ١٠  س ٣ ــ ــــــــ  ٣ ] أوجد معامل س ٩ فى مفكوك ] ٨  س ــ ــــــــ  ٤ ] أوجد معامل ســ ٤ فى مفكوك ] ١٠  ـــــــــ ــ ــــــــ  ٥ ] أوجد الحد الخالى من س فى مفكوك ] ١٠  س ــ ــــــــــ  ٦ ] أوجد الحد الخالى من س فى مفكوك ] ٩  ٢س ٣ ــ ــــــــ  ٧ ] أثبت أنه لا يوجد حد خالى من س فى مفكوك ] ١٣  س + ــــــــ  ٨ ] أوجد معامل س فى مفكوك ] ١١  ـــــــــ ــ ــــــــ  ٩ ] أثبت أنه لا يوجد حد يحتوى على س ٦ فى مفكوك ] ١٢ أوجد :  س + ــــــــــ  ١٠ ] فى مفكوك ] ; س ٥ + ــــــــ  عدداً صحيحاً موجباً فأثبت أنه لا يوجد حد خالى من س فى مفكوك ; ١١ ] إذا كانت ] مضاعفاً للعدد ٣ ; يحتوى على حد خالى من س إذا كانت ; س ٢ + ــــــــ  ١٢ ] أثبت أن مفكوك ]     س   ٢س ٣ ٣ س ١ س س ٢ ٢ ١ س ٤ ١ س ٢ س ٣ ٣ ٢ س ٢ ١ ٢س ٢ ٣ س ١ س ٢ ٣ س س ٢ ٣ ٢س ٢ ١ س ٢   رتبة الحد الخالى من س  ii  معامل س ٦  i  = ١٤ ; = ٧ أو مكرراً للعدد ٧ و أوجد الحد الخالى من س عندما ; إلا إذا كان ١ س = ١٢ ; ثم أوجد الحد الخالى من س عندما  ٣٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 38.
           ٨ تساوى  س ٢ + ـــــــــ  إذا كانت النسبة بين الحدين الخامس و السادس فى مفكوك / ٨ : ٢٥ = ٥& : ٦& E ٢٥ : ٨ = ٦& : ٥& D $ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ٣ + س  فى مفكوك / حسب قوى س التنازلية ، وجد أن ; ، ٩& ١٠ = ـــــــ &  ٣ + س  المقدار D $ مرتب حسب قوى س التصاعدية ;  وليس التنازلية   ٣ + س نعيد ترتيب المقدار ليصبح مرتباً حسب قوى س التنازلية ، فيكون E ;         ;  فإن : ;  +   + ١ حدين متتاليين فى مفكوك R& ، R& إذا كان ١ + R& R& + ١ R ــ ; ـــــــــ × ــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ R  ١ + R& R& الأس ــ أقل من الرتبة الصغرى بواحد ــــــــــــــــــــ × أى أن ــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ الرتبة الصغرى الحد الثانى الحد الأول   + ١ R& معامل R& معامل + ١ R ــ ; ــــــــــــــــــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ  ١  R معامل الحد الثانى معامل الحد الأول ٢ س إذا كان الحدان غير متتاليين نستخدم قاعدة التسلسل  ٢  ٢٥ : ٨ فأوجد قيمة س ٦& ٥& ١ + ٨ ــ ٥ ٥ ٢ س ١ س ٢ ٢٥ ٨ ــــــــــ = ــــــــ × ــــــــــ × ــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ E ٢٥ ٨ س ٣ = ــــــــــ و منها س = ـــــــ E ـــــــــ = ــــــــــــ E ٨ ٥س٣ ٦٤ ١٢٥ ٤ ٥ ٢ ٣ ، س ; ١٥ . أوجد قيمة كل من & ٤ = ١٤& ١٠& ٩& ٢ ٣ ١ + ــ ٩ ; ٩ ٣ س ٢ ٣ ــــــــــ = ــــــــ × ــــــــــــــــــــــــ E ــــــــــــ = ــــــــ D  ٣٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 39.
         ينتج أن س = ٦ ; عن قيمة  ١  = ٢٠ و بالتعويض فى ; ١٠٠ و منها = ; أى ٥ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  س + ص  إذا كانت الحدود الثالث و الرابع و الخامس فى مفكوك / هى على الترتيب ;  ١  ــــــــ = ٤ × ــــــــــــــــ E ـــــــــ = ــــــــــ × ـــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ D $ ــــــــــــــ = ــــــــــــ × ينتج أن : ــــــــــــــ  ٢  ÷  ١  و بقسمة  ٣  ص= ٢ س E ـــــــــ = ٤ × ينتج أن : ــــــــــــــ ; عن قيمة  ١  و بالتعويض فى  ٤  ٢ ص ٢س ٦ Q٨ = ٣& و لكن  ٢ س  ينتج أن : ١١٢ = ــــــــــــــــ  ٤  و بالتعويضعن ص= ٢س فى س ٦ × ٢ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ١ + س  إذا كانت معاملات ثلاثة حدود متتالية فى مفكوك / هى ٧ ، ٢١ ، ٣٥ ;   ــ ٨ ; ٩ ٣ س ٢ ٣  ١  ــــــــــ = ـــــــــ × ــــــــــــــــــ E ١٥& ١٤& ــــــــــ = ــــــــ × ـــــــــــــــــــــــــ E ـــــــــــــ = ــــــــ D ، ــ ١٣ ; ١٤ ١ ٤ ٣ س ١ ٤ ١ + ــ ١٤ ; ١٤ ٣ س ١ ٤  ــ ٨ ;  ١٤  ــ ١٣ ;  ٩ ٨ ٣  ٢  ــــــــــ = ـــــــــ × ــــــــــــــــــ E ينتج أن : ــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــ  ٢  ÷  ١  بقسمة المعادلتين  ــ ١٣ ;  ١٢ =  ــ ٨ ;  ٧ E  ــ ١٣ ;  ٩ × ٨ =  ــ ٨ ;  ١٤ × ٣ E ؟ ; ١١٢٠ ، ٤٤٨ ، ١١٢ . فما قيمة كل من س ،ص، ٤& ٣& ١ + ــ ٣ ; ٣ ص س ٤٤٨ ١١٢ ص س ــ ٢ ; ٣ ٥& ٤& ١ + ــ ٤ ; ٤ ص س ١١٢٠ ٤٤٨ ص س ــ ٣ ; ٤ ٥ ٢  ٢  ــــــــ = ـــــــ × ــــــــــــــــ E ـــــــــ = ــــــــــ × ـــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ D ــ ٢ ; ٣ ٤ ــ ٣ ; ٢ × ٤ ٥ ٨ = ; s  ــ ٣ ;  ٦ =  ــ ٢ ;  ٥ E ٨ ــ ٢ ٣ ص س ٧ × ٨ ١ × ٢ ١  = س s ١ = س ٨ E ٢  = ص s ١  × ص = ٢ E ؟ و ما رتب هذه الحدود ؟ ; فما قيمة  ٣٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 40.
         ٢ + R& ، + ١ R& ، R& نفرضأن الحدود الثلاثة هى $  ٢  ١ = R ــ ٤ ; ٣ E ـــــــ = ــــــــ × و يكون ــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ ٧& ، ٦& ، ٥& الحدود الثلاثة هى E ٥ = R ، = ٧ ; نجد أن :  ٢  ،  ١  و بحل المعادلتين ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ التنازلية إذا كان :  ٢٠ حسب قوى   +   فى مفكوك / ٢ + R& × R& ٢ = ـــــــ  ١ + ١ + R&  D $ ــــــــ × ـــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ D ،  ٢ o ــــــــ × ــــــــ = ـــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ E  ٣ o ــــــــ × ـــــــ = ــــــــــــــــــ × ، ـــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ١  فى  ٣  ،  ٢  بالتعويضمن ــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ E ــــــــ × ــــــــ = ــــــــــــــــــــ × ــــــــــــــــــ × ـــــــ E ٢R ــ ٥ R ١٠٠ =  ٢R ــ R ٢٠ + ٢١  ٤ E  R ٢٠ ــ  R ٥ =  ١ + R   R ٢١ ــ  ٤ E ٠ = ٨٤ + R ٢ ــ ٢٠ R E ٢R ــ ٥ R ١٠٠ = ٢R ــ ٤ R٨٠ + ٨٤ E = ١٤ R ٦ أو = R s ٠ =  ــ ١٤ R   ــ ٦ R  E   و بملاحظة أنه عند التعويضعن س = ١ فى أى حد فإن قيمة الحد = معامله فيكون : + ١ R& معامل R& معامل + ١ R ــ ;  ١  = ــ ٥ R ــ ٨ ; ٥ E ـــــــ = ــــــــ × ــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ + ٢ R& معامل + ١ R& معامل R ١ ١  ١ +١ + R ــ ; ١ + R ٢١ ٣٥ ١ ١ ٧ ٢١ R ٢ فأوجد قيمة + R& × R& ٢ = ـــــــ  ١ + ١ + R&  ٥ ٤ ٥ ٤ ٢ + R& ١ + R& ٤ ٥ ١ + R& R& ـــــ٥ــ  ١ o ـــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ × ــــــــــ E ــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــ E ٤ ١ + R& R& ٢ + R& ١ + R& ١ + R& R& + ١ R ــ ; R  ١ + R& R& + ١ R ٢٠ ــ R  R ٢١ ــ R ٢ + R& ١ + R& ١ +  ١ + R  ٢٠ ــ ١ + R   R ٢٠ ــ ١ + R ٤ ٥ R ٢١ ــ R  R ٢٠ ــ ١ + R  R ٢٠ ــ ١ + R R ٢١ ــ  ٤ R  ٤٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 41.
          ١٧ متساويين . فما قيمة س ؟  ٢س + ٣  ١ ] إذا كان الحدان الأوسطان فى مفكوك ]  س+ص  ٢ ] إذا كانت الحدود الثالث و الرابع و الخامس فى مفكوك ]  س+ص  ٣ ] إذا كانت الحدود الثانى و الثالث و الرابع فى مفكوك ]  ١ +س  ٤ ] إذا كانت ثلاثة معاملات لحدود متتالية فى مفكوك ]  ١ +س  ٥ ] إذا كانت النسبة بين معاملات ثلاثة حدود متتالية فى مفكوك ]  ب +  ٦ ] إذا كانت النسبة بين الحدين الثانى و الثالث فى مفكوك ]  ١ +مس  ٧ ] فى مفكوك ] ٣ س ٢  + ٢س  ٨ ] فى مفكوك ] ٢ ٣ ١  س+ ٣  ٩ ] فى مفكوك ] ٤  ١ +س  ١٠ ] فى مفكوك ]           ;  ; ، هى على الترتيب ١٥٣٦٠ ، ١١٥٢٠ ; ١٣٤٤٠ . أوجد قيم كل من س ،ص، ; هى ١٠٨٠ ، ٧٢٠ ، ٢٤٠ على الترتيب ؟ ; فما قيم س ،ص، ; ؟ ; هى ١١٤٠ ، ١٩٠ ، ٢٠ . فما قيمة و ما ترتيب تلك الحدود ؟ ; ٢٨ : ٢٤ : كنسبة ١٥ ؟ و ما ترتيب هذه الحدود ؟ ; فما قيمة ; تساوى النسبة بين الحدين الثالث  ب+ و الرابع فى مفكوك ٣ +; ؟ ; فما قيمة ; ٤ : إذا علم أن نسبة معامل الحد الرابع إلى معامل الحد السادس تساوى ١ ; ٤ ، فأوجد قيمة كل من م ، : و نسبة معامل الحد السادس إلى معامل الحد الثامن تساوى ٧ ; إذا كان الحدان التاسع و العاشر متساويين و النسبة بين الحد السادس و أثبت أنه لا يوجد حد خالى من س فى المفكوك . ; و الحد السابع كنسبة ١٥ : ٨ ، فأوجد قيمة ; حسب قوى س التنازلية . وجد أن الحد العاشر = الحد التاسع ، ، س ; ١٤ . أوجد قيمة كل من & = ١٥& ; حسب قوى س التصاعدية . وجد أن الحد الرابع الحد الثانى ، ، س ; و الحد الخامس يساوى الحد السادس . أوجد قيمة كل من ٢٥ ٣  ٤١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 42.
         ٢  ٢س+ ٣  ١ ] إذا كان الحدان الأوسطان فى مفكوك ] ١ +; ; متساويين فأوجد قيمة س بفرضأن ٥  ٢ ــ ١  ٥ ــ ١ + ٢  ٢ ] أوجد قيمة ] ١ س ١٠  س ــ  ١١ و الحد الخامس فى مفكوك  + س ٣ ] أوجد النسبة بين الحد السادس فى مفكوك ] ١ س ٢ ٨٨ ٦٢٥ ] ١٠  ١ ٢ فى مفكوك س س ٢ أوجد قيمة الحد الخالى من س + ٢و بين أن هذا المفكوك لا يحتوى  ٤ ] على ٥ حد يشتمل على س ٢س ٣ ١٢  +  ٥ ] أوجد كلاً من الحد الأوسط و الحد الذى يحتوى على ســ ٣ فى مفكوك ] ٣س ٢ ٢ ٣ س  +  ٦ ] فى مفكوك ] ٣ ٢س ٢ ٩ فأوجد قيمة ص : ١٢ هى ٤  ٢ +ص  ٧ ] إذا كانت النسبة بين الحدين السادس و الثامن فى مفكوك ]  ١ +س  ٨ ] إذا كانت النسبة بين معاملات ثلاثة حدود متتالية فى مفكوك ] ١ ٢س معامل س ٩  ١ ١٥ أوجد  + ٤ س ٢  ٩ ] فى مفكوك ] ١٠ ضعف الحد السابع فما قيمة س ؟  ١ +س  إذا كان الحد الأوسط فى مفكوك  [ ١٠ ]       عدد صحيح موجب ! ! و إذا كانت هذه النسبة تساوى فأوجد قيمة س ٩ : تساوى ٧  الحد الأوسط : الحد الذى يحتوى على ســ ٣  و إذا كانت النسبة بين هذين الحدين فما قيمة س ؟ ; ١١ : ٢٤ : النسبى بين الحدود الخامس و السادس و السابع كنسبة ٤٠ ، س ثم أوجد الحد الأوسط أو الحدين الأوسطين فى هذا المفكوك ; أوجد قيمة كل من ; ; ٥ فأوجد قيمة : ٣ : كنسبة ١ و ترتيب هذه الحدود قيمة س التى تجعل الحدين الأوسطين فى المفكوك متساويين  ٣ قيمة الحد الخالى من س  ٢  ١ س  + س ٢  إذا كان فى مفكوك  ب ; يجب أن تكون مضاعفاً ; حد خالى من من س فأثبت أن = ١٢ ; للعدد ٣ ثم أوجد الحد الخالى من س فى المفكوك عندما  ٤٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 43.
         ١ س ٣  + س ٢  ١١ ] فى مفكوك ] ;  ١ +س  ١٢ ] الحد الثالث فى مفكوك ] ١٤ س ١٤ + ٠٠٠٠٠٠ + ٣ س ٣ + ٢ س ٢  + ١ س + ٠ = ١٤  ــ س  ١٣ ] إذا كانت ]  ١ ــ مس  ١٤ ] الحدود الثلاثة الأولى فى مفكوك ] ٢٥ س ١٠٠ ٢ ٣س ١٠٠ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ١ +س  ١ ] استخدم مفكوك ] ٢٠ حسب قوى س التنازلية  س ٢ ــ  ٢ ] أوجد الحد الخامس من النهاية فى مفكوك ] ١ س ١ بس ١١ حسب قوى س التنازلية متساويين  + س ٢  ٣ ] إذا كان معاملا س ٧ ، س ٤ فى مفكوك ]  س ٢ ــ  ٤ ] إذا كان فى مفكوك ] ١ س ١٢  ٢س ٢ ــ  ٥ ] أوجد الحد الخالى من س فى مفكوك ] ١٥  ــ  ٦ ] أوجد معامل ســ ١٠ فى مفكوك ] ١ س ٢ س ٢ ٢ س ٢  ٢س +  من النهاية فى مفكوك R& من البداية ، R& ٧ ] أوجد ] ٢م حسب قوى س التنازلية حيث م عدد صحيح موجب  + س ٢  ٨ ] أوجد معامل سم فى مفكوك ]   أثبت أن الحد الخالى من س يساوى معامل الحد الذى يحتوى على س ٣ ; = ٦ فأوجد نسبة الحد الخالى من س إلى معامل الحد الأوسط ; و إذا كانت ; هو  عدد صحيح موجب ; حيث  حسب قوى س التصاعدية ، س ; ٢٨ س ٢ و الحد الخامس فى نفس المفكوك ١١٢٠ أوجد قيمة كل من ٢ =  : صفر فأثبت أن =  ٢+ ٣ ١١ + ٤ و كان ٤ ; ، ، حسب قوى س التصاعدية هى ١ ; على الترتيب أوجد كلاً من م ،     ; فى إثبات أن : ; + ٠Q ; ; + ١Q + ٠٠٠٠ + ٢Q ; ٢ = ;Q ; ب = ١  فأثبت أن ; تقبل القسمة على ٣ ; حد خالى من س فبين أن ; ١ س  ٤٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 44.
         ٥ حسب قوى س التصاعدية ، و بأخذ الحدود الثلاثة الأولى من المفكوك  ٢ + س  ٩ ] أكتب مفكوك ] ٢٠  ٢س + ٣  ١٠ ] أوجد النسبة بين الحد المشتمل على س ٥ و الحد المشتمل على س ٦ فى مفكوك ] ٨ حسب قوى س التنازلية ، و احسب قيمته عندما  ٣س + ٢ص  ١١ ] أكتب الحد السادس فى مفكوك ] ١ ٢ ١ ٣ ٥ مقرباً الناتج لأقرب مائة  ٩,٥ ٥ و استخدم المفكوك لإيجاد قيمة  ــ ب  ١٢ ] أكتب مفكوك ] ١٠  ٦س + ص  ١٣ ] أوجد الحد الأوسط فى مفكوك ] ١٤ ] أوجد معامل س ]  ١ +س  ١٥ ] فى مفكوك ]  ١ + مس  ١٦ ] فى مفكوك ] ١ ٣ حسب قوى س التصاعدية متساويين  ١ +س  فى مفكوك  ١٧ ] إذا كان معاملا سب ، س ]  ١ +س  ١٨ ] إذا كانت معاملات ثلاثة حدود متتالية فى مفكوك ]  س + ٢  ١٩ ] فى مفكوك ] ، س ; فما قيمة كل من  س + ١  ٢٠ ] إذا كان ] ١٠ حسب قوى س التصاعدية يساوى :  ١ + مس  ٢١ ] إذا كان مفكوك ]   ٥ مقرباً الناتج لخمسة أرقام عشرية  ٢,٠٠١ و وضع س = ٠,٠٠١ أوجد قيمة س = ، ص= ; ٢  ١ +س  فى مفكوك ; و أثبت أنه ضعف معامل س ; ٢  ١ +س  فى مفكوك ــ ١ ; ; عدد صحيح موجب ; حيث ; ٨ فأوجد قيمة & × ٤& ١٨ = ٢  ٦& ٥ إذا كان ; ; إذا كان معاملا س ، س ٢ هما ٦٣ ، ١٢ على الترتيب فما قيمة كلاً من م ،  + ب =  : فأثبت أن ; حسب قوى س التصاعدية هى ٤٥٥ ، ١٠٥ ، ١٥ ، و رتب هذه الحدود ; على التوالى . فأوجد قيمة ; ٢ ٣ ١٤& = ١٥& ، ١٢& = ١٣& حسب قوى س التنازلية كان ; س س س س ٠٠٠٠٠ + ٤ ٤  + ٣ ٣  + ٢ ٢  + ١  + ١ = حيث عدد  صحيح موجب وكان أوجد قيم كل من ، ; ٢  ٤ = ٤ ، ١٢ = ١ : ;  ، ب ،  ، ٠٠٠٠٠٠ فأوجد قيم كل من م + ١٥ س ٣ + س ٢  + ب س +   ٤٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 45.
          ١ +س  ٢٢ ] فى مفكوك ] ; استنتج قيمة كلاً من : ١٠Q١٠ + ٠٠٠٠٠٠ + ٢Q١٠+ ١Q١٠ + ١  أولاً   ١ +س  ٢٣ ] فى مفكوك ] ١١ س ص ٢ص س س ٢ ٢ص ٢  ٢٤ ] أوجد معامل ]  ــ  ٧ فى مفكوك  ٢: ١٥ حسب قوى س التنازلية هى ١  س + ٢ص  ٢٥ ] إذا كانت النسبة بين معاملى حدين متتاليين فى مفكوك ] ٨ و أوجد الحد المشتمل على س ٤  س ٢ ــ  ٢٦ ] اثبت أنه لا يوجد حد خالى من س فى مفكوك ] ٢ س ١٠ تساوى  ٢س + ٣ص  ٢٧ ] إذا كانت النسبة بين الحد الأوسط و الحد الخامس فى مفكوك ] ٨ فأوجد قيمة  ب +  ٦ فى مفكوك & + ٤& = ٥& ٢٨ ] إذا كان ٢ ] ٣ ٢  ب ٠٠٠٠٠٠ + س ١٤ + ٥  ٢ +س  ٦ + س ٤  ٢ +س  ٧ س ٢ + ٧  ٢ +س  ٢٩ ] ضع المفكوك ] ٦ × ٧ ١ × ٢ ٢٠ فوجد أن نسبة مجموع معاملى الحدين الأول و الثانى من  ١ +س  ٣٠ ] أخذت ٣ حدود متتالية فى مفكوك ] ٨  ١ +س  ٨  ١ ــ س  ٣١ ] أكتب مفكوك ] ٥  ١ ــ ١ ــ س ٢  ٥  ١ ــ س ٢ + ١ ٣٢ ] أكتب مفكوك ] ٣٣ ] باستخدام نظرية ذات الحدين أثبت أن : ٢٣ ] ;  ب +  ٣٤ ] فى مفكوك ]   ; حسب قوى س التصاعدية ، إذا كان معامل الحد الثانى يساوى معامل الحد السادس فأثبت أن : ١ ــ ; + ٢Q ; ٤ ــ Q ; ٠ = ٦Q ١٥Q١٥ × ١٥٢ + ٠٠٠٠٠٠ + RQ١٥ × R٢ + ٠٠٠٠٠٠ + ٢Q١٥ × ٢٢ + ١Q١٥ × ٢ + ١  ثانياً  فأوجد رتبتى الحدين . فأثبت أن ٥س = ٦ص . على صورة مقدار ذى حدين ، و إذا كان الحدان الأوسطان متساويان فأوجد قيمة س ٣ ، فما هذه الحدود ؟ : هذه الحدود إلى مجموع معاملى الحدين الثانى و الثالث منها كنسبة ٥ ــ ١ تقبل القسمة على ٦٤ ; ــ ٨ ; إذا كان ل هو مجموع الحدود فردية الرتبة ، م مجموع الحدود زوجية الرتبة ٢ ــ ب ٢  = ل ٢ ــ م ٢  أولاً  : فأثبت أن  ; ٢  ب +  = ٤ ل م  ثانياً  ; ٢  ــ ب  ــ ;  ٤٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 46.
          ١ +س  فى مفكوك R + ١ ، س R ٣٥ ] بين أن الفرق بين معاملى س ] ٢  ١ + س  ٣٦ ] أثبت أن الحد الأوسط فى مفكوك ] ; ٦  س ٢ + ١ + س  ٣٧ ] أوجد معامل س ٣ فى مفكوك ]  + ٢س  ٣٨ ] إذا علم أن الحد الثالث فى مفكوك ]  ــ ١ ;٢  ٠٠٠٠٠ × ٥ × ٣ × ١ ; × ٠٠٠٠٠ × ٣ × ٢ × ١ ١ س ٢ ١ س  ١٢ أوجد الحد المشتمل على س ٩  + س ٣   ٣٩ ] فى مفكوك س ٥ ]  ١ + س  ٤٠ ] فى مفكوك ]  ١ + مس  ٤١ ] فى مفكوك ]  R ــ ;   + ١ R ــ ;   س +ص  ٤٢ ] إذا كانت الحدود الثانى و الثالث و الرابع من المفكوك ]  ١ + R  R ١ س ١ س ٩  س ــ  ٩  + س فى مفكوك  ٤٣ ] أوجد معامل س ٦ ]  س + ب  ٤٤ ]إذا كان الحدان الأوسطان فى مفكوك ] ١١٢٠ = ٥& ٤ ، و معامل = ٣& ٨ حسب قوى س التصاعدية ، إذا كان  س + ١  ٤٥ ] فى مفكوك ]   ١ + ; يساوى الفرق بين معاملى  ١ +س  ــ ١ فى مفكوك R + ١ ، س R س ; ٢  ٢س  يساوى ; ; حسب قوى س التنازلية خالى من س ٣٠ حسب قوى صالتصاعدية   ١ +ص ٣  فأوجد قيمة ص التى تجعل هذا الحد مساوياً للحد الثانى فى مفكوك ; س ٢ × = R&: + ٢ R& أثبت أن : ; ٥ : ٥ هى ٨ & ٧ إلى معامل & إذا كانت نسبة معامل = ٨ ثم أوجد قيمة م ; ١ فأثبت أن : & ١١٢ معامل = ٣& ، قيمة معامل ; هى ١٠٨٠ ، ٧٢٠ ، ٢٤٠ على ; الترتيب . فأوجد قيم س ، ص ،  و أثبت أن هذا المفكوك لا يشتمل على ســ ٣ ١ + ; + متساويين XL ; حيث فأوجد قيمة س س ،  فأوجد قيمتى  ٤٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 47.
         ١ س س ٢ ٦  ٣ ــ ٢س  ٦  ٢س + ٣   ١١  ٥  + ٢س   ١٠  ٣ س ! ! ١ س!٢ ! ! [ ٠,٨١٥ ، ٠,٩٣٢ ، ١,٢١٩ ] ٥ ٠,٩٦  [ ١٥ ] ٧ ٠,٩٩  [ ١٤ ] ١٠ ١,٠٢  [ ١٣ ] ٦  ٦ باستخدام ذات الحدين ثم استخدم المفكوك لإيجاد قيمة ٢+ س ١٦ ] أوجد مفكوك ] ٢٠١ ١٠٠ [ مقربةً لثلاثة أرقام عشرية [ ٦٥,٩٤٤ ٥١,٩٧  ٥ باستخدام نظرية ذات الحدين و استخدم المفكوك فى إيجاد قيمة  ٢س ــ ٣ص  ١٧ ] أوجد مفكوك ] [ مقرباً الجواب إلى ٣ أرقام عشرية [ ٢٩,٦٧١ [ ٢١٨٧ فما قيمة س ؟ [ ٢ = ٠٠٠٠٠ + س ٧ + ٧س + س ٢ + ١٨ ] إذا كان : ١ ] ٦ × ٧ ١ × ٢ ٥ × ٦ ١ × ٢ ٦٤ ص ٦ + ٨١ ص ٢س ٤ ــ ٠٠٠٠٠ × ٤ × + ٢٤٣ صس ٥ × ٢ × ١٩ ] إذا كان : ٧٢٩ س ٦ ــ ٦ ] [ ٦٤ ] هو مقدار ذى حدين فما هو ذلك المقدار ؟ و ما قيمته العددية عندما س = ص= ٢ ٠ = ٢٥٦ س ٨ + ٠٠٠٠٠ + ٦  ١ ــ س  ١١٢ س ٢ + ٧  ١ ــ س  ١٦ س + ٨  ١ ــ س  : ٢٠ ] إذا كان ]       مسائل على مفكوك ذات الحدين : ــ باستخدام نظرية ذات الحدين أوجد مفكوك كل مما يأتى : ب س ٥  ٣+ ٢  ٣ ٦    ــ ٧   ٢   + ب   ١  ٨ س ــ ص س ــ س   ٢+ ١٧   ٦   ! ٢   ٥ ٤   ٢٣  ٤  ٦  ٩ ــ س ــ ٧ ١٠     ٢  ٨   ! ٣ ١   ٧ ــ  ! ! ٥  ٢ ــ ٣ ــ س  ٥  ٣ ــ س + ٢   ١٢  ــ باستخدام نظرية ذات الحدين أوجد قيمة كل مما يأتى مقرباً الجواب إلى ٣ أرقام عشرية : [ فما هى قيمة س ؟ [ ــ ١  ٤٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 48.
         [ ١١٢ ] ٤  ١ ــ ٥  + ٤  ٥ + ١  [ ٢١ ] [ ٢ ٢٢٠٠ ] ٦  ١ ــ ٢ ٢  ٦ ــ  ٢ ٢ + ١  [ ٢٢ ] [ ٢ ٢٢٠٠ ] ٥  ٣ ٢ ــ ٢ ٣  ٥ ــ  ٢ ٣ + ٣ ٢  [ ٢٣ ] [ ١٢ مقرباً إلى ٣ أرقام عشرية [ ٢,٠٥٣  ٠,٩٨ + ١٢ ١,٠٢ [ ٢٤ ] [ ٦ مقرباً إلى ٣ أرقام عشرية [ ٠,٠٣٦ ٠,٩٩٧ ٦ ــ ١,٠٠٣ [ ٢٥ ] [ ١٦ أوجد قيمة س [ # ١ = ٤  س ــ ١  + ٤  س + ١  : ٢٦ ] إذا كان ] [ ٥٦٠ س ٢ أوجد قيمة س [ ٢ ، ٠ ، ــ ٢ = ٦  س ــ ٢  ٦ ـــ  س + ٢  : ٢٧ ] إذا كان ] ٨ س ٨ Q٨ + ٠٠٠٠٠٠ + ٢ س ٢ Q ١ س + ٨ Q٨ + ٠Q٨ = ٨  ١ + س  : ٢٨ ] إذا كان ] Q ٨ Q٨ + ٠٠٠٠٠٠ +  Q ٨ Q٨ +  Q ٨ ٨] ٨٧ ٣٢ ١٠ Qii ــ ــ ــ صفر ] ٨ ٨ ٨ ٨ ٨ [ ٦٥٦١ ] ٨Q٢٥٦ + ٠٠٠٠٠٠ + ٣Q٨ + ٢Q٤ + ١Q٢ + ٠Qiii مسائل على الحد العام و الحد الأوسط فى مفكوك ذات الحدين : ــ أوجد قيمة الحد المطلوب فى مفكوك كلاً مما يأتى : فى س فى س ــ ١٠ ٨ س س [ ٤ ٣٣٦٠ ، ٤ ١١٢٠ ]  ١ ٢&  ٧ ،  ٢+ ١ ٥ & [ ١ ] [ فى ٥ ١١ ٣ ١٦٠ ٩ ]  ٣  ٦ & ٦ ٣ ،  ٢ + س فى ــ س ٤ س  ، ــ س ٤ & [ ٢ ] فى س ــ ص فى س ــ [ س ص [ س ٤ ٢٩ ،  ٢  ٨ ٧ & ،   ٥ & [ ٣ ] ٢ ٣٥ ٨ ٣ ٢ ١ ٣س ٧ ١٨ س ٢ س ٣ [ ١٢ [ ، ســ ٢  ٢ س ــ  ٩ فى & ، ١٠  ــ  ٧ فى & [ ٤ ] ٢ س ٢ ٢ س ٢ ١ س!٢ ٤٤٨٠ ٢٧ ٤٩٥ ١٦ [ ] ٨  +  ٥ ] أوجد معامل الحد الرابع فى مفكوك ] ١٨٩ ٤ ٣ س ٢ ٤ ٢ س ٢ [ ٥ = ســ ٤ & ] ١٣  ــ  ٦ ] أوجد الحد العاشر من النهاية فى مفكوك ]   ــ أوجد قيمة كل مما يأتى باستخدام نظرية ذات الحدين : ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! [ ٢٥٦ ] ٨Q٨ + ٠٠٠٠٠٠ + ٢Q٨ + ١Q٨ + ٠Q٨i ! ! ! س ٧١٥ ٢  ٤٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 49.
         ٧ ] أوجد رتبة و قيمة كلاً من الحدود الآتية : ] ٨ ] أوجد رتبة و قيمة كلاً من الحدود الآتية : ] ٢ س ٣ ٩ ] أوجد رتبة و قيمة كلاً من الحدود الآتية : ] ٢ س ٣ س ص ٢ س ١ !٣ س!٣ ! ! ٣ ١٥٤ س ! ] أوجد ٣٠ : النسبة بين ٧ ١٦ [ ]  ٣ الحد السابع فى مفكوك  ١٤  ١ ٣س ــ ، الحد التاسع فى مفكوك س  ١٠ ] + ١٠ ٣ ٢س [ ١٦٠ : ٢١ ] ٣  ] أوجد النسبة بين الحد الأوسط و الحد الرابع فى مفكوك س ٢+ ٣  ١١ عندما س = ] [ ] فى مفكوك سصإذا كان معامل فما قيمة ٢ # ] ؟  ٥٦٠ = ٧ ٥&   +  ١٢ ] ] ٢ ١٧٩٢٠ إذا كان الحد الأوسط فى مفكوك س ٨ ٢ يساوى فما قيمة س ؟ [ [  + ٣ ١٣ ] # ٢ ٣س ١٣ متساويين . أثبت أن : ٣س = ٢ص  ٣س + ٢ص  ١٤ ] إذا كان الحدان الأوسطان فى مفكوك ] ١٠ حسب قوى س التصاعدية وجد أن نسبة الحد التاسع إلى الحد الأوسط تساوى  ١ + س  ١٥ ] فى مفكوك ] [ ٧ أوجد قيمة س [ ٢ : ١٠ ٢  س + ب  إذا كان الحدان الأوسطان فى مفكوك  [ ١٦] ١ + ; عدد ; متساويين بفرض ب  ٣ س !  + س  ٣ فى مفكوك & ١٧ ] إذا كان معامل ] ٢ ١٤ يساوى  س ــ  ٥ فى مفكوك & ، ١٥  + س  ٦ فى مفكوك & ١٨ ] إذا كانت النسبة بين ]   ١٢ الحد الأوسط فى مفكوك [ ٦ ٩٢٤ ]  ١     ــ س س ٥ ب الحدان الأوسطان فى مفكوك ٢ ٤ ٩ [ ! ٥٠٤ = ٦& ، + س ٥٠٤ = ٥& ] ! ٢ ١  س س   [ ٨٠٦٤ ] ١٠  + س الحد الأوسط فى مفكوك    [ ١٩٣٠٥ س ٦ = ٩& ، ٢١٤٥ س ٩ = ٨& ] ١٥  + الحدان الأوسطان فى مفكوك  ب  [ ٧٠ س ٤ص ٤ ] ٨  + ٢س  الحد الأوسط فى مفكوك    [ = ٧& ٣ ٢١٤٥ س ، = ٦& ] ١١ +  الحدان الأوسطان فى مفكوك  ب  صحيح موجب فأوجد قيمة س [ ] ; [ يساوى ٢٧ أوجد عدد حدود هذا المفكوك [ ١٠ ٢ ٣ ١ س ١ س ٢ ٩ ، أوجد قيمة س [ ] : ٨  ٤٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 50.
         ٥٤ : ٩ تساوى ٧ ٢ + س ٢  ٨ فى مفكوك & ، ٩   + ٢س  ٦ فى مفكوك & ١٩ ] إذا كانت النسبة بين ] [ ]  أوجد قيمة [ ١٨١٤٤٠ س ٤ ] ٨  ٣ ــ ٢س  + ٨  ٢س + ٣ ٢٠ ] أوجد قيمة الحد الأوسط فى مفكوك ] ٢١ ] أوجد قيمة الحد الأوسط فى مفكوك ] أثبت أن الحد الأوسط فى مفكوك  [ ٢٢ ] ٢ ٣  ــ ١ ;٢ × ٠٠٠٠٠ × ٥ × ٣ × ١ ; ; حسب قوى س التصاعدية كان الحد الثانى = ــ ، س ثم أوجد الحد الرابع [ ٥ ، ــ ، ــ ] ; و الحد الثالث = أوجد قيمتى  ١ + س  فى مفكوك  [ ٢٣ ] ٤٠ ٩  ١ + س  الحد الثالث فى مفكوك  [ ٢٤ ]  ١ ــ مس  الحدود الثلاثة الأولى فى مفكوك  [ ٢٥ ] ١٠ ٣ ٢ ٣ ١ ٤ ١٥ بنظرية ذات الحدين حسب قوى س التنازلية وجد أن :  ٢س ــ ٣  فى مفكوك  [ ٢٦ ] ٨٠ ٢٧ [ ٠ لقيم خاصة للمتغير س أوجد هذه القيم [ ٠,٥ أو ٤,٥ = ٥& + ٤& ١٠ + ٣& ١٣ مسائل على معامل س& والحد الخالى من س فى مفكوك ذات الحدين : [ ٦ = ــ ٢٥٢ & ] ١٠  س ــ  ١ ] أوجد الحد الخالى من س فى مفكوك ] ١ س ٣س ٢ [ ٦٩٣ ] ١١  +  أوجد معامل س فى مفكوك  [ ٢ ] ٢ ٣س [ ١٢٠ ، ٢١٠ ] ١٠ أوجد معامل كل من س ٢ ، ســ ١  + س ٢  فى مفكوك  [ ٣ ] ١ س [ ] ٩  س ٢ ــ  ٤ ] أوجد الحد الخالى من س فى مفكوك ]   [ ١٦٠ س ٣ = ٤&] ٠٠٠٠٠ + س ٦ + ٤  ١ + س  ١٥ س ٢ + ٥  ١ + س  ٦س + ٦  ١ + س  ٢  ١ + س  ; ٢ × يساوى ; س × ; ; عدد صحيح ; حسب قوى س التصاعدية حيث [ ٢ # ، ، س [ ٨ ; موجب هو ٢٨ س ٢ و الحد الخامس فى نفس المفكوك ١١٢٠ . أوجد قيمة كل من ; حسب قوى س التصاعدية هى : [ [ ٠,٠١ ، ٢٥ ; ١ ، ــ س ، ٠,٠٣ س ٢ على الترتيب أوجد م ، ٣ ٢ ١ ٣س ٧ ١٨  ٥٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 51.
         ٢ س ٢ ٣ س ٢ ٨ و كذلك قيمة الحد الخالى من س فى هذا المفكوك  +  ٥ ] أوجد معامل س ٤ فى مفكوك ] [ ، ] ٤ س ٢ ١٥  +  أوجد معامل س ٢٥ ، معامل فى مفكوك  [ ٦ ] ١٨٩ ٤ ٢٨٣٥ ٨ ٣٠٠٣ ٣٢ ٢ س ٣ ١ س ٣ [ ٤٠٠٤٠ = ١٠& ، = ٦& ] ١٥ ٢ ٢ ] أوجد  +  ٤ ١٤ [ ] معامل ٧ ] س فى مفكوك س س ٢ س ٣ ١٣٦٥ ١٢٨ [ ١٣ [ ــ ١٧١٦  س ٢ ــ  ٨ ] أوجد الحد الخالى من س فى مفكوك س ٩ ] ١ س ٣ ١ !س ٧ ١٠ ] [ ٣٣٦٠ ]  ١ ٢  ٢ أوجد معامل الحد المشتمل على فى مفكوك س س ــ ٩ ] س ٢ س ٣ [ ٧٥٦ ] ٩  ــ  ١٠ ] أوجد الحد الخالى من س فى مفكوك ] ٢ س ٣ ٣ س س ص ٢ ٤ س ص ٢س [ ١٩٢٠ ] ١٠  +  ١١ ] أوجد معامل الحد الذى يشتمل على ( ) فى مفكوك ] ص س ٢ ١٠ أثبت أنه لا يوجد حد خالى من س ، ثم أوجد معامل [ ]  ــ  ١٢ ] فى مفكوك ] ٢ س ٣ ١ س ٢  ٢س ــ  إذا كان الحد الخامس فى مفكوك  [ ١٣ ] س ٣  فى مفكوك  [ ١٤ ]  + ;٥ ١ س ٢ أوجد معامل س ٩ فى مفكوك  [ ١٥ ] ١٠٥ ٢ ١ س ٦ ٩×١٠ ١×٢ ص ص ٢ [ ٧٠ ] ٨  س ٢ ــ ٨  + س ٢  ٨ فى مفكوك  سص  ١٦ ] أوجد معامل ]   ! ; ; خالياً من س فأوجد قيمة [ ١٢ ، ــ ١٠١٣٧٦ ] ثم أوجد معامل ســ ٣ أثبت أن الحد الخالى من س هو معامل الحد الذى يحتوى ٤ أوجد قيمة معامل س ٥ & و إذا كان الحد الخالى من س هو ; [ ١٥٣٦٠ ] ١٠ ١+س  + ٠٠٠٠٠ + ٢ ١ +س  ٨ ٢+س  +  ١+س  ٩ ٢ +س  ١٠ + ١٠ ٢ +س  ! ! على س ٥ ; [ ١٠ ] ! ٢ !  ٥١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 52.
         ;٢ إذا كان عدداً صحيحاً موجباً فأثبت أنه لا يوجد حد خالى من س فى مفكوك س س  ١ ٥ ٢ +  ;  [ ١٧ ] [ إلا إذا كانت = أو مكرراً لها . أوجد الحد الخالى من س عندما = ١٠٠١ = ١١& ] ٧ ; ٧ ; إذا كانت نسبة معامل الحد الذى يحتوى على س ٤ إلى معامل الحد الذى يحتوى على س ٢  [ ١٨ ] [ بفرض أنها عدد صحيح موجب [ ٨ ; ٥ فأوجد قيمة : بنظرية ذات الحدين تساوى ٨ ١٠  + ٢س ٢  التى تجعل معامل س ٥ = معامل س ١٥ فى مفكوك  أوجد قيمة  [ ١٩ ]  س ٣ ١ !٣ س ٢  ٢٠ ] إذا كان الحد الخالى من س فى مفكوك ]  + ١٥ يساوى معامل س ٥ فى نفس المفكوك ك س ٣ ٣ ٥ ٨ ٧٠ أوجد قيمة س [ ] = ٤& ١٦ متساويان ، و إذا كان  ١ + س  ١٣ فى مفكوك & ، ٥& ١ ] أثبت أن معاملى ] ١ ٢ ; حسب قوى س التصاعدية ، إذا كان معامل الحد الخامس يساوى ٧٠ ، الحد الثالث [ # ، ، س [ ٨ ; يساوى ٦٣ ، أوجد قيمتى  ١ + س  ٢ ] فى مفكوك ] ٣ ٢ ; حسب قوى س التصاعدية يساوى معامل الحد الثالث عشر [ # ، ٧ فى نفس المفكوك ، أوجد قيمة س [ ١٥ & ٤ = ٩& . و إذا كان ٧ ; أوجد قيمة  ١ + س  ٣ ] إذا كان معامل الحد الرابع فى مفكوك ]  ١ + س  ٤ ] إذا كانت النسبة بين معاملى الحدين الثالث و الخامس فى مفكوك ] ٢ ٣ ٣ ٢ ٢٥ يساوى معامل الحد الذى ترتيبه  ١ + س  فى مفكوك  ١ + R ٢  ٥ ] إذا كان معامل الحد الذى ترتيبه ] [ ١٥& ، ١٢& أوجد ترتيب هذين الحدين [ ،  ٥ + R أثبت أن :  [ ٦ ]    ٥ ــ ٤س  فى مفكوك ; موجبة [ ]  حيث أوجد قيمة ك [ ] : &  ١ + س  مسائل على معامل س& فى مفكوك ; ؟ ; ٧ فما قيمة : هى ٢ [ ، و إذا كان الحد السادس فى هذا المفكوك يساوى الحد السابع ، أوجد قيمة س [ ٩ ; ; R × = RQ ــ ١ ; ١ ( R ( ; ــ ١ حيث RQ  ١ + س  إذا كان ضعف معامل الحد الحادى عشر فى مفكوك ; يساوى ثلاثة أمثال معامل الحد العاشر  ١ +ص  فى مفكوك ــ ١ ; [ [ ١٥ ; فأوجد قيمة  ٥٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 53.
          ١ + س  ٧ ] إذا كانت النسبة بين معامل الحد الخامس فى مفكوك ] ٢ ٣ ١ + ; ١ + RQ ٢٠ يساوى معامل الحد التاسع فى مفكوك  ١ + س  و إذا كان مجموع معاملى حدين متتاليين فى مفكوك [ ١٤& ،١٣& ٩ أو & ،٨& ٢١ ، أوجد ترتيب هذين الحدين [  ١ + س  ٨ ] أثبت أن : ]  س + ١  إذا كان معاملا س ، س ٢ فى مفكوك  [ ٩ ] ٢  ١ + س  أثبت أن معامل الحد الأوسط فى مفكوك  [ ١٠ ] ; ٢ ٣  ١ + س  ٢ فى مفكوك + R ، + ١ R ، R إذا كونت معاملات الحدود التى رتبها  [ ١١ ] ; + RQ ; ١ + RQ أثبت أن : =  [ ١٢ ] ; ط Q ط + R + ل R ١٥ أوجد :  ٤س + ٣ص  ١ ] فى مفكوك ]   ١ + ; و معامل الحد الرابع فى مفكوك  ١ + س  ; ، و إذا كان الحد السابع فى المفكوك الأول يساوى الحد ; ٤ ، أوجد قيمة : يساوى ٩ [ ، السادس فى المفكوك الثانى ، أوجد قيمة س [ ٨ ; + RQ ; = ١ + RQ ; حسب قوى س التصاعدية هما ١٦ ، ٦ [ ٩ ، ] ; ،  على الترتيب ، فما قيمة كل من يساوى مجموع معاملى الحدين ٢  ١ + س  الأوسطين فى مفكوك ــ ١ ; ; [ [ ٥ ، ٧ R ، ; ٥ أوجد قيمتى & ٤ = معامل & متتابعة حسابية و كان معامل  ١ + س  : إذا كان ; RQ ١ + ; ١ + R ; ٠٠٠٠٠ + س + س ٣ + ل س ٤ R س ٢ + Q ١ + ط س + = فأثبت أن : + = مسائل على قانون النسبة بين حدين متتاليين : Q٢ R + Q ١٢& معامل ١١& معامل ٤& ٥& ٩& ٧& ٦& معامل ٨& معامل ٥ص ٢ ١٥ ٤٤ ٤س ٩ص ٨١ ص ١١٢ س ٢ ١١٢ ١٣٥ [ ، ، ، ، ] ، ، ، ، ٧& ٦& ٤س  ٥٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 54.
         ١٣ حسب قوى س التصاعدية وجد أن النسبة بين الحد الحادى عشر  ٢ + س  فى مفكوك  [ ٢ ]  ٣ + س  ٩ فى مفكوك & ، ٨& إذا كانت النسبة بين معاملى  [ ٣ ] ٣ ٢ ٣ ٢ ٢س ٣ ;  +  ٤ & ، ٦& ٤ ] ] إذا كانت النسبة بين معاملى فى مفكوك حسب قوى س التصاعدية تساوى [ ٩ ; ، أوجد ٢٧ قيمة : ٨ [ ] إذا ١٣ [ ٥ : ٧ كان الحدان الأوسطان فى مفكوك س + ص  متساويين ، أوجد قيمة س ٧٥  ٥ ] ،ص [ ٢  ٣ س + ٥  ٦ ] إذا كان الحدان الأوسطان فى مفكوك فى مفكوك ] ١ + ; متساويين ، أوجد قيمة س علماً ٥ ٣ عدد صحيح موجب [ ] ; بأن [ ٩& ،٨& ٥ أوجد رتبتى هذين الحدين [ : ١٨ تساوى ٢  ٢س + ٣  ٧ ] إذا كانت النسبة بين معاملى حدين متتاليين فى مفكوك ]  ١ + س  ٦ فى مفكوك & ٨ ] إذا كانت معامل ] ٣ ٤ ٨ حسب قوى س التصاعدية  ١ + س  إذا كانت الحدود الرابع و الخامس و السادس فى مفكوك  [ ٩ ] [ تكون متتابعة حسابية لقيم خاصة للمتغير س فأوجد هذه القيم [ ٠,٥ أو ٢ ; فى تتابع حسابى [ [ ٨ ; و كانت س = ٢ص فأوج قيمة  س +ص  إذا كان الحد الأول و الثانى و الثالث فى مفكوك  [ ١٠ ] ٠ = ٥& ٢ + ٤& ١٠ + ٣& ٨ حسب قوى س التنازلية إذا كان ١٥  ٢س ــ ٣  ١١ ] فى مفكوك ] ١ ٢ ٣ ٢ ٢ ٣ ١ ; حسب قوى س التنازلية وجد أن الحد العاشر = الحد التاسع [ ، س [ ٦ ، ٢٠ ; ١٤ أوجد قيمة كل من & = ١٥& ،  س + ٣  فى مفكوك  [ ١٢ ] ٤ ; حسب قوى س التصاعدية يساوى ضعف [ ، ، س [ ١١ ; ٤ فأوجد قيمة كل من : الحد السابع ، و كانت النسبة بين الحدين الرابع و الثانى تساوى ١٥  ١ + س  إذا كان الحد السادس فى مفكوك  [ ١٣ ] ١ ٢ ٤ و كان الحد : ٨ تساوى ١  س +ص  ٤ فى مفكوك & ، ٣& إذا كانت النسبة بين  [ ١٤ ] [ ٢ # ، الأوسط = ١١٢٠ فأوجد كلاً من س ،ص [ # ١   ١٠ أوجد قيمة س [ ] : و الحد العاشر هى ٣ ; [ [ ٢٣ ; ٢ فما قيمة : تساوى ٣ ; ٦ فى هذا & ، ٨& ٩ ، النسبة بين & يساوى معامل [ # ، ، س [ ١٣ ; ٤ أوجد قيمتى : المفكوك تساوى ٣ لقيم خاصة للمتغير س أوجد هذه القيم [ أو ]  ٥٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 55.
          ١ + س  فى مفكوك  [ ١٥ ] ٤ ب =  هما ٦٠ ، ٩٦ على الترتيب و كانت [ ٦ ، # ، [ # ٢ ; ب ، ،  فأوجد قيمة  ب +   ١٦ ] إذا كان الحدان الثانى و الثالث فى مفكوك ]  ١ + س  إذا كونت معاملات الحدود الخامس و السادس و السابع فى مفكوك  [ ١٧ ]  ٢س + ص  ١٨ ] فى مفكوك ]  ١ + س  ١٩ ] فى مفكوك ] ١ ٢ ١ ٢ ٦ تكون متتابعة & ٤٤ ، ٤& ٩ ، ٢& حسب قوى س التنازلية وجد أن ٩ ;  ٢س +ص  ٢٠ ] فى مفكوك ] [ ؟ [ ١٣ ; حسابية فما قيمة  ٢س + ١  ٢١ ] فى مفكوك ] ; هى ٢٥٢ ، ــ ٥٦٧٠ ، ١٥١٢ [ ٨ ، ٣ # ، [ # ١ ; على الترتيب فأوجد قيم س ،ص، مسائل عامة على نظرية ذات الحدين :  س ــ ص  ٢٢ ] إذا كانت الحدود الثالث و الرابع و الخامس فى مفكوك ] ٢ س ٢  ١ ] فى مفكوك ]  + ٩ أوجد : ( أولاً ) قيمة الحد الخالى من س   ; ٦ فأوجد قيمة : ١٤ : ٨ يساوى ٢١ & : ٧ &: ٦& إذا كان [ [ ٩ ، ١ ; كل من س ، ; ; متتابعة ثم أذكر رتب الحدود الأخرى فى المفكوك التى تكون معاملاتها نفس المتتابعة الحسابية السابقة ; حسابية فأوجد [ ٤& ، ٣& ، ٢& ، ( ٧ ، ١٤ ) ] ; ٢ + R& ٣ = ٣ + R& ٤ ، ٢ + R& = + ١ R& ، إذا كان : [ [ ٦ ، ١٣ R ، ; ،ص= ٢ س ، أوجد قيمتى ; [ # ، ، س [ ١٠ ; ٧٥ فأوجد قيمة كل من = ٤& × ٢& ، ٤٥ = ٣& إذا كان : ٤ ; بنظرية ذات الحدين حسب قوى س التصاعدية وجد فى ثلاثة حدود متتالية أن و كذلك أوجد رتب هذه الحدود الثلاثة ; نسبة معاملات أولها إلى ثانيها إلى ثالثها ٢٠ : ٥ : ١ أوجد قيمة [ ٨& ، ٧& ، ٦& ، ٢٠ ] ١ ٤س ١ ٢ ٢١ ١٢٨ [ ، = ٧& ( ثانياً ) قيمة س التى تجعل الحدين الأوسطين فى هذا المفكوك متساويين [  ٥٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 56.
         ٢ + س  ٢ ] فى مفكوك ] ; ١ س ٢س ٣ ١٢ ، و إذا كانت  +  ٣ ] أوجد قيمتى الحد الأوسط و الحد المشتمل على ســ ٣ فى مفكوك ] [ ، ٩ أوجد قيمة س [ ٩٢٤ ســ ٣٥٢ ، ٦ ســ ٣ : النسبة بين هذين الحدين تساوى ٧ ٣ ٢ ٣ ٢ س ٢ س ٢  أوجد رتبة الحد الخالى من س فى مفكوك  [ ٤ ]  + ١٢ حسب قوى س التنازلية [ ٢,٥ ، = ٩& ثم عين قيمته و إذا كان هذا الحد يساوى ٠,٠٢ من الحد السابق له مباشرة فأوجد قيمة س [ ١ س  + ٢س  ٥ ] إذا كان الحد الخالى من س فى مفكوك ] ١ ٢س ٤٩٥ ٢٥٦ معامل الحد الأوسط ، و إذا كان الحد الثامن فى هذا المفكوك يساوى أربعة أمثال الحد السادس أوجد قيمة س [ # ] ٢ ٣س ٣س ٢  +  ٧ فى مفكوك & ، ٦& ، ٥& ٦ ] إذا كانت النسبة بين ]  ١ + س  ٧ ] فى مفكوك ] ١ ٢ ٤ ٣ س ١ ; ٢ +R& + ١ + R& + ١ + R ١ + R& & ، & ١ + ; ] فى مفكوك س ٢ ٨ ١٠ ٤ ٣  ٨ ] + حسب قوى س التنازلية ، إذا كانت النسبة بين معاملى تساوى [ ٤ ٣ ، ٨ ; ، الحدان ٩ الأوسطان فى هذا المفكوك متساويان ، أوجد قيمتى ، س [ : ٢٠ ] ٥ ١٠٢ أوجد معامل س فى حاصل ضرب + س ــ س [ ــ [ ١٥  ٢١   ١  ٩ ] [ ٧٠ ] ٧ س ــ  ٢  ١ + س  أوجد الحد الخالى من س فى حاصل ضرب    [ ١٠ ] [ ٣٤ ] ٥ + ١  ٢  ٢ + س ٢  أوجد الحد الخالى من س فى حاصل ضرب  ب  ١ س ١ س٢ [ ٥ ، ــ ١٠ ] ٥ ١ + س ــ س ٢  ١١ ] أوجد معامل كل من س ٢ ، س ٣ فى مفكوك ]   = ٤ ; أثبت أن الحد الخالى من س هو الحد الأوسط و أوجد قيمته عندما [ ٧٠ ] ; هو الحد السابع ، أثبت أن هذا الحد يساوى ; ١١ أوجد قيمة : ٢٤ : تساوى ٤٠ [ ١٢٨٧٠ = ٩& = ١٦ ، س = # ، ; ، س ثم أوجد قيمة الحد الأوسط أو الحدين الأوسطين فى هذا المفكوك [ ; ; ، أثبت أن : = س  ٥٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 57.
              ت :  م ٤ ، أختصر لأبسط صورة : ت ٧ ، ت ٨ ، ت ١٥ ، ت ٤٢ ، ت ١٠١ / ٣ = ت ٣ = ــ ت + ت ٧ = ت ٤ * $ ١ ت ١ ت ٤ ت ت ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ    أى أن ت = ــ ١  يعرف العدد التخيلى ت على أنه العدد الذى مربعه يساوى ــ ١ = ــ ١ ت ٣ = ــ ت ت ٤ = ت XL الباقى من خارج قسمة حيث م + * ت ١ = ٤ × ٨ = ت ٢ * ت ٣ = ت ٣ = ــ ت + ١٥ = ت ١٢ * ت ٢ = ت ٢ = ــ ١ + ٤٢ = ت ٤٠ * ت ١ = ت + ١٠١ = ت ١٠٠ ت ٣ ت ٢ ت :  ت ٢ ١ = تم ت = ــ ت × ت = ــ ١ × = = = *   + ، ت ٢ X L العدد المركب هو ما كان على الصورة ع = س + تص حيث س ،ص = ــ ١ و يسمى س : الجزء الحقيقى ، ص: الجزء التخيلى   فى العدد المركب ع = س + تص إذا كانت ص = صفر فإن : ع = س  ١  و يقال أن العدد حقيقى صرف فى العدد المركب ع = س + تص إذا كانت س = صفر فإن : ع = تص  ٢  و يقال أن العدد تخيلى صرف  ٥٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 58.
         :  إذا كان ع = س + تص = صفر فإن : س = صفر ، ص = صفر ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ أوجد قيمة س ،ص الحقيقية التى تحقق المعادلات الآتية : / ص = ١ ــ ٤ ت  ٦ ت + ٢  س ــ  ٢ ت + ١  D  ١  $ ت = ١ ــ ٤ ت نساوى الجزء الحقيقى بالحقيقى ، التخيلى بالتخيلى  ٢ س ــ ٦ ص  +  س ــ ٢ ص  E ٢o س ــ ٣ ص = ــ ٢ s ــ ٤ =  ٢ س ــ ٦ ص ، ١o س ــ ٢ ص = ١ s س = ٧ E ١ ص = ٣ و بالتعويض فى E ٢ ، ١ بطرح المعادلتين ٥ س + ٤ تصــ ١٢ ــ ت س + ت = صفر D  ٢  س = E ٥ س ــ ١٢ = صفر s ١٢ ٥ ٧ ٥ ١ ٤ ص= E × = ص s   : W  ، ت ٢ H L = { س + تص : س ،ص W :  يقال لعددين ، أنهما متساويان إذا كان : ع = س + تص ١ ١ ١ ع = س + تص ٢ ٢ ٢ س ١ س ٢ ص ١ ص ٢ { = ــ ١ = ، = أى أن : الحقيقى = الحقيقى ، التخيلى = التخيلى ص = ١ ــ ٤ ت  ٦ ت + ٢  س ــ  ٢ ت + ١   ١  ٥ س + ٤ تصــ ١٢ ــ ت س + ت = صفر  ٢  س + ٢ س ت ــ ٢صــ ٦صت = ١ ــ ٤ ت E ت = صفر  ٤ صــ س + ١  +  ٥ س ــ ١٢  E نساوى الجزء الحقيقى بالصفر ، و الجزء التخيلى بالتخيلى ١٢ ٥ = ٤ ص = ــ ١ E ٤ ص = س ــ ١ E ٤ صــ س + ١ = صفر ، ٧ ٥ ٧ ٢٠  ٥٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 59.
          ١٠ ــ ٣ ت  = ع ،  ٥ ت + ٣  = اجمع العددين ع / $ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  ٤ ت + ١  = ع ،  ٢ ت + ٣  = اضرب العددين ع /  ٤ ت + ١   ٢ ت + ٣  = $   :  إذا كان : ، فإن :  س + تص  = ع ١ ١ ١  س + تص  = ع ٢ ٢ ٢ ١ ع  س + تص  ع  س ٢ + تص ٢  ١ ١  ص ١ +ص ٢   س ١ + س ٢  ٢ ١ + = + ٢ ٢ ت + ت = ١٣  ٥ ــ ٣  +  ١٠ + ٣  =  ١٠ ــ ٣ ت  +  ٥ ت + ٣  = + ٢ ع ١ ع = + ت حيث + = + W عملية الجمع إبدالية فى  ١  ٢ ع ١ ع ١ ع ٢ ع +  +  =  +  + حيث W عملية الجمع دامجة فى  ٢  ١ ع ٢ ع ٣ ع ١ ع ٢ ع ٣ ع : المحايد الجمعى : الصفر هو العدد المحايد الجمعى  ٣  صفر =  ــ ع  + بحيث ع  ــ ع  المعكوس الجمعى : لكل عدد مركب ع يوجد  ٤  :  إذا كان : ، فإن :  س + تص  = ع ١ ١ ١  س + تص  = ع ٢ ٢ ٢ ١ ع  س + تص  ع  س ٢ + تص ٢  ١ ١ × = × ٢ س ١ س ٢ ص ١ ص ٢ س ١ ص ٢ س ٢ ص ١ ت +  +  ــ  = ٢ ١ ٢ ع ١ ع ١٢ ت + ٢ ت + ٨ ت + ٣ = ٢ ١٤ ت ــ ٨ + ٣ = ١٤ ت + = ــ ٥  ٥٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 60.
         :   × = × حيث W عملية الضرب إبدالية فى  ١  ٢ ع ١ ع ١ ع ٢ ع ×  ×  =  ×  × حيث W عملية الضرب دامجة فى  ٢  ١ ع ٢ ع ٣ ع ١ ع ٢ ع ٣ ع : المحايد الضربى : الواحد هو العدد المحايد الضربى  ٣  المعكوس الضربى : لكل عدد مركب ع = س + تص يوجد عــ ١  ٤  = # =# : التوزيع  ٥  ١ ع ٢ ع ٣ ع ١ ع ٢ ع ١ ع ٣ ع :  إذا كان ع = س + تص فإن مرافق العدد ع = ع = س ــ تص مجموع أى عددين مترافقين هو عدد حقيقى  ١  ٢ س " عدد حقيقى" =  س ــ تص  +  س + تص  = ع + ع حاصل ضرب أى عددين مترافقين هو عدد حقيقى  ٢   س ــ تص  ×  س + تص  = ع × ع = س ٢ ــ ت سص + ت سص ــ ت ٢ص ٢ س  = ٢ +ص  ٢ س = ت ــ سص + سص  + ٢ +ص عدد حقيقى " " ٢ ع =  ع  : مرافق مرافق العدد المركب = العدد نفسه أى أن  ٣  + =  +  : مرافق مجموع عددين مركبين = مجموع مرافقيهما أى أن  ٤  =   : مرافق حاصل ضرب عددين مركبين = حاصل ضرب مرافقيهما أى أن  ٥  :  ع ٢ مرافق المقام بسطاً و مقاماً ، و ذلك حتى نجعل المقام × عند قسمة عددين مركبين فإننا نضرب المقدار عدداً صحيحاً ، ثم نوزع البسط على المقام .  ٦٠   ١ س + تص ع ١ ع ٢ ع ١ ع ٢ ع ٢ ع ١ ع ١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 61.
         إذا كان : ، أوجد / ع ع ١ ٢ ٥ ت + ٣ ٣ ت + ٤ ٣ ت + ٤ = × = $ ع ع ١ ٢ ٤ ــ ٣ ت ٩ ت + ٢٠ ت + ١٥ ت + ١٢ ٢ ٢ ١٢ ت ــ ١٢ ت ــ ٩ ت + ١٦ ت  ٢٠ + ٩  +  ١٢ ــ ١٥  ٢٩ ت + ــ ٣ ــ ٣ ٢٥ ٢٩ ٢٥ = = = + ت ٢٥ ٩ + ١٦ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ ــ ٤ ت ٧ ــ ت مترافقان ; = أثبت أن م ، ; إذا كان : م = ، / ١ ــ ت ١ + ت ٢ ــ ت ٢ ت ــ ٤ ت + ٤ + ٢ ٢ ــ ٤ ت ٣ ــ ت = = × = م D $ ١ + ت ١ + ١ ١ ــ ت ٧ ــ ت ٢ + ت ٧ ت ــ ٢ ت + ١ + ١٤  ; E ٣ = = × = ; ت م ، مترافقان ، ١ + ــ ت + ت ٤ + ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ ٢ فأوجد مجموعة حل المعادلة ع + ع = صفر W  إذا كان : ع / ع = س ــ تص E نفرضأن : ع = س + تص $ س ــص + ٢سصت + س ــ تص = صفر E س ــ تص = صفر +  س + تص  E ت = صفر  ٢سص ــص  +  س + س ــص  E ١o س + س ــص = صفر E الجزء الحقيقى = صفر E ٢o صفر = ٢سص ــص E ، الجزء التخيلى = صفر  س + س = صفر E ١ عندما ص= صفر بالتعويض فى ١ ٢ العدد هو = ٠ ، = ــ ١ E س = صفر ، س = ــ ١ s صفر =  ١+ س  س ١ ٢ ١ ٤ ١ ٢ ص = # E ص= + E١ عندما س = بالتعويض فى الأعداد الأخرى هى = ، = E ٣ ٢ ! ١ ــ ت ! ٣ ٢ ١ + ت ٢ ٢ ٣ ٢ ٣ ٢ ! ١ ــ ت ! ١ + ت { ، ، م . ح = { . ، ــ ١ E   ٥ ت ع = ٤ ــ ٣ ت + ٣ = ع ١ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ٢ ص= صفر أو س = s صفر =  ١ ٢س ــ  ص E ٢ و من ٢ ع ١ ع ٢ ٢ ع ٣ ع ٤ ٣ ٢ ! ٢ ٢  ٦١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 62.
         . = جذر للمعادلة : س + س ــ س + ١٥  ــ ٣  إذا علمت أن / . = جذر للمعادلة : س + س ــ س + ١٥  ــ ٣  D $ عامل من عوامل المقدار  س + ٣  E و يمكن الحصول على العوامل الأخرى بإجراء عملية القسمة المطولة . = س ــ ٢س + ٥ s . =  س ــ ٢س + ٥   س + ٣  E ٥ × ١ × ٤ ــ ٤ # ٢ ٢ # ــ ١٦ ٢ ت # س = = = ١ E ٢ ٢ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ   ٢ ٣ فأوجد الجذرين الآخرين ٢ ٣ س ٣ + س ٢ ــ س + ١٥ ٢ ٢ ٢ ت ، ١ ــ ٢ ت + جذور المعادلة هى : ــ ١ ، ٣ E      ٧ + ; ١١٧ ٦٥ ٤٣ ــ ٢٢ ــ ٨ ٣٥ ت ٢ ت ٢ ت ٣ ٤ ت + + ١ ٢ ــ ت ــ ٢ ــ ! ! ٢ ت + ٣ ٣ ت + ٤  ٦٢       ١ ] أكتب فى أبسط صورة : ] عدد صحيح ; ت ، ت ، ت ، ت ، ت ، ت حيث ٢ ] أثبت أن : = ت ] اختصر لأبسط صورة كل مما يأتى :  ٢ ــ ٣ ت  ــ  ٥ ت + ٣  [ ٤ ]  ٢ ــ ت  +  ٣ ت + ٤  [ ٣ ]  ٤ ــ ٥ ت  ــ  ٢ ت + ٣  [ ٦ ]  ٥ + ــ ٢  +  ٣ ــ ٢ ــ ٢  [ ٥ ] ضع كلاً مما يأتى على الصورة س + تص : [ ٨ ] [ ٧ ] [ ١٠ ] [ ٩ ] [ ١٢ ] [ ١١ ] ٥ ــ ٢ ت ٥ ت + ١٢ ٢ ت ٢ ١ ــ ت   ٣ ــ ت   ٣ + ت  ٣ ــ ٤ ت ٥ ٣ + ت ٣ + ت ٢ ت + ١ ٤ ت + ــ ٣  ٣ ت + ١   ٢ + ت  PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 63.
         ٤ ت ، ص= ٣ ــ ٤ ت أوجد قيمة س ــ سص+ص + ١٣ ] إذا كانت س = ٣ ] ٢٦ ٥ ــ ت  ٢ ت + ٣  ٢ ١٤ ] إذا كانت س = ،ص= فأثبت أن : ] فى كل مما يأتى : H  أوجد قيم س ،ص ٦ ت ــ ٢ + ٢ ت س ــ ٣ص + ٤ [ ١٥ ] ٢ ٨ ٢٥ ٣ ت + ت س + ص= [ ١٦ ] ــ ت س + تص ٢ = + [ ١٧ ] ٢ ــ ت ٣ س + تص ٢ + ت  ١ ــ ت ٢  = ١٨ ] س + تص ] ١ + ت ٢٣ ٥ ٧ =  ب +   ٢ + ت فأثبت أن : ٢ =  ١ ــ ت   ت ب +   ١٩ ] إذا كان ] مجموعة حل كل من المعادلات الآتية : W أوجد فى ٢٠ ] ع ٢ ] . = ٢١ ] ع ٢ ــ ٢ ت ع ــ ٥ ] . = ٢٢ ] س ٢ ــ ٦ س + ١٣ ] ٢ ع + ٣ ع = ٥ [ ٢٣ ] ــ ١  ع  =  عــ ١  : فأثبت أن ، W  ٢٤ ] إذا كانت ع ] أحد جذور المعادلة س ٣ ــ س ٢  ــ ١  ٢٥ ] إذا كان ]   ٢ ٢ ٢ ٢ س ،ص مترافقان ثم أوجد قيمة المقدار س + سص+ص ٥ ! ٣ ٣ + ع = . . = ٢ + فبين أن الجذرين الآخرين مترافقان .  ٦٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 64.
         X و الجزء التخيلى ص على محور ــ العدد المركب و معكوسه الجمعى يمثلان بيانياً بطرفى قطعة مستقيمة تكون نقطة الأصل فى منتصفها ــ العدد المركب و مرافقه يمثلان بيانياً بنقطتين متماثلتين بالنسبة لمحور السينات ع = س ـــ تص ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ أكتب المعكوس الجمعى و المرافق للعدد المركب ع = ٣ ــ ٢ ت / $ ع = ٣ ــ ٢ ت D ٢ ت + المعكوس الجمعى ــ ع = ــ ٣ E ٢ ت + ٢ ت ــ ع = ــ ٣ + ع = ٣ ١ ٢ S ٢ ت + ، المرافق ع = ٣ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ      العدد المركب ع = س + تص يتكون من جزء حقيقى س ، و جزء تخيلى ص S يمكن تمثيل العدد المركب ع = س + تص بشكل آرجاند بحيث يمثل الجزء الحقيقى س على محور ع = س + تص ــ ع = ــ س ــ ت ص  ثم مثل هذه الأعداد بشكل آرجاند      ٢ ١ ٢ ١ ٢ ١ ٢ ١  ٦٤         ٣ ت ، مثل أيضاً على نفس الشكل كلاً من : + ١ ] مثل على شكل آرجاند الأعداد ع = ٣ + ت ، ع = ١ ] ع ، ع ، و بين أن |ع | = |ع | ٤ ت + ٢ ت ، ع = ــ ١ + ٢ ] مثل على شكل آرجاند الأعداد ع = ٣ ] ١ ــ ١ ــ ٢ ــ ٢ ع = ٣ ــ ٢ ت X ٣ ٢ ــ ١ ــ ٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 65.
         على شكل آرجاند  س ،ص  =  إذا كان العدد المركب ع = س+ تص تمثله النقطة ل :  هو العدد الحقيقى ل الذى يدل على بعد العدد ع عن نقطة الأصل S  س ، ص  =  ص محور السينات الموجب ،  الذى يدل على قياس الزاوية بين و q هو العدد الحقيقى س ل س س ٢ +ص ٢ = ـــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــ q جتا ص ل ص س ٢ +ص ٢ = ـــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــ q ، جا ص س = ـــــــــــ q ظا X ل س q مع مراعاة إشارتى س ،ص q و ذلك لتحديد الربع الذى تقع فيه و ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ أوجد المقياس و القيمة الأساسية للسعة لكل من الأعداد المركبة الآتية ثم أكتب كلاً منها فى الصورة المثلثية / ٣ ت [ ب ] ع = ــ ١ ــ ت [ جـ ] ع = ــ ٥ ت + [ أ ] ع = ١ أ ] س = ١ ، ص= ٣ ] $   جتا ـــــــ + ت جا ـــــــ  ع = ٢ E    ٢ ٢ ل = |ع| = س +ص و من الشكل نجد أن : أو بطريقة أفضل نجد أن :  q + ت جا q جتا  ع = س + تص هى ع = ل  هى سعة العدد ع q حيث ل مقياس العدد = | ع | ، ! ٣ ٢ ١ ! : q  ٢ = ٤ = ٣ + | ع | = ل = س +ص = ١ E ١ ٢ ٢ = ـــــــــ = ــــــــ q = ـــــــــ = ــــــــ ، جا q جتا D ، ٥٦٠ =  السعة الأساسية  q E = ــــــــ ١ س ل ص ل ط ١ ٢ ط ٣ ٣ ط ٣ ٣ ٢ !  ٦٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 66.
         ٢ = ١ + | ع | = ل = ١ E [ ب ] س = ــ ١ ، ص= ــ ١ | ع | = ل = ٥ E [ جـ ] س = . ، ص= ــ ٥ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ أكتب الصورة الجبرية لكل من الأعداد المركبة الآتية : / $   ٢ ــ ١ !٢ ــ ١ !٢ = ـــــــــ q = ـــــــــ ، جا q جتا D ٢٢٥ = ٥ = ـــــــــ ٥ ط ٤ ٥ ١٨٠ =  السعة الأساسية  q E ٥ ط ٤ ٢ ٥ ط ٤   جتا ــــــــــ + ت جا ــــــــــ  ع = ٢ E ٣ ٤٥ + ٥ ــ ٥ ٥ ٣ ط ٥ ٢٧٠ =  السعة الأساسية  q E = ـــــــــ = ــ ١ q = . ، جا q جتا D = ــــــــــ ٣ ط ٢   جتا ــــــــــ + ت جا ــــــــــ  ع = ٥ E ٢ ٣ ٣ ط ٢ ع ١ ع ٣ ٣ ط ٤ ٢ ٢ ! ع ط [ أ ] الذى مقياسه ٣ و سعته ــــــــــ [ ب ] الذى مقياسه ٢ ٢ وسعته ــــــــ [ جـ ] الذى مقياسه ٤ و سعته ط ط ٢ ط ط ٢ ٢ ع ١ ع ٢ ع ٣ ٣ ط ٤ ٣ ط ! ! ! ٣ ٤ ط ٤ ! ! ١ !٢ ١ !٢  ٦٦   . = . × = ٣ جتا ـــــــ = ٣ q س = ل جتا E = ــــــــ q [ أ ] ل = ٣ ، ٣ = ١ × = ٣ جا ـــــــ = ٣ q ، ص= ل جا = س + تص = . + ٣ ت = ٣ ت E ــ ــــــــــ = ــ ٢ × س = ٢ ٢ جتا ـــــــ = ٢ ٢ E = ـــــــ q [ ب ] ل = ٢ ٢ ، ــــــــــ = ٢ × ، ص = ٢ ٢ جا ـــــــ = ٢ ٢ ٢ ت + = س + تص = ــ ٢ E ــ ١ = ــ ٤ × س = ٤ جتا ط = ٤ E = ط q [ جـ ] ل = ٤ ، . = . × ، ص = ٤ جا ط = ٤ ــ ٤ = . × = س + تص = ــ ٤ + ت E PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 67.
                ! ! ! ! ع ١ ع ٢ ع ١ ع ١ ٢ ع ع ٢ ع ١ ع ٢ ط ٢ ط ٢ ٧ ط ٦ ٧ ط ٦ ١ ع  ٦٧         ١ ] أوجد المقياس و السعة الأساسية لكل من الأعداد الآتية ، و مثل كلاً منها على شكل آرجاند : ] ٣ ) ت ( ٤ ) ــ ت ) ٢ ) ــ ١ ) ١ ( ١ ) ٢ ت + ٣ ( ٣ ت ( ٨ + ٢ ــ ٣ ت ( ٧ ) ــ ٢ ( ٣ ت ( ٦ + ٢ ( ٥ ) ١ + ت ( ١١ ) ــ ١٢ ــ ٥ ت ( ١٢ ) ٤ ت ــ ٥ ( ٢ ت ( ١٠ + ٩ ) ــ ٣ ) ١ ــ ٣ ت ( ١٦ ) ــ ٣ + ت ( ٣ ت ( ١٥ + ١ ( ١٣ ) ــ ١ ــ ت ( ١٤ ) ٢,٤ ــ ت ( ١٧ ) ــ ٣ ــ ت ( ١٨ ) ٣ ت ، و مثل أيضاً على نفس الشكل + ٢ ] مثل على شكل آرجاند الأعداد = ٣ + ت ، = ١ ] كلاً من ، و بين أن : | | = | | ٤ ت + ٢ ت ، = ــ ١ + ٣ ] مثل على شكل آرجاند الأعداد = ٣ ] ٤ ] أكتب الصورة الجبرية لكل من الأعداد المركبة الآتية : ] ٢ ) جتا ١٥٠ + ت جا ١٥٠ )  جتا ٤٥ + ت جا ٤٥  ٢ ( ١ ) ٤ ) جتا ط + ت جا ط )  جتا ـــــــ + ت جا ــــــــ  ٣ ( ٣ )  جتا ـــــــــ + ت جا ــــــــــ  ٦ ( ٦ )   ــ ١٠٠  ت جا +  ــ ١٠٠  جتا  ١٠ ( ٥ ) فأكتب الصورة المثلثية لكل من الأعداد :  q + جا q جتا  ٥ ] إذا كان ع = ل ] ــ ع ، ع ، ـــــــــ ، ـــــ١ـــــ ع PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 68.
         ط ٢ [ . ، ــــــ [ L q أوجد السعة الأساسية لكل من الأعداد المركبة الآتية حيث / $ [ . ، ٢ ط [ L q حيث q + ت جا q جتا  لمعرفة السعة الأساسية للعدد المركب يجب أن نضعه على الصورة ل q ــ ت جا q جتا  = D  ١  تقع فى الربع الرابع q s إشارة الجزء الحقيقى + و إشارة الجزء التخيلى ــ q السعة الأساسية للعدد = ٢ ط ــ E q ــ ت جا q ــ جتا  = D  ٢  تقع فى الربع الثالث q s إشارة الجزء الحقيقى ــ و إشارة الجزء التخيلى ــ q السعة الأساسية للعدد = ط + E q + ت جتا q جا  = D  ٣  تقع فى الربع الأول [ مع تبديل حرف ت] q s إشارة الجزء الحقيقى + و إشارة الجزء التخيلى + ط ٢ q السعة الأساسية للعدد = ــــــــ ــ E   :  كلاً من إشارتى الجزء الحقيقى و الجزء التخيلى موجباً  ٢  المقياس ل موجباً  ١  :  نحول العدد المركب إلى الصورة الجبرية ع = س + تص وذلك بالتعويض عن قيم الدوال المثلثية  ١  نوجد كلاً من المقياس و السعة لهذا العدد  ٢  q + ت جا q جتا  نضع العدد المركب على الصورة المثلثية ع = ل  ٣  ع ١  ع ٢ q q جتا ــ  = ( ت جا ٢ ) ــ جتا ــ q q  = ت جا ( ١ ) ع q q جا  = + ت جتا ع ٤ ( ٤ ) q q جا ــ  = ٣ ( ٣ ت جتا ) ــ جا ــ ت جتا ــ جا + ت جتا q q  = ( ٦ ) q q  = ( ٥ ) ع ٦ ع ٥ ع ١ ع ١ ع ٢ ع ٢ ع ٣ ع ٣  ٦٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 69.
         تقع فى الربع الرابع [ مع تبديل حرف ت] q s إشارة الجزء الحقيقى + و إشارة الجزء التخيلى ــ ٣ ط ٢ q السعة الأساسية للعدد = ــــــــ + E q ــ ت جتا q ــ جا  = D  ٥  تقع فى الربع الثالث [ مع تبديل حرف ت] q s إشارة الجزء الحقيقى ــ و إشارة الجزء التخيلى ــ ٣ ط ٢ q السعة الأساسية للعدد = ــــــــ ــ E q + ت جتا q ــ جا  = D  ٦  تقع فى الربع الثانى [ مع تبديل حرف ت] q s إشارة الجزء الحقيقى ــ و إشارة الجزء التخيلى + ط ٢ q السعة الأساسية للعدد = ــــــــ + E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ    نفرضأن ، عددان مركبان حيث :   q ــ ت جتا q جا  = D  ٤  ع ٤ ع ٥ ع ٤ ع ٥ ع ٦ ع ٦ ع ١ ع ٢ ع ١ ل ١ ع ٢ ل ٢  ٢ q ٢ + ت جا q جتا  = ،  ١ q ١ + ت جا q جتا  = ع ١ ع ٢ ل ١ ل ٢ [  ٢ q ٢ + ت جا q جتا   ١ q ١ + ت جا q جتا  ] = E ل ١ ل ٢ ل ١ ل ٢ [  ٢ q ١ جا q جتا + ٢ q ١ جتا q جا  ت + ٢ q ١ جا q ٢ ــ جا q ١ جتا q جتا  ] = [  ٢ q + ١ q  جا  ت +  ٢ q + ١ q  = [جتا مقياس حاصل ضرب عددين مركبين = حاصل ضرب مقياسيهما :  ، سعة حاصل ضرب عددين مركبين = مجموع سعتيهما  q + ت جا q جتا  إذا كان ع = ل :  فإن : ع ٢ = ع . ع = ل جتا  ٢ q + ت جا ٢ q ٢ ; و بصفة عامة فإن : ع = ل ; q; + ت جا q; جتا   ٦٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 70.
         ٦ ١ ــ ت  ضع العدد ١ ــ ت على الصورة المثلثية ، ثم أوجد قيمة / $ س ل ص ل ١ !٢ ــ ١ !٢ = ـــــــ = ـــــــــ q = ـــــــ = ـــــــــ ، جا q جتا D ٣١٥ = ٣٦٠ ــ ٤٥ = q E  جتا ٣١٥ + ت جا ٣١٥  ١ ــ ت = ٢ E ٦ ١ ــ ت  E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ع ١ ع ١ ٢ ٢  q + ت جتا ٢ q جا ٢  ــــــ = ،  q + ت جا q جتا  إذا كان = ١٠ / $ ٣ ٤ ط ٢ ع ١ ع ٢ ع ١ ع ١ ٢ ٢  q + ت جا q جتا  أما العدد فمقياسه ــــــ و لإيجاد سعته يجب أن يوضع على الصورة المثلثية ل ١ ع ١ ٢ ٢ ع [  q ٩٠ ــ ٢  ت جا +  q ٩٠ ــ ٢  لذلك فإن : العدد = ـــــــ [ جتا q و بذلك تكون سعته = ٩٠ ــ ٢ ٢ ع ١ ع ١ ٢ ٢ [  q ٩٠ ــ ٢ + q ت جا +  q ٩٠ ــ ٢ + q ــــــ [ جتا × ١٠ = E   ٢ = ١ + ل = ١ E س = ١ ،ص = ــ ١ D  ٢  = جتا ٦  ٦ ٣١٥ × ٣١٥ + ت جا ٦ ×  جتا ١٨٩٠ + ت جا ١٨٩٠  ٨ = ٨ ت =  ٠ + ت  ٨ =  جتا ٩٠ + ت جا ٩٠  ٨ = [ . ، ـــــــ [ L q = ــــــــ ، q حيث ظا فأوجد الصورة المثلثية و كذا الصورة الجبرية لحاصل الضرب q العدد مقياسه ١٠ و سعته [  q ٩٠ ــ  ت جا +  q ٩٠ ــ  ٥ [ جتا = و هذه هى الصورة المثلثية  q + ت جتا q جا  ٥ = ٣ ٥ ٤ ٥  ــــــ + ــــــ ت  ٥ = ٤ ت و هذه هى الصورة الجبرية + ٣ = ٣ q ٤ ٥  ٧٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 71.
           نفرضأن ، عددان مركبان حيث : ع ١ ع ٢ ع ١ ل ١ ع ١ ع ٢ ل ١ ل ٢  ١ q ١ + ت جا q جتا   ٢ q ٢ + ت جا q جتا   ١ q ١ + ت جا q جتا  ل ١  ٢ q ٢ + ت جا q جتا  ل ٢ ٢ q جا  ١ q ٢ ــ جتا q ١ جتا q جا  ت + ٢ q جا  ١ q ٢ + جا q ١ جتا q جتا  ل ١ ل ٢ ل ١ ل ٢ أوجد قيمة / ع ٢ ل ٢  ٢ q ٢ ــ ت جا q جتا   ٢ q ٢ ــ ت جا q جتا  جتا ٢ ٢ + جا q ٢ ٢ q ١ ــ ت ١ + ت ٤ $ نضع كل من العددين ١ ــ ت ، ١ + ت على الصورة المثلثية فنجد أن :   ع ٢ صفر ¹ ،  ٢ q ٢ + ت جا q جتا  = ،  ١ q ١ + ت جا q جتا  = [  ٢ q ١ ــ q  ت جا +  ٢ q ١ ــ q  جتا ] × = مقياس العدد المقسوم عليه ÷ مقياس خارج قسمة عددين مركبين = مقياس العدد المقسوم :  ، سعة خارج قسمة عددين مركبين = سعة العدد المقسوم ــ سعة العدد المقسوم عليه ٧ ط ٤ ٧ ط ٤  جتا ـــــــــ + ت جا ـــــــــ  ١ ــ ت = ٢  جتا ـــــــــ + ت جا ـــــــــ  ١ + ت = ٢ ، ط ٤ ط ٤ ط ٤ ط ٤ ٧ ط ٤ ٧ ط ٤ ١ ــ ت [  ـــــــــ ــ ـــــــــ  ت جا +  ـــــــــ ــ ـــــــــ  ١ [ جتا = E ٣ ط ٢ × = × = ٣ ط ٢  ـــــــــ  ت جا +  ـــــــــ  = جتا ٣ ط ٢ ٣ ط ٢ = E ١ + ت ١ ــ ت ٤  ـــــــــ × ٤ ت جا +  ـــــــــ × ٤  = جتا E = جتا ٦ ط + ت جا ٦ ط = جتا . + ت جا . = ١ ١ + ت  ٧١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 72.
                ع ١ ع ع ١   ع ٢ ٢ ع ط ط ٢ ٢ ١ ع ط ٣ ط ع ٢ ٣ ٤ ٤ ١ ع ط ٤ ط ٤ ١ ع ٢ ط ٣ ط ٣ ط ٦ ط ٦ ط ٨ ط ٨ ٣ ط ٨ ٣ ط ٨ ٣ ٤ ١ ٦ ١ ع ط ٣ ط ٣ ٣ ط ٢ ٣ ط ٢ أ ٢ أ ٢ ! ١ ٢ ع ٢ ١ ٢ ! ع ٢ ع ٢ ع ١ ع ١ ع ١ ع ٢ ع ١ ع ٢ ١ !٢ ع ١ ع ٢ ٢ ع ١ ٢ ع ٢ ع ٢ ع ١ ٣ ع ٢ ع ١ ٣  ٧٢         إذا كان : ÷ ، × أوجد الصورة المثلثية لكل من  . جتا . + ت جا  ٣ = ،  جتا ـــــــ + ت جا ـــــــ  ٢ = [ ١ ]  جتا ــــــ + ت جا ــــــ  ٢ = ،  جتا ـــــــ + ت جا ـــــــ  ٢ = [ ٢ ]  جتا ــــــ + ت جا ــــــ  ٦ = ،  جتا ـــــــ + ت جا ـــــــ  ٢ = [ ٣ ]  جتا ــــــــ + ت جا ــــــــ  ٦ = ،  جتا ـــــــ + ت جا ـــــــ  ٢ = [ ٤ ] [  أ ــ ب  ت جا +  أ ــ ب  ٣ [ جتا = ، [  أ + ب  ت جا +  أ + ب  ٢ [ جتا = [ ٥ ]  جتا أ ــ ت جا أ  ـــــــ = ،  جتا ٢ أ + ت جا ٢ أ  ٣ = [ ٦ ]  جا ٣ أ ــ ت جتا ٣ أ  ٨ = ،  جتا ٤ أ + ت جا ٤ أ  ٧ ] = ــــــــ ] أوجد الصورة المثلثية لكل من ع ٢ ، ــــــــ إذا كان :  جتا ـــــــ + ت جا ـــــــ  ٩ ] ع = ــــــــ ]  جتا ـــــــ + ت جا ـــــــ  ٨ ] ع = ٣ ]  جا أ ــ ت جتا أ  ١٠ ] ع = جتا ـــــــ ــ ت جا ـــــــ [ ١١ ] ع = ٢ ] ١٢ ] أكتب الصورة المثلثية لكل من العددين المركبين : ]  ــ ١ ــ ت ٣  ــــــــ = ،  ــ ١ + ت ٣  = ــــــــ ثم أثبت أن : ( أولاً ) = ، = ( ثانياً ) = = ١ ٥ ١ + ت  ١٣ ] ضع العدد ١ + ت على الصورة المثلثية ، ثم أوجد قيمة ] PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 73.
         ١٤ ] إذا كان ، ، ]  ٣ ت + ١  على الصورة المثلثية ثم أوجد قيمة  ٣ ت + ١٥ ] ضع العدد ١ ] ! ! ع ع ٢ ع ١ ع ٢  q + ت جا q جتا ٢ = ،  q + ت جا ٢ q جتا ٢  ١٦ ] إذا كان = ٦ ] ١ ع ١ ع ٢ q + ت جتا ٢ q جا ٢ = ،  q + ت جا q جتا  ١٧ ] إذا كان = ١٣ ] ع ١ ع ٢ ١ ] ضع كلاً من العددين ت ، + ت على الصورة المثلثية ! ٢ ١٨ ] ٢ ت ٦ ! ١ + ت ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ أوجد مجموعة حل المعادلة س ٤ / س ٤ D $ س E ١ = . + ٤ = ــ ١   ط ٤ ط ٣ ط ٦ ط ٣ ع = جتا ـــــــ + ت جا ـــــــ ط ٤ ع = جتا ـــــــ + ت جا ـــــــ ع = جتا ـــــــ + ت جا ـــــــ ١ ٢ ٣ ط ٦ ٥ ع ٣ ٦ ع ٢ ع ١ ٤ ÷ = ٠,٦ فأوجد q [ ١٨٠ ، ٩٠ [ ، جا L q حيث ٥ ١٢ ÷ × فأوجد ط ٢ = ــــــــ فأوجد q [ . ، ــــــ [ ، ظا L q حيث و استخدم ذلك فى إيجاد ـــــــــــــــــــ  q + ت جا q جتا  : ;  q + ت جا q جتا  : فإن XL ; إذا كانت ا ك فإن :  كسر حقيقى  = ـــــــــ ; إذا كانت ا  ط R + ٢ q ك جتا ـــــــ + ت جا = جتا ــــــــــــــــــــ + ت جا ـــــــــــــــــــ " تعطى& من  q القيم" q  K حيث :  ١ = . ، ــ K  ، ..... ، ٢ ، ١ R q ; + ت جا q ; = جتا " تعطى قيمة واحدة " q ; + ت جا q ; = جتا ط R٢ + q K W L ١ = . حيث س + نحول العدد ع = ــ ١ إلى الصورة المثلثية س = ــ ١ ، ص= . ص ! ; ; س . = ١٨٠ q s = ـــــــــ = ـــــــــ q ١ ، ظا = | ع | = ١ ٥ ــ ١ ٥  ٧٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 74.
         س ٤ s ــ ١ = جتا ١٨٠ + ت جا ١٨٠ E = جتا ١٨٠ + ت جا ١٨٠ ١ R ٢ + ١٨٠ R ٢ + ١٨٠ ٤ ط ط س= جتا ( ) + ت جا ( ) E  جتا ١٨٠ + ت جا ١٨٠  = س s ٤ ٤ ١٨٠ ٤ ١٨٠ ٤ ١ !٢ ت !٢ ت !٢ ١ !٢ بوضع = . : س = جتا + ت جا + ت  ١  = + = E R  ١  ١ = + ١ = ٥٤٠ ٤ بوضع = : س = جتا + ت جا ــ ٥٤٠ ٤ E ١ R ــ + ت !٢ !٢ بوضع = : س = جتا ت جا ــ ت + = ــ ــ ــ ت  ١  ١ ١ = ٩٠٠ ٩٠٠ E ٢ R !٢ !٢ !٢ ٤ ٤ وضع ت = : س = جتا + ت جا = ــ ــ ت  ١  ١ ١ ١٢٦٠ ١٢٦٠ = E ٣ R !٢ !٢ !٢ ٤ ٤ م . { ح + ت ــ + ت ــ ــ ت ــ ت  ١  ١ ،  ١  ١ ،  ١  ١ ،  ١  ١ } E !ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ٢ !٢ = !٢ !ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ q ، جتا q بدلالة جا q ، جتا ٣ q استخدم نظرية ديموافر للتعبير عن كل من : جا ٣ /  q + ت جا q جتا  = q + ت جا ٣ q جتا ٣ D $ = ص و استخدم مفكوك ذات الحدين q = س ، جا q و بوضع جتا  س + تص  = q + ت جا ٣ q جتا ٣ E = س q جتا ٣ E ٣ ــ ٣ سص ٢ س ٣ ــ ٣ س = ٤ جتا ٣ ٤ = q جتا ٣ s ٣ س ٢ص ــ ص ٣ = q ، جا ٣ س ٣  ٣ص ــ ٤ = q جا ٣ s   ٣ ٣ = س ٣ ٣ ت س + ٢ص ــ ٣ سص ٢ ــ تص ٣ س  =  ٣ ــ ٣ سص ٢ ٣ س  ت +   ٢ص ــ ص ٣  = س  ١ ــس ٢  ٣ ــ ٣ س حيث جا  ٢ ١ ــ جتا = q ٢ q = س ٣ ــ ٣ س س٣ +  ٣ q ــ ٣ جتا q ١ ــص  ٣ص =  ٣ حيث جتا  ٢ ١ ــ جا = q ٢ q ٣ص ــ ٣ص = ٢ ــ ص ٣ ــ ٤ جا q ٣ جا = ٣ q  ٧٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 75.
         ! أوجد ٣ ٢ الجذور التربيعية للعدد + ٢ ع = ت و مثل على شكل آرجاند كلاً من العدد و جذوره / س = ٢ ، ص = ٣ ٢  نضع العدد ع على الصورة المثلثية $ ٤ = ١٦ = ١٢ + | ع | = ٤ € ! ! ٢ ٤ ١ ٢ ٣ ! ٢ ٣ ٢ ٤ ط ! ٣ = ٥٦٠ q € = = q = = ، جا q جتا € = السعة الأساسية ط ٣ ط ٣  جتا + ت جا  ع = ٤ € ط ٣ ط ٣ ١ ٢   جتا + ت جا  الجذور التربيعية للعدد ع = ٢ €   ط ٣ ط R ــــــــ + ٢ ط ٣ ط R ــــــــ + ٢ = ١ ، ٠ R حيث  جتا ـــــــــــــــــــــــــــــــ + ت جا ـــــــــــــــــــــــــــــــ  ٢ = ٢ ٢ = ١ ، ٠ R حيث  جتا ـــــــــــــــــــــــــ + ت جا ـــــــــــــــــــــــــ  ٢ = ط ٦ ط ٦  جتا + ت جا  أحد الجذرين التربيعيين للعدد ع = ٢ € = ٠ : R بوضع ! ٧ ط ٦ ٧ ط ٦  جتا + ت جا  الجذر التربيعى للعدد الآخر ع = ٢ € = ١ : R بوضع  ٣ + ت  ± = الجذور التربيعية للعدد ع € ! ! نفرضأن س + تص هو أحد الجذور التربيعية للعدد ع $ س ٢ ــ ص ٢ € v ، u و بتربيع س ٤ ــ ٢ س ٢ص ٢ € x ، w و بجمع المعادلتين س ٤ €   ط R ط + ٦ ٦ ط R ط + ٦ ٦ ٣ ٢ ١ ! ٢ ٣ + ت =  ــــــ ت + ــــــــــ  ٢ = ٣ ٢ ١ ! ٢  ٣ + ت  ــ =  ــــــ ت  ــ ــــــــــ ــ  ٢ = ٢ س + تص  € ! ٣ ٢ + ٢ ت = س ٢ ــ ص ٢ € ٣ ٢ ت + ٢ سصت = ٢ + ! ! v¬ ٢ سص= ٣ ٢ ، u¬ ٢ = +ص ٤ ٤ س ، w¬ ٤ = ٢ص ٢ S x¬ ١٢ = + س ٢ص ٢ +ص ٤ س  ١٦ أى = ٢ +ص ٢٢ A ب ١ X ب ٢ س € ١٦ = ٢ +ص ٢ y¬ ٤ =  ٧٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 76.
         y ، u و بجمع المعادلتين ٢ س ٢ € س € ٦ = ٢ y من u و بطرح ٢ص ٢ € ص€ ٢ = ٢ . أى س ،صموجبتان معاً أو سالبتان معاً ( نلاحظ أن : سص v و من س = ٣ ،ص = ١ ، س = ــ ٣ ،ص = ــ ١ €  ٣ + ت  ± الجذران التربيعيان للعدد ع هما € ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٤ص +  ١٥  ٣ س + ٤ تص  ٢ ت = . فأوجد قيم +  ١ + ت  ص+  ١ ــ ت  ١٨ ] إذا كان س ]   ٣ ± س = € ٣ = ١ ± ص = € ١ =       ١ + ت  ٢ ١ ــ ت ٦ ت + ٢ ٣ ــ ت ٩ ــ ت ١ + ت ٢ ت ٤ ت + ٣ ٣ ــ ٤ ت ١٧ ت + ٣١ ١ ــ ت ٢ ت + ١١ ٢ ت + ١ ١ + ت ١ ــ ت ١ ــ ت ١ + ت  ٧٦       استخدم نظرية ديموافر لإيجاد الجذرين التربيعيين لكل من الأعداد الآتية : ١ ] ت [ ٢ ] ــ ت ]  جتا ــ ت جا  [ ٤ ]  جتا + ت جا  ٤ [ ٣ ]  جتا + ت جا  ٩ [ ٣ ت [ ٦ + ١ [ ٥ ] أوجد الجذرين التربيعيين لكل من الأعداد الآتية دون التحويل للصورة المثلثية : ٤٠ ــ ٩ ت [ ٨ ت [ ٩ [ ١٢ ت [ ٨ + ٥ [ ٧ ] ٣ ــ ٤ ت [ ١١ ] ــــــــــــــــــــــ [ ١٢ ] ـــــــــــــــــــ [ ١٠ ] ١٣ ] ـــــــــــــــــــ ــ ـــــــ [ ١٤ ] ـــــــــــــــــــــــ [ ١٥ ] ـــــــــــــــــــــــ ] ٢  س + تص  ١٦ ] إذا كان ] = ـــــــــــــــــــــ فأوجد قيم س ،ص الحقيقية ٣ س ١٢  ١٧ ] إذا كانت س = ـــــــــــــــ ، ص = ــــــــــــــ فأوجد قيم ] ١٩ ] إذا كان س = ٨ ــ ٦ ت فأوجد قيم س ] ١٥ ت فأوجد قيم س + ٢٠ ] إذا كان س = ٨ ] ! ! ! ! ٢ ط ٣ ٢ ط ٣ ط ٣ ط ٣ ٥ ط ! ٣ ٥ ط ٣ ١ ٢ ١ ٢ ٣ ٢ ــ ١ ٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 77.
         ــ ٨ ٢١ ] ضع المقدار ــــــــــــــــــــــــ على الصورة المثلثية ثم أوجد جذريه التربيعيين ] ت!٣ + ١ ١ ٣ ٤ ت ٢ + ١ ! ! ٢٢ ] إذا كان س + تص = ـــــــــــــــــــــــــــــ فأوجد قيم س ،ص الحقيقية ] ١ ــ ٣ ٤ ت q ، جا q بدلالة جتا q ، جا ٢ q ٢٣ ] استخدم نظرية ديموافر لإيجاد جتا ٢ ]  ! ٣  ] أكتب الصورة المثلثية لقيم المقدار + ٢٤ ] ت  ــ ت  ٢٥ ] أكتب الصورة المثلثية لقيم المقدار ] ٢٦ ] حل المعادلة س ٨ ] ١ ٥ إذا كان س عدداً مركباً ، فحل المعادلات الآتية : . = ٢٧ ] س ٢ ــ ٢ س + ٤ ] ٢ ٣ . =  ٢ ــ ٣ ت ٢ + س  ٣ ت + ١  س ٢ ــ  ١ + ت  [ ٢٨ ]  ١ ــ ٢ ت  س = ٤  ٣ ت + ١  س ٢ ــ ٣  ٢ + ت  [ ٢٩ ] ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ هى سعة العدد ع بالتقدير الدائرى q حيث ل مقياس العدد = | ع | ، ضع على الصورة الجبرية ع = ٢ ه ت / ط ٦ ط ٦ ع = ٢ ه ت $ ط ٦ ط ٦ ١ ٢ ٣ ٢ ! !٣ !٣ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ إذا كان ع = ــ ١ + ت فضع ع على الصورة الأسية / !٣ ٣ ٢ ٢ = ٣ + ل = ١ € ع = ــ ١ + ت  $ ! = ـــــــــ q € = q = ــ ـــــ ، جا q ، جتا ه ت  ع = ٢ € θ ه ت  ع = ل  ،   ت + =  ت +  ٢ = ١ ٢ W L ١ = . و مثل الحلول على شكل آرجاند علماً بأن س +  ه ت  ع = س + تص هى ع = ل  θ  جتا ٣٠ + ت جا ٣٠  ٢ =  جتا + ت جا  ٢ = ٢ ط ٣ ٢ ط ٣  ٧٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 78.
         أثبت أن ه ٢ + ط ت ــ ه ــ ط ت / ١ ــ ه = ٢ ه ٢ + ط ت  $ ه ــ ط ت  ، ه ٢ + ط ت ــ ه ــ ط ت €  ١  من  ٢  بطرح ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ; ; ع ١ ع !٣ ٢ ضع كلاً من = ١ + ت ، = ١ ــ ت بالصورة الأسية / ع ١ ع ٢ ع ع ١ ٢ ٦ ع ١ ع ١ ع | | = € ١ + ت =  $ !٢ ١ = ه ـــــ ت € ١ = q € ١ = ــــــــــ q ١ = ــــــــــ ، جا q ، جتا ١ !٢ ١ !٢ ع !٣ ٢ ع ٢ = ٣ + | | = ١ € ١ ــ ت =  ع ! ط ٢ ١ ٤ ٢ ١ ٢ ــ ٣ ٢ ٢ ه ــــــــ ت = € = ٢ q € ٢ = ــــــــــــ q ٢ = ـــــــ ، جتا q ، جتا    ٢  b ــ ١ =  جتا ط ــ ت جا ط  =  ــ ط  ت جا + ــ ط  جتا  = :  ل ١ ه ت  ١  ١θ ل ٢ ه × ٢θ ت ١θ ل ١ هـ ت ٢θ ل ٢ هـ ت = ه جتا ط  ٢ ه =  + ت جا ط ــ ١  ٢ ــ ه =  . +  ١  b ٢ ــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــ ه ت  ٢   ٢θ ١ ــ θ  ل ١ ل ٢ = ــ ه  ــ ١  ٢ ــ ١ ــ ه = ٢ = ل ١ ل ٢ ه  ٢θ + ١θ  ت ; ه ت θ ; R ٢ ط + θ × ــــــــــــــــــــــــ ت ; = ل ه ط ٤ ٥ ط ٣ = ل و من ذلك أوجد فى الصورة الأسية لكل من : ط ٤ ، ، ع ! ٢ ٥ ط ٣ ٢ ه = ـــــ ت + ــــــــ ت ٢٣ ط ١٢ ل ه ت )  ٣  θ ( ; ل ه ت  ٤  θ !٢ ٢ !٢ ٢ ه = أولاً # ــــــــــ ت ٥ ط ٣ ع ١ ع  ٧٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 79.
         ع ع ١ ٢ ط ت ٤ ٥ ط ت ٣ هـ ــــــــــ !٢ ٢ هـ ـــــــــــــــ ــ ١٧ !٢ ٢ ٧ ت ط !٢ ١٢ ٢ ١٢ ع !٢ ١ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٧  ــــــــــــــــــــــ  ضع فى الصورة الأسية العدد / ـــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ = ٢ ت × ـــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ $ ٧  ــــــــــــــــــــــــ  € ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ حل المعادلة س ٥ / ١ = . و ضع الحل فى الصورة الأسية + س ٥  $ س € ١ = . + ٥ ـــــــ  جتا ط + ت جا ط  = س € س = ه ــــــــــــ € = . R بوضع س = ه ـــــــــــــــ € = ١ R بوضع س = ه ط ت € = ٢ R بوضع س = ه ــــــــــــــ € = ٣ R بوضع س = ه ـــــــــــــــ € = ٤ R بوضع { ه ــــــــــــ ، ه ـــــــــــــــ ، ه ط ت ، ه ـــــــــــــــ ، ه ـــــــــــــــ } مجموعة الحل = €   ـــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــ هـ ـــــــــ ط ت = ــــــــــ هـ ثانياً # ـــــــــــ ٦ ت ط ٤ ٣ ت ط ٢ ٨ ه = ثالثاً # ـــــــــــــ  ١ + ت  ٢ ١ ــ ت ٦     = ٦ ه ـــــــــــــ  ١ + ت  ٢ ١ ــ ت  ١ + ت  ٢ ١ ــ ت ١ + ت ١ + ت ٢ ١ + ت  ٢ ٢ ٢ ه =  جتا ـــــــ + ت جا ـــــــ  ٢ = ـــــــــــ ط ٢ ط ٢ ت ط ٢  ١ + ت  ٢ ١ ــ ت ٧ ت ط ٢ ٧ ت ط ٢ ٢ = ٧ ه ـــــــــــــ ١ ٥ طR ط + ٢ = . ، ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١ R = جتا ـــــــــــــــــــــــ + ت جا ـــــــــــــــــــــــ حيث ٥ ١٢٨ ه = ـــــــــــــ س € = ــ ١ ٥ = جتا ط + ت جا ط طR ط + ٢ ٥ ت ط +  R ٢  ط٥ ه ، ٤ ، ــــــــــــــــــــــــ = حيث = . ، ٣ ، ٢ ، ١ R  ٥ ط ت ٥ ط ت ٥ ٣ ط ت ٥ ٣ ط ت ٥ ٧ ط ت ٥ ٧ ط ت ٥ ٩ ط ت ٥ ٩ ط ت ٥  ٧٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 80.
                ط ٤ ط ٣ ط ٢ ٣ ط ٤ + ت !٣ ٢ !٣ ــ ٢ ت ٥ ــ ت ٢ ت + ٣ ٨ !٣ !٣ ٤ ع ٣ ت ط ٢ ت! ١ ــ ٣ ٥ ت + ١ !٣ !٣ ٥ ت ط ٢ ١ ع ١ ٢ ط ٣ ط ٣  ٨٠       ١ ] ضع كلاً مما يأتى فى الصورة المثلثية : ] ه ـــــــــ ت  "  ه ـــــــ ت  O  ه ـــــــ ت  ب  ه ـــــــ ت  A  ٢ ] ضع فى الصورة الأسية كلاً من : ] ع = ـــــــــــــــــــــــ  ب  ٣ ت + ع = ــ ٣  A  ع = ـــــــــــــــــــــــــــ  "  ع = ــــــــــــــــــــــــــ  O  ع = ـــــــــــــــــــ  ه فى الصورة الأسية ، ثم احسب :  ١ + ت  = ، ٣ ] ضع كلاً من = + ت ] ، ، ، ، ٦  ١ + ت  : ٤ ] أثبت أن ] ٨ ه = ـــــــــــــــ فأثبت أن : ــــــــ = ـــــــ ه ــــــــــــــــ  جتا ـــــــ + ت جا ـــــــ  ٥ ] إذا كان ع = ٢ ] حيث ت ٢  ع ــ ٢  ٦ ] إذا كان ع + ٢ = ت ] = ــ ١ فأوجد العدد المركب ع على الصورة المثلثية ثم أوجد الجذرين التربيعيين للعدد ع فى الصورة الأسية ٧ ] إذا كان ع = ــــــــــــــــــــ حيث ت ٢ ] = ــ ١ فأوجد : أولاً : المقياس و السعة الأساسية للعدد المركب ع ثانياً : الجذور التكعيبية للعدد المركب ع فى الصورة الأسية ــ ٤ ت ع ع !٣ ١ !٢ ٢ ع ١ ع ٢ ع ع ٢ ١ ع ١ ! ١ ٤ ع ٢ !٣ ــ ت + ت !٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 81.
           ٢ ط R ٢ ٣ ط R ٢ ٣ ٢ ط ٣ ٢ ط ٣ ٤ ط ٣ ٤ ط ٣ ١ !٣ ٢ω ١ ٢ ٢ !٣ ٢ ٢ ٢ω ٣ω ٢ω ١ ٣ ١ !٣ ٢ ٢ ١ !٣ ٢ ٢  ٨١     ωω ١  نوجد الجذور التكعيبية للواحد الصحيح باستخدام نظرية ديموافر بفرضأن ع = ١ فإن الصورة المثلثية للعدد ع هى ع = جتا . + ت جا . ٢ ، ١ ، . = R  حيث  جتا ــــــــــــــ + ت جا ــــــــــــــ =  ١  € أحد الجذور التكعيبية للواحد الصحيح هو جتا . + ت جا . = ١ € = . R و بوضع الجذر التكعيبى الثانى هو جتا ــــــــ + ت جا ــــــــ = ــ ـــــ + ــــــــــ ت € = ١ R و بوضع الجذر التكعيبى الثالث هو جتا ــــــــ + ت جا ــــــــ = ــ ـــــ ــ ــــــــــ ت € = ٢ R و بوضع :  € ــ ـــــ + ــــــــــ ت ، = ــ ـــــ ــ ــــــــــ ت = ω ، ١ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ    أولاً : الجذور التكعيبية الثلاثة للواحد الصحيح أحدها حقيقى و هو ١ و الآخران مركبان و مترافقان ، و الجذور الثلاثة لها نفس المقياس و هو الواحد و قياسات زوايا سعتها الأساسية ٥٢٤٠ ، ٥ ١٢٠ ، ٥ ٠ ثانياً : مربع أى جذر من الجذرين المركبين يساوى الجذر المركب الآخر ثالثاً : مجموع الجذور التكعيبية الثلاثة للواحد الصحيح يساوى صفر رابعاً : حاصل ضرب الجذرين المركبين يساوى ١    صفر != ــ ٣  = ω Ž ١  = + ω + ١ ت u PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 82.
         ١ ١ !٣ ٢ ٢ !٣ ٢ ٢ الباقى من خارج قسمة ــــ مــ ٣ ω ــ ١٠٢ فى أبسط صورة ω ، ٧١ ω ، ــ ٣٢ ω ، ٤٦ ω : أكتب كلاً من / ٤٦ ω ■ $ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣ ٢ ٢ ω ١٠ + ω ١٠ + ١ ٢ ω ــ ٣ ω ١ ــ ٣ أثبت أن ــــــ ت هى أحد الجذرين التربيعيين للمقدار ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ / $   الصور المختلفة للجذور التكعيبية للواحد الصحيح هى : Œ ١ ) الصورة الجبرية : ١ ، ــ ــــــ + ـــــــــ ت ، ــ ــــــ ــ ـــــــــ ت ) ٢ ط ٣ ٢ ط ٣ ٢ ط ٣ ٤ ط ٣ ٤ ط ٣ ٢ ) الصورة المثلثية : ١ ، جتا ـــــــ + ت جا ــــــــ ، جتا ـــــــ + ت جا ــــــــ ) ٤ ط ٣ ٣ ) الصورة الأسية : ١ ، ه ـــــــ ت ، ه ـــــــ ت ) ------------------------------------------------------------------------------ م قوى XL = ω : حيث م ω  +:  ------------------------------------------------------------------------------ ; ٣ لإيجاد : نضيف إلى الأس عدد يقبل القسمة على و يكون أكبر ω Ž من مباشرةً ; ــ ------------------------------------------------------------------------------ ١ ω ٣ ٢ ٣ ٢ ω ١ ٢ω ω ω ω ω ω = ــــــــ = ـــــــــ = ، ــــــــ = ـــــــــ  ω = ١ + ٤٥ ω ■ ω = ــ ٣٢ ω = ٣٣ + ــ ٣٢ ω = ٧١ ω ■ ω = ٢ + ٦٩ ω = ــ ١٠٢ ω ■ ٢ ω = ١٠٢ + ــ ١٠٢ ω = صفر ١ = ٢ ω ١٠ + ω ١٠ + ١ ٢ ω ــ ٣ ω ١ ــ ٣  ٢ ω + ω  ١٠ + ١  ٢ ω + ω  ١ ــ ٣ ٢ ω + ω  ، ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  = ــ ١ ٢ ω ١٠ + ω ١٠ + ١ ٢ ω ــ ٣ ω ١ ــ ٣ ١ ــ ١٠ ٣ + ١ ــ ٩ ٤ ٩ ٤ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ = ــــــــ = ــــــ ت ٢ € ٣ ٢  ــــــ ت   = ٢ ٣ ٢  ــــــ ت هى أحد الجذرين التربيعيين للمقدار المعطى €  ٨٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 83.
         ت  = ω ٢ ــ ω : أثبت أن / ٢ ω ٢ ــ ω   $ !٣ ٤ ٢ω ٥ ــ ٣ ــ ٣ ω ٥ ω ٢ ــ ٧ ٢ ــ ٧ ω ٢ !٣ ٤ ٢ω ٥ ــ ٣ ω ٢ ــ ٧ ٢ ــ ٧ ω ٢ ٤ ٢ω ٣ ــ ٣ ω ٥ ω ٣ ــ ٧ ω ٢ المقدار ـــــــــــــــــــــ ــ ـــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ ــ ــــــــــــــــــــــ ــ ٣ ω ٥ ــ ٣ ω ٥ ٢ ــ ٧ ω ٢ ٤  ــ ٣ ω ٥  ٢ω ــ ٣ ω ٥  ٢ ــ ٧ ω ٢ ω ٢ ــ ٧ ω ٢ !٣ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ أوجد مجموعة حل المعادلة : ع ٦ ــ ٩ ع ٣ / . =  ع ٣ ــ ٨   ع ٣ ــ ١  : بإجراء عملية التحليل نجد أن $ إما ع ٣ ١ أو ع = ٣ !١ ٣ !٨ ٣ !١ ٣ { ٢ω ٢ ، ω ٢ ، ٢ ، ٢ω ، ω ، ١ } مجموعة الحل هى € ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ω ٢ ω ٥ ٧ أثبت أن : ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــ / ٢ω بالتعويضعن $   ثم أوجد قيمة المقدار ـــــــــــــــــــــ ــ ـــــــــــــــــــ ω = ٣ω ٤ ــ ٢ ω + ٤ω  ، ٢ ω ، ω = ٣ ١ = ٢ ω ٢ ــ ω  € ω  = ٢ ω ــ ٢ = ــ ١ ــ ٢ = ــ ٣ حيث  ω + ٢ ــ ١ = ω + ٢ ω ٢ ــ ω  € ٣ ت = ω ٢ ــ ω € ٢  ت  = ٤ ω  = = ــــــــــــــــــــــــــــــ ــ ــــــــــــــــــــــــــــ  ω ٢ ــ  ٤  ت   =  ٩ ت = ٤ ٩ = W L ٨ = . حيث ع + ٨ = ع = = ٢ € ع = € ٢ω ٢ ، ω ع = ٢ ، ٢ € ٢ω ، ω ، ع = ١ € ٢ ω ٢ + ω ٥ + ٣ ω = ــ ١ ــ ٢ ω ٥ + ω ٢ + ٣ ω ٢ ω المقدار = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ € ω ــ ١ ــ  ٢ + ω ٥ + ٣ ω ــ ١ ــ  ٥ + ω ٢ + ٣  ٨٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 84.
         ω ω ــ ٢ ــ ٢ ω ٥ + ٣ ٢ ω ω ــ ٥ ــ ٥ ω ٢ + ٣ ω ω ٣ + ١ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ = ـــــــــــ = ـــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ   = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ ــ ـــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ      !  ٨٤       ٢ هى الجذور التكعيبية للواحد الصحيح فأثبت أن : ω ،ω ، فيما يلى إذا كانت ١ ٨٢ ω + ١  [ ١ ] ω = ٦ω ١ ــ  [ ٢ ] ٢ = ــ ٢٧ ٩ = ٥ ω ١ ــ  ٤ ω ١ ــ  ٢ ω ١ ــ  ω ١ ــ  [ ٤ ] ٤ = ٢ ω ــ ω + ١  ٢ ω + ω ١ ــ  [ ٣ ] ٢ ω ١ ــ  [ ٥ ] ω + ٢٤ ω + ١  + ٢ ω + ٤ ω ٤ = ٦ ٢ ω ٢ + ω ٥ + ٢  [ ٦ ] ω ٥ + ω ٢ + ٢  = ٦ ٢ ٧٢٩ = ٢ ω ١ ــ  ٢ ω + ω ١ ــ  [ ٧ ] ω + ٤ ω ١ ــ  ٤ ω + ٨ من العوامل = ٢ ; إلى ٢ ...... × ;٢ ٨ ] إذا كانت س = ــــــــــــــــــــــــــــ فأثبت أن : ] أولاً : س ٨ + س ٤ ١ = . ثانياً : س + ١٠ + س ٥ . = ١ + ٢ ω A = ع ، ٢ ω ب + ω A = + ب ،ص A ٩ ] إذا كانت س = ] ω + ب ٣ A فـأثبت أن : أولاً : سصع = + ب ٣ ثانياً : س ٢ +ص ٢ + ع ٢ ب A ٦ = أحد الجذور التكعيبية للواحد الصحيح ω ١٠ ] أوجد الجذرين التربيعيين للعدد ] ٢ ω ω ــ ٢ ــ ٣ ω ω ٣ + ١ ٢ ω ω ٣ + ٢  ω ٣ + ١  ٢ ω ــ ω ٣ + ٢  ω ω ٣ + ٢ ω ٣ + ١  ٣ω ٢ ــ ٣ ω ٢ ــ ω٣ +ω ٢ ٢ω ٩ +ω ٦ +ω ٣ + ٢  ٢ ــ ٣ ω٢ +ω ٢ ٢ ω٩ +ω ٩ + ٢  ــ ٣ ٢ ω +ω٢ ω ــ ١ ــ ٩ +ω ٩ + ٢  ــ ٣  ــ ١ ٢ ω ــ ٩ ــ ٩ ω ٩ + ٢ ــ ٢ ــ ٣ ٢ ــ ٩ ــ ٥ ــ ٧ ٥ ٧ ٣ ت + ــ ١ ٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 85.
         ١ ω ٢ + ١ ١ ٢ω ٢ + ١ ٤ ٢ ٣ ١١ ] أثبت أن : ـــــــــــــــــــ ــ ــــــــــــــــــــ = ــ ــــــــ ] ١ ١ ١٢ ] أثبت أن : ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ١ ] ٢ ω٢ +ω ٣ + ٤ ٢ ω٤ +ω ٣ + ٥   ٢ ــ ١ ω  ــ ١ ω ٢ ω ٢ ω ٥ ــ ٣ ω ٢ ــ ٧ ٢ ــ ٧ ω ٢ ١٣ ] ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ [ ١٤ ] ـــــــــــــــــــــ ــ ـــــــــــــــــــ ] ٢ ω ١ +ω ٢  ١ + ــ ٣ ω ٥ ٤ ١ ω ٣ + ١ ١ ٢ω ٣ + ١ ٢ ω ٢ω ٢ + ١ ٢ ٢ ٢ω ω ٢ + ١ ١٥ ] ـــــــــــــــــــــ ــ ــــــــــــــــــــــ [ ١٦ ] ـــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــ ] ٢ ٢ω ٥ ω  ــ ـــــــــ ω + ١   ٢ ω + ١ ــ ــــــــ  [ ١٧ ] ١٨ ] كون المعادلة التربيعية التى جذراها : ] ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ   أوجد قيمة كل مما يأتى : ٣ ٢ ω + ω ١ ــ  ، ٣ ٢ ω ــ ω + ١       مسائل العمليات على الأعداد المركبة و خواصها :  ٨٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 86.
            ٨٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 87.
            ٨٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 88.
            ٨٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 89.
            ٨٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 90.
           فى كل من التمارين الآتية أوجد قيم س ،صالحقيقية :  ٩٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 91.
           أوجد العدد المركب ع الذى يحقق كلاً من المعادلات الآتية :  ٩١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 92.
           مسائل على الصورة المثلثية للعدد المركب :  ٩٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 93.
            ٩٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 94.
           مسائل على حاصل ضرب و خارج قسمة عددين مركبين فى الصورة المثلثية :  ٩٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 95.
            ٩٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 96.
            ٩٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 97.
           مسائل على نظرية ديموافر :  ٩٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 98.
            ٩٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 99.
           مسائل على جذور العدد المركب :  ٩٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 100.
            ١٠٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 101.
            ١٠١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 102.
           مسائل على الصورة الأسية للعدد المركب و العمليات على الصورة الأسية :  ١٠٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 103.
            ١٠٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 104.
            ١٠٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 105.
            ١٠٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 106.
           مسائل على خواصالجذور التكعيبية للواحد الصحيح :  ١٠٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 107.
            ١٠٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 108.
            ١٠٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 109.
           مسائل عامة على الأعداد المركبة :  ١٠٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 110.
            ١١٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 111.
            ١١١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 112.
           ; ١h .... ٣ ١h ٢ ١h ١ ١h ; ٢h .... ٣ ٢h ٢ ٢h ١ ٢h ; ;h .... ٣ ;h ٢ ;h ١ ;h = ; هى عدد الصفوف أو الأعمدة فى المحدد :  ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ يتكون من صفين و عمودين و يكتب على الصورة :  :  = ٢ ٢ ١h ١ ١h ٢ ٢h ١ ٢h = ٢ ٢ ١h ١ ١h = ٢ ٢ ٢h ١ ٢h ١ ٢h ٢ ١h ٢ ٢ ــ h ١ ١h : إذا كان : فإن ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ أوجد قيمة كل من المحددات الآتية : / ٣ ٢ ٥ ٤ ٣ ١٠ ٢ ٥ ٢ ٦ ٣ ٩ جاس ــ جتاس جتاس جا س جتاس = جا ٢س + جتا ٢س = ١ ×  ــ جتاس  جاس ــ × = جاس m ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :  يتكون من ٣ صفوف ، ٣ أعمدة و يكون على الصورة       :; هو ترتيب من الأعداد بحيث يكون عدد الصفوف مساوياً عدد الأعمدة ، و يكون على الصورة : ١٠ ــ ١٢ = ــ ٢ = ٤ × ٥ ــ ٣ × ٢ = j ٥ = ٢٠ ــ ١٥ = ٥ × ٢ ــ ٣ × ١٠ = k ١٨ ــ ١٨ = صفر = ٩ × ٣ ــ ٢ × ٦ = l ٣ ١h ٢ ١h ١ ١h ٣ ٢h ٢ ٢h ١ ٢h ٣ ٣h ٢ ٣h ١ ٣h = ٣  ١١٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 113.
         + + + ـــ + ـــ + ـــ + ـــ + : < ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :  إذا كان :  ٣ ١h ٢ ١h ١ ١h ٣ ٢h ٢ ٢h ١ ٢h ٣ ٣h ٢ ٣h ١ ٣h = ٣ ٣ ٢h ٢ ٢h ٣ ٣h ٢ ٣h ٣ ٢h ١ ٢h ٣ ٣h ١ ٣h ٣ ١h + ٢ ١h ١ ١ ــ h : فإن ٢ ٢h ١ ٢h ٢ ٣h ١ ٣h  ١ ٣h ٢ ٢h ٢ ٣ ــ h ١ ٢h ٣ ١h +  ١ ٣h ٣ ٢h ٣ ٣ ــ h ١ ٢h ٢ ١h ــ  ٢ ٣h ٣ ٢h ٣ ٣ ــ h ٢ ٢h ١ ١h = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ إذا كان :  ٣ ١h ٢ ١h ١ ١h ٣ ٢h ٢ ٢h ١ ٢h ٣ ٣h ٢ ٣h ١ ٣h = ٣ ٢ ١h ١ ١h ٣ ١h ٢ ١h ١ ١h ٢ ٢h ١ ٢h ٣ ٢h ٢ ٢h ١ ٢h ٢ ٣h ١ ٣h ٣ ٣h ٢ ٣h ١ ٣h  ٣ ٣h ١ ٢h ٢ ١h + ٢ ٣h ٣ ٢h ١ ١h + ١ ٣h ٢ ٢h ٣ ١h ــ  ٢ ٣h ١ ٢h ٣ ١h + ١ ٣h ٣ ٢h ٢ ١h + ٣ ٣h ٢ ٢h ١ ١h : فإن ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  / أوجد قيمة المحدد  ٣ ٢ ٤ ــ ٣ ٥ ــ ٢ ٧ ٢ ٣ ٣ ــ ٢ ٧ ٢ ــ ٥ ــ ٢ ٧ ٣ ٣ + المحدد = ٤ ــ ٢ $ ــ ٣ ٥ ٢ ٣ ٣ × ٢ ــ ٣ × ــ ٥  ٣ + ٣× ــ ٢  ٧ ــ × ــ ٥  ــ ٢ ٢× ــ ٢  ٧ ــ × ٣  ٤ = ١٠١ = ٥٨ ــ ٥٧ + ١٠٠ =  ــ ١٩  ٣ +  ــ ٢٩  ــ ٢ ٢٥ ٤ =  ــ ١٠ ــ ٩  ٣ + ٦+ ــ ٣٥  ــ ٢ ٤+ ٢١  ٤ =   :  ص ع الذى يقع فى الصف ص و العمود ع فإن : h ٣ و ليكن العنصر  إذا أخذنا أى عنصر فى المحدد ص ع h المحدد من الدرجة ٢ الذى ينشأ عن حذف الصف صو العمود ع يسمى بالمحدد الأصغر للعنصر  ١  ص ع  و يرمز له بالرمز ص ــ ١  ص ع فإن الكمية الناتجة وهى  ــ ١  × صع  إذا ضربنا المحدد الأصغر  ٢  ع  صع h تسمى بالعامل المرافق للعنصر = ٣ = ٣ صع  ×  ١١٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 114.
         $ ٣ ٢ ٤ ــ ٣ ٥ ــ ٢ ٧ ٢ ٣ ٢ ٤ ٣ ٢ ٤ ــ ٣ ٥ ــ ٢ ــ ٣ ٥ ٢ ٣ ٧ ٢ ٣ ٧× ــ ٥ ×٢ + ٢× ــ ٢ × ٤ +٣ × ٣ ×٣  ــ ٢× ــ ٥ ×٣ + ٣× ــ ٢ × ٢ +٧× ٣× ٤ = المحدد € ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  / $ س . ١ ١ ٨ ــ س ــ س س ــ ١ ١ + س ١ ــ س ــ س ــ ١ ١ + س ١ ٨ ــ س س ــ ١ صفر =  ــ ٨ ــ س + س ٢  + ــ س ٢ ــ س ١  س € ــ س ٣ ــ ٨ = صفر € س ــ س ٣ ــ س ٢ ــ ٨ ــ س + س ٢ = صفر € { ــ ٢ } م . ح = € س = ــ ٢ € س ٣ = ــ ٨ و بأخذ الجذر التكعيبى للطرفين € ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ       المحدد =  ١٠١ = ٥٩ + ٤٢ =  ــ ٥٩  ٤٢ ــ =  ــ ١٦ ــ ٧٠ ٢٧ ــ  ــ ١٢ ــ ٣٠ ٨٤ = H  أوجد مجموعة حل المعادلة : = صفر حيث س س + = صفر € بفك المحدد :  ١١٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 115.
            ١١٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 116.
         ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣ ــ ٥ ١ ٢ ــ ٣ . . ــ ٤ ١ . . ٣ ــ ٢ ١ ــ ١ ٢ ــ ١ ــ ٤ ٣ فمثلاً : = = ٣ ــ صفر + صفر ٥ ــ ٤ ٣ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ  أو أعمدته  قيمة المحدد لا تتغير بفكه عن طريق عناصر أحد صفوفه :  ٢   أوجد قيمة المحدد : م = /      فى أى محدد إذا بُدلت الصفوف بالأعمدة و الأعمدة بالصفوف بنفس الترتيب :  ١   فإن قيمة المحدد لا تتغير ١٥ =  ٨ ــ ٣  ٣ = ٣ ــ ٥ ١ ٢ ــ ٣ . . ــ ٤ ١ ( أولاً ) باستخدام عناصر الصف الثانى ( ثانياً ) باستخدام عناصر العمود الثالث  ١١٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 117.
         $ ( أولاً ) باستخدام عناصر الصف الثانى : ٥ ٣ ٤ . ( ثانياً ) باستخدام عناصر العمود الثالث : ٣ ــ ١ . ــ ١ ١ ٣ ١ ٣ ٢ . ٢ . ــ ــ ١ ١ . ــ . ــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ . ــ ٩ ٢ ٧ ــ ٣ . . ــ ٨ ١ ٣ ٧ ٤ . . . ٦ ــ ٢ ١ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣ ٢ ١ ٧ ٦ ٥ ٤ ١ ٢ بدون فك المحددات أثبت أن : = / ١ ٢ ٣ ٢ ١ ٤ ٥ ٦ ٧ ٣ ٢ ١ ٧ ٦ ٥ ٤ ١ ٢ ١ ٢ ٣ ٥ ٦ ٧ ٢ ١ ٤ ــ و ذلك لتبديل العمودين الأول و الثالث = $    ــ ٣  م = صفر + ٢ ــ ١٥ =  . ــ ٣ ــ  ٣ +  . ١٢ ــ  ٢ = ٤ +  ــ ٣  م = ٥ ــ ١٥ = ٢٤ + ــ ٩ =  . ٦ ــ  ٤ +  . ــ ٣ ــ  ٣ +  .  ٥ = فى محدد كلها أصفار  أو أى عمود  إذا كانت عناصر أى صف :  ٣   فإن قيمة المحدد تساوى صفر فمثلاً : إذا كان م = بفك المحدد باستخدام عناصر العمود الأول ينتج أن م = صفر و إذا كان ه = بفك المحدد باستخدام عناصر الصف الثانى ينتج أن ه = صفر المحدد وضعيهما  أو أعمدة  من صفوف  أو عمودان  إذا تبادل صفان :  ٤    ــ ١  فإن قيمة المحدد الناتج تساوى قيمة المحدد الأصلى مضروباً فى ١ ٢ ٣ ٢ ١ ٤ ٥ ٦ ٧ و ذلك لتبديل الصفين الثانى و الثالث  ــ ١  = ــ ١ ٢ ٣ ٢ ١ ٤ ٥ ٦ ٧  =  ١١٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 118.
         ٨ ٥ ٢ ــ ٧ ٤ ٣ ٨ ٥ ٢ فمثلاً إذا كان م = فإن م = صفر وذلك لتساوى الصفين ص ١ ،ص ٣ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣ ــ ١٥ ٢ ٤ ــ ٢٠ ١ ٥٥ ٦ ١١ بدون الفك أثبت أن المحدد = صفر / بأخذ ٥ عامل مشترك من عناصر العمود الثالث $ ٣ ــ ٣ ٢ ٤ ــ ٤ ١ ١١ ٦ ١١ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٤ ٣ ٥ ١ ٢ ٤ أكتب المحدد على صورة مجموع محددين قيمة أحدهما يساوى صفر / ٣ ــ ١ ــ ٢ ٤ ٣ ٥ ١ ٢ ٤ ١ + ٣ ٢ + ١ ٤ + ١ ١ ٢ ٤ كتبنا كل عنصر من عناصر الصف الأول كمجموع ] = $ ٣ ــ ١ ــ ٢ ٣ ــ ١ ــ ٢ محددين أحدهما يساوى العنصر بالصف الثانى ] " = + يلاحظ أن المحدد الثانى فى الطرف الأيسر = صفر " لأن ص ١ ، ص ٣   فى أى محدد فإن قيمة المحدد تساوى صفر  أو عمودان  إذا تساوى صفان :  ٥   فى محدد  أو عمود  إذا وجد عامل مشترك & فى جميع عناصر أى صف :  ٦    بعد أخذ العامل المشترك  المحدد الناتج × & = المحدد الأصلى و ذلك لتساوى عناصر ع ، ع ٣ ١ فإن هذا العامل يمكن أخذه خارج المحدد و يكون : صفر = صفر × ٥ = × المحدد = ٥ € تحويل محدد إلى مجموع محددين : :  ٧   كمجموع عنصرين  أو عمود  فى أى محدد إذا كتبت جميع عناصر أى صف فإن قيمة المحدد يمكن كتابتها كمجموع قيمتى محددين ٣ ١ ١ ١ ٢ ٤ ٣ ــ ١ ــ ٢ ١ ٢ ٤ ١ ٢ ٤ ٣ ــ ١ ــ ٢  ١١٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 119.
         ; ل م ــ س ص ع R & Q  / بدون فك المحددات أثبت أن : + = صفر  بملاحظة أن المحددين فى الطرف الأيمن يتساوى فيهما نفس العمودين ع ، ع $  الطرف الأيمن = = = صفر = الطرف الأيسر ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ   استخدم خواصالمحددات لتسهيل إيجاد قيمة المحدد /   :   أو الأعمدة  يمكن جمع محددين لا يختلفان إلا فى عناصر أحد الصفوف و بقاء بقية العناصر كما هى  أو العمودين  و ذلك بجمع العناصر المتناظرة فى الصفين " لأن عناصر العمود الأول كلها أصفار " فى محدد مضاعفات نظائرها من عناصر  أو عمود  إذا أضيفت لعناصر أى صف :  ٨   فإن قيمة المحدد لا تتغير  أو عمود آخر  صف آخر لأى محدد  أو عمود  و تستخدم هذه الخاصية للحصول على أكبر عدد ممكن من الأصفار فى أى صف و بالتالى يسهل علينا فك المحدد  ١١٩   ــ ١ و إضافتها إلى عناصر العمود الثانى × بضرب عناصر العمود الأول $ المحدد = = € ــ ٣ و إضافتها إلى عناصر العمود الثالث × بضرب عناصر العمود الأول المحدد = = € ٢ = × ١ = ; ــ ل م س ص ع R & Q ــ ٣ ٢ ; ل ــ ل م ــ س + س ص ع R & Q ــ Q ; . م . ص ع R & . ٣ ١ ١ ١٤٩ ٥١ ٥٠ ٧٠ ٢٤ ٢٣ ١ ١ ــ ٣ ١ ٥١ ٥٠ ــ ١٤٩ ٥٠ ٢٤ ٢٣ ــ ٧٠ ٢٣ ٣ . ١ ١٤٩ ١ ٥٠ ٧٠ ١ ٢٣ ٣ . ١ ــ ٣ ١٤٩ ١ ٥٠ ــ ١٥٠ ٧٠ ١ ٢٣ ــ ٦٩ . . ١ ١ ٥٠ ــ ١ ١ ١ ٢٣ ١ ــ ١ ١ ١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 120.
         ٣ ــ ٤ ٥ فمثلاً : إذا كان م = فإن : ٧ ــ ٣ ــ ٢ ٣ ١ ٢ ٥٧ ــ ٥ ــ ٥٢ = صفر = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ . . ٢ . ٣ ــ ١ ٥ ٢ ٤ ــ ٢ ٩ ٧ . ــ ٦ ١ ٣ . . ٥ = ــ ١٠ × ــ ١ × فمثلاً : قيمة المحدد = ٢ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ / ١ ــ ٢ ١ ١ ٢ ٤ ٣ ٣ ــ ٢ ــ ٤ و إضافتها إلى عناصر الصف الثانى × بضرب عناصر الصف الأول $ ١ ــ ٢ ١ ٦ ــ ٧ . ٦ ــ ٨ . ــ ١ و إضافتها إلى عناصر الصف الثالث × المحدد = ثم بضرب عناصر الصف الثانى € ١ ــ ٢ ١ ٦ ــ ٧ . . . ــ ١ ــ ١ = ــ ٦ × ٦ × المحدد = فى الصورة المثلثة قيمته = ١ €   فى العوامل المرافقة  أو عمود  فى أى محدد يكون مجموع حواصل ضرب عناصر أى صف :  ٩   آخر يساوى صفر  أو عمود  للعناصر المناظرة فى أى صف  العامل المرافق للعنصر ــ ٢  ٤ +  العامل المرافق للعنصر ــ ٣   ــ ٥  +  العامل المرافق للعنصر ٧  ٣  ١٠ + ٣  ــ × ٤ +  ٩ ــ ٨   ــ ٥  +  ــ ١٥ ــ ٤  ــ × ٣ = :  القطر الرئيسى كلها أصفار يسمى محدد على الصورة المثلثة  أو فوق  المحدد الذى جميع عناصره تحت قيمة المحدد على الصورة المثلثة تساوى حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسى :  ١٠   ٢١ = ٣ × ــ ١ × ، = ــ ٧ ضع المحدد على الصورة المثلثة ، ثم أوجد قيمته ــ ٣ و إضافتها إلى عناصر الصف الثالث × و كذلك بضرب عناصر الصف الأول  ١٢٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 121.
                ١٢١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 122.
                                                        ١٢٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 123.
                                                        ١٢٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 124.
                 ١٢٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 125.
            ١٢٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 126.
            ١٢٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 127.
            ١٢٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 128.
            ١٢٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 129.
            ١٢٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 130.
            ١٣٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 131.
            ١٣١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 132.
            ١٣٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 133.
           ٢ ١h ١ ١h ٢ ٢h ١ ٢h ١[ [ ٢ [ [ ٢ ١h ١. ٢ ٢h ٢. ١. ١ ١h ٢. ١ ٢h        : ٢ . ٢ ٢ ص = h + ١ ٢ س h ، ١ . ٢ ١ ص = h + ١ ١ س h محدد المعاملات " [ = بي صفر " و يسمى [ حيث فإن حل المعادلتين هو : س = ـــــــــــ ، ص = ـــــــــــ = ٢ [ ، = ١ [ حيث ١[ [ ٢ [ [ ٣ ١h ٢ ١h ١ ١h ٣ ٢h ٢ ٢h ١ ٢h ٣ ٣h ٢ ٣h ١ ٣h  ١٣٣   : ٢ . ٣ ٢ ع = h + ٢ ٢ ص h + ١ ٢ س h ، ١ . ٣ ١ ع = h + ٢ ١ ص h + ١ ١ س h ٣ . ٣ ٣ ع = h + ٢ ٣ ص h + ١ ٣ س h محدد المعاملات " [ = بي صفر " و يسمى [ حيث فإن حل المعادلات الثلاثة هو : س = ـــــــــــ ، ص = ـــــــــــ ، ع = ـــــــــــ = ٣[ ، = ٢ [ ، = ١ [ حيث ٣ [ [ ٣ ١h ٢ ١h ١ . ٣ ٢h ٢ ٢h ٢ . ٣ ٣h ٢ ٣h ٣ . ٣ ١h ١ . ١ ١h ٣ ٢h ٢ . ١ ٢h ٣ ٣h ٣ . ١ ٣h ١ . ٢ ١h ١ ١h ٢ . ٢ ٢h ١ ٢h ٣ . ٢ ٣h ١ ٣h PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 134.
         :  ٣ = صفر فإن مجموعة المعادلات لها عدد لا نهائى من الحلول [ = ٢ [ = ١ [ = [ ٣ ] إذا كانت ] ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ حل المعادلتين س + ٣ص= ١ ، س ــ ٢ص= ٦ / ٣ ١ ١ = ــ ٢ ــ ٣ = ــ ٥ × ــ ٣  ــ ٢  × ١ = = [ $ ١ ــ ٢ ٣ ١ ٦ = ــ ٢ ــ ١٨ = ــ ٢٠ × ــ ٣  ــ ٢  × ١ = = ١ [ ٦ ــ ٢ ١ ١ ٦ ١ ٥ = ٦ ــ ١ = ١ × ٦ ــ ١ × ١ = = ٢ [ س = ــــــــــــ = ــــــــــــــ = ٤ ، ص= ــــــــــــ = ــــــــــــــ = ــ ١ ١[ [ ــ ٢٠ ــ ٥ ٢ [ [ ٥ ــ ٥ { ٤ ، ــ ١  } = مجموعة الحل ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ باستخدام طريقة كرامر أوجد مجموعة حل المعادلات : / ٣ س + ٢ص+ ع = ٧ ، س + ٥ص+ ٣ع = ٤ ، س ــ ٢ص+ ع = ــ ١ ١ ٢ ٣ ٣ ٥ ١ ١ ١ ــ ٢  ــ ٢ ــ ٥  +  ١ ــ ٣  ــ ٢  ٦ + ٥  ٣ = = [ $ ١ ٢ ٧ ٣ ٥ ٤ ١ ــ ١ ــ ٢  ٥ + ــ ٨  +  ٣ + ٤  ــ ٢  ٦ + ٥  ٧ = = ١ [   ٣ حدوث إحدى الحالات الاتية : [ ، ٢ [ ، ١ [ ، [ يتوقف على قيم كل من { س ،ص، ع  } بي صفر فيكون للمعادلات حل واحد فقط عبارة عن [ ١ ] إذا كانت ] ٣ بي صفر فإن مجموعة المعادلات ليس لها حل [ ، ٢ [ ، ١ [ = صفر ، [ ٢ ] إذا كانت ] ٣٠ = ٤ ــ ٧ + ٣٣ = ــ ٧  ــ ٢  × ١١ ــ ٢ × ٣ = ٦٠ = ٧٧ ــ ١٤ ــ ٣ = ٧ ــ ٣ × ١١ ــ ٢ × ٧ =  ١٣٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 135.
         ١ ٧ ٣ ٣ ٤ ١ ١ ١ ــ ١  ــ ١ ــ ٤  +  ١ ــ ٣  ــ ٧  ٣ + ٤  ٣ = = ٢ [ ٧ ٢ ٣ ٤ ٥ ١  ــ ــ ٥ ٢  ٧ +  ٤ ١  ــ ــ ٢  ٨ + ٥  ٣ = = ٣ [ ــ ــ ــ ــ ١ ٢ ١ ٣٠ ــ ــ ــ ــ = ٤٩ ١٠ + ٩ =  ٧  ٧ +  ٥  × ٢ ٣ × ٣ = ــ ١ ١ ٢ س = ـــــــــ = ـــــــ = ، ص = ـــــــــ = ـــــــ = ، ع = ـــــــــ = ــــــــــ = ــ ١[ [ ٦٠ ٣٠ ٢ [ [ ٣٠ ٣٠ ٣ [ [ ــ ٣٠ ٣٠ { ١ ، ٢ ، ــ ١  } = مجموعة الحل ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ      ٣٠ = ١٤ ــ ٥ + ٢١ = ــ ٥  ــ ٢  × ٧ ــ ٧ × ٣ =  ١٣٥ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 136.
               ١٣٦ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 137.
               ١٣٧ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 138.
            ١٣٨ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 139.
                  ١٣٩ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 140.
               ١٤٠ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 141.
               ١٤١ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 142.
               ١٤٢ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 143.
               ١٤٣ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
  • 144.
            أصدق الأمنيات بالتفوق الباهر ........ مع تحياتى  ١٤٤ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com