ロボット技術研究会の中で行った紙飛行機Workshop内で発表した内容を公開します.

1. 1
@rejell55

2. 1. 飛行機にはたらく力
2. 飛行機の運動と安定性
3. 揚力と抗力について
4. 翼の性能
5. 飛行機と材料力学
2

3. 1. 飛行機にはたらく力
2. 飛行機の運動と安定性
3. 揚力と抗力について
4. 翼の性能
5. 飛行機と材料力学
3

4. 4
揚力
抗力推力
重力
飛行機は並進方向には一定速度で運動(力のつり合い)

5. 1. 飛行機にはたらく力
2. 飛行機の運動と安定性
3. 揚力と抗力について
4. 翼の性能
5. 飛行機と材料力学
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6. 6
機体の回転運動にはロール・ヨー・ピッチの3種類がある。
回転運動が安定していれば,
機体は安定している
画像元:
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%8
3%83%E3%83%81%E3%83%B3%E3%82%B0

7. 元の位置に戻ろうとする力（復元力）が働いている状態
7
静安定
減衰しながら徐々につり合い位置に近づいている状態
動安定

8. 8
静的に安定
静的に不安定

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10. 10
重心は主翼のちょっと前に設定
上向きに傾くと, 迎角が増えて揚力が増える
すると, 下向きにするようなモーメントが発生
下向きに傾くと, 尾翼の迎角が減って
下向きに揚力が生じる
すると, 上向きにするようなモーメントが発生

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航空機の運動
縦の運動
(Pitch方向)
横の運動
(Yaw, Roll方向)
フゴイドモード
短周期モード
スパイラル
モード
ロールモード
ダッチロール
モード
航空機の運動はこのように
分解して考えられる
不安定
（ヤバい）

12. 12
フゴイドモード
以降画像元：
http://www.xflr5.com/docs/ja_XFLR5_and_St
ability_analysis.pdf

13. 13
短周期モード

14. 14
スパイラルモード

15. 15
ロールモード

16. 16
ダッチロールモード

17. 運動に関わるパラメータはいろいろあるが･･･
紙飛行機で（恐らく）重要なパラメータは以下の通り
17
1. 重心の位置
2. 主翼の位置・面積・翼幅
3. 上反角
4. 尾翼の位置・面積

18. 18
基本的に物体の運動は, 並進の運動と重心周りの回転
の運動で考えられる
重心の位置が変われば力のモーメントが変わる
→回転運動の特性が変わる

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翼幅が長いと, それだけ力のモーメントが大きくなる

20. 20
𝜃
上反角をつけることで復元力が生じる
ただし, その分上向きの力が減る

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尾翼の面積が大きくなると揚力も大きくなる
尾翼の位置が遠くなると力のモーメントが大きくなる

22. 1. 飛行機にはたらく力
2. 飛行機の運動と安定性
3. 揚力と抗力について
4. 翼の性能
5. 飛行機と材料力学
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23. 空気の流れを利用して, 揚力を生み出す
23
主翼の効果
どのようにして生まれるか？

24. 24
よくある説明
1
2
𝜌𝑣2
+ 𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Bernoulli の定理 𝜌: 密度
𝑣: 速さ
𝑝: 圧力
速度→増 圧力→減
密度一定なら･･･

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よくある説明
翼の断面図
空気の流れ
前から後にたどり着くまでの時間が同じ
上面 距離：長い
下面 距離：短い
速さ：大
速さ：小
圧力：低
圧力：高
𝐿 =
1
2
𝐶𝐿 𝜌𝑉2
𝑆

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渦の発生
空気の渦を発生させる装置
翼とは・・・

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渦の強さを表す(記号:𝛤)
循環とは
𝛤 = 𝑣 cos 𝜃 𝑑𝑠
𝑣
𝑑𝑠

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𝛤
𝑑𝑠
𝜙
ℎ 𝑣
𝑟
𝑑𝑣 =
𝛤
4𝜋
sin 𝜙
𝑟2
𝑑𝑠
電磁気における
Biot-Savartの法則と同じ

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速度𝑉からなる一様流中に直角に2次元物体が置
かれたとき, 一様流の方向と物体軸を含む面に直
角に単位幅あたりに𝜌𝑉𝛤の大きさの力がはたらく.
循環: 𝛤
速度𝑉 密度𝜌
力:𝜌𝑉𝛤
循環の分布がわかれば
揚力の分布がわかる！

30. 30
下向き速度𝑤
の発生
𝑑𝐷𝑖 = 𝜌𝑤 𝑦 𝛤 𝑦 𝑑𝑦
微小な翼素あたりに働く抗力
𝐷𝑖
誘導抗力の発生

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𝑦
𝑥
x軸方向の循環分布は無視
𝛤 𝑦 =
1
2
𝑚∞ 𝑦 𝑐 𝑦 𝑉𝛼 𝑎 𝑦 −
1
4𝜋
𝑑𝛤(𝜂)/𝑑𝜂
𝑦 − 𝜂
𝑑𝜂
𝑏
2
−
𝑏
2
Prandtlの積分方程式
𝑦 𝑐(𝑦)
𝑏
2−
𝑏
2
0

32. 32
Prantdlの積分方程式を解いて循環分布を求めると,
誘導抗力の大きさ𝐷𝑖が求まる.
𝐷𝑖 =
1
2
𝐶 𝐷 𝑖 𝜌𝑣2
𝑆
Bernoulli の定理から…
𝐶 𝐷 𝑖 =
𝐶𝐿
2
𝜋𝑒 𝑤 𝐴𝑅
𝐶𝐿: 揚力係数
𝑒 𝑤: 翼効率
𝐴𝑅: アスペクト比
アスペクト比が大きくなれば
誘導抗力が小さくなる！

33. 33
0 < 𝑒 𝑤 ≤ 1𝐶 𝐷 𝑖
=
𝐶𝐿
2
𝜋𝑒 𝑤 𝐴𝑅
𝑒 𝑤 = 1のとき, 誘導抗力最小.
𝑐 𝑦 = 𝑐0 1 −
𝑦
𝑏/2
2
楕円形状の平面形
正確にはこの関数にそっていれば
楕円形状である必要はない
楕円形は製作が辛いので, 実際にはテーパ形の平面形を使うことが多い.
性能もそれほど劣らない.

34. 1. 飛行機にはたらく力
2. 飛行機の運動と安定性
3. 揚力と抗力について
4. 翼の性能
5. 飛行機と材料力学
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35. 無限に長い翼を考えて, 翼の断面形状を考える
35
2次元翼
有限の長さの翼を考えて, 翼端の渦の影響も考える
3次元翼

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2次元翼にはいろいろな特性曲線がある
揚力曲線 (迎角-揚力係数特性)
抗力曲線 (迎角-抗力係数特性)
極曲線 (揚力係数-抗力係数特性)
揚抗比 (揚力係数/抗力係数)
風圧中心
などなど･･･

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𝐿 =
1
2
𝐶𝐿 𝜌𝑉2
𝑆
翼の断面形状だけに合わせて比較をしたいので,
面積などに影響しないよう無次元化を行う
Bernoulli の定理から,
𝐶𝐿 =
𝐿
1
2
𝜌𝑉2 𝑆
=
揚力
動圧
これを揚力係数と呼ぶ

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失速点
揚力と迎角の特性グラフ
迎角が増えればそ
の分揚力も増える
↓
ある点を超えると
揚力が減る
↓
失速！

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XFLR5 http://www.xflr5.com/xflr5.htm

40. 1. 飛行機にはたらく力
2. 飛行機の運動と安定性
3. 揚力と抗力について
4. 翼の性能
5. 飛行機と材料力学
40

41. 部材に働く力を解析する力学
41
材料内部に働く力や変形を取り扱い,
静的な力学問題（力のつり合い）として考える

42. 圧縮（引張） ねじり
せん断 曲げ

43. 塑性変形弾性変形
材料に荷重が加わると必ず変形する。
元に戻る変形 元に戻らない変形
主翼の上反角は曲げ荷重による
変形（たわみ）によって実現している。

44. 材料内部にはたらく単位面積あたりの力[Pa]
応力
応力が大きくなりすぎると破断する！
破断する応力値は材料によって異なる。
CFRP：約1000[MPa]
S45C(硬鋼)：約570～[MPa]

45. 揚力 揚力
固定
曲げの力が加わる

46. 0
曲げモーメント M(x)
位置 x

47. 𝜎 𝑚𝑎𝑥(𝑥) =
𝑀(𝑥)
𝑍(𝑥)
応力の大きさと曲げモーメントの関係
σmax : 断面にかかる最大応力
M : 曲げモーメント
Z : 断面係数
この式とさっきのグラフからわかること
1. 固定されている近くのほうが応力が大きい
2. 応力を小さくするためには、 (1)曲げモーメントを小さくする
(2)断面係数を大きくする

48. はりの断面形状によって決まる値
断面係数
𝑍 =
𝜋
32𝐷
(𝐷4
− 𝑑4
)
Z : 断面係数
D : パイプの外径
d : パイプの内径
パイプの場合
厚みと太さが大きくなると
断面係数が格段に上がる