This was basically written for textbook. But it could not be published. So I am releasing the chapter written by me here. for any query contact me through naimul64@gmail.com

1. পরিসংখ্যান এবং সম্ভাবযতা গরিত শাস্ত্রেি অতযন্ত চমৎকাি দুটি শাখ্া। বাস্তব জীবস্ত্রন এবং বযবহারিক ক্ষেস্ত্রেও
পরিসংখ্যান ও সম্ভাবযতাি বযবহাি অস্ত্রনক ক্ষবশী। আমিা দদরনরিন জীবস্ত্রন পরিসংখ্যান ও সম্ভাবযতা রনস্ত্রজি
জ্ঞাতসাস্ত্রি অজ্ঞাতসাস্ত্রি প্রচুি পরিমাস্ত্রিই বযবহাি কস্ত্রি থারক। “ক্ষদস্ত্রশি শতকিা চরিশভাগ মানুষ দারিদ্রসীমাি
রনস্ত্রচ বাস কস্ত্রি” রকংবা “আজস্ত্রক বৃরিপাত হবাি সম্ভাবনা 90%” এই ধিস্ত্রিি কথাবাতত াি মাধযস্ত্রম আমিা
পরিসংখ্যান ও সম্ভাবযতা শাস্ত্রেিই বযবহাি কস্ত্রি থারক। মূলতঃ গরিস্ত্রতি এই দুটি শাখ্া পিস্পস্ত্রিি সাস্ত্রথ সম্পকত যুক্ত
বস্ত্রল এস্ত্রদি একসস্ত্রে আস্ত্রলাচনা কিা হস্ত্রে।
10.1
উপাত্তের বিস্তারঃ
উপাত্ত রনস্ত্রে রবরভন্ন িকম রবচাি রবস্ত্রেষি ও রসদ্ধান্ত ক্ষনোই পরিংখ্যাস্ত্রনি মূল লেয। ক্ষকান পিীেিীে
নমুনাস্ত্রেে হস্ত্রত প্রাপ্ত সকল তথয ও উপাত্ত একিকম হে না। প্রাপ্ত উপাস্ত্রত্তি রভন্নতা রকংবা গড় হস্ত্রত ছরড়স্ত্রে
রছটিস্ত্রে থাকাি প্রবিতাই উপাস্ত্রত্তি রবস্তাি।
ক্ষকান নমুনা ক্ষেস্ত্রে সব উপাত্ত একিকম হস্ত্রব না এটাই স্বাভারবক। ক্ষযমন একটি ক্লাস্ত্রস সব ছাস্ত্রেি ওজন
সমান হে না। মস্ত্রন করি ক্লাস্ত্রসি দশজন ছাস্ত্রেি ওজন যথাক্রস্ত্রম 55, 67, 73, 63, 80, 49, 72, 63, 59, 46 ক্ষকরজ।
এই নমুনাস্ত্রেস্ত্রে আমিা ক্ষদখ্স্ত্রত পারে সবতরনম্ন ওজন 46 ক্ষকরজ এবং সস্ত্রবতাচ্চ 80 ক্ষকরজ। অথতাৎ আমিা বলস্ত্রত
পারি ছােস্ত্রদি ওজন 46 ক্ষথস্ত্রক 80 পযতন্ত রবস্তৃত। সুতিাং এই নমুনাস্ত্রেস্ত্রে উপাস্ত্রত্তি পরিসি (80 - 46) = 34 ।
উপাস্ত্রত্তি পরিসি = (বৃহত্তম উপাত্ত – েুদ্রতম উপাত্ত) ।
ক্ষেনীকৃ ত উপাস্ত্রত্তি ক্ষেস্ত্রে উপাস্ত্রত্তি পরিসিঃ
ক্ষেিীকৃ ত উপাস্ত্রত্তি ক্ষেস্ত্রে উপাস্ত্রত্তি পরিসিও উর্ধ্তসীমা হস্ত্রত রনম্নসীমা রবস্ত্রোগ কস্ত্রি পাওো যাে। রনস্ত্রচি
উদাহািস্ত্রিি মাধযস্ত্রমই তা পরিষ্কাি হস্ত্রব। রনস্ত্রচ ক্ষকান ক্লাস্ত্রসি ছােস্ত্রদি ওজন এি ক্ষেনীকৃ ত উপাত্ত ক্ষদো আস্ত্রছ।
ওজস্ত্রনি সীমা ওজন(ক্ষকরজ)
41-50 3
51-60 7
61-70 14
71-80 8
এখ্াস্ত্রন উপাস্ত্রত্তি রনম্নসীমা 41 ক্ষকরজ এবং উর্ধ্তসীমা 80 ক্ষকরজ।
সুতিাং উপাস্ত্রত্তি পরিসি (80 - 41) = 39 ।

2. ক্ষকান নমুনা ক্ষেস্ত্রে প্রাপ্ত উপাত্তগুস্ত্রলা কতটু কু রবস্তৃত তা ক্ষবাঝাস্ত্রনাি জনয পরিসি যস্ত্রথি নে ক্ষকননা পরিসস্ত্রি
শুধুমাে দুটি উপাত্ত রবস্ত্রবরচত হস্ত্রে থাস্ত্রক। উপাত্তগুস্ত্রলা গড় মান হস্ত্রত কতটু কু দূস্ত্রি আস্ত্রছ তা স্বভাবতঃই
পরিসি দ্বািা প্রকারশত হে না। সুতিাং উপাস্ত্রত্তি পরিসি দ্বািা উপাস্ত্রত্তি রবস্তাি সম্পস্ত্রকত ধািিা পাওো যাে
না।
উপাস্ত্রত্তি রবস্তাস্ত্রিি সংজ্ঞাঃ ক্ষকান নমুনাস্ত্রেস্ত্রেি উপাত্তসমূহ তাস্ত্রদি গড় মান হস্ত্রত কতটা রবস্তৃত বা রবরেপ্ত
অবস্থাে আস্ত্রছ তাি মাোস্ত্রকই উপাস্ত্রত্তি রবস্তাি বস্ত্রল।
10.2 উপাত্তের বিস্তার পবরমাপঃ
উপাস্ত্রত্তি রবস্তাি এি দুইটি পরিমাপ আস্ত্রছ। গড় বযবধান ও পরিরমত বযবধান।
গড় বযবধানঃ N সংখ্যক উপাত্ত x1, x2, x3 … xN হস্ত্রল এবং উপাত্তসমূস্ত্রহি গড় x̄ হস্ত্রল গড় বযবধান =
উদাহািিঃ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 সংখ্যা গুস্ত্রলাি গড় বযবধান রনিতে কি।
সমাধানঃ সংখ্যাগুস্ত্রলাি গারিরতক গড় (2+ 4+ 6+ 8+ 10+ 12+ 14+ 16)/8 = 9 ।
সুতিাং, গড় বযবধান = (|2-9|+|4-9|+|6-9|+|8-9|+|10-9|+|12-9|+|14-9|+|16-9|)/8
= (|-7|+|-5|+|-3|+|-1|+|1|+|3|+|5|+|7|)/8 = 4.
***[লেয কস্ত্রিাঃ উপাস্ত্রত্তি পরিসি 16-2=14, রকন্তু গড় বযবধান 4]
ক্ষেিীকৃ ত উপাস্ত্রত্তি ক্ষেস্ত্রে গড় বযবধানঃ যরদ ক্ষেিী মধযমানসমূহ x1, x2, x3 … xN হে, প্ররতটি ক্ষেিীি ঘটন
সংখ্যা বা গিসংখ্যা f1, f2, f3 … fN এবং উপাত্তসমূস্ত্রহি গড় x̄ হস্ত্রল গড় বযবধান =(1/𝑛) ∑ |xi − x̄|𝑁
1 fi
এখ্াস্ত্রন n=∑ 𝑓i𝑁
1 .
উদাহািিঃ গড় বযবধান রনিতে কি।
সীমা গিসংখ্যা
10 - 15 3
15 - 20 5
20 - 25 7
25 - 30 4
30 - 35 2
সমাধানঃ

3. xi fi xi · fi |xi - x̄| |xi - x̄| · fi
10 - 15 12.5 3 37.5 9.286 27.858
15 - 20 17.5 5 87.5 4.286 21.43
20 - 25 22.5 7 157.5 0.714 4.998
25 - 30 27.5 4 110 5.714 22.856
30 - 35 32.5 2 65 10.714 21.428
n=
21
∑ 𝑁
1 xifi =
457.5
∑ |xi − x̄|𝑁
1 fi = 98.57
ক্ষমাট গিসংখ্যা n= 21,
গড় x̄ = 457.5/21 = 21.79
গড় বযবধান = 98.57/21321 = 4.69
10.3
ক্ষেিীকৃ ত ও অস্ত্রেিীকৃ ত তস্ত্রথযি ক্ষেস্ত্রে পরিরমত বযবধান ও ক্ষভদাঙ্কঃ
ক্ষভদাঙ্ক ও পরিরমত বযবধান উপাস্ত্রত্তি রবস্তাি পরিমাস্ত্রপি একটি বহুল বযবহৃত পদ্ধরত।
n সংখ্যক সংখ্যা x1, x2, x3 … xn এি ক্ষভদাংক হস্ত্রব
ক্ষভদাঙ্কস্ত্রক s2
দ্বািা প্রকাশ কিা হে। ক্ষভদাঙ্কস্ত্রক বগতমূল কস্ত্রি পরিরমত বযবধান পাওো যাে। পরিরমত বযবধানস্ত্রক s
দ্বািা প্রকাশ কিা হে।
উদাহািিঃ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 সংখ্যাগুস্ত্রলাি পরিরমত বযবধান ও ক্ষভদাঙ্ক রনিতে কি।
সমাধানঃ সংখ্যাগুস্ত্রলাি গারিরতক গড় )2 +4 +6 +8 +10 +12 +14 +16/(8 =9 ।
সুতিাং ,ক্ষভদাঙ্ক s2
= {(2-9)2
+(4-9)2
+(6-9)2
+(8-9)2
+(10-9)2
+(12-9)2
+

4. (14-9)2
+(16-9)2
}/8
= (72
+ 52
+ 32
+ 12
+ 12
+ 32
+ 52
+ 72
)/8 = 42
পরিরমত বযবধান s = √42 = 6.48
ক্ষেনীকৃ ত উপাস্ত্রত্তি ক্ষেস্ত্রেঃ যরদ ক্ষেিী মধযমানসমূহ x1, x2, x3 … xN হে গিসংখ্যা বা সংখ্যা ঘটন ক্ষেিীি প্ররতটি ,f1,
f2, f3 … fN এবং উপাত্তসমূস্ত্রহি গড় x̄ হস্ত্রল ক্ষভদাঙ্ক s2
= (1/𝑛) ∑ (xi − x̄)𝑁
1
2
fi
এখ্াস্ত্রন n=∑ 𝑓i𝑁
1 তথা ক্ষমাট ঘটন সংখ্যা বা গি সংখ্যা।
উদাহািিঃ ক্লাসস্ত্রটস্ত্রে ছােস্ত্রদি প্রাপ্ত নম্বি ক্ষদো আস্ত্রছ। ক্ষভদাংক এবং পরিরমত বযবধান রনিতে কি।
নম্বি ছাে সংখ্যা
25-30 5
30-35 10
35-40 25
40-45 8
45-50 2
সমাধানঃ
নম্বি ঘটন সংখ্যা fi মধযরবিু( xi) xi*fi d= xi − x̄ d2
fi*d2
25-30 5 28 140 -9.2 84.64 423.2
30-35 10 33 330 -4.2 17.64 176.4
35-40 25 38 950 0.8 0.64 16
40-45 8 43 344 5.8 33.64 269.12
45-50 2 48 96 10.8 116.64 233.28
n = fi =
50
∑ (xi*fi)=1860 (fi*d2
)=1118
গড়= x̄ = ∑ (xi*fi)/n = 1860/50 = 37.2
ক্ষভদাঙ্ক s2
= 1118/50 = 22.36
পরিরমত বযবধান s= √22.36 = 4.728

5. রবকল্প রনেম(উপাস্ত্রত্তি গড় রনিতে না কস্ত্রিই পরিরমত বযবধান রনিতে): ক্ষেিীকৃ ত উপাস্ত্রত্তি ক্ষেস্ত্রে এই পদ্ধরতটি
প্রস্ত্রযাজয। ক্ষয ক্ষকান একটি ক্ষেিীস্ত্রক গড় ক্ষেিী ধস্ত্রি ক্ষনো হে এবং ক্ষেিী দূিত্ব বস্ত্রল একটি িারশ বযবহৃত হে। যরদ
গড় ক্ষেিীি মধযমান A হে এবং অনয ক্ষকান ক্ষেিীি মধযমান X হে তস্ত্রব ক্ষেিী দূিত্ব u=(X-A)/h , এখ্াস্ত্রন h হস্ত্রে
ক্ষেিীি রবস্তাি।
পরিরমত বযবধান s= h*√ [ (f*u2
)/n -( (f*u)/n2
]
উদাহািিঃ পরিরমত বযবধান ও ক্ষভদাঙ্ক রনিতে কি।
নম্বি গি সংখ্যা f
25-30 5
30-35 12
35-40 20
40-45 8
45-50 5
সমাধানঃ
নম্বি গি সংখ্যা (fi) মধযরবিু (xi) ui=(xi-A)/i fiui fiui
2
25-30 5 28 -2 -10 20
30-35 12 33 -1 -12 12
35-40 20 38 0 0 0
40-45 8 43 1 8 8
45-50 5 48 2 10 20
n = ∑ fi = 50 ∑ fiui= -4 ∑ fiui
2
=60
পরিরমত বযবধান s= h*√ [ (f*u2
)/n -( (f*u)/n2
]
= 5*√ [(60/50) - {-4/50}2
] =5 * √ [1.1936] = 5.4625
ক্ষভদাংক = s2
= (5.4625)2
= 29.839
উপাস্ত্রত্তি রবস্তাি এি গুরুত্ব ও বযবহািঃ

6. আস্ত্রগই উস্ত্রিখ্ কিা হস্ত্রেস্ত্রছ ক্ষকান বাস্তব বা পিীেিীে নমুনাস্ত্রেস্ত্রেি উপাত্তসমূহ কতটু কু রবস্তৃত বা গড় হস্ত্রত
কতটু কু ছরড়স্ত্রে রছটিস্ত্রে আস্ত্রছ তাই উপাস্ত্রত্তি রবস্তাস্ত্রিি পরিমাপ। উপাস্ত্রত্তি রবস্তাি রনস্ত্রদতশ কস্ত্রি ক্ষকান উপাস্ত্রত্তি গড়
মানস্ত্রক বযবহাি কিা কতটু কু বাস্তব সম্মত। ধরি একটা গাস্ত্রমতন্টস ক্ষকাম্পারনস্ত্রক ক্ষকান শাটত রবক্রে ক্ষকাম্পারন শাটত
বানাবাি অর্ত াি রদস্ত্রে। শাটত বানাবাি সমে অবশযই শাস্ত্রটত ি সাইজ দিকাি হস্ত্রব। মানুস্ত্রষি গড় আকৃ রত
অনুসাস্ত্রিই শাস্ত্রটত ি সাইজ এি অর্ত াি ক্ষদো হল। এখ্ন গড় মান অস্ত্রনক সমে সঠিক মান রনস্ত্রদতশ কস্ত্রি না। যরদ 100
জন মানুস্ত্রষি মস্ত্রধয 50 জস্ত্রনি সাইজ 32 এবং বারক 50 জস্ত্রনি 38 হে তস্ত্রব গড় সাইজ 34। এই গড় মান অনুসাস্ত্রি
শাটত বারনস্ত্রে িাখ্স্ত্রল স্বভাবতঃই 32 বা 38 সাইস্ত্রজি মানুষ 34 সাইস্ত্রজি শাটত রকনস্ত্রব না। এই গড় মান হস্ত্রত উপাস্ত্রত্তি
রবচুযরত এবং রবচুযরতি পরিমাি রনস্ত্রদতশ কস্ত্রি উপাস্ত্রত্তি রবস্তাি। উপাস্ত্রত্তি রবস্তাি এি মাধযস্ত্রমই শাটত ক্ষকাম্পারন
বুঝস্ত্রত পািস্ত্রব রক সাইস্ত্রজি শাটত বানাস্ত্রত হস্ত্রব এবং প্ররতটি সাইজ রক পরিমাস্ত্রি বানাস্ত্রত হস্ত্রব।
10.4
সম্ভাবযতাি প্রাথরমক ধািিা
মস্ত্রন করি একটি মুদ্রা উপস্ত্রি রনস্ত্রেপ কিা হল। আমিা কখ্স্ত্রনাই রনরিত কস্ত্রি বলস্ত্রত পািস্ত্রবা না ক্ষহর্ উঠস্ত্রব না ক্ষটল উঠস্ত্রব।
রকন্তু এটা বলস্ত্রত পারি ক্ষয যরদ মুদ্রাটি সুষম হে তস্ত্রব ক্ষয পরিমাস্ত্রি ক্ষহর্ উঠাি কথা ক্ষস পরিমাস্ত্রিই ক্ষটল উঠাি কথা।
অনযভাস্ত্রব বলা যাে ক্ষয, ক্ষহর্ রকংবা ক্ষটল উঠাি সম্ভবনা সমান।
প্রকৃ তপস্ত্রে সম্ভাবযতাি প্রভাব তখ্নই ক্ষবাঝা যাে যখ্ন একই ঘটনা অস্ত্রনকবাি ঘটাস্ত্রনা হে। একটি মুদ্রা ছুস্ত্রড় রদস্ত্রল
সাধািিত ক্ষহর্ এবং ক্ষটল উঠাি সম্ভাবনা সমান হে রকন্তু ক্ষসটা বাস্তরবকভাস্ত্রব আমিা তখ্নই বুঝস্ত্রত পািস্ত্রবা যরদ মুদ্রাটি
আমিা বহুবাি ধরি 100 বাি রনস্ত্রেপ করি। ক্ষসস্ত্রেস্ত্রে আমিা ক্ষদখ্স্ত্রত পাস্ত্রবা মুদ্রাটিস্ত্রত ক্ষহর্ এবং ক্ষটল উঠাি সংখ্যা 50/50
রকংবা 49/51 বা 48/52 । যরদ আমিা মুদ্রাটি অল্প সংখ্যকবাি রনস্ত্রেপ করি ধিা যাক ৫ বাি তস্ত্রব হে ক্ষতা ক্ষদখ্া যাস্ত্রব 4/1 বা
3/2 এিকম ফলাফল আসস্ত্রব যা ক্ষথস্ত্রক আমিা সম্ভাবযতাি প্রকৃ তরূপটি পাস্ত্রবা না।
সম্ভাবযতা অস্ত্রনক রকছুি উপি রনভত ি কস্ত্রি। ক্ষেে রবস্ত্রশস্ত্রষ সম্ভাবযতাি তািতময ঘস্ত্রট। ক্ষযমন মুদ্রাটিি ক্ষেস্ত্রে যরদ বলা হে
ক্ষহর্ বা ক্ষটল উঠাি সম্ভাবনা তস্ত্রব তাি পরিমাি 0.5 রকন্তু যরদ বলা হে ক্ষহর্ বা ক্ষটল দুটিি একটি উঠাি সম্ভাবনা তস্ত্রব তা
1.0 ।
10.5
সম্ভাবযতাি প্রস্ত্রোজনীে ধািিা
সম্ভাবযতা রনস্ত্রে পড়াশুনা কিস্ত্রত হস্ত্রল রকছু প্রস্ত্রোজনীে ধািিা অরত আবশযক। রনস্ত্রম্ন তা সংস্ত্রেস্ত্রপ আস্ত্রলাচনা কিা
হলঃ

7.  ঘটনাঃ ক্ষকান কাস্ত্রজি ক্ষকান স্বতন্ত্র ফলাফলস্ত্রক ঘটনা বলা হে। ক্ষযমনঃ ক্ষকান ছক্কা রনস্ত্রেপ কিস্ত্রল 1, 2, 3,
4, 5, 6 এই ছেটি ফলাফল আসস্ত্রত পাস্ত্রি। এই ছেটি ফলাফল হল পৃথক ছেটি ঘটনা।
 নমুনাস্ত্রেেঃ ক্ষকান পিীোস্ত্রত ক্ষয ক্ষয ফলাফল আসস্ত্রত পাস্ত্রি তাি সামরিক ক্ষসটস্ত্রক বলা হে নমুনাস্ত্রেে।
একটি ছক্কা রনস্ত্রেস্ত্রপি নমুনাস্ত্রেে A={1,2,3,4,5,6} ।
 স্বাধীন ও অধীন ঘটনাঃ যরদ দুটি ঘটনা একটি অপিটিস্ত্রক প্রভারবত না কস্ত্রি তস্ত্রব তািা পিস্পি স্বাধীন
ঘটনা, আি একটি ঘটনা অপিটি দ্বািা প্রভারবত হস্ত্রল ক্ষয ঘটনাটি অপিটি দ্বািা প্রভারবত হে তাস্ত্রক বলা
হে অপিটিি অধীন ঘটনা।
 উদাহািিঃ মস্ত্রন করি একটি ছক্কা ও একটি মুদ্রা একসাস্ত্রথ রনস্ত্রেপ কিা হল। ছক্কাে রক উঠস্ত্রছ এবং মুদ্রাে
রক উঠস্ত্রছ তা এস্ত্রক অপিস্ত্রক প্রভারবত কিস্ত্রব না। তািা পিস্পি স্বাধীন ঘটনা।
আবাি মস্ত্রন করি একটি তাস্ত্রসি পযাস্ত্রকট ক্ষথস্ত্রক প্রথস্ত্রম একটি ও পস্ত্রি আস্ত্রিকটি তাস ক্ষনো হল। রদ্বতীেবাি
রক তাস উঠস্ত্রছ তা প্রথম তাস রক উঠস্ত্রছ তাি উপি রনভত ি কস্ত্রি ক্ষকননা প্রথমবাি ক্ষয তাস উঠস্ত্রছ তা
কখ্স্ত্রনাই রদ্বতীেবাি উঠস্ত্রব না। সুতিাং রদ্বতীে তাস উঠাি ঘটনা প্রথম তাস উঠাি ঘটনাি অধীন।
 সমসম্ভাবয ঘটনাঃ ক্ষকান পিীোি একারধক ফলাফল থাকস্ত্রল এবং প্ররতটি ফলাফস্ত্রলি সম্ভাবযতা সমান
হস্ত্রল তাস্ত্রদি সমসম্ভাবয ঘটনা বস্ত্রল। ছক্কাি রনস্ত্রেস্ত্রপ 1, 2, 3, 4, 5, 6 এই ছেটি ফলাফল এি সব ক’টিি
সম্ভাবযতা 1
6/6 । তাই তািা প্রস্ত্রতযস্ত্রক সমসম্ভাবয ঘটনা।
 পূিক বা পরিপূিক ঘটনাঃ ক্ষকান পিীোে ক্ষকান ঘটনা ঘটস্ত্রল ক্ষযই সম্ভাবয ঘটনাগুস্ত্রলা ঘটস্ত্রত পাস্ত্রি না
তািা পিস্পি পরিপূিক। ছক্কাি গুটি রনস্ত্রেপ কিস্ত্রল উপস্ত্রিি রপস্ত্রঠ ক্ষজাড় পাবাি মাস্ত্রনই হল উপস্ত্রিি
রপস্ত্রঠ রবস্ত্রজাড় না পাওো। তাই এই ঘটনাি নমুনাস্ত্রেে S={1,2,3,4,5,6} ক্ষজাড় উঠাি ঘটনাি নমুনাস্ত্রেে A
={2,4,6} এবং পূিক ঘটনাি নমুনা ক্ষেে Ac
বা A´= {1,3,5} । ক্ষকান ঘটনা না ঘটাি সম্ভাবযতা এবং
ঘটনাি পূিক ঘটনাি সম্ভাবযতা সমান।
 বজত নশীল বা রবরেন্ন এবং অবজত নশীল বা অরবরেন্ন ঘটনাঃ যরদ ক্ষকান পিীোে দুটি ঘটনাি একটি
ঘটস্ত্রল অপিটি ক্ষকানভাস্ত্রবই ঘটা সম্ভব না হে তস্ত্রব তািা পিস্পি বজত নশীল বা রবরেন্ন।
ক্ষযমনঃ একটি তাস্ত্রসি পযাস্ত্রকট হস্ত্রত ক্ষযস্ত্রকান একটি তাস ক্ষতালা হস্ত্রল তা যরদ ক্ষস্পর্স হে তস্ত্রব তা ক্ষকান
ভাস্ত্রবই হাটত স হস্ত্রব না। সুতিাং একটি তাস ক্ষস্পর্স হওো এবং হাটত স হওো রবরেন্ন বা বজত নশীল ঘটনা।
আবাি যরদ এমন হে ক্ষয ক্ষকান পিীোে দুইটি পৃথক ঘটনাি একটি ঘটস্ত্রলও অনযটি ঘটা সম্ভব তস্ত্রব
তািা অবজত নশীল বা অরবরেন্ন ঘটনা।
ক্ষযমনঃ তাস্ত্রসি পযাস্ত্রকট ক্ষথস্ত্রক একটি তাস ক্ষতালা হস্ত্রল ক্ষসটি একই সাস্ত্রথ হাটত স এবং লাল তাস হওো
সম্ভব। সুতিাং তাস হাটত স হওো এবং লাল িঙ এি হওো অবজত নশীল বা অরবরেন্ন ঘটনা।
 অনুকূল ঘটনাঃ ক্ষকান একটি ঘটনা ঘটস্ত্রল যরদ অনয ক্ষবশ রকছু পৃথক ঘটনা ঘস্ত্রট তস্ত্রব তাস্ত্রদি অনুকূল
ঘটনা বলা হে। একটি ছক্কা রনস্ত্রেপ কিস্ত্রল উপস্ত্রিি রপস্ত্রঠ ক্ষজাড় আসাি অনুকূল ঘটনাসমূহ হল 2,4,6 ।
 রনরিত ঘটনাঃ ক্ষযই ঘটনা অবশযই ঘটস্ত্রব তাস্ত্রক বলা হে রনরিত ঘটনা। ক্ষযমনঃ একটি মুদ্রা রনস্ত্রেপ
কিা হস্ত্রল ক্ষহর্ বা ক্ষটল এি একটি অবশযই উঠস্ত্রব। এটা রনরিত ঘটনা।

8.  সম্ভাবয ঘটনাঃ যা ঘটস্ত্রত পাস্ত্রি আবাি নাও ঘটস্ত্রত পাস্ত্রি তা হল সম্ভাবয ঘটনা। ক্ষযমনঃ তাস্ত্রসি পযাস্ত্রকট
ক্ষথস্ত্রক একটি তাস রনস্ত্রল ক্ষসটা হাটত স হস্ত্রতও পাস্ত্রি নাও হস্ত্রত পাস্ত্রি।
 অসম্ভব ঘটনাঃ যা ক্ষকানভাস্ত্রবই ঘটা সম্ভব না তা হল অসম্ভব ঘটনা। ক্ষযমনঃ একটি ছক্কা রনস্ত্রেপ কিস্ত্রল
উপস্ত্রিি রপস্ত্রঠ 7 ওঠা ।
সম্ভাবযতা রহস্ত্রসস্ত্রবি সবস্ত্রচস্ত্রে সহজতম ও গুরুত্বপূিত পদ্ধরতঃ
সম্ভাবযতা=অনুকূল নমুনা রবিু/ ক্ষমাট নমুনা রবিু ।
ধিা যাক, একটি ছক্কা রনস্ত্রেপ কিা হস্ত্রব। এখ্ন ছক্কাি উপস্ত্রিি রপস্ত্রঠ ক্ষমৌরলক সংখ্যা উঠাি সম্ভাবযতা রনিতে
কিস্ত্রত হস্ত্রব। এখ্াস্ত্রন ক্ষমাট নমুনারবিু ছেটিঃ 1, 2, 3, 4, 5, 6। ক্ষমৌরলক সংখ্যাসূচক তথা অনুকূল নমুনারবিু 2,
3, 5 (1-ক্ষক ক্ষমৌরলক সংখ্যা ধিা হে না)। সুতিাং সম্ভাবযতা=3/6=0.5 ।
সম্ভাবযতাি প্রাথরমক সূোবরলঃ
1. ক্ষয ক্ষকান ঘটনা A ঘটাি সম্ভাবনা P(A) শূনয অস্ত্রপো কম নে এবং 1 অস্ত্রপো ক্ষবরশ নে।
অথতাৎ 0 ≤ P(A) ≤ 1 ।
2. অসম্ভব ঘটনাি সম্ভাবযতা শূনয। অথতাৎ A একটি অসম্ভব ঘটনা হস্ত্রল P(A) = 0 ।
3. রনরিত ঘটনাি সম্ভাবযতা 1 । অথতাৎ A একটি অসম্ভব ঘটনা হস্ত্রল P(A) = 1 ।
4. A ঘটনা ঘটাি সম্ভাবযতা P(A) এবং A না ঘটাি সম্ভাবযতা P(A´) হস্ত্রল P(A) + P(A´) = 1 ।
10.6
একই ঘটনা পুনরায় ঘটত্তে সম্ভািযতা বনর্ণয়ঃ
পুনিাবৃরত্তমূলক ক্ষেস্ত্রে সম্ভাবযতা রনিতে কিস্ত্রত রবনযাস সমাস্ত্রবস্ত্রশি ধািিা প্রস্ত্রোজন হে। রকছু উদাহািস্ত্রিি মাধযস্ত্রম
তা ক্ষদখ্ান হল।
উদাহািি1: একটি মুদ্রা 10 বাি টস কিা হস্ত্রল
(i) প্ররতবাি ক্ষহর্ উঠাি সম্ভবনা কত?
(ii) 10 িাত্তরর মত্তযয অন্তত 8 িার হেড উঠার সম্ভিনা কত?
(iii) শুযুমাত্র 8 িার উঠার সম্ভিনা কত?

9. সমাযানঃ এখাত্তন হমাট নমুনাবিন্দু সংখযা 210
।
(i) প্রবতিাত্তরর হেড উঠার অনুকূত্তে নমুনাবিন্দু 1টি। সুতরাং সম্ভািযতা 1/210
।
(ii) অন্তত 8 িার হেড ওঠা মাত্তন 8 িার িা তার হিবি হেড উঠা। আটটি হেড উঠার
অনুকূত্তে নমুনা বিন্দু বনর্ণত্তয়র জনয আমাত্তের বনর্ণয় করত্তত েত্তি।
10টি মুদ্রা বনত্তেত্তপর মত্তযয হে হকান 8টি ফোফে হেড েত্তত েত্তি, সুতরাং 10টি
ফোফে হেত্তক 8টি ফোফে িাছাই সংখযা 10
C8 । িাবক েুটি ফোফত্তে বিনযাস
সংখযা 22
। সুতরাং অনুকূত্তে নমুনাবিন্দু (10
C8*22
) ।
সুতরাং সম্ভািযতা (10
C8*22
)/210
।
(iii) শুযুমাত্র 8 িার উঠার সম্ভিনা বনর্ণয় এর হেত্তত্র 10টি ফোফে হেত্তক 8টি ফোফে
িাছাই সংখযা 10
C8 এিং িাকী েুটি িাযযতামূেক হটে েত্তত েত্তি েত্তে হসখানকার
বিনযাস সংখযা 1।
সুতরাং সম্ভািযতা 10
C8/210
।
উদাহািি2: একটি বাস্ত্রে 4টি লাল ও 6টি সাদা বল আস্ত্রছ। রনিস্ত্রপে ভাস্ত্রব দুটি বল তু স্ত্রল ক্ষনো হস্ত্রল
রনস্ত্রম্নাক্ত ক্ষেস্ত্রে সম্ভাবযতা রনিতে কিঃ
(i) দুটিই লাল হস্ত্রব।
(ii) প্রথমটি সাদা পস্ত্রিিটি লাল।
(iii) প্রথমটি লাল পস্ত্রিিটি সাদা।
(iv) যরদ পিপি রতনটি বল টানা হে তস্ত্রব দুটি সাদা ও একটি লাল হবাি সম্ভাবনা কত?
সমাধানঃ
(i) প্রথমটি লাল হবাি সম্ভাবযতা 4/10।
প্রথম লাল বল তু স্ত্রল ক্ষনবাি পি বাস্ত্রে লাল বল আস্ত্রছ 3টি আি বাস্ত্রে ক্ষমাট বল আস্ত্রছ 9টি,
ফস্ত্রল রদ্বতীেটি লাল হবাি সম্ভাবযতা 3/9।
সুতিাং রনস্ত্রিতে সম্ভাবযতা 4/10* 3/9= 2/15
(ii) প্রথমটি সাদা ও পস্ত্রিিটি লাল হবাি সম্ভাবনা (6/10)*(4/9)=4/15
(iii) প্রথমটি লাল ও পস্ত্রিিটি সাদা হবাি সম্ভাবযতা (4/10)*(6/9)= 4/15
(iv) দুটি সাদা বল আসস্ত্রব 6টি সাদা বল হস্ত্রত এবং একটি লাল বল আসস্ত্রব 4টি লাল বল হস্ত্রত।
সুতিাং অনুকূল নমুনা রবিুি সংখ্যা 6
C2*4
C1 ।
ক্ষমাট নমুনারবিু হস্ত্রব 10টি বল হস্ত্রত 2টি বল বাছাই কিাি সমাস্ত্রবশ সংখ্যা 10
C2 ।
সম্ভাবযতা (6
C2*4
C1)/10
C2

10. বনত্তজ করঃ একটি পরিবাস্ত্রি 5জন রশশু িস্ত্রেস্ত্রছ । দুইজস্ত্রনি একই রদস্ত্রন জন্মরদন হওোি সম্ভাবনা রনিতে
কস্ত্রিা।
10.7
পরস্পর িজণ নিীে ও অিজণ নিীে ঘটনার জনয সম্ভািযতার হোগসূত্রঃ
পিস্পি বজত নশীল ও অবজত নশীল ঘটনাি সূে প্রমাস্ত্রিি জনয ক্ষসটতত্ব বযবহাি কিা হস্ত্রব।
পিস্পি অবজত নশীল ঘটনাি জনযঃ মস্ত্রন করি দুটি ঘটনা A এবং B ।
রচে হস্ত্রত, ক্ষমাট নমুনা ঘটনা সংখ্যা N = n1 + n2+ n3 + n4 ।
এখ্াস্ত্রন A ঘটনাি অনুকূস্ত্রল ঘটন সংখ্যা n(A),
B ঘটনাি অনুকূস্ত্রল ঘটন সংখ্যা n(B),
উভে ঘটনা একসাস্ত্রথ ঘটাি শস্ত্রতত ি অনুকূস্ত্রল ঘটন সংখ্যা n(A∩B),
অন্তত একটি ঘটনা ঘটাি শস্ত্রতত ি অনুকূস্ত্রল ঘটন সংখ্যা n(A∪B) ।
ক্ষসটতত্ব হস্ত্রত আমিা জারন, n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B) ।
বা, n(A∪B)/N = n(A)/N + n(B)/N -n(A∩B)/N ।
অথতাৎ, P(A∪B ) = P(A)+P(B)-P(A∩B)।
চাইস্ত্রল এই সূেস্ত্রক আস্ত্রিা সম্প্রসারিত কিা যাে।
ক্ষযমনঃ A, B, C এই রতনটি ঘটনাি ক্ষেস্ত্রে
P(A∪B∪C) =P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(B∩C)-P(C∩A)+P(A∩B∩C)
উদাহািিঃ ক্ষকান পিীোে পিীোথী সংখ্যা 180 জন। তাস্ত্রদি মস্ত্রধয 70 জন বাংলাে, 50 জন ইংস্ত্রিজীস্ত্রত এবং 25
জন মযাস্ত্রথ ক্ষফল কস্ত্রিস্ত্রছ। বাংলা ও ইংস্ত্রিজী উভে রবষস্ত্রে 30 জন, বাংলা ও মযাথ উভে রবষস্ত্রে 10 জন এবং
ইংস্ত্রিজী ও মযাথ উভে রবষস্ত্রে 5 জন ক্ষফল কস্ত্রিস্ত্রছ। যরদ প্ররতটি ছাে অন্ততঃ একটি রবষস্ত্রে পাস কস্ত্রি থাস্ত্রক
রনিস্ত্রপেভাস্ত্রব একজন ছাে বাছাই কিস্ত্রল ক্ষসই ছাস্ত্রেি রতনটি রবষস্ত্রেই পাস কিাি সম্ভাবনা কত?
সমাধানঃ ক্ষসটতত্ব হস্ত্রত পাই n(B∪E∪M ) = n(B) + n(E) + n(M )-n(B∩E)-n(B∩M )-n(E∩M )+n(B∩E∩M ) ।
n(B) = 70; n(E) = 50; n(M ) = 25; n(B∩E) = 30; n(B∩M ) = 10; n(E∩M ) = 5; n(B∩E∩M ) = 0 ।
সুতিাং n(B∪E∪M ) = 70 + 50 + 25 – 30 – 10 – 5 + 0 = 100
সুতিাং অন্তত একটি রবষস্ত্রে ক্ষফল কিা ছাস্ত্রেি সংখ্যা 100 ।
A∩BA B
n1 n2 n3
n4

11. অতএব রতনটি রবষস্ত্রেই পাশ কিা ছাস্ত্রেি সংখ্যা (180 – 100) = 80 ।
সুতিাং রনিস্ত্রপেভাস্ত্রব একজন ছাে বাছাই কিস্ত্রল তাি রতনটি রবষস্ত্রেই পাস কিাি সম্ভাবনা 80/180 ।
বনত্তজ করঃ গাবতরলি ক্ষকািবারনি হাস্ত্রট প্ররতটি গরুি হে রশং লম্বা অথবা গাস্ত্রেি িঙ সাদা। রশং লম্বা গরু 67%
এবং গাস্ত্রেি িঙ সাদা 80% এি। যরদ িরবন গাবতরল হস্ত্রত গরু রকস্ত্রন থাস্ত্রক তস্ত্রব িরবস্ত্রনি গরুি িঙ সাদা এবং
রশং লম্বা হবাি সম্ভবনা কত?
বজত নশীল ঘটনাি জনযঃ দুই বা তস্ত্রতারধক বজত নশীল ঘটনাি ক্ষয ক্ষকান একটি ঘটাি সম্ভাবযতা উক্ত ঘটনাগুস্ত্রলাি
প্ররতটি পৃথকভাস্ত্রব ঘটাি সম্ভাবযতাি ক্ষযাগফস্ত্রলি সমান।
মস্ত্রন করি A এবং B দুটি বজত নশীল ঘটনা এবং তাস্ত্রদি ঘটাি সম্ভাবযতা যথাক্রস্ত্রম P(A) ও P(B) । তাহস্ত্রল সূোনুযােী
দুটিি ক্ষযস্ত্রকান একটি ঘটাি সম্ভাবযতা P(A অথবা B) = P(A)+ P(B) ।
অবজত নশীল ঘটনাি সূে হস্ত্রত পাই, n(A∪B)/N = n(A)/N + n(B)/N - n(A∩B)/N
ক্ষযস্ত্রহতু বজত নশীল ঘটনাি ক্ষেস্ত্রে দুটি ঘটনা একসাস্ত্রথ ঘটাি সুস্ত্রযাগ ক্ষনই ক্ষসস্ত্রহতু n(A∩B) = 0,
সুতিাং n(A∪B)/N = n(A)/N + n(B)/N
বা, P(A∪B) = P(A) + P(B) ।
একইভাস্ত্রব রলখ্া যাে, যরদ A1, A2, A3, … প্রস্ত্রতযস্ত্রক পিস্পি বজত নশীল ঘটনা হে তস্ত্রব
P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ …) = P(A1 ) + P(A2 ) + P( A3)…
উোোরর্ঃ 52 তাস্ত্রসি একটি পযাস্ত্রকট ক্ষথস্ত্রক রনিস্ত্রপেভাস্ত্রব একটি তাস তু স্ত্রল রনস্ত্রল তা ক্ষস্পর্ বা হাটত হবাি
সম্ভাবনা কত?
সমাযানঃ তাস্ত্রসি পযাস্ত্রকস্ত্রট ক্ষস্পর্ বা হাটত থাস্ত্রক 13 টি ।
সুতিাং রনিস্ত্রপেভাস্ত্রব একটি তাস তু লস্ত্রল তা ক্ষস্পর্ হবাি সম্ভাবনা P(S) = 13/52= 13/52=1/4
একইভাস্ত্রব একটি তাস তু লস্ত্রল তা হাটত হবাি সম্ভাবনা P(H) = 13/52=1/4
একটি তাস একই সাস্ত্রথ ক্ষস্পর্ বা হাটত হস্ত্রত পাস্ত্রি না। সুতিাং এিা বজত নশীল ঘটনা ।
সুতিাং P(H∪S) = 1/4+1/4= ½
উদাহািিঃ ফারহস্ত্রমি বাংলাে A+ পাবাি সম্ভবনা 0.9 এবং ইংস্ত্রিজীস্ত্রত A+ পাবাি সম্ভাবনা 0.6। তাি অন্ততঃ
একটিস্ত্রত A+ পাবাি সম্ভাবনা কত?

12. সমাধানঃ বাংলাে A+ পাবাি সম্ভবনা P(B)= 0.9, ইংস্ত্রিজীস্ত্রত A+ পাবাি সম্ভাবনা P(E)= 0.6
সুতিাং উভেটিস্ত্রত A+ পাবাি সম্ভাবনা P(B∩E) = 0.9*0.6=0.54।
সুতিাং অন্ততঃ একটিস্ত্রত A+ পাবাি সম্ভাবনা P(B∪E)= P(B)+ P(E) - P(B∩E)= 0.9+0.6- 0.54=0.96
10.8
অরনভত িশীল ও রনভত িশীল ঘটনাি জনয সম্ভাবনাি গুিনসূস্ত্রেি প্রস্ত্রোগঃ
স্বাধীন ঘটনাি ক্ষেস্ত্রেঃ দুইটি স্বাধীন ঘটনা একসাস্ত্রথ ঘটাি সম্ভাবনা তাস্ত্রদি প্ররতটি ঘটনা পৃথক পৃথকভাস্ত্রব ঘটাি
সম্ভাবযতাি গুিফস্ত্রলি সমান। যরদ A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা হে তস্ত্রব P(A এবং B) = P(A∩B) = P(A) * P(B) ।
সূেটিস্ত্রক এভাস্ত্রব বরধতত কিা যাে ক্ষয, কতগুস্ত্রলা স্বাধীন ঘটনা A1, A2, A3... সবক’টি একস্ত্রে ঘটাি সম্ভাবনা
P(A1∩ A2∩ A3...) = P(A1)*P(A2)*P(A3)... ।
অধীন ঘটনাি ক্ষেস্ত্রেঃ দুটি অধীন ঘটনা একস্ত্রে ঘটাি সম্ভাবযতা তাস্ত্রদি ক্ষয ক্ষকান একটি ঘটাি সম্ভাবযতা এবং এই
ঘটনা ঘস্ত্রটস্ত্রছ এই শস্ত্রতত অপি ঘটনা ঘটাি সম্ভাবযতাি গুিফস্ত্রলি সমান।
P(A∩B) = P(A) * P(B/A) ; এস্ত্রেস্ত্রে P(B/A) মাস্ত্রন A ঘস্ত্রটস্ত্রছ এই শস্ত্রতত B ঘটাি সম্ভাবযতা।
প্রমািঃ A ঘস্ত্রটস্ত্রছ এই শস্ত্রতত B ঘটাি সম্ভাবযতা রনিতস্ত্রেি ক্ষেস্ত্রে ক্ষমাট ঘটনাি সংখ্যা হস্ত্রব A এি অনুকূস্ত্রল ঘটন সংখ্যা,
এবং অনুকূল ঘটন সংখ্যা হস্ত্রব A∩B এি অনুকূল ঘটন সংখ্যা।
সুতিাং A ঘস্ত্রটস্ত্রছ এই শস্ত্রতত B ঘটাি সম্ভাবযতা = (A∩B এি অনুকূল ঘটন সংখ্যা)/( A এি অনুকূস্ত্রল ঘটন সংখ্যা)
= ((A∩B এি অনুকূল ঘটন সংখ্যা)/N) / (( A এি অনুকূস্ত্রল ঘটন সংখ্যা)/N) [N = ঘটন সংখ্যা]
সুতিাং P(B/A) = P(A∩B) / P(A)
বা, P(A∩B) = P(A) * P(B/A)
উদাহািি 1: একটি ছক্কা এবং একটি মুদ্রা একসাস্ত্রথ ছুস্ত্রড় রদস্ত্রল ছক্কাে পাাঁচ এবং মুদ্রাে ক্ষটল ওঠাি সম্ভাবনা কত?
সমাধানঃ ছক্কাে পাাঁচ ওঠাি সম্ভাবনা 1/6 এবং মুদ্রাে ক্ষটল ওঠাি সম্ভাবনা 1/2 ।
সুতিাং একই সাস্ত্রথ ছক্কাে পাাঁচ ও মুদ্রাে ক্ষটল উঠাি সম্ভাবনা =(1/6)*(1/2)= 1/12 ।
উদাহািি 2: চট্টিাম শহস্ত্রি যাস্ত্রদি গারড় আস্ত্রছ তাস্ত্রদি 30% এি বারড় আস্ত্রছ। চট্টিাম শহস্ত্রিি 5% মানুস্ত্রষি গারড়
আস্ত্রছ। যরদ রনিস্ত্রপেভাস্ত্রব চট্টিাস্ত্রমি একজন মানুষস্ত্রক ক্ষবস্ত্রছ ক্ষনো হে তস্ত্রব তাি গারড় এবং বারড় উভেটি
থাকাি সম্ভাবনা কত?
সমাধানঃ চট্টিাম ক্ষথস্ত্রক একজন মানুষস্ত্রক ক্ষবস্ত্রছ রনস্ত্রল তাি গারড় থাকাি সম্ভাবনা P(C) = 0.05

13. গারড় আস্ত্রছ এমন মানুস্ত্রষি বাড়ী থাকাি সম্ভাবনা P(H/C) = 0.3
সুতিাং গারড় ও বারড় উভেটি থাকাি সম্ভাবনা P(H∩C) = P(C)* P(H/C) = 0.05*0.3 = 0.015
10.9
বাস্তব জীবনরভরত্তক সহজ সমসযাি সমাধান
উদাহািি 1: ক্ষতামাি ক্ষসরলম সাস্ত্রহস্ত্রবি সাস্ত্রথ ক্ষদখ্া কিা প্রস্ত্রোজন। ক্ষতামাি কাস্ত্রছ ক্ষসরলম সাস্ত্রহস্ত্রবি ক্ষকান ঠিকানা
বা কনটাক্ট নাম্বাি ক্ষনই। তু রম শুধু জাস্ত্রনা ক্ষয, ক্ষসরলম সাস্ত্রহব প্ররত সপ্তাস্ত্রহি ক্ষয ক্ষকান একরদন সকাল দশটাে পাস্ত্রকত
জরগং কিস্ত্রত যান। রকন্তু ক্ষতামাস্ত্রক সপ্তাস্ত্রহ পাাঁচরদন কস্ত্রলস্ত্রজ ক্ষযস্ত্রত হে। সম্ভাবযতাি সূোনুযােী তু রম কেরদন পাস্ত্রকত
ক্ষগস্ত্রল ক্ষসরলম সাস্ত্রহস্ত্রবি ক্ষদখ্া পাস্ত্রব?
সমাধানঃ সপ্তাস্ত্রহি ক্ষকান একটি রনরদতি রদস্ত্রন ক্ষসরলম সাস্ত্রহস্ত্রবি পাস্ত্রকত থাকাি সম্ভাবনা 1
/7 এবং ক্ষতামাি থাকাি
সম্ভাবনা 2
/7 ।
সুতিাং দুজস্ত্রনি একসাস্ত্রথ পাস্ত্রকত থাকাি সম্ভাবনা 1
/7*2
/7 = 2
/49 ।
অতএব 49
/2 বা 25 রদন পাস্ত্রকত ক্ষগস্ত্রল ক্ষসরলম সাস্ত্রহস্ত্রবি ক্ষদখ্া পাস্ত্রব।
উদাহািি 2: ক্ষদস্ত্রশি 10% মানুষ আস্ত্রসতরনক দূরষত পারন খ্াে। ক্ষদস্ত্রশ আস্ত্রসতরনক জরনত গযাংরিন বা পচন ক্ষিাস্ত্রগ
আক্রান্ত ক্ষিাগীি সংখ্যা প্রাে আট হাজাি। ক্ষদস্ত্রশি জনসংখ্যা ক্ষষাল ক্ষকাটি হস্ত্রল আস্ত্রসতরনকযুক্ত পারন ক্ষখ্স্ত্রল গযাংরিন
হবাি সম্ভাবনা রনিতে কি।
সমাধানঃ রনিস্ত্রপেভাস্ত্রব ক্ষদস্ত্রশ একজনস্ত্রক বাছাই কিস্ত্রল তাি
আস্ত্রসতরনকদূরষত পারন পান কিাি সম্ভাবনা P(A)= 10%=0.1 ।
আস্ত্রসতরনক জরনত গযাংরিন বা পচন ক্ষিাস্ত্রগ আক্রান্ত থাকাি সম্ভাবনা P(G∩A)= 8000
/160000000 =0.00005 ।
[আস্ত্রসতরনক জরনত গযাংরিস্ত্রন আক্রান্ত মাস্ত্রন ক্ষস আস্ত্রসতরনকযুক্ত পারন পান কস্ত্রি এবং ক্ষস গযাংরিস্ত্রন আক্রান্ত। তাই এই
সম্ভাবনাস্ত্রক P(G∩A) দ্বািা প্রকাশ কিা হস্ত্রেস্ত্রছ।]
সুতিাং আস্ত্রসতরনকযুক্ত পারন ক্ষখ্স্ত্রল গযাংরিন হবাি সম্ভাবনা P(G/A) = P(G∩A)/P(A)= 0.00005/0.1=0.0005 = 0.
05% ।
উদাহািি 3: একটি সাবান ফযাক্টরিস্ত্রত সাবান দতিীি যন্ত্র ও পযাস্ত্রকট কিাি যন্ত্র দুটিই সামানয ত্রুটিপূিত। সাবান
দতিীি যস্ত্রন্ত্র প্রস্তুত প্ররত হাজাস্ত্রি 30টি সাবান ত্রুটিপূিত এবং প্ররত হাজাস্ত্রি 45টি সাবান ত্রুটিপূিত হস্ত্রে থাস্ত্রক। যরদ
উৎপারদত এবং পযাস্ত্রকটজাত সাবানসমূহ হস্ত্রত একটি তু স্ত্রল রনস্ত্রল তা সম্পূিত ত্রুটিমুক্ত হবাি সম্ভবনা কত?

14. সমাধানঃ প্ররতটি সাবান ত্রুটিমুক্ত হবাি সম্ভবনা P1= (1000-30)/1000=0.97
সাবাস্ত্রনি পযাস্ত্রকট ত্রুটিমুক্ত হবাি সম্ভবনা P2=(1000-45)/1000=0.955
সাবান এবং পযাস্ত্রকট উভেটিই ত্রুটিমুক্ত হবাি সম্ভবনা = P1* P2 =0.97*0.955=0.92635।
10.10
1. একটি রক্রস্ত্রকট দস্ত্রল 14 জন ক্ষখ্স্ত্রলাোি এি বেস যথাক্রস্ত্রম 17,17, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 25, 28, 31, 33, 34
ও 37 ।
ক্ষখ্স্ত্রলাোড়স্ত্রদি বেস্ত্রসি পরিসি, গড় বযবধান, ক্ষভদাংক ও পরিরমত বযবধান রনিতে কি।
2. একটি অরফস্ত্রস কমতচািীস্ত্রদি বেস ও কমতচািীসংখ্যাি ক্ষেনীকৃ ত উপাত্ত ক্ষদো আস্ত্রছ।
উপাস্ত্রত্তি গড় বযবধান, পরিরমত বযবধান রনিতে কি।
বেস কমতচািী সংখ্যা
20-25 12
26-30 14
31-35 33
36-40 25
41-45 21
46-50 31
51-55 26
56-60 20
3. রনস্ত্রচ দশজন ছাস্ত্রেি ক্ষিাল এবং প্রাপ্ত নম্বি ক্ষদো আস্ত্রছ। পরিরমত বযবধান ও ক্ষভদাংক রনিতে কি।
ক্ষিাল
নম্বি
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
প্রাপ্ত
নম্বি
43 48 65 57 31 60 37 48 78 59
4.

15. বেস গি সংখ্যা
[0, 2) 4
[2, 4) 11
[4, 6) 24
[6, 8) 34
[8, 10) 40
পরিরমত বযবধান ও ক্ষভদাংক রনিতে কি।
5. গড় বযবধান ও পরিরমত বযবধান রনিতে কি।
আে গি সংখ্যা
50000 4
45000 11
42000 24
40000 34
35000 40
6. গড় বযবধান রনিতে কিঃ 2, 3, 6, 8, 11,12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5
10.11
1. প্রমাি কি ক্ষয, দুটি ঘটনা স্বাধীন হস্ত্রল তািা রবরেন্ন হস্ত্রত পাস্ত্রি না।
2. একটি ক্লাস্ত্রস 30 জন রশোথীি মস্ত্রধয 17 জন ছাে এবং বারকিা ছােী। একটি ক্লাসস্ত্রটস্ত্রে 5 জন ক্ষছস্ত্রল ও 4
জন ক্ষমস্ত্রে ক্ষফল কস্ত্রি। যরদ রনিস্ত্রপেভাস্ত্রব একজন রশোথী রনবতাচন কিা হে তস্ত্রব ক্ষস ছােী রকংবা ক্ষফল
কিা রশোথী হবাি সম্ভবনা কত?
3. একটি তাস্ত্রসি পযাস্ত্রকট হস্ত্রত রনিস্ত্রপেভাস্ত্রব একটি তাস তু স্ত্রল রনস্ত্রল তা ক্ষটক্কা অথবা ইশকাপন হবাি
সম্ভাবনা রনিতে কি।

16. 4. ক্ষকান ছক্কা রনস্ত্রেপ কিা হস্ত্রল উপস্ত্রিি রপস্ত্রঠ ওঠা সংখ্যা 6 এি গুরিতক হবাি সম্ভাবযতা রনিতে কি।
5. ক্ষকান ছক্কা দুবাি রনস্ত্রেপ কিা হল। রদ্বতীেবাস্ত্রি ওঠা সংখ্যা প্রথমবাস্ত্রিি রদ্বগুি হবাি সম্ভাবনা রনিতে
কি।
6. একটি ছক্কা এবং দুইটি মুদ্রা রনস্ত্রেপ কিা হস্ত্রল ছক্কাে 5 এবং মুদ্রা দুটিি ক্ষয ক্ষকান একটি ক্ষহর্ ও অপিটি
ক্ষটল ওঠাি সম্ভাবনা কত?
7. মস্ত্রন করি এমন একটি ছক্কা ক্ষদো আস্ত্রছ যা সুষম না। ছক্কাটিস্ত্রত সব সংখ্যা উঠাি সম্ভাবনা সমান শুধু 3
ওঠাি সম্ভাবনা বারকগুস্ত্রলাি রদ্বগুি। ছক্কাটি রনস্ত্রেপ কিস্ত্রল প্রাপ্ত সংখ্যা ক্ষজাড় হবাি সম্ভাবযতা রনিতে কি।
8. একটি বাস্ত্রে রতনটি লাল বল ও রতনটি সাদা বল আস্ত্রছ। বােটি ক্ষথস্ত্রক পি পি দুটি বল তু স্ত্রল ক্ষনো হল।
রনস্ত্রম্নাক্ত ক্ষেেগুস্ত্রলাি সম্ভাবযতা রনিতে কিঃ
(i) দুইটিই লাল উঠস্ত্রব।
(ii) দুইটিই সাদা উঠস্ত্রব।
(iii) প্রথমটি লাল ও পস্ত্রিিটি সাদা উঠস্ত্রব।
(iv) ক্ষয ক্ষকান একটি লাল ও একটি সাদা উঠস্ত্রব।
9.
রচস্ত্রে একটি সুষম লাটীম আাঁকা আস্ত্রছ। লাটিমটি ঘুরিস্ত্রে রদস্ত্রল লাটিস্ত্রমি ক্ষযই ধািটি মাটি স্পশত কিস্ত্রব তাি
সংখ্যা রবস্ত্রজাড় হবাি সম্ভাবনা কত?
10. MISSISSIPPI শব্দটিি অেিগুস্ত্রলা আলাদাভাস্ত্রব ক্ষকস্ত্রট একটি বাটিস্ত্রত রনস্ত্রে ঝাকাস্ত্রনা হল। সম্ভাবযতা রনিতে
কি।
(i) চািটি অেি ক্ষনো হস্ত্রল চািটিই স্বিবিত।
(ii) চািটি অেি ক্ষনো হস্ত্রল চািটিই বযঞ্জনবিত।
(iii) রতনটি অেি ক্ষনো হস্ত্রল প্রথমটি I, পস্ত্রিিটি S, তাি পস্ত্রিিটি P ।
11. দুটি ঘটনা A এবং B ঘটাি সম্ভাবনা যথাক্রস্ত্রম 0.3 এবং 0.5 । দুটি ঘটনাি অন্তত একটি ঘটাি সম্ভাব্না 0.65
। ঘটনা দুটি স্বাধীন, অধীন, রবরেন্ন ও অরবরেন্ন এই চাি প্রকাস্ত্রিি ক্ষকান ক্ষকান প্রকাস্ত্রি পস্ত্রড় বযাখ্যা কি।

17. 12. একটি সুষম মুদ্রা রতনবাি রনস্ত্রেপ কিা কিা হস্ত্রল দুইটি ক্ষহর্ ও একটি ক্ষটল উঠাি সম্ভাবনা কত?
13. একটি সুষম মুদ্রা দশবাি রনস্ত্রেপ কিা কিা হস্ত্রল পাাঁচটি ক্ষহর্ ও পাাঁচটি ক্ষটল উঠাি সম্ভাবনা কত?
14. একটি সুষম মুদ্রা রতনবাি রনস্ত্রেপ কিা কিা হস্ত্রল প্রথম পাাঁচবাি ক্ষহর্ ও পস্ত্রিি পাাঁচবাি ক্ষটল উঠাি
সম্ভাবনা কত?
15. ক্ষনাোপাড়া হাই স্কুল পরিচালনা পরিষস্ত্রদি ক্ষপ্ররসস্ত্রর্ন্ট ও ভাইস-ক্ষপ্ররসস্ত্রর্ন্ট পস্ত্রদ প্রারথতস্ত্রদি মাস্ত্রঝ পাাঁচজন
পুরুষ ও রতনজন নািী। ক্ষপ্ররসস্ত্রর্ন্ট ও ভাইস-ক্ষপ্ররসস্ত্রর্ন্ট উভস্ত্রে নািীস্ত্রদি ক্ষথস্ত্রক রনবতারচত হবাি সম্ভাবনা
কত?
সসসসসসসস
1. (i) সাগস্ত্রিি পস্ত্রকস্ত্রট একটি একটাকাি মুদ্রা, একটি দু’টাকাি মুদ্রা ও একটি পাাঁচ টাকাি মুদ্রা আস্ত্রছ।
দদবভাস্ত্রব একটি মুদ্রা তু স্ত্রল রনস্ত্রল তা এক টাকাি মুদ্রা না হবাি সম্ভাবযতা কত?
(ii) রতনটি মুদ্রা একস্ত্রে রনস্ত্রেপ কিা হল। রতনটিস্ত্রতই শাপলা উঠাি সম্ভাবনা কত?
(iii) রতনটি ছক্কা একস্ত্রে রনস্ত্রেপ কিা হস্ত্রল একটিস্ত্রত 2,অপিটিস্ত্রত 4,অনযটিস্ত্রত 5 আসাি সম্ভাবনা কত?
2. (i) একটি তাস্ত্রসি পযাস্ত্রকট হস্ত্রত রবরেপ্তভাস্ত্রব একটি তাস তু স্ত্রল রনস্ত্রল তা ইশকাপন হবাি পূিক ঘটনাি
সম্ভাবনা রনিতে কি।
(ii)একটি তাস্ত্রসি পযাস্ত্রকট হস্ত্রত দুটি তাস পিপি তু স্ত্রল ক্ষনো হল। তাসদুটিই ইশকাপন হবাি সম্ভাবনা
কত?
(iii)তাস্ত্রসি পযাস্ত্রকট হস্ত্রত একটি তাস তু স্ত্রল রনস্ত্রে ক্ষসটা আবাি ক্ষিস্ত্রখ্ ক্ষদো হল। তাি পি আবাি একটি
তাস ক্ষতালা হল। তাস দুটিই হিতন হবাি সম্ভাবনা কত?
3. (i) একটি ছক্কা রনস্ত্রেপ কিস্ত্রল তাি উপস্ত্রিি রপঠ 2 এি গুিীতক হবাি সম্ভাবযতা কত?
(ii) একটি তাস্ত্রসি পযাস্ত্রকট হস্ত্রত একটি তাস তু স্ত্রল রনস্ত্রল তা রুরহতন বা িাজা হবাি ঘটনা স্বাধীন, অধীন,
রবরেন্ন, অরবরেন্ন এি ক্ষকান ক্ষকান প্রকাস্ত্রি পস্ত্রড় এবং ক্ষকন পস্ত্রড় তা বযাখ্যা কি।
(iii)একটি তাস্ত্রসি পযাস্ত্রকট ক্ষথস্ত্রক রনিস্ত্রপেভাস্ত্রব একটি তাস তু স্ত্রল রনস্ত্রল তা রুরহতন বা িাজা হবাি
সম্ভাবনা ক্ষযাগসূে দ্বািা রনিতে কি।
4. (i) একটি ক্ষেিীস্ত্রত প্ররতটি ছাস্ত্রেি বাংলাে পাশ কিাি সম্ভাবনা 0.6 , ইংস্ত্রিজীস্ত্রত পাশ কিাি সম্ভাবনা 0.7।
উভেটিস্ত্রত পাশ কিাি সম্ভাবযতা 0.4। বাংলা ও ইংস্ত্রিজীস্ত্রত পাশ কিাি ঘটনাদ্বে রক স্বাধীন না অধীন
মন্তবয কি।
(ii) যরদ ক্ষেিীস্ত্রত একশজন ছাে থাস্ত্রক তস্ত্রব অন্তত একটি রবষস্ত্রে কেজন ছাে পাশ কিস্ত্রব বস্ত্রল ধস্ত্রি ক্ষনো
যাে?
(iii) যরদ ঘটনা দুটি স্বাধীন হে তস্ত্রব অন্তত একটি রবষস্ত্রে কেজন ছাে পাশ কিস্ত্রব বস্ত্রল ধস্ত্রি ক্ষনো যাে?
সসসসসসসসসসস

18. 1. 1 ক্ষথস্ত্রক 20 নং টিরকট রবরেপ্তভাস্ত্রব রমস্ত্রশ ক্ষগস্ত্রছ। যরদ রনিস্ত্রপেভাস্ত্রব একটি টিস্ত্রকট তু স্ত্রল ক্ষনো হে তস্ত্রব তা
3 বা 5 এি গুিীতক হবাি সম্ভাবনা কত?
(1) ½ (2) 2
/5 (3) 8
/15 (4) 9
/20
2. একটি বযাস্ত্রগ দুইটি লাল, রতনটি কাস্ত্রলা, দুটি নীল বল আস্ত্রছ। পিপি দুটি বল তু স্ত্রল রনস্ত্রল একটিও নীল না
হবাি সম্ভাবনা কত?
(1) 10
/21 (2) 11
/21 (3) 2
/7 (4) 5
/7
3. রতনটি মুদ্রা রনস্ত্রেপ কিা হল। সস্ত্রবতাচ্চ দুটি শাপলা উঠাি সম্ভাবনা কত?
(1) 3
/4 (2)1
/4 (3)3
/8 (4)7
/8
4. দুটি মুদ্রা রনস্ত্রেপ কিা হল। প্রথমটিস্ত্রত শাপলা ও পস্ত্রিিটিস্ত্রত মানুষ উঠাি সম্ভাবনা কত?
(1) 1(2) 1
/2 (3) 1
/4 (4) 3
/4
5. একটি ক্লাস্ত্রস দশটি ক্ষমস্ত্রে ও পস্ত্রনিটি ক্ষছস্ত্রল। দদবভাস্ত্রব রতনটি রশোরথত ক্ষবস্ত্রছ রনস্ত্রল একজন ক্ষমস্ত্রে ও দুজন
ক্ষছস্ত্রল থাকাি সম্ভাবনা কত?
(1) 21
/46 (2) 25
/117 (3) 1
/50 (4) 3
/25
6. একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একসাস্ত্রথ রনস্ত্রেপ কিা হল। যরদ মুদ্রাে মানুষ উস্ত্রঠ তস্ত্রব ছক্কাে 2 উঠাি
সম্ভাবনা কত?
(1) 1(2) 1
/12 (3) 1
/6 (4) 1
/2
7. ঘটনা ক এবং ঘটনা খ্ এি সম্ভাবনা যথাক্রস্ত্রম 0.3 এবং 0.7। যরদ তািা পিস্পি স্বাধীন ঘটনা হে তস্ত্রব
ক্ষকানটাই না ঘটাি সম্ভাবযতা কত?
(1) 0.21(2) 1(3) 0.79 (4) 0.4
8. ঘটনা ক এবং ঘটনা খ্ এি সম্ভাবনা যথাক্রস্ত্রম 0.3 এবং 0.7। যরদ তািা পিস্পি স্বাধীন ঘটনা হে তস্ত্রব ক
ঘস্ত্রটস্ত্রছ এই শস্ত্রতত খ্ ঘটাি সম্ভাবযতা কত?
(1) 0.21(2) 1(3) 0.79 (4) 0.4
9. ক ও খ্ একস্ত্রে ঘটাি সম্ভাবনা 0.33। ক ঘটাি সম্ভাবনা 0.55। ক ঘস্ত্রটস্ত্রছ এই শস্ত্রতত খ্ ঘটাি সম্ভাবনা কত?
(1) 0.88(2) .22(3) 0.60 (4) 0.40
10. যরদ একটি মুদ্রাস্ত্রত শাপলা আসাি সম্ভাবনা মানুষ আসাি রদ্বগুি হে তস্ত্রব রতনবাি মুদ্রা রনস্ত্রেস্ত্রপ প্রথমবাি
শাপলা ও পস্ত্রিি দুইবাি মানুষ আসাি সম্ভাবনা-
(1) 1
/9 (2) 2
/9 (3) 4
/9 (4) 2
/9