Ringkasan Pytaghoras

1. Bab V : Dalil Pythagoras
A. Dalil Pythagoras
1. Dalil Pythagoras
Untuk setiap segitiga siku-siku, berlaku kuadrat panjang sisi
miring sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya.
Jika ABC adalah segitiga siku-siku
dengan a panjang sisi miring, sedangkan
b dan c panjang sisi siku-sikunya maka
berlaku
a2
= b2
+ c2
.
Pernyataan di atas jika diubah ke bentuk
pengurangan menjadi
b2
= …………….. atau
c2
= ……………………
2. Menggunakan Teorema Pythagoras untuk Menghitung
Panjang Salah Satu Sisi Segitiga Siku-Siku jika Kedua
Sisi Lain Diketahui
Dengan menggunakan teorema Pythagoras kita dapat
menghitung panjang salah satu sisi segitiga siku-siku jika
panjang kedua sisi lain diketahui.
Contoh :
Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dengan AB = 6 cm dan BC
= 8 cm. Hitunglah panjang AC.
Penyelesaian:
Dengan menggunakan teorema Pythagoras berlaku
AC2
= AB2
+ BC2
= 62
+ 82
= 36 + 64
= 100
AC = 100 = 10
Jadi, panjang AC = 10 cm.
B. Penggunaan Dalil Pythagoras
1. Kebalikan Teorema Pythagoras untuk Menentukan Jenis Suatu
Segitiga
Pada suatu segitiga berlaku
a. jika kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat sisi yang lain maka
segitiga tersebut siku-siku.
b. jika kuadrat sisi miring < jumlah kuadrat sisi yang lain maka
segitiga tersebut lancip.
c. jika kuadrat sisi miring > jumlah kuadrat sisi yang lain maka
segitiga tersebut tumpul.
Contoh :
Tentukan jenis segitiga dengan panjang sisi-sisi sebagai berikut.
a. 3 cm, 5 cm, 4 cm
b. 4 cm, 5 cm, 6 cm
c. 1 cm, 2 cm, 3 cm
Penyelesaian:
Misalkan a = panjang sisi miring, sedangkan b dan c panjang
sisi yang lain, maka diperoleh
a. a = 5 cm, b = 3 cm, c = 4 cm
a2
= 52
=25 , b2
+ c2
= 32
+ 42
= 9 + 16 = 25
Karena 52
= 32
+ 42
, maka segitiga ini termasuk jenis
segitiga siku-siku.
b. a = 6 cm, b = 4 cm, c = 5 cm
a 2
= 62
= 36 , b2
+ c2
= 42
+ 52
= 16 + 25 = 41
Karena 62
< 42
+ 52
, maka segitiga ini termasuk jenis
segitiga lancip.
c. a = 3 cm, b = 1 cm, c = 2 cm
a2
= 32
= 9 , b2
+ c2
= 12
+ 22
= 1 + 4 = 5
Karena 32
> 12
+ 22
, maka segitiga ini termasuk jenis
segitiga tumpul.
2. Tripel Pythagoras
Tripel Pythagoras adalah kelompok tiga bilangan bulat positif
yang memenuhi kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah
kuadrat dua bilangan lainnya.
Contoh :
Dari kelompok tiga bilangan berikut, manakah yang termasuk
Tripel Pythagoras ?
a. 3, 5, 6
b. 6, 8, 10
c. 6, 8, 12

2. Penyelesaian :
a. 3, 5, 6
62
= 36 , 32
+ 52
= 9 + 25 = 34
Karena 62
> 32
+ 52
, maka tigaan ini bukan tripel
Pythagoras
b. 6, 8, 10
102
= 100 , 62
+ 82
= 36 + 64 = 100
Karena 102
= 62
+ 82
, maka tigaan ini termasuk tripel
Pythagoras
c. 6, 8, 12
122
= 144 , 62
+ 82
= 36 + 64 = 100
Karena 122
> 62
+ 82
, maka tigaan ini termasuk tripel
Pythagoras
3. Perbandingan Sisi-Sisi pada Segitiga Siku-Siku dengan Sudut
Khusus
a. Sudut 30o
dan 60 o
BD : CD : BC = 1 : 3 : 2
b. Sudut 45 o
AB : BC : AC = 1 : 1 : 2
C. Penyelesaian Soal Cerita
1. Penggunaan Teorema Pythagoras pada Bangun Datar
dan Bangun Ruang
Contoh :
Perhatikan gambar persegi ABCD pada gambar di samping. Jika
sisi persegi tersebut adalah 7 cm, tentukan:
a. panjang diagonal AC,
b. panjang diagonal BD,
c. panjang AE,
d. luas persegi ABCD.
Penyelesaian :
a. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, berlaku
hubungan:
AC2
= AB2
+ BC2
AC2
= 72
+ 72
= 49 + 49
= 98
AC = 98
= 2
49x
= 7 2
Jadi, panjang diagonal AC = 7 2 cm.
b. Dalam sebuah persegi, panjang diagonal memiliki ukuran
yang sama dengan diagonal lain. Jadi, dapat dituliskan :
panjang diagonal BD = panjang diagonal AC= 7 2 cm
c. Perhatikan gambar pada soal. Panjang garis AE adalah
setengah dari pnajang garis AC. Sehingga:
panjang garis AE = ½ x panjang diagonal AC
= ½ x 7 2
=
2
2
7
Jadi, panjang AE =
2
2
7
cm.
d. Panjang sisi persegi ABCD adalah 7 cm. Jadi, luas persegi
tersebut. Luas persegi = sisi × sisi
= 7 × 7
= 49
Jadi, luas persegi ABCD = 49 cm2
.

3. 2. Menyelesaikan masalah sehari-hari dengan menggunakan
teorema Pythagoras
Contoh :
1. Perhatikan gambar di samping sebuah tangga bersandar pada
tembok dengan posisi seperti pada gambar. Jarak antara kaki
tangga dengan tembok 2 meter dan jarak antara tanah dan
ujung atas tangga 8 meter. Hitunglah panjang tangga.
Jawab:
Langkah pertama adalah menggambarkan apa yang diceritakan
dalam soal. Gambar di samping menunjukkan sebuah segitiga
siku-siku ABC yang memiliki panjang AC (jarak tanah ke ujung
atas tangga) 8 meter, panjang AB (jarak kaki tangga ke tembok)
2 meter, dan BC dimisalkan tangga yang hendak dicari
panjangnya.
•Langkah kedua, gunakan teorema Pythagoras sehingga berlaku
hubungan:
BC2
= AB2
+ AC2
BC2
= 22
+ 82
= 4 + 64
= 68 m2
BC = 68
= 17
4x
= 17
2
Jadi, panjang tangga adalah 17
2 m.
2. Sebuah kapal laut berlayar ke arah barat sejauh 11 km.
kemudian, kapal laut berbelok ke arah selatan sejauh 8 km.
Hitunglah jarak kapal laut dari titik awal keberangkatan ke titik
akhir.
Jawab:
• Langkah pertama, gambarkan soal cerita tersebut. Perhatikan
gambar di samping. Jalur yang di tempuh oleh kapal laut
digambarkan dalam bentuk segitiga siku-siku ABC.
• Langkah kedua, untuk menentukan panjang ABC, gunakan teorema
Pythagoras sehingga diperoleh hubungan:
AC2
= AB2
+ BC2
= 82
+ 112
= 64 + 121
= 185
AC = 185
Jadi, jarak dari titik awal ke titik akhir adalah 185 km .
Latihan :