Resistencia de materiales ii 2. ๐ฆ = ๐ค๐ ๐๐ (
๐๐ฅ
๐
)
๐ = โซ ๐ฆ = โซ ๐ค๐ ๐๐ (
๐๐ฅ
๐
)
๐ฅ
0
๐๐ฅ =
โ๐ค๐
๐
[cos(
๐๐ฅ
๐
) โ 1]
๐ = โซ ๐๐๐ฅ = โซ
โ๐ค๐ฟ
๐
[cos(
๐๐ฅ
๐ฟ
) โ 1]
๐ฅ
0
๐๐ฅ =
โ๐ค๐2
๐2
[sen(
๐๐ฅ
๐ฟ
)] +
๐ค๐ฟ๐ฅ
๐
a) ECUACIรN
๐ ๐ = ๐
๐ด ๐ฅ โ
๐๐ฟ
๐
๐ฅ +
๐๐ฟ2
๐2
๐ ๐๐ (
๐๐ฅ
๐ฟ
)โฆโฆ(1)
b) DERIVADA PARCIAL
๐๐ ๐
๐๐
๐ด
= ๐ฅ
c) SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO:
๐ฟ = โซ ๐ ๐ (
๐๐ ๐
๐๐
๐ด
) = 0
๐ฟ
0
3. ๐ฟ = โซ ( ๐
๐ด ๐ฅ โ
๐๐ฟ
๐
๐ฅ +
๐๐ฟ2
๐2
๐ ๐๐ (
๐๐ฅ
๐ฟ
)) ( ๐ฅ) ๐๐ฅ = 0
๐ฟ
0
๐ฟ = โซ ( ๐
๐ด ๐ฅ2
โ
๐๐ฟ
๐
๐ฅ2
+
๐๐ฟ2
๐ฅ
๐2
๐ ๐๐(
๐๐ฅ
๐ฟ
)) ๐๐ฅ = 0
๐ฟ
0
[๐
๐ด
๐ฅ3
3
โ
๐๐ฟ
๐
๐ฅ3
3
โ
๐๐ฟ3 ๐ฅ
๐3
๐๐๐ (
๐๐ฅ
๐ฟ
) +
๐๐ฟ4
๐4
๐ ๐๐ (
๐๐ฅ
๐ฟ
)]
๐ฟ
0
= 0
๐
๐ด
๐ฟ3
3
โ
๐๐ฟ4
3๐
+
๐๐ฟ4
๐3
= 0
๐
๐ด =
๐๐ฟ
๐
โ
3๐๐ฟ
๐3
๏ท POR ESTATICA:
๏ท โ ๐น๐ฃ = 0
๐
๐ด + ๐
๐ต =
2๐๐ฟ
๐
๐
๐ต =
2๐๐ฟ
๐
+
3๐๐ฟ
๐3
โ
๐๐ฟ
๐
4. ๐
๐ต =
๐๐ฟ
๐
+
3๐๐ฟ
๐3
๏ท โ ๐๐ด = 0
๐
๐ต ๐ฟ โ ๐ ๐ต โ
2๐๐ฟ
๐
๐ฟ
2
= 0
๐ ๐ต = (
๐๐ฟ
๐
+
3๐๐ฟ
๐3
) ๐ฟ โ
๐๐ฟ2
๐
๐ ๐ต =
๐๐ฟ2
๐
+
3๐๐ฟ2
๐3
โ
๐๐ฟ2
๐
๐ ๐ต =
3๐๐ฟ2
๐3
๏ท DETERMINAMOSELGIROEN EL APOYOSIMPLE:
๐ ๐ = ๐
๐ด ๐ฅ โ ๐ ๐ โ
๐๐ฟ
๐
๐ฅ +
๐๐ฟ2
๐2
๐ ๐๐(
๐๐ฅ
๐ฟ
)
๏ท DERIVADA PARCIAL
5. ๐๐ ๐
๐๐ ๐
= โ1
๏ท PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO:
๐ =
1
๐ธ๐ผ
โซ ๐ ๐ (
๐๐ ๐
๐๐ ๐
)
๐ฟ
0
๐ =
1
๐ธ๐ผ
โซ (๐
๐ด ๐ฅ โ ๐ ๐ โ
๐๐ฟ
๐
๐ฅ +
๐๐ฟ2
๐2
๐ ๐๐(
๐๐ฅ
๐ฟ
))(โ1)
๐ฟ
0
๐๐ฅ
๐ =
1
๐ธ๐ผ
โซ (โ๐
๐ด ๐ฅ +
๐๐ฟ
๐
๐ฅ โ
๐๐ฟ2
๐2
๐ ๐๐ (
๐๐ฅ
๐ฟ
))
๐ฟ
0
๐๐ฅ
REEMPLZANDO ๐
๐ด EN ESTA รLTIMA ECUACION
๐ =
1
๐ธ๐ผ
โซ (โ(
๐๐ฟ
๐
โ
3๐๐ฟ
๐3
) ๐ฅ +
๐๐ฟ
๐
๐ฅ โ
๐๐ฟ2
๐2
๐ ๐๐(
๐๐ฅ
๐ฟ
))
๐ฟ
0
๐๐ฅ
INTEGRANDOY EVALUANDOTENEMOS:
๐ = โ
๐๐ฟ3
2๐3
EL SIFNO NEGATIVOINDICA QUE LA FUERZA APLICADA (MOMENTO
๐ ๐ ) DEBE ESTAR EN SENTIDO HORARIO
๐ =
๐๐ฟ3
2๐3
2. POR TRABAJO VIRTUAL:
DETERMINAMOSLA DEFLEXION EN EL APOYOSIMPLE:
6. DETERMINAMOS LA ECUACION DEL MOMENTO REAL:
๐ ๐ = ๐
๐ด ๐ฅ โ
๐๐ฟ
๐
๐ฅ +
๐๐ฟ2
๐2
๐ ๐๐ (
๐๐ฅ
๐ฟ
)
EL MOMENTO VIRTUAL SERA:
๐ ๐ฃ๐ = ๐ ๐ = 1
LA ECUACION DE TRABAJO VIRTUAL PARA LA DEFLEXION
EN EL APOYO SIMPLE:
๐ =
1
๐ธ๐ผ
โซ ๐ ๐ โ ๐ ๐ฃ๐ ๐๐ฅ
๐ฟ
0
๐ =
1
๐ธ๐ผ
โซ ( ๐
๐ด ๐ฅ โ
๐๐ฟ
๐
๐ฅ +
๐๐ฟ2
๐2
๐ ๐๐ (
๐๐ฅ
๐ฟ
)) (1) ๐๐ฅ
๐ฟ
0
REEMPLZANDO ๐
๐ด EN ESTA รLTIMA ECUACION
8. 3. DETERMINAR LAS REACCIONES EN LOS APOYOS Y LO QUE SE
PRECISA EN CADA VIGA POR METODO DE CASTIGLIANO Y
TRABAJO VIRTUAL:
SOLUCION:
4. METODO DE GASTIGLIANO
a) ISOSTATIZANDO
9. ๐ฆ = ๐ค๐ ๐๐ (
๐๐ฅ
๐
)
๐ = โซ ๐ฆ = โซ ๐ค๐ ๐๐ (
๐๐ฅ
๐
)
๐ฅ
0
๐๐ฅ =
โ๐ค๐
๐
[cos(
๐๐ฅ
๐
) โ 1]
๐ = โซ ๐๐๐ฅ = โซ
โ๐ค๐ฟ
๐
[cos(
๐๐ฅ
๐ฟ
) โ 1]
๐ฅ
0
๐๐ฅ =
โ๐ค๐2
๐2
[sen(
๐๐ฅ
๐ฟ
)] +
๐ค๐ฟ๐ฅ
๐
d) ECUACIรN
๐ ๐ = ๐
๐ด ๐ฅ โ ๐๐ด โ
๐๐ฟ
๐
๐ฅ +
๐๐ฟ2
๐2
๐ ๐๐ (
๐๐ฅ
๐ฟ
)โฆโฆ(1)
e) DERIVADA PARCIAL
10. ๐๐ ๐
๐๐๐ด
= โ1 ๐ฆ
๐๐ ๐
๐๐
๐ด
= ๐ฅ โฆ โฆ (2)
f) SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO:
๐ = โซ ๐ ๐ (
๐ ๐ ๐
๐๐ ๐ด
) = 0
๐ฟ
0
- REEPLAZANDO(1) Y (2):
๐๐ด = โซ ( ๐
๐ด ๐ฅ โ ๐ ๐ด โ
๐๐ฟ
๐
๐ฅ +
๐๐ฟ2
๐2
๐ ๐๐(
๐๐ฅ
๐ฟ
)) (โ1) = 0
๐ฟ
0
[โ๐
๐ด
๐ฅ2
2
+ ๐ ๐ด ๐ฅ +
๐๐ฟ
๐
๐ฅ2
2
+
๐๐ฟ3
๐3
๐๐๐ (
๐๐ฅ
๐ฟ
)]
๐ฟ
0
= 0
[โ๐
๐ด
๐ฟ2
2
+ ๐ ๐ด ๐ฟ +
๐๐ฟ
๐
๐ฟ2
2
+
๐๐ฟ3
๐3
๐๐๐ (
๐๐ฟ
๐ฟ
) โ
๐๐ฟ3
๐3
] = 0
[โ
๐
๐ด ๐ฟ
2
+ ๐ ๐ด +
๐๐ฟ2
2๐
โ
2๐๐ฟ2
๐3
] = 0 โฆ โฆ (3)
๐ฟ = โซ ๐ ๐ (
๐๐ ๐
๐๐
๐ด
) = 0
๐ฟ
0
๐ฟ๐ด = โซ ( ๐
๐ด ๐ฅ โ ๐ ๐ด โ
๐๐ฟ
๐
๐ฅ +
๐๐ฟ2
๐2
๐ ๐๐ (
๐๐ฅ
๐ฟ
)) ( ๐ฅ) = 0
๐ฟ
0
๐ฟ๐ด = โซ ( ๐
๐ด ๐ฅ2
โ ๐ ๐ด ๐ฅ โ
๐๐ฟ
๐
๐ฅ2
+
๐๐ฟ2
๐ฅ
๐2
๐ ๐๐ (
๐๐ฅ
๐ฟ
)) = 0
๐ฟ
0
[๐
๐ด
๐ฅ3
3
โ ๐๐ด
๐ฅ2
2
โ
๐๐ฟ
๐
๐ฅ3
3
โ
๐๐ฟ3
๐ฅ
๐3
๐๐๐ (
๐๐ฅ
๐ฟ
) +
๐๐ฟ4
๐4
๐ ๐๐ (
๐๐ฅ
๐ฟ
)]
๐ฟ
0
= 0
11. [๐
๐ด
๐ฟ3
3
โ ๐๐ด
๐ฟ2
2
โ
๐๐ฟ
๐
๐ฟ3
3
โ (โ
๐๐ฟ3
๐ฟ
๐3
)] = 0
๐
๐ด
๐ฟ
3
โ
๐๐ด
2
โ
๐๐ฟ2
3๐
+
๐๐ฟ2
๐3
= 0โฆ โฆ(4)
- Multiplicando la ecuaciรณn(4) por 2, sumando con la
ecuaciรณn(3), tenemos:
2๐
๐ด
๐ฟ
3
โ
2๐๐ฟ2
3๐
+
2๐๐ฟ2
๐3
โ
๐
๐ด ๐ฟ
2
+
๐๐ฟ2
2๐
โ
2๐๐ฟ2
๐3
= 0
๐
๐ด ๐ฟ
6
โ
๐๐ฟ2
6๐
= 0
๐
๐ด =
๐๐ฟ
๐
- Reemplazando ๐
๐ด en la ecuaciรณn (3), tenemos:
[โ
๐๐ฟ
๐
๐ฟ
2
+ ๐ ๐ด +
๐๐ฟ2
2๐
โ
2๐๐ฟ2
๐3
] = 0
๐๐ด =
2๐๐ฟ2
๐3
๏ท POR SIMETRIA:
๐
๐ด= ๐
๐ต =
๐๐ฟ
๐
๐๐ด = ๐ ๐ต =
2๐๐ฟ2
๐3
12. ๏ท LA DEFLEXION EN EL CENTRO DE LA LUZ SERA:
๐ ๐ = ๐
๐ด ๐ฅ โ ๐๐ด โ
๐๐ฟ
๐
๐ฅ +
๐๐ฟ2
๐2
๐ ๐๐(
๐๐ฅ
๐ฟ
) โ ๐(๐ฅ โ
๐ฟ
2
)
๐๐ ๐
๐๐
= โ ( ๐ฅ โ
๐ฟ
2
)
๏ท POR EL PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO:
๐ฟ =
1
๐ธ๐ผ
โซ ๐ ๐ (
๐๐ ๐
๐๐
)
๐ฟ
0
๐ฟ =
1
๐ธ๐ผ
โซ ( ๐
๐ด ๐ฅ โ ๐ ๐ด โ
๐๐ฟ
๐
๐ฅ +
๐๐ฟ2
๐2
๐ ๐๐ (
๐๐ฅ
๐ฟ
) โ ๐(๐ฅ โ
๐ฟ
2
))(
๐ฟ
2
โ ๐ฅ) ๐๐ฅ
๐ฟ
๐ฟ
2
๐ฟ =
1
๐ธ๐ผ
โซ ( ๐
๐ด (
๐ฟ๐ฅ
2
โ ๐ฅ2
) โ ๐ ๐ด (
๐ฟ
2
โ ๐ฅ) โ
๐๐ฟ
๐
(
๐ฟ๐ฅ
2
โ ๐ฅ2
)
๐ฟ
๐ฟ
2
+
๐๐ฟ2
๐2
๐ ๐๐ (
๐๐ฅ
๐ฟ
)(
๐ฟ
2
โ ๐ฅ)) ๐๐ฅ
๏ท INTEGRANDO Y EVALUANDO:
๐ฟ = โ
๐๐๐ฟ4
โ 4๐๐ฟ4
4๐4
14. PLANTEAMOS LA ECUACION DE TRABAJO VIRTUAL
PARA DETERMINAR LA DEFLEXION EN EL CENTRO DE
LA LUZ:
๐ฟ =
1
๐ธ๐ผ
โซ ๐ ๐ โ ๐ ๐ฃ๐ ๐๐ฅ
๐ฟ
0
๐ฟ =
1
๐ธ๐ผ
โซ ( ๐
๐ด ๐ฅ โ ๐ ๐ด โ
๐๐ฟ
๐
๐ฅ +
๐๐ฟ2
๐2
๐ ๐๐ (
๐๐ฅ
๐ฟ
))(โ1 ( ๐ฅ โ
๐ฟ
2
)) ๐๐ฅ
๐ฟ
0
๐ฟ =
1
๐ธ๐ผ
โซ ( ๐
๐ด (
๐ฟ๐ฅ
2
โ ๐ฅ2
) โ ๐ ๐ด (
๐ฟ
2
โ ๐ฅ) โ
๐๐ฟ
๐
(
๐ฟ๐ฅ
2
โ ๐ฅ2
)
๐ฟ
๐ฟ
2
+
๐๐ฟ2
๐2
๐ ๐๐ (
๐๐ฅ
๐ฟ
) (
๐ฟ
2
โ ๐ฅ)) ๐๐ฅ
๏ท INTEGRANDO Y EVALUANDO:
๐ฟ = โ
๐๐๐ฟ4
โ 4๐๐ฟ4
4๐4
๐ฟ =
๐๐ฟ4
๐4
โ
๐๐ฟ4
4๐3
๐ฟ =
๐๐ฟ4
๐3
(
1
๐
โ
1
4
)
SEGUNDA PARTE:
DIBUJAR LOS DIAGRAMASDE N,V Y M
DETERMINAR ELDESPLAZAMIENTOEN ELAPOYOLIBRE ๐ข2, ๐ฃ2 y
๐2
15. SOLUCION:
ES HIPERESTATICA, SELECCIONAMOSUNA FUERZA REDUDANTE, EN
ESTE CASO H1
PRIMER PASO: LEVANTAMOSELGRADODE HIPERTATICIDAD:
๐ฟ =
๐๐ ๐
๐๐
= 0 โฆ( ๐๐ ๐๐
๐๐๐๐ถ๐ด ๐๐ผ๐๐บ๐๐ ๐ท๐ธ๐๐๐ฟ๐ด๐๐ด๐๐ผ๐ธ๐๐๐)
R= FUERZA REDUNDANTE
16. ECUACION DE FUERZA INTERNAS:
๐ฟ =
๐๐ ๐
๐๐
=
1
๐ธ๐ผ
โซ ๐ (
๐๐
๐๐ป1
) ๐๐ฅ
๐ฟ
0
= 0
1
๐ธ๐ผ
โซ ๐ (
๐๐
๐๐ป1
) ๐๐ฅ
๐ฟ
0
= 0
a) FUERZAS INTERNAS:
SECCION (a-a) ๐ โค ๐ฝ โค ๐๐
17. ๐๐ด = ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ โ ๐๐(1 โ ๐๐๐ ๐) ๐ ๐๐๐ โ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐
โ ๐ป1 ๐๐๐ ๐
๐๐ด = ๐๐ ๐๐๐ ๐
๐๐ด = ๐๐(1 โ ๐๐๐ ๐) ๐๐๐ ๐ โ ๐ป1 ๐ ๐๐ ๐ โ ๐๐ ๐๐๐ ๐ โ ๐๐ ๐ ๐๐2
๐
๐๐ด = ๐๐( ๐ ๐๐ ๐ โ 1)
18. ๐๐ด = ๐๐. ( ๐ ๐ ๐๐ ๐) + ๐๐. ๐(1 โ ๐๐๐ ๐) โ ๐๐.
๐
2
๐ ๐๐2
๐
โ ๐๐.
๐
2
(1 โ ๐๐๐ ๐)2
๐๐ด = ๐๐2( ๐ ๐๐ ๐ โ 1)