Matematicas

1. 62. El circuitoque sigue se describe mediante el sistema:
𝐿1 ∗ 𝑖1
′
+ 𝑅1(𝑖1 − 𝑖2) = 𝑉(𝑡)
𝐿2 ∗ 𝑖2
′
+ 𝑅2 ∗ 𝑖2 + 𝑅1(𝑖2 − 𝑖1) = 0
Determine 𝑖1 e 𝑖2 cuandose cierra el interruptorsi 𝐿1 = 𝐿2 = 2 henrys, 𝑅1 = 3 ohms, 𝑅2= 8 ohmsy
V(t)=6 volts.Supongaque 𝑖1 (0) = 𝑖2 (0) = 0.
Desarrollo
{
𝐿1 ∗ 𝑖1
′
+ 𝑅1(𝑖1 − 𝑖2) = 𝑉(𝑡)
𝐿2 ∗ 𝑖2
′
+ 𝑅2 ∗ 𝑖2 + 𝑅1(𝑖2 − 𝑖1) = 0
{
2 ∗ 𝑖1
′
+ 3(𝑖1 − 𝑖2) = 6
2 ∗ 𝑖2
′
+ 8 ∗ 𝑖2 + 3( 𝑖2 − 𝑖1) = 0
Se resuelve portransformadade Laplace.
{
ℒ{2 ∗ 𝑖1
′
+ 3(𝑖1 − 𝑖2) = 6}
ℒ{2 ∗ 𝑖2
′
+ 8 ∗ 𝑖2 + 3(𝑖2 − 𝑖1) = 0}
{
2 ∗ (s𝑖1( 𝑠) − 𝑖1 (0)) + 3𝑖1( 𝑠) − 3𝑖2( 𝑠) =
6
𝑠
2 ∗ (s𝑖2( 𝑠) − 𝑖2(0)) + 11𝑖2( 𝑠) − 3𝑖1( 𝑠) = 0

2. Como 𝑖1 (0) = 𝑖2 (0) = 0.
{
2s𝑖1( 𝑠) + 3𝑖1( 𝑠) − 3𝑖2( 𝑠) =
6
𝑠
2s𝑖2( 𝑠) + 11𝑖2( 𝑠) − 3𝑖1( 𝑠) = 0
Se factoriza
{
𝑖1( 𝑠)(2𝑠 + 3) − 3𝑖2( 𝑠) =
6
𝑠
−3𝑖1( 𝑠) + 𝑖2( 𝑠)(2𝑠 + 11) = 0
Por comodidadsustituiremos 𝑖1( 𝑠) por“x”y 𝑖2( 𝑠) 𝑝𝑜𝑟 "𝑦"
{
x (2 s + 3) − 3 y =
6
s
− 3 x + y (2 s + 11) = 0
Resolvemosestesistemade ecuaciones porCramer,paraobtenerel valorde “x” y “y”.
𝛥 = [
(2 s + 3) − 3
− 3 (2 s + 11)
] = (2 s + 3) ∗ (2 s + 11) − (− 3 ∗ − 3)
𝜟 = ( 𝟐 𝐬 + 𝟑) ∗ ( 𝟐 𝐬 + 𝟏𝟏) − 𝟗
𝛥𝑥 = [
6
𝑠
− 3
0 (2 s + 11)
] =
6
𝑠
∗ (2 s + 11)
𝜟𝒙 =
𝟔
𝒔
∗ ( 𝟐 𝐬 + 𝟏𝟏)
𝛥𝑦 = [(2 s + 3)
6
𝑠
− 3 0
] = −(
6
𝑠
∗ − 3)
𝜟𝒚 =
𝟏𝟖
𝒔
𝒙 =
𝛥𝑥
𝛥
𝑥 =
6
𝑠
∗ (2 s + 11)
(2 s + 3) ∗ (2 s + 11) − 9
Se factoriza
𝒙 =
𝟑( 𝟐 𝐬 + 𝟏𝟏)
𝟐𝐬(𝐬 + 𝟏)(𝐬 + 𝟔)

3. 𝒚 =
𝛥𝑦
𝛥
𝑦 =
18
s
(2 s + 3) ∗ (2 s + 11) − 9
Se factoriza
𝒚 =
𝟗
𝟐𝐬(𝐬 + 𝟏)(𝐬 + 𝟔)
Comoya se calcularonlosvaloresde “x”y “y”, se sustituye x=𝑖1( 𝑠) yy= 𝑖2( 𝑠)
𝑖1( 𝑠) =
3(2 s + 11)
2s(s + 1)(s + 6)
𝑖2( 𝑠) =
9
2s(s + 1)(s + 6)
Ya teniendolasecuacionesenestaforma,podemosresolveryobtenerlosvaloresde 𝑖1 𝑒 𝑖2.
Primeroresolveremos 𝑖1,se le aplicaratransformadade Laplace inversa.
𝒊 𝟏
𝑖1 = ℒ
−1
{
3(2 s + 11)
2s(s + 1)(s + 6)
}
Se harán fraccionesparciales,parapoderaplicarlatransformadade Laplace inversa.
3(2 s + 11)
2s(s + 1)(s + 6)
=
𝐴
2𝑠
+
𝐵
2(s + 1)
+
𝐶
2(s + 6)
3(2 s + 11) = A(s + 1)(s + 6) + B ∗ s(s + 6) + c ∗ s(s + 1)
6s + 33 = A(s + 1)(s + 6) + B ∗ s(s + 6) + c ∗ s(s + 1)
6s + 33 = A(𝑠2 + 7s + 6) + B( 𝑠2 + 6s) + C(𝑠2 + 1s)
6s + 33 = (A + B + C) 𝑠2 + (7𝐴 + 6𝐵 + 𝐶) 𝑠+ 6A
{
6A = 33
7𝐴 + 6𝐵 + 𝐶 = 6
A + B + C = 0
Entonces
𝐴 =
11
2
𝐵 = −
27
5
𝐶 = −
1
10

4. Sustituimosestosvaloresenlaecuaciónparaaplicarle Transformadade Laplace inversa.
𝑖1 = ℒ
−1
{
11
2
2𝑠
+
−
27
5
2(s + 1)
+
−
1
10
2(s + 6)
}
𝑖1 = ℒ
−1
{−
27
10(s + 1)
−
1
20(s + 6)
+
11
4𝑠
}
𝑖1 = −
27
10
ℒ
−1
{
1
(s + 1)
} −
1
20
ℒ
−1
{
1
(s + 6)
}+
11
4
ℒ
−1
{
1
𝑠
}
Solución:
𝒊 𝟏 =
𝟏𝟏
𝟒
−
𝟐𝟕
𝟏𝟎
𝒆−𝒕
−
𝟏
𝟐𝟎
𝒆−𝟔𝒕
_______________________________________________________________
𝒊 𝟐
𝑖2( 𝑠) =
9
2s(s + 1)(s + 6)
Se harán fraccionesparciales,parapoderaplicarlatransformadade Laplace inversa.
9
2s(s + 1)(s + 6)
=
𝐴
2𝑠
+
𝐵
2(s + 1)
+
𝐶
2(s + 6)
9 = A(s + 1)(s + 6) + B ∗ s(s + 6) + c ∗ s(s + 1)
9 = A(s + 1)(s + 6) + B ∗ s(s + 6) + c ∗ s(s + 1)
9 = A(𝑠2 + 7s + 6) + B( 𝑠2 + 6s) + C(𝑠2 + 1s)
9 = (A + B + C) 𝑠2 + (7𝐴 + 6𝐵 + 𝐶) 𝑠+ 6A
{
6A = 9
7𝐴 + 6𝐵 + 𝐶 = 0
A + B + C = 0
Entonces
𝐴 =
3
2
𝐵 = −
9
5
𝐶 =
3
10

5. Sustituimosestosvalores enlaecuaciónparaaplicarle Transformadade Laplace inversa.
𝑖2 = ℒ
−1
{
3
2
2𝑠
+
−
9
5
2(s + 1)
+
3
10
2(s + 6)
}
𝑖2 = ℒ
−1
{−
9
10(s + 1)
+
3
20(s + 6)
+
3
4𝑠
}
𝑖2 = −
9
10
ℒ
−1
{
1
(s + 1)
} +
3
20
ℒ
−1
{
1
(s + 6)
} +
3
4
ℒ
−1
{
1
𝑠
}
Solución:
𝒊 𝟐 =
𝟑
𝟒
−
𝟗
𝟏𝟎
𝒆−𝒕
+
𝟑
𝟐𝟎
𝒆−𝟔𝒕