trabajo calculo IV

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICERRECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Asignatura: Matemática IV
Integrantes:
Manuel Franco C.I. 25.630.896
Juan Dorante C.I. 25.146.829
Jose Urdaneta C.I. 25.834.826

2. 1) Utilizar la definición de transformada de Laplace y resolver la siguiente
función
𝑭( 𝒕) =
𝟐𝟑
𝟑
𝒕 +
𝟖
𝟓
𝐜𝐨𝐬 √𝟑𝒕
Por definición tenemos,
𝑭( 𝒔) = 𝑳 { 𝒇(𝒕)}
= ∫ 𝑓( 𝑡)
∞
0
𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
lim
b→∞
∫ f(t)e−st
b
0
𝑑𝑡
lim
𝑏→∞
∫ [
23
3
𝑡 +
8
5
cos√3 t] 𝑒−𝑠𝑡
𝑏
0
𝑑𝑡
lim
𝑏→∞
[
23
3
∫ 𝑡
𝑏
0
𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡 +
8
5
∫ cos√3 t. 𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
𝑏
0
]
Por tablastenemos,
𝑙𝑖𝑚
𝑏→∞
[
23
3
[
−𝑡𝑒−𝑠𝑡
−𝑠
−
𝑒−𝑠𝑡
𝑠2 ]
𝑏
0
+
8
5
[
𝑒−𝑠𝑡
𝑠2 +(√3) 2 ] [−𝑠 cos√3 𝑡 + √3 sen√3𝑡]
𝑏
0
]
Evaluando límitesde Integración
0 0 0 1 0
lim
𝑏→∞
[
23
3
[
−𝑏𝑒−𝑠𝑏
−𝑠
−
𝑒−𝑠𝑏
𝑠2
+
0𝑒0𝑠
𝑠
+
𝑒0
𝑠2
] +
8
5
[
𝑒−𝑠𝑏
𝑠2+3
][−𝑠 cos √3 𝑏 + √3sen √3𝑏] −
𝑒0
𝑠2+3
[−𝑠 cos 0 + √3𝑠𝑒𝑛0]]
1
=
23
3
[
1
𝑠2
] +
8
5
[−
1
𝑠2+3
(−𝑠)]
=
23
3
×
1
𝑠2
+
8
5
×
𝑠1
𝑠2+3
=
23
3 𝑠2
+
8 𝑠
𝑠2+3

3. 2) Utilizar propiedades y tabla para determinar la transformada de Laplace. Enuncie
las propiedades antes de resolver. Simplifique los resultados.
𝑭( 𝒕) =
𝟏𝟎
𝟕
(𝟕𝒆 𝟒𝒕
𝐜𝐨𝐬𝐡 𝟒𝒕 −
𝐜𝐨𝐬 𝟓𝟏𝒕
𝒕 𝟐
+ 𝟑𝒆−𝟑𝒕
𝒕 𝟓
)
𝑭( 𝒔) = 𝑳{𝑭(𝒕)}
= 𝐿{
10
7
[7𝑒4𝑡
. 𝑐𝑜𝑠ℎ4𝑡 −
𝑐𝑜𝑠51𝑡
𝑡2
+ 3𝑒−3𝑡
. 𝑡5
]
Separando por linealidad
𝐹( 𝑠) =
10
7
. 𝐿{7𝑒4𝑡
. 𝑐𝑜𝑠ℎ4𝑡} −
10
7
𝐿 {
𝑐𝑜𝑠51𝑡
𝑡2
} +
30
7
𝐿{ 𝑒−3𝑡
. 𝑡5}
Por tablas
𝐿{cosh4𝑡} =
𝑠
𝑠2 − 42
=
𝑠
𝑠2 − 16
Por traslación
𝐿{ 𝑒4𝑡
. cosh4𝑡} = 𝐹( 𝑆 − 4)
=
𝑆−4
(𝑆−4)2−16
=
𝑆−4
𝑆2−16𝑆+16−16
=
𝑆−4
𝑆2−16𝑆
Portables
𝐿{cos51𝑡} =
𝑠
𝑠2+512
Por división por t:
𝐿{
𝑐𝑜𝑠51𝑡
𝑡
} = ∫ 𝐹( 𝑢) 𝑑𝑢
∞
𝑠
lim
𝑏→∞
∫
𝑢
𝑢2+512
𝑏
𝑠
. 𝑑𝑢
lim
𝑏→∞
[
1
2
ln| 𝑢2
+ 𝜋2|]
𝑏
𝑠
∞
lim
𝑏→∞
[
1
2
ln| 𝑏2
+ 𝜋2|]
𝑏
𝑠
𝑤 = 𝑢2
+ 𝜋2
dw = 2u. du
1
2
∫
dw
w
1
2
ln| 𝑤|
1
2
ln| 𝑢2
+ 𝜋2|

4. -
1
2
ln| 𝑠2
+ 𝜋2|
Pero, lim
𝑏→∞
1
2
ln| 𝑏2
+ 𝜋2| = +∞
Como la integral diverge, entonces
L{
𝑐𝑜𝑠𝜋 𝑡
𝑡2
} No existe
Luego, la transformada de la función dada no existe.
3) Aplicar Tabla, simplificación y método correspondiente para determinar
𝑳 𝟏{ 𝒇( 𝟓)} = 𝒇(𝒕)
𝒇( 𝒕) = 𝑳 𝟏
{
𝟐𝟓 𝟐
− √ 𝟐
𝟓 𝟖
+
√ 𝟐 + 𝟐(𝟓 + 𝟏
𝟓⁄ ) 𝟑
𝟒(𝟓 + 𝟑
𝟓⁄ )
𝟗
−
𝟏
𝟓 𝟐 −
𝟐
𝟓
𝟓
+ 𝟕
}
Por linealidad
𝑓( 𝑡) = 𝐿−1
{
25
58
2
−
√2
58
+
√2
4(5 + 3
5⁄ )
9 +
2(8 + 1
5⁄ )
3
4(5 + 3
5⁄ )
9 −
1
52 −
2
5
5
+ 7
}
= 2𝐿−1
{
1
56
} − √2 𝐿−1
{
1
58
} +
√2
4
𝐿−1
{
1
(5 + 3
5⁄ )
9} +
2
4
𝐿−1
{
(5 + 3
5⁄ −
3
5
+
1
5
)
3
(5 + 3
5⁄ )
9 }
−𝐿−1
{
1
52 − 2
5⁄
5
+ 7
}
Por tablas
𝐿−1
{
1
56
} = 𝐿−1
{
1
15+1
} =
𝑡5
5!
; 𝐿−1
{
1
(1 + 3
5⁄ )
9} = 𝑒−3
5⁄ 𝑡
.
𝑡8
8!
𝑳−𝟏
{ 𝟏
𝟓⁄ 𝟖} =
𝒕 𝟕
𝟕!⁄
𝟕
= 𝒕 𝟕
𝟕!⁄

5. 𝟕
𝟐
𝟒
𝑳−𝟏
{
(𝟓 + 𝟑
𝟓⁄ −
𝟐
𝟓
)
𝟑
(𝟓 + 𝟑
𝟓⁄ )
𝟗
}
=
1
2
𝐿−1
{
(5 + 3
5⁄ )
3
− 3(5 + 3
5⁄ )
2
. 2
5⁄ + 3(5 + 3
5⁄ )(2
5⁄ )
2
− (2
5⁄ )
3
(5+ 3
5⁄ )
9 }
=
1
2
𝐿−1
{
(5+ 3
5⁄ )
3
(5 + 3
5⁄ )
9 } −
3
5
𝐿−1
{
(5 + 3
5)⁄
2
(5 + 3
5⁄ )
9} +
3
2
.
4
25
𝐿−1
{
5 + 3
5⁄
(5+ 3
5⁄ )
9}
−
1
2
.
8
125
𝐿−1
{
1
(5 + 3
5⁄ )
9}
=
1
2
𝐿−1
{
1
(5 + 3
5⁄ )
6} −
3
5
𝐿−1
{
1
(5 + 3
5⁄ )
7} +
6
25
𝐿−1
{
1
(5 + 3
5⁄ )
8 }
−
4
125
𝐿−1
{
1
(5 + 3
5⁄ )
9} =
1
2
.
𝑡5
5!
𝑒
−3
5𝑡⁄
−
3
5
.
𝑡6
6!
𝑒
−3
5𝑡⁄
+
6
25
.
𝑡7
7!
𝑒
−3
5𝑡⁄
−
4
125
.
𝑡8
8!
𝑒
−3
5𝑡⁄
𝐿1
{
1
52 −
2
5
5 + 7
} = 𝐿1
{
1
52 −
2
5
5 +
1
25
−
1
25
+ 7
} ; 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
𝐿1
{
1
(5 +
1
5)
2
+
174
25
} = 𝐿1
{
1
(5 +
1
5
)
2
+
√174
5
}
=
𝑒
1
5⁄ 𝑡
. 𝑠𝑒𝑛
√174
5
𝑡
√174
5
=
5
√174
𝑒
1
5⁄ 𝑡
. 𝑠𝑒𝑛
√174
5
𝑡

6. 𝑨𝒔í 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆
𝑓( 𝑡) = 2
𝑡5
5!
− √2
𝑡7
7!
+
√2
4
. 𝑒
3
5𝑡⁄
.
𝑡8
8!
+ 𝑒
3
5𝑡⁄
[
𝑡5
2(5!)
−
3𝑡6
5(6!)
+
6𝑡7
25(7!)
−
4𝑡8
125(8!)
]
−𝟓
√ 𝟏𝟕𝟒
𝒆
𝟏
𝟓𝒕⁄
. 𝒔𝒆𝒏
√ 𝟏𝟕𝟒
𝟓
𝒕
4) Utilizar el teorema de Convolución y determine:
𝑳−𝟏
{
√ 𝟑
𝟓 𝟐( 𝟓 + 𝟗)
}
= √3 𝐿−1
{
1
52
} ∗ 𝐿−1
{
1
5 + 9
}
= √3. 𝑡 ∗ 𝑒−9𝑡
𝑷𝒖𝒆𝒔,
𝑳−𝟏{ 𝒇( 𝟓) 𝟔( 𝟏)}
= 𝒇( 𝒕) ∗ 𝒈( 𝒕)
Donde…
𝒇( 𝒕) ∗ 𝒈( 𝒕) 𝟔
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑡 − 𝑥)𝑑𝑥
𝑡
𝑜
= ∫ 𝑓(𝑡 − 𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑡
𝑜
𝑪𝒐𝒏
𝒇( 𝒕) = 𝒕
𝒈( 𝒕) = 𝒆−𝟗𝒕
𝑳−𝟏
{
√ 𝟑
𝟓 𝟐( 𝟓 + 𝟗)
} = √3∫ 𝑥 𝑒−9(𝑡𝑥)
𝑑𝑥
𝑡
𝑜
= √3∫ 𝑥 𝑒−9𝑡9
𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝑡
𝑜
= √3 𝑒−9𝑡
∫ 𝑥 𝑒9𝑥
𝑑𝑥
𝑡
𝑜

7. = √3 𝑒−9𝑡
[
𝑥𝑒9𝑥
9
−
𝑒9𝑥
81
]
𝑡
𝑜
(𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠)
= √3 𝑒−9𝑡
[
𝑡𝑒9𝑡
9
−
𝑒9𝑡
81
− 0 +
𝑒0
81
]
= √3 𝑒−9𝑡
(
𝑡𝑒9𝑡
9
−
𝑒9𝑡
81
+
1
81
)
=
√ 𝟑
𝟗
𝒕 −
√ 𝟑
𝟖𝟏
+
√ 𝟑
𝟖𝟏
𝒆−𝟗𝒕
5) Resuelveutilizando descomposición en fracciones parciales:
𝑳−𝟏
{
𝑺 + 𝟏
( 𝑺 + 𝟏)(𝑺 + 𝟐)(𝑺 + 𝟓)
}
𝑷𝒐𝒓 𝒇𝒓𝒂𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆𝒔,
𝑺 + 𝟏
( 𝑺 + 𝟏)( 𝑺 + 𝟐)( 𝑺 + 𝟓)
=
𝑨
𝑺 − 𝟏
+
𝑩
𝑺 + 𝟐
+
𝑪
𝑺 − 𝟓
Donde,
𝑆 + 1 = 𝐴( 𝑆 + 2)( 𝑆 − 5)
+𝐵( 𝑆 − 1)( 𝑆 − 5)
+𝐶( 𝑆 − 1)( 𝑆 + 2)
𝑪𝒐𝒏 𝑺 = −𝟐
−2 + 1 = 𝐴(0)+ 𝐵(−3)(−7) + 𝐶(0)
=> −1 = 21𝐵 => 𝑩 = −𝟏
𝟐𝟏⁄
𝑪𝒐𝒏 𝑺 = 𝟓
5 + 1 = 𝐴(0)+ 𝐵(0)+ 𝐶(4)(7)
𝐴6 = 2𝐵𝐶 => 𝑪 =
𝟔
𝟐𝟖
=
𝟑
𝟏𝟒
𝑪𝒐𝒏 𝑺 = 𝟏

8. 1 + 1 = 𝐴(3)(−4)+ 𝐵(0) + 𝐶(0)
𝐴2 = −12𝐴 => 𝐴 =
−2
12
= −
𝟏
𝟔
𝑨𝒔í …
𝑳−𝟏
{
𝑺 + 𝟏
( 𝑺 + 𝟏)(𝑺 + 𝟐)(𝑺 + 𝟓)
}
= 𝐿−1
{
−1
6⁄
𝑆 − 1
−
1 21⁄
𝑆 + 2
+
3 14⁄
𝑆 + 5
}
+
3
14
𝐿−1
{
1
𝑆 + 5
} ; 𝑺𝒆𝒑𝒂𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅
=
−𝟏
𝟔
𝒆 𝒕
−
𝟏
𝟐𝟏
𝒆−𝟐𝒕
+
𝟑
𝟏𝟒
𝒆−𝟓𝒕
(𝒑𝒐𝒓 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂𝒔)
6) Determinala serie de Fourier para una función pary una impar (escoge tú
mismo losdos ejercicios numéricos)
𝒇( 𝒕) = 𝒕 𝟐
; −𝟏 < 𝑡 < 1
𝑓(−𝑡) = (−𝑡)2
= 𝑡2
; −1 < −𝑡 < 1
1 > 𝑡 > −1
=> 𝑓(−𝑡) = 𝑡2
; −1 < 𝑡 < 1; (𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓)
= 𝑓( 𝑡); 𝑳 = 𝟏
𝑨𝒔í …
𝐴0 =
2
𝐿
∫ 𝑓( 𝑡) 𝑑𝑡
𝐿
0
=
𝟐
𝟏
∫ 𝒕 𝟐
. 𝒅𝒕
𝟏
𝟎

9. 𝐴𝑛 =
2
𝐿
∫ 𝑓( 𝑡) cos
𝑛𝜋
𝐿
𝑡. 𝑑𝑡
𝐿
0
=
2
1
∫ 𝑡2
.
1
0
cos
𝑛𝜋
1
𝑡. 𝑑𝑡
2[
𝑡2
𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋 𝑡
𝑛𝜋
]
0
𝑡
− ∫
𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋 𝑡
𝑛𝜋
2𝑡 𝑑𝑡 − 2[
12
𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋 𝑡
𝑛𝜋
]
𝑡
0
− 𝑠𝑒𝑛0
− (
2
𝑛𝜋
[
−𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋 𝑡
𝑛𝜋
. 𝑡 +
𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋 𝑡
𝑛2 𝜋2
)
𝑜
𝑡
= 2 [
𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋
𝑛𝜋
+
2𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋 𝑡
𝑛2 𝜋2
−
2𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋
𝑛3 𝜋3
]
=
4𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋
𝑛2 𝜋2
=
4(−1) 𝑛
𝑛2 𝜋2
𝑨𝒔í …
𝒇( 𝒕) =
𝑨 𝟎
𝟐
+ ∫ 𝑨 𝒏
∞
𝒏=𝟏
𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋 𝑡
𝐿
=
𝟐
𝟑⁄
𝟐
+ ∫
4(−1) 𝑛
𝑛2 𝜋2
∞
𝒏=𝟏
. 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋 𝑡
=
𝟏
𝟑
+ ∫
4(−1) 𝑛
𝑛2 𝜋2
∞
𝒏=𝟏
. 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋 𝑡
𝑓( 𝑡) = {
2
−2
− 1 < 𝑡 < 0
0 < 𝑡 < 1
=> 𝑓( 𝑡) = {
2
−2
− 1 < −𝑡 < 0
0 < −𝑡 < 1
= {
2
−2
1 > 𝑡 > 0
0 > 𝑡 > 1
𝑓( 𝑡) = −𝑃( 𝑡), 𝑬𝑺 𝑰𝑴𝑷𝑨𝑹, 𝑎𝑠í 𝐴0 = 0 𝑦 𝐴 𝑛 = 0;
𝑏 𝑛 =
2
𝐿
∫ 𝑓(𝑡)
𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋
𝐿
𝑑𝑡
𝑡
0

10. => 𝑏 𝑛 =
2
1
[∫ −2.
𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋𝑡
1
𝑑𝑡
1
0
]
=
𝟒
𝒏𝝅
𝒄𝒐𝒔𝒏𝝅 𝒕⃒
𝟏
𝟎
=
4
𝑛𝜋
[ 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋 − 𝑐𝑜𝑠0] =
4
𝑛𝜋
[ 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋 − 1] =
4
𝑛𝜋
[(−1) 𝑛
− 1]
𝑨𝒔í …
𝒇( 𝒕) = ∫ 𝒃 𝒏
𝒔𝒆𝒏𝒏𝝅𝒕
𝒕
=
∞
𝒏=𝟏
∫ =
∞
𝒏=𝟏
𝟒
𝒏𝝅
[(−𝟏) 𝒏
− 𝟏] 𝒔𝒆𝒏𝝅 𝒕