taller #1 UNIVERSIDAD EL MAGDALENA

1. FACULTAD DE INGENIERÍA
CÁLCULO INTEGRAL
TALLER N°1 (II- S - 2014 )
I. Determine la diferencial de las funciones dadas.
1) y x 3 
x Solución:
푑푦
= 3푥2 + 1
푑푥
2) 푢 = 푙푛(푥 + √1 + 푥2)
Solución:
푑푦
푑푥
=
1 +
2푥
2√1 + 푥2
푥 + √1 + 푥2
푑푦
푑푥
=
√1 + 푥2 + 푥
√1 + 푥2
1 + √1 + 푥2
풅풚
풅풙
=
ퟏ
√ퟏ + 풙ퟐ
+ 푪
3) 푧 = 푎푟푐푡푎푛(푥 − 2)
Solución:− (
푑푦
푑푥
(tan−1(2 − 푥)))
푢 = (2 − 푥), 푎푛푑
푑
푑푢
= (tan−1(푢)) =
1
1 + 푢2 = −
푑
푑푥
(2 − 푥)
1 + (2 − 푥)2

2. =
푑
푑푥
(2) −
푑
푑푥
(푥)
1 + (2 − 푥)2 =
푑
푑푥
(푥) + 0
1 + (2 − 푥)2 =
푑
푑푥
(푥)
1 + (2 − 푥)2 =
ퟏ
ퟏ + (ퟐ − 풙)ퟐ + 푪
4) 푡 =
1
3
3
2
푠푒푛 (
휋푥)
Solución:
=
1
3
(
푑
푑푥
(푠푖푛 (
3휋푥
2
)))
푢 =
3휋푥
2
; 푎푛푑
푑
푑푢
(sin(푢) = cos(푢))
=
1
3
3휋푥
2
푐표푠 (
)
3
2
(
푑
푑푥
(푥)) =
1
2
휋 cos (
3휋푥
2
푑
푑푥
) (
(푥)) =
ퟏ
ퟐ
흅 퐜퐨퐬 (
ퟑ흅풙
ퟐ
) + 푪
5) 푤 = 푥푒2푥
Solución:
푥(푒2푥 )′ + 푒2푥 (푥)′ = ퟐ풙 풆ퟐ풙 + 풆ퟐ풙 + 푪
d
f ( x )  x
2 3
 II. Suponga que  
dx
d
y  3
  Halle :
g x x
( ) 2 5
dx
Solución:
(푥) =
푑
푑푥
(√푥2 − 3)
푔(푥) = (2푥 + 5)3
a) ∫ 푓(푥)푑푥 = ∫
푑
푑푥
(√푥2 − 3) 푑푥
∫ 푓(푥)푑푥 = √푥2 − 3 + 푐

3. b) ∫[−푔(푥)]푑푥 = ∫ −
푑
푑푥
(2푥 + 5)3푑푥
∫[−푔(푥)]푑푥 = − (2푥 + 5)3 + 푐
c) ∫[3푓(푥) − 5]푑푥 = ∫ 3
푑
푑푥
(√푥2 − 3) − 5 푑푥
∫[3푓(푥) − 5]푑푥 = 3 (√푥2 − 3) − 5푥 + 푐
III. Si F es una Antiderivada de la función f , entonces   C x F dx x f    ) (
donde ) ( ) ( x f x F y C una constante real arbitraria. Con la información
anterior verifique que las expresiones del miembro derecho de cada
igualdad es una Antiderivada.
1) ∫ 푒2푥푐표푠푥푑푥 =
푒2푥푠푒푛푥+2푒2푥푐표푠푥
5
+ 퐶
= e 2x = u → 2e2x dx = du
cos 푥 dx = dv → sin 푥 = v
∫ 푢푑푣 = uv − ∫ 푣푑푢
∫ e 2x cos 푥 푑푥 = e 2x sin 푥 − ∫ sin 푥 [ 2e 2x]dx
∫ e2x cos 푥 푑푥 = e2x sin 푥 + 2 ∫ e2x sin 푥 푑푥
e2x = u:
e2x = u → 2e2xdx = du
sin 푥 푑푥 = dv → − cos 푥 = v
∫ 푢 푑푣 = uv − ∫ 푣 푑푢
∫ e2x cos 푥 푑푥 = e2x sin 푥 + 2 {e2x (− cos 푥) − ∫(− cosx) [2e2x] dx}
∫ e2x cos 푥 푑푥 = e2x sin 푥 + 2 { e2x cos 푥 − 2 ∫ e2x cos 푥 푑푥 }
∫ e2x cos 푥 푑푥 = e2x sin 푥 + 2e2x cos 푥 − 4 ∫ e2x cos 푥 푑푥

4. ∫ e2x cos 푥 푑푥 + 4 ∫ e2x cos 푥 푑푥 = e2x sin 푥 + 2e2x cos 푥 + C
5 ∫ e2x cos 푥 푑푥 = e2x sin 푥 + 2e2x cos 푥 + C
∫ e2x cos 푥푑푥 =
1
5
[e2x sin 푥 + 2e2x cos 푥] + C
= ∫ 퐞ퟐ퐱 퐜퐨퐬 풙 풅풙 =
ퟏ
ퟓ
퐞ퟐ퐱 (퐬퐢퐧 풙 + ퟐ 퐜퐨퐬 풙) + 퐂
2) x tg x C
 dx   2 cot  
3 5
sen x x
3
2
3
cos
Solución:
∫
푑푥
√sin3 푥 cos3 푥
cos3x = cos2 푥 × cos 푥 ; luego: como cos2 푥 = 1 − sin2 푥
∫ sin3 푥 cos 푥 cos2 푥 푑푥 = ∫ sin3 푥 cos 푥 (1 − sen2x)dx
푢 = sin 푥
푑푢 = cos 푥 푑푥
푑푥 =
푑푢
cos 푥
푄푢푒푑푎:
∫ u3 cos 푥 (1 − u2)
푑푢
cos 푥
=
∫ u3 (1 − u2)du = ∫ u3 − u5 du
∫ u3 du − ∫ u5 du =
u4
4
−
t6
6
=
퐬퐢퐧ퟒ 풙
ퟒ
−
퐬퐢퐧ퟔ 풙
ퟔ
3) ∫ 푥2푎푟푐푠푒푛푥푑푥 =
1
3
푥3푎푟푐푠푒푛푥 −
1
9
(푥2 + 2)√1 − 푥2 + 푐
Solución:

5. ∫ Sen−1(u)du = u Sin−1(u) + √1 − u2 + C(1)
∫ ∫xSen−1(x2)dx
푢 = 푥2; 푑푢 = 2푥 푑푥 → 푥푑푥 =
푑푢
2
du
2
∫ sin−1 푢 (
)
1
2
∫ sin1 푢 푑푢
1
2
(푥2 푠푖푛−1 푥2) + √(1 − x4) + 퐶
ퟏ
ퟐ
(퐱ퟐ 퐬퐢퐧−ퟏ 풙ퟐ) +
ퟏ
ퟐ
√ퟏ − 퐱ퟒ + 퐂
5)
2 g ( x ) f  ( x )  f ( x ) g 
( x )
  
 
f x
( )
dx C
g x
g x
( )
2 ( )
3/ 2
Solución:

6. IV. Calcule las siguientes integrales indefinidas
1) 8x 2x 7x 5dx 3 2    
Solución:
∫(8푥3 − 2푥2 + 7푥 − 5)푑푥
8 ∫ 푥3푑푥 − 2 ∫ 푥2푑푥 + 7 ∫ 푥 푑푥 − 5 ∫ 푑푥
2푥4 −
2푥3
3
+
7푥2
2
− 5푥 + 퐶
2)
 2
3 2
x x
3
x
dx


Solución:
∫
(푥3 − 푥2)2
√푥 3 푑푥
∫
(푥6 − 2푥5 + 푥4)
√푥 3
∫(푥6 − 2푥5 + 푥4) × (푥)
2
3푑푥
∫ 푥6 × (푥)
2
3푑푥 − ∫ 2푥5 × (푥)
2
3푑푥 + ∫ 푥4 × (푥)
2
3푑푥
∫ 푥
20
3 푑푥 − 2 ∫ 푥
17
3 푑푥 + ∫ 푥
14
3 푑푥
23
3
23
3푥
−
20
3
20
3푥
+
17
3
17
3푥
+ 퐶 =
3)  cos  2 t

dt T
0

7. Solución:
∫ cos (
2휆푡
푇
+ 휑0)
푢 =
2휆푡
푇
; 푑푢 =
2휆 푑푡
푇
푇푑푢
2휆
= 푑푡
∫ cos 푢
푇푑푢
2휆
→
푇
2휆
∫ cos 푢 푑푢
→
푇
2휆
sin 푢 + 퐶
푇
2휆
2휆푡
푇
sin (
+ 휑0) + 퐶
senx x 2 tan
4)  e dx
x
3 cos
(Sugerencia: hacer 푢 = 푡푎푛2푥 )
Solución:
∫
sin 푥
cos3 푥
푒tan2 푥푑푥
∫
sin 푥
cos 푥
×
1
cos2 푥
푒tan2 푥푑푥
∫ tan 푥 sec2 푥 푒(tan2 푥)푑푥
푢 = tan2 푥 ; 푑푢 = 2 tan 푥 푑푥 →
푑푢
2
= tan 푥 sec2 푥 푑푥
∫
푒푢푑푢
2
=
1
2
∫ 푒푢푑푢 =
1
2
푒푢 + 퐶
1
2
푒tan2 푥 + 퐶

8. 5)  
 dx
(Sugerencia:
e x x x
arctan 2
  
ln 1 1

x
2
1
푎+푏+푐
푑
=
푎
푑
+
푏
푑
+
푐
푑
)
Solución:
∫
푒arctan 푥 + 푥 ln(1 + 푥2) + 1
1 + 푥2 푑푥
∫
푒arctan 푥
1 + 푥2 + ∫
ln(1 + 푥2)
1 + 푥2 + ∫
1
1 + 푥2
푝푎푟푎 (1)
∫
푒arctan 푥
1 + 푥2 푑푥 → 푢 = arctan 푥 → 푑푢 =
푑푥
1 + 푥2
∫ 푒푢푑푢 = 풆풖 + 푪 = 풆arctan 풙 + 푪
푝푎푟푎 (2)
∫
ln(1 + 푥2)
1 + 푥2 푑푥 → 푢 = 1 + 푥2; 푑푢 = 2푥 푑푥 →
푑푢
2
= 푥푑푥
∫
ln 푢
푢
.
푑푢
2
=
1
2
∫
ln 푢
푢
푑푢 → 푧 = ln 푢 ; 푑푧 =
푑푢
푢
1
2
∫ 푧 푑푧 =
1
2
∗
푧2
2
+ 퐶 →
1
4
(ln 푢)2 + 퐶 → =
1
4
(ln 1 + 푥2)2
푝푎푟푎 (3)
∫
푑푥
1 + 푥2 = arctan 푥 + 퐶
푈푛푖푒푛푑표 푙푎푠 푡푟푒푠 푖푛푡푒푔푟푎푙푒푠 푟푒푠푢푒푙푡푎푠 (1), (2) 푦 (3)
[풆풂풓풄풕풂풏 풙 + 푪] + [
1
4
(ln 1 + 푥2)2 + 퐶] + [arctan 푥 + 퐶]

9. = 푒arctan 푥 +
1
4
(ln 1 + 푥2)2 + arctan 푥 + 퐶
7)
arcsen x
  dx
  1
x x
(Sugerencia: hacer 푢 = 푎푟푐푠푒푛√푥 )
Solución:
∫
arcsin √푥
√푥(1 − 푥)
푑푥
푢 = arcsin √푥 ; 푑푢 =
1
2√푥
√1 − 푥
→ 푑푢 =
2
√푥√1 − 푥
→
푑푢
2
=
푑푥
√푥(1 − 푥)
∫
풖 풅풖
ퟐ
→
1
2
∫ 푢 푑푢 →
1
4
푢2 + 퐶 =
1
4
(arcsin √푥)
2
+ 퐶
 
  
x x
ln 1
 (Sugerencia: hacer 푢 = 푙푛(푥 + √1 + 푥2))
8) dx
x
2
2
1




Solución:
∫ √
ln(푥 + √1 + 푥2)
1 + 푥2
∫
√ln(푥 + √1 + 푥2)
√1 + 푥2
푢 = ln (푥 + √1 + 푥2) ; 푑푢 =
1 +
2푥
2√1 + 푥2
푥 + √1 + 푥2
푑푥
→ 푑푢 =
√1 + 푥2 + 푥
√1 + 푥2
푥 + √1 + 푥2
푑푥 → 푑푢 =
1
√1 + 푥2
∫ √푢 푑푢 → ∫ 푢
1
2 푑푢 =
2
3
푢
3
2 + 퐶
=
2
3
(ln(푥 + √1 + 푥2))
3
2 + 퐶

10. 1 n
9)   

dx nx n
Solución:
∫ 푥푛
1−푛
푛 푑푥 → ∫ 푛
1−푛
푛 × 푥
1−푛
푛 푑푥 → 푛
1−푛
푛 ∫ 푥
1−푛
푛 푑푥
푛
1−푛
푛 × 푥푛
1−푛
푛 + 퐶 → 푛
1
푛 × 푥
1
푛 + 퐶 = (푥푛)
1
푛 + 퐶
V. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales en variables separables
con la condición inicial indicada:
1) 14 x y xy ; 푦 = 2 푐푢푎푛푑표 푥 = 1 R/
2
x x y
2 ln 4 2
2) y y senxe2   ; y( / 2) 1 R/
2cos 0 2 2      y x e e
3)  2 1  0  xdy x e dx y ; 2 ) 1(  y R/
ln2 ln 2 2 y  x  x  e 
Solución:
a) 풙풚풚′ = ퟒ풙 + ퟏ
푥푦
푑푦
푑푥
= 4푥 + 1
푦
푑푦
푑푥
=
4푥 + 1
푥
∫ 푦푑푦 = ∫
4푥 + 1
푥
푑푥
푦2
2
= 4푥 + ln(푥) + 푐
42
2
= 4(1) + ln(1) + 푐

11. 2 = 4 + 푐
푐 = −2
4푥 + ln(푥) +
푦2
2
= 2
b) 풚′ = 퐞ퟐ퐲퐬퐢퐧 풙
푑푦
푑푥
= e2ysin 푥
∫
푑푦
e2y = ∫ sin 푥 푑푥
−2푒−2푦 = − cos 푥 + 푐
−
2
푒2푦 = − cos 푥 + 푐
2
푒2(1) = cos
휋
2
+ 푐
2
푒2 = cos
휋
2
+ 푐
푐 = 푒−2
푒−2푦 +2cos 푥 + 푒−2푥 = 푐
c) 풙풅풚 − (ퟐ풙 + ퟏ)풆−풚풅풙 = ퟎ
(2푥 + 1)푒−푦푑푥 = 푥푑푦
∫
(2푥 + 1)
푥
푑푥 = ∫ 푒푦푑푦
2푥 + ln(푥) + 푐 = 푒푦
ln (2푥 + ln(푥) + 푐) = 푦
ln (2(1) + ln(1) + 푐) = 2
푐 = −2

12. (2푥 + ln(푥) − 2) = 푦
1 t
es una solución de  2
1  VI. Demuestre que y ce
t
ce
 
1

 1 y  dt
2
dy
X. Calcule las siguientes integrales utilizando la integración por partes
1) dxe x 3 x / 3

Solución:
∫ 푥3푒−
푥
3 푑푥
푥3 − − − (+) − − − − (푒−
푥
3)
3푥2 − − − (−) − − − (−3 푒−
푥
3)
6푥 − − − −(+) − − − − (9 푒−
푥
3)
6 − − − −(−) − − (−27푒−
푥
3)
0 − − − −(+) − − (81 푒−
푥
3)
∫ 푥3푒−
푥
3 푑푥 = (−푥33푒−
푥
3) − (3푥29푒−
푥
3) − (6푥 27푒−
푥
3) − (6 ∗ 27푒−
푥
3) − (3 ∗ 81푒−
푥
3)
푒−
푥
3[(−3푥3) − (3푥2 ∗ 9) − (6푥 ∗ 27) − (6 ∗ 27) − (81)]
∫ 푥3푒−
푥
3 푑푥 = −3푒 −
푥
3 [푥3 + 9푥2 + 54푥 + 162] =
2) arcsen t
dt
  1
t
Solución:

13. 3) ∫ 푒4푥푠푒푛5푥푑푥
Solución:
∫ 푒4푥 sin 5푥 푑푥 :
푢 = sin 5푥 → 푑푢 = 5 cos 5푥 푑푥; 푑푣 = 푒4푥 → 푣 =
푒4푥
4
1
4
푒4푥 sin 5푥 −
5
4
∫ 푒4푥 cos 5푥 푑푥
∫ 푒4푥 sin 5푥 푑푥 =
1
4
푒4푥 sin 5푥 −
5
4
∫ 푒4푥 cos 5푥 푑푥
푧 = cos 5푥 → 푑푧 = −5 sin 5푥 ; 푑푡 = 푒4푥푑푥 → 푡 =
푒4푥
4
∫ 푒4푥 sin 5푥 푑푥 =
1
4
푒4푥 sin 5푥 −
5
16
[푒4푥 cos 5푥] −
25
16
∫ 푒4푥 sin 5푥 푑푥
∫ 푒4푥 sin 5푥 푑푥 −
25
16
∫ 푒4푥 sin 5푥 푑푥 =
1
4
푒4푥 sin 5푥 −
5
16
(푒4푥 cos 5푥)
41
16
∫ 푒4푥 sin 5푥 푑푥 =
1
4
푒4푥 sin 5푥 −
5
16
(푒4푥 cos 5푥)
∫ 푒4푥 sin 5푥 푑푥 =
16
41
[
1
4
푒4푥 sin 5푥 −
5
16
(푒4푥 cos 5푥)]
∫ 푒4푥 sin 5푥 푑푥 =
1
41
푒4푥 [4 sin 5푥 − 5(cos 5푥)] + 퐶
2 1 ln
4)  x  x
dx 1

x
Solución:

14. ∫ 푥2 log
1 − 푥
1 + 푥
푑푥
푢 = log (
1 − 푥
푥 + 1
) → 푑푢 =
2
푥2 − 1
; 푑푣 = 푥2푑푥 → 푣 =
푥3
3
푢 = 푥 + 1 → 푑푢 = 푑푥
푠 = 푥 + 1 → 푑푠 = 푑푥

15. = −
log 푠
3
+
푥3
3
log (
1 − 푥
푥 + 1
) −
푥2
3
−
1
3
log(푥 − 1) + 퐶
=
1
3
[푥3 log (
1 − 푥
푥 + 1
) − 푥2 − log(푥 − 1)] + 퐶
=
1
3
[2푥3 arctan 푥 − 푥2 − log(푥2 − 1)] + 퐶
=
1
3
[푥3 log (
1 − 3
푥 + 1
) − 푥2 − log(1 − 푥) − log(푥 + 1)] + 퐶 =
6) ∫ 푎푟푐푡푎푛√푥푑푥
Solución:
∫ arctan √푥 푑푥
푢 = √푥 → 푑푢 =
1
2√푥
푑푥
2 ∫ 푢 arctan(푢) 푑푢
푧 = arctan(푢) → 푑푧 =
1
푢2 + 1
푑푢; 푑푡 = 푢 푑푢 → 푡 =
푢2
2
푢2 arctan(푢) − 2 ∫
푢2
2(푢2 + 1)
푑푢
푢2 arctan(푢) − ∫
푢2
(푢2 + 1)
푑푢
푢2 arctan(푢) − ∫ (1 −
1
푢2 + 1
) 푑푢

16. 푢2 arctan(푢) − ∫ (
1
푢2 + 1
) 푑푢 − ∫ 푑푢
푢2 arctan(푢) + arctan 푢 − 푢 + 퐶
푥 arctan(√푥) + arctan √푥 − √푥 + 퐶 =
XI. Utilice la integración por partes y deduzca las siguientes fórmulas,
1) x r  r q x q dx x  x  x r  x q
1
dx  1 
, r y q son números reales y
ln ln ln
    r
 
q
r
1 1
. 1  r
2) xdx x enx xdx n
 cosn  1 cos n  1 s  n
 1  cos 
2 , n es un entero positivo mayor o
n
n
igual que 1
(Sugerencia: Reescriba el integrando como 푐표푠푛푥 = 푐표푠푛−1푥푐표푠푥 )
Solución:
ퟏ. ∫ 퐜퐨퐬풏 풙풅풙
∫ cos x (cosn−2x) dx ; 푐표푠푥푑푥 = 푑(sin 푥)
∫(cosn−1x)푑(sin 푥) ; 푢 = cos푛−1 푥 ; 푑푣 = 푑(sin 푥)
∫ cos푛 푥푑푥 = cosn−1x sin 푥 − (n − 1) ∫ cosn−2x(sinx)sinx dx
∫ cos푛 푥푑푥 = cosn−1x sin 푥 + (n − 1) ∫ cosn−2x (1 − cos2 푥) dx
∫ cos푛 푥푑푥 = cosn−1x sin 푥 − (n − 1) ∫ cosn−2xdx − (n − 1) ∫ cos푛 푥푑푥

17. (n − 1) ∫ cos푛 푥푑푥 + ∫ cos푛 푥푑푥 = cosn−1x sin 푥 − (n − 1) ∫ cosn−2xdx
푛 ∫ cos푛 푥푑푥 = cosn−1x sin 푥 − (n − 1) ∫ cosn−2xdx
∫ cos푛 푥푑푥 =
1
n
cos
n−1
x sin 푥 −
n − 1
n
∫ cosn−2xdx
2. ∫ 풙풓 퐥퐧풒 풙 풅풙
푢 = (푙푛 푥)푞 ; 푑푣 = 푥푟푑푥
푑푢 =
푞푙푛푞−1(푥)
푥
; 푣 =
푥푟+1
푟 + 1
∫ 푥푟 ln푞 푥 푑푥 =
(푙푛 푥)푞푥푟+1
푟+1
−
푞
푚+1
∫ 푥푟+1 푙푛푞−1(푥)
푥
푑푥