test

1. ‫ חל איסור חוקי להעתיק‬, ‫ לשכפל‬, ‫ לשדר ו‬/ ‫ או לקלוט קבצים אלו בכל אמצעי אלקטרוני‬
‫ ללא אישור בכתב מאתר‬melumad.co.il
‫ שא‬‫ לה‬1 ‫ מתוך‬‫ קיץ‬2016 ) ‫ שאלון‬807 ‫ בגרות במתמטיקה‬5 ‫ יחידות‬(
‫ נתון טרפז‬ABCD( ) AB DC P .
‫ המשכי השוקיים‬BC ‫ ו‬­ AD ‫ נפגשים בראשית הצירים‬.
‫ השוק‬BC ‫ מונחת על החלק החיובי של ציר ה‬­ x .
‫ הקדקודים‬A ‫ ו‬­ D ‫ נמצאים ברביע השלישי‬.
‫ הבסיס‬AB ‫ מונח על הישר‬3 4 15 0 x y- - =.
‫ גובה הטרפז הוא‬6 .
‫ היעזר בסרטוט סקיצה של הטרפז במערכת צירים‬, ‫ וענה על סעיפים א ו‬­ ‫ ב‬.
‫ א‬. ‫ מצא את משוואת הבסיס‬DC .
‫ נתון כי הקדקודים‬A ‫ ו‬­ C ‫ נמצאים על מעגל שמרכזו בקדקוד‬B .
‫ ב‬. ) 1 ( ‫ מצא את רדיוס המעגל‬.
) 2 ( ‫ מצא את השיעורים של הקדקוד‬D .
‫ פתרון‬: ‫ א‬. 3 4 45 0 x y- + + =‫ ב‬) 1 .( 10 R =‫ ב‬) 2 .(( ) 9, 18 D - -
‫ פ‬‫ תרון מלא‬:
‫ סעיף א‬'
‫ נצייר סקיצה של‬‫ הנתונים‬‫ במערכת צירים‬
x
y
A
B
D
C
:3 4 15 0 AB x y- - =
‫ השוק‬BC ‫ מונחת על החלק‬
‫ החיובי של ציר ה‬­ x
‫ הקדקודים‬A ‫ ו‬­ D
‫ נמצאים ברביע השלישי‬.
‫ המשכי השוקיים‬BC ‫ ו‬­ AD
‫ נפגשים בראשית הצירים‬
‫ גובה הטרפז‬
‫ הוא‬6
6

2. ‫ חל איסור חוקי להעתיק‬, ‫ לשכפל‬, ‫ לשדר ו‬/ ‫ או לקלוט קבצים אלו בכל אמצעי אלקטרוני‬
‫ ללא אישור בכתב מאתר‬melumad.co.il
‫ נמצא את משוואת הישר‬CD
‫ נתו‬‫ ן‬‫ כי‬AB ‫ ו‬­ CD ‫ מקבילים זה לזה ולכן‬:
1 1 1
2 2 2
A B C
A B C
= ¹
{ { { { {
1 2 1 1 2
2 : 3 4 15 0 : 3 4 0
B B A C A
AB x y DC x y C- - = ® - - =
‫ נמצא את‬2 C :
‫ מצד אחד נתון‬:
‫ גובה הטרפז הוא‬6 ,
‫ כלומר‬­ ‫ המרחק בין הישר‬AB ‫ לישר‬CD ‫ הוא‬6 .
6 d =
‫ מצד שני נחשב‬:
‫ נחשב את‬‫ המרחק בין הישרים המקבילים‬AB ‫ ו‬­ CD

3. ‫ חל איסור חוקי להעתיק‬, ‫ לשכפל‬, ‫ לשדר ו‬/ ‫ או לקלוט קבצים אלו בכל אמצעי אלקטרוני‬
‫ ללא אישור בכתב מאתר‬melumad.co.il
1 . ‫ נבחר נקודה על הישר‬:
{
( )
1
1 : 3 4 15 0 3 4 15 0 4 12
3 1, 3
x AB x y y y
y
= ® - - = ® - - = ® - =
® = - ® -
2 . ‫ נכריע האם הנקודה נמצאת מעל‬/ ‫ מתחת לישר‬
‫ לשם כך נעלה אנך מציר ה‬­ x , ‫שיעבור דרך הנקודה‬( ) 1, 3-‫ ויגיע אל היש‬‫ ר‬DC
‫ נשים לב ששיעור ה‬­ y ‫ שך הנקודה גבוה משיעור ה‬­ y ‫ של הישר‬.
) ‫ עבור אותו אנך שהעלנו‬.(
‫ ולכן‬, ‫הנקודה‬( ) 1, 3-‫ נמצאת מעל לישר‬2 : 3 4 0 DC x y C- - =
‫ כלומר‬, ‫ האפשרות ה‬­ 1 ‫ שבתזכורת מתאימה‬
3 . ‫ נדאג ל‬­ B ‫ חיובי‬
{ { { { { { 2 2 : 3 4 0 3 4 0
B B A A C C
DC x y C x y C- - = ® - + + =
( ) 1, 3-
2 : 3 4 0 DC x y C- - =
x
y
A
B
D
C
:3 4 15 0 AB x y- - = 6
·
·

4. ‫ חל איסור חוקי להעתיק‬, ‫ לשכפל‬, ‫ לשדר ו‬/ ‫ או לקלוט קבצים אלו בכל אמצעי אלקטרוני‬
‫ ללא אישור בכתב מאתר‬melumad.co.il
4 . ‫ נציב את הנתונים בנוסחת המרחק‬1 1
2 2
Ax By C
d
A B
+ +
= +
+
‫ נשווה בין שתי התשובות‬:
2
2
2 2
6
15
5
15
6 15 30 45
5
d
C
d
C
d d C C
ì
ï =
ï
í
ï - +
ï =
î
- +
= ® = ® - + = ® =
‫ נציב‬2 45 C =‫ ונמצא את משוואת הישר‬DC
{ 2
45
: 3 4 0 : 3 4 45 0 DC x y C DC x y- + + = ® - + + =
‫ תשובה סופית סעיף א‬'
( )
( )
2 1 1
2 2 2 2
2 2 2
3 1 4 3
3 4
3 12 15 15
5 9 16 25
C Ax By C
d
A B
C C C
- × + × - ++ +
® = + =
+ - +
- - + - + - +
= = =
+
A
B
D
C
{ { { 2 : 3 4 0
B A C
DC x y C- + + =
{ {
1 1
1, 3
x y
æ ö
-ç ÷
è ø
d
·

5. ‫ חל איסור חוקי להעתיק‬, ‫ לשכפל‬, ‫ לשדר ו‬/ ‫ או לקלוט קבצים אלו בכל אמצעי אלקטרוני‬
‫ ללא אישור בכתב מאתר‬melumad.co.il
‫ סעיף ב‬' ) 1 (
‫ נוסיף את‬‫ הנתונים למערכת הצירים‬
‫ נתון כי הקדקודים‬A ‫ ו‬­ C ‫ נמצאים על מעגל שמרכזו בקדקוד‬B , ‫ ולכן‬:
‫ עלינו למצוא את רדיוס המעגל‬, ‫ כלומר‬, ‫ עלינו למצוא את אורך הצלע‬BC
‫ נמצא את נקודה‬B
‫ נקודה‬B ‫ היא נקודת החיתוך של הישר‬AB ‫ עם ציר ה‬­ x ) : ‫ נציב‬y=0 ‫ במשוואת הישר‬AB (
{ ( )
:5
0
: 3 4 15 0
0 :
3 4 15 0 3 4 0 15 0 3 15 5 5,0 B
AB x y
y
x y x x x B
- - =
=
- - = ® - × - = ® = ® = ®
‫ נמצא את נקודה‬C
‫ נקודה‬C ‫ היא נקודת החיתוך של הישר‬CD ‫ עם ציר ה‬­ x ) : ‫ נציב‬y=0 ‫ במשוואת הישר‬CD (
{ ( )
:3
0
: 3 4 45 0
0 :
3 4 45 0 3 4 0 45 0 3 45 15 15,0 C
DC x y
y
x y x x x C
- + + =
=
- + + = ® - + × + = ® = ® = ®
x
y
A
B
D
C
6
· R
: 3 4 45 0 DC x y- + + =
:3 4 15 0 AB x y- - =

6. ‫ חל איסור חוקי להעתיק‬, ‫ לשכפל‬, ‫ לשדר ו‬/ ‫ או לקלוט קבצים אלו בכל אמצעי אלקטרוני‬
‫ ללא אישור בכתב מאתר‬melumad.co.il
‫ נמצא את אורך הרדיוס‬R :
{ {
5 15
15 5 10 C B R x x R R= - ® = - ® =
‫ סעיף‬‫ ב‬' ) 2 (
‫ עלינו למצוא את שיעורי הנקודה‬D ­ ‫ נקודת החיתוך של הישר‬‫ ים‬AD ‫ ו‬­ DC .
‫ מצאנו‬‫ את משוואת הישר‬DC ‫ בסעיפים הקודמים‬, ‫ כלומר‬, ‫ נותר למצוא את משוואת הישר‬AD ,
‫ ול‬‫ אחר מכן ל‬‫ מצוא את נקודת החיתוך של שני הישרים‬) ‫ הנקודה‬D .(
‫ צעד‬1 – ‫ נמצא‬‫ את שיעורי הנקודה‬A
‫ נסמן את נקודה‬A :( ) , A A A x y
‫ נקודה‬A ‫ נמצאת על הישר‬AB , ‫ נציב את שיעורי הנקודה במשוואת הישר‬:
{ { :3 4 15 0 3 4 15 0 4 3 15
3 15 3 15
,
4 4
A
A
A A A A
x y
A A
A A
AB x y x y y x
x x
y A x
- - = ® - - = ® = -
- -æ ö
® = ® ç ÷
è ø
x
y
( ) , A A A x y
( ) 5,0 B
D
C
6
· R
·
· : 3 4 45 0 DC x y- + + =
R :3 4 15 0 AB x y- - =
‫ תשובה סופית סעיף ב‬' ) 1 (
O

7. ‫ חל איסור חוקי להעתיק‬, ‫ לשכפל‬, ‫ לשדר ו‬/ ‫ או לקלוט קבצים אלו בכל אמצעי אלקטרוני‬
‫ ללא אישור בכתב מאתר‬melumad.co.il
‫ מצד אחד מצאנו כי‬: 10 R =
‫ מצד שני נחשב את אורך הצלע‬AB :
‫ על סמך נוסח‬‫ ת מרחק בין שתי נקודות‬:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 3 15 3 15
5 0 5
4 4
A A
AB A B A B A AB A
x x
d x x y y x d x
- -æ ö æ ö
= - + - = - + - = = - +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
‫ לכן נוכל להשוות בין שני הגדלים‬:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2 2
/ 16
2
:
3 15 3 15
5 10 5 100
4 4
3 5 3 5
5 100 5 100
4 4
9 5 16 5 9 5
5 100 100
16 16
A A
AB A A
A A
A A
A A A
A
x x
d R x x
x x
x x
x x x
x
×
- -æ ö æ ö
= ® - + = ® - + =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
- -æ ö
® - + = ® - + =ç ÷
è ø
- - + -
® - + = ® =
®
25 25 ( )
2
5
100
16
A x -
=
( )
( )
( ) ( )
2
4 2
2 2
2
1,2
1
1,2
5
4 5 64
16
10 25 64 10 39 0
10 10 4 1 39 10 100 156 10 256
2 2 2
13
10 16
2
A
A
A A A A
x
x
x x x x
x
x
x
-
® = ® - =
® - + = ® - - =
± - - × × - ± + ±
® = = =
=
±
® =
3 A x = -
Z
]
‫ נציב את‬3 A x = -‫ ב‬­
3 15
4
A
A
x
y
-
=‫ ונמצא את‬A y:
}
( )
( )
3
3 3 15 3 15 9 15 24
4 4 4 4
6 3, 6
A
A A A A
A
x
y y y y
y A
-
× - -- - - -
= ® = ® = ® =
® = - ® - -
‫ מכנה משותף‬
‫ נתון כי הנקודה‬A
‫ נמצאת ברביע השלישי‬,
‫ כלומר שיעור ה‬­ x ‫ שלה‬
‫הוא שלילי‬

8. ‫ חל איסור חוקי להעתיק‬, ‫ לשכפל‬, ‫ לשדר ו‬/ ‫ או לקלוט קבצים אלו בכל אמצעי אלקטרוני‬
‫ ללא אישור בכתב מאתר‬melumad.co.il
‫ צעד‬2 – ‫ נמצא את משוואת הישר‬AD
) ‫ על ידי‬2 ‫ נקודות‬(
‫ נמצא את שיפוע הישר‬AD ‫ על סמך‬2 ‫ נקודות‬:( ) 3, 6 A - -,( ) 0,0 O
) ‫ נתון‬‫ כי הישר עובר דרך ראשית הצירים‬(
6 0 6
2
3 0 3
A O
A O
y y
m
x x
- - - -
= = = =
- - - -
‫נמצא נקודה‬( ) 1 1 , x y
( ) 0,0 O
‫ נמצא את משוואת הישר‬AD
( ) 1 1
2 0 0
0 2 0 : 2 y y m x x y x AD y x
-- -
æ ö
ç ÷- = - ® - = - ® =
ç ÷
è ø
‫ צעד‬3 – ‫ נמצא את שיעורי הנקודה‬D
‫ נמצא את נקודת החיתוך של הישרים‬AD ‫ ו‬­ DC :
) ‫ נציב את‬2 y x=‫ ב‬­ 3 4 45 0 x y- + + =(
{
2
: 2
: 3 4 45 0
3 4 45 0 3 4 2 45 0 3 8 45 0
5 45 9
D
D D D D D D
x
D D
AD y x
DC x y
x y x x x x
x x
=ì
í
- + + =î
- + + = ® - + × + = ® - + + =
® = - ® = -
‫ נציב את‬9 D x = -‫ ב‬­ : 2 AD y x=‫ ונמצא את שיעורי הנקודה‬D
{ ( ) ( )
9
2 2 9 18 9, 18 D D D D y x y y D
-
® = ® = × - ® = - ® - -
‫ תשובה סופית סעיף ב‬' ) 1 (