This document contains the solutions to two geotechnical engineering problems involving retaining wall design. For problem 1, the dimensions, soil properties, and forces acting on an 8m retaining wall are given. Calculations are shown to find the factors of safety against overturning, sliding, and bearing capacity failure, all of which meet the required minimum of 1.5. Problem 2 provides modified dimensions and soil properties and similarly calculates the safety factors for a 6m retaining wall.

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382882919 Problemas Geotecnia Resueltos
Historia del derecho (Universidad de Santander)
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2. GEOTECNIA I
Página 1
Problemas
Para los problemas 12.1 al 12.5, use un peso específico del concreto, 𝛾𝑐= 23.58
kN/m3.
1.2 Para el muro de retención en voladizo mostrado en la figura 12.30, las
dimensiones son H = 8 m, 𝑥1 = 0.4 m, 𝑥2= 0.6 m, 𝑥3 = 1.5 m, 𝑥4 = 3.5 𝑥5 = 0.96
m, D = 1.75 m y 𝛼 = 10°; las propiedades del suelo son 𝛾1 = 16.8 kN/m3, 𝜙1 = 32°,
𝛾2= 17.6 kN/m3, 𝜙2 = 28° 𝑐2= 30 kN/m2. Calcule los factores de seguridad
respecto a volteo, deslizamiento y capacidad de carga.
RESOLUCION
Con referencia a la figura 12.30, encontramos
H´=H1+H+x5= 3.5 tan10° + 8 + 0.96 = 9.577 m
La fuerza activa de Rankine por unidad de longitud del muro es:
𝑃
𝑎 =
1
2
𝛾1H´2
𝐾𝑎
Para 𝜙1 = 32° y 𝛼 = 10°, Ka es igual a 0.321 (tabla 9.6). Entonces,
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3. GEOTECNIA I
Página 2
𝑃𝑎 =
1
2
(16.8)(9.577)2(0.321) = 247.31 𝑘𝑁/𝑚
𝑃
𝑣 = 𝑃𝑎𝑠𝑒𝑛10° = 246.54(𝑠𝑒𝑛10°) = 42.94 𝑘𝑁/𝑚
𝑃ℎ = 𝑃
𝑎𝑐𝑜𝑠10° = 246.54(𝑐𝑜𝑠10°) = 243.55 𝑘𝑁/𝑚
Factor de seguridad contra volteo La siguiente tabla se prepara ahora para
determinar el momento resistente.
Sección
N°
Área
(m2)
Peso /
longitud
Unitaria
(kN/m)
Brazo de
momento al
punto C (m)
Momento
(kN-m/m)
1 3.2 75.456 1.9 143.37
2 0.8 18.864 1.63 30.75
3 5.376 126.766 2.8 354.94
4 28 470.4 3.85 1811.04
5 1.080 18.144 4.43 80.38
Pv=42.94 5.6 240.46
∑ 𝑉= 752.57 ∑ 𝑀𝑅=2660.94
Para el momento de volteo, obtenemos:
𝑀o = 𝑃ℎ (
𝐻´
3
) = 243.55 (
9.577
3
) = 777.49 𝑘𝑁 − 𝑚/𝑚
Por consiguiente,
𝑭𝑺(𝒗𝒐𝒍𝒕𝒆𝒐) =
∑ 𝑀𝑅
∑ 𝑀o
=
2660.94
777.49
= 𝟑. 𝟒𝟐 > 𝟏. 𝟓 𝑶𝑲
Factor de seguridad contra deslizamiento De la ecuación (12.13), tenemos
𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =
(∑ 𝑉) tan(𝑘1𝜙1) + 𝐵𝑘2𝑐2 + 𝑃𝑝
𝑃
𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼
Sea 𝑘1 𝑦 𝑘2 =
2
3
, También,
𝑃𝑝 =
1
2
𝐾𝑝𝛾2𝐷2
+ 2𝑐2√𝐾𝑝𝐷
Nota: La 𝑃𝑝 para este ejercicio se desprecia para poder trabajar el factor de
seguridad en las condiciones más críticas, por lo que la fórmula del factor de
seguridad nos quedaría:
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4. GEOTECNIA I
Página 3
𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =
(∑ 𝑉) tan(𝑘1𝜙1) + 𝐵𝑘2𝑐2
𝑃
𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =
(752.57) tan (
2𝑥28
3
) + (5.6) (
2
3
) (30)
243.55
𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) = 𝟐. 𝟖𝟎 > 𝟏. 𝟓 𝑶𝑲
Factor de seguridad contra falla por capacidad de carga
Momento neto de las fuerzas respecto al punto C
𝑀𝑛𝑒𝑡𝑜 = ∑ 𝑀𝑅 − ∑ 𝑀𝑜
𝑀𝑛𝑒𝑡𝑜 = 2660.94 − 777.49 = 1883.45
Calculo de la distancia en donde intersecta la resultante “R” con la loza,
tomada desde el punto C.
𝐶𝐸
̅̅̅̅ = 𝑥̅ =
𝑀𝑛𝑒𝑡𝑜
∑ 𝑉
=
1883.45
752.57
= 2.50 𝑚
Por consiguiente la excentricidad de la resultante “R” se expresa como:
𝑒 =
𝐵
2
− 𝐶𝐸
̅̅̅̅
𝑒 =
5.6
2
− 2.50 = 𝟎. 𝟑 𝒎 <
𝐵
6
= 0.93 𝑚
De nuevo, de las ecuaciones (12.22) y (12.23),
𝑞𝑝𝑢𝑛𝑡𝑎 =
∑ 𝑉
𝐵
(1 +
6𝑒
𝐵
) =
752.57
5.6
(1 +
6(0.3)
5.6
) = 177.58 𝑘𝑁/𝑚2
𝑞𝑡𝑎𝑙𝑜𝑛 =
∑ 𝑉
𝐵
(1 −
6𝑒
𝐵
) =
752.57
5.6
(1 −
6(0.3)
5.6
) = 91.19 𝑘𝑁/𝑚2
La capacidad de carga última del suelo se determina con la ecuación (12.24):
𝑞𝑢 = 𝑐2𝑁𝑐𝐹𝑐𝑑𝐹𝑐𝑖 + 𝑞𝑁𝑞𝐹𝑞𝑑 𝐹𝑞𝑖 +
1
2
𝛾2𝐵′𝑁𝛾𝐹𝛾𝑑𝐹𝛾𝑖
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5. GEOTECNIA I
Página 4
Para 𝜙2= 28°, encontramos 𝑁𝑐 = 25.80, 𝑁𝑞= 14.72 Y 𝑁𝛾 = 16.72 (tabla 11.1).
También
𝑞 = 𝛾2𝐷 = (17.6)(1.75) = 30.8 𝑘𝑁/𝑚2
𝐵´ = 𝐵 − 2𝑒 = 5.6 − 2(0.3) = 5 𝑚
𝐹𝑐𝑑 = 1 + 0.4 (
𝐷
𝐵´
) = 1 + 0.4 (
1.75
5
) = 1.14
𝐹𝑞𝑑 = 1 + 2 tan 𝜙2 (1 − 𝑠𝑒𝑛𝜙2)2
(
𝐷
𝐵´
) = 1 + 2 tan 28° (1 − 𝑠𝑒𝑛28°)2
(
1.75
5
) = 1.10
𝐹𝛾𝑑 = 1
𝐹𝑐𝑖 = 𝐹𝑞𝑖 = (1 −
𝜓°
90°
)
2
𝜓 = 𝑡𝑎𝑛−1
(
𝑃
𝑎 cos 𝛼
∑ 𝑉
) = 𝑡𝑎𝑛−1
(
243.55
752.57
) = 17.93°
Por lo que
𝐹𝑐𝑖 = 𝐹𝑞𝑖 = (1 −
17.93
90°
)
2
= 0.64
𝐹𝛾𝑖 = (1 −
𝜓
𝜙2
)
2
= (1 −
17.93
28
)
2
= 0.129
Por consiguiente:
𝑞𝑢 = (30)(25.80)(1.14)(0.64) + (30.8)(14.72)(1.10)(0.64) +
1
2
(17.6)(5)(16.72)(1)(0.129)
𝑞𝑢 = 564.71 + 319.18 + 94.90 = 978.79 𝑘𝑁/𝑚2
𝑭𝑺(𝒄𝒂𝒑𝒂𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂) =
𝑞𝑢
𝑞𝑝𝑢𝑛𝑡𝑎
=
978.79
177.58
= 𝟓. 𝟓 > 3 𝑂𝐾
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6. GEOTECNIA I
Página 5
12.2. Resuelva el problema 12.1 para las dimensiones del muro H = 6 m, 𝑥1 = 0.3
m, 𝑥2= 0.7 m, 𝑥3 = 1.4 m, 𝑥4 = 2.3 m, 𝑥5 = 0.85 m, D = 1.25 m 𝛼 = 5°; las
propiedades del suelo son 𝛾1 = 18.4 kN/m3, 𝜙1 = 34°, 𝛾2= 16.8 kN/m3, 𝜙2 =
18° 𝑐2= 50 kN/m2
RESOLUCION
Con referencia a la figura 12.30, encontramos
H´=H1+H+x5= 2.3 tan5° + 6 + 0.85 = 7.051 m
La fuerza activa de Rankine por unidad de longitud del muro es:
𝑃
𝑎 =
1
2
𝛾1H´2
𝐾𝑎
Para 𝜙1 = 34° y 𝛼 = 5°, Ka es igual a 0.286 (tabla 9.6). Entonces,
𝑃𝑎 =
1
2
(18.4)(7.051)2(0.286) = 130.81 𝑘𝑁/𝑚
𝑃𝑣 = 𝑃𝑎𝑠𝑒𝑛5° = 130.81(𝑠𝑒𝑛5°) = 11.40 𝑘𝑁/𝑚
𝑃ℎ = 𝑃
𝑎𝑐𝑜𝑠5° = 130.81(𝑐𝑜𝑠5°) = 130.31 𝑘𝑁/𝑚
Factor de seguridad contra volteo La siguiente tabla se prepara ahora para
determinar el momento resistente.
Sección
N°
Área
(m2)
Peso /
longitud
Unitaria
(kN/m)
Brazo de
momento al
punto C (m)
Momento
(kN-m/m)
1 1.8 42.444 1.95 82.76
2 1.2 28.296 1.66 46.97
3 3.44 88.189 2.2 194.01
4 13.8 253.92 3.25 825.24
5 0.23 4.232 3.63 15.36
Pv=42.92 4.4 188.848
∑ 𝑉= 460.0 ∑ 𝑀𝑅=1353.19
Para el momento de volteo, obtenemos:
𝑀o = 𝑃ℎ (
𝐻´
3
) = 130.31 (
7.051
3
) = 306.27 𝑘𝑁 − 𝑚/𝑚
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7. GEOTECNIA I
Página 6
Por consiguiente,
𝑭𝑺(𝒗𝒐𝒍𝒕𝒆𝒐) =
∑ 𝑀𝑅
∑ 𝑀o
=
1353.19
306.27
= 𝟒. 𝟒𝟐 > 𝟏. 𝟓 𝑶𝑲
Factor de seguridad contra deslizamiento De la ecuación (12.13), tenemos
𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =
(∑ 𝑉) tan(𝑘1𝜙2) + 𝐵𝑘2𝑐2 + 𝑃
𝑝
𝑃
𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼
Sea 𝑘1 𝑦 𝑘2 =
2
3
, Tambien,
𝑃𝑝 =
1
2
𝐾𝑝𝛾2𝐷2
+ 2𝑐2√𝐾𝑝𝐷
Nota: La 𝑃𝑝 para este ejercicio se desprecia para poder trabajar el factor de
seguridad en las condiciones más críticas, por lo que la fórmula del factor de
seguridad nos quedaría:
𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =
(∑ 𝑉) tan(𝑘1𝜙2) + 𝐵𝑘2𝑐2
𝑃
𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =
(460.0) tan (
2𝑥18
3
) + (4.4) (
2
3
) (50)
130.31
𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) = 𝟏. 𝟖𝟕 > 𝟏. 𝟓 𝑶𝑲
Factor de seguridad contra falla por capacidad de carga
Momento neto de las fuerzas respecto al punto C
𝑀𝑛𝑒𝑡𝑜 = ∑ 𝑀𝑅 − ∑ 𝑀𝑜
𝑀𝑛𝑒𝑡𝑜 = 1353.19 − 306.27 = 1046.92
Calculo de la distancia en donde intersecta la resultante “R” con la loza, tomada
desde el punto C.
𝐶𝐸
̅̅̅̅ = 𝑥̅ =
𝑀𝑛𝑒𝑡𝑜
∑ 𝑉
=
1046.92
460.0
= 2.27 𝑚
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8. GEOTECNIA I
Página 7
Por consiguiente la excentricidad de la resultante “R” se expresa como:
𝑒 =
𝐵
2
− 𝐶𝐸
̅̅̅̅
𝑒 =
4.4
2
− 2.27 = −𝟎. 𝟎𝟕 𝒎 <
𝐵
6
= 0.73 𝑚
De nuevo, de las ecuaciones (12.22) y (12.23),
𝑞𝑝𝑢𝑛𝑡𝑎 =
∑ 𝑉
𝐵
(1 +
6𝑒
𝐵
) =
460.0
4.4
(1 +
6(−0.07)
4.4
) = 94.57 𝑘𝑁/𝑚2
𝑞𝑡𝑎𝑙𝑜𝑛 =
∑ 𝑉
𝐵
(1 −
6𝑒
𝐵
) =
460.0
4.4
(1 −
6(−0.07)
4.4
) = 114.52 𝑘𝑁/𝑚2
La capacidad de carga última del suelo se determina con la ecuación (12.24):
𝑞𝑢 = 𝑐2𝑁𝑐𝐹𝑐𝑑𝐹𝑐𝑖 + 𝑞𝑁𝑞𝐹𝑞𝑑 𝐹𝑞𝑖 +
1
2
𝛾2𝐵′𝑁𝛾𝐹𝛾𝑑𝐹𝛾𝑖
Para 𝜙2= 18°, encontramos 𝑁𝑐 = 13.10, 𝑁𝑞= 5.26 Y 𝑁𝛾 = 4.07 (tabla 11.1).
También
𝑞 = 𝛾2𝐷 = (16.8)(1.25) = 21 𝑘𝑁/𝑚2
𝐵´ = 𝐵 − 2𝑒 = 4.4 − 2(−0.07) = 4.54 𝑚
𝐹𝑐𝑑 = 1 + 0.4 (
𝐷
𝐵´
) = 1 + 0.4 (
1.25
4.54
) = 1.11
𝐹𝑞𝑑 = 1 + 2 tan 𝜙2 (1 − 𝑠𝑒𝑛𝜙2)2
(
𝐷
𝐵´
) = 1 + 2 tan 18° (1 − 𝑠𝑒𝑛18°)2
(
1.25
4.54
) = 1.08
𝐹𝛾𝑑 = 1
𝐹𝑐𝑖 = 𝐹𝑞𝑖 = (1 −
𝜓°
90°
)
2
𝜓 = 𝑡𝑎𝑛−1
(
𝑃
𝑎 cos 𝛼
∑ 𝑉
) = 𝑡𝑎𝑛−1
(
130.31
460.0
) = 15.82°
Por lo que
𝐹𝑐𝑖 = 𝐹𝑞𝑖 = (1 −
15.82
90°
)
2
= 0.67
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9. GEOTECNIA I
Página 8
𝐹𝛾𝑖 = (1 −
𝜓
𝜙2
)
2
= (1 −
15.82
18
)
2
= 0.015
Por consiguiente:
𝑞𝑢 = (50)(13.10)(1.11)(0.67) + (21)(2.26)(1.08)(0.67) +
1
2
(16.8)(4.54)(4.07)(1)(0.015)
𝑞𝑢 = 487.12 + 34.34 + 2.33 = 523.79 𝑘𝑁/𝑚2
𝑭𝑺(𝒄𝒂𝒑𝒂𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂) =
𝑞𝑢
𝑞𝑚𝑎𝑥
=
523.79
114.52
= 𝟒. 𝟓𝟕 > 3 𝑂𝐾
12.3 Resuelva el problema 12.1 con las dimensiones del H = 5.49 m, 𝑥1 = 0.46 m, 𝑥2=
0.58 m, 𝑥3 = 0.92 m, 𝑥4 = 1.55 m, 𝑥5 = 0.61 m, D = 1.22 m 𝛼 = 0°; las propiedades
del suelo son 𝛾1 = 18.08 kN/m3, 𝜙1 = 36°, 𝛾2= 19.65 kN/m3, 𝜙2 = 15° 𝑐2= 44 kN/m2
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10. GEOTECNIA I
Página 9
RESOLUCION
Con referencia a la figura 12.30, encontramos
H´=H+x5= 5.49 + 0.61 = 6.1 m
La fuerza activa de Rankine por unidad de longitud del muro es:
𝑃
𝑎 =
1
2
𝛾1H´2
𝐾𝑎
Para 𝜙1 = 36° y 𝛼 = 0°, Ka es igual a 0.260 (tabla 9.6). Entonces,
𝑃
𝑎 =
1
2
(18.08)(6.1)2(0.260) = 87.46 𝑘𝑁/𝑚
𝑃
𝑣 = 𝑃𝑎𝑠𝑒𝑛5° = 87.46 (𝑠𝑒𝑛0°) = 0 𝑘𝑁/𝑚
𝑃ℎ = 𝑃𝑎𝑐𝑜𝑠5° = 87.46 (𝑐𝑜𝑠0°) = 87.46 𝑘𝑁/𝑚
Factor de seguridad contra volteo La siguiente tabla se prepara ahora para
determinar el momento resistente.
Sección
N°
Área
(m2)
Peso /
longitud
Unitaria
(kN/m)
Brazo de
momento al
punto C (m)
Momento
(kN-m/m)
1 2.525 59.540 1.27 75.62
2 0.329 7.758 1 7.76
3 1.860 43.859 1.525 66.88
4 8.510 153.861 2.275 350.03
∑ 𝑉= 265.018 ∑ 𝑀𝑅=500.29
Para el momento de volteo, obtenemos:
𝑀o = 𝑃ℎ (
𝐻´
3
) = 87.46 (
6.1
3
) = 177.84 𝑘𝑁 − 𝑚/𝑚
Por consiguiente,
𝑭𝑺(𝒗𝒐𝒍𝒕𝒆𝒐) =
∑ 𝑀𝑅
∑ 𝑀o
=
500.29
177.84
= 𝟐. 𝟖𝟏 > 𝟏. 𝟓 𝑶𝑲
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11. GEOTECNIA I
Página
10
Factor de seguridad contra deslizamiento De la ecuación (12.13), tenemos
𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =
(∑ 𝑉) tan(𝑘1𝜙2) + 𝐵𝑘2𝑐2 + 𝑃
𝑝
𝑃
𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼
Sea 𝑘1 𝑦 𝑘2 =
2
3
, Tambien,
𝑃𝑝 =
1
2
𝐾𝑝𝛾2𝐷2
+ 2𝑐2√𝐾𝑝𝐷
Nota: La 𝑃𝑝 para este ejercicio se desprecia para poder trabajar el factor de
seguridad en las condiciones más críticas, por lo que la fórmula del factor de
seguridad nos quedaría:
𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =
(∑ 𝑉) tan(𝑘1𝜙2) + 𝐵𝑘2𝑐2
𝑃
𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =
(265.018) tan (
2𝑥15
3 ) + (3.05) (
2
3
) (44)
87.46
𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) = 𝟏. 𝟓𝟔 > 𝟏. 𝟓 𝑶𝑲
Factor de seguridad contra falla por capacidad de carga
Momento neto de las fuerzas respecto al punto C
𝑀𝑛𝑒𝑡𝑜 = ∑ 𝑀𝑅 − ∑ 𝑀𝑜
𝑀𝑛𝑒𝑡𝑜 = 500.29 − 177.84 = 322.45
Calculo de la distancia en donde intersecta la resultante “R” con la loza, tomada
desde el punto C.
𝐶𝐸
̅̅̅̅ = 𝑥̅ =
𝑀𝑛𝑒𝑡𝑜
∑ 𝑉
=
322.45
265.018
= 1.22 𝑚
Por consiguiente la excentricidad de la resultante “R” se expresa como:
𝑒 =
𝐵
2
− 𝐶𝐸
̅̅̅̅
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12. GEOTECNIA I
Página
11
𝑒 =
3.05
2
− 1.22 = 𝟎. 𝟑𝟎𝟓 𝒎 <
𝐵
6
= 0.51 𝑚
De nuevo, de las ecuaciones (12.22) y (12.23),
𝑞𝑝𝑢𝑛𝑡𝑎 =
∑ 𝑉
𝐵
(1 +
6𝑒
𝐵
) =
265.018
3.05
(1 +
6(0.305)
3.05
) = 139.02 𝑘𝑁/𝑚2
𝑞𝑡𝑎𝑙𝑜𝑛 =
∑ 𝑉
𝐵
(1 −
6𝑒
𝐵
) =
265.018
3.05
(1 −
6(0.305)
3.05
) = 34.76 𝑘𝑁/𝑚2
La capacidad de carga última del suelo se determina con la ecuación (12.24):
𝑞𝑢 = 𝑐2𝑁𝑐𝐹𝑐𝑑𝐹𝑐𝑖 + 𝑞𝑁𝑞𝐹𝑞𝑑 𝐹𝑞𝑖 +
1
2
𝛾2𝐵′𝑁𝛾𝐹𝛾𝑑𝐹𝛾𝑖
Para 𝜙2= 15°, encontramos 𝑁𝑐 = 10.98, 𝑁𝑞= 3.94 Y 𝑁𝛾 = 2.65 (tabla 11.1).
También
𝑞 = 𝛾2𝐷 = (19.65)(1.22) = 23.973 𝑘𝑁/𝑚2
𝐵´ = 𝐵 − 2𝑒 = 3.05 − 2(0.305) = 2.44 𝑚
𝐹𝑐𝑑 = 1 + 0.4 (
𝐷
𝐵´
) = 1 + 0.4 (
1.22
2.44
) = 1.22
𝐹𝑞𝑑 = 1 + 2 tan 𝜙2 (1 − 𝑠𝑒𝑛𝜙2)2
(
𝐷
𝐵´
) = 1 + 2 tan 15° (1 − 𝑠𝑒𝑛15°)2
(
1.22
2.44
) = 1.15
𝐹𝛾𝑑 = 1
𝐹𝑐𝑖 = 𝐹𝑞𝑖 = (1 −
𝜓°
90°
)
2
𝜓 = 𝑡𝑎𝑛−1
(
𝑃𝑎 cos 𝛼
∑ 𝑉
) = 𝑡𝑎𝑛−1
(
87.46
265.018
) = 18.26°
Por lo que
𝐹𝑐𝑖 = 𝐹𝑞𝑖 = (1 −
18.26°
90°
)
2
= 0.64
𝐹𝛾𝑖 = (1 −
𝜓
𝜙2
)
2
= (1 −
18.26
15
)
2
= 0.05
Por consiguiente:
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13. GEOTECNIA I
Página
12
𝑞𝑢 = (44)(10.98)(1.2)(0.64) + (23.973)(3.94)(1.15)(0.64)
+
1
2
(19.65)(2.44)(2.65)(1)(0.05)
𝑞𝑢 = 371.04 + 69.52 + 3.18 = 443.74 𝑘𝑁/𝑚2
𝑭𝑺(𝒄𝒂𝒑𝒂𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂) =
𝑞𝑢
𝑞𝑚𝑎𝑥
=
443.74
139.02
= 𝟑. 𝟏𝟗 > 3 𝑂𝐾
12.4 En la figura 12.31 se muestra un muro de retención de gravedad. Calcule los
factores de seguridad con respecto a volteo y deslizamiento. Las dimensiones del
muro son H = 6 m, x1 = 0.6 m, x2 = 0.2 m, x3 = 2 m, x4 = 0.5 m, x5 = 0.75 m, x6 =
0.8 m y D = 1.5 m; las propiedades del suelo son 𝛾1 = 16.5 kN/m3, 𝜙1 = 32°, 𝛾2 =
18 kN/m3, 𝜙2 = 22° Y 𝑐2 = 40 kN/m2. Use para el cálculo la presión activa de
Rankine.
RESOLUCION
Con referencia a la figura 12.31, encontramos:
H´=H+x6= 6 + 0.8 = 6.8 m
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14. GEOTECNIA I
Página
13
La fuerza activa de Rankine por unidad de longitud del muro es:
𝑃
𝑎 =
1
2
𝛾1H´2
𝐾𝑎
Para 𝜙1 = 32° y 𝛼 = 0°, Ka es igual a 0.307 (tabla 9.6). Entonces,
𝑃
𝑎 =
1
2
(16.5)(6.8)2(0.307) = 117.11 𝑘𝑁/𝑚
𝑃𝑣 = 𝑃
𝑎𝑠𝑒𝑛0° = 117.11 (𝑠𝑒𝑛0°) = 0 𝑘𝑁/𝑚
𝑃ℎ = 𝑃𝑎𝑐𝑜𝑠0° = 117.11 (𝑐𝑜𝑠0°) = 117.11 𝑘𝑁/𝑚
Factor de seguridad contra volteo La siguiente tabla se prepara ahora para
determinar el momento resistente.
Sección
N°
Área
(m2)
Peso /
longitud
Unitaria
(kN/m)
Brazo de
momento al
punto C (m)
Momento
(kN-m/m)
1 6 141.48 1.97 278.72
2 3.6 84.888 1 84.89
3 0.6 14.15 0.63 8.91
4 3.24 76.40 2.025 154.71
5 6 99 2.63 260.37
6 4.5 74.25 3.675 272.87
∑ 𝑉= 490.168 ∑ 𝑀𝑅=1060.47
Para el momento de volteo, obtenemos:
𝑀o = 𝑃ℎ (
𝐻´
3
) = 117.11 (
6.8
3
) = 265.45 𝑘𝑁 − 𝑚/𝑚
Por consiguiente,
𝑭𝑺(𝒗𝒐𝒍𝒕𝒆𝒐) =
∑ 𝑀𝑅
∑ 𝑀o
=
1060.47
265.45
= 𝟑. 𝟗𝟗 > 𝟏. 𝟓 𝑶𝑲
Factor de seguridad contra deslizamiento De la ecuación (12.13), tenemos
𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =
(∑ 𝑉) tan(𝑘1𝜙2) + 𝐵𝑘2𝑐2 + 𝑃
𝑝
𝑃
𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼
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15. GEOTECNIA I
Página
14
Sea 𝑘1 𝑦 𝑘2 =
2
3
, Tambien,
𝑃𝑝 =
1
2
𝐾𝑝𝛾2𝐷2
+ 2𝑐2√𝐾𝑝𝐷
Nota: La 𝑃𝑝 para este ejercicio se desprecia para poder trabajar el factor de
seguridad en las condiciones más críticas, por lo que la fórmula del factor de
seguridad nos quedaría:
𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =
(∑ 𝑉) tan(𝑘1𝜙2) + 𝐵𝑘2𝑐2
𝑃
𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =
(490.168) tan (
2𝑥22
3 ) + (4.05) (
2
3
) (40)
117.11
𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) = 𝟐. 𝟎𝟐 > 𝟏. 𝟓 𝑶𝑲
12.5 Resuelva el problema 12.4 usando para el cálculo la presión activa de Coulomb y
𝛿 =
2
3
𝜙
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16. GEOTECNIA I
Página
15
Con referencia a la figura 12.31, encontramos:
H´=H+x6= 6 + 0.8 = 6.8 m
La fuerza activa de Coulomb por unidad de longitud del muro es:
𝑃
𝑎 =
1
2
𝛾1H´2
𝐾𝑎
Para y 𝛼 = 0°,𝜃 =18°,𝛿 =
2
3
𝜙 ,𝜙1 = 32° Ka es igual a:
𝐾𝑎 =
𝑐𝑜𝑠2
(𝜙 − 𝜃)
𝑐𝑜𝑠2𝜃 cos(𝛿 + 𝜃) ⌊1 + √
𝑠𝑒𝑛(𝛿 + 𝜙)𝑠𝑒𝑛(𝜙 − 𝛼)
𝑐𝑜𝑠(𝛿 + 𝜙)𝑐𝑜𝑠(𝜙 − 𝛼)
⌋
2
𝐾𝑎 =
𝑐𝑜𝑠2
(32 − 18)
𝑐𝑜𝑠218 cos(21.33 + 𝜃18) ⌊1 + √
𝑠𝑒𝑛(21.33 + 32)𝑠𝑒𝑛(32 − 0)
𝑐𝑜𝑠(21.33 + 32)𝑐𝑜𝑠(32 − 0)
⌋
2
𝐾𝑎 = 0.4339
𝑃𝑎 =
1
2
(16.5)(6.8)2(0.4339) = 165.52 𝑘𝑁/𝑚
𝑃
𝑣 = 𝑃𝑎𝑠𝑒𝑛 (18 +
2
3
𝜙1) = 165.52 (𝑠𝑒𝑛39.33) = 104.91𝑘𝑁/𝑚
𝑃ℎ = 𝑃𝑎𝑐𝑜𝑠(18 +
2
3
𝜙1) = 165.52 (𝑐𝑜𝑠39.33) = 128.03 𝑘𝑁/𝑚
Factor de seguridad contra volteo La siguiente tabla se prepara ahora para
determinar el momento resistente.
Sección
N°
Área
(m2)
Peso /
longitud
Unitaria
(kN/m)
Brazo de
momento al
punto C (m)
Momento
(kN-m/m)
1 6 141.48 1.97 278.72
2 3.6 84.888 1 84.89
3 0.6 14.148 0.63 8.91
4 3.24 76.399 2.025 154.71
Pv=104.91 2.9 304.24
∑ 𝑉= 421.83 ∑ 𝑀𝑅=831.47
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17. GEOTECNIA I
Página
16
Para el momento de volteo, obtenemos:
𝑀o = 𝑃ℎ (
𝐻´
3
) = 128.03 (
6.8
3
) = 290.20 𝑘𝑁 − 𝑚/𝑚
Por consiguiente,
𝑭𝑺(𝒗𝒐𝒍𝒕𝒆𝒐) =
∑ 𝑀𝑅
∑ 𝑀o
=
831.47
290.20
= 𝟐. 𝟖𝟔 > 𝟏. 𝟓 𝑶𝑲
Factor de seguridad contra deslizamiento De la ecuación (12.13), tenemos
𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =
(∑ 𝑉) tan(𝑘1𝜙2) + 𝐵𝑘2𝑐2 + 𝑃
𝑝
𝑃
𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼
Sea 𝑘1 𝑦 𝑘2 =
2
3
, Tambien,
𝑃𝑝 =
1
2
𝐾𝑝𝛾2𝐷2
+ 2𝑐2√𝐾𝑝𝐷
Nota: La 𝑃𝑝 para este ejercicio se desprecia para poder trabajar el factor de
seguridad en las condiciones más críticas, por lo que la fórmula del factor de
seguridad nos quedaría:
𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =
(∑ 𝑉) tan(𝑘1𝜙2) + 𝐵𝑘2𝑐2
𝑃
𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =
(421.83) tan (
2𝑥22
3 ) + (4.05) (
2
3
) (40)
128.03
𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) = 𝟏. 𝟕𝟎 > 𝟏. 𝟓 𝑶𝑲
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18. GEOTECNIA I
Página
17
12.6 Refiérase al corte apuntalado en la figura 12.32, para el cual 𝛾= 17.6 kN/m3, 𝜙= 32°
y 𝑐 =0. Los puntales están localizados a 4 m entre centros en planta. Dibuje la
envolvente de presión de tierra y determine las cargas de los puntales en los niveles
A, B Y C.
RESOLUCION
Envolvente de presión de tierra
Por tratarse de un material que no presenta cohesión, la envolvente de la presión
de tierra mostrada en la figura 12.15 es aplicable. Por consiguiente
𝜎 = 0.65𝛾𝐻𝐾𝑎
𝐾𝑎 = 𝑡𝑎𝑛2
(45 −
𝜙
2
) = 𝑡𝑎𝑛2
(45 −
32
2
) = 0.307
𝜎 = 0.65(17.6)(9)(0.307) = 31.61 𝑘𝑁/𝑚2
H
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19. GEOTECNIA I
Página
18
Cargas en los puntales A, B y C
Para esto nos referimos a la figura:
∑ 𝑀𝐵1
= 0
31.61(5)(2.5) − 𝐴(3) = 0
𝐴 = 131.71 𝑘𝑁/𝑚
∑ 𝐹
𝑦 = 0
𝐴 + 𝐵1 − 31.6(5) = 0
𝐵1 = 26.34 𝑘𝑁/𝑚
Las cargas en los puntales son:
𝑃𝐴 = 𝐴(𝑠) = 131.71(4) = 𝟓𝟐𝟔. 𝟖𝟒 𝒌𝑵
𝑃𝐵 = (𝐵1 + 𝐵2)(𝑠) = (26.34 + 42.13)(4) = 𝟓𝟐𝟔. 𝟖𝟒 𝒌𝑵
𝑃𝐴 = 𝐶(𝑠) = 84.27(4) = 𝟑𝟑𝟕. 𝟎𝟖 𝒌𝑵
12.7 Para el corte apuntalado descrito en el problema 12.6, suponga que
𝜎𝑎𝑑𝑚 = 172 MN/m2.
a. Determine la sección de la tablaestaca.
b. ¿Cuál es el módulo de sección de los largueros en el nivel A?
RESOLUCION
Parte a:
Nos basamos en los diagramas de fuerzas cortantes para calcular la magnitud de
los momentos con respecto a cada puntal.
∑ 𝑀𝐵2
= 0
𝐶(3) − 31.6(4)(2) = 0
𝐶 = 84.27 𝑘𝑁/𝑚
∑ 𝐹𝑦 = 0
𝐵2 + 𝐶 − 31.6(4) = 0
𝐵2 = 42.13 𝑘𝑁/𝑚
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20. GEOTECNIA I
Página
19
Calculamos x1 y x2
𝑥1 =
26.34
31.61
= 0.83𝑚
𝑥2 =
42.13
31.61
= 1.33𝑚
Los momentos son entonces:
𝑀𝐴 =
1
2
(63.22)(2) = 63.22 𝑘𝑁 − 𝑚
𝑀𝐵1 =
1
2
(26.34)(0.83) = 10.97 𝑘𝑁 − 𝑚
𝑀𝐵2 =
1
2
(42.13)(1.33) = 28.08 𝑘𝑁 − 𝑚
𝑀𝐶 =
1
2
(31.57)(1) = 15.78 𝑘𝑁 − 𝑚
𝑀𝐴 es el máximo , por lo que
𝑆𝑥 =
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝜎𝑎𝑑𝑚
=
0.06322
172
= 𝟑. 𝟔𝟖 𝒙 𝟏𝟎−𝟒
𝒎𝟑
/𝒎
Parte b:
Para el larguero en el nivel A,
𝑀𝑚𝑎𝑥 =
𝐴(𝑠2
)
8
=
(131.71)(42
)
8
= 263.42 𝑘𝑁 − 𝑚
𝑆𝑥 =
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝜎𝑎𝑑𝑚
=
0.263
172
= 𝟏. 𝟓𝟑𝒙 𝟏𝟎−𝟑
𝒎𝟑
/𝒎
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21. GEOTECNIA I
Página
20
12.8 Resuelva el problema 12.6 para 𝛾= 18.2 kN/m3, 𝜙= 35°, 𝑐=0 y un espaciamiento de
puntales centro a centro en planta de 3m.
RESOLUCION
Envolvente de presión de tierra
Por tratarse de un material que no presenta cohesión, la envolvente de la presión
de tierra mostrada en la figura 12.15 es aplicable. Por consiguiente
𝜎 = 0.65𝛾𝐻𝐾𝑎
𝐾𝑎 = 𝑡𝑎𝑛2
(45 −
𝜙
2
) = 𝑡𝑎𝑛2
(45 −
35
2
) = 0.271
𝜎 = 0.65(18.2)(9)(0.271) = 28.85 𝑘𝑁/𝑚2
Cargas en los puntales A, B y C
Para esto nos referimos a la figura:
∑ 𝑀𝐵1
= 0
28.85(5)(2.5) − 𝐴(3) = 0
𝐴 = 120.21 𝑘𝑁/𝑚
∑ 𝐹
𝑦 = 0
𝐴 + 𝐵1 − 28.85(5) = 0
𝐵1 = 24.04𝑘𝑁/𝑚
∑ 𝑀𝐵2
= 0
𝐶(3) − 28.85(4)(2) = 0
𝐶 = 76.93 𝑘𝑁/𝑚
∑ 𝐹𝑦 = 0
𝐵2 + 𝐶 − 28.85(4) = 0
𝐵2 = 38.47 𝑘𝑁/𝑚
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22. GEOTECNIA I
Página
21
Las cargas en los puntales son:
𝑃𝐴 = 𝐴(𝑠) = 120.21(3) = 𝟑𝟔𝟎. 𝟔𝟑 𝒌𝑵
𝑃𝐵 = (𝐵1 + 𝐵2)(𝑠) = (24.04𝑘𝑁 + 38.473)(3) = 𝟏𝟖𝟕. 𝟓𝟑 𝒌𝑵
𝑃𝐶 = 𝐶(𝑠) = 76.93(3) = 𝟐𝟑𝟎. 𝟕𝟗 𝒌𝑵
Parte a:
Nos basamos en los diagramas de fuerzas cortantes para calcular la magnitud de
los momentos con respecto a cada puntal.
Calculamos x1 y x2
𝑥1 =
24.04
28.85
= 0.83𝑚
𝑥2 =
38.473
28.85
= 1.33𝑚
Los momentos son entonces:
𝑀𝐴 =
1
2
(57.7)(2) = 57.7 𝑘𝑁 − 𝑚
𝑀𝐵1 =
1
2
(24.04)(0.83) = 9.98 𝑘𝑁 − 𝑚
𝑀𝐵2 =
1
2
(38.473)(1.33) = 25.58 𝑘𝑁 − 𝑚
𝑀𝐶 =
1
2
(28.85)(1) = 14.42 𝑘𝑁 − 𝑚
𝑀𝐴 es el máximo, por lo que
𝑆𝑥 =
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝜎𝑎𝑑𝑚
=
0.0577
172
= 𝟑. 𝟑𝟓 𝒙 𝟏𝟎−𝟒
𝒎𝟑
/𝒎
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23. GEOTECNIA I
Página
22
Parte b:
Para el larguero en el nivel A,
𝑀𝑚𝑎𝑥 =
𝐴(𝑠2
)
8
=
(120.21 )(32
)
8
= 135.24 𝑘𝑁 − 𝑚
𝑆𝑥 =
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝜎𝑎𝑑𝑚
=
0.135
172
= 𝟕. 𝟖𝟔 𝒙 𝟏𝟎−𝟒
𝒎𝟑
/𝒎
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