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La Probabilità
M a t t e o E o l i n i 4 G

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Il calcolo delle probabilità
• Il calcolo delle probabilità è la parte della matematica che si occupa dello sviluppo di modelli per
descrivere situazioni. Oggi le tecniche di questa disciplina, nata dalla ricerca sul gioco d'azzardo,
trovano applicazione in svariati settori: fisica, ingegneria, informatica, statistica, controllo qualità,
gestione della sicurezza delle comunicazioni, affidabilità dei sistemi, ecc.
• Un esperimento casuale o aleatorio è un fenomeno osservabile, ma non prevedibile. Cioè conoscendo
i dati iniziali e le leggi, non possiamo prevederne il risultato. Ciò che invece possiamo conoscere è
l'insieme di tutti i possibili risultati.
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Spazio campionario ed Eventi
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SPAZIO CAMPIONARIO:
• Si dice spazio campionario (o spazio dei campioni o spazio dei risultati), e si indica con il simbolo Ω, l’insieme di
tutti i possibili esiti di un esperimento aleatorio.
EVENTO:
• Dato uno spazio campionario Ω, si chiama evento ogni sottoinsieme di Ω.
ESEMPIO:
LANCIO DI UN DADO:
LANCIO DI DUE DADI:

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Operazioni tra eventi
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Dati due eventi A e B appartenenti a uno spazio
campionario Ω:
1. si definisce evento unione di A e B, e si indica con
A∪B, l’evento che si realizza quando si realizzano
A o B (o entrambi);
2. si definisce evento intersezione di A e B, e si
indica con A∩B, l’evento che si realizza quando si
realizzano entrambi gli eventi A e B;
3. si definisce evento contrario di A, e si indica con
A, l’evento che si realizza quando non si realizza
A, ossia l’evento rappresentato dal
complementare di A: A=Ω−A.
Due eventi si dicono incompatibili se la loro
intersezione è vuota; si dicono compatibili in caso
contrario.

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Operatori
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Definizione classica di probabilità
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• Secondo la prima definizione di probabilità, per questo detta «classica», la probabilità di un
evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili.
• Indicando con Ω l'insieme di casi possibili e con |Ω| la sua cardinalità, con A un evento e
con|A| la sua cardinalità, ovvero il numero dei casi favorevoli ad A (ad esempio, nel lancio
di un dado 12 = {1,2,3,4,5,6}, |12| = 6, A ="esce un numero pari", |A| = 3), la probabilità di
A, indicata con P(A), è pari a:

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Utilizzo di una tabella a doppia entrata
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• Ω′ = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1,
4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2),
(2, 3), ..., (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
7
8
9
10
11
8
9
10
11
12
5
6
7
8
9
6
7
8
9
10
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6

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Utilizzo del calcolo combinatorio
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«In una corsa con 10 concorrenti, quanti differenti ordini d’arrivo sono
possibili?»
In una corsa con 10 concorrenti, i possibili ordini d'arrivo sono le permutazioni di 10 elementi.
Il loro numero è: P = 10! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10 = 3. 628.800

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Teoremi sul calcolo delle probabilità
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PRINCIPIO DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE:
• Dati due insiemi A e B, il numero degli elementi dell’insieme unione di A e B è dato dalla formula:
• La somma tra il numero degli elementi di A e il numero degli elementi di B meno il numero di elementi di A
intersecato B è uguale all’unione di A e B.

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Teoremi sul calcolo delle probabilità
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PROBABILITA’ DELL’UNIONE DI DUE EVENTI:
• Siano A e B due eventi; allora risulta:
• In particolare, se A e B sono incompatibili:

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Teoremi sul calcolo delle probabilità
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PROBABILITA’ DELL’EVENTO CONTRARIO:
• Se A è un evento e A è il suo evento contrario, allora:
«Un sacchetto contiene 50 palline, 10 bianche 15 rosse e 25 verdi ; Calcolare la probabilita' che, estraendo una pallina
a caso essa sia rossa o verde.»
Probabilita' di uscita di una pallina bianca =
Probabilita' di uscita di una pallina rossa o verde =

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Probabilità condizionata
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• Siano A e B due eventi, con B di probabilità non nulla. Si
definisce probabilità condizionata dell’evento A dato l’evento
B, e si indica con il simbolo p(A|B), il rapporto tra la
probabilità di A∩B e la probabilità di B:

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Proprietà delle probabilità condizionate
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• Dati tre eventi A, B, H, con H di probabilità non nulla, risulta:

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Prove ripetute
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• La probabilità che si realizzino k successi nell’esecuzione di
n prove identiche e indipendenti, in ciascuna delle quali la
probabilità di successo è p, è uguale a: