Plano numérico, distancia y punto. Circunferencia, elipses e hipérbolas.

1. República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria.
Universidad Politécnica Territorial del Estado Andrés Eloy Blanco.
Barquisimeto-Estado Lara
Plano Numérico.
Prof: Eslimar Suarez.
Estudiante: Griselis Mendoza #29
Sección: TU0101
C.I: 30.301.396

2.  Sean A y B dos conjuntos cualquieras no nulos de números Reales. Se denomina Producto Cartesiano de A y B,
denotado por A × B, al conjunto formado por todos los pares ordenados (x, y) donde x ϵ A y, y ϵ B
.
A× B={(x, y) / x ϵ A ˄ y ϵ B}
Ejemplo: Si A{1,2,3,4} y B{a, b, c}. Hallar A× B y B×A
A×B={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),(4,a),(4,b),(4,c)}
B×A={(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(c,1),(c,2),(c,3),(c,4)}
 Nótese que A×B ≠ B×A debido a que los elementos son pares ordenados.
 Se denomina Plano coordenado ʀ2, al conjunto formado por todos los
pares ordenados (x, y) donde x, y ϵ ʀ.
ʀ2= ʀ×ʀ={(x, y) / x ϵ ʀ ˄ y ϵ ʀ}
Plano numérico.

3.  Gráficamente.
Plano numérico.
Y
I _Cuadrante
X
IV_Cuadrante
III_Cuadrante
II_Cuadrante
Cuadrante x y
I + +
II - +
III - -
IV + -
Ejemplo: Graficar los siguientes puntos en el plano (3,5), (2,3), (4,5) y (3,2).
(3, 5)
Y
X
(4, -5)
(-2, -3)
(-3, 2)
4
-5
-3
3
-2
-3
5
2

4.  Sean P1=(x1, y1) y P2 = (x2, y2) dos puntos en ʀ2 . La Distancia no dirigida entre P1 y P2, está dada por:
d(P1P2)= 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝟐
Distancia.
X1 X2
(x2 - x1)
y1
y2
Y
X
P1
P2
(y1 - y2)
d(P1P2)

5.  Sean P1 = (x1, y1) y P2 =(x2, y2) dos puntos en ʀ2. El punto medio entre los puntos P1 y P2, está dada por:
M= (x, y); x=
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐
𝟐
, y =
𝒚𝟏 + 𝒚𝟐
𝟐
x - x1= x2 −𝒙 2x= x1 + x2
x=
𝒙𝟏+𝒙𝟐
𝟐
y1 - y = y - y2 y1 + y2 = 2y
y=
𝒚𝟏+𝒚𝟐
𝟐
Punto medio.
y1
y
y2
(y1 – y)
(y – y2)
P1
M=
𝑿𝟏 + 𝑿𝟐
𝟐
,
𝒚𝟏 + 𝒚𝟐
𝟐
P2
Y
X
X1 X X2
(X - X1) (X2 – X)

6.  Una Circunferencia es el conjunto de puntos en R2 que equidistan de un punto fijo. Al punto fijo se le denomina
Centro de la circunferencia y a la distancia constante, se le denomina Radio.
 Ecuación Centro-Radio: Si el centro es (h, k) y el radio es r, entonces:
(x – h)2 + (y – k)2= r2
 Ecuación General de la circunferencia: x2 + y2 + Dx + Ey + F= 0 , donde
D= -2h; E = -2k; F= h2+ k2- r2
Circunferencia.

7.  Representa el conjunto de puntos en R2 que satisfacen cualquiera de las siguientes ecuaciones.
1.
𝒙𝟐
𝒂𝟐 +
𝒚𝟐
𝒃𝟐 =1; a ≠ b ˄ a, b ˃ 0
(Elipse centrada en el origen)
2.
𝒙 −𝒉 𝟐
𝒂𝟐 +
𝒚 −𝒌 𝟐
𝒃𝟐 =1; a ≠ b ˄ a, b ˃ 0
(Elipse centrada en (H,K))
 Forma General de la Elipse:
Ax
2
+ By
2
+ Dx + Ey + F = 0
Elipse.
b
- a
-b
X
Y
b
b
a
a
- a
a
a
- b
Y
X
h
k
b

8. * Representa el conjunto de puntos en R2 que satisfacen cualquiera de las siguientes ecuaciones .
1. ±
𝒙𝟐
𝒂𝟐 ∓
𝒚𝟐
𝒃𝟐= 1; a ≠ b ˄ a, b ˃ 0 (Hipérbolas centrada en el origen)
2. ±
(𝒙−𝒉)𝟐
𝒂𝟐 ∓
(𝒚−𝒌)𝟐
𝒃𝟐 = 1; a ≠ b ˄ a, b ˃ 0 (Hipérbolas centrada en (h,k)).
* Forma General de la Hipérbola: Ax2 + By2 + Dx + Ey + F= 0
Para mayor facilidad estudiaremos por separado los gráficos de las ecuaciones según cada eje principal.
a) El gráfico de la Hipérbola con eje principal X, está dada por:
𝒙𝟐
𝒂𝟐 −
𝒚𝟐
𝒃𝟐=1
(𝒙−𝒉)𝟐
𝒂𝟐 −
(𝒚−𝒌)𝟐
𝒃𝟐 = 1
Hipérbolas.
Y
X
-b
b
a
-a
k
Y
X
h
Hipérbola centrada en el origen. Hipérbola centrada en (h,k)

9. b) El grafico de la Hipérbola con eje principal Y, está dada por:
𝒙𝟐
𝒂𝟐 −
𝒚𝟐
𝒃𝟐=1
(𝒙−𝒉)𝟐
𝒂𝟐 −
(𝒚−𝒌)𝟐
𝒃𝟐 = 1
Hipérbolas.
b
-b
a
-a
h
k
Y
X
Y
X
-a a
-b
b
Hipérbola centrada en el origen Hipérbola centrada en (h,k)

10. Bibliografía.
Libro texto de Matemática Inicial Capítulo II: Números Reales y Plano
Numérico