807 5
- 1. שאלון 708 שאלה 5, בגרות חורף תשע"ג
א. )1(. ידוע שהפונקציה ) f (xעולה כאשר הנגזרת, ) ,f (xחיובית והפונקציה יורדת כאשר
הנגזרת שלילית. נבדוק מתי הנגזרת שלילית ומתי חיובית ע"י אי השיוויון הבא:
√
2−2 3 x
√
3
x
}0 = > 0 {x
√ √
3
0 > )2 − x(2 3 x
√
3 √
0 > 2 x2 − 2 3 x
√
3 √
> 2x 3
x
0 > x2 − x
קל לראות ש 0 < xאו 1 > .xכדי למצוא מתי הנגזרת שלילית נפתור את הא"ש
0 < x2 − xונקבל 1 < .0 < x
הפונקציה עולה כאשר 1 > xאו 0 < xויורדת כאשר 1 < .0 < x
)2(. את תחומי הקעירות נמצא ע"י נגזרת שנייה.
2 √ √ 2 1− 1 2
· 3 −2· 3 ·x
1 3
3 −x−(2 3 x−2)· 3 x
1 2
3 (x
3 ) 3 −−x− 3 +x 2
= )f (x √
2)( 3 x
= 2 = 4
3x 3 3x
כאשר הנגזרת השנייה ב 1 x = xחיובית הפונקציה, ) ,f (xקעורה מעלה וכאשר היא
שלילית הפונקציה קעורה מטה. ניתן לראות שהנגזרת השנייה אינה מוגדרת כאשר 0 = x
אך תמיד חיובית, 0 > ) ,f (xולכן הפונקציה קעורה מעלה כאשר 0 > xאו 0 < xואינה
קעורה מטה.
ב. נמצא את הפנקציה המקורית ע"י אינטגרל על הנגזרת, את קבוע האינטגרציה נמצא על
ידי הנתון שבשאלה.
´ √
2−2 3 x ´ 2 √x
3
2 3x
2
2
√
3
x
dx = ( √x
3 − √ )dx
3
x
· 2 − = 2x 2 + c = 2x − 3x 3 + c
3
לפי הנגזרת, קל לראות שנקודת המינימום ב 1 = xולכן נציב את הנקודה )1− ,1( ונמצא
את קבוע האינטגרציה.
2
0 = 2 · (1) − 3 · (1) 3 + c = −1 → c
√
3
הפונקציה היא 2.f (x) = 2x − 3 x
1
© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין
דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770
אתר: | www.bagrutonline.co.ilדוא"ל: office@bagrutonline.co.il
- 2. שאלון 708 שאלה 5, בגרות חורף תשע"ג
נקודות חיתוך עם ציר :x
√
3
20 = 2x − 3 x
√
3
22x = 3 x
2 2
3x 3= x
3 8
27 x 2= x
)0 ,0( → 0 = 1x
72
= 2x 8 )0 , 72 ( →
8
נקודות חיתוך עם ציר :y
√
3
0 = 20 3 − 0 · 2 = )f (x
)0 ,0( → 0 = )f (x
שתי נקודות חיתוך עם הצירים )0 ,0( ו־ )0 , 72 (.
8
ג. גרף IVלא מתאר את הפונקציה בגלל תחומי העלייה והירידה מסעיף א'. גרף Iלא
מתאר את הפונקציה בגלל תחומי הקעירות מסעיף א'. גרף IIלא מתאר את הפונקציה
בגלל שהפונקציה מוגדרת ב 0 = xולכן רק גרף IIIמתאר את הפונקציה.
2
© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין
דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770
אתר: | www.bagrutonline.co.ilדוא"ל: office@bagrutonline.co.il