Pat1

PAT 1 (เม.ย. 57) 1
PAT 1 (เม.ย. 57)
รหัสวิชา 71 วิชา ความถนัดทางคณิตศาสตร์ (PAT 1)
วันเสาร์ที่ 26 เมษายน 2557
ตอนที่ 1: แบบปรนัย 4 ตัวเลือก เลือก 1 คาตอบที่ถูกต้องที่สุด จานวน 30 ข้อ (ข้อ 1 – 30) ข้อละ 6 คะแนน
1. สาหรับเซต ใดๆ ให้ ( ) แทนจานวนสมาชิกของเซต กาหนดให้ แทนเอกภพสัมพัทธ์ ถ้า และ เป็น
สับเซตใน โดยที่ ( ) = 2( ( )) = 3( ( )) , ( ) = 15 , ( ) = 2
ถ้า ( ) = 8 , ( ) = 4 และ ( ) = 9 แล้ว (( ) ) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 13 2. 12 3. 11 4. 10
2. กาหนดให้เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจานวนจริงบวก พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ประพจน์ [| | ] มีค่าความจริงเป็นจริง
(ข) ประพจน์ [| | ] มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
5 Jun 2014

2 PAT 1 (เม.ย. 57)
3. กาหนดให้ และ เป็นประพจน์ ซึ่ง ( ) มีค่าความจริงเป็น เท็จ
( ) มีค่าความจริงเป็น จริง
ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็น จริง
1. ( ) ( ) 2. ( )
3. ( ) 4. ( )
4. ถ้า แทนเซตคาตอบของสมการ | | | | = แล้ว เซต เป็นสับเซตของข้อใดต่อไปนี้
1. ( 4, 0) 2. ( 1, 1) 3. (0, 4) 4. ( 3, 2)
5. ให้ แทนเซตของจานวนจริง ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ = 1
และให้ แทนเซตของจานวนจริง ทั้งหมดที่สอดคล้องกับอสมการ | | > 4
พิจารณาข้อความต่อไปนี้ (ก)
(ข) จานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซตของเซต เท่ากับ 2

PAT 1 (เม.ย. 57) 3
6. ให้ แทนเซตของจานวนจริง ถ้า และ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
โดยที่ ( )( ) = และ ( ) = 2 + 1 สาหรับทุกจานวนจริง พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) 4( )(2 + 1) = ( ) + 1 สาหรับทุกจานวนจริง
(ข) ( ( ))( ) = ( ) + 1 สาหรับทุกจานวนจริง
7. กาหนดให้ = [ ] , I = [ ] เมื่อ และ เป็นจานวนจริงที่ ≠ และเมทริกซ์ สอดคล้องกับ
สมการ ( ) = 4I พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) = 2
(ข) ( ) = 324

4 PAT 1 (เม.ย. 57)
8. ให้ F เป็นโฟกัสของพาราโบลา = ถ้าไฮเพอร์โบลารูปหนึ่งมีสมบัติดังนี้
(ก) แกนตามขวางขนานแกน
(ข) จุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลาอยู่ที่ F
(ค) โฟกัสหนึ่งของไฮเพอร์โบลาคือ (3, 2 + 2√ )
(ง) แกนสังยุคยาว 12 หน่วย
แล้วไฮเพอร์โบลารูปนี้มีสมการตรงกับข้อใดต่อไปนี้
1. = 0 2. = 0
3. = 0 4. = 0
9. กาหนดให้วงรีรูปหนึ่งมีสมการเป็น = 0 โดยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (2, 1) และ
แกนเอกยาวเป็น 2 เท่าของแกนโท ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. = 0
2. ความเยื้องศูนย์กลางของวงรีเท่ากับ √
3. วงรีมีจุดศูนย์กลางร่วมกับจุดศูนย์กลางของวงกลม = 0
และแกนเอกยาวเท่ากับรัศมีของวงกลม
4. ผลบวกของระยะทางจากจุด (2, 6) ไปยังโฟกัสทั้งสองของวงรีเท่ากับ 20 หน่วย

PAT 1 (เม.ย. 57) 5
10. ให้ เป็นจุดตัดของเส้นตรง = 0 และ = 0 ถ้าเส้นตรง L มีความชันเท่ากับ
เมื่อ < 0 มีระยะห่างจากจุดกาเนิด (0, 0) เท่ากับ หน่วย โดยที่ = 1 และผ่านจุด แล้วสมการ
ของเส้นตรง L ตรงกับข้อใดต่อไปนี้
1. = 0 2. = 0 3. = 0 4. = 0
11. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยที่มีความยาวของด้านตรงข้ามมุม A มุม B มุม C เท่ากับ หน่วย หน่วย
และ หน่วย ตามลาดับ และมุม A มีขนาดเป็นสองเท่าของมุม B ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. = 2. = 3. = 4. =
12. กาหนดให้ 0 < < 15° ค่าของ ( ) ( ) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. ( ) 2. ( ) 3. ( ) 4. ( )

6 PAT 1 (เม.ย. 57)
13. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ถ้า และ เป็นจานวนจริง สอดคล้องกับสมการ =
แล้ว = ( )
(ข) ถ้า ≤ , ≤ สอดคล้องกับ = √ และ √ = √
แล้ว = 0.5
14. กาหนดให้ ̅, ̅ และ ̅ เป็นเวกเตอร์ ซึ่ง ̅ ̅ ̅ = ̅ , |̅ ̅| = 5 , |̅ ̅| = 3 และ |̅| = √
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ถ้าเวกเตอร์ ̅ ทามุม กับเวกเตอร์ ̅ เมื่อ ≤ ≤ แล้ว tan = 3
(ข) ̅ ̅ = 12

PAT 1 (เม.ย. 57) 7
15. จากตัวเลข … นามาสร้างจานวนห้าหลักใช้เลขซ้ากันได้ ความน่าจะเป็นที่จะได้จานวนห้าหลักโดยที่ใน
แต่ละหลักเป็นตัวเลขที่แตกต่างกันเพียง 3 จานวนเท่านั้น มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 2. 3. 4.
16. มีเก้าอี้สีขาวเหมือนกัน 3 ตัว และเก้าอี้สีแดงเหมือนกัน 3 ตัว นามาจัดเรียงรอบโต๊ะกลม จานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนที่
แตกต่างกันทั้งหมดเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 4 วิธี 2. 6 วิธี 3. 10 วิธี 4. 20 วิธี
17. กาหนดให้ เป็นฟังก์ชัน นิยามโดย ( ) = {
≤
เมื่อ เป็นจานวนจริง ถ้าฟังก์ชัน มีความต่อเนื่องที่ = 2 และ 3
lim
x
( ) หาค่าได้
แล้วค่าของ | + 5 | เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 8 2. 18 3. 4.

8 PAT 1 (เม.ย. 57)
18. กาหนดให้ > 1 และ
b
1

√
= 4 ค่าของ 1 + + เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 21 2. 31 3. 91 4. 111
19. กาหนดให้ ( ) = เป็นพหุนามกาลังสอง เมื่อ เป็นจานวนจริง และ ≠ 0
โดยที่ ( ) = 0 และ มีค่าสูงสุดที่ = ให้ ( ) =


 ( ) โดยที่ ( ) = ( ) + 1
สาหรับจานวนจริง > 1 พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ( ) = ( ) + 10
(ข) อนุพันธ์ของ ( )
เท่ากับ

PAT 1 (เม.ย. 57) 9
20. กาหนดให้ = เมื่อ … ถ้า
n
lim
…
= โดยที่ และ เป็นจานวน
เต็มบวก ซึ่ง ห.ร.ม. ของ และ เท่ากับ 1 แล้ว เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 17 2. 25 3. 145 4. 257
21. กาหนดให้ เป็นจานวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมการ ̅ = 3i( ) ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
1. ̅ = i( ̅) 2. | | = 2
3. ̅ i = 0 4. ( ) i = 0
22. ตารางต่อไปนี้เป็นความสัมพันธ์ระหว่าง กับ
ให้ = เป็นสมการที่แสดงความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน
ระหว่าง กับ โดย เป็นตัวแปรอิสระ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) = + 1.1
(ข) ถ้า = 8 แล้ว = 0.02
0 1 2 3
1 0.8 0.8 0.6

10 PAT 1 (เม.ย. 57)
(ก) ถ้า เป็นจานวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ = 7
แล้ว สอดคล้องกับสมการ √ = 4
(ข) ถ้า และ เป็นจานวนจริงที่สอดคล้องกับ
แล้ว =
24. คะแนนสอบของนักเรียนห้องหนึ่งมีการแจกแจงปกติ คะแนนเต็ม 100 คะแนน มัธยฐานเท่ากับ 45 คะแนน และมี
นักเรียนร้อยละ 34.13 ที่สอบได้คะแนนระหว่างมัธยฐานกับ 54 คะแนน ถ้านักเรียนคนหนึ่งมีคะแนนสอบเป็น เท่า
ของคะแนนเปอร์เซ็นไทล์ที่ 33 แล้วนักเรียนคนนี้สอบได้คะแนนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ เมื่อกาหนดพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ
ระหว่าง 0 ถึง ดังตารางต่อไปนี้
1. 41.04% 2. 48.96% 3. 68.40% 4. 81.60%
( ) =
( ) = และ
( ) =
0.33 0.36 0.41 0.44 0.50 1.0
พื้นที่ 0.1293 0.1406 0.1591 0.1700 0.1915 0.3413

PAT 1 (เม.ย. 57) 11
25. กาหนดข้อมูล 10 จานวน ดังนี้ 30 32 28 35 42 45 40 48 50 65
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ถ้า แทนข้อมูลที่เป็นเดไซล์ที่ 7 และ แทนค่ามัธยฐานของข้อมูล แล้ว – M เท่ากับ 6.5
(ข) ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ เท่ากับ 8.6
26. กาหนดเวกเตอร์ ̅ = ̅ + 2 ̅ + ̅ เมื่อ และ เป็นจานวนจริง
ถ้า |̅ × ̅| = 2 แล้ว |̅| เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 5 2. 6 3. 7 4. 8
(ก) ถ้า = [ ] เมื่อ เป็นจานวนจริงบวกที่ = 1
และ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์การคูณ มิติ 3 × 3 แล้ว det( + + I) = 0
(ข) ให้ = [ ] และ = [ ]
เมื่อ เป็นจานวนจริง ถ้า det( ) = 3 แล้ว det( ) = 18

12 PAT 1 (เม.ย. 57)
28. มีปุ๋ ยอยู่ 2 ชนิด คือชนิด A และ ชนิด B โดยแต่ละชนิดบรรจุถุงละ 100 กรัม ส่วนประกอบและราคาแต่ละชนิดเป็น
ดังนี้
นักวิจัยทดลองผสมปุ๋ มชนิด A และชนิด B ให้พืชในแปลงทดลอง โดยส่วนผสมปุ๋ ยที่ได้ประกอบด้วยสารอาหาร N
อย่างน้อย 18 หน่วย สารอาหาร P อย่างน้อย 12 หน่วย และสารอาหาร K อย่างน้อย 480 หน่วย ค่าใช้จ่ายน้อยสุด
ในการผสมปุ๋ ยทั้งสองชนิดเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 74 บาท 2. 78 บาท 3. 84 บาท 4. 96 บาท
29. กาหนดให้ และ เป็นจานวนจริงบวก โดยที่ < พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) > (ข) >
ชนิดปุ๋ ย สารอาหาร N สารอาหาร P สารอาหาร K ราคาถุงละ
ชนิด A 2 หน่วย 1 หน่วย 80 หน่วย 10 บาท
ชนิด B 3 หน่วย 3 หน่วย 60 หน่วย 12 บาท

PAT 1 (เม.ย. 57) 13
30. กาหนดให้ แทนเซตของจานวนจริง ให้ : และ : เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ
( ( )) = สาหรับจานวนจริง และ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ( )( ) = 2 + 15 สาหรับทุกจานวนจริง และ
(ข) ( ( )) = 75
ตอนที่ 2: แบบอัตนัย ระบายคาตอบที่เป็นตัวเลข จานวน 15 ข้อ (ข้อ 31 – 45) ข้อละ 8 คะแนน
31. กาหนดให้ แทนเซตคาตอบของสมการ
( ) ( ) = ( )
ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต เท่ากับเท่าใด
32. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม B และมุม C เป็นมุมแหลม โดยที่ = 15 ,
( ) = 77 และด้านตรงข้ามมุม C ยาว 20 หน่วย ความยาวของเส้นรอบรูปสามเหลี่ยม ABC
เท่ากับเท่าใด

14 PAT 1 (เม.ย. 57)
33. ถ้า = เมื่อ เป็นจานวนจริงใดๆ
แล้วค่าของ เท่ากับเท่าใด
34. กาหนดให้ แทนเซตคาตอบของสมการ ( ) =
และให้ แทนเซตคาตอบของสมการ √ = 1 + 2 √
จานวนสมาชิกของเซต เท่ากับเท่าใด

PAT 1 (เม.ย. 57) 15
35. ให้ แทนเซตของจานวนจริง และ เป็นจานวนจริงโดยที่ ≠ ให้ และ เป็นฟังก์ชัน
ที่นิยามโดย ( ) = และ ( ) = ( ) สาหรับทุกจานวนจริง
ถ้า ( )( ) = 1 แล้ว ( )( ) เท่ากับเท่าใด
36. ถ้า … เป็นลาดับของจานวนจริงที่สอดคล้องกับ = = …
และ … = 250000 แล้วค่าของ เท่ากับเท่าใด
37. กาหนดให้ … เป็นลาดับของจานวนเต็ม โดยมีสมบัติดังนี้
= เมื่อ …
ถ้า = 12 , = 2556 และ = 7 แล้วค่าของ เท่ากับเท่าใด

16 PAT 1 (เม.ย. 57)
38. ต้องการจัดเรียงตัวอักษร P, P, P, A, A, A, T, T, T ทั้งหมด (ไม่คานึงถึงความหมาย) โดยมีเงื่อนไขว่า ตัวอักษร P
ทั้งสามตัวต้องอยู่แยกกันทั้งหมดและตัวอักษร T ทั้งสามตัวต้องอยู่แยกกันทั้งหมด จะมีวิธีการเรียงตัวอักษรดังกล่าว
ได้ทั้งหมดกี่วิธี
39. กาหนดให้ … เป็นข้อมูลชุดที่ 1 ซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 6 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
เท่ากับ 2 ให้ … เป็นข้อมูลชุดที่ 2 โดยที่ = เมื่อ … และ
เป็นจานวนจริง และ > 0 ถ้านาข้อมูลทั้งสองชุดมารวมกัน … … พบว่าค่าเฉลี่ยเลข
คณิตเท่ากับ 7 และความแปรปรวนเท่ากับ 21 แล้วค่าของ เท่ากับเท่าใด
40. ข้อมูลชุดหนึ่งมีค่าสังเกต ( ) และร้อยละของความถี่สะสมสัมพัทธ์ แสดงดังตารางต่อไปนี้
เมื่อ เป็นจานวนจริง ถ้าข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 4 แล้วความแปรปรวนของข้อมูลชุดนี้เท่ากับเท่าใด
ค่าสังเกต ( ) ร้อยละของความถี่สะสมสัมพัทธ์
1 20
2 40
70
6 90
10 100

PAT 1 (เม.ย. 57) 17
41. กาหนดให้ แทนเซตของจานวนจริง และ เป็นจานวนจริง และให้ : เป็นฟังก์ชันที่นิยามโดย
( ) = สาหรับทุกจานวนจริง ถ้าเส้นตรง + 13 = 0 สัมผัสกราฟของ ที่ = 1
แล้ว
2
0
 ( ) เท่ากับเท่าใด
42. ให้ แทนเซตของจานวนจริง ถ้า : เป็นฟังก์ชัน โดยที่ ( ) = 111 และ
3
lim
x
( )
= 2013
แล้วอัตราการเปลี่ยนแปลงของ ( ) เทียบกับ ขณะที่ = 3 เท่ากับเท่าใด
43. ต้องการเขียนจานวนที่มีหกหลัก ABCDEF โดยที่ A E F ∈ { … }
A + B = 14 และ C – D > D – E > E – F > 0 จะสร้างได้ทั้งหมดกี่จานวน

18 PAT 1 (เม.ย. 57)
44. ถ้า = + … ( )( )
และ = ( )( )
+ ( )( )
… ( )( )
แล้วค่าของ เท่ากับเท่าใด
45. ให้ แทนเซตของจานวน โดยที่ เป็นจานวนเต็มบวกที่มีสมบัติ ดังนี้
(ก) =
(ข) ( ) = ( )
(ค) 2 + = ( )
ถ้า แทนค่ามากที่สุดในเซต และ แทนค่าน้อยที่สุดในเซต แล้วค่า เท่ากับเท่าใด

PAT 1 (เม.ย. 57) 19
เฉลย
1. 3 11. 3 21. 4 31. 5 41. 38
2. 2 12. 2 22. 1 32. 54 42. 634
3. 1 13. 2 23. 1 33. 681 43. 35
4. 4 14. 1 24. 3 34. 3 44. 2750
5. 3 15. 3 25. 4 35. 9 45. 384
6. 1 16. 1 26. 4 36. 500
7. 3 17. 2 27. 2 37. 1704
8. 1 18. 3 28. 2 38. 340
9* 4 19. 2 29. 3 39. 109
10. 1 20. 4 30. 4 40. 7
แนวคิด
1. 3
จาก ( ) = 2 จะได้ตรงกลาง = 2
จาก ( ) = 8 จะได้ = 8 …( )
( ) = 4 จะได้ = 4 …( )
( ) = 9 จะได้ = 9 …( )
และจาก ( ) = 15 จะได้
พอเรามี จาก (3) กับ จาก (4) เราจะใช้ ( ) = 3( ( )) มาแก้หา ได้
จะแทน กลับไปหาทุกตัวเลยก็ได้
แต่ข้อนี้ถาม (( ) ) ได้แก่บริเวณ =
ดังนั้น จะหาแค่ตัวที่โจทย์ถามก็พอ
แทน = 1 ใน (1) จะได้ = 8 – 1 = 7 และใน (2) มี + = 4 อยู่แล้ว
ดังนั้น = + ( ) = 7 + 4 = 11
2. 2
ก. แยกตัวประกอบได้เป็น |( )( )| ( )( )
จะใช้วิธีดูค่า ของกราฟ = | | , = | | , = + 1 , = + 5 มาเทียบกัน
และเนื่องจากเอกภพสัมพัทธ์คือ ดังนั้น
จะดูเฉพาะกรณีที่ > 0
จะเห็นว่า ≤ | | < + 1
และ ≤ | | < + 5
ดังนั้น |( )( )| ( )( )
ดังนั้น ก. ถูก
2
= 15
( ) ( ) = 13
8 + 4 + = 13
…( )
จาก (1) และ (2)
= 3( )
9 + + 2 = 3( + 2 + 1 )
+ 11 = + 9
1 =
= | |
= + 1
1
= | |
= + 5
4

20 PAT 1 (เม.ย. 57)
ข. แยกตัวประกอบได้เป็น |( )( )| ( )
ถ้า = 1 จะได้ อสมการเป็นจริง
ถ้า ≠ จะเอา | | หารตลอด ได้ | |
| |
จะเห็นว่า | |
จะตัดกันเป็น 1 หรือ 1 เสมอ ขึ้นกับว่า เป็นลบหรือบวก
ถ้า > 1 จะได้ | |
= 1 จะได้อสมการกลายเป็น | | ซึ่งจริงเสมอ เพราะ > 1
ถ้า < 1 จะได้ | |
= 1 จะได้อสมการกลายเป็น | | ซึ่งจริงเสมอ เพราะค่าสัมบูรณ์
แต่ ข. บอกว่า ประพจน์เป็นเท็จ ข. ผิด
3. 1
จาก ( ) ≡ F จะได้ ≡ T และ ≡ F
แทน ≡ T ลงในประโยคที่สอง จะได้ T ( ) ≡ T ดังนั้น ≡ T
1. ≡ ( ) ( ) ≡ ( ) ≡ ( ) ≡ ≡ T
2. เป็นเท็จได้เมื่อ ≡ T , ≡ T , = T และถ้าให้ ≡ F จะยังทาให้เงื่อนไขที่มีจริงหมด
3. ≡ ( ) T ≡ เป็นเท็จได้เมื่อ ≡ F , ≡ F และถ้าให้ ≡ T จะยังทาให้เงื่อนไขที่มีจริงหมด
4. ≡ ( ) ≡ (F ) ≡ เป็นเท็จได้เมื่อ ≡ T , ≡ F และถ้าให้ ≡ F , ≡ T
จะยังคงทาให้เงื่อนไขที่มีจริงหมด
4. 4
ข้อนี้จะแบ่งกรณีทาก็ได้
แต่ถ้าสังเกตดีๆ จะพบว่า ข้างในค่าสมบูรณ์บวกกัน ( ) ( ) ได้เท่ากับทางขวา พอดี
จากสมบัติค่าสัมบูรณ์ | | | | = | + | เมื่อ กับ เป็นบวกเหมือนกัน หรือ ลบเหมือนกัน คือ เท่านั้น
ดังนั้น จะได้
ดังนั้น = [ 2, 1] ซึ่งจะเป็นสับเซตของข้อ 4.
5. 3
ข้อนี้ต้องสังเกตว่าตัวส่วน กับ คล้ายๆกัน ต่างกันแค่ตรงกลาง 8 กับ 10
เราจะสร้างตัวแปรใหม่ เป็นตัวที่อยู่ตรงกลางระหว่าง 2 ตัวนี้ คือ ให้ =
ดังนั้น = และ =
จะได้สมการคือ = 1 คูณตัวส่วนตลอด ได้
จะได้ = 0 หรือ = 0
( )( )
( )( )
( )( ) ≤
หารด้วยค่าลบ
ต้องกลับ เป็น ≤ 2 1
+ +
( ) ( ) = ( )( )
=
0 =
0 = ( )

PAT 1 (เม.ย. 57) 21
แทนค่า กลับ จะได้ = 0 หรือ = 0
จะได้ = { }
เนื่องจาก มีแค่ 2 ตัว และจากที่ถามใน (ก) และ (ข) จะเห็นว่าไม่ต้องหา ก็ได้ แค่รู้ว่าแทนใน แล้วจริงหรือไม่
ลองแทน กับ ใน ดู : = จะได้ | | จริง
= จะได้ | | ไม่จริง (ก) ผิด
และจะได้ เหลือแค่ { } ตัวเดียว ดังนั้น ( ) มีสมาชิก = 2 ตัว (ข) ถูก
6. 1
หา ( ) โดยเอา ( ) มาเปลี่ยน เป็น , เปลี่ยน เป็น จะได้ = = ( ) =
ทั้ง (ก) และ (ข) ไม่ได้ใช้ ( ) ใช้แต่ ( ) ดังนั้น จะหาแต่ ( ) จาก
ให้ = จะได้ = แทนกลับไปใน จะได้ = ( )
= ( ) ดังนั้น ( ) =
ก. ข.
7. 3
(ก) แทน กับ I จะได้ ([ ] [ ]) = 4[ ] [ ] [ ] = [ ]
จากสูตรอินเวอร์สการคูณเมทริกซ์ [ ] = [ ] จะได้ [ ]= [ ]
จะเห็นว่าส่วนที่เป็นเมทริกซ์ของทั้งสองฝั่งเหมือนกัน ดังนั้น = 1 จะได้ = (ก) ผิด
(ข) จากสูตร ( ) = จะได้ ( )
ไม่มีคาตอบ เพราะ
= ( ) ( )( )
= 81 – 112
< 0
= 0
( )( ) = 0
= ,
( )( ) =
( ( )) =
( ) = ( )
= ( )
4 ( ( )) = ( ) + 1
4 ( ) = + 1
4 ( ) =
= จริง
( ( ( ))) = + 1
( ( )) =
( ) =
( ) =
2( ) + 1 =
+ 1 = จริง
= ( )
=
( )
= ( )
= ( )
= ( ( )) (ข) ถูก
det กระจายในการคูณเมทริกซ์ได้
= ( )
=
=

22 PAT 1 (เม.ย. 57)
8. 1
จัดรูปพาราโบลา หา F ก่อน ได้ เป็นพาราโบลาหงายที่มี V(3, 1) และ = 1
จะได้ F คือ (3, 2)
จาก (ก) จะได้ ไฮเพอร์โบลาแนวตั้ง , จาก (ข) จะได้ ศก ( ) รูปสมการคือ ( ) ( )
= 1
จาก (ง) จะได้ = = 6 และจาก (ค) จะได้ = 2 + √ = √
แต่จาก = √ จะได้ √ = √ แก้จะได้ = √ = 4
ดังนั้น สมการคือ ( ) ( )
9* 4
ข้อนี้โจทย์ต้องบอกด้วยว่า > 1 ไม่งั้นจะมีวงรีสองวงที่สอดคล้องกับเงื่อนไขโจทย์ และจะสรุปอะไรไม่ได้เลย
ศก = (2, 1) แต่ยังไม่รู้ว่า รีแนวนอนหรือแนวตั้ง จะสมมติให้วงรีจะมีรูปสมการคือ ( ) ( )
= 1
จัดรูปให้ สปส เป็น 1 เหมือนที่โจทย์ให้ โดยกระจายและคูณ ตลอด ได้ ( )
=
= 0
เทียบ สปส จะได้ = , = 4 , = , 92 = 4 + …( )
เนื่องจาก > 1 จะได้ > ดังนั้น เป็นวงรีแนวนอน เนื่องจาก แกนเอก = 2(แกนโท) จะได้ = 2
แทนใน ( ) จะได้ =
( )
= = 4 , = =
( )
= 8 ,
(1) = 4 + ( 4) + ( ) ≠ ผิด
(2) ความเยื้องศก = =
√
=
√
=
√
=
√
=
√
ผิด
(3) จัดรูปวงกลม ได้ ( ) ( ) = 20 + + ศก (2, 1), = 5
มี ศก ร่วมกัน แต่ แกนเอกวงรี = 2 = 2(10) = 20 ไม่เท่ากับ วงกลม ผิด
(4) สังเกตว่า 20 = แกนเอกวงรี พอดี ดังนั้น แค่ตรวจสอบว่า (2, 6) อยู่บนวงรีรึเปล่าก็พอ
แทน (2, 6) ในสมการวงรี จะได้ ( ) ( )
= 0 + 1 = 1 จริง ถูกต้อง
หมายเหตุ : ถ้าข้อนี้ไม่บอกว่า > 1 จะมีวงรี ( )
√
( )
√
= 1 อีกวง
ซึ่งจะจัดรูปได้ = 0 สอดคล้องกับเงื่อนไขที่โจทย์ให้
10. 1
หาจุดตัด = 0 …( ) และ …( )
(2) – 2(1) จะได้ 11 = 1 แทนใน (1) ได้ = ( ) = 2 ดังนั้น = (2, 1)
จะได้ L คือ = = …( )
จะได้ระยะจาก (0, 0) =
| ( ) |
√ ( )
=
| |
√
=
4 + 9 =
4( ) = ( )
( ) ( ) =
= 0
= 0
= 0
ไม่ตรงกับตัวเลือกไหนเลย
ต้องคูณ 1 ถึงจะตรงกับข้อ 1
4 +
( )
( ) = 92
100 = 4
5 =
= 2(5) = 10

PAT 1 (เม.ย. 57) 23
แทน ในสมการ = 1 จะได้ (
| |
√
) = 1
ตัดค่าสัมบูรณ์ที่ถูกยกกาลังสองออกได้ ( )
= 0
เนื่องจาก < 0 จะได้ ≠ เอา หารตลอดเหลือ = 0
คูณตลอด ด้วย จะได้
เนื่องจาก < 0 จะได้ = 2 แทนใน ( ) จะได้ = 0
11. 3
ให้ B = จะได้ A = 2 และ C = 180° ( ) = 180° 3
ทุกมุม มี หมด สามารถเชื่อมด้วยกฎของ sin ได้
สังเกตว่า ตัวเลือกแต่ละข้อ จะคล้ายๆกฎของ cos
โดย สองตัวเลือกแรก เหมือนจะใช้กฎของ cos ที่ C แต่สองตัวเลือกหลัง ใช้กฎของ cos ที่ A
ถ้าใช้ กฎของ cos ที่ C จะมีมุม 3 ซึ่งดูยุ่งยาก แต่ถ้าใช้กฎของ cos ที่ A จะมี cos 2 ซึ่งดูง่ายกว่า
ใช้กฎของ cos ที่ A จะได้
จะกาจัด ใน ( ) โดยเอาคู่หลังใน ( ) มาคูณไขว้ จะได้
แทน ใน ( ) จะได้ = = ข้อ 3
12. 2
จะเห็นว่าตัวเลือกทุกข้อ เป็น arctan หมด ซึ่งจะตัดกับ tan ได้
ดังนั้น เราจะดูว่า tan ของสิ่งที่โจทย์ถาม ตรงกับ tan ของตัวเลือกข้อไหน
จะได้ ( ( ) ( )) =
( ( )) ( ( ))
( ( )) ( ( ))
จาก tan(arctan ) = และ tan(arccot ) = จะได้ =
( )( )
= 0
= 0
( ) = 0
= 0, 2
= =
= = ( )
= =
= =
= = …( )
=
=
= ( )
= …( )
3 =
=
=
A B
C
( ) =
เศษ =
( )( )
( )( )
=
( )
( )( )
=
( )
( )( )
= ( )( )
= ( )( )
=
( )
( )( )

24 PAT 1 (เม.ย. 57)
หมายเหตุ : เงื่อนไข 0 < < 15° ที่โจทย์ให้ มีเพื่อรับประกันว่า จะเป็นบวก
เพราะ sin 15° =
√
√
~ < ทาให้ ( ) เป็นบวก
ในขณะที่ ( ) เป็นบวกเสมออยู่แล้ว
ถ้า > 15° เช่น 45° จะทาให้ ( ) ( ) ติดลบ
และจะไม่เท่ากับ arctan(tan ) ซึ่งเป็นบวก
13. 2
ก.
ข. จาก = √ ยกกาลังสอง จะได้ = …( )
จาก √ = √
√
=
√
คูณไขว้และยกกาลังสอง จะได้ = …( )
(1) + (2):
จาก ≤ ≤ จะได้ ดังนั้น cos =
√
=
√
√
√
=
√
จะได้ = 45°
และจาก = √ จะได้ =
√
= ดังนั้น = 30°
ดังนั้น sin 10 + cos 10 = sin 450° + cos 300° = sin 90° + cos 60° = 1 + ข. ผิด
14. 1
จาก ̅ ̅ ̅ = ̅ จะได้ ̅ ̅ = ̅ ดังนั้น |̅ ̅| = | ̅| = | ̅| ดังนั้น | ̅| = 5
จะได้ ̅ ̅ = ̅ ดังนั้น |̅ ̅| = | ̅| = |̅| ดังนั้น |̅| = 3
ส่วน = 1 +
( )
=
=
=
( )
จะได้ เศษ
ส่วน
=
( )
( )( ) ( )
= =
จะเห็นว่าตัวเลือกข้อ 3 ข้อเดียว ที่ tan แล้วตัดกับ arctan เหลือ tan
ดังนั้น ตอบข้อ 3
cos 2 = ( )
= ( )
= (
√ √
)
= (
√
( ))
= ( )
= ( 1 )( )
= 1 2 ก. ถูก
=
= ( )
= 2( 1 )
=
=
√

PAT 1 (เม.ย. 57) 25
ก. จาก |̅ ̅| = 5 และจากสูตร
เนื่องจาก ≤ ≤ และ cos เป็นบวก ดังนั้น อยู่ใน Quadrant ที่ 1 จะได้ tan เป็นบวก
cos =
√
=
ชิด
ฉาก
ดังนั้น tan = = 3 ก. ถูก
ข. จะหา ̅ ̅ ได้จากสูตร |̅ ̅| = |̅| | ̅| ̅ ̅
จาก ̅ ̅ ̅ = ̅ จะได้ ̅ ̅ = ̅ ดังนั้น |̅ ̅| = | ̅| = |̅| = √
แทนในสูตร จะได้
15. 3
มีเลขโดด 9 ตัว แต่ละหลักจะเลือกได้ 9 แบบ เนื่องจากมี 5 หลัก จะสร้างได้ทั้งหมด = แบบ
ถ้าต้องใช้แค่ 3 ตัว จะต้องมีตัวซ้า จะแบ่งกรณีตามรูปแบบการซ้า
กรณี ซ้า 3 + ต่าง 2 : ขั้นที่ 1 จัดกลุ่มเลขโดด : เลือกเลขโดดที่จะมาซ้า 3 ได้ 9 แบบ
ที่เหลือเลือกเลขโดดที่จะมาเป็น ต่าง 2 ได้ ( ) แบบ
ขั้นที่ 2 เรียงเลขที่ได้จากขั้นที่ 1 : ซ้า 3 + ต่าง 2 จะเรียงได้ แบบ
ดังนั้น ได้จานวนแบบ = 9 × ( ) × = (9)(8)(7)(5)(2) แบบ
กรณี ซ้า 2 สองคู่ + ต่าง 1 : ขั้นที่ 1 จัดกลุ่มเลขโดด : เลือกเลขโดดที่จะมาซ้า 2 สองคู่ ได้ ( ) แบบ
เหลือ 7 ตัว เลือกมาเป็น ต่าง 1 ได้ 7 แบบ
ขั้นที่ 2 เรียงเลขที่ได้จากขั้นที่ 1 : ซ้า 2 สองคู่ + ต่าง 1 จะเรียงได้ แบบ
ดังนั้น ได้จานวนแบบ = ( ) × 7 × = (9)(8)(7)(5)(3) แบบ
ดังนั้น ความน่าจะเป็น =
( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )
=
( )( )( )( )
=
16. 1
ข้อนี้ใช้สูตร ( )
( )( )…( )
= ไม่ได้ เพราะ ห.ร.ม. ( , … ) ( ) ≠
( หนังสือบางเล่ม บอกว่าใช้ได้ แต่ให้ปัดเศษขึ้น ซึ่งจะบังเอิญถูกในบางกรณีเท่านั้น )
ถ้า ห.ร.ม. ( , … ) ≠ จะมีปัญหาตอนคิดกลุ่มของตัวที่เอามาตอกไม่ให้วงหมุน ในพวกแบบที่ “เป็นคาบ”
เช่น ถ้าใช้ ตอก จะมีปัญหากับพวกแบบ (ซ้าเป็นคาบทีละ 2 ตัว คือ WR WR WR)
กล่าวคือ ปกติแล้ว 3! แบบต่อไปนี้ควรจะเป็นแบบที่ต่างกัน ที่ถูกนับเป็นแบบเดียวเมื่อ ซ้ากัน
แต่จะเห็นว่า กับ กับ ถือเป็นวงเดียวกันตั้งแต่ยังไม่ได้คิดว่า
ซ้ากันแล้ว ดังนั้นพวกที่ “เป็นคาบ” จะมีกลุ่มซ้าไม่ถึง 3! แบบ ทาให้เอา มาหารด้วย 3! เป็น ไม่ได้
|̅ ̅| = |̅| |̅| ̅ ̅
= + √ |̅||̅|
6 = 2(3)(√ ) cos
√
= cos
√
1
= √√ = 3
√ = ̅ ̅
24 = ̅ ̅
12 = ̅ ̅ ข. ถูก

26 PAT 1 (เม.ย. 57)
อย่างไรก็ตาม ข้อนี้เลขน้อย เขียนนับเอาเลยก็ได้ โดยจะแบ่งกรณีนับเป็น 3 กรณี
รวมสามกรณี จะมี 4 แบบ ตอบข้อ 1
หมายเหตุ : ถ้าข้อนี้จะไม่เขียนนับ ต้องแยกพวกแบบที่ “เป็นคาบ” ออกไปคิดต่างหาก
จะได้เป็น
( )
( )
( ) = 4 แบบ
17. 2
ต่อเนื่องที่ = 2 แสดงว่า 
 2
lim
x
( ) = ( ) = 
 2
lim
x
( )
จะเห็นว่า 
 2
lim
x
( ) กับ ( ) ใช้สูตรเดียวกัน จะได้ = ( ) = 2 + เท่ากัน
และ 
 2
lim
x
( ) = ( ) = ดังนั้น 2 + = …( )
และจาก 3
lim
x
( ) หาค่าได้ แสดงว่า
แทนใน (1) จะได้ = = 2 ดังนั้น | + 5 | = |2 + 16| = 15
18. 3
จัดรูปจะได้ √
=
√ (√ )
=
√ (√ )
√
√
=
( )(√ )
√ ( )
=
√
√
=
√
=
ดังนั้น
b
1

√
=
b
1
 = ( ) | = ( ) ( ) = √
แต่โจทย์บอกว่าอินทิเกรตได้ 4 ดังนั้น
แต่รูทเป็นลบไม่ได้ ดังนั้น √ = 3 จะได้ = 9 ดังนั้น 1 + + = 1 + 9 + 81 = 91
19. 2
จาก ( ) = 0 จะได้ ( ) = ( ) ( ) = …( )
และจะได้ ( ) = จะเห็นว่า ( ) = 0 เมื่อ =
แต่โจทย์บอกว่า มีค่าสูงสุดที่ = ดังนั้น = จัดรูป จะได้ …( )
คูณคอนจูเกต
√ = 4
√ = 0
(√ )(√ ) = 0
√ = 3, 1
กรณี W ติดกันทั้ง 3 ตัว
W
W W
R R
R
กรณี W ติดกัน 2 ตัว
W
R W
W R
R
W
R W
R R
W
กรณี W ไม่ติดกัน
W
R R
W W
R

3
lim
x
( ) = 
3
lim
x
( )
( ) = ( )
=
ดึง √ เป็นตัวร่วม

PAT 1 (เม.ย. 57) 27
จาก ( ) = ( ) + 1 จะได้
แต่
1
0
 ( ) = | = ( ) ( ) =
ดังนั้น = 1 คูณ 6 ตลอด ได้ …( )
จาก (1), (2), (3) จะแก้หา ได้ : (3) – (2) จะเหลือ 6 = 1
(2) – 2(1) และแทน = 1 จะได้ = = 2
แทน , ใน (1) จะได้ = = 3
ดังนั้น ( ) =
(ก) ( ) = | = ( ) ( ) = 3
( ) = | = ( ) ( ) = 13 น้อยกว่าอยู่ ก. ถูก
(ข) ( )
= ดิฟ ได้ ≠ ข. ผิด
20. 4
จัดรูป ทาเทเลสโคปิค : = ( )
= ( )( )
= [ ( )] = ( )
ดังนั้น … = [( ) ( ) ( ) ( )]
= [ ( ) ( ) (
( )
) ]
= [
( )( ) ( )( ) ( ( ))( ( ))
]
= [ ]
= [ ]
ดังนั้น n
lim
…
=
n
lim [ ] =
n
lim [ ] = ( ) =
ดังนั้น = 1 , = 16 จะได้ = 1 + 256 = 257
21. 4
ให้ = + i จะได้ ̅ = i แทนในสมการ จะได้
จะได้ = …( ) และ = 3 …( )
จาก (1) จะได้ = แทนใน (2) จะได้
แทนใน (1) จะได้ = ( ) จะได้ = 2 ดังนั้น = i
t
0
 ( ) =
t
1
 ( ) + 1
1
0
 ( ) +
t
1
 ( ) =
t
1
 ( ) + 1
1
0
 ( ) = 1
= 3i( )
( ) ( ) =
= ( ) i
= ( )
8 = 16
= 2

28 PAT 1 (เม.ย. 57)
(1) ( i) + ( i) = i(( i) ( i))
4 = ( ) ถูกต้อง
(2) | i + 2| = |2i| = 2 ถูกต้อง
(3) ฝั่งซ้าย = ( ) i = ( ) ถูกต้อง
(4) ฝั่งซ้าย
22. 1
ระบบสมการคือ โดย
แทนระบบสมการ จะได้ 3.2 = 6 + 4 …( ) และ 4.2 = 14 + 6 …( )
(2) (1) จะได้ ตัดกัน เหลือ = 5 จะได้ = 0.12
แทนใน (1) จะได้ 3.2 = + จะได้ = = 0.98
(ก) จะได้ + 11 = + 1.1 = 0.98 = ถูก
(ข) ถ้า = 8 จะได้ = ( ) = = ถูก
23. 1
(ก)
แทน = 16 ในอีกสมการ จะได้ √ ถูกต้อง
(ข) สมการแรก คูณสองฝั่งด้วย จะได้
สมการสอง คูณสองฝั่งด้วย จะได้
สมการสาม คูณสองฝั่งด้วย จะได้
= ( ) ( ) ( )
=
= ถูกต้อง
= ( )( )
= ( )( )
= ( )
= (( ) )
= ( )
= ( )
= 8 8i ≠ ผิด
∑ = ∑
∑ = ∑ ∑
∑ = 1 + 0.8 + 0.8 + 0.6 = 3.2
∑ = 0 + 1 + 2 + 3 = 6
= 4
∑ = 0 + 0.8 + 1.6 + 1.8 = 4.2
∑ = 0 + 1 + 4 + 9 = 14
= 7
= 7
( ) ( ) = 7
( ) ( ) = 7
= 4
= 16
=
=
=
=
=
=

PAT 1 (เม.ย. 57) 29
24. 3
แจกแจงปกติ ̅ = มัธยฐาน = ฐานนิยม ̅ = 45
โจทย์บอกว่า มี 34.13% อยู่ระหว่างมัธยฐาน กับ 54 จะวาดได้ดังรูป
เอา = 0.3413 ไปเปิดตาราง จะได้ = 1.0 ดังนั้น = 54 จะได้ = 1.0
จากสูตร =
̅
จะได้ 1.0 = = 9
ถัดมา หา จากรูป เนื่องจากพื้นที่ที่ใช้เปิดตาราง ต้องเป็นพื้นที่ที่วัดจากแกนกลาง
ดังนั้น ต้องเอา = = 0.17 ไปเปิดตาราง จะได้ = 0.44
และ อยู่ทางฝั่งซ้าย จะมี เป็นลบ ดังนั้น จะมี = 0.44
จากสูตร =
̅
จะได้ 0.44 = = 3.96 + 45 = 41.04
ดังนั้น นักเรียนคนนี้ได้ × 41.04 = 68.4 เต็ม 100 = 68.4%
25. 4
เรียงข้อมูลก่อน จะได้ 28 30 32 35 40 42 45 48 50 65
(ก) อยู่ตาแหน่งที่ ( )
จะได้ = ตัวที่ 7 + 0.7(ตัวที่ 8 – ตัวที่ 7)
= 45 + 0.7( 48 – 45 ) = 45 + 2.1 = 47.1
มัธยฐาน = ตัวที่ จะได้ M =
ตัวที่ ตัวที่
= = 41
จะได้ – M = 47.1 – 41 = 6.1 ก. ผิด
(ข) ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ =
อยู่ตาแหน่งที่ ( )
จะได้ = ตัวที่ 8 + 0.25(ตัวที่ 9 ตัวที่ 8)
= 48 + 0.25( 50 48 ) = 48 + 0.5 = 48.5
อยู่ตาแหน่งที่ ( )
จะได้ = ตัวที่ 2 + 0.75(ตัวที่ 3 ตัวที่ 2)
= 30 + 0.75( 32 30 ) = 30 + 1.5 = 31.5
ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ = = ข. ผิด
26. 4
̅ × ̅ = [ ] × [ ] = [ ] = [ ] ดังนั้น |̅ × ̅| =
ดังนั้น |̅| = = ( ) = 4 + 4 = 8
27. 2
(ก) = [ ] [ ] = [ ] ดังนั้น + + I = [ ]
ดังนั้น det( + + I) = (1 + ( ) + ) – ( + + )
= (1 + 1 + 1 ) – ( ) ก. ถูก
(ข) จะเห็นว่า เกิดจากการนา ทา (1). , (2). 2 และ (3). 3
จากสมบัติ det จะได้ว่า (1). จะไม่มีผลกับ det แต่ (2). กับ (3). จะทาให้ det เพิ่มเป็น 2 เท่า และ 3 เท่า ตามลาดับ
= 54
0.3413
0.33
√( ) = 2
+ = 4

30 PAT 1 (เม.ย. 57)
ดังนั้น ถ้า det( ) = 3 แล้ว จะได้ det( ) เพิ่มเป็น (2)(3)(3) = 18 ข. ผิด
28. 2
ให้ผสมปุ๋ ย A จานวน ถุง และ ปุ๋ ย B จานวน ถุง
ดังนั้น จะได้ N = 2 + 3 , P = + 3 , K = 80 + 60 และค่าใช้จ่าย = 10 + 12
จะได้เงื่อนไขคือ
โดยวัตถุประสงค์คือ ต้องทาให้ = 10 + 12 ต่าสุด
วาดอสมการเงื่อนไขจากจุดตัดแกน และแรเงาพื้นที่ที่สอดคล้อง
จานวนถุงต้องไม่ติดลบ จึงเอาเฉพาะพื้นที่ใน จะได้บริเวณที่ซ้อนทับกันดังรูป
ต้องการหาค่าน้อยสุด จะมีจุดมุมที่ต้องสงสัย 4 จุด คือ P, Q, R, S
หาพิกัดจุด Q จากการแก้ (1) กับ ( ) (3) – 20(1) : 40 = 120 = 3 แทนใน (1) ได้ = 4
หาพิกัดจุด R จากการแก้ (1) กับ ( ) ( ) – (2) : แทนใน (2) ได้ = 2
แทน P, Q, R, S หาจุดที่ ต่าสุด
ดังนั้น เสียค่าใช้จ่ายน้อยสุด = 78 บาท
29. 3
ให้ = 2 + 3 และ = 3 + 2 แทนใน ก. และ ข. จะได้ดังนี้
ก. ข.
โจทย์ให้ < ซึ่งจะเห็นว่า 6 > อาจจะไม่จริง
เช่น ถ้า = 1, = 7 และ เป็นอะไรก็ได้ ประโยคนี้จะผิด
เช่น ถ้า = 1, = 7, = 1 จะได้ ก. คือ > ซึ่งไม่จริง
30. 4
แทน = 0 จะได้ ( ( )) = 2 +15 เราจะใช้เทคนิคเปลี่ยนตัวแปร เพื่อหา ( )
ดังนั้น ( ) = 2 ( ) …( )
ถัดมา แทน = 0 ใน ( ( )) ที่โจทย์ให้ จะได้ ( ( )) = + 15
ให้ + ( ) =
= ( )
2 + 3 …( )
+ 3 …( )
80 + 60 …( )
P(0,8) : = 10(0) + 12(8) = 96
Q(3,4) : ( ) ( ) min
R(6,2) : = 10(6) + 12(2) = 84
S(12,0) : = 10(12) + 12(0) = 120
8
6
4
6 9 12
(1)
(3)
(2)
P
R
S
Q
>
>
4 >
4(3 + 2 ) > 3(2 + 3 )
12 + 8 > 6 + 9
6 >
>
>
>
2 + 3 > 3 + 2
>
โจทย์ให้ < ข. จริง
= 2( ( )) + 15
= 2 ( )

PAT 1 (เม.ย. 57) 31
แต่ถ้าแทน ใน (1) ด้วย ( ) จะได้ ( ( )) = 2 ( ) ( ) + 15
ใช้ ( ( )) เป็นตัวเชื่อม จะได้
ก. แทน และ จาก (1) และ (2) จะได้ ( )( ) = ( ( )) = ( ( ) )
=
( ) ( )
= ก. ผิด
ข. ( ( )) = ( ( ) ) = ( ( ))
=
( ) ( )
ข. ผิด
31. 5
แต่จะเห็นว่า ใช้ไม่ได้ เพราะทาให้ หลัง ( ) เป็นลบ เหลือ 5 ตัวเดียว ตอบ 5
32. 54
แก้หา cos B และ cos C ก่อน
5(1) + (2) : = แทนใน (1) ได้ = =
จะหา sin ของทุกมุม เพื่อใช้กฎของ sin
cos =
ชิด
ฉาก
วาดรูป + หาด้านที่เหลือ ได้ดังรูป
เนื่องจาก B, C เป็นมุมแหลม จะได้ sin เป็นบวก ดังนั้น sin B = , sin C =
และ sin A = sin (180° – (B+C)) = sin(B+C) =
= + =
จากกฎของ sin จะได้ แทนค่าต่างๆที่รู้ จะได้ = =
ดังนั้น = = = 21 และ = = 20 × = 13
จะได้ความยาวรอบรูป = = 21 + 13 + 20 = 54
33. 681
ข้อนี้ทาได้หลายวิธี จะกระจาย ( ) ก็ได้ หรือจะใช้ ( ) = ก็ได้
ผมคิดว่า ใช้วิธีแทน สามมุมลงไป แล้วแก้ระบบสมการ น่าจะง่ายที่สุด โดยต้องเลือก ที่ cos แล้วได้เลขน้อยๆ
2 ( ) ( ) + 15 = + 15
( ) =
( )
…( )
( ) ( ) = ( )
( ) ( ) = ( ( ))
( ) ( ) = ( ( ))
( ) + ( ) = ( ( ))
( )( ) = ( ( ))
=
= 0
( )( ) = 0
= 5, 1
= 15 …( )
= 77 …( )
B
4
5
3
C
5
13
12

32 PAT 1 (เม.ย. 57)
ดังนั้น = 256 + 400 + 25 = 681
34. 3
: จากสมบัติ log จะได้
ดังนั้น หรือ
: ต้องสังเกตว่า ฝั่งซ้ายยกกาลังสอง = ( √ ) = √
= √ = ฝั่งขวา พอดีเป๊ ะ
ดังนั้น ถ้าให้ = √ จะได้สมการกลายเป็น
ดังนั้น หรือ
ดังนั้น = { 0, 1,
√
} มีสมาชิก 3 ตัว
(2) – (1) : 15 = 3 + 15
5 = + 5 …( )
(3) – (1) : = + 3 …( ) (4) – (5) : 10 = 2 = 5
แทน ใน (5) จะได้ = = 20
แทน ใน (1) จะได้ = 1 + 20 – 5 = 16
= 0° : 1 = = …( )
= 60° : = = …( )
= 45° :
√
=
√ √ √
4 = …( )
=
=
=
= ( )
= 0
( )( ) = 0
= 2
3( ) = 2( )
=
จะได้ = 1
=
=
จะได้ = 0
ให้ = , =
= {1, 0}
=
0 =
0 = ( )
= 0 , 1
√ = 0
√ =
= ( ) ;
1 =
√
=
แต่จาก จะเหลือ =
√
√ = 1
√ =
= ( ) ;
=
0 =
0 = ( )
= 0 , 1
สอดคล้องกับ ทุกตัว จะได้ = 0, 1

PAT 1 (เม.ย. 57) 33
35. 9
จาก
จะหา ( ) ต้องหา ที่ ( ) = 1 นั่นคือ
และ ( ) = ( ) = แทนใน ( ) จะได้ 1 = = 1
ดังนั้น ( )( ) = ( ( )) = (( )( ) ) = ( ) = ( )( ) = 9
36. 500
เอา = … มากลับเศษส่วน จะได้
จับ เท่ากับแต่ละตัว เพื่อเขียน ในรูป : จาก = จะได้ =
จาก = จะได้ =
⋮
จาก = จะได้ =
เนื่องจาก { } เป็นลาดับเลขคณิต และโจทย์ถาม หาได้จากสูตร = ( )
นั่นคือ
37. 1704
จะใช้วิธีเอาสมการมาหักด้วยตัวมันเอง จาก = …( )
เพิ่ม 1 ตาแหน่ง โดยแทน ด้วย + 1 จะได้ = ( ) …( )
(1) – (2) จะได้ = 1 นั่นคือ ตัวที่ห่างกัน 3 ตาแหน่ง ค่าจะน้อยลง 1
เช่น
เนื่องจาก 2558 หารด้วย 3 เหลือเศษ 2
ดังนั้น จะเอากลุ่ม ÷ 3 เหลือเศษ 2 มาคิด ดังตาราง
สองแถวนี้ต้องมีจานวนตัวเท่ากัน ใช้สูตร จานวนตัว =
ปลาย ต้น
ห่าง
+ 1 จะได้
( )( ) = 1
( ( )) = 1
( ) = ( ) …( )
( ) = 1
= 0
( ) = 0
= 1 จะได้ ( ) = 1
= = … =
1 + = 1 + = 1 + … = 1 +
= = … =
{ } เป็นลา
ดับเลขคณิต
(เพิ่มทีละ )
… = ( )
250000 = ( )
500 =
= 12 = 11 = 10 = 9 … (กลุ่ม ÷ 3 เหลือเศษ 1)
= 2556 = 2555 = 2554 = 2553 … (กลุ่ม ÷ 3 เหลือเศษ 2)
= 7 = 6 = 5 = 4 … (กลุ่ม ÷ 3 ลงตัว)
2 5 8 11 … 2558
2556 2555 2554 2553 …
+ 1 = + 1
852 =
1704 =

34 PAT 1 (เม.ย. 57)
38. 340
ข้อนี้สิ่งสาคัญที่ต้องรู้คือ ถ้าระหว่าง P สองตัวไม่มี A มาแทรก แล้ว ระหว่าง P สองตัวนั้น จะต้องมี T มาแทรก (เพราะ
ห้ามมี P ติดกัน) และจะแทรก T ได้แค่ตัวเดียวเท่านั้น (เพราะ ห้ามมี T ติดกัน)
กล่าวคือ ระหว่าง P สองตัว จะเป็นได้ 2 แบบ คือ แบบที่มี A มาแทรก เช่น P A P , P T A A P , P A T …
กับแบบที่ไม่มี A มาแทรก ซึ่งจะเป็นได้แบบเดียว คือ P T P
ดังนั้น ข้อนี้จะแบ่งกรณีนับ ตามลักษณะการแทรกระหว่าง P แต่ละคู่ ว่ามี A มาแทรกหรือไม่
กรณี ระหว่าง P ทั้งสามตัว มี A มาแทรก (เช่น P T A T P A A P T )
ขั้น 1 เอา A วางปักหลักไว้ก่อน __ A __ A __ A __ มีช่องให้แทรก 4 ช่อง
ใน 4 ช่องนี้จะมี P สองตัวอยู่ช่องเดียวกันไม่ได้ (เพราะระหว่าง P ทุกตัวต้องมี A มาแทรก)
เลือก 3 ช่องจาก 4 ช่อง ให้ P ทั้ง 3 ตัว ได้ ( ) = 4 แบบ
ขั้น 2 เอา T มาแทรก จากขั้นแรก เราจะมี A และ P เรียงแถวกันอยู่ (เช่น __ P __ A __ P __ A __ A __ P __ )
จะเห็นว่ามีช่องให้แทรก 7 ช่อง และ จะมี T สองตัวอยู่ช่องเดียวกันไม่ได้ (เพราะ T ต้องไม่ติดกัน)
เลือก 3 ช่องจาก 7 ช่อง ให้ T ทั้ง 3 ตัว ได้ ( ) = 35 แบบ
จะได้กรณีนี้มีจานวนแบบ = 4 × 35 = 140 แบบ
กรณี ระหว่าง P แค่สองตัว ที่มี A มาแทรก (เช่น P T A A T P T P A )
จะได้ว่า ระหว่าง P อีกคู่ที่ไม่มี A แทรก จะเป็นได้แบบเดียว คือ P T P
เลือกช่องให้ P T P กับ P ที่เหลืออีกตัว มาแทก จะเห็นว่า P T P กับ P ที่เหลือจะลงช่องเดียวกันไม่ได้
(ไม่งั้น A จะไม่ได้ไปแทรกระหว่าง P คู่ไหนเลย ซึ่งขัดกับเงื่อนไขของกรณี ที่ต้องมี P สองตัว ที่มี A มาแทรก)
เลือก 1 ช่องจาก 4 ช่อง ให้ก้อน P T P ไปแทรก ได้ = 4 แบบ
เหลือ 3 ช่อง เลือก 1 ช่อง ให้ P อีกตัวที่เหลือ ไปแทรก ได้ = 3 แบบ
ขั้น 2 เอา T ที่เหลือมาแทรก จากขั้นแรก เราจะมีเกือบทุกตัวแล้ว ขาดแค่ T อีกสองตัว
(เช่น __ P __ A __ A __ P T P __ A __ ) จะมีช่องว่าง 6 ช่องให้ T สองตัว เลือกได้ ( ) = 15 แบบ
จะได้กรณีนี้มีจานวนแบบ = 4 × 3 × 15 = 180 แบบ
กรณี ระหว่าง P แต่ละตัว ไม่มี A เลย (เช่น A A P T P T P A T )
จะได้ว่า ระหว่าง P ทั้งสามตัว จะเป็นได้แบบเดียวคือ P T P T P
เลือกช่องให้ก้อน P T P T P ไปแทรก ได้ 4 แบบ
ขั้น 2 เอา T ที่เหลือมาแทรก จากขั้นแรก เราจะมีเกือบทุกตัวแล้ว ขาดแค่ T อีกตัวเดียว
(เช่น __ A __ A __ P T P T P __ A __ ) จะมีช่องว่าง 5 ช่อง เลือกได้ 5 แบบ
จะได้กรณีนี้มีจานวนแบบ = 4 × 5 = 20 แบบ
รวมทั้ง 3 กรณี จะได้คาตอบ = 140 + 180 + 20 = 340 แบบ
จานวนแบบ = 4 × 3 แบบ

PAT 1 (เม.ย. 57) 35
39. 109
จากสมบัติของค่าเฉลี่ย จะได้ ̅ = ̅ = 6 +
ดังนั้น ค่าเฉลี่ยรวม =
̅ ̅
=
( ) ( )
= โจทย์ให้
ถัดมา จากสูตรความแปรปรวน =
∑
̅ จะได้
และจากสมบัติของ จะได้ = | | = 2 ดังนั้น
( ที่มาบวก จะไม่มีผลกับค่า )
จะได้ ความแปรปรวนรวม =
∑ ∑
=
( )
=
โดยให้ ความแปรปรวนรวม = 21 ดังนั้น
โจทย์ให้ > 0 ดังนั้น = 3 แทนใน ( ) จะได้ = 8 – 6(3) = 10 ดังนั้น = 9 + 100 = 109
40. 7
เอาความถี่สะสมช่องที่ติดกันมาลบกัน จะได้ช่องความถี่ปกติ (แบบไม่สะสม) ดังตาราง
โดยช่อง ร้อยละความถี่สัมพัทธ์นี้สามารถใช้แทนความถี่ในการหา
ค่ากลางและการกระจายข้อมูลได้เลย
โดยต้องเทียบให้จานวนข้อมูลทั้งหมด มี 100 จานวน
จะได้ ̅ =
( ) ( ) ( ) ( )
=
แต่โจทย์ให้ ̅ = 4 ดังนั้น แก้ได้ = 4
ดังนั้น ความแปรปรวน =
∑ ( ̅)
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= = 7
41. 38
จัดรูปเส้นตรง จะได้ = เทียบกับรูป = จะได้ ความชัน = 5 ดังนั้น ( ) = 5 ด้วย
จาก ( ) = จะได้ ( ) = ( ) แก้สมการ จะได้ = 2
และจุดที่เส้นตรงสัมผัส จะต้องอยู่ทั้งบน เส้นตรงและ แทน = 1 ในเส้นตรง = + 13 ได้ = 18
ดังนั้น จุด (1, 18) ต้องอยู่บน ด้วย ( ) ต้องแทนใน ( ) = แล้วเป็นจริง
จะได้ 18 = + 2(1) + แก้ได้ จะได้ ( ) = 15 + 2 +
2
0
 ( ) = | = ( ) ( ) = 38
= 7
= …( )
=
∑
40 = ∑
( ) =
∑
( )
( ) =
∑
( ) = ∑
= 21
= 100
( ) ( ) = 100
( ) ( ) = 25
= 25
= 9
แทน จาก ( )
> 0
ค่าสังเกต
( )
ร้อยละของความถี่
สะสมสัมพัทธ์
ร้อยละของความถี่
สัมพัทธ์
1 20 20
2 40 20
70 30
6 90 20
10 100 10

36 PAT 1 (เม.ย. 57)
42. 634
อัตราการเปลี่ยนแปลงของ ( ) เทียบกับ ขณะที่ = 3 ก็คือ ( ) นั่นเอง
เนื่องจากตัวส่วน
3
lim
x
= 0 แต่
3
lim
x
( )
หาค่าได้ ดังนั้น
3
lim
x
( )
ต้องอยู่ในรูป
ใช้โลปิตาล จะได้
3
lim
x
( )
=
3
lim
x
ดิ๊ฟบน
ดิ๊ฟล่าง
=
3
lim
x
( ) ( )
= 3 ( ) ( ) = 3 ( ) + 111
แต่โจทย์ให้
3
lim
x
( )
= 2013 ดังนั้น 3 ( ) + 111 แก้ได้ ( ) = = 634
43. 35
ขั้น 1 เลือก A, B : เขียนนับจานวนที่บวกกันเป็น 14 จะมี ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) แบบ
ขั้น 2 เลือกตัวที่เหลือ ให้ บวก 3 สมการ จะได้
เนื่องจากแต่ละแบบของ F, , , จะโยงกลับไปหา C, D, E ได้แบบหนึ่งต่อหนึ่งเสมอ
เช่น ถ้า (F, , , ) = (2, 1, 2, 4) จะได้ (F, E, D, C) = (2, 3, 5, 9)
ดังนั้น เราจะนับจานวนแบบของ (F, , , ) แทน
โดยเงื่อนไขคือ > > > 0 และ F ≤
จะได้ทั้งหมด 7 แบบ
รวม 2 ขั้นตอน จะได้จานวนแบบ = 5 × 7 = 35
44. 2750
แยกเทเลสโคปิค ได้ = …
= …
= ( … ) ( )
= ( … ) ( )
= …
ถัดมา หา สังเกตว่าตัวเลขทุกคู่ รวมกันได้ 3025 ดังนั้น เราจะคูณ แล้วกระจาย 3025 เข้าไป
จะเห็นว่า = จะได้ = ดังนั้น = = 2750
C – D =
D – E =
E – F =
C – F = + +
C = + + + F
9 + + + F
F
1 2 3
1
2
3
1 2 4
1
2
1 2 5 1
1 3 4 1
= (( )( ) ( )( )
… ( )( )
)
= (( )( ) ( )( )
… ( )( )
)
= (( )( ) ( )( )
… ( )( )
)
= ( )
= ( )
มี , … ตัวละ 2 ครั้ง
เปลี่ยน 1 เป็น 1 2
แยกตัวที่เป็นลบไปไว้ข้างหลัง
ตัด 1008 พจน์แรกได้

PAT 1 (เม.ย. 57) 37
45. 384
ก่อนอื่น เราจะจัดสมการที่โจทย์ให้ ให้อยู่ในรูปง่ายที่สุดเท่าที่จะจัดได้ก่อน
(ก) = ง่ายอยู่แล้ว
(ข) (ค)
หลักทั่วไปในแก้สมการจานวนเต็ม คือ ต้องจัดฝั่งหนึ่งให้เป็นตัวเลข แล้ว แยกตัวประกอบอีกฝั่ง
แล้วอ้างว่า ฝั่งที่เป็นตัวเลข จะแยกตัวประกอบได้แค่ไม่กี่แบบ
จะเห็นว่าสมการ (2) มีฝั่งซ้ายเป็นตัวเลขแล้ว ส่วนฝั่งขวา ถ้าเติม +3 เข้าไป จะสามารถจัดกลุ่มดึงตัวร่วมได้
กรณี 5 × 1 : จะได้ = 5 และ = 1 จะได้ = 6 , = 4
แทนใน (1) จะได้ = 2(6) + 4 = 16 , แทนใน (ก) ได้ = 6 + 16 = 22
จะได้ = 484 + 36 + 16 + 256 = 792
กรณี 1 × 5 : จะได้ = 1 และ = 5 จะได้ = 2 , = 8
แทนใน (1) จะได้ = 2(2) + 8 = 12 , แทนใน (ก) ได้ = 2 + 12 = 14
จะได้ = 196 + 4 + 64 + 144 = 408
เนื่องจาก เป็นได้แค่ 792 กับ 408 ดังนั้น = 792 และ = 408
ดังนั้น = 792 – 408 = 384
เครดิต
ขอบคุณ คุณ nitrogen synthesis และ คุณ Gtr Ping and his friends สาหรับข้อสอบนะครับ
ขอบคุณ คุณ Piyapan Sujarittham และคุณ P'Wit Tutor ที่ช่วยตรวจสอบความถูกต้องของเฉลยให้นะครับ
( ( )) = ( )
( ) = ( )
( ) = ( )
=
=
( ) =
+ =
+ =
…( )
จาก (ก)
จาก (ก)
ตลอดได้ (เพราะ ≠ 0)
2 + = ( )
2 + = ( )( )
2 + =
2 =
2 = ( )
2 = …(2)
จาก (ก)
จาก (1)
(2) : 2 =
2 + 3 =
5 = ( ) ( )
5 = ( )( )
จะเห็นว่า 5 ทางฝั่งซ้าย แยกเป็น 2 ตัวคูณกันได้แค่ 2 แบบ
คือ 5 × 1 กับ 1 × 5

Pat1

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (17)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Pat1

Similar to Pat1 (20)

More from Jaturaphun

More from Jaturaphun (20)

Pat1