1. Нормалност
правих и равни

2. нормалност правих и равни 2
 Теорема 1:Теорема 1:
Ако је права равни , тада се кроз
било коју тачку А равни може
поставити тачно једна нормала на дату
праву .
a α
α
a

3. нормалност правих и равни 3
 Теорема 2:Теорема 2:
Ако су , , различите праве једне
равни и ако су и нормалне на ,
тада су и паралелене међу собом.
a b c
a b c
a b

4. нормалност правих и равни 4
 Доказ:Доказ:
Праве a и b се не могу сећи, јер би тада
кроз њихову пресечну тачку постојале
две нормале на праву c, што је
противречно теореми 1.

5. нормалност правих и равни 5
 Теорема 3Теорема 3:
Свака дуж има тачно једно средиште.

6. нормалност правих и равни 6
 Дефиниција 1:Дефиниција 1:
Ако права и равни имају заједничку
тачку А и при том је права нормална
на свим правим које припадају равни
и садрже тачку А, тада кажемо да је
права нормалана на равни . Такође
кажемо да је раван нормалан на
праву .
За сваку праву која није нормална на
раван кажемо да је коса у односу на
ту раван
a α
a
α
a α
α
a
α

7. нормалност правих и равни 7
 Теорема 4:Теорема 4:
Ако су , , три различите праве са
заједничком тачком P и ако је
нормална на правим и , тада је
права нормална на равни одређеној
правим и .
a b c
a b
c
a b
c

8. нормалност правих и равни 8

9. нормалност правих и равни 9
 Теорема 4 је позната и као Кошијев
став.

10. нормалност правих и равни 10
 Теорема 5: (о три нормале)Теорема 5: (о три нормале)
Нека је дата раван и права у тој
равни. Ако је права нормална на
раван у тачки и ако је тачака
А подножје нормале из тачке P на праву
, тада је свака права, која садржи тачку
А и сече праву , нормалана на правој
α a
p
α aPP ∉,
a
p a

11. нормалност правих и равни 11

12. нормалност правих и равни 12
 Дефиниција 2:Дефиниција 2:
За две равни које се секу кажемо да су
нормалне једна на другој ако је свака
права једне равни, која је нормална на
пресечној правој, истовремено
нормална и на другој равни.

13. нормалност правих и равни 13
 Теорема 6Теорема 6:
Кроз дату тачку А постоји тачно једна
права нормална на дату праву .a

14. нормалност правих и равни 14

15. нормалност правих и равни 15
 Теорема 7Теорема 7:
Ако је права нормална на равни ,
онда је свака раван која садржи праву
нормалана на равни .
a β
a
β

16. нормалност правих и равни 16
 Дефиниција 3:Дефиниција 3:
Ако су и мимоилазне праве и права
паралелна са која сече праву , тада угао
између правих и називамо углом
мимоилажења правих и . Ако је ,
кажемо да се праве и мимоилазе под
правим углом. Каже се и да су тада
мимоилазне праве нормалне.
a b 1b
b a
a 1b
a b ab ⊥1
a b

17. нормалност правих и равни 17
 Дефиниција 4:Дефиниција 4:
Ако права није нормалана на раван
, онда оштар угао одређен правом и
њеном нормалном пројекцијом на
раван називамо углом између праве
и равни . Ако је права нормална на
раван, угао између праве и равни је
прав.
a α
a'
a
α a
α