Ôn tập số phức và tổ hợp

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SỐ PHỨC
S

CHñ §Ò: tæ hîp vμ sè phøc
n¨m häc: 2010 - 2011
Hä vμ tªn: NguyÔn V¨n Loan
Tæ: To¸n Tin
Tr¦êng THPT CÈm Lý

Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang 1

S

CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC
1. ĐỊNH NGHĨA PHÉP TOÁN SỐ PHỨC
I> Khái niệm số phức:
 Là biểu thức có dạng a + b i , trong đó a, b là những số thực và số i thoả i 2 = –1.
Kí hiệu là z = a + b i với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo.
 Tập hợp các số phức kí hiệu là = {a + b i / a, b và i 2 = –1}. Ta có  .
 Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0. i = a 
 Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + b i = b i . Đặc biệt i = 0 + 1. i
 Số 0 = 0 + 0. i vừa là số thực vừa là số ảo.
II> Số phức bằng nhau:
a  a '
 Cho hai số phức z = a + b i và z’ = a’ + b’ i . Ta có z = z  
b  b '
 VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1) i = (2y + 1) + (3x – 7) i (1)
2 x  3  2 y  1 x  y  2 x  2
(1)    
3 y  1  3 x  7 x  y  2 y  0
III> Biểu diễn hình học của số phức:
 Mỗi số phức z = a + b i được xác định bởi cặp số thực (a; b).
 Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.
 Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục
hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.
 VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là:
z A = 1 + 4 i , z B = –3 + 0. i , zC = 0 –2 i , z D = 4 – i
IV> Môđun của số phức:
 Số phức z = a + b i được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt


phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM được gọi là môđun của số
phức z. Kí hiệu z = a + bi = a 2 + b 2
 VD: z = 3 – 4 i có z  3  4i  32  (4) 2 = 5
2
 Chú ý: z 2  a 2  b 2  2abi  (a 2  b 2 ) 2  4a 2b 2  a 2  b 2  z
V> Số phức liên hợp:
 Cho số phức z = a + b i , số phức liên hợp của z là z  a  bi .
z = a + bi  z = a - bi ; z  z,
z = z* Chú ý

( Z n )  ( Z ) n ; i  i;i  i
 Z là số thực  Z  Z
 Z là số ảo  Z   Z
* Môđun số phức Z=a + b.i (a; b  R) Z  OM  a 2  b 2  z.z Chú ý: Z Z  z  C
 Hai điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy.
VI> Cộng, trừ số phức:
 Số đối của số phức z = a + b i là –z = –a – b i
 Cho z  a  bi và z '  a ' b ' i . Ta có z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i
 Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực.
VII> Phép nhân số phức:
 Cho hai số phức z  a  bi và z '  a ' b ' i . Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay i 2 = –1
và rút gọn, ta được: z.z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i
 k.z = k(a + b i ) = ka + kb i . Đặc biệt 0.z = 0 z
2
 z. z = (a + b i )(a – b i ) hay z.z = a 2 + b 2 = z


S

 VD: Phân tích z 2 + 4 thành nhân tử. z 2 + 4 = z 2 – (2i ) 2 = (z – 2 i )(z + 2 i ).
 Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực.
VIII> Phép chia số phức:
1 z 1 a - bi
 Số nghịch đảo của số phức z  a  bi  0 là z -1 = = 2 hay = 2
z z a + bi a + b 2
z ' z '.z a' + b'i (a' + b'i)(a - bi)
 Cho hai số phức z  a  bi  0 và z '  a ' b ' i thì  2 hay =
z z a + bi a 2 + b2
 VD: Tìm z thoả (1 + 2 i )z = 3z – i .
i i (2  2i ) 2  2i 1 1
Ta có (3 – 1 – 2 i )z = i  z =  z z  z  i
2  2i 44 8 4 4
IX> Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k N
 i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+ 2 = -1; i 4k+ 3 = -i
 VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z = (2  2i )13
6
z  (2  2i ) 2  (2  2i )  (8i )6 (2  2i )  86.2  86.2i  219  219 i
 
Phần thực a = 219 , phần ảo b = 219
2.BÀI TẬP PHÉP TOÁN SỐ PHỨC.
1) Tìm các số thực x, y biết:
a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; c) (1 – 2x) – i 3 = 5 + (1 – 3y)i;
b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;
3 4 1 5 1 3
 Hướng dẫn: a) x = , y = c) x = ,y= b) x = 0, y = 1.
2 3 2 3
2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) Phần thực của z bằng –2;
b) Phần ảo của z bằng 3;
c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2);
d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3];
e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2].
 Hướng dẫn:
a) Là đường thẳng x = –2;
b) Là đường thẳng y = 3;
c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên;
d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên;
e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2
tính cả biên.
3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) |z| = 1; b) |z|  1 c) 1 < |z|  2 d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.
 Hướng dẫn:
a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa a 2  b 2  1 , là đường tròn tâm O, bán kính R = 1;
b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa a 2  b 2  1 , là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên;
c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 1  a 2  b 2  2 , là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không
tính biên, bán kính lớn R = 2 tính biên;
4)Thực hiện các phép tính sau:
(1  i ) 2 (2i )3
b) 2i(3 + i)(2 + 4i) c)
2  i
5)Giải phương trình sau:
z
c) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i; b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z c)  (2  3i )  5  2i
4  3i


S

8 9
 Hướng dẫn: a) z = 1  i
b) z = c) z = 15 – 5i.
5 5
6)Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt
phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.
  
 Hướng dẫn:Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –i. F  cos ;sin  nên F
 6 6
3 1 3 1
biểu diễn số  i . C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số   i . E đối xứng F qua Ox
2 2 2 2
3 1 3 1
nên E biểu diễn số  i . B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số   i
2 2 2 2
1 3 1
7)Cho z    i . Hãy tính: ; z ; z 2 ; ( z )3 ;1  z  z 2 .
2 2 z
 Hướng dẫn: Ta có z  1 nên
1 1 3 1 3
  iz; z2    i; z 3  z .z 2  1 ; 1 z  z2  0
z 2 2 2 2
8)Chứng minh rằng:
1 1
a) Phần thực của số phức z bằng  z  z  , phần ảo của số phức z bằng  z  z 
2 2i
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z   z .
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi z  z .
z'  z'
d) Với mọi số phức z, z, ta có z  z '  z  z ', zz '  z.z ' và nếu z  0 thì  
z z
 Hướng dẫn: z  a  bi, z  a  bi (1)
1
a) Lấy vế cộng vế  Phần thực của số phức z bằng  z  z  . Lấy vế trừ vế  phần ảo của số phức
2
1
z bằng  z  z  .
2i
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0  z  z  0  z   z .
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0  z  z  0  z  z .
d) z  a  bi; z '  a ' b ' i; z z  a 2  b 2 là số thực
z  z '  ( a  a ')  (b  b ')i  ( a  a ')  (b  b ')i  ( a  bi )  (a ' b ' i )  z  z '
zz '  ( aa ' bb ')  ( ab ' a ' b)i  ( aa ' bb ')  ( ab ' a ' b)i  (a  bi )( a ' b ' i )  z.z '
 z '   z '.z  z '.z z '.z z '
    
 z   z. z  z . z z. z z
9)Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có i 4 m  1; i 4 m 1  i; i 4 m  2  1; i 4 m 3  i
 Hướng dẫn: Ta có i 4  i 2 .i 2  1
i 
4 m
 1m  i 4 m  1  i 4 m .i  1.i  i 4 m 1  i  i 4 m 1.i  i.i  i 4 m  2  1  i 4 m  2 .i  1.i  i 4 m 3  i

10)Chứng minh rằng:
 
e) Nếu u của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì | u |  | z | và từ đó nếu hai điểm A1 , A2 theo

thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 thì A1 A2  z2  z1 ;
z' z'
f) Với mọi số phức z, z, ta có |z.z| = |z|.|z| và khi z  0 thì 
z z
g) Với mọi số phức z, z, ta có z  z '  z  z '
 Hướng dẫn:

S

  
a) z  a  bi thì z  a 2  b 2 , u biểu diễn số phức z thì u = (a; b)  u  a 2  b 2 do đó

| u || z |
  
 
A1 , A2 theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 thì A1 A2  OA2  OA1  z2  z1  A1 A2  z2  z1

b) z  a  bi , z '  a ' b ' i , z.z '   aa ' bb '   ab ' a ' b  i , z  a 2  b 2 , z '  a '2  b '2
Ta có z . z '   a 2  b 2  a '2  b '2 
2 2

Ta có z.z '   aa ' bb '   ab ' a ' b    aa '   bb '   ab '   a ' b    a 2  b 2  a '2  b '2 
2 2 2 2 2 2 2

Vậy |z.z| = |z|.|z|
z ' z '.z z'. z z'. z z'
Khi z  0 ta có   2
 2

z z. z z z z
     
c) u biểu diễn z, u ' biểu diễn z thì u  u ' biểu diễn z + z và z  z '  u  u '

 
     2  2  2      2  2    
 
2
Khi u , u '  0 , ta có u  u '  u  u '  2 u u ' cos u , u '  u  u '  2 u u '  u  u '
   
 u  u '  u  u ' do đó z  z '  z  z '
11)Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
z i
h) z  i  1 b) 1 c) z  z  3  4i
zi
 Hướng dẫn: Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức.
a) Với z  x  yi  z  i  1  x  ( y  1)i  1  x 2  ( y  1)2  1  x 2   y  1  1
2

Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 1.
z i
 1  x  ( y  1)i  x  ( y  1)i  x 2   y  1  x 2   y  1  y  0
2 2
b) Với z  x  yi 
z i
Tập hợp các điểm M là trục thực Ox.
c) Với z  x  yi  z  z  3  4i  x  yi  ( x  3)  (4  y )i  x 2  y 2  ( x  3)2  (4  y )2
 6 x  8 y  25  0 . Tập hợp các điểm M là đường thẳng 6 x  8 y  25  0
z10  1
12)Chứng minh rằng với mọi số phức z  1, ta có 1  z  z 2  ...  z 9 
z 1
 Hướng dẫn:
Với z  1, 1  z  z 2  ...  z 9   z  1  z  z 2  ...  z 9  z10  1  z  z 2  ...  z 9   z10  1
Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh.(Cấp số nhân)
13)Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)?
zz z 2  ( z )2
z  (z )
2 2

z 3  ( z )3 1  zz
 Hướng dẫn: Ta có z  a  bi, z  a  bi , z  (a 2  b 2 )  2abi, z 2  (a 2  b 2 )  2abi,
2

Và z 3  (a 3  3ab 2 )  (3a 2b  b3 )i, z 3  (a 3  3ab 2 )  (3a 2b  b3 )i
zz b z 2  ( z )2 4ab
Vậy z 2  ( z ) 2  2(a 2  b 2 ) là số thực;  3 i là số ảo;  i là số
z  (z )
3 3
a  3ab 2
1  z. z 1  a 2  b2
ảo.
13)Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
1
i) z 2 là số thực âm; b) z 2 là số ảo ; c) z 2  ( z ) 2 d) là số ảo.
z i
 Hướng dẫn: M(x; y) biểu diễn z thì z  x  yi  z 2  x 2  y 2  2 xyi; z 2  x 2  y 2  2 xyi
a) z 2 là số thực âm khi xy = 0 và x 2  y 2  0  x = 0 và y  0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ
O

S

b) z 2 là số ảo khi x 2  y 2  0  y =  x. Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ.
c) z 2  ( z ) 2 khi xy = 0  x = 0 hoặc y = 0. Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ.
1 1 x  ( y  1)i
d) =  2 là số ảo khi x = 0, y  1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0;
z  i x  ( y  1)i x  ( y  1) 2
14).Tìm nghiệm phức của phương trình sau:
j) iz  2  i  0 c)  2  i  z  4  0 e) z 2  4  0
k)  2  3i  z  z  1 d)  iz  1 z  3i  z  2  3i   0
 Hướng dẫn:
1 3 8 4
a) z  1  2i b) z    i c) z   i d) i;  3i; 2  3i e) z  2i
10 10 5 5
2) Tìm :
zi
15) Cho số phức z  x  yi (x, yR). Khi z  1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức
z i
zi
b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện là số
z i
thực dương.
 Hướng dẫn:
x2  y 2  1 2x
a) Phần thực là , phần ảo 2
x  ( y  1)
2 2
x  ( y  1) 2
b) Là số thực dương khi x  0 và x 2  y 2  1  0  Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm
biểu diễn hai số phức i,  i .
16)a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số
phức z1 , z2 , z3 . Hỏi trọng tâm ABC biểu diễn số phức nào?
b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 thỏa z1  z2  z3 .
Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi z1  z2  z3  0
 Hướng dẫn:
 1    1
 
 
a) Gọi G là trọng tâm ABC, ta có OG  OA  OB  OC   z1  z2  z3  vậy G biểu diễn số
3 3
1
phức z   z1  z2  z3 
3
 
  
b) Vì OA  OB  OC nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm G
trùng O hay z1  z2  z3  0 .
3. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
I> Căn bậc hai của số phức:
Cho số phức w, mỗi số phức z = a + b i thoả z 2 = w được gọi là căn bậc hai của w.
 w là số thực: w = a
 a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0
 a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là a và – a
 a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là a .i và – a .i
 w là số phức: w = a + b i (a, b , b  0) và z = x + y. i là 1 căn bậc hai của w khi
 x2 - y2 = a
z 2  w  (x + yi)2 = a + bi  
 2xy = b
 Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau.
 VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4 i .
 x 2  y 2  3
Gọi z = x + y i là căn bậc hai của w. Ta có z  w  ( x  yi)  3  4i  
2 2

2 xy  4

S

 x 2  y 2  3  y 4  3 y 2  4  0  y2  4
   y  2  y  2
 2  2  2  hoặc  .
x  y x  y x  y x  1  x  1
  
Vậy có 2 căn bậc hai của w là z1 = 1 + 2 i , z2 = –1 – 2 i .
II> Phương trình bậc hai:
1) Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c là số thực: ax 2  bx  c  0 (a  0),   b 2  4ac .
b  
   0: Phương trình có 2 nghiệm thực x1,2 
2a
b  |  |.i
  < 0: Phương trình có 2 nghiệm phức x1,2 
2a
 VD: Giải phương trình x 3  8  0
 x  2
x3  8  0  x3  23  0  ( x  2)( x 2  2 x  4)  0   2
 x  2 x  4  0 (1)
 3.i 
2
(1) có  = 1 – 4 = –3 = nên có 2 nghiệm phức x1,2  1  3.i .
Do đó phương trình có 3 nghiệm x1  1  3.i, x2  1  3.i, x3  2
2) Phương trình bậc hai với hệ số phức: Ax 2  Bx  C  0 ( A  0),   B 2  4 AC ,   a  bi
B
  = 0: Phương trình có nghiệm kép x 
2A
B  
   0: Phương trình có 2 nghiệm x1,2  với  là 1 căn bậc hai của .
2A
 VD: Giải phương trình: a) 2z 2  iz  1  0 ; b) z 2  (3  2i ) z  5  5i  0
a) 2z 2  iz  1  0 có  = –1 – 8 = – 9 = (3i )2 .
i  3i i  3i 1
Phương trình có 2 nghiệm phức z1   i , z2   i
4 4 2
b) z  (3  2i ) z  5  5i  0 có  = (3  2i )  4(5  5i )  9  12i  4i 2  20  20i  15  8i =
2 2

3  2i  1  4i
(1  4i ) 2 Phương trình có 2 nghiệm phức z1   1  3i ;
2
3  2i  1  4i
z2   2  i
2
4.BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1) Giải các phương trình sau trên tập phức:
a) 3 z 2  2 z  1  0 b) 7 z 2  3 z  2  0 ; c) 5 z 2  7 z  11  0
 Hướng dẫn:
1 i 2 3  i 47 7  i 171
a) b) c)
3 14 10
2) Giải các phương trình sau trên tập phức:
a) z 4  z 2  6  0 b) z 4  7 z 2  10  0
 Hướng dẫn:
a)  2;  i 3 b) i 2;  i 5
3) Cho a, b, c  R, a  0, z1 , z2 là hai nghiệm phương trình az 2  bz  c  0 . Hãy tính z1  z2 và z1 z2
theo các hệ số a, b, c.
b c
 Hướng dẫn: z1  z2 =  , z1 z2 =
a a
4) Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, z làm
nghiệm.

S

 Hướng dẫn:
Phương trình ẩn x nhận z, z làm nghiệm nên có (x – z)(x – z ) = 0  x 2  ( z  z ) x  zz  0 .
Với z + z = 2a, z z = a 2  b 2 . Vậy phương trình đó là x 2  2ax  a 2  b 2  0
5) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì z  w
2
 Hướng dẫn: z  a  bi là một căn bậc hai của w  z 2  w  z 2  w  z  w  z  w
VD: 3  4i   2  i  tức z  2  i là một căn bậc hai của w  3  4i thì z 
2
w
6) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau:
a) z 2  z  1 b) z 2  2 z  5  0 c) z 2  (1  3i ) z  2(1  i )  0
 Hướng dẫn:
2
1 1 5  1 5 1 5
a) z 2  2.z.     z     z  
2 4 4  2 4 2 2
b) z 2  2 z  5  0   z  1  4   z  1   2i   z  1  2i  z  1  2i
2 2 2

c)   1  3i   8 1  i   2i  1  i  Phương trình có hai nghiệm phức là z1  2i; z2  1  i .
2 2

7) a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với
hệ số phức không? Vì sao?
b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i).
c) Có phải mọi phương trình bậc hai z 2  Bz  C  0 (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai
số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng
không?
 Hướng dẫn:
B  
a) Hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức là z1,2 
2A
 2    B 2  4 AC  nên
B C
z1  z2   ; z1 z2  .
A A
b) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình z 2   4  i  z  5 1  i   0
Có   5  12i   2  3i  nên hai số cần tìm là z1  3  i; z2  1  2i .
2

c) Phương trình z 2  Bz  C  0 có hai nghiệm là z  a  bi; z  a  bi thì B    z  z   2a là số
thực và C  z.z  a 2  b 2 là số thực. Điều ngược lại không đúng.
8) a) Giải phương trình sau:  z 2  i  z 2  2iz  1  0
b) Tìm số phức B để phương trình z 2  Bz  3i  0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
 Hướng dẫn:
2 2 2 2
a)  z 2  i   z  i   0 có 3 nghiệm là
2
 i;   i; i .
2 2 2 2
b) Ta có z1  z2   B; z1.z2  3i nên
z12  z2  8   z1  z2   2 z1 z2  8  B 2  6i  8  B 2   3  i   B    3  i 
2 2 2

1
9) Tìm nghiệm của phương trình z   k trong các trường hợp sau:
z
a) k = 1; b) k = 2 ; c) k = 2i.
1 k 
 Hướng dẫn: z   k  z 2  kz  1  0 có 2 nghiệm z1,2 
z 2
 2    k 2  4 
1
a) k = 1 thì z1,2  
2 2
3
i b) k = 2 thì z1,2 
2
2

2
2
i c) k  2i  z1,2  1  2 i  
10) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau:
a) z 3  1  0 ; b) z 4  1  0 ; c) z 4  4  0 ; d) 8 z 4  8 z 3  z  1
 Hướng dẫn:

S

1 3 1 3
a) z 3  1  0   z  1  z 2  z  1  0  z  1, z   i, z   i.
2 2 2 2
b) z 4  1  0  z 4  1  z 2  1  z  1, z  i
c) z 4  4  0  z 4  4  z 2  2i  z   1  i  , z   1  i 
1 1 3
d)  z  1  8 z 3  1  0   z  1 2 z  1  4 z 2  2 z  1  0  z  1, z  , z    i
2 4 4
11) a) Tìm các số thực b, c để phương trình z 2  bz  c  0 nhận z  1  i làm nghiệm.
b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình z 3  az 2  bz  c  0 nhận z  1  i và z = 2 làm nghiệm.
 Hướng dẫn:
a) 1  i   b 1  i   c  0  b  c   2  b  i  0  b  c  0 vaø 2  b  0  b  2, c  2
2

b) Lần lượt thay z  1  i và z = 2 vào phương trình, ta được
b  c  2 a  4
b  c  2  (2  2a  b)i  0  
  2a  b  2  b  6
8  4a  2b  c  0 4a  2b  c  8 c  4
 
5. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC(tham khảo)
I> Số phức dưới dạng lượng giác:
1) Acgumen của số phức z  0:
 Cho số phức z = a + b i  0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Số đo (rađian)
 
của góc   (Ox, OM ) được gọi là một acgumen của z.
 Mọi acgumen của z sai khác nhau là k2 tức là có dạng  + k2 (k )
(z và nz sai khác nhau k2 với n là một số thực khác 0).
1
 VD: Biết z  0 có một acgumen là  . Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau: –z; z ; – z ; .
 
 z
 z biểu diễn bởi OM thì –z biểu diễn bởi – OM nên có acgumen là  + (2k + 1)
 z biểu diễn bởi M đối xứng M qua Ox nên có acgumen là –  + k2

 – z biểu diễn bởi – OM ' nên có acgumen là –  + (2k + 1)
1 z 1
 = z 1  2 , vì 2
là một số thực nên z 1 có cùng acgumen với z là –  + k2.
z |z| |z|
2) Dạng lượng giác của số phức z = a + b i :
 Dạng lượng giác của số phức z  0 là z = r (cos  + i sin  ) với  là một acgumen của z.
a b
z = a + bi  z = r  cosφ + isinφ  Vôùi r = a 2 + b 2 ; cosφ = ; sinφ =
r r
 VD:
 Số –1 có môđun là 1 và một acgumen bằng  nên có dạng lượng giác là z = cos + i sin
1 3
 Số 1 + 3 i có môđun bằng 2 và một acgumen bằng  thoả cos  = và sin  = . Lấy  =
2 2
  
thì 1 + 3 i = 2(cos + i sin )
3 3 3
 Số 0 có môđun là 0 và một acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác 0 = 0(cos  + i sin  )
 Chú ý:
 Số – cos  – i sin  có dạng lượng giác là cos(  + ) + i sin(  + )
 Số cos  – i sin  có dạng lượng giác là cos(–  ) + i sin(–  )
 Số – cos  + i sin  có dạng lượng giác là cos( –  ) + i sin( –  )
II> Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác:
Cho z = r (cos  + i sin  ) và z = r (cos  ’ + i sin  ’) với r , r  0


S

z r
= [cos(φ - φ')+ isin(φ - φ')] ( r  0)
z.z' = r.r'[cos(φ + φ')+ isin(φ + φ')] và
z' r'
1 1 1
 Ta có và z có cùng acgumen là –  ’ + k2 nên  [cos(  ')  i sin(  ')] .
z' z' r'
z r
Do đó  [cos( -  ')  i sin( -  ')] ( r ’ 0)
z' r'
 3 3   5 5  z1
 VD: z1  2  cos  i sin  và z2  2  sin  i cos  . Tính z1.z2 và
 4 4   12 12  z2
     5 5   3 1 
Với z2  2  cos  i sin  ; z1.z2 = 2 2  cos  i sin   2 2
 2  2 i    6  2.i

 12 12   6 6   
z 2  2 2   1 3  2 6
và 1 =  cos  i sin   2 
 2 2  i    i
z2 2 3 3    2 2
III> Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng:
1) Công thức Moa–vrơ: Cho số phức z = r (cos  + i sin  )
  r(cosφ + isinφ) = r n (cosnφ + isinnφ) (n
n *
)
2) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:`
 Mọi số phức z = r (cos  + i sin  ) ( r > 0) có 2 căn bậc hai là
 φ φ     φ  φ 
  r  cos + isin  và  2   r  cos  i sin    2  r cos  + π  + isin  + π  
 2 2  2 2  2  2 
 VD: Đổi sang dạng lượng giác rồi tính: 1  i  và căn bậc hai của w = 1 + 3.i
100

 1 1    
 Ta có 1 + i = 2  i   2  cos  i sin  .
 2 2   4 4
100
    
Do đó 1  i  =  2  cos  i sin    250  cos 25  i sin 25 
100

  4 4 
     
 w = 1 + 3.i = 2  cos  i sin  có 2 căn bậc hai là 2  cos  i sin  và
 3 3  6 6
 7 7 
2  cos  i sin .
 6 6 
1) Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn 1  i  và công thức Moavrơ để tính
19

ð19  ð19  ð19  ...  ð19  ð19 .
0 2 4 16 18

  
 Hướng dẫn: 1  i  2  cos  i sin 
 4 4
n 19
Ta có 1  i   ð i
19
n
k k
 ð19i 0  ð19i1  ð19i 2  ...  ð19 i18  ð19 i19 với phần thực là
0 1 2 18 19

k 0

ð  ð  ð  ...  ð19  ð19
0
19
2
19
4
19
16 18

19  19 19  19  2 2
1  i 
19
 2  cos  i sin   2  2 i   2  2 i có phần thực 2  512
9 9 9

 4 4   2 

Vậy ð19  ð19  ð19  ...  ð19  ð19
0 2 4 16 18
= –512.
21
 i 
2004
 5  3 3i 
2) Tính:   ; 
 1  2 3i 

 1 i   
 Hướng dẫn:


S

2004
 i 
2004
 1 i 
2004
 2    1 1
      cos  i sin     cos   i sin    
 1 i 
1002 1002
 2   2  4 4  2 2
21 21
 5  3 3i    2 2  
 
21
  1  3i   2  cos  i sin    2  cos14  i sin14   2
21 21

 1  2 3i 
    3 3 
1
 
3) Cho số phức w   1  3i . Tìm các số nguyên dương n để wn là số thực. Hỏi có số nguyên
2
m
dương m để w là số ảo?
4 4 4n 4n
1
 Hướng dẫn: w   1  3i  cos
2
 3
 i sin 3
 wn  cos
3
 i sin
3
4n
W là số thực khi sin  0 , điều này xảy ra khi n là bội nguyên dương của 3.
3
Không có m nào để w m là số ảo.

6.CÁC DẠNG BAI TẬP CƠ BẢN
1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
2
1 i  1
  1  i   2  3i 2  3i  
10

1 i  i
2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:
b. 2  i z  3  i . iz 
2i  1  3i  1
a. z ;   0;
1 i 2i  2i 
2
c. z 2  | z | 0; d. z 2  z  0 ;
3.Tính :
a.1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+…….+(1+i)20 b. 1+i+i2+i3++……+i2011
4. Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn điều kiện
sau:
a. | z  z  3 | 4; b. | z  z  1  i | 2;
c. 2  z i  z  là số ảo tùy ý; d. 2 | z  i || z  z  2i |;
 
5. Các vectơ u ,u ' trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’.
1
 
 
a. Chứng minh rằng tích vô hướng u . u '  z.z ' z.z ' ;
2
 
b. Chứng minh rằng u ,u ' vuông góc khi và chỉ khi | z  z '|| z  z '| .
6. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn
z
 k,
z i
(k là số thực dương cho trước).
7. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời
z 1 z  3i
 1 và  1.
z i zi
8. Tìm số phức z thỏa mãn
4
 z i
  1
 z i 
1  i tan 
9. Tìm phần thực ;phần ảo ;mô đun số phức:
1  i tan 
10. Giải các phương trình sau trên C :


S

z2 1
a. z 4  z 3   z  1  0 bằng cách đặt ẩn số phụ w  z  ;
2 z
b. z 2  3z  6  2 z z 2  3z  6   3z 2  0
2

c. (z2+1)2+(z+3)2=0a. z  i z 2  1z 3  i   0 d. z 2  z   4z 2  z   12  0.
2

11. Giải hệ phương trình hai ẩn phức z1 , z 2 sau :
 z1  z 2  4  i  z1 z 2  5  5i
a/  b/ 
 z  z  5  2i  z1  z 2  5  2i
2 2 2 2
1 2

12. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau :
   
a.-1-i 3 ; b. cos  i sin ; c.  sin  i cos ; d. 1  sin   i cos 
4 4 8 8
 
 0    ;
 2
13. Cho PT : z2+ kz+1=0 (-2<k<2) .Chứng minh rằng các điểm biểu diễn nghiệm PT
đã cho thuộc đường tròn đơn vị
14. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện sau :
z  2z  1  i  z  3
15. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
   7
a.  cos  i sin i 5 1  3i ; b.1  i 10 ; c. z 2000  1 biết rằng z  1  1.

 3 3 9

2000
3 i  z z
2011 2009 2007
18. CMR:3(1+i) = 4i(1+i) - 4(1+i)
n
 3  3i 
19. Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức  
 3  3i  là số thực, là số ảo?
 
1 3
20.Viết dạng lượng giác số z=  i .Suy ra căn bậc hai số phức z
2 2

BÀI TẬP TỰ RÈN
1) Tìm các số thực x, y sao cho:
a) 3x + yi = 2y + 1 + (2 – x)i; b) 2x + y –1 = (x + 2y – 5)i.
 Hướng dẫn:
a) x = 1, y = 1 b) x = –1, y = 3
2) Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo không vượt quá môđun của nó.
 Hướng dẫn: z = a + bi  |z| = a 2  b 2 . Ta có |z|  a 2 = a và |z|  b 2 = b
3) Giải phương trình sau trên tập phức:
a) (3 + 4i)z + (1 –3i) = 2 + 5i; b) (4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz.
 Hướng dẫn:
7 4 18 13
a)  i b)  i
5 5 7 7
4) Giải phương trình sau trên tập phức:
a) 3 z 2  7 z  8  0 b) z 4  8  0 c) z 4  1  0
 Hướng dẫn:
7  i 47
a) b)  4 8 , i 4 8 c) 1,  i
6
5) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3, tích của chúng bằng 4.

S

 Hướng dẫn: z1  z2  3, z1 z2  4  z1 , z2 là nghiệm phương trình z 2  3 z  4  0 với  = ( 7i ) 2
3i 7
 z1,2 
2
6) Cho hai số phức z1 , z2 . Biết rằng z1  z2 , z1 z2 là hai số thực. Chứng tỏ z1 , z2 là hai nghiệm một
phương trình bậc hai với hệ số thực.
 Hướng dẫn:
Đặt z1  z2  a, z1 z2  b với a, b  R. Khi z1 , z2 là hai nghiệm phương trình ( z  z1 )( z  z2 )  0 hay
z 2  ( z1  z2 ) z  z1 z2  0  z 2  az  b  0
zw
7) Chứng minh rằng nếu z  w  1 thì số 1  zw  0  là số thực.
1  zw
2
 Hướng dẫn: Ta có z.z  z  1
1 1

 zw  zw zw z w zw zw
      nên 1  zw  0  là số thực.
 1  zw  1  zw 1  zw 1  1 1  zw 1  zw
zw
8) Giải phương trình:
2
 iz  3  iz  3
a)  z  3  i   6  z  3  i   13  0
2
b)   3 40 c)
 z  2i  z  2i
z  1   z  3  0
2 2 2

 Hướng dẫn:
 z  3  i  3  2i  z  i
a)  z  3  i   6  z  3  i   13  0  
2

 z  3  i  3  2i  z  3i
 iz  3  1 5
 iz  3 
2
iz  3  z  2i  1 (1  i ) z  3  2i z   2  2 i
b)   3 40   
 z  2i  z  2i  iz  3  4 (4  i ) z  3  8i  z  4  35 i
 z  2i
  17 17

c)  z 2  1   z  3 i   0   z 2  1  ( z  3)i  z 2  1  ( z  3)i   0
2 2
 
Phương trình z  iz  1  3i  0 có nghiệm z1  1  2i; z2  1  i
2

Phương trình z 2  iz  1  3i  0 có nghiệm z3  1  2i; z4  1  i
Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = ( x  yi ) 2  2( x  yi )  5 . Với giá trị nào của x, y thì số
phức trên là số thực.
 Hướng dẫn: Phần thực là x 2  y 2  2 x  5 , phần ảo là 2( xy  y ) . Số phức trên là số thực khi y =
0 hoặc x = 1.
Bài 2. Thực hiện các phép tính:
2  i 2 1 i 2
a) d) (1  2i )3  (1  2i )3 ; g) (1  i ) 2010  (1  i ) 2009 e) 
1 i 2 2  i 2
Bài 3. Tìm z, biết:
z i
a) (1  5i ) z  10  2i  1  5i ; b) (3  2i ) z  1  i  4 z c) 1 i  3  i
1 i
2  3i 2i 1  3i
d) z  1  3i  2 z  1 ; e) ( 2  i 3) z  i 2  3  2i 2 ; f) z
1 i 1 i 2i
z  2i 1 i z  2  i 2iz  2i
g)  z  11  i   2  2i  h) 2 z  3i   i) 1  i  z  5  5i 
1 i 1 i 1 i 1 i
 Hướng dẫn:
1 3 1
a) z  1  2i ; b) z   i ; c) z  2  3i ; d) z    i ;
5 5 5

S

2 4
e) i ; f)   i g) z  3  i h) z  3i i) z  2  3i
5 5
Bài 4. Biết z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình z 2  3 z  3  0 . Hãy tính:
z z 2 2
a) z12  z2 ;
2
b) z13  z2 ;
3
c) 1  2 ; d) z1  z2
z2 z1
 Hướng dẫn:
z z 2 2
a) z12  z2 = –3; b) z13  z2 = 6 3 ;
2 3
c) 1  2 = –1; d) z1  z2 = 6.
z2 z1
Bài 5. Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.
3 7 3 7
 Hướng dẫn: Hai số phức cần tìm là z1   i và z2   i
2 2 2 2
Bài 6. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) z 2  8(1  i ) z  12  16i  0 ; b) z 2   2  i  z  2i  0 ;
c) iz 2  2 1  i  z  4  0 ; d) z 2   5  i  z  8  i  0
 Hướng dẫn:
a) z  2i, z  8  6i ; b) z1  2; z2  i ; c) z1  2; z2  2i ; d)
z1  2  i; z2  3  2i
Bài 7. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) x 4  6 x 2  25  0 ; b) x 4  16 x 2  100  0 ; c) x 4  3 x 2  3  3i  0
d) x 4  3(1  2i ) x 2  8  6i  0 ; e) x 4  7  24i  0 ; f) x 4  28  96i  0
 Hướng dẫn:
a) x   1  2i  , x   1  2i  ; b) x    3  i  , x    3  i  ; c) x    2  i  , x   1  i 
d) x    2  i  , x   1  i  ; e) x    2  i  , x   1  2i  ; f) x    3  i  , x   1  3i 
Bài 8. Tìm z biết:
1 10
a) z  z 2 ; b) z  2 z  2  4i c) z  2  i  z  1  2i và 
z 10
 Hướng dẫn: Gọi z = x + y i  z = x – y i và z 2  x 2  y 2  2 xyi .
 x 2  y 2  x (1)
a) z  z 2  
2 xy   y (2)
(2) có nghiệm y = 0 thay vào (1)  x = 0 hoặc x = 1
1 3
Nếu y  0  (2) có nhiệm x = – thay vào (1)  y = 
2 2
 1 3  1 3
Vậy nghiệm của hệ là các cặp số (0;0), (1;0),   ; ,   ;
 2 2   2 
   2 
1 3 1 3
Vậy phương trình có các nghiệm: z = 0; z = 1; z =   i;z=   i
2 2 2 2
2
b) z   4i c) z  1  3i; z  1  3i
3
Bài 9. Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa:
z  3i
a) z  i  2 ; b)  1 ; c) z  z  1  i ; d) (2  3i ) z  2i  m  0 (m là tham số)
z  3i
 Hướng dẫn:
a) z  i  2  x  ( y  1)i  2  x 2  ( y  1) 2  2  x 2  ( y  1)2  4
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R = 2.


S

z  3i x  ( y  3)i x 2  ( y  3) 2
b) 1 1 1 y  0
z  3i x  ( y  3)i x 2  ( y  3) 2
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là trục Ox.
c) z  z  1  i  x  yi  ( x  1)  ( y  1)i  x 2  y 2  ( x  1) 2  ( y  1)2  x  y  1  0
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: x + y – 1 = 0.
 2m  6
m  2i 2m  6 3m  4  x  13

d) (2  3i ) z  2i  m  0  z  z  i  3x  2 y  2  0
2  3i 13 13  y   3m  4

 13
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 3x + 2y + 2 = 0.
 
6
Bài 10. Dùng công thức Moa-vrơ để tính (1  i )5 , 3 i .
 Hướng dẫn: 4 1  i  .

 
8
Bài 11. Tìm phần thực và phần ảo của số phức 3 i .
 3 1    
Hướng dẫn: 3  i  2  i   2  cos  i sin  .
 2 2 
   6 6
Bài 12. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2 z 2  4 z  11  0 . Tính giá trị của biểu thức
2 2
z1  z2
A . ĐS: A=11/4
 z1  z2 
2

Bài 14. Tìm số phức z thoả mãn: z  2  i  2 . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.

  
ĐS: z  2  2  1  2 i, z  2  2  1  2 i . 
 z 1
 1 1
 z i
Bài 15. Tìm số phức z thỏa mãn:  . HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1. ĐS: z=1+i.
 z  3i

1  2
 zi
4
 zi
Bài 16. Giải phương trình:    1. ĐS: z{0;1;1}
 z i
Bài 17. Giải phương trình: z 2  z  0 .
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z. ĐS: z{0;i;i}
1. Giải phương trình: z 2  z  0 .
1 3
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z. ĐS: z=0, z=1, z   i
2 2
z2
Bài 18. Giải phương trình: z 4  z 3   z  1  0.
2
1 1
HD: Chia hai vế phương trình cho z2. ĐS: z=1±i, z    i .
2 2
Bài 19. Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0.
1 3 1 3
HD: Đặt thừa số chung ĐS: z  1, z   i, z    i.
2 2 2 2
Bài 20. Cho phương trình: (z + i)(z22mz+m22m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho
phương trình:
a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm
phức.

S

Bài 21. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận  làm nghiệm biết:
a.  = 25i b.  = 2i 3 c.  = 3 -i 2
Bài 22. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a. z3iz22iz2 = 0. b. z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = 0.
x2
Bài 23. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 z  i  z  z  2i . ĐS: y  .
4
3
Bài 24. Trong các số phức thỏa mãn z  2  3i  . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
2
3 2 2 9
HD: *Gọi z=x+yi. z  2  3i   …   x  2    y  3  .
2 4
 Vẽ hình |z|min z.

26  3 13 78  9 13
ĐS: z   i.
13 26
2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20.
HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN.
ĐS: phần thực 210, phần ảo: 210+1.

CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Bài 1. (Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D)
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thoả mãn (1  i ) 2 (2  i ) z  8  i  (1  2i ) z . Tìm phần
thực và phần ảo của z.
4 z  3  7i
b) Chương trình Nâng cao (1 điểm) Giải phương trình  z  2i trên tập .
z i
 Hướng dẫn:
a) (1  i ) 2 (2  i ) z  8  i  (1  2i ) z   (1  i ) 2 (2  i )  (1  2i )  z  8  i   2i(2  i)  1  2i  z  8  i
 
8i (8  i )(1  2i ) 10  15i
 z  z  z  2  3i . Phần thực là 2, phần ảo –3
1  2i 1 4 5
4 z  3  7i
b)  z  2i  z 2  (4  3i ) z  1  7i  0
z i
Ta có  = (4  3i ) 2  4(1  7i )  3  4i  (2  i ) 2 . Phương trình có 2 nghiệm:
4  3i  2  i 4  3i  2  i
z1   3  i và z2   1  2i
2 2
Bài 2. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,
tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả điều kiện | z  (3  4i ) | 2 .
 Hướng dẫn:
Đặt z = x + y i (x, y )  z  (3  4i )  x  yi  3  4i  ( x  3)  ( y  4)i
Ta có | z  (3  4i ) | 2  ( x  3) 2  ( y  4) 2 = 2  ( x  3) 2  ( y  4) 2 = 4
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; –4), bán kính R = 2
Bài 3. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm)
Tìm số phức z thoả: | z  (2  i ) | 10 và z.z = 25.
 Hướng dẫn:
Đặt z = x + y i (x, y )  z  (2  i )  x  yi  2  i  ( x  2)  ( y  1)i
Ta có | z  (2  i ) | 10  ( x  2) 2  ( y  1) 2  10  x 2  y 2  4 x  2 y  5  0 (1)
Ta có z.z = 25  (x + y i )( x – y i ) = 25  x 2  y 2  25 (2)

S

 x2  y 2  4 x  2 y  5  0
  y  10  2 x  y  10  2 x x  3
Từ (1) và (2), ta có  2  2   2  
 x  y  25  x  8 x  15  0 y  4
2
 x  y  25
2

x  5
hoặc  . Vậy z = 3 + 4 i hoặc z = 5 + 0 i .
y  0
Bài 4. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối A) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm
2 2
phức của phương trình z 2  2 z  10  0 . Tính giá trị của biểu thức A  z1  z2 .
 Hướng dẫn:
z 2  2 z  10  0 có  = 1 – 10 = –9 = (3i )2 . Nghiệm là z1  1  3i , z2  1  3i
2 2
Ta có: z1  1  9  10 và z2  1  9  10 nên A  z1  z2  20
Bài 5. (Đề thi Cao đẳng năm 2010 – Khối A, B, D)
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần thực, ảo của số phức z thỏa:
 2  3i  z   4  i  z   1  3i 
2

b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Giải phương trình z 2  1  i  z  6  3i  0
 Hướng dẫn:
a) Gọi z = a + bi, ta có:  2  3i  z   4  i  z   1  3i  
2

6a  4b  8  a  2
 2  3i  (a  bi)   4  i  (a  bi)   1  3i 
2
 6a  4b  (2a  2b)i  8  6i   
2a  2b  6 b  5

Vậy phần thực a = –2, phần ảo b = 5.
b) z 2  1  i  z  6  3i  0 có  = (1  i ) 2  4(6  3i )  24  10i  (1  5i ) 2
1  i  1  5i 1  i  1  5i
Do đó phương trình có 2 nghiệm: z1   1  2i ; z2   3i
2 2
Bài 6. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm)
Tìm số phức z thỏa: z  2 và z 2 là số thuần ảo
 Hướng dẫn:
 z  a 2  b2

Gọi z = a + bi   . Theo đề ta có:
 z  a  b  2abi
2 2 2

 a b  2
 2 2
a 2  b 2  2
 a 2  1
 a  1 a  1
 2 2  2 2  2 2  2 hoaëc  2
a  b  0
 a  b  0
 a  b  0
 b  1 b  1
a  1 a  1 a  1 a  1
 hoaëc  hoaëc  hoaëc 
b  1 b  1 b  1 b  1
Vậy z = 1 + i hoặc z = 1 – i hoặc z = –1 + i hoặc z = –1 – i.
Bài 7. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, tìm
tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa z  1  (1  i) z
 Hướng dẫn:
Gọi z = x + yi, ta có x  ( y  1)i  (1  i )( x  yi)  x 2  ( y  1) 2  ( x  y ) 2  ( x  y )2 
x 2  y 2  2 y  1  0  x 2  ( y  1) 2  2 . Tập hợp là đường tròn tâm I(0; –1), bán kính R = 2.
Bài 8. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối A)
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần ảo của số phức z thỏa: z  ( 2  i ) 2 (1  2i )
(1  3i )3
b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Cho số phức z thỏa: z  . Tìm môđun của số phức
1 i
z  iz
 Hướng dẫn:

S

 
a) Gọi z = a + bi, ta có: z  ( 2  i ) 2 (1  2i )  a  bi  1  2 2i 1  2i  a  bi  5  2i . 
 a  5,  b  2 . Vậy phần phần ảo b = – 2 .
(1  3i )3 1  3 3i  9  3 3i 8 8(1  i )
b) Gọi z = a + bi, ta có: z      4  4i
1 i 1 i 1 i 11
 8   8
2 2
 z = –4 + 4i và iz = –4 – 4i  z  iz = –8 – 8i. Do đó : z  iz  8 2 .

Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP
A. LÝ THUYẾT

1. Giai thừa: n!= n.(n1)!=n.(n1).(n2). … .3.2.1, n≥0.
n!
2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: An  k
, n≥k>0.
n  k !
n!
3. Số tổ hợp chập k của n phần tử: C n  k
, n≥k≥0.
k!n  k !
4. Quy ước n!=0!=1.
5. Nhị thức Newton
a  b n  C n0 a n  C n a n1b  C n2 a n2 b 2    C nn2 a 2 b n2  C nn1ab n1  C nn b n .
1

 a  b
n
 Cn a n  Cn a n 1b  Cn a n  2b 2    (1) n  2 Cn  2 a 2b n  2  (1) n 1 Cn 1ab n 1  (1) n Cnnb n
0 1 2 n n

6. Hoán vị P  n !  An
n

7. Cnk  Cnn  k , n  k  0, n,k  N
8. Cnk1  Cnk  Cn 1
k

n  k  1 k 1
9. Cnk  Cn
k
 k 1 1 
10. Cnk  Cnk11  Cn  2  Cnk3  ......  Ckk11 (k<n)
Công thức số hạng tổng quát: Tk 1  C n a n  k b k ,
k
0≤k≤n.
Hệ số khai triển thứ k+1: a1 C
k
k
n

Một số tổng cơ bản: dựa theo 1  x   ...... sau đó thay x = ….
n

Cn  Cn  Cn  ........  (1) k Cn  ......  (1) n Cn  0,
o 1 2 k n
vì (0-0)n  ...
C2 n  C2 n  C2 n  ..............  C2 n  C2 n  C2 n  C2 n  ..............  C2 n 1 =22 n 1 Dựa theo 1  x   .. và
o 2 4 2n 1 3 5 2n 2n

1  x 
2n
 ……… Sau đó thay x = 1 cộng trừ vế với vế
Cn  2Cn  3Cn  ........  (1) k kCn  ......  (1) n nCn  0, Sử dụng đạo hàm
1 2 3 k n

Cn  2Cn  3Cn  ........  kCn  ......  nCnn  n2n 1 ,
1 2 3 k

Bài toán trong khai triển:
 ax  by   Cn0 a n x n  Cn a n1 x n1by  ........  Cnn2 a 2 x 2bn 2 y n2  Cnn1axbn1 y n 1  Cnnbn y n (x,y là biến,
n 1

a,b là hằng só thực)
Loại 1 : Tìm số hạng Tk 1  Cn a n k x n  k b k y k
k

Loại 2: Tìm hệ số đa thức khai triển ak 1  Cn a n  k b k , ..đạt max, hoặc hệ số nhị thức
k

Cn , Cn , Cn2 ,........, Cn ,......, (1) n Cn
o 1 k n


S

B. BÀI TẬP
1. (CĐ_Khối D 2008)
18
 1 
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của  2 x  5  , (x>0). ĐS: 6528
 
 x
2. (ĐH_Khối D 2004)
7
 1 
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của  3 x  4  với x>0. ĐS: 35
 
 x
3. (ĐH_Khối A 2003)
n
8  1 
Tìm số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của  3  x 5  , biết rằng
x 
C n  4  C n 3  7n  3 , (n nguyên dương, x>0, ( C n là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 495
n 1 n k

4. (ĐH_Khối D 2005)
An 1  3 An
4 3
Tính giá trị biểu thức M  , biết rằng C n 1  2C n  2  2C n 3  C n  4  149 (n là số nguyên
2 2 2 2

n  1!
k k
dương, An là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và C n là số tổ hợp chập k của n phần tử)
3
ĐS: M 
4
5. (ĐH_Khối A 2006)
n
26  1 
Tìm số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của  4  x 7  , biết rằng
x 
C 2 n 1  C 2 n 1    C 2 n 1  2  1 , (n nguyên dương và C n là số tổ hợp chập k của n phần tử).
1 2 n 20 k

ĐS: 210
6. (ĐH_Khối D 2008)
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C 2 n  C 2 n    C 2 n 1  2048 . ( C n là số tổ hợp chập k của n
1 3 2n k

phần tử).
ĐS: n=6
7. (ĐH_Khối D 2007)
Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(12x)5+x2(1+3x)10. ĐS: 3320
8. (ĐH_Khối D 2003)
Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x3n3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n.
Tìm n để a3n3=26n. ĐS: n=5
9. (ĐH_Khối D 2002)
Tìm số nguyên dương n sao cho Cn  2C1  4Cn    2n Cn  243 .
0
n
2 n
ĐS: n=5
10. (ĐH_Khối B 2008)
n 1  1 1  1
Chứng minh rằng  k  k 1   k (n, k là các số nguyên dương, k≤n, C n là số tổ hợp chập k
k
C  C
n  2  n 1 C n 1  n

của n phần tử).

11. (ĐH_Khối B 2007)
Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết:
3nCn03n1Cn1+3n2Cn23n3Cn3+ … +(1)nCnn=2048 (n là số nguyên dương, C n là số tổ hợp chập k của
k

n phần tử). ĐS: 22
12. (ĐH_Khối B 2003)
2 2  1 1 23  1 2 2 n 1  1 n
Cho n là số nguyên dương. Tính tổng C n 
0
Cn  Cn    k
C n , ( C n là số tổ hợp
2 3 n 1
n 1 n 1
3 2
chập k của n phần tử). ĐS:
n 1

S

13. (ĐH_Khối A 2008)
Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, trong đó nN* và các hệ số a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức
a a
a 0  1    n  4096 . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,…an. ĐS: a8=126720
2 2n
14. (ĐH_Khối A 2007)
1 1 1 3 1 5 1 2n 1 22n  1
Chứng minh rằng C2 n  C2 n  C2 n    C2n  k
, ( C n là số tổ hợp chập k của n
2 4 6 2n 2n  1
phần tử).

15. (ĐH_Khối A 2005)
Tìm số nguyên dương n sao cho C 2 n 1  2.2C 2 n 1  3.2 2 C 2 n 1  4.2 3 C 2 n 1    2n  1.2 2 n C 2 n 1  2005 ,
1 2 3 4 2 n 1

k
( C n là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=1002
16. (ĐH_Khối A 2004)
Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1x)]8. ĐS: 238
17. (ĐH_Khối A 2002)
Cho khai triển nhị thức
n n n 1 n 1 n
 x2 1
 x
  x 1   x 1   3x   x 1   x   x 
 2  2 3   Cn  2 2   Cn  2 2 
0 1
 2     C n 1  2 2  2 3 
n
 C 2 3 
n
           n 
            
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó C n  5C n và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.
3 1

ĐS: n=7, x=4
18. Cho số phức z=1+i.
a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)n.
b. Tính các tổng S1=1Cn2+Cn4Cn6+… S2=Cn1Cn3+Cn5…
19. Chứng minh rằng C1000–C1002+C1004–C1006+ … –C10098+C100100= –250.
o0o


Ôn tập số phức và tổ hợp

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Similar to Ôn tập số phức và tổ hợp

Similar to Ôn tập số phức và tổ hợp (20)

Ôn tập số phức và tổ hợp