Attraverso un'attività di Matematica 2004 si introduce il concetto di integrale definito

1. Area sotto una curva
Verso il teorema fondamentale del
calcolo integrale

2. Problema dei treni
• Un treno merci si muove con velocità costante di 17 m/s;
un secondo treno, su un binario parallelo, parte
nell'istante in cui viene raggiunto e superato dal primo e
viaggia ad una velocità espressa, in m/s, dalla formula
2t, dove t è il tempo misurato in secondi. I due treni
procedono nella stessa direzione: si può prevedere che il
secondo treno superi il primo? Se sì, dopo quanti
secondi dalla partenza?

3. Il modello
Proviamo a utilizzare il
software Geogebra per
creare un modello del
problema e trovare una
possibile soluzione
Il primo moto è descritto
dalla funzione costante v =
v1 = 17, il secondo dalla
funzione v = v2 = 2t

4. Velocità e distanze
Al tempo t=8,5s i due grafici si
intersecano. Il secondo treno
ha raggiunto il primo?
La risposta è no. Sono le
velocità e non le distanze dalla
stazione ad essere uguali.
Come calcolo la distanza?

5. Velocità e distanze (2)
L’area compresa tra la curva
della velocità e “l’asse x”
rappresenta la distanza dalla
stazione?
La velocità si misura in m/s
mentre il tempo il s. Il loro
prodotto è quindi proprio una
distanza.

6. Calcolo delle aree
E’ facile vedere che l’area al di
sotto della prima curva è un
rettangolo la cui base varia al
variare di t.
La formula per l’area è quindi
A(t) = 17t

7. Calcolo delle aree
L’area al di sotto della
seconda curva è invece un
triangolo di base t e altezza 2t
La formula per l’area è quindi
A(t) = 17 t2
NB: entrambe le aree sono in
funzione del tempo t

8. Area e curva
Curva Area
17 17 ∙ t
2 ∙ t t2
Quale relazione esiste tra l’equazione che descrive la curva
della velocità dei treni e quella che ne descrive la distanza
dalla stazione?

9. Equivalenze
Al tempo t = 17 le distanze
percorse dai due treni sono
equivalenti (289 metri).
L’area del triangolo è equivalente
all’area del rettangolo.

10. Equivalenze (2)
Nicolas Oresme
(1323 – 1382)
“Un corpo che si muove
di moto uniformemente
accelerato copre la
stessa distanza di un
corpo che si muove di
moto uniforme con
velocità costante uguale
alla metà di quella finale
del primo corpo”

11. Area negativa?
Se un treno inverte la
rotta la sua velocità
diverrà negativa.
L’area al di sotto
dell’asse del tempo
indica una diminuzione
della distanza dalla
stazione.

12. Riepilogo
• Fare attenzione alle unità di misura
• Il calcolo dell’area al di sotto di una curva viene usato in
molte discipline
• Il calcolo delle aree è “strettamente imparentato” con il
calcolo degli integrali
• Fare attenzione alle aree descritte da una funzione
negativa (siamo abituati a pensare ad un’area come un
qualcosa di positivo)
• Equivalenza tra “rettangolo medio” e area al di sotto
della curva. E’ sempre possibile?