Dokumen tersebut membahas tentang pelajaran matematika SMA semester genap untuk kelas XI yang mencakup topik penggunaan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah, dengan sasaran belajar menjelaskan arti limit fungsi dan menggunakannya untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi.
Dokumen tersebut membahas tentang materi limit fungsi pada kelas XI SMA, mencakup pengertian limit fungsi, langkah-langkah menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri, serta contoh-contoh soal dan penyelesaiannya.
Limit merupakan pendekatan nilai fungsi ketika variabel mendekati suatu nilai tertentu. Terdapat tiga bentuk hasil limit yaitu bentuk tentu, tak tentu, dan tidak terdefinisi. Beberapa teorema limit dapat digunakan untuk menyelesaikan soal-soal limit, seperti penggunaan subtitusi langsung, pemfaktoran, dan membagi dengan variabel pangkat tertinggi ketika variabel mendekati tak hingga.
Modul ini membahas tentang turunan fungsi, termasuk pengertian turunan fungsi, rumus-rumus turunan untuk fungsi aljabar dan trigonometri, dalil rantai untuk menentukan turunan fungsi komposisi, serta penerapan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi.
Modul ini membahas tentang turunan (diferensial) pada fungsi aljabar dan trigonometri. Terdapat rumus dasar turunan untuk berbagai fungsi seperti fungsi kuadrat, kubik, eksponen, logaritma, dan trigonometri. Modul ini juga menjelaskan aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi dan nilai turunan pada titik tertentu. Pemakaian turunan dijelaskan untuk menentukan apakah suatu fungsi naik, tur
1. Fungsi kontinu jika memenuhi 3 syarat: f(a) ada, limit fungsi saat x mendekati a ada, dan limit sama dengan nilai fungsi di a.
2. Fungsi tidak kontinu jika salah satu syarat tidak terpenuhi, misal limit tidak sama dengan nilai fungsi.
3. Contoh soal pilihan ganda tentang limit dan kekontinuan fungsi.
Fungsi dan limit memiliki tiga kalimat utama:
1. Fungsi adalah aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek dalam daerah asal dengan nilai tunggal dalam daerah hasil.
2. Limit menggambarkan perilaku fungsi ketika peubah bebas mendekati nilai tertentu.
3. Ada beberapa jenis limit seperti limit ketika x mendekati a, tak hingga, atau nol.
Modul matematika-kelas-xi-turunan-fungsiSepkli Eka
Modul ini membahas tentang turunan fungsi, termasuk pengertian turunan fungsi, rumus-rumus turunan fungsi aljabar dan trigonometri, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan penerapan turunan untuk menentukan karakteristik grafik fungsi seperti fungsi naik dan turun serta titik ekstrim.
Dokumen tersebut membahas tentang materi limit fungsi pada kelas XI SMA, mencakup pengertian limit fungsi, langkah-langkah menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri, serta contoh-contoh soal dan penyelesaiannya.
Limit merupakan pendekatan nilai fungsi ketika variabel mendekati suatu nilai tertentu. Terdapat tiga bentuk hasil limit yaitu bentuk tentu, tak tentu, dan tidak terdefinisi. Beberapa teorema limit dapat digunakan untuk menyelesaikan soal-soal limit, seperti penggunaan subtitusi langsung, pemfaktoran, dan membagi dengan variabel pangkat tertinggi ketika variabel mendekati tak hingga.
Modul ini membahas tentang turunan fungsi, termasuk pengertian turunan fungsi, rumus-rumus turunan untuk fungsi aljabar dan trigonometri, dalil rantai untuk menentukan turunan fungsi komposisi, serta penerapan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi.
Modul ini membahas tentang turunan (diferensial) pada fungsi aljabar dan trigonometri. Terdapat rumus dasar turunan untuk berbagai fungsi seperti fungsi kuadrat, kubik, eksponen, logaritma, dan trigonometri. Modul ini juga menjelaskan aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi dan nilai turunan pada titik tertentu. Pemakaian turunan dijelaskan untuk menentukan apakah suatu fungsi naik, tur
1. Fungsi kontinu jika memenuhi 3 syarat: f(a) ada, limit fungsi saat x mendekati a ada, dan limit sama dengan nilai fungsi di a.
2. Fungsi tidak kontinu jika salah satu syarat tidak terpenuhi, misal limit tidak sama dengan nilai fungsi.
3. Contoh soal pilihan ganda tentang limit dan kekontinuan fungsi.
Fungsi dan limit memiliki tiga kalimat utama:
1. Fungsi adalah aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek dalam daerah asal dengan nilai tunggal dalam daerah hasil.
2. Limit menggambarkan perilaku fungsi ketika peubah bebas mendekati nilai tertentu.
3. Ada beberapa jenis limit seperti limit ketika x mendekati a, tak hingga, atau nol.
Modul matematika-kelas-xi-turunan-fungsiSepkli Eka
Modul ini membahas tentang turunan fungsi, termasuk pengertian turunan fungsi, rumus-rumus turunan fungsi aljabar dan trigonometri, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan penerapan turunan untuk menentukan karakteristik grafik fungsi seperti fungsi naik dan turun serta titik ekstrim.
Dokumen tersebut membahas dasar-dasar matematika yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah optimasi secara analitis, meliputi gradien, matriks Hessian, syarat perlu dan cukup keoptimalan, serta fungsi konveks dan konkaf.
Dokumen tersebut membahas tentang operasi aljabar yang mencakup penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan faktorisasi bentuk aljabar serta operasi pada pecahan aljabar.
Struktur bilangan real terdiri dari bilangan bulat, pecahan, irasional, rasional, dan kompleks. Bilangan kompleks memiliki dua dimensi yaitu bilangan real dan imajiner. Bilangan real digunakan dalam ilmu pengetahuan dan kehidupan sehari-hari, sedangkan bilangan rasional dapat ditulis dalam bentuk pecahan atau desimal berulang. Interval bilangan real dapat ditulis menggunakan notasi himpunan, garis, atau pasangan batas atas dan b
Soal persiapan ujian akhir semester 2 SMA kelas XI mata pelajaran matematika berisi 40 soal pilihan ganda yang mencakup materi limit fungsi, turunan fungsi, dan operasi fungsi. Soal-soal tersebut memberikan tantangan untuk menghitung nilai limit fungsi, menentukan interval di mana fungsi turun atau naik, menghitung turunan suatu fungsi, serta menentukan hasil komposisi dan invers fungsi.
1. Modul ini membahas lanjutan konsep kekontinuan fungsi, limit fungsi trigonometri, kekontinuan fungsi komposisi, asimtot grafik fungsi kontinu, dan bentuk-bentuk tak tentu limit fungsi.
2. Dijelaskan bahwa fungsi polinom dan rasional kontinu di setiap bilangan riil kecuali di mana penyebutnya sama dengan nol. Fungsi komposisi kontinu jika fungsi terkait kontinu.
3. Limit fungsi trigonome
Dokumen tersebut membahas tentang konsep dasar fungsi dan grafiknya. Fungsi didefinisikan sebagai aturan hubungan satu lawan satu antara elemen-elemen daerah asal dengan nilai-nilai daerah hasil. Dokumen tersebut juga menjelaskan notasi fungsi, daerah asal, daerah hasil, grafik fungsi, fungsi genap dan ganjil, serta dua fungsi khusus yaitu fungsi nilai mutlak dan fungsi bilangan bulat terbes
Modul ini membahas tentang turunan fungsi, termasuk pengertian turunan fungsi, rumus-rumus turunan fungsi aljabar dan trigonometri, dalil rantai, garis singgung, dan penerapannya untuk menentukan fungsi naik dan turun serta titik ekstrim grafik fungsi.
Modul ini membahas tentang turunan fungsi, termasuk pengertian turunan fungsi, rumus-rumus turunan fungsi aljabar dan trigonometri, dalil rantai, garis singgung, dan penerapannya untuk menentukan fungsi naik dan turun serta titik ekstrim grafik fungsi.
Turunan fungsi trigonometri memiliki aturan khusus. Turunan sin(x) adalah cos(x), turunan cos(x) adalah -sin(x). Turunan fungsi trigonometri lainnya dapat ditentukan dengan menggunakan rumus turunan bentuk u/v.
Dokumen tersebut membahas dasar-dasar matematika yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah optimasi secara analitis, meliputi gradien, matriks Hessian, syarat perlu dan cukup keoptimalan, serta fungsi konveks dan konkaf.
Dokumen tersebut membahas tentang operasi aljabar yang mencakup penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan faktorisasi bentuk aljabar serta operasi pada pecahan aljabar.
Struktur bilangan real terdiri dari bilangan bulat, pecahan, irasional, rasional, dan kompleks. Bilangan kompleks memiliki dua dimensi yaitu bilangan real dan imajiner. Bilangan real digunakan dalam ilmu pengetahuan dan kehidupan sehari-hari, sedangkan bilangan rasional dapat ditulis dalam bentuk pecahan atau desimal berulang. Interval bilangan real dapat ditulis menggunakan notasi himpunan, garis, atau pasangan batas atas dan b
Soal persiapan ujian akhir semester 2 SMA kelas XI mata pelajaran matematika berisi 40 soal pilihan ganda yang mencakup materi limit fungsi, turunan fungsi, dan operasi fungsi. Soal-soal tersebut memberikan tantangan untuk menghitung nilai limit fungsi, menentukan interval di mana fungsi turun atau naik, menghitung turunan suatu fungsi, serta menentukan hasil komposisi dan invers fungsi.
1. Modul ini membahas lanjutan konsep kekontinuan fungsi, limit fungsi trigonometri, kekontinuan fungsi komposisi, asimtot grafik fungsi kontinu, dan bentuk-bentuk tak tentu limit fungsi.
2. Dijelaskan bahwa fungsi polinom dan rasional kontinu di setiap bilangan riil kecuali di mana penyebutnya sama dengan nol. Fungsi komposisi kontinu jika fungsi terkait kontinu.
3. Limit fungsi trigonome
Dokumen tersebut membahas tentang konsep dasar fungsi dan grafiknya. Fungsi didefinisikan sebagai aturan hubungan satu lawan satu antara elemen-elemen daerah asal dengan nilai-nilai daerah hasil. Dokumen tersebut juga menjelaskan notasi fungsi, daerah asal, daerah hasil, grafik fungsi, fungsi genap dan ganjil, serta dua fungsi khusus yaitu fungsi nilai mutlak dan fungsi bilangan bulat terbes
Modul ini membahas tentang turunan fungsi, termasuk pengertian turunan fungsi, rumus-rumus turunan fungsi aljabar dan trigonometri, dalil rantai, garis singgung, dan penerapannya untuk menentukan fungsi naik dan turun serta titik ekstrim grafik fungsi.
Modul ini membahas tentang turunan fungsi, termasuk pengertian turunan fungsi, rumus-rumus turunan fungsi aljabar dan trigonometri, dalil rantai, garis singgung, dan penerapannya untuk menentukan fungsi naik dan turun serta titik ekstrim grafik fungsi.
Turunan fungsi trigonometri memiliki aturan khusus. Turunan sin(x) adalah cos(x), turunan cos(x) adalah -sin(x). Turunan fungsi trigonometri lainnya dapat ditentukan dengan menggunakan rumus turunan bentuk u/v.
Laporan Pembina Pramuka SD dalam format doc dapat anda jadikan sebagai rujukan dalam membuat laporan. silakan download di sini https://unduhperangkatku.com/contoh-laporan-kegiatan-pramuka-format-word/
Paper ini bertujuan untuk menganalisis pencemaran udara akibat pabrik aspal. Analisis ini akan fokus pada emisi udara yang dihasilkan oleh pabrik aspal, dampak kesehatan dan lingkungan dari emisi tersebut, dan upaya yang dapat dilakukan untuk mengurangi pencemaran udara
Modul Ajar Matematika Kelas 11 Fase F Kurikulum MerdekaFathan Emran
Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka.
Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 10 Fase E Kurikulum MerdekaFathan Emran
Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 10 SMA/MA Fase E Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 10 SMA/MA Fase E Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 10 SMA/MA Fase E Kurikulum Merdeka.
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 Fase D Kurikulum Merdeka - [abdiera.com]Fathan Emran
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka.
Materi 1_Bagaimana Kita Memaknai Sekolah yang Berkualitas_ (ss versi kab_kot)...
matematika-limit1.ppt
1.
2. Matematika
SMA
( Semester Genap )
Sasaran : Kelas XI
Durasi Sajian: 3 x 45 Menit
Topik Bahasan
Penggunaan Konsep Limit
Fungsi dalam Pemecahan
Masalah
3. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi
dalam pemecahan masalah.
Standar Kompetensi
Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik
terhingga dan tak terhingga;
Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung
bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri.
Kompetensi Dasar
4. Dapat menjelaskan arti limit fungsi di suatu titik
terhingga dan tak terhingga;
Dapat menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri;
Dapat menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung
bentuk tak tentu limit fungsi aljabar dan trigonometri.
Tujuan Pembelajaran
5. Penting untuk bernalar matematis;
Sangat membantu dalam memahami bidang
kajian lain seperti fisika, kimia, biologi, teknik,
ekonomi, dan lain-lain.
Mengapa
Belajar Limit
?
6.
7. Amati arah terbang dua ekor burung
menuju sangkar dari arah yang
berbeda.
Jika kita aplikasikan dalam bentuk
matematis (kalkulus) maka:
Tiang sangkar sebagai garis x = c;
Jejak terbang burung identik dengan
grafik fungsi y = f(x);
Jarak kedua ekor burung semakin
dekat ke sangkar atau mendekati c;
Ketinggian burung pada saat tiba
dalam sangkar misalkan L;
X
L
y =
f(x)
x=
c
L
)
x
(
f
lim
c
x
=
Ditulis
:
9. 0
X
Y
3
6
x mendekati 3 dari kiri x mendekati 3 dari kanan
x 2,5 2,99 2,999 ... 3 ... 3,001 3,01 3,5
f(x) 5,5 5,99 5,999 ... 6 ... 6,001 6,01 6,5
f(x) mendekati 6 f(x) mendekati 6
Penyelesaian:
Fungsi tidak
terdefinisi pada
x = 3, karena diperoleh bentuk (tak
tentu).
Ambil beberapa nilai x yang
mendekati 3 dari kiri maupun dari
kanan.
0
0
3
x
9
x
)
x
(
f
2
-
-
=
Grafik
fungsi 3
x
9
x
)
x
(
f
2
-
-
=
Contoh 1:
Tentukan nilai dari
3
x
9
x
lim
2
3
x -
-
Dengan cara
aljabar:
3
x
)
3
x
)(
3
x
(
lim
3
x
9
x
lim
3
x
2
3
x -
-
+
=
-
-
6
)
3
x
(
lim
3
x
=
+
=
10. 0
X
Y
2
0
4
0
-20
-40
4
2 x mendekati 3 dari kiri x mendekati 3 dari kanan
x 2 2,99 2,999 ... 3 ... 3,001 3,01 4
f(x) -13 -1794,01 -17994 ... ? ... 18006 1806,01 25
f(x) mendekati bilangan
negatif yang sangat kecil
f(x) mendekati bilangan
positif yang sangat besar
x=3
Asimtot
Tegak
Contoh 2:
Tentukan nilai dari
3
x
9
x
lim
2
3
x -
+
Penyelesaian:
Fungsi tidak
terdefinisi pada
x = 3, karena diperoleh bentuk (tak
tentu).
Lakukan pendekatan seperti pada
contoh 1.
0
0
3
x
9
x
)
x
(
f
2
-
+
=
Grafik
fungsi 3
x
9
x
)
x
(
f
2
-
+
=
11. Dari gambar grafik nampak bahwa
jika x mendekati 3 dari kiri maka f(x)
akan mendekati bilangan negatif tak
hingga.
Sebaliknya jika x mendekati 3 dari
kanan maka f(x) akan mendekati
bilangan positif tak hingga.
Karena
maka nilai dari:
0
X
Y
2
0
4
0
-20
-40
4
2
x=3
Asimtot
Tegak
Grafik
fungsi 3
x
9
x
)
x
(
f
2
-
+
=
-
=
-
+
-
3
x
9
x
lim
2
3
x
+
=
-
+
+
3
x
9
x
lim
2
3
x
3
x
9
x
lim
3
x
9
x
lim
2
3
x
2
3
x -
+
-
+
+
-
ada
tidak
3
x
9
x
lim
2
3
x -
+
12. 0
X
Y
+∞
-∞
x mendekati bilangan negatif yang sangat besar x mendekati bilangan positif yang sangat besar
x - ∞ ... -1.000.000 -100.000 -10.000 -1.000 -100 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 ... + ∞
f(x) 0 ... -0,000001 -0,00001 -0,0001 -0,001 -0,01 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 ... 0
f(x) semakin mendekati nol (0) f(x) semakin mendekati nol (0)
Penyelesaian:
Dengan pendekatan nilai x positif
tanpa batas (+∞) dan negatif tanpa
batas (-∞). Lihat tabel dan grafik.
0
x
1
lim
x
=
Kita peroleh nilai:
Contoh 3:
Bagaimana dengan ?
x
1
lim
x
13. Start
Rasiona
l?
Bagi dengan
pangkat tertinggi
Rasionalkan/
kalikan akar
sekawan
kemudian bagi
pangkat tertinggi
Hasil
Stop
Tida
k
Ya
Flowchart untuk
menghitung nilai:
)
x
(
f
lim
x
Start
Substitusi x = c
Bentuk
tak
tentu?
Lakukan
pemfaktoran atau
rasionalkan
bentuk akar
Lanjutkan Hitung
Hasil
Stop
Tida
k
Ya
Flowchart untuk
menghitung nilai:
)
x
(
f
lim
c
x
14. Kalikan
akar
sekawan
x
4
2
x
4
2
x
4
2
x
lim
x
4
2
x
lim
0
x
0
x -
+
-
+
-
-
=
-
-
)
1
x
(
)
1
x
x
)(
1
x
(
lim
1
x
1
x
lim
2
1
x
3
1
x -
+
+
-
=
-
-
Contoh 4:
Tentukan nilai dari:
a)
b)
c)
d)
Penyelesaian:
Untuk soal (a) dan (b) jika dilakukan
substitusi akan diperoleh bentuk tak
tentu
Sehingg
a,
a) Lakukan
pemfaktoran
b) Rasionalkan bentuk
akar
1
x
x
lim 2
1
x
+
+
=
3
1
1
12
=
+
+
=
0
0
3
1
x
1
x
lim
3
1
x
=
-
-
1
x
1
x
lim
3
1
x -
-
x
4
2
x
lim
0
x -
-
3
x
x
2
1
x
4
x
3
lim 2
2
x +
-
-
+
)
x
4
(
x
4
2
x
4
2
4
)
x
4
2
(
x
lim
0
x -
-
-
-
-
+
-
+
=
x
)
x
4
2
(
x
lim
x
4
4
)
x
4
2
(
x
lim
0
x
0
x
-
+
=
+
-
-
+
=
4
0
4
2
x
4
2
lim
0
x
=
-
+
=
-
+
=
4
x
4
2
x
lim
0
x
=
-
-
)
x
4
x
x
(
lim 2
x
+
-
15. Kalikan akar
sekawan
2
2
2
2
2
2
2
2
x
3
x
x
x
x
2
x
1
x
x
4
x
x
3
x
2
2
x
lim
3
x
x
2
1
x
4
x
3
lim
+
-
-
+
=
+
-
-
+
Karena fungsi rasional maka
langsung bagi pangkat tertinggi
)
x
( 2
c) adalah fungsi
rasional.
Mengapa
?
2
2
x
3
x
1
x
1
x
4
x 2
3
lim
+
-
-
+
=
2
3
0
0
2
0
0
3
=
+
-
-
+
=
3
x
x
2
1
x
4
x
3
lim 2
2
x +
-
-
+
2
3
3
x
x
2
1
x
4
x
3
lim 2
2
x
=
+
-
-
+
Rasionalkan dengan cara kalikan akar
sekawan, selanjutnya bagi pangkat
tertinggi.
d) bukan fungsi
rasional.
Mengapa
?
)
x
4
x
x
(
lim 2
x
+
-
L
=
+
-
)
x
4
x
x
(
lim 2
x
x
4
x
x
x
4
x
x
)
x
4
x
x
(
lim 2
2
2
x +
+
+
+
+
-
=
x
4
x
x
)
x
4
x
(
x
lim 2
2
2
x +
+
+
-
=
x
4
x
x
x
4
lim 2
x +
+
-
=
2
0
1
1
4
-
=
+
+
-
=
2
)
x
4
x
x
(
lim 2
x
-
=
+
-
x
4
x
x
x
4
x
x
x
x
x
x
4
x 1
1
4
lim
lim
2
2
2
+
+
-
=
+
+
-
=
16.
Andaikan n bilangan bulat positif, k
konstanta, f dan g adalah fungsi yang
mempunyai limit di c, maka:
diman
a:
; utk n
genap
k
k
lim
c
x
=
)
c
(
f
)
x
(
f
lim
c
x
=
)
x
(
g
lim
)
x
(
f
lim
)
x
(
g
)
x
(
f
lim
c
x
c
x
c
x
=
)
x
(
g
lim
)
x
(
f
lim
)
x
(
g
)
x
(
f
lim
c
x
c
x
c
x
=
)
x
(
f
lim
k
)
x
(
kf
lim
c
x
c
x
=
0
)
x
(
g
lim
;
)
x
(
g
lim
)
x
(
f
lim
)
x
(
g
)
x
(
f
lim
c
x
c
x
c
x
c
x
=
n
c
x
n
c
x
))
x
(
f
lim
(
))
x
(
f
(
lim
=
n
c
x
n
c
x
)
x
(
f
lim
)
x
(
f
lim
=
Kita lihat contoh penerapannya!
0
)
x
(
f
lim
c
x
17. 4
lim
x
lim
7
1
x
1
x
-
=
4
lim
x
7
lim
1
x
1
x
-
=
Contoh 5:
Tentukan nilai dari:
a)
b)
Penyelesaian:
a) )
4
x
7
(
lim
1
x
-
4
)
1
(
7 -
=
3
=
+
-
+
1
x
2
2
x
3
x
lim 2
2
2
x
)
x
(
g
lim
)
x
(
f
lim
)
x
(
g
)
x
(
f
lim
c
x
c
x
c
x
=
)
x
(
f
lim
k
)
x
(
kf
lim
c
x
c
x
=
)
4
x
7
(
lim
1
x
-
19. Beberapa sifat yang sering dipakai:
Bukti untuk sifat
x
O
1
A
B
C
D
X
Y
∆OAB dan ∆OCB adalah segitiga
siku-siku.
OB
AB
x
sin
AB
1
AB
=
=
x
sin =
x
BD
busur
Panjang =
OB
BC
x
tan
BC
1
BC
=
=
x
tan =
1
x
x
sin
lim
0
x
=
1
x
x
cos
lim
0
x
=
1
x
x
tan
lim
0
x
=
1
x
sin
x
lim
0
x
=
0
x
cos
x
lim
0
x
=
1
x
tan
x
lim
0
x
=
(I) Misalkan:
jari-jari lingkaran ( r ) = 1 satuan
panjang, BOA = x
2
x
0 p
<
<
20. Bukti untuk sifat
x
O
1
A
B
C
D
X
Y AB < BD < BC sin x < x
< tan x
(dibagi sin
x)
1
x
x
sin
x
cos
x
cos
1
x
sin
x
1 <
<
<
<
karen
a:
(II) Untuk maka
0
x
2
<
<
p
-
2
x
0
p
<
-
<
1
x
x
sin
x
cos <
< 1
x
x
sin
x
cos <
-
-
<
-
-
=
-
=
-
x
sin
x
sin
x
cos
x
cos
1
x
x
sin
x
cos <
-
-
<
1
x
x
sin
x
cos <
<
∆OAB dan ∆OCB adalah segitiga
siku-siku.
OB
AB
x
sin
AB
1
AB
=
=
x
sin =
x
BD
busur
Panjang =
OB
BC
x
tan
BC
1
BC
=
=
x
tan =
(I) Misalkan:
jari-jari lingkaran ( r ) = 1 satuan
panjang, BOA = x
2
x
0 p
<
<
Dari bentuk (I) dan (II)
maka:
1
lim
x
x
sin
lim
x
cos
lim
0
x
0
x
0
x
<
<
;
2
x
2
p
<
<
p
-
1
x
x
sin
x
cos <
<
1
x
x
sin
lim
0
x
=
1
0
cos
x
cos
lim
0
x
=
=
1
1
lim
0
x
=
27. Kalikan akar
sekawan
x
h
x
x
h
x
h
x
h
x
lim
0
h +
+
+
+
-
+
=
5. ....
h
x
h
x
lim
0
h
=
-
+
....
h
x
h
x
lim
0
h
=
-
+
)
x
h
x
(
h
x
)
h
x
(
lim
0
h +
+
-
+
=
)
x
h
x
(
h
h
lim
0
h +
+
=
x
h
x
1
lim
0
h +
+
=
x
2
1
x
x
1
x
0
x
1
=
+
=
+
+
=
x
2
1
h
x
h
x
lim
0
h
=
-
+
x
3
1
x
3
2
x
2
x
2
x
2
1
Klikpada pilihan(a - e) untukmemilihjawaban
28. )
x
sin
x
)(cos
x
sin
x
(cos
x
sin
x
cos
lim
4
x -
+
-
= p
6. ....
x
2
cos
x
sin
x
cos
lim
4
x
=
-
p
x
sin
x
cos
x
sin
x
cos
lim
x
2
cos
x
sin
x
cos
lim 2
2
x
x 4
4 -
-
=
-
p
p
x
sin
x
cos
1
lim
4
x +
= p
4
4 sin
cos
1
p
p +
=
2
2
1
2
1
2
1 +
=
2
1
=
2
1
x
2
cos
x
sin
x
cos
lim
4
x
=
-
p
3
2
1
2
1
3
2
1
2
3
Klikpada pilihan (a - e) untukmemilihjawaban
34. Kalikan akar
sekawan
x
2
x
x
4
x
x
2
x
x
4
x
)
x
2
x
x
4
x
(
lim 2
2
2
2
2
2
x +
+
-
+
+
-
+
-
-
=
Bagi pangkat
tertinggi
2.
2
-
1
-
....
)
x
2
x
x
4
x
(
lim 2
2
x
=
+
-
-
....
)
x
2
x
x
4
x
(
lim 2
2
x
=
+
-
-
x
2
x
x
4
x
)
x
2
x
(
)
x
4
x
(
lim 2
2
2
2
x +
+
-
+
-
-
=
x
2
x
x
4
x
x
6
lim 2
2
x +
+
-
-
=
2
2
2
2
2
2
x
x
2
x
x
x
x
4
x
x
x
x
6
x
lim
+
+
-
=
-
x
2
x
4
x 1
1
6
lim
+
+
-
-
=
3
2
6
0
1
0
1
6
-
=
-
=
+
+
-
-
=
3
)
x
2
x
x
4
x
(
lim 2
2
x
-
=
+
-
-
6
-
4
-
3
-
Klikpada pilihan (a - e) untukmemilihjawaban
35. Bagi pangkat
tertinggi
Kalikan akar
sekawan
3. ....
)
x
1
x
(
x
lim 2
x
=
-
+
....
)
x
1
x
(
x
lim 2
x
=
-
+
x
1
x
x
1
x
)
x
1
x
(
x
lim 2
2
2
x +
+
+
+
-
+
=
x
1
x
)
x
1
x
(
x
lim 2
2
2
x +
+
-
+
=
x
1
x
x
lim 2
x +
+
=
x
x
x
1
x
x
x
x
x
2
2
2
lim
+
+
=
1
1
1
lim
2
x
1
x +
+
=
2
1
1
0
1
1
=
+
+
=
2
1
)
x
1
x
(
x
lim 2
x
=
-
+
0
2
4
1
2
1
3
1
Klikpada pilihan (a - e) untukmemilihjawaban
39. 1.
Jik
a
buktikan bahwa nilai
dari
x
1
x
x
1
lim
y
2
0
x
-
+
+
=
x
cos
x
sin
3
)
y
(
x 2
2
1
x
tan
x
2
sin
x
cos
x
2
sin
lim
+
+
-
1
x
tan
x
2
sin
x
cos
x
2
sin
lim
x
cos
x
sin
3
)
y
(
x 2
2
1
=
+
+
-
x
cos
x
sin
3
0
x 2
x
tan
x
2
sin
x
cos
x
2
sin
lim
+
+
=
)
1
(
x
tan
)
x
cos
1
(
x
2
sin
lim
x
cos
3
0
x +
+
=
x
cos
3
0
x
0
x
0
x 1
x
cos
1
lim
x
tan
x
lim
x
2
x
2
sin
lim
2
+
+
=
1
4
2
2
1
0
cos
1
1
1
2
0
cos
3
=
=
+
+
=
40. 1. Dengan menggunakan teorema
limit hitunglah nilai dari:
a.
....
x
3
x
2
1
x
3
2
lim
2
x
=
+
-
+
+
-
+
=
x
3
x
2
lim
1
x
3
2
lim
2
x
2
x
x
lim
3
x
2
lim
1
x
3
lim
2
lim
2
x
2
x
2
x
2
x
+
-
+
=
2
3
)
2
(
2
1
)
2
(
3
2 +
-
+
=
14
45
2
7
7
2
-
=
-
=
14
45
x
3
x
2
1
x
3
2
lim
2
x
-
=
+
-
+
1a
.
+
-
+
x
3
x
2
1
x
3
2
lim
2
x
b.
2. Jika dan
buktikan dengan teorema limit
bahwa:
1
)
x
(
g
lim
c
x
-
=
3
)
x
(
f
lim
c
x
=
a.
b.
c.
)
5
x
2
)(
4
x
(
lim
5
x
-
+
10
)
x
(
g
)
x
(
f
lim 2
2
c
x
=
+
[ ] 3
)
x
(
g
)
c
x
(
)
x
(
f
lim
c
x
=
-
+
[ ] 6
3
)
x
(
f
)
x
(
g
lim3
c
x
-
=
+
42. Bukti
:
2a
.
(terbukt
i)
....
)
x
(
g
)
x
(
f
lim 2
2
c
x
=
+
)
x
(
g
lim
)
x
(
f
lim 2
c
x
2
c
x
+
=
2
c
x
2
c
x
)]
x
(
g
lim
[
)]
x
(
f
lim
[
+
=
2
2
]
1
[
3 -
+
=
1
9+
=
10
=
10
)
x
(
g
)
x
(
f
lim 2
2
c
x
=
+
1. Dengan menggunakan teorema
limit hitunglah nilai dari:
a.
+
-
+
x
3
x
2
1
x
3
2
lim
2
x
b.
2. Jika dan
buktikan dengan teorema limit
bahwa:
1
)
x
(
g
lim
c
x
-
=
3
)
x
(
f
lim
c
x
=
a.
b.
c.
)
5
x
2
)(
4
x
(
lim
5
x
-
+
10
)
x
(
g
)
x
(
f
lim 2
2
c
x
=
+
[ ] 3
)
x
(
g
)
c
x
(
)
x
(
f
lim
c
x
=
-
+
[ ] 6
3
)
x
(
f
)
x
(
g
lim3
c
x
-
=
+
43. Bukti
:
2b
.
(terbukt
i)
[ ] ....
)
x
(
g
)
c
x
(
)
x
(
f
lim
c
x
=
-
+
)
x
(
g
lim
)
c
x
(
lim
)
x
(
f
lim
c
x
c
x
c
x
-
+
=
)
1
(
)
c
c
(
3 -
-
+
=
)
1
(
0
3 -
+
=
3
=
[ ] 3
)
x
(
g
)
c
x
(
)
x
(
f
lim
c
x
=
-
+
1. Dengan menggunakan teorema
limit hitunglah nilai dari:
a.
+
-
+
x
3
x
2
1
x
3
2
lim
2
x
b.
2. Jika dan
buktikan dengan teorema limit
bahwa:
1
)
x
(
g
lim
c
x
-
=
3
)
x
(
f
lim
c
x
=
a.
b.
c.
)
5
x
2
)(
4
x
(
lim
5
x
-
+
10
)
x
(
g
)
x
(
f
lim 2
2
c
x
=
+
[ ] 3
)
x
(
g
)
c
x
(
)
x
(
f
lim
c
x
=
-
+
[ ] 6
3
)
x
(
f
)
x
(
g
lim3
c
x
-
=
+
44. Bukti
:
2c
.
(terbukt
i)
[ ] ....
3
)
x
(
f
)
x
(
g
lim3
c
x
=
+
[ ]
3
)
x
(
f
lim
)
x
(
g
lim
c
x
3
c
x
+
=
+
=
3
lim
)
x
(
f
lim
)
x
(
g
lim
c
x
c
x
3
c
x
[ ]
3
3
1
3 +
-
=
[ ]
6
1
-
=
6
-
=
[ ] 6
3
)
x
(
f
)
x
(
g
lim3
c
x
-
=
+
1. Dengan menggunakan teorema
limit hitunglah nilai dari:
a.
+
-
+
x
3
x
2
1
x
3
2
lim
2
x
b.
2. Jika dan
buktikan dengan teorema limit
bahwa:
1
)
x
(
g
lim
c
x
-
=
3
)
x
(
f
lim
c
x
=
a.
b.
c.
)
5
x
2
)(
4
x
(
lim
5
x
-
+
10
)
x
(
g
)
x
(
f
lim 2
2
c
x
=
+
[ ] 3
)
x
(
g
)
c
x
(
)
x
(
f
lim
c
x
=
-
+
[ ] 6
3
)
x
(
f
)
x
(
g
lim3
c
x
-
=
+
45. 3. Berat dalam gram dari suatu tumor
yang membahayakan pada saat t
adalah w(t)=0,1t2—0,05t; t diukur
dalam minggu. Berapa laju
pertumbuhan tumor jika t = 10
minggu?
2. Sebuah perusahaan dalam waktu t
tahun memperoleh keuntungan
total sebesar L(t)=1500t2 dollar.
Berapa laju keuntungan sesaat
(keuntungan marjinal) saat t = 5?
1. Sebuah benda bergerak selama t
detik menempuh jarak s meter,
ditentukan dengan rumus s(t)=t2+2.
Tentukan kecepatan sesaat pada t
= 4.
1. Jarak: s(t)= t2+2. Maka kecepatan
sesaat pada t = 4 adalah:
Jadi, kecepatan sesaat benda
adalah: 8 m/detik
Gunakan
rumus:
untuk menyelesaikan permasalahan
berikut.
h
)
t
(
f
)
h
t
(
f
lim
0
h
-
+
h
]
2
4
[
]
2
)
h
4
[(
lim
2
2
0
h
+
-
+
+
=
h
]
2
16
[
]
2
h
h
8
16
[
lim
2
0
h
+
-
+
+
+
=
h
18
18
h
8
h
lim
2
0
h
-
+
+
=
h
)
8
h
(
h
lim
h
h
8
h
lim
0
h
2
0
h
+
=
+
=
8
)
8
h
(
lim
0
h
=
+
=
46. 2. Total untung: L(t)=1500t2. Maka
keuntungan marjinal untuk t = 5
adalah:
Jadi, keuntungan marjinal
perusahaan: 15000 dollar/tahun.
h
]
)
5
(
1500
[
]
)
h
5
(
1500
[
lim
2
2
0
h
-
+
=
h
)]
25
(
1500
[
)]
h
h
10
25
(
1500
[
lim
2
0
h
-
+
+
=
h
]
37500
[
]
h
1500
h
15000
37500
[
lim
2
0
h
-
+
+
=
h
h
15000
h
1500
lim
2
0
h
+
=
h
)
15000
h
1500
(
h
lim
0
h
+
=
15000
)
15000
h
1500
(
lim
0
h
=
+
=
3. Berat dalam gram dari suatu tumor
yang membahayakan pada saat t
adalah w(t)=0,1t2—0,05t; t diukur
dalam minggu. Berapa laju
pertumbuhan tumor jika t = 10
minggu?
2. Sebuah perusahaan dalam waktu t
tahun memperoleh keuntungan
total sebesar L(t)=1500t2 dollar.
Berapa laju keuntungan sesaat
(keuntungan marjinal) saat t = 5?
1. Sebuah benda bergerak selama t
detik menempuh jarak s meter,
ditentukan dengan rumus s(t)=t2+2.
Tentukan kecepatan sesaat pada t
= 4.
Gunakan
rumus:
untuk menyelesaikan permasalahan
berikut.
h
)
t
(
f
)
h
t
(
f
lim
0
h
-
+
47. 3. Berat tumor: w(t)=0,1t2—0,05t.
Maka laju pertumbuhan tumor
untuk t = 10 adalah:
Jadi, laju pertumbuhan tumor
adalah:
1,95 gram/minggu.
h
)]
10
(
05
,
0
)
10
(
1
,
0
[
)]
h
10
(
05
,
0
)
h
10
(
1
,
0
[
lim
2
2
0
h
-
-
+
-
+
=
h
]
5
,
0
)
100
(
1
,
0
[
]
h
05
,
0
5
,
0
)
h
h
20
100
(
1
,
0
[
lim
2
0
h
-
-
-
-
+
+
=
h
5
,
0
10
h
05
,
0
5
,
0
h
1
,
0
h
2
10
lim
2
0
h
+
-
-
-
+
+
=
h
)
95
,
1
h
1
,
0
(
h
lim
h
h
95
,
1
h
1
,
0
lim
0
h
2
0
h
+
=
+
=
95
,
1
95
,
1
)
0
(
1
,
0
)
95
,
1
h
1
,
0
(
lim
0
h
=
+
=
+
=
3. Berat dalam gram dari suatu tumor
yang membahayakan pada saat t
adalah w(t)=0,1t2—0,05t; t diukur
dalam minggu. Berapa laju
pertumbuhan tumor jika t = 10
minggu?
2. Sebuah perusahaan dalam waktu t
tahun memperoleh keuntungan
total sebesar L(t)=1500t2 dollar.
Berapa laju keuntungan sesaat
(keuntungan marjinal) saat t = 5?
1. Sebuah benda bergerak selama t
detik menempuh jarak s meter,
ditentukan dengan rumus s(t)=t2+2.
Tentukan kecepatan sesaat pada t
= 4.
Gunakan
rumus:
untuk menyelesaikan permasalahan
berikut.
h
)
t
(
f
)
h
t
(
f
lim
0
h
-
+
48. Andi Hakim Nasution dkk, Matematika 2, Departemen
Pendidikan dan Kebudayaan, Jakarta, 1994.
Bernard V. Zandy dan Jonathan J. White,
CliffsQuickReviewTM Calculus, Pakar Raya, Bandung,
2004.
B.K. Noormandiri, Buku Pelajaran Matematika SMA,
Jilid 2A, Erlangga, Jakarta, 2004.
Edwin J. Purcell dan Dale Varberg, Kalkulus dan
Geometri Analitis, Jilid 1, Erlangga, Jakarta, 1990.
http://www.answer.com/topik/limit-of-a-function.
http://www.garizhdizain.com.