matematika ppt

1. PERSAMAAN DAN FUNGSI
LINEAR

2. PERSAMAAN LINEAR
• Persamaan linear adalah persamaan dengan
variabel berpangkat satu.
• Persamaan linear hanya memiliki satu
buahnilai peubah bagi x
• Misalnya : 3x - 6 = 0, variabel x memiliki
pangkat satu.

3. CONTOH
3x – 6 = 0
3 x = 6
x = 6/3
x = 2

4. • Persamaan linear juga dapat memiliki lebih
dari satu peubah yang berpangkat satu,
misalnya : 2x + y – 4 = 0 atau x + 3y – 4z = 6,
dan seterusnya.
• x, y, dan z adalah variabel (peubah) yang
masing-masing mempunyai nilai maksimum
satu buah

5. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR
• Untuk menghitung nilai variabel dari suatu
persamaan linear dengan satu variabel dapat
dilakukan secara langsung, misalnya :
1) 2x + 4 = 0 2) 2x – 3 = 4x + 1
2x = -4 2x – 4x = 1 + 3
x = -4/2 -2x = 4
x = -2 x = 4/-2
x = -2

6. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR
• Jika persamaan linear tersebut memiliki lebih dari
satu variabel, maka dapat digunakan cara
substitusi dan eleminasi.
• Jika persamaan linear tersebut memiliki dua
variabel, maka untuk menyelesaikannya (mencari
nilai variabel yang memenuhi) minimal harus ada
dua bentuk persaman yang diketahui.
• Begitu pula jika variabelnya ada 3 buah, maka
untuk menyeleaikan persamaan tersebut juga
diperlukan minmimal tiga persamaan linear yang
diketahui.

7. CONTOH
Hitunglah nilai x dan y yang memenuhi
persamaan berikut :
3x + y – 7 = 0
2x – y – 3 = 0

8. TEKNIK SUBSTITUSI
3x + y – 7 = 0 ---------------- persamaan 1
2x – y – 3 = 0 ---------------- persamaan 2
3x + y – 7 = 0
y = -3x + 7  disubstitusi ke persamaan 2
2x – y – 3 = 0
2x – (-3x + 7) - 3 = 0
2x + 3x – 7 – 3 = 0
5x –10 = 0
5x = 10
x = 10/5  x = 2 -----  disubstitusikan ke
persamaan 1 atau 2

9. 3 x + y – 7 = 0
3 (2) + y – 7 = 0
6 + y –7 = 0
y = 7 – 6  y = 1
Jadi nilai x yang memenuhi persamaan tersebut
adalah 2 dan nilai y adalah 1  (2, 1)

10. TEKNIK ELEMINASI
3x + y – 7 = 0
2x – y – 3 = 0 +
5x – 10 = 0
5x = 10
x = 10/5  x = 2
3 x + y – 7 = 0
3 (2) + y – 7 = 0
6 + y –7 = 0
y = 7 – 6  y = 1

11. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR DENGAN
TIGA VARIABEL
Hitunglah nilai x, y, dan z yang memenuhi
persamaan linear berikut :
2x + 3y – z = 5 --------- persamaan 1
x – 2y – z = -6 --------- persamaan 2
3x + y + 2z = 11 --------- persamaan 3

12. 2x + 3y – z = 5 ------ persamaan 1
x – 2y – z = -6 - ------ persamaan 2
x + 5y = 11 ----- persamaan 4
2x + 3y – z = 5 ------- persamaan 1 dikali 2
3x + y + 2z = 11 ------- persamaan 3
4x + 6y – 2z = 10 ---- persamaan 1
(baru)
3x + y + 2z = 11 + ---- persamaan 3
7x + 7y = 21 ---------- persamaan 5

13. x + 5y = 11 --- persamaan 4 dikali 7
7x + 7y = 21 --- persamaan 5
7x + 35y = 77 --- persamaan 4 (baru)
7x + 7y = 21 - --- persamaan 5
28 y = 56
y = 56/28
y = 2  substitusi ke pers 4 atau 5

14. x + 5y = 11 ------- persamaan 4
x + 5(2) = 11
x + 10 = 11
x = 11 – 10 x = 1
substitusi nilai x dan y kepersamaan 1 atau 2 atau 3
2x + 3y – z = 5 ------ persamaan 1
2 (1) + 3 (2) – z = 5
2 + 6 – z = 5
- z = 5 – 2 – 6  - z = -3  z = 3
Jadi nilai yang memenuhi adalah :
x = 1, y = 2, dan z = 3

15. Latihan
Tentukan nilai-nilai yang memenuhi persamaan linear berikut :
1) 3x + 6 = 4 – x 2) (x – 3) = x + 5
3) 4(2x – 7) = 3(x + 2) 4) 3x – y = 7
2x + y = 8
5) 4x – 3y – 3 = 0 6) 5x + 3y = -5
2x + 7y – 27 = 0 4x - 5y = 4
7) 2x + y – 3z = 6 8) - x + 2y – 4z = -14
2x – 3y + z = 6 3x – 3y + z = 12
4x – 2y – 5z = 15 5x – y – 3z = 10

16. FUNGSI LINEAR
Fungsi linear adalah fungsi polinom yang variabel
bebasnya memiliki pangkat paling tinggi adalah satu :
y = a + bx
dimana y = variabel terikat
x = variabel bebas
a = konstanta
b = variabel atau koefisien

17. Hubungan antara variabel bebas (x) dan variabel
terikat (y) dapat digambarkan dalam bentuk
grafiks berikut :
Y
y = a + bx
a
0 X

18. Bentuk umum persamaan linear yang melewati
titik (a, b) dengan gradien m adalah :
y – b = m (x-a)
Dimana : m = gradien = ∆y/∆x

19. CONTOH 1
Tentukan persamaan linear yang melalui titik (3,4) dan gradiennya
2. Buatlah grafiksnya
Diketahui :
titik (3,4)  a = 3 dan b = 4
gradien (m) = 2
Persamaan linearnya adalah : y – b = m (x-a)
y – 4 = 2 (x – 3)
y – 4 = 2x – 6
y = 2x – 6 + 4
y = 2x – 2

20. Grafiksnya :
Titik potong dengan sumbu y,  x = 0
y = 2x – 2
y = 2(0) – 2
y = 0 – 2
y = - 2
Jadi titik potong dgn sumbu y adalah (0, -2)
Titik potong dgn sumbu x,  y = 0
y = 2x – 2
` 0 = 2x – 2
2 = 2x
x = 2/2  x = 1
Jadi titik potong dgn sumbu x adalah (1, 0)

22. CONTOH 2
Tentukan persamaan garis lurus yang melewati titik
A ( -1, 3) dan titik B (1, -1). Buatlah juga grafiksnya.
Diketahui :
titik A (-1,3) artinya x1 = -1 dan y1 = 3
titik B (1,-1) artinya x2 = 1 dan y2 = -1
Gradien :
)
)
1
(
1
(
)
3
1
(
1





m
)
2
(
)
4
(

m 2


m

23. Ambil salah satu titik yang telah diketahui (titik A
atau B), misalnya titik A (-1, 3)
Jadi a = -1 dan b = 3 dan gradien (m) = -2
Persamaan linearnya adalah : y – b = m (x-a)
y – 3 = -2 (x – [-1])
y – 3 = -2(x + 1)
y – 3 = -2x - 2
y = -2x – 2 + 3
y = -2x + 1

24. Grafiksnya :
Titik potong dengan sumbu y, maka x = 0
y = -2x + 1
y = -2(0) + 1
y = 0 + 1
y = 1 
Jadi titik potong dgn sumbu y adalah (0, 1)
Titik potong dgn sumbu x, maka y = 0
y = -2x + 1
0 = -2x + 1
2x = 1
x = ½
Jadi titik potong dgn sumbu x adalah (½ , 0)

25. Y
A(-1,3) 3
2
1 (0, 1)
-2 -1 0 1 2 3
-1
(½, 0)
B (1,-1)
X
-2
-3
y = -2x + 1

26. Hubungan dua fungsi linear
a) Dua buah fungsi lienar akan terletak secara
berimpit jika fungsi pertama merupakan
kelipatan dari fungsi kedua.
Dengan kata lain
y1 = ny2 a1 = na2 dan b1 = nb2
Misalnya :
Fungsi I : y = 4x – 2
Fungsi II : 3y = 12x – 6

27. Persamaan linear yang saling berimpit
Y
3
2
1
-2 -1 0 1 2 3
-1
(½, 0)
X
-2 (0, -2)
-3
y = 4x - 2
3y = 12x - 6

28. b) Dua buah fungsi linear akan terletak sejajar
jika gradien fungsi pertama sama dengan
gradien fungsi kedua.
Dengan kata lain
a1 = a2 dan b1  b2
Misalnya :
Fungsi I : y = 4x – 2
Fungsi II : y = 4x + 1

29. Persamaan linear yang sejajar
Y
3
2
1
-2 -1 0 1 2 3
-1
(½, 0)
X
-2 (0, -2)
-3
y = 4x - 2
y = 4x + 1

30. c) Dua buah fungsi linear akan saling tegak lurus jika
gradien fungsi pertama saling berkebalikan dan
memiliki tanda berlawanan dengan gradien fungsi
kedua.
Dengan kata lain
a1  a2 dan a1 = -1/a2
Misalnya :
Fungsi I : y = 4x – 2
Fungsi II : y = -1/4x + 1

31. Persamaan linear yang saling tegak lurus
Y
3
2
1
-2 -1 0 1 2 3
-1
(½, 0)
X
-2 (0, -2)
-3
y = 4x - 2
y = -¼ x + 1

32. Contoh soal
Tentukan persamaan linear yang melewati titik A (1,2) dan sejajar dengan
garis y = 3x + 1. Buatlah grafiksnya
Diketahui titik A (1,2)  artinya a = 1, dan b = 2
Gradien persamaan garis y = 3x + 1 adalah m1 = 3
Karena persamaan linearnya sejajar dengan y = 3x + 1 ,
maka m1 = m2 = 3
Jadi persamaan garis tersebut adalah : y – b = m (x-a)
y – 2 = 3 (x – 1)
y – 2 = 3x - 3
y = 3x – 3 + 2
y = 3x – 1
Jadi persamaan linear yang meleati titik A (1,2) dan sejajar dengan garis
y = 3x + 1 adalah persamaan linear y = 3x - 1

33. Persamaan linear pertama y = 3x + 1
Titik potong dengan sumbu y, maka x = 0
y = 3x + 1
y = 3(0) + 1
y = 0 + 1
y = 1
Jadi titik potong dgn sumbu y adalah (0, 1)
Titik potong dgn sumbu x, maka y = 0
y = 3x + 1
0 = 3x + 1
-3x = 1
x = -1/3
Jadi titik potong dgn sumbu x adalah (-1/3 , 0)

34. Persamaan linear kedua : y = 3x - 1
Titik potong dengan sumbu y, maka x = 0
y = 3x - 1
y = 3(0) - 1
y = 0 - 1
y = -1
Jadi titik potong dgn sumbu y adalah (0, -1)
Titik potong dgn sumbu x, maka y = 0
y = 3x - 1
0 = 3x - 1
1 = 3x
x = 1/3
Jadi titik potong dgn sumbu x adalah (1/3 , 0)

35. Y
3
2
1 (0, 1)
A(1,2)
-2 -1 0 1 2 3
(-1/3, 0)
-1
(1/3, 0)
X
(0,-1)
-2
-3
y = 3x + 1
y = 3x - 1

36. Contoh Soal
Tentukan persamaan linear yang melalui titik A (1,1) dan tegak
lurus terhadap garis y = 2x + 4. Carilah titik potong kedua garis
tersebut. Buatlah juga grafiksnya.
Diketahui titik A (1,1  artinya a = 1, dan b = 2
Gradien persamaan garis y = 2x + 4 adalah m1 = 2
Karena persamaan linearnya tegak lurus terhadap
y = 2x + 4, maka m1.m2 = -1  2m2 = -1  m2 = -1/2
Jadi persamaan garis tersebut adalah : y – b = m (x-a)
y – 1 = -1/2 (x – 1)
y – 1 = -1/2x + 1/2
y = -1/2x +1/2 + 1
y = -1/2x + 3/2

37. Titik Potong kedua garis :
y = 2x + 4
y = -1/2x + 3/2 -
0 = 5/2x + 5/2
5/2x = -5/2  x = -1
y = 2x + 4
y = 2(-1) + 4
y = 2
Jadi titik potong kedua garis adalah (-1, 2)

38. Persamaan linear pertama y = 2x + 4
Titik potong dengan sumbu y, maka x = 0
y = 2x + 4
y = 2(0) + 4
y = 0 + 4
y = 4
Jadi titik potong dgn sumbu y adalah (0, 4)
Titik potong dgn sumbu x, maka y = 0
y = 2x + 4
0 = 2x + 4
-2x = 4
x = -4/2
x = -2 
Jadi titik potong dgn sumbu x adalah (-2 , 0)

39. Persamaan linear kedua : y = -1/2x + 3/2
Titik potong dengan sumbu y, maka x = 0
y = -1/2x + 3/2
y = -1/2(0) + 3/2
y = 0 +3/2
y = 3/2
Jadi titik potong dgn sumbu y adalah (0, 3/2)
Titik potong dgn sumbu x, maka y = 0
y = -1/2x + 3/2
0 = -1/2x + 3/2
1/2x = 3/2
x = 3/2 / ½
x = 3
Jadi titik potong dgn sumbu x adalah (3 , 0)

40. y = 2x + 4
y = -1/2x + 3/2
O
(-2,0)
(3, 0)
(0, 3/2)
(0, 4)
(-1,2)