Dokumen ini membahas tentang persamaan dan pertidaksamaan linear, termasuk penyelesaian masalah yang melibatkan nilai mutlak dalam bentuk linear satu variabel. Selain itu, juga dijelaskan konsep matematis dari geometri analitis, gradien garis, serta contoh penerapan dalam kehidupan sehari-hari. Pembaca diajak untuk menguji pemahaman melalui latihan terkait persamaan dan pertidaksamaan tersebut.

1. Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
Sumber: www.istockphoto.com

2. • Mengintepretasi persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk
linear satu variabel dengan persamaan dan pertidaksamaan linear aljabar
lainnya.
• Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan
pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel.
Kompetensi Dasar
• Mengidentifikasi kuantitas-kuantitas dan hubungan di antaranya dalam
masalah kontekstual dan merumuskan persamaan dan/atau pertidaksamaan
linear satu variabel yang memuat nilai mutlak yang sesuai.
• Menggunakan ide-ide matematika untuk menyelesaikan persamaan
dan/atau pertidaksamaan linear satu variabel yang memuat nilai mutlak.
• Menafsirkan dan mengevaluasi penyelesaian berdasarkan konteks mula-
mula.
• Mengomunikasikan proses dan hasil pemecahan masalah.
• Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan
pertidaksamaan linear satu variabel yang memuat nilai mutlak.
• Menyajikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan persamaan dan
• pertidaksamaan linear satu variabel yang memuat nilai mutlak.
Pengalaman Belajar

3. Rene′ Descartes yang dalam literatur
berbahasa Latin dikenal sebagai
Renatus Cartesius, merupakan
seorang filsuf dan matematikawan
Prancis.
penemuannya tentang geometri
analitis, yang akhirnya dikenal
sebagai pencipta Sistem Koordinat
Cartesius.
Salah satu penemuannya adalah
tentang “kemiringan” pada
persamaan garis lurus. Kemiringan
menentukan posisi suatu garis
terhadap koordinat x dan koordinat y.

4. 1.1.1 Gradien Garis
Darmawan adalah seorang peneliti
kehutanan.Ia melakukan penelitian tentang:
umur pohon(A) dan diameter pohon (D). Ia
memetakantitik-titik (data penelitian) dalam
bidang Cartesius, kemudian menarik garis dari
titik O dan di antara sebarang titik-titik
tersebut. Di samping itu, ia juga menentukan
gradien garis, seperti tampak pada Gambar di
samping
Catatan:
Garis yang melalui titik-titik pangkal (gradien garis) harus memenuhi ketentuan berikut.
(i) Banyak titik-titik di atas dan di bawah garis harus sebanding.
(ii) Jarak titik-titik yang di atas maupun di bawah garis juga hampir sama
1.1 PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

5. Contoh 1
1. Tentukan persamaan garis pada Gambar berikut.

6. 2. Gunakan persamaan D = 25A untuk menemukan nilai D jika A
= 10.
3. Gunakan persamaan di atas untuk menentukan nilai A jika
diketahui D = 300.
Substitusi A = 10 ke persamaan: D = 25A
D = 25 × 10 = 250 (ujilah pada gambar)

8. 1.1.2 PERSAMAAN GARIS

9. A. PERSAMAAN GARIS y = mx dan y = mx + n

10. Jadi, garis yang memotong sumbu X di(a, 0) dan sumbu Y di(0, b), maka
persamaannya

11. Pada Gambar (i):
• Garis AP sejajar sumbu Y dan berjarak a satuan dari sumbu Y.
• Karena garis AP sejajar sumbu Y, maka setiap titik (x, y) pada
garis AP berjarak a satuan dari sumbu Y; x = a.
Jadi garis yang sejajar sumbu Y dan berjarak a satuan dari
sumbu Y adalah garis x = a.
Pada Gambar (ii):
• Garis BP sejajar sumbu X dan berjarak b satuan dari sumbu
X.
• Karena garis BP sejajar sumbu X, maka setiap titik (x, y) pada
garis BP berjarak b satuan dari sumbu X; y = b.
Jadi, garis yang sejajar sumbu X dan berjarak b satuan dari
sumbu X adalah garis y = b.
C. Garis x = a dan y = b

12. • Persamaan ax + by + c = 0 dapat dinyatakan sebagai: y = mx + n dan y = mx.
• ax + by + c = 0 adalah persamaan yang mewakili garis lurus.
• Oleh karena ax + by + c = 0 mewakili garis lurus, maka dikatakan persamaan itu
merupakan persamaan linear.
D. Garis ax + by + c = 0 dalam bentuk linear

13. E. Garis y – b = m(x – a)

14. (i) (ii)

15. Contoh 2
Diketahui koordinat titik A(4, 3) dan B(6, 7).
a. Tentukan letak titik A dan B pada diagram Cartesius.
b. Tarik garis yang melalui AB.
c. Tunjukkan pada gambar untuk komponen y dari AB dan komponen x dari
AB.
d. Tentukan nilai gradien garis AB.

16. Kamu bisa menguji pemahaman
tentang PERSAMAAN LINEAR DUA
VARIABEL
dengan mengerjakan soal
Latihan 1 pada halaman 13

17. 1.2.1 Nilai Mutlak
Nilai mutlak dari bilangan real x ditulis |x| dengan:
(i) |x| = x, jika x ≥ 0 dan
(ii) |x| = –x, jika x < 0
1.2 PERSAMAAN LINEAR YANG MELIBATKAN NILAI
MUTLAK

18. nilai mutlak tidak berlaku untuk sifat penjumlahan atau
pengurangan. Artinya,
|a + b| ≠ |a| + |b| atau |a – b| ≠ |a| – |b|.
Untuk menyelesaikan penjumlahan atau pengurangan nilai
mutlak, kita kembali merujuk berdasarkan definisi nilai mutlak
|x|, yakni:
|x – 6| = x – 6 jika x – 6 ≥ 0 dan
|x – 6| = –(x – 6) jika x – 6 < 0

19. Contoh 5
Tentukan penyelesaian persamaan nilai mutlak |x + 5| = 1, dengan dua alternatif
penyelesaian.
Jawab:
Alternatif penyelesaian 1:
Kita harus ingat bahwa:
(i) | x + 5 | = x + 5, jika x ≥ –5 dan
(ii) | x + 5 | = –(x + 5), jika x < –5
Proses selanjutnya kita lihat pada 2 tahap:
(i) dan (ii)
Jika x ≥ –5, maka Jika x < –5, maka
x + 5 = 1 –(x + 5) = 1
∴ x = –4 ∴ x = –6
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan |x + 5| = 1 adalah x = –4 atau x = –6.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–6, –4}.
1.2.2 PENYELESAIAN PERSAMAAN NILAI MUTLAK

20. Alternatif penyelesaian 2:
Misalkan persamaan | x + 5 | = 1 terdiri dari 2 fungsi, yaitu
y = | x + 5 | dan y = 1.
Lukislah kedua fungsi tersebut pada koordinat Cartesius yang sama.
Pada Gambar terlihat bahwa titik A dan B
merupakan titik potong kedua kurva y = | x
+ 5 | dan y = 1 di mana A(–4, 1) dan B(–6,
1).
Penyelesaian persamaan | x + 5 | = 1 adalah
x = –4 atau x = –6.
Jadi, himpunan penyelesaiannya {–6, –4}.

21. Kamu bisa menguji pemahaman
tentang PERSAMAAN LINEAR
YANG MELIBATKAN NILAI MUTLAK
dengan mengerjakan soal
Latihan 2 pada halaman 17

22. 1.3.1 Pertidaksamaan dalam Bentuk x > a, x < a, y > a, dan y < a
Daerah arsiran pada Gambar
menunjukkan
x ≥ –4
Daerah arsiran pada Gambar
menunjukkan
x < 2
Daerah arsiran pada Gambar
menunjukkan
x > –3 dan x ≤ 4 dapat
digabung menjadi –3 < x ≤ 4.
1.3 PERTIDAKSAMAAN LINEAR

23. Definisi: Pertidaksamaan linear dua variabel
Pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan yang di
dalamnya memuat dua variabel dan masing-masing variabel tersebut
linear atau berderajat satu.
bentuk baku dari pertidaksamaan linear dalam variabel x dan y dapat
dinyatakan dengan menggunakan salah satu ekspresi berikut.
1. ax + by < c 3. ax + by > c
2. ax + by ≤ c 4. ax + by ≥ c
dengan a, b, dan c bilangan real (a ≠ 0 dan b ≠ 0).
1.3.2 PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

25. Contoh 7
Tentukan daerah penyelesaian dari setiap pertidaksamaan berikut.
a. x – y ≤ 4
b. 6x + 5y < 30
Jawab:
a. x – y ≤ 4
• Gambarlah garis x – y = 4 pada diagram Cartesius.
Titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y.
• Selidiki daerah yang memenuhi dengan titik selidik.
Misal (0, 0)
x – y ≤ 4
0 – 0 ≤ 4
0 ≤ 4 (Pernyataan benar)
Arsirlah daerah yang memuat titik selidik (0, 0).
Daerah himpunan penyelesaian ditunjukkan pada
Gambar 1.23 berikut.

26. b. 6x + 5y < 30
• Gambarlah garis 6x + 5y = 30 pada diagram Cartesius.
Titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y.
• Titik selidik (0, 0)
6x + 5y < 30
0 + 0 < 30
0 < 30 (Pernyataan benar)
Arsirlah daerah yang memuat titik selidik (0, 0).
Daerah himpunan penyelesaian disajikan
pada Gambar di samping

27. Kamu bisa menguji pemahaman
tentang PERTIDAKSAMAAN
LINEAR
dengan mengerjakan soal
Latihan 3 pada halaman 22

28. (i) a ≥ 0 dan x ∈ R, |x| ≤ a jika dan hanya jika −a ≤ x ≤ a
(ii) a ≥ 0 dan x ∈ R, |x| ≥ a jika dan hanya jika x ≥ a atau x ≤ −a
1.4 PERTIDAKSAMAAN LINEAR YANG MELIBATKAN
NILAI MUTLAK

29. Tahap 2:
Diketahui –a ≤ x ≤ a. Hal ini berarti –a ≤ x dan x ≤ a atau dengan kata lain
–x ≤ a dan x ≤ a. Bentuk tersebut dapat dituliskan: |x| ≤ a.
Tahap 2:
Diketahui x ≤ –a atau x ≥ a. Hal ini berarti –x ≥ a atau x ≥ a. Bentuk tersebut dapat
dituliskan |x| ≥ a.

30. Jika a dan b adalah sembarang bilangan real, maka berlaku:
1. −|a| ≤ a ≤ |a| dan −|b| ≤ b ≤ |b|
2. |ab| = |a| · |b|
4. |a + b| ≤ |a| + |b|
5. (i) |a – b| ≥ |a| – |b|
(ii) |a – b| ≥ ||a| – |b||
1.4.1 SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK

31. Contoh 8
Ubahlah bentuk aljabar berikut tanpa nilai mutlak|x – 1|
Jawab:
|x – 1| Nilai mutlak ini berganti tanda di x = 1 yang membagi garis bilangan x
atas dua daerah, yaitu x < 1 dan x ≥ 1.

32. Contoh 9
Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan |x| ≤ 2.
Dengan metode grafik:
Gambarlah grafik y = |x| dan y = 2 pada diagram Cartesius yang
sama.
1.4.2 PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

33. bagian kurva y = |x| yang berada di bawah
garis y = 2 terjadi pada interval x,
yaitu –2 ≤ x ≤ 2.
Oleh karena itu, penyelesaian dari |x| ≤ 2
adalah –2 ≤ x ≤ 2.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{x | –2 ≤ x ≤ 2, x ∈ R}.
Dengan definisi nilai mutlak:
Jika |x| ≤ a, maka –a ≤ x ≤ a
|x| ≤ 2 ⇒ –2 ≤ x ≤ 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{x | –2 ≤ x ≤ 2, x ∈ R}.

34. Contoh 10
Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan
berikut.
a. |x – 2| ≤ 3 b. |x – 1| > 4
a. Jika |x| ≤ a, maka –a ≤ x ≤ a
|x – 2| ≤ 3 ⇔ –3 ≤ x – 2 ≤ 3
⇔ –3 ≤ x – 2 dan x – 2 ≤ 3
⇔ –1 ≤ x dan x ≤ 5
∴ –1 ≤ x ≤ 5
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{x | –1 ≤ x ≤ 5, x ∈ R}.

35. Contoh 10
Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan berikut.
a. |x – 2| ≤ 3 b. |x – 1| > 4
b. |x – 1| > 4
Jika |x| > a, maka x < –a atau x > a
|x – 1| > 4 ⇔ x – 1 < –4 atau x – 1 > 4
⇔ x < –3 atau x > 5
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x < –3 atau x > 5, x ∈ R}.

36. Contoh 11
Selesaikanlah pertidaksamaan berikut. |5x – 7| > 2x + 1
• Alternatif penyelesaian 2: |5x – 7| > 2x + 1
Misalkan y = |5x – 7| dan y = 2x + 1.

37. Gambar di bawah menunjukkan grafik kurva y = |5x – 7| dan
y = 2x + 1 yang berpotongan di titik A dan B.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{x | x < 67atau x > 83, x ∈ R}.

38. Contoh 12
Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
|x – 1| + |x – 3| ≤ 2
Jawab:
a. |x – 1| + |x – 3| ≤ 2
Lukislah kurva y = x – 1, y = x – 3, dan y = 2.
Tabel untuk kurva y = |x – 1|.
Tabel untuk kurva y = |x – 3|.

39. Untuk pembuat nol, |x – 1| + |x – 3| ≤ 2 terjadi di titik P dan
Q untuk x = 1 atau x = 3. Akibatnya, nilai x yang memenuhi
|x – 1| + |x – 3| ≤ 2, yaitu kedua kurva berada di bawah garis y = 2
terjadi pada interval 1 ≤ x ≤ 3.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | 1 ≤ x ≤ 3; x ∈ R}.

40. Kamu bisa menguji pemahaman
tentang PERTIDAKSAMAAN
LINEAR YANG MELIBATKAN NILAI
MUTLAK
dengan mengerjakan soal
Latihan 4 pada halaman 30

41. Contoh 13
Mayang membeli buku dengan harga diskon sebesar 40% dari harga reguler
(harga tanpa diskon) di sebuah toko buku. Untuk itu Mayang harus membayar
sebesar Rp46.800,00. Berapa harga reguler buku tersebut?
1.5 MASALAH YANG MELIBATKAN PERSAMAAN
DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

42. Contoh 14
Pak Bambang membeli sepeda motor bekas pakai seharga Rp8.600.000,00.
Sepeda motor itu dijual kembali dan Pak Bambang mengharapkan laba yang tidak
kurang dari 20% dari harga pembelian.
a. Tentukan nilai batas harga jual sepeda motor tersebut.
b. Tentukan harga jual yang terendah.
Jawab:
a. Misalkan untung adalah x rupiah.
Besar keuntungan tidak kurang dari 20% dari harga pembelian, artinya:
x ≥ 20% × 8.600.000
⇔ x ≥ 1.720.000
Batas harga jual: Harga jual (J) = Harga beli + Untung (x) = 8.600.000 + x
x ≥ 1.720.000
⇔ 8.600.000 + x ≥ 8.600.000 + 1.720.000
⇔ 8.600.000 + x ≥ 10.320.000
⇔ J ≥ 10.320.000
b. Harga jual sepeda motor terendah adalah Rp10.320.000,00.

43. Contoh 15
Sungai Citarum sering meluap pada musim hujan dan kering di musim kemarau.
Debit air sungai tersebut adalah sebesar 126 meter kubik perdetik pada cuaca
normal. Perubahan debit pada cuaca tidak normal adalah sebesar 30 meter kubik
per detik. Tentukan penurunan minimum dan peningkatan maksimum debit air
sungai tersebut.
Alternatif penyelesaian 1:
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh:
|x – 126| = {x – 126, jika x ≥ 126 126 – x, jika x < 126
Untuk x ≥ 126
x – 126 = 30
⇔ x = 156
Untuk x < 126
126 – x = 30
x = 96
Jadi, penurunan minimum debit air sebanyak 96 m3/detik
dan peningkatan maksimum sebanyak 156 m3/detik.
Sumber : id.wikipedia.org

44. Contoh 16
Seorang bayi lahir prematur di sebuah Rumah Sakit Bersalin dengan berat badan
2.300 gram. Untuk mengatur suhu tubuh bayi tetap stabil, maka bayi tersebut
harus dirawat di dalam inkubator selama beberapa hari. Suhu inkubator harus
dipertahankan berkisar antara 30°C hingga 35°C selama 3 hari. Ternyata jika berat
badan berada pada interval berat badan: 2.100–2.500 gram, maka suhu inkubator
yang harus dipertahankan adalah 32°C. Jika pengaruh suhu ruangan membuat suhu
inkubator menyimpang sebesar 0,3°C, hitunglah interval perubahan suhu
inkubator.
Jawab:
Pada kasus tersebut, kita sudah mendapatkan data dan suhu inkubator yang harus
dipertahankan selama 1–3 hari sejak kelahiran adalah 32oC. Misalkan T adalah
segala kemungkinan penyimpangan perubahan suhu inkubator akibat pengaruh
suhu ruangan, dengan perubahan yang diharapkan sebesar 0,3oC, maka
pertidaksamaan nilai mutlak suhu tersebut
dapat kita modelkan sebagai berikut.
|T – 32| ≤ 0,3
Pertidaksamaan tersebut dapat kita selesaikan melalui cara berikut.

45. • Alternatif penyelesaian 2:
Berdasarkan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh:
|T – 32| ≤ 0,3
⇔ –0,3 ≤ T – 32 ≤ 0,3
⇔ 31,7 ≤ T ≤ 32,3
Jadi, interval perubahan suhu inkubator adalah {T | 31,7oC ≤ T ≤ 32,3°C}.
• Alternatif penyelesaian 1:
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh:
|T – 32| = T – 32, jika T ≥ 32
32 – T, jika T < 32
Untuk T ≥ 32 maka
T – 32 ≤ 0,3 ⇔ T ≤ 32,3
Untuk T < 32 maka
32 – T < 0,3 ⇔ 31,7 < T
Jadi, interval perubahan suhu inkubator adalah {T | 31,7°C ≤ T ≤ 32,3°C}.

46. Kamu bisa menguji pemahaman
tentang MASALAH YANG
MELIBATKAN PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN LINEAR
dengan mengerjakan soal
Latihan 5 pada halaman 65