1. คลิ๊กเพื่อเข้าสู่บทเรียน จัดทำโดย .. นายกิตติชัย วงค์ธานี ชั้น ม .4/1 เลขที่ 35 ภาคเรียนที่ 2 ปีการศึกษา 2554 โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย จังหวัดเชียงใหม่ เสนอ .. คุณครูพิมล อนันตา

2. เมื่อเรามองไปรอบๆ ตัว จะเห็นว่าวัตถุต่างๆ ที่กำลังเคลื่อนที่ ทั้งที่เป็นไปโดยธรรมชาติและที่มนุษย์ทำให้เกิดขึ้น เช่น ใบไม้เคลื่อนไหว นกบิน น้ำกระเพื่อม วัตถุตกจากที่สูง ยานพาหนะกำลังวิ่ง ล้อรถกำลังหมุน แหลนกำลังเคลื่อนที่ พัดลมกำลังหมุน เป็นต้น การเคลื่อนที่แบบต่างๆ ดังกล่าวง บางครั้งวุตถุเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง หรือในแนวโค้ง หรือวัตถุหมุนอยู่กับที่ หรือหมุนไปด้วยเคลื่อนที่ไปด้วย หรือ สั่นอยู่กับที่ แต่การเคลื่อนที่แบบต่างๆ ที่นอกเหนือไปจากการเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง เช่น รถยนต์ที่กำลังแล่นเลี้ยวโค้ง ก้อนหินที่เราขว้างไปในอากาศ การเคลื่อนของลูกปิงปองหรือลูกเทนนิส เป็นต้น การเคลื่อนที่เหล่านี้มีลักษณะแตกต่างไป ....

3. การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ (P rojectile)

4. วัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง เมื่อมีแรงลัพธ์มากระทำต่อวัตถุในทิศเดียวกับความเร่งและอยู่ในแนวเดียวกับการเคลื่อนที่ของวัตถุ โดยอาจอยู่ในทิศเดียวกันหรือทิศตรงข้ามกับทิศของความเร็ว วัตถุยังเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงเหมือนเดิม แต่จะมีการเปลี่ยนแปลงเฉพาะความเร็วและความเร่งเท่านั้น การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ (P rojectile)

5. แต่ถ้าแรงลัพธ์ที่มากระทำต่อวัตถุไม่ได้อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกับการเคลื่อนที่เดิมของวัตถุ คือ แรงลัพธ์ทำมุมใดๆ กับการเคลื่อนที่ จะทำให้วัตถุเคลื่อนที่อยู่ในแนวโค้ง ซึ่งจะเรียกลักษณะการเคลื่อนที่กรณีนี้ว่า การเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์ ( Projectile ) และเรียกวัตถุที่เคลื่อนที่ในลักษณะดังกล่าวว่า โพรเจกไทล์ เช่น ขว้างก้อนหินไปในอากาศ การพุ่งแหลน การทุ่มน้ำหนัก ขณะที่วัตถุเคลื่อนที่ไปนั้น แรงดึงดูดของโลกจะฉุดวัตถุลงในแนวดิ่งอยู่ตลอดเวลา ทำให้วัตถุเคลื่อนที่ในลักษณะโค้งได้ การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ (P rojectile)

6. การกระจัดของวัตถุซึ่งเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์ การหาระยะทางตกไกลสุดตามแนวราบ การขว้างวัตถุให้ได้ระยะตกไกลในแนวราบ การขว้างวัตถุออกไปจากพาหนะที่กำลังเคลื่อนที่ การหาระยะตกไกลสุดบนพื้นเอียง การเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์ของวัตถุบนพื้นเอียง การเคลื่อนที่แนวระดับและแนวดิ่งของโพรเจคไทล์ ขั้นตอนการคำนวณโจทย์ เคลื่อนที่ขึ้นไปแล้วลงมาสู่แนวระดับเดิม การหาความเร็วลัพธ์ที่จุดใดๆ การเคลื่อนที่ของวัตถุ 2 ก้อนพร้อมกันมาชน ลักษณะการเคลื่อนที่แบบวิถีโค้งและสมการการเคลื่อนที่ สารบัญ

7. ความรู้เกี่ยวกับโพรเจกไทล์ตามแบบเรียน ไม่สามารถคำนวณเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจริงได้อย่างถูกต้อง เช่น การทิ้งกล่องสัมภาระลงมาจากเครื่องบินที่บินด้วยอัตราเร็ว 100 เมตร / วินาที ในสถาพจริงจะต้องคิดแรงต้านทานจากอากาศ คือ กล่องขนาดพื้นที่หน้าตัด 1 ตารางเมตร จะถูกแรงต้านจาอากาศที่มีค่ามากกระทำ สำหรับวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วมากกว่านี้ และมีขนาดเล็กกว่านี้ เช่นกระสุนปืน แรงต้านจากอากาศจะยิ่งมีผลต่อการเคลื่อนที่มากขึ้นไปอีก นอกจากนี้ยังมีแรงลม แรงหนืด ความแตกต่างของสนามควาโน้มถ่วง ฯลฯ ซึ่งต่างก็มีผลต่อการเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์อีกด้วย ตัวอย่างของโพรเจคไทล์ที่พอสังเกตผลของแรงต้านต่างๆ ได้ชัด เช่น ลำน้ำที่ถูกฉีดออกจากท่อดับเพลิงหรือสายยางรดน้ำต้นไม้ ( ดังรูป 15) จะเห็นว่าความโค้งของลำน้ำขณะที่ฉีดกับขณะที่ตกลงมา มีความแตกต่างกันซึ่งไม่เป็นรูปพาราโบลา

8. อย่างไรก็ตาม ในบทเรียนนี้สามารถใช้ในการทำนายแนวการเคลื่อนที่ของโพรเจคไทล์ได้โดยประมาณและอาจะใช้อย่างได้ผลและถูกต้องพอควรสำหรับโพรเจคไทล์ที่แรงต้านอากาศมีผลกระทบต่อการเคลื่อนที่น้อย

9. การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ จะมีแนวการเคลื่อนที่เป็น เส้นโค้งพาราโบลา โดยวัตถุจะมีการกระจัดเกิดขึ้น 2 แนว คือทั้งในแนวระดับ และในแนวดิ่งพร้อมๆ กันไป การกระจัดของวัตถุซึ่งเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

10. จากรูป ... เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ตามแนวโค้งจาก A  B จะได้ว่า ในแนวราบ วัตถุจะเคลื่อนที่จาก A  F ในแนวดิ่ง วัตถุจะเคลื่อนที่จาก A  X เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ตามแนวโค้งจาก A  B  C จะได้ว่า ในแนวราบ วัตถุจะเคลื่อนที่จาก A  F  G ในแนวดิ่ง วัตถุจะเคลื่อนที่จาก A  X  Y การกระจัดของวัตถุซึ่งเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

11. เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ตามแนวโค้งจาก A  B  C  D จะได้ว่า ในแนวราบ วัตถุจะเคลื่อนที่จาก A  F  G  H ในแนวดิ่ง วัตถุจะเคลื่อนที่จาก A  X  Y  Z เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ตามแนวโค้งจาก A  B  C  D  E จะได้ว่า ในแนวราบ วัตถุจะเคลื่อนที่จาก A  F  G  H  E ในแนวดิ่ง วัตถุจะเคลื่อนที่จาก A  X  Y  Z  A การกระจัดของวัตถุซึ่งเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

12. จะเห็นว่า เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ตามแนวโค้งแบบโพรเจคไทล์ เมื่อเราพิจารณาแยกเป็นการเคลื่อนที่ 2 แนว คือ แนวราบกับแนวดิ่ง จะพบว่าทั้งแนวราบและแนวดิ่ง วัตถุจะเคลื่อนที่ไปพร้อมๆ กัน ดังนั้น จะสรุปได้ว่า การเคลื่อนที่ของวัตถุแบบโพรเจคไทล์ การเคลื่อนที่ในแนวระดับของโพรเจคไทล์ และการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งของโพรเจคไทล์ จะใช้เวลาในการเคลื่อนที่เท่ากันทุกกรณี การกระจัดของวัตถุซึ่งเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

13. ในการพิจารณาการกระจัดที่วัตถุเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ จะพิจารณาได้ดังนี้ การเคลื่อนแบบโพสเจคไทล์จาก A  B การกระจัดแนวดิ่ง = S AX การกระจัดแนวดิ่ง = S AF การเคลื่อนแบบโพสเจคไทล์จาก A  C การกระจัดแนวดิ่ง = S AY การกระจัดแนวดิ่ง = S AG การเคลื่อนแบบโพสเจคไทล์จาก A  E การกระจัดแนวดิ่ง = 0 การกระจัดแนวดิ่ง = S AE การกระจัดของวัตถุซึ่งเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

14. การคำนวณเกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์นั้น เริ่มด้วยการ พิจารณาการเคลื่อนที่เป็นสองแนวแยกออกจากกันโดยอิสระ แล้วนำมาคิดรวมกันในภายหลัง โดยอาศัยแนวความคิดที่ว่า วัตถุที่พิจารณาเป็นวัตถุก้อนเดียวกัน ถึงแม้จะแยกคิดหาการกระจัดออกเป็นสองแนวโดยอิสระก็ตาม แต่ช่วงเวลาของการเคลื่อนที่มีค่าเท่ากัน ดังนั้น จึงสามารถรวมการกระจัดทั้งสองแนวเข้าด้วยกันเป็นการกระจัดลัพธ์ขณะหนึ่งของวัตถุ การกระจัดของวัตถุซึ่งเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

15. จากรูป 1... วัตถุเคลื่อนที่จาก A ไป D จะมี S X เป็นการกระจัดในแนวระดับของวัตถุวัดจากจุดเริ่มต้น S Y เป็นการกระจัดในแนวดิ่งของวัตถุวัดจากจุดเริ่มต้น d เป็นการกระจัดลัพธ์ของวัตถุซึ่งวัดจากจุดเริ่มต้น ดังนั้น การกระจัดลัพธ์ของวัตถุจาก A  D จะหาได้จาก * ขนาดการกระจัดของวัตถุ สำหรับการหาทิศการกระจัดของวัตถุ เราจะกำหนดให้มุมที่การกระจัดทำกับแนวราบ มีค่าเป็น a และหาค่า a ได้จาก * tan a = S y / S x การกระจัดของวัตถุซึ่งเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

16. หมายเหตุ : 1. วัตถุที่เคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์จะมีแนวการเคลื่อนที่เป็นแนวโค้ง ดังนั้นขนาดของการกระจัดกับระยะทางการเคลื่อนที่จะไม่เท่ากัน 2. จากรูป 1 ข . เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ขึ้นและลงในแนวดิ่ง จาก A ไป Y และจาก Y กลับมาที่ A, เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ในแนวระดับ จาก A ไป E ด้วยความเร็วคงที่ และเวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ในแนวโค้ง A  C  E มีค่าเท่ากัน การกระจัดของวัตถุซึ่งเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

17. เนื่องจากการเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์มีการเคลื่อนที่ทั้งแนวราบและแนวดิ่งไปพร้อมๆ กัน เราจึงสามารถแยกความเร็วต้น (u) ออกเป็นองค์ประกอบของความเร็วต้นในแนวระดับ u x และแนวดิ่ง u y ได้ดังนี้ การเคลื่อนที่แนวระดับและแนวดิ่งของโพรเจคไทล์

18. จากรูป 2 ; ถ้าให้ u เป็นความเร็วต้นของวัตถุทำมุม θ กับแนวระดับ จะได้ว่า .. u x = ucos θ และ u y = usin θ เมื่อพิจารณาแรงที่กระทำต่อวัตถุ ถ้าคิดว่าแรงต้านจากอากาศมีค่าน้อยมากจนถือได้ว่าไม่มีผลให้ความเร็วในแนวระดับเปลี่ยนแปลง และเนื่องจากสนามโน้มถ่วงของโลก ( g ) ทำให้เกิดแรงคึงตัวกระทำต่อวัตถุในแนวดิ่ง จะเห็นได้ว่าไม่ว่าวัตถุจะอยู่ที่ตำแหน่งใดๆ ในอากาศ จะมีแรง mg คือ น้ำหนัก ซึ่งเป็นแรงดึงดูดของโลกเพียงแรงเดียวเท่านั้นที่มากระทำต่อวัตถุ สำหรับในแนวระดับแรงลัพธ์ที่มากระทำต่อวัตถุมีค่าเป็นศูนย์ เมื่อพิจารณาจากกฏการเคลื่อนที่ของนิวตัน จะได้ว่า ... การเคลื่อนที่แนวระดับและแนวดิ่งของโพรเจคไทล์

19. พิจารณาแนวระดับ จาก ∑ F x = ma x แทนค่า O = ma x จะได้ว่า a x = 0 จะเห็นว่า ... ความเร่งในแนวระดับของวัตถุจะมีค่าเป็นศูนย์ แสดงว่าวัตถุจะเคลื่อนที่ในแนวระดับด้วยอัตราเร็วคงที่ตลอดเวลา ดังนั้นอัตราเร็วในแนวระดับของการเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์ จะมีค่าคงที่เท่ากันทุกๆ ตำแหน่ง คือ u x = v y = ucos θ ทุกๆ ตำแหน่ง การเคลื่อนที่แนวระดับและแนวดิ่งของโพรเจคไทล์

20. ดังนั้น ... สมการการเคลื่อนที่ใน แนวระดับ จะ มีสูตรคำนวณเพียงสูตรเดียว คือ .. * S x = u x .t เมื่อ ; S x = การกระจัดของการเคลื่อนที่ในแนวระดับ u x = ขนาดความเร็วต้นของการเคลื่อนที่ในแนวระดับ ( ซึ่งมีค่าคงที่เสมอทุกๆ จุด ) และ t = ช่วงเวลาของการเคลื่อนที่ การเคลื่อนที่แนวระดับและแนวดิ่งของโพรเจคไทล์

21. พิจารณาแนวดิ่ง จาก ∑ F y = ma y แทนค่า mg = ma y จะได้ว่า a y = g จะเห็นได้ว่า วัตถุจะเคลื่อนในแนวดิ่งด้วยความเร่งของโลก คือ g คงที่ในทิศลงสู่พื้นดิน ดังนั้นความเร็วในแนวดิ่งของการเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์จะมีค่าไม่คงที่ มีการเปลี่ยนแปลงอยู่ตลอดเวลา ดังนั้น สมการการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งของโพรเจคไทล์ จะเหมือนกันการเคลื่อนในแนวดิ่งแบบเสรีทั่วๆ ไป ซึ่งจะมี 5 สูตร คือ ... * 1. S = ut + ½ gt 2 * 4. v 2 = u 2 + 2gs * 2. v = u + gt * 5. S = vt – ½ gt 2 * 3. การเคลื่อนที่แนวระดับและแนวดิ่งของโพรเจคไทล์

22. จะเห็นได้ว่า ... วัตถุที่เคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์นั้น ประกอบด้วยการเคลื่อนที่ทั้งในแนวดิ่ง และแนวระดับพร้อมๆ กัน การที่วัตถุมีการเคลื่อนที่ทั้งสองแนวพร้อมกันไปเช่นนี้ ทำให้แนวการเคลื่อนที่ของวัตถุเป็นแนวโค้ง เมื่อพิจารณาเฉพาะการเคลื่อนในแนวดิ่งของวัตถุ จะเหมือนกับการเคลื่อนที่ของวัตถุในแนวดิ่งแบบเสรี ซึ่งจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงตัว ( g) และเมื่อพิจารณาเฉพาะการเคลื่อนที่ในแนวระดับ จะเหมือนกับการเคลื่อนที่ของวัตถุซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ การเคลื่อนที่แนวระดับและแนวดิ่งของโพรเจคไทล์

23. จะเห็นว่า การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งและแนวระดับของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์ไม่ขึ้นต่อกัน ดังนั้น ในการวิเคราะห์การเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์จะแยกพิจารณาการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง และการเคลื่อนที่ในแนวระดับออกจากกัน แล้วจึงนำมาพิจารณารวมกันเพื่อหาความเร็วลัพธ์หรือการกระจัดของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์ทีหลัง ... การเคลื่อนที่แนวระดับและแนวดิ่งของโพรเจคไทล์

24. 1. วาดรูปการเคลื่อนที่และกำหนดจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้ายตามโจทย์ แล้วแยกการเคลื่อนที่ของวัตถุออกเป็นการเคลื่อนที่แนวระดับและแนวดิ่ง 2. แยกความเร็วที่จุดเริ่มต้นออกเป็นองค์ประกอบของความเร็วต้นในแนวระดับ (u x ) และแนวดิ่ง (u y ) ขั้นตอนการคำนวณโจทย์ การเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

25. 3. พิจารณาแยกกันระหว่างแนวระดับและแนวดิ่ง เนื่องจากเวลาที่ใช้เท่ากัน ดังนั้น จึงคำนวณหาเวลาจากแนวหนึ่งแล้วนำไปใช้กับอีกแนวหนึ่ง โดย - > แนวราบ มีสูตรคำนวณ 1 สูตร คือ * S x = u x .t - > แนวดิ่ง มีสูตรคำนวณ 5 สูตร คือ * 1. S = ut + ½ gt 2 * 4. v 2 = u 2 + 2gs * 2. v = u + gt * 5. S = vt – ½ gt 2 * 3. ขั้นตอนการคำนวณโจทย์ การเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

26. หมายเหตุ : 1. เมื่อวัตถุเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มาตกบนแนวระดับเหมือนเดิม จะได้การกระจัดแนวดิ่ง มีค่าเป็นศูนย์ จากรูป 3... วัตถุเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์ จาก A  C  E ในแนวดิ่งวัตถุจะเคลื่อนที่จาก A  Y  A ดังนั้น การกระจัดในแนวดิ่งจะมีค่าเป็นศูนย์ 2. การคำนวณ จะกำหนดทิศของ u เป็น บวกเสมอ โดย ถ้าขว้างวัตถุเฉียงขึ้น จะใช้ g เป็นลบ ถ้าขว้างวัตถุเฉียงลง หรือขว้างวัตถุออกไปตามแนวราบ จะใช้ g เป็นบวก ขั้นตอนการคำนวณโจทย์ การเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

27. 3. เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์ เวลาในแนวราบ และเวลาในแนวดิ่งจะมีค่าเท่ากันเสมอ จากรูป 3 จะได้ว่า t AB = t AF = t AX หรือ t AC = t AG = t AY หรือ t ACD = t AGH = t AYZ , t AC = t CE = t AG = t GE = t AY = t YA หรือ t BC = t CD = t FG = t GH = t XY = t YZ การกระจัด AG = การกระจัด GE 4. ณ ระดับเดียวกัน อัตราเร็วขาขึ้นจะเท่ากับอัตราเร็วขาลง และทำมุมกับแนวราบเท่าเดิม จาก จากรูป 1 ที่จุด A และ จุด E และทำมุมกับแนวราบเป็น O เท่ากัน ขั้นตอนการคำนวณโจทย์ การเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

28. 4. ณ จุดสูงสุด การเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์จะมีความเร็วน้อยที่สุดเท่ากับความเร็วในแนวราบ แต่ที่จุดสูงสุดนี้ความเร็วแนวดิ่งเป็นศูนย์ 5. วัตถุเคลื่อนที่ในแนวดิ่งที่ระดับความสูงเท่ากัน ถ้าวัตถุมีความเร็วต้นในดิ่งเท่ากัน จะตกถึงพื้นในเวลาเท่ากัน ถึงแม้ว่าความเร็วแนวราบจะต่างกัน ขั้นตอนการคำนวณโจทย์ การเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

29. จาก ... รูป 4 ก . ปล่อยวัตถุลงในแนวดิ่ง วัตถุจะมีความเร็วต้นในแนวดิ่ง (u y ) = 0 รูป 4 ข . และ ค . ขว้างวัตถุออกไปในแนวราบด้วยอัตราเร็วต้นไม่เท่ากัน จะมีความเร็วต้นในแนวดิ่ง (u y ) = 0 เช่นกัน ขั้นตอนการคำนวณโจทย์ การเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

30. พิจารณาการเคลื่อนที่แนวดิ่ง จาก S y = ut + ½ gt 2 เนื่องจากทั้ง 3 รูป มีความเร็วต้นเป็นศูนย์เท่ากัน และมีการกระจัดแนวดิ่ง h เท่ากัน ... ดังนั้น ทั้ง 3 รูปใช้เวลาในการเคลื่อนที่ลงมากระทบพื้นเท่ากัน พิจารณาการเคลื่อนที่แนวราบ จาก S x = u x . t จากรูป ข . และ ค . เนื่องจากเวลาที่ใช้เท่ากัน ถ้า u 1 > u 2 จะได้ S 1 > S 2 ดังนั้น ถ้าขว้างวัตถุออกไปในแนวราบด้วยอัตราเร็วต้นมากกว่า วัตถุนั้นจะไปตกบนพื้นได้ไกลกว่า ขั้นตอนการคำนวณโจทย์ การเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

31. 7. การเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์ ถ้าในแนวระดับวัตถุเคลื่อนที่โดยมีความเร่ง สูตรในการคำนวณจะมีครบ 5 สูตร เหมือนสูตรในแนวดิ่ง ขั้นตอนการคำนวณโจทย์ การเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

32. พิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุซึ่งถูกขว้างออกไปด้วยความเร็วต้น u ในทิศทำมุม θ กับแนวระดับ ดังรูป 5 เมื่อหาองค์ประกอบของความเร็วต้นในแนวระดับ ( u x ) และแนวดิ่ง (u y ) จะได้ดังรูป 5 ข . คือ u x = ucos θ และ u y = usin θ การเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์ที่เคลื่อนที่ขึ้นไป แล้วมาสู่แนวระดับเดิม

33. คิดการเคลื่อนที่จาก A ไปยัง B พิจารณาการเคลื่อนที่แนวดิ่ง จาก S = ut + ½ gt 2 เมื่อวัตถุเคลื่อนที่มาตกถึงพื้น จะมีการกระจัดแนวดิ่งเป็นศูนย์ แทนค่า 0 = usin θ t – ½ gt 2 จะได้ .. เวลาที่วัตถุใช้ในการเคลื่อนที่ทั้งหมด มีสมการ ดังนี้ * หมายเหตุ : ถ้าเวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ถึงจุดสูงสุดจะมีสมการเป็น t = usin θ /g การเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์ที่เคลื่อนที่ขึ้นไป แล้วมาสู่แนวระดับเดิม

34. พิจารณาการเคลื่อนที่แนวราบ จาก S x = u x .t แทนค่า S x = ucos θ ( ) จะได้ว่า .. การกระจัดตามแนวราบที่วัตถุเคลื่อนที่ได้มีสมการ ดังนี้ * S ระดับ = การเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์ที่เคลื่อนที่ขึ้นไป แล้วมาสู่แนวระดับเดิม

35. หาระยะสูงสุดตามแนวดิ่ง พิจารณาการเคลื่อนที่แนวดิ่งจาก v 2 = u 2 + 2gs ณ จุดสูงสุด จะมีความเร็วปลายในแนวดิ่งเป็น ศูนย์ แทนค่าลงในสมการ จะได้ 0 = (usin θ ) 2 – 2gs จะได้ว่า ระยะสูงสุดตามแนวดิ่งที่วัตถุเคลื่อนที่ขึ้นไปได้ มีสมการ ... *S สูงสุด = การเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์ที่เคลื่อนที่ขึ้นไป แล้วมาสู่แนวระดับเดิม

36. การหาระยะทางตกไกลสุดตามแนวราบ ในการขว้างวัตถุให้ได้การกระจัดในแนวระดับไกลที่สุด นอกจากจะขึ้นอยู่กับความเร็วต้นแล้ว ยังขึ้นอยู่กับมุมระหว่างทิศของความเร็วต้นกับแนวระดับด้วย พิจารณาจากรูป 5 ถ้าต้องการให้วัตถุมีการกระจัดตามแนวราบมากที่สุด จากสมการระยะทางตามแนวราบเมื่อวัตถุตกถึงพื้น คือ S ระดับ = การหาระยะทางตกไกลสุดตามแนวราบ

37. จะเห็นได้ว่า .. ถ้าความเร็วต้น u มีค่าหนึ่ง ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในแนวราบ เมื่อตกถึงพื้นจะ มีค่าขึ้นอยู่กับมุมที่ขว้างวัตถุออกไป ถ้าเราต้องการขว้างวัตถุให้ได้ระยะทางในแนวระดับไกลที่สุดด้วยความเร็วต้นค่าหนึ่ง เราจะต้องขว้างวัตถุในทิศทางที่ทำมุม θ กับแนวระดับ โดย θ ต้องมีค่าเหมาะสมค่าหนึ่ง ซึ่งทำให้ค่า sin2 θ มีค่ามากที่สุด การหาระยะทางตกไกลสุดตามแนวราบ

38. เราทราบมาแล้วจากตรีโกณมิติว่า ค่า sine จะมีค่ามากที่สุดเท่ากับ 1 ซึ่งเป็นค่า sine ของมุม 90 องศา ดังนั้นจะได้ว่า ... 2 θ = 90 o หรือ θ = 45 o นั่นคือ การขว้างวัตถุออกไปในทิศทำมุมกับแนวระดับต่างๆ กัน เมื่อขว้างวัตถุในทิศทำมุม 45 องศากับแนวระดับ วัตถุจะเคลื่อนที่ไปได้ระยะทางไกลที่สุดในแนวราบเมื่อตกถึงพื้น และจะมีสมการหาระยะไกลสุดตามแนวราบ ดังนี้ ... * S ไกลสุด = การหาระยะทางตกไกลสุดตามแนวราบ

39. หมายเหตุ : ถ้าต้องการขว้างวัตถุให้ไปตกไกลสุดในแนวราบ จะต้องขว้างทำมุม 45 องศากับแนวราบ ถ้าต้องการขว้างวัตถุให้ถึงที่หมาย โดยใช้ความเร็วต้นน้อยที่สุดจะต้องขว้างทำมุม 45 องศา กับแนวราบเหมือนกัน การหาระยะทางตกไกลสุดตามแนวราบ

40. การขว้างวัตถุให้ได้ระยะตกไกลตามแนวราบเท่ากัน เมื่อขว้างด้วยความเร็วต้นเท่ากัน การยิงโพรเจคไทล์ 2 ครั้ง ด้วยความเร็วต้นเท่ากัน ครั้งแรกยิ่งด้วยมุมเงย θ 1 ครั้งที่สองยิงด้วยมุมเงย θ 2 เมื่อ θ 1 < θ 2 ขณะที่โพรเจคไทล์ตกถึงแนวระดับเดิมในการยิงแต่ละครั้ง จะห่างจากจุดยิงเป็นระยะทางเท่ากัน เมื่อมีเงื่อนไขว่า * θ 1 + θ 2 = 90 o การขว้างวัตถุให้ได้ระยะตกไกลตามแนวราบเท่ากัน เมื่อขว้างด้วยความเร็วต้นเท่ากัน

41. พิจารณาได้ดังนี้ .... ถ้าให้การยิงครั้งแรกและครั้งที่สอง วัตถุไปตกไกลตามแนวราบเป็นระยะ X1 และ X2 จากสมการกระจัดในแนวระดับ S ระดับ = u 2 sin2 θ /g ครั้งแรก จะได้ ... X 1 = u 2 sin2 θ 1 /g -(1) ครั้งที่สอง จะได้ ... X 2 = u 2 sin θ 2 /g -(2) แต่ θ 1 + θ 2 = 90 o หรือ θ 2 = 90 o – θ 1 แทนใน (2) จะได้ X 2 = u 2 sin2(90 o - θ 1 ) /g X2 = u 2 sin(180 o - 2 θ 1 ) /g = u 2 sin2 θ 1 /g -(3) จาก (1) และ (3) แสดงว่า .. X 1 = X 2 นั่นคือ ถ้า θ 1 + θ 2 = 90 o ระยะทางในแนวระดับที่โพรเจคไทล์เคลื่อนที่ได้จะเท่ากัน การขว้างวัตถุให้ได้ระยะตกไกลตามแนวราบเท่ากัน เมื่อขว้างด้วยความเร็วต้นเท่ากัน

42. จากรูป 7.. ขว้างวัตถุออกไปจากจุด A ทำให้วัตถุเคลื่อนที่ตามแนวโพรเจคไทล์มาตกบนแนวระดับ ณ จุด B โดยมีการกระจัดตามแนวระดับเป็น X และมีการกระจัดตามแนวดิ่งเป็น ระยะ Y เราจะสามารถหามุมยิงที่ทำกับแนวระดับเพื่อให้ได้ระยะตามที่ต้องการจากสูตรลัดดังต่อไปนี้ ... * การหามุมยิงเมื่อกำหนดการกระจัดตามแนวระดับและการกระจัดสูงสุดตามแนวดิ่ง

43. พิจารณาได้ดังนี้ ... แนวดิ่ง Y = S ดิ่ง = u 2 sin 2 θ /2g -(1) แนวราบ X = S ระดับ = u 2 sin2 θ /4 = u 2 (2sin θ cos θ ) /g -(2) (1)/(2) จะได้ การหามุมยิงเมื่อกำหนดการกระจัดตามแนวระดับและการกระจัดสูงสุดตามแนวดิ่ง

44. ดังที่ได้กล่าวมาแล้วว่าการเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์ มีการเคลื่อนที่ทั้งในแนวระดับและแนวดิ่งพร้อมๆ กัน ดังนั้นที่ตำแหน่งใดๆ วัตถุที่เคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์จะมีความเร็วเกิดขึ้นทั้งแนวระดับและแนวดิ่ง เราสามารถหาอัตราเร็วในแนวดิ่ง และแนวระดับแยกกันก่อน แล้วจึงมาคิดประกอบกันภายหลังกลายเป็นความเร็วของวัตถุนั้นๆ ณ จุดใดๆ การหาความเร็วลัพธ์ที่จุดใดๆ ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

45. ทิศของความเร็วขณะใดขณะหนึ่งของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์ จะอยู่ในแนวเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งพาราโบลา ซึ่งเป็นเส้นทางการเคลื่นอที่ของวัตถุที่จุดนั้นๆ ซึ่งจะพิจารณาหาความเร็วที่จุดใดๆ เช่นเดียวกับการหาการกระจัดลัพธ์ จากรูป 8 จะได้ว่า .... * ขนาดของความเร็ว * ทิศของความเร็ว เมื่อ v x เป็นความเร็วของวัตถุในแนวระดับ v y เป็นความเร็วของวัตถุในแนวดิ่ง v เป็นความเร็วของวัตถุในแนวเส้นสัมผัสโค้ง และ a เป็นมุมที่ความเร็วของวัตถุในแนวเส้นสัมผัสโค้งกระทำกับแนวระดับ การหาความเร็วลัพธ์ที่จุดใดๆ ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

46. หมายเหตุ : ในการหาความเร็วของการเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์ อาจจะหาได้จากสูตรลัดต่อไปนี้ * v 2 ลัพธ์ = u 2 ลัพธ์ + 2 gh ดิ่ง เมื่อ h ดิ่ง เป็นการกระจัดในแนวดิ่ง ที่วัดจากจุดตั้งต้นไปยังจุดที่จะหาความเร็วขณะนั้น โดยการคำนวณใช้หลักการพิจารณาเหมือนการเคลื่อนที่อิสระในแนวดิ่ง การหาความเร็วลัพธ์ที่จุดใดๆ ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

47. การขว้างวัตถุออกไปจากพาหนะที่กำลังเคลื่อนที่ มีหลักว่าเมื่อวัตถุหลุดออกไปจากพาหนะที่กำลังเคลื่อนที่ วัตถุจะมีความเร็วเท่ากับความเร็วพาหะนะขณะนั้น และมีทิศเดียวกับทิศการเคลื่อนที่ของพาหนะ ลักษณะการเคลื่อนที่ของวัตถุจะแยกพิจารณาเป็น 2 กรณี ดังนี้ ... การขว้างวัตถุออกไปจากพาหนะที่กำลังเคลื่อนที่

48. 1. โยนวัตถุขึ้นไปตรงๆ แนวดิ่งจากพาหนะที่กำลังเคลื่อนที่ไปในแนวระดับ จากรูป 9 โยนวัตถุขึ้นไปตรงๆ ในแนวดิ่งด้วยความเร็วต้น u จากรถที่กำลังเคลื่นที่ไปตามแนวราบด้วยความเร็ว V 0 จะได้ว่า วัตถุจะเคลื่อนที่เป็นแนวโพรเจคไทล์โดยมีความเร็วต้นในแนวระดับ และแนวดิ่ง ดังนี้ ... u x = V 0 และ u y = u การขว้างวัตถุออกไปจากพาหนะที่กำลังเคลื่อนที่

49. 2. ขว้างวัตถุเฉียงทำมุม O กับแนวระดับจากพาหนะที่กำลังเคลื่อนที่ไปในแนวระดับ จากรูป 10 ขว้างวัตถุด้วยความเร็วต้น u ทำมุม O กับแนวระดับ จากรถที่กำลังเคลื่อนที่ไปตามแนวราบด้วยความเร็ว V0 จะได้ว่า วัตถุจะเคลื่อนที่เป็นแนวโพรเจคไทล์โดยมีความเร็วต้นในแนวระดับ และแนวดิ่ง ดังนี้ ... u x = ucos θ + V 0 u y = usin θ การขว้างวัตถุออกไปจากพาหนะที่กำลังเคลื่อนที่

50. จากรูป 11... ขว้างวัตถุด้วยความเร็วต้น u ทำมุม θ กับขอบล่างของพื้นเอียง โดยพื้นเอียงทำมุม กับแนวระดับวัตถุจะเคลื่อนตามแนวโพรเจคไทล์ขึ้นไปบนพื้นเอียงแล้วย้อนกลับลงมาดังรูป 11 ก . เมื่อตั้งแกน X และ แกน Y ตามรูป 11 ก . วัตถุที่เคลื่อนที่ตามแนวโพรเจกไทล์บนแกน X Y นี้ จะมีการกระจัดตามแนวแกน X เป็น X และการกระจัดตามแนวแกน Y เป็นศูนย์ การเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์ของวัตถุบนพื้นเอียง

51. เมื่อพิจารณาความเร่งของการเคลื่อนจากรูป 11 ข . จะเห็นว่าตามแนวแกน Y วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง – ginsin ส่วนในแนวแกน X วัตถุจะเคลื่อนที่โดยมีความเร่งเป็น ศูนย์ หรือมีความเร็วคงที่ เมื่อยกพื้นเอียงตั้งขึ้นมาตามแนวดิ่งจะมีลักษณะเป็นดังรูป 11 ค . ซึ่งจะเหมือนกันกับการเคลื่อนที่ของโพรเจคไทล์ที่เคลื่อนที่ขึ้นไปแล้วตกลงมาบนแนวระดับเดิม แต่สำหรับในกรณีนี้ความเร่งในแกนดิ่ง ( แกน Y) จะมีค่าเป็น gsin การเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์ของวัตถุบนพื้นเอียง

52. ดังนั้น ... สูตรๆ ต่างๆ จะใช้ได้ โดยเปลี่ยนค่า g ในสูตรเหล่านั้นเป็น gsin ซึ่งจะเขียนสูตรต่างๆ เหล่านั้นได้ ดังนี้ * t = * S สูงสุด = * S ระดับ = X = * การเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์ของวัตถุบนพื้นเอียง

53. ถ้าวัตถุ 2 ก้อนเริ่มต้นเคลื่อนที่พร้อมกันแล้วเคลื่อนที่มาชนกัน เช่น การใช้ปืนเล็งยิงลิงที่กระโดดลงมาจากยอดไม้ การใช้ปืนยิงเป้าบินที่เริ่มเคลื่อนที่พร้อมกัน เมื่อวัตถุทั้งสองนั้นเริ่มต้นเคลื่อนที่พร้อมกันแล้วมาชนกัน จะได้ว่า วัตถุทั้งสองจะใช้เวลาในการเคลื่อนที่เท่ากัน การเคลื่อนที่ของวัตถุ 2 ก้อนพร้อมกันมาชนกัน

54. จากรูป 12... เมื่อวัตถุทั้งสองก้อนเริ่มต้นเคลื่อนที่พร้อมกัน จะเคลื่อนที่จากจุด A และจุด B ไปถึงจุดชน ใช้เวลาเท่ากัน โดยในการคำนวณใช้หลักการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ดังที่ได้กล่าวไปแล้วในหัวข้อต้นๆ โดยคิดการเคลื่อนที่ของวัตถุแต่ละก้อนแยกจากกันแล้วใช้เวลาเป็นตัวร่วมที่เท่ากัน การเคลื่อนที่ของวัตถุ 2 ก้อนพร้อมกันมาชนกัน

55. หมายเหตุ : ในรูป 12 ก . และ ข . การที่วัตถุทั้งสองก้อนจะเคลื่อนที่มาชนกันได้ ก็ต่อเมื่อเล็งให้จุดตั้งต้นเคลื่อนที่อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกันเท่านั้น ในการหาเวลาที่วุตถุทั้งสองก้อนเคลื่อนที่มาชนกัน อาจจะใช้สูตรลัด ดังต่อไปในนี้คำนวณได้ * h = u สัมพัทธ์ .t เมื่อ ... h เป็นระยะห่างจากจุดเริ่มต้นของวัตถุทั้งสอง u สัมพัทธ์ เป็นความเร็วสัมพัทธ์ระหว่างวัตถุทั้งสอง โดย ถ้าวัตถุเคลื่อนที่เข้าหากัน u สัมพัทธ์ = u 1 +u 2 ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ตามกัน u สัมพัทธ์ = u 1 -u 2 การเคลื่อนที่ของวัตถุ 2 ก้อนพร้อมกันมาชนกัน

56. จากรูป 13 ขว้างวัตถุด้วยความเร็วต้น u ทำมุม θ กับแนวราบ จากปลายล่างพื้นเอียงซึ่งทำมุม กับแนวราบ วัตถุจะเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์ขึ้นไปตกกระทบพื้นเอียง ดังรูป เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณให้ใส่แกน X และ แกน Y ดังรูป 13 ก . ซึ่งจะได้ว่าวัตถุจะเคลื่อนที่มีการกระจัดตามแนวแกน X เป็น R และมีการกระจัดตามแนว Y เป็นศูนย์ การหาระยะตกไกลสุดบนพื้นเอียง ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

57. สำหรับความเร่งของการเคลื่อนที่ของวัตถุบนพื้นเอียงตามแนวแกน X และแกน Y ให้พิจารณาได้จากรูป 13 ข . ซึ่งเมื่อแตกความเร่ง g เข้าตามแนวแกน X และแกน Y จะมีค่าเป็น gsin และ gcos ตามลำดับ โดยตามแนวแกน X วัตถุจะเคลื่อนด้วยความเร่ง – gsin และตามแนวแกน Y วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง – gcos ซึ่งจะคำนวณหาระยะ R ได้ดังนี้ .... พิจารณาตามแนวแกน Y จาก S = ut + ½ at 2 แทนค่า จะได้ การหาระยะตกไกลสุดบนพื้นเอียง ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

58. พิจารณาตามแนวแกน X จาก S = ut + ½ at 2 แทนค่า ดังนั้น การกระจัดตามแนวพื้นเอียงที่วัตถุเคลื่อนที่ขึ้นไปได้ คือ * หมายเหตุ : ในการคำนวณอาจจะตั้งแกน X และ แกน Y ดังรูป 13 ค . ก็ได้ จะได้ผลลัพธ์เหมือนกัน การหาระยะตกไกลสุดบนพื้นเอียง ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

59. สำหรับในการหาระยะตกไกลสุดของวัตถุตามแนวพื้นเอียง จะพิจารณาต่อไปได้ดังนี้ ... จากสมการการกระจัด R ข้างต้น เนื่องจาก มีค่าคงที่ ดังนั้น R จะมีค่ามากที่สุด เมื่อ cos θ .sin( θ -a) มีค่ามากที่สุด แต่จากสูตรตรีโกณมิติ 2cosAsinB = sin(A+B) – sin(A-B) จะได้ว่า cos θ sin( θ -a) = ½[sin( θ + θ -a) – sin( θ - θ +a)] = ½[sin(2 θ -a)-sina)] การหาระยะตกไกลสุดบนพื้นเอียง ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

60. แต่ sina มีค่าคงที่ ดังนั้น cos θ .sin( θ - ) จะมีค่ามากที่สุด เมื่อค่าของ sin(2 θ - ) มีค่ามากที่สุดซึ่งเท่ากับ 1 ดังนั้น ... sin(2 θ - ) = 1 = sin90 o จะได้ ... 2 θ - = 90 o θ = 45 o + /2 แสดงว่าการขว้างให้วัตถุไปตกไกลสุดบนพื้นเอียง ต้องขว้างขึ้นทำมุม 45+ /2 เมื่อ คือ มุมที่พื้นเอียงทำกับแนวระดับ หมายเหตุ : ในทำนองเดียวกัน กรณีที่ขว้างวัตถุจากบนพื้นเอียงลงมา วัตถุจะไปตกไกลที่สุดเมื่อ θ = 45- /2 กับแนวระดับ ] การหาระยะตกไกลสุดบนพื้นเอียง ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

61. ดังนั้น สามารถสรุป เงื่อนไขการขว้างวัตถุให้ไปตกไกลสุด ได้ดังนี้ ... 1. ขว้างวัตถุบนพื้นราบ ต้องขว้างทำมุม 45 o กับแนวระดับ 2. ขว้างวัตถุบนพื้นเอียง จากปลายล่างพื้นเอียงขึ้นไป ต้องขว้างทำมุม θ = 45+ /2 กับแนวระดับ 3. ขว้างวัตถุบนพื้นเอียง จากส่วนบนพื้นเอียงลงมาด้านล่าง ต้องขว้างทำมุม θ = 45 - /2 กับแนวราบ การหาระยะตกไกลสุดบนพื้นเอียง ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

62. ในการเคลื่อนที่ของวัตถุแบบโพรเจคไทล์ เราจะพิจารณาสมการการเคลื่อนที่ได้ดังนี้ จากรูป 14... ขว้างวัตถุออกไปด้วยความเร็วต้น u ทำมุม θ กับแนวระดับ ทำให้วัตถุเคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์ เมื่อวัตถุเคลื่อนที่มาอยู่ ณ ตำแหน่งใดๆ โดยมีการกระจัดตามแนวดิ่งเป็น S y และการกระจัดตามแนวระดับเป็น S x ลักษณะการเคลื่อนที่แบบวิถึโค้งและสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

63. แนวราบ จาก S x = u x .t แทนค่า S x = ucos θ .t จะได้ แนวดิ่ง จาก แทนค่า จะได้สมการทั่วไปของการเคลื่อนที่ของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์ คือ .... * ลักษณะการเคลื่อนที่แบบวิถึโค้งและสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

64. สมการที่ได้นี้ สามารถนำไปใช้ในการคำนวณโจทย์วัตถุที่เคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์ได้ สมการที่ได้เป็นสมการของพาราโบลา แสดงว่าแนวทางการเคลื่อนที่ของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์จะเป็นรูปพาราโบลา โดยการกระจัดที่เคลื่อนที่ได้ในแนวดิ่ง (S y ) เป็นสัดส่วนกับกำลังสองของการกระจัดที่เคลื่อนที่ได้ในแนวระดับ (S x ) หมายเหตุ : ถ้า θ =0 o จะได้ว่า tan θ = 0 และ cos θ = 1 หรือเมื่อมุมยิงเป็นศูนย์ จะได้ว่า ... รูปสมการที่ได้นี้เป็นสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ถูกขว้างจาก จุดเริ่มต้นออกไปในแนวราบนั่นเอง ซึ่งเป็นสมการของเส้นโค้งพาราโบลา แสดงว่าเส้นทางเดินของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์เป็นเส้นโค้งพาราโบลา ลักษณะการเคลื่อนที่แบบวิถึโค้งและสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบโพรเจคไทล์

65. ขอบคุณสำหรับการรับชมการนำเสนอ ที่มาเนื้อหา : หนังสือ NEO PHYSICS CENTER ของ อ . พิสิฏฐ์ วัฒนผดุงศักดิ์ จัดทำโดย .. นายกิตติชัย วงค์ธานี ชั้น ม .4/1 เลขที่ 35 ภาคเรียนที่ 2 ปีการศึกษา 2554 โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย จังหวัดเชียงใหม่ เสนอ .. คุณครูพิมล อนันตา