Luận văn: Tính chất phi cổ điển của trạng thái thêm hai bớt một photon

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN VŨ THỤY
NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN
CỦA TRẠNG THÁI THÊM HAI VÀ BỚT MỘT
PHOTON LÊN HAI MODE KẾT HỢP LẺ
Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số: 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG ỨNG DỤNG
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC
Huế, năm 2017
i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi,
các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được
các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất
kỳ một công trình nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 5 năm 2017
Tác giả luận văn
Nguyễn Vũ Thụy
ii

LỜI CẢM ƠN
Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
chân thành và sâu sắc nhất đến thầy PGS. TS. Trương Minh Đức, người
đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện.
Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo trong khoa
Vật Lý và phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại
học Huế; các bạn học viên Cao học khóa 24 cùng gia đình, bạn bè đã
động viên, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập
và thực hiện luận văn.
Huế, tháng 5 năm 2017
Tác giả luận văn
Nguyễn Vũ Thụy
iii

MỤC LỤC
Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Danh mục các đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1. Trạng thái kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.1. Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.3. Trạng thái kết hợp lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.4. Trạng thái kết hợp thêm photon . . . . . . . . . . . 18
1.2. Một số tính chất phi cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.1. Khái niệm trạng thái nén . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2. Nén tổng hai mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.3. Nén hiệu hai mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.4. Tính chất phản kết chùm . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.5. Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz . . . . 25
1.3. Một số tiêu chuẩn đan rối . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.1. Tiêu chuẩn đan rối Hillery – Zubairy . . . . . . . . . 26
1.3.2. Tiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha - Jeawan Kim . . 27
Chương 2. TÍNH CHẤT NÉN CỦA TRẠNG THÁI
THÊM HAI VÀ BỚT MỘT PHOTON LÊN HAI
MODE KẾT HỢP LẺ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1

2.1. Trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết
hợp lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2. Nén tổng hai mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3. Nén hiệu hai mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Chương 3. SỰ VI PHẠM BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
- SCHWARZ VÀ TÍNH CHẤT PHẢN KẾT CHÙM
PHOTON LÊN HAI MODE KẾT HỢP LẺ . . . . . 40
3.1. Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz . . . . . . . . 40
3.2. Tính chất phản kết chùm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Chương 4. TÍNH ĐAN RỐI CỦA TRẠNG THÁI THÊM
HAI VÀ BỚT MỘT PHOTON LÊN HAI MODE
KẾT HỢP LẺ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1. Tính đan rối Hillery - Zubairy . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2. Tính đan rối Hyunchul Nha - Jeawan Kim . . . . . . . . . 67
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1
2

DANH MỤC CÁC ĐỒ THỊ
Tên đồ thị Trang
Đồ thị 2.1 Khảo sát sự phụ thuộc của tham số S vào biên độ
kết hợp rb với ϕb =
π
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Đồ thị 2.2 Khảo sát nén tổng hai mode của trạng thái thêm
hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ (đường
màu xanh) và trạng thái hai mode kết hợp thêm
photon lẻ (đường màu đỏ). . . . . . . . . . . . . . 35
Đồ thị 2.3 Khảo sát sự phụ thuộc của tham số D vào biên độ
kết hợp rb và pha dao động ϕb. . . . . . . . . . . . 38
Đồ thị 3.1 Khảo sát sự phụ thuộc của I vào biên độ kết hợp
rb với ϕb =
π
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Đồ thị 3.2 Khảo sát sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai
mode kết hợp lẻ (đường màu xanh) và trạng thái
hai mode kết hợp thêm photon lẻ (đường màu đỏ). 43
Đồ thị 3.3 Khảo sát sự phụ thuộc của Rab(2, 2) vào biên độ rb
3

4

Đồ thị 3.11 Khảo sát sự phụ thuộc của Rab(2, 2), Rab(3, 3) và
Rab(4, 4) vào biên độ rb với ra = r2
b , ϕa = 2ϕb và
ϕb =
π
2
. Các tham số được chọn theo thứ tự tương
ứng với màu đỏ, màu xanh lá cây và màu xanh da
trời. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
b , ϕa = 2ϕb và
ϕb =
π
2
trời. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
b , ϕa = 2ϕb và
ϕb =
π
2
trời. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Đồ thị 4.1 Khảo sát sự phụ thuộc của tham số đan rối RH vào
biên độ rb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Đồ thị 4.2 Khảo sát sự phụ thuộc của tham số đan rối RN vào
biên độ rb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Các trạng thái kết hợp là những trạng thái có thăng giáng lượng
tử nhỏ, do đó trong thời gian gần đây các tính chất phi cổ điển của các
trạng thái kết hợp đang được các nhà khoa học trên thế giới nghiên cứu
và ứng dụng vào thực nghiệm. Trạng thái kết hợp lần đầu tiên được đưa
ra bởi Glauber (1963) [13] và Sudarshan (1963) [25], đây là trạng thái
ứng với giá trị thăng giáng nhỏ nhất được suy ra từ hệ thức bất định
Heisenberg. Trạng thái này có thể được xem là “trạng thái biên” của tập
hợp các trạng thái cổ điển. Từ đó các nhà khoa học đã nghĩ đến một
trạng thái kết hợp khác đó là trạng thái kết hợp phi cổ điển, và thực tế
đã chứng minh cho dự đoán đó, nhiều trạng thái kết hợp phi cổ điển đã
ra đời dựa trên lý thuyết và thực nghiệm.
Năm 1970, khái niệm về trạng thái nén lần đầu tiên được đưa ra bởi
Stoler [24] và đã được thực nghiệm chứng minh vào năm 1987, đây cũng
là trạng thái mở đầu cho lớp các trạng thái phi cổ điển. Khái niệm về
các trạng thái phi cổ điển được các nhà khoa học không ngừng nghiên
cứu và phát triển, điển hình như các trạng thái nén, trạng thái kết hợp
chẵn, lẻ. Vào năm 1991, Agarwal và Tara đã đề xuất ý tưởng về trạng
thái kết hợp thêm photon [8] và cũng đã chứng minh được nó là một
trạng thái phi cổ điển có thể hiện tính nén, tính antibunching (phản kết
chùm) và tuân theo thống kê sub-Poisson. Thêm và bớt photon vào một
trạng thái vật lý là một phương pháp quan trọng trong việc tạo ra một
trạng thái phi cổ điển mới, nghiên cứu tính chất của các trạng thái phi
cổ điển này mở ra những ứng dụng mới trong kỹ thuật. Áp dụng những
nghiên cứu về trạng thái phi cổ điển vào thực nghiệm cho phép chúng
6

ta tạo ra các thiết bị quang học, các thiết bị điện tử với độ chính xác và
tốc độ cao để đáp ứng sự phát triển của khoa học kỹ thuật ngày nay.
Khảo sát tính đan rối và viễn tải lượng tử của trạng thái hai mode
kết hợp thêm hai photon đã được tác giả Nguyễn Thị Thùy Dung [1]
nghiên cứu trong năm 2013. Trong năm 2014, tác giả Nguyễn Thanh
Pháp đã nghiên cứu các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode
kết hợp thêm hai photon [5], đồng thời tác giả Huỳnh Vũ cũng đã nghiên
cứu tính chất nén bậc cao và tính phản chùm của trạng thái hai mode
kết hợp SU(2) lẻ [7]. Cũng trong thời gian đó, tác giả Nguyễn Thị Hồng
Hạnh [4] đã khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode
kết hợp thêm photon lẻ. Tuy nhiên, việc nghiên cứu các tính chất phi cổ
điển của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ
chưa được đề cập đến. Từ những lý do trên, tôi chọn đề tài: "Nghiên
cứu các tính chất phi cổ điển của trạng thái thêm hai và bớt
một photon lên hai mode kết hợp lẻ" để làm luận văn thạc sĩ của
mình.
2. Mục tiêu của luận văn
Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu các tính chất phi cổ điển bậc
thấp và bậc cao đó là nén tổng và nén hiệu hai mode, tính chất phản
kết chùm hai mode, tính đan rối và sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy
– Schwarz của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết
hợp lẻ.
3. Nội dung nghiên cứu
Trên cơ sở mục tiêu đề ra của đề tài tôi đưa ra một số nhiệm vụ cụ thể
như sau:
- Hệ thống trạng thái kết hợp, trạng thái thêm hai và bớt một
7

photon lên hai mode kết hợp lẻ và các tính chất phi cổ điển;
- Nghiên cứu tính chất nén tổng, nén hiệu hai mode của trạng thái
thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ;
- Khảo sát sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz và tính chất
phản kết chùm của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode
kết hợp lẻ;
- Khảo sát tính đan rối của trạng thái thêm hai và bớt một photon
lên hai mode kết hợp lẻ.
4. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận văn này chúng tôi sử dụng các phương pháp sau:
- Phương pháp phân tích, tổng hợp tài liệu;
- Vận dụng kiến thức về lý thuyết trường lượng tử để tính toán đưa
ra các biểu thức cụ thể;
- Sử dụng chương trình Mathematica để xử lý và vẽ đồ thị.
5. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài thuộc lĩnh vực quang lượng tử và chỉ nghiên cứu các tính chất
phi cổ điển của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết
hợp lẻ.
6. Bố cục luận văn
Luận văn gồm có ba phần chính: mở đầu, nội dung và kết luận.
- Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu nghiên cứu,
nhiệm vụ nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu và
bố cục của luận văn.
- Phần nội dung: gồm bốn chương:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết.
8

Chương 2: Tính chất nén của trạng thái thêm hai và bớt một photon
Chương 3: Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy – Schwarz và tính
chất phản kết chùm của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai
mode kết hợp lẻ.
Chương 4: Tính đan rối của trạng thái thêm hai và bớt một photon
- Phần kết luận: Tóm tắt các kết quả đạt được, đề xuất hướng
mở rộng nghiên cứu của đề tài.
9

NỘI DUNG
Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Chương này trình bày tổng quan về các kiến thức làm cơ sở lý
thuyết như trạng thái kết hợp, trạng thái kết hợp lẻ, trạng thái
kết hợp thêm photon. Bên cạnh đó, các tính chất phi cổ điển
như nén tổng, nén hiệu, tính chất phản kết chùm hai mode và
sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy – Shwarz cũng như một số
tiêu chuẩn đan rối cũng được chúng tôi trình bày khá chi tiết.
1.1. Trạng thái kết hợp
1.1.1. Khái niệm
Năm 1963, trạng thái kết hợp lần đầu tiên được đưa ra bởi hai nhà
khoa học Glauber [13] và Sudarshan [25], đây là trạng thái ứng với giá
trị thăng giáng nhỏ nhất được suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg.
Trạng thái kết hợp được đưa ra bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển
ˆD(α) lên vector trạng thái chân không |0 của trường điện từ [2]
|α = ˆD(α)|0 , (1.1)
trong đó toán tử dịch chuyển
ˆD(α) = exp(αâ†
− α∗
â), (1.2)
với α = r exp(iϕ) là một số phức, â†
và â lần lượt là toán tử sinh, hủy
photon của trường điện từ và chúng tuân theo hệ thức giao hoán
â, â†
= 1, [â, â] = â†
, â†
= 0.
10

Sử dụng đồng nhất thức Baker – Hausdorff cho hai toán tử Â và ˆB không
giao hoán với nhau, ta có
exp Â + ˆB = exp Â exp ˆB exp
1
2
Â, ˆB . (1.3)
Cho Â = αâ†
và ˆB = −α∗
â , từ đó
Â, ˆB = Â ˆB − ˆB Â = αâ†
(−α∗
â) + α∗
âαâ†
= |α|2
ââ†
− â†
â = |α|2
â, â†
. (1.4)
Từ (1.2),(1.3) và (1.4), ta có
ˆD(α) = exp αâ†
− α∗
â = exp αâ†
exp (−αâ) exp −
1
2
|α|2
. (1.5)
Áp dụng khai triển Taylor cho hai thừa số đầu tiên trong biểu thức (1.5),
ta được
exp αâ†
= 1 +
αâ†
1!
+
αâ† 2
2!
+
αâ† 3
3!
+ . . . =
∞
n=0
αâ† n
n!
, (1.6)
exp (−α∗
â) = 1 −
α∗
â
1!
+
(α∗
â)2
2!
−
(α∗
â)3
3!
+ . . . =
∞
n=0
(−α∗
â)n
n!
. (1.7)
Bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển ˆD(α) lên vector trạng thái chân
không |0 , ta được
|α = ˆD(α)|0 = exp αâ†
exp (−α∗
â) exp −
1
2
|α|2
|0 . (1.8)
Thay (1.7) vào (1.8), ta được
|α = exp αâ†
exp −
1
2
|α|2
∞
n=0
(−α∗
â)n
n!
|0 , (1.9)
Trong đó
∞
n=0
(−α∗
â)n
n!
|0 = 1 −
α∗
â
1!
+
(α∗
â)2
2!
−
(α∗
â)3
3!
+ . . . |0 = |0 .
11

Phương trình (1.9) trở thành
|α = exp αâ†
exp −
1
2
|α|2
|0 . (1.10)
Thay (1.6) vào (1.10), ta được
|α = ˆD(α)|0 = exp −
1
2
|α|2
∞
n=0
αâ† n
n!
|0
= exp −
1
2
|α|2
∞
n=0
αn
â† n
n!
|0
= exp −
1
2
|α|2
∞
n=0
αn
√
n!
n!
|n
= exp −
1
2
|α|2
∞
n=0
αn
√
n!
|n , (1.11)
trong đó |n =
â† n
√
n!
|0 là vector trạng thái chứa n hạt boson hay còn
gọi là các trạng thái Fock. Trạng thái kết hợp |α là hàm riêng của toán
tử hủy photon ứng với trị riêng α, nghĩa là
â|α = α|α . (1.12)
Lấy liên hiệp Hermite của (1.12), ta được
(â|α )∗
= α|â†
= α|α∗
. (1.13)
1.1.2. Tính chất
Trạng thái kết hợp có một số tính chất sau đây:
Tính chất 1: Số hạt trung bình của trạng thái kết hợp chính bằng
bình phương biên độ kết hợp, đồng thời phân bố số hạt của trạng thái
kết hợp chính là phân bố Poisson.
Thật vậy, số hạt trung bình ở trạng thái kết hợp |α là
ˆn = α|ˆn|α = α|â†
â|α = |α|2
. (1.14)
12

Phương sai của toán tử số hạt trong trạng thái kết hợp |α là
V n = (∆n)2
= α|ˆn2
|α − α|ˆn|α 2
= α|â†
ââ†
â|α − α|â†
â|α 2
= α|â†
â†
â + 1 â|α − |α|4
= α|â†2
â2
+ â†
â|α − |α|4
= |α|4
+ |α|2
− |α|4
= |α|2
. (1.15)
Từ (1.14) và (1.15), ta có
ˆn = (∆n)2
. (1.16)
Biểu thức (1.16) chứng tỏ trạng thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson.
Từ (1.11), ta thấy rằng
n|α = exp −
1
2
|α|2 αn
√
n!
. (1.17)
Từ (1.17), ta tìm được xác suất tìm hạt ở trạng thái kết hợp |α là
p(n) = | n|α |2
= ( n|α )∗
n|α
= exp −
1
2
|α|2 (α∗
)n
√
n!
exp −
1
2
|α|2 αn
√
n!
=
|α|2n
exp(−|α|2
)
n!
=
ˆn n
exp(− ˆn )
n!
. (1.18)
Như vậy phân bố số hạt của trạng thái kết hợp chính là phân bố Poisson.
Do đó, trạng thái kết hợp là trạng thái cổ điển.
Tính chất 2: Tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp |α là một tập
hợp đủ.
1
π
|α α|d2
α = 1. (1.19)
Thật vậy, ta có
|α α|d2
α = e−|α|2
∞
n=0
αn
√
n!
|n
∞
m=0
(α∗
)m
√
m!
m|d2
α, (1.20)
trong đó α = r exp(iϕ), sử dụng hệ tọa độ cực ta có d2
α = rdrdϕ, do đó
|α α|d2
α =
∞
0
rdr
2π
0
dϕe−r2
∞
n,m=0
rn+m
ei(n−m)ϕ
√
n!m!
|n m|. (1.21)
13

Với
2π
0
ei(n−m)ϕ
dϕ = 2πδnm, ta có
|α α| d2
α =
∞
0
rdr
∞
n=0
e−r2 2πr2n
n!
|n n|
=
∞
n=0
2π
n!
|n n|
∞
0
e−r2
r2n+1
dr. (1.22)
Sử dụng tích phân Poisson, ta có
∞
0
e−r2
r2n+1
dr =
n!
2
. (1.23)
Vậy
|α α| d2
α = π hay
1
π
|α α| d2
α = 1. (1.24)
Tính chất 3: Trạng thái kết hợp là chuẩn hóa nhưng lại không
trực giao với nhau.
α| β = exp −
1
2
|α|2
exp −
1
2
|β|2
∞
n=0
∞
m=0
βm
√
m!
(α∗
)n
√
n!
n | m
= exp −
1
2
|α|2
exp −
1
2
|β|2
∞
n=0
∞
m=0
βm
√
m!
(α∗
)n
√
n!
δnm
= exp −
1
2
|α|2
exp −
1
2
|β|2
∞
n=0
(α∗
β)n
n!
= exp −
1
2
|α|2
exp −
1
2
|β|2
exp (α∗
β)
= exp −
1
2
|α|2
−
1
2
|β|2
+ α∗
β . (1.25)
Từ kết quả trên, ta có
| α | β |2
= ( α | β )∗
α | β
14

= exp −
1
2
|α|2
−
1
2
|β|2
+ αβ∗
exp −
1
2
|α|2
−
1
2
|β|2
+ α∗
β
= exp −|α|2
− |β|2
+ αβ∗
+ α∗
β = exp −|α − β|2
.
Hệ quả của sự không trực giao là bất kỳ một trạng thái kết hợp nào
cũng được khai triển theo các trạng thái kết hợp khác [6], do đó
|α =
1
π
|α α | α d2
α
=
1
π
d2
α |α exp −
1
2
|α|2
+ α α∗
−
1
2
|α |
2
. (1.26)
Điều này cho thấy rằng tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp tạo
thành hệ quá đủ (overcomplete) [6].
Tính chất 4: Trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bất định nhỏ
nhất được suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg.
Để chứng minh điều này, ta xét với hai toán tử tọa độ và xung lượng
được định nghĩa như sau
ˆx =
1
2
â†
+ â , ˆp =
i
2
â†
− â . (1.27)
Phương sai của ˆx là
α| (∆ˆx)2
|α = α| ˆx2
|α − ( α| ˆx |α )2
=
1
4
α| â†
+ â
2
|α −
1
4
α| â†
+ â |α
2
=
1
4
α| â†2
+ â2
+ â†
â + ââ†
|α −
1
4
(α∗
+ α)2
=
1
4
α| â†2
+ â2
+ â†
â + â†
â + 1 |α −
1
4
(α∗
+ α)2
=
1
4
α∗2
+ α2
+ 2|α|2
+ 1 −
1
4
α2
+ α∗2
+ 2|α|2
=
1
4
.
Tương tự ta tính phương sai của ˆp
α| (∆ˆp)2
|α = α| ˆp2
|α − ( α| ˆp |α )2
15

= −
1
4
α| â†
− â
2
|α +
1
4
α| â†
− â |α
2
= −
1
4
α| â†2
+ â2
− â†
â − ââ†
|α +
1
4
(α∗
− α)2
= −
1
4
α| â†2
+ â2
− â†
â − â†
â − 1 |α +
1
4
(α∗
− α)2
= −
1
4
α∗2
+ α2
− 2|α|2
− 1 +
1
4
α2
+ α∗2
− 2|α|2
=
1
4
.
Vậy ta thu được
α| (∆ˆx)2
|α α| (∆ˆp)2
|α =
1
16
. (1.28)
Đây chính là giá trị nhỏ nhất ứng với hệ thức bất định Heisenberg. Như
vậy, đối với trạng thái kết hợp, ta có thể đo được đồng thời ˆx và ˆp với sai
số nhỏ nhất ứng với giới hạn lượng tử chuẩn. Biểu thức (1.28) được gọi
là giới hạn lượng tử chuẩn (standard quantum limit). Đây là tính chất
quan trọng nhất của trạng thái kết hợp.
1.1.3. Trạng thái kết hợp lẻ
Xuất phát từ trạng thái kết hợp với toán tử dịch chuyển, trạng thái
kết hợp lẻ đã được Dodonov [11] và cộng sự đưa ra bằng lý thuyết lần
đầu tiên vào năm 1973 và chúng đã được tạo ra bằng thực nghiệm năm
1992. Trạng thái kết hợp lẻ được định nghĩa
|α l = Cl (|α − |−α ) = Cl
ˆDa (α) − ˆDa (−α) |0 . (1.29)
Dễ dàng thấy |α l là hàm lẻ theo α, nghĩa là
|α l = −|−α l. (1.30)
Nếu biểu diễn theo các trạng thái Fock, ta có
|α l = Cl exp −
|α|2
2
∞
n=0
αn
√
n!
|n − exp −
|α|2
2
∞
n=0
(−α)n
√
n!
|n
16

= 2Cl exp −
|α|2
2
∞
n=0
α2n+1
(2n + 1)!
|2n + 1 . (1.31)
Từ biểu thức trên, ta thấy rằng khi biểu diễn sang trạng thái Fock thì
trạng thái kết hợp lẻ là tổ hợp của các trạng thái ứng với số hạt là lẻ.
Trạng thái kết hợp lẻ có một số tính chất sau
- Các trạng thái kết hợp lẻ không trực giao với nhau nhưng lại trực
giao với trạng thái kết hợp chẵn.
l α | β l = 4Cl (α) Cl (β) exp −
1
2
|α|2
exp −
1
2
|β|2
×
∞
n=0
∞
m=0
β2m+1
(2m + 1)!
(α∗
)2n+1
(2n + 1)!
2n + 1 | 2m + 1
= 4Cl (α) Cl (β) exp −
1
2
|α|2
exp −
1
2
|β|2
×
∞
n=0
∞
m=0
β2m+1
(2m + 1)!
(α∗
)2n+1
(2n + 1)!
δnm
1
2
|α|2
exp −
1
2
|β|2
∞
n=0
(α∗
β)2n+1
(2n + 1)!
1
2
|α|2
exp −
1
2
|β|2
sinh (α∗
β) ,
và
ch α | β l = 4Cch (α) Cl (β) exp −
1
2
|α|2
exp −
1
2
|β|2
×
∞
n=0
∞
m=0
β2m+1
(2m + 1)!
(α∗
)2n
(2n)!
2n | 2m + 1
= 0.
- Các trạng thái kết hợp chẵn và kết hợp lẻ có thể chuyển đổi qua
lại lẫn nhau bằng cách tác dụng toán tử hủy lên chúng.
ˆa|α l = 2Cl exp −
1
2
|α|2
∞
n=0
α2n+1
(2n + 1)!
ˆa |2n + 1
17

Khi m = 2, ta có trạng thái kết hợp thêm hai photon
|α, 2 =
â†2
|α
α| â2â†2 |α
=
â†2
|α
α| â†2â2 + 4â†â + 2 |α
=
â†2
|α
|α|4
+ 4|α|2
+ 2
. (1.37)
1.2. Một số tính chất phi cổ điển
1.2.1. Khái niệm trạng thái nén
Cho hai toán tử Hermite Â và ˆB lần lượt là các toán tử biểu diễn
cho hai đại lượng vật lý A và B. Về mặt nguyên tắc, chúng ta có thể đo
một đại lượng A nào đó trong các trạng thái nén với độ chính xác tuyệt
đối, nhưng khi đó để không vi phạm hệ thức bất định Heisenberg thì
sai số khi đo đại lượng B là vô cùng. Theo cơ học lượng tử, nếu hai đại
lượng này không đo được đồng thời thì về mặt toán học hai toán tử của
chúng cũng không giao hoán với nhau, nghĩa là
Â, ˆB = Â ˆB − ˆB Â = ˆC, (1.38)
trong đó ˆC là toán tử khác không. Trong trường hợp này, ta có được hệ
thức bất định đối với trạng thái bất kỳ của hệ
∆ Â
2
∆ ˆB
2
≥
ˆC
2
4
, (1.39)
trong đó ∆ Â
2
là đại lượng đặc trưng cho mức độ thăng giáng của
giá trị đo được A quanh giá trị trung bình lượng tử Â của đại lượng
A và được định nghĩa như sau
∆ Â
2
= Â − Â
2
= Â2
− Â
2
. (1.40)
Nếu xét trong trường hợp cụ thể Â = ˆx, ˆB = ˆp, ta dễ dàng tính được
ˆC = [ˆx, ˆp] =
i
4
â†
+ â , â†
− â
19

=
i
4
â†
, â†
− â†
, â + â, â†
− [â, â]
=
i
4
â, â†
+ â, â†
=
i
2
.
Từ (1.39), ta có
∆ Â
2
∆ ˆB
2
≥
ˆC
2
4
=
1
16
. (1.41)
Mặt khác, từ (1.28) ta lại có
α| (∆ˆx)2
|α α| (∆ˆp)2
|α =
1
16
,
hay
(∆ˆx)2
(∆ˆp)2
=
1
16
. (1.42)
Biểu thức (1.42) cho thấy thăng giáng trong trạng thái kết hợp luôn
bằng hệ thức bất định Heisenberg. Vì vậy các trạng thái kết hợp được
gọi là các trạng thái có độ bất định tối thiểu. Mặt khác, hệ thức bất
định Heisenberg chỉ áp đặt sự bất định lên tích của các thăng giáng
∆ Â
2
∆ ˆB
2
. Hệ thức này hoàn toàn không bị vi phạm nếu
một trong hai thăng giáng là nhỏ rất nhỏ và thăng giáng còn lại trở nên
lớn hơn rất nhiều. Nếu xét về mặt toán học, một trạng thái được gọi là
nén với đại lượng A nếu thỏa mãn
∆ Â
2
<
ˆC
2
4
=
ˆC
2
, (1.43)
trong đó
ˆC
2
là độ bất định ứng với giới hạn lượng tử chuẩn. Như
vậy trạng thái nén được định nghĩa là trạng thái có một thăng giáng
lượng tử nhỏ hơn giới hạn lượng tử chuẩn. Trong trường hợp đặc biệt
nếu trạng thái nén thỏa mãn điều kiện là tích của các thăng giáng
∆ Â
2
∆ ˆB
2
bằng độ bất định tối thiểu thì nó được gọi là
trạng thái nén lý tưởng.
20

1.2.2. Nén tổng hai mode
Trạng thái nén đa mode bậc cao đã được Hillery [15] đưa ra vào
năm 1989. Trong khuôn khổ luận văn, chúng tôi chỉ xét cho trường hợp
hai mode được đưa ra bởi Hillery và được gọi là nén tổng và nén hiệu hai
mode. Xét hai photon a và b có tần số tương ứng là ωa và ωb (ωa = ωb),
nén tổng được hiểu một cách đơn giản là hai photon này kết hợp thành
một photon có tần số ωc = ωa + ωb. Ta định nghĩa toán tử nén tổng như
sau
ˆVϕ =
1
2
eiϕ
â†ˆb†
+ e−iϕ
âˆb , (1.44)
trong đó â, â†
là toán tử sinh, hủy photon của mode thứ nhất, ˆb,ˆb†
là
toán tử sinh hủy photon của mode thứ hai. Toán tử nén tổng ứng với
ϕ +
π
2
có dạng
ˆV(ϕ+π
2 ) =
1
2
ei(ϕ+π
2 )â†ˆb†
+ e−i(ϕ+π
2 )âˆb . (1.45)
Hai toán tử này thỏa mãn biểu thức giao hoán
ˆVϕ, ˆV(ϕ+π
2 ) =
i
2
(ˆna + ˆnb + 1) , (1.46)
trong đó ˆna = â†
â và ˆnb = ˆb†ˆb lần lượt là toán tử số hạt của mode a và
mode b.
Mặt khác, chúng luôn thỏa mãn hệ thức bất định Heisenberg
∆ˆVϕ∆ˆV(ϕ+π
2 ) ≥
1
4
ˆna + ˆnb + 1 . (1.47)
Một trạng thái được gọi là nén tổng hai mode nếu trung bình trạng thái
này thỏa mãn bất đẳng thức sau
∆ˆVϕ
2
<
1
4
(ˆna + ˆnb + 1) , (1.48)
với mọi ϕ.
21

1.2.3. Nén hiệu hai mode
Nén hiệu được hiểu là hai photon có tần số lần lượt là ωa và ωb (ωa =
ωb) kết hợp với nhau thành một photon có tần số ωc = ωb − ωa, giả sử
ωb > ωa ta định nghĩa toán tử nén hiệu như sau
ˆWϕ =
1
2
eiϕ
âˆb†
+ e−iϕ
â†ˆb . (1.49)
Toán tử nén hiệu ứng với ϕ +
π
2
có dạng
ˆW(ϕ+π
2 ) =
1
2
ei(ϕ+π
2 )âˆb†
+ e−i(ϕ+π
2 )â†ˆb . (1.50)
Các toán tử này thỏa mãn hệ thức giao hoán
ˆWϕ, ˆW(ϕ+π
2 ) =
i
2
(ˆna − ˆnb) , (1.51)
mode b.
Mặt khác, chúng luôn thỏa mãn hệ thức bất định Heisenberg
∆ ˆWϕ∆ ˆW(ϕ+π
2 ) ≥
1
4
ˆna − ˆnb . (1.52)
Một trạng thái được gọi là nén hiệu hai mode nếu trung bình trạng thái
này thỏa mãn bất đẳng thức sau
∆ ˆWϕ
2
<
1
4
(ˆna − ˆnb) . (1.53)
1.2.4. Tính chất phản kết chùm
Khái niệm phản kết chùm được đưa ra bởi Kimble – Mandel [18]
và Carmichael – Walls [9] vào năm 1976 và được kiểm chứng bằng thực
nghiệm bởi Kimble, Dagenais và Mandel [19] vào năm 1977. Các photon
phản kết chùm có thể được hiểu là các photon độc lập, cách xa nhau
và không thể kết hợp với nhau. Như ta đã biết, photon phản kết chùm
22

tuân theo thống kê Sub – Poisson nên các trạng thái có phân bố photon
loại này cũng tuân theo thống kê Sub – Poisson, nghĩa là hàm phân bố
xác suất ứng với trạng thái này sẽ âm, điều đó không phù hợp với lý
thuyết cổ điển. Như vậy, các trạng thái có hàm phân bố xác suất mang
giá trị âm không còn mang tính chất của hàm cổ điển nữa mà là phi cổ
điển. Hay nói cách khác, tính chất phản kết chùm là một tính chất phi
cổ điển.
Phản kết chùm đơn mode
Vì các photon phản kết chùm tuân theo thống kê Sub – Poisson nên
phương sai của toán tử số hạt nhỏ hơn trung bình số hạt của nó
V n = ˆn2
− ˆn 2
< ˆn . (1.54)
Với ˆn(2)
= ˆn(ˆn − 1) , ta có
ˆn(2)
− ˆn 2
< 0. (1.55)
Ta có thể viết ˆn(p)
dưới dạng hàm phân bố xác suất P như sau
ˆn(p)
=
d2
α
π
P (α) |α|2p
. (1.56)
Khi này, bất đẳng thức (1.55) được viết lại dưới dạng sau
ˆn(2)
− ˆn 2
=
1
2
d2
αd2
β
π2
P (α, β) |α|4
+ |β|4
− 2|α|2
|β|2
< 0,
(1.57)
trong đó P (α, β) = P (α) P (β) là hàm phân bố xác suất trong biểu diễn
Glauber [14] và Sudarshan [25]. Mặt khác, ta luôn có
|α|4
+ |β|4
− 2|α|2
|β|2
> 0. (1.58)
Từ (1.57) và (1.58) ta thấy P(α, β) nhận giá trị âm, điều này giúp
khẳng định tính chất phản kết chùm là tính chất phi cổ điển. Năm 1903,
Muirhead [22] đã khái quát hoá bất đẳng thức (1.58)
|α|2l+2
|β|2p−2
+ |α|2p−2
|β|2l+2
≤ |α|2l
|β|2p
+ |α|2p
|β|2l
. (1.59)
23

với l, p là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện l ≥ p. Điều kiện để
một trạng thái thể hiện tính chất phản kết chùm trong trường hợp đơn
mode là
ˆn(l+1)
ˆn(p−1)
− ˆn(l)
ˆn(p)
< 0. (1.60)
Tương tự như định nghĩa của Mandel về tham số Q [21], Lee [20] đã đưa
ra tham số đặc trưng cho mức độ phản kết chùm
Rab (l, p) =
n(l+1)
n(p−1)
n(l) n(p)
− 1. (1.61)
Như vậy, tiêu chuẩn cho sự tồn tại của tính phản kết chùm trong trường
hợp đơn mode được khái quát như sau
Rab (l, p) =
n(l+k)
n(p−k)
n(l) n(p)
− 1 < 0. (1.62)
Phản kết chùm hai mode
Từ tiêu chuẩn cho sự tồn tại của tính phản kết chùm cho trường
hợp đơn mode, ta mở rộng ra cho trường hợp hai mode. Sử dụng (1.57)
ta được
ˆn(l+1)
a ˆn
(p−1)
b + ˆn(p−1)
a ˆn
(l+1)
b − ˆn(l)
a ˆn
(p)
b − ˆn(p)
a ˆn
(l)
b
=
1
2
d2
αd2
β
π2
P (α, β) × |α|2l+2
|β|2p−2
+ |α|2p−2
|β|2l+2
− |α|2l
|β|2p
− |α|2p
|β|2l
, (1.63)
mode b trong trường bức xạ. Từ phương trình (1.63), ta thấy vế phải
của phương trình luôn âm nên
ˆn(l+1)
a ˆn
(p−1)
b + ˆn(p−1)
a ˆn
(l+1)
b − ˆn(l)
a ˆn
(p)
b − ˆn(p)
a ˆn
(l)
b < 0. (1.64)
Vậy tiêu chuẩn cho sự tồn tại tính chất phản kết chùm cho trạng thái
hai mode [20] trong trường bức xạ thể hiện qua tham số R(l, p) có dạng
Rab (l, p) =
ˆn
(l+1)
a ˆn
(p−1)
b + ˆn
(p−1)
a ˆn
(l+1)
b
ˆn
(l)
a ˆn
(p)
b + ˆn
(p)
a ˆn
(l)
b
− 1 < 0. (1.65)
24

Nhận xét: một trạng thái bất kỳ thể hiện tính chất phản kết chùm khi
tham số R(l, p) âm. Nếu tham số R(l, p) càng âm thì tính chất phản kết
chùm của trạng thái mà ta đang xét thể hiện càng mạnh.
1.2.5. Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
Các tính chất thống kê của các mode được đặc trưng bởi
Gˆxˆy = Gˆyˆx =
ˆx†
ˆy†
ˆyˆx
ˆx†ˆx ˆy†ˆy
. (1.66)
Đối với các trường cổ điển, bất đẳng thức Cauchy – Schwarz có dạng
GˆxˆxGˆyˆy − G2
ˆxˆy ≥ 0, (1.67)
trong đó
Gˆxˆx =
ˆx†2
ˆx2
ˆx†ˆx
2 , Gˆyˆy =
ˆy†2
ˆy2
ˆy†ˆy
2 . (1.68)
Thay (1.68) và (1.66) vào (1.67), ta được
ˆx†2
ˆx2
ˆx†ˆx
2
ˆy†2
ˆy2
ˆy†ˆy
2 −
ˆx†
ˆy†
ˆyˆx
ˆx†ˆx ˆy†ˆy
2
≥ 0. (1.69)
Ta có thể viết lại bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dưới dạng sau
I =
ˆx†2
ˆx2
ˆy†2
ˆy2
1
2
| ˆx†ˆy†ˆyˆx |
− 1 ≥ 0. (1.70)
Bất đẳng thức (1.70) cho phép ta xem xét mối quan hệ giữa các mode
với nhau, mà cụ thể trong bài này là hệ hai mode. Nếu trạng thái hai
mode thỏa mãn bất đẳng thức Cauchy – Schwarz thì nó là trạng thái cổ
điển. Ngược lại, nếu nó vi phạm bất đẳng thức Cauchy – Schwarz thì đó
là trạng thái phi cổ điển, hay
I =
ˆx†2
ˆx2
ˆy†2
ˆy2
1
2
| ˆx†ˆy†ˆyˆx |
− 1 < 0. (1.71)
25

1.3. Một số tiêu chuẩn đan rối
1.3.1. Tiêu chuẩn đan rối Hillery – Zubairy
Xuất phát từ việc kiểm tra các hệ thức bất định bằng cách kiểm tra
phương sai tích của các toán tử sinh và hủy trong các mode mà Hillery
– Zubairy [16] đã đưa ra một lớp các bất đẳng thức mà trong đó sự vi
phạm của chúng chỉ ra sự đan rối trong hệ hai mode. Xét hai mode a, b
của trường điện từ, trong đó â†
và â lần lượt là toán tử sinh và hủy
photon của mode a, ˆb†
và ˆb lần lượt là toán tử sinh và hủy photon của
mode b. Định nghĩa các toán tử
ˆL1 = âˆb†
+ â†ˆb, ˆL2 = i âˆb†
− â†ˆb . (1.72)
Tính phương sai của toán tử ˆL1 và toán tử ˆL2, sau đó lấy tổng phương
sai của hai toán tử này, ta được
(∆L1)2
+ (∆L2)2
= 2 ˆNa + 1 ˆNb + ˆNa
ˆNb + 1 − 2 âˆb†
2
. (1.73)
Giả sử trạng thái đang xét là tích của mode a trong trạng thái này với
mode b trong trạng thái khác, ta có
(∆L1)2
+ (∆L2)2
= 2 ˆNa + 1 ˆNb + ˆNa
ˆNb + 1 − 2 â ˆb†
2
. (1.74)
Bất đẳng thức Schwarz cho ta | â |2
≤ ˆNa và ˆb†
2
≤ ˆNb . Trong
trạng thái tích, ta có
(∆L1)2
+ (∆L2)2
≥ 2 ˆNa + ˆNb . (1.75)
So sánh hai phương trình (1.73) và (1.75), ta được
ˆNa
ˆNb ≥ âˆb†
2
. (1.76)
26

Bất đẳng thức (1.76) cho ta điều kiện để một trạng thái hai mode bị rối
nếu thỏa mãn bất đẳng thức
ˆNa
ˆNb < âˆb†
2
. (1.77)
Để đưa ra điều kiện rối bậc cao, chúng ta xét toán tử âm ˆb†
n
. Trong
một trạng thái tích thuần khiết, chúng ta có
âm ˆb†
n 2
≤ â† m
âm ˆb†
n
ˆbn
, (1.78)
hoặc
âm ˆb†
n 2
≤ â† m
âm ˆb†
n
ˆbn
. (1.79)
Từ (1.79), điều kiện rối bậc cao được cho bởi bất đẳng thức
âm ˆb†
n 2
> â† m
âm ˆb†
n
ˆbn
. (1.80)
1.3.2. Tiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha - Jeawan Kim
Cũng như tiêu chuẩn đan rối Hillery – Zubairy, tiêu chuẩn Hyunchul
Nha – Jeawan Kim [17] được đưa ra vào năm 2006 góp phần vào hệ thống
các tiêu chuẩn phát hiện đan rối của trạng thái hai mode. Xuất phát từ
việc kiểm tra các hệ thức bất định bằng cách kiểm tra tích phương sai
của các toán tử mômen động lượng mà Hyunchul Nha – Jeawan Kim đã
đưa ra một lớp các bất đẳng thức mà trong đó sự vi phạm của chúng
chỉ ra sự đan rối trong hệ hai mode. Xét các toán tử mômen động lượng
trong nhóm SU(2) [17] là Jx, Jy, Jz, các toán tử này được mô tả trong
trạng thái hai mode a và b như sau
Jx =
1
2
â†ˆb + âˆb†
, Jy =
1
2i
â†ˆb − âˆb†
, Jz =
1
2
â†
â − ˆb†ˆb . (1.81)
Các toán tử này tuân theo hệ thức giao hoán
[Ji, Jj] = iεijkJk. (1.82)
27

Xét phương sai của toán tử Jx, ta được
(∆Jx)2
ρ = J2
x ρ
− Jx
2
ρ
=
1
4
â†2ˆb2
+ â2ˆb†2
+ â†
âˆbˆb†
+ ââ†ˆb†ˆb
ρ
− â†ˆb + âˆb†
2
ρ
.
(1.83)
Tương tự đối với phương sai của toán tử Jy ta có
(∆Jy)2
ρ = J2
y ρ
− Jy
2
ρ
= −
1
4
â†2ˆb2
+ â2ˆb†2
− â†
âˆbˆb†
. − ââ†ˆb†ˆb
ρ
2
ρ
.
(1.84)
Khi này, ta xét các toán tử mômen động lượng trong nhóm SU(1,1) [17]
là Kx, Ky, Kz, các toán tử này được mô tả bởi
Kx =
1
2
â†ˆb†
+ âˆb , Ky =
1
2i
â†ˆb†
− âˆb , Kz =
1
2
â†
â − ˆb†ˆb + 1 .
(1.85)
Vì [Kx, Ky] = iKz nên theo hệ thức bất định Schrodinger – Robertson
được đưa ra vào năm 1930 [12], ta có
(∆Kx)2
(∆Ky)2
≥
1
4
|Kz|2
+ ∆Kx∆Ky
2
S > 0. (1.86)
Khi chuyển vị từng phần cho các mode của toán tử thì bất đẳng thức
(1.86) vẫn giữ nguyên ý nghĩa vật lý nếu trạng thái hai mode đó là chia
tách được [17]. Do đó bất đẳng thức (1.86) thỏa mãn sự chuyển vị từng
thành phần đối với toán tử mật độ ρPT
(∆Kx)2
ρP T
(∆Ky)2
ρP T
≥
1
4
|Kz|2
ρP T + ∆Kx∆Ky
2
ρP T ,S > 0, (1.87)
trong đó
(∆Kx)2
ρP T ≡ K2
x ρP T − Kx
2
ρP T
28

=
1
4
â†2ˆb2
+ â2ˆb†2
+ â†
âˆbˆb†
+ ââ†ˆb†ˆb
ρ
2
ρ
+ 1 .
(1.88)
So sánh phương trình (1.88) với phương trình (1.83), ta thu được
(∆Kx)2
ρP T = (∆Jx)2
ρ +
1
4
. (1.89)
Tương tự, ta tìm được
(∆Ky)2
ρP T = (∆Jy)2
ρ +
1
4
, (1.90)
∆Kx∆Ky ρP T ,S = ∆Jx∆Jy ρ,S. (1.91)
Thay phương trình (1.89), (1.90) và (1.91) vào bất phương trình (1.87),
ta được điều kiện tách mức cho các trạng thái đan rối hai mode
1 + 4(∆Jx)2
1 + 4(∆Jy)2
≥ (1 + N+ )2
+ 16 ∆Jx∆Jy
2
S . (1.92)
Vậy một trạng thái hai mode được xem là đan rối nếu trạng thái đó vi
phạm bất đẳng thức (1.92), hay
1 + 4(∆Jx)2
1 + 4(∆Jy)2
< (1 + N+ )2
+ 16 ∆Jx∆Jy
2
S , (1.93)
hay
1 − â†2ˆb2
+ â2ˆb†2
− â†
âˆbˆb†
− ââ†ˆb†ˆb + â†ˆb − âˆb†
2
× 1 + â†2ˆb2
+ â2ˆb†2
+ â†
âˆbˆb†
+ ââ†ˆb†ˆb − â†ˆb + âˆb†
2
< 1 + â†
â + ˆb†ˆb
2
+ 16
1
2i
â†
â†ˆbˆb − ââˆb†ˆb†
+
1
4i
2
. (1.94)
Đây chính là tiêu chuẩn đan rối được Hyunchul Nha và Jeawan Kim đưa
ra vào năm 2006.
Tóm lại, trong chương này chúng tôi đã trình bày các kiến thức tổng
quan về trạng thái kết hợp và các tính chất phi cổ điển cũng như các
29

tiêu chuẩn đan rối. Trong đó, chúng tôi đã trình bày chi tiết các tính
chất phi cổ điển như nén tổng, nén hiệu hai mode, tính chất phản kết
chùm hai mode và sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy – Schwarz. Bên
cạnh đó, các tiêu chuẩn đan rối Hillery – Zubairy và tiêu chuẩn đan rối
Hyunchul Nha – Jeawan Kim cũng được trình bày khá rõ ràng.
Trong các chương sau, chúng tôi trình bày chi tiết các điều kiện cụ
thể để nghiên cứu các tính chất nén của trạng thái thêm hai và bớt một
photon lên hai mode kết hợp lẻ trong chương 2 và nêu lên các tham số
thể hiện tính chất phản kết chùm và mức độ vi phạm bất đẳng thức
Cauchy – Schwarz ở chương 3. Trong chương 4, với các tiêu chuẩn đan
rối đã được trình bày ở trên, chúng tôi xét với trạng thái thêm hai và
bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ và kết luận trạng thái này có
đan rối hay không. Như vậy, chương này chủ yếu đưa ra các kiến thức
làm nền tảng để nghiên cứu các tính chất của trạng thái thêm hai và
bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ trong các chương sau.
30

Chương 2
TÍNH CHẤT NÉN CỦA TRẠNG THÁI THÊM
HAI VÀ BỚT MỘT PHOTON LÊN HAI MODE
KẾT HỢP LẺ
Trong chương này, chúng tôi đưa ra trạng thái thêm hai và
bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ dưới dạng tường minh.
Từ đó, chúng tôi nghiên cứu các tính chất nén của trạng thái
này gồm có nén tổng và nén hiệu hai mode. Đây là hai kiểu
nén bậc cao đã được Hillery đưa ra vào năm 1989 đã được trình
bày ở chương một.
2.1. Trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai
mode kết hợp lẻ
Trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ
được định nghĩa như sau
|ψ ab = Nαβ ˆa†2
+ b (|α a|β b − |β a|α a) , (2.1)
trong đó Nαβ là hệ số chuẩn hóa, ˆa†
là toán tử sinh đối với mode a, ˆb là
toán tử hủy đối với mode b. Gọi |ψ ab là trạng thái thêm hai và bớt một
photon lên hai mode kết hợp lẻ.
Từ điều kiện chuẩn hóa ab ψ | ψ ab = 1, ta có
Nαβ = 4 + 5|α|2
+ |α|4
+ 2Re α2
β + β2
α + 5|β|2
+ |β|4
− 2Re 5α∗
β + α∗2
β2
+ β2
α
+β∗
α∗2
+ 2 × exp −|α − β|2
−1
2
. (2.2)
31

2.2. Nén tổng hai mode
Từ công thức (1.48) trong chương một, ta có
∆ˆVϕ
2
−
1
4
(ˆna + ˆnb + 1) < 0. (2.3)
Với ∆ˆVϕ
2
= ˆV 2
ϕ − ˆVϕ
2
, ta viết lại (2.3) như sau
ˆV 2
ϕ − ˆVϕ
2
−
1
4
(ˆna + ˆnb + 1) < 0. (2.4)
Để đơn giản cho việc khảo sát, ta đặt
S = ˆV 2
ϕ − ˆVϕ
2
−
1
4
(ˆna + ˆnb + 1) . (2.5)
Khi S < 0 thì trạng thái được gọi là nén tổng hai mode và mức độ nén
tổng càng mạnh khi S càng âm. Trong trạng thái thêm hai và bớt một
photon lên hai mode kết hợp lẻ, tham số S có dạng
S = ˆV 2
ϕ − ˆVϕ
2
−
1
4
ˆna + ˆnb + 1
=
1
4
|Nαβ|2
2 |α|4
+ |β|4
+ 8 |α|2
+ |β|2
+24] Re e2iϕ
α∗2
β∗2
+ 2Re e2iϕ
α∗2
β∗2
α∗2
β∗
+ |β|2
+α∗
β∗2
+ |α|2
+ 2 |α|4
+ 4|α|2
+ 2 |β|2
Re e2iϕ
β∗
+ 2|α|6
+ 18|α|4
+ 28|α|2
+ 8 |β|2
+ 2Re 2|α|2
+4) |β|2
α2
β + 2 |β|4
+ 4|β|2
+ 2 |α|2
Re e2iϕ
α∗
+ 2|β|6
+ 18|β|4
+ 28|β|2
+ 8 |α|2
+ 2Re 2|β|2
+4) |α|2
αβ2
− 2Re e2iϕ
α∗4
β2
+ 8α∗3
β + 12α∗2
β∗2
+ e2iϕ
α∗2
β2
+ 4α∗
β + 2 β∗2
α + e−2iϕ
α∗2
β4
+ 8α∗
β3
+12β2
α2
+ e−2iϕ
α∗2
β2
+ 4α∗
β + 2 β∗
α2
+ e−2iϕ
β4
α3
+ e2iϕ
α∗4
β∗3
+ e2iϕ
α∗2
β∗3
α + e−2iϕ
β2
β∗
α3
+ 2α∗
ββ∗2
α2
+ 2α∗3
β3
+ 16α∗2
β2
+ 28α∗
β + 8 β∗
α + 2α∗
β3
+ 4β2
β∗
α2
32

+ 2α∗3
β + 4α∗2
β∗2
α exp −|α − β|2
−
1
4
|Nαβ|4
2Re eiϕ
α∗
β∗
|α|4
+ |β|4
+ 6|α|2
+ 6|β|2
+ 12
+ 2Re e−iϕ
αβ α2
β + |α|2
+ |β|2
+ αβ2
+ 2 |α|2
+ 2 Re eiϕ
α|β|2
+ 2 |β|2
+ 2 Re eiϕ
|α|2
β
− 2Re eiϕ
α∗
β∗
+ e−iϕ
αβ α∗2
β2
+ 6α∗
β + 6
+ e−iϕ
α2
|β|2
+ β3
+ eiϕ
α|β|2
+ e−iϕ
|α|2
β∗
(α∗
β + 2)
+ eiϕ
β∗2
|α|2
+ α∗3
× exp −|α − β|2
2
. (2.6)
Để khảo sát tính nén tổng, ta đặt α = ra exp (iϕa) , β = rb exp (iϕb) và
ϕ = ϕa − ϕb, công thức (2.6) trở thành
S = ˆV 2
ϕ − ˆVϕ
2
−
1
4
ˆna + ˆnb + 1
=
1
4
|Nαβ|2
2 r4
a + r4
b + 8 r2
a + r2
b + 24 r2
ar2
b cos (4ϕb)
+ 2r2
ar2
b r2
arbcos (2ϕa + 5ϕb) + r2
b cos (4ϕb) + rar2
b cos (ϕa + 6ϕb)
+r2
acos (4ϕb) + 2 r4
a + 4r2
a + 2 r3
b cos (2ϕa − 3ϕb)
+ 2r6
a + 18r4
a + 28r2
a + 8 r2
b + 2 2r2
a + 4 r2
ar3
b cos (2ϕa + ϕb)
+ 2 r4
b + 4r2
b + 2 r3
a cos (ϕa − 2ϕb) + 2r6
b + 18r4
b + 28r2
b + 8 r2
a
+ 2 2r2
b + 4 r3
ar2
b cos (ϕa + 2ϕb) − 2 r4
ar2
b cos (2ϕa + 2ϕb)
+8r3
arb cos (ϕa + 3ϕb) + 12r2
a cos (4ϕb) r2
b + r2
ar2
b cos (ϕa − 2ϕb)
+4rarb cos (2ϕa − 3ϕb) + 2 cos (3ϕa − 4ϕb)) rar2
b
+ r2
ar4
b cos (2ϕa − 6ϕb) + 8rar3
b cos (ϕa − 5ϕb) + 12r2
b cos (4ϕb) r2
a
+ r2
ar2
b cos (2ϕa − 3ϕb) + 4rarb cos (ϕa − 2ϕb) + 2 cos (ϕb) r2
arb
+ r3
ar4
b cos (ϕa + 6ϕb) + r4
ar3
b cos (2ϕa + 5ϕb) + r3
ar3
b cos (ϕa − 5ϕb)
+ r3
ar3
b cos (ϕa + 3ϕb) + 2r3
ar3
b cos (ϕa − ϕb) + 2r3
ar3
b cos (−2ϕa + 2ϕb)
+16r2
ar2
b cos (−ϕa + ϕb) + 28rarb + 8 cos (ϕa − ϕb) rarb
+ 2rar3
b cos (2ϕa + ϕb) r2
arb
33

+ 2r3
arb cos (−2ϕa − ϕb) +4r2
a cos (−ϕa − 2ϕb) rar2
b
× exp −r2
a − r2
b + 2rarb cos (ϕa − ϕb)
−
1
4
|Nαβ|4
2rarb cos (2ϕb) r4
a + r4
b + 6r2
a + 6r2
b + 12
+ 2 rarb r2
arb cos (2ϕa + 3ϕb) + r2
a cos (2ϕb) + r2
b cos (2ϕb)
+rar2
b cos (ϕa + 4ϕb) + 2 r2
a + 2 rar2
b cos (2ϕa − ϕb)
+ 2 r2
b + 2 r2
arb cos (ϕa) − 2 2rarb cos (2ϕb) r2
ar2
+6rarb cos (ϕa − ϕb) + 6) + r2
a r2
b cos (ϕa + ϕb) + r3
b cos (ϕa + 4ϕb)
+ rar2
b cos (ϕa) + r2
arb cos (2ϕa − ϕb) rarb + 2 rar2
+r2
arb cos (ϕa) + r2
b r2
a cos (ϕa − 3ϕb)
+r3
a cos (2ϕa + 3ϕb) × exp −r2
a − r2
2
,
(2.7)
trong đó
Nαβ = 4 + 5r2
a + r4
a + 2 r2
arbcos (2ϕa + ϕb) + r2
b racos (ϕa + 2ϕb)
+ 5r2
b + r4
b − 2 5rarb cos (ϕa − ϕb) + r2
ar2
+rar2
b cos (ϕa + 2ϕb) + r2
arb cos (2ϕa + ϕb) + 2
× exp −r2
a − r2
−1
2
. (2.8)
Dựa vào điều kiện (2.4), nếu biểu thức (2.7) nhận giá trị âm thì trạng
thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ có tính chất
nén tổng hai mode. Bây giờ, chúng ta sẽ khảo sát tính nén tổng của
trạng thái này.
Đồ thị 2.1 khảo sát sự phụ thuộc của tham số S vào biên độ kết hợp rb
với điều kiện khảo sát là ra = rb, ϕa =
ϕb
2
, 0 ≤ rb ≤ 10 và ϕb =
π
2
. Kết
quả cho thấy trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết
hợp lẻ có tính nén tổng hai mode.
Đồ thị 2.2 khảo sát nén tổng hai mode của trạng thái thêm hai và bớt
34

Đồ thị 2.1: Khảo sát sự phụ thuộc của tham số S vào biên độ kết hợp rb với ϕb =
π
2
.
Đồ thị 2.2: Khảo sát nén tổng hai mode của trạng thái thêm hai và bớt một photon
lên hai mode kết hợp lẻ (đường màu xanh) và trạng thái hai mode kết hợp thêm photon
lẻ (đường màu đỏ).
một photon lên hai mode kết hợp lẻ (đường màu xanh) và trạng thái hai
mode kết hợp thêm photon lẻ (đường màu đỏ) trong cùng một điều kiện
khảo sát là ra = rb, ϕa =
ϕb
2
, 0 ≤ rb ≤ 10 và ϕb =
π
2
. Từ đồ thị ta nhận
thấy trong cùng một điều kiện khảo sát thì trạng thái hai mode kết hợp
thêm photon lẻ thể hiện tính nén tổng mạnh hơn trạng thái thêm hai và
bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ.
35

2.3. Nén hiệu hai mode
Từ công thức (1.53) trong chương một, ta có
∆ ˆWϕ
2
−
1
4
(ˆna − ˆnb) < 0. (2.9)
Với ∆ ˆWϕ
2
= ˆW2
ϕ − ˆWϕ
2
, ta viết lại (2.9) như sau
ˆW2
ϕ − ˆWϕ
2
−
1
4
(ˆna − ˆnb) < 0. (2.10)
D = ˆW2
ϕ − ˆWϕ
2
−
1
4
(ˆna − ˆnb) . (2.11)
Khi D < 0 thì trạng thái được gọi là nén hiệu hai mode và mức độ nén
hiệu càng mạnh khi D càng âm. Trong trạng thái thêm hai và bớt một
photon lên hai mode kết hợp lẻ, ta có
D =
1
4
|Nαβ|2
2Re e2iϕ
α∗2
α4
+ 8α∗
α3
+ 12α2
β∗2
+ 2|α|6
+ 18|α|4
+ 36|α|2
+ 12 |β|2
+ 2|α|2
+ 2 |β|4
+ 2 |α|4
+ 4|α|2
+ 2 Re e2iϕ
β∗3
+ 2Re α2
β∗
β2
+ 2Re α2
α∗
β2
+ 2Re 2α∗3
α + 5α∗2
β∗2
β
+ 2Re e2iϕ
α4
β∗2
β + e2iϕ
α2
β∗3
β + 2Re e2iϕ
β∗2
β4
+8β∗
β3
+12β2
α∗2
+ 2|β|6
+ 18|β|4
+ 36|β|2
+ 12 |α|2
+ 2|β|2
+ 2 |α|4
+ 2 |β|4
+ 4|β|2
+ 2 Re e2iϕ
α∗3
+ 2Re 2β∗3
β + 5β∗2
α∗2
α + 2Re e2iϕ
β4
α∗2
α + e2iϕ
β2
α∗3
α
− 2Re e2iϕ
α∗2
β4
+ 8α∗
β3
+ 12β2
β∗2
+ e−2iϕ
α∗4
β2
+ 8α∗3
β
+12α∗2
α2
+ 2α∗3
β3
+ 18α∗2
β2
+ 36α∗
β + 12 β∗
α
+ (2α∗
β + 2) β∗2
α2
+ α∗2
β2
+ 4α∗
β + 2 e2iϕ
β∗3
+ e−2iϕ
α3
+ α∗2
β∗2
α + 2α∗3
β + 5α∗2
β∗2
α + 2α∗
β3
+ 5β2
β∗
α2
36

+ e2iϕ
β4
β∗2
α + β2
β∗
α2
+ e−2iϕ
α∗4
β∗
α2
+ e−2iϕ
α∗2
β∗
α3
+ e2iϕ
β2
β∗3
α × exp −|α − β|2
−
1
4
|Nαβ|4
2 |α|4
+ 6|α|2
+ 6 Re eiϕ
αβ∗
+ 2 |α|2
+ 2 Re eiϕ
α∗
β∗2
+ 2|β|2
Re eiϕ
α3
+ eiϕ
αβ∗
+ 2 |β|4
+ 6|β|2
+ 6 Re eiϕ
α∗
β + 2 |β|2
+ 2 Re eiϕ
α∗2
β∗
+ 2|α|2
Re eiϕ
β3
+ eiϕ
α∗
β − 2Re α∗2
β2
+ 6α∗
β + 6 eiϕ
|β|2
+e−iϕ
|α|2
+ eiϕ
β3
+ e−iϕ
α∗3
+ eiϕ
|β|2
+ e−iϕ
|α|2
β∗
α
+ (α∗
β + 2) eiϕ
α∗
β∗2
+ e−iϕ
α2
β × exp −|α − β|2
2
. (2.12)
Để đơn giản, ta đặt α = ra exp (iϕa) , β = rb exp (iϕb) và ϕ = ϕa − ϕb,
công thức (2.12) trở thành
D =
1
4
|Nαβ|2
r6
a + 8r4
a + 12r2
a 2r2
+ 2r2
ar4
b cos (4ϕa − 4ϕb) + 2r4
a + 7r2
a 2r3
b cos (2ϕa + ϕb)
+ 5r4
b + 11r2
b + 2 2r3
a cos (ϕa + 2ϕb) + r4
a + 4r2
a + 2 2r3
b
× cos (2ϕa − 5ϕb) + 2r4
ar3
b cos (6ϕa − 3ϕb) + 2r2
b + 2 r4
a
+ 2r4
b + 2r6
a + 20r4
a + 39r2
a + 12 r2
b + 4r6
b + 36r4
b + 57r2
b
+12) r2
a − r2
ar6
b + 72r2
ar2
b + r2
ar6
b + 8r4
b + r4
a + 20r2
ar2
b + 12
× 2rarb cos (ϕa − ϕb) + 4 r4
ar4
b + 6r4
b + 6r4
a + r2
ar2
b
× cos (2ϕa − 2ϕb) + 2r6
ar2
+ 8r4
a + r4
b 2rarb cos (3ϕa − 3ϕb) + 4r3
a + r4
b 2r2
arb cos (3ϕb)
+ r4
a + 4r3
b 2rar2
b cos (ϕa − 4ϕb) + 2r6
arb cos (4ϕa − ϕb)
+ 2rar6
b cos (3ϕa) + 4r3
a cos (ϕa + 2ϕb) r4
b + 3r2
b + 1
+ r2
a + 3 4r2
ar3
b cos (2ϕa + ϕb) + 4r3
b cos (2ϕa − 5ϕb)]
× exp −r2
a − r2
−
1
4
|Nαβ|4
r4
a + 6r2
a + r2
b + 6 2rarb cos (2ϕa − 2ϕb)
37

+ r4
b + 6r2
b + r2
a + 6 2rarb + r2
a + 2 2rar2
b cos (3ϕb)
+ 2r3
ar2
b cos (4ϕa − ϕb) + 2r2
b + 2 2r2
arb cos (ϕa + 2ϕb)
− 12rar3
b + 2r3
arb + 2r2
ar4
b + 12r2
b + 12r2
a cos (ϕa − ϕb)
+ 2r4
ar2
b cos (3ϕa − 3ϕb) + 6r2
a + r2
b 2rarb cos (2ϕa − 2ϕb)
+ 2rar4
b cos (2ϕa + ϕb) + r2
a + 2 2r2
arb cos (ϕa + 2ϕb)
+ 2r4
arb cos (3ϕa) + r2
a + 2 2rar2
b cos (3ϕb)]
× exp −r2
a − r2
2
. (2.13)
Dựa vào điều kiện (2.10), nếu biểu thức (2.13) nhận giá trị âm thì
trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ có tính
nén hiệu hai mode. Bây giờ, chúng ta sẽ đi khảo sát tính nén hiệu hai
mode của trạng thái này.
Đồ thị 2.3: Khảo sát sự phụ thuộc của tham số D vào biên độ kết hợp rb và pha dao
động ϕb.
Đồ thị 2.3 được khảo sát theo biên độ rb và pha dao động ϕb với điều
kiện khảo sát là ra = 2rb, ϕa = 2ϕb, 0 ≤ rb ≤ 4 và 0 ≤ ϕb ≤ π. Kết quả
cho thấy trạng thái thêm hai và bớt một photon hoàn toàn không có
tính nén hiệu hai mode.
Tóm lại, trong chương này, chúng tôi đã khảo sát tính chất nén tổng
và nén hiệu của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode
38

kết hợp lẻ. Qua quá trình tính toán và vẽ đồ thị cho các tham số tương
ứng, chúng tôi nhận thấy trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai
mode kết hợp lẻ có tính nén tổng hai mode, tuy nhiên trạng thái này
lại không có tính nén hiệu. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng đã so sánh tính
nén tổng của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết
hợp lẻ với trạng thái hai mode kết hợp thêm photon lẻ, kết quả cho thấy
trạng thái hai mode kết hợp thêm photon lẻ có tính nén tổng mạnh hơn
trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ.
39

Chương 3
SỰ VI PHẠM BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY -
SCHWARZ VÀ TÍNH CHẤT PHẢN KẾT CHÙM
PHOTON LÊN HAI MODE KẾT HỢP LẺ
Trong chương này, chúng tôi tập trung khảo sát sự vi
phạm bất đẳng thức Cauchy – Schwarz và tính chất phản kết
chùm của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode
kết hợp lẻ.
3.1. Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
Như đã trình bày ở chương một, một trạng thái là phi cổ điển nếu
trạng thái đó vi phạm bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, nghĩa là I < 0.
Từ bất đẳng thức (1.71), ta có
I =
â†2
â2 ˆb†2ˆb2
1
2
â†ˆb†ˆbâ
− 1 < 0. (3.1)
Trong trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ,
tham số I có dạng
I = |α|8
+ 12|α|6
+ 38|α|4
+ 32|α|2
+ 4 + 2Re α∗4
α2
β∗
+ 4α∗3
αβ∗
+2α∗2
β∗
+ |α|4
|β|2
+ |β|8
+ 12|β|6
+ 38|β|4
+ 32|β|2
+ 4
+ 2Re β∗4
β2
α∗
+ 4β∗3
βα∗
+ 2α∗
β∗2
+ |α|2
|β|4
− 2Re α∗4
β4
+ 12α∗3
β3
+ 38α∗2
β2
+ 32α∗
β + 4 + α∗4
β2
β∗
+ 4α∗3
|β|2
+ 2α∗2
β∗
+ α∗2
β4
α + 4|α|2
β3
+ 2αβ2
+ α∗2
β2
β∗
α exp −|α − β|2
|α|4
+ 4|α|2
+ 2 |β|4
40

+ 2Re α2
β |β|4
+ |β|6
+ |β|4
+ 4|β|2
+ 2 |α|4
+ 2Re αβ2
|α|4
+ |α|6
− 2Re α∗2
β2
+ 4α∗
β + 2 α2
β∗2
+ |α|4
β∗3
+ |β|4
α3
+β∗3
α3
× exp −|α − β|2
1
2
|α|6
+ 8|α|4
+ 14|α|2
+ 4 |β|2
+ |α|2
|β|4
+ 2Re α∗2
|α|2
+ 2α∗2
β∗
|β|2
+ |β|6
+ 8|β|4
+14|β|2
+ 4 |α|2
+ |α|4
|β|2
+ 2Re β∗2
|β|2
+ 2β∗2
α∗
|α|2
− 2Re α∗3
β3
+ 8α∗2
β2
+ 14α∗
β + 4 β∗
α + α∗3
β + 2α∗2
β∗2
α
+ α∗
β3
+ 2β2
β∗
α2
+ α∗
β β∗2
α2
exp −|α − β|2
−1
− 1. (3.2)
Để khảo sát sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta đặt α =
ra exp (iϕa) , β = rb exp (iϕb), công thức (3.3) trở thành
I = r8
a + r8
b + 12 r6
a + r6
b + 38 r4
a + r4
b + 32 r2
a + r2
b + 8
+ 2r6
arb + 8r4
arb + 4r2
arb cos (2ϕa + ϕb) + r4
ar2
b + r2
ar4
b
+ 2rar6
b + 8rar4
b + 4rar2
b cos (ϕa + 2ϕb)
− 2r4
ar4
b cos (4ϕa − 4ϕb) + 24r3
ar3
+ 76r2
ar2
b cos (2ϕa − 2ϕb) + 8 + 2r4
ar3
+ 4r2
arb cos (2ϕa + ϕb) + 8r3
ar2
b cos (3ϕa) + 8r2
ar3
b cos (3ϕb)
+ 4rar2
ar4
b cos (ϕa − 4ϕb) + 2r3
ar3
b + 64rarb
× cos (ϕa − ϕb)) × exp −r2
a − r2
× r4
a + 4r2
a + 2 r4
b + r4
b + 4r2
b + 2 r4
a + r6
a + r6
b
+ 2r2
ar5
b cos (2ϕa + ϕb) + 2r5
ar2
b cos (ϕa + 2ϕb)
− 2r4
ar4
b + 8r3
ar3
b cos (ϕa − ϕb) + 4r2
ar2
+ 2r3
ar4
b cos (3ϕa) + 2r3
ar3
b cos (3ϕa − 3ϕb) + 2r4
ar3
b cos (3ϕb)
× exp −r2
a − r2
1
2
× r6
a + 9r4
a + 14r2
a + 4 r2
b + 2 r4
a + 2r2
a r3
b cos (2ϕa + ϕb)
+ r6
b + 9r4
b + 14r2
b + 4 r2
a + 2 r4
b + 2r2
b r3
a cos (ϕa + 2ϕb)
41

− 2r4
ar4
b cos (2ϕa − 2ϕb) + 18r3
ar3
+ 2r3
ar4
b + 4r3
ar2
ar3
b + 4r2
ar3
b cos (2ϕa + ϕb)
+28r2
ar2
b × exp −r2
a − r2
−1
− 1. (3.3)
Dựa vào điều kiện (3.1), nếu biểu thức (3.3) nhận giá trị âm thì trạng
thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ vi phạm bất
đẳng thức Cauchy – Schwarz.
Đồ thị 3.1: Khảo sát sự phụ thuộc của I vào biên độ kết hợp rb với ϕb =
π
2
.
Đồ thị 3.1 khảo sát theo biên độ rb và pha dao động ϕb với điều kiện
khảo sát là ra = rb, 1 ≤ rb ≤ 5, ϕa = 2ϕb và ϕb = π/2. Kết quả cho thấy
trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ vi phạm
bất đẳng thức Cauchy – Schwarz.
Đồ thị 3.2 khảo sát sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy – Schwarz của
trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ (đường
màu xanh) và trạng thái hai mode kết hợp thêm photon lẻ (đường màu
đỏ) theo biên độ rb và pha dao động ϕb với điều kiện khảo sát là ra =
rb, 1 ≤ rb ≤ 5, ϕa = 2ϕb và ϕb =
π
2
. Đồ thị cho thấy rằng, với điều kiện
mà ta khảo sát thì cả hai trạng thái đều vi phạm bất đẳng thức Cauchy
– Schwarz. Tuy nhiên sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy – Schwarz của
42

Đồ thị 3.2: Khảo sát sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz của trạng thái thêm
hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ (đường màu xanh) và trạng thái hai
mode kết hợp thêm photon lẻ (đường màu đỏ).
trạng thái hai mode kết hợp thêm photon lẻ là mạnh hơn trạng thái
thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ.
3.2. Tính chất phản kết chùm
Từ bất phương trình (1.65) ta có tiêu chuẩn cho sự tồn tại tính chất
phản kết chùm cho trạng thái hai mode trong trường bức xạ thể hiện
qua tham số R(l, p) có dạng
Rab (l, p) =
ˆn
(l+1)
a ˆn
(p−1)
b + ˆn
(p−1)
a ˆn
(l+1)
b
ˆn
(l)
a ˆn
(p)
b + ˆn
(p)
a ˆn
(l)
b
− 1, (3.4)
với l ≥ p > 0 và ˆna = â†
â, ˆnb = ˆb†ˆb. Mặt khác ta có [10]
Â(K)
= Â Â − 1 ... Â − K + 1 = â†K
âK
. (3.5)
Vậy công thức (3.4) được viết lại như sau
R (l, p) =
â†(l+1)
â(l+1)ˆb†(p−1)ˆb(p−1)
+ â†(p−1)
â(p−1)ˆb†(l+1)ˆb(l+1)
â†lâlˆb†pˆbp + â†pâpˆb†lˆbl
− 1.
(3.6)
43

Nếu tham số R(l, p) càng âm thì tính phản kết chùm hai mode thể hiện
càng mạnh. Trong trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode
kết hợp lẻ, ta có các kết quả sau
â†l
âlˆb†pˆbp
=|Nαβ|2
|α|2(l+2)
+ 4 (l + 1) |α|2(l+1)
+ 6l2
+ 6l + 2 |α|2l
+ 4l3
|α|2(l−1)
+ l2
(l − 1)2
|α|2(l−2)
|β|2p
+ |α|2l
|β|2(p+1)
+ |α|2l
+ 2l|α|2(l−1)
+ l (l − 1) |α|2(l−2)
|β|2p
α∗2
β∗
+ |α|2l
+ 2l|α|2(l−1)
+ l (l − 1) |α|2(l−2)
|β|2p
α2
β + |β|2(l+2)
+ 4 (l + 1) |β|2(l+1)
+ 6l2
+ 6l + 2 |β|2l
+ 4l3
|β|2(l−1)
+ l2
(l − 1)2
|β|2(l−2)
|α|2p
+ |β|2l
|α|2(p+1)
+ |β|2l
+ 2l|β|2(l−1)
+l (l − 1) |β|2(l−2)
|α|2p
α∗
β∗2
+ |β|2l
+ 2l|β|2(l−1)
+l (l − 1) |β|2(l−2)
|α|2p
αβ2
− α∗(l+2)
β(l+2)
+ 4 (l + 1) α∗(l+1)
β(l+1)
+ 6l2
+ 6l + 2 α∗l
βl
+ 4l3
α∗(l−1)
β(l−1)
+ l2
(l − 1)2
α∗(l−2)
β(l−2)
β∗p
αp
+ α∗(l+2)
βl
+ 2lα∗(l+1)
β(l−1)
+l (l − 1) α∗l
β(l−2)
β∗(p+1)
αp
+ α∗l
β(l+2)
+ 2lα∗(l−1)
β(l+1)
+l (l − 1) α∗(l−2)
βl
β∗p
α(p+1)
+ α∗l
βl
β∗(p+1)
α(p+1)
+ α(l+2)
β∗(l+2)
+ 4 (l + 1) α(l+1)
β∗(l+1)
+ 6l2
+ 6l + 2 αl
β∗l
+ 4l3
α(l−1)
β∗(l−1)
+ l2
(l − 1)2
α(l−2)
β∗(l−2)
α∗p
βp
+ β∗(l+2)
αl
+ 2lβ∗(l+1)
α(l−1)
+l (l − 1) β∗l
α(l−2)
α∗(p+1)
βp
+ β∗l
α(l+2)
+ 2lβ∗(l−1)
α(l+1)
+l (l − 1) β∗(l−2)
αl
α∗p
β(p+1)
+ β∗l
αl
α∗(p+1)
β(p+1)
× exp −|α − β|2
. (3.7)
Tương tự, ta có
â†(l+1)
â(l+1)ˆb†(p−1)ˆb(p−1)
44

=|Nαβ|2
|α|2(l+3)
+ 4 (l + 2) |α|2(l+2)
+ 6(l + 1)2
+ 6 (l + 1) + 2 |α|2(l+1)
+ 4(l + 1)3
|α|2l
+ l2
(l + 1)2
|α|2(l−1)
|β|2(p−1)
+ |α|2(l+1)
|β|2p
+ |α|2(l+1)
+2 (l + 1) |α|2l
+ l (l + 1) |α|2(l−1)
|β|2(p−1)
α∗2
β∗
+ |α|2(l+1)
+2 (l + 1) |α|2l
+ l (l + 1) |α|2(l−1)
|β|2(p−1)
α2
β + |β|2(l+3)
+ 4 (l + 2) |β|2(l+2)
+ 6(l + 1)2
+ 6 (l + 1) + 2 |β|2(l+1)
+ 4(l + 1)3
|β|2l
+ l2
(l + 1)2
|β|2(l−1)
|α|2(p−1)
+ |β|2(l+1)
|α|2p
+ |β|2(l+1)
+ 2 (l + 1) |β|2l
+l (l + 1) |β|2(l−1)
|α|2(p−1)
α∗
β∗2
+ |β|2(l+1)
+ 2 (l + 1) |β|2l
+ l (l + 1) |β|2(l−1)
|α|2(p−1)
αβ2
− α∗(l+3)
β(l+3)
+ 4 (l + 2) α∗(l+2)
β(l+2)
+ 6(l + 1)2
+6 (l + 1) + 2) α∗(l+1)
β(l+1)
+ 4(l + 1)3
α∗l
βl
+ l2
(l + 1)2
α∗(l−1)
β(l−1)
β∗(p−1)
α(p−1)
+ α∗(l+3)
β(l+1)
+ 2 (l + 1) α∗(l+2)
βl
+l (l + 1) α∗(l+1)
β(l−1)
β∗p
α(p−1)
+ α∗(l+1)
× β(l+3)
+ 2 (l + 1) α∗l
β(l+2)
+l (l + 1) α∗(l−1)
β(l+1)
β∗(p−1)
αp
+ α∗(l+1)
β(l+1)
β∗p
αp
+ α(l+3)
β∗(l+3)
+ 4 (l + 2) α(l+2)
β∗(l+2)
+ 6(l + 1)2
+ 6 (l + 1) + 2 α(l+1)
β∗(l+1)
+ 4(l + 1)3
αl
β∗l
+ l2
(l + 1)2
α(l−1)
β∗(l−1)
α∗(p−1)
β(p−1)
+ β∗(l+3)
α(l+1)
+ 2 (l + 1) β∗(l+2)
αl
+l (l + 1) β∗(l+1)
α(l−1)
α∗p
β(p−1)
+ β∗(l+1)
α(l+3)
+ 2 (l + 1) β∗l
α(l+2)
+l (l + 1) β∗(l−1)
α(l+1)
× α∗(p−1)
βp
+ β∗(l+1)
α(l+1)
α∗p
βp
] × exp −|α − β|2
, (3.8)
ˆa†(p−1)
ˆa(p−1)ˆb†(l+1)ˆb(l+1)
=|Nαβ|2
|α|2(p+1)
+ 4p|α|2p
+ 6(p − 1)2
45

+6 (p − 1) + 2) |α|2(p−1)
+ 4(p − 1)3
|α|2(p−2)
+ (p − 1)2
(p − 2)2
|α|2(p−3)
|β|2(l+1)
+ |α|2(p−1)
|β|2(l+2)
+ |α|2(p−1)
+ 2 (p − 1) |α|2(p−2)
+ (p − 1) (p − 2) |α|2(p−3)
× |β|2(l+1)
α∗2
β∗
+ |α|2(p−1)
+ 2 (p − 1) |α|2(p−2)
+ (p − 1) (p − 2) |α|2(p−3)
|β|2(l+1)
α2
β + |β|2(p+1)
+ 4p|β|2p
+ 6(p − 1)2
+ 6 (p − 1) + 2 |β|2(p−1)
+ 4(p − 1)3
|β|2(p−2)
+ (p − 1)2
(p − 2)2
|β|2(p−3)
|α|2(l+1)
+ |β|2(p−1)
|α|2(l+2)
+ |β|2(p−1)
+ 2 (p − 1) |β|2(p−2)
+ (p − 1) (p − 2) |β|2(p−3)
× |α|2(l+1)
α∗
β∗2
+ |β|2(p−1)
+ 2 (p − 1) |β|2(p−2)
+ (p − 1) (p − 2) |β|2(p−3)
|α|2(l+1)
αβ2
− α∗(p+1)
β(p+1)
+ 4pα∗p
βp
+ 6(p − 1)2
+ 6 (p − 1) + 2 α∗(p−1)
β(p−1)
+ 4(p − 1)3
α∗(p−2)
β(p−2)
+ (p − 1)2
(p − 2)2
α∗(p−3)
β(p−3)
× β∗(l+1)
α(l+1)
+ α∗(p+1)
β(p−1)
+ 2 (p − 1) α∗p
β(p−2)
+ (p − 1) (p − 2) α∗(p−1)
β(p−3)
β∗(l+2)
α(l+1)
+ α∗(p−1)
β(p+1)
+ 2 (p − 1) α∗(p−2)
βp
+ (p − 1) (p − 2) α∗(p−3)
β(p−1)
× β∗(l+1)
α(l+2)
+ α∗(p−1)
β(p−1)
β∗(l+2)
α(l+2)
+ α(p+1)
β∗(p+1)
+ 4pαp
β∗p
+ 6(p − 1)2
+ 6 (p − 1) + 2 α(p−1)
β∗(p−1)
+ 4(p − 1)3
α(p−2)
β∗(p−2)
+ (p − 1)2
(p − 2)2
α(p−3)
β∗(p−3)
× α∗(l+1)
β(l+1)
+ β∗(p+1)
α(p−1)
+ 2 (p − 1) β∗p
α(p−2)
+ (p − 1) (p − 2) β∗(p−1)
α(p−3)
α∗(l+2)
β(l+1)
+ β∗(p−1)
α(p+1)
+ 2 (p − 1) β∗(p−2)
αp
+ (p − 1) (p − 2) β∗(p−3)
α(p−1)
α∗(l+1)
β(l+2)
+ β∗(p−1)
α(p−1)
α∗(l+2)
β(l+2)
× exp −|α − β|2
, (3.9)
46

ˆa†p
ˆapˆb†lˆbl
=|Nαβ|2
|α|2(p+2)
+ 4 (p + 1) |α|2(p+1)
+ 6p2
+ 6p + 2
× |α|2p
+ 4p3
|α|2(p−1)
+ p2
(p − 1)2
|α|2(p−2)
|β|2l
+ |α|2p
|β|2(l+1)
+ |α|2p
+ 2p|α|2(p−1)
+ p (p − 1) |α|2(p−2)
|β|2l
α∗2
β∗
+ |α|2p
+2p|α|2(p−1)
+ p (p − 1) |α|2(p−2)
|β|2l
α2
β + |β|2(p+2)
+ 4 (p + 1) |β|2(p+1)
+ 6p2
+ 6p + 2 |β|2p
+ 4p3
|β|2(p−1)
+ p2
(p − 1)2
|β|2(p−2)
|α|2l
+ |β|2p
|α|2(l+1)
+ |β|2p
+ 2p|β|2(p−1)
+p (p − 1) |β|2(p−2)
|α|2l
α∗
β∗2
+ |β|2p
+ 2p|β|2(p−1)
+ p (p − 1)
× |β|2(p−2)
|α|2l
αβ2
− α∗(p+2)
β(p+2)
+ 4 (p + 1) α∗(p+1)
β(p+1)
+ 6p2
+ 6p + 2 α∗p
βp
+ 4p3
α∗(p−1)
β(p−1)
+ p2
(p − 1)2
α∗(p−2)
× β(p−2)
β∗l
αl
+ α∗(p+2)
βp
+ 2pα∗(p+1)
β(p−1)
+p (p − 1) α∗p
β(p−2)
× β∗(l+1)
αl
+ α∗p
β(p+2)
+ 2pα∗(p−1)
β(p+1)
+p (p − 1) α∗(p−2)
βp
× β∗l
α(l+1)
+ α∗p
βp
β∗(l+1)
α(l+1)
+ α(p+2)
β∗(p+2)
+ 4 (p + 1) α(p+1)
× β∗(p+1)
+ 6p2
+ 6p + 2 αp
β∗p
+ 4p3
α(p−1)
β∗(p−1)
+ p2
(p − 1)2
× α(p−2)
β∗(p−2)
α∗l
βl
+ β∗(p+2)
αp
+ 2pβ∗(p+1)
α(p−1)
+ p (p − 1)
× β∗p
α(p−2)
α∗(l+1)
βl
+ β∗p
α(p+2)
+ 2pβ∗(p−1)
α(p+1)
+ p (p − 1)
×β∗(p−2)
αp
α∗l
β(l+1)
+ β∗p
αp
α∗(l+1)
β(l+1)
× exp −|α − β|2
.
(3.10)
Bây giờ chúng ta sẽ khảo sát từng trường hợp cụ thể.
a) Trường hợp l = p = 2
Thay l = p = 2 vào biểu thức R(l, p), ta thu được
R (2, 2) = |α|10
+ 16|α|8
+ 74|α|6
+ 108|α|4
+ 36 |α|2
|β|2
+ |α|6
|β|4
+ 2Re |α|6
+ 6|α|4
+ 6|α|2
|β|2
α∗2
β∗
+ |β|10
+ 16|β|8
47

+ 74|β|6
+ 108|β|4
+ 36 |β|2
|α|2
+ |β|6
|α|4
+ 2Re |β|6
+6|β|4
+6|β|2
|α|2
α∗
β∗2
− 2Re α∗5
β5
+ 16α∗4
β4
+ 74α∗3
β3
+ 108α∗2
β2
+ 36α∗
β) αβ∗
] + 2Re α∗5
β3
+6α∗4
β2
+6α∗3
β β∗2
α + 2Re α∗3
β5
+ 6α∗2
β4
+6α∗
β3
β∗
α2
+ 2Re α∗3
β3
β∗2
α2
× exp −|α − β|2
+ |α|6
+ 8|α|4
+ 14|α|2
+ 4 |β|6
+ |α|2
|β|8
+ 2Re |α|2
+ 2 |β|6
α∗2
β∗
+ |β|6
+ 8|β|4
+ 14|β|2
+4] |α|6
+ |α|8
|β|2
+ 2Re |β|2
+ 2 |α|6
α∗
β∗2
− [2Re α∗3
β3
+ 8α∗2
β2
+ 14α∗
β + 4) β∗3
α3
+ 2Re α∗3
β + 2α∗2
β∗4
α3
+ 2Re α∗
β3
+2β2
β∗3
α4
+ 2Re α∗
ββ∗4
α4
× exp −|α − β|2
× |α|8
+ 12|α|6
+ 38|α|4
+ 32|α|2
+ 4 |β|4
+ |α|4
|β|6
+ 2Re |α|4
+ 4|α|2
+ 2 |β|4
α∗2
β∗
+ |β|8
+ 12|β|6
+ 38|β|4
+ 32|β|2
+ 4 |α|4
+ |β|4
|α|6
+ 2Re |β|4
+4|β|2
+ 2 |α|4
α∗
β∗2
− 2Re α∗4
β4
+ 12α∗3
β3
+38α∗2
β2
+ 32α∗
β + 4) β∗2
α2
+ 2Re α∗4
β2
+4α∗3
β + 2α∗2
β∗3
α2
+ 2Re α∗2
β4
+ 4α∗
β3
+2β2
β∗2
α3
+ 2Re α∗2
β2
β∗3
α3
× exp −|α − β|2
+ |α|8
+ 12|α|6
+ 38|α|4
+ 32|α|2
+4] |β|4
+ |α|4
|β|6
+ 2Re |α|4
+ 4|α|2
+ 2
× |β|4
α∗2
β∗
+ |β|8
+ 12|β|6
+ 38|β|4
+ 32|β|2
+4] |α|4
+ |β|4
|α|6
+ 2Re |β|4
+ 4|β|2
+ 2
× |α|4
α∗
β∗2
− [2Re α∗4
β4
+ 12α∗3
β3
+ 38α∗2
β2
48

+ 32α∗
β + 4) β∗2
α2
+ 2Re α∗4
β2
+ 4α∗3
β
+2α∗2
β∗3
α2
+ α∗2
β4
+ 4α∗
β3
+2β2
β∗2
α3
+2Re α∗2
β2
β∗3
α3
× exp −|α − β|2
−1
− 1. (3.11)
Để đơn giản, ta đặt α = ra exp(iϕa), β = rb exp(iϕb), đồng thời thay vào
(3.11) và khảo sát tham số R(2, 2) với điều kiện khảo sát là ra = r2
b ,
ϕa = 2ϕb và ϕb =
π
2
.
Đồ thị 3.3: Khảo sát sự phụ thuộc của Rab(2, 2) vào biên độ rb của trạng thái thêm hai
và bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ (đường màu xanh) và trạng thái hai mode
kết hợp thêm photon lẻ (đường màu đỏ).
b) Trường hợp l = 3, p = 2
Thay l = 3, p = 2 vào biểu thức R(l, p), ta thu được
R (3, 2) = |α|12
+ 20|α|10
+ 122|α|8
+ 256|α|6
+ 144 |α|4
|β|2
+ |α|8
|β|4
+ 2Re |α|8
+ 8|α|6
+ 12|α|4
|β|2
α∗2
β∗
+ |β|12
+ 20|β|10
+ 122|β|8
+ 256|β|6
+ 144 |β|4
|α|2
+ |β|8
|α|4
+ 2Re |β|8
+ 8|β|6
+12|β|4
|α|2
α∗
β∗2
− 2Re α∗6
β6
+ 20α∗5
β5
+ 122α∗4
β4
+ 256α∗3
β3
+ 144α∗2
β2
β∗
α + 2Re α∗6
β4
+ 8α∗5
β3
+12α∗4
β2
× β∗2
α + 2Re α∗4
β6
+ 8α∗3
β5
+12α∗2
β4
β∗
α2
49

+ 2Re α∗3
β3
β∗2
α2
× exp −|α − β|2
+ |α|6
+ 8|α|4
+ 14|α|2
+ 4 |β|8
+ |α|2
|β|10
+ 2Re |α|2
+ 2 |β|8
α∗2
β∗
+ |β|6
+ 8|β|4
+ 14|β|2
+ 4 |α|8
+ |β|2
|α|10
+ 2Re |β|2
+2) |α|8
α∗
β∗2
− 2Re α∗3
β3
+ 8α∗2
β2
+ 14α∗
β
+4) β∗4
α4
+ 2Re α∗3
β + 2α∗2
β∗5
α4
+ 2Re α∗
β3
+2β2
β∗4
α5
+ 2Re α∗
ββ∗5
α5
× exp −|α − β|2
× |α|10
+ 16|α|8
+ 74|α|6
+ 108|α|4
+ 36 |α|2
|β|4
+ |α|6
|β|6
+ 2Re |α|6
+ 6|α|4
+ 6|α|2
|β|4
α∗2
β∗
+ |β|10
+ 16|β|8
+ 74|β|6
+ 108|β|4
+ 36 |β|2
|α|4
+ |β|6
|α|6
+ 2Re |β|6
+ 6|β|4
+6|β|2
|α|4
α∗
β∗2
− 2Re α∗5
β5
+ 16α∗4
β4
+ 74α∗3
β3
+ 108α∗2
β2
+ 36α∗
β) β∗2
α2
+ 2Re α∗5
β3
+ 6α∗4
β2
+6α∗3
β
× β∗3
α2
+ 2Re α∗3
β5
+ 6α∗2
β4
+6α∗
β3
β∗2
α3
+ 2Re α∗3
β3
β∗3
α3
× exp −|α − β|2
+ |α|8
+ 12|α|6
+ 38|α|4
+ 32|α|2
+ 4 |β|6
+ |α|4
|β|8
+ 2Re |α|4
+ 4|α|2
+2) |β|6
α∗2
β∗
+ |β|8
+ 12|β|6
+ 38|β|4
+ 32|β|2
+4] |α|6
+ |β|4
|α|8
+ 2Re |β|4
+ 4|β|2
+ 2 |α|6
α∗
β∗2
− 2Re α∗4
β4
+ 12α∗3
β3
+ 38α∗2
β2
+ 32α∗
β + 4)
× β∗3
α3
+ 2Re α∗4
β2
+ 4α∗3
β +2α∗2
β∗4
α3
+ 2Re α∗2
β4
+ 4α∗
β3
+2β2
β∗3
α4
+2Re α∗2
β2
β∗4
α4
× exp −|α − β|2
−1
− 1. (3.12)
b ,
50

π
2
.
c) Trường hợp l = p = 3
R (3, 3) = |α|12
+ 20|α|10
+ 122|α|8
+ 256|α|6
+ 144 |α|4
|β|4
51

+ |α|8
|β|6
+ 2Re |α|8
+ 8|α|6
+ 12|α|4
|β|4
α∗2
β∗
+ |β|12
+ 20|β|10
+ 122|β|8
+ 256|β|6
+ 144 |β|4
|α|4
+ |α|6
|β|8
+ 2Re |β|8
+ 8|β|6
+12|β|4
|α|4
α∗
β∗2
− 2Re α∗6
β6
+ 20α∗5
β5
+ 122α∗4
β4
+ 256α∗3
β3
+ 144α∗2
β2
β∗2
α2
+ 2Re α∗6
β4
+ 8α∗5
β3
+12α∗4
β2
β∗3
α2
+ 2Re α∗4
β6
+ 8α∗3
β5
+12α∗2
β4
β∗2
α3
+ 2Re α∗4
β4
β∗3
α3
× exp −|α − β|2
+ |α|8
+ 12|α|6
+ 38|α|4
+ 32|α|2
+ 4 |β|8
+ |α|4
|β|10
+ 2Re |α|4
+4|α|2
+ 2 |β|8
α∗2
β∗
+ |β|8
+ 12|β|6
+ 38|β|4
+ 32|β|2
+ 4 |α|8
+ |α|10
|β|4
+ 2Re |β|4
+ 4|β|2
+2) |α|8
α∗
β∗2
− 2Re α∗4
β4
+ 12α∗3
β3
+ 38α∗2
β2
+ 32α∗
β + 4) β∗4
α4
+ 2Re α∗4
β2
+ 4α∗3
β +2α∗2
× β∗5
α4
+ 2Re α∗2
β4
+ 4α∗
β3
+2β2
β∗4
α5
+ 2Re α∗2
β2
β∗5
α5
× exp −|α − β|2
×
1
2
|α|10
+ 16|α|8
+ 74|α|6
+ 108|α|4
+ 36 |α|2
|β|6
+ |α|6
|β|8
+ 2Re |α|6
+ 6|α|4
+ 6|α|2
|β|6
α∗2
β∗
+ |β|10
+ 16|β|8
+ 74|β|6
+ 108|β|4
+ 36 |β|2
|α|6
+ |α|8
|β|6
+ 2Re |β|6
+ 6|β|4
+6|β|2
|α|6
α∗
β∗2
− 2Re α∗5
β5
+ 16α∗4
β4
+ 74α∗3
β3
+ 108α∗2
β2
+ 36α∗
β) β∗3
α3
+ 2Re α∗5
β3
+ 6α∗4
β2
+6α∗3
β
× β∗4
α3
+ 2Re α∗3
β5
+ 6α∗2
β4
+6α∗
β3
β∗3
α4
+ 2Re α∗3
β3
β∗4
α4
× exp −|α − β|2
−1
− 1. (3.13)
52

b ,
π
2
.
d) Trường hợp l = 4, p = 2
R (4, 2) = |α|14
+ 24|α|12
+ 182|α|10
+ 500|α|8
+ 400 |α|6
|β|2
+ |α|10
|β|4
+ 2Re |α|10
+ 10|α|8
+ 20|α|6
|β|2
α∗2
β∗
+ |β|14
+ 24|β|12
+ 182|β|10
+ 500|β|8
+ 400 |β|6
|α|2
+ |α|4
|β|10
+ 2Re |β|10
+ 10|β|8
+20|β|6
|α|2
α∗
β∗2
− 2Re α∗7
β7
+ 24α∗6
β6
+ 182α∗5
β5
+ 500α∗4
β4
+ 400α∗3
β3
β∗
α + 2Re α∗7
β5
+ 10α∗6
β4
+20α∗5
β3
× β∗2
α + 2Re α∗5
β7
+ 10α∗4
β6
+20α∗3
β5
β∗
α2
+ 2Re α∗5
β5
β∗2
α2
× exp −|α − β|2
+ |α|6
+ 8|α|4
+ 14|α|2
+ 4 |β|10
+ |α|2
|β|12
+ 2Re |α|2
+ 2 |β|10
α∗2
β∗
+ |β|6
+ 8|β|4
+ 14|β|2
+ 4 |α|10
+ |α|12
|β|2
+ 2Re |β|2
+ 2 |α|10
α∗
β∗2
− 2Re α∗3
β3
+ 8α∗2
β2
+ 14α∗
β + 4) β∗5
α5
+ 2Re α∗3
β + 2α∗2
β∗6
α5
+ 2Re α∗
β3
+ 2β2
β∗5
α6
+ 2Re α∗
ββ∗6
α6
× exp −|α − β|2
|α|12
+ 20|α|10
+ 122|α|8
+ 256|α|6
+ 144 |α|4
|β|4
+ |α|8
|β|6
+ 2Re |α|8
+ 8|α|6
+ 12|α|4
× |β|4
α∗2
β∗
+ |β|12
+ 20|β|10
+ 122|β|8
+ 256|β|6
+ 144 |β|4
|α|4
+ |α|6
|β|8
+ 2Re |β|8
+ 8|β|6
+12|β|4
× |α|4
α∗
β∗2
− 2Re α∗6
β6
+ 20α∗5
β5
+ 122α∗4
β4
+ 256α∗3
β3
+ 144α∗2
β2
β∗2
α2
+ 2Re α∗6
β4
+ 8α∗5
β3
+12α∗4
β2
β∗3
α2
+ 2Re α∗4
β6
+ 8α∗3
β5
+12α∗2
β4
53

× β∗2
α3
+ 2Re α∗4
β4
β∗3
α3
× exp −|α − β|2
+ |α|8
+ 12|α|6
+ 38|α|4
+ 32|α|2
+ 4 |β|8
+ |α|4
|β|10
+ 2Re |α|4
+ 4|α|2
+2) |β|8
α∗2
β∗
+ |β|8
+ 12|β|6
+ 38|β|4
+ 32|β|2
+ 4 |α|8
+ |α|10
|β|4
+ 2Re |β|4
+4|β|2
+ 2 |α|8
α∗
β∗2
− 2Re α∗4
β4
+ 12α∗3
β3
+ 38α∗2
β2
+ 32α∗
β + 4) β∗4
α4
+ 2Re α∗4
β2
+ 4α∗3
β +2α∗2
β∗5
α4
+ 2Re α∗2
β4
+ 4α∗
β3
+2β2
β∗4
α5
+2Re α∗2
β2
β∗5
α5
× exp −|α − β|2
−1
− 1.
(3.14)
b ,
π
2
.
e) Trường hợp l = 4, p = 3
R (4, 3) = |α|14
+ 24|α|12
+ 182|α|10
+ 500|α|8
+ 400 |α|6
|β|4
54

+ |α|10
|β|6
+ 2Re |α|10
+ 10|α|8
+ 20|α|6
|β|4
α∗2
β∗
+ |β|14
+ 24|β|12
+ 182|β|10
+ 500|β|8
+ 400 |β|6
|α|4
+ |α|6
|β|10
+ 2Re |β|10
+ 10|β|8
+20|β|6
|α|4
α∗
β∗2
− 2Re α∗7
β7
+ 24α∗6
β6
+ 182α∗5
β5
+ 500α∗4
β4
+ 400α∗3
β3
β∗2
α2
+ 2Re α∗7
β5
+ 10α∗6
β4
+20α∗5
β3
× β∗3
α2
+ 2Re α∗5
β7
+ 10α∗4
β6
+20α∗3
β5
β∗2
α3
+ 2Re α∗5
β5
β∗3
α3
× exp −|α − β|2
+ |α|8
+ 12|α|6
+ 38|α|4
+ 32|α|2
+ 4 |β|10
+ |α|4
|β|12
+ 2Re |α|4
+4|α|2
+ 2 |β|10
α∗2
β∗
+ |β|8
+ 12|β|6
+ 38|β|4
+32|β|2
+ 4 |α|10
+ |α|12
|β|4
+ 2Re |β|4
+4|β|2
+ 2
× |α|10
α∗
β∗2
− 2Re α∗4
β4
+ 12α∗3
β3
+ 38α∗2
β2
+ 32α∗
β + 4) β∗5
α5
+ 2Re α∗4
β2
+ 4α∗3
β +2α∗2
β∗6
α5
+ 2Re α∗2
β4
+ 4α∗
β3
+2β2
β∗5
α6
+ 2Re α∗2
β2
β∗6
α6
× exp −|α − β|2
× |α|12
+ 20|α|10
+ 122|α|8
+ 256|α|6
+ 144 |α|4
|β|6
+ |α|8
|β|8
+ 2Re |α|8
+ 8|α|6
+ 12|α|4
|β|6
α∗2
β∗
+ |β|12
+ 20|β|10
+ 122|β|8
+ 256|β|6
+ 144 |β|4
|α|6
+ |α|8
|β|8
+ 2Re |β|8
+ 8|β|6
+12|β|4
|α|6
α∗
β∗2
− 2Re α∗6
β6
+ 20α∗5
β5
+ 122α∗4
β4
+ 256α∗3
β3
+ 144α∗2
β2
β∗3
α3
+ 2Re α∗6
β4
+ 8α∗5
β3
+12α∗4
β2
× β∗4
α3
+ 2Re α∗4
β6
+ 8α∗3
β5
+12α∗2
β4
β∗3
α4
+ 2Re α∗4
β4
β∗4
α4
× exp −|α − β|2
+ |α|10
+ 16|α|8
+ 74|α|6
+ 108|α|4
+ 36 |α|2
|β|8
+ |α|6
|β|10
+ 2Re |α|6
55

+ 6|α|4
+6|α|2
|β|8
α∗2
β∗
+ |β|10
+ 16|β|8
+ 74|β|6
+ 108|β|4
+ 36 |β|2
|α|8
+ |β|6
|α|10
+ 2Re |β|6
+ 6|β|4
+6|β|2
|α|8
α∗
β∗2
− 2Re α∗5
β5
+ 16α∗4
β4
+ 74α∗3
β3
+ 108α∗2
β2
+ 36α∗
β) β∗4
α4
+ 2Re α∗5
β3
+ 6α∗4
β2
+6α∗3
β β∗5
α4
+ 2Re α∗3
β5
+ 6α∗2
β4
+6α∗
β3
β∗4
α5
+2Re α∗3
β3
β∗5
α5
× exp −|α − β|2
−1
− 1. (3.15)
b ,
π
2
.
f) Trường hợp l = p = 4
R (4, 4) = |α|14
+ 24|α|12
+ 182|α|10
+ 500|α|8
+ 400 |α|6
|β|6
+ |α|10
|β|8
+ 2Re |α|10
+ 10|α|8
+ 20|α|6
|β|6
α∗2
β∗
+ |β|14
+ 24|β|12
+ 182|β|10
+ 500|β|8
+ 400 |β|6
|α|6
56

+ |α|8
|β|10
+ 2Re |β|10
+ 10|β|8
+20|β|6
|α|6
α∗
β∗2
− 2Re α∗7
β7
+ 24α∗6
β6
+ 182α∗5
β5
+ 500α∗4
β4
+ 400α∗3
β3
β∗3
α3
+ 2Re α∗7
β5
+ 10α∗6
β4
+20α∗5
β3
× β∗4
α3
+ 2Re α∗5
β7
+ 10α∗4
β6
+20α∗3
β5
β∗3
α4
+ 2Re α∗5
β5
β∗4
α4
× exp −|α − β|2
+ |α|10
+ 16|α|8
+ 74|α|6
+ 108|α|4
+ 36 |α|2
|β|10
+ |α|6
|β|12
+ 2Re |α|6
+6|α|4
+ 6|α|2
|β|10
α∗2
β∗
+ |β|10
+ 16|β|8
+ 74|β|6
+ 108|β|4
+ 36 |β|2
|α|10
+ |α|12
|β|6
+ 2Re |β|6
+ 6|β|4
+6|β|2
|α|10
α∗
β∗2
− 2Re α∗5
β5
+ 16α∗4
β4
+ 74α∗3
β3
+ 108α∗2
β2
+ 36α∗
β) β∗5
α5
+ 2Re α∗5
β3
+ 6α∗4
β2
+6α∗3
β β∗6
α5
+ 2Re α∗3
β5
+ 6α∗2
β4
+6α∗
β3
β∗5
α6
+ 2Re α∗3
β3
β∗6
α6
× exp −|α − β|2
×
1
2
|α|12
+ 20|α|10
+ 122|α|8
+ 256|α|6
+ 144 |α|4
|β|8
+ |α|8
|β|10
+ 2Re |α|8
+ 8|α|6
+ 12|α|4
|β|8
α∗2
β∗
+ |β|12
+ 20|β|10
+ 122|β|8
+ 256|β|6
+ 144 |β|4
|α|8
+ |α|10
|β|8
+ 2Re |β|8
+ 8|β|6
+12|β|4
|α|8
α∗
β∗2
− 2Re α∗6
β6
+ 20α∗5
β5
+ 122α∗4
β4
+ 256α∗3
β3
+ 144α∗2
β2
β∗4
α4
+ 2Re α∗6
β4
+ 8α∗5
β3
+12α∗4
β2
× β∗5
α4
+ 2Re α∗4
β6
+ 8α∗3
β5
+12α∗2
β4
β∗4
α5
+ 2Re α∗4
β4
β∗5
α5
× exp −|α − β|2
−1
− 1. (3.16)
b ,
π
2
.
57

g) Trường hợp l = 5, p = 2
R (5, 2) = |α|16
+ 28|α|14
+ 254|α|12
+ 864|α|10
+ 900 |α|8
|β|2
+ |α|12
|β|4
+ 2Re |α|12
+ 12|α|10
+ 30|α|8
|β|2
α∗2
β∗
+ |β|16
+ 28|β|14
+ 254|β|12
+ 864|β|10
+ 900 |β|8
|α|2
58

+ |β|12
|α|4
+ 2Re |β|12
+ 12|β|10
+30|β|8
|α|2
α∗
β∗2
− 2Re α∗8
β8
+ 28α∗7
β7
+ 254α∗6
β6
+ 864α∗5
β5
+ 900α∗4
β4
β∗
α + 2Re α∗8
β6
+ 12α∗7
β5
+30α∗6
β4
× β∗2
α + 2Re α∗6
β8
+ 12α∗5
β7
+30α∗4
β6
β∗
α2
+ 2Re α∗6
β6
β∗2
α2
× exp −|α − β|2
+ |α|6
+ 8|α|4
+ 14|α|2
+ 4 |β|12
+ |α|2
|β|14
+ 2Re |α|2
+ 2 |β|12
α∗2
β∗
+ |β|6
+ 8|β|4
+ 14|β|2
+ 4 |α|12
+ |α|14
|β|2
+ 2Re |β|2
+2) |α|12
α∗
β∗2
− 2Re α∗3
β3
+ 8α∗2
β2
+ 14α∗
β + 4)
× β∗6
α6
+ 2Re α∗3
β + 2α∗2
β∗7
α6
+ 2Re α∗
β3
+2β2
β∗6
α7
+ 2Re α∗
ββ∗7
α7
× exp −|α − β|2
× |α|14
+ 24|α|12
+ 182|α|10
+ 500|α|8
+ 400 |α|6
|β|4
+ |α|10
|β|6
+ 2Re |α|10
+ 10|α|8
+ 20|α|6
|β|4
α∗2
β∗
+ |β|14
+ 24|β|12
+ 182|β|10
+ 500|β|8
+ 400 |β|6
|α|4
+ |α|6
|β|10
+ 2Re |β|10
+ 10|β|8
+20|β|6
|α|4
α∗
β∗2
− 2Re α∗7
β7
+ 24α∗6
β6
+ 182α∗5
β5
+ 500α∗4
β4
+ 400α∗3
β3
β∗2
α2
+ 2Re α∗7
β5
+ 10α∗6
β4
+20α∗5
β3
× β∗3
α2
+ 2Re α∗5
β7
+ 10α∗4
β6
+20α∗3
β5
β∗2
α3
+ 2Re α∗5
β5
β∗3
α3
× exp −|α − β|2
+ |α|8
+ 12|α|6
+ 38|α|4
+ 32|α|2
+ 4 |β|10
+ |α|4
|β|12
+ 2Re |α|4
+4|α|2
+ 2 |β|10
α∗2
β∗
+ |β|8
+ 12|β|6
+ 38|β|4
+ 32|β|2
+ 4 |α|10
+ |α|12
|β|4
+ 2Re |β|4
+ 4|β|2
+ 2
× |α|10
α∗
β∗2
− 2Re α∗4
β4
+ 12α∗3
β3
+ 38α∗2
β2
+ 32α∗
β + 4) β∗5
α5
+ 2Re α∗4
β2
+ 4α∗3
β +2α∗2
59

× β∗6
α5
+ 2Re α∗2
β4
+ 4α∗
β3
+2β2
β∗5
α6
+2Re α∗2
β2
β∗6
α6
× exp −|α − β|2
−1
− 1. (3.17)
b ,
π
2
.
h) Trường hợp l = 5, p = 4
R (5, 4) = |α|16
+ 28|α|14
+ 254|α|12
+ 864|α|10
+ 900 |α|8
|β|6
+ |α|12
|β|8
+ 2Re |α|12
+ 12|α|10
+ 30|α|8
|β|6
α∗2
β∗
+ |β|16
+ 28|β|14
+ 254|β|12
+ 864|β|10
+ 900 |β|8
|α|6
+ |β|12
|α|8
+ 2Re |β|12
+ 12|β|10
+30|β|8
|α|6
α∗
β∗2
− 2Re α∗8
β8
+ 28α∗7
β7
+ 254α∗6
β6
+ 864α∗5
β5
+ 900α∗4
β4
β∗3
α3
+ α∗8
β6
+ 12α∗7
β5
+30α∗6
β4
β∗4
α3
+ α∗6
β8
+ 12α∗5
β7
+30α∗4
β6
β∗3
α4
+ α∗6
β6
β∗4
α4
× exp −|α − β|2
+ |α|10
+ 16|α|8
+ 74|α|6
+ 108|α|4
+ 36 |α|2
|β|12
+ |α|6
|β|14
+ 2Re |α|6
+ 6|α|4
+ 6|α|2
×|β|12
α∗2
β∗
+ |β|10
+ 16|β|8
+ 74|β|6
+ 108|β|4
+ 36 |β|2
|α|12
+ |β|6
|α|14
+ 2Re |β|6
+ 6|β|4
+6|β|2
× |α|12
α∗
β∗2
− 2Re α∗5
β5
+ 16α∗4
β4
+ 74α∗3
β3
+ 108α∗2
β2
+ 36α∗
β) β∗6
α6
+ α∗5
β3
+ 6α∗4
β2
+6α∗3
β
× β∗7
α6
+ α∗3
β5
+ 6α∗2
β4
+6α∗
β3
β∗6
α7
+ α∗3
β3
β∗7
α7
× exp −|α − β|2
|α|14
+ 24|α|12
+ 182|α|10
+ 500|α|8
+ 400 |α|6
|β|8
+ |α|10
|β|10
+ 2Re |α|10
+ 10|α|8
+ 20|α|6
60

× |β|8
α∗2
β∗
+ |β|14
+ 24|β|12
+ 182|β|10
+ 500|β|8
+ 400 |β|6
|α|8
+ |β|10
|α|10
+ 2Re |β|10
+ 10|β|8
+20|β|6
× |α|8
α∗
β∗2
− 2Re α∗7
β7
+ 24α∗6
β6
+ 182α∗5
β5
+ 500α∗4
β4
+ 400α∗3
β3
β∗4
α4
+ α∗7
β5
+ 10α∗6
β4
+20α∗5
β3
β∗5
α4
+ α∗5
β7
+ 10α∗4
β6
+20α∗3
β5
β∗4
α5
+ |β|10
|α|10
× exp −|α − β|2
+ |α|12
+ 20|α|10
+ 122|α|8
+ 256|α|6
+ 144 |α|4
|β|10
+ |α|8
|β|12
+ 2Re |α|8
+ 8|α|6
+12|α|4
|β|10
α∗2
β∗
+ |β|12
+ 20|β|10
+ 122|β|8
+ 256|β|6
+ 144 |β|4
|α|10
+ |β|8
|α|12
+ 2Re |β|8
+ 8|β|6
+12|β|4
|α|10
α∗
β∗2
− 2Re α∗6
β6
+ 20α∗5
β5
+ 122α∗4
β4
+ 256α∗3
β3
+ 144α∗2
β2
β∗5
α5
+ α∗6
β4
+ 8α∗5
β3
+12α∗4
β2
β∗6
α5
+ α∗4
β6
+ 8α∗3
β5
+12α∗2
β4
β∗5
α6
+α∗4
β4
β∗6
α6
× exp −|α − β|2
−1
− 1.
(3.18)
Đặt α = ra exp(iϕa), β = rb exp(iϕb) đồng thời khảo sát tham số R(5, 4)
với điều kiện khảo sát là ra = r2
b , ϕa = 2ϕb và ϕb =
π
2
.
Các đồ thị 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.9 và 3.10 khảo sát tính chất phản
kết chùm của trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết
hợp lẻ (đường màu xanh) và trạng thái hai mode kết hợp thêm photon
lẻ (đường màu đỏ). Từ các đồ thị trên, ta thấy rằng trong cùng một
điều kiện khảo sát thì cả hai trạng thái đều thể hiện tính chất phản kết
chùm. Tuy nhiên, trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode
kết hợp lẻ là yếu hơn.
Đồ thị 3.11 khảo sát tính chất phản kết chùm trong cùng một điều
kiện với trường hợp l = p. Kết quả cho thấy Rab(2, 2) < Rab(3, 3) <
61

Đồ thị 3.10: Khảo sát sự phụ thuộc của Rab(5, 4) vào biên độ rb của trạng thái thêm
hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ (đường màu xanh) và trạng thái hai
mode kết hợp thêm photon lẻ (đường màu đỏ).
Đồ thị 3.11: Khảo sát sự phụ thuộc của Rab(2, 2), Rab(3, 3) và Rab(4, 4) vào biên độ rb
với ra = r2
π
2
. Các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng với
màu đỏ, màu xanh lá cây và màu xanh da trời.
Rab(4, 4). Như vậy trong trường hợp l = p, trạng thái thêm hai và bớt
một photon lên hai mode kết hợp lẻ thể hiện tính chất phản kết chùm
càng yếu khi l, p càng lớn.
Đồ thị 3.12 khảo sát tính phản kết chùm trong trong cùng một điều kiện
với trường hợp l = p và hiệu số l − p là không đổi. Kết quả cho thấy
Rab(3, 2) < Rab(4, 3) < Rab(5, 4). Như vậy trong trường hợp l − p không
62

với ra = r2
π
2
đổi, trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ thể
hiện tính chất phản kết chùm càng yếu khi l, p càng lớn.
với ra = r2
π
2
Đồ thị 3.13 khảo sát tính phản kết chùm trong trong cùng một điều kiện
với trường hợp l = p và hiệu số l − p là tăng dần. Kết quả cho thấy
Rab(3, 2) < Rab(4, 2) < Rab(5, 2). Như vậy trong trường hợp l − p tăng
dần, trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ thể
63

hiện tính chất phản kết chùm càng yếu khi l − p càng lớn.
Tóm lại, trong chương này, các tính chất phi cổ điển của trạng thái
thêm hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ đã được khảo sát,
cụ thể là sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz và tính chất phản
kết chùm. Qua quá trình khảo sát, tính toán và vẽ đồ thị, chúng tôi có
nhận xét chung là trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai mode
kết hợp lẻ có vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz và thể hiện tính
chất phản kết chùm trong khoảng rb rất nhỏ, nếu rb càng lớn thì các
tham số dần tiến về 0 và các tính chất phi cổ điển dần biến mất.
Bên cạnh đó, chúng tôi cũng đã so sánh với trạng thái hai mode kết
hợp thêm photon lẻ. Kết quả cho thấy trạng thái thêm hai và bớt một
photon lên hai mode kết hợp lẻ thể hiện tính phi cổ điển yếu hơn so với
trạng thái hai mode kết hợp thêm photon lẻ. Như vậy, trạng thái thêm
hai và bớt một photon lên hai mode kết hợp lẻ có tính chất phi cổ điển
tương đối yếu.
64

Chương 4
TÍNH ĐAN RỐI CỦA TRẠNG THÁI THÊM HAI
VÀ BỚT MỘT PHOTON LÊN HAI MODE
KẾT HỢP LẺ
Trong chương này, chúng tôi sẽ sử dụng một số tiêu chuẩn
đan rối tổng quát của hệ hai mode như tiêu chuẩn đan rối
Hillery – Zubairy và tiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha – Jeawan
Kim để kiểm tra tính đan rối của trạng thái thêm hai và bớt
một photon lên hai mode kết hợp lẻ.
4.1. Tính đan rối Hillery - Zubairy
Từ bất đẳng thức (1.80) trong chương 1, ta có
â† m
âm ˆb†
n
ˆbn
− âm ˆb†
n 2
< 0. (4.1)
Xét với m = n = 2, ta có
RH = â†2
â2ˆb†2ˆb2
− â2ˆb†2
2
< 0. (4.2)
Nếu một trạng thái hai mode thỏa mãn điều kiện (4.2) thì ta kết luận
trạng thái đó bị đan rối. Trong trạng thái thêm hai và bớt một photon
lên hai mode kết hợp lẻ, tham số RH có dạng
RH =|Nαβ|2
|α|8
+ 12|α|6
+ 38|α|4
+32|α|2
+ 4 |β|4
+ |α|4
|β|6
+ 2 |α|4
+ 4|α|2
+ 2 |β|4
Re α∗2
β∗
+ |β|8
+ 12|β|6
+ 38|β|4
+32|β|2
+ 4 |α|4
+ |β|4
|α|6
+ 2 |β|4
+ 4|β|2
+2) |α|4
Re α∗
β∗2
− 2Re α∗4
β4
+ 12α∗3
β3
+ 38α∗2
β2
+ 32α∗
β + 4) β∗2
α2
+ α∗4
β2
+ 4α∗3
β +2α∗2
β∗3
α2
65

+ α∗2
β4
+ 4α∗
β3
+2β2
β∗2
α3
+α∗2
β2
β∗3
α3
× exp −|α − β|2
− |Nαβ|4
|α|4
+8|α|2
+ 12 α∗2
β2
+ α∗4
β∗
β2
+ |α|4
+ 4|α|2
+ 2 β3
+ α∗2
β∗
β3
+ |β|4
+ 8|β|2
+12) α2
β∗2
+ β∗4
α∗
α2
+ |β|4
+ 4|β|2
+ 2 α3
+ β∗2
α∗
α3
− α∗4
β2
+8α∗3
β + 12α∗2
α2
+ α∗4
β∗
α2
+ α∗2
β2
+ 4α∗
β
+2) α3
+ α∗2
β∗
α3
+ β∗4
α2
+ 8β∗3
α + 12β∗2
β2
+ β∗4
α∗
β2
+ α2
β∗2
+ 4αβ∗
+ 2 β3
+β∗2
α∗
β3
× exp −|α − β|2
× |α|4
+ 8|α|2
+ 12 α2
β∗2
+ α4
β∗2
β + |α|4
+ 4|α|2
+ 2 β∗3
+ α2
β∗3
β + |β|4
+8|β|2
+ 12 α∗2
β2
+ β4
α∗2
α + |β|4
+4|β|2
+ 2 α∗3
+ β2
α∗3
α − β∗2
α4
+ 8β∗
α3
+ 12α2
α∗2
+ α4
α∗2
β + β∗2
α2
+ 4β∗
α + 2 α∗3
+ α2
α∗3
β + α∗2
β4
+ 8α∗
β3
+12β2
β∗2
+ β4
β∗2
α + α∗2
β2
+ 4α∗
β + 2 β∗3
+β2
β∗3
α × exp −|α − β|2
. (4.3)
Đặt α = ra exp (iϕa) , β = rb exp (iϕb) , ϕ = ϕa − ϕb và khảo sát (4.3)
theo biên độ rb và pha dao động ϕb.
Đồ thị 4.1: Khảo sát sự phụ thuộc của tham số đan rối RH vào biên độ rb.
Đồ thị 4.1 khảo sát điều kiện đan rối của trạng thái thêm hai và bớt
66

một photon lên hai mode kết hợp lẻ theo biên độ rb với điều kiện
0 ≤ rb ≤ 0.5, ϕa = 2ϕb và ϕb =
π
2
trong các trường hợp ra = rb
(đường màu đỏ), ra = 1.5rb (đường màu xanh lá cây), ra = 2rb (đường
màu xanh dương). Kết quả cho thấy trạng thái thêm hai và bớt một
photon lên hai mode kết hợp lẻ hoàn toàn bị rối theo điều kiện đan rối
Hillery - Zubairy khi ta chọn các điều kiện thích hợp, và khi rb càng tăng
thì RH càng âm, nghĩa là tính đan rối thể hiện càng mạnh.
4.2. Tính đan rối Hyunchul Nha - Jeawan Kim
Từ bất đẳng thức (1.94) trong chương 1, ta có
1 − â†2ˆb2
+ â2ˆb†2
− â†
âˆbˆb†
2
× 1 + â†2ˆb2
+ â2ˆb†2
+ â†
âˆbˆb†
2
− 1 + â†
â + ˆb†ˆb
2
− 16
1
2i
â†
+
1
4i
2
< 0. (4.4)
RN = 1 − â†2ˆb2
+ â2ˆb†2
− â†
âˆbˆb†
2
× 1 + â†2ˆb2
+ â2ˆb†2
+ â†
âˆbˆb†
2
− 1 + â†
â + ˆb†ˆb
2
− 16
1
2i
â†
+
1
4i
2
. (4.5)
Một trạng thái là đan rối nếu tham số RN < 0 và mức đan rối càng tăng
khi RN càng âm. Trong trạng thái thêm hai và bớt một photon lên hai
67

mode kết hợp lẻ, các số hạng trong tham số RN có biểu thức cụ thể như
sau
â†2ˆb2
=|Nαβ|2
|α|4
+ 8|α|2
+ 12 α∗2
β2
+ α∗4
β∗
β2
+ |α|4
+4|α|2
+ 2 β3
+ α∗2
β∗
β3
+ |β|4
+ 8|β|2
+ 12 α2
β∗2
+ β∗4
α∗
α2
+ |β|4
+ 4|β|2
+ 2 α3
+ β∗2
α∗
α3
− α∗4
β2
+8α∗3
β + 12α∗2
α2
+ α∗4
β∗
α2
+ α∗2
β2
+ 4α∗
β + 2 α3
+ α∗2
β∗
α3
+ β∗4
α2
+ 8β∗3
α + 12β∗2
β2
+ β∗4
α∗
β2
+ α2
β∗2
+ 4αβ∗
+ 2 β3
+β∗2
α∗
β3
× exp −|α − β|2
,
(4.6)
â2ˆb†2
= â†2ˆb2
∗
= |Nαβ|2
|α|4
+ 8|α|2
+ 12 α2
β∗2
+ α4
β∗2
β
+ |α|4
+ 4|α|2
+ 2 β∗3
+ α2
β∗3
β + |β|4
+ 8|β|2
+ 12
× α∗2
β2
+ β4
α∗2
α + |β|4
+ 4|β|2
+ 2 α∗3
+ β2
α∗3
α
− β∗2
α4
+ 8β∗
α3
+12α2
α∗2
+ α4
α∗2
β + β∗2
α2
+4β∗
α + 2) α∗3
+ α2
α∗3
β + α∗2
β4
+ 8α∗
β3
+12β2
β∗2
+ β4
β∗2
α + α∗2
β2
+4α∗
β + 2) β∗3
+β2
β∗3
α × exp −|α − β|2
, (4.7)
â†
âˆbˆb†
=|Nαβ|2
|α|6
+ 8|α|4
+ 14|α|2
+ 4 |β|2
+ 1
+ 2Re α∗3
α + 2α∗2
β∗
|β|2
+ 1 + |α|2
|β|4
+ |β|2
+ |β|2
|α|4
+ |α|2
+ |β|6
+ 8|β|4
+ 14|β|2
+ 4
× |α|2
+ 1 + 2Re β∗3
β + 2β∗2
α∗
|α|2
+ 1
− 2Re α∗3
β3
+ 8α∗2
β2
+ 14α∗
β + 4 (β∗
α + 1)
+ α∗3
β + 2α∗2
β∗
(β∗
α + 1) + α∗
β3
+ 2β2
68

× (β∗
α + 1) α + β∗
α α∗2
β2
+ α∗
β × exp −|α − β|2
,
(4.8)
ââ†ˆb†ˆb =|Nαβ|2
|α|6
+ 9|α|4
+ 18|α|2
+ 6 |β|2
+ 2Re α∗3
α
+3α∗2
β∗2
β + |α|2
+ 1 |β|4
+ |β|6
+ 9|β|4
+18|β|2
+ 6 |α|2
+ 2Re β∗3
β + 3β∗2
α∗2
α
+ |β|2
+ 1 |α|4
− 2Re α∗3
β3
+ 9α∗2
β2
+ 18α∗
β
+6) β∗
α + α∗3
β + 3α∗2
β∗2
α + α∗
β3
+ 3β2
β∗
α2
+ (α∗
β + 1) β∗2
α2
× exp −|α − β|2
, (4.9)
âˆb†
=|Nαβ|2
|α|4
+ 6|α|2
+ 6 αβ∗
+ |α|2
+ 2 α∗
β∗2
+ α3
|β|2
+ αβ∗2
β + |β|4
+ 6|β|2
+ 6 α∗
β + |β|2
+ 2 α∗2
β∗
+ β3
|α|2
+ αα∗2
β − α∗2
β3
+ 6α∗
β2
+ 6β β∗
+ α∗2
β + 2α∗
β∗2
+ β3
β∗
α + ββ∗2
α
+ β∗2
α3
+ 6β∗
α2
+ 6α α∗
+ β∗2
α + 2β∗
α∗2
+α3
α∗
β + αα∗2
β × exp −|α − β|2
, (4.10)
â†ˆb = âˆb†
∗
= |Nαβ|2
|α|4
+ 6|α|2
+ 6 α∗
β + |α|2
+ 2 αβ2
+ α∗3
|β|2
+ α∗
β2
β∗
+ |β|4
+ 6|β|2
+ 6 αβ∗
+ |β|2
+ 2
× α2
β + β∗3
|α|2
+ α∗
α2
β∗
− α2
β∗3
+ 6αβ∗2
+ 6β∗
β
+ α2
β∗
+ 2α β2
+ β∗3
βα∗
+ β∗
β2
α∗
+ β2
α∗3
+ 6βα∗2
+6α∗
) α + β2
α∗
+ 2β α2
+ α∗3
αβ∗
+α∗
α2
β∗
× exp −|α − β|2
, (4.11)
â†
â =|Nαβ|2
|α|6
+ 8|α|4
+ 14|α|2
+ 4 + 2Re α∗3
α + 2α∗2
β∗
69

Luận văn: Tính chất phi cổ điển của trạng thái thêm hai bớt một photon

Luận văn: Tính chất phi cổ điển của trạng thái thêm hai bớt một photon

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (13)

Similar to Luận văn: Tính chất phi cổ điển của trạng thái thêm hai bớt một photon

Similar to Luận văn: Tính chất phi cổ điển của trạng thái thêm hai bớt một photon (20)

More from Dịch vụ viết thuê Luận Văn - ZALO 0932091562

More from Dịch vụ viết thuê Luận Văn - ZALO 0932091562 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Luận văn: Tính chất phi cổ điển của trạng thái thêm hai bớt một photon