Luận văn thạc sĩ Khảo Sát Các Tính Chất Phi Cổ Điển Của Trạng Thái Hai Mode Kết Hợp Thêm Hai Photon Tích Su

1. ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRẦN DIỆP TUẤN
KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN
CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP
THÊM HAI PHOTON TÍCH SU(1,1) CHẴN
Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số : 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC
Thừa Thiên Huế, năm 2017
i

2. LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi,
các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong Luận văn là trung thực, được
các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất
kỳ một công trình nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 9 năm 2017
Tác giả Luận văn
Trần Diệp Tuấn
ii

3. LỜI CẢM ƠN
Hoàn thành Luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS. Trương Minh Đức đã tận tình hướng
dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện
Luận văn.
Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo trong
khoa Vật Lý và phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm,
Đại học Huế; các bạn học viên Cao học khóa 24 cùng gia đình, bạn bè
đã động viên, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học
tập và thực hiện Luận văn.
Huế, tháng 9 năm 2017
Tác giả Luận văn
Trần Diệp Tuấn
iii

4. MỤC LỤC
Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Danh sách các hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1. Trạng thái kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2. Các tính chất của trạng thái kết hợp . . . . . . . 16
1.2. Trạng thái nén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3. Các tính chất phi cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1. Tính chất nén tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2. Tính chất nén hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.3. Tính chất nén Hillery bậc cao . . . . . . . . . . . 26
1.3.4. Tính chất phản kết chùm . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.5. Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . . . . 29
1.4. Một số tiêu chuẩn đan rối . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.1. Tiêu chuẩn đan rối Hillery – Zubairy . . . . . . . 29
1.4.2. Tiêu chuẩn entropy von Newmann . . . . . . . . 31
Chương 2. KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT NÉN CỦA
TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM
HAI PHOTON TÍCH SU(1,1) CHẴN . . . . . . . 33
1

5. 2.1. Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1)
chẵn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1. Trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) . . . . . . . 33
2.1.2. Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích
SU(1,1) chẵn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2. Khảo sát tính chất nén tổng của trạng thái hai mode kết
hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn . . . . . . . . . . 40
2.3. Khảo sát tính chất nén hiệu của trạng thái hai mode kết
hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn . . . . . . . . . . 45
2.4. Khảo sát tính chất nén Hillery bậc cao của trạng thái hai
mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn . . . . 48
Chương 3. KHẢO SÁT TÍNH CHẤT PHẢN KẾT CHÙM
VÀ SỰ VI PHẠM BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-
SCHWARZ CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT
HỢP THÊM HAI PHOTON TÍCH SU(1,1) CHẴN
55
3.1. Khảo sát tính phản kết chùm của trạng thái hai mode kết
hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn . . . . . . . . . . 55
3.1.1. Trường hợp tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.2. Trường hợp l = 1, p = 1 . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.3. Trường hợp l = 2, p = 1 . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.4. Trường hợp l = 2, p = 2 . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.5. Trường hợp l = 3, p = 1 . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.6. Trường hợp l = 3, p = 2 . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.7. Trường hợp l = 3, p = 3 . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.8. Trường hợp l = 4, p = 3 . . . . . . . . . . . . . . 64
2

6. 3.2. Khảo sát sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của
trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1)
chẵn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Chương 4. KHẢO SÁT TÍNH CHẤT ĐAN RỐI CỦA
TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM
HAI PHOTON TÍCH SU(1,1) CHẴN . . . . . . . 72
4.1. Nghiên cứu tính chất đan rối của trạng thái hai mode kết
hợp thêm hai photon tích SU(1,1) bằng tiêu chuẩn đan
rối Hillery – Zubairy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2. Nghiên cứu tính chất đan rối của trạng thái hai mode
kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) bằng tiêu chuẩn
entropy von Newmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1
3

7. DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ
2.1 Sự phụ thuộc của S vào r và q với q = 1, 2, 3 , cố định
2(ϕ + φ) = −1. (Đường biểu diễn các tham số được chọn
theo thứ tự tương ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh
lam.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Sự phụ thuộc của S vào r với q = 1 của trạng thái hai
mode SU(1,1) thêm một photon chẵn (đường màu xanh
lam) và trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích
SU(1,1) chẵn (đường màu đỏ). . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Sự phụ thuộc của H2 (φ) vào r với q = 1, 2, 3. (Đường
biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng
với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) . . . . . . . . . . 51
3.1 Sự phụ thuộc của R(1, 1) vào r với q = 0, 1, 2. (Đường
biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng
với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) . . . . . . . . . . 58
3.2 Sự phụ thuộc của R(2, 1) vào r với q = 0, 1, 2. (Đường
biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng
với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) . . . . . . . . . . 59
3.3 Sự phụ thuộc của R(2, 2) vào r với q = 0, 1, 2. (Đường
biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng
với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) . . . . . . . . . . 60
3.4 Sự phụ thuộc của R(3, 1) vào r với q = 0, 2, 3. (Đường
biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng
với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) . . . . . . . . . . 61
4

8. 3.5 Sự phụ thuộc của R(3, 2) vào r với q = 0, 1, 2. (Đường
biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng
với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) . . . . . . . . . . 62
3.6 Sự phụ thuộc của R(3, 3) vào r với q = 1, 2, 3. (Đường
biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng
với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) . . . . . . . . . . 63
3.7 Sự phụ thuộc của R(4, 3) vào r với q = 1, 2, 3. (Đường
biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng
với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) . . . . . . . . . . 64
3.8 Sự phụ thuộc của R(1, 1), R(2, 2), R(4, 4) vào r với q = 2.
(Đường biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương
ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) . . . . . . . 65
3.9 Sự phụ thuộc của R(1, 1), R(2, 1), R(3, 1) vào r với q = 2.
(Đường biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương
ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) . . . . . . . 66
3.10 Sự phụ thuộc của R(3, 2) vào r với q = 1 của trạng thái hai
mode SU(1,1) thêm một photon chẵn (đường màu xanh
lam) và trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích
SU(1,1) chẵn (đường màu đỏ) . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.11 Sự phụ thuộc của I vào r với q = 1, 2, 3. (Đường biểu diễn
các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng với màu
đen, màu đỏ, màu xanh lam.) . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.12 Sự phụ thuộc của I vào r với q = 2 của trạng thái hai
mode SU(1,1) thêm một photon chẵn (đường màu xanh
lam) và trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích
SU(1,1) chẵn (đường màu đỏ). . . . . . . . . . . . . . . . 70
5

9. 4.1 Sự phụ thuộc của RH vào r với các giá trị q khác nhau
(Đường biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương
ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) . . . . . . . . 75
4.2 Sự phụ thuộc của tham số E vào biên độ r với các giá
trị q khác nhau (Đường biểu diễn các tham số được chọn
theo thứ tự tương ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh
lam.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6

10. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, khoa học công nghệ phát triển rất mạnh mẽ, trong đó
thông tin liên lạc là một nhu cầu rất được qua tâm trong cuộc sống của
con người. Trong lĩnh vực xử lý thông tin và truyền thông, các trạng
thái phi cổ điển đang được tập trung nghiên cứu vì chúng có rất nhiều
lợi ích như tăng tốc độ truyền tin, tính bảo mật cao và giảm nhiễu. Bên
cạnh đó, các trạng thái này là cơ sở để nghiên cứu và áp dụng vào các
lĩnh vực như: lý thuyết chất rắn, quang lượng tử, thông tin lượng tử và
máy tính lượng tử. Điển hình mới nhất là công nghệ truyền tin quang
học, công nghệ laze với mục đích làm cho tốc độ truyền và xử lý dữ liệu
ngày càng nhanh chóng, chính xác và hiệu quả [15]. Thế nhưng, phải
làm thế nào để cho tín hiệu truyền đi có tính lọc lựa cao và giảm thiểu
được tối đa tính nhiễu. Vào những năm 60 của thế kỉ XX, vật lý học rộ
lên những nghiên cứu về các trạng thái mới mà xuất phát điểm là hệ
thức bất định Heisenberg. Nó cho rằng hạt vi mô không thể xác định
được đồng thời cả tọa độ và xung lượng. Trạng thái vật lý được nghiên
cứu đầu tiên là trạng thái kết hợp. Nó được bắt nguồn từ sự nghiên cứu
của Shrodinger vào năm 1926 [26] khi khảo sát dao động tử điều hòa,
ông cho rằng: “Các trạng thái kết hợp như là các bó sóng có tính chất
động lực học tương tự như một hạt cổ điển chuyển động trong thế năng
bậc hai”. Sau đó trạng thái kết hợp còn được Krard và Darwin đưa ra
năm 1927 trong các nghiên cứu của mình. Tuy nhiên trạng thái kết hợp
cho đến năm 1963 mới được Glauber [15] và Sudarshan [28] đưa ra chính
thức là: Trạng thái kết hợp là trạng thái ứng với giá trị thăng giáng
nhỏ nhất suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg. Và xuất phát từ những
7

11. nghiên cứu của Glauber và Sudarshan đã dẫn đến sự xuất hiện của giới
hạn quang lượng tử. Sau đó khái niệm trạng thái nén được đưa ra bởi
Stoler [29] vào năm 1970 và đã được Hollenhorst [19] đặt tên. Trạng thái
nén đã được thực nghiệm khẳng định vào năm 1987. Theo thời gian, các
khái niệm về trạng thái nén đã được các nhà vật lý lý thuyết phát triển
không ngừng và đạt những thành tựu nhất định. Tuy nhiên, trạng thái
SU(1,1) đã được Perelomov [27] tìm ra vào năm 1972. Khi q=0 trạng
thái này trở thành trạng thái nén chân không hai mode. Như vậy có
thể nói trạng thái hai mode SU(1,1) là sự mở rộng của trạng thái nén
chân không hai mode. Trong thực nghiệm, trạng thái hai mode SU(1,1)
đã được tạo ra bởi công nghệ trạng thái lượng tử. Các tính chất phi cổ
điển của trạng thái hai mode SU(1,1) đã được khảo sát trong nghiên
cứu của Lê Đình Nhân [3]. Các nghiên cứu đã cho thấy trạng thái hai
mode SU(1,1) thêm một photon chẵn có thể được ứng dụng trong thông
tin lượng tử và máy tính lượng tử. Tuy nhiên, các tính chất phi cổ điển
của trạng thái này chưa được xem xét một cách cụ thể. Với mong muốn
rằng các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai
photon tích SU(1,1) chẵn sẽ góp phần làm rõ ứng dụng của trạng thái
hai mode kết hợp thêm hai SU(1,1) photon chẵn trong công nghệ thông
tin lượng tử cũng như các ứng dụng sau này. Dựa trên cơ sở đó, tôi chọn
đề tài “Khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết
hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn” làm Luận văn Thạc sĩ
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu các tính chất nén tổng, nén hiệu,
tính phản kết chùm, sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và tính
chất đan rối của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích
8

12. SU(1,1) chẵn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trên cơ sở mục tiêu nghiên cứu của đề tài, tôi đặt ra một số nhiệm
vụ nghiên cứu như sau:
- Đưa ra trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn;
- Nghiên cứu các tính chất nén tổng, nén hiệu và nén Hillery bậc cao
của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn;
- Nghiên cứu tính chất phản kết chùm bậc cao của trạng thái hai mode
kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn;
- Nghiên cứu sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của trạng thái
hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn;
- Nghiên cứu tính đan rối của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai
photon tích SU(1,1) chẵn
- Nghiên cứu ngôn ngữ lập trình Mathematica để vẽ đồ thị.
4. Phạm vi nghiên cứu
Trong khuôn khổ luận văn, tôi chỉ nghiên các tính chất phi cổ điển
của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn.
5. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu, chúng tôi sử dụng một số phương pháp
nghiên cứu sau:
- Phương pháp phân tích, tổng hợp tài liệu
- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử
- Phương pháp quang lượng tử
- Sử dụng ngôn ngữ lập trình Mathematica để tính số và vẽ đồ thị
9

13. 6. Bố cục luận văn
Ngoài mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chia
làm ba phần chính
Phần Mở đầu: Nêu rõ tính cấp thiết của đề tài, mục tiêu, nhiệm vụ,
phạm vi, phương pháp nghiên cứu và bố cục của Luận văn.
Phần Nội dung: Bao gồm ba chương
Chương 1: Cơ sở lý thuyết
Chương 2: Khảo sát các chất tính chất nén của trạng thái hai mode kết
hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn
Chương 3: Khảo sát tính chất phản kết chùm và sự vi phạm bất đẳng
thức Cauchy-Schwarz của trạng thái hai mode thêm hai photon tích
SU(1,1) chẵn
Chương 4: Khảo sát tính chất đan rối của trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn
Phần Kết luận: Nêu lên kết quả đạt được của Luận văn và đề xuất hướng
mở rộng nghiên cứu.
10

14. NỘI DUNG
Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Chương này trình bày tổng quan các kiến thức cơ bản về trạng
thái kết hợp và trạng thái nén. Tiếp theo, chúng tôi trình bày
chi tiết các tính chất phi cổ điển cụ thể như tính chất nén
tổng, nén hiệu, nén Hillery bậc cao, tính chất phản kết chùm,
sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và khảo sát tính chất
đan rối của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích
SU(1,1) chẵn.
1.1. Trạng thái kết hợp
1.1.1. Định nghĩa
Trạng thái kết hợp là trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ nhất
suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg do Glauber [15] và Sudarshan [28]
đã đưa ra khái niệm này vào năm 1963.
Trạng thái Fock là trạng thái riêng của toán tử số hạt nghĩa là
ˆn |n = ˆa†
ˆa |n ,
|n =
ˆa† 2
√
n!
|0 . (1.1)
Trạng thái Fock |n là trạng thái có số hạt xác định và được khái quát
hóa lên từ trạng thái chân không. Trong đó, trạng thái chân không là
trạng thái mà tại đó không có hạt nào được kích thích và được kí hiệu
11

15. |0 , với
ˆa |0 = 0,
ˆa |n =
√
n |n − 1 ,
ˆa†
|n =
√
n + 1 |n + 1 . (1.2)
Các trạng thái Fock tạo nên một hệ cơ sở đủ, do đó có thể khai triển
một trạng thái bất kỳ trong hệ cơ sở này, hay
∞
n=0
|n n| = 1. (1.3)
Trạng thái kết hợp có thể tạo ra bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển
ˆD (α) lên trạng thái chân không |0 của trường điện từ
|α = ˆD (α) |0 , (1.4)
trong đó ˆD (α) là toán tử dịch chuyển
ˆD (α) = exp(αˆa†
− α∗
ˆa), (1.5)
với α = r exp (iϕ) là tham số kết hợp, r và ϕ lần lượt là biên độ và pha
kết hợp; toán tử ˆa†
, ˆa lần lượt là toán tử sinh, hủy photon của trường
điện từ và chúng tuân theo hệ thức giao hoán
ˆa†
, ˆa = ˆaˆa†
− ˆa†
ˆa = 1,
[ˆa, ˆa] = ˆa†
, ˆa†
= 0. (1.6)
Sử dụng đồng nhất thức Backer-Hausdorff cho hai toán tử ˆA và ˆB, ta có
exp(ˆA + ˆB) = exp(ˆA) exp(ˆB) exp(−
1
2
[ˆA, ˆB]), (1.7)
trong đó các toán tử ˆA, ˆB không giao hoán với nhau hay giao hoán tử
ˆA, ˆB là toán tử ˆC nào đó, tức là
ˆA, ˆB , ˆA = ˆA, ˆB , ˆB = 0.
12

16. Ta được
ˆD(α) = exp(αˆa†
− α∗
ˆa)
= exp(αˆa†
) exp(−α∗
ˆa) exp −1
2 αˆa†
, −α∗
ˆa .
(1.8)
Mặt khác
αˆa†
, −α∗
ˆa = −|α|2
, ˆa†
, ˆa = |α|2
, ˆa, ˆa†
= |α|2
, (1.9)
nên
ˆD(α) = exp(αˆa†
) exp(−α∗
ˆa) exp(−
1
2
|α|2
). (1.10)
Áp dụng khai triển chuỗi Taylor cho hai thừa số đầu exp(αˆa†
) và exp(−α∗
ˆa)
của hàm dạng ex
ta được
exp(αˆa†
) = 1 +
(αˆa†
)
1!
+
(αˆa†
)
2
2!
+
(αˆa†
)
3
3!
+ ...
=
∞
n=0
(αˆa†
)
n
n!
, (1.11)
exp(−α∗
ˆa) = 1 +
(−α∗
ˆa)
1!
+
(−α∗
ˆa)2
2!
+
(−α∗
ˆa)3
3!
+ ...
=
∞
n=0
(−α∗
ˆa)n
n!
. (1.12)
Bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển ˆD(α) lên trạng thái chân không
|0 của trường điện từ và sử dụng (1.11), (1.12) chúng tôi được
ˆD(α) |0 = exp(αˆa†
) exp(−α∗
ˆa) exp(−
1
2
|α|2
) |0
= exp(αˆa†
) exp(−
1
2
|α|2
)
∞
n=0
(−α∗
ˆa)n
n!
|0 . (1.13)
Do
∞
n=0
(−α∗
ˆa)n
n!
|0 =
∞
n=0
(−α∗
)n
ˆan
n!
|0 = |0 ,
√
n! |n = (ˆa†
)n
|0 (1.14)
13

17. nên
ˆD(α) |0 = exp(αˆa†
) exp(−
1
2
|α|2
) |0
= exp(−
1
2
|α|2
)
∞
n=0
(αˆa†
)
n
n!
|0
= exp(−
1
2
|α|2
)
∞
n=0
αn
n!
(ˆa†
)n
|0
= exp(−
1
2
|α|2
)
∞
n=0
αn
√
n!
n!
|n
= exp(−
1
2
|α|2
)
∞
n=0
αn
√
n!
|n , (1.15)
trong đó |n = (ˆa†
)
n
√
n!
|0 là vectơ trạng thái chứa n hạt boson hay còn gọi
là trạng thái Fock.
Do các trạng thái Fock là một hệ cơ sở đủ nên khai triển trạng thái kết
hợp |α theo trạng thái Fock |n được
|α = exp(−
1
2
|α|2
)
∞
n=0
αn
√
n!
|n . (1.16)
Vì trạng thái kết hợp |α là hàm riêng bên phải của toán tử hủy ˆa ứng
với giá trị riêng α hay |α là trạng thái riêng của toán tử hủy photon
với giá trị riêng là α,
ˆa |α = α |α . (1.17)
Lấy liên hợp Hermite (1.17) được
(ˆa |α )∗
= α| α∗
= α| ˆa†
, (1.18)
và (1.17) có thể được chứng minh tường minh như sau
14

18. ˆa |α = ˆa exp(−
1
2
|α|2
)
∞
n=0
αn
√
n!
|n
= exp(−
1
2
|α|2
)
∞
n=0
αn
√
n!
ˆa |n
= exp(−
1
2
|α|2
)
∞
n=0
αn
√
n!
√
n |n − 1
= exp(−
1
2
|α|2
)
∞
n=0
α.αn−1
(n − 1)!
|n − 1
= α |α .
Để làm rõ sự khác biệt giữa trạng thái Fock và trạng thái kết hợp, chúng
tôi xét đến phương sai của trạng thái Fock
(∆ˆn)2
= 0, (1.19)
còn đối với trạng thái kết hợp
(∆ˆn)2
= |α|2
. (1.20)
Chúng tôi thấy rằng trạng thái Fock |n số hạt có thể đo một cách chính
xác nhưng đối với trạng thái kết hợp |α thì có sai số khi đo, cụ thể là
sai số tỉ lệ với trung bình số hạt.
Trạng thái kết hợp khác trạng thái Fock là vì trạng thái kết hợp chứa
một số photon không xác định và toán tử hủy không làm thay đổi trạng
thái này
ˆa |n =
√
n |n − 1 ,
ˆa |α = α |α .
Như vậy, trạng thái kết hợp là trạng thái riêng của toán tử hủy thỏa
mãn (1.17) và toán tử hủy không làm thay đổi trạng thái này
|α = exp −
1
2
|α|2
∞
n=0
αn
√
n!
|n ,
15

19. với α là số phức và exp −1
2 là hệ số chuẩn hóa.
1.1.2. Các tính chất của trạng thái kết hợp
Trạng thái kết hợp có một số tính chất sau đây:
Tính chất 1: Phân bố số hạt ở trạng thái kết hợp tuân theo phân bố
Poisson.
Do số hạt trung bình ở trạng thái kết hợp |α là
ˆn = α |ˆn| α
= α ˆa†
ˆa α = |α|2
(1.21)
và phương sai của toán tử số hạt trong trạng thái kết hợp như trong
(1.20) là
(∆ˆn)2
= (ˆn − ˆn )2
= ˆn2
− ˆn 2
= α| ˆn2
|α − ( α| ˆn |α )2
= α| ˆa†
ˆaˆa†
ˆa |α − α| ˆa†
ˆa |α
2
= |α|2
α| ˆa†
(ˆa†
ˆa + 1)ˆa |α − |α|4
= |α|4
+ |α|2
− |α|4
= |α|2
,
nên
ˆn = (∆n)2
,
hay trạng thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson.
Mặt khác, xác suất tìm hạt ở trạng thái kết hợp |α là
P(n) = | n | α |2
=
|α|2n
n!
exp −|α|2
. (1.22)
16

20. Thật vậy, từ (1.16) ta thấy
n | α = exp −|α|2 |α|n
√
n!
nên
P(n) =| n | α |2
=( n | α )∗
n | α
=
|α|2n
n!
exp −|α|2
, (1.23)
trong đó P(n) là hàm phân bố Poisson, hàm phân bố Poisson là hàm
phân bố tương ứng với giới hạn lượng tử chuẩn. Trạng thái kết hợp là
trạng thái cổ điển.
Tính chất 2: Tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp |α là một tập hợp
đủ
1
π
|α α|d2
α = 1. (1.24)
Chứng minh (1.24), ta được
|α α|d2
α = e−|α|
2
∞
n=0
αn
√
n!
|n
∞
m=0
(α∗
)m
√
m!
m| d2
α, (1.25)
trong đó α = r exp(iϕ) là số phức bất kỳ. Chuyển sang tọa độ cực ta
được d2
α = rdrdϕ, do đó
|α α|d2
α =
∞
0
rdr
2π
0
dϕe−r2
∞
n,m=0
rn+m
ei(n−m)ϕ
√
n!
√
m!
|n m| , (1.26)
với
2π
0
ei(n−m)ϕ
dϕ = 2πδmn nên suy ra
|α α|d2
α = 2π
∞
0
rdr
∞
n,m=0
e−r2 r2n
n!
|n n|
=
∞
n=0
|n n|
2π
n!
∞
0
e−r2
r2n+1
dr. (1.27)
17

21. Mà tích phân Poisson I =
∞
0
e−r2
r2n+1
dr = n!
2 nên
|α α|d2
α = π,
hay
1
π
|α α|d2
α =
∞
n=0
|n n| = 1. (1.28)
Tính chất 3: Mặc dù các trạng thái kết hợp thỏa mãn điều kiện chuẩn
hóa α| α = 1 nhưng chúng lại không trực giao với nhau, nghĩa là với
α = β thì α| β = 0.
Thật vậy từ định nghĩa trạng thái kết hợp |α , ta có
α| = exp −
1
2
|α|2
∞
n=0
(αn
)∗
√
n!
|n ,
|β = exp −
1
2
|β|2
∞
n=0
βm
√
m!
|m , (1.29)
nên ta có
α| β = exp −
1
2
|α|2
exp −
1
2
|β|2
∞
n,m=0
(αn
)∗
βm
√
n!
√
m!
m | n
= exp −
1
2
|α|2
exp −
1
2
|β|2
∞
n=0
∞
m=0
(αn
)∗
βm
√
n!
√
m!
δmn
= exp −
1
2
|α|2
−
1
2
|β|2
∞
n=0
(αn
)∗
βn
n!
= exp −
1
2
|α|2
−
1
2
|β|2
+ α∗
β (1.30)
và
| α| β |2
= ( α| β )∗
α| β
= exp −
1
2
|α|2
−
1
2
|β|2
+ αβ∗
exp −
1
2
|α|2
−
1
2
|β|2
+ α∗
β
= exp −
1
2
|α|2
−
1
2
|β|2
+ αβ∗
+ α∗
β
= exp −|α − β|2
. (1.31)
18

22. Điều này cho thấy khi α = β thì exp −|α − β|2
= 0, nghĩa là các trạng
thái kết hợp không trực giao với nhau. Hệ quả của sự không trực giao là
bất kì trạng thái kết hợp nào cũng có thể được khai triển theo các trạng
thái kết hợp khác [7]. Nghĩa là,
|α =
1
π
|α α | α d2
α
=
1
π
d2
α |α exp(−
1
2
|α|2
+ α α∗
−
1
2
|α |
2
). (1.32)
Nên ta có thể kết luận rằng tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp
tạo thành hệ đủ.
Tính chất 4: Trạng thái kết hợp là trạng thái tương ứng với độ bất
định nhỏ nhất, nghĩa là
(∆ˆx)2
(∆ˆp)2
=
1
16
. (1.33)
Thật vậy, với toán tử tọa độ và xung lượng được định nghĩa như sau
ˆx =
1
2
(ˆa†
+ ˆa),
ˆp =
i
2
(ˆa†
− ˆa). (1.34)
Ta có
ˆx =
1
2
α| ˆa†
+ ˆa |α =
1
2
α| ˆa†
|α + α| ˆa |α
=
1
2
(α∗
+ α) α | α =
1
2
(α∗
+ α) ,
ˆx2
=
1
4
α| ˆa†2
+ 2ˆa†
ˆa + ˆa2
+ 1 |α
=
1
4
(α∗2
+ 2|α|2
+ α2
+ 1) (1.35)
và
ˆp =
i
2
α| ˆa†
− ˆa |α =
i
2
α| ˆa†
|α − α| ˆa |α
19

23. =
i
2
(α∗
− α) α | α =
i
2
(α∗
− α) ,
ˆp2
= −
1
4
α| ˆa†2
− 2ˆa†
ˆa + ˆa2
− 1 |α
= −
1
4
(α∗2
− 2|α|2
+ α2
− 1). (1.36)
Phương sai của toán tử ˆx từ (1.35) là
(∆ˆx)2
= ˆx2
− ˆx 2
=
1
4
(α∗2
+ 2|α|2
+ α2
+ 1) −
1
4
(α∗
+ α)2
=
1
4
(1.37)
và phương sai của toán tử ˆp từ (1.36) là
(∆ˆp)2
= ˆp2
− ˆp 2
= −
1
4
(α∗2
− 2|α|2
+ α2
− 1) −
i2
4
(α∗
− α)2
=
1
4
. (1.38)
Ta thấy từ (1.37) và (1.38) suy ra
(∆ˆx)2
= (∆ˆp)2
=
1
4
,
hay
(∆ˆx)2
(∆ˆp)2
=
1
16
. (1.39)
Đây là giá trị nhỏ nhất tương ứng với hệ thức bất định Heisenberg.
Hệ thức (1.39) được gọi là giới hạn lượng tử chuẩn. Như vậy, các trạng
thái kết hợp là các trạng thái cho phép thực hiện các phép đo đồng thời
ˆx và ˆp với sai số nhỏ nhất. Và đây cũng là tính chất quan trọng nhất
của trạng thái kết hợp.
20

24. 1.2. Trạng thái nén
Các khái niệm về trạng thái nén do Stoler [29] đưa ra vào năm 1970
và được thực nghiệm khẳng định vào năm 1987, sau đó Hollenhorst [19]
đã đặt tên chúng vào năm 1979. Từ hệ thức bất định Heisenberg với hai
toán tử ˆA, ˆB lần lượt là các toán tử biểu diễn cho hai đại lượng vật lý
A, B. Theo cơ học lượng tử nếu hai đại lượng vật lý không đo được đồng
thời thì hai toán tử ˆA, ˆB không giao hoán với nhau, nghĩa là
ˆA, ˆB = ˆA ˆB − ˆB ˆA = ˆC. (1.40)
Hệ thức bất định trong trạng thái bất kỳ |ϕ của hệ
(∆A)2
(∆B)2
≥
1
4
ˆA, ˆB
2
=
ˆC
2
4
. (1.41)
Trong đó, phương sai (∆A)2
là đại lượng đặc trưng cho mức độ thăng
giáng của giá trị đo được A quanh giá trị trung bình lượng tử ˆA của
đại lượng A
V A = (∆A)2
= ˆA2
− ˆA
2
, (1.42)
với ˆA = ϕ| ˆA |ϕ .
Cụ thể hóa ˆA = ˆX, ˆB = ˆP với ˆX = mω
1
2
ˆx và ˆP = mω
1
2
ˆp thì
ˆC = ˆX, ˆP =
i
2
. (1.43)
Đối với trạng thái Fock |n ta có
n| (∆X)2
|n = n| ˆX
2
|n − n| ˆX |n 2
=
1
4
n| ˆa†
+ ˆa
2
|n −
1
4
n| ˆa†
+ ˆa |n
2
=
1
4
n| ˆa†2
|n + n| ˆa2
|n + n| ˆa†
ˆa |n + n| ˆaˆa†
|n
21

25. −
1
4
n| ˆa†
|n + n| ˆa |n
2
=
1
4
(n + n + 1)
=
1
4
(2n + 1) . (1.44)
Tương tự,
n| (∆P)2
|n = n| ˆP
2
|n − n| ˆP |n 2
= ˆP2
− ˆP
2
=
1
4
(2n + 1) . (1.45)
Vậy nên ta thu được
(∆X)2
(∆P)2
=
1
16
(2n + 1)2
≥
1
16
=
ˆC
2
4
. (1.46)
Đối với trạng thái kết hợp
α| (∆X)2
|α = α| (∆P)2
|α =
1
4
,
hay
α| (∆X)2
|α α| (∆P)2
|α =
1
16
=
ˆC
2
4
. (1.47)
Từ (1.46) và (1.47) ta thấy rằng nếu ở trạng thái kích thích các trạng
thái Fock luôn thỏa mãn hệ thức bất đinh Heisenberg hay luôn thể hiện
dấu lớn hơn trong hệ thức bất định Heisenberg, còn trạng thái kết hợp
thì dấu bằng xảy ra. Suy ra các trạng thái kết hợp được gọi là trạng thái
độ bất định tối thiểu. Bên cạnh đó, xem xét hệ thức bất định Heisenberg
ta thấy rằng cơ lượng tử chỉ áp đặt sự bất định lên tích của thăng giáng
(∆A)2
(∆B)2
. Hệ thức này hoàn toàn không vi phạm nếu một
trong hai thăng giáng là bé và thăng giáng kia rất lớn. Một trạng thái
được gọi là nén với đại lượng A nếu thỏa mãn
(∆A)2
<
ˆC
2
4
=
ˆC
2
. (1.48)
22

26. Vì
| ˆC |
2 là độ bất định ứng với giới hạn lượng tử chuẩn. Nên một trạng
thái có một thăng giáng lượng tử nhỏ hơn giới hạn lượng tử chuẩn thì
trạng thái đó gọi là trạng thái nén. Trạng thái nén lý tưởng là trạng thái
mà các thăng giáng lượng tử bằng giới hạn lượng tử chuẩn.
1.3. Các tính chất phi cổ điển
1.3.1. Tính chất nén tổng
Xét trường hợp nén tổng hai mode được đưa ra bởi Hillery [15].
Nén tổng hai mode nghĩa là chúng ta có hai photon, một photon có tần
số ωa và một photon có tần số ωb kết hợp thành một photon có tần số
ωc = ωa + ωb.
Toán tử nén tổng được định nghĩa như sau
ˆVφ =
1
2
eiφ
ˆa†ˆb†
+ e−iφ
ˆaˆb ,
ˆV(φ+π
2 ) =
1
2
ei(φ+π
2 )
ˆa†ˆb†
+ e−i(φ+π
2 )
ˆaˆb , (1.49)
với ˆa†
, ˆa và ˆb†
,ˆb lần lượt là toán tử sinh, hủy photon của mode a và mode
b và φ là góc xác định hướng của ˆa†ˆbd
ag trong mặt phẳng phức.
Các toán tử này thỏa mãn hệ thức giao hoán
ˆVφ, ˆV(φ+π
2 ) =
i
2
(ˆna + ˆnb + 1) , (1.50)
trong đó ˆna = ˆa†
ˆa, ˆnb = ˆb†ˆb là toán tử số hạt của mode a và mode b.
Chứng minh (1.50)
ˆVφ, ˆV(φ+π
2 ) =ˆVφ
ˆV(φ+π
2 ) − ˆV(φ+π
2 )
ˆVφ
=
1
4
eiφ
ˆa†ˆb†
+ e−iφ
ˆaˆb ei(φ+π
2 )
ˆa†ˆb†
+ e−i(φ+π
2 )
ˆaˆb
23

27. −
1
4
ei(φ+π
2 )
ˆa†ˆb†
+ e−i(φ+π
2 )
ˆaˆb eiφ
ˆa†ˆb†
+ e−iφ
ˆaˆb
=
1
4
ei(2φ+π
2 )
ˆa†
ˆa†ˆb†ˆb†
+ e−i(2φ+π
2 )
ˆaˆaˆbˆb + e−iπ
2 ˆa†ˆb†
ˆaˆb + eiπ
2 ˆaˆbˆa†ˆb†
−
1
4
ei(2φ+π
2 )
ˆa†ˆb†
ˆa†ˆb†
+ e−i(2φ+π
2 )
ˆaˆbˆaˆb + eiπ
2 ˆa†ˆb†
ˆaˆb + e−iπ
2 ˆaˆbˆa†ˆb†
=
1
4
−2iˆa†ˆb†
ˆaˆb + 2i ˆa†
ˆa + 1 ˆb†ˆb + 1
=
i
2
(ˆna + ˆnb + 1) .
Hơn nữa, chúng luôn thỏa mãn hệ thức bất định Heisenberg
∆ˆVϕ∆ˆV(ϕ+π
2 ) ≥
1
4
ˆna + ˆnb + 1 . (1.51)
Một trạng thái được gọi là trạng thái nén tổng hai mode nếu trung bình
trong trạng thái đó thỏa mãn bất đẳng thức sau
(∆ˆVφ)
2
<
1
4
ˆna + ˆnb + 1 , (1.52)
trong đó (∆ˆVφ)
2
= ˆV 2
φ − ˆVφ
2
.
Đây chính là điều kiện để chúng tôi khảo sát tính chất nén tổng
hai mode của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1)
chẵn trong chương hai.
1.3.2. Tính chất nén hiệu
Nén hiệu hai mode [15] cũng được hiểu là chúng ta có hai photon có
tần số ωa và ωb tương tác với nhau sinh ra photon có tần số ωc = ωb −ωa,
giả sử ωb > ωa.
Toán tử nén hiệu được định nghĩa dưới dạng
ˆWφ =
1
2
eiφ
ˆaˆb†
+ e−iφ
ˆa†ˆb ,
ˆW(φ+π
2 ) =
1
2
ei(φ+π
2 )
ˆaˆb†
+ e−i(φ+π
2 )
ˆa†ˆb , (1.53)
24

28. với ˆa†
, ˆa và ˆb†
,ˆb lần lượt là toán tử sinh, hủy photon của mode a và mode
b.
Các toán tử ˆWφ và ˆW(φ+π
2 ) thỏa mãn hệ thức giao hoán
ˆWφ, ˆW(φ+π
2 ) =
i
2
(ˆna − ˆnb) . (1.54)
Chứng minh (1.54), ta có
ˆWφ, ˆW(φ+π
2 ) = ˆWφ
ˆW(φ+π
2 ) − ˆW(φ+π
2 )
ˆWφ
=
1
4
eiφ
ˆaˆb†
+ e−iφ
ˆa†ˆb ei(φ+π
2 )
ˆaˆb†
+ e−i(φ+π
2 )
ˆa†ˆb
−
1
4
ei(φ+π
2 )
ˆaˆb†
+ e−i(φ+π
2 )
ˆa†ˆb eiφ
ˆaˆb†
+ e−iφ
ˆa†ˆb
=
1
4
ei(2φ+π
2 )
ˆaˆb†
ˆaˆb†
+ e−i(2φ+π
2 )
ˆa†ˆbˆaˆb†
+ e−iπ
2 ˆaˆb†
ˆa†ˆb + eiπ
2 ˆa†ˆbˆaˆb†
−
1
4
e−i(2φ+π
2 )
ˆaˆb†
ˆaˆb†
+ e−i(2φ+π
2 )
ˆa†ˆbˆa†ˆb + eiπ
2 ˆaˆb†
ˆa†ˆb + e−iπ
2 ˆa†ˆbˆaˆb†
=
1
2
−2iˆaˆb†
ˆa†ˆb + 2iˆa†ˆbˆaˆb†
=
i
2
(ˆna − ˆnb) .
Hơn nữa, chúng luôn thỏa mãn hệ thức bất định Heisenberg
∆ ˆWφ∆ ˆW(φ+π
2 ) ≥
1
4
| ˆna − ˆnb |. (1.55)
Một trạng thái được gọi là nén hiệu hai mode nếu trung bình trong trạng
thái đó thỏa mãn các bất đẳng thức
∆ ˆWφ
2
<
1
4
| ˆna − ˆnb |, (1.56)
trong đó ∆ ˆWφ
2
= ˆW2
φ − ˆWφ
2
, đây là điều kiện để chúng tôi
khảo sát tính chất nén hiệu của trạng thái hai mode thêm hai photon
tích SU(1,1) chẵn trong chương hai.
25

29. 1.3.3. Tính chất nén Hillery bậc cao
Vào năm 1985, Hong và Mandel [20] đã đưa ra các trạng thái nén
đơn mode bậc cao và được gọi là kiểu nén Hong-Mandel. Một kiểu nén
đơn mode khác cũng được đưa ra bởi Hillery [16] vào năm 1987 (bậc hai)
và sau đó là nén bậc ba, bậc k ta gọi chung là nén Hillery.
Toán tử biên độ lũy thừa k được định nghĩa như sau
ˆXa,k (φ) =
1
2
e−iφ
ˆak
+ eiφ
ˆa†k
,
ˆXa,k φ +
π
2
=
1
2
e−i(φ+π
2 )ˆak
+ ei(φ+π
2 )ˆa†k
. (1.57)
Giao hoán tử giữa ˆXa,k (φ) và ˆXa,k φ + π
2 là
ˆXa,k (φ) , ˆXa,k φ +
π
2
=
i
2
ˆFa (k) , (1.58)
với
ˆFa (k) = ˆak
, ˆa†k
=
k
q=1
k!k4
(k − q)!q!
ˆa†(k−q)
ˆa(k−q)
, (1.59)
trong đó kq
= k (k − 1) ... (k − q + 1).
Từ (1.58) rút ra được hệ thức bất định đối với các phương sai
V Xa,k (φ) .V Xa,k φ +
π
2
≥
1
16
ˆFa,k (k)
2
. (1.60)
Điều kiện để có nén biên độ lũy thừa k kiểu Hillery theo phương φ là
V Xa,k (φ) <
1
4
ˆFa (k) . (1.61)
1.3.4. Tính chất phản kết chùm
Khái niệm phản kết chùm được dự đoán bằng lý thuyết bởi Kimle-
Mandel [21] và Carmichael-Walls [11] vào năm 1976 và được Kimbel-
Dagencus-Mandel [22] chứng thực bằng thực nghiệm. Tính phản kết
chùm có thể hiểu rằng các photon phản kết chùm là các photon độc lập,
26

30. cách xa và không thể kết hợp với nhau. Các photon phản kết chùm tuân
theo thống kê Sub-Poisson nên trạng thái có phân bố số photon loại này
tuân theo thống kê này. Hay, hàm phân bố xác suất tương ứng với trạng
thái đó là âm, không thích hợp với lý thuyết cổ điển. Thật vậy, các trạng
thái có hàm phân bố xác suất mang giá trị âm không còn mang tính
chất cổ điển. Ta có thể nói tính chất phản kết chùm là tính chất phi
cổ điển. Để hiểu rõ hơn trong Luận văn này chúng ta xét tính phản kết
chùm đơn mode và hai mode.
a) Phản kết chùm đơn mode
Photon phản kết chùm tuân theo thống kê Sub-Poisson [24] nên
phương sai của phân bố số hạt nhỏ hơn trung bình trạng thái số hạt của
chúng
ˆn2
− ˆn 2
< ˆn . (1.62)
Mặt khác ˆn2
= ˆn (n − 1) nên ta viết lại
ˆn2
− ˆn 2
< 0. (1.63)
Biểu diễn ˆn(m)
dưới dạng phân bố xác suất P như sau
ˆn(m)
=
d2
α
π
P (α) |α|2m
, (1.64)
viết lại (1.62)
ˆn2
− ˆn 2
=
1
2
P (α, β) |α|4
+ |β|4
− 2|α|2
|β|2
< 0, (1.65)
trong đó P (α, β) = P (α) P (β) là hàm phân bố xác suất trong biểu diễn
Glauber [15] và Shudarshan [28].
Mà chúng ta có
|α|4
+ |β|4
− 2|α|2
|β|2
> 0. (1.66)
27

31. Từ (1.65) và (1.66) ta thấy P(α) nhận giá trị âm, đây chính là lý do khẳng
định tính chất phản kết chùm là một tính chất phi cổ điển. Muirhead
[24] đã khái quát hóa bất đẳng thức (1.66) vào năm 1903 như sau
|α|2l+2
|β|2m−2
+ |α|2m−2
|β|2l+2
≤ |α|2l
|β|2m
+ |α|2m
|β|2l
, (1.67)
trong đó l, m là số nguyên dương thỏa mãn l ≥ m. Như vậy, điều kiện
để một trạng thái có phản kết chùm trong trường hợp đơn mode là
ˆn
(l+1)
ˆn
(m−1)
− ˆn
(l)
ˆn
(m)
< 0. (1.68)
Ta đưa ra tham số R(l, m) dưới dạng
R (l, m) =
ˆn
(l+1)
ˆn
(m−1)
ˆn(l)
ˆn(m)
− 1 < 0. (1.69)
Như vậy, tiêu chuẩn cho sự tồn tại của phản kết chùm trong trường
hợp đơn mode là
R (k, l, m) =
ˆn
(l+k)
ˆn
(m−k)
ˆn(l)
ˆn(m)
− 1 < 0. (1.70)
Nếu tham số R(l, m) càng âm thì tính phản kết chùm của trạng thái
càng mạnh.
b) Phản kết chùm hai mode
Mở rộng cho trường hợp hai mode [24] từ (1.65) chúng tôi thu được
ˆn(l+1)
a ˆn
(m−1)
b + ˆn(m−1)
a ˆn
(l+1)
b − ˆn(l)
a ˆn
(m)
b − ˆn(m)
a ˆn
(l)
b
=
1
2
d2
αd2
β
π2
P (α, β) (|α|(2l+2)
|β|(2m−2)
+ |α|(2m−2)
|β|(2l+2)
− |α|(2l)
|β|(2m)
− |α|(2m)
|β|(2l)
), (1.71)
với ˆa†
ˆa và ˆb†ˆb là toán tử số hạt của mode a và mode b trong trường bức
xạ.
Ta thấy vế phải của (1.71) luôn nhỏ hơn không, nên
ˆn(l+1)
a ˆn
(m−1)
b + ˆn(m−1)
a ˆn
(l+1)
b − ˆn(l)
a ˆn
(m)
b − ˆn(m)
a ˆn
(l)
b < 0. (1.72)
28

32. Tiêu chuẩn cho sự tồn tại của phản kết chùm cho trạng thái hai
mode [22] trong trường bức xạ là
Rab (l, m) =
ˆn
(l+1)
a ˆn
(m−1)
b + ˆn
(m−1)
a ˆn
(l+1)
b
ˆn
(l)
a ˆn
(m)
b + ˆn
(m)
a ˆn
(l)
b
− 1 < 0. (1.73)
Kết quả (1.73) dùng để khảo sát tính phản kết chùm của trạng thái hai
mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn.
1.3.5. Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz [15] đối với trường cổ điển có dạng
GˆxˆxGˆyˆy − G2
ˆxˆy ≥ 0, (1.74)
với
Gˆxˆy = Gˆyˆx =
ˆx†
ˆy†
ˆyˆx
ˆx†ˆx ˆy†ˆy
, Gˆxˆx =
ˆx†2
ˆx2
ˆx†ˆx
2 , Gˆyˆy =
ˆy†2
ˆy2
ˆy†ˆy
2 . (1.75)
Khi đó ta có thể viết lại bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dưới dạng
I =
ˆx†2
ˆx2
ˆy†2
ˆy2
1
2
| ˆx†ˆy†ˆyˆx |
− 1 ≥ 0. (1.76)
Từ (1.77) cho phép ta xem xét mối quan hệ giữa các mode với nhau. Nếu
trạng thái hai mode nào thỏa mãn bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì
trạng thái đó mang tính chất cổ điển. Còn trường hợp I < 0 thì trạng
thái đó mang tính chất phi cổ điển, hay
I =
ˆx†2
ˆx2
ˆy†2
ˆy2
1
2
| ˆx†ˆy†ˆyˆx |
− 1 < 0.
1.4. Một số tiêu chuẩn đan rối
1.4.1. Tiêu chuẩn đan rối Hillery – Zubairy
Bắt đầu từ việc kiểm tra các hệ thức bất định bằng cách kiểm tra
phương sai tích của các toán tử sinh và hủy trong các mode mà Hillery
29

33. – Zubairy [17] đã đưa ra một lớp các bất đẳng thức mà trong đó sự vi
phạm của chúng chỉ ra sự đan rối trong hệ hai mode. Xét hai mode a, b
của trường điện từ, trong đó ˆa†
và ˆa lần lượt là toán tử sinh và hủy
photon của mode a, ˆb†
và ˆb lần lượt là toán tử sinh và hủy photon của
mode b. Định nghĩa các toán tử
ˆL1 = ˆaˆb†
+ ˆa†ˆb, ˆL2 = i ˆaˆb†
− ˆa†ˆb . (1.77)
Tính phương sai của toán tử ˆL1 và toán tử ˆL2, sau đó lấy tổng phương
sai của hai toán tử này, ta được
(∆L1)2
+ (∆L2)2
= 2 ˆNa + 1 ˆNb + ˆNa
ˆNb + 1 − 2 ˆaˆb†
2
. (1.78)
Giả sử trạng thái đang xét là tích của mode a trong trạng thái này với
mode b trong trạng thái khác, ta có
(∆L1)2
+ (∆L2)2
= 2 ˆNa + 1 ˆNb + ˆNa
ˆNb + 1 − 2 ˆa ˆb†
2
. (1.79)
Bất đẳng thức Schwarz cho ta | ˆa |2
≤ ˆNa và ˆb†
2
≤ ˆNb . Trong
trạng thái tích, ta có
(∆L1)2
+ (∆L2)2
≥ 2 ˆNa + ˆNb . (1.80)
So sánh hai phương trình (1.78) và (1.80), ta được
ˆNa
ˆNb ≥ ˆaˆb†
2
. (1.81)
Bất đẳng thức (1.81) cho ta điều kiện để một trạng thái hai mode bị rối
nếu thỏa mãn bất đẳng thức
ˆNa
ˆNb < ˆaˆb†
2
. (1.82)
30

34. Đối với các số nguyên dương m và n bất kỳ, một trạng thái đan rối cần
phải thỏa mãn điều kiện
| am
bn
|2
> a+m
am
b+n
bn
(1.83)
Kết quả (1.83) dùng để nghiên cứu tính chất đan rối của trạng thái hai
mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) bằng tiêu chuẩn đan rối
Hillery - Zubairy.
1.4.2. Tiêu chuẩn entropy von Newmann
Entropy von Newmann là một yếu tố để định lượng độ pha trộn giữa
các mode trong một trạng thái của trường. Theo định nghĩa, entropy von
Newmann theo mode x của một trạng thái nhiều mode được xác định
là[10]
EV = −Trx(ˆρxln(ˆρx)), (1.84)
trong đó Trx( ˆA) là ký hiệu cho lấy vết của toán tử ˆA theo mode x. Một
trạng thái đan rối khi EV > 0. Giả sử với một trạng thái hai mode của
trường được khai triển trong không gian Fock như sau
|Ψ ab =
∞
n=0
cn|n + p, n + q ab, (1.85)
trong đó p, q là những số nguyên không âm, hệ số khai triển cn thỏa mãn
n |cn|2
= 1. Toán tử mật độ của trạng thái này được xác định là
ˆρa = Trb(|Ψ ab Ψ|) = Trb
∞
m,n=0
cmcn|m + p, m + q ab n + q, n + p|
=
∞
m,n=0
cmcn|m + p a n + p|b n + q|m + q b
=
∞
m,n=0
cmcn|m + p a n + p|δmn
31

35. =
∞
n=0
|cn|2
|n + p a n + p|. (1.86)
Từ đây ta có yếu tố ma trận trên đường chéo chính là
(ˆρa)n+p,n+p = |cn|2
, (1.87)
các yếu tố còn lại đều bằng 0. Từ đây ta có
(ˆρx)n+p,n+pln(ˆρx)n+p,n+p = |cn|2
ln(|cn|2
), (1.88)
các yếu tố ma trận khác đều bằng không. Vậy
EV = −Tra(ˆρaln(ˆρa)) = −
∞
n=0
|cn|2
ln(|cn|2
). (1.89)
Kết quả (1.89) dùng để khảo sát tính đan rối của trạng thái hai mode
kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn.
Tóm lại, trong chương này chúng tôi đã đưa một số kiến thức tổng
quan về trạng thái kết hợp, trạng thái nén cũng như một số tính chất
phi cổ điển như tính chất nén tổng, nén hiệu, nén Hillery, tính chất
phản kết chùm, sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schawrz và khảo sát
các tiêu chuẩn đan rối của Hillery - Zubairy và tiêu chuẩn entropy von
Newmann. Với những kiến thức tổng quan này sẽ là cơ sở cho chúng tôi
khảo sát một số tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn.
32

36. Chương 2
KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT NÉN CỦA
TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT THÊM HAI
PHOTON TÍCH SU(1,1) CHẴN
Nén là một tính chất được ứng dụng rất nhiều trong các nhiệm
vụ lượng tử hiện nay như giảm độ nhiễu, khuếch đại tín hiệu
và độ trung thực của thông tin nhận được. Có nhiều tiêu chuẩn
để phát hiện tính chất nén như tiêu chuẩn nén đơn mode, hai
mode và đa mode, nén tổng và nén hiệu, nén thông thường và
nén bậc cao. Chương này, chúng tôi khảo sát các tính chất nén
tổng, nén hiệu và nén Hillery bậc cao của trạng thái này dựa
trên các điều kiện nén tổng, nén hiệu và nén Hillery bậc cao
đã nêu ra trong chương một.
2.1. Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon
tích SU(1,1) chẵn
2.1.1. Trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1)
Để đưa ra trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) chúng tôi xét các
toán tử sau đây
ˆK0 = 1
2 ˆa†
ˆa + ˆb†ˆb + 1 ,
ˆK+ = ˆa†ˆb†
,
ˆK− = ˆaˆb,
trong đó ˆa†
, ˆa và ˆb†
,ˆb lần lượt là toán tử sinh, hủy photon của mode a
và mode b của trường điện từ.
33

37. Tiến hành đại số Lie SU(1,1) chúng tôi thu được
ˆK0, ˆK+ =
1
2
ˆa†
ˆa + ˆb†ˆb + 1 , ˆa†ˆb†
= ˆa†ˆb†
= ˆK+.
Tương tự,
ˆK0, ˆK− =
1
2
ˆa†
ˆa + ˆb†ˆb + 1 , ˆaˆb
= −ˆaˆb
= − ˆK−;
ˆK+, ˆK− = ˆa†ˆb†
, ˆaˆb
= −2 ˆK0.
Từ các tính toán trên ta thu được các hệ thức giao hoán như sau
ˆK0, ˆK+ = ˆK+;
ˆK0, ˆK− = − ˆK−;
ˆK+, ˆK− = −2 ˆK0.
đồng thời, người ta đưa ra toán tử C có dạng
ˆC = ˆK2
0 − 1
2
ˆK+
ˆK− + ˆK−
ˆK+
= 1
4 ˆa†
ˆa − ˆb†ˆb
2
− 1
= 1
4 ∆2
− 1 ,
với ∆ = ˆa†
ˆa − ˆb†ˆb là giá trị riêng chỉ sự khác nhau về số photon
giữa hai mode với nhau. Lấy giá trị riêng (q nguyên) không xét đến
tính tổng quát thì trạng thái cơ sở cho một biểu diễn tối giản đơn vị
được hiểu như là khẳng định chuỗi hữu hạn cho bởi tham số suy biến
q gồm có nhóm trạng thái hai mode |na, nb = |na ⊗ |nb , của dạng
34

38. {|n + q, n , n = 0, 1, ..., ∞} .
Trạng thái hai mode SU(1,1) đã được Perelomov [26] định nghĩa
|ϕ ab = exp α ˆK+ − α∗ ˆK− |q, 0 ab
= 1 − |ξ|2
1+q
2
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
1
2
ξn
|n + q, n ab. (2.1)
Để chứng minh công thức (2.1) chúng tôi khai triển exp(α ˆK+ − α∗ ˆK−)
theo công thức Baker - Hausdorff,
exp(α ˆK+ − α∗ ˆK−) = exp(α ˆK+) exp(−α∗ ˆK−) exp(−
1
2
[α ˆK+, −α∗ ˆK−]),
với
[α ˆK+, −α∗ ˆK−] = −|α|2
[ ˆK+, ˆK−] = |α|2
2 ˆK0,
⇒ exp(α ˆK+ − α∗ ˆK−) = exp(α ˆK+) exp(−α∗ ˆK−) exp(−|α|2 ˆK0), (2.2)
Thay công thức (2.2) vào công thức (2.1) ta được
|ψ ab = exp(α ˆK+) exp(−α∗ ˆK−) exp(−|α|2 ˆK0)|q, 0 . (2.3)
Thực hiện phép biến đổi
exp(−|α|2 ˆK0)|q, 0 =
∞
n=0
(−|α|2 ˆK0)n
n!
|q, 0
= 1 + [−
1
2
|α|2
(ˆa†
ˆa + ˆb†ˆb + 1)]
+
[−1
2|α|2
(ˆa†
ˆa + ˆb†ˆb + 1)]2
2!
+
[−1
2|α|2
(ˆa†
ˆa + ˆb†ˆb + 1)]3
3!
+ ... |q, 0 . (2.4)
Ta có
−
1
2
|α|2
(ˆa†
ˆa + ˆb†ˆb + 1)|q, 0 = −
1
2
|α|2
(q + 1)|q, 0 . (2.5)
[−1
2|α|2
(ˆa†
ˆa + ˆb†ˆb + 1)]2
2!
|q, 0 =
[−1
2|α|2
(q + 1)]2
2!
|q, 0 , (2.6)
35

39. [−1
2|α|2
(ˆa†
ˆa + ˆb†ˆb + 1)]3
3!
|q, 0 =
[−1
2|α|2
(q + 1)]3
3!
|q, 0 , (2.7)
Suy ra
exp(−|α|2 ˆK0)|q, 0 =
∞
n=0
[−1
2|α|2
(q + 1)]n
n!
|q, 0
= exp[−
1
2
|α|2
(q + 1)]|q, 0 , (2.8)
Thay công thức (2.8) vào công thức (2.3) ta được
|ψ ab = exp(α ˆK+) exp(−α∗ ˆK−) exp[−
1
2
|α|2
(q + 1)]|q, 0
= [exp(−|α|2
)]
1+q
2 exp(α ˆK+) exp(−α∗ ˆK−)|q, 0 . (2.9)
Thực hiện phép biến đổi
exp(−α∗ ˆK−)|q, 0 =
∞
n=0
(−α∗ ˆK−)n
n!
|q, 0 =
∞
n=0
[−α∗
ˆaˆb]n
n!
|q, 0
= 1 + [−α∗
ˆaˆb] +
[−α∗
ˆaˆb]2
2!
+
[−α∗
ˆaˆb]3
3!
+
[−α∗
ˆaˆb]4
4!
+ ... |q, 0 , (2.10)
trong đó −α∗
ˆaˆb|q, 0 = 0, [−α∗
ˆaˆb]2
|q, 0 = 0,...,[−α∗
ˆaˆb]n
|q, 0 = 0 suy ra
exp(−α∗ ˆK−)|q, 0 = |q, 0 , (2.11)
Thay công thức (2.11) vào công thức (2.9) ta được
|ψ ab = [exp(−|α|2
)]
1+q
2 exp(α ˆK+)|q, 0 . (2.12)
Thực hiện phép biến đổi
exp(α ˆK+)|q, 0 =
∞
n=0
(α ˆK+)n
n!
|q, 0 =
∞
n=0
[αˆa†ˆb†
]n
n!
|q, 0
= 1 + αˆa†ˆb†
+
[αˆa†ˆb†
]2
2!
36

40. +
[αˆa†ˆb†
]3
3!
+
[αˆa†ˆb†
]4
4!
+ ... |q, 0 , (2.13)
Ta có
αˆa†ˆb†
|q, 0 = α q + 1
√
1|q + 1, 1 ,
[αˆa†ˆb†
]2
2!
|q, 0 =
α2
2!
q + 1 q + 2
√
1
√
2|q + 2, 2
=
α2
2!
(q + 2)!
q!
√
2!|q + 2, 2 ,
[αˆa†ˆb†
]3
3!
|q, 0 =
α3
3!
(q + 3)!
q!
√
3!|q + 3, 3 ,
...
[αˆa†ˆb†
]n
n!
|q, 0 =
αn
n!
(q + n)!
q!
√
n!|q + n, n
= αn (q + n)!
n!q!
|q + n, n . (2.14)
Suy ra
exp(α ˆK+)|q, 0 =
∞
n=0
αn (q + n)!
n!q!
|q + n, n . (2.15)
Thay công thức (2.15) vào công thức (2.12) ta được
|ψ ab = [exp(−|α|2
)]
1+q
2
∞
n=0
αn (q + n)!
n!q!
|q + n, n
=
∞
m=0
(−|α|2
)m
m!
1+q
2
∞
n=0
αn (q + n)!
n!q!
|q + n, n
|ψ ab = 1 − |α|2
+
|α|4
2!
−
|α|6
3!
+ ...
1+q
2
×
∞
n=0
αn (q + n)!
n!q!
|q + n, n , (2.16)
37

41. trong đó α = −1
2θ exp(−iϕ) và đặt ξ = − tanh(θ/2) exp(−iϕ); (θ/2) = r
với θ rất bé. Lấy gần đúng ta được
|ψ ab = |ξ, q ab = (1 − |ξ|2
)
1+q
2
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
1/2
ξn
|n + q, n ab. (2.17)
Hàm sóng (2.17) được Perelomov tìm ra vào năm 1972.
2.1.2. Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích
SU(1,1) chẵn
Mở rộng (2.1) cho trường hợp thêm hai photon chẵn ta thu được
trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn định
nghĩa như sau
|ϕ ab = N ˆa†ˆb†
(|ϕ ab + |−ϕ ab) (2.18)
trong đó |ϕ ab là trạng thái hai mode SU(1,1), ˆa†
(ˆa) và ˆb†
(ˆb) là toán tử
sinh (hủy) photon của mode a và mode b, |±ϕ ab là các trạng thái hai
mode SU(1,1) có dạng
|±ϕ ab = 1 − |ξ|2
1+q
2
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
1
2
(±ξ)n
|n + q, n ab, (2.19)
.
Thay (2.19) vào (2.18) ta được
|ψ ab = N ˆa†ˆb†
(|ϕ ab + |−ϕ ab)
= N ˆa†ˆb†
1 − |ξ|2
1+q
2
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
1
2
ξn
|n + q, n ab
+ 1 − |ξ|2
1+q
2
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
1
2
(−ξ)n
|n + q, n ab
= N ˆa†ˆb†
1 − |ξ|2
1+q
2
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
1
2
[1 + (−1)n
] ξn
|n + q, n ab.
38

42. Hay trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn
được viết lại như sau
|ψ ab = N ˆa†ˆb†
1 − |ξ|2
1+q
2
∞
n=0
(n+q)!
n!q!
1
2
[1 + (−1)n
]ξn
|n + q, n ab.
Trong đó N là hệ số chuẩn hóa và được tìm ra từ điều kiện chuẩn
hóa
⇔ N ˆa†ˆb†
(|ϕ ab + |−ϕ ab)
2
= 1
|N|2
1 − |ξ|2
1+q
∞
m=0
(m + q)!
m!q!
1
2
[1 + (−1)m
] ξ∗m
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
1
2
× [1 + (−1)n
] ξn
ba m, m + q| ˆaˆb ˆa†ˆb†
|n + q, n ab = 1
⇔|N|2
1 − |ξ|2
1+q
∞
m=0
(m + q)!
m!q!
1
2
[1 + (−1)m
] ξ∗m
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
1
2
× [1 + (−1)n
] ξn
ba m, m + q| ˆaˆa†ˆbˆb†
|n + q, n ab = 1
⇔|N|2
1 − |ξ|2
1+q
∞
m=0
(m + q)!
m!q!
1
2
[1 + (−1)m
] ξ∗m
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
1
2
× [1 + (−1)n
] ξn
(n + q + 1) (n + q + 1) (n + 1) (n + 1)δm+q,n+qδm,n = 1
⇔|N|2
1 − |ξ|2
1+q
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
[1 + (−1)n
]
2
ξ2n
(n + q + 1)(n + 1) = 1.
⇔|N|2
= 1 − |ξ|2
1+q
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
[1 + (−1)n
]
2
ξ2n
(n + q + 1)(n + 1)
−1
.
Ta có
N = 2 1 − |ξ|2
1+q
∞
n=0
(n + q + 1)!
n!q!
[1 + (−1)n
]ξ2n
(n + 1)
−1
2
. (2.20)
Vậy trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn
39

43. được viết như sau
|ψ ab =N 1 − |ξ|2
1+q
2
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
1
2
[1 + (−1)n
] ξn
× n + q + 1
√
n + 1|n + q + 1, n + 1 ab . (2.21)
Chúng tôi sẽ tiếp tục khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái
hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn trong các chương
sau.
2.2. Khảo sát tính chất nén tổng của trạng thái hai
mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1)
chẵn
Để khảo sát tính chất nén tổng của trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn chúng tôi sử dụng tiêu chuẩn nén
tổng do Hillery đưa ra [16]. Một trạng thái hai mode được gọi là nén
tổng hai mode nếu trung bình của trạng thái đó thỏa mãn điều kiện
trong công thức (1.52)
∆ˆVφ
2
<
1
4
ˆna + ˆnb + 1 .
Để thuận tiện cho việc khảo sát, chúng tôi đưa vào tham số nén tổng
hai mode S dưới dạng
S = ∆ˆVφ
2
−
1
4
ˆna + ˆnb + 1
= ˆV 2
φ − ˆVφ
2
−
1
4
ˆna + ˆnb + 1 . (2.22)
Một trạng thái được gọi là nén tổng hai mode nếu tham số S < 0 và độ
nén càng cao nếu S càng âm. Với ˆVφ = 1
2 eiφ
ˆa†ˆb†
+ e−iφ
ˆaˆb ta có
40

44. ˆV 2
φ =
1
4
eiφ
ˆa†ˆb†
+ e−iφ
ˆaˆb
2
=
1
4
eiφ
ˆa†ˆb†
2
+ e−iφ
ˆaˆb
2
+ ˆa†ˆb†
ˆaˆb + ˆaˆbˆa†ˆb†
=
1
4
eiφ
ˆa†ˆb†
2
+ e−iφ
ˆaˆb
2
+ ˆa†ˆb†
ˆaˆb + ˆa†
ˆa + 1 ˆb†ˆb + 1
=
1
4
eiφ
ˆa†ˆb†
2
+ e−iφ
ˆaˆb
2
+ 2ˆa†ˆb†
ˆaˆb + ˆna + ˆnb + 1 ,
tương tự
ˆVφ
2
=
1
4
eiφ
ˆa†ˆb†
+ e−iφ
ˆaˆb 2
.
Nên ta suy ra
S =
1
4
eiφ
ˆa†ˆb†
2
+ e−iφ
ˆaˆb
2
+ 2ˆa†ˆb†
ˆaˆb
−
1
4
eiφ
ˆa†ˆb†
+ e−iφ
ˆaˆb
2
. (2.23)
Tính trung bình trạng thái hai mode thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn
trong biểu thức (2.8) chúng tôi có các kết quả sau
ei2φ
ˆa†ˆb†
ˆa†ˆb†
= ba ψ| ei2φ
ˆa†ˆb†
ˆa†ˆb†
|ψ ab
= ei2φ
|N|2
1 − |ξ|2
1+q
∞
m=0
(m + q)!
m!q!
1
2
[1 + (−1)m
] ξ∗m
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
1
2
× [1 + (−1)n
] ξn
ba m, m + q| ˆaˆbˆa†ˆb†
ˆa†ˆb†
ˆa†ˆb†
|n + q, n ab
= ei2φ
|N|2
1 − |ξ|2
1+q
∞
m=0
(m + q)!
m!q!
1
2
[1 + (−1)m
] ξ∗m
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
1
2
× [1 + (−1)n
] ξn
(n + q + 1) (n + q + 2) (n + q + 3)2
(n + 1) (n + 2) (n + 3)2
× δm,n+q+2δm,n+2
41

45. = ei2φ
|N|2
1 − |ξ|2
1+q
∞
m=0
(m + q)!
m!q!
1
2
[1 + (−1)m
] ξ∗m
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
1
2
× [1 + (−1)n
] ξn
(n + q + 3)(n + 3) (n + q + 1) (n + q + 2) (n + 1) (n + 2)
× δm,n+q+2δm,n+2
= ei2φ
|N|2
1 − |ξ|2
1+q
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
[1 + (−1)n
]
2
ξ2n
ξ∗2
(n + q + 3)(n + 3)
× (n + q + 2)(n + q + 1)
= ei2φ
|N|2
1 − |ξ|2
1+q
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
[1 + (−1)n
]
2
ξ2n
ξ∗2
(n + q + 1)(n + q + 2)
× (n + q + 3)(n + 3) (2.24)
Tương tự,
e−i2φ
ˆaˆbˆaˆb =e−i2φ
|N|2
2 1 − |ξ|2
1+q
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
[1 + (−1)n
]|ξ|2n
ξ2
× (n + q + 1)(n + q + 2)(n + q + 3)(n + 3) (2.25)
2ˆa†ˆb†
ˆaˆb =|N|2
2 1 − |ξ|2
1+q
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
[1 + (−1)n
]
2
|ξ|2n
× (n + q + 1)2
(n + 1)2
(2.26)
eiφ
ˆa†ˆb†
= 0 (2.27)
e−iφ
ˆaˆb = 0 (2.28)
Thay các biểu thức (2.24), (2.25), (2.26), (2.27), (2.28) vào biểu thức
(2.23) ta được
42

46. S =
ei2φ
ξ∗2
+ e−i2φ
ξ2
∞
n=0
(n+q+3)!
n!q! [1 + (−1)n
]|ξ|2n
(n + 3)
4
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]|ξ|2n
(n + 1)
+
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]|ξ|2n
(n + q + 1)2
(n + 1)2
2
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]|ξ|2n
(n + 1)
, (2.29)
trong đó ξ = − tanh θ
2 exp (−iϕ). Để thuận tiện cho việc khảo sát
chúng tôi đặt φ + ϕ = γ, θ = 2r với r ≥ 0. Chúng tôi được tham số nén
tổng dưới dạng
S =
cos 2γ.tanh2
r
∞
n=0
(n+q+3)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r (n + 3)
2
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r (n + 1)
+
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r(n + q + 1)2
(n + 1)2
2
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r (n + 1)
. (2.30)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
500
400
300
200
100
0
r
S
Hình 2.1: Sự phụ thuộc của S vào r và q với q = 1, 2, 3 , cố định 2(ϕ+φ) = −1. (Đường
biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng với màu đen, màu đỏ, màu
xanh lam.)
43

47. Kết quả khảo sát sự phụ thuộc của mức độ nén tổng hai mode theo
biên độ kết hợp r và sự khác nhau giữa hai mode photon là q thể hiện
trên hình 2.1 ứng với trường hợp 2(ϕ + φ) = −1, mỗi đường biểu diễn
cho ta kết quả về sự phụ thuộc của mức độ nén tổng hai mode theo r
và q nhận mỗi giá trị khác nhau, đường màu đen ứng với q = 1, đường
màu đỏ ứng với q = 2, đường màu xanh lam ứng với q = 3. Đồ thị cho
thấy S < 0 với mọi giá trị của r và q, nghĩa là điều kiện nén tổng hai
mode luôn thỏa mãn. Mặt khác, các đường cong đi xuống thể hiện mức
độ nén tổng càng tăng khi r tăng. Bên cạnh đó, với cùng giá trị của r
nếu q càng lớn thì mức độ nén tổng cũng tăng lên. Điều này có nghĩa
rằng sự chênh lệch số photon giữa hai mode càng lớn thì tính chất nén
tổng hai mode của trạng thái thể hiện càng rõ hơn. Vậy trạng thái hai
mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn thể hiện tính chất nén
tổng.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
1000
800
600
400
200
0
r
S
Hình 2.2: Sự phụ thuộc của S vào r với q = 1 của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm
một photon chẵn (đường màu xanh lam) và trạng thái hai mode kết hợp thêm hai
photon tích SU(1,1) chẵn (đường màu đỏ).
Đồ thị trên Hình 2.2 biểu diễn sự phụ thuộc của S vào r với q = 1
của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn tương ứng với
đường màu xanh lam và trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon
44

48. tích SU(1,1) chẵn tương ứng với đường màu đỏ. Qua khảo sát chúng ta
nhận thấy trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1)
chẵn thể hiện tính chất nén tổng yếu hơn trạng thái hai mode SU(1,1)
thêm một photon chẵn.
2.3. Khảo sát tính chất nén hiệu của trạng thái hai
mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1)
chẵn
Trong phần này, chúng tôi sử dụng điều kiện nén hiệu hai mode [13]
đã được đưa ra trong công thức (1.56) để khảo sát tính chất nén hiệu
của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn
∆ ˆWφ
2
<
1
4
| ˆna − ˆnb |.
Để thuận tiện cho tính toán và khảo sát, chúng tôi đưa vào tham số nén
hiệu hai mode D,
D = ∆ ˆWφ
2
− 1
4 ˆna − ˆnb
= ˆW2
φ − ˆWφ
2
− 1
4| ˆna − ˆnb |.
(2.31)
Như vậy, một trạng thái bất kỳ là nén hiệu hai mode nếu tham số nén
hiệu D < 0 và mức độ nén càng mạnh nếu D càng âm.
Với ˆWφ = 1
2 eiφ
ˆaˆb†
+ e−iφ
ˆa†ˆb , ta được
ˆW2
φ =
1
4
eiφ
ˆaˆb†
+ e−iφ
ˆa†ˆb
2
=
1
4
eiφ
ˆaˆb†
2
+ e−iφ
ˆa†ˆb
2
+ ˆaˆb†
ˆa†ˆb + ˆa†ˆbˆaˆb†
,
ˆWφ
2
=
1
4
eiφ
ˆaˆb†
+ e−iφ
ˆa†ˆb
2
=
1
4
eiφ
ˆaˆb†
+ e−iφ
ˆa†ˆb
2
.
45

49. Suy ra
D =
1
4
eiφ
ˆaˆb†
2
+ e−iφ
ˆa†ˆb
2
+ ˆaˆb†
ˆa†ˆb + ˆa†ˆbˆaˆb†
−
1
4
eiφ
ˆaˆb†
+ e−iφ
ˆa†ˆb
2
−
1
4
ˆna − ˆnb . (2.32)
Bằng cách tính trung bình trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon
tích SU(1,1) chẵn chúng tôi thu được các kết quả sau
ei2φ
ˆaˆb†
ˆaˆb†
= ba ψ| ei2φ
ˆaˆb†
ˆaˆb†
|ψ ab
= ei2φ
|N|2
1 − |ξ|2
1+q
∞
m=0
(m + q)!
m!q!
1
2
[1 + (−1)m
] ξ∗m
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
1
2
× [1 + (−1)n
] ξn
ba m, m + q| ˆaˆbˆaˆb†
ˆaˆb†
ˆa†ˆb†
|n + q, n ab
= ei2φ
|N|2
1 − |ξ|2
1+q
∞
m=0
(m + q)!
m!q!
1
2
[1 + (−1)m
] ξ∗m
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
1
2
× [1 + (−1)n
] ξn
(n + q + 1)2
(n + q) (n + q − 1) (n + 1) (n + 2) (n + 3)2
× δm+q,n+q−2δm,n+2 = 0
Hay ta có
ei2φ
ˆaˆb†
ˆaˆb†
= 0. (2.33)
Tương tự,
e−i2φ
ˆa†ˆbˆa†ˆb = 0, (2.34)
ˆa†
ˆaˆb†ˆb =|N|2
2 1 − |ξ|2
1+q
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
[1 + (−1)n
]|ξ|2n
(n + q + 1)
(n + q) (n + 1)2
.
46

50. eiφ
ˆaˆb†
= 0 (2.35)
e−iφ
ˆa†ˆb = 0 (2.36)
Tính ˆb†ˆb ta được
ˆb†ˆb =|N|2
2 1 − |ξ|2
1+q
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
[1 + (−1)n
]|ξ|2n
(n + q + 1)
× (n + 1)2
. (2.37)
Tính ˆa†
ˆa ta được
ˆa†
ˆa =|N|2
2 1 − |ξ|2
1+q
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
[1 + (−1)n
]|ξ|2n
(n + q + 1)2
× (n + 1) . (2.38)
Tương tự,
ˆna − ˆnb = ba ψ| ˆa†
ˆa − ˆb†ˆb|ψ ab,
mặt khác ˆa†
ˆa và ˆb†ˆb đã được tính trong (2.37) và (2.38) nên ta có
ˆna − ˆnb =|N|2
2 1 − |ξ|2
1+q
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
[1 + (−1)n
]|ξ|2n
[(n + q + 1)2
(n + 1) − (n + q + 1) (n + 1)2
]. (2.39)
Đối với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon SU(1,1) chẵn, sau
khi bỏ đi các trung bình lượng tử có số hạng bằng 0, chúng tôi có
D = ˆnb(ˆna + 1)/2 . (2.40)
Dựa vào biểu thức (2.40) có thể thấy rằng D > 0. Như vậy trạng thái
hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn không thể hiện
tính chất nén hiệu.
47

51. 2.4. Khảo sát tính chất nén Hillery bậc cao của
trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon
tích SU(1,1) chẵn
Trong phần này, chúng tôi tiếp tục khảo sát tính chất nén Hillery
bậc cao [16] của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon SU(1,1)
chẵn. Toán tử biên độ trực giao lũy thừa k trong trường hợp hai mode
[16] có dạng
ˆXab,k (φ) =
1
2
√
2
ˆa + ˆb
k
e−iφ
+ ˆa†
+ ˆb†
k
eiφ
, (2.41)
ˆXab,k φ +
π
2
=
1
2
√
2i
ˆa + ˆb
k
e−iφ
− ˆa†
+ ˆb†
k
eiφ
, (2.42)
trong đó k = 1, 2, 3... với φ là góc tạo bởi ˆXab,k (φ) với trục thực trong
mặt phẳng phức. Theo biểu thức (1.58) hai thành phần biên độ tuân
theo biểu thức giao hoán
ˆXab,k (φ) , ˆXab,k φ +
π
2
=
i
4
ˆFa (k) , (2.43)
với ˆFab (k) = ˆa + ˆb
k
, ˆa†
+ ˆb†
k
.
Điều kiện để có nén biên độ trực giao lũy thừa k kiểu Hillery theo hướng
φ là
V Xab,k (φ) <
1
8
ˆFab (k) , (2.44)
trong đó phương sai V Xab,k (φ) được tính như sau
V Xab,k (φ) = ˆXab,k (φ)
2
− ˆXab,k (φ)
2
. (2.45)
Để tiện cho việc khảo sát chúng tôi đưa ra tham số nén Hk (φ) như sau
Hk (φ) = V Xab,k (φ) −
1
8
ˆFab (k) . (2.46)
48

52. Từ biểu thức (2.44) ta thấy nén kiểu Hillery phương sai biên độ trực
giao chỉ xuất hiện khi
Hk (φ) < 0. (2.47)
Bây giờ, chúng tôi khảo sát trường hợp cụ thể khi k = 2, k = 3.
Khi k = 2, toán tử biên độ trực giao lúc này có dạng
ˆXab,2 (φ) =
1
2
√
2
ˆa + ˆb
2
e−iφ
+ ˆa†
+ ˆb†
2
eiφ
,
ˆXab,2 φ +
π
2
=
1
2
√
2i
ˆa + ˆb
2
e−iφ
− ˆa†
+ ˆb†
2
eiφ
.
Thay ˆXab,2 (φ), ˆXab,2 φ + π
2 vào (2.43) và tính toán ta được
ˆFab (2) = 8 ˆa†
ˆa + 8 ˆa†ˆb + 8 ˆaˆb†
+ 8 ˆb†ˆb + 8 . (2.48)
Phương sai của toán tử ˆXab,2 (φ) trong trạng thái hai mode kết hợp thêm
hai photon tích SU(1,1) chẵn là
V Xab,2 (φ) = ˆXab,2 (φ)
2
− ˆXab,2 (φ)
2
, (2.49)
trong đó
ˆXab,2 (φ)
2
= 0, (2.50)
ˆXab,2 (φ)
2
= 1
8 ˆa4
+ ˆb4
+ 4 ˆa3ˆb + 6 ˆa2ˆb2
+ 4 ˆaˆb3
e−i2φ
+2 ˆa†2
ˆa2
+2 ˆa†2ˆb2
+4 ˆa†2
ˆaˆb2
+4 ˆa†
ˆa2ˆb†
+8 ˆa†
ˆaˆb†ˆb +4 ˆa†ˆb†ˆb2
+2 ˆa2ˆb†2
+4 ˆaˆb†2ˆb +2 ˆb†2ˆb2
+8 ˆa†
ˆa +8 ˆb†ˆb +8 ˆaˆb†
+8 ˆa†ˆb
+ 8 + ˆa†4
+ ˆb†4
+ 4 ˆa†3ˆb†
+ 6 ˆa†2ˆb†2
+ 4 ˆa†ˆb†3
ei2φ
.
(2.51)
Thay các biểu thức (2.48), (2.50) và (2.51) vào (2.46) ta được tham số
nén Hillery cho trường hợp k = 2 như sau
49

53. H2 (φ) = 1
8 ˆa4
+ ˆb4
+ 4 ˆa3ˆb + 6 ˆa2ˆb2
+ 4 ˆaˆb3
e−i2φ
+2 ˆa†2
ˆa2
+2 ˆa†2ˆb2
+4 ˆa†2
ˆaˆb2
+4 ˆa†
ˆa2ˆb†
+8 ˆa†
ˆaˆb†ˆb
+4 ˆa†ˆb†ˆb2
+2 ˆa2ˆb†2
+4 ˆaˆb†2ˆb +2 ˆb†2ˆb2
+ ˆa†4
+ ˆb†4
+ 4 ˆa†3ˆb†
+ 6 ˆa†2ˆb†2
+ 4 ˆa†ˆb†3
ei2φ
.
(2.52)
Sau khi tính toán chúng tôi thu được tham số nén Hillery trong trường
hợp k = 2 dưới dạng
H2 (φ) =
6 ξ2
e−i2φ
+ ξ∗2
ei2φ
∞
n=0
(n+q+3)!
n!q! [1 + (−1)n
] |ξ|2n
(n + 3)
4
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
] |ξ|2n
(n + 1)
+
2
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
] |ξ|2n
(n + 1) [(n + q + 1) (n + q) + (n) (n + 1)2
]
4
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
] |ξ|2n
(n + 1)
+
8
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
] |ξ|2n
(n + 1)2
(n + q + 1)2
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
] |ξ|2n
(n + 1)
.
Với ξ = − tanh θ
2 exp (−iϕ) , φ + ϕ = γ, θ = 2r chúng tôi thu được
tham số nén Hillery như sau
H2 (φ) =
6tanh2
r cos 2γ
∞
n=0
(n+q+3)!
n!q! [1 + (−1)n
] tanh2n
r (n + 3)
4
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
] tanh2n
r (n + 1)
+
2
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
] |tanh|2n
(n + 1) [(n + q + 1) (n + q) + (n) (n + 1)2
]
4
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
] |tanh|2n
(n + 1)
+
8
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
] |tanh|2n
(n + 1)2
(n + q + 1)2
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
] |tanh|2n
(n + 1)
.
50

54. Kết quả khảo sát sự phụ thuộc của mức độ nén kiểu Hillery ứng với
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
700
600
500
400
300
200
100
0
r
H2Φ
Hình 2.3: Sự phụ thuộc của H2 (φ) vào r với q = 1, 2, 3. (Đường biểu diễn các tham số
được chọn theo thứ tự tương ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.)
trường hợp k = 2 theo r và q thể hiện trên Hình 2.4 trong trường hợp
γ = π
2 , q = 1 tương ứng với đường màu đen, q = 2 tương ứng với đường
màu đỏ và q = 3 tương ứng với đường màu xanh lam. Đồ thị cho thấy
H2 (φ) < 0 với mọi giá trị r. Với q càng lớn và r càng nhỏ thì mức độ
nén càng tăng. Hay sự chênh lệch số photon giữa hai mode càng lớn thì
tính chất nén Hillery càng tăng. Vậy trạng thái hai mode kết hợp thêm
hai photon tích SU(1,1) chẵn thể hiện tính chất nén Hillery trong trường
hợp k = 2.
Khi k = 3, toán tử biên độ trực giao lúc này có dạng
ˆXab,3 (φ) =
1
2
√
2
ˆa + ˆb
3
e−iφ
+ ˆa†
+ ˆb†
3
eiφ
, (2.53)
ˆXab,3 φ +
π
2
=
1
2
√
2i
ˆa + ˆb
3
e−iφ
− ˆa†
+ ˆb†
3
eiφ
. (2.54)
Thay vào (2.43) chúng tôi được
51

55. ˆFab (3) = 18 ˆa†2
ˆa2
+ 18 ˆb†2ˆb2
+ 18 ˆa2ˆb†2
+ 18 ˆa†2ˆb2
+36 ˆa†
ˆa2ˆb†
+ 36 ˆa†2
ˆaˆb + 54 + 72 ˆa†
ˆaˆb†ˆb + 36 ˆaˆb†2ˆb
+36 ˆa†ˆb†ˆb2
+ 72 ˆa†
ˆa + 72 ˆb†ˆb + 72 ˆa†ˆb + 72 ˆaˆb†
.
(2.55)
Phương sai của toán tử ˆXab,3 (φ) trong trạng thái hai mode kết hợp thêm
hai photon tích SU(1,1) chẵn
V ˆXab,3 (φ) = ˆXab,3 (φ)
2
− ˆXab,3 (φ)
2
, (2.56)
trong đó
ˆXab,3 (φ)
2
= 0, (2.57)
ˆXab,3 (φ)
2
= 1
8{[ ˆa6
+ ˆb6
+ 6 ˆa5ˆb + 15 ˆa4ˆb2
+ 20 ˆa3ˆb3
+15 ˆa2ˆb4
+ 6 ˆaˆb5
]e−i2φ
+2 ˆa†3
ˆa3
+6 ˆa†3
ˆa2ˆb2
+ ˆa†3
ˆaˆb2
+2 ˆa†3ˆb3
+6 ˆa†2
ˆa3ˆb†
+18 ˆa†
ˆaˆb†2ˆb2
+ 18 ˆa†2
ˆa2ˆb†ˆb + 6 ˆa†2ˆb†ˆb3
+6 ˆa†
ˆa3ˆb†2
+ 18 ˆa†
ˆa2ˆb†2ˆb + 18 ˆa†2
ˆaˆb†ˆb2
+ 6 ˆa†ˆb†2ˆb3
+ 2 ˆa3ˆb†3
+6 ˆa2ˆb†ˆb3
+ 6 ˆaˆb†3ˆb2
+2 ˆb†3ˆb3
+18 ˆa†2
ˆa2
+ 18 ˆa†2ˆb2
+36 ˆa†2
ˆaˆb + 36 ˆa†
ˆa2ˆb†
+18 ˆb†2ˆb2
+ 72 ˆa†
ˆaˆb†ˆb + 36 ˆa†ˆb†ˆb2
+18 ˆa2ˆb†2
+ 36 ˆaˆb†2ˆb + 72 ˆa†
ˆa + 72 ˆb†ˆb +72 ˆaˆb†
+72 ˆa†ˆb
+ 54 + [ ˆa†6
+ ˆb†6
+ 6 ˆa†5ˆb†
+ 20 ˆa†3ˆb†3
+ 6 ˆa†ˆb†5
+15 ˆa†4ˆb†2
+ ˆa†2ˆb†4
]ei2φ
}.
(2.58)
Thay (2.55), (2.57) và (2.58) vào (2.46) ta có tham số nén Hillery cho
trường hợp k = 3 như sau
H3 (φ) = 1
8{[ ˆa6
+ ˆb6
+ 6 ˆa5ˆb + 15 ˆa4ˆb2
+ 20 ˆa3ˆb3
+ 15 ˆa2ˆb4
+6 ˆaˆb5
]e−i2φ
+2 ˆa†3
ˆa3
+6 ˆa†3
ˆa2ˆb + 6 ˆa†3
ˆaˆb2
+2 ˆa†3ˆb3
+18 ˆa†
ˆaˆb†2ˆb2
+ 6 ˆa†2
ˆa3ˆb†
+ 18 ˆa†
ˆaˆb†2ˆb2
+ 18 ˆa†2
ˆa2ˆb†ˆb
52

56. +6 ˆa†2ˆb†ˆb3
+ 6 ˆa†
ˆa3ˆb†2
+ 18 ˆa†
ˆa2ˆb†2ˆb + 18 ˆa†2
ˆaˆb†ˆb2
+6 ˆa†ˆb†2ˆb3
+ 2 ˆa3ˆb†3
+ 6 ˆa2ˆb†ˆb3
+ 6 ˆaˆb†3ˆb2
+2 ˆb†3ˆb3
+[ ˆa†6
+ ˆb†6
+ 20 ˆa†3ˆb†3
+ 6 ˆa†5ˆb†
+ ˆa†ˆb†5
+15 ˆa†4ˆb†2
+ ˆa†2ˆb†4
]ei2φ
}.
(2.59)
Sau khi tính trung bình trạng thái hai mode thêm hai photon tích
SU(1,1) chẵn trong biểu thức (2.59) chúng tôi thấy đa số các số hạng
đều bằng không, chỉ có các số hạng sau đây khác không.
ˆa†
ˆaˆb†2ˆb2
= ba ψ| ˆa†
ˆaˆb†2ˆb2
|ψ ab
= |N|2
1 − |ξ|2
1+q
∞
m=0
(m + q)!
m!q!
1
2
[1 + (−1)m
] ξ∗m
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
1
2
× [1 + (−1)n
] ξn
ba m, m + q| ˆaˆbˆa†
ˆaˆb†ˆb†ˆbˆbˆa†ˆb†
|n + q, n ab
= |N|2
1 − |ξ|2
1+q
∞
m=0
(m + q)!
m!q!
1
2
[1 + (−1)m
] ξ∗m
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
1
2
× [1 + (−1)n
] ξn
(n + q + 1)4
n2 (n + 1)4
δm+q,n+qδm,n
= |N|2
2 1 − |ξ|2
1+q
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
[1 + (−1)n
] ξ2n
(n + q + 1)2
(n + 1)2
n.
(2.60)
Tương tự
ˆa†2
ˆa2ˆb†ˆb = |N|2
2 1 − |ξ|2
1+q
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
[1 + (−1)n
] ξ2n
(n + q + 1)2
× (n + q)(n + 1)2
. (2.61)
Thay (2.60), (2.61) vào (2.59) chúng tôi thu được tham số nén Hillery
dưới dạng
H3 (φ) =
18
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
] |ξ|2n
(n + 1)2
(n + q + 1)2
[2n + (n + q) ]
4
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
] |ξ|2n
(n + 1)
(2.62)
53

57. Vậy từ biểu thức (2.62) chúng tôi thấy H3 (φ) > 0 do đó không thỏa
mãn tính nén Hillery.
Kết quả khảo sát sự phụ thuộc của mức độ nén kiểu Hillery ứng với
trường hợp k = 3 theo r và q không thể hiện tính chất nén Hillery.
Tóm lại, trong chương này chúng tôi đã tiến hành khảo sát tính chất
nén tổng, nén hiệu hai mode và nén Hillery bậc cao của trạng thái hai
mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn bằng việc áp dụng các
điều kiện nén tổng, nén hiệu và nén Hillery đã nêu ra trong chương I.
Kết quả khảo sát cho thấy trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon
tích SU(1,1) chẵn thỏa mãn tính chất nén tổng hai mode và nén Hillery
trong trường hợp k= 2 nhưng không thỏa mãn tính chất nén hiệu và nén
Hillery trong trường hợp k=3.
54

58. Chương 3
KHẢO SÁT TÍNH CHẤT PHẢN KẾT CHÙM
VÀ SỰ VI PHẠM BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-
SCHWARZ CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT
HỢP THÊM HAI PHOTON TÍCH SU(1,1) CHẴN
Phản kết chùm có vai trò quan trọng trong việc tạo ra các trạng
thái đơn photon dùng cho các nhiệm vụ lượng tử. Chương này
chúng tôi trình bày tính chất phản kết chùm và sự vi phạm
bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn dựa trên các điều kiện phản
kết chùm và sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đã đưa
ra trong chương một.
3.1. Khảo sát tính phản kết chùm của trạng thái
hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1)
chẵn
3.1.1. Trường hợp tổng quát
Để khảo sát tính phản kết chùm của trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn, chúng tôi sử dụng tiêu chuẩn để tồn
tại tính phản kết chùm cho trạng thái hai mode [24] như sau
R (l, p) =
ˆn
(l+1)
a ˆn
(p−1)
b + ˆn
(p−1)
a ˆn
(l+1)
b
ˆn
(l)
a ˆn
(p)
b + ˆn
(p)
a ˆn
(l)
b
− 1 < 0, (3.1)
với l ≥ p > 0 và
ˆA(k)
= ˆA ˆA − 1 ... ˆA − k + 1 = ˆa†K
ˆaK
, (3.2)
55

59. trong đó ˆA = ˆa†
ˆa [11]. Từ (3.2) chúng tôi viết cho hai mode a, b như sau
ˆn(l)
a = ˆa†l
ˆal
, (3.3)
ˆn
(l)
b = ˆb†lˆbl
. (3.4)
Đối với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn
chúng tôi có được một số kết quả sau
ˆn(l)
a ˆn
(p)
b = ba ψ| ˆn(l)
a ˆn
(p)
b |ψ ab = ba ψ| ˆa†l
ˆalˆb†pˆbp
|ψ ab
= |N|2
1 − |ξ|2
1+q
∞
m=0
(m + q)!
m!q!
1
2
[1 + (−1)m
] ξ∗m
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
1
2
× [1 + (−1)n
] ξn
ba m, m + q| ˆaˆbˆa†l
ˆalˆb†pˆbp
ˆa†ˆb†
|n + q, n ab
= |N|2
1 − |ξ|2
1+q
∞
m=0
(m + q)!
m!q!
1
2
[1 + (−1)m
] ξ∗m
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
1
2
× [1 + (−1)n
] ξn (n + q + 1)! (n + 1)! (n + q + 1) (n + 1)
(n + q + 1 − l)! (n + 1 − p)!
δm+q,n+qδm,n
= |N|2
2 1 − |ξ|2
1+q
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
[1 + (−1)n
]|ξ|2n
×
(n + q + 1)! (n + 1)! (n + q + 1) (n + 1)
(n + q + 1 − l)! (n + 1 − p)!
Hay ta có
ˆn(l)
a ˆn
(p)
b =|N|2
2 1 − |ξ|2
1+q
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
[1 + (−1)n
]|ξ|2n
×
(n + q + 1)! (n + 1)! (n + q + 1) (n + 1)
(n + q + 1 − l)! (n + 1 − p)!
. (3.5)
Tương tự
ˆn(p)
a ˆn
(l)
b =|N|2
2 1 − |ξ|2
1+q
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
[1 + (−1)n
]|ξ|2n
×
(n + q + 1)! (n + 1)! (n + q + 1) (n + 1)
(n + q + 1 − p)! (n + 1 − l)!
, (3.6)
56

60. ˆn(l+1)
a ˆn
(p−1)
b = |N|2
2 1 − |ξ|2
1+q
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
[1 + (−1)n
]|ξ|2n
×
(n + q + 1)! (n + 1)! (n + q + 1) (n + 1)
(n + q + 1 − l − 1)! (n + 1 − p + 1)!
, (3.7)
ˆn(p−1)
a ˆn
(l+1)
b = |N|2
2 1 − |ξ|2
1+q
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
[1 + (−1)n
]|ξ|2n
×
(n + q + 1)! (n + 1)! (n + q + 1) (n + 1)
(n + q + 1 − p + 1)! (n + 1 − l − 1)!
, (3.8)
Thay (3.5), (3.6), (3.7) và (3.8) vào (3.1) chúng tôi thu được tham số
Rab(l, p) dưới dạng
Rab (l, p) =
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]|ξ|2n
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]|ξ|2n
(n + 1)
×
(n + q + 1)! (n + 1)! (n + q + 1) (n + 1)
(n + q + 1 − l − 1)! (n + 1 − p + 1)!
(3.9)
+
(n + q + 1)! (n + 1)! (n + q + 1) (n + 1)
(n + q + 1 − p + 1)! (n + 1 − l − 1)!
×
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]|ξ|2n
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]|ξ|2n
(n + 1)
(n + q + 1)! (n + 1)! (n + 1)
(n + q + 1 − l)! (n + 1 − p)!
+
(n + q + 1)! (n + 1)! (n + 1)
(n + q + 1 − p)! (n + 1 − l)!
−1
− 1. (3.10)
Tham số Rab (l, p) trong (3.9) được xét trong trường hợp tổng quát.
Để thấy rõ tính chất phản kết chùm của trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn chúng tôi xét một số trường hợp cụ
thể sau đây.
57

61. 3.1.2. Trường hợp l = 1, p = 1
Thay các giá trị l = 1, p = 1 vào biểu thức (3.9) chúng tôi thu được
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
r
R1,1
Hình 3.1: Sự phụ thuộc của R(1, 1) vào r với q = 0, 1, 2. (Đường biểu diễn các tham số
được chọn theo thứ tự tương ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.)
Rab (1, 1) =
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r (n + 1)
(n + q + 1)2
× (n + q) (n + 1)
+ (n + 1)2
n (n + q + 1) ×
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r (n + 1)
× 2 (n + q + 1)2
(n + 1)2
−1
− 1,
trong đó ξ = − tanh θ
2 exp (−iϕ) và chọn ϕ = π, θ = 2r với r ≥ 0.
3.1.3. Trường hợp l = 2, p = 1
Thay các giá trị l = 2, p = 1 vào (3.9) chúng tôi thu được
58

62. 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
r
R2,1
Hình 3.2: Sự phụ thuộc của R(2, 1) vào r với q = 0, 1, 2. (Đường biểu diễn các tham số
được chọn theo thứ tự tương ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.)
Rab(2, 1) =
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r(n + 1)
(n + q − 1)
× (n + q)(n + 1)(n + q + 1)2
+ (n + q + 1)(n − 1)n(n + 1)2
×
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r(n + 1)
(n + 1)2
(n + q + 1)2
(n + q)
+ (n + 1)2
n(n + q + 1)2
−1
− 1,
trong đó ξ = − tanh θ
2 exp (−iϕ) và chọn ϕ = π, θ = 2r với r ≥ 0.
3.1.4. Trường hợp l = 2, p = 2
Thay các giá trị l = 2, p = 2 vào (3.9) chúng tôi thu được
59

63. 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
r
R2,2
Hình 3.3: Sự phụ thuộc của R(2, 2) vào r với q = 0, 1, 2. (Đường biểu diễn các tham số
được chọn theo thứ tự tương ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.)
Rab(2, 2) =
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r(n + 1)
(n + q − 1)
× (n + q)(n + q + 1)2
(n + 1)2
+ (n − 1)n(n + 1)2
(n + q + 1)2
×
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r(n + 1)
n(n + q)(n + 1)2
× (n + q + 1)2
+ n(n + 1)2
(n + q + 1)2
(n + q)
−1
− 1,
trong đó ξ = − tanh θ
2 exp (−iϕ) và chọn ϕ = π, θ = 2r với r ≥ 0.
3.1.5. Trường hợp l = 3, p = 1
Thay các giá trị l = 3, p = 1 vào (3.9) chúng tôi thu được
60

64. 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
r
R3,1
Hình 3.4: Sự phụ thuộc của R(3, 1) vào r với q = 0, 2, 3. (Đường biểu diễn các tham số
được chọn theo thứ tự tương ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.)
Rab(3, 1) =
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r(n + 1)
(n + q − 2)
× (n + q − 1)(n + q)(n + 1)(n + q + 1)2
+ (n + 1)2
(n + q + 1)2
(n + q)n(n − 1)(n − 2)
×
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r(n + 1)
× (n + 1)2
(n + q + 1)2
(n + q − 1)(n + q) + (n + 1)2
(n + q + 1)2
× (n − 1)n
−1
− 1,
trong đó ξ = − tanh θ
2 exp (−iϕ) và chọn ϕ = π, θ = 2r với r ≥ 0.
61

65. 3.1.6. Trường hợp l = 3, p = 2
Thay các giá trị l = 3, p = 2 vào (3.9) chúng tôi thu được
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
r
R3,2
Hình 3.5: Sự phụ thuộc của R(3, 2) vào r với q = 0, 1, 2. (Đường biểu diễn các tham số
được chọn theo thứ tự tương ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.)
Rab(3, 2) =
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r(n + 1)
(n + q − 2)
× (n + q − 1)(n + q)(n + q + 1)2
(n + 1)2
+ (n − 2)(n − 1)
× n(n + 1)2
(n + q + 1)2
×
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r(n + 1)
× (n + 1)2
n(n + q + 1)2
(n + q)(n + q − 1) + n(n + 1)2
(n − 1)
× (n + q + 1)2
(n + q)(n + 1)2
(n + q − 1)(n + q + 1)2
−1
− 1,
trong đó ξ = − tanh θ
2 exp (−iϕ) và chọn ϕ = π, θ = 2r với r ≥ 0.
62

66. 3.1.7. Trường hợp l = 3, p = 3
Thay các giá trị l = 3, p = 3 vào (3.9) chúng tôi thu được
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
r
R3,3
Hình 3.6: Sự phụ thuộc của R(3, 3) vào r với q = 1, 2, 3. (Đường biểu diễn các tham số
được chọn theo thứ tự tương ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.)
Rab(3, 3) =
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r(n + 1)
(n + q − 2)
× (n + q + 1)2
(n + 1)2
n(n + q − 1)(n + q − 2)
+ (n + q + 1)2
(n + 1)2
(n − 2)(n − 1)n(n + q)
×
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r(n + 1)
(n + q + 1)2
(n + 1)2
(n + q)
× (n + q − 1)n(n − 1) + (n − 1)n(n + 1)2
(n + q + 1)2
× (n + q − 1)(n + q)
−1
− 1,
trong đó ξ = − tanh θ
2 exp (−iϕ) và chọn ϕ = π, θ = 2r với r ≥ 0.
63

67. 3.1.8. Trường hợp l = 4, p = 3
Thay các giá trị l = 4, p = 3 vào (3.9) chúng tôi thu được
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
r
R4,3
Hình 3.7: Sự phụ thuộc của R(4, 3) vào r với q = 1, 2, 3. (Đường biểu diễn các tham số
được chọn theo thứ tự tương ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.)
Rab(4, 3) =
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r(n + 1)
(n + q)n
× (n + q − 3)(n + q − 2)(n + q − 1)(n + q + 1)2
(n + 1)2
+ n(n + 1)2
× (n − 3)(n − 2)(n − 1)(n + q + 1)2
(n + 1)2
(n + q)
×
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r(n + 1)
(n − 1)
× n(n + q − 2)(n + q − 1)(n + q)(n + q + 1)2
(n + 1)2
+ n(n − 2)(n − 1)
× (n + 1)2
(n + q + 1)2
(n + q − 1)(n + q)
−1
− 1,
trong đó ξ = − tanh θ
2 exp (−iϕ) và chọn ϕ = π, θ = 2r với r ≥ 0.
64

68. 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
r
R
Hình 3.8: Sự phụ thuộc của R(1, 1), R(2, 2), R(4, 4) vào r với q = 2. (Đường biểu diễn
các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.)
Kết quả khảo sát mức độ phản kết chùm phụ thuộc vào biên độ kết
hợp r và sự khác nhau giữa hai mode photon q được thể hiện trên Hình
3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6 và 3.7 tương ứng với các trường hợp Rab(1, 1),
Rab(2, 1), Rab(2, 2), Rab(3, 1), Rab(3, 2), Rab(3, 3), Rab(4, 3). Qua khảo sát
các trường hợp cụ thể trên, chúng tôi thấy với các giá trị q khác nhau
thì mức độ phản kết chùm khác nhau. Với giá trị của q càng nhỏ thì mức
độ phản kết chùm càng mạnh. Hay ta có thể nói rằng sự chênh lệch số
photon giữa hai mode càng nhỏ thì tính phản kết chùm càng mạnh. Và
với biên độ kết hợp r càng nhỏ thì mức độ phản kết chùm càng lớn, (l, p)
khác nhau thì tính phản kết chùm của các tham số tương ứng là khác
nhau. Kết quả khảo sát cho thấy trạng thái hai mode kết hợp thêm hai
photon tích SU(1,1) chẵn luôn thể hiện tính phản kết chùm.
Đồ thị Hình 3.8 và 3.9 thể hiện mức độ phản kết chùm của trạng
thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn trong trường
hợp hiệu số l−p là không đổi và l−p thay đổi với một giá trị q xác định.
Kết quả khảo sát cho thấy rằng R(1, 1)> R(2, 2)> R(3, 3) hay trạng thái
65

69. 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
r
R
Hình 3.9: Sự phụ thuộc của R(1, 1), R(2, 1), R(3, 1) vào r với q = 2. (Đường biểu diễn
các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.)
hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn thể hiện tính phản
kết chùm càng mạnh khi giá trị l, p càng lớn. Trong trường hợp l−p thay
đổi chúng ta thu được R(1, 1)> R(2, 1)> R(3, 1). Hay nói cách khác khi
hiệu số l − p càng lớn thì với cùng giá trị q trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn thể hiện tính phản kết chùm càng
mạnh.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
r
R3,2
Hình 3.10: Sự phụ thuộc của R(3, 2) vào r với q = 1 của trạng thái hai mode SU(1,1)
thêm một photon chẵn (đường màu xanh lam) và trạng thái hai mode kết hợp thêm
hai photon tích SU(1,1) chẵn (đường màu đỏ)
66

70. Đồ thị Hình 3.10 thể hiện mức độ phản kết chùm của R(3, 2) vào
r của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn (đường màu
xanh lam) và trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1)
chẵn (đường màu đỏ). Từ đồ thị chúng ta nhận thấy trong cùng một
điều kiện khảo sát thì trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon
chẵn (đường màu xanh lam) và trạng thái hai mode kết hợp thêm hai
photon tích SU(1,1) chẵn (đường màu đỏ) đều thể hiện tính chất phản
kết chùm và mức độ phản kết chùm của hai trạng thái này khác nhau
phụ thuộc vào các giá trị l, p. Nhưng trạng thái hai mode kết hợp thêm
hai photon tích SU(1,1) chẵn thể hiện tính phản kết chùm mạnh hơn
trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn.
3.2. Khảo sát sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-
Schwarz của trạng thái hai mode kết hợp thêm
hai photon tích SU(1,1) chẵn
Để khảo sát sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của trạng
thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn chúng tôi sử
dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz I [14], bằng cách thay thế x = a,
y = b ta được
I =
ˆa†2
ˆa2 ˆb†2ˆb2
1
2
ˆa†ˆb†ˆaˆb
− 1 < 0. (3.11)
Bây giờ chúng tôi tính toán biểu thức sau
I =
ˆa†2
ˆa2 ˆb†2ˆb2
1
2
ˆa†ˆb†ˆaˆb
− 1. (3.12)
67

71. Bằng cách tính trung bình trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon
tích SU(1,1) chẵn, chúng tôi thu được kết quả sau
ˆa†2
ˆa2
=|N|2
2 1 − |ξ|2
1+q
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
[1 + (−1)n
]|ξ|2n
× [ (n + q) (n + q + 1)2
(n + 1) ]. (3.13)
Tương tự
ˆb†2ˆb2
=|N|2
2 1 − |ξ|2
1+q
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
[1 + (−1)n
]|ξ|2n
× [ (n + q + 1) n(n + 1)2
]. (3.14)
Theo biểu thức (2.10) ta có
ˆa†
ˆaˆb†ˆb =|N|2
2 1 − |ξ|2
1+q
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
[1 + (−1)n
]|ξ|2n
× [(n + q + 1)2
(n + 1)2
]. (3.15)
Thay các biểu thức (3.13), (3.14) và (3.15) vào (3.12) chúng tôi thu được
biểu thức I dưới dạng
I =
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]|ξ|2n
(n + q) (n + q + 1)2
(n + 1)
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]|ξ|2n
(n + 1)
1
2
×
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]|ξ|2n
[ (n + q + 1) n(n + 1)2
]
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]|ξ|2n
(n + 1)
1
2
×
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]|ξ|2n
[(n + q + 1)2
(n + 1)2
]
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]|ξ|2n
(n + 1)
−1
− 1, (3.16)
68

72. trong đó ξ = − tanh(θ
2) exp(−iϕ). Để thuận tiện cho việc khảo sát chúng
tôi đặt ϕ = π, θ = 2r với r ≥ 0. Chúng tôi thu được tham số I dưới
dạng
I =
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r[(n + q + 1)2
(n + q) (n + 1) ]
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r (n + 1)
1
2
×
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r[ (n + q + 1) n(n + 1)2
]
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r (n + 1)
1
2
×
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r[(n + q + 1)2
(n + 1)2
]
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]tanh2n
r (n + 1)
−1
− 1. (3.17)
Kết quả khảo sát sự phụ thuộc của mức độ vi phạm bất đẳng thức
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
r
I
Hình 3.11: Sự phụ thuộc của I vào r với q = 1, 2, 3. (Đường biểu diễn các tham số được
chọn theo thứ tự tương ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.)
Cauchy-Schwarz theo r và q thể hiện trên Hình 3.11, mỗi đường biểu
diễn cho ta kết quả về sự phụ thuộc của mức độ vi phạm bất đẳng thức
69

73. Cauchy-Schwarz theo biên độ kết hợp r và q nhận mỗi giá trị khác nhau,
q = 1 tương ứng với đường màu đen, q = 2 tương ứng với đường màu
đỏ, q = 3 tương ứng với đường màu xanh lam. Đồ thị cho thấy I < 0 với
mọi giá trị của q và r, nghĩa là trạng thái hai mode kết hợp thêm hai
photon tích SU(1,1) chẵn vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Tại
cùng một giá trị của r, với q khác nhau thì giá trị của I khác nhau, nghĩa
là mức độ vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là khác nhau. Khi r
càng giảm thì sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của trạng thái
hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn càng tăng.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
r
I
Hình 3.12: Sự phụ thuộc của I vào r với q = 2 của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm
một photon chẵn (đường màu xanh lam) và trạng thái hai mode kết hợp thêm hai
photon tích SU(1,1) chẵn (đường màu đỏ).
Đồ thị Hình 3.12 thể hiện sự phụ thuộc của mức độ vi phạm bất
đẳng thức Cauchy-Schwarz theo biên độ kết hợp r và q của trạng thái hai
mode SU(1,1) thêm một photon chẵn (đường màu xanh lam) và trạng
thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn (đường màu
đỏ). Qua khảo sát chúng ta nhận thấy cả hai trạng thái này đều vi phạm
bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và mức độ vi phạm của trạng thái hai
70

74. mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn cao hơn.
Tóm lại, trong chương này chúng tôi đã tiến hành khảo sát tính
chất phản kết chùm và sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của
trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn. Kết
quả cho thấy rằng trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích
SU(1,1) chẵn thể hiện tính phản kết chùm và vi phạm bất đẳng thức
Cauchy-Schwarz.
71

75. Chương 4
KHẢO SÁT TÍNH ĐAN RỐI CỦA TRẠNG
THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM HAI
PHOTON TÍCH SU(1,1) CHẴN
Chương này chúng tôi khảo sát tính chất đan rối của trạng thái
hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn dựa vào
các tiêu chuẩn đan rối của Hillery – Zubairy và entropy von
Newmann để kiểm tra mức độ đan rối của trạng thái này.
4.1. Nghiên cứu tính chất đan rối của trạng thái hai
mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1)
bằng tiêu chuẩn đan rối Hillery – Zubairy
Từ (1.83) chúng tôi đã nêu ở chương I có dạng
| am
bn
|2
> (a+
)m
am
(b+
)n
bn
(4.1)
Theo Hillery–Zubairy [16], nếu một trạng thái hai mode thỏa mãn điều
kiện sau thì kết luận trạng thái đó bị đan rối.
| ˆamˆbn
|2
> ˆa+m
ˆam ˆb+nˆbn
(4.2)
Từ (4.1) nếu m = n thì trị trung bình ở vế trái trong biểu thức (4.1)
ứng với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn
bằng không, trong khi vế phải luôn không âm. Do vậy sẽ không có rối
trong trường hợp này. Chúng tôi xét trường hợp m = n nếu m, n lẻ thì
tương tự như trên, vế trái bằng không nên cũng không có rối. Vậy với
trường hợp với m, n chẵn, chúng tôi đặt n = 2k ( k > 0), bất đẳng thức
72

76. (4.1) được viết lại như sau
| ˆa2kˆb2k
|2
> ˆa+2k
ˆa2k ˆb+2kˆb2k
. (4.3)
Đặt
RH = ˆa+2k
ˆa2k ˆb+2kˆb2k
− | ˆa2kˆb2k
|2
(4.4)
Trạng thái đan rối nếu RH < 0. Kết quả tính toán cho trạng thái hai
mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) có dạng như sau ( k = 1 )
Từ (4.4) chúng tôi viết lại như sau
RH = ˆa+2
ˆa2 ˆb+2ˆb2
− | ˆa2ˆb2
|2
< 0. (4.5)
Tính trị trung bình trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích
SU(1,1) chẵn trong (4.1) chúng tôi có các kết quả sau
ˆa†2
ˆa2
= ba ψ| ˆa†2
ˆa2
|ψ ab
= |N|2
1 − |ξ|2
1+q
∞
m=0
(m + q)!
m!q!
1
2
[1 + (−1)m
] ξ∗m
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
1
2
× [1 + (−1)n
] ξn
ba m, m + q| ˆaˆbˆa†
ˆa†
ˆaˆaˆa†ˆb†
|n + q, n ab
= |N|2
1 − |ξ|2
1+q
∞
m=0
(m + q)!
m!q!
1
2
[1 + (−1)m
] ξ∗m
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
1
2
× [1 + (−1)n
] ξn
(n + q + 1)4
(n + q)2
(n + 1)2
× δm+q,n+qδm,n
= |N|2
1 − |ξ|2
1+q
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
[1 + (−1)n
]
2
|ξ|2n
(n + q + 1)2
(n + q)(n + 1)
= |N|2
2(1 − |ξ|)1+q
∞
n=0
(n + q)!
n!q!
[1 + (−1)n
] |ξ|2n
(n + q + 1)2
(n + q)(n + 1).
(4.6)
73

77. Tương tự
ˆb†2ˆb2
= ba ψ|ˆb†2ˆb2
|ψ ab
= |N|2
2(1 − |ξ|)1+q
∞
n=0
(n + q + 1)!
n!q!
[1 + (−1)n
] |ξ|2n
(n + 1)2
n. (4.7)
ˆa2ˆb2
= ba ψ| ˆa2ˆb2
|ψ ab
= |N|2
2(1 − |ξ|)1+q
∞
n=0
(n + q + 3)!
n!q!
[1 + (−1)n
] |ξ|2n
ξ2
(n + 3). (4.8)
Thay các trị trung bình đã tính vào (4.4) chúng tôi tính được tham số
RH =
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]|ξ|2n
(n + q + 1)2
(n + q) (n + 1)
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]|ξ|2n
(n + 1)
×
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1 + (−1)n
]|ξ|2n
[ (n + q + 1) (n + 1)2
n]
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]|ξ|2n
(n + 1)
−
∞
n=0
(n+q+3)!
n!q! [1 + (−1)n
]|ξ|2n
ξ2
(n + 3)
∞
n=0
(n+q+1)!
n!q! [1 + (−1)n
]|ξ|2n
(n + 1)
2
, (4.9)
Đồ thị (hình 4.1) Sự phụ thuộc của RH vào r với các giá trị q khác
nhau: Đường màu đen ứng với q = 0, đường màu đỏ ứng với q = 3, đường
màu xanh ứng với q = 5. Các đường biểu diễn này cho thấy RH < 0 với
các giá trị q khác nhau nghĩa là thỏa mãn điều kiện đan rối của Hillery
M. and Zubairy M. S.
74

78. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
60
50
40
30
20
10
0
r
RH
Hình 4.1: Sự phụ thuộc của RH vào r với các giá trị q khác nhau (Đường biểu diễn các
tham số được chọn theo thứ tự tương ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.)
4.2. Nghiên cứu tính chất đan rối của trạng thái hai
mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1)
bằng tiêu chuẩn entropy von Newmann
Hàm entropy về rối không những có tác dụng giúp chúng ta phát
hiện sự đan rối trong các trạng thái đa mode mà nó còn đánh giá được
mức độ đan rối trong trạng thái đó. Có hai tiêu chuẩn entropy thường
dùng là entropy tuyến tính và entropy von Newmann. Trong chương này
chúng tôi sử dụng tiêu chuẩn entropy thứ hai. Theo [10], một trạng thái
đan rối nếu thỏa mãn
E = −Trx(ˆρxlnˆρx) > 0, (4.10)
trong đó Trx(ˆρx) là lấy vết của toán tử mật độ ˆρx theo mode x, ln là
hàm logarit cơ số e. Nếu một trạng thái hai mode trong không gian Fock
có dạng
|Ψ ab =
∞
n=0
cn|n + p, n + q ab, (4.11)
75

79. trong đó cn là hệ số khai triển thỏa mãn n |cn|2
= 1, p, q là những số
nguyên không âm, hàm entropy von Newmann có dạng
E = −
∞
n=0
|cn|2
ln(|cn|2
). (4.12)
Với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn thì
|ψ ab =
∞
n=0
cn|n + q + 1, n + 1 ab, (4.13)
trong đó
cn = N(1 − |ξ|2
)(1+q)/2 (n + q)!
n!q!
(1 + (−1)n
)ξn
(n + q + 1)(n + 1).
(4.14)
Vậy, entropy von Newmann của trạng thái này được xác định là
E = − 2N2
(1 − |ξ|2
)1+q
∞
n=0
(n + q)!(1 + (−1)n
)|ξ|2n
(n + q + 1)(n + 1)
n!q!
× ln 2N2
(1 − |ξ|2
)1+q (n + q)!(1 + (−1)n
)|ξ|2n
(n + q + 1)(n + 1)
n!q!
.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
r
E
Hình 4.2: Sự phụ thuộc của tham số E vào biên độ r với các giá trị q khác nhau (Đường
biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng với màu đen, màu đỏ, màu
xanh lam.)
76

80. Kết quả ở hình 4.2 cho thấy trạng thái kết hợp thêm hai photon
tích SU(1,1) chẵn bị đan rối hoàn toàn. Mức độ đan rối càng cao nếu r
và q càng lớn. Điều này phù hợp với các kết quả được khảo sát trong
tiêu chuẩn Hillery-Zubairy. Như vậy, điều này một lần nữa khẳng định
việc thêm photon vẫn làm cho trạng thái mới mang tính chất đan rối
mạnh. theo tiêu chuẩn đan rối entropy von Newmann.
Tóm lại, trong chương này chúng tôi đã tiến hành khảo sát tính đan
rối bằng tiêu chuẩn Hillery-Zubairy và tiêu chuẩn entropy von Newmann
của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn. Kết
quả cho thấy rằng trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích
SU(1,1) chẵn thể hiện tính đan rối mạnh.
77

81. KẾT LUẬN
Trong Luận văn này, chúng tôi đã tiến hành khảo sát tính chất nén
tổng, nén hiệu hai mode và nén kiểu Hillery, tính phản kết chùm, sự
vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, nghiên cứu cứu tính chất đan
rối bằng tiêu chuẩn đan rối Hillery – Zubairy và tiêu chuẩn entropy von
Newmann của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1)
chẵn. Các kết quả chính của Luận văn có thể tóm tắt như sau:
Thứ nhất là bằng cách sử dụng các điều kiện nén tổng, nén hiệu
hai mode và nén Hillery, chúng tôi đã đưa ra các tham số nén tổng, nén
hiệu hai mode và nén Hillery. Qua khảo sát, chúng tôi thu được trạng
thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn thể hiện tính
chất nén tổng nhưng lại không thể hiện tính chất nén hiệu hai mode.
Đối với trường hợp nén tổng hai mode, mức độ nén tổng càng tăng khi
biên độ kết hợp r và sự chênh lệch photon q giữa hai mode càng tăng.
Kết quả khảo sát cho thấy trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon
tích SU(1,1) chẵn thể hiện tính chất nén tổng yếu hơn trạng thái hai
mode SU(1,1) thêm một photon chẵn.
Thứ hai là chúng tôi áp dụng tiêu chuẩn phản kết chùm cho trường
hợp hai mode để tiến hành khảo sát tính chất phản kết chùm của trạng
thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn. Kết quả khảo
sát cho thấy rằng trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích
SU(1,1) chẵn thể hiện tính phản kết chùm với mức độ mạnh, yếu phụ
thuộc vào biên độ kết hợp r. So với trạng thái hai mode SU(1,1) thêm
một photon chẵn thì trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích
SU(1,1) chẵn thể hiện tính phản kết chùm mạnh hơn.
Thứ ba là chúng tôi sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để khảo
78