Luận Văn Phương Pháp Khoảng Cách Trong Phân Tích Thống Kê mẫu ĐIểm Không gian đã chia sẻ đến cho các bạn sinh viên một bài mẫu luận văn hoàn toàn xuất sắc đáng để xem và tham khảo. Nếu như các bạn muốn tải bài mẫu này vui lòng nhắn tin nhanh qua zalo/telegram : 0932.091.562 để được hỗ trợ tải nhé.

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------
ĐÀO THỊ TUYẾT THANH
PHƢƠNG PHÁP KHOẢNG CÁCH TRONG
PHÂNTÍCHTHỐNGKÊMẪUĐIỂMKHÔNGGIAN
Tham khảo thêm tài liệu tại Luanvanpanda.com
Dịch Vụ Hỗ Trợ Viết Thuê Tiểu Luận,Báo Cáo
Khoá Luận, Luận Văn
ZALO/TELEGRAM HỖ TRỢ 0932.091.562
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.15
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. ĐÀO HỮU HỒ
Hà Nội, Năm 2022

2. 1
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------
ĐÀO THỊ TUYẾT THANH
PHƢƠNG PHÁP KHOẢNG CÁCH TRONG
PHÂNTÍCHTHỐNGKÊMẪUĐIỂMKHÔNGGIAN
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.15
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. ĐÀO HỮU HỒ
Hà Nội, Năm 2022

3. I
MỞ ĐẦU
Quá trình điểm không gian được phát triển mạnh mẽ từ các thập niên 60 – 70
– 80 của thế kỷ trước và vẫn được các nhà khoa học không ngừng quan tâm cho đến
nay.
Ngoài ý nghĩa khoa học rất rõ ràng và sáng sủa, quá trình điểm không gian
còn có rất nhiều ứng dụng. Nhiều hiện tượng trên thực tiễn chúng ta gặp là các quá
trình điểm không gian. Do đó ngoài việc nghiên cứu lý thuyết các quá trình điểm
không gian, các nhà khoa học còn rất quan tâm tới bài toán phân tích thống kê các
quá trình điểm không gian. Nghĩa là làm sao ta nhận biết được một quá trình điểm
không gian ta gặp trong thực tế là quá trình điểm không gian nào, chúng có những
tính chất gì,… Cụ thể hơn: chúng ta có một mẫu ảnh về một hiện tượng nào đó.
Liệu mẫu ảnh này có tính ngẫu nhiên không gian hoàn toàn hay không, hoặc quá
trình điểm không gian đang xét có phải là quá trình Poisson hay không. Để trả lời
câu hỏi trên ngoài phương pháp mang tính hàn lâm truyền thống, từ thập niên 80 –
90 của thế kỷ 20, với sự phát triển rất mạnh mẽ của tin học, một phương pháp
nghiên cứu mới xuất hiện trong nghiên cứu của thống kê toán học là chúng ta mô
phỏng các quá trình điểm không gian mà ta quan tâm, sau đó ta xét một vài đặc
trưng nào đó của quá trình này. So sánh các đặc trưng của quá trình mô phỏng với
các đặc trưng của mẫu ảnh ta có, nếu thấy chúng phù hợp với nhau, ta sẽ kết luận về
mẫu ảnh ta đang xét.
Các đặc trưng được nhắc đến trên, trong luận văn này chính là các khoảng
cách: khoảng cách giữa các biến cố, khoảng cách từ biến cố tới biến cố gần nhất,
khoảng cách từ một điểm tới biến cố gần nhất, số trung bình khoảng cách nhỏ hơn t
của một biến cố cố định bất kỳ.
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn
“Phƣơng pháp khoảng cách trong phân tích thống kê mẫu điểm không gian”,
gồm ba chương:
Chương 1: Quá trình điểm không gian: Các khái niệm và kết quả cơ bản.

4. II
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
Chương này giới thiệu một số khái niệm về mẫu điểm không gian, đặc biệt là
tính ngẫu nhiên không gian hoàn toàn và một số đặc trưng cấp 1, cấp 2 của quá trình
điểm không gian.
Chương 2: Các phương pháp khoảng cách.
Chương này luận văn giới thiệu đến các kết quả lý thuyết về quá trình điểm
không gian. Cụ thể là các hàm phân phối của các khoảng cách đối với quá trình
điểm Poisson. Đó là hàm phân phối của khoảng cách giữa các biến cố, khoảng cách
lân cận gần nhất, khoảng cách từ điểm tới các biến cố gần nhất, ước lượng tính chất
cấp 2.
Chương 3: Phân tích mẫu ảnh trên máy tính.
Trong chương này, luận văn đã xây dựng các chương trình để xử lý một mẫu
ảnh đã cho. Mỗi mẫu ảnh được xử lý dựa trên bốn tiêu chuẩn liên quan tới bốn
khoảng cách giữa các biến cố. Dựa trên các kết quả nhận được khi sử dụng các phần
mềm đã được xây dựng trong chương 3 này, chúng tôi đã phân tích và đưa đến kết
luận về tính ngẫu nhiên không gian hoàn toàn của ba mẫu ảnh điển hình: mẫu ngẫu
nhiên, mẫu kết tập, mẫu có quy tắc.
Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng do vấn đề được đề cập trong luận văn là tương
đối phức tạp, do thời gian có hạn và do trình độ còn hạn chế, vì vậy luận văn không
tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả luận văn mong muốn nhận được sự góp ý kiến
của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn chỉnh hơn.

5. IV
MỤC LỤC
Lời mở đầu
Lời cảm ơn
Chƣơng 1: Quá trình điểm không gian: Các khái niệm cơ bản …………….............
I
III
1
1.1 Mẫu điểm không gian……………………………………………………………….. 1
1.2 Tính ngẫu nhiêu không gian hoàn toàn (tính CSR)………………………………… 3
1.3 Tiêu chuẩn Monte Carlo…………………………………………………………….. 4
1.4 Quá trình điểm không gian………………………………………………………….. 5
1.4.1 Quá trình đơn biến………………………………………………………………… 6
1.4.2 Quá trình Poissonthuần nhất……………………………………………………… 8
Chƣơng 2: Các phƣơng pháp khoảng cách…………………………………………... 10
2.1 Khoảng cách giữa các biến cố………………………………………………............. 10
2.2 Khoảng cách lân cận gần nhất………………………………………………............. 13
2.3 Khoảng cách từ điểm tới các biến cố gần nhất……………………………………… 14
2.4 Ước lượng tính chất cấp hai: ước lượng hàm K(t)………………………………….. 15
Chƣơng 3: Phân tích mẫu ảnh trên máy tính………………………………………... 19
3.1 Lập trình xử lý hàm H(t)……………………………………………………............. 19
3.2 Lập trình xử lý hàm G(t)……………………………………………………............. 30
3.3 Lập trình xử lý hàm F(t)…………………………………………………………….. 39
3.4 Lập trình xử lý hàm K(t)……………………………………………………............. 48
3.5 Phân tích xử lý ba mẫu ảnh cụ thể…………………………………………………... 54
Kết luận ………………………………………………………………………………... 62
Tài liệu tham khảo …………………………………………………………………….. 63

6. 1
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
CHƢƠNG1: QUÁ TRÌNH ĐIỂM KHÔNG GIAN:
CÁC KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN
1.1 Mẫu điểm không gian
Trong nghiên cứu thống kê chúng ta thường gặp các tình huống mà dữ liệu
cho dưới dạng tập các điểm, được phân bố ngẫu nhiên trong một miền của không
gian, chẳng hạn như các ảnh chụp từ trên cao cho ta các vị trí của các cây trong một
khu rừng, hoặc vị trí các tổ chim, hoặc vị trí của các nhân tế bào trong một phần mô
nhỏ, … vv.
Chúng ta gọi những tập như vậy là mẫu điểm không gian và coi vị trí của các
phần tử đó là các biến cố để phân biệt chúng với các điểm tùy ý khác trong miền
được nói đến.
Sau đây ta xem xét một số ví dụ cụ thể về mẫu điểm không gian.
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Hình 1.1: Vị trí của 65 cây thông đen Nhật Bản
Hình 1.1, do Numata đưa ra (xem [12]),thể hiện vị trí của 65 cây thông đen
Nhật Bản trong một hình vuông với cạnh 5,7m.
S…

7. 2
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
S…
1.2
Hình 1.2: Vị trí của 62 cây gỗ đỏ
Hình 1.2, do Strauss đưa ra(xem [14]), thể hiện vị trí 62 cây gỗ đỏ trên một
hình vuông với cạnh 23m.
Nhận thấy ở hai mô hình này có sự khác biệt rất rõ rệt. Hình 1.1 thể hiện một
cấu trúc không rõ ràng và có thể xem như là một mô hình ngẫu nhiên hoàn toàn.
Trong khi đó ở hình 1.2, việc mọc thành cụm một cách rõ rệt của các cây gỗ đỏ.
Chúng ta miêu tả mẫu điểm giống như hình 1.2 là mẫu kết tập.
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
S
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Hình 1.3: Vị trí nhân của 42 tế bào sinh học

8. 3
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
Hình 1.3, do Ripley đưa ra (xem [14]), lại là một mẫu điểm khác, nó thể hiện
nhân của 42 tế bào sinh học. Sự phân bố của các nhân tế bào có vẻ có quy tắc.
Qua 3 ví dụ trên ta có thể hình thành một sự phân loại các mẫu điểm không
gian như sau: mẫu có quy tắc, mẫu ngẫu nhiên, mẫu kết tập.
Ta giả sử các miền được xét đến đều là miền phẳng trong không gian hai
chiều. Nhưng về nguyên tắc ta có thể mở rộng cho các không gian khác.
1.2 Tính ngẫu nhiên không gian hoàn toàn (tính CSR)
Trước hết ta nêu định nghĩa của tính ngẫu nhiên không gian hoàn toàn
(Complete Spatial Randomness: CSR).Đó là tính độc lập tứ phía. Nghĩa là số các
biến cố của mẫu điểm rơi vào k tập Borel rời nhau lập nên k biến ngẫu nhiên độc
lập (xem [15]) .
Giả thiết về tính ngẫu nhiên không gian hoàn toàn khẳng định rằng:
i) Số biến cố trong một miền phẳng A với diện tích A , tuân theo phân phối
Poisson với giá trị trung bình λ A .
ii ) Cho n biến cố Xi trong miền A thì các Xi được xem là một mẫu ngẫu
nhiên độc lập cỡ n có phân phối đều trên A.
Trong i) hằng số λ là cường độ hay là số trung bình các biến cố trên mỗi đơn
vị diện tích. Theo i), nếu tính chất CSR thỏa mãn thì cường độ của các biến cố
không thay đổi quá mức cho phép. Theo ii), khi tính CSR thỏa mãn thì không có sự
ảnh hưởng lẫn nhau giữa các biến cố. Nghĩa là tính độc lập trong ii) sẽ bị vi phạm
nếu sự tồn tại của một biến cố tại X hoặc là khuyến khích hoặc là hạn chế sự tồn tại
của các biến cố khác trong lân cận của X.
Hình 1.4: 100 biến cố trong một hình vuông đơn vị

9. 4
Hình 1.4 cho ta mẫu điểm ngẫu nhiên không gian hoàn toàn của 100 biến cố
trên một đơn vị diện tích. Những hình ảnh ấn tượng về sự kết tập là không có. Cũng
cần lưu ý tới sự giống nhau bề ngoài với hình 1.1.
Ta quan tâm đến tính CSR bởi nó cho ta một ý tưởng chuẩn hóa, điều tưởng
chừng không thể đạt được trong thực tế, vàcó thể trở thành tiện lợi cho xấpxỉ đầu tiên.
Hầu hết các phân tích bắt đầu với việc kiểm tra tính CSR, bởi nó có những
ưu điểm sau:
- Một mẫu thỏa mãn tính CSR không bác bỏ những ưu điểm của các phương
pháp phân tích thống kê chính thức.
- Các tiêu chuẩn được dùng như là công cụ để khám phá tập số liệu hơn là để
bác bỏ tính CSR.
- Tính CSR tác động như là một phân chia giả thiết để phân biệt mẫu điểm có
quy tắc và mẫu điểm kết tập.
1.3 Tiêu chuẩn Monte Carlo
Ngay cả đối với mô hình ngẫu nhiên đơn giản của mẫu ảnh không gian cũng
dẫn đến các phân phối lý thuyết khó, cho nên để kiểm định mô hình đối với các số
liệu người ta sử dụng rộng rãi các tiêu chuẩn Monte Carlo (xem [6]).
Tiêu chuẩn này được dùng để đánh giá tính CSR của một mẫu điểm không
gian. Nội dung của tiêu chuẩn như sau:
Ta xét một thống kê U nào đó.
+ Giả sử u1 là giá trị quan sát của U từ mẫu điểm đã cho.
+ Giả sử ui ( i = 2, …, s ) là các giá trị tương ứng của U sinh ra bởi các mẫu
ngẫu nhiên độc lập,thỏa mãn giả thiết H nào đó (giả thiết H trong luận văn này
chính là tính CSR).
+ Giả sử u( j ) là giá trị lớn nhất thứ j trong số ui , i = 1,2,…, s.
Khi đó với giả thiết H ta có:
P(u1  u( j )
) 
1
s
, j = 1,2,…, s.
Nếu u1 được xếp vào vị trí lớn thứ k hoặc cao hơn thì ta bác bỏ giả thiết H.
Thực hiện như vậy ta nhận được tiêu chuẩn một phía với mức ý nghĩa
k
.
s

10. 5

K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
Ta giả thiết các giá trị ui là khác nhau, do đó hạng (hay vị trí) của u1 trong
dãy ui là rõ ràng.
Hope (xem [9])đã cho một số ví dụ để chỉ ra rằng sự tổn thất lực lượng nhận
được từ tiêu chuẩn Monte Carlo là rất nhỏ, vì vậy giá trị s không nhất thiết phải lớn
lắm. Với tiêu chuẩn một phía mức ý nghĩa thông thường là 5% thì s = 100 là đủ.
Tổn thất lực lượng liên quan đến nghiên cứu của Mairiott về “ vùng giới hạn
mờ “(xem [10])mà nó xuất hiện bởi giá trị của u1 có thể có ý nghĩa trong phương
pháp kiểm tra cổ điển nhưng không có ý nghĩa trong phương pháp kiểm tra Monte
Carlo và ngược lại. Giả sử hàm phân phối của U với giả thiết H là F(u). Đối với tiêu
chuẩn một phía 5% với s = 20k ta có
s 1 r s1r
P(bác bỏ H/ u1)  
 r
1 F(u1  F(u1 )

(1.1)
Ta có F(u1 )  P(U  u1 ) , như ta đã biết nếu u1 có thứ hạng lớn nhất thứ k hoặc
cao hơn thì giả thiết H bị bác bỏ. Như vậy với s – 1 giá trị ui (i = 2, … , s) nếu có r
giá trị lớn hơn u1 thì sẽ có s – r – 1 giá trị nhỏ hơn hoặc bằng u1. Theo công thức xác
suất Bernoulli ta nhận được công thức (1.1)
Với phương pháp kiểm tra cổ điển khi s → ∞ , P(bác bỏ H/ u1) tiến tới 1
hoặc 0 tương ứng với F(u1) lớn hơn hoặc nhỏ hơn 0,95.
1.4 Quá trình điểm không gian
Một quá trình điểm không gian là một cơ cấu ngẫu nhiên mà nó sinh ra một
tập hợp đếm được các biến cố xi trong mặt phẳng.
Chúng ta sẽ làm việc với các quá trình dừng và đẳng hướng.
Tính dừng của quá trình có nghĩa là tất cả các tính chất của quá trình sẽ bất
biến đối với phép tịnh tiến, còn tính đẳng hướng nghĩa là các tính chất của quá trình
sẽ bất biến đối với phép quay.
Các phương pháp thống kê đối với mẫu điểm không gian, thường là liên
quan đến việc so sánh giữa các mô tả tóm tắt thực nghiệm của dữ liệu và mô tả tóm
tắt lý thuyết tương ứng của một mô hình quá trình điểm.
Điều này dẫn tới việc xây dựng các tiêu chuẩn của tính ngẫu nhiên không
gian hoàn toàn liên quan đến việc so sánh giữa dạng phân phối lý thuyết của khoảng

11. 6
 

cách nào đó và hàm phân phối tương ứng trong một mẫu quan sát của n biến cố. Vì
vậy chúng ta sẽ xem xét các mô tả tóm tắt lý thuyết của quá trình điểm. Ta tập trung
vào các tính chất mà dẫn đến các phương pháp thống kê thuận tiện. Chúng ta có các
ký hiệu sau:
E[X] là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X.
N(A) là số các biến cố trong miền phẳng A.
Nj (A) là số các biến cố loại j trong A (trong quá trình đa biến) .
A là diện tích của A.
dx là một miền nhỏ chứa điểm x.
x  y là khoảng cách Euclid giữa điểm x và y.
1.4.1 Quá trình đơn biến
Trước hết, ta định nghĩa tính chất cấp một và tính chất cấp hai của quá trình
điểm không gian.
Tính chất cấp một được mô tả bởi hàm cường độ
(x)  
 E N(dx) 

lim
 
d x 0
 dx 


Đối với quá trình dừng, λ(x) được coi là hằng số λ, tức là số các biến cố trên
một đơn vị diện tích.
Tính chất cấp hai mô tả bởi hàm cường độ cấp hai:
 (x, y)  lim

EN(dx)N(dy)

2
dx 0
dy 0
dx dy



Hàm cường độ có điều kiện là:  (x / y) 
2 (x, y)
c
( y)
Đối với quá trình dừng, λ2(x,y) ≡ λ2(x – y). Trong quá trình dừng,đẳng
hướng thì λ2(x – y) có thể viết là λ2(t) với t  x  y
Một đặc trưng khác của tính chất cấp hai của một quá trình dừng, đẳng
hướng là hàm K(t), được định nghĩa như sau:
K (t) 
1
EN
 0
(t) (1.2)




12. 7


K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
với N0 (t) là số các biến cố khác trong khoảng cách t của một biến cố tùy ý.
Ta thiết lập mối quan hệ giữa K(t) và λ2 (t) như sau:
Giả sử quá trình của chúng ta là có trật tự, nghĩa là các biến cố trùng nhau
không thể xảy ra. Chính xác hơn, PN(dx)  1có cấp nhỏ hơn so với dx . Điều này
có nghĩa là E[N(dx)] ~ PN(dx)  1 theo nghĩa là tỷ số của hai số lượng này có xu
hướng tiến đến 1 nếu
Vì:
dx  0 .
EN(dx)  1.PN(dx)  1 p.PN(dx)  1 PN(dx)  1 p.0( dx )  PN(dx) 1
Tương tự, giả sử EN(dx)N(dy)~ PN(dx)  N(dy)  1. Với các giả thiết này, số
trung bình của các biến cố khác trong khoảng cách t của một biến cố tùy ý có thể
được tính bằng phép lấy tích phân cường độ có điều kiện trên một hình tròn có tâm
là gốc và bán kính t. Do đó :
K (t) 
1
EN
 0 (t)

1 2 t
 c (x / 0)xdxd
0 0
1 2 t
 (x)  (x / 0)  (x)
.   2
xdxd

(do  (x / 0)  2
 2
)
2 t
 0 0  (0) 
 2 2 (x)xdx (1.3)
0
hoặc ngược lại

2
'
2 (t) 
2 t
K (t) (1.4)
Theo một quan điểm lý thuyết, đôi khi ta làm việc với λ2(t) sẽ tiện lợi hơn là
làm việc với K(t), và như là một thay thế nhỏ chúng ta định nghĩa hàm mật độ hiệp
phương sai :
 (t)  2 (t)  2
(1.5)
Đối với việc phân tích dữ liệu, K(t) thuận lợi hơn λ2(t) ở chỗ nó có thể ước
lượng một cách dễ dàng hơn từ các dữ liệu. Về cơ bản K(t) và λ2(t) liên quan đến
hàm phân phối và hàm mật độ xác suất của các khoảng cách giữa các cặp biến cố
c

13. 8
trong mẫu điểm, và đặc biệt trong các mẫu nhỏ, nó thuận lợi ta người đầu tiên có
thể ước lượng mà không cần phải xem phân phối thực nghiệm tương ứng mịn đến
mức nào.
Một thuận lợi khác của hàm K là nó bất biến đối với phép làm mỏng ngẫu
nhiên. Bởi vậy, chúng ta hiểu rằng, nếu mỗi biến cố của một quá trình được giữ lại
hoặc không tương ứng với dãy phép thử Bernoulli độc lập thì hàm K của quá trình
làm mỏng nhận được sẽ đồng nhất với hàm K của quá trình ban đầu. Theo (1.2),
hàm K được định nghĩa là tỷ số của hai đại lượng là EN0 (t)và λ. Hiệu quả của sự
mỏng là mỗi phần tử bội là p, xác suất sự giữ lại cho một biến cố bất kỳ là tỷ số
không đổi.
1.4.2 Quá trình Poisson thuần nhất
Quá trình Poisson thuần nhất trên mặt phẳng là nền tảng lý thuyết của quá
trình điểm không gian được xây dựng. Nó biểu diễn cơ chế ngẫu nhiên đơn giản
nhất có thể để sản sinh ra các mẫu điểm không gian và trong ứng dụng nó được sử
dụngnhư là một tiêu chuẩn lý tưởng của tính ngẫu nhiên không gian hoàn toàn. Quá
trình Poisson được định nghĩa một cách thuận lợi bởi những vấn đề sau, nó tương
ứng với định nghĩa tính ngẫu nhiên không gian hoàn toàn.
i) Đối với λ > 0, với bất kỳ miền phẳng hữu hạn A, N(A) tuân theo luật phân
phối Poisson với trung bình λ A
ii) Với N(A) = n đã cho, n biến cố trong A lập nên một mẫu ngẫu nhiên độc
lập phân phối đều trong A.
Để chứng minh rằng i) và ii) là tự phù hợp, ta đưa ra tính chất iii):
iii) Cho hai miền rời nhau A và B, các biến ngẫu nhiên N(A) vàN(B) độc lập.
Thật vậy, từ i) và ii) ta suy ra iii).
Đặt C  A B là hợp của hai miền rời nhau A và B.
Đặt p  A / C và q  1 p  B / C
Khi đó, áp dụng ii) cho miền C ta suy ra:
 y   x  y x y
PN(A)  x,N(B) 
N(C)
 n   p q
x
   

14. 9
2
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
Với x, y nguyên và 0  x  n , y  n  x
Theo i) ta có phân phối đồng thời của N(A) và N(B) là:
 x  y  


( C )n 


PN ( A)  x, N (B)  y   p x qy
e C


 x   n! 
(1.6)
e A ( A )x e B ( B )y 

 

 x!
với x,y: nguyên, không âm.





y! 
Điều đó chứng tỏ N(A), N(B) có phân phối Poisson độc lập. Ta nhận được
iii). Ngược lại tính cộng tính của các biến ngẫu nhiên phân phối Poisson độc lập X
và Y và phân phối nhị thức có điều kiện của X với điều kiện X + Y đã cho sẽ cho ta
tính i) và ii) đối với mọi miền là hợp của hai miền rời nhau mà trên đó tính i) và ii)
thỏa mãn. Điều đó chứng minh tính tự phù hợp mà ta yêu cầu.
Tham số λ của quá trình Poisson là cường độ của nó. Từ tính độc lập iii) ta
suy ra
 (t)  2
: t  0(1.7)
Do (1.3) nên K(t)   t 2 : t  0(1.8)
Đặt G(y) là hàm phân phối của khoảng cách từ một biến cố tùy ý tới biến cố
khác gần nhất với nó. F(x) là hàm phân phối của khoảng cách từ một điểm tùy ý tới
biến cố gần nhất. Đối với quá trình Poisson các hàm phân phối lân cận gần nhất
G(y) và F(x) là đồng nhất, bởi vì việc tồn tại một biến cố tại một điểm đặc biệt,
chẳng hạn x0, sẽ không ảnh hưởng gì đến phân phối của số lượng biến cố còn lại
trong hình tròn với tâm x0. Từ i) suy ra:
F(x)  G(x) PN( x2 ) 01exp( x2 ): x  0(1.9)
Để mô phỏng một thể hiện riêng của quá trình Poisson trên A với điều kiện
N(A) bằng một giá trị cố định, chúng ta cần tạo ra các biến cố độc lập theo một hàm
phân phối đều trên A. Các dạng khó sử dụng của miền A có thể được điều chỉnh bởi
sự mô phỏng các quá trình trên một miền lớn hơn với một dạng phù hợp chẳng hạn
là hình chữ nhật hoặc hình tròn, và chỉ giữ lại các biến cố nằm trong A.

15. 10
t 2
1
4
H (t) 


2(t   
4
2
CHƢƠNG2: CÁC PHƢƠNG PHÁP KHOẢNG CÁCH
Việc kiểm định tính CSR là một điều kiện tiên quyết tối thiểu đối với mọi cố
gắng nghiêm túc để mô hình hóa một mẫu quan sát được. Vì vậy trong chương này
chúng ta sẽ xây dựng các tiêu chuẩn để nhận biết tính CSR dựa trên các khoảng
cách giữa các biến cố với nhau, khoảng cách tới biến cố gần nhất, khoảng cách giữa
một điểm cố định tới các biến cố ….
Các tiêu chuẩn dựa trên phương pháp đồ thị sẽ mang đến cho chúng ta những
kết quả bất ngờ thú vị. Giá trị của phương pháp đồ thị mang lại khá nhiều thông tin
và nhiều trường hợp ta không cần dùng đến phương pháp khác nữa. Dùng mức ý
nghĩa đạt được để đánh giá mức độ thỏa mãn tính CSR. Trường hợp không thỏa
mãn ta sẽ kết hợp thông tin của các tiêu chuẩn bổ sung khác để chỉ ra bản chất của
mọi sự không thỏa mãn tính CSR của một mẫu điểm.
2.1 Khoảng cách giữa các biến cố.
Giả sử ta có một mẫu điểm gồm n biến cố trong một miền A, khi đó ta có
C 2 
1
n(n 1) khoảng cách giữa các biến cố. Ký hiệu tịj là khoảng cách giữa hai biến
n
2
cố i và j trong miền A. Phân phối lý thuyết của khoảng cách T giữa hai biến cố độc
lập và phân phối đều trong A, phụ thuộc vào kích thước và hình dạng của A, nhưng
có thể biểu diễn được dưới dạng kiểu khi A là hình vuông hoặc hình tròn (xem [7]).
Đối với một hình vuông đơn vị, hàm phân phối của T là:

 t2
1

8t 3


3
t 4
t
: 0  t 1
2
4(t 2 1)1/ 2 (2t 2 1) (2.1)


3
 2t 2  
2
 2t 2 arcsin(2t 2 1)
3
: 1 t 
Còn đối với một đường tròn bán kính đơn vị, hàm phân phối là:
H (t) 1
1 



2
1)arccos
 t 
t(1
t
)
2 2


với 0  t  2(2.2)

   

Bây giờ chúng ta phát triển tiêu chuẩn CSR dựa trên khoảng cách giữa hai biến cố.
2

16. 11
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
Giả sử đối với miền A đang xét, hàm phân phối H(t) đã biết. Tính toán hàm
phân phối thực nghiệm (viết tắt là EDF) của khoảng cách giữa các biến cố.Gọi hàm
đó là Ĥ1 (t) .Hàm Ĥ1 (t) chính là tỷ lệ quan sát được của các khoảng cách giữa các
biến cố tij không vượt quá t, vì vậy
Ĥ1 (t) 
2
n(n 1)
#(tij  t)
trong đó # (tij  t) là số lượng của các tij mà nhỏ hơn hay bằng t.
Bây giờ ta vẽ đồ thị của Ĥ1 (t) đối với H(t), nghĩa là Ĥ1 (t) là tung độ còn H(t)
là hoành độ. Nếu dữ liệu của mẫu điểm đang xét là tương thích với CSR thì đồ thị
xấp xỉ tuyến tính, tức là đồ thị vẽ ra sẽ là đường xấp xỉ thẳng, bởi vì về mặt lý
thuyết khi có tính CSR thỏa mãn thì hàm Ĥ1 (t) sẽ bằng hàm H(t).
Để đánh giá mức độ có ý nghĩa hoặc sự xa rời tính tuyến tính, biện pháp
thuận lợi là phân phối mẫu Ĥ1 (t) với giả thiết tính CSR được thỏa mãn.Nhưng điều
đó khá phức tạp bởi vì sự phụ thuộc giữa các khoảng cách giữa các biến cố với một
điểm biên chung. Do đó chúng ta tiến hành như sau:
+ Ta mô phỏng s – 1 mẫu điểm gồm n biến cố trong miền A với kích thước
và hình dạng như mẫu điểm đang xét với giả thiết thỏa mãn tính CSR. Đó là s – 1
mô phỏng của n biến cố độc lập và có phân phối đều trong A.
+ Với một mẫu mô phỏng ta tính hàm phân phối thực nghiệm
2,3,…, s
+ Xác định các bao mô phỏng trên dưới tương ứng:
Ĥi (t) , i =
Bao mô phỏng trên là U(t) = max{ Ĥi (t) , i = 2,3, …, s } (2.3)
Bao mô phỏng dưới là L(t) = min { Ĥi (t) , i = 2,3, …, s } (2.4)
Các bao mô phỏng này được vẽ đối với H(t) và có tính chất là với tính CSR
và với mỗi t
P(Ĥ1 (t)  U (t))  P(Ĥ (t)  L(t)) 
1
(2.5)
1
s

17. 12
i  i
Các bao mô phỏng giúp ta đánh giá, giải thích đồ thị của Ĥ1 (t) đối với H(t).
Hai trong nhiều phép xấp xỉ để xây dựng tiêu chuẩn Monte Carlo chính xác của
CSR như sau:
i) Chọn t0 và xác định ui  Ĥi (t0 ) . Như đã nói trong 1.3 thứ hạng của u1
trong dãy ui , i = 1, 2 …, s cung cấp một cơ sở của tiêu chuẩn, bởi vì với tính CSR
thì tất cả các hạng của u1 là như nhau.
ii ) Xác định ui là thước đo của sự khác biệt giữa
khoảng biến thiên t, chẳng hạn
u  (Ĥ (t)  H(t))2 dt (2.6)
Ĥi (t) và H(t) trên toàn
và một lần nữa chúng ta lại áp dụng tiêu chuẩn dựa trên hạng của u1.
Phép xấp xỉ đầu tiên có ý nghĩa chỉ khi t0 có thể được lựa chọn một cách
ngẫu nhiên, trong khi đó cách thứ hai có vẻ khách quan hơn.
Nếu miền A là một miền mà đối với nó hàm phân phối lý thuyết H(t) chưa
biết thì việc kiểm tra tính CSR vẫn có thể được thực hiện nếu trong (2.6), H(t) được
thay thế bởi H (t) 
1
Ĥ (t) .
i
s 1
j
j i
Các ui không còn độc lập khi mà tính CSR đã được thỏa mãn nhưng vẫn đảm
bảo tất cả các hạng của u1 có cùng xác suất như nhau. Tương tự, phương pháp đồ thị
bao gồm việc vẽ đồ thị của các hàm Ĥ1 (t) , U(t) và L(t) đối với H1 (t) . Chú ý vì
H1 (t) chỉ bao gồm các mô phỏng của tính CSR mà không có dữ liệu ban đầu nên nó
cho một ước lượng không chệch của H(t).
Sau khi đã có đồ thị các hàm Ĥ1 (t) , U(t) và L(t) ta tiến hành quan sát dáng
điệu của Ĥ1 (t) đối với U(t) và L(t). Nếu đồ thị hàm Ĥ1 (t) xấp xỉ một đường thẳng và
nằm giữa đồ thị bao mô phỏng trên U(t) và đồ thị bao mô phỏng dưới L(t), có nghĩa
là Ĥ1 (t) vẫn nằm trong vùng dao động của tính CSR, khi đó ta chấp nhận giả thiết
H: mẫu điểm có tính CSR. Ngược lại, ta bác bỏ giả thiết H, nghĩa là mẫu điểm
không có tính CSR.

18. 13
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
Để nhận được các kết quả trình bày trên chúng ta phải nhờ đến sự giúp đỡ
của máy tính điện tử.
Lập trình để xử lý bài toán trên, sau đó áp dụng vào các mẫu điểm ở hình
1.1, 1.2, 1.3 sẽ được thực hiện ở chương sau.
2.2 Khoảng cách lân cận gần nhất
Cho n biến cố trong miền A. Đặt yi là khoảng cách từ biến cố thứ i đến biến
cố khác gần nó nhất trong A. yi được gọi là khoảng cách lân cận gần nhất. Như vậy
ta sẽ có n giá trị yi trên miền A. Chúng ta có thể tính được EDF, giả sử Ĝ1 ( y) ,
khoảng cách lân cận gần nhất bằng cách tương tự với việc tính toán được sử dụng
tại mục 2.1 để có được Ĥ1 (t) . Vì vậy: Ĝ1
(y) ) 
1
n
# ( yi  y ).
Trong thực tế, tương tác giữa các biến cố tồn tại chỉ ở một mức nhỏ. Chẳng
hạn cây cối tìm kiếm ánh sáng mặt trời và chất dinh dưỡng thông qua ngọn cây hoặc
hệ thống rễ. Trong trường hợp này, khoảng cách lân cận gần nhất cung cấp cho ta
một công cụ khách quan tập trung vào khoảng cách nhỏ giữa các biến cố trong khi
ngưỡng khoảng cách chính xác chưa được xác định trước.
Sự phân bố lý thuyết của khoảng cách lân cận gần nhất Y dưới tính CSR phụ
thuộc vào n và miền A không thể biểu diễn dưới dạng hiểu bởi sự phức tạp của hiệu
ứng biên. Nếu bỏ qua hiệu ứng biên và nếu ký hiệu A là diện tích của A thì ta sẽ
nhận được biểu thức xấp xỉ. Khi đó
y2
là xác suất để một biến cố tùy ý nằm trong
khoảng cách y của một biến cố xác định với giả thiết về tính CSR. Do đó các biến
cố được xác lập một cách độc lập nên hàm phân phối xấp xỉ của Y là:
G(y) 1 (1y2 A1)n1
Với n lớn, ta đặt λ bằng một xấp xỉ khác nữa là   n A
1
ta có:
G(y) 1 exp(y 2 ) : y  0 (2.7)
A

19. 14
1 1
Hàm phân phối thực nghiệm Ĝ1 ( y) có thể so sánh với các bao mô phỏng
trên và dưới nhận được từ các hàm phân phối thực nghiệm mô phỏng
… , s; một cách chính xác như trong mục 2.1.
Ĝi (y) , i = 2,
Ta có thể dùng (2.7) làm phân phối lý thuyết, nhưng đó chỉ là xấp xỉ nên
người ta thích dùng trung bình mẫu
i = 2,… , s; dựa trên các mô phỏng.
Gi ( y) của các hàm phân phối thực nghiệm Ĝi (y)
Các cơ sở có thể đối với tiêu chuẩn Monte Carlo là
+ Chọn ui là giá trị trung bình của mẫu y của n khoảng cách lân cận gần nhất
+ Hoặc chọn y0 , đặt ui  Ĝi (y0 )
+ Hoặc chọn
ui  Ĝi (y)  Gi (y)2
dy
trong đó G (y) 
1
Ĝ (y)
i
s 1 j
j i
Bước cuối cùng là vẽ đồ thị các hàm Ĝi (y) , U(y), L(y) trên cùng một hệ tọa
độ với hoành độ là G1(y) , các tung độ tương ứng là Ĝ1 (y) , U(y), L(y). Việc đánh
giá hàm phân phối thực nghiệm của các khoảng cách lân cận gần nhất G1(y) ứng
với mẫu điểm đã cho cũng tương tự như việc đánh giá hàm Ĥ1 (t) ở mục 3.1.
Việc lập trình để xử lý bài toán trên, sau đó áp dụng vào các mẫu điểm được
giới thiệu ở 1.1 sẽ được bàn đến ở chương sau.
2.3 Khoảng cách từ điểm tới các biến cố gần nhất
Giả sử ta có m điểm mẫu trong miền A. xi là khoảng cách từ một điểm
mẫu (trong m điểm mẫu trên) tới biến cố gần nhất trong n biến cố trong A. Hàm
phân phối thực nghiệm Fˆ (x) 
1
m
# ( xi  x ). Hàm Fˆ (x) đo khoảng trống trong A
theo nghĩa là 1- F̂(x) là ước lượng diện tích B(x) của miền B(x) bao gồm tất cả các
điểm trong A mà có khoảng cách ít nhất là x tới mỗi một trong n biến cố trong A.

20. 15
n
42
 i

K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
Lập luận tương tự như khi dẫn tới (2.7) dưới giả thiết về tính CSR ta nhận được
biểu thức xấp xỉ:
F(x) 1 exp(x2 ) : x  0 (2.8)
trong đó   n A 1
Lotwick mô tả một thuật toán dựa trên ngôn ngữ cơ bản Dirichlet của Green-
Sibson để tính toán chính xác B(x) A là hình chữ nhật. Trên thực tế khi dùng m
điểm trong lưới đều kxk sẽ cho một xấp xỉ thích hợp nếu k lớn một cách hợp lý.
Diggle và Matern đã đưa ra lời khuyên là k  (xem [8]).
Hình 2.1:Đồ thị thực nghiệm F̂(x) của các tế bào sinh học
Hình (2.1) chỉ ra rằng với mẫu điểm hình 1.3- nhân của 42 tế bào sinh học
mức độ xấp xỉ được dùng là k = 7 ≈ ; k = 14; k = 96.
Với sự phát triểncủakhoa họctính toán thì việc lựa chọn k lớn không phải là một
trởngại. Nhìn vào hình 2.1 tathấy nếu k lớn tasẽ nhận đượcđường cong F̂(x) trơn.
Tương tự như đã làm trong khoảng cách lân cận gần nhất, tiêu chuẩn Monte
Carlo của CSR có thể dựa trên thống kê:
ui  Fˆ (x) 

2
Fi (x) dx (2.9)
2.4 Ƣớc lƣợng tính chất cấp hai: ƣớc lƣợng hàm K(t)
Đối với các lý do được đưa ra trong mục 1.4.2, chúng ta sẽ tập trung vào ước
lượng hàm K. Từ ước lượng K̂(t), chúng ta luôn sử dụng (1.4) để nhận được ước

21. 16
2


lượng cho hàm 2 (t). Chọn một dải độ rộng h > 0 làm phép xấp xỉ
K̂'
(t)  K̂(t  h)  K̂(t)1
h
sẽ dẫn tới ước lượng
̂ (t)  ̂ 2
(2 t)1
K̂ '
(t)
Điều này tạo ra một ước lượng giống như tổ chức đồ thị của 2 (t) tại các
khoảng độ rộng h trong t. Stoyan và Stoyan (xem [16]) đã đưa ra một phiên bản
nhân trơn và sau nàyđã được sử dụng bởi một số tác giả Moller, Syversveen và
Waagepetersen (xem [11]).
Trong mục 1.4.2 chúng ta đã định nghĩa hàm K(t) bởi K(t)  EN0 (t) tính
chất cấp hai của quá trình dừng, đẳng hướng, ở đây cường độ λ là số lượng trung
bình của các biến cố trên một đơn vị diện tích, ˆ 
n
A
Tương tự như vậy, do E(t)  EN0 (t) là kỳ vọng của các biến cố khác trong
khoảng cách t một biến cố tùy ý, chúng ta có thể xây dựng một công thức ước lượng
cho E(t) như sau:
+ Đặt uij  xi  x j
+Xác định
~
E(t) 
1 n
n i1
I(uij
j i
 t)(2.10)
Ở đây, I(.) ký hiệu là hàm chỉ tiêu.
Dạng công thức ước lượng
~
E(t) trong (2.10) thể hiện một cách chính xác
rằng hàm K được liên kết chặt chẽ với phân bố khoảng cách giữa các biến cố mà ta
đã sử dụng trong phân tích ở mục 1.2. Tuy nhiên
~
E(t) là ước lượng chệch âm đối
với E(t) vì hiệu ứng biên. Đối với biến cố được nhắc đến trong khoảng cách t của
biên của A, số lượng các biến cố khác trong khoảng cách t quan sát được cần thiết
phải loại trừ mỗi biến cố nào mà có thể xảy ra trong khoảng cách t nhưng bên ngoài
A. Một vài phương pháp đã được đề xuất cho việc này, phương pháp sau chúng ta
sử dụng là của Ripley (xem [13])
+ Đặt (x,u) là tỷ lệ chu vi của vòng tròn tâm x và bán kính u nằm trong A.

22. 17
n 1
A

 
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
+ Ký hiệu ij  (xi ,uij )
Khi đó đối với quá trình dừng, đẳng hướng, ij là xác suất có điều kiện để
một biến cố được quan sát, biết rằng nó ở khoảng cách uij từ biến cố thứ i là xi. Xem
hình 2.2 và chú ý rằng nói chung ij   ji .
Hình 2.2: Ước lượng của Ripley (1976) cho hàm K(t)
Như vậy ước lượng không chệch cho E(t) là Ê(t) 
1 n
n
1
I
 t (uij )
i1 ji ij
+ Thay cường độ chưa biết λ bởi , chúng ta nhận được ước lượng của
Ripley(xem [13]) cho K(t)
K̂ (t) 
1
A 
n

1
I (u ) (2.11)
n(n 1) i1 ji
t ij
ij
Thực ra ,trong biểu thức K̂(t) ,Ripley sử dụng
1
n 2
hơn là
1
.
n(n 1)
Ước lượng của Ripley là xấp xỉ không chệch với t đủ nhỏ, hạn chế trên t là
cần thiết bởi vì trọng lượng ij có thể tiến tới vô cùng khi t tăng. Trong thực tế đây
không phải là vấn đề nghiêm trọng. Chẳng hạn, khi A là hình vuông đơn vị giới hạn
trên lý thuyết của t là
trị t lớn như vậy
1
≈ 0,7 nhưng
2
K̂(t) sẽ hiếm khi được yêu cầu với các giá


23. 18
Các phần mềm Splancs kết hợp một thuật toán được viết bởi Barry
Rowlingson cho cách tính (x,u) khi A là một đa giác tùy ý. Công thức rõ ràng của
(x,u) có thể được viết ra đối với các dạng đơn giản của miền A, chẳng hạn hình
chữ nhật, hình tròn và chúng dễ sử dụng nếu hiệu quả tính toán là tối quan trọng.
+ Trước tiên ta xét trường hợp A là hình chữ nhật (0,a)x(0,b)
+ Đặt
+ Đặt
x  (x1 , x2 )
d1  min( x1, a  x1) , d2  min( x2 ,b  x2 )
Như vậy, d1 và d2 là khoảng cách từ điểm x đến biên thẳng đứng và nằm
ngang gần nhất của A. Để tính (x,u) chúng ta cần phân biệt hai trường hợp
1. Nếuu2  d 2  d 2 thì
1 2
(x,u)  1
1
arccosmin(d ,u) / u arccosmin(d ,u) / u
 1 2
2. Nếuu2  d2  d2 thì
1 2
(x,u)  0,75 
1
2

arccos(d1 / u)  arccos(d2 / u)(2.12)
Nhận thấy rằng (2.12) chính xác (x,u) = 1khi u  min(d1 ,d2 ). Các công
thức trên áp dụng cho các giá trị của u trong khoảng 0  u  0,5 min(a,b), mà như đã
nhận xét ở trên, là đủ dùng đối với việc ứng dụng thực tế.
Bây giờ giả sử rằng A là hình tròn có tâm là gốc và bán kính a. Giả sử
r  √ (x2  x2 ) là khoảng cách từ x đến hình tròn. Khi đó lại phân biệt hai
1 2
trường hợp , chúng ta có:
1. Nếu u  a  r
2. Nếu u  a  r
thì (x,u) = 1.
thì (x,u)  1 
1
arccos(a2  r 2  u 2 ) /(2ru)

Các công thức này áp dụng cho các giá trị của u từ 0 đến a.

24. 19
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
CHƢƠNG 3: PHÂN TÍCH MẪU ẢNH TRÊN MÁY TÍNH
3.1. Lập trình xử lý hàm H(t)
Chúng ta lập trình để xử lý hàm H(t) ứng với mẫu ảnh hình vẽ của 65 cây thông
đen Nhật Bản. Đối với các mẫu ảnh khác, các tham sốsẽ được thay thế tương ứng.
Program HamH;
Uses Graph,crt;
Const
tfi = 'Pic_In.ini';
maxn = 65;
S = 100;
dochia1 = 0.025;
sdchia = 56;
Type
toado = record x,y : real end;
Dathuc = Record
Bac:Integer;
Heso:Array[0..20] of Real;
End;
VAR
P:Dathuc;
Dx,Dy: Integer;
Xorg,Yorg:Integer;
A,A1,A2,A3,A4 : Array [0.. maxn+1] of toado;
kc :Array [0.. maxn,0..maxn] of Real;
H1,U,L : Array [0.. sdchia] of Real;
R : Array [0.. sdchia+1] of Integer;
N : Integer;
fi1,f01 : Text;
(*===============================================*)

25. 20
Procedure InitGraphics;
Var Gd,Gm:integer;
Begin
Gd:=Detect;
InitGraph(Gd, Gm, ' ');
If GraphResult<>GrOK Then Halt(1);
End;
(*==============================================*)
Procedure Vehetruc(XO,YO,Dx1,Dx2,Dy1,Dy2:Integer);
Begin
Line(XO-Dx1, YO, XO+Dx2, YO); {Truc hoanh}
Line(XO+Dx2-5, YO-5, XO+Dx2, YO);
Line(XO+Dx2-5, YO+5, XO+Dx2, YO);
Line(XO, YO-Dy2, XO, YO+Dy1); {Truc tung}
Line(XO, YO-Dy2, XO-5, YO-Dy2+5);
Line(XO, YO-Dy2, XO+5, YO-Dy2+5);
Outtextxy(XO-15,YO-Dy2,'y');
Outtextxy(XO+Dx2-15,YO+5,'x');
Outtextxy(XO-10,YO+5,'O');
End;
(*==============================================*)
Function FileExists(FileName: String): Boolean;
Var
F2: file;
Begin
{$I-}
Assign(F2, FileName);
Reset(F2);
Close(F2);
{$I+}

26. 21
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
FileExists:=(IOResult = 0)and(FileName<> '');
End; { FileExists }
(*===============================================*)
Procedure Nhap; { Đọc dữ liệu ảnh mẫu ban đầu}
Var
i : Integer;
Begin
Assign(fi,tfi);
Reset(fi);
Readln(fi,N);
For i:=1 to N do
Readln( fi, a[i].x,a[i].y);
Close(fi);
End;
(*===============================================*)
Procedure SinhNN; {Sinh cac diem ngau nhien}
Var
i : Integer;
Begin
Randomize;
For i:=1 to n do
Begin
a[i].x:=random(1001)/1000;
A2[i].x:=A[i].x;
a[i].y:=random(1001)/1000;
A2[i].y:=A[i].y;
end;
end;
(*===============================================*)
Function KCHH(i,j:Integer):Real; {Tinhkhoang cach giua 2 diem i va j}

27. 22
Var
tg : real;
Begin
tg:=sqrt(sqr(a[i].x-a[j].x)+sqr(a[i].y-a[j].y));
KCHH:= 1*tg;
end;
(*===============================================*)
Procedure TinhKCHH; { Tinh cac khoang cach}
Var
i,j : Integer;
Begin
For i:= 1 to n-1 do
For j:= i+1 to n do
Kc[i,j]:=kchh(i,j);
end;
(*===============================================*)
Function Dem ( t: real) : Integer;{ Dem so khoang cach nho hon t}
Var
i,j,tg : Integer;
Begin
tg:=0;
For i:= 1 to n-1 do
For j:= i+1 to n do
If kc[i,j] <= t then inc(tg);
dem:=tg;
end;
(*==============================================*)
Function LT (t:real;i:Integer):Real; {Ham Luy thua}
Var
j : Integer; tg : Real;

28. 23
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
Begin
tg:=1;
For j:= 1 to i do tg:=tg*t;
Lt:=tg;
end;
(*===============================================*)
Function Arcsin(t:real):real;
Var
O, OSquare : real;
Begin
O := ABS(t);
If O <= 1.0 then
Begin
If O = 1.0 then
Begin
If t<0.0 then Arcsin:=-0.5 * pi
else Arcsin := 0.5 * pi
end
else
Arcsin:= Arctan(t/SQR(1.0- Sqr(t)))
end
else Arcsin := 0;
and;
(*===============================================*)
Function FH(t:real) : real;
Var
tg: real;
Begin
if (t>=0) and (t<=1) then
tg:=pi*t*t-(8/3)*t*t*t+(1/2)*t*t*t*t;

29. 24
if (t>1) and (t<=sqrt(2)) then
tg:=1/3-2*t*t -(1/2)*t*t*t*t+(4/3)*(sqrt(t*t-1))*(2*t*t+1)
+2*t*t*arcsin(-1+2/(t*t));
Fh:=tg;
end;
(*===============================================*)
Function FH1(t:real) : real;
Begin
Fh1:=(2*Dem(t))/(n*(n-1));
end;
(*=============================================*)
Function FHi(t:real): real;
Begin
Fhi:=(2*Dem(t))/(n*(n-1));
end;
(*===============================================*)
Procedure LapToadoFH;
Var
i : Integer;
Begin
Writeln('H');
for i:=0 to sdchia do
Begin
A3[i].x:=FH(i*dochia1);
write(A3[i].x:5:3,' ');
end;
writeln;
write(' Enter de tiep tuc');Readln;
end;
(*===============================================*)

30. 25
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
Procedure LapToadoFH1;
Var
i : Integer;
Begin
Writeln('H1');
Nhap;
TinhKCHH;
for i:=0 to sdchia do
Begin
A3[i].y:=FH1(i*dochia1);
write(A3[i].y:5:3,' ');
end;
writeln;
write(' Enter de tiep tuc');Readln;
end;
(*=============================================*)
Procedure LapToadoFHi;
Var
i : Integer;
Begin
SinhNN;
TinhKCHH;
for i:=0 to sdchia do
Begin
H1[i]:=FHi(i*dochia1);
if H1[i]<FH1(i*dochia1) then Inc(R[i]);
end;
end;
(*===============================================*)
Procedure CapnhapUL;

31. 26
Var
i: Integer;
Begin
for i:=1 to sdchia do
Begin
if H1[i]<L[i] then L[i]:=H1[i];
if H1[i]>U[i] then U[i]:=H1[i];
end;
end;
(*==============================================*)
Procedure Lapbaomophong;
Var
i, myn : Integer;
Begin
Randomize;
For i:=1 to sdchia do
Begin
L[i]:=sqrt(2) ;
U[i]:=0;
R[i]:=1;
end;
For i:= 2 to s do
Begin
Fillchar(a,sizeof(a),0);
LaptoadoFHi;CapnhapUL;
end;
Writeln('U');
For i:=1 to sdchia do
begin
write(U[i]:5:3);

32. 27
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
write(' ');
end;
writeln;
write('Enter de tiep tuc');Readln;
Writeln('L');
For i:=1 to sdchia do
begin
write(L[i]:5:3);
write(' ');
end;
writeln;
write('Enter de tiep tuc');
Readln;
myn:=1;
For i:=0 to sdchia do
if myn < R[i] then myn:=R[i];
writeln('Muc Y nghia =',myn/s:6:3);
end;
(*===============================================*)
Procedure THAY;
Begin
clrscr;
writeln;
LaptoadoFH;
n:=55;
LaptoadoFH1;
Lapbaomophong;
Writeln('Enter de Ket Thuc');
Read;
End;

33. 28
(*==================================================*)
Procedure VedothiFH;
var x,y : Real;
Begin
x:=0;
While x<=sqrt(2) do
Begin
x:=x+1/100;
if (x>=0) and (x<=1) then
y:=pi*x*x-(8/3)*x*x*x+(1/2)*x*x*x*x;
if (x>1) and (x<=sqrt(2)) then
y:=1/3-2*x*x-(1/2)*x*x*x*x+(4/3)*(sqrt(x*x-1))
*(2*x*x+1)+2*x*x*asin(-1+2/(x*x));
Putpixel(Xorg+Trunc(Dx*x),Yorg-Trunc(y*Dx),4);
End;
End;
(*===============================================*)
Procedure VedothiFH1;
var x,y : Real;
Begin
x:=0;
While x<=sqrt(2) do
Begin
x:=x+1/100;
if (x>=0) and (x<=1) then
y:=1+pi*LT(x,2)-8*Lt(x,3)/3+0.5*Lt(x,4);
if (x>1) and (x<=sqrt(2)) then
y:=1+1/3-2*Lt(x,2)-(1/2)*Lt(x,4)+(4/3)*(sqrt(Lt(x,2)-1))
*(2*Lt(x,2)+1)+2*Lt(x,2)*asin(-1+2/Lt(x,2));
Putpixel(Xorg+Trunc(Dx*x),Yorg-Trunc(y*Dx),3);

34. 29
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
End;
End;
(*===============================================*)
Procedure VedothiH1tHt;
Var i : Integer;
Begin
for i:=0 to sdchia do
Putpixel(Xorg+Trunc(Dx*A3[i].x),
Yorg-Trunc(A3[i].y*Dx),10);
End;
(*===============================================*)
Procedure Vediemanh;
Var i : Integer;
Begin
for i:=1 to n do
Putpixel(Xorg+Trunc(Dx*A1[i].x),Yorg-Trunc(A1[i].y*Dx),10);
End;
(*===============================================*)
Procedure Process;
Var Muc,Code:Integer;
Begin
ClearViewport;
SetColor(White);
Xorg:=150; Yorg:=420; Dx:=150; Dy:=150;
Vehetruc(Xorg,Yorg,50,380,50,400);
VeDothiFH;
SetColor(Red);
VedothiH1tHt;
End;
(*==============================================*)

35. 30
Vediemanh;
End;
BEGIN
Thay;
InitGraphics;
Process;
Readln;
CloseGraph;
InitGraphics;
Process1;
Readln;
CloseGraph;
END.
3.2. Lập trìnhxử lý hàm G(t)
Program HamG;
Procedure Process1;
Var Muc,Code:Integer;
Begin
ClearViewport;
SetColor(White);
Xorg:=100; Yorg:=360; Dx:=250; Dy:=250;
Vehetruc(Xorg,Yorg,20,300,20,300);
Uses Graph,crt;
Const
tfi = 'Pic_In.ini';
maxn = 65;
S = 100;
dochia = 0.0025;
sdchia = 156;

36. 31
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
Type
toado = record x,y : real end;
Dathuc = Record
Bac:Integer;
Heso:Array[0..20] Of Real;
End;
VAR
P:Dathuc;
Dx,Dy:integer;
Xorg,Yorg:Integer;
A,A1,A2,A3,A4,A5 : Array [0..maxn+1] of toado;
kc : Array [0..maxn,0..maxn] of Real;
G1,Ug,Lg,G1N: Array [0..sdchia] of Real;
RG : Array [0..sdchia+1] of Integer;
N : Integer;
fi1,f01 : Text;
(*===============================================*)
Procedure InitGraphics;
Var Gd,Gm:integer;
Begin
Gd:=Detect;
InitGraph(Gd, Gm, ' ');
If GraphResult<>GrOK Then Halt(1);
End;
(*==============================================*)
Procedure Vehetruc(XO,YO,Dx1,Dx2,Dy1,Dy2:Integer);
Begin
Line(XO-Dx1, YO, XO+Dx2, YO); {Truc hoanh}
Line(XO+Dx2-5, YO-5, XO+Dx2, YO);
Line(XO+Dx2-5, YO+5, XO+Dx2, YO);

37. 32
Line(XO, YO-Dy2, XO, YO+Dy1); {Truc tung}
Line(XO, YO-Dy2, XO-5, YO-Dy2+5);
Line(XO, YO-Dy2, XO+5, YO-Dy2+5);
Outtextxy(XO-15,YO-Dy2,'y');
Outtextxy(XO+Dx2-15,YO+5,'x');
Outtextxy(XO-10,YO+5,'O');
End;
(*==============================================*)
Procedure Nhap; { Đọc dữ liệu ảnh mẫu ban đầu}
Var
i : Integer;
Begin
Assign(fi,tfi);
Reset(fi);
Readln(fi,N);
For i:=1 to N do
Readln( fi, a[i].x,a[i].y);
Close(fi);
End;
(*===============================================*)
Procedure SinhNN; { Sinh cac diem ngau nhien}
Var
i : Integer;
Begin
Randomize;
For i:=1 to n do
Begin
a[i].x:=random(1001)/1000;
A2[i].x:=A[i].x;
a[i].y:=random(1001)/1000;

38. 33
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
A2[i].y:=A[i].y;
end;
end;
(*===============================================*)
Function KCHH(i,j:Integer):Real;{ Tinh khoang cach}
Var
tg : real;
Begin
tg:=sqrt(sqr(a[i].x-a[j].x)+sqr(a[i].y-a[j].y));
KCHH:= 1*tg;
end;
(*==============================================*)
Procedure TinhKCHHG; { Tinh cac khoang cach}
Var
i,j : Integer;
Begin
For i:= 1 to n do
For j:= i+1 to n do
Begin
Kc[i,j]:=kchh(i,j);
Kc[j,i]:=kc[i,j];
end;
end;
(*===============================================*)
Function Demg ( t: real) : Integer;{ Dem so khoang cach lan can gan nhat}
Var
i,j,tg : Integer;
Begin
tg:=0;
For i:= 1 to n do

39. 34
Begin
A4[i].x:=kc[i,1];
For j:= 1 to n do
If i<>j then
Ifkc[i,j]<A4[i].xthen
A4[i].x:=kc[i,j];
If A4[i].x <= t then inc(tg);
End;
demg:=tg;
end;
(*===============================================*)
Function FG(t:real) : real;
Var
tg:real;
Begin
If (t>=0) then
tg:= 1- exp(-n*pi*t*t);
Fg:= tg;
End;
(*===============================================*)
Function FG1(t:real) : real; { Ham G1}
Begin
Fg1:=Demg(t)/n;
end;
(*==============================================*)
Function FGi(t:real): real; { Ham Gi}
Begin
Fgi:=Demg(t)/n;
end;
(*=============================================*)

40. 35
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
Procedure LapToadoFG1;
Var
i,j : Integer;
Begin
Writeln('G1');
Nhap;
TinhKCHHG;
for i:=0 to sdchia do
Begin
A4[i].y:=FG1(i*dochia);
write(A4[i].y:5:3,' ');
end;
writeln;
write(' Enter de tiep tuc');Readln;
end;
(*===============================================*)
Procedure LapToadoFGi;
Var
i : Integer;
Begin
SinhNN;
TinhKCHHG;
for i:=0 to sdchia do
Begin
G1[i]:=FGi(i*dochia);
if G1[i]< FG1(i*dochia) then Inc(Rg[i]);
end;
end;
(*===============================================*)
Procedure CapnhapULG;

41. 36
Var
i: Integer;
Begin
for i:=1 to sdchia do
Begin
if G1[i]<LG[i] then LG[i]:=G1[i];
if G1[i]>UG[i] then UG[i]:=G1[i];
G1N[i]:=G1N[i]+G1[i];
end;
end;
(*==============================================*)
Procedure LapbaomophongG;
Var
i, myn : Integer;
Begin
Randomize;
For i:=1 to sdchia do
Begin
LG[i]:=sqrt(2) ;
UG[i]:=0;
RG[i]:=1;
G1N[i]:=0;
end;
For i:= 2 to s do
Begin
LaptoadoFGi;
CapnhapULg;
end;
Writeln('UG');
For i:=1 to sdchia do

42. 37
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
begin
write(Ug[i]:5:3);
write(' ');
end;
writeln;
write(' Enter de tiep tuc');
Readln;
Writeln('L');
For i:=1 to sdchia do
begin
write(Lg[i]:5:3);
write(' ');
end;
writeln;
write(' Enter de tiep tuc');
Readln;
myn:=1;
For i:=0 to sdchia do
if myn < RG[i] then myn:=RG[i];
writeln('Muc Y nghia =',myn/s:6:3);
end;
(*===============================================*)
Procedure THAY;
Begin
clrscr;
writeln;
n:=50;
LaptoadoFg1;
Lapbangmophongg;
Writeln('Enter de Ket Thuc');

43. 38
Begin
Putpixel(Xorg+Trunc(Dx*G1N[i]*1/(s-1)),
Yorg-Trunc(A4[i].y*Dx),3);
End;
readln;
for i:=0 to sdchia do
Begin
Putpixel(Xorg+Trunc(Dx*G1N[i]*1/(s-1)),
Yorg-Trunc(Ug[i]*Dx),5);
End;
Readln;
for i:=0 to sdchia do
Begin
Putpixel(Xorg+Trunc(Dx*G1N[i]*1/(s-1)),
Yorg-Trunc(Lg[i]*Dx),7);
End;
Read;
End;
(*===============================================*)
Procedure VedothiG1tUgtLgtG1Nt;
Var i : Integer;
Begin
for i:=0 to sdchia do
End;
(*===============================================*)
Procedure Process;
Var Muc,Code:Integer;
Begin
ClearViewport;
SetColor(White);

44. 39
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
Xorg:=150; Yorg:=420; Dx:=350; Dy:=350;
Vehetruc(Xorg,Yorg,50,380,50,400);
VedothiG1tUgtLgtG1Nt;
End;
(*===============================================*)
BEGIN
Thay;
InitGraphics;
Process;
Readln;
CloseGraph;
END.
3.3 Lập trình xử lý hàm F(t).
Program HamF;
Uses Graph,crt;
Const
tfi = 'Pic_In.ini';
maxn = 95;
S = 100;
dochia = 0.0025;
sdchia = 145;{93}
Type
toado = record x,y : real end;
Dathuc = Record
Bac:Integer;
Heso:Array[0..20] Of Real;
End;
VAR
P:Dathuc;

45. 40
Dx,Dy:integer;
Xorg,Yorg:Integer;
A5,AM,AN : Array [0..maxn+1] of toado;
kc : Array [0..maxn,0..maxn] of Real;
F1,Uf,Lf,F1N: Array [0..sdchia] of Real;
Rf : Array [0..sdchia+1] of Integer;
N,M : Integer;
fi1,f01 : Text;
(*===============================================*)
Procedure InitGraphics;
Var Gd,Gm:integer;
Begin
Gd:=Detect;
InitGraph(Gd, Gm, ' ');
If GraphResult<>GrOK Then Halt(1);
End;
(*=============================================*)
Procedure Vehetruc(XO,YO,Dx1,Dx2,Dy1,Dy2:Integer);
Begin
Line(XO-Dx1, YO, XO+Dx2, YO); {Truc hoanh}
Line(XO+Dx2-5, YO-5, XO+Dx2, YO);
Line(XO+Dx2-5, YO+5, XO+Dx2, YO);
Line(XO, YO-Dy2, XO, YO+Dy1); {Truc tung}
Line(XO, YO-Dy2, XO-5, YO-Dy2+5);
Line(XO, YO-Dy2, XO+5, YO-Dy2+5);
Outtextxy(XO-15,YO-Dy2,'y');
Outtextxy(XO+Dx2-15,YO+5,'x');
Outtextxy(XO-10,YO+5,'O');
End;
(*===============================================*)

46. 41
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
Function FileExists(FileName: String): Boolean;
Var
F2: file;
Begin
{$I-}
Assign(F2, FileName);
Reset(F2);
Close(F2);
{$I+}
FileExists := (IOResult = 0) and (FileName <> '');
end; { FileExists }
(*===============================================*)
Procedure NhapF; { Nhậpdữ liệu ảnh mẫu ban đầu }
Var
i : Integer;
Begin
Assign(fi,tfi);
Reset(fi);
Readln(fi,N);
For i:=1 to N do
Readln( fi, a[i].x,a[i].y);
Close(fi);
end;
(*===============================================*)
Procedure SinhNNF; { Sinh cac diem ngau nhien}
Var
i : Integer;
Begin
Randomize;
For i:=1 to n do

47. 42
Begin
an[i].x:=random(1001)/1000;
an[i].y:=random(1001)/1000;
end;
For i:=1 to m do
Begin
am[i].x:=random(1001)/1000;
am[i].y:=random(1001)/1000;
end;
end;
(*==============================================*)
FunctionKCHHF(i,j:Integer):Real;{Tinh khoang cach}
Var
tg : real;
Begin
tg:=sqrt(sqr(an[i].x-am[j].x)+sqr(an[i].y-am[j].y));
KCHHF:= 1*tg;
end;
(*===============================================*)
Procedure TinhKCHHF; { Tinh cac khoang cach}
Var
i,j : Integer;
Begin
For i:= 1 to n do
For j:= 1 to m do
Kc[i,j]:=kchhf(i,j);
end;
(*===============================================*)
Function Demf ( t: real) : Integer; { Dem so khoang cach hop le}
Var

48. 43
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
i,j,tg : Integer;
Begin
tg:=0;
For i:= 1 to n do
Begin
A5[i].x:=kc[i,1];
For j:= 1 to m do
Ifkc[i,j]<A5[i].xthen A5[i].x:=kc[i,j];
If A5[i].x <= t then inc(tg);
End;
demf:=tg;
end;
(*===============================================*)
Function LT(t:real;i:Integer):Real; { Ham Luy thua}
Var
j : Integer; tg : Real;
Begin
tg:=1;
For j:= 1 to i do tg:=tg*t;
Lt:=tg;
end;
(*===============================================*)
Function FFt(t:real) : real; { Ham F(t)}
Begin
FFt:=1-exp(-pi*n*LT(t,2));
end;
(*===============================================*)
Function FF1(t:real) : real; { Ham F1(t)}
Begin
FF1:=Demf(t)/m;

49. 44
end;
(*===============================================*)
Function FFi(t:real): real; { Ham Fi}
Begin
Ffi:=Demf(t)/m;
end;
(*===============================================*)
Procedure LapToadoFF1;
Var
i,j : Integer;
Begin
Writeln('F1');
NhapF;
TinhKCHHF;
for i:=0 to sdchia do
Begin
end;
writeln;
A5[i].y:=FF1(i*dochia);
write(A5[i].y:5:3,' ');
write(' Enter de tiep tuc');Readln;
end;
(*===============================================*)
Procedure LapToadoFFi;
Var
i : Integer;
Begin
SinhNNF;
TinhKCHHF;
for i:=0 to sdchia do

50. 45
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
Begin
F1[i]:=FFi(i*dochia);
if F1[i]< FF1(i*dochia) then Inc(Rf[i]);
end;
end;
(*===============================================*)
Procedure CapnhapULF;
Var
i: Integer;
Begin
for i:=1 to sdchia do
Begin
if F1[i]<LF[i] then LF[i]:=F1[i];
if F1[i]>UF[i] then UF[i]:=F1[i];
F1N[i]:=F1N[i]+F1[i];
end;
end;
(*===============================================*)
Procedure LapbaomophongF;
Var
i, myn : Integer;
Begin
Randomize;
For i:=1 to sdchia do
Begin
LF[i]:=sqrt(2) ;
UF[i]:=0;
RF[i]:=1;
F1N[i]:=0;
end;

51. 46
begin
write(Uf[i]:5:3);
write(' ');
end;
writeln;
write(' Enter de tiep tuc');
Readln;
Writeln('LF');
For i:=1 to sdchia do
Begin
write(Lf[i]:5:3);
write(' ');
end;
writeln;
write(' Enter de tiep tuc');
Readln;
For i:= 2 to s do
Begin
LaptoadoFFi;
CapnhapULF;
end;
Writeln('UF');
For i:=1 to sdchia do
myn:=1;
For i:=0 to sdchia do
if myn < Rf[i] then myn:=Rf[i];
writeln('Muc Y nghia =',myn/s:6:3);
end;
(*===============================================*)
Procedure THAY;

52. 47
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
Begin
clrscr;
writeln;
n:=85;
m:=95;
LaptoadoFf1;
Lapbangmophongf;
Writeln('Enter de Ket Thuc');
Read;
End;
(*==============================================*)
Procedure VedothiF1tUftLftF1Nt;
var i : Integer;
Begin
for i:=0 to sdchia do
Begin
Putpixel(Xorg+Trunc(Dx*F1N[i]*1/(s-1)),
Yorg-Trunc(A5[i].y*Dx),3);
End;
readln;
for i:=0 to sdchia do
Begin
Putpixel(Xorg+Trunc(Dx*F1N[i]*1/(s-1)),
Yorg-Trunc(Uf[i]*Dx),5);
End;
readln;
for i:=0 to sdchia do
Begin
Putpixel(Xorg+Trunc(Dx*F1N[i]*1/(s-1)),
Yorg-Trunc(Lf[i]*Dx),7);

53. 48
End;
End;
(*==============================================*)
Procedure Process;
Var Muc,Code:Integer;
Begin
ClearViewport;
SetColor(White);
Xorg:=150; Yorg:=420; Dx:=350; Dy:=350;
Vehetruc(Xorg,Yorg,50,380,50,400);
VedothiF1tUftLftF1Nt;
End;
(*==============================================*)
BEGIN
Thay;
InitGraphics;
Process;
Readln;
CloseGraph;
END.
3.4 Lập trình xử lý hàm K(t)
Program HamK;
Uses Graph,crt;
Const
Var
tfi = 'Pic_In.ini';
maxn = 65;
v = 100;

54. 49
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
x,y:array[1..maxn] of real;
i,j,n,z,k:integer;
t,m,q,p,l:real;
fi:text;
Procedure InitGraphics;
Var
Begin
End;
Gd,Gm:integer;
Gd:=Detect;
InitGraph(Gd, Gm, ' ');
If GraphResult<>GrOK Then Halt(1);
(*====================================*)
Procedure Vehetruc(XO,YO,Dx1,Dx2,Dy1,Dy2:Integer);
Begin
End;
Line(XO-Dx1, YO, XO+Dx2, YO); {Truc hoanh}
Line(XO+Dx2-5, YO-5, XO+Dx2, YO);
Line(XO+Dx2-5, YO+5, XO+Dx2, YO);
Line(XO, YO-Dy2, XO, YO+Dy1); {Truc tung}
Line(XO, YO-Dy2, XO-5, YO-Dy2+5);
Line(XO, YO-Dy2, XO+5, YO-Dy2+5);
Outtextxy(XO-15,YO-Dy2,'y');
Outtextxy(XO+Dx2-15,YO+5,'x');
Outtextxy(XO-10,YO+5,'O');
(*===================================================*)
Function min(a,b:real):real;
Begin
If(a>b) or (a=b) then
min:= b

55. 50
else min:= a;
End;
(*===================================================*)
Function arccos(a:real):real;
Var
b:real;
Begin
If abs(a)>1 then writeln('ham arcos khong xac dinh')
else
if a=0 then arccos:= (pi/2)
else
begin
b:=sqrt((1/sqr(a))-1);
arccos:= arctan(b);
end;
End;
(*===================================================*)
Procedure Nhap1; { Nhập dữ liệu ảnh mẫu ban đầu}
Var
i : Integer;
Begin
Assign(fi,tfi);
Reset(fi);
Readln(fi,n);
For i:= 1 to n do readln (fi,x[i],y[i]);
Close(fi);
End;
(*===================================================*)
Procedure SinhNN; { Sinh cac diem ngau nhien}
Var

56. 51
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
i : Integer;
Begin
Randomize;
For i:=1 to n do
Begin
x[i]:=random(1001)/1000;
y[i]:=random(1001)/1000;
end;
end;
(*===================================================*)
Function Kt(t:real): Real;
Var
w,u,s,d1,d2,u1,u2 : real;
i,k: integer;
Begin
w:=0;
For i:=1 to n do
Begin
For k:=1 to n do
Begin
u:= sqrt(sqr(x[i]-x[k])+sqr(y[i]-y[k]));
if (u=0) or (u>t) then s:=0
else
begin
d1:= 1-x[i]; d1:= min(x[i],d1);
d2:= 1-y[i]; d2:= min(y[i],d2);
if u <= min(d1,d2) then s:=1
else
if u<=sqrt(d1*d1+d2*d2) then
begin

57. 52
u1:= min(d1,u)/u;
u2:= min(d2,u)/u;
s:=1/(1-(1/pi)*(arccos(u1)+arccos(u2)));
end
else
begin
u1:=d1/u;
u2:=d2/u;
s:=1/((3/4)-1/(2*pi)*(arccos(u1)+arccos(u2)));
end;
End;
end;
w:= w+s;
end;
end;
Kt :=w/(n*n)-(pi*t*t);
(*===================================================*)
Procedure HAM1;
Begin
For i:=0 to 600 do
Begin
t:=i/1000;
m:= Kt(t)*2000;
z:=-round(m);
Putpixel(I,z,red);
Delay(30);
End;
End;
(*==============================================*)
Procedure HAM2;

58. 53
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
Begin
For i:=0 to 600 do
Begin
t:= i/1000;
For k:=2 to 100 do
SinhNN;
end;
q:= 0;
l:= 1;
p:=Kt(t);
If q<p then q:=p;
If l>p then l:=p;
End;
m:= q*2000;z:=-round(m);putpixel(i,z,red);
m:=l*2000;z:=-round(m);putpixel(I,z,red);
end;
BEGIN
Nhap1;
InitGraphics;
SetbkColor(White);
SetColor(red);
Setviewport(150,250,639,478,Clipoff);
Line(-150,0,310,0);
Moveto(304,-6);
Lineto(310,0);
Lineto(304,6);
Outtextxy(304,8,'t');
Line(0,225,0,-250);
Lineto(6,-246);
Outtextxy(8,-248,'Y');

59. 54
1.2
1
1
HAM1;
Readln;
HAM2;
Readln;
Closegraph;
END.
3.5 Phân tích xử lý ba mẫu ảnh cụ thể.
Bây giờ sử dụng các chương trình đã lập ở trên chúng ta phân tích xử lý ba
mẫu ảnh cụ thể đã được giới thiệu ở 1.1.
Với vị trí của 65 cây thông đen Nhật Bản (hình 1.1) ta nhận được các kết quả
như sau:
Hˆ (t)
U(t)
L(t)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1
U
L
H1
1.5
H(t)
Hình 3.1:Đồ thị hàm phân phối thực nghiệm Ĥ1 (t) , bao mô phỏng trên U(t), bao mô
phỏng dưới L(t) (tung độ ) đối với hàm phân phối lý thuyết H(t) (hoành độ) của khoảng
cách giữa các biến cốứng với mẫu ảnh 65 cây thông đen Nhật Bản
Hình 3.1 cho thấy đồ của Ĥ1 (t) , U(t) và L(t) đối với H(t) cho dữ liệu của
Numata trước đây được đưa ra trong hình 1.1. Ta thấy Ĥ1 (t) nằm sát đồ thị của
H(t) (hay đồ thị của Ĥ1 (t) đối với H(t) xấp xỉ với đường thẳng y = x) và giữa

60. 55
1.2
1
1
1
F1
U
L
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
U(t) và L(t) trong toàn khoảng xét. Như vậy ta chấp nhận tính CSR đối với mẫu
ảnh hình 1.1.
Gˆ (t)
U(t)
L(t)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
L
U
G1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
G(t)
Hình 3.2: Đồ thị hàm phân phối thực nghiệm Ĝ1 (t), bao mô phỏng trên U(t), bao mô
phỏng dưới L(t) (tung độ) đối với hàm phân phối lý thuyết G(t) (hoành độ) khoảng cách tới biến cố
gần nhất ứng với mẫu ảnh 65 cây thông đen Nhật Bản
Hình 3.2 cho thấy dựa trên đồ thị EDF của khoảng cách lân cận gần nhất cho
các cây thông đen Nhật Bản, cùng với các bao mô phỏng trên và dưới từ 99 mô
phỏng với tính CSR. Ta thấy đồ thị của hàm Ĝ1 (t) nằm hoàn toàn trong hai bao mô
phỏng trên và dưới. Do đó tính CSR đối với mẫu ảnh hình 1.1 được chấp nhận.
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
Fˆ (t)
U(t)
L(t)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
F(t)
Hình 3.3: Đồ thị hàm phân phối thực nghiệm F̂(t) , bao mô phỏng trên U(t), bao mô phỏng
dưới L(t)(tung độ) đối với hàm phân phối lý thuyết F(t) (hoành độ) của khoảng cách giữa
một điểm đến biến cố gần nhất ứng với mẫu ảnh 65 cây thông đen Nhật Bản(k=16)

61. 56
1
1
1
1 1
Hình 3.3 cho đồ thị EDF của khoảng cách từ một điểm đến điểm gần nhất
(với lưới điểm 16x16) đối với dữ liệu Numata. Chúng ta thấy Fˆ (t)nằm giữa hai bao
mô phỏng trên toàn khoảng xét và sát với đường thẳng y = x. Do đó tính CSR được
chấp nhận, giống như hai tiêu chuẩn trước.
Hình 3.4:Đồ thị hàm K̂ (t)  t 2 ,hàm mô phỏng trên U(t), hàm mô phỏng dưới
L(t) (tung độ) đối với t (hoành độ) ứng với mẫu ảnh 65 cây thông đen Nhật Bản
Nhìn vào hình 3.4 dựa trên hàm K(t)  t 2 ta thấy hàm K̂ (t)  t 2 dao động
quanh trục hoành Ot, chứng tỏ K̂ (t)   t 2 và đồ thị của hàm K̂ (t)  t 2 nằm hoàn
toàn giữa hai bao mô phỏng trên và dưới. Do đó ta kết luận mẫu điểm hình 1.1 có
tính CSR.
Như vậy dựa trên bốn tiêu chuẩn khoảng cách, như đã phân tích kết luận ở
trên, chúng ta có thể yên tâm mà khẳng định rằng mẫu điểm của 65 cây thông đen
Nhật Bản thỏa mãn tính ngẫu nhiên không gian hoàn toàn hay mẫu điểm hình 1.1 là
một thể hiện của quá trình điểm không gian Poisson.
Với mẫu ảnh về vị trí của 62 cây giống gỗ đỏ (hình 1.2) ta nhận được các kết
quả như sau:

62. 57
1.2
1
1.2
1
0.8
1
1
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
H(t)
Hình 3.5: Đồ thị hàm phân phối thực nghiệm Ĥ1 (t),bao mô phỏng trên U(t) , bao mô phỏng
dướiL(t) (tung độ) đối với hàm phân phối lý thuyết H(t) (hoành độ) của khoảng cách giữa các biến
cố ứng với mẫu ảnh cây giống gỗ đỏ.
Hình 3.5 cho đồ thị EDF của khoảng cách giữa các biến cố cùng với bao mô
phỏng trên và dưới. Ta thấy đồ thị Hˆ (t) không nằm giữa hai bao mô phỏng trên và
dưới. Do đó tính CSR bị vi phạm.
Gˆ (t)
U(t)
L(t)
0.6
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 G(t)
Hình 3.6: Đồ thị hàm phân phối thực nghiệm Ĝ1 (t) , bao mô phỏng trên U(t), bao
mô phỏng dưới L(t) (tung độ) đối với hàm phân phối lý thuyết G(t) (hoành độ) khoảng
cách tới biến cố gần nhất ứng với mẫu ảnh cây giống gỗ đỏ
Hình 3.6 cho ta thấy đồ thị Ĝ1
(t)vượt lên bao mô phỏng trên nên tính CSR bị
vi phạm.
1
U(t)
L(t)
0.8
Hˆ (t)
0.6
0.4
0.2
0
U
L
H1
L
U
G1

63. 58
1
1
1
1
Fˆ (t)
U(t)
L(t)
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8
F1
U
L
1 1.2
F(t)
Hình 3.7: Đồ thị hàm phân phối thực nghiệm Fˆ (t) , bao mô phỏng trên U(t), bao
mô phỏng dưới L(t) (tung độ) đối với hàm phân phối lý thuyết F(t) (hoành độ) khoảng cách
giữa một điểm đến biến cố gần nhất F(t) ứng với mẫu ảnh cây giống gỗ đỏ
bỏ.
Hình 3.7 cho thấy Fˆ (t) nằm dưới bao mô phỏng dướidẫn tới tính CSR bị bác
Hình 3.8: Đồ thị hàm K̂ (t)  t 2 , hàm mô phỏng trên U(t), hàm mô phỏng dưới
L(t) (tung độ) đối với t (hoành độ) ứng với mẫu ảnh cây giống gỗ đỏ

64. 59
.2
1
1
1
1
1
1
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
Hình 3.8 cho ta thấy đồ thị
CSR bị vi phạm.
K̂ (t)  t 2 vượt lên bao mô phỏng trên nên tính
Như vậy dựa trên bốn tiêu chuẩn khoảng cách, chúng ta thấy với mẫu điểm
cây giống gỗ đỏ không thỏa mãn tính ngẫu nhiên không gian hoàn toàn.
Với mẫu ảnh vẽ vị trí của 42 tế bào sinh học (hình 1.3) ta nhận được các kết
quả sau:
1
0.8
Hˆ (t)
U(t)
L(t)
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Hình 3.9: Đồ thị hàm phân phối thực nghiệm Ĥ1 (t) ,bao mô phỏngtrên U(t) , bao mô
phỏng dưới L(t) (tung độ) đối với hàm phân phối lýthuyết H(t) (hoành độ) của khoảng cách giữa
các biến cố H(t) ứng với mẫu ảnh 42 tế bào sinh học.
Hình 3.9 cho ta thấy phần lớn đồ thị Ĥ (t) nằm giữa hai bao mô phỏng trên
và bao mô phỏng dưới, trừ khi giá trị t nhỏ. Với t nhỏ Ĥ (t) nằm dưới bao mô phỏng
dưới, thậm chí Ĥ (t) xấp xỉ 0.
U
L
H1

65. 60
.2
1
.8
.2
1
.8
1
U(t)
L(t)
Fˆ (t)
1
1
1
1
1 1
F1
U
L
1
Gˆ (t)
U(t)
L(t)
0
0.6
0.4
0.2
0
L
U
G1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
G(t)
Hình 3.10: Đồ thị hàm phân phối thực nghiệm Ĝ1 (t) , bao mô phỏng trên U(t), bao
mô phỏng dưới L(t) (tung độ) đối với hàm phân phối lý thuyết G(t) (hoành độ) của khoảng
cách tới biến cố gần nhất G(t) ứng với mẫu ảnh 42 tế bào sinh học.
Hình 3.10 cho chúng ta thấy đồ thị hàm
khi t nhỏ nên tính CSR bị vi phạm.
1.4
1
Ĝ (t) nằm dưới bao mô phỏng dưới
0
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
F(t)
Hình 3.11: Đồ thị hàm phân phối thực nghiệm Fˆ (t) , bao mô phỏng trên U(t), bao
mô phỏng dưới L(t) (tung độ) đối với hàm phân phối lý thuyết F(t) (hoành độ) của khoảng
cách giữa một điểm đến biến cố gần nhất F(t) ứng với mẫu ảnh 42 tế bào sinh học.
Hình 3.11 cho thấy đồ thị Fˆ (t)nằm giữa bao mô phỏng trên và dưới, trừ khi t
nhỏ,
ngờ.
Fˆ (t)nằm sát bao mô phỏng dưới, thậm chí Fˆ (t) xấp xỉ 0 nên tính CSR bị nghi

66. 61
1
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
Hình 3.12: Đồ thị hàm K̂ (t)  t 2 , hàm mô phỏng trên U(t), hàm mô phỏng dưới
L(t) (tung độ) đối với t (hoành độ) ứng với mẫu ảnh 42 tế bào sinh học.
Hình 3.12 cho chúng ta thấy đồ thị có phần nằm phía trên, có phần nằm phía
dưới bao mô phỏng dưới.Do đó tính CSR bị vi phạm.
Như vậy dựa trên bốn tiêu chuẩn khoảng cách, chúng ta thấy với mẫu điểm
42 tế bào sinh học tính CSR bị vi phạm, đặc biệt là với các giá trị t nhỏ. Điều này
cũng rất hợp lý vì mẫu điểm 42 tế bào sinh học là mẫu có quy tắc được phân bố đều
đặn, do đó sẽ rất hiếm các khoảng cách nhỏ giữa hai biến cố.

67. 62
KẾT LUẬN
Sau khi giới thiệu về mẫu ảnh không gian, tính ngẫu nhiên không gian hoàn
toàn, giới thiệu các khái niệm về quá trình điểm không gian và các kết quả liên quan
đến các khoảng cách: khoảng cách giữa các biến cố, khoảng cách lân cận gần nhất,
khoảng cách từ điểm tới các biến cố gần nhất, số trung bình khoảng cách nhỏ hơn t
của một biến cố cố định bất kỳ. Luận văn: “Phương pháp khoảng cách trong phân
tích thống kê mẫu điểm không gian” đã đi sâu vào một phương pháp mới trong
thống kê toán học là với sự trợ giúp của máy tính điện tử, chúng ta xét một đặc
trưng nào đó và so sánh giữa mô hình lý thuyết giả định (qua 99 mô phỏng) với mẫu
điểm thực đang xét; nếu thấy chúng phù hợp với nhau theo nghĩa:
- Đồ thị nhận được nằm sát đường thẳng phân giác của góc thứ nhất hoặc
nằm sát trục hoành trên toàn miền đang xét.
- Sự dao động của đồ thị vẫn nằm trong bao mô phỏng trên và bao mô phỏng
dưới (được xây dựng dựa trên 99 mô phỏng)
thì khi đó chúngtakết luận mẫu điểm thực có tính chất củamô hìnhlýthuyết giả định.
Luận văn đã xét bốn đặc trưng khoảng cách và áp dụng cho ba mẫu ảnh điển
hình: mẫu ngẫu nhiên, mẫu kết tập và mẫu có quy tắc.
Qua luận văn này tác giả đã thu hoạch được nhiều kiến thức mới bổ ích về
quá trình điểm không gian và bước đầu tác giả đã biết thực hiện một phương pháp
nghiên cứu trong phân tích quá trình điểm không gian.

68. 63
K
K
Ke
e
et
t
t-
-
-n
n
no
o
oi
ii.
.
.c
c
co
o
om
m
m k
k
kh
h
ho
o
o t
t
ta
a
ai
ii l
lli
iie
e
eu
u
u m
m
mi
iie
e
en
n
n p
p
ph
h
hi
ii
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đào Hữu Hồ, Nguyễn Văn Hữu, Hoàng Hữu Như, (2004), Thống kê toán
học,Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.
[2] Hoàng Trung Sơn, TS. Hoàng Ngọc Bắc, (2006), Lập trình Pascal, Nhà xuất
bản Khoa học và Kỹ thuật.
[3] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến, (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, Nhà xuất
bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.
[4] Quách Tuấn Ngọc, (2010), Ngôn ngữ lập trình Pascal, Nhà xuất bản Giáo dục.
[5] Trần Đức Huyên, (2007), Phương pháp giải các bài toán trong tin học, Nhà
xuất bản Giáo dục.
[6] Barnard, G. A. (1963). Contribution to the discussion of Professor Bartlett’ s
paper. Journal of the Royal Statistical Society. B 25, 294.
[7] Bartlett, M. S. (1964). Spectral analysis of two-dimensional point
processes.Biometrika, 51, 299-311.
[8] Diggle, P.J. and Matern, B.(1981). On sampling designs for the estimation of
point-event nearest neighbor distributions. Scandinavian Journal of Statistics, 7,80-4.
[9] Hope, A. C. A. (1968). A simplified Monte Carlo significance test
procedure.Journal of the Royal Statistical Society,B 30, 582-98.
[10] Marriott, F. H. C. (1979). Monte Carlo test: how many simulations? Applied
Statistics, 28, 75-7.
[11] Moller, J., Syversveen, A.R. and Waagepetersen, R.P.(1998). Log-Gaussian
Cox processes. Scandinavian Journal of Statistics,25, 459-82.
[12] Numata, M. (1961). Forest vegetation in the vicinity of Choshi. Coastal Flora
and vegetation at Choshi, Chiba Prefecture IV. Bulletin of Choshi Marine
Laboratoy, Chiba University, 3, 28-48.
[13] Ripley, B. D. (1976). The second-order analysis of stationary point processes.
Journal of Applied Proabability, 13, 255-66.
[14] Ripley, B. D. (1977). Modelling spatial patterns (with discussion). Journal of
the Royal Statistical Society, B 39, 172-212.
[15] Stoyan, D., Kendall, W.S. and Mecke, J. (1995). Stochastic Geometry and its
Applications (second edtion). New York: Wiley
[16]Stoyan, D. and Stoyan, H.(1994). Fractals, Random Shapes and Point
Fields.New York: Wiley