Download luận văn đồ án tốt nghiệp ngành sư phạm toán với đề tài: Đại cương về không gian Vec-tơ tô-pô, cho các bạn làm luận văn tham khảo Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620 Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://baocaothuctap.net

1. UỶ BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN
NGUYỄN CÔNG MINH
ĐẠI CƯƠNG VỀ
KHÔNG GIAN VEC-TƠ TÔ-PÔ
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
Ngành: Sư Phạm Toán học
Trình độ đào tạo: Đại học
Tp. Hồ Chí Minh - 2017
1

2. .
2

3. UỶ BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN
NGUYỄN CÔNG MINH
ĐẠI CƯƠNG VỀ
KHÔNG GIAN VEC-TƠ TÔ-PÔ
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
Ngành: Sư Phạm Toán học
Trình độ đào tạo: Đại học
Người hướng dẫn: Ts. LÊ MINH TUẤN
Tp. Hồ Chí Minh - 2017
3

4. Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, nội dung được nêu
trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kì một công
trình nào khác.
Tác giả luận văn
NGUYỄN CÔNG MINH
4

5. Lời cảm ơn
Tôi xin chân thành cảm ơn Quí thầy cô, Quí công nhân viên ở trường Đại học
Sài Gòn đã tạo điều kiện để tôi được học tập trong 4 năm qua.
Tôi xin chân thành cảm ơn Quí thầy cô ở Khoa Toán - Ứng dụng, là những
người thầy đã trực tiếp xây khả năng tự học và sự tiến bộ của tôi.
Tôi xin cảm ơn những người bạn đã dồng hành cùng tôi trong quá trính học.
Tôi xin chân thành cảm bạn Nguyễn Khánh Trường, người đã trực tiếp đồng
hành cùng tôi trong quá trình thực hiện khóa luận này.
Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn thầy Lê Minh Tuấn, người không những đã
giúp tôi tiến bộ rất nhiều trong việc học Toán, khơi dậy niềm đam mê học tập
trong tôi mà còn là người trực tiếp hướng dẫn tôi thực hiện khóa luận này.
Bốn năm Đại học sắp trôi qua với những trải nghiệm và trưởng thành hơn,
tôi thực sự biết ơn những giúp đỡ và hi sinh cả về thời gian và tâm sức của quí
thầy cô và các bạn đã dành cho tôi. Tôi sẽ cố gắng chăm chỉ hơn, tiến bộ hơn
để có thể giúp đỡ người khác.
5

6. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu các không gian
được trang bị thêm một cấu trúc tôpô phù hợp và các toán tử tuyến tính liên
tục giữa chúng. Chính việc nghiên cứu phổ của các toán tử đã dẫn đến việc
nghiên cứu các đại số tô-pô, một đối tượng khác của giải tích hàm. Các kết quả
và phương pháp của nó thâm nhập vào nhiều ngành khác nhau như lý thuyết
phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết các bài
toán cực trị và biến phân, phương pháp tính, lý thuyết biểu diễn,... Ra đời vào
những năm đầu của thế kỷ 20, bắt nguồn từ các công trình về phương trình
tích phân của Hilbert, Fredholm,..., đến nay giải tích hàm tích lũy được những
thành tựu quan trọng và nó đã trở thành chuẩn mực trong việc nghiên cứu và
trình bày các kiến thức toán học.
Đặc biệt, Không gian tô-pô là cơ sở và là nền tảng sơ khởi cho ngành toán
này. Tuy nhiên, ở chương trình toán ở các Đại học Việt Nam nói chung và Đại
học sài Gòn nói riêng, môn Giải tích hàm được tiếp cận thông qua không gian
Định chuẩn và Không gian Metric mà không có liên hệ nhiều với môn tô-pô đại
cương mà trước đó sinh viên chúng tôi đã được học. Điều đó thật đáng tiếc!
Bên cạnh đó, tôi thực sự hứng thú với hướng tiếp cận môn học này thông qua
Không gian tô-pô, nên tôi đã thực hiện đề tài "Đại cương về Không gian tô-pô"
nhằm mở rộng tầm hiểu biết của bản thân và có thêm một góc nhìn mới, một
hướng tiếp cận hầu như khác hẳn và khó khăn hơn những gì tôi được học.
2. Mục đích nghiên cứu
Ngoài lý do làm thỏa mãn sự tò mò và nhu cầu cải thiện năng lực của bản thân
và liên kết lại những thứ đã được học, mục đích nghiên cứu đề tài này của tôi
chính là cung cấp một hướng tiếp cận khác đối với môn Giải tích hàm thông
qua ngôn ngữ tô-pô, đồng thời tạo ra một tài liệu tham khảo đáng tin cậy cho
những ai hứng thú với hướng nghiên cứu này.
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Không gian tô-pô.
Khách thể nghiên cứu: Giải tích hàm.
6

7. 4. Giả thiết khoa học
Không có.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Làm rõ các khái niệm, định lí, tính chất,... về cấu trúc Không gian tô-pô.
Giải quyết các bài tập, ví dụ nhằm minh họa cho Không gian tô-pô.
6. Phạm vi nghiên cứu
Nội dung Khóa luận này chủ yếu dựa vào quyển Functional Analysis của Walter
Rudin, McGraw-Hill Book Company, 1973.
Thời gian: 1 năm (Từ tháng 5 năm 2016 đến tháng 5 năm 2017).
Địa điểm: Đại học Sài Gòn.
7. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết: Nghiên cứu các tài liệu về tô-pô
và Giải tích hàm đã được học, phân tích chúng thành từng bộ phận để tìm hiểu
sâu sắc từng đối tượng. Liên kết từng khái niệm, tính chất đã được phân tích
nhằm làm rõ ràng và sáng tỏ về Không gian tô-pô.
Phương pháp chuyên gia: Hỏi ý kiến thầy Lê Minh Tuấn và bạn Nguyễn Khánh
Trường hướng nghiên cứu và những vấn đề khó giải quyết.
8. Dự kiến cấu trúc nội dung đề tài nghiên cứu nghiên cứu
Ngoài phần Bìa, Lời cảm ơn, Lời cam đoan, Phần mở đầu, Tài liệu tham khảo,
khóa luận này dự kiến có 3 phần chính:
Chương 1: Không gian tô-pô.
Chương 2: Phụ lục.
Chương 3: Bài tập minh họa.
7

8. Mục lục
Lời cam đoan. 4
Lời cảm ơn. 5
PHẦN MỞ ĐẦU 6
1 KHÔNG GIAN tô-pô 11
1.1 Ghi chú . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Không gian vec-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Không gian định chuẩn - không gian metric . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Không gian tô-pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Không gian vec-tơ tô-pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.1 Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Tính bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.1 Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.2 Hệ quả. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.3 Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Các kiểu không gian tô-pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.9 Một số mối quan hệ giữa các tính chất này trong một không gian
tô-pô X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Các tính chất rời rạc. 20
1.10 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.10.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.10.2 Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.11 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.12 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.13 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.14 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.14.1 Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.15 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Ánh xạ tuyến tính. 29
1.16 Các định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.16.1 Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8

9. 1.17 Định lí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.18 Định lí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.18.1 Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Không gian hữu hạn chiều. 31
1.19 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.19.1 Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.20 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.21 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.21.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.22 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.23 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Phép Metric hóa. 35
1.24 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.24.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.24.2 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.25 Dãy Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.25.1 Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.25.2 Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.26 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.27 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.28 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Tính bị chặn và tính liên tục. 41
1.29 Tập bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.29.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.30 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.31 Các phép biến đổi tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.32 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Nửa chuẩn và tính lồi địa phương. 45
1.33 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.34 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.35 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.36 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.37 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.38 Các chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
9

10. 1.39 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Không gian thương. 52
1.40 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.41 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.42 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.43 Các nửa chuẩn và các không gian thương . . . . . . . . . . . . . . 56
Các ví dụ. 56
1.44 Không gian C(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.45 Không gian H(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.46 Không gian C∞(Ω) và DK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.46.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.47 Không gian Lp với 0 < p < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.47.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.47.2 Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2 Phụ lục 63
3 Bài tập minh hoạ 71
Tài liệu tham khảo88 Chỉ mục.89
10

11. 1 KHÔNG GIAN tô-pô
1.1 Ghi chú
Khóa luận này được dựa trên cuốn Functional Analysis của W.Rudin, do đó để
tiện theo dõi, cấu trúc chính (các đề mục) sẽ được giữ nguyên. Các mục không
chứng minh sẽ được chứng minh ở phụ lục.
1.2 Không gian vec-tơ
Các chữ in hoa R và C sẽ luôn được dùng để kí hiệu lần lượt cho trường số thực
và trường số phức. Lúc này, Φ viết tắt cho R hoặc C. Một vô hướng là một phần
tử của trường vô hướng Φ. Một không gian trên Φ là một tập hợp X mà các
phần tử của nó được gọi là các với hai phép toán, phép cộng và phép nhân vô
hướng được định nghĩa với các tiên đề đại số quen thuộc sau:
(a) Với mọi cặp x và y, có tương ứng một x + y sao cho
x + y = y + x,
và
x + (y + z) = (x + y) + z.
X chứa duy nhất một O ( không hoặc gốc tọa độ của X) sao cho x + O = x
với mọi x ∈ X, và với mỗi x ∈ X tương ứng một −x duy nhất sao cho
x + (−x) = O.
(b) Với mọi cặp (α, x) với α ∈ Φ và x ∈ X, có tương ứng một αx sao cho
1x = x, α(βx) = αβx,
và sao cho thỏa hai luật phân phối
α(x + y) = αx + αy, (α + β)x = αx + βx.
Kí hiệu: (X, +, ·).
Biểu tượng 0 tất nhiên sẽ luôn được dùng để chỉ phần tử không (gốc tọa độ)
của trường vô hướng.
Một không gian thực là một không gian trên trường số thực (Φ = R); một
không gian phức là một không gian trên trường số phức (Φ = C). Bất kì phát
11

12. biểu nào về các không gian trên trường vô hướng không rõ ràng thì được hiểu
ngầm là cả hai trường hợp trên.
Nếu X là một không gian với A ⊂ X, B ⊂ X, x ∈ X và λ ∈ Φ, các kí hiệu sau
đây sẽ được sử dụng:
x + A = {x + a : a ∈ A},
x − A = {x − a : a ∈ A},
A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B},
λA = {λa : a ∈ A}.
Đặc biệt (chọn λ = −1), −A kí hiệu cho tập tất cả các phần tử đối của các phần
tử thuộc A.
Lưu ý: 2A = A+A, A + ∅ = ∅, A − A = {0}. (Chứng minh ở phần bài tập)
Một tập Y ⊂ X được gọi là một không gian con của X nếu chính Y cũng là
một không gian (tất nhiên đối với cùng các phép toán trên X). Dễ dàng kiểm
tra điều này xảy ra nếu và chỉ nếu 0 ∈ Y và
αY + βY ⊂ Y
với mọi vô hướng α và β.
Một tập C ⊂ X được gọi là lồi nếu với 0 ≤ t ≤ 1 thì
tC + (1 − t)C ⊂ C.
Một tập B ⊂ X được gọi là cân bằng nếu với α ∈ Φ và |α| ≤ 1 thì
αB ⊂ B.
Một không gian X có n chiều (hoặc Không gian n chiều) (dimX = n) nếu X
có một cơ sở gồm n phần tử u1, ..., un. Điều này nghĩa là với mọi x ⊂ X có một
biểu thị tuyến tính duy nhất có dạng:
x = α1u1 + ... + αnun
với αi ∈ Φ.
Lưu ý: Nếu dimX = n, với n nào đó, X được gọi là hữu hạn chiều. Nếu X = ∅,
khi đó dimX = 0.
12

13. • Ví dụ: Nếu X = C (một không gian một chiều trên trường vô hướng C)
thì các tập cân bằng đáng lưu ý bao gồm C, tập ∅ và mọi đĩa tròn (đóng
hoặc mở) có tâm tại 0.
Nếu X = R2 (một không gian hai chiều trên trường vô hướng R) thì các tập
cân bằng đáng lưu ý là mọi đoạn thẳng có trung điểm tại (0, 0).
1.3 Không gian định chuẩn - không gian metric
Cho một không gian X trên Φ. Một ánh xạ
· : X −→ Φ
x −→ x
được gọi là một chuẩn trên X nếu các tính chất sau đây thỏa với mọi x, y ∈ X,
α ∈ Φ
(a) x + y ≤ x + y ,
(b) αx =| α | x ,
(c) x > 0 nếu x = 0.
Không gian X với một chuẩn được gọi không gian định chuẩn.
Kí hiệu: (X, +, ·, . ) hoặc (X, · ).
Cho X là một tập không rỗng. Một ánh xạ
d : X × X −→ R
(x, y) −→ d(x, y)
được gọi là một metric trên X nếu các tính chất sau thỏa với mọi x, y, z ∈ X,
(a) 0 ≤ d(x, y) < ∞,
(b) d(x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x = y,
(c) d(x, y) = d(y, x),
(d) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Tập X với một metric d được gọi là một không gian metric.
Kí hiệu: (X, d).
13

14. Mọi không gian định chuẩn có thể được xem như một không gian metric với
khoảng cách d(x,y) giữa x và y là x − y , ta có thể gọi đây là metric sinh bởi
chuẩn.
Trong không gian metric bất kì , quả cầu mở với tâm tại x và bán kính r là
một tập
Br(x) = {y : d(x, y) < r}.
Đặc biệt, nếu X là một không gian định chuẩn, thì các tập
B1(x) = {y : d(x, y) < 1}
và
B1(x) = {y : d(x, y) ≤ 1}.
lần lượt là các quả cầu mở đơn vị và quả cầu đóng đơn vị trong X.
Một tập con của một không gian metric là mở nếu và chỉ nếu nó là một hợp
của các quả cầu mở. Đặc biệt, X và ∅ là các tập mở.
Bằng việc lấy họ tất cả các hợp bất kì của tất cả các quả cầu mở, ta thu được
một tô-pô.
Các phép toán trong không gian (phép cộng và phép nhân vô hướng) là liên
tục trong tô-pô nếu metric được sinh ra từ một chuẩn như trên.
Một Không gian Banach là một không gian định chuẩn mà đầy đủ trong
metric được định nghĩa bởi chuẩn của nó; nghĩa là mọi dãy Cauchy trong không
gian đó đều hội tụ.
1.4 Các không gian hàm
Nhiều không gian hàm phổ biến là các không gian Banach, ví dụ như: Không
gian các hàm số liên tục trên các không gian compact, họ các không gian Lp
xuất hiện trong định lí tích phân, các không gian Hilbert - quan hệ mật thiết
nhất với các không gian Euclid, các không gian của các ánh xạ tuyến tính từ
một không gian Banach và một không gian Banach khác, Banach đại số. Tất cả
sẽ xuất hiện ở phần sau.
Tuy nhiên cũng có nhiều không gian quan trọng không khớp với các cấu trúc
này. Sau đâu là một vài ví dụ:
(a) C(Ω), không gian tất cả các hàm phức liên tục trên một tập mở Ω nào đó
trong không gian Euclidean Rn.
14

15. (b) H(Ω), không gian tất cả các hàm giải tích trên một tập mở Ω nào đó trong
mặt phẳng phức.
(c) C∞
K , không gian của vô hạn tất cả các hàm vi phân phức trên Rn, mà triệt
tiêu bên ngoài tập compact K được cố định nào đó với phần trong không
rỗng.
Các không gian này kèm theo các tô-pô một cách tự nhiên mà không thể được
sinh ra bởi chuẩn, chúng ta sẽ thấy sau. Chúng cũng như các không gian định
chuẩn là ví dụ cho các không gian tô-pô - một khái niệm xuyên suốt trong môn
giải tích hàm.
1.5 Không gian tô-pô
Một không gian tô-pô là một tập S với một họ τ các tập con (gọi là các tập mở )
đã được chỉ rõ, với các tính chất sau:
(a) S và ∅ là mở,
(b) Giao của hai tập mở bất kì là mở,
(c) Hợp của một họ các tập mở bất kì là mở.
Một họ τ như vậy được gọi là một tô-pô trên S.
Kí hiệu : (S, τ).
Sau đây là một số thuật ngữ sẽ được sử dụng với không gian tô-pô (S, τ):
Một tập E ⊂ S là đóng nếu và chỉ nếu phần bù của nó là mở. Bao đóng E
của E là giao của tất cả các tập đóng chứa E. Phần trong Eo của E là hợp của
tất cả các tập mở là tập con của E. Một lân cận của một điểm p ∈ S là một tập
mở bất kì chứa p.
(S, τ) là một Không gian Hausdorff và τ là một tô-pô Hausdorff nếu các điểm
phân biệt trong S có các lân cận rời rạc.
Một tập K ⊂ S là compact nếu mọi phủ mở của K đều có một phủ con hữu hạn.
Một họ τ′ ⊂ τ là một cơ sở của τ nếu mỗi phần tử của τ (tức là tập mở) là
một hợp của các phần tử của τ′.
15

16. Một họ γ các lân cận của một điểm p ∈ S là một cơ sở địa phương tại p nếu
mọi lân cận của p đều chứa một phần tử khác của γ.
Nếu E ⊂ S và nếu σ là một họ của tất cả các giao E ∩ V , với V ∈ τ, khi đó σ
là một tô-pô trên E (dễ dàng kiểm tra), ta gọi tô-pô này là tô-pô trên E được
thừa hưởng (cảm sinh) từ S.
Nếu một tô-pô τ được cảm sinh bởi một metric d (xem phần trên) thì ta nói
rằng d và τ là tương thích nhau.
Một dãy {xn} trong một không gian Hausdorff X hội tụ về một điểm x ∈ X
(hoặc limn→∞ xn = x) nếu mọi lân cận của x chứa tất cả hữu hạn điểm xn.
1.6 Không gian vec-tơ tô-pô
Giả sử τ là một tô-pô trên một không gian X sao cho
(a) Tập gồm 1 điểm của X đều là một tập đóng, và
(b) Các phép toán trong không gian là liên tục đối với τ 1.
Với hai điều kiện này, τ được gọi là một tô-pô trên X, và X là một không
gian tô-pô .
Điều kiện (a) có thể được phát biểu lại chính xác hơn như sau: Với mọi x ∈ X,
tập {x} có duy nhất một phần tử x là một tập đóng.
Trong nhiều tài liệu, (a) được bỏ qua trong định nghĩa của một không gian
tô-pô. (Định lí 1.12 sẽ chứng minh rằng cả (a) và (b) kéo theo τ là một tô-pô
Hausdorff.
1.6.1 Mệnh đề.
Phép cộng liên tục nghĩa là ánh xạ
+ : X × X −→ X
(x, y) −→ x + y
phải liên tục: Xét xi ∈ X với i = 1, 2 và V là một lân cận của x1 + x2, khi đó
tồn tại các lân cận Vi của xi sao cho
V1 + V2 ⊂ V.
1Cho X và Y là các không gian tô-pô. Một ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục nếu với mỗi tập con mở V của Y
thì f−1(V ) là một tập con mở của X. (Tham khảo phần Continuous Functions cuốn tô-pôlogy , Second Edition, James
R.Munkres, Prentice Hall.Inc, 2000.)
16

17. x1 + x2
V1
V2
V1 + V2
V
x1
x2
Hình 1: Minh họa cho lân cận tổng.
Tương tự, phép nhân vô hướng là liên tục, nghĩa là ánh xạ:
· : Φ × X −→ X
(α, x) −→ αx
phải liên tục: Nếu x ∈ X, α là một vô hướng, và V là một lân cận của αx, khi
đó tồn tại r > 0 và lân cận W nào đó của x sao cho
βW ⊂ V
với |β − α| < r.
Một tập con E của một không gian tô-pô được gọi là bị chặn nếu với mọi lân
cận V của 0 trong X tương ứng với một số s > 0 sao cho
E ⊂ tV
với mọi t > s.
1.7 Tính bất biến
Cho X là một không gian tô-pô. Kết hợp với mỗi a ∈ X và mỗi vô hướng λ = 0
, phép tịnh tiến Ta và phép vị tự Mλ có công thức sau:
Ta(x) = a + x, Mλ(x) = λx
với x ∈ X.
Mệnh đề sau đây là vô cùng quan trọng:
17

18. V
sV
tV
E
O
Hình 2: Minh họa cho tập E bị chặn.
1.7.1 Mệnh đề.
Ta và Mλ là các đồng phôi 2 từ X vào X (X là không gian tô-pô).
Một hệ quả của mệnh đề này là mọi tô-pô τ là bất biến đối với phép tinh tiến
(hoặc đơn giản là bất biến):
1.7.2 Hệ quả.
Một tập E ⊂ X là mở trong không gian tô-pô 3 nếu và chỉ nếu mỗi phép tịnh
tiến của a + E là mở. Do đó τ hoàn toàn được xác định bởi một cơ sở địa phương
bất kì.
Trong tài liệu này, thuật ngữ cơ sở địa phương sẽ luôn có nghĩa là cơ sở địa
phương tại 0. Một cơ sở địa phương của một không gian tô-pô X do đó là một
họ B các lân cận của 0 sao cho mọi lân cận của 0 đều chứa một phần tử của B.
1.7.3 Mệnh đề.
Các tập mở của X khi đó chính xác là hợp của các phép tịnh tiến của các phần
tử thuộc B.
2Cho X và Y là các không gian tô-pô, cho f : X → Y là một song ánh, nếu cả f và f−1 đều liên tục, khi đó f
được gọi là một đồng phôi. (Tham khảo phần Continuous Functions cuốn tô-pôlogy , Second Edition, James R.Munkres,
Prentice Hall.Inc, 2000.)
3Cho (X, τ), tập con U của X được gọi là mở nếu U ∈ τ. (Tham khảo phần tô-pôlogical Spaces cuốn tô-pôlogy ,
Second Edition, James R.Munkres, Prentice Hall.Inc, 2000.)
18

19. O
Hình 3: Minh họa cho cơ sở địa phương.
Một metric d trên một không gian X được gọi là bất biến nếu
d(x + z, y + z) = d(x, y)
với mọi x, y, z thuộc X.
1.8 Các kiểu không gian tô-pô
Trong các định nghĩa sau đây, X luôn được kí hiệu cho không gian tô-pô với
tô-pô τ.
(a) X là lồi địa phương nếu có một cơ sở địa phương B mà các phần tử của nó
là lồi.
(b) X là bị chặn địa phương nếu 0 có một lân cận bị chặn.
(c) X là compact địa phương nếu 0 có một lân cận mà bao đóng của nó là
compact.
(d) X là metric hóa được nếu τ tương thích với một metric nào đó.
(e) X là một không gian - F nếu tô-pô τ của nó được cảm sinh bởi một metric
d đầy đủ bất biến.
(f) X là một không gian Fréchet nếu X là một không gian - F lồi địa phương.
(g) X là chuẩn hóa được nếu có một chuẩn tồn tại trên X sao cho metric sinh
bởi chuẩn là tương thích với τ.
(h) Các không gian định chuẩn và không gian Banach đã được định nghĩa (ở
phần 1.2).
(i) X có tính Heine - Borel nếu mọi tập con đóng và bị chặn của X là compact.
19

20. Thuật ngữ ở (e) và (f) không phổ biến: Trong vài tài liệu, tính lồi địa phương
được bỏ qua trong định nghĩa của một không gian Fréchet, ngược lại một số
người khác lại dùng không gian - F để mô tả cái mà chúng ta gọi là không gian
Fréchet.
1.9 Một số mối quan hệ giữa các tính chất này trong một không gian tô-pô
X
(a) Nếu X bị chặn địa phương, khi đó X có một cơ sở địa phương đếm được.
(Phần (c) định lí 1.15)
(b) X có chiều hữu hạn nếu và chỉ nếu X compact địa phương. (Định lí 1.21,
1.22)
(c) Nếu một không gian bị chặn địa phương X có tính chất Heine - Borel, khi
đó X có chiều hữu hạn. (Định lí 1.23)
(d) X là metric hóa nếu và chỉ nếu X có một cơ sở địa phương đếm được. (Định
lí 1.24)
(e) X là chuẩn hóa nếu và chỉ nếu X lồi địa phương và bị chặn địa phương.
(Định lí 1.39)
Không gian H(Ω) và C∞
K được đề cập ở phần 1.3 là các không gian Fréchet
vô hạn chiều với tính chất Heine - Borel (phần 1.45, 1.46). Do đó chúng không
bị chặn địa phương, dẫn tới không chuẩn hóa; điều này chỉ ra rằng điều ngược
lại của (a) là sai.
Mặt khác, tồn tại các không gian - F bị chặn địa phương mà không lồi địa
phương. (Phần 1.47)
Các tính chất rời rạc
1.10 Định lí
Giả sử K và C là các tập con của một không gian tô-pô X, K là compact, C
đóng, và K ∩ C = ∅. Khi đó 0 có một lân cận V sao cho
(K + V ) ∩ (C + V ) = ∅
Chú ý rằng K + V là hợp của các phép tịnh tiến Tx(V ) = x + V (x ∈ K). Do
đó K + V là một tập mở chứa K. Vì vậy định lí hàm ý sự tồn tại của hai tập mở
rời nhau lần lượt chứa K và C.
20

21. Chứng minh.
Ta sẽ chứng minh K + V = x∈K(x + V ). Xét bất kì x0 + V ∈ K + V , hiển
nhiên ta có x0 + V ∈ x∈K(x + V ), suy ra K + V ⊂ x∈K(x + V ). Ngược lại nếu
x0+V ∈ x∈K(x+V ) thì hiển nhiên x0+V ∈ K+V , dẫn đến x∈K(x+V ) ⊂ K+V .
Chúng ta bắt đầu với một mệnh đề khá hữu dụng sau đây:
1.10.1 Mệnh đề
Nếu W là một lân cận của 0 trong X, khi đó tồn tại một lân cận U ⊂ W của 0
sao cho nó đối xứng (nghĩa là U = −U) và thỏa U + U ⊂ W.
U
U+U
W
O
Hình 4: Minh họa cho tập đối xứng.
Bây giờ mệnh đề có thể được áp dụng nhiều lần cho U, W và mang lại một
lân cận đối xứng mới U′ của 0 sao cho
U′
+ U′
+ U′
+ U′
⊂ U + U ⊂ W.
(Áp dụng mệnh đề 1.10.1 hai lần)
Trở lại định lí ban đầu,
Trường hợp 1: nếu K = ∅, khi đó K + V = ∅, như vậy định lí hiển nhiên đúng.
Trường hợp 2: giả sử K = ∅, xét một điểm x ∈ K, vậy x không thuộc C. Vì C là
đóng và vì tô-pô của X là bất biến qua các phép biến hình, nên mệnh đề 1.10.1
chỉ ra rằng 0 có một lân cân đối xứng Vx sao cho
x + Vx + Vx + Vx ⊂ x + Vx + Vx + Vx + Vx ⊂ K.
Suy ra (x + Vx + Vx + Vx) ∩ C = ∅. Xét bất kì x0 ∈ (x + Vx + Vx + Vx), vậy tồn tại
vi ∈ Vx, i = 1, 2, 3 sao cho x0 = x + v1 + v2 + v3, suy ra x0 = x + v1 + v2 + v3 không
21

22. thuộc C, dẫn tới x0 = x+v1 +v2 +v3 = c với mọi c ∈ C, dẫn tới x+v1 +v2 = c−v3
với mọi c ∈ C. Suy ra (x + Vx + Vx) ∩ (C − Vx) = ∅. Do tính đối xứng của Vx, ta
có
(1) (x + Vx + Vx) ∩ (C + Vx) = ∅.
Vì K là compact, nên tồn tại hữu hạn điểm x1, ..., xn ∈ K và các lân cận đối
xứng Vxi của 0 sao cho
K ⊂ (x1 + Vx1 ) ∪ ... ∪ (xn + Vxn ).
Chọn V = Vx1 ∩ ... ∩ Vxn . Khi đó
K + V ⊂ (x1 + Vx1 ) ∪ ... ∪ (xn + Vxn ) + V ⊂
i=1,n
(xi + Vxi + V ) ⊂
i=1,n
(xi + Vxi + Vxi ).
Mặt khác từ (1), ta có (xi + Vxi + Vxi ) ∩ (C + Vxi ) = ∅ với mọi xi, hơn nữa
C + V ⊂ C + Vxi .
Suy ra:
(xi + Vxi + Vxi ) ∩ C + V = ∅
với mọi xi. Dẫn tới
K + V ⊂
i=1,n
(xi + Vxi + Vxi ) ∩ C + V = ∅.
1.10.2 Hệ quả
Vì C + V là mở, nên định lí trên vẫn đúng đối với bao đóng của K + V , tức là
K + V ∩ (C + V ) = ∅.
Đặc biệt,
K + V ∩ C = ∅.
Nếu chọn K = {0}, ta sẽ thu được các kết quả đặc biệt thú vị sau đây:
22

23. 1.11 Định lí
Nếu B là một cơ sở địa phương của một không gian tô-pô X, khi đó mọi phần
tử của B đều chứa bao đóng của phần tử nào đó trong B.
Chứng minh.
Giả sử W ∈ B là lân cận bất kì của 0. Suy ra X W là đóng. Hơn nữa, {0} là
tập compact, và X W ∩ {0} = ∅. Áp dụng hệ quả 1.10.2, tồn tại một lân cận
V ∈ B sao cho
V = V + {0} ∩ X W = ∅.
Suy ra V ⊆ W. Hơn nữa, do V ∈ B nên ∃U ∈ B sao cho U ⊂ V . Dẫn tới
U ⊂ V ⊆ W.
1.12 Định lí
Mọi không gian tô-pô đều là một không gian Hausdorff.
Chứng minh.
Xét X là một không gian tô-pô bất kì và hai điểm m, n thuộc X sao cho m = n.
Dễ thấy {m} và {n} đều là các tập đóng và compact, Áp dụng định lí 1.10, tồn
tại lân cận V của 0 sao cho
({m} + V ) ∩ ({n} + V ) = ∅
Với ({m} + V ) và ({n} + V ) lần lượt là các lần cận rời nhau của m và n. Vậy X
là một không gian Hausdorff.
Bây giờ chúng ta sẽ suy ra một vài tính chất của bao đóng và phần trong
trong một không gian . Nhắc lại rằng một điểm p ∈ E nếu và chỉ nếu mọi lân
cận của p giao E khác rỗng.
1.13 Định lí
Cho X là một không gian tô-pô, khi đó:
(a) Nếu A ⊂ X, khi đó A = (A + V ) , với V chạy khắp tất cả các lân cận của
0.
(b) Nếu A ⊂ X và B ⊂ X, khi đó A + B ⊂ A + B.
23

24. (c) Nếu Y là không gian con của X thì Y cũng vậy.
(d) Nếu C là một tập con lồi của X thì C và Co cũng vậy.
(e) Nếu B là một tập con cân bằng của X thì B cũng vậy; nếu 0 cũng thuộc Bo
thì Bo cân bằng.
(f) Nếu E là một tập con bị chặn của X thì E cũng vậy.
Chứng minh.
(a) Xét a bất kì thuộc A, khi đó với mọi lân cận Va = a + V (với V là lân cận
nào đó của 0) của a thì (a + V ) ∩ A = ∅. Suy ra tồn tại v ∈ V , a′ ∈ A sao cho
a + v = a′, suy ra a = a′ + (−v), dẫn tới a ∈ A + (−V ) với mọi V.
Mặt khác, V là lân cận của 0 nếu và chỉ nếu −V cũng vậy. Do đó, A ⊂ (A+ V )
với mọi V là lân cận của 0. (1’)
Xét x ∈ (A + V ), suy ra x ∈ (A + V ) với mọi V chạy khắp tất cả lân cận của
0. Dẫn tới tồn tại a ∈ A, v ∈ V bất kì sao cho x = a + v, suy ra x − v = a với
v ∈ V bất kì. Suy ra x + (−V ) ∩ A = ∅ với V bất kì và x + (−V ) chính là lân cận
bất kì của x. Do đó x ∈ A, dẫn tới (A + V ) ⊂ A. (2’)
Từ (1’) và (2’) ta suy ra A = (A + V ) với V chạy khắp tất cả các lân cận của
0.
(b) Xét x ∈ A + B, như vậy tồn tại a ∈ A, b ∈ B sao cho x = a + b.
Xét W là lân cận bất kì của x = a + b, vì tính liên tục của phép cộng đã nói đến
ở trên, tồn tại V1 và V2 lần lượt là các lân cận của a và b sao cho
V1 + V2 ⊂ W
Ta lại có V1 ∩ A = ∅ và V2 ∩ B = ∅
Xét a′ ∈ V1 ∩ A và a′ = a; b′ ∈ V2 ∩ B và b′ = b. Ta có a′ + b′ ∈ V1 + V2 và
a′ + b′ ∈ A + B. Dẫn tới
W ⊃ (V1 + V2) ∩ (A + B) = {a + b} = ∅
Suy ra x ∈ A + B. Do đó A + B ⊂ A + B.
(c) Đầu tiên ta cần chứng minh αY = αY với mọi α là một vô hướng. Từ định
nghĩa về bao đóng, ta có αY ⊂ αY với mọi α. Do đó 1
ααY ⊂ 1
ααY ⇐⇒ αY ⊂ αY
với mọi α khác 0. Nếu α = 0 thì hiển nhiên đúng.
Áp dụng câu (b) và mệnh đề vừa chứng minh, với mọi α, β lá các vô hướng, ta
có
αY + βY = αY + βY ⊂ αY + βY ⊂ Y
24

25. Vậy Y là không gian con của X.
(d) Tương tự câu trên ta có
tC + (1 − t)C = tC + (1 − t)C ⊂ tC + (1 − t)C ⊂ C
với 0 ≤ t ≤ 1. Vậy C lồi trong X.
Vì C0 ⊂ C và C là lồi nên ta có
tC0
+ (1 − t)C0
⊂ C
Vì các phép biến hình là các phép đồng phôi, nên tập ở vế trái là một tập mở
trong C mà C0 là tập mở lớn nhất trong C, suy ra
tC0
+ (1 − t)C0
⊂ C0
với 0 ≤ t ≤ 1. Vậy C0 lồi trong X.
(e) Ta có αB = αB ⊂ B với |α| ≤ 1. Vậy B là cân bằng.
Ta chứng minh: αB0 = (αB)0 với 0 < |α| ≤ 1
Với 0 < |α| ≤ 1, vì phép vị tự Mα là phép đồng phôi (nếu α = 0 thì Mα không
còn là đồng phôi nữa) nên αB0 ⊂ αB ⊂ B (B cân bằng), và αB0 là một tập mở,
nên αB0 ⊂ B0. Nếu 0 ∈ B0 thì αB0 ⊂ B0 với |α| ≤ 1. Do đó B0 cân bằng.
(f) Cho W là một lân cận bất kì của 0 do E bị chặn nên ∃s > 0 sao cho
E ⊂ tW với t > s. Suy ra E ⊂ tW với t > s. Bởi Định lí 1.11, tW sẽ được chứa
trong một lân cận V nào đó của 0. Do đó E ⊂ tW ⊂ V . Vậy E bị chặn.
1.14 Định lí
Trong một không gian tô-pô X,
(a) Mọi lân cận của 0 đều chứa một lân cận cân bằng của 0.
(b) Mọi lân cận lồi của 0 đều chứa một lân cận cân bằng lồi của 0.
Chứng minh.
(a) Giả sử U là một lân cận bất kì của 0 trong X. Vì phép nhân vô hướng là
liên tục nên tồn tại δ > 0 và một lân cận V của 0 trong X sao cho αV ⊂ U với
|α| < δ. Cho W là hợp của tất cả các tập αV đó. Tức là
W =
|α|<δ
αV ⊂ U.
25

26. Hiển nhiên W là lân cận của 0. Xét x ∈ W, suy ra tồn tại α0 với |α0| ≤ δ sao cho
x ∈ α0V , suy ra x = α0v với v nào đó thuộc V . Lúc này, βx = βα0v với |β| ≤ 1.
Mặt khác, |β||α| = |αβ| ≤ 1|α| < δ. Do đó βx ∈ W và βW ⊂ W. Vậy W là lân cận
cân bằng của 0 và nằm trong U.
U
βV
O
Hình 5: Minh hoạ cho tập |α|<δ αV .
(b) Giả sử U là một lân cận lồi của 0 trong X. Đặt
A = (−U) ∩ U.
Chọn W là lân cận giống ở phần (a). Vì W là cân bằng nên α−1W = W ⊂ U khi
|α| = 1; dẫn tới W ⊂ αU với ∀α : |α| = 1. Do đó, W ⊂ A , suy ra W ⊂ A0, điều
này hàm ý rằng A0 là một lân cận của 0. (1′)
Mặt khác, vì A là giao của các tập lồi (Xem Bài 1 (f)) nên A cũng là lồi, do
đó A0 cũng vậy. (2′)
Để chứng minh A0 cân bằng, ta cần phải chứng minh A cân bằng. Chọn r và
β sao cho 0 ≤ r ≤ 1 và |β| = 1. Khi đó
rβA = rβ
|α|=1
αU =
|α|=1
rβαU =
|α|=1
rαU
Vì αU là một tập lồi chứa 0, ta có rαU +(1−r)αU ⊂ αU, tức là ru+(1−r)u′ ∈ αU
với mọi u, u′ ∈ αU. Chọn u′ = 0 ta được ru ∈ αU, dẫn tới rαU ⊂ αU. Do đó
rβA ⊂ A. Điều này hàm ý rằng ρA ⊂ A với 0 ≤ |ρ| ≤ 1 , vậy A cân bằng, suy ra
A0 cũng vậy. (3′)
Mặt khác A0 ⊂ ( |α|=1 αU)0 ⊂ U0 ⊂ U. (4′)
Từ (1’)(2’)(3’)(4’) suy ra A0 chính là một lân cận lồi cân bằng của 0 và nằm
trong U.
Định lí này có thể được phát biểu lại trong các cơ sở địa phương như sau:
Một cơ sở địa phương B là cân bằng (lồi) nếu các phần tử của nó là các tập cân
bằng (lồi).
26

27. U
−U
A
O
Hình 6: Minh hoạ cho tập A.
1.14.1 Hệ quả
(a) Mọi không gian tô-pô đều có một cơ sở địa phương cân bằng.
(b) Mọi không gian lồi địa phương đều có một cơ sở địa phương cân bằng lồi.
1.15 Định lí
Giả sử V là một lân cận của 0 trong một không gian tô-pô X.
(a) Nếu 0 < r1 < r2 < ... và rn −→ ∞ khi n −→ ∞, khi đó
X =
∞
n=1
rnV.
(b) Mọi tập con compact K của X đều bị chặn.
(c) Nếu δ1 > δ2 > ... và δn −→ 0 khi n −→ ∞, và nếu V là bị chặn, khi đó họ
{δnV : n = 1, 2, 3, ...}
là một cơ sở địa phương của X.
Chứng minh.
(a) Cố định x ∈ X. Xét ánh xạ
fx : Φ −→ X
α −→ αx
Dễ thấy fx = Mα với mọi α ∈ Φ, do đó fx là ánh xạ liên tục từ trường vô hướng
Φ vào X và f−1
x (V ) = {α : αx ∈ V } là tập mở trong Φ; tất nhiên 0 ∈ f−1
x (V ). Do
27

28. đó f−1
x (V ) chính là một lân cận của 0 trong Φ. Dẫn tới tồn tại n0 > 0 sao cho
∀n > n0 thì
1
rn
∈ f−1
x (V ). Do đó
1
rn
x ∈ V , suy ra x ∈ rnV với ∀n > n0 . Suy ra
x ∈
∞
n=n0
rnV ⊂
∞
n=1
rnV ⇒ X ⊂
∞
n=1
rnV (1)
Mặt khác, xét v0 ∈
∞
n=1 rnV , suy ra ∃n0 sao cho v0 ∈ rn0 V ⊂ X. Do đó
X ⊃
∞
n=1 rnV (2)
Từ (1) và (2) ta có điều cần chứng minh.
(b) Gọi K là một tập compact bất kì của X và gọi W là một lân cận cân bằng
của 0 sao cho W ⊂ V . Từ (a) ta có
K ⊂ X =
∞
n=1
nW
Do K compact nên phủ mở ∞
n=1 nW sẽ có phủ con hữu hạn, tức là tồn tại
n1 < ... < ns sao cho
K ⊂ n1W ∪ ... ∪ nsW = nsW.
Dấu ” = ” xảy ra do tính cân bằng của W. Nếu t > ns thì
K ⊂ tW ⊂ tV.
Vậy K bị chặn.
(c) Cho U là một lân cận của 0 trong X. Vì V bị chặn nên tồn tại s > 0 sao
cho với mọi t > s thì V ⊂ tU. Nếu thay U bằng chính V thì
V ⊂ tV.
Xét một phần tử bất kì δnk V ∈ {δnV : n = 1, 2, 3, ...}, vì {δn} là một dãy hội tụ về
0 nên tồn tại n0 > 0 sao cho với mọi nl > n0 thì sδnl < δnk , suy ra s <
δnk
δnl
, suy ra
V ⊂
δnk
δnl
V =⇒ δnl V ⊂ δnk V.
với δnl V ∈ {δnV : n = 1, 2, 3, ...}. Điều này chứng tỏ {δnV : n = 1, 2, 3, ...} là một
cơ sở địa phương của X.
28

29. Ánh xạ tuyến tính
1.16 Các định nghĩa.
Cho X và Y là các tập hợp, kí hiệu sau
f : X −→ Y
có nghĩa là f là ánh xạ từ X vào Y .
Nếu A ⊂ X và B ⊂ Y , khi đó ảnh f(A) của A và ảnh ngược f−1(B) của B được
định nghĩa như sau
f(A) = {f(x) : x ∈ A}, f−1
(B) = {x : f(x) ∈ B}.
Bây giờ giả sử rằng X và Y là các không gian trên cùng trường vô hướng. Một
ánh xạ Λ : X −→ Y được gọi là tuyến tính nếu
Λ(αx + βy) = αΛx + βΛy
với mọi x, y ∈ X và mọi vô hướng α, β và Λx, Λy lần lượt là ảnh của x,y qua Λ .
Chú ý rằng Λ(x) thường được viết thành Λx khi Λ là tuyến tính.
Các ánh xạ tuyến tính từ X vào trường vô hướng của nó được gọi là các phiếm
hàm tuyến tính.
• Ví dụ. Phép vị tự Mα ở phần 1.7 là tuyến tính nhưng phép tịnh tiến Ta thì
không, trừ khi a = 0.
1.16.1 Tính chất.
Giả sử Λ : X −→ Y và A ⊂ X và B ⊂ Y , khi đó
(a) ΛO = 0.
(b) Nếu A là một không gian con ( hoặc một tập lồi, hoặc một tập cân bằng)
thì Λ(A) cũng vậy.
(c) Nếu B là một không gian con ( hoặc một tập lồi, hoặc một tập cân bằng)
thì Λ−1(B) cũng vậy.
(d) Đặc biệt, tập hợp
Λ−1
({0}) = {x ∈ X : Λx = 0} = N (Λ)
là một không gian con của X, được gọi là không gian triệt (hoặc không gian
nghiệm) của Λ.
29

30. 1.17 Định lí.
Cho X và Y là các không gian tô-pô. Nếu Λ : X −→ Y là tuyến tính và liên tục
tại 0, khi đó Λ là liên tục (trên X). Thực vậy, Λ là liên tục đều nghĩa là: với mỗi
lân cận W của 0 trong Y tương ứng một lân cận V của 0 trong X sao cho
y − x ∈ V ⇒ Λy − Λx ∈ W
với mọi x, y ∈ X.
Chứng minh.
Cố định W là lân cận của Λ0 = 0 trong Y.
Vì Λ liên tục tại 0 nên tồn tại lân cận V của 0 trong X sao cho Λ(V ) ⊂ W.
Xét x ∈ X bất kì và Vx = x + V là lân cận của x trong X.
Ta có: Λ(x + V ) = Λx + Λ(V ) ⊂ Λx + W. Điều này có nghĩa là: ứng với mỗi
WΛx = Λx + W là lân cận của Λx trong Y, luôn tồn tại lân cận Vx = x + V của x
trong X sao cho Λ(Vx) ⊂ WΛx. Do đó Λ liên tục (trên X).
1.18 Định lí.
Cho Λ là một phiếm hàm tuyến tính trên không gian tô-pô X. Giả sử Λx = 0 với
một vài phần tử x ∈ X. Khi đó các mệnh đề sau đây là tương đương nhau:
(a) Λ là liên tục.
(b) Không gian triệt N (Λ) là đóng.
(c) N (Λ) là không dày đặc trong X.
(d) Λ bị chặn trong một lân cận V nào đó của 0.
Chứng minh.
(a) =⇒ (b): Ta có Λ liên tục và {0} là tập đóng, do đó ∧−1({0}) = N (Λ) là đóng.
(b) =⇒ (c): Do N (Λ) đóng nên N (Λ) = N (Λ). Giả sử N (Λ) dày đặc trong
X, khi đó N (Λ) = N (Λ) = X. Suy ra Λx = 0, ∀x ∈ X, vô lí. Vậy N (Λ) không
dày đặc trong X.
Trước khi chứng minh tiếp, ta cần mệnh đề sau:
30

31. 1.18.1 Mệnh đề.
Nếu A ⊂ Φ là tập cân bằng và x là một vô hướng thuộc A thì mọi vô hướng y
thuộc Φ sao cho |y| ≤ |x| đều thuộc A.
(c) =⇒ (d): Từ (c) ta có XN (Λ) = ∅, suy ra tồn tại x ∈ XN (Λ) với
XN (Λ) là một tập mở trong X.
Áp dụng định lí 1.11 với {x} là compact, N (Λ) đóng và {x} ∩ N (Λ) = ∅, tồn
tại W là lân cận của 0 trong X sao cho
(x + W) ∩ N (Λ) = ∅ (2)
Áp dụng Định lí 1.14 tồn lân cận cân bằng V của 0 trong X sao cho V ⊂ W,
suy ra
(x + V ) ∩ N (Λ) = ∅.
⇒ Λx + Λ(V ) = Λ(x + V ) ∩ {0} = ∅. (3)
Khi đó Λ(V ) là một tập con cân bằng của trường Φ. Nếu Λ(V ) bị chặn, ta nhận
được (d). Giả sử Λ(V ) không bị chặn, lấy bất kì y ∈ Φ áp dụng mệnh đề 1.18.1
ở trên ta nhận được Φ ⊂ Λ(V ) do đó Λ(V ) = Φ.
Mặt khác vì −Λx ∈ Λ(V ) nên tồn tại y ∈ V sao cho Λy = −Λx, dẫn tới
Λy + Λx = Λ(y + x) = 0. Do đó x + y thuộc x + V đồng thời cũng thuộc N (Λ), so
với (3) ta thấy vô lí. Vậy Λ bị chặn.
(d) =⇒ (a): từ (d) ta có Λ(V ) bị chặn với V là lân cận nào đó của 0 trong X,
nghĩa là với mọi lân cận B của Λ0 = 0 trong Y , tồn tại s > 0 sao cho với mọi
t > s thì Λ(V ) ⊂ tB, suy ra
1
t
Λ(V ) ⊂ B. Ta hoàn toàn có thể xem V là cân bằng
(bởi định lí 1.14) và 1
t < 1. Do đó
Λ
1
t
V ⊂ Λ(V ) ⊂ B.
Như vậy nghĩa là ứng với mỗi B là lân cận của Λ0 = 0 trong Φ luôn tồn tại
lân cận 1
t V của 0 trong X sao cho Λ(1
t V ) ⊂ W với t > s nào đó. Do đó Λ liên tục
tại 0, dẫn tới Λ liên tục (trên X)(định lí 1.17).
Không gian hữu hạn chiều
1.19 Các định nghĩa
Các không gian Banach đơn giản nhất là Rn và Cn lần lượt là các không gian
n chiều trên R và C, được chuẩn hóa bởi metric Euclidean thông thường. Ví dụ
31

32. nếu
z = (z1, ..., zn) ∈ Cn
khi đó
z 2 = d2 = (|z1|2
+ ... + |zn|2
)
1
2 .
Các chuẩn khác có thể được định nghĩa như sau:
z 1 = d1 = |z1| + ... + |zn|,
hoặc
z ∞ = d∞ = max(|zi| : 1 ≤ i ≤ n).
Tất nhiên, các chuẩn này tương ứng với các metric khác nhau trên Cn.
1.19.1 Mệnh đề.
Các chuẩn trên cảm sinh cùng một tô-pô trên Cn. 4
Nếu X là một không gian tô-pô trên C, và dimX = n, khi đó mọi cơ sở của
X cảm sinh một đẳng cấu từ X vào Cn. Định lí 1.21 sẽ chứng minh đẳng cấu
này phải là một đồng phôi. Nói cách khác, điều này nói rằng tô-pô của Cn chỉ
có tô-pô mà một không gian phức n chiều có thể có.
Chúng ta cũng sẽ thấy các không gian con hữu hạn chiều luôn đóng và không
có một không gian tô-pô vô hạn chiều nào mà compact địa phương.
Mọi thứ ở phần trên cũng đúng đối với các vô hướng thực trong mặt phẳng
phức.
1.20 Bổ đề
Nếu X là không gian tô-pô phức và nếu f : Cn −→ X là tuyến tính, khi đó f là
liên tục.
Chứng minh.
Cho {e1, ..., en} là một cơ sở trực chuẩn của Cn: chỉ số thứ k của ek = 1, các
phần tử còn lại bằng 0. Đặt uk = f(ek), với k = 1, 2, 3, .... khi đó với mọi
z = (z1, .., zn) ∈ Cn, ta có
f(z) = z1f(e1) + .. + znf(en) = z1u1 + ... + znun = Mz1 (u1) + ... + Mzn (un).
Các phép Mzk là liên tục, phép + các phần tử trong không gia tô-pô X là liên
tục nên f liên tục trên Cn .
4Tham khảo phần The metric tô-pôlogy cuốn tô-pôlogy, Second Edition, James R.Munkres, Prentice Hall.Inc, 2000.
32

33. 1.21 Định lí
Nếu n là một số nguyên dương và Y là một không gian con n chiều của một
không gian tô-pô phức X, khi đó
(a) Mọi đẳng cấu từ Cn vào Y luôn là một đồng phôi.
(b) Y là đóng.
Trước khi chứng minh định lí này, ta cần mệnh đề sau:
1.21.1 Mệnh đề
Mọi tập mở cân bằng trên Cn là tập liên thông đường 5.
Chứng minh. Cho S là mặt cầu chặn quả cầu mở đơn vị B của Cn, nghĩa là
z ∈ S nếu và chỉ nếu |zi|2 = 1; z ∈ B nếu và chỉ nếu |zi|2 < 1.
Giả sử
f : Cn
−→ Y ⊆ X
z = (z1, .., zn) −→ y = z1y1 + ... + znyn
là một đẳng cấu bất kì (cố định {y1, ..., yn} là một cơ sở bất kì của Y). Điều này
nghĩa là f là tuyến tính, song ánh (1) và f(Cn) = Y . Áp dụng bổ đề 1.20 với f
là tuyến tính, suy ra f là liên tục (2); áp dụng định lí 1.18 phần (d), tiếp tục
suy ra f bị chặn trên một lân cận nào đó của O. Chọn K = f(S) thì K đóng và
bị chặn cùng với f liên tục, bởi tính Heine - Borel suy ra K compact.
Mặt khác, f(0) = 0 và f là song ánh nên 0 không thuộc K. Suy ra tồn tại lân
cận V cân bằng của 0 trong Y sao cho
V ∩ K = ∅ =⇒ f−1
(V ) ∩ f−1
(K) = ∅ =⇒ f−1
(V ) ∩ S = ∅
Vì f là tuyến tính, nên f−1(V ) là cân bằng, dẫn đến f−1(V ) là liên thông đường
(mệnh đề 1.21.1),do đó nó liên thông 6 (mệnh đề 1.21.1).
Nếu f−1(V ) B, khi đó ∃v ∈ f−1(V ) nhưng không thuộc B. Dễ thấy không
tồn tại đường liên tục nào nối v và 0 bởi chúng bị gián đoạn bởi các điểm
nằm trên S. Dẫn đến f−1(V ) liên thông đường trái với chứng minh trên. Do đó
f−1(V ) ⊂ B. Suy ra f−1 là bị chặn. Áp dụng định lí 1.18, suy ra f−1 là liên tục
5Cho trước các điểm x và y trong không gian X, một đường trong X từ x tới y là một ánh xạ liên tục f : [a, b] → X
của một đoạn đóng trên trục số thực vào X, sao cho f(a) = x và f(b) = y. Một không gian X được gọi là liên thông
đường nếu mọi cặp điểm của X đều có thể được nối bởi một đường trong X. Một tập A được gọi là tập liên thông
đường nếu trên A cảm sinh một τA sao cho (A, τA) là không gian liên thông đường.
6Tham khảo phần Connected Subspaces of the Real line cuốn tô-pôlogy, Second Edition, James R.Munkres, Prentice
Hall.Inc, 2000.
33

34. (3).
Từ (1) (2) (3) suy ra f là một đồng phôi.
(b) Chọn p ∈ Y , f và V như trên. Với t đủ lớn, ta có
p ∈ (tV ).
Mà tV ⊂ tf(B) = f(tB) ⊂ f(tB) nên p ∈ f(tB)
Mặt khác do f đồng phôi nên f(tB) đóng trong Y và f(tB) ⊂ Y . Do đó Y = Y .
1.22 Định lí
Mọi không gian tô-pô compact địa phương X đều hữu hạn chiều.
Chứng minh.
Xét X là không gian tô-pô compact địa phương bất kì. Khi đó góc tọa độ của
X có một lân cận V mà bao đóng của nó compact. Áp dụng định lí 1.15 phần
(b) và (c), ta có V bị chặn, và {2−nV } với n = 1, 2, ... là một cơ sở địa phương
của X
Tính compact địa phương của V cho thấy tồn tại x1, ..., xm ∈ X sao cho
V ⊂ x1 +
1
2
V ∪... ∪ xm +
1
2
V .
Đặt Y là không gian sinh bởi x1, ..., xm. khi đó dimY ≤ m. Bởi định lí 1.21, Y là
một không gian con đóng trong X.
Vì V ⊂ Y + 1
2V và vì λY ⊂ Y với mọi vô hướng λ, dẫn tới
1
2
V ⊂ Y +
1
4
V
do đó
V ⊂ Y +
1
2
V ⊂ Y + Y +
1
4
V ⊂ Y +
1
22
V.
Tương tự cách làm này, ta có
V ⊂ Y +
1
2n
V .
với n = 1, 2, 3, .... Do đó
V ⊂
∞
n=1
Y +
1
2n
V .
34

35. Áp dụng định lí 1.13 phần (a) với {2−nV } là một cơ sở địa phương của 0, ta suy
ra ∞
n=1(Y + 1
2n V ) = Y ⊃ V , nhưng Y = Y , suy ra V ⊂ Y .
Tương tự các bước trên với kV cũng là tập compact với k = 1, 2, 3, ... ta có
kV ⊂ Y với k = 1, 2, 3, .... Áp dụng định lí 1.15 phần (a), ta có
X =
∞
k=1
kV ⊂ Y.
Do đó X = Y , suy ra dimX = dimY ≤ m.
1.23 Định lí
Nếu X là một không gian tô-pô bị chặn địa phương với tính chất Heine - Borel,
khi đó X hữu hạn chiều.
Chứng minh.
Bởi giả thiết, gốc tọa độ của một không gian tô-pô bị chặn địa phương X bất kì
có một lân cận bị chặn V. Bởi định lí 1.13 phần (f) ta suy ra V cũng bị chặn.
Với tính chất Heine - Borel, V là compact. Do đó X trở thành một không gian
tô-pô compact địa phương. Áp dụng định lí trên ta có điều cần chứng minh.
Phép Metric hóa
Ta nhắc lại rằng một tô-pô τ trên một tập X được gọi là metric hóa nếu có một
metric d trên X tương thích với τ. Trong trường hợp đó, các quả cầu với bán
kính
1
n
tâm x định hình một cơ sở địa phương tại x. Điều này cung cấp một
điều kiện cần thiết để metric hóa một không gian tô-pô.
1.24 Định lí
Nếu X là một không gian tô-pô với một cơ sở địa phương đếm được, khi đó có
một metric d trên X sao cho
(a) d tương thích với tô-pô của X,
(b) các quả cầu mở tâm tại 0 là cân bằng,
(c) d là bất biến d(x + z, y + z) = d(x, y) với x, y, z ∈ X.
Hơn nữa, nếu X là lồi địa phương, khi đó d có thể được chọn sao cho thỏa (a),
(b), (c) và
35

36. (d) tất cả các quả cầu mở là lồi.
Chứng minh.
Đầu tiên ta cần mệnh đề sau:
1.24.1 Mệnh đề
Nếu V là cân bằng thì −V cũng vậy và V cũng là tập đối xứng.
Bởi hệ quả định lí 1.14, X có một cơ sở địa phương cân bằng {Wn}. Áp
dụng mệnh đề 1.24.1 và mệnh đề 1.10.1, tồn tại Wk ⊂ Wn ∈ {Wn} sao cho
Wk + Wk + Wk + Wk+ ⊂ Wn. Với cách làm này, ta có thể xây dựng một cơ sở địa
phương cân bằng {Vn} của X từ {Wn} như sau:
(1) Vn+1 + Vn+1 + Vn+1 + Vn+1 ⊂ Vn
với n = 1, 2, 3, ... và Vn+1 ⊂ Vn. Nếu X là lồi địa phương, thì cơ sở địa phương cân
bằng {Vn} này cũng có thể được chọn sao cho mỗi Vn là lồi.
Cho D là tập tất cả các số hữu tỉ r có dạng
(2) r =
∞
n=1 cn(r)2−n
với mỗi ci(r) chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 và chỉ có hữu hạn số 1. Do đó nếu r ∈ D
thì 0 ≤ r < 1.
Định nghĩa
A(r) =



∞
n=1
cn(r)Vn khi r ∈ D (3a)
X khi r ≥ 1. (3b)
Chú ý rằng tổng (3a) là hữu hạn. Với mọi x ∈ X, định nghĩa
(4) f(x) = inf{r : x ∈ A(r)}
và với mọi x ∈ X, y ∈ Y
(5) d(x, y) = f(x − y)
Để chứng minh d là một metric, ta cần quan hệ bao hàm sau
(6) A(r) + A(s) ⊂ A(r + s) (r ∈ D, s ∈ D)
Trước khi chứng minh (6), hãy xem làm thế nào mà định lí này được suy ra
từ nó. Vì mọi A(s) chứa 0 và nếu t > r, (6) kéo theo
(7) A(r) ⊂ A(r) + A(t − r) ⊂ A(t)
36

37. Do đó {A(r)} được sắp thứ tự toàn phần bởi quan hệ bao hàm. Ta thu được
(8) f(x + y) ≤ f(x) + f(y) (x ∈ X, y ∈ Y )
Bây giờ ta bắt đầu chứng minh (6)
TH1: r + s ≥ 1 thì A(r + s) = X, (6) hiển nhiên đúng.
TH2: r + s < 1, chúng ta sẽ sử dụng mệnh đề sau về phép cộng trong hệ thống
nhị phân:
1.24.2 Mệnh đề
Nếu r, s và r + s thuộc D và tồn tại n0 sao cho cn0 (r) + cn0 (s) = cn0 (r + s) (∗) ;
khi đó tại n nhỏ nhất thỏa (∗) ta thu được cn(r) = cn(s) = 0 và cn(r + s) = 1.
Đặt αn = cn(r), βn = cn(s), γn = cn(r + s). Nếu αn + βn = γn với mọi n, khi đó
từ (4) ta suy ra được (7). Ngược lại, gọi N là số nhỏ nhất sao cho αN + βN = γN
khi đó bởi mệnh đề trên, ta có αN = βN = 0 và γN = 1. Do đó
A(r) ⊂ α1V1+...+αn−1Vn−1+VN+1+VN+2+... ⊂ α1V1+...+αn−1Vn−1+VN+1+VN+1.
Tương tự
A(s) ⊂ β1V1+...+βn−1Vn−1+VN+1+VN+2+... ⊂ β1V1+...+βn−1Vn−1+VN+1+VN+1.
Vì αn + βn = γn với mọi n < N và vì cách chọn {Vn} ta được
A(r) + A(s) ⊂ γ1V1 + ... + γn−1Vn−1 + VN + ⊂ A(r + s)
vì βN = 1 và βN+1 = 0.
Để chứng minh (8), ta có thể giả sử vế phải < 1. Cố định bất kì ε > 0, với mọi
x, y ∈ X tồn tại r và s thuộc D sao cho
f(x) < r, f(y) < s, r + s < f(x) + f(y) + ε.
Do đó x ∈ A(r), y ∈ A(s), từ (8) suy ra
x + y ∈ A(r) + A(s) ⊂ A(r + s).
Suy ra r + s ≥ f(x + y). Dẫn đến
f(x + y) ≤ f(x) + f(y) + ε.
với ε bất kì. Cho ε −→ 0 ta thu được (8).
37

38. Do mỗi A(r) là tổng của các lân cận cân bằng nên A(r) cân bằng, dẫn tới
x ∈ A(r) thì −x ∈ A(r), suy ra f(x) = f(−x). Rõ ràng f(0) = 0. Nếu x = 0 thì
tồn tại n0 sao cho x không thuộc Vn0 = A(2−n0
) và f(x) ≥ 2−n0
> 0. Từ các tính
chất này, ta có thể chứng minh d(x, y) ở (5) là một metric trên X và tính bất
biến của metric.
Ta có:
d(x, y) = f(x, y) > 0, dấu ” = ” xảy ra khi x = y.
d(x, y) = f(x − y) = f(y − x) = d(y, x).
d(x, z) = f(x − z) = f(x − y + y − z) ≤ f(x − y) + f(y − z).
ta chứng minh được (c).
Các quả cầu mở tâm 0 là các quả cầu mở
(9) Bδ(0) = {x : d(x.0) = f(x) < δ} = r<δ A(r).
Do tính sắp thứ tự toàn phần của {A(r)} và giả thiết (7) nên {Bδ(0)} là một cơ
sở địa phương cho không gian tô-pô X. Điều này chứng minh (a). Vì các A(r)
là cân bằng nên Bδ(0) cũng vậy, ta suy ra (b). Nếu mỗi Vn lồi thì mỗi A(r) cũng
vậy, từ (9) suy ra Bδ(0) cũng vậy. Mà mỗi quả cầu mở bất kì đều là phép biến
hình của Bδ(0), ta suy ra (d).
1.25 Dãy Cauchy
(a) Giả sử d là một metric trên một tập X. Một dãy {xn} trong X là một dãy
Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại một số dương N sao cho d(xm, xn) < ε với
m > N và n > N. Nếu mọi dãy Cauchy trong X hội tụ về một điểm thuộc
X khi đó d được gọi là một metric đầy đủ trên X.
(b) Cho τ là một tô-pô trên một không gian tô-pô X. Khái niệm dãy Cauchy
có thể được định nghĩa trong cấu trúc này mà không có bất cứ liên quan
gì đến metric: Chọn một cơ sở địa phương B cho τ. Một dãy {xn} trong
X được gọi là một dãy Cauchy nếu với mọi lân cận V ∈ B tồn tại một số
nguyên dương N sao cho xn − xm ∈ V nếu m > N và n > N.
(c) Bây giờ giả sử X là một không gian tô-pô mà tô-pô τ của nó tương thích với
một metric d bất biến. Tôi tạm thời sử dụng các thuật ngữ dãy d - Cauchy
và dãy τ - Cauchy cho các khái niệm của dãy này lần lượt ở (a) và (b). Vì
d(xn, xm) = d(xn − xm, xm − xm) = d(xn − xm, 0),
và các quả cầu - d tâm tại góc tọa độ xác định một cơ sở địa phương cho τ
nên ta kết luận:
38

39. 1.25.1 Mệnh đề.
Một dãy {xn} trong X là một dãy d - Cauchy khi và chỉ khi nó là một dãy τ -
Cauchy.
Tóm lại, hai metric bất biến bất kì trên X mà tương ứng với τ có cùng các
dãy Cauchy. Rõ ràng chúng cũng có cùng các dãy hội tụ (cũ thể, dãy - τ hội tụ).
Các chú ý này chứng minh điều sau:
1.25.2 Mệnh đề.
Nếu d1 và d2 là các metric bất biến trong một không gian X cảm sinh cùng một
tô-pô trên X, khi đó
(a) d1 và d2 có cùng các dãy Cauchy.
(b) d1 đầy đủ nếu và chỉ nếu d2 đầy đủ.
1.26 Định lí
Giả sử (X, d1) và (Y, d2) là các không gian metric, và (X, d1) là đầy đủ. Nếu
E là một tập đóng trong X, f : E −→ Y là liên tục và
d2(f(x′
), f(x′′
)) ≥ d1(x′
, x′′
)
với mọi x′, x′′ ∈ E, khi đó f(E) đóng.
Chứng minh.
Xét y ∈ f(E). Khi đó Bd y,
1
2n
∩f(E) = ∅ với n = 1, 2, .... Khi đó ta xây dựng
được một dãy {yn} ∈ f(E) sao cho yn = f(xn) −→ y với {xn} ∈ E. Dễ thấy
{f(xn)} ∈ f(E) là một dãy Cauchy trong Y, tức là với mọi ε > 0 tồn tại một số
dương N sao cho d2(f(xm), f(xn)) < ε với m > N và n > N. Theo giả thiết, ta
thu được
ε > d2(f(xm), f(xn)) ≥ d1(xm, xn)
với m > N và n > N. Do đó {xn} là dãy Cauchy trong X. Mà (X, d1) đầy đủ và
E là tập đóng nên xn −→ x ∈ E. Vì f liên tục nên f(x) = y. Do đó y ∈ f(E), suy
ra f(E) ⊂ f(E), suy ra f(E) = f(E).
39

40. 1.27 Định lí
Giả sử Y là một không gian con của một không gian tô-pô X, và Y là một không
gian - F (trong tô-pô kế thừa từ X). Khi đó Y là một không gian con đóng của X.
Chứng minh.
Chọn một metric đầy đủ bất biến d trên Y , tương ứng với tô-pô của nó. Cho
B1/n = y ∈ Y : d(y, 0) <
1
n
.
Cho Un là lân cận của 0 trong X sao cho Y ∩ Un = B1/n, và chọn các lân cận đối
xứng Vn của 0 trong X sao cho Vn + Vn ⊂ Un và Vn+1 ⊂ Vn. Giả sử x ∈ Y và định
nghĩa
En = Y ∩ (x + Vn)
với n = 1, 2, 3, ... . Mỗi En là không rỗng và En+1 = Y ∩(x+Vn+1) ⊂ Y ∩(x+Vn) =
En, nên {En} là họ các lân cận lồng nhau của x. Nếu y1 ∈ En và y2 ∈ En, khi đó
y1 − y2 ∈ Y và cũng thuộc Vn + Vn ⊂ Un, dẫn tới En ⊂ B1/n. Do đó đường kính
của các tập En dần tiến tới 0, tức là
diamEn = sup{d(y1
n, y2
n) : y1
n, y2
n ∈ En} −→ 0 khi n → ∞.
7 Gọi {yn} ∈ En sao cho d(yn, x) = supd(y, x) với ∀y ∈ En (yn tồn tại vì Y là một
không gian ). Với ∀ε > 0, ∃N : ∀m, n > N thì d(yn, ym) < ε = diamEN . Do đó {yn}
là một dãy Cauchy trong cả Y và En. Mặt khác Y là đầy đủ, Suy ra {yn} hội
tụ về một điểm y0 duy nhất trong Y và y0 ∈ En. Nếu tồn tại b = y0 sao cho
b ∈ En thì d(y0, b) < diamEn → 0. Suy ra y0 = b. Suy ra En trong Y có duy
nhất một điểm chung y0 = x. Do đó x ∈ Y . suy ra Y = Y .
1.28 Định lí
(a) Nếu d là một metric biến hình bất biến trên một không gian X khi đó
d(nx, 0) ≤ nd(x, 0)
với mọi x ∈ X và với n = 1, 2, ...
(b) Nếu {xn} trong một không gian tô-pô metric hóa (được) X và nếu xn −→ 0
khi n −→ ∞, khi đó tồn tại một dãy số thực dương {γn} sao cho γn −→ ∞
và γnxn −→ 0.
7Cho A là một tập con của một không gian metric (X, d), khi đó diam(A) = sup{d(a1, a2) : a1, a2 ∈ A}.
40

41. B1/n
En
En+1
x
Hình 7: Minh hoạ cho họ {En}.
Chứng minh.
(a) Ta có
d(nx, 0) ≤
n
k=1
d(kx, (k − 1)x) =
n
k=1
d(kx − (k − 1)x, (k − 1)x − (k − 1)x) = nd(x, 0).
(b) Cho d là một metric như phần (a) tương ứng với tô-pô trên X. Do giả
thiết ta có d(xn, 0) −→ 0 nên ta có thể xây dựng một dãy số dương tăng nk
sao cho d(xn, 0) < k−2 nếu n ≥ nk. Đặt γn = 1 nếu n < n1, đặt γn = k nếu
nk ≤ n < nk+1. Với các n như vậy,
d(γnxn, 0) = d(kxn, 0) ≤ kd(xn, 0) < k−1
.
Do đó γnxn −→ 0, khi n −→ ∞.
γn = 1 γn = 2 γn = 3 γn = k
x1 x2
xn1
xnk
xn2 xn3
Hình 8: Minh hoạ cho cách chọn dãy {γn}.
Tính bị chặn và tính liên tục
1.29 Tập bị chặn
(Xem định nghĩa tập bị chặn ở phần trên)
Khi X là metric hóa thì ở đây có một sự khó hiểu, vì nhiều khái niệm tương
tự khác của tính bị chặn xuất hiện trong các không gian metric.
41

42. Nếu d là một metric trên một tập X, một tập E ⊂ X được gọi là bị chặn - d
nếu tồn tại một số M < ∞ sao cho d(x, y) < M với mọi x và y thuộc E.
Nếu X là một không gian tô-pô với một metric tương ứng d thì các tập bị
chặn và các tập bị chặn - d không cần phải giống nhau, ngay cả khi d là bất
biến. Ví dụ, nếu d là một metric như metric được xây dựng ở định lí 1.24, khi
đó chính X là bị chặn - d (với M = 1). Nhưng như chúng ta thấy, X không thể
bị chặn trừ khi X = {0}, bởi vì với ∀x ∈ X thì αx ∈ X với α ∈ R. Nếu X là một
không gian định chuẩn và d là metric sinh bởi chuẩn, khi đó hai định nghĩa của
tính bị chặn trùng nhau; nhưng nếu d được thay thế bởi d1 =
d
1 + d
(một metric
bất biến cảm sinh cùng một tô-pô) thì hai định nghĩa không còn trùng nhau
nữa.
Bất cứ khi nào ta đề cập đến các tập con bị chặn trong một không gian tô-pô
X thì ta sẽ luôn hiểu như định nghĩa ở phần 1.6.
Chúng ta đã thấy rằng các tập compact là bị chặn (định lí 1.15). Để thấy
được một kiểu khác của ví dụ này, tôi sẽ chứng minh:
1.29.1 Mệnh đề
Mọi dãy Cauchy đều bị chặn (dẫn tới mọi dãy hội tụ đều bị chặn).
Cũng như vậy, bao đóng của một tập bị chặn là bị chặn. (Định lí 1.13)
Mặt khác, nếu x = 0 và E = {nx : n = 1, 2, ...}, khi đó E không bị chặn, vì vậy
tồn tại một lân cận V của 0 mà không chứa x; dẫn tới nx không thuộc nV ; kéo
theo nV không chứa E.
Tóm lại, không có không gian con nào của X (ngoại trừ {0}) có thể bị chặn.
Định lí tiếp theo mô tả tính bị chặn của từng phần tử trong dãy.
1.30 Định lí
Hai tính chất sau đây của một tập E trong một không gian tô-pô là tương đương
nhau:
(a) E bị chặn.
(b) Nếu {xn} là một dãy trong E và {αn} là một dãy vô hướng sao cho αn −→ 0
khi n −→ ∞, khi đó αnxn −→ 0 khi n −→ ∞.
42

43. Chứng minh.
Giả sử E bị chặn. Cho V là một lân cận cân bằng bất kì của 0 trong X. Khi
đó tồn tại t > 0 sao cho E ⊂ tV . Nếu xn ∈ E và αn −→ 0, khi đó tồn tại N sao
cho |αn|t < 1 nếu n > N, nói cách khác |αn| < t−1. Vì t−1E ⊂ V và V cân bằng
nên αnxn ∈ V với mọi n > N. Lập lại quá trình này đồng thời cho diam(V ) −→ 0
ta được αnxn −→ 0.
Ngược lại, nếu E không bị chặn thì tồn tại một lân cận V của 0 và một dãy
rn −→ ∞ sao cho không có rnV chứa E với ∀ ∈ N. Chọn xn ∈ E sao cho xn
không thuộc rnV với ∀ ∈ N. Khi đó r−1
n xn không nằm trong V với r−1
n → 0, do
đó {r−1
n xn} không hội tụ về 0, trái với giả thiết. Vậy E bị chặn.
1.31 Các phép biến đổi tuyến tính bị chặn
Giả sử X và Y là các không gian tô-pô và Λ : X −→ Y là tuyến tính. Λ được gọi
là bị chặn nếu Λ biến một tập bị chặn thành một tập bị chặn; nghĩa là Λ(E) là
một tập bị chặn trong Y nếu E là một tập bị chặn trong X.
Định nghĩa này mâu thuẫn với khái niệm thông thường của một hàm bị chặn,
tức là một hàm mà phạm vi của nó là một tập bị chặn. Trong đoạn này, không
ánh xạ tuyến tính nào (ngoại trừ 0) có thể bị chặn. Do đó các ánh xạ tuyến tính
(hoặc phép biến đổi) được thảo luận ngầm hiểu như định nghĩa ở trên.
Λ
E
Λ(E)
X
Y
Hình 9: Minh hoạ cho ánh xạ bị chặn.
43

44. 1.32 Định lí
Giả sử X và Y là các không gian tô-pô và Λ : X −→ Y là tuyến tính. Bốn tính
chất của Λ sẽ lần lượt suy ra như sau:
(a) −→ (b) −→ (c).
Nếu X là metric hóa, khi đó
(c) −→ (d) −→ (a).
do đó bốn tính chất này tương đương nhau.
(a) Λ là liên tục.
(b) Λ là bị chặn.
(c) Nếu xn −→ 0 thì {Λxn : n = 1, 2, ...} bị chặn.
(d) Nếu xn −→ 0 thì Λxn −→ 0.
Chứng minh.
(a) =⇒ (b) : Cho E là một tập bị chặn bất kì trong X và cho W là một lân
cận của 0 trong Y. Vì Λ là liên tục nên tồn tại một lân cận V của 0 sao cho
Λ(V ) ⊂ W. Vì E bị chặn nên tồn tại t > 0 sao cho E ⊂ tV . Do đó
Λ(E) ⊂ Λ(tV ) = tΛ(V ) ⊂ tW
Suy ra Λ(E) bị chặn trong Y, vậy Λ bị chặn.
(b) =⇒ (c) : Từ mệnh đề 1.29.1, suy ra {xn} bị chặn. Từ (b) suy ra {Λxn} bị
chặn.
(c) =⇒ (d) : Bởi định lí 1.28, tồn tại dãy số dương γn −→ ∞ sao cho γnxn −→ 0
trong X. Do đó bởi (c) {Λ(γnxn)} bị chặn trong Y, từ định lí 1.30 suy ra
Λxn = γ−1
n Λ(γnxn) −→ 0 khi n −→ ∞
(d) =⇒ (a) : Giả sử Λ không liên tục, khi đó tồn tại một lân cận W của 0
trong Y sao cho Λ−1(W) không chứa một lân cận mở nào của 0 trong X.
Do đó, nếu chọn Bd 0,
1
2n
là một cơ sở địa phương đếm được của X, thì
có một dãy {xn} trong X sao cho xn −→ 0 nhưng Λxn không thuộc W, tức là
Λxn 0, vô lí so với (d), Vậy Λ liên tục.
44

45. Nửa chuẩn và tính lồi địa phương
1.33 Các định nghĩa
Một nửa chuẩn trên một không gian X là một hàm số thực p trên X sao cho
(a) p(x + y) ≤ p(x) + p(y),
(b) p(αx) = |α|p(x) với mọi x và y thuộc X và mọi vô hướng α.
Tính chất (a) được gọi là bán cộng tính. Định Lí 1.34 sẽ chứng minh rằng một
nữa chuẩn p là một chuẩn nếu nó thỏa
(c) p(x) = 0 nếu x = 0.
Một họ P các nửa chuẩn trên X được gọi là rời rạc nếu với mỗi x = 0 tương
ứng với ít nhất một p ∈ P sao cho p(x) = 0.
Tiếp theo, xét một tập lồi A ⊂ X là hấp thụ, nghĩa là với mọi x ∈ X đều nằm
trong tA với t hữu hạn nào đó sao cho t = t(x) > 0. (Ví dụ, phần (a) của định lí
1.15 hàm ý rằng mọi lân cận của 0 trong một không gian tô-pô là hấp thụ, mọi
tập hấp thụ hiển nhiên chứa 0.)
Phiếm hàm Minkowski µA của A được định nghĩa như sau:
µA(x) = inf{t > 0 : t−1
x ∈ A} (x ∈ X).
Chú ý rằng µA < ∞ với mọi x ∈ X, vì A hấp thụ. Các nửa chuẩn trên X sẽ trở
thành các phiếm hàm Minkowski của các tập cân bằng lồi hấp thụ.
Các nửa chuẩn có quan hệ mật thiết với tính lồi địa phương, theo hai cách
sau:
Trong mọi không gian lồi địa phương, tồn tại một họ rời rạc các nửa chuẩn
liên tục.
Ngược lại, nếu P là một họ rời rạc của các chuẩn trên một không gian X,
khi đó P có thể được dùng để định nghĩa một tô-pô lồi địa phương trên X với
tính chất sao cho mọi p ∈ P đều liên tục.
1.34 Định lí
Giả sử p là một nửa chuẩn trên một không gian X. Khi đó
(a) p(0) = 0.
45

46. (b) |p(x) − p(y)| ≤ p(x − y).
(c) p(x) ≥ 0.
(d) {x : p(x) = 0} là một không gian con của X.
(e) Tập B = {x : p(x) < 1} là lồi, cân bằng, hấp thụ, và p = µB.
Chứng minh.
(a) Ta có p(0) = p(0x) = 0p(x) = 0.
(b) Ta có p(x) = p(x − y + y) ≤ p(x − y) + p(y). Suy ra
p(x) − p(y) ≤ p(x − y).
Bất đẳng thức này vẫn đúng nếu ta đổi vị trí của x và y, tức là
p(y) − p(x) ≤ p(y − x).
Mặt khác, p(y − x) = p(−(x − y)) = | − 1|p(x − y) = p(x − y). Suy ra
−p(x − y) ≤ p(x) − p(y) ≤ p(x − y).
Suy ra |p(x) − p(y)| ≤ p(x − y).
(c) Từ (b),chọn y = 0, ta có p(x) ≥ |p(x)| ≥ 0.
(d) Với mọi x, y ∈ {x : p(x) = 0} và với mọi α, β là các vô hướng, xét
0 ≤ p(αx + βy) ≤ |α|p(x) + |β|p(y) = 0.
Suy ra αx + βy ∈ {x : p(x) = 0}, do đó {x : p(x) = 0} là không gian con của X.
(e) Chứng minh B cân bằng: lấy bất kì x ∈ B và mọi α sao cho |α| ≤ 1, ta
có p(αx) = |α|p(x) < 1. Suy ra αx ∈ B , và αB ⊂ B.
Chứng minh B lồi: lấy bất kì x ∈ B, y ∈ B và 0 ≤ t ≤ 1, khi đó p(tx + (1 − t)y) ≤
tp(x) + (1 − t)p(y) < 1. Suy ra tx + (1 − t)y ∈ B, do đó B lồi.
Chứng minh B hấp thụ: Cố định bất kì x ∈ X và với mọi s > 0 sao cho s > p(x),
khi đó p(s−1x) = s−1p(x) < 1, suy ra s−1x ∈ B, suy ra B là hấp thụ. Điều này
cũng cho thấy µB ≤ s, tức là µB(x) ≤ p(x) + ε với ∀ε > 0. Cho ε → 0, ta nhận
được µB ≤ p. Nhưng với ∀t sao cho 0 < t < p(x), khi đó p(t−1x) ≥ 1, và do đó
t−1x không thuộc B, suy ra t ≤ µB(x), tức là p(x) − ε ≤ µB(x) với ∀ε > 0 Cho
ε → 0, ta nhận được p ≤ µB và do đó p = µB.
46

47. 1.35 Định lí
Giả sử A là một tập lồi hấp thụ trong một không gian vetor X. Khi đó
(a) µA(x + y) ≤ µA(x) + µA(y).
(b) µA(tx) = tµA(x) nếu t ≥ 0.
(c) µA là một nửa chuẩn nếu A cân bằng.
(d) Nếu B = {x : µA(x) < 1} và C = {x : µA(x) ≤ 1}, khi đó B ⊂ A ⊂ C và
µB = µA = µC.
Chứng minh.
(a) Đặt t = µA(x) + ε và s = µA(y) + ε, với ε > 0, khi đó t−1x và s−1y thuộc A;
dẫn đến tổ hợp lồi của chúng
(s + t)−1
(x + y) =
t
s + t
.
x
t
+
s
s + t
.
y
s
=
t
s + t
.
x
t
+ 1 −
t
s + t
.
y
s
∈ A.
Do đó µA(x+ y) ≤ s + t = µA(x) + µA(y) + 2ε, cho ε tiến về 0 ta có điều cần chứng
minh.
(b) Nếu t = 0 thì hiển nhiên. Xét t > 0.
Đặt u = µA(xt) + ε với mọi ε > 0. Khi đó u−1(xt) ∈ A. Suy ra (t−1u)−1(x) ∈ A.
Dẫn tới µA(x) ≤ t−1u =⇒ t.µA(x) ≤ µA(xt) + ε. Cho ε −→ 0 ta thu được
tµA(x) ≤ µA(xt). Chứng minh tương tự ta thu được chiều còn lại.
(c) Thao tác chứng minh tương tự câu (b) kết hợp với giả thiết A cân bằng, suy
ra µA(−x) = µA(x) Như vậy từ câu (b) ta suy ra µA(tx) = |t|µA(x) với mọi t. Kết
hợp thêm với câu (a) ta suy ra µA là một nửa chuẩn.
(d) Lấy bất kì x ∈ B, suy ra µA(x) < 1, mặt khác (µA(x))−1x ∈ A suy ra
∃a ∈ A : x = µA(x)a, suy ra µA(x)a + (1 − µA(x))0 ∈ A do A lồi, dẫn đến x ∈ A và
µA(x)A ⊂ A. Suy ra B ⊂ A. Nếu x ∈ A thì rõ ràng µA(x) ≤ 1, suy ra x ∈ C. Do
đó B ⊂ A ⊂ C.
Ta có µ−1
B (x) ∈ B ⊂ A, suy ra µB ≥ µA. Tương tự ta suy ra µB ≥ µA ≥ µC. Để
chứng minh chiều ngược lại, ta cố định x ∈ X và chọn s, t sao cho µC < s < t.
Khi đó s−1x ∈ C, suy ra µA(s−1x) ≤ 1, suy ra st−1µA(s−1x) ≤ st−1, suy ra
µA(t−1x) ≤ st−1 < 1 và t−1x ∈ B. Suy ra µB ≤ t với mọi t > µC tức là t = µC + ε
với mọi ε > 0, ta thu được
µB ≤ µC + ε
47

48. với mọi ε > 0. Cho ε tiến về 0 ta có µB ≥ µA ≥ µC ≥ µB. Suy ra µB = µA = µC.
1.36 Định lí
Giả sử B là một cơ sở địa phương cân bằng lồi trong một không gian tô-pô X.
Với mọi V ∈ B ứng với phiếm hàm Minkowski µV của nó. Khi đó
(a) V = {x ∈ X : µV (x) < 1}, với mọi V ∈ B,
(b) {µV : V ∈ B} là một họ rời rạc của các nửa chuẩn liên tục trên X.
Chứng minh.
(a) Cố định V, tất nhiên ta có V là hấp thụ. Nếu x ∈ V , khi đó tồn tại t < 1 sao
cho x ∈ tV ⊂ V (do V mở và cân bằng), suy ra t−1x ∈ V , do đó µV < t < 1.
Mặt khác, nếu x không thuộc V, thì x cũng không thuộc αV với α ≤ 1 (do V
cân bằng), tức là α−1x không thuộc V với mọi α ≤ 1 khi đó µV > 1. Như vậy
V = {x ∈ X : µV < 1}.
(b) Định lí 1.35 (c) cho thấy mỗi µV là một nửa chuẩn. Nếu có r > 0 và với
mọi x, y ∈ X sao cho x − y ∈ rV thì áp dụng định lí 1.34 và phần (a) ta có
|µV (x) − µV (y)| ≤ µV (x − y) < r.
Do đó µV là liên tục. Nếu x ∈ X và x = 0, khi đó tồn tại V ′ ∈ B sao cho x không
thuộc V’. Do đó µV ′ (x) ≥ 1 = 0. Do đó {µV } là rời rạc.
1.37 Định lí
Giả sử P là một họ rời rạc của các nửa chuẩn trên một không gian X. Ứng với
mỗi p ∈ P và ứng với mỗi số nguyên dương n, tập hợp
V (p, n) = x : p(x) <
1
n
.
Cho B là họ tất cả các giao hữu hạn của các tập V (p, n).
B = V (p, n)
Khi đó B là một cơ sở địa phương cân bằng lồi với một tô-pô τ trên X, điều
này khiến X trở thành một không gian lồi địa phương sao cho
(a) Mọi p ∈ P là liên tục,
48

49. (b) Một tập E ⊂ X là bị chặn nếu và chỉ nếu mọi p ∈ P là bị chặn trên E.
Chứng minh.
(a) Đầu tiên ta cần chứng minh B là một cơ sở tô-pô của X và mọi phần tử của
B đều chứa 0. Từ định lí 1.34 (e), tập V (p, 1) = x : p(x) < 1 . là lồi, cân bằng,
hấp thụ và p = µV nên với mỗi x ∈ X, tồn tại n0 > 0 sao cho x ∈ n0V (p, 1), suy
ra x ∈ V (p, n0) ∈ B. Nếu x ∈ V (p, n1) ∩ V (p, n2), suy ra x ∈ V (p, n1 + n2) ∈ B.
Mặt khác p(0) = 0 <
1
n
với mọi n nên V (p, n) chứa 0. Khi đó B là một cơ sở địa
phương cân bằng lồi trên X.
Môt tập A ⊂ X là mở nếu và chỉ nếu A là hợp (có thể rỗng) của các phép
biến hình của các phần tử thuộc B (Bởi Mệnh đề 1.7.1 và 1.7.3).
Rõ ràng điều này định nghĩa một tô-pô τ trên X bất biến qua phép biến hình;
mỗi phần tử của B là cân bằng và B là một cơ sở địa phương của τ.
Giả sử x ∈ X, x = 0. Khi đó do P là một họ rời rạc nên tồn tại p ∈ P sao
cho p(x) > 0 (định lí 1.34 (c)). Vì x không thuộc V (p, n) nếu p(x) >
1
n
, nên lân
cận của x là
x − V (p, n) = {x − x′
: x′
∈ V (p, n), p(x − x′
) > 0}
là không chứa 0, do đó x không nằm trong bao đóng của {0}. Do đó {0} là một
tập đóng, và vì τ là bất biến, mọi điểm của X là đóng (1).
Tiếp theo chúng ta chứng minh phép cộng và nhân vô hướng là liên tục. Cho
U ∈ τ là một lân cận của 0 trong X. khi đó
U ⊃ V (p1, n1) ∩ ... ∩ V (pm, nm)
với pi ∈ P và ni là các số nguyên dương, i = 1, m. Đặt
V = V (p1, 2n1) ∩ ... ∩ V (pm, 2nm).
Khi đó
V + V = v + v′
: v, v′
∈ V ; pi(v + v′
) ≤ pi(v) + pi(v′
) <
1
2ni
+
1
2ni
=
1
ni ∀i=1,m
.
Suy ra V + V ⊂ U. Điều này chứng minh phép cộng liên tục tại 0, dẫn đếp phép
cộng có tính liên tục (2).
49

50. Bây giờ giả sử x ∈ X, α là một vô hướng, và chọn bất kì U, V như trên. Khi
đó tồn tại s > 0 sao cho x ∈ sV . Đặt
t =
s
1 + |α|s
.
Nếu y ∈ x + tV và |β − α| <
1
s
, khi đó
βy − αx = β(y − x) + (β − α)x
nằm trong
|β|tV + |β − α|sV ⊂ V + V ⊂ U
vì |β|t ≤ 1 và V cân bằng (Bài tập 1 (e)). Điều này có nghĩa là với bất kì lân
cận (αx + U) của αx, tồn tại lân cận (x + tV ) của x sao cho
β(x + tV ) ⊂ αx + U.
Do đó phép nhân vô hướng là liên tục (3). Từ (1)(2)(3) suy ra X trở thành một
không gian tô-pô, thậm chí X là một không gian lồi địa phương.
Định nghĩa của V (p, n) chứng minh rằng mọi p ∈ P là liên tục tại 0. Tức
là ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho nếu x ∈ Vδ thì p(x) < ε. Dẫn đến p liên tục trên X
do phần (b) định lí 1.34. Tức là ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho nếu x − y ∈ Vδ thì
|p(x) − p(y)| ≤ p(x − y) < ε. (Với ∀x, y ∈ X.)
(b) Giả sử E ⊂ X bị chặn. Cố định p ∈ P. Vì V (p, 1) là một lân cận của 0,
nên tồn tại k > 0 sao cho E ⊂ kV (p, 1). Dẫn đến với mọi x ∈ E thì p(x) < k. Kéo
theo mọi p ∈ P là bị chặn trong E.
Ngược lại, giả sử E thỏa điều kiện và đặt U như phần (a). Khi đó với mọi
x ∈ E có các số Mi < ∞ sao cho pi(x) < Mi trên E (1 ≤ i ≤ m). Nếu n > Mini thì
pi <
1
ni
Mini <
1
ni
n với 1 ≤ i ≤ m kéo theo E ⊂ nU, do đó E bị chặn.
1.38 Các chú ý
(a) Là cần thiết khi lấy giao hữu hạn của các tập V (p, n) trong định lí 1.37;
chính các tập V (p, n) không định dạng một cơ sở địa phương. (Chúng định dạng
cái mà ta thường gọi là cơ sở con trong cấu trúc tô-pô.)
• Ví dụ. Lấy X = R2, và cho P chứa các nửa chuẩn p1 và p2 được định nghĩa
bởi pi(x) = |xi|; với x = (x1, x2).
Với mọi x = (x1, x2) ∈ R2, tồn tại x ∈ V (p1, n1) × V (p2, n2) ⊂ (V (p1, n) ×
V (p2, n)). Do đó họ {V (pi, n)} chỉ là cơ sở con của X.
50

51. (b) Định lí 1.36 và 1.37 phát sinh một vấn đề tự nhiên: Nếu B là một cơ sở địa
phương cân bằng lồi đối với tô-pô τ của một không gian lồi địa phương X, khi
đó B sinh ra một họ rời rạc P của các nửa chuẩn liên tục trên X, như trong
định lí 1.36. Họ P này cảm sinh một tô-pô τ1 trên X được mô tả trong định lí
1.37. Vậy τ = τ1 hay không?
Câu trả lời là có. Để thấy được điều này, chú ý ràng mọi p ∈ P là liên tục -
τ, do đó các tập V (p, n) ở định lí 1.37 là thuộc τ. Do đó τ ⊂ τ1.
Ngược lại, nếu W ∈ B và p = µW , khi đó
W = {x : µW < 1} = V (p, 1).
Do đó W ∈ τ1 với mọi W ∈ B , dẫn đến τ1 ⊂ τ.
(c) Nếu P = {pi : 1, 2, 3, ...} là một họ rời rạc đếm được của các nửa chuẩn
trên X, định lí 1.37 chứng minh rằng P cảm sinh một tô-pô τ với một cơ sở địa
phương đếm được. Bởi định lí 1.24, τ là metric hóa. Trong tình huống hiện tại,
một metric bất biến tương ứng có thể được định nghĩa một cách trực tiếp như
sau
d(x, y) = max
i
cipi(x − y)
1 + pi(x − y)
với {ci} là một dãy các số nguyên dương cố định hội tụ về 0 khi n tiến ∞.Dễ
dàng kiểm tra d là một metric trên X
Chúng ta thu được các quả cầu
Br = {x : d(x, 0) < r} (0 < r < ∞)
định dạng một cơ sở địa phương lồi cân bằng cho τ.
Cố định r. Nếu ci ≤ r (thỏa với mọi nhưng hữu hạn các chỉ số i, vì ci −→ 0),
khi đó
cipi(x − y)
1 + pi(x − y)
< r ⇒ pi(x − y) <
r
ci − r
. Dẫn tới Br là giao hữu hạn các tập
có dạng
x : pi(x) <
r
ci − r
cụ thể với ci > r. Các tập này là mở, vì mỗi pi là liên tục (định lí 1.37). Do đó
Br là mở và bởi định lí 1.34 nó cũng lồi và cân bằng.
51

52. Tiếp theo, cho W là một lân cận bất kì của 0 trong X. Cách định nghĩa của
τ chứng minh rằng W chứa giao của các tập thích hợp được chọn
V (pi, δi) = {x : pi < δi < 1} (1 ≤ i ≤ k).
Nếu 2r < min{c1δ1, ..., ckδk} và x ∈ Br, khi đó
cipi(x)
1 + pi(x)
< r <
ciδi
2
(1 ≤ i ≤ k).
Suy ra pi(x) <
2
1 + pi(x)
pi(x) < δi. Do đó Br ⊂ W.
Điều này chứng minh d là tương thích với τ.
1.39 Định lí
Một không gian tô-pô X là chuẩn hóa (được) nếu và chỉ nếu gốc tọa độ của nó
có một lân cận lồi bị chặn.
Chứng minh.
Nếu X là chuẩn hóa và nếu . là một chuẩn tương ứng với tô-pô trên X, khi
đó quả cầu mở đơn vị {x : x < 1} là lồi và bị chặn.
Ngược lại, giả sử V là một lân cận lồi bị chặn của 0. Bởi định lí 1.14, V chứa
một lân cận lồi cân bằng U của 0; tất nhiên U cũng bị chặn. Định nghĩa
(1) x = µ(x) (x ∈ X)
với µ là phiến hàm Minkowski của U.
Bởi phần (c) của định lí 1.15, các tập rU với (r > 0) định dạng một cơ sở
địa phương cho tô-pô trên X. Nếu x = 0, khi đó x không thuộc rU với r nào đó;
dẫn tới x ≥ r. Từ định lí 1.35 và V cân bằng, (1) định nghĩa một chuẩn. Định
nghĩa của phiến hàm Minkowski cùng với U là tập mở suy ra
(2) {x : x < r} = rU
với mọi r > 0. Do đó tô-pô chuẩn trùng với tô-pô cho trước.
Không gian thương
1.40 Các định nghĩa
Cho N là một không gian con của một không gian X. Với mọi x ∈ X, cho π(x)
là lớp kề của N mà chứa x; với
π(x) = x + N.
52

53. Các lớp kề này là các phần tử của một không gian X/N, được gọi là không gian
thương của X modulo N, phép cộng và phép nhân vô hướng trong không gian
này được định nghĩa như sau:
(1) π(x) + π(y) = π(x + y), απ(x) = π(αx).
Chú ý: απ(x) = N khi α = 0. Vì N là một không gian nên các phép toán ở (1)
là xác định. Điều này nghĩa là nếu π(x) = π(x′) (tức là x−x′ ∈ N) và π(y) = π(y′)
khi đó
(2) π(x) − π(x′) = π(y) − π(y′), απ(x) = απ(x′).
Gốc tọa độ của X/N là π(0) = N. Bởi (1), π là một ánh xạ tuyến tính từ X
vào X/N với N như một không gian thương của nó; π thường được gọi là ánh
xạ thương từ X vào X/N.
Giả sử τ là một tô-pô trên X và N là một không gian con đóng của X. Cho
τN là một họ tất cả các tập E ⊂ X/N với π−1(E) ∈ τ. Khi đó τN trở thành một
tô-pô trên X/N, được gọi là tô-pô thương. Một vài tính chất của tô-pô này nằm
ở định lí tiếp theo. Nhắc lại một ánh xạ mở là một ánh xạ biến các tập mở
thành các tập mở.
1.41 Định lí
Cho N là một không gian con đóng của một không gian tô-pô X. Cho τ là một
tô-pô của X và định nghĩa τN như trên.
(a) τN là một tô-pô trên X/N; ánh xạ thương π : X −→ X/N là tuyến tính, liên
tục và mở.
(b) Nếu B là một cơ sở địa phương của τ, khi đó họ tất cả các tập π(V ) với
V ⊂ B là một cở sở địa phương của τN .
(c) Mỗi tính chất sau của X/N được kế thừa từ X: tính lồi địa phương, tính bị
chặn địa phương,tính metric hóa, tính chuẩn hóa.
(d) Nếu X là một không gian - F, hoặc là một không gian Fréchet, hoặc là một
không gian Banach, thì X/N cũng vậy.
Chứng minh.
(a) Chứng minh τN là tô-pô trên X/N:
Ta có ∅ = ∅ + N ∈ X/N, π−1(∅ + N) = ∅ ∈ τ. Suy ra ∅ ∈ τN . Mặt khác
π−1(X/N) = X + N = X ∈ τ, suy ra X/N ∈ τN .
53

54. Xét A, B ∈ τN , ta có π−1(A ∩ B) = π−1(A) ∩ π−1(B) ∈ τ, suy ra A ∩ B ∈ τN .
Xét {Ai} là một họ bất kì thuộc τN , ta có π−1( Ai) = π−1(Ai) ∈ τ, suy ra
Ai ∈ τN .
Do đó, τN là một tô-pô trên X/N.
Với mọi x, y ∈ X và mọi α, β là các vô hướng, theo định nghĩa về các phép toán
ta có π(αx+βy) = π(αx)+π(αy) = απ(x)+βπ(y). Do đó, τN là ánh xạ tuyến tính.
Tính liên tục của π được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của τN . Tiếp theo,
giả sử V ∈ τ. Vì
π−1
(π(V )) = V + N
và N + V ∈ τ, suy ra π(V ) ∈ τN . Do đó π là một ánh xạ mở.
Một tập F ⊂ X/N là τN - đóng nếu và chỉ nếu π−1(F) là τ - đóng. Đặc biệt,
mọi điểm của X/N là đóng vì
π−1
(π(x)) = x + N
và N là đóng.
Bây giờ nếu W là một lân cận của 0 trong X/N, khi đó có một lân cận V của
0 trong X sao cho
V + V ⊂ π−1
(W).
Dẫn tới π(V + V ) = π(V ) + π(V ) ⊂ π(π−1(W)) ⊂ W. Vì π là một ánh xạ mở, do
đó π(V ) là một lân cận của 0 trong X/N. Do đó phép cộng liên tục trên X/N.
Tính liên tục của phép nhân vô hướng trong X/N được chứng minh tương tự.
=⇒ Suy ra (X/N, τN ) là một không gian tô-pô với tô-pô τN .
(b) Xét V ∈ B, do π là ánh xạ mở (xem câu (a)) nên π(V ) là tập mở và
0 = π(0) ∈ π(V ). Suy ra π(V ) là lân cận của 0. Mặt khác, tồn tại V ′ ∈ B sao cho
V ′ ⊂ V , suy ra π(V ′) ⊂ π(V ). Do đó {π(V )}V ∈B là một cơ sở tô-pô của τN .
(c) Do π là ánh xạ tuyến tính, nên nếu V là lồi thì π(V ) lồi, do đó X/N là
lồi địa phương.
Giả sử V là một lân cận nào đó của 0 bị chặn trong X. Do π liên tục nên ứng
với mỗi W là lân cận của 0 trong X/N, tồn tại U là lân cận của 0 trong X sao
cho π(U) ⊂ W. Mặt khác tồn tại t > 0 sao cho V ⊂ tU. Suy ra
π(V ) ⊂ π(tU) = tπ(U) ⊂ tW.
54

55. Do đó X/N bị chặn địa phương. Áp dụng định lí 1.15 (c), X/N có một cơ sở địa
phương đếm được; áp dụng định lí 1.24, X/N là metric hoá.
Tính lồi địa phương và bị chặn địa phương được bảo toàn qua ánh xạ π nên
X/N là chuẩn hóa (Định lí 1.39).
(d) Giả sử rằng d là một metric bất biến trên X tương thích với τ. Định nghĩa
ρ như sau:
ρ(π(x), π(y)) = inf{d(x − y, z) : z ∈ N}.
Điều này có thể được giải thích như khoảng cách từ x − y đến N. Chúng ta bỏ
qua việc chứng minh rằng ρ định nghĩa tốt và nó là một metric bất biến trên
X/N. Vì
π({x : d(x, 0) < r}) = {u : ρ(u, 0) < r},
được suy ra từ (b) rằng ρ là tương ứng với τN .
Nếu X là chuẩn hóa, định nghĩa ρ này thường được gọi là chuẩn thương của
X/N
π(x) = inf{ x − z : z ∈ N}.
Để chứng minh (d) ta phải chứng minh rằng ρ là một metric đầy đủ với mọi
d là đầy đủ.
Giả sử {un} là một dãy Cauchy trong X/N với metric ρ. Khi đó có một dãy
con {uni } sao cho ρ(uni , uni+1 ) < 2−i. Mặt khác ta chọn xi ∈ X sao cho π(xi) = uni
và d(xi, xi+1) < 2−i. Nếu d đầy đủ, khi đó dãy Cauchy {xi} hội tụ về x nào đó
thuộc X. Tính liên tục của π suy ra uni −→ π(x) khi i −→ ∞. Nhưng nếu một
dãy Cauchy có một dãy con hội tụ thì cả dãy đó cũng hội tụ. Do đó ρ đầy đủ
và định lí được chứng minh.
1.42 Định lí
Giả sử N và F là các không gian con của một không gian tô-pô X, N là đóng và
F là hữu hạn chiều. Khi đó N + F là đóng.
Chứng minh.
Cho π là ánh xạ thương từ X vào X/N và cho tô-pô thương của X/N. Khi đó
π(F) là một không gian con hữu hạn chiều của X/N; vì X/N là một không gian
tô-pô. Định lí 1.21 hàm ý rằng π(F) là đóng trong X/N. Vì N + F = π−1(π(F))
và π là liên tục, ta kết luận rằng N + F là đóng.
55

56. 1.43 Các nửa chuẩn và các không gian thương
Giả sử p là một nửa chuẩn trên một không gian X và
N = {x : p(x) = 0}.
Khi đó N là một không gian con của X. Cho π là một ánh xạ thương từ X vào
X/N và định nghĩa
p(π(x)) = p(x).
Nếu π(x) = π(y) thì p(x − y) = 0 và vì
|p(x) − p(y)| ≤ p(x − y)
suy ra p(π(x)) = p(π(y)). Do đó p định nghĩa tốt trên X/N, và dễ dàng chứng
minh được rằng p là một chuẩn trên X/N.
Sau đây là một số ví dụ tương tự cho điều nay. Cố định r, 1 ≤ r ≤ ∞: cho Lr
là không gian tất cả các hàm Lebesgue đo được trên [0, 1] với
p(f) = f r =
1
0
|f(t)|r
dt
1
r
< ∞.
Định nghĩa này là một nửa chuẩn trên Lr mà không phải là chuẩn, vì f r = 0
với f = 0 hầu khắp nơi. Cho N là một tập các "hàm số triệt" này. Khi đó Lr/N
là không gian Banach thường được gọi là Lr. Chuẩn của Lr thu được bằng việc
chuyển từ p thành p ở trên.
Các ví dụ
1.44 Không gian C(Ω)
Nếu Ω là một tập mở khác rỗng trong không gian Euclid nào đó, khi đó Ω là
hợp của đếm được các tập compact Kn = ∅ mà ta có thể chọn Kn ⊂ (Kn+1)0 với
n = 1, 2, 3, ....
C(Ω) là không gian của tất cả các hàm số phức liên tục trên Ω, tô-pô hoá bởi
họ rời rạc các nửa chuẩn
(1) pn(f) = sup{|f(x)| : x ∈ Kn} ,
phù hợp với định lí 1.37. Vì p1 ≤ p2 ≤ ..., các tập
(2) Vn = f ∈ C(Ω) : pn(f) <
1
n
(n = 1, 2, 3, ...)
56

57. xác định một cơ sở lồi địa phương cho C(Ω). Theo chú ý (c) phần 1.38, tô-pô
của C(Ω) tương ứng với metric
d(f, g) = max
n
2−npn(f − g)
1 + pn(f − g)
.
(3)
Nếu {fi} là một dãy Cauchy tương ứng với metric này, khi đó pn(fi − fj) −→ 0
với mọi n khi i, j −→ ∞, do đó {fi} hội tụ về một phần tử trong Kn là một hàm
f ∈ C(Ω). Dễ dàng chứng minh d(fi, f) −→ 0. Suy ra d là metric đầy đủ. Như
vậy ta đã chứng minh C(Ω) là một không gian Fréchet.
Bởi phần (b) của định lí 1.37, một tập E ⊂ C(Ω) là bị chặn nếu và chỉ nếu có
một số Mn < ∞ sao cho pn(f) ≤ Mn với mọi f ∈ E, rõ ràng
(4) |f(x)| ≤ Mn
nếu f ∈ E và x ∈ Kn. Vì mọi Vn chứa một f với pn+1(f) là đủ lớn, suy ra không
có Vn nào bị chặn. Do đó C(Ω) là không bị chặn địa phương, dẫn đến không
chuẩn hóa (định lí 1.39).
1.45 Không gian H(Ω)
Cho Ω là một tập con mở không rỗng của mặt phẳng phức, định nghĩa C(Ω) như
phần trên, và cho H(Ω) là không gian con của C(Ω) bao gồm các hàm giải tích
trong Ω. Vì dãy các hàm giải tích là hội tụ trên các tập compact có giới hạn giải
tích, H(Ω) là không gian con đóng của C(Ω). Dẫn tới H(Ω) là một không gian
Fréchet.
Bây giờ tôi sẽ chứng minh H(Ω) có tính chất Heine - Borel. Điều này được suy
ra từ định lí 1.23 rằng H(Ω) không bị chặn địa phương, dẫn đến không chuẩn
hóa.
Cho E là một tập con đóng và bị chặn trong H(Ω). Khi đó E thỏa mãn bất
đẳng thức số (4) của phần 1.44. Định lí cổ điển của Montel về các họ chuẩn hóa
suy ra rằng mọi dãy {fi} ⊂ E có một dãy con hội tụ trong các tập compact của
Ω (dẫn đến cũng hội tụ trong tô-pô của H(Ω)) với f ∈ H(Ω) nào đó. Vì E đóng,
nên f ∈ E. Điều này chứng minh E là compact.
1.46 Không gian C∞
(Ω) và DK
Chúng ta bắt đầu phần này bằng một việc giới thiệu một vài thuật ngữ sẽ được
sử dụng sau này. Thuật ngữ bộ đa chỉ số là một bộ - n được sắp thứ tự
57

58. (1) α = (α1, ..., αn)
của các số nguyên không âm αi. Với mỗi bộ α được liên kết với các phép toán
vi phân
(2) Dα =
∂
∂x1
α1
...
∂
∂xn
αn
,
với
(3) |α| = α1 + ... + αn.
Nếu |α| = 0 thì Dαf = f.
Một hàm phức f định nghĩa trong trong các tập mở không rỗng Ω ⊂ Rn được
gọi là thuộc C∞(Ω) nếu Dαf ∈ C(Ω) với mọi bộ đa chỉ số α.
Sự hỗ trợ của một hàm phức f (trên không gian tô-pô bất kì) là bao đóng
của {x : f(x) = 0}.
Nếu K là một tập compact trên Rn , khi đó DK là kí hiệu cho không gian của
tất cả f ∈ C∞(Ω) mà hỗ trợ của nó nằm trong K. (Chữ hoa D đã và đang được
sử dụng cho các không gian này từ khi Schwartz công bố rộng rãi công việc của
mình.) Nếu K ⊂ Ω, khi đó DK có thể được xác định với một không gian con của
C∞(Ω).
Bây giờ chúng ta định nghĩa một tô-pô trên C∞(Ω) mà biến C∞(Ω) thành
một không gian Fréchet với tính Heine - Borel, sao cho DK là một không gian
con đóng của C∞(Ω) với bất kì K ⊂ Ω.
Để làm được điều này, chọn các tập compact Ki với i = 1, 2, ... sao cho Ki ⊂
(Ki+1)0 và Ω = Ki.
Định nghĩa các nửa chuẩn pN trên C∞(Ω) với N = 1, 2, ... như sau
(4) pN (f) = max{|Dαf(x)| : x ∈ KN , |α| ≤ N}
Chúng định nghĩa một tô-pô lồi địa phương metric hoá trên C∞(Ω); xem định
lí 1.37 và chú ý (c) phần 1.38. Với mỗi x ∈ Ω, hàm f → f(x) là liên tục trong
tô-pô này. Vì DK là giao của các không gian triệt của những hàm này nên x
chạy khắp phần bù của K, kéo theo DK là bao đóng của C∞(Ω).
Một cơ sở địa phương được cho trước bởi các tập
(5) VN = f ∈ C∞(Ω) : pN (f) <
1
N
(N = 1, 2, ...).
58

59. Nếu fi là một dãy Cauchy trong C∞(Ω) (xem phần 1.25) và nếu N được cố
định, khi đó fi − fj ∈ VN nếu i và j đủ lớn. Do đó Dαfi − Dαfj <
1
N
trên KN ,
nếu |α| ≤ N. Kéo theo mỗi Dαfi hội tụ (hội tụ đều trên các tập con compact của
Ω) về một hàm gα. Cụ thể, fi(x) → g0(x). Hiển nhiên g0 ∈ C∞(Ω) và gα = Dαg0,
và fi → g trong tô-pô của C∞(Ω).
Do đó C∞(Ω) là một không gian Fréchet. Điều này cũng đúng đối với mỗi không
gian con đóng DK của nó.
Tiếp theo, giả sử rằng E ⊂ C∞(Ω) là đóng và bị chặn. Bởi định lí 1.37, tính bị
chặn của E tương đương với sự tồn tại của các số MN < ∞ sao cho pN (f) ≤ MN
với N = 1, 2, ... và với mọi f ∈ E. Các bất đẳng thức |Dαf| ≤ MN là đúng đắn
trên KN khi |α| ≤ N, kéo theo tính liên tục đồng bậc của {Dβf : f ∈ E} trên
KN−1, nếu |β| ≤ N −1. Từ định lí của Ascoli 8 và Quy trình chéo của Cantor suy
ra mọi dãy trong E đều chứa một dãy con {fi} sao cho {Dβfi} hội tụ đều trên
các tập con compact của Ω, với mỗi bộ đa chỉ số β. Dẫn tới {fi} hội tụ trong
tô-pô của C∞(Ω). Điều này chứng tỏ E compact.
Dẫn tới C∞(Ω) có tính Heine - Borel. Từ định lí 1.23 suy ra C∞(Ω) không bị
chặn địa phương, dẫn tới không chuẩn hoá. Kết luận tương tự đối với DK với
bất kì K có phần trong không rỗng (cách khác DK = {0}), vì dimDK = ∞ trong
trường hợp đó. Phát biểu cuối cùng này là một hệ quả mệnh đề sau:
1.46.1 Mệnh đề
Nếu B1 và B2 là các quả cầu đóng đồng tâm trong Rn, với B1 ⊂ (B2)0, khi đó
tồn tại φ ∈ C∞(Ω) sao cho φ(x) = 1 với mọi x ∈ B1, φ(x) = 0 với mọi x nằm ngoài
B2, và 0 ≤ φ ≤ 1 trên Rn.
Để tìm một φ như vậy, ta xây dựng g ∈ C∞R1 sao cho
g(x) =
1 khi x < a (4a)
0 khi x > b (4b)
với a < b < ∞ và đặt
(6) φ(x1, ..., xn) = 1 − g(x2
1 + ... + x2
n).
8Định lí của Ascoli: Giả sử X là một không gian compact, C(X) là không gian Banach của tất cả các hàm số
phức liên tục trên X, và Φ ∈ C(X) là hội tụ điểm bị chặn và liên tục đồng bậc. Một cách rõ ràng hơn
(a) sup{|f(x)| : f ∈ Φ} < ∞ với mọi x ∈ X
(b) Nếu ε > 0, với mọi x ∈ X có một lân cận V sao cho |f(y) − f(x)| < ε với mọi y ∈ V và mọi f ∈ Φ.
Khi đó Φ bị chặn hoàn toàn trên C(X).
(Phần chứng minh tham khảo phần Appendix A cuốn tô-pôlogy , Second Edition, James R.Munkres, Prentice Hall.Inc,
2000.)
59