1. • Глава 1. Линейные системы
• В настоящей главе даются основы теории линейных
дифференциальных и дискретных систем с постоянными
коэффициентами. Эта теория находит самые широкие
приложения в современной технике, так как работа многих
технических объектов достаточно адекватно описывается
такими математическими моделями, в частности, на ее основе
проводятся расчеты: электрических цепей, многих
электромеханических систем, строительных конструкций,
систем управления. Многочисленные применения эта теория
находит при изучении случайных процессов и систем массового
обслуживания, в теории надежности. Кроме того, эта теория
лежит в основе начального этапа исследования более сложных
- нелинейных дифференциальных и дискретных систем, в чем
мы убедимся в следующих главах.

2. • 1.1. Линейные однородные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами
• Рассмотрим обыкновенное дифференциальное
уравнение
• х(n)+а1х(n-1)+а2х(п-2)+... + аnх = 0. (1.1)
• Здесь х = x(t) - неизвестная функция времени (7>0);
производная п - го порядка от неизвестной функции
x: = x(t); а1, а2,аn - постоянные числа, называемые
коэффициентами уравнения.
• Уравнение (1.1) называется линейным однородным
дифференциальным уравнением с постоянными
коэффициентами n - го порядка.

3. • Определение 1.1. Решением дифференциального
уравнения (1.1) называется п - раз
дифференцируемая функция x-cp{t), подстановка
которой в уравнение (1.1) обращает его в тождество
• φ{п) (t) + a1 φ{n-1} (t) + а2 φ{n-2) (t) +... + an φ(t) = 0.
•
• Заметим, что уравнение (1.1) всегда имеет
очевидное решение x(t) = О, которое называется
нулевым или тривиальным. В технических задачах,
например, нулевому решению часто отвечает
некоторый рабочий режим технического
устройства, который иначе называется
стационарным или установившимся.
• Другие решения дифференциального уравнения
(1.1), согласно Л. Эйлеру, будем искать в виде

4. • X(t) = e λ t (1.2)
• где λ - некоторое пока неизвестное число.
• Вычислим последовательно производные от
функции (1.2), вплоть до n -го порядка:
• х'(t) = λ е λ *, х"(t) = λ 2е λt ... , х(n)(t) = λ nе λ t и
подставим функцию (1.2) и ее производные в
уравнение (1.1):
• (λ n+ а1 λ ... + a2 λ e λ t = О.
• Отсюда следует, что функция (1.2) будет
являться решением
• уравнения (1.1), если число λ является корнем
алгебраического уравнения
• λ n+ ахХ ... + аn = 0. (1.3)