Бүрэн гүйдлийн хууль

1. PH102 ФИЗИК2 Лекц № 2
Лекцийн агуулга: Соронзон орны индукцийн векторын циркуляц, Бүрэн гүйдлийн хууль,
Соронзон индукцийн векторын урсгал
2.1 Соронзон орны индукцийн векторын циркуляц,
Бүрэн гүйдлийн хууль
Цахилгаан статик орны Е векторын циркуляцтай төстэйгөөр соронзон орны индукцийн
векторын циркуляцьг авч үзье. Тэгвэл
∮ ( 𝐵, 𝑑𝑙) = ∮ 𝐵𝑖 𝑑𝑙 (14.45)
𝐿𝐿
интегралыг өгөгдсөн битүү хүрээний дагуух В векторын циркуляц гэж нэрлэнэ. Үүний 𝑑𝑙 −
хүрээний жижиг хэсгийн уртын векгор, Bi=Bcosa - хүрээнд татсан шүргэгчийн чиглэл дээрх В
векторын байгуулагч, 𝜶 нь В ба dl векгоруудын хоорондох өнцөг.
I- гүйдэлтэй төгсгөлгүй урт шулуун дамжуулагчийн соронзон орны жишээн дээр В векторын
циркуляцыг бодъё
Энэ орны соронзон индукцийн шугамууд нь дамжуулагчид перпендикуляр хавтгай дээр орших
тойргууд байх ба зурагт тэдгээрийг тасархай шугамаар дүрслэв. (14.45) ёсоор аль нэг r
радиустай тойрог L хүрээний дагуух В векторын циркуляц нь:
∮ ( 𝑩, 𝒅𝒍)
𝑳
= ∮ 𝑩𝒅𝒍𝒄𝒐𝒔𝜶
𝑳
(𝟏𝟒. 𝟒𝟔)
болно. Тойргийн бүх цэгг В векторын тоон утга ижил
𝐵 =
𝜇0 𝜇
4𝜋
∙
2𝐼
𝑟
(14.47)
байх бөгөөд түүний шахагчийн дагуу В векгор чиглэх тул 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 1. Иймд (14.46) -аас
∮ ( 𝐵, 𝑑𝑙)
𝑳
=
𝝁 𝟎 𝝁𝑰
𝟐𝝅𝒓
= ∫ 𝒅𝒍
𝟐𝝅𝒓
𝟎
= 𝝁 𝟎 𝝁𝑰 (𝟏𝟒. 𝟒𝟖)
Ийнхүү Е ба В векторын циркуляцыг харьцуулахад зарчмын ялтаатай байна. Цахилгаан статак
орны Е векторын циркуляц ямагт тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл цахилгаан орон потенциал орон
байдаг бол соронзон орны В векгорын циркуляц нь тэгээс ялгаатай, өөрөөр хэлбэл абсолют

2. соронзон нэвтрүүлэх чадварыг гүйдлийн хүчээр үржсэнтэй тэнцүү байна. Ийм орныг
хуйларсан орон гэдэг.
Бидний гаргасан (14.48) илэрхийлэл гүйдэлтэй төгсгөлгүй шулуун дамжуулагчийг тойрсон
ямарч хэлбэртэй битүү хүрээний хувьд хүчин төгөлдөр байна.
Үүнийг батлаж харуулъя. 14.23-р зургаас В-ийн чиглэл дээрх dl-ийн проекц dl=dlcos𝜶 нь r
радиустай тойргийн нум 𝒓𝒅𝝋 -тэй тэнцүү:
𝑑𝑙 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑟𝑑𝜑 (14.49)
Үүнийг (14.46)-д оруулбал (1.47)-г анхаарвал
∮ ( 𝐵, 𝑑𝑙) =
𝜇0 𝜇𝐼
2𝜋
= ∫ 𝑑𝜑 = 𝜇0 𝜇𝐼
2𝜋
0𝐿
болно. Ингэхлээр (14.48) томьёо ямарч хэлбэрийн битњњ хњрээнд тохирох ажээ.
Хэрэв L бшпуу хурээ гуйдэлтэй дамжуулагчийг агуулахгуй байвал тууний дагуу соронзон
индукцийн векторын циркуляц тэгтэй тэнцуу байна.
Ерљнхий тохиолд соронзон орныг хэд хэдэн (𝐼1, 𝐼2, 𝐼3- гэх мэт) гүйдэлтэй дамжуулагчийн систем
үүсгэж болно. Орны суперпозицийн зарчим ёсоор нийлбэр орны соронзон индукц нь:
𝐵 = ∑ 𝐵𝑖 (14.50)
𝑛
𝑖=1
Тэгвэл орон доторх ямарваа битњњ хњрээнкй дагуух В векторын циркуляц нь
∮ ( 𝐵, 𝑑𝑙)
𝐿
= ∮ ∑ ∮ ( 𝐵𝑖𝑑𝑙)
𝐿
𝑛
𝑖=1𝐿
буюу (14.48) ёсоор
∮ ( 𝐵, 𝑑𝑙) = 𝜇0 𝜇 ∑ 𝐼𝑖 (14.51)
𝑛
𝑖=1𝐿
Ямарваа бшпуу хурээний дагуух В векторын циркуляц нь орчны абсолют соронзон
нэвтруулэх чадварыг энэ хурээнд агуулагдах гуйдлийн алгебрь нийлбэрээр уржуулсэнтэи
тэнцуу. Үүнийг соронзоы орны бүрэн гуйдлийн хууль гэнэ. Энэ хуулиар Био-Савар-

3. Лапласын хуулийг хэрэглэхгүйгээр соронзон орны индукцийг бодож олох боломжтой тул
(цахилгаан орон дахь Гауссын теоремийн адил) тогтмол гүйдлийн соронзон орны тооцоо
хийхэд бас ашиглаж болно,
Бүрэн гүйдлийн хуулийг хэрэглэх жишээ болгож тороидын соронзон орны индукцийг олъё.
Цагираг хэлбэрийн зүрхэвчинд ороосон ороодос бүхий дугуй ороомгийт тороид гэнэ (14.24-р
зураг).
Тороидын орны соронзон индукцийн шугамууд түүний тэнхлэг дээр орших төвтэй тойргууд
байна. Тэдгээрийн алъ нэгийг битүү хүрээ болгон авбал бүх цэгт нь В векторын модуль адил.
мөн 𝜶=0 байх тул
∮( 𝑩, 𝒅𝒍) = 𝟐𝝅𝒓𝑩 (𝟏𝟒.𝟓𝟐)
𝐿
болно. Тэгэхлээр, r<R1, эсвэл r>R2 байвал ∑ 𝐼𝑖 = 0𝑛
𝑖=1 тул В=0,
өөрөөр хэлбэл тороидын гадна ба дотоод талд соронзон орон байхгүй, зөвхөн тороидьш
дотор соронзон орон төвлөрнө. R,<r<R2 радиустай битүү хүрээний хувьд уул хүрээ N1
гүйдэл (N- ороодсын too) агуулах учир тороид доторх орны соронзон индукцийг (14.51) ба
(14,52)-аас олбол:
𝐵 = 𝜇0 𝜇𝑁𝐼/(2𝜋𝑟)
2.2 Соронзон индукцийн векторын урсгал
Жижиг ds гадаргыг нэвтрэх соронзон индукцийн В векторын урсгал (товчоор соронзон
урсгал) нь
d Фм =Bnds =BdS
-тэй тэнцүү: үүний dS=dSn, п -гадаргад нормаль нэгж вектор. Bn=B0cos𝛼 (𝛼 − нъ п,В
векторын хоорондох өнцөг) Тэгвэл ямарваа S гадаргыг нэвтрэх нийт соронзон урсгал
𝛷 𝑀 = ∫ 𝐵 𝑛 𝑑𝑆 = ∫ 𝐵𝑑𝑆𝑠𝑠
(14.53')
Хэрэв соронзон орон нэгэн төрлийн бөгөөд хавтгай гадарга соронзон оронд перпендикуляр
байрлаж байвал ΦМ=BS болно. Эндээс соронзон урсгалъш нэгж болох Вебер (Вб)
тодорхойлогдоно: 1Вб=1Тл-м2. Соронзон орны Гауссын теорем:

4. Аливаа бшпуу гадаргыг нэвтрэх соронзон индукцийн векторын урсгал тэгтэй тэнцуу:
∮ ( 𝑩𝒅𝑺) = 𝟎𝑳
(14.54)
Энэ теорем бол байгаль дээр соронзон цэнэг байхгүй, тэгэхлээр соронзон индукцийн шугамд
эхлэл, төгсгөл үгүй битүү байна гэсэн дүгнэлтийг тусган харуулж байгаа юм.
Соронзон орон дахь гүйдэлтэй дамжуулагчид Амперийн хуулиар тодорхойлогдох хүч
үйлчилдгийг бид өмнө үзсэн билээ.
Хэрэв энэ хүчний үйлчлэлээр дамжуулагчийн хэсэг
соронзон орон дотор 1 байрлалаас 2 байрлалд шилжсэн (14.25-р зураг) бол соронзон орны
гүйцэтгэх ажил нь
dA =Fdx =IBldx =IBdS болно.
Энд dx-шилжилтийн хэмжээ, ldx=dS -соронзон оронд дамжуулагч шилжихэд 𝑙 хэсгээр
зурагдсан талбай, 𝑩𝒅𝑺 = 𝒅𝜱B энэ талбайг нэвтрэх соронзон урсгал. Иймд
𝒅𝑨 = 𝑰𝒅𝜱 (14.55)
Соронзон оронд гүйдэлтэй дамжуулагчийг шилжүүлэхэд хийх ажил нь гүйдлийн хүчийг
хөдлөж буй дамжуулагчийн зурах гадаргыг нэвтрэх соронзон урсгалаар үржүүлсэнтэй
тэнцүү байна.
Соронзон оронд гүйдэлтэй битүү хүрээ М байрлалаас М' байрладд бага шилжилт хийв (14.2 -
р зураг). М битүү хүрээг ABC ба CDA хоёр хэсэгг хувааж үзвэл соронзон оронд хүрээ
шилжихэд Амперийн хүчний ажил нь
dA=dA1+dA2 (14.56)
Хүрээний CDA хэсэгт үйлчлэх хүч пилжих чиглэлтэй хурц өнцљг үүсгэх тул dA2>0 байна.
Иймд (14.55) ёсоор
𝒅𝑨 𝟐 = 𝑰( 𝒅𝜱 𝟎 + 𝒅𝜱 𝟐) (14.57)
Харин хүрээний ABC хэсэгт үйлчлэх хүч нь түүний шилжих чиглэлтэй мохоо өнцөг үүсгэх
тул dA1<0 Иймд
𝒅𝑨 𝟏 = −𝑰( 𝒅𝜱 𝟎 + 𝒅𝜱 𝟏) (14.58)
(14.57), (14.58)-ийг (14.56) орлуулбал
𝒅𝑨 = 𝑰(𝒅𝜱 𝟐 − 𝒅𝜱 𝟏)

5. үүний 𝒅𝜱 𝟐 − 𝒅𝜱 𝟏 нь гүйдэлтэй хүрээгээр хязгаарлагдсан талбайг нэвтрэх соронзон
урсгалын өөрчлөлт тул
𝑑𝐴 = 𝐼𝑑Φ (14.59)
Эндээс гүйдэлтэй хүрээ (М) байрлалаас (М') байрладд төгсгөлөг шилжилг хийхэд Амперийн
хүчний гүйцэтгэх ажлыг олбол:
𝐴 = ∫ 𝐼𝑑Φ = 𝐼(Φ2 − Φ1)
2
1
Соронзон орны зүгээс гүйдэлтэй жаазанд үзүүлэх эргүүлэх үйлчлэлийг соронзон-цахилгаан
болон цахилгаан динамик системийн цахилгаан хэмжих багажуудад өргөн ашигладаг.