Ky libër u dedikohet të gjithë nxënësve , studentëve dhe të gjithë atyre tek të cilët në planprogramin e tyre përfshihet kapitulli Vlera Kufitare(Limiti).Kemi bërë përpjekje maksimale që të përfshihen një numër relativisht i madh i llojeve të ndryshme të limiteve, duke aplikuar shembuj konkretë te detyrave me qëllim që ky kapitull të jetë sa më i qartë dhe që përputhet me planprogramin e ligjëruar.Ky libër përmban 500 detyra të zgjidhura në detaje dhe të ndara në 5 kapituj: limitet e funkisoneve racionale , limitet e funksioneve iracionale , limitet e funksioneve eksponenciale , limitet e funksioneve trigonometrike dhe limitet e vargjeve.
Ky libër u dedikohet të gjithë nxënësve , studentëve dhe të gjithë atyre tek të cilët në planprogramin e tyre përfshihet kapitulli Vlera Kufitare(Limiti).Kemi bërë përpjekje maksimale që të përfshihen një numër relativisht i madh i llojeve të ndryshme të limiteve, duke aplikuar shembuj konkretë te detyrave me qëllim që ky kapitull të jetë sa më i qartë dhe që përputhet me planprogramin e ligjëruar.Ky libër përmban 500 detyra të zgjidhura në detaje dhe të ndara në 5 kapituj: limitet e funkisoneve racionale , limitet e funksioneve iracionale , limitet e funksioneve eksponenciale , limitet e funksioneve trigonometrike dhe limitet e vargjeve.
1. Projekt semestral
Lënda: “KONSTRUKSIONE BETONI II”
Bartës i lëndës: Kandidati:
Prof .Dr. Musa Stavileci Besar Abdiu
Ass.Mr.Sc. Shinasi Zejneli
Tetovë, 2014
UNIVERSITETI SHTETËROR I TETOVËS
FAKULTETI I SHKENCAVE TË ZBATUARA - NDËRTIMTARI
M
os
e
kopjo
M
os
e
kopjo
3. A B C D E F G H
6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00
0.50 5.50 0.50 5.50 0.50 5.50 0.50 5.50 0.50 5.50 0.50 5.50 0.50 5.50 0.50
42.50
16.00
1.0015.001.00
17.00
Objekti:
Investitor:
Faza:
Vendi: Nr. teknik:
Vizatimi:
Projektant:
Data:
Përpjesa: Faqe nr.:
UNIVERSITETI SHTETËROR I TETOVËS
FAKULTETI I SHKENCAVE TË ZBATUARA
PROGRAMI STUDIMOR - NDËRTIMTARI
Dispozita e përgjithshme
BESAR ABDIU
P=1:150
04.04.2014
Kontrolloi: Prof.Dr. Musa Stavileci
Ass.Mr.Sc. Shinasi Zejneli
HALLË INDUSTRIALE
TETOVË 03/14
1
pos1
2
1
X
Y
pos2
M
os
e
kopjo
4. g+p
6,0/2 6,0/2
6,0
Dy
LLOGARIA STATIKE DHE DINAMIKE
PËRCAKTIMI I DIMENSIONEVE TË ELEMENTEVE KONSTRUKTIVE:
1. Pllaka (trashësia)
𝑑𝑑𝑝𝑝 =
0,6 ∙ 𝑙𝑙
35
=
0,6 ∙ 600
35
= 10,286 𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑝𝑝ë𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ë𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ë
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝑑𝑑𝑝𝑝 = 16 𝑐𝑐𝑐𝑐
2. Trau (b/d)
ℎ =
𝐿𝐿
15
÷
𝐿𝐿
12
=
1600
15
÷
1600
12
= 106,667 ÷ 133,333
𝑝𝑝ë𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ë𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ë
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� ℎ = 120 𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑏𝑏 =
1
2
ℎ ÷
1
3
ℎ =
1
2
∙ 120 ÷
1
3
∙ 120 = 60 ÷ 40
𝑝𝑝ë𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ë𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ë
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝑏𝑏 = 50 𝑐𝑐𝑐𝑐
3. Shtylla (b/d)
Dimensionet e shtyllës i përcaktojmë ashtu që shtylla dhe trau të punojnë si ram. Gjerësinë e
prerjes tërthore të shtyllës e marrim të njejtë me gjerësinë e traut, ndërsa lartësinë e prerjes
tërthore e marrim më te vogël, sepse momenti përkulës te shtylla është më i vogël në krahasim
me momentin përkulës të trau. Kështu që për shtyllën përvetësojmë: b/d=50cm/100cm.
ANALIZA E NGARKESAVE STATIKE
1. Për pllakën
a). Të përhershme
- Ngarkesa nga izolimi i kulmit…………………………………………………………………..1,0 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2
b). Të përkohshme
- Pllaka BA……………………………………………………….………………………0,16 ∙ 25 = 4,0 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2
g = 5,0 kN/m2
* Madhësitë statike
- Dëbora……………………………………………………………………………………….………….1,2 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2
p = 1,2 kN/m2
𝐷𝐷𝑦𝑦
𝑔𝑔
= 𝑔𝑔 ∙ 𝑙𝑙 = 5,0 ∙ 6,0 = 30 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚′
𝐷𝐷𝑦𝑦
𝑝𝑝
= 𝑝𝑝 ∙ 𝑙𝑙 = 1,2 ∙ 6,0 = 7,2 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚′
2. Për ramin “D”
a). Të përhershme
- Pesha vetjake e traut………………..…...…..𝑏𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝛾𝛾𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ∙ 1 = 0,5 ∙ 1,2 ∙ 25 ∙ 1 = 15 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚′
- Pesha vetjake e shtyllës (e marrim gjysmën e lartësisë nga lartë)…………......................
- Ngarkesa nga pllaka, e cila përcillet në ram përmes reaksionit 𝐷𝐷𝑦𝑦
𝑔𝑔
… . . . . = 30 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚′U
𝑔𝑔 = 45,0 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚′
M
os
e
kopjo
5. …………………………………………...……….……𝑏𝑏 ∙ ℎ ∙
𝐻𝐻
2
∙ 𝛾𝛾𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 = 0,5 ∙ 1,0 ∙
12,6
2
∙ 25 = 78,75 𝑘𝑘𝑘𝑘
- Pesha nga trau lidhës gjatësor……..…..…. 𝑏𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝛾𝛾𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ∙ 6 = 0,5 ∙ 0,8 ∙ 25 ∙ 6 = 60,0 𝑘𝑘𝑘𝑘
b). Të përkohshme
𝐹𝐹𝑔𝑔 = 138,75 𝑘𝑘𝑘𝑘
* Masa e përgjithshme e një rami
Masën e përgjithshme e koncentrojmë në mes të ramit
- Ngarkesa nga pllaka, e cila përcillet në ram, si reaksion i 𝐷𝐷𝑦𝑦
𝑝𝑝
… … … … . . . . = 7,2 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚′U
𝑝𝑝 = 7,2 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚′
P=138,75kN
g+p/2=(45,0+7,2/2)kN/m
P=138,75kN
W=1055,1 kN
m=107,55 kg
𝐺𝐺 = 2𝑃𝑃 + 𝑔𝑔 ∙ 𝐵𝐵 = 2 ∙ 138,75 + 45,0 ∙ 16,0 = 997,5 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑃𝑃 = 𝑝𝑝 ∙ 𝐵𝐵 = 7,2 ∙ 16,0 = 115,2 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑊𝑊 = 𝐺𝐺 +
𝑃𝑃
2
= 997,5 +
115,2
2
= 1055,1 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑚𝑚 =
𝑊𝑊
𝑔𝑔
=
1055,1 𝑘𝑘𝑘𝑘
9,81
𝑚𝑚
𝑠𝑠2
= 107,55
𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑠𝑠2
𝑚𝑚
= 107,55 𝑘𝑘𝑘𝑘
* Ngarkesa aksiale në shtyllë
−𝑇𝑇ë 𝑝𝑝ë𝑟𝑟ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ℎ𝑚𝑚𝑚𝑚: 𝑁𝑁𝑔𝑔 =
𝐺𝐺
2
+ 78,75 =
997,5
2
+ 78,75 = 577,5 𝑘𝑘𝑘𝑘
(Shënim78,75 kN - është ngarkesa nga gjysma tjetër e shtyllës)
−𝑇𝑇ë 𝑝𝑝ë𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟ℎ𝑠𝑠ℎ𝑚𝑚𝑚𝑚: 𝑁𝑁𝑝𝑝 = 𝑃𝑃 2⁄ = 115,2 2⁄ = 57,6 𝑘𝑘𝑘𝑘
−𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡: 𝑁𝑁𝑤𝑤 = 𝑊𝑊 2⁄ = 1055,1 2⁄ = 527,55 𝑘𝑘𝑘𝑘
M
os
e
kopjo
6. KONTROLLA E NGARKESËS AKSIALE TË SHTYLLËS
𝜎𝜎0 =
𝑁𝑁
𝐹𝐹
=
527,55
50 ∙ 100
= 0,10551
𝛽𝛽𝐵𝐵 = 20,5 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 2,05 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑐𝑐𝑐𝑐2⁄
𝜎𝜎0
𝛽𝛽𝐵𝐵
=
0,10551
2,05
= 0,05 ≤ 0,35 − 𝑘𝑘ë𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝ë𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒
KONTROLLA E STABILITETIT TË SHTYLLËS
lk = β ∙ l = 0,85 ∙ 1260 = 1071cm
𝛽𝛽 = 0,85 − 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘ë 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑡𝑡ë 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝ë𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣ℎë𝑚𝑚
a). Epja ndaj rrafshit yz
i = 0,289b = 0,289 ∙ 50 = 14,45cm
λ =
lk
i
=
1071
14,45
= 74,12
a). Epja ndaj rrafshit xz
i = 0,289b = 0,289 ∙ 50 = 14,45cm
λ =
lk
i
=
1071
28,9
= 37,06
Epjen ndaj rrafshit xz nuk do ta marrim parasysh meqë është më e vogël se ajo ndaj rrafshit yz.
LLOGARITJA E FORCËS SEIZMIKE TË KONSTRUKSIONIT – S
𝑆𝑆 = 𝐾𝐾 ∙ 𝑊𝑊
𝑊𝑊 = 1055,1 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝐾𝐾 = 𝑘𝑘0 ∙ 𝑘𝑘𝑠𝑠 ∙ 𝑘𝑘𝑝𝑝 ∙ 𝑘𝑘𝑑𝑑
𝑘𝑘0 = 1,0 − 𝑝𝑝ë𝑟𝑟 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑡𝑡ë 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘ë 𝑠𝑠ë 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑ë
𝑘𝑘𝑠𝑠 = 0,1 − 𝑝𝑝ë𝑟𝑟 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧ë𝑛𝑛 𝑒𝑒 𝐼𝐼 𝐼𝐼 − 𝑡𝑡ë 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑘𝑘𝑝𝑝 = 1,0 − 𝑝𝑝ë𝑟𝑟 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏ℎ𝑘𝑘ë𝑘𝑘𝑘𝑘ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑡𝑡ë 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑘𝑘𝑑𝑑 =
0,7
𝑇𝑇
− 𝑝𝑝ë𝑟𝑟 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘ë 𝑒𝑒 𝐼𝐼𝐼𝐼 − 𝑡𝑡ë 𝑑𝑑ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋√𝑚𝑚 ∙ 𝛿𝛿
𝑚𝑚 = 107,55 𝑘𝑘𝑘𝑘
Për ram konstruksion me nyje të shtangëta, δ(zhvendosja horizontale nga forca njësi) llogaritet
sipas formulës:
𝛿𝛿 =
1 ∙ 𝐻𝐻3
12𝐸𝐸𝐸𝐸
𝐼𝐼 =
𝑏𝑏 ∙ ℎ3
12
=
50 ∙ 1003
12
= 4166666,667 𝑐𝑐𝑐𝑐4
𝑃𝑃ë𝑟𝑟 𝑀𝑀𝑀𝑀 − 30 → 𝐸𝐸 = 3,15 ∙ 107
𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚2⁄ = 3150 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑐𝑐𝑐𝑐2⁄
M
os
e
kopjo
16. ANVELOPA E MOMENTEVE 500kNm=1cm
1640,26
78,2 880,2
1168,87
78,2880,2
1168,87 1168,87
1168,87
nga kombinimet e ngarkesave
P=1:200
1640,26
78,2 880,2
1168,87
78,2880,2
1168,87 1168,87
1168,87
M
os
e
kopjo
M
os
e
kopjo
17. DIMENSIONIMI I TRAUT TË RAMIT “D”
1). Nga veprimi i momenteve përkulëse
Për deformimet maksimale të betonit dhe armaturës dhe për MB-30, nga tabelat lexojmë
koeficientët:
𝜀𝜀𝑎𝑎 = 10 ‰ ; 𝜀𝜀𝑏𝑏 = 3,5‰ ; 𝐾𝐾ℎ = 1,614
ℎ𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 ℎ𝑚𝑚𝑚𝑚
= 𝐾𝐾ℎ ∙ �
𝑀𝑀𝑢𝑢
𝑏𝑏
= 1,614 ∙ �
1640 ∙ 100
50
= 92,436 𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑎𝑎 = 𝑎𝑎0 + ∅𝑠𝑠 + ∅ + 2,5 = 2,0 + 0,8 + 2,2 + 2,5 = 7,5𝑐𝑐𝑐𝑐 → 𝑝𝑝ë𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟ë𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ë 𝑎𝑎 = 7,5𝑐𝑐𝑐𝑐
Distanca 2,5 merret sepse supozojmë se nga llogaritjet do të ketë nevojë për armaturë të
rradhitur në dy rreshta. Distanca midis dy rreshtave do të jetë 5cm që të mund lehtë të kalojë
edhe fraksioni i katërt i agregatit.
𝑑𝑑 = ℎ + 𝑎𝑎 = 92,436 + 7,5 = 99,936𝑐𝑐𝑐𝑐
→ për arsye konstruktive përvetësojmë d = 120cm
hvert .
= d − a = 120 − 7,5 = 112,5cm
a). 𝑃𝑃ë𝑟𝑟 𝑦𝑦 = 8,0𝑚𝑚 → 𝑀𝑀 = 1640𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘U
Duke pasur parasysh se trashësia e pllakës është shumë e vogël në krahasim me lartësinë e
traut, traun e dimensionojmë si prerje drejtkëndëshe dmth si gjerësi statike e marrim vet
gjerësinë e traut.
Kh =
hvert .
�Mu
b
=
112,5
�1640 ∙ 100
50
= 1,964
në tabelë
�⎯⎯⎯⎯⎯� Kh = 1,966
Për Kh = 1,966 dhe MB − 30, nga tabela lexojmë:
εa = 10 ‰ ; εb = 2,3 ‰ ; Kz = 0,928
Aa
nevojshme
=
Mu
σv ∙ Kz ∙ hvert
=
1640 ∙ 100
40 ∙ 0,928 ∙ 112,5
= 39,27cm2
Aa,min = μ ∙
b ∙ d
100
= 0,2 ∙
50 ∙ 120
100
= 12cm2
< 39,27cm2
= Aa
nevojshme
Përvetësojmë
- armaturë kryesore:
6ABR∅22 … … … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … … . … … . . Aa = 22,81cm2
4ABR∅25 … … … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … … . … … . . Aa = 19,64cm2
𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓: 𝐀𝐀𝐚𝐚 = 𝟒𝟒𝟒𝟒, 𝟒𝟒𝟒𝟒𝐜𝐜𝐜𝐜𝟐𝟐
- armaturë montuese:
Sipas RrBBA, në zonat aktive seizmike për thyerje duktile, përqindja e armimit në zonën e
shtypur duhet të jetë më e madhe ose sa gjysma e përqindjes së armimit në zonën e tërhequr
μ′
≥ 0,5μ.
Aa
′
= 0,5Aa = 0,5 ∙ 42,45 = 21,23cm2
→ përvetësojmë 3ABRØ22 + 2ABRØ25
Konstruktivisht përvetësojmë 2ABRØ16 në lartësinë 42cm dhe 2ABRØ16 në lartësinë 78cm.
b). 𝑃𝑃ë𝑟𝑟 𝑦𝑦 = 0 𝑑𝑑ℎ𝑒𝑒 𝑦𝑦 = 16 → 𝑀𝑀 = 1168,87𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 (𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑ë𝑛𝑛𝑛𝑛ë𝑠𝑠ℎ𝑒𝑒)U
M
os
e
kopjo
18. Meqë mbi mbështetës momenti përkulës është më i vogël se sa në mesin e traut, atëherë
edhe lartësia do të jetë më e madhe sepse supozojmë një rresht me armaturë.
a = a0 + ∅s +
∅
2
+= 2,0 + 0,8 +
2,2
2
= 3,9cm → përvetësojmë a = 4,0cm
hvert .
= d − a = 120 − 4,0 = 116cm
Kh =
hvërt .
�Mu
b
=
116
�1168,87 ∙ 100
50
= 2,399
në tabelë
�⎯⎯⎯⎯⎯� Kh = 2,384
Për Kh = 2,384 dhe MB − 30, nga tabela lexojmë:
εa = 10 ‰ ; εb = 1,7 ‰ ; Kz = 0,947
Aa
nevojshme
=
Mu
σv ∙ Kz ∙ hvert
=
1168,87 ∙ 100
40 ∙ 0,947 ∙ 116
= 26,6cm2
Aa,min = μ ∙
b ∙ d
100
= 0,2 ∙
50 ∙ 120
100
= 12cm2
< 26,6cm2
= Aa
nevojshme
Përvetësojmë:
- armaturë kryesore
5ABR∅22 … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … … … … … … Aa = 19,01cm2
2ABR∅25 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . … … … Aa = 9,82cm2
𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓𝐓: 𝐀𝐀𝐚𝐚 = 𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟖𝟖𝟖𝟖𝐜𝐜𝐜𝐜𝟐𝟐
Për zonën e shtypur, vazhdojnë 7 shufrat nga zona e tërhequr e prerjes për y=8,0m. Edhe në
këtë prerje si në prerjen për y=8,0m, konstruktivisht përvetësojmë 2ABRØ16 në lartësinë
42cm dhe 2ABRØ16 në lartësinë 78cm.
2). Nga veprimi i forcave transverzale
Nga anvelopa e kombinimeve të forcave transverzale, marrim ngarkesën më të madhe:
Kombinimet:
1,6 ∙ 𝑇𝑇𝑔𝑔 + 1,8 ∙ 𝑇𝑇𝑝𝑝 = 1,6 ∙ 354,75 + 1,8 ∙ 57,6 = 671,3𝑘𝑘𝑘𝑘
1,3 ∙ 𝑇𝑇𝑔𝑔 + 0,5 ∙ 1,3 ∙ 𝑇𝑇𝑝𝑝 + 1,3 ∙ 𝑇𝑇𝑠𝑠 = 1,3 ∙ 354,75 + 0,5 ∙ 1,3 ∙ 57,6 + 1,3 ∙ 37 = 546,7𝑘𝑘𝑘𝑘
1,3 ∙ 𝑇𝑇𝑔𝑔 + 0,5 ∙ 1,3 ∙ 𝑇𝑇𝑝𝑝 − 1,3 ∙ 𝑇𝑇𝑠𝑠 = 1,3 ∙ 354,75 + 0,5 ∙ 1,3 ∙ 57,6 − 1,3 ∙ 37 = 450,5𝑘𝑘𝑘𝑘
M
os
e
kopjo
19. Tmax = 671,3kN
për MB − 30 → τr = 1,1MPa
τu =
Tmax
b ∙ z
=
671,3 kN
50cm ∙ 0,947 ∙ 116cm
= 0,1222 kN cm2⁄ = 1,222Mpa �
> τr = 1,1MPa
< 3τr = 3,3MPa
Supozojmë përqindje minimale të armimit.
Sipas RrBBA’87, përqindja minimale e armimit me stafa është:
minμs =
m ∙ fs
b ∙ s
∙ 100% ≥ 0,2%
Llogarisim koeficientin minimal të armimit për stafa ABRØ8 (fs = 0,5cm2
), dyprerëse(m=2),
të vendosura në distancë s=10cm nga njëra-tjetra.
minμs =
2 ∙ 0,5
50 ∙ 10
∙ 100% = 0,2% ≥ 0,2%
Forca transverzale që pranohet nga stafat e supozuara më lartë, llogaritet sipas formulës
Ts =
As ∙ z ∙ σv ∙ m ∙ ctgθ
eu
=
0,5 ∙ 0,947 ∙ 116 ∙ 40 ∙ 2 ∙ 1
10
= 439,4kN < 671,3 = Tmax
(*shënim: për stafa vertikale θ=45˚ → ctgθ=1)
Stafat e lartëpërmendura nuk mund ta pranojnë forcën transverzale maksimale. Që të mund
të “thithet“ forca transverzale vetëm nga stafat, përvetësojmë 2SABRØ8 (fs = 0,5cm2
),
dyprerëse(m=2), të vendosura në distancë eu
Prerja për y=8,0m është dimensionuar si në vizatimin 1, ndërsa për y=0 dhe y=16,0m si në
vizatimin 2.
=10cm.
Ts =
As ∙ z ∙ σv ∙ m ∙ ctgθ
eu
=
0,5 ∙ 0,947 ∙ 116 ∙ 40 ∙ 4 ∙ 1
10
= 878,82 kN > 671,3 kN = Tmax
OK.
Përveç kësaj, llogarisim se a do të arrihet forca kufitare në “diagonalet“ e shtypura.
Për rastin kur stafat janë vertikale, dmth kur β=90˚ dhe θ=45˚, kemi:
Tu ≤ Tbu2 = 0,25 ∙ fB ∙ b0 ∙ h
671,3kN ≤ 0,25 ∙ 2,05 ∙ 50 ∙ 116 → 671,3kN ≤ 2972,5kN − dmth plotësohet kushti
Stafat gjatë gjatësisë së traut vendosen në distancë 20cm larg njëra-tjetrës, ndërsa afër
mbështetësve (0,2l = 0,2 ∙ 16 = 3,2m) vendosen dy herë më shpesh, dmth në distancë 10cm.
M
os
e
kopjo
21. DIMENSIONIMI I SHTYLLËS NGA MOMENTI DHE FORCA ASKSIALE
Shtylla S1D
Gjerwsia: b=50cm fB = 20,5MPa = 2,05 kN cm2⁄
Lartwsia: d=100cm σ02 = 400MPa = 40 kN cm2⁄
Për armim simetrik, a d⁄ = 4,5 100⁄ = 0,045 ≈ 0,05 dhe ABR 400/500-2, nga diagramet e
interaksionit lexojmë koeficientin e armimit μ� = 0,08.
M
os
e
kopjo
22. Meritorë janë rastet 7 dhe 8.
Aa =
μ ∙ b ∙ d ∙ fB
σv
=
0,08 ∙ 50 ∙ 100 ∙ 2,05
40
= 20,5 cm2
Aa,min = ρmin
∙
b ∙ d
100
= 0,6 ∙
50 ∙ 100
100
= 30 cm2
> 20,5 cm2
= Aa
Përvetësojmë armim simetrik: ABR2x5∅25 me Aa = 49,09 cm2
Gjithashtu përvetësojmë: ABR2x2∅22 me Aa = 15,2 cm2
në drejtimin ortogonal.
Supozojmë stafa 3SABR∅8/15(7,5) cm.
Në këtë mënyrë plotësohen kushtet minimale dhe maksimale të armimit sipas RrBBA ’87,
PIOVS ’81 (μmin ≥ 0,6%; μmax ≤ 6%) dhe sipas EUROKOD 8 (μmin ≥ 1%; μmax ≤ 4%).
DIMENSIONIMI I SHTYLLËS NGA NDIKIMI I FORCAVE TRANSVERZALE
Tu = 1,3Tg ∙ 1,3Tp ∙ 1,3Ts = 1,3 ∙ 68,0 + 1,3 ∙ 10,882 + 1,3 ∙ 52,75 = 171,12 kN
b/d=50/100cm; a=4,5cm; h=100-4,5=95,5cm
τn =
Tu
b ∙ z
=
Tu
b ∙ 0,9 ∙ h
=
171,12
50 ∙ 0,9 ∙ 95,5
= 0,0398
kN
cm2
= 0,398MPa < 1,1𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = τr
Nga jobarazimi i mësipërm vijmë në përfundim se forca transverzale thithet vetëm nga
betoni, megjithatë sipas nenit 63 Yu81, forcat transverzale për objekte në zona seizmike
duhet të pranohen nga armature (neglizhohet aftësia mbajtëse e betonit).
Aftësia mbajtëse e stafave të supozuara, është:
Ts =
As ∙ z ∙ σv ∙ m ∙ ctgθ
es
=
0,5 ∙ 0,9 ∙ 95,5 ∙ 40 ∙ 2 ∙ 1
7,5
= 458,4kN > 171,12𝑘𝑘𝑘𝑘 = Tu
OK.
NDIKIMI I FORCËS SË ERËS NË KONSTRUKSION
Nëse supozojmë se shtyllat e janë të inkastruara në themelet e tyre dhe janë lirshëm të
mbështetura në nivelin e kulmit, reaksionet e kalkanit në rrafshin e kulmit do të jenë:
R 𝑤𝑤
+
=
3
8
Ë
+
∙ H =
3
8
∙ 0,8 ∙ 𝑊𝑊0 ∙ H =
3
8
∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 13,2 = 3,168 kN/m′
Rë
−
=
3
8
𝑊𝑊−
∙ H =
3
8
∙ 0,4 ∙ 𝑊𝑊0 ∙ H =
3
8
∙ 0,4 ∙ 0,8 ∙ 13,2 = 1,584 kN/m′
Rezultanta e forcës së erës në tërë kulmin është:
P𝑤𝑤 = (R 𝑤𝑤
+
+ R 𝑤𝑤
− ) ∙ B = (3,168 + 1,584) ∙ 17 = 80,784 kN
Kjo forcë shpërndahet nëpër të gjitha shtyllat e konstruksionit në mënyrë të barabartë:
H𝑤𝑤𝑤𝑤 =
P𝑤𝑤
16
=
80,784 kN
16
= 5,05 kN
M
os
e
kopjo
23. Llogarisim zhvendosjen e majës së konstruksionit nga veprimi forcës së erës:
δx =
H𝑤𝑤i ∙ H3
12EI
Iy =
h ∙ b3
12
=
100 ∙ 503
12
= 1041666,667 cm4
Për MB-30 → E = 3,15 ∙ 107
kN m2⁄ = 3150 kN cm2⁄
EI=3150kN m2⁄ ∙ 1041666,667 cm4
= 3,28125 ∙ 109
kNcm2
= 3,28125 ∙ 105
kNm2
H=12,6m
δx =
H𝑤𝑤i ∙ H3
12EI
=
5,05 ∙ 12,63
16 ∙ 12 ∙ 3,28125 ∙ 105
= 0,00016035m = 1,6035 ∙ 10−4
m
dlej =
H
600
=
12,6
600
= 0,021m > 0,00016035𝑚𝑚 = dvërtet ë
LLogarisim momentet përkulëse në inkastrim e shtyllës në themel.
Në rastin tonë, në kalkan do të vendosim panele vertikale që mbështeten në traun lidhës të
themeleve dhe traun e kurorës.
Për epje të mesme (25<λ<75), llogaritim jashtëqendërsinë e veprimit të forcës aksiale:
N = Ng + Np = 498,75 + 57,6 = 556,35kN
M2 = 63,63 kNm
e =
1
N
∙ 0,67 ∙ M2 ∙
lk
l
=
1
556,35
∙ 0,67 ∙ 63,63 ∙
1071
1260
= 0,065m = 6,5cm
e
d
=
6,5
50
= 0,13
Për 0 ≤
e
d
< 0,3 → f = d ∙
λ − 20
100
�0,1 +
e
d
≥ 0
f = 50 ∙
74,12 − 20
100
�0,1 + 0,13 = 12,98 ≥ 0
Nu = ∑ γi
Ni = 1,6 ∙ Ng + 1,8 ∙ Np = 1,6 ∙ 498,75 + 1,8 ∙ 57,6 = 901,68 kN
Mu = Nu�e + f + eϕ� = Nu(e + f + 0) = 901,68(0,065 + 0,1298) = 175,65 kNm
(efektet nga tkurrja dhe rrjedhja e betonit nuk janë marrë parasysh)
𝑛𝑛 =
𝑁𝑁𝑢𝑢
𝑏𝑏 ∙ 𝑑𝑑 ∙ 𝑓𝑓𝐵𝐵
=
901,68
100 ∙ 50 ∙ 2,05
= 0,088
𝑚𝑚 =
𝑀𝑀𝑢𝑢
𝑏𝑏 ∙ 𝑑𝑑2 ∙ 𝑓𝑓𝐵𝐵
=
175,65 ∙ 100
100 ∙ 502 ∙ 2,05
= 0,034
Për n=0,088 dhe m=0,034 nga diagrami i interaksionit lexojmë koeficientin mekanik të
armimit.
M
os
e
kopjo
24. Nga diagrami i interaksionit shohim se koeficienti mekanik i armimit është më i vogël se zero,
prandaj armatura e supozuar më sipër është e mjaftueshme.
M
os
e
kopjo
25. SQARIME MBI DIMENSIONIMIN DHE ARMIMIN E RAMIT
Vazhdimi montues i armaturës është realizuar me saldim elektrostatik
Gjysma e shufrave saldohen në njërën anë, kurse gjysma tjetër në anën tjetër
Armatura nën nivelin 0,0 është vizatuar konstruktivisht
Në tehun e brendshëm të nyjes së ramit (lidhja tra-shtyllë) është vendosur
armaturë e cila do të pranojë plasaritjet diagonale që paraqiten gjatë veprimit
ciklik të tërmetit.
Armatura shtesë mbi mbështetës vazhdon në gjatësi të caktuar përgjatë shtyllës
më qëllim që të fitohet nyje e shtangët.
Gjatë dimensionimit të shtyllës nga momenti përkulës dhe forca aksiale është
marrë momenti përkulës më i madh në nivelin 12,60 dhe forca aksiale më e
madhe në nivelin ±0,00 dhe është përvetësuar armaturë gjatësorë e njejtë për
tërë gjatësinë e shtyllës.
Vazhdimi montues në shtyllë në anën e brendshme të ramit realizohet mbi
gjysmën e lartësisë së shtyllës (aty ku momenti përkulës është zero), ndërsa në
anën e jashtme realizohet nën gjysmën e lartësisë së shtyllës (aty ku momenti
përkulës është më i vogël), por gjithashtu nuk duhet të vazhdohen të gjitha
shufrat në një rrafsh.
Stafat në shtyllë vendosen ashtuqë palimi i stafës të jetë në anën e kundërt të
palimit të stafës paraprake që të zvogëlohet mundësia e hapjes së të gjitha
stafave.
M
os
e
kopjo
