SlideShare a Scribd company logo
FORMULA E BINOMIT
Prill 2020
Rikujtojmë formulat për fuqitë përkatëse të binomit:
𝒂 + 𝒃 𝟎
= 𝟏
𝒂 + 𝒃 𝟏
= 𝒂 + 𝒃
𝒂 + 𝒃 𝟐
= 𝒂 𝟐
+ 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐
𝒂 + 𝒃 𝟑 = 𝒂 𝟑 + 𝟑𝒂 𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃 𝟐 + 𝒃 𝟑
𝒂 + 𝒃 𝟒
= 𝒂 𝟒
+ 𝟒𝒂 𝟑
𝒃 + 𝟔𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
+ 𝟒𝒂𝒃 𝟑
+ 𝒃 𝟒
, etj
Gjithashtu rikujtojmë se:
𝐂 𝐧
𝐤 =
𝐧!
𝐤! 𝐧−𝐤 !
=
𝐧
𝐤
, ku
𝒏
𝟎
= 𝟏 dhe
𝒏
𝒏
= 𝟏 .
Përgatiti: Faton Hyseni 2
Nëse në formulat e mësipërme, koeficientët i shkruajmë në trajtë të
koeficientëve të binomit
𝑛
𝑘
, kemi:
𝒂 + 𝒃 𝟎
=
𝟎
𝟎
= 𝟏
𝒂 + 𝒃 𝟏 =
𝟏
𝟎
𝒂 +
𝟏
𝟏
𝒃 = 𝒂 + 𝒃
𝒂 + 𝒃 𝟐
=
𝟐
𝟎
𝒂 𝟐
+
𝟐
𝟏
𝒂𝒃 +
𝟐
𝟐
𝒃 𝟐
=𝒂 𝟐
+ 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐
𝒂 + 𝒃 𝟑
=
𝟑
𝟎
𝒂 𝟑
+
𝟑
𝟏
𝒂 𝟐
𝒃 +
𝟑
𝟐
𝒂𝒃 𝟐
+
𝟑
𝟑
𝒃 𝟑
= 𝒂 𝟑
+ 𝟑𝒂 𝟐
𝒃 + 𝟑𝒂𝒃 𝟐
+ 𝒃 𝟑
𝒂 + 𝒃 𝟒 =
𝟒
𝟎
𝒂 𝟒 +
𝟒
𝟏
𝒂 𝟑 𝒃 +
𝟒
𝟐
𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 +
𝟒
𝟑
𝒂𝒃 𝟑 +
𝟒
𝟒
𝒃 𝟒
= 𝒂 𝟒
+ 𝟒𝒂 𝟑
𝒃 + 𝟔𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
+ 𝟒𝒂𝒃 𝟑
+ 𝒃 𝟒
, etj .
Përgatiti: Faton Hyseni 3
Në përgjithësi nëse 𝑛 është numër natyror, atëherë:
𝒂 + 𝒃 𝒏
=
𝒏
𝟎
𝒂 𝒏
+
𝒏
𝟏
𝒂 𝒏−𝟏
𝒃 +
𝒏
𝟐
𝒂 𝒏−𝟐
𝒃 𝟐
+ ⋯ +
𝒏
𝒌
𝒂 𝒏−𝒌
𝒃 𝒌
+ ⋯ +
𝒏
𝒏
𝒃 𝒏
e cila quhet formula e binomit ose e Njutonit.
Formula e mësipërme mund të shkruhet shkurtimisht në këtë mënyrë:
𝒂 + 𝒃 𝒏
=
𝒌=𝟎
𝒏
𝒏
𝒌
𝒂 𝒏−𝒌
𝒃 𝒌
ku
𝒏
𝒌
=
𝒏!
𝒌! 𝒏−𝒌 !
( simboli ∑ lexohet sigma
dhe paraqet shumën )
Koeficientët e binomit, të cilët paraqiten
në formulën e binomit, janë numra natyror
dhe mund të fitohen edhe me ndihmën e
trekëndëshit të Paskalit:
Përgatiti: Faton Hyseni 4
Disa sqarime për trekëndëshin e Paskalit
Përgatiti: Faton Hyseni 5
Raste tjera për trekëndëshin e Paskalit
Përgatiti: Faton Hyseni 6
Shembull
Raste tjera për trekëndëshin e Paskalit
Përgatiti: Faton Hyseni 7
Raste tjera për trekëndëshin e Paskalit
Përgatiti: Faton Hyseni 8
Shembulli 1
Përgatiti: Faton Hyseni 9
Shembulli 2
Përgatiti: Faton Hyseni 10
Shembulli 3
Përgatiti: Faton Hyseni 11
Shembulli 4
Përgatiti: Faton Hyseni 12
Shembulli 5
Përgatiti: Faton Hyseni 13
Shembulli 6
Përgatiti: Faton Hyseni 14
Shembulli 7
Gjeni termin e tretë të zbërthimit të 𝑥 − 3 𝑦
10
.
Zgjidhje
𝒙 + 𝒚 𝒏 =
𝒌=𝟎
𝒏
𝒏
𝒌
𝒙 𝒏−𝒌 𝒚 𝒌
𝒙 − 𝟑 𝒚 𝟏𝟎 =
𝒌=𝟎
𝟏𝟎
𝟏𝟎
𝒌
𝒙 𝟏𝟎−𝒌 −𝟑 𝒚 𝒌
Termi i tretë i zbërthimit të 𝑥 − 3 𝑦
10
do të jetë për 𝑘 = 2,
prandaj
10
2
𝑥10−2 −3 𝑦
2
=
10!
2!8!
𝑥8 ∙ 9 ∙ 𝑦 =
10∙9
2
𝑥8 ∙ 9 ∙ 𝑦 = 405𝑥8 𝑦 .
D.m.th. 405𝑥8 𝑦 është termi i tretë.
Përgatiti: Faton Hyseni 15

More Related Content

What's hot

Variacionet
VariacionetVariacionet
Variacionet
Faton Hyseni
 
Funksione matematikore
Funksione matematikoreFunksione matematikore
Funksione matematikore
Klea Vyshka
 
PUNIM SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!
PUNIM  SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!PUNIM  SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!
PUNIM SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!
#MesueseAurela Elezaj
 
Matematike 1
Matematike 1Matematike 1
Matematike 1
Ermon Cërvadiku
 
Konceptet baze te probabilitetit
Konceptet baze te probabilitetitKonceptet baze te probabilitetit
Konceptet baze te probabilitetitMenaxherat
 
Sistemi Kompjuterik
Sistemi KompjuterikSistemi Kompjuterik
Sistemi KompjuterikMagribe
 
Bazat e Statistikes
Bazat e StatistikesBazat e Statistikes
Bazat e Statistikes
guestc49863
 
Njesite hyrse dhe dalese te Kompjuterit ©
Njesite hyrse dhe dalese te Kompjuterit ©Njesite hyrse dhe dalese te Kompjuterit ©
Njesite hyrse dhe dalese te Kompjuterit ©
Lirim Jahiu
 
Matematika e avancuar; numri kompleks
Matematika e avancuar; numri kompleksMatematika e avancuar; numri kompleks
Matematika e avancuar; numri kompleks
sidorelahalilaj113
 
Ushtrime nga lenda e statistikes
Ushtrime nga lenda e statistikesUshtrime nga lenda e statistikes
Ushtrime nga lenda e statistikeskulla 2010
 
Ushtrime nga lenda e statistikes
Ushtrime nga lenda e statistikesUshtrime nga lenda e statistikes
Ushtrime nga lenda e statistikeskulla 2010
 
Si te bejme hulumtim
Si te bejme hulumtimSi te bejme hulumtim
Si te bejme hulumtim
Menaxherat
 
Njesia Qendrore (Pjeset Perberese) , Lenda : Tik
Njesia Qendrore (Pjeset Perberese)  ,  Lenda : TikNjesia Qendrore (Pjeset Perberese)  ,  Lenda : Tik
Njesia Qendrore (Pjeset Perberese) , Lenda : Tik
Daniel Duro
 
Dallimi ndermjet kerkimeve kuantitative dhe kualitative
Dallimi ndermjet kerkimeve kuantitative dhe kualitativeDallimi ndermjet kerkimeve kuantitative dhe kualitative
Dallimi ndermjet kerkimeve kuantitative dhe kualitative
Besfort N Haziri - Prishtine
 
Lakimi emrit
Lakimi emrit Lakimi emrit
Lakimi emrit
Valmir Nuredini
 
Shnderrimet Gjeometrike
Shnderrimet GjeometrikeShnderrimet Gjeometrike
Shnderrimet Gjeometrike
Ergi Nushi
 
Syprina e trapezit
Syprina e trapezitSyprina e trapezit
Syprina e trapezit
Adelina Fejzulla
 

What's hot (20)

Variacionet
VariacionetVariacionet
Variacionet
 
Funksione matematikore
Funksione matematikoreFunksione matematikore
Funksione matematikore
 
PUNIM SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!
PUNIM  SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!PUNIM  SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!
PUNIM SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!
 
Matematike 1
Matematike 1Matematike 1
Matematike 1
 
Konceptet baze te probabilitetit
Konceptet baze te probabilitetitKonceptet baze te probabilitetit
Konceptet baze te probabilitetit
 
Sistemi Kompjuterik
Sistemi KompjuterikSistemi Kompjuterik
Sistemi Kompjuterik
 
Bazat e Statistikes
Bazat e StatistikesBazat e Statistikes
Bazat e Statistikes
 
2.induksioni
2.induksioni2.induksioni
2.induksioni
 
Limiti i vargut
Limiti i vargutLimiti i vargut
Limiti i vargut
 
Njesite hyrse dhe dalese te Kompjuterit ©
Njesite hyrse dhe dalese te Kompjuterit ©Njesite hyrse dhe dalese te Kompjuterit ©
Njesite hyrse dhe dalese te Kompjuterit ©
 
Matematika e avancuar; numri kompleks
Matematika e avancuar; numri kompleksMatematika e avancuar; numri kompleks
Matematika e avancuar; numri kompleks
 
Ushtrime nga lenda e statistikes
Ushtrime nga lenda e statistikesUshtrime nga lenda e statistikes
Ushtrime nga lenda e statistikes
 
Ushtrime nga lenda e statistikes
Ushtrime nga lenda e statistikesUshtrime nga lenda e statistikes
Ushtrime nga lenda e statistikes
 
Si te bejme hulumtim
Si te bejme hulumtimSi te bejme hulumtim
Si te bejme hulumtim
 
Njesia Qendrore (Pjeset Perberese) , Lenda : Tik
Njesia Qendrore (Pjeset Perberese)  ,  Lenda : TikNjesia Qendrore (Pjeset Perberese)  ,  Lenda : Tik
Njesia Qendrore (Pjeset Perberese) , Lenda : Tik
 
Dallimi ndermjet kerkimeve kuantitative dhe kualitative
Dallimi ndermjet kerkimeve kuantitative dhe kualitativeDallimi ndermjet kerkimeve kuantitative dhe kualitative
Dallimi ndermjet kerkimeve kuantitative dhe kualitative
 
Lakimi emrit
Lakimi emrit Lakimi emrit
Lakimi emrit
 
Kercelli i Bimeve
Kercelli i Bimeve Kercelli i Bimeve
Kercelli i Bimeve
 
Shnderrimet Gjeometrike
Shnderrimet GjeometrikeShnderrimet Gjeometrike
Shnderrimet Gjeometrike
 
Syprina e trapezit
Syprina e trapezitSyprina e trapezit
Syprina e trapezit
 

More from Faton Hyseni

Kombinatorika
KombinatorikaKombinatorika
Kombinatorika
Faton Hyseni
 
Eratosteni
EratosteniEratosteni
Eratosteni
Faton Hyseni
 
Përcaktoret
PërcaktoretPërcaktoret
Përcaktoret
Faton Hyseni
 
Matricat. Veprimet me matrica
Matricat. Veprimet me matricaMatricat. Veprimet me matrica
Matricat. Veprimet me matrica
Faton Hyseni
 
Testi i matures matematike( qershor 2015 )
Testi i matures matematike( qershor 2015 )Testi i matures matematike( qershor 2015 )
Testi i matures matematike( qershor 2015 )
Faton Hyseni
 
Kuiz nga matematika
Kuiz nga matematikaKuiz nga matematika
Kuiz nga matematika
Faton Hyseni
 
Thënie të arta për matematiken
Thënie të arta për matematikenThënie të arta për matematiken
Thënie të arta për matematiken
Faton Hyseni
 

More from Faton Hyseni (7)

Kombinatorika
KombinatorikaKombinatorika
Kombinatorika
 
Eratosteni
EratosteniEratosteni
Eratosteni
 
Përcaktoret
PërcaktoretPërcaktoret
Përcaktoret
 
Matricat. Veprimet me matrica
Matricat. Veprimet me matricaMatricat. Veprimet me matrica
Matricat. Veprimet me matrica
 
Testi i matures matematike( qershor 2015 )
Testi i matures matematike( qershor 2015 )Testi i matures matematike( qershor 2015 )
Testi i matures matematike( qershor 2015 )
 
Kuiz nga matematika
Kuiz nga matematikaKuiz nga matematika
Kuiz nga matematika
 
Thënie të arta për matematiken
Thënie të arta për matematikenThënie të arta për matematiken
Thënie të arta për matematiken
 

Formula e binomit

  • 2. Rikujtojmë formulat për fuqitë përkatëse të binomit: 𝒂 + 𝒃 𝟎 = 𝟏 𝒂 + 𝒃 𝟏 = 𝒂 + 𝒃 𝒂 + 𝒃 𝟐 = 𝒂 𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐 𝒂 + 𝒃 𝟑 = 𝒂 𝟑 + 𝟑𝒂 𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃 𝟐 + 𝒃 𝟑 𝒂 + 𝒃 𝟒 = 𝒂 𝟒 + 𝟒𝒂 𝟑 𝒃 + 𝟔𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 + 𝟒𝒂𝒃 𝟑 + 𝒃 𝟒 , etj Gjithashtu rikujtojmë se: 𝐂 𝐧 𝐤 = 𝐧! 𝐤! 𝐧−𝐤 ! = 𝐧 𝐤 , ku 𝒏 𝟎 = 𝟏 dhe 𝒏 𝒏 = 𝟏 . Përgatiti: Faton Hyseni 2
  • 3. Nëse në formulat e mësipërme, koeficientët i shkruajmë në trajtë të koeficientëve të binomit 𝑛 𝑘 , kemi: 𝒂 + 𝒃 𝟎 = 𝟎 𝟎 = 𝟏 𝒂 + 𝒃 𝟏 = 𝟏 𝟎 𝒂 + 𝟏 𝟏 𝒃 = 𝒂 + 𝒃 𝒂 + 𝒃 𝟐 = 𝟐 𝟎 𝒂 𝟐 + 𝟐 𝟏 𝒂𝒃 + 𝟐 𝟐 𝒃 𝟐 =𝒂 𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐 𝒂 + 𝒃 𝟑 = 𝟑 𝟎 𝒂 𝟑 + 𝟑 𝟏 𝒂 𝟐 𝒃 + 𝟑 𝟐 𝒂𝒃 𝟐 + 𝟑 𝟑 𝒃 𝟑 = 𝒂 𝟑 + 𝟑𝒂 𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃 𝟐 + 𝒃 𝟑 𝒂 + 𝒃 𝟒 = 𝟒 𝟎 𝒂 𝟒 + 𝟒 𝟏 𝒂 𝟑 𝒃 + 𝟒 𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 + 𝟒 𝟑 𝒂𝒃 𝟑 + 𝟒 𝟒 𝒃 𝟒 = 𝒂 𝟒 + 𝟒𝒂 𝟑 𝒃 + 𝟔𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 + 𝟒𝒂𝒃 𝟑 + 𝒃 𝟒 , etj . Përgatiti: Faton Hyseni 3
  • 4. Në përgjithësi nëse 𝑛 është numër natyror, atëherë: 𝒂 + 𝒃 𝒏 = 𝒏 𝟎 𝒂 𝒏 + 𝒏 𝟏 𝒂 𝒏−𝟏 𝒃 + 𝒏 𝟐 𝒂 𝒏−𝟐 𝒃 𝟐 + ⋯ + 𝒏 𝒌 𝒂 𝒏−𝒌 𝒃 𝒌 + ⋯ + 𝒏 𝒏 𝒃 𝒏 e cila quhet formula e binomit ose e Njutonit. Formula e mësipërme mund të shkruhet shkurtimisht në këtë mënyrë: 𝒂 + 𝒃 𝒏 = 𝒌=𝟎 𝒏 𝒏 𝒌 𝒂 𝒏−𝒌 𝒃 𝒌 ku 𝒏 𝒌 = 𝒏! 𝒌! 𝒏−𝒌 ! ( simboli ∑ lexohet sigma dhe paraqet shumën ) Koeficientët e binomit, të cilët paraqiten në formulën e binomit, janë numra natyror dhe mund të fitohen edhe me ndihmën e trekëndëshit të Paskalit: Përgatiti: Faton Hyseni 4
  • 5. Disa sqarime për trekëndëshin e Paskalit Përgatiti: Faton Hyseni 5
  • 6. Raste tjera për trekëndëshin e Paskalit Përgatiti: Faton Hyseni 6 Shembull
  • 7. Raste tjera për trekëndëshin e Paskalit Përgatiti: Faton Hyseni 7
  • 8. Raste tjera për trekëndëshin e Paskalit Përgatiti: Faton Hyseni 8
  • 15. Shembulli 7 Gjeni termin e tretë të zbërthimit të 𝑥 − 3 𝑦 10 . Zgjidhje 𝒙 + 𝒚 𝒏 = 𝒌=𝟎 𝒏 𝒏 𝒌 𝒙 𝒏−𝒌 𝒚 𝒌 𝒙 − 𝟑 𝒚 𝟏𝟎 = 𝒌=𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝒌 𝒙 𝟏𝟎−𝒌 −𝟑 𝒚 𝒌 Termi i tretë i zbërthimit të 𝑥 − 3 𝑦 10 do të jetë për 𝑘 = 2, prandaj 10 2 𝑥10−2 −3 𝑦 2 = 10! 2!8! 𝑥8 ∙ 9 ∙ 𝑦 = 10∙9 2 𝑥8 ∙ 9 ∙ 𝑦 = 405𝑥8 𝑦 . D.m.th. 405𝑥8 𝑦 është termi i tretë. Përgatiti: Faton Hyseni 15