Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9BOIDUONGTOAN.COM
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn học tập, đăng ký học Toán lớp 9 ôn thi vào lớp 10, mua tài liệu liên quan Toán lớp 9, liên hệ: 0976.179.282.
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9BOIDUONGTOAN.COM
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn học tập, đăng ký học Toán lớp 9 ôn thi vào lớp 10, mua tài liệu liên quan Toán lớp 9, liên hệ: 0976.179.282.
Bồi dưỡng nâng cao HSG Toán lớp 7 qua 16 chuyên đề - Thầy ThíchBồi dưỡng Toán lớp 6
Bồi dưỡng nâng cao HSG Toán lớp 7 qua 16 chuyên đề - Thầy Thích. Mọi thông tin về tư vấn và đăng ký đặt mua tài liệu vui lòng liên hệ trực tiếp Thầy Thích theo:
- Điện thoại: 0919.281.916
- Email: doanthich@gmail.com
- Website: www.ToanIQ.com
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành phương pháp toán sơ cấp với đề tài: Bất đẳng thức trong lớp hàm siêu việt, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Các chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán THCS hay nhất. Mọi thông tin cần hỗ trợ về tài liệu, tìm giáo viên dạy bồi dưỡng toán lớp 6, 7, 8, 9, ôn luyện thi vào chuyên, vui lòng liên hệ: 0919.281.916.
Tuyển tập đề thi vào lớp 10 môn toán tại Hà Nội từ năm 1988 - 2013 có đáp án. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn tìm gia sư đăng ký học tập vui lòng liên hệ theo: 0936.128.126 - Website: http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn.
Tuyển tập một số đề thi HSG môn Toán lớp 8 có đáp án. Mọi thông tin cần tư vấn học tập môn Toán lớp 8 vui lòng liên hệ Thầy Thích theo: 0919.281.916 hoặc website: www.ToanIQ.com. (Tuyển tập 15 chuyên đề bồi dưỡng Toán lớp 8 và 53 đề thi HSG Toán 8 có đáp án chi tiết).
Bồi dưỡng nâng cao HSG Toán lớp 7 qua 16 chuyên đề - Thầy ThíchBồi dưỡng Toán lớp 6
Bồi dưỡng nâng cao HSG Toán lớp 7 qua 16 chuyên đề - Thầy Thích. Mọi thông tin về tư vấn và đăng ký đặt mua tài liệu vui lòng liên hệ trực tiếp Thầy Thích theo:
- Điện thoại: 0919.281.916
- Email: doanthich@gmail.com
- Website: www.ToanIQ.com
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành phương pháp toán sơ cấp với đề tài: Bất đẳng thức trong lớp hàm siêu việt, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Các chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán THCS hay nhất. Mọi thông tin cần hỗ trợ về tài liệu, tìm giáo viên dạy bồi dưỡng toán lớp 6, 7, 8, 9, ôn luyện thi vào chuyên, vui lòng liên hệ: 0919.281.916.
Tuyển tập đề thi vào lớp 10 môn toán tại Hà Nội từ năm 1988 - 2013 có đáp án. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn tìm gia sư đăng ký học tập vui lòng liên hệ theo: 0936.128.126 - Website: http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn.
Tuyển tập một số đề thi HSG môn Toán lớp 8 có đáp án. Mọi thông tin cần tư vấn học tập môn Toán lớp 8 vui lòng liên hệ Thầy Thích theo: 0919.281.916 hoặc website: www.ToanIQ.com. (Tuyển tập 15 chuyên đề bồi dưỡng Toán lớp 8 và 53 đề thi HSG Toán 8 có đáp án chi tiết).
Tuyển tập 28 đề thi và đáp án HSG Toán lớp 6 dành cho các HS Khá - Giỏi. Mọi thông tin cần hỗ trợ học tập Toán 6, tìm tài liệu học tập môn Toán, giải đáp những thắc mắc, vui lòng liên hệ Thầy Thích - 0919.281.916.
Tuyển tập 100 đề luyện thi Học sinh giỏi Toán lớp 6 (có đáp án)Bồi dưỡng Toán lớp 6
Cung cấp tài liệu Tuyển tập 100 đề luyện thi Học sinh giỏi Toán lớp 6 có đáp án cho các em học sinh lớp 6. Mọi thông tin cần hỗ trợ mua tài liệu, vui lòng liên hệ theo số máy: 0919.281.916. Email: doanthich@gmail.com.
Kính thưa quý bậc PH và các em HS lớp 6 thân mến,
Với chương trình toán lớp 6 hiện nay, có nhiều em HS đang gặp khó khăn, khúc mắc trong quá trình học tập. Với mục tiêu giúp các em HS lớp 6:
+) Hệ thống chương trình toán lớp 6
+) Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy toán THCS,
+) Bồi dưỡng HSG Toán lớp 6
Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn học tập, giải pháp, vui lòng liên hệ Thầy Thích:
+) Tel: 0919.281.916
+) Email: doanthich@gmail.com
+) Website: www.ToanIQ.com
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình trong chương trình toán trung học phổ thông, cho các bạn tham khảo
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình trong chương trình toán Trung học phổ thông, cho các bạn có thể làm luận văn tham khảo
Để xem full tài liệu Xin vui long liên hệ page để được hỗ trợ
:
https://www.facebook.com/garmentspace/
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
HOẶC
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
tai lieu tong hop, thu vien luan van, luan van tong hop, do an chuyen nganh
GIÁO TRÌNH 2-TÀI LIỆU SỬA CHỮA BOARD MONO TỦ LẠNH MÁY GIẶT ĐIỀU HÒA.pdf
https://dienlanhbachkhoa.net.vn
Hotline/Zalo: 0338580000
Địa chỉ: Số 108 Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội
GIAO TRINH TRIET HOC MAC - LENIN (Quoc gia).pdfLngHu10
Chương 1
KHÁI LUẬN VỀ TRIẾT HỌC VÀ TRIẾT HỌC MÁC - LÊNIN
A. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức: Trang bị cho sinh viên những tri thức cơ bản về triết học nói chung,
những điều kiện ra đời của triết học Mác - Lênin. Đồng thời, giúp sinh viên nhận thức được
thực chất cuộc cách mạng trong triết học do
C. Mác và Ph. Ăngghen thực hiện và các giai đoạn hình thành, phát triển triết học Mác - Lênin;
vai trò của triết học Mác - Lênin trong đời sống xã hội và trong thời đại ngày nay.
2. Về kỹ năng: Giúp sinh viên biết vận dụng tri thức đã học làm cơ sở cho việc nhận
thức những nguyên lý cơ bản của triết học Mác - Lênin; biết đấu tranh chống lại những luận
điểm sai trái phủ nhận sự hình thành, phát triển triết học Mác - Lênin.
3. Về tư tưởng: Giúp sinh viên củng cố niềm tin vào bản chất khoa học và cách mạng
của chủ nghĩa Mác - Lênin nói chung và triết học Mác - Lênin nói riêng.
B. NỘI DUNG
I- TRIẾT HỌC VÀ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TRIẾT HỌC
1. Khái lược về triết học
a) Nguồn gốc của triết học
Là một loại hình nhận thức đặc thù của con người, triết học ra đời ở cả phương Đông và
phương Tây gần như cùng một thời gian (khoảng từ thế kỷ VIII đến thế kỷ VI trước Công
nguyên) tại các trung tâm văn minh lớn của nhân loại thời cổ đại. Ý thức triết học xuất hiện
không ngẫu nhiên, mà có nguồn gốc thực tế từ tồn tại xã hội với một trình độ nhất định của
sự phát triển văn minh, văn hóa và khoa học. Con người, với kỳ vọng được đáp ứng nhu
cầu về nhận thức và hoạt động thực tiễn của mình đã sáng tạo ra những luận thuyết chung
nhất, có tính hệ thống, phản ánh thế giới xung quanh và thế giới của chính con người. Triết
học là dạng tri thức lý luận xuất hiện sớm nhất trong lịch sử các loại hình lý luận của nhân
loại.
Với tư cách là một hình thái ý thức xã hội, triết học có nguồn gốc nhận thức và nguồn
gốc xã hội.
* Nguồn gốc nhận thức
Nhận thức thế giới là một nhu cầu tự nhiên, khách quan của con người. Về mặt lịch
sử, tư duy huyền thoại và tín ngưỡng nguyên thủy là loại hình triết lý đầu tiên mà con
người dùng để giải thích thế giới bí ẩn xung quanh. Người nguyên thủy kết nối những hiểu
biết rời rạc, mơ hồ, phi lôgích... của mình trong các quan niệm đầy xúc cảm và hoang
tưởng thành những huyền thoại để giải thích mọi hiện tượng. Đỉnh cao của tư duy huyền
thoại và tín ngưỡng nguyên thủy là kho tàng những câu chuyện thần thoại và những tôn
9
giáo sơ khai như Tô tem giáo, Bái vật giáo, Saman giáo. Thời kỳ triết học ra đời cũng là
thời kỳ suy giảm và thu hẹp phạm vi của các loại hình tư duy huyền thoại và tôn giáo
nguyên thủy. Triết học chính là hình thức tư duy lý luận đầu tiên trong lịch sử tư tưởng
nhân loại thay thế được cho tư duy huyền thoại và tôn giáo.
Trong quá trình sống và cải biến thế giới, từng bước con người có kinh nghiệm và có
tri thức về thế giới. Ban đầu là những tri thức cụ thể, riêng lẻ, cảm tính. Cùng với sự tiến
bộ của sản xuất và đời sống, nhận thức của con người dần dần đạt đến trình độ cao hơn
trong việc giải thích thế giới một cách hệ thống
CÁC BIỆN PHÁP KỸ THUẬT AN TOÀN KHI XÃY RA HỎA HOẠN TRONG.pptxCNGTRC3
Cháy, nổ trong công nghiệp không chỉ gây ra thiệt hại về kinh tế, con người mà còn gây ra bất ổn, mất an ninh quốc gia và trật tự xã hội. Vì vậy phòng chông cháy nổ không chỉ là nhiệm vụ mà còn là trách nhiệm của cơ sở sản xuất, của mổi công dân và của toàn thể xã hội. Để hạn chế các vụ tai nạn do cháy, nổ xảy ra thì chúng ta cần phải đi tìm hiểu nguyên nhân gây ra các vụ cháy nố là như thế nào cũng như phải hiểu rõ các kiến thức cơ bản về nó từ đó chúng ta mới đi tìm ra được các biện pháp hữu hiệu nhất để phòng chống và sử lý sự cố cháy nổ.
Mục tiêu:
- Nêu rõ các nguy cơ xảy ra cháy, nổ trong công nghiệp và đời sống; nguyên nhân và các biện pháp đề phòng phòng;
- Sử dụng được vật liệu và phương tiện vào việc phòng cháy, chữa cháy;
- Thực hiện được việc cấp cứa khẩn cấp khi tai nạn xảy ra;
- Rèn luyện tính kỷ luật, kiên trì, cẩn thận, nghiêm túc, chủ động và tích cực sáng tạo trong học tập.
1. MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền
(loại)
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Tham khảo Tạp chí THTT 2010
Trong các đề thi đại học những năm gần đây, ta gặp rất nhiều bài toán về hệ
phương trình. Nhằm giúp các bạn ôn thi tốt, bài viết này chúng tôi xin giới thiệu một số
dạng bài và kĩ năng giải.
I.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.
Đặc điểm chung của dạng hệ này là sử dụng các kĩ năng biến đổi đồng nhất đặc
biệt là kĩ năng phân tích nhằm đưa một PT trong hệ về dạng đơn giản ( có thể rút theo
y hoặc ngược lại ) rồi thế vào PT còn lại trong hệ.
*Loại thứ nhất: Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y khi đó ta tìm
cách rút y theo x hoặc ngược lại.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
( )( ) ( )
( )
2 2
2
1 1 3 4 1 1
1 2
ì + + + = - +ï
í
+ + =ïî
x y x y x x
xy x x
Giải. Dễ thấy 0=x không thỏa mãn PT(2) nên từ (2) ta có :
2
1
1
-
+ =
x
y
x
thay vào (1) ta
được
( )( ) ( )( )
2 2
2 2 2 21 1
x . 3 4 1 1 2 1 1 3 1
æ ö- -
+ = - + Û - - = - -ç ÷
è ø
x x
x x x x x x x
x x
( )( ) ( )( ) ( )( )3 2 3 2
1
1 2 2 1 1 3 1 1 2 2 4 0 0
2
=é
êÛ - + - - = - - Û - + - = Û =ê
ê = -ë
x
x x x x x x x x x x x
x
Từ đó, ta được các nghiệm của hệ là : (1;- 1) , (- 2;
5
2
- )
*Loại thứ hai: Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình
bậc nhất hai ẩn.
Ví dụ 2 . Giải hệ phương trình
( )
( )
2 2
2 1
2 1 2 2 2
ì + + = -ï
í
- - = -ïî
xy x y x y
x y y x x y
Giải .Điều kiện: 1, 0³ ³x y
PT (1) ( ) ( )( ) ( )2 2
2 0 2 0Û - - - + = Û + - - + =x xy y x y x y x y x y ( từ điều kiện
ta có 0+ >x y )
2 1 0 2 1Û - - = Û = +x y x y thay vào PT (2) ta được :
( )( ) ( )2 2 2 2 1 2 2 0 y 0 2 5+ = + Û + - = ³ Û = Þ =y x y y y y do y x
*Loại thứ ba: Đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc hai của một ẩn,
ẩn còn lại là tham số.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
( )( ) ( )
( )
2
2 2
5 4 4 1
5 4 16 8 16 0 2
ì = + -ï
í
- - + - + =ïî
y x x
y x xy x y
Giải .Biến đổi PT (2) về dạng ( )2 2
4 8 5 16 16 0- + - + + =y x y x x
www.VNMATH.com
2. MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền
Coi PT (2) là phương trình ẩn y tham số x ta có 2
' 9D = x từ đó ta được nghiệm
( )
( )
5 4 3
4 4
é = +
ê
= -êë
y x
y x
Thay (3) vào (1) ta được: ( ) ( )( )
2
4
0
5 4 5 4 4 5
0 4
é
= - Þ =ê+ = + - Û
ê
= Þ =ë
x y
x x x
x y
Thay (4) vào (1) ta được: ( ) ( )( )
2 4 0
4 5 4 4
0 4
= Þ =é
- = + - Û ê = Þ =ë
x y
x x x
x y
Vậy nghiệm của hệ là: (0;4) , (4;0) ,
4
;0
5
æ ö
-ç ÷
è ø
II.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Điểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ ( ) ( ), ; ,= =a f x y b g x y có
ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ
bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0.
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
1 4 1
1 2 2
ì + + + =ï
í
+ + - =ïî
x y y x y
x y x y
Giải .
Dễ thấy 1=y không thỏa mãn PT(1) nên HPT
( )
2
2
1
4
1
2 1
ì +
+ + =ï
ï
Û í
æ ö+ï + - =ç ÷ïè øî
x
y x
y
x
y x
y
Đặt
2
21
, 2
1
+ =ì+
= = + - Þ í
=î
a bx
a b y x
aby
giải hệ ta được 1= =a b từ đó ta có hệ
2
1
3
ì + =
í
+ =î
x y
x y
Hệ này bạn đọc có thể giải dễ dàng.
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình
( )
( )
2 2
2
3
4 4 7
1
2 3
ì
+ + + =ï +ï
í
ï + =
ï +î
xy x y
x y
x
x y
Giải . Điều kiện : 0+ ¹x y
HPT
( ) ( )
( )
2 2
2
3
3 7
1
3
ì
+ + - + =ï +ï
Û í
ï + + + - =
ï +î
x y x y
x y
x y x y
x y
www.VNMATH.com
3. MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền
Đặt ( )1
2 ;= + + ³ = -
+
a x y a b x y
x y
ta được hệ
( )
( )
2 2
3 13 1
3 2
ì + =ï
í
+ =ïî
a b
a b
Giải hệ ta được a=2 , b=1 ( do 2³a ) từ đó ta có hệ
1
2 1 1
1 0
1
ì
+ + = + = =ì ìï
+ Û Ûí í í
- = =î îï - =î
x y x y x
x y
x y y
x y
III.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Hệ loại này ta gặp nhiều ở hai dạng ( ) 0=f x (1)và ( ) ( )=f x f y (2) với f là hàm đơn
điệu trên tập D và ,x y thuộc D .Nhiều khi ta cần phải đánh giá ẩn ,x y để ,x y thuộc tập
mà hàm f đơn điệu
* Loại thứ nhất: Một phương trình trong hệ có dạng ( ) ( )=f x f y , phương trình còn lại
giúp ta giới hạn ,x y thuộc tập D để trên để trên đó hàm f đơn điệu.
Ví dụ 6 . Giải hệ phương trình
( )
( )
3 3
8 4
5 5 1
1 2
ì - = -ï
í
+ =ïî
x x y y
x y
Giải . Từ PT (2) ta có 8 4
1; 1 1; 1£ £ Û £ £x y x y
Xét hàm số ( ) [ ]3
5 ; 1;1= - Î -f t t t t có ( ) [ ]2
' 3 5 0; 1;1= - < " Î -f t t t do đó ( )f t
nghịch biến trên
khoảng ( - 1;1) hay PT (1)Û =x y thay vào PT (2) ta được PT: 8 4
1 0+ - =x x
Đặt 4
0= ³a x và giải phương trình ta được 4
1 5 1 5
2 2
- + - +
= Þ = = ±a y x
*Loại thứ hai:Là dạng hệ đối xứng loại hai mà khi giải thường dẫn đến cả hai trường
hợp (1) và (2)
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
-
-
ì + - + = +ï
í
+ - + = +ïî
y
x
x x x
y y y
Giải .
Đặt 1; 1= - = -a x b y ta được hệ
( )
( )
2
2
1 3 1
1 3 2
ì + + =ï
í
+ + =ïî
b
a
a a
b b
Trừ vế với vế 2 PT ta được : 2 2
1 3 1 3+ + + = + + +a b
a a b b (3)
Xét hàm số ( ) ( )
2
2
2
1
1 3 ; ' 3 ln3
1
+ +
= + + + = +
+
t tt t
f t t t f t
t
Vì ( )2 2 2 /
1 1 0 0,+ > ³ - Þ + + > Þ > "t t t t t f t t do đó hàm số ( )f t đồng
biến trên R
Nên PT (3)Û =a b thay vào PT (1) ta được 2
1 3+ + = a
a a (4)
Theo nhận xét trên thì 2
1 0+ + >a a nên PT (4) ( )2
ln 1 ln3 0Û + + - =a a a
( lấy ln hai vế )
www.VNMATH.com
4. MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền
Xét hàm số ( ) ( ) ( )2
2
1
ln 1 ln3; g' ln3 1 ln3 0,
1
= + + - = - < - < " Î
+
g a a a a a a R
a
hay hàm ( )g a nghịch biến trên và do PT (4) có nghiệm 0=a nên PT (4) có
nghiệm duy nhất 0=a
Từ đó ta được nghiệm của hệ ban đầu là : 1= =x y .
IV.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Với phương pháp này, cần lưu ý phát hiện các biểu thức không âm và nắm vững cách vận
dụng các bất đẳng thức cơ bản.
Ví dụ 8 . Giải hệ phương trình
2
23
2
23
2
2 9
2
2 9
ì
+ = +ï
- +ï
í
ï + = +
ï - +î
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y
Giải.
Cộng vế với vế hai PT ta được 2 2
2 23 3
2 2
2 9 2 9
+ = +
- + - +
xy xy
x y
x x y y
(1)
Ta có : ( )
223 3
2 23 3
2 22
2 9 1 8 2
22 9 2 9
- + = - + ³ Þ £ £ =
- + - +
xy xyxy
x x x xy
x x x x
Tương tự
23
2
2 9
£
- +
xy
xy
x x
mà theo bất đẳng thức Côsi 2 2
2+ ³x y xy
Nên VT(1)£ VP(1)
Dấu bằng xảy ra khi
x y 1
0
= =é
ê = =ëx y
thử lại ta được nghiệm của hệ là: (0;0) , (1;1)
Ví dụ 9 . Giải hệ phương trình
3
3
3 4
2 6 2
ì = - + +ï
í
= - -ïî
y x x
x y y
Giải. HPT
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
23
23
2 3 2 2 1 2 1
2 2 3 2 2 2 1 2 2
ì ì- = - - - - = - + -ï ï
Û Ûí í
- = - - - = + -ï ïîî
y x x y x x
x y y x y y
Nếu 2>x từ (1) suy ra 2 0- <y diều này mâu thuẫn với PT(2) có ( )2-x và
( )2-y cùng dấu.
Tương tự với 2<x ta cũng suy ra điều vô lí. Vậy nghiệm của hệ là 2= =x y .
www.VNMATH.com
5. MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền
Hy vọng một số ví dụ trên sẽ giúp bạn phần nào kĩ năng giải hệ. Để kết thúc bài
viết mời các bạn cùng giải các hệ phương trình sau
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
3
2 2 3
3 22
4 2 3 2
2 3 83 2 16
1) 2)
2 4 33 2 6
2 2 1 13 9
3) 4)
4 2 3 48 48 155 0 4 1 ln 2
ì + =- - =ì ï
í í
+ - - = - =î ïî
+ - - = +ì + =ï
í
+ - - - + = + + + + =ïî
x yxy x y
x y x y x y
x x y x yx y
y x y y x y x y x 0
ì
ï
í
ïî
3 2
2 22 2
2 2 22
3 2
2
22 4 1 3 5
5) 6)
044
2007
2 01
7) 8)
2 3 6 12 13 0
2007
1
ì ì + =+ + + + = - + - + -ï ï
í í
+ + - =+ + + = ïï îî
ì
= -ï ì - + =-ï
í í
+ + - + =ï = -
ï -î
x
y
x yx x x y y y
x xy y yx y x y
y
e
x y x yy
x x x y x
e
x
ï
ïî
www.VNMATH.com
6. MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền
MỘT SỐ CHÚ Ý
KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Tham khảo Tạp chí THTT 400- 2010
Bài toán 1: (A- 2008) Giải hệ phương trình:
( )
2 3 2
4 2
5
4
5
1 2
4
x y x y xy xy
x y xy x
ì
+ + + + = -ïï
í
ï + + + = -
ïî
Lời giải: Hệ đã cho tương đương với
( )
2 3 2
22
5
4
5
4
x y x y xy xy
x y xy
ì
+ + + + = -ïï
í
ï + + = -
ïî
Suy ra ( ) ( )
22 2 2
x y xy x y x y+ + + = +
( )( )2 2
1 0x y x y xyÛ + + - - =
a)
2
2
0
0 5
4
x y
x y
xy
ì + =
ï
+ = Þ í
= -ï
î
(I)
Hệ (I) có nghiệm ( ) 3 3
5 25
; ;
4 16
x y
æ ö
= -ç ÷
è ø
b)
2
2
1
2
1 0
3
2
x y
x y xy
xy
ì
+ = -ïï
+ - - = Þ í
ï = -
ïî
(II)
Hệ (II) có nghiệm ( )
3
; 1;
2
x y
æ ö
= -ç ÷
è ø
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm ( );x y là 3 3
5 25
;
4 16
æ ö
-ç ÷
è ø
;
3
1;
2
æ ö
-ç ÷
è ø
.
Bài toán 2: (B- 2009) Giải hệ phương trình: 2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
+ + =ì
í
+ + =î
Lời giải: Dễ thấy 0y ¹ nên hệ đã cho tương đương với
2
2
2
11 77
1 113 13
xx xx
y yy y
x xx x
y y y y
ìì + + =+ + = ïïï ï
Ûí í
æ öï ï+ + = + - =ç ÷ï ïî è øî
www.VNMATH.com
7. MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền
Suy ra
2
1 1
20 0x x
y y
æ ö æ ö
+ + + - =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
.
a)
1
51
5
12
x
yx
y
x y
ì
+ = -ï
+ = - Þ í
ï =î
(Hệ vô nghiệm)
b)
1
41
4
3
x
yx
y
x y
ì
+ =ï
+ = Þ í
ï =î
. Trường hợp này hệ có hai nghiệm ( )
1
; 1;
3
x y
æ ö
= ç ÷
è ø
và
( ) ( ); 3;1x y = .
Nhận xét: Qua hai ví dụ đề thi tuyển sinh nêu trên, chúng ta thấy rằng đôi khi chỉ cần
biến đổi cơ bản, dựa vào các hằng đẳng thức là có thể được kết quả. Ta xét tiếp các ví dụ
đòi hỏi các phép biến đổi phức tạp hơn.
Bài toán 3: Giải hệ phương trình:
12
1 2
3
12
1 6
3
x
y x
y
y x
ìæ ö
- =ïç ÷+ïè ø
í
æ öï + =ç ÷ï +è øî
Lời giải: Điều kiện 0, 0, 3 0x y y x> > + ¹ . Hệ đã cho tương đương với
1 312 2
11
3
12 6 1 3 12
1
3 3
x yy x x
y x y y xx y
ìì + =- = ïï +ï ï
Ûí í
-ï ï- = - =
ï ï+ +î î
Suy ra
2
2 21 9 12
6 27 0 6 27 0.
3
y y
y xy x
x y y x x x
- æ ö æ ö
- = Þ + - = Þ + - =ç ÷ ç ÷
+ è ø è ø
Tìm được 3
y
x
= và 9
y
x
= - (loại). Với 3
y
x
= ta được ( ) ( )
2 2
1 3 ; 3 1 3x y= + = + .
Bài toán 4: Giải hệ phương trình:
log log (1)
2 2 3 (2)
y x
x y
xy yì =ï
í
+ =ïî
Lời giải: Điều kiện 0, 0, 1, 1x y x y> > ¹ ¹ .
Từ (1) có 2
2 0t t+ - = với logyt x= .
a) Với log 1y x = , ta được 2
3
log
2
x y
æ ö
= = ç ÷
è ø
.
b) Với log 2y x = - , ta được 2
1
x
y
= . Thế vào (2) được
2
1
2 2 3 (3)y y
+ =
Trường hợp này PT (3) vô nghiệm. Thật vậy:
+ Nếu 1y > thì
2 2
1 1
2 2; 2 1 2 2 3y yy y
> > Þ + > .
www.VNMATH.com
8. MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền
+ Nếu 0 1y< < thì 2
1
1
y
> suy ra:
2 2
1 1
2 1; 2 2 2 2 3y yy y
> > Þ + > .
Vậy hệ đã cho chỉ có một nghiệm ( ) 2 2
3 3
; log ;log
2 2
x y
æ öæ ö æ ö
= ç ÷ ç ÷ç ÷
è ø è øè ø
.
Bài toán 5: (Dự bị D- 2008) Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2
36 60 25 0
36 60 25 0
36 60 25 0
x y x y
y z y z
z x z x
ì - + =
ï
- + =í
ï - + =î
Lời giải: Hệ đã cho tương đương với
2
2
2
2
2
2
60
36 25
60
36 25
60
36 25
x
y
x
y
z
y
z
x
z
ì
=ï
+ï
ï
=í
+ï
ï
=ï
+î
Hiển nhiên hệ này có nghiệm ( ) ( ); ; 0;0;0 .x y z = Dưới đây ta xét , , 0x y z ¹ .
Từ hệ trên ta thấy , , 0x y z > . Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
2 2 2
2 2
60 60 60
36 25 602 36 .25
x x x
y x
x xx
= £ = =
+
.
Tương tự ta thu được y x z y£ £ £ . Suy ra x y z= = . Từ đó suy ra hệ có một nghiệm nữa
5
.
6
x y z= = =
Bài toán 6: Giải hệ phương trình:
( )
3
4
1 8
1
x y x
x y
ì - - = -ï
í
- =ïî
Lời giải: Đk 1, 0.x y³ ³ Thế y từ PT(2) vào PT(1) ta được
( )
2 3
1 1 8 (3)x x x- - - = -
Từ (3) có 3 2
1 2 9 (4)x x x x- = - + - +
Xét hàm số ( )3 2
( ) 2 9 1f x x x x x= - + - + ³ . Ta có ( )/ 2
( ) 3 2 2 0 1f x x x x= - + - < " ³ .
Suy ra hàm số ( )f x luôn luôn nghịch biến khi 1x ³ .
Mặt khác, hàm số ( ) 1g x x= - luôn nghịch biến khi 1x ³ nên 2x = là nghiệm duy
nhất của PT(4).
Vậy hệ có một nghiệm duy nhất ( ) ( ); 2;1x y = .
Nhận xét: Đối với bài toán trên, dung công cụ đạo hàm để giải quyết là rất hay, tuy
nhiên, ta cũng có thể tránh được đạo hàm bằng cách biến đổi khéo léo như sau:
www.VNMATH.com
9. MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền
( ) ( )
( ) ( )( )
2 3
2
2
PT(3) 1 1 1 1 8 0
2
2 2 2 4 0
1 1
1
2 Do 2 4 0, 1
1 1
x x x
x
x x x x x
x
x x x x
x
é ùÛ - - - - - + - =
ë û
-
Û - - + - + + =
- +
æ ö
Û = + + + > " ³ç ÷
- +è ø
Dưới đây, xin nêu một bài toán trong Đề thi tuyển sinh Đại học gần nhất mà nếu không
dùng đến công cụ đạo hàm thì khó có thể giải quyết được.
Bài toán 7: (A- 2010) Giải hệ phương trình:
( ) ( )2
2 2
4 1 3 5 2 0 (1)
4 2 3 4 7 (2)
x x y y
x y x
ì + + - - =ï
í
+ + - =ïî
Lời giải: Đk
3 5
;
4 2
x y£ £ .
( ) ( )2
PT(1) 4 1 2 5 2 1 5 2x x y yÛ + = - + -
Đặt ( ) ( )2 2
2
1 1
5 2
x u
u u v v
y v
=ìï
Þ + = +í
- =ïî
.
Hàm ( )2
( ) 1f t t t= + có / 2
( ) 3 1 0f t t= + > nên ( )f t luôn đồng biến trên , suy ra:
2
0
2 5 2 5 4
2
x
u v x y x
y
³ì
ï
= Û = - Û í -
=ï
î
Thế y vào PT (2) ta được:
2
2 25
4 2 2 3 4 0 (3)
2
x x x
æ ö
+ - + - =ç ÷
è ø
Nhận thấy 0x = và
3
4
x = không phải là nghiệm của PT (3). Xét hàm số:
2
2 25
( ) 4 2 2 3 4
2
g x x x x
æ ö
= + - + -ç ÷
è ø
trên
3
0;
4
æ ö
ç ÷
è ø
.
Ta có ( )/ 2 25 4 4
( ) 8 8 2 4 4 3 0
2 3 4 3 4
g x x x x x x
x x
æ ö
= - - - = - - <ç ÷
- -è ø
trên
3
0;
4
æ ö
ç ÷
è ø
.
Suy ra ( )g x nghịch biến trên
3
0;
4
æ ö
ç ÷
è ø
. Nhận thấy
1
0
2
g
æ ö
=ç ÷
è ø
, nên PT(3) có nghiệm duy
nhất
1
2
x = . Với
1
2
x = thì 2y = . Vậy hệ đã cho có một nghiệm ( )
1
; ;2
2
x y
æ ö
= ç ÷
è ø
.
Bài toán 8: Giải hệ phương trình:
5 4 10 6
2
(1)
4 5 8 6 (2)
x xy y y
x y
ì + = +ï
í
+ + + =ïî
Lời giải: Hiển nhiên 0y ¹ . Chia hai vế của PT(1) cho 5
0y ¹ ta được
5
5x x
y y
y y
æ ö æ ö
+ = +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
.
www.VNMATH.com
10. MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền
Hàm số 5
( )f t t t= + có / 4
( ) 5 1 0,f t t t= + > " nên hàm số ( )f t luôn đồng biến nên
2
.
x
y x y
y
= Û = Thế 2
x y= vào PT(2) ta được 4 5 8 6x x+ + + = . Tìm được 1x = .
Vậy hệ có hai nghiệm ( ) ( ); 1;1x y = và ( ) ( ); 1; 1x y = - .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Giải các hệ phương trình sau:
4 3 2 2 4 3 2 2
3 2 2
1 2 2 9
1) 2)
1 2 6 6
2 6 2 11 1
3) 4)
7 6 26 3
2 3 2
x x y x y x x y x y x
x y x xy x xy x
x
y x y x y y xy
y x y x
x x y x y
ì ì- + = + + = +ï ï
í í
- + = - + = +ï ïî î
ì
+ = - - ì - - - =ï ï
í í
- + - =ïï î+ - = + -î
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 22 2
1
1
2 3 4 6
22 2
12 20 0
5) 6)
ln 1 ln 12 2
3
2 22 2
27) 8)
2 1
2 2 4 1 0
x y x
x
yx
x xy yx y y x
x y x yx y
x y y x xxy
x y x
x y x x y x
+ -
-
ìì - + =+ = +ï ï
í í
+ - + = -- = -ï ïî î
ì
+ = ++ + =ïï
í
+ + = +ï + - - + =ïî
( )
( )
2
3 2 3
3
1
3 3 2
9) 2 1
log log 3
1 2
y x
x x y y
x y
x
y x
ìï
í
ïî
ì - = - -
ï
í æ ö- -æ ö
+ = -ç ÷ç ÷ï - -è øè øî
www.VNMATH.com
11. Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
--------------------
Dạng1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Dạng tổng quát:
1 1 1
2 2 2
(*)
a X b Y c
a X b Y c
+ =ì
í
+ =î
Phương pháp: Thông thường có 3 phương pháp để giải hệ phương trình dạng (*).
Cách 1: Phương pháp thế.
Cách 2: Phương pháp cộng đại số.
Cách 3: Phương pháp dùng định thức.
Kí hiệu: 1 1 1 1 1 1
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
, ,X Y
a b c b a c
D a b a b D c b c b D a c a c
a b c b a c
= = - = = - = = -
TH1: 0 :D ¹ Hệ có nghiệm duy nhất
X
Y
D
X
D
D
Y
D
ì
=ïï
í
ï =
ïî
TH2: 0 : Vµ 0X YD D D= = = : Hệ có vô số nghiệm dạng ( ){ }0 0 1 0 1 0 1;X Y a X b Y c+ =
TH3: 0 : HoÆc , hoÆc 0. HÖ v« nghiÖm.X YD D D= ¹
Bài tập : Giải các hệ phương trình sau:
1)
6 5
3
9 10
1
x y
x y
ì
+ =ï
ï
í
ï - =
ïî
2)
6 2
3
2 2
3 4
1
2 2
x y x y
x y x y
ì
+ =ï - +ï
í
ï + = -
ï - +î
3)
6 3 2
5
1 1
4 2 4
2
1 1
x y
y x
x y
y x
-ì
- =ï - +ï
í
-ï - =
ï - +î
4)
2
2
2 2 1 3
2 1 4
x x y
x x y
ì + - - =ï
í
+ + - =ïî
5)
3 6
1
1 2
2 3
7
1 2
x x
y y
x x
y y
-ì
- =ï + -ï
í
-ï + =
ï + -î
6)
2 3 7
5
2 3
1 3 1
5
2 3
x y
x y
x y
x y
- +ì
+ =ï - +ï
í
+ +ï + =
ï - +î
7)
( )
( )
1 1
3 2 6
1 1
3 2 4
x y
x y
x y
x y
ì æ ö
+ + - =ï ç ÷
ï è ø
í
æ öï - + + =ç ÷ï è øî
8)
4 1
3
1
2 2
4
1
x y
x y
ì
+ =ï -ï
í
ï - =
ï -î
9)
3( )
7
5 5
3
x y
x y
x y
y x
+ì
= -ï -ï
í
-ï =
ï -î
10)
8 1
17
7 3
x y
x y xy
ì
+ =ï
í
ï - =î
11)
2
2
3 1
2 7 15
x y
x y
ì + =ï
í
- =ïî
12)
2
2
5
2(4 ) 2
2
4 4
x
y
x
y
ì
- + =ï
ï
í
ï - + =
ïî
13)
1 0
2 1
x y
x y
ì - + =ï
í
- =ïî
14)
1 2 1
1 3
x y
x y
ì - + - =ï
í
- + =ïî
15)
2 2
2 3 1
x y
x y
+ =ìï
í
- =ïî
www.VNMATH.com
12. Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền
Dạng 2: Hệ gồm một phương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất
Dạng tổng quát:
2 2
0
0
ax by cxy dx fy e
Ax By C
ì + + + + + =
í
+ + =î
Phương pháp: Từ phương trình bậc nhất, rút một ẩn theo ẩn còn lại và thay vào phương
trình bậc hai.
Bài tập: Giải các hệ phương trình sau:
1) 2 2
2 7 0
2 2 4 0
x y
y x x y
- - =ì
í
- + + + =î
2) 2
4 9 6
3 6 3 0
x y
x xy x y
+ =ì
í
+ - + =î
3)
2
2
2 1 0
12 2 10 0
x x y
x x y
ì + + + =ï
í
+ + + =ïî
4)
( )( )
2
2 1 2 2 0
3 1 0
x y x y
xy y y
ì + + + + =ï
í
+ + + =ïî
5)
2 2
2 3 7 12 1
1 0
x xy y y y
x y
ì - + = + -
í
- + =î
6)
( )( )2 3 2 5 3 0
3 1
x y x y
x y
ì + - - - =ï
í
- =ïî
7)
2 2
11 5
2 3 12
x y
x y
ì + =
í
+ =î
8)
2 2
9 4 6 42 40 135 0
3 2 9 0
x y xy x y
x y
ì + + + - + =
í
- + =î
9)
2 2
7 9 12 5 3 5 0
2 3 1
x y xy x y
x y
ì + - + + + =
í
- =î
10)
2 2
6 2 0
8 0
x y x y
x y
ì + + + =
í
+ + =î
11)
2 2
2 6
2 3
x xy y x y
x y
ì + + - - =
í
- =î
12)
2
10
2 5
x xy x
x y
ì + + =
í
- = -î
13)
3
2
1 2
4
x y x y
x y
x y
+ -ì
- =ï
-í
ï - =î
14)
2 2
1 1 1
3 2 3
1 1 1
9 4 4
x y
x y
ì
- =ï
ï
í
ï - =
ïî
15)
( )
2 2
1 1 1
1 3
1 1 1
41
x y
yx
ì
+ =ï +ï
í
ï - =
ï +î
16)
( ) ( )
4 2
4 117 0
25
x y x y
x y
ì + + + - =ï
í
- =ïî
17) 3 3
1
7
x y
x y
- =ì
í
- =î
18)
( )( )2 2
18 18 18 17 12 12 1 0
3 4 0
x x y x xy
x y
ì + + - - - =ï
í
+ =ïî
19)
( )( )2 2
45
5
x y x y
x y
ì - - =ï
í
+ =ïî
www.VNMATH.com
13. Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền
Dạng 3: HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1
Dạng tổng quát:
( )
( )
; 0
; 0
f X Y
g X Y
ì =ï
í
=ïî
(*)
Trong đó hoán vị giữa ,X Y thì biểu thức ( ) ( ); , ;f X Y g X Y không thay đổi.
Phương pháp:
+ Đặt
.
S X Y
P X Y
= +ì
í
=î
. Thay vào hệ (*), tìm ra ,S P .
+ Lúc đó, ,X Y là nghiệm của phương trình 2
0t St P- + = (1)
Các nhận xét:
* Do tính đối xứng của ,X Y nên nếu phương trình (1) có các nghiệm
1 2,t t thì hệ (*) có nghiệm ( ) ( )1 2 2 1; , ;t t t t .
* Cũng do tính đối xứng nên để hệ (*) có nghiệm duy nhất thì điều kiện
cần là X Y= (thay vào hệ tìm tham số, sau đó thay vào hệ (*) để tìm điều kiện đủ)
* Do ,X Y là nghiệm của phương trình 2
0t St P- + = nên điều kiện cần và đủ để hệ
(*) có nghiệm là: Phương trình (1) có nghiệm trên tập giá trị của ,X Y .
Bài tập: Giải các hệ phương trình sau:
1)
2 2
4
2
x xy y
x xy y
ì + + =
í
+ + =î
2) 2 2
5
13
x xy y
x y xy
+ - =ì
í
+ + =î
3)
2 2
4 2 2 4
7
21
x xy y
x x y y
ì + + =ï
í
+ + =ïî
4)
2 2
4 2 2 4
5
13
x y
x x y y
ì + =ï
í
- + =ïî
5)
6
12
2 2 2
3
x y z
xy yz zx
x y z
ì
ï + + =
ïï
+ + =í
ï
ï + + =
ïî
6)
2 2
2 2
1 1
5
1 1
9
x y
x y
x y
x y
ì
+ + + =ï
ï
í
ï + + + =
ïî
7)*
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4
x y
x y
x y
x y
ì
+ + + =ï
ï
í
ï + + + =
ïî
8)
2 2
7
5
x xy y
x y
ì - + =
í
+ =î
9)
2 2
18
12
x y
y x
x y
ì
+ =ï
í
ï + =î
9)* 2 2 2
4
3
2
x y z
x y z
xyz
+ + =ì
ï
+ + =í
ï =î
10)
3 3
7
( ) 2
x y
xy x y
ì + =
í
+ = -î
11)
3 3 3
1
4
1
x y z
xy yz xz
x y z
+ + =ì
ï
+ + = -í
ï + + =î
12)*
2 2 2
6
7
14
x y z
xy yz xz
x y z
+ + =ì
ï
+ - =í
ï + + =î
13)
4 4
2 2
17
3
x y
x y xy
ì + =ï
í
+ + =ïî
14) 2 2
5
6
x xy y
x y xy
+ + =ì
í
+ =î
15)
2 2
18
( 1). ( 1) 72
x x y y
x x y y
ì + + + =
í
+ + =î
16)
3 3
19
( )(8 ) 2
x y
x y xy
ì + =
í
+ + =î
17)
2 2
7
2
5
2
x y xy
x y xy
ì
+ + =ïï
í
ï + =
ïî
18)
9
( )
20
x
x y
y
x y x
y
ì
+ + =ï
ï
í
+ï =
ïî
www.VNMATH.com
14. Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền
19)
3
( )
2
x
x y
y
x y x
y
ì
- + =ï
ï
í
-ï =
ïî
20)
2 2
19
7
x xy y
x xy y
ì - + =
í
+ + = -î
21) 2 2
11
3( ) 28
x y xy
x y x y
+ + =ì
í
+ + + =î
22) 2 2
1
1
2
x y
x y
ì + =
ï
í
+ =ï
î
23) 2
( 2)(2 ) 9
4 6
x x x y
x x y
+ + =ì
í
+ + =î
24)
( )
( )2 2
2 2
1 1
5
1 1
49
x y
x y
x y
x y
ì æ ö
+ + =ï ç ÷
ï è ø
í
æ öï + + =ç ÷ï è øî
25)
11
6 6
11
x y xy
xy
x y
+ + =ì
ï
í
+ + =ï
î
26)
5 5
9 9 4 4
1x y
x y x y
ì + =ï
í
+ = +ïî
27)
( )
( )
2 2
2 2 4 4
3 5
7 155
xy x y
x y x y
ì - + =ï
í
- + =ïî
28)
30
35
x y y x
x x y y
ì + =ï
í
+ =ïî
29)
4
4
x y
x y xy
ì + =ï
í
+ - =ïî
30)
7
1
78
x y
y x xy
x xy y xy
ì
+ = +ï
í
ï
+ =î
31)
1 1 3
1 1 1 1 6
x y
x y y y y x
ì + + + =ï
í
+ + + + + + + =ïî
32)
1 1 1
3
1 1 1
3
1
1
x y z
xy yz zx
xyz
ì
+ + =ï
ï
ï
+ + =í
ï
ï
=ï
î
Dạng 3: HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2
Hệ phương trình được gọi là hệ đối xứng loại 2 khi thay X bởi Y hoặc thay Y bởi
X thì hệ phương trình không thay đổi.
Dạng tổng quát:
( )
( )
; 0
(*)
; 0
f X Y
f Y X
ì =ï
í
=ïî
Phương pháp: Nếu ( );f X Y là đa thức thì thông thường hệ (*) được giải như sau:
Biến đổi (*)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
; ; 0 . ; 0
; 0 ; 0
f X Y f Y X X Y g X Y
f X Y f X Y
ì ì- = - =ï ï
Û Ûí í
= =ï ïî î
Bài tập: Giải các hệ phương trình sau:
1)
3
3
3 8
3 8
x x y
y y x
ì = +ï
í
= +ïî
2)
4
3
4
3
y
x y
x
x
y x
y
ì
- =ïï
í
ï - =
ïî
3)
3
3
3
4
2
3
4
2
x x y
y y x
ì
+ = +ïï
í
ï + = +
ïî
4)
2 2
2 2
2 5 4
2 5 4
x y y
y x x
ì - = +ï
í
- = +ïî
www.VNMATH.com
15. Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền
4)
3
3
2
2
x x y
y y x
ì = +ï
í
= +ïî
5)
2
2
2
2
2
3
2
3
y
y
x
x
x
y
ì +
=ï
ï
í
+ï =
ïî
6)
1 3
2
1 3
2
x
y x
y
x y
ì
+ =ï
ï
í
ï + =
ïî
7)
2 2
2 2
2 3 2
2 3 2
x x y
y y x
ì - = -ï
í
- = -ïî
7)
2
2
1
2
1
2
x y
y
y x
x
ì
= +ïï
í
ï = +
ïî
8)
2
2
2 4
2 4
x x y
y y x
ì = + +ï
í
= + +ïî
9)
2
2
2 4 5
2 4 5
x y y
y x x
ì = - +ï
í
= - +ïî
10)
2
2
3 2
3 2
x x y
y y x
ì = +ï
í
= +ïî
11)
2
2
x x y
y y x
ì = +ï
í
= +ïî
12)
2
2
1
1
xy x y
yx y x
ì + = -ï
í
+ = -ïî
13)
2 2
2 2
2 2
2 2
x y x y
y x y x
ì - = +ï
í
- = +ïî
14)
3
3
y x
x y
ì =ï
í
=ïî
Dạng 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
Hệ phương trình đại số đẳng cấp bậc hai theo ,x y .
Dạng tổng quát:
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d
ì + + =ï
í
+ + =ïî
(*)
Phương pháp:
+ Giải hệ khi 0x = .
+ Khi 0x ¹ , đặt y tx= thế vào hệ (*), khử x được phương trình theo t .
+ Giải t , rồi tìm ,x y .
Biến đổi:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 22
1 1 1 11 1 1 1
2 2 22
2 2 2 22 2 2 2
(1) (1)
. LËp tû
(2)(2)
x a b t c t da x b tx c tx d
x a b t c t da x b tx c tx d
ìì + + =+ + =ï ï
Ûí í
+ + =+ + =ï ïî î
Bài tập: Giải các hệ phương trình sau:
1)
2 2
2 2
3 1
3 3 13
x xy y
x xy y
ì - + = -ï
í
- + =ïî
2)
2 2
2 2
3 2 11
2 3 17
x xy y
x xy y
ì + + =ï
í
+ + =ïî
3)
( )
3 3
7
2
x y
xy x y
ì - =ï
í
- =ïî
4)
2 2
5
2 5 2
2
x xy y
y x
x y xy
ì + - =
ï
í
- = - -ï
î
5)
3 2 3
3 2 3
1
2 2
x xy y
x x y y
ì - + =ï
í
- + =ïî
6)
2 2
2 3 0
2
x xy y
x x y y
ì - - =ï
í
+ = -ïî
7)
2 2
2 2
3 5 5 37
5 9 3 15
x xy y
x xy y
ì + - =ï
í
- - =ïî
8)
2 2
2 2
4 2 1
2 4
x xy y
x xy y
ì - + =ï
í
- + =ïî
9)
3 2 2 3
3 2 2
3 6
3 2 2
x x y xy y
y x y xy
ì + + + =ï
í
+ - =ïî
10)
2 2
2 2
3 1
2 2 8
x xy y
x xy y
ì - + = -ï
í
+ + =ïî
11)
2 2
2 2
2 3 2
2 4
x xy y
x xy y
ì + - = -ï
í
- + =ïî
12)
3 3
2 2
7
2 3 16
y x
x y xy
ì - =ï
í
+ =ïî
13)
3 3
2 2 3
1
2 2
x y
x y xy y
ì + =ï
í
+ + =ïî
14)
2 2
2 2
3 5 4 3
9 11 8 13
x xy y
y xy x
ì - - = -ï
í
+ - =ïî
15)
( )( )
( )( )
2 2
2 2
13
25
x y x y
x y x y
ì - + =ï
í
+ - =ïî
www.VNMATH.com
16. Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền
ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002- 2010
Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
----------------------------
1) (B- 2002) Giải hệ phương trình:
3
2
x y x y
x y x y
ì - = -ï
í
+ = + +ïî
2) (D- 2002) Giải hệ phương trình:
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+
ì = -
ï
í +
=ï
î +
3) (Dự bị- 2002) Giải hệ phương trình:
4 2
4 3 0
log log 0
x y
x y
ì - + =ï
í
- =ïî
4) (Dự bị- 2002) Giải hệ phương trình:
( )
( )
3 2
3 2
log 2 3 5 3
log 2 3 5 3
x
y
x x x y
y y y x
ì + - - =ï
í
+ - - =ïî
5) (A- 2003) Giải hệ phương trình :
3
1 1
2 1
x y
x y
y x
ì
- = -ï
í
ï = +î
6) (Dự bị- 2003) Giải hệ phương trình:
log log
2 2 3
y x
x y
xy yì =ï
í
+ =ïî
7) (B- 2003) Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
2
3
2
3
y
y
x
x
x
y
ì +
=ï
ï
í
+ï =
ïî
8) (A- 2004) Giải hệ phương trình:
( )1 4
4
2 2
1
log log 1
25
y x
y
x y
ì
- - =ï
í
ï + =î
9) (D- 2004) Tìm m để hệ sau có nghiệm:
1
1 3
x y
x x y y m
ì + =ï
í
+ = -ïî
10) (D- 2005) Giải hệ phương trình :
2 3
9 3
1 2 1
3log 9 log 3
x y
x y
ì - + - =ï
í
- =ïî
11) (Dự bị- 2005) Giải hệ phương trình:
2 2
4
( 1) ( 1) 2
x y x y
x x y y y
ì + + + =
í
+ + + + =î
12) (Dự bị- 2005) Giải hệ phương trình:
2 1 1
3 2 4
x y x y
x y
ì + + - + =ï
í
+ =ïî
13) (A- 2006) Giải hệ phương trình:
3
1 1 4
x y xy
x y
ì + - =ï
í
+ + + =ïî
14) (Dự bị- 2006) Giải hệ phương trình:
( )( )
2
2
1 ( ) 4
1 2
x y y x y
x y x y
ì + + + =ï
í
+ + - =ïî
15) (Dự bị- 2006) Giải hệ phương trình:
( )
3 3
2 2
8 2
3 3 1
x x y y
x y
ì - = +ï
í
- = +ïî
16) (D- 2006) CMR: 0a" > , hệ phương
trình sau có duy nhất nghiệm:
( ) ( )ln 1 ln 1x y
e e x y
y x a
ì - = + - +ï
í
- =ïî
17) (Dự bị- 2006) Giải hệ phương trình:
2 2
2 2 2
3( )
7( )
x xy y x y
x xy y x y
ì - + = -ï
í
+ + = -ïî
18) (Dự bị- 2006) Giải hệ phương trình:
( ) ( )
2 2
ln 1 ln 1
12 20 0
x y x y
x xy y
ì + - + = -ï
í
- + =ïî
19) (Dự bị- 2006) Giải hệ phương trình:
( )( )
( )( )
2 2
2 2
13
25
x y x y
x y x y
ì - + =ï
í
+ - =ïî
www.VNMATH.com
17. Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền
20) (Dự bị- 2007) Giải hệ phương trình:
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y
-
-
ì + - + = +ï
í
+ - + = +ïî
21) (Dự bị- 2007) Giải hệ phương trình:
4 3 2 2
3 2
1
1
x x y x y
x y x xy
ì - + =ï
í
- + =ïî
22) (Dự bị- 2007) CMR: Hệ phương trình
sau có 2 nghiệm thoả 0, 0x y> > .
2
2
2007
1
2007
1
x
y
y
e
y
x
e
x
ì
= -ï
-ï
í
ï = -
ï -î
23) (Dự bị- 2007) Giải hệ phương trình:
2
23
2
23
2
2 9
2
2 9
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y
ì
+ = +ï
- +ï
í
ï + = +
ï - +î
24) (A- 2008) Giải hệ phương trình:
2 3 2
4 2
5
4
5
(1 2 )
4
x y x y xy xy
x y xy x
ì
+ + + + = -ïï
í
ï + + + = -
ïî
25) (B- 2008) Giải hệ phương trình:
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x
ì + + = +ï
í
+ = +ïî
26) (D- 2008) Giải hệ phương trình:
2 2
2
2 1 2 2
x y xy x y
x y y x x y
ì + + = -ï
í
- - = -ïî
27) ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2log ( ) 1 log ( )
3 81x y xy
x y xy
+ -
ì + = +ï
í
=ïî
28) (B- 2009) Giải hệ phương trình:
+ + =ì
í
+ + =î
2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
29) (D- 2009) Giải hệ phương trình:
( )
( )
ì + - - =
ï
í
+ - + =ï
î
2
2
1 3 0
5
1 0
x x y
x y
x
30) (ĐH-B-2010) Giải hệ phương trình:
2
2
log (3 1)
4 2 3
- =ì
í
+ =î
x x
y x
y
31) (ĐH-D-2010) Giải hệ phương trình:
2
2 2
4 2 0
2log ( 2) log 0
ì - + + =ï
í
- - =ïî
x x y
x y
32) (ĐH-A-2010) Giải hệ phương trình:
( ) ( )ì + + - - =ï
í
ï + + - =î
2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x
www.VNMATH.com
20. Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền
Gợi ý d): Phương trình (1) đẳng cấp bậc 2.
18) Giải hệ phương trình:
a)
2 2
2 2
12
12
x y x y
y x y
ì + + - =ï
í
- =ïî
Gợi ý: Đặt 2 2
,u x y v x y= - = +
2
1
2
u
y v
v
æ ö
Þ = -ç ÷
è ø
b)
20
16
5
y
x y x y
x
x
x y x y
y
ì
= + + -ï
ï
í
ï = + - -
ï
î
Gợi ý: Nhân vế theo vế 2 phương trình.
c)
2 2
2 2
3 1 0
4 5 2 1 0
x x y
x x y
ì - - + =ï
í
+ - - =ïî
Gợi ý: Nhân (1) với 2- , khử y .
d)
( )( )
( )( )
2 2
2 2
3
15
x y x y
x y x y
ì - - =ï
í
+ + =ïî
Gợi ý: Cách 1: Hpt đẳng cấp bậc 3.
Cách 2: Biến đổi:
( ) ( )
( ) ( )
2
2
4 3
2 15
x y x y xy
x y x y xy
ì é ù+ + - =
ï ë û
Û í
é ùï + + - =
ë ûî
19) Giải hệ phương trình:
2 2
3 2 16
2 4 33
xy x y
x y x y
- - =ì
í
+ - - =î
Gợi ý: Biến đổi:
( ) ( )
2 2
2
2 6 4 32
2 4 33
3 2 16
8 65 0
xy x y
x y x y
xy x y
x y x y
- - =ì
Û í
+ - - =î
- - =ìï
Û í
+ - + - =ïî
20) Giải hệ phương trình:
a)
2 2
2 2
x y
x y
ì + - =ï
í
- + =ïî
Gợi ý: Cách1: Biến đổi:
§
2 2 2 2
2 2 2 2TX
y x x y x
x y x y x
ì ì- = - + =ï ï
Û Ûí í
- = - + =ïï îî
x yÞ =
Cách 2:
LÊy (1) (2) :
2 2
2 2
x y x y
x y y x
x y
x y x y
-
Þ - = - - -
- -
Û = Þ =
+ - + -
21) Giải hệ phương trình:
6 2 3
6 2 3
x y
y x
ì + - =ï
í
+ - =ïî
Gợi ý:
Cách 1: Biến đổi:
( )
(1) (2) 6 6
6 6
1 1
0
6 6
x y x y
x y y x
x y x y
x y
x y x y
x y
- Þ - = - - -
- -
Û =
+ - + -
æ ö
Û - + =ç ÷ç ÷+ - + -è ø
Û =
Cách 2: Bất đẳng thức:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
6 12
6 12
6 6 24
6 1 1 6
6 1 1 6
6 6 24
6
DÊu " " x·y ra khi chØ khi
6
3
x y
y x
x y y x
x y x y
y x y x
x y y x
x y
y x
x y
ì + - =ï
Û í
ï + - =
î
Þ + - + + - =
ì + - £ + + -ï
í
ï + - £ + + -
î
Þ + - + + - £
ì = -ï
= í
= -ïî
Û = =
22) Giải hệ phương trình:
a)
2 2
2 2
3 4 0
2 2 11 6 2 0
x xy y y
x xy y x y
ì + - + + =ï
í
+ - + + - =ïî
www.VNMATH.com
21. Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền
Gợi ý: Thùc hiÖn: (1) 2 3´ -
Cách khác: Thử 0x = . Đặt y kx= .
b)
2 2
2 2
2 1 0
3 2 0
x x y
x y x y
ì + + - =ï
í
+ - + - =ïî
Gợi ý: ( )
2 2 1
(1) 1
1
y x
x y
y x
= +é
Û + = Û ê = - -ë
c)
2 3
2 2 2
2 4 3 0
2 0
x y x
x y x y
ì + - + =ï
í
- + =ïî
Gợi ý:
( ) ( )
( ) ( )
2 3
2
2
2
2 3
2 1 1 0 (1)
2
(2)
1
2
(2) : 1 1 1 1
1
(1) 2 1 1 0...
x y
x
y
x
x
y
x
x y
ì - + + =
ï
Û í
=ï
+î
- £ £ Þ - £ £
+
Þ - + + ³
23) Giải các hệ phương trình sau:
1)
( )
3 2 2
3
2
64
2 6
y x x y
x y
ì + = -ï
í
+ = +ïî
Gợi ý:
( )
3
2
3 2
2
(2) : 6 2 8 2
8
0, 2
64 8
y x y
y x
x y
x y
+ = + ³ Û ³
ì + ³ï
Þ Þ = =í
- £ïî
2) 2 2
2 2
1 1
3
1 1 3 2
7
xy
x y
x y
x y xy
ì
+ = -ï
ï
í
+ï + = -
ïî
Gợi ý:
2 2
1 1
3
1 1 2
7
xy
x y
xy
x y xy
ì
+ = -ï
ï
Û í
ï + + = -
ïî
2
1 1
3 1 1
§Æt
1 1
3
xy
x y u
x y
v xyxy
x y
ì
+ = - ìï
= +ï ï
Û í í
æ öï ï =+ = - îç ÷ïè øî
3)
1 6
7
2
x y
x y xy
ì
+ =ï
í
ï + =î
Gợi ý: Quy đồng (1), khử xy .Hoặc chia
(2) cho xy .
4)
( )
2
1 3
4 5 5
x x y
x y
ì + + + =ï
í
+ - + =ïî
Gợi ý: Đánh giá BĐT ở phương trình (2).
5)
2 2 5
2
3
2
x y xy
x y
y x
ì
+ =ïï
í
ï - =
ïî
Gợi ý: Hệ đẳng cấp. Hoặc chia (1) cho xy .
6)
3 2
2 2
3 4
1 1
x y x
x x y
ì + + =ï
í
ï - + + =î
Gợi ý: TXĐ 2
1 1 1x x³ Û - £ £
3 2
(1) : 3 4.x y x+ + ³
7)
8
5 11
x x x y
y x
ì + =ï
í
- = -ïî
Gợi ý: Phương pháp thế. CM pt vô
nghiệm.
8)
3 31 1 3
9
x y
x y
ì - + - =ï
í
+ =ïî
Gợi ý: Đặt 3 31, 1u x v y= - = -
9)
2 2 7
3 2 23
x y x y
x y
ì + + + + =ï
í
+ =ïî
Gợi ý: Phương pháp thế. Hoặc đặt
, 2 2u x y v x y= + = + +
10)
2 2
2
4 3 0
2 1 3
x xy y
x x y xy
ì + + =ï
í
+ + = -ïî
Gợi ý: Phương trình (1) đẳng cấp bậc 2.
11)
3 2 3
2
3 3 1
5
x x y x
x xy y
ì + = - -ï
í
+ + =ïî
Gợi ý:
( )
3 2 3
3 3
(1) 3 3 1
1 1
x x x y
x y y x
Û + + + =
Û + = Û = +
www.VNMATH.com
22. Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền
12)
5 2 7
2 5 7
x y
x y
ì + + - =ï
í
- + + =ïî
13)
5
5 5 8
x y
x y
ì + =ï
í
+ + + =ïî
Gợi ý: Biến đổi:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
5 5 13
5 5 3
5 5 13
5 5
3
5 5
§Æt u 5, v 5
x x y y
x x y y
x x y y
x x y y
x x y y
ì + + + + + =
ï
Û í
+ - + + - =ï
î
ì + + + + + =
ïï
Û í
+ =ï
+ + + +ïî
= + + = + +
14)
2 2 7
2 1 3 1 7
x y x y
x y
ì + + + + =ï
í
+ + + =ïî
Gợi ý: Biến đổi:
LÊy (1) (2)
3 1 2 1 2 2
2 1 2 1
3 1 2 1 2 2
x y y x x y
x y x y
x y y x x y
-
Þ + - + = + - + +
- - - -
Û =
+ + + + + + +
15)
ï
ï
î
ïï
í
ì
=
+
-
=
+
+
4)
2
1
4(
32)
2
1
4(
y
xy
x
xy
16)
ï
ï
î
ïï
í
ì
=++
=++
49)
1
1)((
5)
1
1)((
22
22
yx
yx
xy
yx
17)
( )
2
3 1
8 9
y x y
x y x y
ì - + = -ï
í
+ = - -ïî
Gợi ý:
( )
2
(1) 3 1 0
0 3 0 9
(2) : TX§: 9 0 9
x y y
x y x y
x y x y
Û - - = - + £
Û £ - £ Û £ - £
- - ³ Û - ³
18)
( ) ( )
3
3 2
6
6
8
x y x y
x y x y
ì + + - =ï
í
+ - =ïî
Gợi ý:
3
3
3
3
3
3
6
HÖ
8
0
6 (I)
8
0
6 (II)
8
x y x y
x y x y
x y
x y x y
x y x y
x y
x y x y
x y x y
ì + + - =ï
Û í
+ - =ïî
é - ³ì
êï
+ + - =êí
êï
+ - =êî
Û ê
- <ìê
ïê + + - =íê
ïê + - = -îë
www.VNMATH.com